ˇ ych 4.2. Graf funkce v´ıce promenn´
Matematika II
4.2.
Graf funkce v´ıce promˇ enn´ ych
V t´eto kapitole se soustˇred´ıme na funkce dvou promˇenn´ ych. Pouze v tomto pˇr´ıpadˇe jsme schopni graf funkc´ı dvou promˇenn´ ych zobrazit. Pro funkce tˇr´ı a v´ıce promˇenn´ ych ztr´ac´ı grafick´e vyj´adˇren´ı smysl.
V´ yklad Definice 4.2.1. Grafem funkce dvou promˇenn´ ych z = f (x, y) budeme rozumˇet mnoˇzinu Gf = {[x, y, f (x, y)] | [x, y] ∈ Df }. Pozn´ amka 1. Mnoˇzina Gf , tj. graf funkce dvou promˇenn´ych, je podmnoˇzinou v R3 . Nejˇcastˇeji se budeme setk´avat s funkcemi, jejichˇz graf tvoˇr´ı v R3 plochu. 2. Zobrazen´ı grafu funkce dvou promˇenn´ych je pomˇernˇe obt´ıˇzn´e. Cel´y proces si m˚ uˇzeme do jist´e m´ıry zjednoduˇsit t´ım, ˇze zkonstruujeme ˇrezy pˇr´ısluˇsn´e plochy rovinami rovnobˇeˇzn´ymi se souˇradnicov´ymi rovinami. Pro zobrazen´ı graf˚ u funkce dvou promˇenn´ych se pouˇz´ıv´ a pˇredevˇs´ım v´ypoˇcetn´ı technika. Na konkr´etn´ım pˇr´ıkladu si uk´aˇzeme zp˚ usob jak naj´ıt graf funkce dvou promˇenn´ ych. Jeˇstˇe pˇredt´ım si zavedeme d˚ uleˇzit´ y pojem, tzv. vrstevnici. Definice 4.2.2. ˇ Rezy grafu funkce dvou promˇenn´ ych rovinou rovnobˇeˇznou se souˇradnicovou rovinou xy (p˚ udorysnou) se naz´ yvaj´ı vrstevnice. Vrstevnicov´ ym grafem budeme rozumˇet pr˚ umˇety vrstevnic do roviny xy. Vrstevnice jsou kˇrivky na grafu funkce dvou promˇenn´ ych se stejnou funkˇcn´ı hodnotou. S vrstevnic´ı jste se jiˇz urˇcitˇe setkali. Staˇc´ı se pod´ıvat na mapu, na kter´e je zobrazena i nadmoˇrsk´a v´ yˇska (geologick´e, geografick´e mapy, apod.). Vrstevnice
- 229 -
ˇ ych 4.2. Graf funkce v´ıce promenn´
Matematika II
je kˇrivka, kter´a reprezentuje mnoˇzinu bod˚ u se stejnou nadmoˇrskou v´ yˇskou.
ˇ sen´ Reˇ eu ´lohy Pˇ r´ıklad 4.2.1. Urˇcete definiˇcn´ı obor a naleznˇete graf funkce z=
p 16 − x2 − y 2 .
ˇ sen´ı: Nejdˇr´ıve urˇc´ıme omezuj´ıc´ı podm´ınku na definiˇcn´ı obor. Druh´a odReˇ mocnina je schopna p˚ usobit pouze na nez´aporn´a ˇc´ısla. Tedy, 16 − x2 − y 2 ≥ 0
⇒
−x2 − y 2 ≥ −16
⇒
x2 + y 2 ≤ 42 .
Definiˇcn´ım oborem je kruh se stˇredem v poˇc´atku a polomˇerem 4. Nalezneme vrstevnice grafu. Budeme hledat ˇrezy grafu funkce s rovinami rovnobˇeˇzn´ ymi se souˇradnicovou rovinou xy (s p˚ udorysnou), resp. pr˚ umˇety tˇechto ˇrez˚ u do p˚ udorysny.
Pozn´ amka V n´ asleduj´ıc´ım textu budeme ˇcasto ztotoˇzn ˇovat vrstevnici s jej´ım kolm´ym pr˚ umˇetem do roviny xy. Klademe z = k, k je nˇejak´a konstanta, nˇejak´e re´aln´e ˇc´ıslo. Napˇr. pro hodnotu k = 0 dost´av´ame rovnici z = 0, coˇz je rovnice roviny xy. Pro hodnotu k = 1 dost´av´ame rovnici z = 1, coˇz je rovnice roviny, kter´a je rovnobˇeˇzn´a s rovinou xy, a jej´ıˇz vzd´alenost od roviny xy je rovna 1, atd. Pro z = k, k ≥ 0 ∧ k ≤ 4 dost´av´ame p k = 16 − x2 − y 2 ⇒ k 2 = 16 − x2 − y 2 ⇒ x2 + y 2 = 16 − k 2 . p ˇ ıslo k dosazujeme za z a z = 16 − x2 − y 2 , druh´a odmocProˇc vol´ıme k ≥ 0? C´ nina z nez´aporn´eho ˇc´ısla bude vˇzdycky ˇc´ıslo nez´aporn´e, hodnota z je nez´aporn´a a tedy i ˇc´ıslo k mus´ı b´ yt nez´aporn´e. Nav´ıc k ≤ 4, protoˇze k m˚ uˇze nab´ yvat pouze hodnot z intervalu h0, 4i. Pro k > 4 bude rozd´ıl na prav´e stranˇe rovnice x2 + y 2 = 16 − k 2 z´aporn´ y, kruˇznice se z´aporn´ ym polomˇerem nem´a smysl.
- 230 -
ˇ ych 4.2. Graf funkce v´ıce promenn´
Matematika II
Vrstevnicemi budou kruˇznice se stˇredem v poˇc´atku a s polomˇery
√
16 − k 2 ,
k ∈ h0, 4). Pro k = 4 dostaneme tzv. degenerovanou kruˇznici s polomˇerem 0, tj. bod. V tomto pˇr´ıpadˇe se jedn´a o poˇc´atek, bod o souˇradnic´ıch [0, 0].
y
k=1 k=2 k=3 k = 3,9 k=4
x
Obr. 4.2.1 Nav´ıc budeme jeˇstˇe hledat ˇrezy grafu funkce rovinami rovnobˇeˇzn´ ymi se zb´ yvaj´ıc´ımi souˇradnicov´ ymi rovinami. Poloˇzme napˇr. x = k. Hled´ame ˇrezy grafu funkce rovinami rovnobˇeˇzn´ ymi se souˇradnicovou rovinou yz, tzv. n´ arysnou. Souˇradnice x leˇz´ı v intervalu h0, 4i, proto konstanta k ∈ h0, 4i, p z = 16 − k 2 − y 2 ⇒ z 2 = 16 − k 2 − y 2
⇒
y 2 + z 2 = 16 − k 2 .
Protoˇze z ≥ 0, posledn´ı rovnice pˇredstavuje p˚ ulkruˇznice se stˇredy v poˇc´atku a √ polomˇery 16 − k 2 , pro hodnotu k = 4 se jedn´a o bod [0, 0]. Zvol´ıme-li y = k, pak hled´ame ˇrezy grafu funkce rovinami rovnobˇeˇzn´ ymi se souˇradnicovou rovinou xz, tzv. bokorysnou. Dost´av´ame analogickou posloupnost rovnic jako v pˇredch´azej´ıc´ım pˇr´ıpadˇe, √ z = 16 − x2 − k 2 ⇒ z 2 = 16 − x2 − k 2
x2 + z 2 = 16 − k 2 . √ ˇ Rezy jsou p˚ ulkruˇznice se stˇredem v poˇc´atku a polomˇerem 16 − k 2 .
- 231 -
⇒
ˇ ych 4.2. Graf funkce v´ıce promenn´
Matematika II
k=1 z
z
k=2 k=3 k = 3,9 k=4
x
y Obr. 4.2.2
Nyn´ı jiˇz m´ame dostatek informac´ı pro celkovou pˇredstavu o grafu t´eto funkce. Grafem je polovina kulov´e plochy se stˇredem v poˇc´atku a polomˇerem 4.
z
x
y Obr. 4.2.3
Pˇ r´ıklad 4.2.2. Urˇcete definiˇcn´ı obor a graf funkce z = xy. ˇ sen´ı: Definiˇcn´ım oborem je cel´a mnoˇzina R2 . Pod´ıvejme se nyn´ı postupnˇe Reˇ na jednotliv´e ˇrezy. 1. Pro k ∈ R, z = k, k = xy
⇒
y=
k . x
Vrstevnicemi jsou pro k 6= 0 rovnoos´e hyperboly a pro k = 0 je vrstevnice tvoˇren´a souˇradnicov´ ymi osami, osou x i osou y.
- 232 -
ˇ ych 4.2. Graf funkce v´ıce promenn´
Matematika II
k=0 y k = −1 k = −2 k = −3
k = −5 k = −10
x k=1 k=2 k=3
k=5 k = 10 Obr. 4.2.4
2. Pro k ∈ R, x = k, z = ky. ˇ Rezy jsou pˇr´ımky proch´azej´ıc´ı poˇc´atkem. 3. Pro k ∈ R, y = k, z = kx. ˇ Rezy jsou pˇr´ımky proch´azej´ıc´ı poˇc´atkem.
z
z
y=x
y=x y = −x
y = −x y
Obr. 4.2.5
- 233 -
x
ˇ ych 4.2. Graf funkce v´ıce promenn´
Matematika II
Jedn´a se o sedlovou plochu. Jej´ı grafick´e zn´azornˇen´ı je pomˇernˇe obt´ıˇzn´e, nicm´enˇe pˇresto n´am ˇrezy poskytnou z´akladn´ı informaci o grafu zadan´e funkce. Graf zadan´e funkce je na Obr. 4.2.6
z
y
x
Obr. 4.2.6 Pˇ r´ıklad 4.2.3. Urˇcete definiˇcn´ı obor a graf funkce z =
p
x2 + y 2 .
ˇ sen´ı: Definiˇcn´ım oborem je cel´a mnoˇzina R2 . Souˇcet v odmocninˇe bude Reˇ nez´aporn´ y bez ohledu na to, co dosad´ıme za x resp. y. Hled´ame ˇrezy. 1. Pro k ≥ 0, z = k, p k = x2 + y 2 ⇒
k 2 = x2 + y 2 .
Vrstevnicemi jsou kruˇznice se stˇredem v poˇc´atku a polomˇery k.
k=0 k=1 k=2 k=3 k=4
y
x
Obr. 4.2.7
- 234 -
ˇ ych 4.2. Graf funkce v´ıce promenn´
Matematika II
2. Pro k ∈ R, x = k, p y2 z2 z = k 2 + y 2 ⇒ z 2 = k 2 + y 2 ⇒ −y 2 + z 2 = k 2 ⇒ − 2 + 2 = 1. k k Pro pevnˇe zvolen´e k je ˇrezem jedno rameno rovnoos´e hyperboly. Vˇsimnˇeme si, ˇze pro k pˇripouˇst´ıme i hodnotu 0. Ovˇsem v posledn´ı rovnici bychom pak dˇelili nulou, coˇz je nepˇr´ıpustn´e. Posledn´ı implikace pro k = 0 neplat´ı. V tomto pˇr´ıpadˇe je ˇrezem dvojice polopˇr´ımek proch´azej´ıc´ıch poˇc´atkem [0, 0], tedy p z = y 2 ⇒ |z| = y ⇒ z = ±y. 3. Pro k ∈ R, y = k, √ x2 z 2 z = x2 + k 2 ⇒ z 2 = x2 + k 2 ⇒ −x2 + z 2 = k 2 ⇒ − 2 + 2 = 1. k k Pro ˇrezy plat´ı tot´eˇz, co jiˇz bylo ˇreˇceno v bodˇe 2.
z
z k=0 k=1 k=2 k=3 k=4 x
y Obr. 4.2.8 Grafem funkce je jednod´ıln´a kuˇzelov´a plocha.
z
y x Obr. 4.2.9
- 235 -
ˇ ych 4.2. Graf funkce v´ıce promenn´
Matematika II
´ Ulohy k samostatn´ emu ˇreˇsen´ı 1. Urˇcete definiˇcn´ı obor a naleznˇete ˇrez grafu funkce z = x2 + 2x + y 2 − 4y + 5 rovinou z = 1. 2. Urˇcete definiˇcn´ı obor a naleznˇete ˇrezy grafu funkce z = x3 −
√
y souˇrad-
nicov´ ymi rovinami. 3. Urˇcete definiˇcn´ı obor a naleznˇete vrstevnicov´ y graf funkce z = x2 + y 2 − 4. 4. Urˇcete definiˇcn´ı obor a naleznˇete vrstevnicov´ y graf funkce z = 2x + 3y − 4. √ 5. Urˇcete definiˇcn´ı obor a naleznˇete vrstevnicov´ y graf funkce z = xy. 2x2 6. Urˇcete definiˇcn´ı obor a naleznˇete vrstevnicov´ y graf funkce z = 2 . y p 7. Urˇcete definiˇcn´ı obor a naleznˇete vrstevnicov´ y graf funkce z = 9 − x2 − 9y 2 . 8. Urˇcete definiˇcn´ı obor a naleznˇete vrstevnicov´ y graf funkce z = ln y 2 − ln x. 5x . 9. Urˇcete definiˇcn´ı obor a naleznˇete vrstevnicov´ y graf funkce z = 2 x + y2 + 1 2y 10. Urˇcete definiˇcn´ı obor a naleznˇete vrstevnicov´ y graf funkce z = 2 + 1. x
V´ ysledky u ´lohy k samostatn´ emu ˇreˇsen´ı 1. Dz = R2 , Obr. 4.2.10. 2. Dz = {[x, y] ∈ R2 | y ≥ 0}, Obr. 4.2.11, Obr. 4.2.12, Obr. 4.2.13.
z
y 2
−1
x
Obr. 4.2.10
z =− y
Obr. 4.2.11
- 236 -
y
ˇ ych 4.2. Graf funkce v´ıce promenn´
Matematika II
z
y y = x6
z = x3 x
x
Obr. 4.2.12
Obr. 4.2.13
3. Dz = R2 , k ≥ −4. Vrstevnice: [0, 0], x2 + y 2 = 4 + k, Obr. 4.2.14. 4. Dz = R2 , k ∈ R. Vrstevnice: y = − 23 x +
4+k , 3
Obr. 4.2.15.
y
k = −4 k = −3 k=0 k=5
6 3 4 3 2 3
y
1
x
2
k = −2 k = −4 k = 2 k = −6 k = 0 k = −8 Obr. 4.2.14
3 x
Obr. 4.2.15
5. Dz = {[x, y] ∈ R2 | xy ≥ 0}, k ≥ 0. Vrstevnice: jedna z vrstevnic je tvoˇrena obˇema souˇradnicov´ ymi osami (y = 0, x = 0) pro k = 0, ostatn´ı vrstevnice maj´ı rovnici y =
k2 x
pro k > 0, Obr. 4.2.16.
q 6. Dz = {[x, y] ∈ R2 | y 6= 0}, k ≥ 0. Vrstevnice: x = 0 pro k = 0, y = ± k2 x pro k > 0. Ze vˇsech vrstevnic vynech´av´ame bod [0, 0], protoˇze neleˇz´ı v definiˇcn´ım oboru zadan´e funkce, Obr. 4.2.17.
k=0 k=1 k=2 k=3
y
y k=0 k = 12 k=2 x
x
Obr. 4.2.16
Obr. 4.2.17
- 237 -
ˇ ych 4.2. Graf funkce v´ıce promenn´
Matematika II
7. Dz = {[x, y] ∈ R2 | x2 + 9y 2 ≤ 9}, k ∈ h0, 3i. Vrstevnice: bod [0, 0] pro k = 3, elipsy x2 + 9y 2 = 9 − k 2 pro k ∈ h0, 3), Obr. 4.2.18. 8. Dz = {[x, y] ∈ R2 | x > 0 ∧ y 6= 0}, k ∈ R. Vrstevnice: paraboly x = e−k y 2 , Obr. 4.2.19.
k = −1 y
y
k=0 k=1 k=2
k=0 k=1 x
k=2 k=3
x
Obr. 4.2.18
Obr. 4.2.19
5 2 ) +y 2 = 9. Dz = R2 , k ∈ h− 52 , 25 i. Vrstevnice: x = 0 pro k = 0, kruˇznice (x− 2k 25 4k2
− 1 pro k 6= 0, bod [1, 0] pro k = 25 , [−1, 0] pro k = − 52 , Obr. 4.2.20. 10. Dz = {[x, y] ∈ R2 | x 6= 0}, k ∈ R. Vrstevnice: y = 0 pro k = 1, paraboly
y =
k−1 2 x 2
pro k 6= 1. Poznamenejme, ˇze ze vˇsech vrstevnic vynech´av´ame bod
[0, 0], protoˇze neleˇz´ı v definiˇcn´ım oboru zadan´e funkce, Obr. 4.2.21.
5 k =+ − 2
y k =+ 5 − 4
y
k=4 k=3 k=2 −4 −3 −2 −1
5 k =+ − 8
1 2 3
4
x
k=1 x
k=0 k = −1 k = −2
k=0 5 k =+ − 6
Obr. 4.2.20
Obr. 4.2.21
- 238 -
ˇ ych 4.2. Graf funkce v´ıce promenn´
Matematika II
Kontroln´ı test 1. Naleznˇete ˇrez grafu funkce z =
p x2 + y 2 − 9 rovinou x = 3.
a)
b)
z
z
1 −1 1
y
−3
3
y
−1
Obr. 4.2.22 c)
Obr. 4.2.23 d)
z
z
1
1 y
1
−1
Obr. 4.2.24
1
−1
y
Obr. 4.2.25
2. Naleznˇete ˇrez grafu funkce dvou promˇenn´ ych z = |x| − 1 rovinou z = 0. a)
b)
y
y
1
x
Obr. 4.2.26
−1
1
Obr. 4.2.27
- 239 -
x
ˇ ych 4.2. Graf funkce v´ıce promenn´
Matematika II
c)
d)
y
y
−1
x
1
x
1
Obr. 4.2.28
Obr. 4.2.29 2
2
3. Naleznˇete vrstevnicov´ y graf funkce z = x + 4y . a)
b)
y
y
k≥0
k≥0
x
x
Obr. 4.2.30
Obr. 4.2.31
c)
d)
y
y k³0
k≥0
x
Obr. 4.2.32
x
Obr. 4.2.33
- 240 -
ˇ ych 4.2. Graf funkce v´ıce promenn´
Matematika II
4. Naleznˇete vrstevnicov´ y graf funkce z = arccos(x − y). a)
b)
y
y k∈〈0,π〉
k∈〈0,π〉 1
1 x
1
−1
x
1
−1 −1
−1
Obr. 4.2.34
Obr. 4.2.35
c)
d)
y
y k∈á0,πñ
k∈〈0,π〉 1 −1 x
1
x
−1
Obr. 4.2.36
Obr. 4.2.37
5. Naleznˇete vrstevnicov´ y graf funkce z =
−
2x − y 2 + 1.
a)
b)
y
y
1
k³0
p
1 2
1
x −1
k≥0
1 2
−1
Obr. 4.2.38
Obr. 4.2.39
- 241 -
x
ˇ ych 4.2. Graf funkce v´ıce promenn´
Matematika II
c) y
k≥0
d)
y
1
k≥0 1
−
1 2
x
1
−1
x
−1 −1
Obr. 4.2.40 6. Naleznˇete vrstevnicov´ y graf funkce z = a)
y
2y . 2 x + y2
Obr. 4.2.41 b)
y
x
x
Obr. 4.2.42
Obr. 4.2.43
c)
d)
y
y
x
Obr. 4.2.44
x
Obr. 4.2.45
- 242 -
ˇ ych 4.2. Graf funkce v´ıce promenn´
Matematika II
7. Naleznˇete vrstevnicov´ y graf funkce z = x2 y 2 . a)
b)
y
y k<0
k>0
k>0
x
x
Obr. 4.2.46
Obr. 4.2.47
c)
d)
y
y
k³0
k<0
x
x
Obr. 4.2.48
Obr. 4.2.49 x
8. Naleznˇete vrstevnicov´ y graf funkce z = e y . a)
b)
y
y
k>0
x
x
Obr. 4.2.50
Obr. 4.2.51
- 243 -
ˇ ych 4.2. Graf funkce v´ıce promenn´
Matematika II
c)
d)
k>0
y
y
x
x
Obr. 4.2.52
Obr. 4.2.53
9. Naleznˇete vrstevnicov´ y graf funkce z = (x3 − y + 1)2 .
k≥0
a)
b)
y
y
1 x
x k≥0
Obr. 4.2.54
Obr. 4.2.55
c)
d)
y
k≥0
y
k≥0
x
x
Obr. 4.2.56
Obr. 4.2.57
- 244 -
ˇ ych 4.2. Graf funkce v´ıce promenn´
Matematika II
10. Naleznˇete vrstevnicov´ y graf funkce z = a)
x3 − x . y b)
y
y
x
x
Obr. 4.2.58
Obr. 4.2.59
c)
d)
y
y
x
Obr. 4.2.60
x
Obr. 4.2.61
V´ ysledky testu 1. c), 2. b), 3. a), 4. d), 5. a), 6. a), 7. d), 8. b), 9. c), 10. c).
- 245 -
