Funkce Vypracovala: Mgr. Zuzana Kopečková
Název školy
Obchodní akademie a Střední odborné učiliště, Veselí nad Moravou
Název a číslo projektu
Motivace žáků ke studiu technických předmětů OP Vzdělávání pro konkurenceschopnost Registrační číslo: CZ.1.07/1.1.16/01.0065
Název modulu
Matematika jinak
Re al izát or e m to h oto p r oje ktu j e Ob ch od n í ak ad e mi e a St ř ed n í od b o rn é u či li št ě V e se lí n ad Mor a vou Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky
Pracovní list č. 9 Funkce Jedním z nejdůležitějších pojmů v matematice je pojem funkce. S tímto pojmem je spojena představa závislosti mezi jevy. Pojem funkce není používán jen v matematice, ale je základem i prostředkem aplikací matematiky ve všech vědních oborech, kde se jí používá. Definice: Nechť je neprázdná množina čísel a neprázdná množina čísel y. Je-li každému číslu přiřazeno podle určitého předpisu právě jedno číslo , říkáme, že je množině definována funkce . Zapisujeme Množina A se nazývá definiční obor funkce f. Množina přiřazených čísel z množiny B se nazývá obor hodnot funkce f. Způsoby zadání funkcí 1. Tabulkou 2. Grafem 3. Slovním popisem 4. Jako obor pravdivosti rovnice (funkčním předpisem) Základní vlastnosti funkcí - Monotónnost funkce, funkce prostá (rostoucí, klesající, nerostoucí, neklesající) - Omezenost funkce (zdola omezená, shora omezená, omezená) - Sudá a lichá funkce - Minima a maxima funkce - Periodická a inverzní funkce Definice: Grafem funkce o souřadnicích .
v pravoúhlé soustavě souřadnic je množina všech bodů
Elementární funkce: I. Algebraické 1. Racionální funkce a) Polynomické funkce b) Lomené racionální funkce 2. Iracionální funkce II. Transcendentní (nealgebraické funkce) Na střední škole se podrobně probírají funkce elementární a to funkce lineární, kvadratická, mocninné, nepřímá úměrnost, lineární lomená, exponenciální, logaritmická a goniometrické. Pomocí různých programů lze funkce sestrojit, určovat jejich vlastnosti, měnit jejich parametry a sledovat, jak se mění průběh funkce. V pracovním listu byly použity programy GeoGebra a Funkce. Oba programy jsou volně stažitelné a tedy pro studenty snadno dostupné. Studenti si mohou sestrojit i více grafů do jednoho obrázku a manipulovat s nimi.
strana 2
Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je Mgr. Zuzana Kopečková
Prostředí programů a) Program Funkce
b) Program Geogebra
strana 3
Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je Mgr. Zuzana Kopečková
1. Lineární funkce Lineární funkce je každá funkce, která je daná předpisem Grafem lineární funkce je přímka. Příklad: sestrojte graf funkce (monotónnost) v závislosti na parametru a. a) Program Funkce
, kde
. Sledujte, jak se mění vlastnosti funkce
b) Program GeoGebra Vstup: 2 / 5 x - 1 / 3
strana 4
Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je Mgr. Zuzana Kopečková
2. Kvadratická funkce Kvadratickou funkcí nazýváme každou funkci danou předpisem kde a Grafem funkce je parabola. Osa paraboly je rovnoběžná s osou . Průsečík paraboly a osy paraboly se nazývá vrchol V paraboly. Příklad: Sestrojte graf funkce (monotónnost) v závislosti na parametru a, b, c. a) Program Funkce
. Sledujte, jak se mění vlastnosti funkce
b) Program GeoGebra Vstup: x^2-4 x-5
strana 5
Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je Mgr. Zuzana Kopečková
3. Lineární lomená funkce Lineární lomená funkce je každá funkce daná předpisem
, kde
a
Grafem je rovnoosá hyperbola, která má střed v bodě a její asymptoty procházejí tímto středem. Asymptoty jsou rovnoběžné s jednotlivými osami soustavy souřadnic a mají rovnice a . Příklad: Sestrojte graf funkce . Sledujte, jak se mění vlastnosti funkce (monotónnost) v závislosti na parametru a, b, c, d. a) Program Funkce
b) Program GeoGebra Vstup: (5 x+1)/(x-2)
strana 6
Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je Mgr. Zuzana Kopečková
4. Lineární funkce s absolutní hodnotou Lineární funkce s absolutními hodnotami jsou takové lineární funkce, které mají v předpisu funkce jednu nebo více absolutních hodnot, ve kterých jsou výrazy s proměnnou. Příklad: Sestrojte graf funkce změně koeficientů a, b. a) Program Funkce
. Sledujte, jak se mění vlastnosti funkce při
b) Program GeoGebra Vstup: abs(2 x+5)
strana 7
Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je Mgr. Zuzana Kopečková
5. Mocninná funkce Mocninná funkce je funkce určená předpisem . Mocninné funkce dělíme podle mocnitele na mocninné funkce s přirozeným mocnitelem sudým a lichým, mocninné funkce se záporným celočíselným mocnitelem sudým a lichým. Příklad: Sestrojte graf funkce . Sledujte, jak se mění vlastnosti funkce při změně koeficientů exponentů. a) Program Funkce
b) Program GeoGebra Vstup: (x+1)^3
strana 8
Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je Mgr. Zuzana Kopečková
6. Exponenciální funkce Exponenciální funkce o základu a je dána předpisem Grafem funkce je exponenciála. Příklad: Sestrojte graf funkce změně koeficientů exponentů a základu. a) Program Funkce
, kde
.
. Sledujte, jak se mění vlastnosti funkce při
b) Program GeoGebra Vstup: 3^x+1
strana 9
Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je Mgr. Zuzana Kopečková
7. Logaritmická funkce Logaritmická funkce o základu a, kde funkci o témže základu a má předpis
, je funkce inverzní k exponenciální . Grafem je logaritmická křivka.
Příklad: Sestrojte graf funkce . Sledujte, jak se mění vlastnosti funkce při změně koeficientů logaritmovaného čísla a základu. a) Program Funkce
b) Program GeoGebra Vstup: log(2,(x+1))
strana 10
Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je Mgr. Zuzana Kopečková
Použité zdroje: POLÁK, Josef. Přehled středoškolské matematiky. 7. aktualiz. vyd. Praha: Prometheus, 2002, 608 s. ISBN 80-7196-196-5. KUBEŠOVÁ, Naděžda a Eva CIBULKOVÁ. Matematika: přehled středoškolského učiva. 2. vyd. Třebíč: Petra Velanová, 2006, 239 s. Maturita (Petra Velanová). ISBN 978-808-6873053. ČERMÁK, Pavel. Odmaturuj! z matematiky. Vyd. 2.(opr.). Brno: Didaktis, 2003, 208 s. ISBN 80-862-8597-9.
strana 11
Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je Mgr. Zuzana Kopečková
