Fungsi periodizer kutub dituliskan pula sebagai: 𝑝 𝜃, 𝑁, 𝜃0 =
𝜋 2 − 𝑁 𝑁
tersebut
dapat
𝑓 𝑝 𝜃, 𝑁, 𝜃0
=
𝜋 2 − 𝑁 𝑁
∞
𝑗=1
1 sin 𝑁𝑗 𝜃 − 𝜃0 , 𝑗
∞
1 sin 𝑁𝑛 𝜃 − 𝜃0 . 𝑛 𝑛=1 (11)
1.0
diperoleh dengan menyubstitusi variabel 𝜃 pada 𝑓 𝜃 = 𝜃 dengan fungsi periodizer kutub p. Kurva fungsi periodizer kutub 𝑓 dengan beberapa nilai N dan 0 ditampilkan sebagai berikut: 1.5
0.5 1.0
0.5
1.0
0.5
0.5
1.0 1.5
1.0
0.5
0.5
1.0
1.5
0.5 0.5
1.0
1.0
1.5
(a)
Gambar 9 Kurva fungsi periodizer kutub 𝑝 𝜃, 5, 0 , 0 ≤ 𝜃 ≤ 2𝜋.
1.0
Ilustrasi dengan contoh: 0.5
Grafik fungsi 𝑓 𝜃 = 𝜃, 0 /2, ditampilkan sebagai berikut: 1.0
0.5
0.5
1.0
1.5 0.5
1.0
1.0
(b) 0.5
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5
Gambar 10 Kurva 𝑓 𝜃 = 𝜃, 0 /2.
Gambar 11 Kurva fungsi periodizer kutub 𝑓 dengan: (a) N = 4 dan 𝜃0 = 0 rad, 𝜋 (b) N = 5 dan 𝜃0 = 4 rad.
Fungsi periodizer untuk 𝑓 dituliskan sebagai berikut:
III HASIL DAN PEMBAHASAN Karya ilmiah ini menyajikan persamaan tunggal untuk menampilkan kurva komposit (dapat terbuka atau tertutup) dan persamaan tunggal untuk kurva periodik. Perangkat matematika yang digunakan adalah fungsi tangga satuan Heaviside (untuk kurva komposit umum) dan fungsi periodizer (untuk kurva periodik).
Persamaan tunggal yang dibentuk selanjutnya diterapkan pada kurva komposit sederhana dan bangun geometri poligon. 3.1 Fungsi Tangga Satuan Heaviside Penggunaan fungsi tangga satuan Heaviside dalam mendefinisikan fungsi bilangan real pada selang tertentu dapat diilustrasikan sebagai berikut. Misalkan
6 sebuah fungsi bilangan real 𝑓, dalam variabel x, kontinu di seluruh bilangan real. Jika 𝑎, 𝑏 adalah bilangan real, maka ruas kurva terbatas dari 𝑥 = 𝑎 ke 𝑥 = 𝑏 (dengan a < b), dapat dituliskan: 𝑔 𝑥 = 𝑓 𝑥 𝐻 𝑥, 𝑎 − 𝐻 𝑥, 𝑏
𝐻 𝑥, 𝑎 =
0, 𝑥 < 𝑎 1, 𝑥 > 𝑎
𝐻 𝑥, 𝑏 =
0, 𝑥 < 𝑏 1, 𝑥 > 𝑏
Persamaan (3) pada Bab II mendefinisikan suatu fungsi tangga satuan Heaviside yang berbentuk 𝐻 𝑥, 𝑎 , bernilai 0 ketika 𝑥 < 𝑎 dan bernilai 1 ketika 𝑥 > 𝑎. Persamaan (3) ini tidak mendefinisikan nilai fungsi 𝐻 ketika 𝑥 = 𝑎. Jika dikaitkan dengan ilustrasi fungsi tangga satuan Heaviside sebagai tombol “switch on” pada suatu alat elektronik, maka kondisi ketika tombol “switch on” ditekan dapat diinterpretasikan bahwa alat sudah menyala (bernilai 1) atau alat masih belum menyala (bernilai 0). Maka dari itu, fungsi tangga satuan Heaviside pada pembentukan fungsi tunggal didefinisikan menjadi dua bentuk, yaitu: 𝐻1 𝑥, 𝑎 =
0, 𝑥 ≤ 𝑎 1, 𝑥 > 𝑎
(13)
𝐻2 𝑥, 𝑎 =
0, 𝑥 < 𝑎 1, 𝑥 ≥ 𝑎
(14)
x H2(x,a)
1
a
1, 𝜃 > 𝛼 0, 𝜃 ≤ 𝛼
(15)
𝐻2 𝜃, 𝛼 =
1, 𝜃 ≥ 𝛼 0, 𝜃 < 𝛼
(16)
Gambar 13 Fungsi tangga satuan Heaviside 𝐻1 dan 𝐻2 dalam koordinat kutub. Perbedaan pada pendefinisian fungsi tangga satuan Heaviside ini akan berpengaruh pada pendefinisian fungsi bernilai real dengan pertaksamaan daerah asal yang beragam. 3.2 Persamaan Segmen Kurva Fungsi pada Suatu Selang Fungsi
H1(x,a)
a
𝐻1 𝜃, 𝛼 =
(12)
dengan 𝐻(𝑥, 𝑎) & 𝐻(𝑥, 𝑏) adalah fungsi tangga satuan Heaviside yang berbentuk:
1
Fungsi tangga satuan Heaviside (13) dan (14) dapat pula dituliskan dalam koordinat kutub, yaitu:
x
Gambar 12 Fungsi tangga satuan Heaviside 𝐻1 dan 𝐻2 dalam koordinat Cartesius.
3.2.1 Persamaan Segmen Kurva Fungsi pada [𝒂𝟏 , 𝒂𝒏 ) Kurva f dalam variabel x yang terdefinisi pada daerah asal [𝑎1 , 𝑎𝑛 ) dapat disajikan sebagai berikut: 𝑔 𝑥 = 𝑓 𝑥 𝐻2 𝑥, 𝑎1 − 𝐻2 𝑥, 𝑎𝑛 , 𝑎1 ≤ 𝑥 < 𝑎𝑛 (17) Persamaan (17) diperoleh dengan prosedur sebagai berikut. Didefinisikan fungsi tangga satuan Heaviside untuk x pada ujung selang, yaitu 𝑥 = 𝑎1 dan 𝑥 = 𝑎𝑛 , (mengacu pada persamaan (14)):
7
𝐻2 𝑥, 𝑎1 =
1, 𝑥 ≥ 𝑎1 0, 𝑥 < 𝑎1
𝐻2 𝑥, 𝑎𝑛 =
1, 𝑥 ≥ 𝑎𝑛 0, 𝑥 < 𝑎𝑛
kemudian ditentukan nilai dari: 𝐻2 𝑥, 𝑎1 − 𝐻2 𝑥, 𝑎𝑛 0 − 0, 𝑥 < 𝑎1 1 = − 0, 𝑥 ≥ 𝑎1 dan 𝑥 < 𝑎𝑛 1 − 1, 𝑥 ≥ 𝑎𝑛 =
0, 𝑥 < 𝑎1 atau 𝑥 ≥ 𝑎𝑛 1, 𝑎1 ≤ 𝑥 < 𝑎𝑛
𝑔 𝑥 = 𝑓 𝑥 𝐻2 𝑥, 𝑎1 − 𝐻2 𝑥, 𝑎𝑛 0, 𝑥 < 𝑎1 atau 𝑥 ≥ 𝑎𝑛 = 𝑓 𝑥 , 𝑎1 ≤ 𝑥 < 𝑎𝑛 Fungsi 𝑔 mendefinisikan bahwa 𝑔 𝑥 = 𝑓 𝑥 ketika 𝑎1 ≤ 𝑥 < 𝑎𝑛 , dan fungsi 𝑔 bernilai nol pada 𝑥 < 𝑎1 atau 𝑥 ≥ 𝑎𝑛 . 3.2.2 Persamaan Segmen Kurva Fungsi pada (𝒂𝟏 , 𝒂𝒏 ]
𝑔 𝑥 = 𝑓 𝑥 𝐻1 𝑥, 𝑎1 − 𝐻1 𝑥, 𝑎𝑛 0, 𝑥 ≤ 𝑎1 atau 𝑥 > 𝑎𝑛 = 𝑓 𝑥 , 𝑎1 < 𝑥 ≤ 𝑎𝑛 Fungsi 𝑔 mendefinisikan bahwa 𝑔 𝑥 = 𝑓 𝑥 ketika 𝑎1 < 𝑥 ≤ 𝑎𝑛 , dan fungsi 𝑔 bernilai nol pada 𝑥 ≤ 𝑎1 atau 𝑥 > 𝑎𝑛 . 3.2.3 Persamaan Segmen Kurva Fungsi pada [𝒂𝟏 , 𝒂𝒏 ] Kurva f dalam variabel x yang terdefinisi pada daerah asal [𝑎1 , 𝑎𝑛 ] dapat disajikan sebagai berikut: 𝑔 𝑥 = 𝑓 𝑥 𝐻2 𝑥, 𝑎1 − 𝐻1 𝑥, 𝑎𝑛 , 𝑎1 ≤ 𝑥 ≤ 𝑎𝑛 . (19) Persamaan (19) diperoleh dengan prosedur sebagai berikut. Didefinisikan fungsi tangga satuan Heaviside untuk x pada ujung selang, yaitu 𝑥 = 𝑎1 dan 𝑥 = 𝑎𝑛 , (mengacu pada persamaan (13) dan (14)):
Kurva f dalam variabel x yang terdefinisi pada daerah asal (𝑎1 , 𝑎𝑛 ] dapat disajikan sebagai berikut: 𝑔 𝑥 = 𝑓 𝑥 𝐻1 𝑥, 𝑎1 − 𝐻1 𝑥, 𝑎𝑛 , 𝑎1 < 𝑥 ≤ 𝑎𝑛 . (18) Persamaan (18) diperoleh dengan prosedur sebagai berikut. Didefinisikan fungsi tangga satuan Heaviside untuk x pada ujung selang, yaitu 𝑥 = 𝑎1 dan 𝑥 = 𝑎𝑛 , (mengacu pada persamaan (13)): 𝐻1 𝑥, 𝑎1 =
1, 𝑥 > 𝑎1 0, 𝑥 ≤ 𝑎1
𝐻1 𝑥, 𝑎𝑛 =
1, 𝑥 > 𝑎𝑛 0, 𝑥 ≤ 𝑎𝑛
kemudian ditentukan nilai dari: 𝐻1 𝑥, 𝑎1 − 𝐻1 𝑥, 𝑎𝑛 0 − 0, 𝑥 ≤ 𝑎1 = 1 − 0, 𝑥 > 𝑎1 dan 𝑥 ≤ 𝑎𝑛 1 − 1, 𝑥 > 𝑎𝑛 =
0, 𝑥 ≤ 𝑎1 atau 𝑥 > 𝑎𝑛 1, 𝑎1 < 𝑥 ≤ 𝑎𝑛
𝐻2 𝑥, 𝑎1 =
1, 𝑥 ≥ 𝑎1 0, 𝑥 < 𝑎1
𝐻1 𝑥, 𝑎𝑛 =
1, 𝑥 > 𝑎𝑛 0, 𝑥 ≤ 𝑎𝑛
kemudian ditentukan nilai dari: 𝐻2 𝑥, 𝑎1 − 𝐻1 𝑥, 𝑎𝑛 0 − 0, 𝑥 < 𝑎1 = 1 − 0, 𝑥 ≥ 𝑎1 dan 𝑥 ≤ 𝑎𝑛 1 − 1, 𝑥 > 𝑎𝑛 =
0, 𝑥 < 𝑎1 atau 𝑥 > 𝑎𝑛 1, 𝑎1 ≤ 𝑥 ≤ 𝑎𝑛
𝑔 𝑥 = 𝑓 𝑥 𝐻2 𝑥, 𝑎1 − 𝐻1 𝑥, 𝑎𝑛 0, 𝑥 < 𝑎1 atau 𝑥 > 𝑎𝑛 = 𝑓 𝑥 , 𝑎1 ≤ 𝑥 ≤ 𝑎𝑛 Fungsi 𝑔 mendefinisikan bahwa 𝑔 𝑥 = 𝑓 𝑥 ketika 𝑎1 ≤ 𝑥 ≤ 𝑎𝑛 , dan fungsi 𝑔 bernilai nol pada 𝑥 < 𝑎1 atau 𝑥 > 𝑎𝑛 . 3.2.4 Persamaan Segmen Kurva Fungsi pada 𝒂𝟏 , 𝒂𝒏 Kurva f dalam variabel x yang terdefinisi pada daerah asal 𝑎1 , 𝑎𝑛 dapat disajikan sebagai berikut:
8
𝑔 𝑥 = 𝑓 𝑥 𝐻1 𝑥, 𝑎1 − 𝐻2 𝑥, 𝑎𝑛 , 𝑎1 < 𝑥 < 𝑎𝑛 . (20) Persamaan (20) diperoleh dengan prosedur sebagai berikut. Didefinisikan fungsi tangga satuan Heaviside untuk x pada ujung selang, yaitu 𝑥 = 𝑎1 dan 𝑥 = 𝑎𝑛 , (mengacu pada persamaan (13) dan (14)): 𝐻1 𝑥, 𝑎1 =
1, 𝑥 > 𝑎1 0, 𝑥 ≤ 𝑎1
𝐻2 𝑥, 𝑎𝑛 =
1, 𝑥 ≥ 𝑎𝑛 0, 𝑥 < 𝑎𝑛
kemudian ditentukan nilai dari: 𝐻1 𝑥, 𝑎1 − 𝐻2 𝑥, 𝑎𝑛 0 − 0, 𝑥 ≤ 𝑎1 = 1 − 0, 𝑥 > 𝑎1 dan 𝑥 < 𝑎𝑛 1 − 1, 𝑥 ≥ 𝑎𝑛 0, 𝑥 ≤ 𝑎1 atau 𝑥 ≥ 𝑎𝑛 = 1, 𝑎1 < 𝑥 < 𝑎𝑛 𝑔 𝑥 = 𝑓 𝑥 𝐻1 𝑥, 𝑎1 − 𝐻2 𝑥, 𝑎𝑛 0, 𝑥 ≤ 𝑎1 atau 𝑥 ≥ 𝑎𝑛 = 𝑓 𝑥 , 𝑎1 < 𝑥 < 𝑎𝑛 Fungsi 𝑔 mendefinisikan bahwa 𝑔 𝑥 = 𝑓 𝑥 ketika 𝑎1 < 𝑥 < 𝑎𝑛 , dan fungsi 𝑔 bernilai nol pada 𝑥 ≤ 𝑎1 atau 𝑥 ≥ 𝑎𝑛 . Secara umum, pola persamaan (17) sampai (20) dapat dituliskan seperti pada Tabel 1. Tabel 1 Tabel pengali fungsi f pada selang tertentu Tipe Domain f Pengali (Heaviside) 1
[a,b)
𝐻2 (𝑎) − 𝐻2 (𝑏)
2
(a,b]
𝐻1 (𝑎) − 𝐻1 (𝑏)
3
[a,b]
𝐻2 (𝑎) − 𝐻1 (𝑏)
4
(a,b)
𝐻1 (𝑎) − 𝐻2 (𝑏)
garis lurus, parabola, hiperbola dan kurva lainnya dalam sistem koordinat Cartesius atau gabungan dari fungsi trigonometri, lingkaran dan kurva lainnya dalam sistem koordinat kutub. Kurva komposit lazimnya disajikan dalam bentuk fungsi sesepenggal. Pada karya ilmiah ini diperkenalkan metode lain untuk menyajikan kurva komposit dengan menggunakan fungsi tangga satuan Heaviside. Misalkan f adalah fungsi sesepenggal bernilai real dengan variabel bebas x yang didefinisikan sebagai berikut: 𝑓1 𝑥 , 𝑎1 ≤ 𝑥 < 𝑎2 𝑓2 𝑥 , 𝑎2 ≤ 𝑥 ≤ 𝑎3 𝑓 𝑥 = ⋮ 𝑓𝑛 −1 𝑥 , 𝑎𝑛−1 ≤ 𝑥 < 𝑎𝑛 𝑎1 , 𝑎2 , … , 𝑎𝑛 ∈ ℝ atau 𝑓 𝑥 = 𝑓1 𝑥 , 𝑎1 ≤ 𝑥 < 𝑎2 ; 𝑓 𝑥 = 𝑓2 𝑥 , 𝑎2 ≤ 𝑥 ≤ 𝑎3 ; ⋮ 𝑓 𝑥 = 𝑓𝑛 −1 𝑥 , 𝑎𝑛−1 ≤ 𝑥 < 𝑎𝑛 .
Persamaan (21) dapat didefinisikan pula sebagai berikut (mengacu pada Tabel 1): 𝑓 𝑥 = 𝑓1 𝑥 𝐻2 𝑥, 𝑎1 − 𝐻2 𝑥, 𝑎2 , 𝑓 𝑥 = 𝑓2 𝑥 𝐻2 𝑥, 𝑎2 − 𝐻1 𝑥, 𝑎3 , ⋮ 𝑓 𝑥 = 𝑓𝑛 −1 𝑥 𝐻2 𝑥, 𝑎𝑛−1 − 𝐻2 𝑥, 𝑎𝑛 . (22) Selanjutnya, rangkaian persamaan (22) digabungkan dengan operasi penjumlahan sehingga diperoleh sebuah persamaan tunggal sebagai berikut: 𝑓 𝑥 = 𝑓1 𝑥 𝐻2 𝑥, 𝑎1 − 𝐻2 𝑥, 𝑎2 +𝑓2 𝑥 𝐻2 𝑥, 𝑎2 − 𝐻1 𝑥, 𝑎3 + ⋯ + 𝑓𝑛 −1 𝑥 𝐻2 𝑥, 𝑎𝑛−1 − 𝐻2 𝑥, 𝑎𝑛 atau dapat diekspresikan:
𝑎 < 𝑏; 𝑎, 𝑏 konstanta ∈ ℝ
𝑛−1
𝑓 𝑥 = dengan nilai 𝐻𝑗 (𝑎) sama dengan 𝐻𝑗 𝑥, 𝑎 dalam persamaan Cartesius dan 𝐻𝑗 𝜃, 𝑎 dalam persamaan kutub; j = 1, 2. 3.3 Persamaan Tunggal Kurva Komposit Kurva komposit merupakan gabungan dari beberapa kurva, dapat berupa gabungan dari
(21)
𝑓𝑖 𝑥
𝐻𝑗 𝑥, 𝑎𝑖 − 𝐻𝑘 𝑥, 𝑎𝑖+1 ,
𝑖=1
(23) ∀ 𝑗 = 1, 2 ; 𝑘 = 1, 2; 𝑗 = 1 jika 𝑥 = 𝑎𝑖 ∉ 𝐷𝑓 𝑖 , 𝑗 = 2 jika 𝑥 = 𝑎𝑖 ∈ 𝐷𝑓 𝑖 , 𝑘 = 1 jika 𝑥 = 𝑎𝑖+1 ∈ 𝐷𝑓 𝑖 ,
9 5
𝑘 = 2 jika 𝑥 = 𝑎𝑖+1 ∉ 𝐷𝑓 𝑖 , 𝑖 = 1, 2, … , 𝑛 − 1;
− 2 𝑥 − 5, −4 ≤ 𝑥 ≤ −2; =
Persamaan (23) dapat disajikan pula dalam persamaan koordinat kutub, yaitu dengan mengubah variabel bebas x dengan variabel . 𝑛 −1
𝑓 𝜃 =
𝑓𝑖 𝜃
𝐻𝑗 𝜃, 𝑎𝑖 − 𝐻𝑘 𝜃, 𝑎𝑖+1 ,
𝑖 =1
(24) ∀ 𝑗 = 1, 2 ; 𝑘 = 1, 2; 𝑗 = 1 jika 𝜃 = 𝑎𝑖 ∉ 𝐷𝑓 𝑖 , 𝑗 = 2 jika 𝜃 = 𝑎𝑖 ∈ 𝐷𝑓 𝑖 , 𝑘 = 1 jika 𝜃 = 𝑎𝑖+1 ∈ 𝐷𝑓 𝑖 , 𝑘 = 2 jika 𝜃 = 𝑎𝑖+1 ∉ 𝐷𝑓 𝑖 , 𝑖 = 1, 2, … , 𝑛 − 1;
3 𝑥 + 3, 2 3 − 2 𝑥 + 3, 5 𝑥 − 5, 2
−2 < 𝑥 < 0; 0 ≤ 𝑥 < 2;
(25)
2 ≤ 𝑥 < 4;
2. 𝑛 = 5, 𝑎1 = −4, 𝑎2 = −2, 𝑎3 = 0, 𝑎4 = 2, 𝑎5 = 4; 3. Fungsi 𝑓1 , 𝑓2 , 𝑓3 , dan 𝑓4 memiliki daerah asal yang berbeda-beda, maka pengali fungsi tangga satuan Heaviside yang digunakan juga berbeda (mengacu pada Tabel 1). Tabel 2 Tabel pengali fungsi 𝑓𝑖 pada (25) Fungsi Domain Pengali 𝒇𝟏 (𝒙)
[−4, −2]
𝐻2 𝑥, −4 − 𝐻1 (𝑥, −2)
Langkah Penyelesaian Kasus
𝒇𝟐 (𝒙)
(−2,0)
𝐻1 𝑥, −2 − 𝐻2 (𝑥, 0)
Persamaan (23) dan (24) berlaku untuk mengubah fungsi sesepenggal menjadi fungsi tunggal yang dapat menampilkan kurva komposit. Langkah penyelesaian kasus representasi fungsi tunggal untuk kurva komposit adalah:
𝒇𝟑 (𝒙)
[0,2)
𝐻2 𝑥, 0 − 𝐻2 𝑥, 2
𝒇𝟒 (𝒙)
[2,4)
𝐻2 𝑥, 2 − 𝐻2 𝑥, 4
4. Persamaan tunggal kurva komposit 𝑓(𝑥): 4
𝑓 𝑥 = 1. didefinisikan fungsi sesepenggal dan pertaksamaan daerah asalnya (nilai x untuk koordinat Cartesius dan untuk koordinat kutub),
4. ditentukan persamaan tunggal kurva komposit dengan menyubstitusikan hasil poin (1) dan (3) pada persamaan (23) untuk persamaan Cartesius dan persamaan (24) untuk persamaan kutub.
𝑖=1
(26) 5. Kurva 𝑓 pada (26) dibangkitkan dengan perintah Plot pada software Mathematica 8.0 (algoritme program dapat dilihat di Lampiran 2). y 5 4 3
Contoh 1 Kurva Komposit dalam Sistem Koordinat Cartesius 1. Sebuah fungsi sesepenggal didefinisikan sebagai berikut:
𝐻𝑗 𝑥, 𝑎𝑖 − 𝐻𝑘 𝑥, 𝑎𝑖+1
= 𝑓1 𝑥 𝐻2 𝑥, −4 − 𝐻1 𝑥, −2 +𝑓2 𝑥 𝐻1 𝑥, −2 − 𝐻2 𝑥, 0 +𝑓3 𝑥 𝐻2 𝑥, 0 − 𝐻2 𝑥, 2 +𝑓4 (𝑥) 𝐻2 𝑥, 2 − 𝐻2 𝑥, 4
2. ditentukan nilai n yaitu banyaknya batas fungsi (𝑥 = 𝑎𝑖 , 𝑖 = 1,2, … , 𝑛), 3. didefinisikan pengali fungsi tangga satuan Heaviside untuk setiap fungsi,
𝑓𝑖 𝑥
2 1
4
2
2
4
Gambar 14 Kurva fungsi sesepenggal 𝑓. 𝑓1 𝑥 , −4 ≤ 𝑥 ≤ −2; 𝑓2 𝑥 , −2 < 𝑥 < 0; 𝑓 𝑥 = 𝑓3 𝑥 , 0 ≤ 𝑥 < 2; 𝑓4 𝑥 , 2 ≤ 𝑥 < 4;
x
10 Contoh 2 Kurva Komposit dalam Sistem Koordinat Kutub
𝑔2 𝜃 ;
𝑔 𝑥 =
+𝑔3 𝜃
𝜋
0 ≤𝜃 < 2; 𝜋
2
+𝑔4 𝜃
≤ 𝜃 ≤ 𝜋;
𝑔3 𝜃 ;
𝜋<𝜃<
𝑔4 𝜃 ;
3𝜋 2
𝐻2 𝜃, 0 − 𝐻2 𝜃, 2 +𝑔2 𝜃
1. Sebuah fungsi sesepenggal didefinisikan sebagai berikut: 𝑔1 𝜃 ,
𝜋
= 𝑔1 𝜃
3𝜋 2
(27)
;
𝜋 − 𝐻1 𝜃, 𝜋 2 3𝜋 𝐻1 𝜃, 𝜋 − 𝐻2 𝜃, 2 3𝜋 𝐻2 𝜃, − 𝐻2 𝜃, 2𝜋 2 (28) 𝐻2 𝜃,
5. Kurva 𝑔 pada (28) dibangkitkan dengan perintah PolarPlot pada software Mathematica 8.0 (algoritme program dapat dilihat di Lampiran 2).
≤ 𝜃 < 2𝜋;
𝑔1 𝜃 = 4 cos 𝜃 cos 𝜃 ; 1
𝑔2 𝜃 = −4 − cos 𝜃 cos 𝜃 ; 𝑔3 𝜃 2 cos(𝜃) + 2 cos(𝜃)2 + 4 sin(𝜃)2 = ; sin(𝜃)2 𝑔4 𝜃 −2 cos(𝜃) + 2 cos(𝜃)2 + 4 sin(𝜃)2 = ; sin(𝜃)2
3. Fungsi 𝑔1 , 𝑔2 , 𝑔3 , dan 𝑔4 memiliki daerah asal yang berbeda-beda, maka pengali fungsi tangga satuan Heaviside yang digunakan juga berbeda (mengacu pada Tabel 1), Tabel 3 Tabel pengali fungsi 𝑔𝑖 pada (27) Fungsi Domain Pengali
𝒈𝟐 𝜽 𝒈𝟑 𝜽 𝒈𝟒 𝜽
𝜋 [0, ) 2 𝜋 ,𝜋 2 3𝜋 𝜋, 2 3𝜋 [ , 2𝜋) 2
𝐻2 𝜃, 0 − 𝐻2 𝜃,
𝜋 𝐻2 𝜃, − 𝐻1 𝜃, 𝜋 2 3𝜋 𝐻1 𝜃, 𝜋 − 𝐻2 𝜃, 2 3𝜋 𝐻2 𝜃, − 𝐻2 𝜃, 2𝜋 2
4
𝑔𝑖 𝜃 𝑖=1
2
4
1
2
3
4
Gambar 15 Kurva fungsi sesepenggal 𝑔.
Persamaan parametrik poligon tak teratur diperoleh dengan menyubstitusi fungsi 𝑓𝑖 pada persamaan tunggal untuk kurva komposit (23) dengan persamaan parametrik poligon, 𝑥𝑖,𝑖+1 dan 𝑦𝑖,𝑖+1 (persamaan (5) dan (6)), sehingga diperoleh persamaan parametrik baru untuk poligon tak teratur, 𝑥 dan 𝑦 dengan variabel bebas s, sebagai berikut: 𝑛−1
𝑥 𝑠 =
𝐻𝑗 𝜃, 𝑎𝑖 − 𝐻𝑘 𝜃, 𝑎𝑖+1
𝑥𝑖,𝑖+1 𝑠
𝐻𝑗 𝑠, 𝑠𝑖 − 𝐻𝑘 𝑠, 𝑠𝑖+1
𝑦𝑖,𝑖+1 𝑠
𝐻𝑗 𝑠, 𝑠𝑖 − 𝐻𝑘 𝑠, 𝑠𝑖+1
𝑖=0
𝜋 2
4. Persamaan tunggal kurva komposit: 𝑔 𝜃 =
2
3.4 Kurva Poligon Tak Teratur
𝜋
2. 𝑛 = 5, 𝑎1 = 0, 𝑎2 = 2 , 𝑎3 = 𝜋, 3𝜋 𝑎4 = , 𝑎 = 2𝜋; 2 5
𝒈𝟏 𝜽
4
𝑛−1
𝑦 𝑠 = 𝑖=0
i = 0, 1,2, ... ,𝑛 − 1.
(29)
dengan: x(s) = persamaan parametrik untuk sumbu x dengan parameter s, y(s) = persamaan parametrik untuk sumbu y dengan parameter s, s = variabel bebas menyatakan jarak, si = fungsi panjang sisi poligon dari verteks awal (P0) ke verteks ke-i (Pi), n = jumlah verteks poligon,
11
𝐻𝑗 𝑠, 𝑠𝑖 dan 𝐻𝑘 𝑠, 𝑠𝑖+1 ialah fungsi tangga satuan Heaviside. Langkah Penyelesaian Kasus Persamaan (29) berlaku untuk menyelesaikan kasus fungsi poligon teratur. Kasus yang dimaksud adalah pembangkitan sebuah lintasan/kurva garis linear melingkar yang melewati verteks-verteks poligon yang diketahui. Langkah penyelesaian kasus: 1. n pasangan verteks-verteks (x, y) koordinat Cartesius yang akan diplotkan menjadi verteks poligon (n >2) dituliskan dan diberi label 𝑃𝑖 , 𝑖 = 0,1,2, … , 𝑛 berurutan berlawanan arah jarum jam dimulai dari 𝑃𝑖 . Verteks P0 = Pn karena poligon adalah kurva tertutup. 2. nilai-nilai poin (1) disubstitusi pada persamaan (4) untuk mendapatkan nilai panjang sisi poligon, 3. nilai pada poin (1) dan (2) pada persamaan (5) dan mendapatkan persamaan sesepenggal segmen garis 0,1,2, … , 𝑛 − 1;
disubstitusi (6) untuk parametrik 𝑃𝑖 𝑃𝑖+1 , 𝑖 =
4. didefinisikan pengali fungsi tangga satuan Heaviside, 5. hasil poin (3) dan (4) disubstitusi pada persamaan (29) untuk mendapatkan persamaan parametrik tunggal poligon tak teratur. Contoh 3 Akan ditentukan persamaan parametrik tunggal untuk merepresentasikan sebuah pentagon (poligon dengan lima sisi) tak teratur dengan koordinat verteks-verteks poligon ialah (4,3), (8,2), (9,7), (7,9), dan (3,6). 1. Verteks-verteks pentagon dilabeli: P0 (4,3), P1 (8,2), P2 (9,7), P3 (7,9), P4 (3,6), P5 (4,3) 2. Panjang sisi poligon yang terukur dari verteks P0 ialah: s0 = 0, s1 = 4.1231, s2 = 9.2221,
s3 = 12.0506, s4 = 17.0506, s5 = 20.2128 (rincian perhitungan dapat Lampiran 3).
(30)
dilihat
di
3. Persamaan parametrik sesepenggal dari setiap segmen garis pentagon 𝑃𝑖 𝑃𝑖+1 , 𝑖 = 0,1,2, … , 𝑛 − 1; dengan variabel bebas u: 𝑥01 𝑥12 𝑥23 𝑥34 𝑥45
𝑢 𝑢 𝑢 𝑢 𝑢
= 0.970 𝑢 + 4, = 0.196 𝑢 + 7.191, = −0.707𝑢 + 15.521, = −0.8 𝑢 + 16.640, = 0.316 𝑢 − 2.392,
𝑦01 𝑦12 𝑦23 𝑦34 𝑦45
𝑢 𝑢 𝑢 𝑢 𝑢
= −0.243 𝑢 + 3, = 0.981 𝑢 − 2.043, = 0.707 𝑢 + 0.479, = −0.6 𝑢 + 16.230, = −0.949 𝑢 + 22.176.
𝑥 𝑢 𝑥01 𝑥12 = 𝑥23 𝑥34 𝑥45
𝑢 𝑢 𝑢 𝑢 𝑢
, 0 < 𝑢 ≤ 4.1231 , 4.1231 < 𝑢 ≤ 9.2221 , 9.2221 < 𝑢 ≤ 12.0506 , 12.0506 < 𝑢 ≤ 17.0506 , 17.0506 < 𝑢 ≤ 20.2128
𝑢 𝑢 𝑢 𝑢 𝑢
, , , , ,
𝑦 𝑢 𝑦01 𝑦12 = 𝑦23 𝑦34 𝑦45
0 < 𝑢 ≤ 4.1231 4.1231 < 𝑢 ≤ 9.2221 9.2221 < 𝑢 ≤ 12.0506 12.0506 < 𝑢 ≤ 17.0506 17.0506 < 𝑢 ≤ 20.2128 (31)
(rincian perhitungan dapat Lampiran 3).
dilihat
di
4. Fungsi tangga satuan Heaviside yang digunakan adalah 𝐻1 , dengan: 0, 𝑢 ≤ 𝑠𝑖 1, 𝑢 > 𝑠𝑖 𝑖 = 0,1,2,3,4
𝐻1 𝑢, 𝑠𝑖 =
(32)
u = variabel bebas menyatakan jarak yang terdefinisi pada 𝑠0 , 𝑠5 ; 5. Persamaan parametrik poligon tak teratur: 4
𝑥 𝑢 =
𝑥𝑖,𝑖+1 𝑢 𝐻1 𝑢, 𝑠𝑖 − 𝐻1 𝑢, 𝑠𝑖+1 𝑖=0
12 4
𝑦 𝑢 =
𝑦𝑖,𝑖+1 𝑢 𝐻1 𝑢, 𝑠𝑖 − 𝐻1 𝑢, 𝑠𝑖+1 𝑖=0
(33) 6. Kurva
poligon tak teratur (33) dibangkitkan dengan perintah ParametricPlot pada software Mathematica 8.0 sehingga diperoleh Gambar 16 berikut.
𝑦 = 𝑅𝑝 − 𝑥 tan 𝛽
(36)
dengan: Rp = jari-jari poligon, (x,y) = koordinat verteks pertama.
(x,y) Sisi pertama
Gambar 18 Sisi poligon pada kuadran I. Persamaan (36) dapat disajikan pula dalam persamaan koordinat kutub sebagai berikut:
𝑟(𝜃) =
Gambar 16 Kurva pentagon tak teratur. 3.5 Kurva Poligon Teratur Prosedur Tunggal
Pembentukan
𝑅𝑝 tan 𝛽 sin 𝜃+tan 𝛽 cos 𝜃
(37)
Selanjutnya, variabel bebas pada (37) diganti dengan fungsi periodizer kutub p (persamaan (11)) sehingga diperoleh:
𝑟 𝑝 𝜃, 𝑁, 𝜃0 Persamaan
=
𝑅𝑝 tan 𝛽 sin 𝑝 𝜃, 𝑁, 𝜃0 + tan 𝛽 cos 𝑝 𝜃, 𝑁, 𝜃0 (38)
Persamaan (38) disebut sebagai persamaan poligon teratur (N-gon) dalam koordinat kutub dengan jari–jari lintasan Rp yang berpusat di titik asal dan berotasi 0 rad. Setelah diperoleh persamaan (38), persamaan parametrik poligon teratur dapat dituliskan sebagai:
Gambar 17 Kurva poligon teratur. Misalkan diberikan sebuah poligon teratur dengan N sisi berpusat di titik pusat koordinat dan salah satu verteks berada di sumbu-x. Misalkan pula, segitiga sama kaki dengan sisisisi sumbu-x, salah satu sisi poligon dan jarijari poligon yang diambil dengan menarik garis dari pusat poligon ke salah satu verteks (ilustrasi pada Gambar 17). Pada segitiga tersebut berlaku: 𝛼= 𝛽=
2𝜋 𝑁 𝜋−𝛼 2
(34) =𝜋
𝑁−2 2𝑁
(35)
Persamaan linear sisi pertama poligon atau sisi pertama yang berbatasan dengan sumbu-x pada kuadran I (ilustrasi Gambar 18) ialah:
𝑥 𝜃, 𝑅𝑝 , 𝑁, 𝜃0 = 𝑥0 + 𝑟 𝜃, 𝑁, 𝜃0 cos 𝜃 𝑅𝑝 tan 𝛽 cos 𝜃 = 𝑥0 + sin 𝑝 𝜃, 𝑁, 𝜃0 + tan 𝛽 cos 𝑝 𝜃, 𝑁, 𝜃0 (39) 𝑦 𝜃, 𝑅𝑝 , 𝑁, 𝜃0 = 𝑦0 + 𝑟 𝜃, 𝑅𝑝 , 𝑁, 𝜃0 sin 𝜃 𝑅𝑝 tan 𝛽 sin 𝜃 = 𝑦0 + sin 𝑝 𝜃, 𝑁, 𝜃0 + tan 𝛽 cos 𝑝 𝜃, 𝑁, 𝜃0 (40) dengan : N = banyaknya sisi poligon, Rp = jari-jari poligon, 𝜃0 = sudut rotasi verteks 𝑃0 (berlawanan arah jarum jam), 𝜃 = variabel bebas menyatakan radian,
13 𝑥0 , 𝑦0 = titik pusat kurva poligon, 𝑝 = fungsi periodizer dalam koordinat kutub,
=
𝑁−2 2𝑁
0.5
𝜋 rad. 0.5
Persamaan (39) dan (40) dapat merepresentasikan persamaan lintasan gerak melingkar beraturan yang berawal di koordinat 𝑅𝑝 , 𝜃0 , jika dibiarkan menjalani akan dibuat suatu lintasan rotasi tertutup dengan pusat 𝑥0 , 𝑦0 dalam ruang x-y berupa kurva garis linear (3) yang berulang terputusputus sebanyak N kali. Contoh 4, 5, dan 6 berikut ini memberikan ilustrasi persamaan parametrik kurva poligon teratur setelah nilai-nilai parameternya diketahui. Ilustrasi gambar kurva poligon teratur disajikan pula, sebagai contoh dari aplikasi persamaan parametrik. Lampiran 4 menyajikan persamaan parametrik dari setiap gambar kurva secara lebih rinci. Algoritme program dapat dilihat di Lampiran 2. Contoh 4 Poligon teratur dengan N sisi, pusat (0,0), jarijari (𝑅𝑝 ) 1 satuan, dan sudut putaran (𝜃0 ) 0 rad dapat dituliskan dalam persamaan parametrik sebagai berikut: 𝑥 𝜃 =
tan 𝛽 cos 𝜃 sin 𝑝 𝜃, 𝑁, 0 + tan 𝛽 cos 𝑝 𝜃, 𝑁, 0
𝑦 𝜃 =
tan 𝛽 sin 𝜃 sin 𝑝 𝜃, 𝑁, 0 + tan 𝛽 cos 𝑝 𝜃, 𝑁, 0
dengan: 𝑁−2 𝛽= 𝜋 , 2𝑁 𝜋 2 𝑝 𝜃, 𝑁, 0 = − 𝑁 𝑁
∞
𝑛=1
1 sin 𝑁𝑛 𝜃 . 𝑛
1.0
0.5
0.5
(b) 1.0
0.5
0.5
0.5
1.0
(c) Gambar 19 Poligon teratur (Contoh 4) dengan banyaknya sisi (N): (a) N = 4 (tetragon), (b) N = 5 (pentagon), (c) N = 9 (nonagon/enneagon). Contoh 5 Poligon teratur enam sisi atau heksagon (N = 6) dengan pusat poligon 𝑥0 , 𝑦0 , jari-jari (𝑅𝑝 ) 2 satuan, sudut putaran (𝜃0 ) 0 rad, dan verteks awal P0, dapat dituliskan dalam persamaan parametrik sebagai berikut: 2 tan 𝛽 cos 𝜃 sin 𝑝 𝜃, 6, 0 + tan 𝛽 cos 𝑝 𝜃, 6,0 2tan 𝛽 sin 𝜃 𝑦 𝜃 = 𝑦0 + sin 𝑝 𝜃, 6,0 + tan 𝛽 cos 𝑝 𝜃, 6,0 𝑥 𝜃 = 𝑥0 +
dengan: 𝑁−2 1 𝛽= 𝜋 = 𝜋, 2𝑁 3 ∞ 𝜋 2 1 𝑝 𝜃, 6,0 = − sin 6𝑛 𝜃 . 6 6 𝑛 𝑛 =1
0.5
0.5
1.0
0.5
0.5
1.0
1.0
1.0
0.5
1.0
(a) (a)
14 𝑝 𝜃, 5, 𝜃0
𝜋 2 = − 5 5
∞
𝑛=1
1 sin 5𝑛 𝜃 − 𝜃0 . 𝑛
(−𝟐, 𝟐)
(b)
(a)
(c) Gambar 20 Heksagon pada Contoh 5 dengan pusat: a) (1,2), b) (−2,2), c) (0,7). (b) Contoh 6 Poligon teratur lima sisi atau pentagon (N = 5) dengan sudut putaran 𝜃0 , pusat (6,5), jarijari (𝑅𝑝 ) 4 satuan, dan verteks awal P0, dapat dituliskan dalam persamaan parametrik sebagai berikut: 𝑥 𝜃 = 6+
4 tan 𝛽 cos 𝜃 sin 𝑝 𝜃, 4, 𝜃0 + tan 𝛽 cos 𝑝 𝜃, 4, 𝜃0 (c)
𝑦 𝜃 =5+
4 tan 𝛽 sin 𝜃 sin 𝑝 𝜃, 4, 𝜃0 + tan 𝛽 cos 𝑝 𝜃, 4, 𝜃0
dengan: 𝑁−2 𝛽= 𝜋 = 2𝑁
3 10
𝜋,
Gambar 21 Pentagon pada Contoh 6 dengan sudut putaran:a) 0, b) /4, c) /2.
