Logaritmická funkce Pˇríklady k procviˇcení grafu˚ logaritmických funkcí
Funkce Logaritmická funkce
Mgr. Tomáš Pavlica, Ph.D. Gymnázium Uherské Hradišteˇ
Digitální uˇcební materiály, 2012-14
Logaritmická funkce Pˇríklady k procviˇcení grafu˚ logaritmických funkcí
Obsah
1
Logaritmická funkce pˇredpis funkce a ukázky grafu˚ srovnání grafu˚ exponenciální a logaritmické funkce pˇrirozený a dekadický logaritmus urˇcení definiˇcní oboru u logaritmické funkce
2
Pˇríklady k procviˇcení grafu˚ logaritmických funkcí
Logaritmická funkce Pˇríklady k procviˇcení grafu˚ logaritmických funkcí
pˇredpis funkce a ukázky grafu˚ srovnání grafu˚ exponenciální a logaritmické funkce pˇrirozený a dekadický logaritmus urˇcení definiˇcní oboru u logaritmické funkce
Logaritmická funkce
Logaritmická funkce f se základem a je dána pˇredpisem f : y = loga x, kde a > 0, a 6= 1, Df = (0; +∞). Je to inverzní funkce k exponenciální funkci o stejném základu a. Tedy y = loga x ⇔ x = ay Grafem logaritmické funkce je logaritmická kˇrivka. Tato kˇrivka je bud’ rostoucí anebo klesající v celém definiˇcním oboru.
Logaritmická funkce Pˇríklady k procviˇcení grafu˚ logaritmických funkcí
pˇredpis funkce a ukázky grafu˚ srovnání grafu˚ exponenciální a logaritmické funkce pˇrirozený a dekadický logaritmus urˇcení definiˇcní oboru u logaritmické funkce
Logaritmická funkce Ukázky grafu˚ logaritmických funkcí f : y = loga x a > 1 f : y = ax
0
2
2
a= 13 a= 14
5
5
10 a=2
−2
a=3 a=4
−2
10
Logaritmická funkce Pˇríklady k procviˇcení grafu˚ logaritmických funkcí
pˇredpis funkce a ukázky grafu˚ srovnání grafu˚ exponenciální a logaritmické funkce pˇrirozený a dekadický logaritmus urˇcení definiˇcní oboru u logaritmické funkce
Logaritmická funkce Ukázky grafu˚ logaritmických funkcí a pˇríslušných exponenciálních funkcí f : y = log2 x
f −1 : y = 2x
10 f f −1
pro základ a > 1 jsou obeˇ funkce rostoucí
5
−5
5 −5
10
mají navzájem prohozený definiˇcní obor s oborem hodnot funkce
Logaritmická funkce Pˇríklady k procviˇcení grafu˚ logaritmických funkcí
pˇredpis funkce a ukázky grafu˚ srovnání grafu˚ exponenciální a logaritmické funkce pˇrirozený a dekadický logaritmus urˇcení definiˇcní oboru u logaritmické funkce
Logaritmická funkce Ukázky grafu˚ logaritmických funkcí a pˇríslušných exponenciálních funkcí f : y = log 1 x
f −1 : y =
2
1x 2
10 f f −1
pro základ 0 < a < 1 jsou obeˇ funkce klesající
5
−5
5 −5
10
mají navzájem prohozený definiˇcní obor s oborem hodnot funkce
Logaritmická funkce Pˇríklady k procviˇcení grafu˚ logaritmických funkcí
pˇredpis funkce a ukázky grafu˚ srovnání grafu˚ exponenciální a logaritmické funkce pˇrirozený a dekadický logaritmus urˇcení definiˇcní oboru u logaritmické funkce
Logaritmická funkce f : y = ln x Pˇrirozený logaritmus je to logaritmus, jehož základem je Eulerovo . cˇ íslo e = 2,718281828 má své vlastní oznaˇcení, tj. místo f : y = loge x píšeme f : y = ln x.
2 1 e −2
5
e2
10
Logaritmická funkce Pˇríklady k procviˇcení grafu˚ logaritmických funkcí
pˇredpis funkce a ukázky grafu˚ srovnání grafu˚ exponenciální a logaritmické funkce pˇrirozený a dekadický logaritmus urˇcení definiˇcní oboru u logaritmické funkce
Logaritmická funkce f : y = log x Dekadický logaritmus je to logaritmus, jehož základem je cˇ íslo 10
2 1
má své vlastní oznaˇcení, tj. místo f : y = log10 x píšeme f : y = log x.
5 −2
10
Logaritmická funkce Pˇríklady k procviˇcení grafu˚ logaritmických funkcí
pˇredpis funkce a ukázky grafu˚ srovnání grafu˚ exponenciální a logaritmické funkce pˇrirozený a dekadický logaritmus urˇcení definiˇcní oboru u logaritmické funkce
Pˇríklady urˇcení definiˇcního oboru logaritmické funkce
Urˇcete definiˇcní obory logaritmických funkcí g1 až g4 . g1 : y = log2 x g2 : y = log2 (x + 3) 1 g3 : y = log3 x − 1 p g4 : y = log(x − 1)
Logaritmická funkce Pˇríklady k procviˇcení grafu˚ logaritmických funkcí
pˇredpis funkce a ukázky grafu˚ srovnání grafu˚ exponenciální a logaritmické funkce pˇrirozený a dekadický logaritmus urˇcení definiˇcní oboru u logaritmické funkce
ˇ Rešení pˇríkladu˚ na urˇcení definiˇcního oboru logaritmické funkce g1 : y = log2 x 4 2 2 −2 −4
4
argumentem logaritmu mohou být pouze kladná reálná cˇ ísla, tedy x > 0, Dg1 = R+ .
Logaritmická funkce Pˇríklady k procviˇcení grafu˚ logaritmických funkcí
pˇredpis funkce a ukázky grafu˚ srovnání grafu˚ exponenciální a logaritmické funkce pˇrirozený a dekadický logaritmus urˇcení definiˇcní oboru u logaritmické funkce
ˇ Rešení pˇríkladu˚ na urˇcení definiˇcního oboru logaritmické funkce g2 : y = log2 (x + 3) 4
argumentem logaritmu mohou být pouze kladná reálná cˇ ísla, tj. x + 3 > 0, Dg2 = (−3; +∞).
2 −4
−2
2 −2 −4
Poznámka: graf funkce g2 získáme posunutím grafu funkce g1 o hodnotu 3 doleva.
Logaritmická funkce Pˇríklady k procviˇcení grafu˚ logaritmických funkcí
pˇredpis funkce a ukázky grafu˚ srovnání grafu˚ exponenciální a logaritmické funkce pˇrirozený a dekadický logaritmus urˇcení definiˇcní oboru u logaritmické funkce
ˇ Rešení pˇríkladu˚ na urˇcení definiˇcního oboru logaritmické funkce g3 : y =
1 log3 x − 1
Poznámka: Je tˇreba rozlišit log3 x − 1 s D = (0; +∞) od log3 (x − 1) s D = (1; +∞).
4
Aby g3 byla definována musí platit:
2 3
5
10
−2 g3 : y =
−4
1 log3 x − 1
h : y = log3 x − 1
1
x >0
2
log3 x − 1 6= 0, tj. log3 x 6= 1 ⇒ x 6= 3
Tedy Dg3 = R+ − {3}.
Logaritmická funkce Pˇríklady k procviˇcení grafu˚ logaritmických funkcí
pˇredpis funkce a ukázky grafu˚ srovnání grafu˚ exponenciální a logaritmické funkce pˇrirozený a dekadický logaritmus urˇcení definiˇcní oboru u logaritmické funkce
ˇ Rešení pˇríkladu˚ na urˇcení definiˇcního oboru logaritmické funkce g4 : y = 2
p log(x − 1) Aby g4 byla definována musí platit:
1
1
5
10 p
log(x − 1)
h : y = log(x − 1)
−2
x − 1 > 0, tj x > 1
2
log(x − 1) ≥ 0, tj. (x − 1) ≥ 1 ⇒ x ≥ 2
Tedy Dg4 = h2; +∞).
−1 g4 : y =
1
Logaritmická funkce Pˇríklady k procviˇcení grafu˚ logaritmických funkcí
ˇrešení pˇríkladu˚ k procviˇcení grafu˚ logaritmických funkcí
Pˇríklady k procviˇcení grafu˚ logaritmických funkcí
ˇ grafy následujících logaritmických funkcí h1 až h6 Naˇcrtnete v kartézské soustaveˇ souˇradnic. Urˇcete definiˇcní obor, obor funkˇcních hodnot a pruseˇ ˚ cíky pˇríslušného grafu s osami ox a oy . h1 : y = log2 (x + 1)
h4 : y = log 1 (x − 1)
h2 : y = log2 (x + 1) − 2
h5 : y = log 1 (x − 1) + 1
h3 : y = |log2 (x +1)−2|
h6 : y = | log 1 (x − 1) + 1|
2 2
2
Logaritmická funkce Pˇríklady k procviˇcení grafu˚ logaritmických funkcí
ˇrešení pˇríkladu˚ k procviˇcení grafu˚ logaritmických funkcí
ˇ Rešení pˇríkladu˚ k procviˇcení grafu˚ logaritmických funkcí h1 : y = log2 (x + 1) Dh1 = (−1; +∞)
4 2
Hh1 = (−∞; +∞) pro y = 0 je ˇrešením rovnice 0 = log2 (x + 1) cˇ íslo x = 0. Pruseˇ ˚ cík s ox je [0; 0]. pro x = 0 je ˇrešením rovnice y = log2 (0 + 1) cˇ íslo y = 0. Pruseˇ ˚ cík s oy je [0; 0].
−2−1 −2 −4
2
4
6
8
Logaritmická funkce Pˇríklady k procviˇcení grafu˚ logaritmických funkcí
ˇrešení pˇríkladu˚ k procviˇcení grafu˚ logaritmických funkcí
ˇ Rešení pˇríkladu˚ k procviˇcení grafu˚ logaritmických funkcí h1 : y = log2 (x + 1) Dh1 = (−1; +∞)
4 2
Hh1 = (−∞; +∞) pro y = 0 je ˇrešením rovnice 0 = log2 (x + 1) cˇ íslo x = 0. Pruseˇ ˚ cík s ox je [0; 0]. pro x = 0 je ˇrešením rovnice y = log2 (0 + 1) cˇ íslo y = 0. Pruseˇ ˚ cík s oy je [0; 0].
−2−1 −2 −4
2
4
6
8
Logaritmická funkce Pˇríklady k procviˇcení grafu˚ logaritmických funkcí
ˇrešení pˇríkladu˚ k procviˇcení grafu˚ logaritmických funkcí
ˇ Rešení pˇríkladu˚ k procviˇcení grafu˚ logaritmických funkcí h2 : y = log2 (x + 1) − 2 Dh2 = (−1; +∞)
4 2
Hh2 = (−∞; +∞) pro y = 0 je ˇrešením rovnice 0 = log2 (x + 1) − 2 cˇ íslo x = 3. Pruseˇ ˚ cík s ox je [3; 0].
−2−1
pro x = 0 je ˇrešením rovnice y = log2 (0 + 1) − 2 cˇ íslo y = −2. Pruseˇ ˚ cík s oy je [0; −2].
−4
−2
2
4
6
8
Logaritmická funkce Pˇríklady k procviˇcení grafu˚ logaritmických funkcí
ˇrešení pˇríkladu˚ k procviˇcení grafu˚ logaritmických funkcí
ˇ Rešení pˇríkladu˚ k procviˇcení grafu˚ logaritmických funkcí h2 : y = log2 (x + 1) − 2 Dh2 = (−1; +∞)
4 2
Hh2 = (−∞; +∞) pro y = 0 je ˇrešením rovnice 0 = log2 (x + 1) − 2 cˇ íslo x = 3. Pruseˇ ˚ cík s ox je [3; 0].
−2−1
pro x = 0 je ˇrešením rovnice y = log2 (0 + 1) − 2 cˇ íslo y = −2. Pruseˇ ˚ cík s oy je [0; −2].
−4
−2
2
4
6
8
Logaritmická funkce Pˇríklady k procviˇcení grafu˚ logaritmických funkcí
ˇrešení pˇríkladu˚ k procviˇcení grafu˚ logaritmických funkcí
ˇ Rešení pˇríkladu˚ k procviˇcení grafu˚ logaritmických funkcí h3 : y = | log2 (x + 1) − 2|
4
Dh3 = (−1; +∞)
2
Hh3 = h0; +∞) pro y = 0 je ˇrešením rovnice 0 = | log2 (x + 1) − 2| cˇ íslo x = 3. Pruseˇ ˚ cík s ox je [3; 0]. pro x = 0 je ˇrešením rovnice y = | log2 (0 + 1) − 2| cˇ íslo y = 2. Pruseˇ ˚ cík s oy je [0; 2].
−2−1 −2 −4
2
4
6
8
Logaritmická funkce Pˇríklady k procviˇcení grafu˚ logaritmických funkcí
ˇrešení pˇríkladu˚ k procviˇcení grafu˚ logaritmických funkcí
ˇ Rešení pˇríkladu˚ k procviˇcení grafu˚ logaritmických funkcí h3 : y = | log2 (x + 1) − 2|
4
Dh3 = (−1; +∞)
2
Hh3 = h0; +∞) pro y = 0 je ˇrešením rovnice 0 = | log2 (x + 1) − 2| cˇ íslo x = 3. Pruseˇ ˚ cík s ox je [3; 0]. pro x = 0 je ˇrešením rovnice y = | log2 (0 + 1) − 2| cˇ íslo y = 2. Pruseˇ ˚ cík s oy je [0; 2].
−2−1 −2 −4
2
4
6
8
Logaritmická funkce Pˇríklady k procviˇcení grafu˚ logaritmických funkcí
ˇrešení pˇríkladu˚ k procviˇcení grafu˚ logaritmických funkcí
ˇ Rešení pˇríkladu˚ k procviˇcení grafu˚ logaritmických funkcí h4 : y = log 1 (x − 1) 2
Dh4 = (1; +∞) Hh4 = (−∞; +∞) pro y = 0 je ˇrešením rovnice 0 = log 1 (x − 1) 2 cˇ íslo x = 2. Pruseˇ ˚ cík s ox je [2; 0]. hodnota x = 0 leží mimo definiˇcní obor funkce. Pruseˇ ˚ cík s oy neexistuje.
4 2
1 2 −2 −4
4
6
8
10
Logaritmická funkce Pˇríklady k procviˇcení grafu˚ logaritmických funkcí
ˇrešení pˇríkladu˚ k procviˇcení grafu˚ logaritmických funkcí
ˇ Rešení pˇríkladu˚ k procviˇcení grafu˚ logaritmických funkcí h4 : y = log 1 (x − 1) 2
Dh4 = (1; +∞) Hh4 = (−∞; +∞) pro y = 0 je ˇrešením rovnice 0 = log 1 (x − 1) 2 cˇ íslo x = 2. Pruseˇ ˚ cík s ox je [2; 0]. hodnota x = 0 leží mimo definiˇcní obor funkce. Pruseˇ ˚ cík s oy neexistuje.
4 2
1 2 −2 −4
4
6
8
10
Logaritmická funkce Pˇríklady k procviˇcení grafu˚ logaritmických funkcí
ˇrešení pˇríkladu˚ k procviˇcení grafu˚ logaritmických funkcí
ˇ Rešení pˇríkladu˚ k procviˇcení grafu˚ logaritmických funkcí h5 : y = log 1 (x − 1) + 1 2
Dh5 = (1; +∞) Hh5 = (−∞; +∞) pro y = 0 je ˇrešením rovnice 0 = log 1 (x − 1) + 1 2 cˇ íslo x = 3. Pruseˇ ˚ cík s ox je [3; 0]. hodnota x = 0 leží mimo definiˇcní obor funkce. Pruseˇ ˚ cík s oy neexistuje.
4 2
1 2 −2 −4
4
6
8
10
Logaritmická funkce Pˇríklady k procviˇcení grafu˚ logaritmických funkcí
ˇrešení pˇríkladu˚ k procviˇcení grafu˚ logaritmických funkcí
ˇ Rešení pˇríkladu˚ k procviˇcení grafu˚ logaritmických funkcí h5 : y = log 1 (x − 1) + 1 2
Dh5 = (1; +∞) Hh5 = (−∞; +∞) pro y = 0 je ˇrešením rovnice 0 = log 1 (x − 1) + 1 2 cˇ íslo x = 3. Pruseˇ ˚ cík s ox je [3; 0]. hodnota x = 0 leží mimo definiˇcní obor funkce. Pruseˇ ˚ cík s oy neexistuje.
4 2
1 2 −2 −4
4
6
8
10
Logaritmická funkce Pˇríklady k procviˇcení grafu˚ logaritmických funkcí
ˇrešení pˇríkladu˚ k procviˇcení grafu˚ logaritmických funkcí
ˇ Rešení pˇríkladu˚ k procviˇcení grafu˚ logaritmických funkcí h6 : y = | log 1 (x − 1) + 1| 2
Dh6 = (1; +∞) Hh6 = h0; +∞) pro y = 0 je ˇrešením rovnice 0 = | log 1 (x − 1) + 1| cˇ íslo 2 x = 3. Pruseˇ ˚ cík s ox je [3; 0]. hodnota x = 0 leží mimo definiˇcní obor funkce. Pruseˇ ˚ cík s oy neexistuje.
4 2
1 2 −2 −4
4
6
8
10
Logaritmická funkce Pˇríklady k procviˇcení grafu˚ logaritmických funkcí
ˇrešení pˇríkladu˚ k procviˇcení grafu˚ logaritmických funkcí
ˇ Rešení pˇríkladu˚ k procviˇcení grafu˚ logaritmických funkcí h6 : y = | log 1 (x − 1) + 1| 2
Dh6 = (1; +∞) Hh6 = h0; +∞) pro y = 0 je ˇrešením rovnice 0 = | log 1 (x − 1) + 1| cˇ íslo 2 x = 3. Pruseˇ ˚ cík s ox je [3; 0]. hodnota x = 0 leží mimo definiˇcní obor funkce. Pruseˇ ˚ cík s oy neexistuje.
4 2
1 2 −2 −4
4
6
8
10
Pˇríloha
Seznam použité literatury
Seznam použité literatury I
PETÁKOVÁ, Jindra. Matematika: pˇríprava k maturiteˇ a pˇrijímacím zkouškám na vysoké školy. 1. vyd. Praha: Prometheus, 1998, 303 s. Uˇcebnice pro stˇrední školy (Prometheus). ISBN 80-719-6099-3. POLÁK, Josef. Stˇredoškolská matematika v úlohách I: pˇríprava k maturiteˇ a k pˇrijímacím zkouškám na vysoké školy. 1. vyd. Praha: Prometheus, 1996, 344 s. Uˇcebnice pro stˇrední školy (Prometheus). ISBN 80-719-6021-7.
