@034
3. Průběhy funkcí Úloha určit průběh funkce znamená nakreslit graf funkce na zadaném intervalu, nejčastěji na celé množině reálných čísel R. Abychom nakreslili dobře průběh funkce (její graf) musíme si všímat: a) hraničních bodů definičního oboru, často to jsou -∞ a +∞, b) bodů, kdy je ve jmenovateli 0, případně bodů něčím jiným důležitých c) je-li funkce sudá, lichá nebo periodická d) najít body s lokálními minimy a lokálními maximy e) hledat intervaly, kde je funkce konstantní, rostoucí, klesající f) funkčních hodnot ve všech vyznačených bodech g) nalézt asymptoty, pokud existují h) určit průsečíky s osami x a y To všechno nám dovolí zpřesnit náš náčrtek průběhu studované funkce. Jak ale zmíněné body nalézt? Jak zjistit, kde je funkce monotónní? K tomu nám s úspěchem pomůže použití následujících vět o derivaci funkce. Věta: Nechť je funkce F definovaná na intervalu J a má v každém bodě intervalu J derivaci, pak platí: a) Je-li derivace pro každé číslo x z intervalu J kladná, pak je funkce na intervalu J rostoucí. xJ : F'(x) > 0 => F je rostoucí na J b) Je-li derivace pro každé číslo x z intervalu J záporná, pak je funkce na intervalu J klesající. xJ : F'(x) < 0 => F je klesající na J Poznámka: Protože zkoumáme grafy, což je geometrická záležitost, často používáme i geometrickou terminologii. Místo, abychom důsledně mluvili o každém reálném čísle, které patří intervalu J, mluvíme o každém bodu intervalu J. Je to stručnější, a tedy sympatičtější. Věta: Má-li funkce F v bodě c lokální extrém, pak buď v bodě c nemá derivaci nebo má derivaci rovnu nule. Poznámka: Předchozí věta je pro studium průběhů funkcí velmi důležitá. Obvykle ji však obracíme: Nemá-li funkce F v bodě c derivaci nebo má derivaci rovnu nule, F'(c)=0, pak možná má v bodě c lokální extrém. V žádných jiných bodech být extrém nemůže. Při hledání extrémů tedy stačí studovat tyto body. Proč možná názorně ukazuje obrázek.
pokračování
@038 Bohužel znovu prostudujte
@041 Jak byste odbornou terminologií vyjádřili tvrzení věty: Vzhledem ke znalostem, které již máme, lze říci, že celý graf funkce f je nad osou x. Protože jsme zjistili, že funkce f je pro každé x kladná, znamená to, že je zdola omezená. Shrnutí: Máme tyto výsledky Df Df’ f’(x) f(x)
-∞ -∞
-1 -1
—
+
klesající
rostoucí
1
— klesající 3
1/3
+∞ +∞
+1 +1
1/3
3
1
průsečík s osou y je bod [0; 1], průsečík s osou x neexistuje Úkol: Načrtněte co nejpřesněji podle těchto výsledků průběh funkce f . Návod: Do soustavy souřadnic si vyznačte všechny nalezené významné body, dále asymptotu (čárkovaně) a pak vše pospojujte „hladkou“ čárou s dodržením růstu a poklesu. výsledek zpět
@043 Vytvořte tabulku a načrtněte průběh funkce
g( x )
x2 x2 1
g' ( x )
2x ( x 2 1) 2
Funkce g je sudá, protože (její graf bude osově souměrný podle osy y)
( x )2 x2 g( x ) g( x) ( x )2 1 x 2 1 Dg Dg’ g’(x) g(x)
-∞ -∞
+∞ +∞
0 0
—
+
klesající
rostoucí
1
1
0 0 průsečík s osou x je zároveň i průsečíkem s osou y a to bod [0; 0] Příklad: Vytvořte tabulku a načrtněte průběh funkce
x2 3x F:y 2 x 4
Řešení: Ve jmenovateli nesmí být nula, proto se musí z definičního oboru vyloučit body ±2. Na znamení, že jde o vyloučené body z definičního oboru, uděláme v nich v tabulce dvojitou čáru.
( 2 x 3)( x 2 4) ( x 2 3 x ) 2 x 3 x 2 8 x 12 F '( x ) ( x 2 4) 2 ( x 2 4) 2 Derivace má stejný definiční obor. Derivace se rovná nule právě pro kořeny rovnice 3x2 + 8x + 12 = 0 diskriminant D = 82 – 4.3.12 = 82 – 122 < 0 kořeny neexistují Derivace je pro každé reálné x záporná. D D’ ’(x) (x)
-∞ -∞
1
2 2 2 2
-2 -2 -2 -2
+∞ +∞
—
—
—
klesající
klesající
klesající
+∞
+∞
-∞
-∞
1
Průsečíky s osami jsou body [0; 0] a [-3; 0] Asymptota rovnoběžná s osou x je přímka y = 1.
V tomto příkladu se poprvé setkáváme s vyloučenými body z definičního oboru. Pro graf takové funkce platí, že vyloučený bod generuje asymptotu rovnoběžnou s osou y. V našem případě jsou to přímky x = -2 a x = 2. Dále si zapamatujte, že v těchto bodech zleva a zprava zvlášť graf funkce klesá resp roste nade všechny meze, tj k hodnotám –∞ a +∞. K jakému z nich to je poznáme podle derivace, podle té šikmé čáry, jestli „míří dolů nebo nahoru“. Toto pravidlo platí prakticky pro všechny funkce, které budeme probírat na střední škole. Kdy to neplatí?
x2 1 U funkcí „rafinovaných“, například y x 1
y x 1
předpis pro funkci nás nutí vyloučit x = 1 z definičního oboru, ale po vykrácení (upravení) předpisu už to není nutné. pokračování zpět
@035 Na začátku tohoto kurzu jsme se pokoušeli nakreslit graf funkce
f :y
x2 x 1 x2 x 1
tabulkovou metodou. Ukázalo se, že nám mnoho nepomáhá. Úkol: Co o této funkci můžeme říci teď? Popište funkci (graf), jak nejvíce dokážete. výsledek zpět
@039 Správně Df Df’ f’(x) f(x)
-∞ -∞
+∞ +∞
+1 +1
-1 -1
—
+
—
klesající
rostoucí
klesající
C5) Pro názornost si to do tabulky zaznamenáme i graficky rostoucí, klesající úsečkou. D) Funkční hodnoty - asymptoty Dalším krokem je určit ve všech zaznamenaných bodech funkční hodnotu. Z tabulky vyplývá, že jde o 4 body: -∞, -1, 1, +∞ Nejprve vypočítáme hodnoty pro konkrétní čísla. f(-1) = 1/3
f(1) = 3
a nyní v tzv. nevlastních bodech, tj. -∞, +∞ Jak je přesně zjišťovat, se naučíme v kurzu diferenciální a integrální počet. Teď si vystačíme s následující úvahou. Úvaha: Když budeme zvyšovat čísla x na výrazně velké hodnoty (např. milion = 106), pak
(106 ) 2 106 1 1012 106 1 1012 f (10 ) 1 (106 ) 2 106 1 1012 106 1 1012 6
Jak v čitateli tak ve jmenovateli výrazně převažuje kvadratický člen 10 na 12, lineární člen je jeho pouhou miliontinou (což lze zanedbat) a absolutní člen (1) je naprosto zanedbatelný. Kdybychom dosadili místo milionu třeba miliardu či ještě něco většího, měli bychom ještě větší důvod lineární a absolutní člen nebrat do úvahy. Lze tedy předpokládat, že pro velká čísla se chová funkce jako podíl kvadratických členů, tedy blíží se o to víc k jedničce, čím jsme dále od nuly. Tedy když se blížíme do plus nekonečna (k nevlastnímu bodu +∞) funkční hodnoty se blíží k číslu 1 (třebaže ho nikdy nedosáhnou) a graf funkce se stále víc přimyká k přímce rovnoběžné s osou x (a protínající osu y v bodě 1). Takové přímce se říká asymptota. Pro číslo minus milion dopadne úvaha stejně. Zaznamenejme si výsledky do tabulky:
Df Df’ f’(x) f(x)
-∞ -∞
+∞ +∞
+1 +1
-1 -1
—
+
—
klesající
rostoucí
klesající
1
3
1/3
1/3
3
1
V tabulce už máme symbolicky zaznamenán průběh funkce. Abychom nakreslili graf co nejpřesněji, ještě potřebujeme vypočítat průsečíky s osami. E) Průsečíky se souřadnými osami Průsečík s osou y získáme snadno. Je to bod [0; f(0)] – získáme ho výpočtem funkční hodnoty pro x = 0. Průsečík s osou x se získá obtížněji. Je to bod [x; f(x)=0] – abychom získali hodnotu x, pro kterou je funkční hodnota rovna nule, musíme vyřešit rovnici f(x) = 0 Úkol: Určete průsečíky grafu funkce f se souřadnými osami. pokračování zpět
@042
Úkol: Vytvořte tabulku a načrtněte průběh funkce
x2 g( x ) 2 x 1 výsledek zpět
@037 Máme zadánu funkci
f :y
x2 x 1 x2 x 1
a vyhledáme o ní (o jejím grafu) co nejvíce informací. Budeme přitom postupovat podle dříve formulovaného doporučení v sedmi krocích. a) Definiční obor 1 - hraniční body definičního oboru, b) Definiční obor 2 - body, kdy je ve jmenovateli 0, případně body něčím jiným důležité, c) Souměrnosti – ověřit, zda-li funkce je/není sudá, lichá nebo periodická d) Derivace extrémy - najít body, kde mohou být lokální minima či maxima e) Derivace intervaly – určit intervaly, kde je funkce konstantní, rostoucí, klesající f) Funkční hodnoty – v hraničních bodech a bodech extrémů g) Asymptoty – pokud existují h) Průsečíky – s osami souřadnic Výsledky si budeme zaznamenávat do přehledné tabulky - viz dále. A) Definiční obor funkce: Zadání funkce se týká všech reálných čísel R. Protože jde o podíl, musíme vyloučit z množiny reálných čísel ta čísla (ty body), pro která by platilo, že po dosazení do předpisu se do jmenovatele dostane nula – nulou nelze dělit!!! Proto musíme řešit rovnici x2 - x + 1 = 0 a kořeny vyloučit. Diskriminant kvadratické rovnice je D = 1 - 4 < 0 Z toho vyplývá, že neexistuje reálný kořen, a proto pro žádné reálné číslo nebude jmenovatel nulový => definičním oborem funkce f je celá množina reálných čísel Df = (-∞; +∞) Výsledek si zaznamenáme do podobné tabulky, jako jsme použili například při řešení rovnic s absolutní hodnotou (viz kurz lineární rovnice) Df
-∞
+∞
B) Symetrie Je funkce sudá nebo lichá? (Periodická není na první pohled.) Kdyby byla, stačilo by graf vyšetřovat jen pro kladná čísla. To prověříme jednoduše tak, že do předpisu funkce dosadíme místo x číslo –x a předpis upravíme. Dostaneme-li stejný předpis, půjde o sudou funkci. Dostaneme-li stejný předpis až na „vystrčené“ znaménko, půjde o lichou funkce. Ve všech ostatních případech není funkce symetrická.
( x )2 ( x ) 1 x 2 x 1 f ( x) f ( x) ( x )2 ( x ) 1 x 2 x 1 Dostali jsem zcela jiný předpis, funkce f tedy není ani sudá ani lichá.
C) Derivace Vypočítáme derivaci a najdeme body – možné extrémy – a určíme, ve kterých intervalech je funkce rostoucí, klesající, konstantní. Plně přitom využijeme tří pouček (vět) uvedených na začátku této kapitoly. V minulé kapitole jsme derivaci již určili
2(1 x 2 ) f '( x ) 2 ( x x 1) 2 C1) Protože jmenovatel je vždycky různý od nuly, má funkce f derivaci v každém bodě definičního oboru Df . C2) Derivace je rovna nule, právě když je roven nule čitatel vzorce a tedy musíme vyřešit rovnici 1 - x2 = 0 (1-x)(1+x)=0 která má očividně dvě řešení x1 = -1 a x2 = 1. V těchto bodech by mohly být nějaké extrémy. Možná. V každém případě si do tabulky zaznamenáme zjištěné skutečnosti – definiční obor derivace. Df Df’
-∞ -∞
+∞ +∞
+1 +1
-1 -1
C3) Abychom zjistili, kde je funkce f rostoucí a kde klesající, musíme řešit nerovnosti f'(x) > 0 a f'(x) < 0. Při řešení použijeme postupu, který jsme se naučili v kurzu Lineární rovnice a jejich soustavy. Nebo si uvědomíme, že jsme určili definiční obor derivace, který máme rozdělen na soustavu intervalů, v našem případě (-∞; -1), (-1; 1), (1; +∞). Znaménko derivace se nemůže v jednotlivých intervalech měnit. Kdyby se měnilo, na jednom konci bylo kladné a na druhém záporné, musela by někde mezitím být derivace rovna nule. (Toto tvrzení neplatí univerzálně, ale pro funkce, kterými se zabýváme na střední škole, platí.) Takže nám stačí určit znaménko v jednotlivých intervalech třeba dosazením vhodného čísla. Výsledek si zaznamenáme do tabulky. Df Df’ f’(x) f(x)
-∞ -∞
+∞ +∞
+1 +1
-1 -1
—
+
—
klesající
rostoucí
klesající
2(1 22 ) 6 f ' ( 2) 2 0 2 9 ( 2 2 1)
f’(0) = 2 > 0
f’(-2) < 0
Podle příslušné věty (poučky) jsme si do tabulky hned též zaznamenali, jak se funkce v jednotlivých intervalech chová.
C4) Z tabulky je již dobře vidět, že v bodě x = 1 musí být lokální maximum. Proč ? Protože zleva bodu x = 1 funkce roste, pak je extrém a pak napravo funkce klesá. Úkol: V bodě x = -1 má studovaná funkce f lokální maximum lokální minimum ani jedno ani druhé zpět
@040 Určete průsečíky grafu funkce f se souřadnými osami. Průsečík s osou y je bod [0; 1] protože f(0) = 1 Průsečíky grafu funkce f s osou x určíme řešením rovnice
x2 x 1 0 x2 x 1 Zlomek se rovná nule jen tehdy, rovná-li se nule čitatel. x2 + x + 1 = 0 Protože diskriminant D = 1 - 4 = -3 < 0 je záporný, znamená to, že rovnice nemá reálné řešení a tedy, že žádný průsečík s osou x neexistuje. (*) Vzhledem ke znalostem, které již máme, lze říci, že celý graf funkce f je nad osou x. Úkol: Jak byste odbornou terminologií vyjádřili tvrzení poslední věty označené (*)? výsledek zpět
@044 V průběhu výkladu ještě tabulku doplníme o některé další prvky. Důvodem, proč se tolik zabýváme funkcemi a proč pokládáme funkce za jeden z nejdůležitějších pojmů matematiky, je přehlednost a snadná použitelnost funkcí jako modelů reálného světa, který nás obklopuje. Ať ve fyzice či v ostatních přírodovědných oborech a stejně tak ve společenských oborech se vždy snažíme vztahy mezi veličinami svázat do jednoduchého vzorce - funkce. A když se nám to povede aspoň pro omezený interval jsme "šťastní jako blechy". Dává nám to totiž jistotu, dovoluje nám to spočítat si chování daného jevu. A když se nám to nepovede, vzýváme všechny dobré i zlé nadpřirozené bytosti, abychom se schovali pod jejich bezpečnostní plášť. Abychom my sami dokázali rozumět předkládaným vzorcům - zákonům ve fyzice, ekonomii a podobně, potřebujeme mít vzorkovnici funkcí, atlas funkcí, který by nám pomohl stejně jako atlas hub či motýlů. Když funkci v našem atlasu nalezneme, je nám automaticky jasné její chování a my víme, co můžeme očekávat. Začneme systematicky budovat atlas funkcí, kterým říkáme elementární funkce. zpět KONEC LEKCE
