Učební dokument
FUNKCE Vyšetřování průběhu funkce Mgr. Petra MIHULOVÁ
4.roč.
Evropský sociální fond
Praha a EU – Investujeme do vaší budoucnosti
Vyšetřování přůbehů fůnkce á šeštřojení jejího gřáfů Určování význačných vlastností funkcí a) Monotónnost funkce
Je-li funkce f(x) spojitá na intervalu ⟨ platí:
⟩ a má v každém bodě intervalu (a, b) derivaci, pak
⟩ jestliže f´(x)=0 pro každé Funkce f(x) je KONSTANTNÍ na intervalu ⟨ ⟩ jestliže Funkce f(x) je NEKLESAJÍCÍ na intervalu ⟨ pro každé ⟩ Funkce f(x) je NEROSTOUCÍ na intervalu ⟨ pro každé ⟩ jestliže Funkce f(x) je ROSTOUCÍ na intervalu ⟨ pro každé ⟩ jestliže Funkce f(x) je KLESAJÍCÍ na intervalu ⟨ pro každé
. . . . .
b) Lokální extrémy funkce Má-li funkce f(x) v bodě x0 lokální extrém, pak buď derivace f´(x0) neexistuje, nebo f´(x0)=0. V bodě x0 s vlastností f´(x0)=0 může, ale nemusí mít f(x) lokální extrém. Říkáme proto, že každý STACIONÁRNÍ BOD x0 (bod, pro který je f´(x0)=0) je PODEZŘELÝ Z EXTRÉMU. Jestliže derivace funkce f(x) v bodě x0 nemění znaménko, nemá funkce f(x) v tomto bodě lokální extrém. Při určování charakteru stacionárního bodu se rozhodujeme podle znaménka u f´´(x) Nechť f´(x0)=0 a nechť existuje druhá derivace f´´(x0), pak: Je-li f´´(x0) 0, pak má funkce f(x) v bodě x0 LOKÁLNÍ MINIMUM. Je-li f´´(x0) 0, pak má funkce f(x) v bodě x0 LOKÁLNÍ MAXIMUM. c) Konvexnost a konkávnost funkce (konvexní = vypuklý, konkávní = vydutý)
Je-li funkce f(x) spojitá na na intervalu ⟨ funkce f(x) je:
⟩ a má v intervalu (a, b) druhou derivaci, pak
⟩ právě tehdy, když f´´(x) KONVEXNÍ na ⟨ pro každé ⟩ právě tehdy, když f´´(x) RYZE KONVEXNÍ na ⟨ pro každé ⟩ právě tehdy, když f´´(x) KONKÁVNÍ na ⟨ pro každé ⟩ právě tehdy, když f´´(x) RYZE KONKÁVNÍ na ⟨ pro každé
d) Inflexní body grafu funkce Je-li f´´(x0) , pak říkáme, že bod x0 je podezřelý z inflexe. Inflexní bod je takový bod x0, ve kterém funkce f(x) přechází z konvexní na konkávní nebo obráceně. Mění-li druhá derivace v bodě x0 znaménko, bod x0 je INFLEXNÍM BODEM funkce f(x). e) Asymptoty grafu funkce Asymptoty y = kx + q se nazývají ASYMPTOTY SE SMĚRNICÍ, když existují vlastní limity [
] [
]
Asymptoty x = x0 rovnoběžné s osou y se nazývají ASYMPTOTY BEZ SMĚRNICE, když platí:
Postup při vyšetřování průběhu funkce a sestrojení grafu: Určíme D(f) 2. Určíme body nespojitosti 3. Určíme průsečíky s osami souřadnic 4. Určíme stacionární body 5. Určíme intervaly, na kterých je funkce rostoucí a klesající 6. Určíme charakter stacionárních bodů 7. Určíme intervaly, na nichž je funkce konkávní a konvexní 8. Určíme inflexní body 9. Určíme asymptoty 10. Určíme další vlastnosti funkce 11. Určíme několik bodů, které leží na grafu funkce 12. Sestrojíme graf 13. Určíme H(f). 1.
Řešené příklady: Př.1: Vyšetřete průběh funkce: Řešení: funkci upravíme do tvaru součinu 1. D(f)=R 2. body nespojitosti nejsou 3. průsečíky: Py [0,0] (dosadíme do rovnice
za x nulu a vypočítáme y)
Px1 [-3, 0] a Px2 [0, 0] (dosadíme do rovnice vypočítáme x)
za y nulu a
4. určíme stacionární body vypočtením derivace funkce body je derivace rovna nule:
a zjištěním, pro které
stacionární body jsou tedy x1 = -3 a x2 = -1 5. určíme intervaly, na kterých je funkce rostoucí nebo klesající:
-3
-1
6. charakter stacionárních bodů – maximum, minimum: vypočítáme druhou derivaci funkce f(x) a zjistíme její hodnotu ve stacionárních bodech
Určíme hodnoty f(x) ve stacionárních bodech: f(-3)=0 a f(-1)=-4
7. určíme, na kterých intervalech je funkce konvexní nebo konkávní: …
…. funkce je konvexní na intervalu
…
…. funkce je konkávní na intervalu
8. určíme inflexní body: ………… f(-2) = -2 9. Asymptoty nejsou 10. Funkce není ani sudá, ani lichá, ani periodická 11. Další body nepotřebujeme 12. Zakreslíme graf ze známých bodů a vlastností Py [0,0], Px1 [-3, 0], Px2 [0,0], [-3,0], [-1, -4], [-2, -2] 8 6 4 2
4
3
2
1
1
2
2 4
[
13. H(f)=R
]
3
Př.2 Vyšetřete průběh funkce: 1. D(f)=R-{0} 2. Bod nespojitosti je x=0 …….. asymptota bez směrnice je a1: x=0 3. průsečíky: Py není, Px není 4.
…….. stacionární body jsou tedy x1 = -1 a x2 = +1
5.
-1
0
6.
f(-1)=-2 a f(1)=2 7. …………
…………..funkce je konvexní na intervalu
…………
…………..funkce je konkávní na intervalu
8. určíme inflexní body: …………
….. inflexní body nejsou
9. Asymptoty: asymptota bez směrnice: a1: x=0 (viz. bod 2) asymptota se směrnicí:
a2: y=x
1
10. Funkce je lichá 11. Další body nepotřebujeme 12. Zakreslíme graf ze známých bodů a vlastností:
6
4
2
6
4
2
2 2
4
6
[
13.
]
4
6
Př.3: Zakreslete graf funkce:
pomocí programu „MATHEMATICA“ :
Pomocí příkazu „Plot“ zakreslíme graf: [
]
4
2
4
2
2
2
4 Ověřte výpočtem Pomůcka: kořeny kubické rovnice zjistíme pomocí programu MATHEMATICA a funkci zapíšeme v součinovém tvaru: [
]
4
