MASARYKOVA UNIVERZITA Prˇ´ırodoveˇdecka´ fakulta
Elasticita v ekonomii Bakala´rˇska´ pra´ce
Vedoucı´ pra´ce: doc. RNDr. Bedrˇich Pu˚zˇa, CSc.
Brno, 2010
Vypracovala: Kristy´na Voza´rova´
Deˇkuji doc. RNDr. Bedrˇichu Pu˚zˇovi, CSc., za odborne´ vedenı´ bakala´rˇske´ pra´ce, za rady a prˇipomı´nky, bez ktery´ch by tento text nevznikl a za cˇas, ktery´ mi veˇnoval prˇi konzultacı´ch.
Prohlasˇuji, zˇe jsem svou bakala´ˇrskou pra´ci napsala samostatneˇ a vy´hradneˇ s pouzˇitı´m citovany´ch pramenu˚.
V Brneˇ dne 30. kveˇtna 2010
..........................
Na´zev pra´ce: Elasticita v ekonomii Autor: Kristy´na Voza´rova´ ´ stav matematiky a statistiky Prˇ´ırodoveˇdecke´ fakulty MU U Vedoucı´ bakala´rˇske´ pra´ce: doc. RNDr. Bedrˇich Pu˚zˇa, CSc. Abstrakt: Cı´lem te´to pra´ce je pojednat o pojmu elasticita funkce jedne´ promeˇnne´ a vy´sledky prˇene´st na vybrane´ ekonomicke´ modely. Pra´ce definuje za´kladnı´ pojmy souvisejı´cı´ s elasticitou a to jak z matematicke´ho, tak z ekonomicke´ho hlediska. Da´le popisuje jednotlive´ druhy elasticit u popta´vkove´ a nabı´dkove´ funkce, faktory, ktere´ je ovlivnˇujı´ a vyuzˇitı´ elasticity v praxi. Klı´cˇova´ slova: elasticita funkce, popta´vka, elasticita popta´vky, nabı´dka, elasticita nabı´dky
Title: Elasticities in economics Author: Kristy´na Voza´rova´ Department od Mathematics and Statistics, Faculty of Science, MU Supervisor: doc. RNDr. Bedrˇich Pu˚zˇa, CSc. Abstract: The aim of this work is dealt with the concept of elasticity of functions of one variable and the results pass on selected economic models. Work defines the basic concepts related to the elasticity of both the mathematical and economically. Also describes the different types of elasticities of demand and supply functions, the factors that affect them and the use of elasticity in practice. Keywords: elasticity of function, demand, demand elasticity, supply, supply elasticity
Obsah
5
Obsah ´ vod U
6
1
Oznacˇenı´ a prˇevzata´ tvrzenı´
7
2
Elasticita funkce 2.1 Definice elasticity . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Vybrana´ pravidla pro vy´pocˇet elasticity . . . 2.3 Vybrane´ formule elasticity pro neˇktere´ funkce 2.4 Dalsˇ´ı vy´raz pro elasticitu . . . . . . . . . . . 2.5 Celkove´, meznı´ a pru˚meˇrne´ velicˇiny . . . . .
. . . . .
10 10 12 14 15 16
3
Za´kladnı´ ekonomicke´ pojmy 3.1 Popta´vka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Du˚chod spotrˇebitele a statky v ekonomii . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3 Nabı´dka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19 19 20 21
4
Elasticita popta´vkove´ funkce 4.1 Cenova´ elasticita popta´vky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.1 Rozdeˇlenı´ popta´vky podle koeficientu cenove´ elasticity 4.1.2 Monotonie funkce a elasticita . . . . . . . . . . . . . 4.1.3 Cenova´ elasticita a celkovy´ prˇ´ıjem firmy . . . . . . . . 4.1.4 Cenova´ elasticita a meznı´ prˇ´ıjem firmy . . . . . . . . 4.1.5 Faktory ovlivnˇujı´cı´ cenovou elasticitu popta´vky . . . . ˇ esˇene´ prˇ´ıklady . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.6 R 4.2 Du˚chodova´ elasticita popta´vky . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3 Krˇ´ızˇova´ elasticita popta´vky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4 Vztah mezi elasticitami . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
22 22 23 23 25 26 28 29 31 33 34
Elasticita nabı´dkove´ funkce 5.1 Cenova´ elasticita nabı´dky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
35 35
5
Literatura
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . .
. . . . . . . . . .
36
´ vod U
6
´ vod U Na´sledujı´cı´ text se zaby´va´ problematikou elasticity funkce a jejı´ho vyuzˇitı´ v ekonomii. Vy´chozı´m zdrojem je monografie [1]. Za´kladnı´ literatura je doplneˇna a rozsˇ´ırˇena matematickou i ekonomickou literaturou. Pra´ce je rozdeˇlena na dveˇ cˇa´sti. Matematickou cˇa´st, tedy budova´nı´ potrˇebne´ho matematicke´ho apara´tu, tvorˇ´ı prvnı´ dveˇ kapitoly. V prvnı´ kapitole je uvedeno oznacˇenı´ pouzˇite´ v pra´ci a da´le potrˇebne´ definice a veˇty prˇevzate´ z matematicke´ literatury [2]. Na za´kladeˇ teˇchto tvrzenı´ je ve druhe´ kapitole odvozen vzorec pro vy´pocˇet elasticity funkce. Obsahem druhe´ kapitoly jsou take´ vlastnosti elasticity z matematicke´ho hlediska, vybrana´ pravidla a formule pro vy´pocˇet elasticity funkce. Da´le jsou vysveˇtleny pojmy celkovy´ch, meznı´ch a pru˚meˇrny´ch velicˇin, ktere´ jsou v ekonomii hojneˇ pouzˇ´ıva´ny. Trˇetı´ kapitola tvorˇ´ı u´vod ekonomicke´ cˇa´sti pra´ce. Jejı´m obsahem je vysveˇtlenı´ za´kladnı´ch ekonomicky´ch pojmu˚, ktere´ souvisı´ s pojmem elasticita funkce v te´to pra´ci. Zbyle´ kapitoly pak prˇedstavujı´ konkre´tnı´ aplikace elasticity v ekonomii, tedy elasticitu popta´vky a nabı´dky. U popta´vky je vysveˇtlena jejı´ cenova´, du˚chodova´ a krˇ´ızˇova´ elasticita a da´le vza´jemny´ vztah mezi nimi. Du˚raz je zde kladen na cenovou elasticitu, je vysveˇtleno rozdeˇlenı´ popta´vky podle jejı´ cenove´ elasticity, vztah elasticity k prˇ´ıjmu˚m firmy a v neposlednı´ rˇadeˇ take´ souvislosti mezi monotoniı´ funkce a jejı´ elasticitou. Za´veˇrem kazˇde´ho odstavce jsou uvedeny rˇesˇene´ prˇ´ıklady, ilustrujı´cı´ pouzˇitı´ uvedeny´ch definic. U nabı´dky je vysveˇtlena jejı´ cenova´ elasticita. V ekonomicke´ cˇa´sti pra´ce vycha´zı´me z literatury [3], [4], [5], [6] a [7].
1
1
Oznacˇenı´ a prˇevzata´ tvrzenı´
7
Oznacˇenı´ a prˇevzata´ tvrzenı´
V matematicke´ cˇa´sti pra´ce je pouzˇito toto oznacˇenı´: R = (−∞, ∞) R+ = (0, ∞) I D (f ) O(x0 )
mnozˇina vsˇech rea´lny´ch cˇ´ısel mnozˇina vsˇech kladny´ch rea´lny´ch cˇ´ısel otevrˇeny´ interval kladny´ch rea´lny´ch cˇ´ısel, tj. I ⊆ R+ definicˇnı´ obor funkce f okolı´ bodu x0
V ekonomicke´ cˇa´sti pra´ce je pouzˇito toto oznacˇenı´: D S Q P R I
popta´vka nabı´dka popta´vane´ (nabı´zene´) mnozˇstvı´ zbozˇ´ı trzˇnı´ cena prˇ´ıjem firmy disponibilnı´ du˚chod spotrˇebitele
Na´sledujı´cı´ prˇedpoklady (P) jsou prˇirozeny´m pozˇadavkem v ekonomii. V cele´ pra´ci prˇedpokla´dejme, zˇe: 1. funkce f je definovana´ pro kazˇde´ x ∈ I a f (x) > 0, 2. funkce f ma´ konecˇnou 1. derivaci pro kazˇde´ x ∈ I .
(P)
Prˇi odvozova´nı´ za´kladnı´ch vy´sledku˚ budeme vycha´zet z pojmu˚ diferencia´lnı´ho pocˇtu funkcı´ jedne´ promeˇnne´, konkre´tneˇ z pojmu˚ derivace, prˇ´ıru˚stek neboli diference a diferencia´l funkce. Proto nejprve uvedeme jejich definice (viz [2], str. 88-91, 153-155). Definice 1.1. Necht’f je funkce a bod x0 ∈ D (f ). Existuje-li lim
x→x0
f (x) − f (x0 ) , x − x0
(1)
nazy´va´me tuto limitu derivacı´ funkce f v bodeˇ x0 a znacˇ´ıme f 0 (x0 ). Je-li limita (1) vlastnı´, nazy´va´ se cˇ´ıslo f 0 (x0 ) vlastnı´ derivacı´ funkce f v bodeˇ x0 , je-li limita (1) nevlastnı´, nazy´va´ se cˇ´ıslo f 0 (x0 ) nevlastnı´ derivacı´ funkce f v bodeˇ x0 .
Pozna´mka. Pro h = x − x0 lze definici 1.1 psa´t ve tvaru f (x0 + h) − f (x0 ) . h→0 h
f 0 (x0 ) = lim
1
Oznacˇenı´ a prˇevzata´ tvrzenı´
8
Nynı´ uvedeme veˇtu, ktera´ popisuje vztah mezi derivacı´ a spojitostı´ funkce. Veˇta 1.1. Ma´-li funkce f v bodeˇ x0 vlastnı´ derivaci, pak je v tomto bodeˇ spojita´. Du˚kaz. Prˇedpokla´dejme, zˇe existuje f 0 (x0 ) 6= ±∞. Podle definice spojitosti ma´me doka´zat, zˇe lim f (x) = f (x0 ). Platı´ x→x0
lim f (x) = lim (f (x) − f (x0 ) + f (x0 )) =
x→x0
x→x0
= lim
f (x) − f (x0 ) (x − x0 ) + lim f (x0 ) = x→x0 x − x0
= lim
f (x) − f (x0 ) · lim (x − x0 ) + f (x0 ) = x→x0 x − x0
x→x0
x→x0
= f 0 (x0 ) · 0 + f (x0 ) = f (x0 ) .
Definice 1.2. Necht’funkce f je definovana´ v okolı´ O(x0 ) bodu x0 a platı´ x0 + h ∈ O(x0 ). Potom cˇ´ıslo h nazy´va´me prˇ´ıru˚stkem neza´visle promeˇnne´ a rozdı´l ∆f (x0 )(h) = f (x0 + h) − f (x0 ) nazy´va´me prˇ´ıru˚stkem funkce f v bodeˇ x0 s krokem h neboli prˇ´ıru˚stkem za´visle promeˇnne´. Strucˇneˇ mu˚zˇeme znacˇit ∆f (x0 ).
Definice 1.3. Rˇekneme, zˇe funkce f je diferencovatelna´ v bodeˇ x0 ∈ R, jestlizˇe existuje okolı´ O(x0 ) bodu x0 tak, zˇe pro vsˇechny body x0 + h ∈ O(x0 ) platı´ f (x0 + h) − f (x0 ) = A · h + τ (h) , kde A je vhodne´ cˇ´ıslo a τ (h) je funkce takova´, zˇe lim
h→0
τ (h) h
= 0.
Je-li funkce f v bodeˇ x0 diferencovatelna´, nazy´va´ se vy´raz Ah diferencia´l funkce f v bodeˇ x0 a znacˇ´ı se df (x0 ) (h) nebo strucˇneˇ df (x0 ). Na´sledujı´cı´ veˇta uda´va´ vztah mezi diferencovatelnostı´ funkce a jejı´ derivacı´. Veˇta 1.2. Funkce f ma´ v bodeˇ x0 diferencia´l pra´veˇ tehdy, kdyzˇ existuje vlastnı´ derivace f 0 (x0 ). Prˇitom pro konstantu A z definice 1.3 platı´ A = f 0 (x0 ), a tedy df (x0 ) (h) = f 0 (x0 ) · h .
1
Oznacˇenı´ a prˇevzata´ tvrzenı´
9
Du˚kaz. „⇒“ Prˇedpokla´dejme, zˇe funkce f je diferencovatelna´ v bodeˇ x0 . Existujı´ tedy A a τ (h) takove´, zˇe platı´ f (x0 + h) − f (x0 ) = Ah + τ (h) pro h ∈ (−δ, δ), δ > 0, kde lim τ (h) = 0. h h→0
Odtud plyne f (x0 + h) − f (x0 ) τ (h) =A+ , h h takzˇe f (x0 + h) − f (x0 ) τ (h) lim = lim A + = A, h→0 h→0 h h tj. existuje vlastnı´ derivace f 0 (x0 ) a je rovna A. „⇐“ Prˇedpokla´dejme, zˇe existuje f 0 (x0 ) = A ∈ R. Cı´lem je doka´zat, zˇe vy´raz Ah je diferencia´l funkce f v bodeˇ x0 . Necht’τ (h) := f (x0 + h) − f (x0 ) − Ah. Potom τ (h) f (x0 + h) − f (x0 ) − Ah f (x0 + h) − f (x0 ) = lim = lim − A = 0, h→0 h h→0 h→0 h h takzˇe f je diferencovatelna´ v bodeˇ x0 . lim
Pozna´mka. Z definice diferencia´lu a z prˇedchozı´ veˇty te´zˇ plyne, zˇe f 0 (x0 ) =
df (x0 ) . dx0
Prˇipomenˇme take´ vztah mezi diferencia´lem a diferencı´. . Veˇta 1.3. Platı´ ∆f (x0 ) = df (x0 ), prˇicˇemzˇ ∆f (x0 ) − df (x0 ) = 0. h→0 h lim
Je-li f 0 (x0 ) 6= 0, platı´ take´ lim
h→0
∆f (x0 ) = 1. df (x0 )
Du˚kaz. Necht’existuje diferencia´l df (x0 ) funkce f v bodeˇ x0 . Potom platı´ ∆f (x0 ) − df (x0 ) f (x0 + h) − f (x0 ) − A · h = lim = h→0 h h f (x0 + h) − f (x0 ) = lim − A = f 0 (x0 ) − f 0 (x0 ) = 0. h→0 h
lim
h→0
Da´le prˇedpokla´dejme f 0 (x0 ) 6= 0, potom platı´ f (x0 + h) − f (x0 ) ∆f (x0 ) f (x0 + h) − f (x0 ) f 0 (x0 ) h lim = lim = lim = 0 = 1. h→0 df (x0 ) h→0 h→0 A ·h A f (x0 )
2
2
Elasticita funkce
10
Elasticita funkce
V te´to kapitole vysveˇtlı´me, co je elasticita funkce, odvodı´me vzorec pro jejı´ vy´pocˇet a zmı´nı´me za´kladnı´ vlastnosti elasticity, ktere´ budeme da´le vyuzˇ´ıvat prˇi jejı´ aplikaci v ekonomii.
2.1
Definice elasticity
(x) Uvazˇujme relativnı´ prˇ´ıru˚stky funkce f a jejı´ promeˇnne´ x, tj. ∆f a ∆x naprˇ. vyja´drˇene´ f (x) x v %. Pak pomeˇr teˇchto zmeˇn nazveme elasticitou funkce f v bodeˇ x a oznacˇme . Tedy
∆f (x) procentnı´ zmeˇna f (x) f (x) = = . ∆x procentnı´ zmeˇna x x S pouzˇitı´m tvrzenı´ z prˇedchozı´ kapitoly mu˚zˇeme prˇistoupit k samotne´mu odvozenı´ vzorce pro vy´pocˇet elasticity. Necht’nynı´ splnˇuje funkce f na intervalu I prˇedpoklady (P), tj. zˇe je definovana´ pro kazˇde´ x0 ∈ I, f (x0 ) > 0 a zˇe ma´ v kazˇde´m bodeˇ x0 ∈ I konecˇnou 1. derivaci f 0 (x0 ). Potom podle definice 1.2, 1.3 a podle veˇty 1.2 platı´ ∆f (x0 ) (h) = f (x0 + h) − f (x0 ) = f 0 (x0 ) · h + τ (h) , cozˇ v souladu s veˇtou 1.3 mu˚zˇeme napsat na´sledovneˇ . ∆f (x0 ) (h) = f (x0 + h) − f (x0 ) = f 0 (x0 ) · h . Polozˇme naprˇ. h =
(2)
x0 . 100
Po dosazenı´ do rovnice (2) dosta´va´me vztah x x0 x0 . 0 ∆f (x0 ) = f x0 + − f (x0 ) = f 0 (x0 ) · , (3) 100 100 100 ktery´ vyjadrˇuje, o kolik se zmeˇnı´ funkcˇnı´ hodnota funkce f , jestlizˇe argument funkce x0 , tj. o 1%. vzroste z x0 na x0 + 100 Vyna´sobı´me-li rovnici (3) hodnotou f100 , dosta´va´me (x0 ) x0 f x0 + 100 − f (x0 ) . f 0 (x0 ) · 100 = · x0 . f (x0 ) f (x0 )
(4)
Definice 2.1. Cˇ´ıslo na prave´ straneˇ rovnice (4) oznacˇme (f )(x0 ) a nazy´va´ se elasticita funkce f v bodeˇ x0 , tj. f 0 (x0 ) (f ) (x0 ) = · x0 . f (x0 ) Funkce (f )(x) pro x ∈ I nebo strucˇneˇ (f ) se nazy´va´ elasticita funkce f .
2
Elasticita funkce
11
Veˇta 2.1. a) Jestlizˇe elasticita funkce f je kladna´ v bodeˇ x0 ∈ I, tj. (f ) (x0 ) > 0, pak funkce f je v bodeˇ x0 rostoucı´. b) Jestlizˇe elasticita funkce f je kladna´ pro kazˇde´ x ∈ I, tj. (f ) (x) > 0, pak funkce f je rostoucı´ na cele´m intervalu I. Analogicka´ tvrzenı´ platı´ pro klesajı´cı´ funkce. Du˚kaz. 0 (x ) 0 a) Z prˇedpokladu veˇty a z definice 2.1 plyne, zˇe ff (x · x0 > 0. Protozˇe vsˇak funkce f 0) splnˇuje na intervalu I prˇedpoklady (P), tak odtud plyne, zˇe f 0 (x0 ) > 0, tj., v souladu s teoriı´ funkcı´ jedne´ rea´lne´ promeˇnne´, zˇe funkce f v bodeˇ x0 roste. b) Bezprostrˇedneˇ plyne z cˇa´sti a). V na´sledujı´cı´ veˇteˇ uvedeme, jak se meˇnı´ hodnota funkce f v za´vislosti na zmeˇneˇ argumentu ve formeˇ vhodne´ pro ekonomickou aplikaci. Veˇta 2.2. a1 ) Jestlizˇe elasticita funkce f je kladna´ v bodeˇ x0 ∈ I, tj. (f ) (x0 ) > 0, tak zvy´sˇenı´m (snı´zˇenı´m) hodnoty argumentu z x0 o 1%, vzroste (klesne) hodnota funkce f o (f ) (x0 ) %. a2 ) Jestlizˇe elasticita funkce f je kladna´ v kazˇde´m bodeˇ x ∈ I, tj. (f ) (x) > 0, tak zvy´sˇenı´m (snı´zˇenı´m) hodnoty argumentu z x o 1%, vzroste (klesne) hodnota funkce f o (f ) (x) %. b1 ) Jestlizˇe elasticita funkce f je za´porna´ v bodeˇ x0 ∈ I, tj. (f ) (x0 ) < 0, tak zvy´sˇenı´m (snı´zˇenı´m) hodnoty argumentu z x0 o 1%, klesne (vzroste) hodnota funkce f o | (f ) (x0 ) | %. b2 ) Jestlizˇe elasticita funkce f je za´porna´ v kazˇde´m bodeˇ x ∈ I, tj. (f ) (x) < 0, tak zvy´sˇenı´m (snı´zˇenı´m) hodnoty argumentu z x0 o 1%, klesne (vzroste) hodnota funkce f o | (f ) (x) | %. Du˚kaz. Uvedena´ tvrzenı´ bezprostrˇedneˇ plynou z definice 2.1 a jejı´ho odvozenı´ v odstavci 2.1.
2
Elasticita funkce
2.2
12
Vybrana´ pravidla pro vy´pocˇet elasticity
Vzhledem k tomu, zˇe v definici 2.1 se vyskytuje derivace, lze odvodit pro vy´pocˇet elasticity funkce podobna´ pravidla, jak je zna´me pro vy´pocˇet derivacı´. Veˇta 2.3. Necht’ funkce f a g splnˇujı´ na intervalu I prˇedpoklady (P) a necht’ c ∈ R+ . Potom platı´ na´sledujı´cı´ vztahy: a) (cf ) (x)x=x0 = (f ) (x0 ), b) (f · g) (x)x=x0 = (f ) (x0 ) + (g) (x0 ), c) je-li g (x0 ) 6= 0, pak
f (x) g (x)
= (f ) (x0 ) − (g) (x0 ). x=x0
Du˚kaz. a) lim
(cf ) (x)x=x0 =
x→x0
cf (x) − cf (x0 ) f (x) − f (x0 ) c lim x→x0 x − x0 x − x0 · x0 = · x0 = (f ) (x0 ) cf (x0 ) cf (x0 )
b) lim
(f · g) (x)x=x0 =
lim
=
x→x0
f (x) g (x) − f (x0 ) g (x0 ) x − x0 · x0 = f (x0 ) g (x0 )
f (x) g (x) − f (x0 ) g (x) + f (x0 ) g (x) − f (x0 ) g (x0 ) x − x0 · x0 = f (x0 ) g (x0 )
lim g (x) · lim
=
x→x0
x→x0
x→x0
= =
g (x) − g (x0 ) f (x) − f (x0 ) + lim f (x0 ) · lim x→x0 x→x0 x − x0 x − x0 · x0 = f (x0 ) g (x0 ) g (x0 ) · f 0 (x0 ) + f (x0 ) · g 0 (x0 ) · x0 = f (x0 ) g (x0 )
f 0 (x0 ) g 0 (x0 ) · x0 + · x0 = (f ) (x0 ) + (g) (x0 ) f (x0 ) g (x0 )
2
Elasticita funkce
13
c)
f (x) g (x)
x=x0
lim
x→x0
=
f (x) f (x0 ) − f (x) g (x0 ) − f (x0 ) g (x) g (x) g (x0 ) lim lim x→x0 (g (x) g (x0 )) (x − x0 ) x→x0 x − x0 = · x0 = · x0 = f (x0 ) f (x0 ) g (x0 ) g (x0 ) f (x) g (x0 ) − f (x0 ) g (x0 ) + f (x0 ) g (x0 ) − f (x0 ) g (x) (g (x) g (x0 )) (x − x0 ) · x0 = f (x0 ) g (x0 )
lim g (x0 ) ·
x→x0
=
g (x) − g (x0 ) f (x) − f (x0 ) − lim f (x0 ) · x→x0 x − x0 x − x0 lim g (x) g (x0 ) x→x0
· x0 = f (x0 ) g (x0 ) g (x0 ) f 0 (x0 ) − f (x0 ) g 0 (x0 ) g 2 (x0 ) = · x0 = f (x0 ) g (x0 ) 0 g (x0 ) f (x0 ) x0 f (x0 ) g 0 (x0 ) x0 − = (f ) (x0 ) − (g) (x0 ) = g (x0 ) f (x0 ) g (x0 ) f (x0 )
Pozna´mka. Analogicka´ pravidla pro elasticitu soucˇtu a rozdı´lu funkcı´ majı´ podstatneˇ komplikovaneˇjsˇ´ı tvar, naprˇ. pro (f + g) (x)x=x0 za nezbytne´ho prˇedpokladu kladnosti (f ) a (g) platı´ (f + g) (x)x=x0 ≤ (f ) (x0 ) + (g) (x0 ) . Du˚kaz. lim
(f + g) (x)x=x0 = lim
=
=
x→x0
x→x0
f (x) + g (x) − f (x0 ) − g (x0 ) x − x0 · x0 = f (x0 ) + g (x0 )
f (x) − f (x0 ) g (x) − g (x0 ) + lim f 0 (x0 ) · x0 + g 0 (x0 ) · x0 x→x0 x − x0 x − x0 · x0 = = f (x0 ) + g (x0 ) f (x0 ) + g (x0 )
f 0 (x0 ) · x0 g 0 (x0 ) · x0 f 0 (x0 ) · x0 g 0 (x0 ) · x0 + ≤ + = (f ) (x0 )+ (g) (x0 ) f (x0 ) + g (x0 ) f (x0 ) + g (x0 ) f (x0 ) g (x0 )
2
2.3
Elasticita funkce
14
Vybrane´ formule elasticity pro neˇktere´ funkce
Veˇta 2.4. Necht’I ⊆ R+ a x0 ∈ I je libovolny´ bod. Pak platı´ a) (c) (x)x=x0 = 0, pro kazˇde´ c ∈ R+ , b) (xs ) (x)x=x0 = s, pro kazˇde´ s ∈ R, c) (ex ) (x)x=x0 = x0 , d) (ax ) (x)x=x0 = x0 · ln a, pro kazˇde´ a ∈ R+ . A pro libovolne´ x0 > 1 a a ∈ R+ platı´ e) (ln x) (x)x=x0 =
1 , ln x0
f) (loga x) (x)x=x0 =
ln a . loga x0
Du˚kaz. V du˚kazu vyuzˇijeme pravidla pro derivace prˇ´ıslusˇny´ch funkcı´, viz [2], str. 9798. Bud’ x = x0 libovolne´, pevneˇ zvolene´ cˇ´ıslo vyhovujı´cı´ prˇ´ıslusˇny´m podmı´nka´m, pak z definice derivace plyne: a) c0 (c) (x0 ) = = 0, c b) (xs )0x=x0 s · xs−1 s · xs0 0 (xs ) (x0 ) = · x = · x = = s, 0 0 xs0 xs0 xs0 c)
(ex )0x=x0 ex0 (e ) (x0 ) = · x = · x0 = x0 , 0 ex0 ex0 x
d)
(ax )0x=x0 ax0 · ln a (a ) (x0 ) = · x = · x0 = x0 · ln a, 0 ax 0 ax 0 x
e)
f)
1 (ln x)0x=x0 1 x (ln x) (x0 ) = · x0 = 0 · x0 = , ln x0 ln x0 ln x0 1 (loga x)0x=x0 ln a x · ln a · x0 = 0 · x0 = . (loga x) (x0 ) = loga x0 loga x0 loga x0
2
2.4
Elasticita funkce
15
Dalsˇ´ı vy´raz pro elasticitu
Za prˇedpokladu, zˇe funkce je tvaru y = αx−β , α, β > 0, x ∈ I, mu˚zˇeme prˇi vy´pocˇtu elasticity vyuzˇ´ıt logaritmicke´ funkce. Pozna´mka. Uvedena´ rovnice je rovnicı´ popta´vkove´ krˇivky (viz odstavec 3.1) a v neˇktery´ch situacı´ch je vy´hodne´ vyuzˇ´ıt pra´veˇ logaritmicke´ funkce k vy´pocˇtu elasticity popta´vkove´ funkce. Nejprve logaritmujeme obeˇ strany rovnice y = αx−β , dosta´va´me ln y = ln αx−β = ln α − β ln x.
(5)
Pokud zavedeme substituci yˆ = ln y, xˆ = ln x a α ˆ = ln α, mu˚zˇeme rovnici (5) prˇepsat do tvaru yˆ = α ˆ − β xˆ. Z toho plyne dˆ y = −β dˆ x
nebo
d ln y = −β, d ln x
cozˇ je elasticita dane´ funkce. Obecneˇ tento vztah mu˚zˇeme odvodit na´sledovneˇ
a
Po dosazenı´ do rovnice
d ln y 1 = dy y
⇒
d ln y =
dy , y
1 d ln x = dx x
⇒
d ln x =
dx . x
d ln y d ln x
dosta´va´me
d ln y dy/y dy x = = · = (αx−β ). d ln x dx/x dx y
2
2.5
Elasticita funkce
16
Celkove´, meznı´ a pru˚meˇrne´ velicˇiny
Ekonomicka´ teorie pracuje s velicˇinami celkovy´mi, meznı´mi a pru˚meˇrny´mi. Nı´zˇe uvedene´ definice a vlastnosti jsou odvozeny z ekonomicky´ch zdroju˚, prˇedevsˇ´ım [3], str. 248-252 a souvisı´ s aplikacı´ teˇchto charakteristik v ekonomii. V na´sledujı´cı´ch tvrzenı´ch automaticky prˇedpokla´da´me, zˇe f je funkce splnˇujı´cı´ prˇedpoklady (P). Definice 2.2. Celkovou velicˇinou funkce f bodeˇ x0 ∈ I rozumı´me cˇ´ıslo T (f ) (x0 ) = f (x0 ) . Funkce T (f )(x) pro x ∈ I nebo strucˇneˇ T (f ) se nazy´va´ celkova´ velicˇina funkce f .
Pozna´mka. Celkova´ velicˇina funkce f (v bodeˇ x0 ) je tedy sama funkce f (funkcˇnı´ hodnota funkce f v bodeˇ x0 ). Uvedeny´ pojem je zaveden pro jeho prˇirozene´ pouzˇ´ıva´nı´ v ekonomicky´ch aplikacı´ch.
Definice 2.3. Margina´lnı´, resp. meznı´ velicˇinou funkce f bodeˇ x0 ∈ I rozumı´me cˇ´ıslo M (f ) (x0 ) =
∆f (x0 ) . ∆x0
Funkce M (f )(x) pro x ∈ I nebo strucˇneˇ M (f ) se nazy´va´ meznı´ velicˇina funkce f .
Veˇta 2.5. Pro meznı´ velicˇinu funkce f v bodeˇ x0 ∈ I platı´ lim M (f ) (x0 ) = f 0 (x0 ) .
∆x0 →0
Pro meznı´ velicˇinu funkce f na intervalu I platı´ M (f ) (x) = f 0 (x) . Du˚kaz. Du˚kaz provedeme pro x0 ∈ I, nebot’ du˚kaz pro kazˇde´ x ∈ I je analogicky´. Oznacˇ´ıme-li ∆x0 = x − x0 , pak platı´ ∆f (x0 ) f (x) − f (x0 ) = lim = f 0 (x0 ) . ∆x0 →0 ∆x0 →0 ∆x0 x − x0
lim M (f ) (x0 ) = lim
∆x0 →0
2
Elasticita funkce
17
Hodnota meznı´ velicˇiny je da´na smeˇrnicı´ tecˇny ke grafu funkce v dane´m bodeˇ a tedy platı´ na´sledujı´cı´ veˇta o vztahu mezi celkovou a meznı´ velicˇinou. Pozna´mka. Vysveˇtlenı´ pojmu smeˇrnice tecˇny lze nale´zt v [2], str. 87-89.
Veˇta 2.6. a) Jestlizˇe je celkova´ velicˇina T (f ) v bodeˇ x0 ∈ I rostoucı´, pak je meznı´ velicˇina M (f ) v bodeˇ x0 kladna´, tj. M (f )(x0 ) > 0. b) Jestlizˇe je celkova´ velicˇina T (f )(x) pro kazˇde´ x ∈ I rostoucı´, pak je meznı´ velicˇina M (f )(x) kladna´ na cele´m intervalu I, tj. M (f )(x) > 0. Analogicka´ tvrzenı´ platı´ pro klesajı´cı´ funkce. Du˚kaz. a) Bud’ x0 ∈ I libovolna´, pevneˇ zvolena´ hodnota a T (f ) v bodeˇ x0 rostoucı´. Pak, podle definice 2.2 je f v bodeˇ x0 rostoucı´ a v souladu s teoriı´ funkcı´ rea´lne´ promeˇnne´ a prˇedpoklady (P), je f 0 (x0 ) > 0. Z veˇty 2.5 a v souladu s definicı´ 2.3 pak odtud plyne, zˇe M (f )(x0 ) > 0. b) Jestlizˇe T (f )(x) roste v kazˇde´m bodeˇ x ∈ I, pak z cˇa´sti a) plyne tvrzenı´ prˇ´ımo.
Veˇta 2.7. Jestlizˇe celkova´ velicˇina T (f ) naby´va´ v bodeˇ x0 ∈ I loka´lnı´ho extre´mu, pak se meznı´ velicˇina M (f ) v bodeˇ x0 rovna´ nule, tj. M (f )(x0 ) = 0. Du˚kaz. Analogicky cˇa´sti a) du˚kazu veˇty 2.6 z prˇedpokladu˚ plyne, zˇe sama funkce f ma´ v bodeˇ x0 loka´lnı´ extre´m a v souladu s teoriı´ funkcı´ jedne´ rea´lne´ promeˇnne´ je tento bod staciona´rnı´m bodem funkce f , tj. f 0 (x0 ) = 0. Tvrzenı´ plyne z veˇty 2.5.
Pozna´mka. Definici a vlastnosti loka´lnı´ch extre´mu˚ funkce lze nale´zt v [2], str. 115-120.
Definice 2.4. Pru˚meˇrnou velicˇinou funkce f v bodeˇ x0 ∈ I rozumı´me cˇ´ıslo A (f ) (x0 ) =
f (x0 ) . x0
Funkce A(f )(x) pro x ∈ I nebo strucˇneˇ A(f ) se nazy´va´ pru˚meˇrna´ velicˇina funkce f . S pouzˇitı´m charakteristik margina´lnı´ a pru˚meˇrne´ velicˇiny mu˚zˇeme vyja´drˇit koncept elasticity na´sledujı´cı´m zpu˚sobem.
2
Elasticita funkce
18
Veˇta 2.8. Pro kazˇde´ x0 ∈ I platı´ M (f ) (x0 ) . ∆x0 →0 A (f ) (x0 )
(f ) (x0 ) = lim Podobneˇ pro kazˇde´ x ∈ I platı´ (f ) (x) =
M (f ) (x) . A (f ) (x)
Elasticita funkce f (v bodeˇ x0 ) je tedy pomeˇr margina´lnı´ a pru˚meˇrne´ velicˇiny (v bodeˇ x0 ). Du˚kaz. Du˚kaz provedeme pro libovolne´, pevneˇ zvolene´ x0 ∈ I, nebot’ du˚kaz tvrzenı´ na intervalu I odtud bezprostrˇedneˇ plyne. Oznacˇ´ıme-li ∆x0 = x − x0 , pak platı´ f (x) − f (x0 ) ∆f (x0 ) M (f ) (x0 ) ∆x0 x − x0 lim = lim = = lim ∆x0 →0 A (f ) (x0 ) ∆x0 →0 ∆x0 →0 f (x0 ) f (x0 ) x0 x0 0 0 f (x0 ) f (x0 ) = = · x0 = (f ) (x0 ) . f (x0 ) f (x0 ) x0
Pozna´mka. Prˇedchozı´ veˇta je rovneˇzˇ v souladu s u´vodem v odstavci 2.1, nebot’ ∆f (x) ∆f (x) M (f )(x) f (x) = ∆x = = . ∆x f (x) A(f )(x) x x Z veˇty 2.1 a s pouzˇitı´m charakteristik celkove´, meznı´ a pru˚meˇrne´ velicˇiny plynou na´sledujı´cı´ du˚sledky. Du˚sledek. 1. Jestlizˇe (f )(x)x=x0 = 0, potom take´ M (f )(x)x=x0 = 0 a bod x0 je staciona´rnı´m bodem celkove´ velicˇiny (a tedy i funkce f ). Tento bod je bodem extre´mu, jestlizˇe (f )(x0 ) meˇnı´ zname´nka, prˇicˇemzˇ naby´va´ maxima, jestlizˇe zname´nko elasticity se meˇnı´ z kladne´ho na za´porne´ a naopak naby´va´ minima, jestlizˇe zname´nko elasticity se meˇnı´ ze za´porne´ho na kladne´. 2. Jestlizˇe (f )(x)x=x0 > 0, potom take´ M (f )(x)x=x0 > 0 a T (f ) v bodeˇ x0 (a tedy i funkce f v bodeˇ x0 ) roste. 3. Jestlizˇe (f )(x)x=x0 < 0, potom take´ M (f )(x)x=x0 < 0 a T (f ) v bodeˇ x0 (a tedy i funkce f v bodeˇ x0 ) klesa´.
3
3
Za´kladnı´ ekonomicke´ pojmy
19
Za´kladnı´ ekonomicke´ pojmy
Nezˇ se zacˇneme veˇnovat aplikaci elasticity v ekonomii, je nutne´ objasnit neˇkolik za´kladnı´ch ekonomicky´ch pojmu˚, ktere´ s elasticitou u´zce souvisı´. Definice teˇchto pojmu˚ jsou prˇevzaty z literatury [1], [5] a [7].
3.1
Popta´vka
Definice 3.1. Popta´vka prˇedstavuje souhrn zamy´sˇleny´ch koupı´. Jejı´ velikost je da´na popta´vany´m mnozˇstvı´m a cenou, za kterou jsou kupujı´cı´ ochotni kupovat. Rozlisˇujeme popta´vku: • celkovou (agrega´tnı´), ktera´ je urcˇena celkovy´m objemem produkce, ktery´ chteˇjı´ kupujı´cı´ zakoupit a cenami, za ktere´ jsou ochotni koupit, • individua´lnı´, ktera´ je popta´vkou jedine´ho kupujı´cı´ho, • dı´lcˇ´ı (trzˇnı´), ktera´ je popta´vkou vsˇech kupujı´cı´ch po jednom vy´robku. Je nutne´ odlisˇovat pojmy popta´vka a popta´vane´ mnozˇstvı´, protozˇe vyjadrˇujı´ ru˚zne´ souvislosti. Popta´vka vyjadrˇuje funkci spojujı´cı´ urcˇita´ popta´vana´ mnozˇstvı´ s urcˇity´mi cenami. Popta´vane´ mnozˇstvı´ tedy je cˇ´ıslo, zatı´mco popta´vka je funkce. Z toho vyply´va´, zˇe zmeˇna popta´vane´ho mnozˇstvı´ je vyvola´na zmeˇnou ceny sledovane´ho statku, ale popta´vka se prˇitom nemeˇnı´. Naproti tomu zmeˇna popta´vky mu˚zˇe by´t vyvola´na celou rˇadou jiny´ch faktoru˚, mezi ktere´ patrˇ´ı zejme´na: • zmeˇna disponibilnı´ho du˚chodu spotrˇebitele, • zmeˇna cen ostatnı´ch statku˚, • zmeˇna preferencı´ spotrˇebitelu˚, naprˇ. v du˚sledku zmeˇny mo´dnı´ho trendu. Krˇivka popta´vky Vztah mezi popta´vany´m mnozˇstvı´m a cenou je neprˇ´ımo u´meˇrny´. Krˇivka popta´vky je klesajı´cı´, vyjadrˇuje souvislost oznacˇovanou jako za´kon klesajı´cı´ popta´vky, kdy s rostoucı´ cenou klesa´ popta´vane´ mnozˇstvı´ a naopak. Vysveˇtlenı´ procˇ tomu tak je, poskytujı´ na´sledujı´cı´ dva efekty. • Du˚chodovy´ efekt rˇ´ıka´, zˇe spotrˇebitel prˇi vysˇsˇ´ı ceneˇ kupuje me´neˇ statku, protozˇe mu pu˚vodnı´ cˇa´stka nestacˇ´ı na na´kup pu˚vodnı´ho mnozˇstvı´. • Substitucˇnı´ efekt vyjadrˇuje, zˇe spotrˇebitel prˇi zvy´sˇenı´ ceny statku nakupuje me´neˇ tohoto statku, protozˇe jej substituuje (nahrazuje) jiny´mi statky. V prˇ´ıpadeˇ, zˇe popta´vka odra´zˇ´ı cenu jako funkci mnozˇstvı´, pak hovorˇ´ıme o inverznı´ popta´vkove´ krˇivce. Pro kazˇdou u´rovenˇ popta´vky po dane´m statku, inverznı´ krˇivka popta´vky ukazuje, jaka´ by musela by´t cena tohoto statku, aby si spotrˇebitel zvolil pra´veˇ tuto u´rovenˇ spotrˇeby.
3
Za´kladnı´ ekonomicke´ pojmy
20
Matematicky krˇivku popta´vky mu˚zˇeme vyja´drˇit linea´rnı´ funkcı´ Q = a − bP , b > 0. Hodnota a vyjadrˇuje popta´vane´ mnozˇstvı´ prˇi ceneˇ P = 0, a hodnota b = − dQ vyjadrˇuje dP mnozˇstvı´, o ktere´ se zmeˇnı´ popta´vka v du˚sledku zmeˇny ceny. Hodnotu b tak mu˚zˇeme ztotozˇnit se smeˇrnicı´ popta´vkove´ funkce, ktera´ je prˇirozeneˇ za´porna´. Jiny´ funkcˇnı´ tvar popta´vky, ktery´ je cˇasto pouzˇ´ıva´n k vyja´drˇenı´ vztahu mezi cenou a popta´vany´m mnozˇstvı´m, je exponencia´lnı´ funkce Q = αP −β , α, β > 0. Zvla´sˇtnı´ prˇ´ıpady popta´vkove´ krˇivky Popta´vkova´ krˇivka mu˚zˇe by´t v urcˇity´ch situacı´ch rostoucı´ funkcı´, kdy s ru˚stem ceny roste popta´vane´ mnozˇstvı´. To mu˚zˇe nastat ve dvou prˇ´ıpadech: • u tzv. ostentativnı´ch statku˚, neˇkdy hovorˇ´ıme take´ o snobske´m efektu cˇi efektu mo´dy. Je to situace, kdy lide´ chteˇjı´ by´t videˇni, jak nakupujı´ drazˇsˇ´ı zbozˇ´ı. • u tzv. Giffenovy´ch statku˚, v tomto prˇ´ıpadeˇ hovorˇ´ıme o Giffenoveˇ paradoxu. Giffenu˚v paradox uvazˇujeme pouze u me´neˇcenne´ho statku (viz definice 3.2), ktery´: • tvorˇ´ı podstatnou cˇa´st vy´daju˚ spotrˇebitele, • slouzˇ´ı k uspokojenı´ za´kladnı´ch potrˇeb, • nelze nahradit substituty v odpovı´dajı´cı´ch cenovy´ch relacı´ch. Ru˚st ceny Giffenova statku podstatneˇ snizˇuje rea´lny´ du˚chod spotrˇebitele a snizˇuje tak spotrˇebu ostatnı´ch statku˚. Giffenu˚v paradox mu˚zˇe nastat pouze pro urcˇity´ omezeny´ cenovy´ interval a v realiteˇ se vyskytuje velmi vza´cneˇ.
3.2
Du˚chod spotrˇebitele a statky v ekonomii
Popta´vku jsme definovali jako souhrn zamy´sˇleny´ch koupı´. Pokud vsˇak hovorˇ´ıme o zamy´sˇleny´ch koupı´ch, ma´me na mysli nejen to, zˇe neˇkdo chce koupit, ale zˇe take´ ma´ peneˇzˇnı´ prostrˇedky, za ktere´ mu˚zˇe koupi uskutecˇnit. Jedna´ se o disponibilnı´ du˚chod spotrˇebitelu˚, ktery´ prˇedstavuje cˇa´stku, kterou mohou spotrˇebitele´ plneˇ vyuzˇ´ıt k na´kupu zbozˇ´ı. Je to du˚chod, se ktery´m ve skutecˇnosti disponujı´. Na za´kladeˇ vztahu mezi disponibilnı´m du˚chodem spotrˇebitele a popta´vany´m mnozˇstvı´m mu˚zˇeme rozdeˇlit statky na´sledovneˇ. Definice 3.2. Rˇekneme, zˇe statek je: • norma´lnı´, jestlizˇe s rostoucı´m disponibilnı´m du˚chodem roste popta´vane´ mnozˇstvı´ tohoto statku. V ra´mci norma´lnı´ch statku˚ da´le rozlisˇujeme mezi statkem: – nezbytny´m, u ktere´ho s rostoucı´m du˚chodem roste popta´vane´ mnozˇstvı´, ale pomalejsˇ´ım tempem, nezˇ du˚chod, – luxusnı´m, u ktere´ho s rostoucı´m du˚chodem roste popta´vane´ mnozˇstvı´, a to rychleji, nezˇ du˚chod. • me´neˇcenny´, v tomto prˇ´ıpadeˇ s rostoucı´m du˚chodem klesa´ popta´vane´ mnozˇstvı´.
3
Za´kladnı´ ekonomicke´ pojmy
21
Da´le mu˚zˇeme statky rozlisˇit podle toho, jaky´ majı´ vza´jemny´ vztah. Definice 3.3. Rˇekneme, zˇe statky jsou: • substituty, jestlizˇe se vza´jemneˇ nahrazujı´ ve spotrˇebeˇ. Prˇi zvy´sˇenı´ (snı´zˇenı´) ceny jednoho statku docha´zı´ ke zvy´sˇenı´ (snı´zˇenı´) popta´vky po druhe´m statku. • komplementy, jestlizˇe se vza´jemneˇ doplnˇujı´ ve spotrˇebeˇ. Prˇi zvy´sˇenı´ (snı´zˇenı´) ceny jednoho statku docha´zı´ ke snı´zˇenı´ (zvy´sˇenı´) popta´vky po druhe´m statku. • lhostejne´, jestlizˇe jsou na sobeˇ neza´visle´.
3.3
Nabı´dka
Definice 3.4. Nabı´dkou rozumı´me souhrn zamy´sˇleny´ch prodeju˚, se ktery´mi prˇicha´zejı´ vy´robci na trh. Jejı´ velikost je urcˇena objemem vy´stupu vy´roby a cenou, ze kterou jsou vy´robci ochotni prodat nabı´zene´ mnozˇstvı´ zbozˇ´ı. Rozlisˇujeme nabı´dku: • celkovou (agrega´tnı´), ktera´ je urcˇena objemem vy´roby vsˇech trzˇnı´ch producentu˚ a cenami, za ktere´ jsou ochotni prodat, • individua´lnı´, ktera´ prˇedstavuje nabı´dku jednotlive´ho vy´robce, • dı´lcˇ´ı (trzˇnı´), ktera´ je nabı´dkou jedine´ho vy´robku od ru˚zny´ch vy´robcu˚. Tak jako v prˇ´ıpadeˇ popta´vky, musı´me i u nabı´dky odlisˇovat pojmy nabı´zene´ mnozˇstvı´ a nabı´dka. Nabı´dka je funkce, ktera´ vyjadrˇuje za´vislost nabı´zene´ho mnozˇstvı´ na ceneˇ. Zmeˇna ceny je prˇ´ıcˇinou zmeˇny nabı´zene´ho mnozˇstvı´, docha´zı´ tedy k posunu pode´l nabı´dkove´ krˇivky. Pokud se vsˇak zmeˇnı´ jine´ okolnosti, mu˚zˇe to zmeˇnit nabı´dku, tj. posunout nabı´dkovou krˇivku. Jedna´ se prˇedevsˇ´ım o tyto okolnosti: • zmeˇny v technologii, kterou firma pouzˇ´ıva´, • zmeˇny cen vstupu˚, • ocˇeka´va´nı´ vy´robcu˚, • jine´ mimoekonomicke´ vlivy, naprˇ. pocˇası´. Krˇivka nabı´dky Krˇivka nabı´dky roste vpravo nahoru. Jejı´ tvar vyjadrˇuje, zˇe s rostoucı´ cenou roste nabı´zene´ mnozˇstvı´. Tato souvislost je oznacˇova´na jako za´kon rostoucı´ nabı´dky. Tento vztah mu˚zˇeme matematicky vyja´drˇit linea´rnı´ funkcı´ Q = a + bP , kde hodnota vyjadrˇuje mnozˇstvı´, a vyjadrˇuje nabı´zene´ mnozˇstvı´ prˇi ceneˇ P = 0, a hodnota b = dQ dP o ktere´ se zmeˇnı´ nabı´dka v du˚sledku zmeˇny ceny. Hodnota b tak prˇedstavuje kladnou smeˇrnici nabı´dkove´ funkce. Nabı´dku mu˚zˇeme take´ vyja´drˇit jako exponencia´lnı´ funkci Q = αP β , α, β > 0.
4
4
Elasticita popta´vkove´ funkce
22
Elasticita popta´vkove´ funkce
V prˇ´ıpadeˇ popta´vky na´s bude zajı´mat jejı´ cenova´, du˚chodova´ a krˇ´ızˇova´ elasticita. Vysveˇtlenı´ teˇchto pojmu˚ je obsahem te´to kapitoly. V na´sledujı´cı´m textu budeme pouzˇ´ıvat oznacˇenı´, ktere´ je obvykle´ v ekonomicke´ literaturˇe.
4.1
Cenova´ elasticita popta´vky
V prˇedchozı´ kapitole jsme vysveˇtlili, zˇe existuje neprˇ´ımo u´meˇrny´ vztah mezi zmeˇnou ceny a zmeˇnou popta´vane´ho mnozˇstvı´. Spotrˇebitele´ vsˇak na cenove´ zmeˇny reagujı´ ru˚zneˇ, tedy s ru˚znou mı´rou citlivosti. Pra´veˇ tento proble´m rˇesˇ´ı cenova´ elasticita popta´vky. Cenova´ elasticita popta´vky (P D ) na´m rˇ´ıka´, o kolik procent se zmeˇnı´ popta´vane´ mnozˇstvı´ dane´ho statku, jestlizˇe se jeho cena zmeˇnı´ o 1%. Obloukova´ cenova´ elasticita popta´vky a jejı´ odvozenı´ Obloukova´ cenova´ elasticita popta´vky se ty´ka´ viditelny´ch posunu˚ po popta´vkove´ krˇivce. Je to pru˚meˇrna´ elasticita popta´vky mezi dveˇma body na popta´vkove´ krˇivce. Meˇjme dva body (Q1 , P1 ) a (Q2 , P2 ) na popta´vkove´ krˇivce. Pru˚meˇrna´ procentua´lnı´ zmeˇna ceny mezi teˇmito body je P2 − P1 · 100. %∆P = (P2 + P1 ) /2 A pru˚meˇrna´ procentua´lnı´ zmeˇna popta´vane´ho mnozˇstvı´ mezi body je Q2 − Q1 %∆Q = · 100. (Q2 + Q1 ) /2 Prˇi odvozenı´ postupujeme na´sledovneˇ Q2 − Q1 Q2 − Q1 · 100 %∆Q (Q2 + Q1 ) /2 Q + Q1 = = 2 . (6) P − P P2 − P 1 %∆P 2 1 · 100 (P2 + P1 ) /2 P2 + P1 Definice 4.1. Cˇ´ıslo na prave´ straneˇ rovnice (6) se nazy´va´ koeficient obloukove´ cenove´ elasticity popta´vky, tj. Q2 − Q1 Q + Q1 P D = (−) 2 . P2 − P 1 P2 + P1 Pozna´mka. Vzhledem k neprˇ´ımo u´meˇrne´mu vztahu mezi cenou a popta´vany´m mnozˇstvı´m je cenova´ elasticita popta´vky za´porne´ cˇ´ıslo. V ekonomicke´ literaturˇe je obvykle´, zˇe se prˇed vzorec pro vy´pocˇet elasticity zava´dı´ navı´c zname´nko minus a uvazˇujeme tak kladnou hodnotu elasticity.
4
Elasticita popta´vkove´ funkce
23
Cenova´ elasticita popta´vky v bodeˇ a jejı´ odvozenı´ Pro cenovou elasticitu v bodeˇ je charakteristicke´ to, zˇe jsou zde posuzova´ny nekonecˇneˇ male´ zmeˇny ceny a popta´vane´ho mnozˇstvı´ statku. Pro odvozenı´ elasticity v bodeˇ bereme limitu koeficientu obloukove´ elasticity a soucˇasneˇ prˇedpokla´da´me, zˇe ∆P → 0 a pak i ∆Q → 0, tedy Q2 − Q1 dQ P1 Q2 − Q1 P1 Q + Q1 lim (−) 2 · = (−) · . = lim (−) P 2 − P1 ∆P →0 ∆P →0 P2 − P1 Q1 dP Q1 P 2 + P1 Definice 4.2. Cˇ´ıslo na prave´ straneˇ rovnice (7) popta´vky v bodeˇ, tj. dQ P D = (−) dP 4.1.1
(7)
se nazy´va´ koeficient cenove´ elasticity ·
P . Q
Rozdeˇlenı´ popta´vky podle koeficientu cenove´ elasticity
Nynı´ uvedeme specifikaci popta´vky podle koeficientu cenove´ elasticity, s ohledem na oba zpu˚soby vy´pocˇtu. V dalsˇ´ım textu vsˇak budeme pro jednoduchost pracovat s kladnou hodnotou cenove´ elasticity popta´vky, pokud nebude rˇecˇeno jinak. Definice 4.3. Rˇekneme, zˇe popta´vka je • jednotkoveˇ elasticka´, jestlizˇe P D = −1, resp. P D = 1. Procentnı´ zmeˇna ceny tak vyvola´ stejnou procentnı´ zmeˇnu objemu popta´vane´ho mnozˇstvı´. • neelasticka´, jestlizˇe P D ∈ (−1, 0), resp. P D ∈ (0, 1). Procentnı´ zmeˇna ceny tak vyvola´ mensˇ´ı procentnı´ zmeˇnu objemu popta´vane´ho mnozˇstvı´. • elasticka´, jestlizˇe P D ∈ (−∞, −1), resp. P D ∈ (1, ∞). Procentnı´ zmeˇna ceny tak vyvola´ veˇtsˇ´ı procentnı´ zmeˇnu objemu popta´vane´ho mnozˇstvı´. • dokonale elasticka´, jestlizˇe P D → −∞, resp. P D → ∞. Zmeˇny popta´vane´ho mnozˇstvı´ jsou vyvola´ny jiny´mi faktory, nezˇ cenou. Popta´vka ma´ tvar horizonta´ly. • dokonale neelasticka´, jestlizˇe P D = 0. Popta´vane´ mnozˇstvı´ je konstantnı´, se zmeˇnou ceny se nemeˇnı´. Takova´ popta´vka ma´ tvar vertika´ly. V prˇ´ıpadeˇ, zˇe uvazˇujeme vy´pocˇet elasticity bez prˇidane´ho zname´nka minus, potom jestlizˇe P D > 0, krˇivka popta´vky je rostoucı´ funkcı´. Jedna´ se o Giffenu˚v paradox a jsou tedy popta´va´ny me´neˇcenne´ statky. Jestlizˇe naopak P D ≤ 0, jsou popta´va´ny norma´lnı´ statky. 4.1.2
Monotonie funkce a elasticita
Elasticita popta´vky se projevı´ take´ v graficke´m vyja´drˇenı´, a sice ve sklonu (te´zˇ smeˇrnici) krˇivky popta´vky. Mu˚zˇeme rˇ´ıci, zˇe cˇ´ım veˇtsˇ´ı je sklon krˇivky popta´vky, tı´m me´neˇ je popta´vka elasticka´.
4
Elasticita popta´vkove´ funkce
24
Musı´me vsˇak zdu˚raznit, zˇe sklon krˇivky popta´vky nenı´ da´n procentnı´ zmeˇnou, ale absolutnı´ zmeˇnou. Sklon funkce za´lezˇ´ı na zvoleny´ch jednotka´ch, ve ktery´ch meˇrˇ´ıme cenu a mnozˇstvı´, ale elasticita je neza´visla´ na pouzˇity´ch jednotka´ch. Cenovou elasticitu popta´vky mu˚zˇeme spojovat, ne vsˇak zameˇnˇovat, se sklonem krˇivky popta´vky. U popta´vek, ktere´ majı´ po cele´ de´lce konstantnı´ sklon, se meˇnı´ jejich cenova´ elasticita. Naopak u popta´vky s promeˇnlivy´m sklonem se jejı´ cenova´ elasticita meˇnit nemusı´. Na prˇ´ıkladu elasticity v bodeˇ se o tom mu˚zˇeme prˇesveˇdcˇit. Pro linea´rnı´ tvar popta´vkove´ funkce Q = a − bP , b > 0, dosta´va´me P D = −
P dQ P · =b· , dP Q Q
odkud vidı´me, zˇe sklon linea´rnı´ popta´vkove´ funkce je konstantnı´, ale jejı´ elasticita nikoliv. Pro funkci popta´vky ve tvaru Q = αP −β , α, β > 0 platı´ opacˇny´ za´veˇr, tj. meˇnı´ se sklon funkce, ale jejı´ elasticita je konstantnı´. Uvazˇujme nejprve prˇ´ıpad, pro ktery´ β = 1, tj. Q = P D = αP −2 ·
α P
P αP −1 = = 1. Q αP −1
Vidı´me, zˇe elasticita je konstantnı´ hodnota rovna 1 v kazˇde´m bodeˇ popta´vkove´ funkce. Pro obecny´ tvar popta´vkove´ funkce Q = αP −β dostaneme na´sledujı´cı´ vy´sledek P D = −
dQ P P αβP −β · = αβP −β−1 · = = β. dP Q Q αP −β
Uvedeny´ch souvislostı´ si mu˚zˇeme vsˇimnout na obra´zku 1. P
P
єPD > 1 єPD = 1 єPD = 1
єPD < 1
D
D Q
Q
Obra´zek 1: Promeˇnliva´ a konstantnı´ elasticita popta´vky Pozna´mka. Prˇi kreslenı´ krˇivky popta´vky platı´ za´sada, zˇe cena P se nana´sˇ´ı na svislou a mnozˇstvı´ Q na vodorovnou osu a takto budou i osy oznacˇeny.
4
Elasticita popta´vkove´ funkce
4.1.3
25
Cenova´ elasticita a celkovy´ prˇ´ıjem firmy
Celkovy´ prˇ´ıjem firmy mu˚zˇeme definovat jako soucˇin ceny urcˇite´ho statku a prodane´ho mnozˇstvı´ tohoto statku, tedy T R = P · Q. Bude na´s zajı´mat, jaky´ vy´znam ma´ cenova´ elasticita pro firmu ve vztahu k jejı´mu celkove´mu prˇ´ıjmu. Prˇedpokla´dejme, zˇe dosˇlo ke zvy´sˇenı´ ceny statku. Jaky´ to bude mı´t dopad na celkovy´ prˇ´ıjem firmy? Obecneˇ platı´, zˇe vysˇsˇ´ı cena znamena´ vysˇsˇ´ı prˇ´ıjem z kazˇde´ prodane´ jednotky, soucˇasneˇ ale klesa´ pocˇet prodany´ch jednotek kvu˚li vysˇsˇ´ı ceneˇ. Ktery´ z teˇchto efektu˚ prˇeva´zˇ´ı, za´visı´ pra´veˇ na cenove´ elasticiteˇ popta´vky. Budeme-li uvazˇovat zmeˇnu ceny na P +∆P a zmeˇnu mnozˇstvı´ na Q+∆Q, dostaneme d novy´ prˇ´ıjem T R d T R = (P + ∆P ) (Q + ∆Q) = P Q + Q∆P + P ∆Q + ∆P ∆Q. d R dostaneme Odecˇtenı´m T R od T ∆T R = Q∆P + P ∆Q + ∆P ∆Q.
(8)
Pro male´ hodnoty ∆P a ∆Q je mozˇne´ poslednı´ cˇlen rovnice (8) neuvazˇovat, tedy ∆T R = Q∆P + P ∆Q.
(9)
Nynı´ vydeˇlı´me rovnici (9) vy´razem ∆P a zı´ska´me vztah ∆Q ∆T R =Q+P · , ∆P ∆P ktery´ vyjadrˇuje mı´ru zmeˇny prˇ´ıjmu prˇipadajı´cı´ho na cenovou zmeˇnu. Abychom zjistili, kdy je zmeˇna celkove´ho prˇ´ıjmu firmy kladna´ prˇi na´ru˚stu ceny, je nutne´ rˇesˇit na´sledujı´cı´ rovnici ∆Q Q+P · > 0. ∆P Po u´praveˇ dostaneme P ∆Q − · < 1. (10) Q ∆P Leva´ strana rovnice (10) je prˇiblizˇneˇ rovna P D , takzˇe platı´ P D <1. Celkovy´ prˇ´ıjem firmy se v prˇ´ıpadeˇ na´ru˚stu ceny zvy´sˇ´ı tehdy, jestlizˇe koeficient cenove´ elasticity popta´vky je mensˇ´ı, nezˇ 1. Tedy v prˇ´ıpadeˇ neelasticke´ popta´vky. Ke stejne´mu vy´sledku dospeˇjeme take´ na´sledujı´cı´m zpu˚sobem ∆Q P ∆Q ∆T R =Q+P · =Q 1+ · = Q (1 − P D ) . ∆P ∆P Q ∆P
(11)
Take´ v rovnici (11) lze videˇt, zˇe je-li koeficient cenove´ elasticity mensˇ´ı, nezˇ 1, pak je podı´l ∆T R kladny´. ∆P
4
Elasticita popta´vkove´ funkce
26
V souladu s prˇedesˇly´mi vy´sledky platı´ na´sledujı´cı´ definice o vztahu cenove´ elasticity popta´vky a celkove´ho prˇ´ıjmu firmy. Definice 4.4. • V prˇ´ıpadeˇ elasticke´ popta´vky platı´, zˇe pokles (ru˚st) ceny vyvola´ takovy´ ru˚st (pokles) objemu realizovane´ produkce, zˇe celkovy´ prˇ´ıjem vzroste (klesne). • V prˇ´ıpadeˇ neelasticke´ popta´vky je pokles (ru˚st) ceny doprova´zen takovy´m zvy´sˇenı´m (snı´zˇenı´m) realizovane´ produkce, zˇe celkovy´ prˇ´ıjem klesne (vzroste). • Pokud je popta´vka jednotkoveˇ elasticka´, tak pokles (ru˚st) ceny je doprova´zen zvy´sˇenı´m (snı´zˇenı´m) mnozˇstvı´ realizovane´ produkce, ale celkovy´ prˇ´ıjem se nezmeˇnı´. Takzˇe pokud chce firma efektivneˇ zvy´sˇit sve´ trzˇby, meˇla by se zajı´mat o cenovou elasticitu popta´vky statku, ktery´ produkuje. Prˇedpokla´dejme, zˇe ma´ firma k dispozici dobry´ odhad krˇivky popta´vky po vy´robku, ktery´ proda´va´ a chce stanovit jeho cenu tak, zˇe bude maximalizovat svu˚j zisk (rozdı´l mezi vy´nosy a na´klady). Potom by meˇla by´t cena tohoto vy´robku stanovena na takove´ u´rovni, ktera´ zajistı´, aby popta´vka po takove´m vy´robku byla elasticka´. V oblasti, kde je krˇivka popta´vky neelasticka´, zvy´sˇenı´ ceny vy´robku zpu˚sobı´, zˇe celkovy´ prˇ´ıjem vzroste. Soucˇasneˇ vsˇak klesne mnozˇstvı´ prodany´ch vy´robku˚ a musı´ se tak snı´zˇit vy´robnı´ na´klady, resp. nemohou se zvy´sˇit. Proto se zvysˇuje celkovy´ zisk firmy a z toho vyply´va´, zˇe pohyb v oblasti, kde je krˇivka popta´vky neelasticka´, nemu˚zˇe prˇina´sˇet maxima´lnı´ zisk. 4.1.4
Cenova´ elasticita a meznı´ prˇ´ıjem firmy
V te´to cˇa´sti se budeme zajı´mat o to, jak se zmeˇnı´ prˇ´ıjem firmy v prˇ´ıpadeˇ, kdy dojde ke zmeˇneˇ mnozˇstvı´ urcˇite´ho statku. Tato ota´zka je aktua´lnı´ zejme´na v situacı´ch, kdy uvazˇujeme produkcˇnı´ rozhodnutı´ firem. Meznı´ prˇ´ıjem prˇedstavuje zmeˇnu celkove´ho prˇ´ıjmu firmy v du˚sledku realizace dodatecˇne´ jednotky produkce. V prˇedchozı´ cˇa´sti jsme odvodili, zˇe pro male´ zmeˇny ceny a mnozˇstvı´ je zmeˇna prˇ´ıjmu da´na rovnicı´ (8). Jestlizˇe vydeˇlı´me obeˇ strany te´to rovnice vy´razem ∆Q, zı´ska´me vztah pro meznı´ prˇ´ıjem ∆P ∆T R =P +Q· . (12) MR = ∆Q ∆Q Rovnici (12) lze upravit na na´sledujı´cı´ vztah Q∆P ∆T R =P 1− − , ∆Q P ∆Q jehozˇ druhy´ cˇlen uvnitrˇ za´vorky je prˇiblizˇneˇ reciproka´ hodnota elasticity 1 P D
=
1 Q∆P =− . P ∆Q P ∆Q − Q∆P
4
Elasticita popta´vkove´ funkce
27
Potom vy´raz pro meznı´ prˇ´ıjem dostane podobu ∆T R 1 =P 1− . ∆Q P D To znamena´, zˇe je-li P D = 1, meznı´ prˇ´ıjem je nulovy´ a celkovy´ prˇ´ıjem se v prˇ´ıpade ˇ na´ru˚stu produkce nezmeˇnı´. Pokud by popta´vka byla neelasticka´, potom bude vy´raz 1 − P1D a tedy take´ meznı´ prˇ´ıjem za´porny´. Uvedene´ vy´sledky jsou shrnuty v na´sledujı´cı´ definici a zna´zorneˇny na obra´zku 2. Definice 4.5. • V prˇ´ıpadeˇ elasticke´ popta´vky platı´, zˇe meznı´ prˇ´ıjem je kladny´ a pokles (ru˚st) realizovane´ho mnozˇstvı´ zpu˚sobı´ pokles (ru˚st) celkove´ho prˇ´ıjmu. • V prˇ´ıpadeˇ neelasticke´ popta´vky platı´, zˇe meznı´ prˇ´ıjem je za´porny´ a pokles (ru˚st) realizovane´ho mnozˇstvı´ je doprova´zen ru˚stem (poklesem) celkove´ho prˇ´ıjmu. • V prˇ´ıpadeˇ jednotkoveˇ elasticke´ popta´vky je meznı´ prˇ´ıjem nulovy´ a celkovy´ prˇ´ıjem dosahuje maxima. P
єPD > 1 єPD = 1 єPD < 1 MR
D Q
TR
TRmax
MR>0
MR<0
Q
Obra´zek 2: Vztah prˇ´ıjmu˚ a elasticity
4
Elasticita popta´vkove´ funkce
28
Prˇ´ıklad: Lafferova krˇivka Vztah elasticity a prˇ´ıjmu˚ lze v ekonomii aplikovat take´ v oblasti politicky´ch za´jmu˚, naprˇ. prˇi u´vaha´ch, do jake´ mı´ry se zmeˇnı´ danˇovy´ prˇ´ıjem, dojde-li ke zmeˇneˇ danˇove´ sazby. Krˇivka, ktera´ v ekonomii odra´zˇ´ı vztah danˇovy´ch sazeb a danˇovy´ch prˇ´ıjmu˚ se nazy´va´ Lafferova krˇivka a je zna´zorneˇna na obra´zku 3. Je-li danˇova´ sazba nulova´, take´ danˇove´ prˇ´ıjmy jsou nulove´. Je-li danˇova´ sazba rovna 1, nikdo nebude mı´t za´jem pozˇadovat nebo nabı´zet uvazˇovany´ statek, takzˇe danˇovy´ prˇ´ıjem je take´ nulovy´. Na Lafferoveˇ krˇivce je videˇt, zˇe v prˇ´ıpadeˇ dostatecˇneˇ vysoke´ danˇove´ sazby ma´ jejı´ dalsˇ´ı zvysˇova´nı´ za na´sledek snizˇova´nı´ vybrany´ch danı´. Tzn. je-li prˇekrocˇena danˇova´ sazba t∗ , tak se zdaneˇnı´ ocita´ v tzv. zaka´zane´ zo´neˇ a danˇovy´ prˇ´ıjem klesa´. Vy´sˇe danˇove´ sazby se projevuje jako faktor utlumujı´cı´ ekonomickou aktivitu. daňový příjem
maximální daňový příjem
daňová sazba
Obra´zek 3: Lafferova krˇivka
4.1.5
Faktory ovlivnˇujı´cı´ cenovou elasticitu popta´vky
Nynı´ vysveˇtlı´me, na cˇem cenova´ elasticita popta´vky za´visı´. Mezi nejvy´znamneˇjsˇ´ı faktory, ktere´ ovlivnˇujı´ cenovou elasticitu popta´vky patrˇ´ı: • Povaha potrˇeb, ktere´ statek uspokojuje. Elasticita popta´vky po statcı´ch nezbytny´ch, tedy takovy´ch, ktere´ uspokojujı´ za´kladnı´ zˇivotnı´ potrˇeby, je nizˇsˇ´ı, nezˇ elasticita popta´vky po luxusnı´ch statcı´ch. • Podı´l vy´daju˚ na urcˇity´ statek v rozpocˇtu doma´cnosti. Cˇ´ım je podı´l vysˇsˇ´ı, tı´m vysˇsˇ´ı je elasticita popta´vky po tomto statku. • Existence a dostupnost blı´zky´ch substitutu˚. Cˇ´ım dostupneˇjsˇ´ı jsou substituty, tı´m je elasticita popta´vky vysˇsˇ´ı. ´ zce vymezene´ trhy majı´ vı´ce substitutu˚, a tedy elasticˇteˇjsˇ´ı popta´vku. • Vymezenı´ trhu. U • Cˇasovy´ horizont. S prodluzˇova´nı´m cˇasove´ho horizontu se zvysˇuje elasticita popta´vky.
4
Elasticita popta´vkove´ funkce
4.1.6
29
ˇ esˇene´ prˇ´ıklady R
Prˇ´ıklad 4.1. Funkce dana´ vztahem P = 500 − 50Q vyjadrˇuje popta´vku po oceli, kde Q prˇedstavuje popta´vane´ mnozˇstvı´ oceli meˇrˇene´ v tuna´ch a P je cena oceli vyja´drˇena´ v dolarech za tunu. Pu˚vodnı´ u´rovenˇ cenove´ hladiny je P1 = 100$ a nova´ cena P2 = 200$. Vypocˇ´ıtejte cenovou obloukovou elasticitu popta´vky mezi body (Q1 , P1 ) a (Q2 , P2 ). Da´le konstatujte, o jaky´ typ popta´vky se jedna´ a co byste doporucˇili producentovi oceli, jestlizˇe chce zvy´sˇit sve´ trzˇby a jeho prodejnı´ cena oceli je P1 = 100$? ˇ esˇenı´. Nejprve vyja´drˇ´ıme Q jako funkci P , po u´praveˇ dostaneme R Q = 10 − 0, 02P . Da´le dopocˇ´ıta´me mnozˇstvı´ Q1 a Q2 prˇ´ıslusˇejı´cı´ cena´m P1 a P2 Q1 = 10 − 0, 02P1 = 8
Q2 = 10 − 0, 02P2 = 6.
a
Ma´me tedy body (Q1 , P1 ) = (8, 100) a (Q2 , P2 ) = (6, 200) a budeme pocˇ´ıtat elasticitu mezi teˇmito body podle definice 4.1 P D = −
Q2 − Q1 P2 − P1 2 100 3 . : = : = = 0, 429. Q2 + Q1 P2 + P1 14 300 7
Koeficient cenove´ obloukove´ popta´vky po oceli je roven prˇiblizˇneˇ 0, 429, cozˇ je hodnota patrˇ´ıcı´ do intervalu (0, 1) a proto se podle definice 4.3 jedna´ o neelastickou popta´vku. Jestlizˇe chce producent oceli zvy´sˇit sve´ trzˇby, pak podle definice 4.4 by meˇl zvy´sˇit cenu oceli, nebot’zvy´sˇenı´ ceny vyvola´ pokles popta´vane´ho mnozˇstvı´, ktery´ vsˇak u neelasticke´ popta´vky nebude nijak dramaticky´ a celkove´ trzˇby tak vzrostou. Graf popta´vky po oceli mu˚zˇeme videˇt na obra´zku 4. P 500 Q=10-0,02P
(Q2, P2)
200
(Q1, P1)
100 6
8
10
Q
Obra´zek 4: Popta´vka po oceli
4
Elasticita popta´vkove´ funkce
30
Prˇ´ıklad 4.2. Vypocˇ´ıtejte cenovou elasticitu popta´vkove´ funkce Q = 60 − 3P , prˇi ceneˇ P = 12. Pro jake´ hodnoty ceny je popta´vka elasticka´ a pro jake´ neelasticka´? ˇ esˇenı´. Hodnotu cenove´ elasticity v bodeˇ urcˇ´ıme podle definice 4.2 R P D = −
dQ P 3P 3P 36 · = = = = 1, 5. dP Q Q 60 − 3P 24
K urcˇenı´, pro jake´ hodnoty ceny je popta´vka elasticka´, resp. neelasticka´, vyuzˇijeme definice 4.3. Pro P D = 1 ma´me
3P =1 ⇒ P = 10, 60 − 3P takzˇe popta´vka je jednotkoveˇ elasticka´ prˇi ceneˇ P = 10. Da´le pro P D = 0 ma´me 3P =0 60 − 3P
⇒
P =0
a pro P D → ∞ 3P →∞ ⇒ P = 20. 60 − 3P Mu˚zˇeme tedy rˇ´ıci, zˇe popta´vka je neelasticka´ pro P ∈ h0, 10), prˇicˇemzˇ prˇi ceneˇ P = 0 je dokonale neelasticka´. A popta´vka je elasticka´ pro P ∈ (10, 20i, prˇicˇemzˇ prˇi ceneˇ P = 20 je dokonale neelasticka´. Graf popta´vky mu˚zˇeme videˇt na obra´zku 5.
P 20 Q=60-3P
єPD > 1 10
єPD = 1 єPD < 1 30
60
Q
Obra´zek 5: Popta´vka a jejı´ cenova´ elasticita
4
4.2
Elasticita popta´vkove´ funkce
31
Du˚chodova´ elasticita popta´vky
Nynı´ se budeme zaby´vat tı´m, jak zmeˇna disponibilnı´ho du˚chodu spotrˇebitele ovlivnı´ popta´vane´ mnozˇstvı´ urcˇite´ho statku. Du˚chodova´ elasticita popta´vky (ID ) na´m rˇ´ıka´, o kolik procent se zmeˇnı´ popta´vane´ mnozˇstvı´ dane´ho statku, jestlizˇe se zmeˇnı´ disponibilnı´ du˚chod spotrˇebitele o1%. Vztah pro jejı´ vy´pocˇet lze odvodit analogicky, jako v prˇ´ıpadeˇ cenove´ elasticity popta´vky. Meˇjme tedy Q1 , prˇedstavujı´cı´ pu˚vodneˇ popta´vane´ mnozˇstvı´, ktere´mu odpovı´da´ pu˚vodnı´ u´rovenˇ disponibilnı´ho du˚chodu I1 a Q2 , prˇedstavujı´cı´ noveˇ popta´vane´ mnozˇstvı´ s odpovı´dajı´cı´ u´rovnı´ disponibilnı´ho du˚chodu I2 . Definice 4.6. Koeficient obloukove´ du˚chodove´ elasticity popta´vky je roven
ID
Q2 − Q1 Q + Q1 = 2 . I2 − I1 I2 + I1
Definice 4.7. Koeficient du˚chodove´ elasticity popta´vky v bodeˇ je roven ID =
dQ I · . dI Q
Du˚chodova´ elasticita popta´vky ma´ vypovı´dacı´ schopnost, ktera´ spocˇ´ıva´ v urcˇenı´ charakteru statku˚. Definice 4.8. Rˇekneme, zˇe statek je: • norma´lnı´, jestlizˇe ID > 0, – nezbytny´, jestlizˇe 0 < ID < 1, – luxusnı´, jestlizˇe ID > 1, • me´neˇcenny´, jestlizˇe ID < 0. Da´le platı´, zˇe soucˇet du˚chodovy´ch elasticit vsˇech spotrˇebova´vany´ch statku˚ vyna´sobeny´ch jejich podı´lem na du˚chodu spotrˇebitele je roven jedne´. Nakupuje-li tedy spotrˇebitel luxusnı´ statek, nutneˇ musı´ nakupovat i statek nezbytny´ nebo me´neˇcenny´. Uvazˇujme pro jednoduchost dva statky X a Y . Da´le prˇedpokla´da´me, zˇe vesˇkery´ disponibilnı´ du˚chod spotrˇebitele je vynakla´da´n na na´kup teˇchto statku˚, resp. zˇe spotrˇebitel nevytva´rˇ´ı u´spory. Oznacˇme PX jako cenu statku X a PY cenu statku Y . Podobneˇ QX mnozˇstvı´ statku X a QY mnozˇstvı´ statku Y . Potom platı´ PX · QX + PY · QY = I.
(13)
Rovnici (13) zderivujeme podle promeˇnne´ I a dosta´va´me PX ·
dQY dQX + PY · = 1. dI dI
(14)
4
Elasticita popta´vkove´ funkce
32
Rovnici (14) lze upravit na tvar PX · QX dQX I PY · QY dQY I · · + · · = 1. I dI QX I dI QY a tedy PX · QX PY · Q Y · ID statku X + · ID statku Y = 1, I I kde vy´razy PX I·QX a spotrˇebitele.
PY ·QY I
prˇedstavujı´ podı´l statku˚ X a Y na disponibilnı´m du˚chodu
Vy´znam du˚chodove´ elasticity tedy mu˚zˇeme shrnout na´sledovneˇ. • Mu˚zˇe pomoci stanovit, ktere´ zbozˇ´ı se ma´ vyra´beˇt nebo skladovat, naprˇ. prˇi ru˚stu ekonomiky by se firmy mohly chtı´t vyhnout me´neˇcenne´mu zbozˇ´ı. • Prˇi ru˚stu ekonomiky, a tı´m ru˚stu prˇ´ıjmu˚, mu˚zˇe pomoci firma´m prˇi pla´nova´nı´ vy´roby a tı´m i pocˇtu pracovnı´ku˚. • Mu˚zˇe pomoci firma´m odhadnout potencia´lnı´ zmeˇny popta´vky, naprˇ. roste-li v zahranicˇ´ı prˇ´ıjem, lze uvazˇovat o expanzi na nove´ trhy.
Prˇ´ıklad 4.3. Hodnota du˚chodove´ elasticity popta´vky je ID = 1, 5. Disponibilnı´ du˚chod spotrˇebitele vzrostl o 20%, jak se zmeˇnı´ popta´vane´ mnozˇstvı´ statku? ˇ esˇenı´. Prˇi vy´pocˇtu vyuzˇijeme faktu, zˇe du˚chodova´ elasticita prˇedstavuje pomeˇr procentnı´ R zmeˇny popta´vane´ho mnozˇstvı´ vzhledem k procentnı´ zmeˇneˇ du˚chodu, tedy ID =
%∆Q %∆I
⇒
1, 5 =
%∆Q 20
⇒
%∆Q = 30.
Popta´vane´ mnozˇstvı´ statku vzrostlo o 30%.
Prˇ´ıklad 4.4. Individua´lnı´ popta´vka spotrˇebitele ve tvaru Q = 10000 − 3P + 0, 02I vyjadrˇuje popta´vku po statku X. Cena tohoto statku je P = 1500 a du˚chod spotrˇebitele I = 15000. Vypocˇ´ıtejte hodnotu koeficientu bodove´ du˚chodove´ elasticity popta´vky a urcˇete vlastnost statku X. ˇ esˇenı´. Prˇi vy´pocˇtu pouzˇijeme definici 4.7 R ID =
dQ I 0, 02I . = 0, 052. · = dI Q 10000 − 3P + 0, 02I
Koeficient bodove´ du˚chodove´ elasticity popta´vky je prˇiblizˇneˇ roven 0, 052 a podle definice 4.8 se jedna´ o nezbytny´ statek.
4
4.3
Elasticita popta´vkove´ funkce
33
Krˇ´ızˇova´ elasticita popta´vky
Poslednı´m typem elasticity popta´vkove´ funkce je krˇ´ızˇova´ elasticita, ktera´ vyjadrˇuje citlivost reakce spotrˇebitele na zmeˇnu ceny jine´ho statku. Krˇ´ızˇova´ elasticita popta´vky (CD ) na´m rˇ´ıka´, o kolik procent se zmeˇnı´ popta´vane´ mnozˇstvı´ statku X, jestlizˇe se cena statku Y zmeˇnı´ o 1%. Koeficient krˇ´ızˇove´ elasticity popta´vky lze opeˇt snadno odvodit. Meˇjme PY 1 prˇedstavujı´cı´ cenu statku Y, ktere´mu odpovı´da´ popta´vane´ mnozˇstvı´ statku X, QX1 , vsˇe prˇed zmeˇnou. A PY 2 s QX2 prˇedstavujı´cı´ cenu statku Y a odpovı´dajı´cı´ popta´vane´ mnozˇstvı´ statku X po zmeˇneˇ. Definice 4.9. Koeficient obloukove´ krˇ´ızˇove´ elasticity popta´vky je roven QX2 − QX1 Q + QX1 CD = X2 . PY 2 + PY 1 PY 2 + PY 1 Definice 4.10. Koeficient krˇ´ızˇove´ elasticity popta´vky v bodeˇ je roven dQX PY · . dPY QX Podle koeficientu krˇ´ızˇove´ elasticity popta´vky mu˚zˇeme usuzovat na vztah mezi statkem X a Y. ˇ ekneme, zˇe statky jsou: Definice 4.11. R • substituty, jestlizˇe CD > 0, • komplementy, jestlizˇe CD < 0, • na sobeˇ neza´visle´, jestlizˇe CD = 0. CD =
Vy´znam krˇ´ızˇove´ elasticity popta´vky spocˇ´ıva´ v tom, zˇe firmy mohou odhadnout vliv snı´zˇenı´ ceny konkurencˇnı´ch vy´robku˚ na popta´vku po svy´ch vy´robcı´ch. Stejneˇ tak mohou odhadnout dopad snı´zˇenı´ ceny komplementa´rnı´ho vy´robku na popta´vku po svy´ch vy´robcı´ch, naprˇ. dojde-li ke snı´zˇenı´ ceny pocˇ´ıtacˇu˚, o kolik se zvy´sˇ´ı popta´vka po programove´m vybavenı´. Prˇ´ıklad 4.5. Individua´lnı´ popta´vka po statku X ma´ tvar QX = 100−3PX +5PY +0, 03I, prˇicˇemzˇ QX a PX = 15 prˇedstavujı´ popta´vane´ mnozˇstvı´ a cenu statku X, PY = 10 je cena statku Y a I = 1000 je disponibilnı´ du˚chod spotrˇebitele. Urcˇete krˇ´ızˇovou elasticitu popta´vky spotrˇebitele a da´le, o jake´ statky se jedna´. ˇ esˇenı´. K vy´pocˇtu pouzˇijeme definici 4.10 R 5PY dQX PY . · = = 0, 37. dPY QX 100 − 3PX + 5PY + 0, 03I Koeficient bodove´ krˇ´ızˇove´ elasticity popta´vky je prˇiblizˇneˇ roven 0, 37 a mu˚zˇeme rˇ´ıci, zˇe podle definice 4.11 jsou statky X a Y substituty. CD =
4
4.4
Elasticita popta´vkove´ funkce
34
Vztah mezi elasticitami
Pro analy´zu vztahu˚ mezi elasticitami popta´vky, tj. cenovou, du˚chodovou a krˇ´ızˇovou, je du˚lezˇity´ jejich soucˇet. Popta´vkova´ funkce je matematicky homogennı´ funkcı´ nulte´ho stupneˇ, cozˇ v ekonomii znamena´, zˇe prˇi stejne´m zvy´sˇenı´ vsˇech cen i du˚chodu spotrˇebitele se popta´vka nezmeˇnı´. V tomto odstavci budeme pracovat s pu˚vodnı´m vzorcem pro vy´pocˇet cenove´ elasticity popta´vky, tedy bez prˇidane´ho zname´nka minus. Prˇedpokla´dejme, zˇe popta´vka po statku X je ovlivneˇna pouze cenami statku˚ X a Y , tj. PX a PY a disponibilnı´m du˚chodem spotrˇebitele I, pak soucˇet elasticit je nulovy´. Prˇi odvozenı´ vycha´zı´me z uvedene´ho prˇedpokladu a tedy platı´ ∂QX ∂QX ∂QX · PX + ·I + · PY = 0. ∂PX ∂I ∂PY
(15)
Rovnici (15) vydeˇlı´me promeˇnnou QX ∂QX PX ∂QX I ∂QX PY · + · + · = 0, ∂PX QX ∂I QX ∂PY QX cˇ´ımzˇ zı´ska´me soucˇet elasticit v bodeˇ a tedy platı´ P D + ID + CD = 0. Prˇ´ıklad 4.6. Je da´na individua´lnı´ popta´vka ve tvaru QX = 30 − 2PX + 3PY + 0, 004I. QX prˇedstavuje popta´vane´ mnozˇstvı´ statku X. Da´le cena tohoto statku je PX = 50, cena alternativnı´ho zbozˇ´ı je PY = 20 a disponibilnı´ du˚chod spotrˇebitele je I = 10000. Ukazˇte, zˇe soucˇet cenove´, du˚chodove´ a krˇ´ızˇove´ elasticity je nulovy´ a vy´sledky interpretujte. ˇ esˇenı´. Opeˇt budeme postupovat podle prˇ´ıslusˇny´ch definic koeficientu˚ elasticit v bodeˇ, R pocˇ´ıtejme postupneˇ P D =
−2PX 10 . dQX PX · = = − = −3, 333 dPX QX 30 − 2PX + 3PY + 0, 004I 3
ID = CD
dQX I 0, 004I 4 · = = dI QX 30 − 2PX + 3PY + 0, 004I 3 3PY dQX PY · = = = dPY QX 30 − 2PX + 3PY + 0, 004I
. = 1, 333 6 = 2. 3
Lze snadno videˇt, zˇe P D + ID + CD = 0. Da´le mu˚zˇeme rˇ´ıci, zˇe popta´vka je cenoveˇ elasticka´, uvedene´ statky jsou luxusnı´ a soucˇasneˇ substituty. Tyto vy´sledky jsou take´ v souladu s odstavcem 4.1.5, ve ktere´m se rˇ´ıka´, zˇe cenova´ elasticita popta´vky po statku, ktery´ ma´ dostupne´ substituty, je vı´ce elasticka´, nezˇ popta´vka po statku, ktery´ substituty nema´. A take´, zˇe cenova´ elasticita popta´vky po luxusnı´m statku je vysˇsˇ´ı, nezˇ po statku nezbytne´m.
5
5
Elasticita nabı´dkove´ funkce
35
Elasticita nabı´dkove´ funkce
U nabı´dkove´ funkce na´s bude zajı´mat jejı´ cenova´ elasticita.
5.1
Cenova´ elasticita nabı´dky
Vztah mezi cenou a nabı´zeny´m mnozˇstvı´m je prˇ´ımo u´meˇrny´ a to, s jakou intenzitou reagujı´ firmy na cenove´ zmeˇny, vyjadrˇuje cenova´ elasticita nabı´dky. Cenova´ elasticita nabı´dky (P S ) na´m rˇ´ıka´, o kolik procent se zmeˇnı´ nabı´zene´ mnozˇstvı´ dane´ho statku, jestlizˇe se jeho cena zmeˇnı´ o 1%. Vztahy pro vy´pocˇet obloukove´ elasticity i elasticity v bodeˇ jsou podobne´, jako v prˇ´ıpadeˇ popta´vky, uvazˇujeme vsˇak nabı´zene´ mnozˇstvı´. Da´le platı´, zˇe hodnota cenove´ elasticity nabı´dky je kladna´, vzhledem k prˇ´ımo u´meˇrne´mu vztahu mezi cenou a nabı´zeny´m mnozˇstvı´m. Platı´ tedy na´sledujı´cı´ definice. Definice 5.1. Koeficient obloukove´ cenove´ elasticity nabı´dky je roven
P S
Q2 − Q1 Q + Q1 . = 2 P2 − P 1 P2 + P 1
Definice 5.2. Koeficient cenove´ elasticity nabı´dky v bodeˇ je roven P S =
dQ P · . dP Q
Nabı´dku mu˚zˇeme podle hodnoty koeficientu cenove´ elasticity specifikovat na´sledovneˇ. Definice 5.3. Rˇekneme, zˇe nabı´dka je • jednotkoveˇ elasticka´, jestlizˇe P S = 1 , • neelasticka´, jestlizˇe P S ∈ (0, 1), • elasticka´, jestlizˇe P S ∈ (1, ∞), • dokonale elasticka´, jestlizˇe P S → ∞, • dokonale neelasticka´, jestlizˇe P S = 0. Podobneˇ jako v prˇ´ıpadeˇ popta´vky se mu˚zˇeme zaby´vat vztahem mezi monotoniı´ funkce a jejı´ elasticitou take´ u nabı´dky. Opeˇt platı´, zˇe u linea´rnı´ funkce nabı´dky se meˇnı´ jejı´ elasticita, ale sklon zu˚sta´va´ konstantnı´ a u funkce nabı´dky v exponencia´lnı´m tvaru dosta´va´me opacˇny´ vy´sledek. Cenovou elasticitu nabı´dky ovlivnˇuje prˇedevsˇ´ım cˇasovy´ horizont. V dlouhe´m obdobı´ je nabı´dka elasticˇteˇjsˇ´ı.
Literatura
36
Literatura [1] Hoy, M. and all Mathematics for Economics, second ed., The MIT Press, Cambridge London 2001 [2] Dosˇla´, Z., Kuben, J. Diferencia´lnı´ pocˇet funkcı´ jedne´ promeˇnne´, 1. vyd., Masarykova univerzita, Brno 2004 [3] Maca´kova´, L. a kol. Mikroekonomie. Za´kladnı´ kurs, 10. vyd., Melandrium, Slany´ 2007, ISBN 978-80-86175-56-0 [4] Maca´kova´, L., Soukupova´ J. Mikroekonomie - repetitorium, 2. vyd., Melandrium, Slany´ 1998, ISBN 80-86175-01-4 [5] Musil, P.,Fuchs, K., Franc, A., Grigarcˇ´ıkova´, Sˇ. Ekonomie, 1. vyd., Plzenˇ: Alesˇ Cˇeneˇk, s.r.o., 2008, ISBN 978-80-7380-126-7 [6] Varian, H. R. Mikroekonomie modernı´ prˇ´ıstup, 1. vyd., Victoria Publishing, Praha 1995, ISBN 80-85865-25-4 [7] Buchta, M. Mikroekonomie II, 2. vyd., Univerzita Pardubice, 2006, ISBN 80-7194813-6
