XXVI. ASR '2001 Seminar, Instruments and Control, Ostrava, April 26 - 27, 2001
Paper 12
Vliv funkce příslušnosti na průběh fuzzy regulace DAVIDOVÁ, Olga Ing.,
Vysoké učení Technické v Brně, Fakulta strojního inženýrství, Ústav automatizace
a informatiky, Technická 2, 616 69 Brno,
[email protected]
Abstrakt: Příspěvek se zabývá faktory, které ovlivňují průběh regulace v regulačních obvodech, ve kterých je ve funkci regulátoru použit fuzzy PI nebo fuzzy PD regulátor. Práce je zaměřena zejména na vliv počtu, tvaru a rozložení funkcí příslušnosti v rámci normalizovaného univerza. Srovnání je provedeno pro různé typy regulovaných soustav. Regulační obvod je namodelován v Simulinku a fuzzy regulátory jsou realizovány pomocí Fuzzy Logic Toolboxu programového prostředí Matlab. Klíčová slova: fuzzy regulátor, fuzzy regulace, fuzzy množina, funkce příslušnosti
1 Úvod V současné době se stále více v oblasti řízení procesů vedle klasických PID regulátorů využívají také fuzzy regulátory. Jejich výhodou je možnost použití i tehdy, není-li znám vhodný model řízené soustavy či v případech, že řízené objekty vykazují značné nelinearity a metody klasické regulace nedávají dobré výsledky nebo vůbec není možné je použít.
2 Fuzzy regulace Fuzzy regulace je založena na teorii fuzzy množin. Každá množina je určena svou charakteristickou funkcí. Jestliže uvažujeme množinu A a univerzální množinu X, kterou nazýváme univerzum, pak charakteristická funkce označovaná µ A je definována jako zobrazení µ A : X → [0,1] V případě klasických (ostrých) množin mapuje tato charakteristická funkce body univerza do dvouprvkové množiny {0,1}, což znamená, že prvek x ∈ X buď do množiny A zcela patří nebo zcela nepatří. Pokud hovoříme o fuzzy množinách, pak se místo názvu charakteristická funkce používá termín funkce příslušnosti. Ta mapuje univerzum na celý interval <0,1>, takže každému bodu x je přiřazeno reálné číslo z tohoto intervalu, které vyjadřuje míru, s jakou prvek x náleží do množiny A. Pomocí fuzzy množin lze pracovat s veličinami, které nejsou uváděny v numerických hodnotách, ale v jazykové formě. V případě fuzzy regulace, kde jsou těmito veličinami regulační odchylka, její diference a akční veličina se používají funkce příslušnosti označované jazykovými proměnnými : „negativní velký“-NB, „negativní střední“-NM, „negativní malý“-NS, „nulový“-ZO, „pozitivní malý“-PS, „pozitivní střední“PM, „pozitivní velký“-PB. Zkrácené tvary jsou odvozeny z anglického překladu těchto názvů.
2.1 Fuzzy regulátor Blokové schéma fuzzy regulátoru (FR) je uvedeno na obrázku 1. Tento regulátor se skládá ze tří základních částí: • fuzzifikačního bloku • inferenčního bloku • deffuzifikačního bloku. -1-
Vstupními veličinami FR, kterými jsou hodnoty získané z řízeného procesu, jsou ostré hodnoty. Bývají to většinou regulační odchylka e, její první diference de, popř. druhá diference. Ve fuzzifikačním bloku se provádí normalizace, což je přepočet fyzikálních veličin řízeného systému do interní číselné reprezentace, která se nazývá normalizované univerzum, a dále pak vlastní proces fuzzifikace, při kterém se převádějí vstupní ostré hodnoty na fuzzy množiny. Inferenční blok se skládá z vlastního inferenčního mechanismu a báze pravidel. Báze pravidel je tvořena fuzzy pravidly ve tvaru IF antecendent THEN konsekvent. Antecendent tvoří podmínkovou a konsekvent důsledkovou část pravidla. Pomocí inferenčního mechanismu se určuje celková míra splnění podmínkové části pravidla a pomocí této hodnoty se vyvozuje (inferuje) míra aplikovatelnosti příslušného konsekventu. Jelikož k celkovému řešení může přispět několik pravidel, je třeba částečné výsledky agregovat. Jako agregační operátor se používá sjednocení fuzzy množin pomocí operátoru maximum. Výstupem inferenčního mechanismu je tedy fuzzy množina, která vstupuje do třetí části FR, deffuzifikačního bloku. Cílem deffuzifikace je z této fuzzy množiny získat ostrou hodnotu. Protože hodnota je ale vyjádřena v interní reprezentaci FR, je třeba ji ještě pomocí denormalizace přepočítat na fyzikální rozměr akční veličiny. Akční veličina u je výstupní veličinou FR. Aby mohl FR pracovat, je třeba naplnit bázi dat a bázi pravidel. Báze dat umožňuje správné fungování fuzzifikačního i deffuzifikačního bloku a báze pravidel. Obsahuje informace o funkcích příslušnosti vstupních a výstupních fuzzy množin, o jednotlivých univerzech vstupních a výstupních veličin a měřítcích použitých při normalizaci, resp. denormalizaci. V bázi pravidel je třeba definovat vstupní a výstupní veličiny, zvolit jejich hodnoty jazykových proměnných, určit obsah antecendentů a konsekventů fuzzy pravidel a sestavit tato pravidla.
Hodnoty z řízeného procesu
Hodnoty do řízeného procesu
FUZZY REGULÁTOR
Normalizace
Fuzzifikace FUZZIFIKA ČNÍ BLOK
INFERENČNÍ BLOK Inferenční mechanis mus Báze pravidel
Denormalizace
Deffu zifikace DEFFUZIFIKA ČNÍ BLOK
Báze dat
postup výpočtu
tok dat
Obrázek 1 – Blokové schéma fuzzy regulátoru
-2-
2.2 Faktory ovlivňující fuzzy regulaci Na průběh fuzzy regulačního pochodu, resp. procesu regulace s využitím fuzzy regulátoru, může mít vliv celá řada faktorů. Z hlediska vlastního fuzzy regulátoru, popsaného v přecházející kapitole, je to : • volba měřítka při normalizaci a denormalizaci • metoda použitá v inferenčním mechanismu • metoda použitá při deffuzifikaci • volba funkcí příslušnosti • volba jazykových proměnných • návrh báze pravidel V dalším části příspěvku je věnována pozornost volbě funkce příslušnosti. Pro tento účel byly namodelovány v Simulinku regulační obvody, jeden s fuzzy PI regulátorem a druhý s fuzzy PD regulátorem. Použité FR jsou regulátory Mamdaniho typu [4], které byly vytvořeny pomocí Fuzzy Logic Toolboxu. Z inferenčních metod byla vybrána metoda MIN-MAX a pro deffuzifikaci metoda těžiště [1]. Použitá tabulka báze pravidel má tvar uvedený v [3], který je pro sedm funkcí příslušnosti a z něj byla vytvořena modifikace pro pět funkcí příslušnosti. Pro testování byly zvoleny následující regulované soustavy : G1 (s ) =
1 (10s + 1)(s + 1)(s + 1)
G2 (s ) =
1 (s + 1)(s + 1)
G3 (s ) =
1 (10s + 1)(s + 1)
3 Vliv funkce příslušnosti Při posuzování vlivu funkce příslušnosti na průběh regulačního pochodu je třeba vzít v úvahu jednak volbu počtu funkcí příslušnosti, výšku hladiny průseku, dále pak tvar funkcí příslušnosti a v neposlední řadě i rozmístění těchto funkcí v rámci zvoleného univerza.
µ (e )
NB
NS
ZO
-1
průsečík 0
PS
PB
1 hladina průseku 0 1
Obrázek 2 – Rozložení funkcí příslušnosti
-3-
e
3.1 Počet funkcí příslušnosti Počet fuzzy množin nebo-li počet funkcí příslušnosti se volí jako liché číslo většinou 3, 5, nebo 7, případně 9. Větší hodnota je používána zcela výjimečně. Obrázek 2 ukazuje příklad rozložení funkcí příslušnosti s vyznačením důležitých bodů. Průběh regulačního procesu pro soustavu s přenosem G1(s) a fuzzy PD regulátor pro různý počet funkcí příslušnosti je uveden na obrázku 3. Ostatní sledované typy regulovaných soustav v kombinaci s fuzzy PI nebo fuzzy PD regulátorem vykazovaly obdobné výsledky. Na základě těchto skutečností lze jako nejvhodnější doporučit použití 5 nebo 7 funkcí příslušnosti. V dalším průběhu sledování je používáno 5 funkcí příslušnosti (obrázek 2), které jsou značeny symboly NB, NS, ZO, PS, PB. Význam těchto symbolů byl uveden v kapitole 2.
1 0.9
y(t)
0.8 0.7 0.6 0.5 0.4
3 funk c e přís luš nosti
0.3
5 funk c í přís luš nosti
0.2
7 funk c í přís luš nosti
0.1 0
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
t Obrázek 3 – Průběh regulace v závislosti na počtu funkcí příslušnosti
3.2 Výška hladiny průseku Jednotlivé fuzzy množiny reprezentující jazykové proměnné musí být v rámci univerza umístěny tak, aby jejich sjednocení jednak pokrylo celé univerzum a dále, aby žádný prvek univerza neměl hodnotu funkce příslušnosti rovnu nule. Pokud by existoval bod, který by nepatřil do žádné fuzzy množiny, pak by nebyl splněn antecendent žádného pravidla, tím by nebylo ani žádné pravidlo vyhodnoceno a v akčním zásahu by se objevila nespojitost. To znamená, že se jednotlivé funkce příslušnosti musí vzájemně překrývat. Jelikož funkce příslušnosti má výšku 1, je doporučována výška hladiny průseku 0,5 (obrázek 2). Tehdy je dosahováno nejlepších výsledků z hlediska regulace.
-4-
3.3 Tvar funkcí příslušnosti Funkce příslušnosti mohou mít různý tvar. Z hlediska snadnosti výpočtů se volí tvar co nejjednodušší, kdy jsou tyto funkce složeny z lineárních úseků. Nejčastěji používané tvary funkcí příslušnosti jsou Λ -funkce (trojúhelníková), Π -funkce (lichoběžníková), L-funkce, Γ -funkce. Při sledování bylo použito trojúhelníkového (obrázek 4) a lichoběžníkového tvaru (obrázek 5) funkce příslušnosti. Uvedené funkce lze popsat třemi (a,b,c), resp. čtyřmi (a,b,c,d) body. Dále pak pro srovnání byla vybrána také funkce příslušnosti, která nemá tvar skládající se z lineárních úseků, a to Gaussova křivka.
µ A (x )
µ A (x )
1
1
0
0 a
b
x
c
a
Obrázek 4 - Λ -funkce příslušnosti
b
c
d
x
Obrázek 5 - Π -funkce příslušnosti
1.4
1.2
y(t)
1
0.8
trojúhelník ový tvar
0.6
lichoběž níkový tvar 0.4 Gaus s ova k řivk a 0.2
0
0
25
50
75
100
125
150
t Obrázek 6 – Průběh regulace při použití fuzzy PI regulátoru a regulované soustavy G3(s)
-5-
1 0.9
y(t) 0.8 0.7 0.6 0.5
trojúhelník ový tvar
0.4
lichoběž níkový tvar
0.3 Gaus s ova k řivk a 0.2 0.1 0
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
t Obrázek 7 – Průběh regulace při použití fuzzy PD regulátoru a regulované soustavy G3(s) Stejné typy funkcí příslušnosti byly nastaveny jak u regulační odchylky e, její diference de i u akční veličiny u. Při použití fuzzy PI regulátoru lze výsledky u trojúhelníkové a Gaussovy funkce považovat za srovnatelné, lichoběžníkový tvar vykazoval výsledky horší a vznikala malá trvalá regulační odchylka. Průběh regulace pro fuzzy PI regulátor a regulovanou soustavu G3(s) zobrazuje zobrazují grafy uvedené na obrázku 6. Pro kombinace jednotlivých regulovaných soustav s fuzzy PD regulátorem byly nejlepší výsledky v případě trojúhelníkového tvaru funkce příslušnosti, dále pak lichoběžníkového, tvar Gaussovy křivky dával nejhorší průběh regulace. Spojení fuzzy PD regulátoru a soustavy G3(s) je uvedeno na obrázku 7. Další způsob testování spočíval ve srovnání trojúhelníkového tvaru a lichoběžníkového, kdy ale lichoběžníkový tvar byl zvolen buď pouze u regulační odchylky nebo pouze u diference regulační odchylky, případně akční veličiny. V regulačním obvodu s fuzzy PD regulátorem při použití lichoběžníkového tvaru u regulační odchylky došlo k nepatrnému zvětšení trvalé odchylky a v obvodu s fuzzy PI regulátorem k malé trvalé regulační odchylce. Tato u trojúhelníkového tvaru nebyla. Pokud byl lichoběžníkový tvar u diference regulační odchylky, pak především u obvodu s fuzzy PI regulátorem došlo k rozkmitání regulačního průběhu. Existuje ještě celá řada dalších možností kombinací v nastavování tvarů funkcí příslušnosti. Na základě získaných výsledků lze za nejvhodnější tvar funkce příslušnosti považovat trojúhelníkový tvar, jak ukazují výsledky znázorněné na obrázcích 6 a 7.
3.4 Rozložení funkcí příslušnosti v rámci univerza Rozložení funkcí příslušnosti v rámci normalizovaného univerza může být buď symetrické nebo nesymetrické. Pro sledování bylo použito symetrické rozložení zobrazené na obrázku 8 a nesymetrické rozložení se zhuštěním funkcí příslušnosti NS a PS, které je uvedeno na obrázku 9. V obou případech jsou použity trojúhelníkové tvary funkcí příslušnosti. -6-
NB
NS
ZO
PS
PB
NB
1
NS ZO PS
PB
1
0
0
-1
0
1
-1
Obrázek 8 – Symetrické rozložení
0
1
Obrázek 9 – Rozložení se zhuštěnými funkcemi
Cílem bylo zjistit, zda zhuštění funkcí příslušnosti v oblasti nuly ovlivňuje průběh regulačního procesu, přičemž toho zhuštění bylo aplikováno buď pro vstupní veličinu e , vstupní veličinu de nebo výstupní veličinu u. Při použití fuzzy PD regulátoru došlo k výraznému zlepšení regulačního pochodu zhuštěním funkcí příslušnosti regulační odchylky e, zhuštění u diference regulační odchylky de je srovnatelné se symetrickým rozložením funkcí příslušnosti. Zhuštění u akční veličiny u se jeví jako nevhodné. Příklad těchto průběhů ukazují grafy uvedené na obrázku 10, kde je použit fuzzy PD regulátor a regulovaná soustava G3(s).
1 0.9
y(t)
0.8 0.7 0.6 0.5
s y m etric ké roz lož ení
0.4
z huš tění e
0.3 z huš tění de 0.2 z huš tění u 0.1 0
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
t Obrázek 10 - Porovnání symetrického a nesymetrického rozložení funkcí příslušnosti pro fuzzy PD regulátor
-7-
1.4
1.2
y(t)
1
0.8
s y m etric k é roz lož ení
0.6
z huštění e 0.4
z huštění de z huštění u
0.2
0
0
25
50
75
100
125
150
t Obrázek 11 - Porovnání symetrického a nesymetrického rozložení funkcí příslušnosti pro fuzzy PI regulátor Při použití fuzzy PI regulátoru dává nejlepší výsledky regulační proces se zhuštěnými funkcemi příslušnosti u diference odchylky de, vede k podstatnému zlepšení z hlediska kmitání a i z hlediska rychlosti ustálení. Zhuštění u akční veličiny u je téměř srovnatelné se symetrickým rozložením. Zhuštění u regulační odchylky e vede k silnému rozkmitání a značně prodlužuje dobu ustálení regulačního pochodu, a proto není vhodné. Průběhy uvedené na obrázku 11 znázorňují fuzzy PI regulátor a regulovanou soustavu G3(s).
4 Shrnutí výsledků Na základě získaných výsledků lze konstatovat, že volba funkcí příslušnosti má vliv na průběh fuzzy regulačního procesu. Vhodným nastavením počtu funkcí příslušnosti, jejich tvaru a rozložením těchto funkcí v rámci normalizovaného univerza lze docílit podstatného zlepšení průběhu regulačního pochodu. Z hlediska počtu funkcí příslušnosti je jeví jako nejvhodnější počet 5 nebo 7. Pokud jde o tvar funkce příslušnosti, lze s úspěchem použít jednoduchý lichoběžníkový tvar, který vykazoval nejlepší výsledky. Jedná-li se o rozložení funkcí příslušnosti v rámci normalizovaného univerza, zde již záleží rovněž na použitém typu fuzzy regulátoru. V případě fuzzy PI regulátoru dávalo lepší výsledky zhuštění funkcí příslušnosti u diference regulační odchylky, u fuzzy PD regulátoru pak zhuštění u regulační odchylky. Spolu s vhodnou volbou dalších faktorů ovlivňujících fuzzy regulaci, jako je nastavení normalizovaného univerza, volba inferenčního mechanismu, deffuzifikační metody a v neposlední řadě i báze pravidel, lze fuzzy regulátory využít jako vhodné prostředky pro řízení technologických procesů, a to i v případech složitějších regulovaných soustav nebo regulovaných soustav obsahujících nelinearity.
-8-
5 Literatura [1] [2] [3] [4]
JURA, P., 1998. Základy fuzzy logiky pro řízení a modelování. Brno : FEI VUT v Brně, 1998 KOLEKTIV., 1998. Fuzzy Logic Toolbox. Natick : The Math Works, Inc., 1998 PIVOŇKA, P., 1997. Fuzzy regulátory. příloha časopisu Automatizace, ročník 1997 VYSOKÝ, P. 1995. Fuzzy řízení. Praha : FE ČVUT Praha, 1995
Poznámka : Příspěvek vznikl v rámci výzkumného záměru CEZ:J22/98:260000013 Automatizace technologií a výrobních procesů
-9-
