III. HASIL DAN PEMBAHASAN 3.1 Perumusan Masalah Misalkan adalah proses Poisson nonhomogen pada interval dengan fungsi intensitas yang tidak diketahui. Fungsi intensitas diasumsikan terintegralkan lokal dan merupakan hasil kali dari dua komponen yaitu komponen periodik atau komponen siklik dengan periode (diketahui) dikalikan komponen tren linear . Konstanta merupakan kemiringan dari tren linear dimana Dengan demikian, untuk sebarang titik fungsi intensitas dapat dinyatakan sebagai berikut dengan dengan periode ditulis menjadi
adalah fungsi periodik Persamaan (1) juga dapat
dengan adalah fungsi periodik. Misalkan maka persamaan (1) dapat ditulis menjadi Karena adalah fungsi periodik dengan periode dan adalah konstanta, maka adalah fungsi periodik dengan periode sehingga persamaan berlaku untuk setiap dan , dengan adalah himpunan bilangan bulat. Berdasarkan persamaan (3), untuk menduga cukup diduga Karena adalah fungsi periodik dengan periode , maka untuk menduga pada cukup diduga nilai pada Pada karya ilmiah ini dipelajari penyusunan penduga konsisten bagi untuk dengan menggunakan realisasi tunggal dari proses Poisson yang diamati pada interval Diasumsikan bahwa adalah titik Lebesque dari , yang secara otomatis berarti bahwa adalah titik Lebesque dari
3.2 Perumusan Penduga Penduga bagi pada titik dapat dirumuskan sebagai berikut
dengan menyatakan banyak kejadian pada interval , k merupakan suatu bilangan bulat dan adalah barisan bilangan real positif yang konvergen menuju nol yaitu untuk Pada penduga di atas disebut bandwidth. Penduga pada (5) adalah bentuk khusus dari penduga yang dibahas pada Mangku (2011). Penduga pada (5) menggunakan kernel seragam, sedangkan penduga pada Mangku (2011) menggunakan fungsi kernel umum. Berikut diuraikan ide tentang pembentukan dari penduga bagi . Menurut persamaan (3) dan (4) diperoleh
Maka rata-rata nilai yang diduga
dengan menyatakan bilangan bulat terbesar yang lebih kecil atau sama dengan Dari persamaan (8) diperoleh
8
Untuk melakukan pendekatan terhadap persamaan (9) diperlukan asumsi bahwa s adalah titik Lebesque bagi dan asumsi (6) terpenuhi, sehingga persamaan (9) menjadi
Bukti: Berdasarkan definisi MSE (Definisi 22), Teorema 1 merupakan akibat dari dua lema berikut, yaitu Lema 4 mengenai ketakbiasan asimtotik dan Lema 5 mengenai kekonvergenan ragam. Lema 4 (Ketakbiasan asimtotik) Misalkan fungsi intensitas memenuhi persamaan (3) dan terintegralkan lokal. Jika asumsi (6) dipenuhi maka untuk asalkan s adalah titik Lebesgue bagi . Dengan kata lain adalah penduga tak bias asimtotik bagi
Bukti: Untuk membuktikan persamaan (11) akan diperlihatkan bahwa Dengan mengganti Untuk menyelesaikan persamaan (12) dapat diperoleh dengan cara sebagai berikut
dengan yang merupakan padanan maka dapat diaproksimasi
stokastiknya,
Karena
tidak mengandung indeks k,
maka persamaan (13) dapat ditulis menjadi Sehingga diperoleh penduga bagi adalah Nilai harapan pada persamaan (14) dapat diuraikan menjadi seperti pada persamaan (5). Teorema 1 (Kekonvergenan MSE penduga)
Kita misalkan :
Misalkan fungsi intensitas memenuhi persamaan (3) dan terintegralkan lokal. Jika asumsi (6) dipenuhi dan maka untuk Lebesgue bagi
asalkan
s
adalah
titik
Maka pada persamaan (15) dilakukan pergantian peubah sehingga diperoleh
9
Dengan berpedoman pada persamaan (7), maka persamaan (16) dapat diubah menjadi Suku pertama pada ruas kanan persamaan (22) dapat ditulis menjadi
dari
Berdasarkan sifat keperiodikan pada persamaan (4), maka persamaan (17) dapat ditulis menjadi
Kemudian persamaan (18) disubstitusikan kembali ke persamaan (14) sehingga diperoleh
Lalu unsur yang memiliki indeks dikelompokkan sehingga diperoleh
Karena
jika
k
Untuk menunjukkan bahwa suku pertama dari persamaan (23) adalah konvergen ke nol, akan digunakan nilai yang lebih besar, yaitu
Berdasarkan asumsi (6) dan dengan asumsi bahwa s adalah titik Lebesgue bagi maka kuantitas pada persamaan (24) konvergen ke nol, jika atau dapat juga ditulis Sedangkan suku kedua persamaan (23) adalah
maka Dengan menggabungkan diperoleh, maka
hasil
yang
untuk semua Dari persamaan (20), maka persamaan (19) dapat ditulis sebagai
Dengan melakukan operasi perkalian pada ruas kanan, maka diperoleh
jika Dengan demikian diperoleh bahwa suku pertama pada ruas kanan persamaan (22) adalah
untuk
10
Sedangkan suku kedua pada ruas kanan persamaan (22) menjadi
Karena ~ Poisson, maka sehingga persamaan (28) menjadi
(29) Dari persamaan (18) untuk sebarang k, kita bisa tuliskan untuk Dengan mensubstitusikan hasil yang diperoleh dari suku pertama dan suku kedua di atas maka diperoleh untuk terbukti.
Dengan demikian Lema 4
Dengan demikian persamaan (29) dapat ditulis menjadi
Lema 5 (Kekonvergenan ragam) Misalkan fungsi intensitas memenuhi persamaan (3) dan terintegralkan lokal. Jika asumsi (6) dipenuhi, terbatas di sekitar s dan , maka untuk Bukti : Karena jika maka untuk nilai n yang cukup besar, interval dan untuk tidak tumpang tindih atau tidak overlap. Akibatnya, berdasarkan sifat inkremen bebas dari proses Poisson (Definisi (25), diperoleh bahwa dan untuk adalah peubah acak bebas. Sehingga dapat ditentukan sebagai berikut
Dengan mengelompokan unsur yang memiliki indeks k, persamaan (30) dapat ditulis menjadi
Perhatikan bahwa, karena
maka persamaan (31) menjadi
Karena terbatas di sekitar , maka ada konstanta K sehingga untuk semua Maka ruas kanan persamaan (33) tidak melebihi
11
jika terbukti.
Dengan demikian Lema 5
Diperlukan asumsi memiliki turunan yang terhingga di s maka ada dan kontinu pada s, mengakibatkan memiliki nilai yang terbatas di sekitar s. Dengan Formula Young (Lema 2), maka diperoleh
Berdasarkan kedua lema tersebut, yaitu (i) Lema 4 (ketakbiasan asimtotik) , jika
untuk
atau bila diuraikan menjadi
maka (ii) Lema 5 (kekonvergenan ragam) jika maka definisi MSE (Definisi 22) akan diperoleh, yaitu sebagai berikut
untuk Dengan Teorema 1 terbukti.
demikian untuk
3.3 Aproksimasi Asimtotik bagi Bias, Ragam dan MSE Teorema 2 (Aproksimasi asimtotik bagi bias) Misalkan fungsi intensitas memenuhi persamaan (3) dan terintegralkan lokal. Jika asumsi (6) dipenuhi, dan memiliki turunan kedua berhingga pada s, maka
untuk Bukti : Berdasarkan bukti Lema 4 mengenai ketakbiasan asimtotik, maka nilai harapan dari dapat dituliskan sebagai berikut
Berdasarkan diperoleh
persamaan
untuk Misalkan maka persamaan (36) dapat ditulis menjadi
(19),
maka
Sehingga dapat dinyatakan
12
Perhatikan persamaan (32)
untuk n . Karena menurut persamaan (20) Maka persamaan (31) menjadi
maka persamaan (35) akan menjadi Dari persamaan (33) kita mempunyai
untuk terbukti.
Dengan demikian Teorema 2
Teorema 3 (Aproksimasi asimtotik bagi ragam) Misalkan fungsi intensitas memenuhi persamaan (3) dan terintegralkan lokal. Jika asumsi (6) dipenuhi, terbatas di sekitar s dan maka
Untuk menunjukkan bahwa suku pertama dari persamaan (38) adalah konvergen ke nol, akan digunakan nilai yang lebih besar, yaitu
Berdasarkan asumsi (6) dan dengan asumsi bahwa s adalah titik Lebesgue bagi maka kuantitas pada (39) akan menuju nol jika , atau dapat juga ditulis Sedangkan suku kedua persamaan (38) adalah
untuk Bukti: Berdasarkan bukti dari Lema 5 (kekonvergenan ragam), maka ragam dari dapat ditulis seperti pada persamaan (31)
Dengan menggabungkan diperoleh, maka
hasil
yang
13
Dengan demikian menurut persamaan (25) maka persamaan (33) dapat ditulis menjadi untuk Karena
mempunyai turunan kedua
berhingga pada s, maka sehingga diperoleh persamaan (37). Dengan demikian Teorema 4 terbukti. untuk terbukti.
Dengan demikian Terorema 3
Teorema 4 (Aproksimasi asimtotik bagi MSE) Misalkan fungsi intensitas memenuhi persamaan (3) dan terintegralkan lokal. Jika asumsi (6) dipenuhi bagi dan memiliki turunan kedua berhingga pada s, maka untuk Bukti : Berdasarkan definisi MSE (Definisi 22), maka
3.3 Penentuan Bandwidth Optimal Asimtotik Ukuran terbaik dari suatu penduga relatif terhadap kesalahannya adalah penduga dengan MSE yang bernilai minimum. Misalkan yang merupakan fungsi dari , menyatakan suku utama dari yaitu
Dapat diperoleh nilai yang meminimumkan untuk n tetap, dengan membuat turunan pertama sama dengan nol, sehingga diperoleh
dengan Pada persamaan (34) diperoleh
Berdasarkan Teorema 3 diperoleh
Sehingga ruas kanan (42) dapat ditulis menjadi
Selanjutnya akan diperiksa apakah yang diperoleh meminimumkan dengan memeriksa turunan kedua , yaitu
Telah kita ketahui bahwa nilai dari dan adalah bandwidth yang bernilai positif, sehingga
14
Dengan demikian yang diperoleh meminimumkan . Sehingga nilai bandwidth yang optimal adalah
turunan pertama sama dengan nol dan turunan kedua bernilai positif maka memenuhi syarat minimum. Karena tidak diketahui, sehingga bandwidth di atas bersifat asimtotik.
turunan
pertama sama dengan nol dan turunan kedua bernilai positif maka memenuhi syarat minimum. Karena tidak diketahui, sehingga bandwidth di atas bersifat asimtotik.
