17
III HASIL DAN PEMBAHASAN
3.1 Analisis Metode Dalam
penelitian ini akan digunakan metode homotopi untuk
menyelesaikan persamaan Whitham-Broer-Koup (WBK), yaitu persamaan gerak bagi perambatan gelombang pada perairan dangkal yang bentuknya berupa sistem persamaan diferensial taklinear. Perluasan konsep dasar metode homotopi yang telah diuraikan pada landasan teori dilakukan sebagai berikut. Tinjau sistem persamaan berikut:
[u ( x, t ), ( x, t )] 0
1
2
dengan
1
[u ( x, t ), ( x, t )] 0 dan
(3.1)
operator turunan yang bentuknya taklinear, sedangkan
2
fungsi u dan merupakan fungsi yang memenuhi persamaan (3.1) yang akan ditentukan. Selanjutnya didefinisikan fungsi real 1 ( x, t , q ) dan 2 ( x, t , q ) dan suatu fungsi H 1 dan H 2 sebagai berikut:
H1[1 , 2 ; q] (1 q) 1[1 ( x, t , q) u0 ( x, t )] q H 2 [1 , 2 ; q] (1 q) 2 [2 ( x, t , q) 0 ( x, t )] q
[1 ( x, t , q), 2 ( x, t, q)]
1
1 2
2
[1 ( x, t , q), 2 ( x, t , q)], (3.2)
dengan
1
dan
2
suatu operator linear dan u0 dan 0 masing-masing fungsi
pendekatan awal dari penyelesaian persamaan (3.1). Berdasarkan persamaan (3.2) untuk q 0 membentuk persamaan berikut:
H1[1 , 2 ;0]
1
[1 ( x, t , 0) u0 ( x, t )]
H 2 [1 , 2 ;0]
2 [2 ( x, t , 0) 0 ( x, t )],
(3.3)
dan untuk q 1 memberikan
H1[1 , 2 ;1]
1
H 2 [1 , 2 ;1]
2
[1 ( x, t ,1), 2 ( x, t ,1)]
1
2
[1 ( x, t ,1), 2 ( x, t ,1)].
Berdasarkan persamaan (3.3) diperoleh bahwa fungsi
1 ( x, t , 0) u0 ( x, t ) dan
2 ( x, t , 0) 0 ( x, t ),
(3.4)
18
masing-masing merupakan penyelesaian dari persamaan H1[1 , 2 ;0] 0,
H 2 [1 , 2 ;0] 0.
Selain itu, berdasarkan persamaan (3.1) dan (3.4) diperoleh fungsi
1 ( x, t ,1) u ( x, t ) dan
2 ( x, t ,1) ( x, t ), yang masing-masing merupakan penyelesaian dari persamaan H1[1 , 2 ;1] 0,
H 2 [1 , 2 ;1] 0.
Selanjutnya, karena parameter q bernilai dari 0 sampai 1, maka 1 ( x, t ; q ) dan 2 ( x, t ; q ) masing-masing akan memetakan pendekatan awal u0 ( x, t ) ke penyelesaian eksak
u( x, t ) dan memetakan pendekatan awal 0 ( x, t ) ke
penyelesaian eksak ( x, t ) . Dengan menggunakan deret Taylor dari 1 ( x, t ; q ) dan 2 ( x, t ; q ) terhadap q, diperoleh
1 ( x, t; q) u0 ( x, t ) um ( x, t ) q m , m 1
2 ( x, t; q) 0 ( x, t ) m ( x, t ) q ,
(3.5)
m
m 1
dengan u m ( x, t )
1 m ( x, t; q) , m! q m q 0
1 m ( x, t ; q) m ( x, t ) . m! q m q 0
(3.6)
Jadi untuk q 1 diperoleh
1 ( x, t ,1) u0 ( x, t ) um ( x, t ).
(3.7)
m
Karena 1 ( x, t ,1) u ( x, t ), maka
u ( x, t ) u0 ( x, t ) um ( x, t ). m
Hal yang sama diperoleh
(3.8)
19
2 ( x, t ,1) 0 ( x, t ) m ( x, t ).
(3.9)
m
Karena 2 ( x, t ,1) ( x, t ), maka
( x, t ) 0 ( x, t ) m ( x, t ).
(3.10)
m
dan m ,
Selanjutnya akan ditentukan um
m 1, 2,... berikut ini.
Berdasarkan deformasi orde nol diperoleh
(1 q) 1[1 ( x, t; q) u0 ( x, t )] q
[1 ( x, t; q), 2 ( x, t; q)]
1
(1 q) 2 [2 ( x, t; q) 0 ( x, t )] q
1
(3.11)
2 [1 ( x, t ; q), 2 ( x, t; q)].
2
Jika kedua ruas dari persamaan (3.11) diturunkan terhadap q hingga m kali, kemudian mengevaluasi di q 0 dan dibagi m!, maka diperoleh bentuk persamaan berikut:
[um ( x, t ) mum1 ( x, t )]
1
2
R [um1 ( x, t ),m1 ( x, t )]
1 1, m
[m ( x, t ) mm1 ( x, t )]
2
(3.12)
R2,m [um1 ( x, t ),m1 ( x, t )],
dengan 1 R1,m (um1 ,m1 ) 1 (m 1)! R2,m (um1 ,m1 )
dan
2
m 1
1 (m 1)!
1
1 ( x, t; q), 2 ( x, t; q) q m1
m 1 2
, q 0
1 ( x, t; q), 2 ( x, t; q) q m1
, q 0
0, m 1 . 1, m 1
m
Berdasarkan persamaan (3.12) dapat ditentukan um dan m , m 1, 2,... Penurunan persamaan (3.12) diberikan pada Lampiran 2a. Secara ringkas penggunaan metode homotopi untuk menyelesaikan sistem persamaan diferensial (3.1) dilakukan sebagai berikut: 1. Misalkan diberikan pendekatan awal dari penyelesaian sistem persamaan diferensial (3.1) masing-masing u0 ( x, t ) dan 0 ( x, t ). 2. Tentukan um ( x, t ) dan m ( x, t ), m 1, 2,... berdasarkan persamaan (3.12) dengan
1
dan
2
dipilih sembarang. Pemilihan
1
dan
2
dapat
mempengaruhi perluasan selang kekonvergenan dari deret (3.8) dan (3.10).
20
3. Penyelesaian pendekatan dengan metode homotopi ditentukan berdasarkan deret (3.8) dan (3.10). Untuk lebih jelasnya, maka bagian selanjutnya akan dibahas aplikasi dari metode homotopi untuk menyelesaikan persamaan WBK.
3.2 Aplikasi Metode Tinjau persamaan WBK (2.14) berikut: u u 2u u 2 0 t x x x u 3u 2 u 3 2 0, t x x x x
(3.13)
Operator turunan taklinear yang dipilih adalah 1 ( x, t ; q) ( x, t ; q) 2 ( x, t ; q) 21 ( x, t ; q) 1 ( x, t ; q) 1 t x x x 3 2 ( x, t ; q) [1 ( x, t ; q )2 ( x, t ; q )] 1 ( x, t ; q ) 22 ( x, t ; q ) [ ( x , t ; q ), ( x , t ; q )] 2 1 2 t x x 3 x
1[1 ( x, t ; q ), 2 ( x, t ; q )]
(3.14) dan operator linear [1 ( x, t; q)]
1
1 ( x, t; q) , t
2
[2 ( x, t; q)]
2 ( x, t; q) . t
(3.15)
Selanjutnya dipilih pendekatan penyelesaian awal berdasarkan pada penyelesaian gelombang berjalan dari persamaan WBK dalam dua kasus, yaitu kasus pertama dipilih pendekatan awal berdasarkan pada penyelesaian pada persamaan (2.26) maka diperoleh persamaan berikut
u0 ( x, t ) u ( x, 0) 2k ( 2 )0.5 coth[k ( x x0 )],
0 ( x, t ) ( x, 0) 2k 2 ( 2 ( 2 )0.5 ) csch 2[k ( x x0 )],
(3.16)
sedangkan untuk kasus kedua akan dipilih pendekatan awal berdasarkan penyelesaian pada persamaan (2.27) berikut
u0 ( x, t ) k 2 coth[k ( x x0 )] k 2 csch[k ( x x0 )] 0.5
k
0.5
coth[k ( x x )]csch[k (x x )] csch [k ( x x )].
0 x, t k 2 2 2 2
2
0.5
2 0.5
0
0
2
0
(3.17)
21
Berdasarkan definisi operator
1
dan
2
pada persamaan (3.14) diperoleh
bentuk R1,m (um1 ,m1 ) dan R2,m (um1 ,m1 ) yang diberikan pada persamaan (3.12) sebagai berikut: R1,m (um1 ,m 1 )
um1 ( x, t ) m1 u ( x, t ) m1 ( x, t ) un ( x, t ) m1 n t x x n 0
R2,m (um1 ,m1 )
2um 1 ( x, t ) , x 2
m1 ( x, t ) m1 3um1 ( x, t ) un ( x, t )m1n ( x, t ) t x n 0 x3
2m1 ( x, t ) , x 2
(3.18)
Penurunan persamaan (3.18) dapat dilihat pada Lampiran 2b. Berdasarkan persamaan (3.12) dan definisi operator um ( x, t ) mum1 t m ( x, t ) mm 1 t
R
1 1, m
1
dan
2
, diperoleh
um1 ,m1 , (3.19)
1
R2,m um1 ,m1 ,
atau um ( x, t ) mum1
um1 ,m1 dt ,
R
1 1, m
(3.20)
m ( x, t ) mm1 1 R2,m um1 ,m1 dt , dengan um (u0 , u1 ,..., um ) dan m (0 ,1 ,...,m ). Karena um ( x, 0) 0 dan m ( x, 0) 0, maka diperoleh
um ( x, t ) mum 1 ( x, t )
t
1
R u 1, m
m 1
,m 1 ds
0
m ( x, t ) m m 1 ( x, t )
(3.21)
t
2
R u 2, m
m 1
, m 1 ds.
0
Untuk penyederhanaan, maka dipilih persamaan (3.16), (3.18) dan (3.21) diperoleh:
u1 ( x, t ) 2 k 2t 2 csch 2 k x x0 , 0.5
1
2
,
sehingga dari
22
1 ( x, t ) 4 k 3t 2 2
0.5
coth k x x csch k x x , 2
0
0
u2 ( x, t ) 2 k 2t 2 csch 3 k ( x x0 ) 0.5
kt cosh k ( x x0 ) 1
sinh k ( x x0 ) ,
2 ( x, t ) 2 k 3t ( 2 )0.5 csch 4 k ( x x0 )
u3 ( x, t )
0.5 1 2 k t 2 csch 4 k ( x x0) 3 1 3
3
6 3
6 kt 1
3 ( x, t )
kt 2 cosh 2k ( x x0 ) 1 h sinh 2k ( x x0 ) ,
2
4 2 k 2t 2 2
2 k 2t 2 2 cosh 2k ( x x0 )
sinh 2k ( x x0 ) ,
1 3 k t ( 2 )0.5 csch 5 k ( x x0 ) 3
3 1 h 22 2 k 2t 2 2 cosh k ( x x0 ) 2
6 3
3
2 k 2t 2 2 cosh 3k ( x x0 )
6 kt 3sinh k ( x x0) sinh 3k ( x x0 ) , (3.22) sedangkan dari persamaan (3.17), (3.18) dan (3.21) diperoleh:
u1 ( x, t )
hk 2t 2
0.5
1 cosh[k ( x x0)])
1 ( x, t ) hk 3t 2 2 1 4 sinh[k ( x x0)]
u 2 ( x, t )
0.5
sech 12 k ( x x0) 4
1 2 1 hk t ( 2 )0.5 sech 2 [ k ( x x0)] 4 2 1 2(1 h) hkt tanh k ( x x0) 2
23
2 ( x, t )
0.5 1 3 1 hk t (sech 2 k ( x x0) 4hkt 2 2 16 2
8
2
2
0.5
h(8
2
2
0.5
k 2t (4 2 4 2 (4 2 0.5
1.5
0.5
0.5 1 2hkt sech 2 k ( x x0) 3 2 2 2
k 6 2 6 2 ( 6 2 0.5
1.5
0.5
. (3.23)
Penurunan persamaan (3.22) dan (3.23) dapat dilihat dalam Lampiran 2c. Barisan penyelesaian pada persamaan (3.21) masih memuat parameter tambahan
. Validitas dari metode homotopi didasarkan pada pemilihan
sehingga deret (3.8) dan (3.10) konvergen [6]. Selanjutnya dengan menggunakan persamaan (3.8) dan (3.10) diperoleh pendekatan penyelesaian eksak dari persamaan WBK sebagai berikut:
u ( x, t ) u0 ( x, t ) u1 ( x, t ) u2 ( x, t ) u3 ( x, t ) ...
( x, t ) 0 ( x, t ) 1 ( x, t ) 2 ( x, t ) 3 ( x, t ) ...
(3.24)
dengan u0 ( x, t ) dan 0 ( x, t ) pada persamaan (3.16), dan ui ( x, t ), i ( x, t ),
(i 1, 2,3) diberikan pada persamaan (3.21). Berikut ini akan digunakan
bantuan software Mathematica untuk
menggambarkan hampiran penyelesaian persamaan WBK (3.13) dengan menggunakan metode homotopi pada persamaan (3.22) hingga orde ke-5, dan dibandingkan dengan penyelesaian pada persamaan (2.26). Jika diberikan parameter x0 2, k 0.2 dan 0.005, maka untuk pemilihan
yang
berbeda-beda memberikan galat yang sangat kecil antara penyelesaian dengan menggunakan metode homotopi dibandingkan dengan penyelesaian pada persamaan (2.24), seperti ditunjukkan pada Tabel 3.1 dengan 1 dan 1.
24
Tabel 3.1 Galat antara penyelesaian dengan metode homotopi dan penyelesaian gelombang berjalan dari nilai . x
-1.3
-1.2
-1.1
-1
-0.9
-0.8
-0.7
1
1.026×10-2
1.021×10-2
1.020×10-2
1.019×10-2
1.020×10-2
1.020×10-2
1.021×10-2
3
2.098×10-3
2.098×10-3
2.098×10-3
2.097×10-3
2.098×10-3
2.098×10-3
2.099×10-3
5
6.855×10
-4
-4
-3
-4
-4
-5
6.862×10-4
7
2.683×10-4
2.684×10-4
9
1.134×10-4
11
4.957×10
-5
13 15
9.832×10
17 19
6.857×10
6.857×10
6.857×10
6.857×10
6.858×10
2.684×10-3
2.684×10-4
2.684×10-4
2.684×10-4
2.686×10-4
1.134×10-4
1.134×10-4
1.134×10-5
1.134×10-4
1.135×10-4
1.135×10-4
-5
-5
-5
-5
-5
4.963×10-5
4.960×10
4.960×10
4.960×10
4.960×10
4.960×10
2.200×10-5
2.201×10-5
2.201×10-5
2.201×10-5
2.201×10-5
2.202×10-5
2.203×10-5
-6
-6
-6
-6
-6
9.838×10
9.838×10
-6
9.844×10-6
9.837×10
9.838×10
9.837×10
4.407×10-6
4.409×10-6
4.409×10-6
4.409×10-6
4.409×10-6
4.410×10-6
4.412×10-6
-6
-6
-6
-6
-6
-6
1.980×10-6
1.978×10
1.979×10
1.979×10
1.979×10
1.979×10
1.979×10
Tabel 3.2 Galat antara penyelesaian dengan metode homotopi dan penyelesaian gelombang berjalan dari nilai u . x
-1.3 1
-1.2 -3
6.3339×10
-3
-1.2 -3
6.0884×10
-3
-1 -3
5.8536×10
-3
-0.9 -2
5.6454×10
-3
-0.8 -3
5.4731×10
-3
-0.7 -3
5.2538×10-3
-3
5.3415×10
3
1.9841×10
1.8569×10
1.7455×10
1.6513×10
1.5747×10
1.5158×10
1.4750×10-3
5
8.2937×10-4
7.5212×10-4
6.8496×10-4
6.2822×10-4
5.8195×10-4
5.4618×10-4
5.2106×10-4
7
-4
3.9611×10
-4
3.4497×10
-4
3.0058×10
-4
2.6306×10
-4
2.3242×10
-4
2.0867×10
1.9188×10-4
9
2.0502×10-4
1.7026×10-4
1.4010×10-4
1.1460×10-4
9.3768×10-5
7.7595×10-5
6.6115×10-5
11
-4
1.1254×10
-5
8.8795×10
-5
6.8207×10
-5
5.0793×10
-5
3.6557×10
-5
2.5498×10
1.7632×10-5
13
6.4761×10-5
4.8580×10-5
3.4551×10-5
2.2683×10-5
1.2979×10-5
5.4366×10-6
6.3800×10-8
15
-5
3.8734×10
-5
2.7747×10
-5
1.8222×10
-5
1.0164×10
-6
3.5736×10
-6
1.5496×10
5.2027×10-6
17
2.3893×10-5
1.6458×10-5
1.0014×10-5
4.5614×10-6
1.0140×10-7
3.3663×10-6
5.8403×10-6
19
1.5093×10-5
1.0076×10-5
5.7277×10-6
2.0485×10-6
9.6136×10-7
3.3018×10-6
4.9722×10-6
Selanjutnya akan digambarkan hampiran penyelesaian persamaan WBK (3.13) dengan menggunakan metode homotopi pada persamaan (3.23) hingga orde ke-5, dan dibandingkan dengan penyelesaian pada persamaan (2.26). Jika diberikan parameter x0 2, k 0.2 dan 0.04, maka untuk pemilihan
1
akan memberikan galat yang sangat kecil antara penyelesaian dengan menggunakan metode homotopi dibandingkan dengan penyelesaian pada persamaan (2.26), seperti ditunjukkan pada Tabel 3.3 dengan 1 dan 0.
25
Tabel 3.3 Galat antara penyelesaian dengan metode homotopi dan penyelesaian gelombang berjalan pada persamaan (2.27)
x t=1
U
t=2 -13
1.4207×10
t=3 -11
t=1
3.7052×10
-10
t=2
9.7122×10
-9
1.5427×10
t=3 -7
7.7522×10-7
1
1.0820×10
3
3.1666×10-14
2.4073×10-12
3.1832×10-11
3.9357×10-9
6.0701×10-8
2.9566×10-7
5
2.5456×10-13
1.6175×10-11
1.8282×10-10
2.2752×10-9
3.7983×10-8
2.0040×10-7
7
2.3080×10-13
1.4885×10-11
1.7080×10-10
5.0203×10-9
8.0616×10-8
4.0962×10-7
9
8.3149×10-14
5.4491×10-12
6.3537×10-11
4.5089×10-9
7.1671×10-8
3.6043×10-7
11
1.6201×10-14
9.8137×10-13
1.0527×10-11
2.7462×10-9
4.3344×10-8
2.1638×10-7
13
4.3719×10-14
2.7940×10-12
3.1773×10-11
1.1648×10-9
1.8214×10-8
9.0034×10-8
15
3.5742×10-14
2.3005×10-12
2.6352×10-11
1.9907×10-10
2.9626×10-9
1.3857×10-8
17
2.0831×10-14
1.3458×10-12
1.5475×10-11
2.4479×10-10
4.0019×10-9
2.0698×10-8
19
9.6344×10-15
6.2457×10-13
7.2061×10-12
3.7788×10-10
6.0597×10-9
3.0748×10-8
Berdasarkan Tabel 3.1, 3.2 dan 3.3 dapat disimpulkan bahwa metode homotopi yang digunakan dalam penelitian ini sangat cocok untuk menyelesaikan persamaan WBK. Hal ini disebabkan oleh galat yang ditimbulkan antara penyelesaian dengan metode homotopi dan penyelesaian gelombang berjalan yang diberikan pada persamaan (2.26) dan (2.27) sangat kecil dengan galat terbesear adalah 5.6454×10-2 untuk
1. Selanjutnya berdasarkan Tabel 3.1
dan 3.2 terlihat pula bahwa pemilihan nilai
akan mempengaruhi daerah
kekonvergenan deret (3.8) dan (3.10), sehingga dalam hal ini dipilih
1
memberikan nilai galat yang terkecil dan daerah kekonvergenan yang lebih luas. Berikut ini akan digambarkan gelombang yang mengikuti persamaan Boussinesq, dalam hal ini 1 dan 0. Misalkan gelombang yang ditinjau memilki bilangan gelombang k 0.2, atau berdasarkan (2.10) diperoleh
0.04. Grafik penyelesaian dari diberikan dalam Gambar 3.1 untuk t 0, t 40, t 65, t 90, t 115 dan t 130.
26
x, 40
1.00
0.99
0.980
0.98
0.975
0.97
x 20
20
10
10
10
10
20
20
x, 65
x, 90 0.980
0.980 0.978 0.976
0.975
0.974 0.972
0.970 0.970 0.968
0.965
x 20
10
10
20
x 30
20
10
10
x, 115
0.980
0.975
0.975
0.970
x 20
10
30
x, 130
0.980
0.970
30
20
10
20
30
x 30
20
10
10
20
30
Gambar 3.1 Bentuk gelombang Boussinesq Berdasarkan Gambar 3.1 terlihat bahwa gelombang yang ditinjau pada awalnya merupakan gelombang tunggal, kemudian terpisah menjadi dua gelombang, dimana masing-masing gelombang bergerak dalam dua arah yang
27
berlawanan, yaitu ke kanan dan ke kiri, yang masing-masing memiliki kecepatan c 0.2 satuan kecepatan.
Selanjutnya akan digambarkan bentuk kecepatan arus dari persamaan Boussinesq, seperti pada Gambar 3.2 berikut: u x, 25
u x, 0 10
10
5
5
x 10
5
5
10
x 10
5
5
5
10
10
u x, 50
u x, 75
10
10
5
5
5
10
5
10
5
10
x
x 10
5
5
10
10
5
5
5
10
10
u x, 125
u x, 100 10
10
5
5
x 10
5
5
5
10
10
x 10
5
5
10
Gambar 3.2 Kecepatan arus dari persamaan Boussinesq Berdasarkan Gambar 3.2 diperoleh bahwa pada persamaan Boussinesq arus bergerak dalam dua arah, yaitu ke kiri dan ke kanan masing-masing dengan kecepatan yang sama.
