GRAF FUNKCE NEPŘÍMÁ ÚMĚRNOST Úloha: Sestrojte graf funkce nepřímé úměrnosti a zjistěte její vlastnosti.
Popis funkcí modelu: Sestrojit graf funkce nepřímá úměrnost Najít průsečíky grafu se souřadnými osami Najít asymptoty hyperboly Určit vlastnosti funkce
Použité nástroje a příkazy: nástroj: POSUVNÍK příkazy: PRŮSEČÍK, ASYMPTOTA
Postup: 1. Pomocí posuvníku zavedeme konstantu k • v panelu nástrojů vybereme posuvník • na nákresně klikneme nejlépe v pravém horním rohu(tam se posuvník umístí) a v nabídce, která se ukáže ho přejmenujeme na k • v algebraickém okně vidíme hodnotu k ve sloupci volné objekty 2. Sestrojíme graf funkce • do pole vstup zapíšeme předpis funkce nepřímá úměrnost v nejjednodušším tvaru, k tzn. f: y = x • v algebraickém okně se tento předpis zapsal do sloupečku závislé objekty • na nákresně se sestrojil graf funkce-rovnoosá hyperbola 3. Popis funkce f : • v nákresně uděláme pomocí výběru v kontextové nabídce Vlastnosti → karta Základní, na které najdeme Zobrazit popis → Název a hodnota • můžeme graf i posuvník pro lepší orientaci obarvit na modro a sílu čáry nastavit na hodnotu 3 • Na nákresně sledujeme, jak se mění předpis funkce a poloha hyperboly v souředných osách posunujeme-li posuvníkem do hodnot kladných a do záporných. Je-li k=0, splývá graf s osou x. 4. Průsečíky s osou x a y: • získáme tak, že do vstupního pole zadáme postupně příkaz :Průsečík[f,OsaX], Průsečík[f,OsaY] nebo i pomocí nástroje Průsečík dvou objektů. • V algebraickém okně se zapsalo hodnota A,B nedefinovaná(protože hyperbola s osami žádné průsečíky nemá). Můžeme je přejmenovat na Px a Py. • Najdeme asymptoty - přímky, ke kterým se asymptota blíží, ale nemá s nimi žádné společné body • do vstupního řádku napíšeme Asymptota[f], zapsala se v algebr. okně jako seznam, přejmenujeme ji na název asymptota a můžeme ji obarvit třeba na červeno
Závěr: • •
• • •
k . x Je-li hodnota konstanty k kladná leží hyperbola v I. a III.kvadrantu- jedná se o funkci klesající, je-li hodnota konstanty k záporná leží hyperbola v II. a IV. kvadrantu a funkce je rostoucí. D(f) = R - {0} , H(f) = R - {0} , funkce nedosahuje maxima ani minima. Průsečíky s osami x,y tato funkce nemá. Asymptotami této funkce jsou souřadné osy. Sestrojili jsme pomocí geogebry graf funkce nepřímá úměrnost f: y =
Úloha 1: Sestrojíme graf funkce f: y=
k +a x
Postup: • Graf sestrojíme stejným způsobem jako v předešlé úloze, kdy pomocí posuvníku zavedeme i hodnotu a. • Budeme sledovat, jak se mění poloha hyperboly při změně hodnoty a, jak se mění rovnice asymptot.
k +a , vidíme, že při změně hodnoty a se hyperbola x pohybuje po ose y. Jednou asymptotou je osa y (x=0), rovnice druhé asymptoty je y=a, proto se její poloha mění v závislosti na změně hodnoty a.
Závěr: Sestrojili jsme graf funkce f: y=
Úloha 2: Sestrojíme graf funkce f: y=
k x+b
Postup: • Graf sestrojíme stejným způsobem jako v předešlé úloze, kdy pomocí posuvníku zavedeme i hodnotu b. • Budeme sledovat, jak se mění poloha hyperboly při změně hodnoty b, jak se mění rovnice asymptot.
Závěr:
k , vidíme, že při změně hodnoty b se hyperbola pohybuje x+b po ose x. Jednou asymptotou je osa x (y=0), rovnice druhé asymptoty je x=-b, proto se její poloha mění v závislosti na změně hodnoty b.
Sestrojili jsme graf funkce f: y=
Úloha 3: Sestrojíme graf funkce f: y=
ax +b cx+d
Postup: • • • •
• • •
Při konstrukci budeme využívat stejné nástroje Geogebry a postupovat obdobně jako v předešlých úlohách. Pomocí posuvníku zavedeme a,b,c,d ax +b Do pole Vstup zapíšeme předpis funkce tzn. f(x)= - sestrojili jsme graf funkce f cx+d −d a Asymptoty sestrojíme jako přímky: x = ,y= a najdeme jejich průsečík= střed c c −d a , ] hyperbooly S= [ c c Sestrojíme osu hyperboly (osa úhlu) Najdeme průsečíky hyperboly s osou x a y −d a } , H(f) = R - { } , funkce nemá ani Maximum, ani Z grafu určíme D(f) = R - { c c minimum, podle hodnot koeficientů a,b,c,d se mění poloha ramen hyperboly a funkce je buď klesající nebo rostoucí
ax +b ,našli jeho průsečíky s osami x,y, obecně jsme cx+d určili definiční obor funkce a obor hodnot. Můžeme sledovat, jak se při změně hodnot koeficientů zavedených pomocí posuvníku ( a,b,c,d ) mění poloha hyperboly , rovnice asymptot, hodnoty průsečíků se souřadnými osami a její monotonie. Závěr: Sestrojili jsme graf funkce f: y=
Úloha 4: x+3 . x−1 Najděte průsečíky funkce s osami x,y. Zjistěte rovnice asymptot. Určete interval v němž je f ( x )⩾4 . Zjistěte, zda bod [4,3] leží na grafu funkce f. Určete hodnotu f(2) a tento bod na grafu vyznačte. Tabulkou zjistěte souřadnice dalších bodů, které náleží funkci f.
Sestrojíme graf funkce f: y= 1) 2) 3) 4) 5) 6)
Postup: 1. Graf sestrojíme jako v předešlých úlohách x+3 • do pole Vstup zapíšeme f: y= x−1 • graf barevně upravíme a popíšeme 2. Najdeme průsečíky s osami x,y-nástroj Průsečík (nebo zápisem do Vstupního pole) • v algebraickém okně se zapsaly jejich souřadnice • přejmenujeme je na Px,Py a zobrazíme jejich hodnoty do grafu 3. Najdeme asymptoty – jako v předešlých úlohách a jejich střed 4. Určíme interval, v němž je f (x )⩾4 • do Vstupního pole zapíšeme y=4 – sestrojila se přímka a • najdeme její průsečík s hyperbolou-nástroj Průsečík • průsečíkem je bod A, kterým vedeme kolmici k ose x a najdeme jejich průsečíkbod B • označíme průsečík osy x a asymptoty → nástroj Nový bod – C • bod C přejmenujeme na I 1 ,bod B na I 2 I 2 , což je interval, v němž je f (x )⩾4 , tedy (1;2,33) • vyznačíme úsečku I 1 • upravíme její vzhled: Vlastnosti → Barva → Styl 5. Zjistíme, zda bod [4,3] leží na grafu funkce f • do Vstupního pole zapíšeme (4,3) a hledaný bod se zapsal do Algebraického okna jako B a znázornil se i v nákresně- vidíme, že na grafu funkce f neleží 6. Určíme hodnotu funkce f(x) pro x=2 • do Vstupního pole zapíšeme f(2) • hledaná hodnota se zapsala do Algebraického okna jako d = 5 • abychom bod vyznačili na grafu, napíšeme do Vstupního pole (2,e) nebo (2,5) • na grafu se hledaný bod znázornil jako C 7. Tabulkou zjistíme souřadnice dalších bodů • vybereme : Zobrazit → Tabulku • do sloupce A zapisujeme hodnoty x,např.-5,-4, a rozvineme až do 5 • do prvního pole sloupce B zapíšeme f(A1), Enter a opět rozvineme, další hodnoty se dopočítají • z tabulky lze vyčíst, že pro x=1, není funkce f definována
Závěr: x+3 , našly jeho průsečíky s osami x, y, rovnice x−1
•
Sestrojili jsme graf funkce f: y=
• • • •
asymptot. f ( x )⩾4 v intervalu (1;2,33) Bod [4,3] na grafu funkce f neleží. F(2) = 5 Tabulkou jsme zjistili souřadnice několika dalších bodů.
