MASARYKOVA UNIVERZITA

MASARYKOVA UNIVERZITA PRˇI´RODOVEˇDECKA´ FAKULTA ´ STAV TEORETICKE´ FYZIKY A ASTROFYZIKY U

Diplomova´ praće

BRNO 2015

PETR FATKA

MASARYKOVA UNIVERZITA PRˇI´RODOVEˇDECKA´ FAKULTA ´ STAV TEORETICKE´ FYZIKY A ASTROFYZIKY U

Popis distribuce drah asteroidu˚ s aplikacı´ k identifikaci asteroida´lnıćh pa´ru˚ Diplomova´ praće

Petr Fatka

Vedoucı´ praće: Mgr. Petr Pravec, Dr.

Brno 2015

Bibliograficky´ za´znam Autor:

Bc. Petr Fatka Prˇ´ırodoveˇdecka´ fakulta, Masarykova univerzita ´ stav teoreticke´ fyziky a astrofyziky U

Na´zev praće:

Popis distribuce drah asteroidu˚ s aplikacı´ k identifikaci asteroida´lnıćh pa´ru˚

Studijnı´ program:

Fyzika

Studijnı´ obor:

Teoreticka´ fyzika a astrofyzika

Vedoucı´ praće:

Mgr. Petr Pravec, Dr.

Akademicky´ rok:

2014/2015

Pocˇet stran:

ix + 48

Klıćˇova´ slova:

asteroid, planetka, planetkovy´ pa´r, metody detekce

Bibliographic Entry Author:

Bc. Petr Fatka Faculty of Science, Masaryk University Department of Theoretical Physics and Astrophysics

Title of Thesis:

Description of the orbit distribution of asteroids with application for identification of asteroid pairs

Degree Programme:

Physics

Field of Study:

Theoretical Physics and Astrophysics

Supervisor:

Mgr. Petr Pravec, Dr.

Academic Year:

2014/2015

Number of Pages:

ix + 48

Keywords:

asteroid, minor planet, asteroid pair, methods of detection

Abstrakt Tato diplomova´ praće se zaby´va´ detekcı´ planetkovyćh pa´ru˚ v oblasti hlavnı´ho pa´su. Vycha´zı´ z jizˇ existujıćı´ metody (Pravec & Vokrouhlicky´ 2009), ktera´ prˇedpokla´da´ uniformnı´ rozlozˇenı´ drah planetek v okolı´ studovane´ho pa´ru. Hlavnı´m u´kolem bylo zobecneˇnı´ te´to metody, cˇehozˇ bylo dosazˇeno loka´lnı´m popisem gradientu hustoty drah v prostoru dra´hovyćh elementu˚ ve vymezene´m okolı´ pa´ru. Uka´zalo se, zˇe prˇiblizˇneˇ v polovineˇ z 36 prˇ´ıpadu˚ se hustota pozadı´ vy´razneˇ nezmeˇnı´ (relativnı´ zmeˇna je do 10%). Objevily se ovsˇem i oblasti s vy´znamneˇ vychy´leny´mi hodnotami koeficientu˚ gradientu hustoty od nuly (prˇedpokla´dane´ hodnoty), u kteryćh bylo na´sledneˇ provedeno jejich podrobne´ studium. To posle´ze odhalilo za´sah rodin planetek do studovane´ oblasti, vy´skyt rezonance v okolı´ pa´ru˚, nebo se pa´r nacha´zel v teˇsne´ blı´zkosti roviny ekliptiky. Z deseti oblastı´ s nejvy´razneˇjsˇ´ımi gradienty hustoty drah byl vytvorˇen seznam rodin, ktere´ okolı´ neˇktere´ho z pa´ru vy´znamneˇ ovlivnˇovaly. Cˇlenove´ teˇchto rodin byli na´sledneˇ vyrˇazeni a strˇednı´ hodnoty jednotlivyćh koeficientu˚ byly prˇepocˇ´ıtańy a porovnańy s prˇedcha´zejıćı´mi hodnotami. Nove´ vy´sledky se vıće prˇiblı´zˇily k nule a jejich smeˇrodatne´ odchylky se znatelneˇ zmensˇily.

Abstract This diploma thesis deals with detection of asteroid pairs in the main belt region. It is based on an already existing method (Pravec & Vokrouhlicky´ 2009), which assumes uniform distribution of asteroid orbits in the nearby area of a studied pair. The main goal was generalization of this method, which was achieved by local description of orbit density gradient in the space of orbital elements in a defined neighborhood of a pair. It turned out that approximately in half of the 36 cases, the background density does not significantly change (the relative change is under 10%). Some areas with significantly deviated values of gradient coefficients (from zero – expected value) were discovered and further examined. The examination revealed interference of asteroid families into studied area, presence of resonance nearby studied pair, or the pair was located very close to the ecliptic plane. A list of families that significantly influence density gradient around pairs was established from ten areas with the strongest gradients. Members of these families were excluded and a new mean value of each coefficient was recalculated and compared with the original value. New results are closer to zero and their standard deviations are much smaller.

Podeˇkovańı´ Na tomto mı´steˇ bych chteˇl podeˇkovat prˇedevsˇ´ım Petrovi Pravcovi za trpeˇlive´ vedenı´ te´to praće a za jeho sta´lou vstrˇ´ıcnost. Velke´ dı´k patrˇ´ı me´ rodineˇ, ktera´ meˇ vytrvale podporuje a to nejen ve studiu. Deˇkuji take´ vsˇem svy´m prˇa´telu˚m, s va´mi to sˇlo mnohem snadneˇji.

Prohla´sˇenı´ Prohlasˇuji, zˇe jsem svoji diplomovou praći vypracoval samostatneˇ s vyuzˇitı´m informacˇnıćh zdroju˚, ktere´ jsou v praći citovańy.

Brno 14. kveˇtna 2015

.......................... Petr Fatka

Obsah ´ vod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . U

ix

Kapitola 1. Popis drah planetek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1 Oskulacˇnı´ dra´hove´ elementy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Strˇednı´ dra´hove´ elementy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Vlastnı´ dra´hove´ elementy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1 2 2 3

Kapitola 2. Rozpady planetek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 2.1 Sra´zˇky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 2.2 Jarkovske´ho a YORP efekt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 2.2.1 Jarkovske´ho efekt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 2.2.2 YORP efekt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 Kapitola 3. Popis vzda´lenostı´ v prostoru dra´hovyćh elementu˚ . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 3.1 Zappala` 1990 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 3.2 Doplneˇnı´ do 5D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 Kapitola 4. Identifikace kandida´tu˚ na planetkovy´ pa´r . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1 Statisticka´ analy´za . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.1 Simulace na´hodne´ho rozdeˇlenı´ drah . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.2 Pravdeˇpodobnost vy´skytu teˇsnyćh drah . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.3 Studium loka´lnı´ hustoty drah kolem pa´ru . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

16 17 17 18 19

Kapitola 5. Prakticka´ cˇa´st . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1 Pouzˇite´ databa´ze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2 Popis hustoty pozadı´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3 Odlehle´ koeficienty . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4 Tabulky s vy´sledky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

22 22 23 28 40

Za´veˇr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

44

Seznam pouzˇite´ literatury . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

46

– viii –

´ vod U Mezi drahami planet Marsu a Jupiteru, v oblasti tzn. hlavnı´ho pa´su, se vyskytuje velmi pocˇetna´ populace planetek. Na tyto planetky gravitacˇneˇ pu˚sobı´ (kromeˇ Slunce, kolem ktere´ho obı´hajı´) i jina´ teˇlesa (naprˇ. planety), ktera´ zpu˚sobujı´ jiste´ nestability na urcˇityćh drahaćh. Prˇ´ıkladem mohou by´t rezonance strˇednı´ho pohybu s Jupiterem nebo-li Kirkwoodovy mezery. I tyto vlivy zaprˇ´ıcˇinˇujı´ vza´jemne´ kolize mezi planetkami. Prˇi fyzicke´ sra´zˇce dvou planetek mu˚zˇe dojı´t pouze ke kra´terovanı´ (naprˇ. je-li jedno z teˇles podstatneˇ mensˇ´ı nezˇ druhe´) nebo mu˚zˇe dojı´t k roztrˇ´ısˇteˇnı´ planetek i na tisıće kusu˚ a vzniku tzn. rodiny (naprˇ. rodina Vesta obsahuje prˇes 16 tis. cˇlenu˚). Prˇi hledańı´ teˇchto rodin hierarchickou shlukovanı´ metodou se uka´zalo, zˇe se v populaci planetek vyskytujı´ osamocene´, velice teˇsne´ dvojice, ktere´ majı´ o rˇa´d blizˇsˇ´ı (podobneˇjsˇ´ı) dra´hy, nezˇ je v rodinaćh beˇzˇne´. Da´le se uka´zalo, zˇe teˇchto teˇsnyćh dvojic je cela´ rˇada a nemohli tak vzniknout pouhou na´hodou. Momenta´lneˇ se na´m jako nejpravdeˇpodobneˇjsˇ´ı prˇ´ıcˇina vzniku teˇchto teˇsnyćh dvojic jevı´ roztrzˇenı´ nesymetricke´ materˇske´ planetky vlivem urychlovanı´ jejı´ rotace. Za prˇ´ıcˇinu urychlovanı´ rotace planetky se povazˇuje YORP efekt (viz kapitola 2). Prˇi tomto jevu dojde k rozpadu planetky na mensˇ´ı kusy, ktere´ relativneˇ kra´tkou dobu (typicky do jednoto roku) obı´hajı´ kolem spolecˇne´ho teˇzˇisˇteˇ a pote´ se od sebe vzda´lı´ nı´zkou rychlostı´ (podstatneˇ nizˇsˇ´ı, nezˇ je tomu prˇi vzniku rodiny). Takto vynikle´ dvojice oznacˇujeme jako planetkove´ pa´ry. Mozˇny´ zpu˚sob, jak lze hledat tyto planetkove´ dvojice, je upravenı´ metody pouzˇite´ k hledańı´ rodin a rozsˇ´ırˇenı´ o odhad pravdeˇpodobnosti vy´skytu konkre´tnıćh teˇsnyćh drah v dane´m okolı´. Tuto metodu pouzˇili Pravec & Vokrouhlicky´ (2009) a oznacˇili tak kandida´ty na planetkove´ pa´ry (viz kapitola 4). Tato metoda vsˇak ma´ sva´ jista´ omezenı´ a jednı´m podstatny´m omezenı´m je prˇedpoklad loka´lneˇ uniformnı´ho rozlozˇenı´ drah v prostoru dra´hovyćh ´ kolem te´to diplomove´ praće je analy´za rozlozˇenı´ elementu˚ kolem studovane´ho pa´ru. U drah v okolı´ zkoumanyćh dvojic a navrzˇenı´ loka´lnı´ho popisu distribuce drah, ktery´ by le´pe odpovı´dal skutecˇnosti. Ze znalosti loka´lnı´ho rozlozˇenı´ drah lze na´sledneˇ vylepsˇit metodu identifikace planetkovyćh pa´ru˚ a lze dosa´hnout prˇesneˇjsˇ´ıch odhadu˚ pravdeˇpodobnosti na´hodne´ho vy´skytu teˇsnyćh drah.

– ix –

Kapitola 1 Popis drah planetek Zpu˚sobu˚, jak popsat dra´hu planetek ve Slunecˇnı´ soustaveˇ je neˇkolik. Jednou z nejjednodusˇsˇ´ıch mozˇnostı´ je vyuzˇitı´ Newtonovyćh pohybovyćh za´konu˚ a Newtonova gravitacˇnı´ho za´kona a aplikovat tyto za´kony na proble´m dvou teˇles (planetka a Slunce). Tı´mto zpu˚sobem obdrzˇ´ıme Keplerovsky´ popis dra´hy pro danou planetku. Samotnou dra´hu a polohu planetky mu˚zˇeme matematicky popsat pomocı´ sˇesti dra´hovyćh elementu˚.

Obra´zek 1.1: Vyznacˇenı´ u´hlovyćh dra´hovyćh elementu˚. • Velka´ poloosa a - vyjadrˇuje strˇednı´ vzda´lenost teˇlesa od hmotne´ho strˇedu soustavy • Excentricita e - uda´va´ tvar obeˇzˇne´ dra´hy, pro e = 0 je dra´ha kruzˇnice, 0 < e < 1 elipsa, e = 1 parabola a e > 1 hyperbola • Inklinace i - vyjadrˇuje sklon obeˇzˇne´ dra´hy teˇlesa vzhledem k referencˇnı´ rovineˇ, kterou by´va´ ekliptika • De´lka vy´stupne´ho uzlu Ω - uda´va´ u´hlovou vzda´lenost vy´stupne´ho uzlu od referencˇnı´ho smeˇru, ktery´m by´va´ jarnı´ bod –1–

Kapitola 1. Popis drah planetek

2

• De´lka pericentra ϖ - je rovna soucˇtu Ω + ω, prˇicˇemzˇ ω je argument sˇ´ırˇky pericentra, ktery´ vyjadrˇuje u´hlovou vzda´lenost pericentrem a vy´stupnı´m uzlem • Strˇednı´ anoma´lie M - uda´va´ u´hlovou vzda´lenost mezi smeˇry strˇed dra´hy - pericentrum a poloha objektu - pericentrum

1.1

Oskulacˇnı´ dra´hove´ elementy

Jelikozˇ je ve Slunecˇnı´ soustaveˇ vıće teˇles, jejichzˇ hmotnost nenı´ prˇi popisu drah planetek zanedbatelna´ (naprˇ. Jupiter), docha´zı´ tak k pravidelny´m oscilacı´m Keplerovskyćh dra´hovyćh elementu˚. To znamena´, zˇe pro ru˚zna´, v cˇase vzda´lena´, pozorovańı´ obdrzˇ´ıme odlisˇne´ dra´hove´ elementy, cozˇ je neprˇ´ıjemne´. Proto je prˇi tomto popisu drah nutno prˇidat dalsˇ´ı parametr a tı´m je epocha - cˇasovy´ okamzˇik, pro ktery´ jsou platne´ dane´ dra´hove´ elementy. Strucˇneˇ rˇecˇeno, oskulacˇnı´ dra´hove´ elementy jsou takove´ dra´hove´ elementy, ktere´ by meˇla planetka, kdyby na nı´ v dany´ okamzˇik (epochu) gravitacˇneˇ pu˚sobilo pouze centra´lnı´ teˇleso (Slunce).

(a)

(b)

Obra´zek 1.2: Zobrazenı´ rozmı´steˇnı´ 150 000 planetek hlavnı´ho pa´su ve vybranyćh oskulacˇnıćh dra´hovyćh elementech. V grafu (a) jsou patrne´ Kirkwoodovy mezery naprˇ´ıklad okolo 2,5 AU. V grafu (b) nejsou ani na´znaky rodin.

1.2

Strˇednı´ dra´hove´ elementy

Dalsˇ´ı mozˇnostı´, jak popsat dra´hu planetky, je analy´za cˇastyćh perturbacı´ zpu˚sobenyćh nejveˇtsˇ´ımi planetami (Jupiter, Saturn). Tı´m, zˇe odstranı´me tyto kra´tkoperiodicke´ perturbace, zı´ska´me tak strˇednı´ dra´hove´ elementy, ktere´ jsou uspokojiveˇ prˇesne´ na cˇasovyćh sˇka´laćh azˇ statisıću˚ let. Jelikozˇ prˇedpokla´da´me, zˇe planetkove´ pa´ry, ktere´ zkouma´me, jsou relativneˇ mlade´ (v porovnańı´ s planetkovy´mi rodinami), jsou strˇenı´ dra´hove´ elementy nejlepsˇ´ı volbou pro jejich hledańı´. Takto spocˇ´ıtali dra´hove´ elementy (ktere´ byly pouzˇity v te´to


3

praći) Andrea Milani a Zoran Knezˇević1 . Jak autorˇi sami uva´dı´, prˇesnost teˇchto elementu˚ je uspokojiva´ pro veˇtsˇinu planetek v hlavnı´m pa´su a snizˇuje se v okolı´ hlavnıćh rezonancı´ strˇednı´ho pohybu2 s planetami, prˇedevsˇ´ım v rezonanci 2:1.

(a)

(b)

Obra´zek 1.3: Vyobrazenı´ 150 000 planetek hlavnı´ho pa´su ve strˇednıćh elementech. Porovnańı´m grafu (a) s grafem 1.2 (a) si mu˚zˇeme vsˇimnout, zˇe vy´razne´ shluky se zahusˇt’ujı´ a zmensˇujı´.

1.3

Vlastnı´ dra´hove´ elementy

Kdybychom se chteˇli zaby´vat tı´m, jak vypadala distribuce asteroidu˚ prˇed neˇkolika desı´tkami milionu˚ let, zjistı´me, zˇe ani strˇednı´ elementy nejsou dostatecˇneˇ stabilnı´ a jejich pouzˇitı´m nedostaneme veˇrohodne´ vy´sledky. Proble´mem jsou dlouhoperiodicke´ perturbace zpu˚sobene´ dalsˇ´ımi hmotny´mi teˇlesy ve Slunecˇnı´ soustaveˇ. Odstraneˇnı´m i teˇchto pomalu se projevujıćıćh poruch zı´ska´me dra´hove´ elementy, ktere´ jsou nemeˇnne´ na velice dlouhyćh cˇasovyćh sˇka´laćh. Tyto elementy nazy´va´me vlastnı´ dra´hove´ elementy. Jeden z hlavnıćh du˚vodu˚ pro zavedenı´ vlastnıćh elementu˚ je identifikace a dalsˇ´ı zkoumańı´ rodin planetek. Jak jizˇ bylo rˇecˇeno, planetkove´ rodiny jsou mnohem starsˇ´ı nezˇ planetkove´ pa´ry, ktere´ jsme schopni identifikovat. Sta´rˇ´ı rodin je v rozmezı´ od neˇkolika milionu˚ azˇ do neˇkolika stovek milionu˚ let.

1 http://hamilton.dm.unipi.it/astdys/index.php?pc=5 2 oznac ˇ ovany´

jako n, strˇednı´ u´hlova´ rychlost (beˇhem jednoho obeˇhu) za jednotku cˇasu


(a)

4

(b)

(c)

Obra´zek 1.4: Rozmı´steˇnı´ 150 000 planetek hlavnı´ho pa´su ve vlastnıćh elementech. Na grafu (b) jsou patrne´ rodiny planetek, ktere´ nebyly videˇt ve strˇednıćh asi oskulacˇnıćh elementech.

Kapitola 2 Rozpady planetek Vzhledem k velky´m vza´jemny´m vzda´lenostem mezi jednotlivy´mi planetkami, prˇedevsˇ´ım v porovnańı´ s jejich velikostmi, by se mohlo zda´t, zˇe se jedna´ o sta´la´, pozvolneˇ rotujıćı´ teˇlesa obı´hajıćı´ kolem Slunce. To je pravda pro veˇtsˇinu planetek, ale najde se rˇada vy´jimek a to nejen na velkyćh cˇasovyćh de´lkaćh. Nenı´ teˇzˇke´ prˇedstavit si, zˇe v oblasti hlavnı´ho pa´su1 (kde zna´me vıće nezˇ 700 000 planetek), mu˚zˇe cˇas od cˇasu dojı´t ke vza´jemny´m kolizı´m mezi planetkami. Dnes jizˇ take´ vı´me, zˇe k rozpadu planetky mu˚zˇe dojı´t i bez sra´zˇky s jiny´m teˇlesem a sice pouhy´m pu˚sobenı´m slunecˇnı´ho za´rˇenı´.

2.1

Sra´zˇky

Mysˇlenka, zˇe mezi planetkami docha´zı´ k fyzicky´m sra´zˇka´m je velice dobrˇe podporˇena uzˇ jen samotny´m pohledem na grafy, na jejichzˇ osy vyneseme vlastnı´ dra´hove´ elementy. Viditelne´ shluky ukazujı´ podobnost drah jednotlivyćh planetek. Spektroskopicky´m meˇrˇenı´m lze odhadnout povrchove´ slozˇenı´ planetek a tak potvrdit cˇi vyvra´tit jejich spolecˇny´ pu˚vod. Strˇednı´ dobu mezi jednotlivy´mi katastroficky´mi sra´zˇkami pro danou planetku v oblasti hlavnı´ho pa´su lze odhadnout pomocı´ vztahu √ (2.1) τ = 16, 8 R, kde R je polomeˇr materˇske´ planetky a τ je v milionech let (Farinella et al. 1998). Aby mohla vzniknout pocˇetna´ planetkova´ rodina, je prˇedevsˇ´ım potrˇeba, aby velikosti planetek a jejich vza´jemna´ rychlost byla dostatecˇna´. Kdybychom se pohybovali v soustaveˇ spojene´ s materˇskou (obvykle hmotneˇjsˇ´ı) planetkou, tak minima´lnı´ velikost projektilu (mensˇ´ı planetky) nezbytnou k roztrˇ´ısˇteˇnı´ materˇske´ planetky mu˚zˇeme odhadnout vztahem !1/3 2QD dp = Dm , (2.2) v2dopadu kde QD je specificka´ disperze2 materˇske´ planetky, vdopadu je velikost rychlosti projektilu a Dm je velikost materˇske´ planetky (Brozˇ & Sˇolc 2013 FSS [str. 275]). Pokud je tato velikost 1 Oblast

vy´skytu velke´ho pocˇtu planetek mezi drahami Marsu a Jupiteru. planetky veˇtsˇ´ı nezˇ 200 m lze napsat QD = 45 πρGR2 (Brozˇ & Sˇolc 2013 Fyzika Slunecˇnı´ soustavy [str. 275] da´le jen FSS) 2 Pro

–5–

Kapitola 2. Rozpady planetek

6

nebo rychlost nedostatecˇna´, docha´zı´ pouze ke kra´terovańı´ materˇske´ planetky. To ovsˇem neznamena´, zˇe je vyloucˇen vznik rodiny. I prˇi kra´terovańı´ docha´zı´ k uvolneˇnı´ a vyvrzˇenı´ materia´lu z povrchovyćh vrstev veˇtsˇ´ı planetky. Pro takto vznikle´ rodiny je typicke´, zˇe v cele´ rodineˇ je jedno dominantnı´ teˇleso, ktere´ prˇevysˇuje ostatnı´ teˇlesa svou hmotnostı´ i velikostı´.

2.2

Jarkovske´ho a YORP efekt

Dlouhou dobu se v popisu vy´voje planetek ve Slunecˇnı´ soustaveˇ uvazˇovaly pouze gravitacˇnı´ a koliznı´ jevy. Tento „klasicky´“ model na´m umozˇnˇuje popsat historii hlavnı´ho pa´su a vnitrˇnı´ cˇa´sti Slunecˇnı´ soustavy a to azˇ neˇkolik miliard let zpeˇt do minulosti. Zˇe tento model nenı´ prˇesnou reprezentacı´ reality zjistı´me, kdyzˇ zacˇneme porovna´vat neˇktere´ prˇedpoveˇdi modelu s napozorovany´mi daty. Jednı´m z prˇ´ıkladu˚, ktere´ uva´dı´ Bottke et al. (2006), je prˇebytek rychle rotujıćıćh a pomalu rotujıćıćh malyćh planetek3 (Pravec & Harris 2000) v porovnańı´ s Maxvellovsky´m rozdeˇlenı´, ktere´ bylo prˇedpoveˇzeno na za´kladeˇ klasicke´ho modelu (naprˇ: Binzel et al. 1989). Pomeˇrneˇ dlouho prˇehlı´zˇeny´m jevem, ktery´ je schopen vyrˇesˇit rˇadu proble´mu˚ spojenyćh s modelem uvazˇujıćı´ho pouze sra´zˇky a gravitaci, je Jarkovske´ho jev (popsańo nı´zˇe). Tento jev neuvazˇuje pu˚sobenı´ sı´ly gravitacˇnı´, ale sı´ly terma´lnı´, ktera´ take´ ovlivnˇuje vy´voj planetek a nemeˇla by by´t opomı´jena.

2.2.1

Jarkovske´ho efekt

Ivan Osipovich Jarkovsky (1844 - 1902) se ve sve´m volne´m cˇase zaby´val ota´zkami veˇdy (povolańı´m byl stavebnı´ inzˇeny´r) a pohra´val si s mysˇlenkou existence tepelne´ho jevu, ktery´ dnes nese jeho jmeńo i kdyzˇ sa´m popis tohoto jevu nikdy verˇejneˇ nepublikoval. Jarkovsky ¨ pik pouze sepsal brozˇurku, kterou si po jeho smrti prˇecˇetl estonsky´ astronom Ernst J. O (1893 - 1985), ktery´ upozornil na mozˇnou vy´znamnost tohoto jevu, prˇedevsˇ´ım s aplikacı´ ¨ pik 1951). O ¨ pik da´le smeˇroval svu˚j vy´zkum tı´mto smeˇrem. Znacˇnou da´vku na planetky (O pozornosti si zı´skaly jevy Jarkovske´ho typu v druhe´ polovineˇ minule´ho stoletı´, kdy se jı´m zaby´vali veˇdci prˇedevsˇ´ım v Rusku (naprˇ: Radzievski, Katasev, Kulikova), ve Spojenyćh sta´tech americkyćh (naprˇ: Paddack, Rhee, O’Keefe) a v Austra´lii (naprˇ: Olsson-Steel). Podrobneˇjsˇ´ı informace o historii stojıćı´ za Jarkovske´ho jevem je mozˇne´ nale´zt v Hartmann et al. (1999). Jarkovske´ho jev je v principu jaky´si tah, ktery´ vznika´, kdyzˇ male´ teˇleso obı´hajıćı´ kolem Slunce pohltı´ slunecˇnı´ za´rˇenı´, zahrˇeje se a da´le vyza´rˇ´ı zı´skanou energii zpeˇt do prostoru. Du˚lezˇity´m faktorem je kra´tke´ zpozˇdeˇnı´ mezi pohlcenı´m za´rˇenı´ a jeho zpeˇtny´m vyza´rˇenı´m zpu˚sobene´ tepelnou setrvacˇnostı´. Rozlisˇujeme dveˇ slozˇky Jarkovske´ho jevu, ktere´ vedou ke zmeˇneˇ hlavnı´ poloosy planetky a to dennı´ slozˇka a sezońnı´ slozˇka. Dennı´ slozˇka Za´kladnı´ mysˇlenka stojıćı´ za Jarkovske´ho jevem je vyzarˇovańı´ energeticˇteˇjsˇ´ıch fotonu˚ z teplejsˇ´ı cˇa´sti planetky. Uvazˇujme sfe´rickou planetku a da´le pro jednoduchost prˇedpokla´3s

velikostı´ do 10 km


7

(a)

(b)

Obra´zek 2.1: Na obra´zku (a) je naznacˇen vliv tepelne´ setrvacˇnosti. Velka´ modra´ sˇipka vyznacˇuje smeˇr pohybu planetky a mala´ modra´ sˇipka ukazuje smeˇr rotace. Elektromagneticke´ za´rˇenı´ opousˇteˇjıćı´ planetku ma´ rozdı´lnou vlnovou de´lku (tudı´zˇ i hybnost) v za´vislosti na jejı´ povrchove´ teploteˇ. Na obra´zku (b) je zˇluty´mi sˇipkami vyznacˇen smeˇr Jarkovske´ sı´ly pro danou konkre´tnı´ situaci. V tomto prˇ´ıpadeˇ zpu˚sobuje vzdalovańı´ planetky od Slunce. dejme, zˇe osa rotace planetky je kolma´ k rovineˇ obeˇhu kolem Slunce. Slunecˇnı´ za´rˇenı´ ohrˇ´ıva´ cˇa´st planetky, ktera´ je zrovna ozarˇovańa. Jelikozˇ ma´ planetka nenulovou teplotu, sama vyzarˇuje elektromagneticke´ vlneˇnı´ (typicky v infracˇervene´ oblasti). Jelikozˇ cˇa´st, ktera´ je nebo pra´veˇ byla zahrˇ´ıvańa slunecˇnı´m svitem, je teplejsˇ´ı nezˇ cˇa´st odvraćena´, lisˇ´ı se i energie E vyzarˇovanyćh fotonu˚. Z na´sledujıćıćh vztahu˚ je jasne´, zˇe du˚sledkem rozdı´lnosti energiı´ (vlnovyćh de´lek λ ) fotonu˚ vyzarˇovanyćh z teplejsˇ´ı a chladneˇjsˇ´ı cˇa´stı´ jsou rozdı´lne´ i hybnosti p, ktere´ prˇeda´vajı´ fotony planetce prˇi jejich vyza´rˇenı´4 . E = hν =

hc λ

,

p=

E h = , c λ

(2.3)

kde h Planckova konstanta, ν je frekvence elektromagneticke´ho za´rˇenı´ (fotonu) s energiı´ E a c je rychlost sveˇtla ve vakuu. I kdyzˇ vy´sledny´ rozdı´l hybnostı´ prˇeda´vany´ planetce vyza´rˇeny´mi fotony je velice maly´, tak na dlouhyćh cˇasovyćh sˇka´laćh mu˚zˇe zpu˚sobit tento tah zmeˇnu velke´ poloosy planetky. Smeˇr tahu, Jarkovske´ho sı´ly, je opacˇny´ ke smeˇru v neˇmzˇ jsou vyzarˇovańy nejteplejsˇ´ı fotony (viz obra´zky 2.1). Kdyby planetky nemeˇly zˇa´dnou tepelnou setrvacˇnost, dosˇlo by k okamzˇite´mu vyza´rˇenı´ energeticˇteˇjsˇ´ıch fotonu˚ a na planetku by pu˚sobil tah smeˇrem prˇ´ımo od Slunce. Ale vzhledem k tomu, zˇe planetky majı´, jako kazˇde´ jine´ objekty, tepelnou setrvacˇnost, nedojde k okamzˇite´mu vyza´rˇenı´ z oblastı´, ktere´ jsou zrovna zahrˇ´ıvańy Sluncem, ale dojde k cˇasove´ prodleveˇ a to se v kombinaci s rotacı´ planetky projevı´ tak, zˇe planetka obecneˇ nenı´ tlacˇena pouze radia´lnı´m smeˇrem 4 Jelikoz ˇ

platı´ za´kon zachovańı´ hybnosti v opacˇne´m smeˇru i planetka.

dp dt

= 0, tak hybnost, kterou si nese vyza´rˇeny´ foton musı´ dostat


8

Obra´zek 2.2: Vliv dennı´ i sezonnı´ slozˇky Jarkovske´ho jevu (strˇednı´ hodnota ∆a) v za´vislosti na pru˚meˇru planetky pro ru˚zne´ hodnoty tepelne´ vodivosti K (v jednotkaćh W m−1 K−1 ) , prˇicˇemzˇ C p = 680 J kg−1 K−1 , ρ povrch = 1, 7g cm−3 , ρ pod povrchem = 2, 5g cm−3 a rotacˇnı´ perioda byla urcˇena z rovnice (2.4). Z cˇa´sti (a) je videˇt, zˇe u malyćh planetek je ućˇinneˇjsˇ´ı nı´zka´ hodnota K, nebot’pro velke´ hodnoty K pronikne teplotnı´ vlna skrze cele´ cele´ teˇleso a rozdı´l teplot nenı´ tak veliky´. V cˇa´sti (b) je naznacˇena strˇednı´ hodnota zmeˇny velke´ poloosy za typickou dobu mezi vza´jemny´mi sra´zˇkami (Bottke et al. 2005). (prˇ´ımo od Slunce), ale take´ ve smeˇru obeˇhu. Tepelna´ setrvacˇnost se projevuje i na Zemi a to tak, zˇe nejteplejsˇ´ı cˇa´stı´ dne nenı´ prave´ poledne, ale doba prˇiblizˇneˇ trˇi hodiny po poledni. Vzhledem k tomu, zˇe Jarkovske´ho sı´la ma´ obecneˇ nenulovou slozˇku ve smeˇru obeˇhu, docha´zı´ k postupne´mu zveˇtsˇovańı´ nebo zmensˇovańı´ hlavnı´ poloosy a take´, i kdyzˇ mnohem meńeˇ, ke zmeˇneˇ excentricity. Zda se bude planetka od slunce vzdalovat nebo prˇiblizˇovat za´lezˇ´ı na smeˇru jejı´ rotace. Kdyzˇ je rotace planetky progra´dnı´ (ve stejne´m smeˇru jako je smeˇr obeˇhu kolem Slunce), bude docha´zet ke zveˇtsˇovańı´ hlavnı´ poloosy. V opacˇne´m prˇ´ıpadeˇ (retrogra´dnı´ rotace) bude planetka zmensˇovat svoji vzda´lenost od Slunce. Za´vislost zmeˇny hlavnı´ poloosy na velikosti planetky a tepelne´ vodivosti je videˇt na obra´zku 2.2. Nutno zopakovat, zˇe tyto u´vahy prˇedpokla´dajı´, zˇe osa rotace planetky je kolma´ k rovineˇ obeˇhu. Kdybychom prˇedpokla´dali druhy´ krajnı´ prˇ´ıpad a sice, zˇe osa rotace lezˇ´ı v rovineˇ obeˇhu, tak by se tato dennı´ slozˇka Jarkovske´ho jevu vu˚bec neprojevila. Dalsˇ´ımi faktory ovlivnˇujıćı´mi velikost dennı´ slozˇky Jarkovske´ho jevu je vzda´lenost od Slunce, velikost, tvar, tepelna´ vodivost a rychlost rotace planetky. Zapocˇtenı´m vsˇech teˇchto parametru˚, mu˚zˇeme odhadnout velikosti planetek, pro ktere´ je tento efekt nejsilneˇjsˇ´ı. Je zrˇejmeˇ, zˇe pro velke´ objekty, jako jsou naprˇ´ıklad planety, je Jarkovske´ho jev zanedbatelny´ kvu˚li pomeˇru plocha-hmotnost. Na druhou stranu velmi male´ objekty (prachove´ cˇa´stice) majı´ pomeˇr plocha-hmotnost prˇ´ıznivy´, zde ovsˇem nevznika´ tak veliky´ teplotnı´ rozdı´l mezi teplou a chladnou oblastı´ (objekt je te´meˇrˇ izotermicky´). Periodu rotace P veˇtsˇiny objektu˚


9

ve Slunecˇnı´ soustaveˇ lze prˇiblizˇneˇ popsat vztahem P∼

5D , 2

(2.4)

kde D pru˚meˇr objektu v metrech a P je v sekundaćh (Bottke et al. 2006). S vyuzˇitı´m takto zı´skane´ periody rotace pro danou planetku zjistı´me, zˇe dennı´ slozˇka Jarkovske´ho jevu je nejvy´znamneˇjsˇ´ı pro planetky s velikostmi od neˇkolika centimetru˚ azˇ po jednotky metru˚. Sezońnı´ slozˇka Za objevenı´m sezońnı´ slozˇky Jarkovske´ho jevu neprˇ´ımo stojı´ vesmı´rne´ druzˇice LAGEOS (Laser Geodynamics Satellites), ktere´ byly vypusˇteˇny5 v druhe´ polovineˇ minule´ho stoletı´. Tyto druzˇce nemeˇly za cı´l meˇrˇit ućˇinky Jarkovske´ho jevu6 , ale pa´tralo se po prˇ´ıcˇineˇ, ktera´ zpu˚sobovala postupne´ snizˇovańı´ vy´sˇky satelitu˚. Uka´zalo se (Rubincam 1987, 1988, 1990), zˇe kromeˇ dennı´ slozˇky Jarkovske´ho jevu existuje i dlouhodobeˇjsˇ´ı jev, ktery´ nazy´va´me sezońnı´ slozˇkou. Tento efekt nepu˚sobı´ pouze na druzˇice obı´hajıćı´ kolem Zemeˇ, ale take´ na planetky ve Slunecˇnı´ soustaveˇ.

Obra´zek 2.3: Ilustrace sezonnı´ slozˇky Jarkovske´ho jevu, zpu˚sobene´ho zahrˇ´ıvańı´m a postupny´m chladnutı´m severnı´ a jizˇnı´ polokoule idealizovane´ planetky. Zˇluty´mi sˇipkami je vyznacˇen smeˇr Jarkovske´ho sı´ly. I kdyzˇ k nejveˇtsˇ´ımu ohrˇevu docha´zı´ v bobech A a C, vlivem tepelne´ setrvacˇnosti ma´ Jarkovske´ho sı´la maximum v bodech B a D. Mysˇlenka sezonnı´ slozˇky je naznacˇena na obra´zku 2.3, prˇicˇemzˇ opeˇt uvazˇujeme sfe´rickou planetku obı´hajıćı´ po kruhove´ dra´ze kolem Slunce. Tentokra´t ovsˇem osa rotace planetky lezˇ´ı v rovineˇ obeˇhu, cozˇ je podstatne´, jelikozˇ za vznikem sezońnı´ slozˇky stojı´ sı´la pu˚sobıćı´ ve smeˇru pode´l osy rotace. Kdyzˇ je planetka v bodeˇ A (viz obra´zek 2.3), tak slunecˇnı´ za´rˇenı´ svı´tı´ nejsilneˇji na severnı´ polokouli. Dı´ky tomu, zˇe kazˇda´ rea´lna´ planetka ma´ teplotnı´ setrvacˇnost, docha´zı´ k tomu, zˇe nejenergeticˇteˇjsˇ´ı fotony (s nejveˇtsˇ´ı hybnostı´) 5 Druz ˇ ice

LAGEOS 1 byla vypusˇteˇna v roce 1976 a LAGEOS 2 v roce 1992. hlavnı´m ućˇelem bylo prˇesne´ meˇrˇenı´ tvaru Zemeˇ, pohybu tektonickyćh desek a polohy satelitu vzhledem k Zemi. 6 Jejich


10

jsou vyza´rˇeny azˇ v bodeˇ B. Podobneˇ je tomu v bodeˇ C, kdy je nejsilneˇji ozarˇovańa jizˇnı´ polokoule a k vyza´rˇenı´ fotonu˚ s nejkratsˇ´ı vlnovou de´lkou docha´zı´ v bodeˇ D. Vzhledem k tomu, zˇe sı´la pu˚sobıćı´ na planetku ma´ slozˇku, ktera´ vzˇdy pu˚sobı´ v opacˇne´m smeˇru neˇzˇ je smeˇr obeˇhu, docha´zı´ ke zpomalovańı´ planetky, ktera´ postupneˇ zmensˇuje vzda´lenost od Slunce. Kdyby planetka nemeˇla zˇa´dnou tepelnou setrvacˇnost, tak by se slozˇka sı´ly pu˚sobıćı´ ve smeˇru obeˇhu zpru˚meˇrovala na nulu beˇhem jednoho obeˇhu kolem Slunce. Vzhledem k tomu, zˇe pro dra´hy kruhove´ i mı´rneˇ elipticke´ pu˚sobı´ zpru˚meˇrovana´ sı´la vzˇdy proti smeˇru obeˇhu, byl tento jev pu˚vodneˇ oznacˇovań jako brzdıćı´ terma´lnı´ tah (Rubincam 1987). Na rozdı´l od dennı´ slozˇky Jarkovske´ho jevu, je tento efekt neza´visly´ na smeˇru rotace planetky, ale za´visı´ prˇedevsˇ´ım na vzda´lenosti od Slunce a sklonu rotacˇnı´ osy vzhledem k rovineˇ obeˇhu. Kdyby osa rotace byla kolma´ k rovineˇ obeˇhu, pak se sezońnı´ slozˇka vu˚bec neprojevı´. Podobneˇ jako dennı´ slozˇka, tak i sezońnı´ slozˇka meˇnı´ dalsˇ´ı dra´hove´ elementy, naprˇ´ıklad zmensˇuje excentricitu (zakulacuje obeˇzˇnou dra´hu planetky) podobneˇ jako atmosfe´ricky´ tah (Rubincam 1995, 1998; Vokrouhlicky´ & Farinella 1998, 1999). Nejsilneˇji pocı´tı´ tento jev planetky vnitrˇnı´ cˇa´sti hlavnı´ho pa´su s velikostı´ prˇiblizˇneˇ deseti metru˚7 (Farinella et al. 1998, Rubincam (1998). Rovnice Jarkovske´ho jevu Prˇi hledańı´ Jarkovske´ho sı´ly musı´me najı´t jednak rozlozˇenı´ teploty na povrchu teˇlesa, ale take´ odhadnout sı´lu zpeˇtne´ho ra´zu tepelne´ho za´rˇenı´. Budeme zde pouzˇ´ıvat stejnou notaci jako pouzˇil Vokrouhlicky´ (2001). Abychom spocˇ´ıtali povrchovou teplotu teˇlesa, pouzˇijeme rovnici sˇ´ırˇenı´ tepla pro tok energie v teˇlese a sice ∂T (2.5) ∇ · (K∇T ) = ρC p ∂t a pro tok energie skrze povrch (K∇T · n⊥ ) + εσ T 4 = αε,

(2.6)

kde T je teplota, K je tepelna´ vodivost, C p je meˇrna´ tepelna´ kapacita za konstantnı´ho tlaku, ρ je hustota teˇlesa, ε je povrchova´ emisivita, σ je Stefanova-Boltzmannova konstanta a α = 1 − A, kde A je Bondovo albedo. V druhe´ rovnici n⊥ je vneˇjsˇ´ı norma´lovy´ vektor, kolmy´ na plosˇny´ element povrchu, a ε je tok slunecˇnı´ho za´rˇenı´ touto plochou. Jestlizˇe zna´me funkci ε (za´visı´ na tvaru a rotaci) a parametry materia´lu (K, C p , ρ), mu˚zˇeme rovnice (2.5) a (2.6) vyrˇesˇit numericky. Z praktickyćh du˚vodu˚ je vhodne´ zredukovat pocˇet parametru˚ rovnic na co nejmensˇ´ı pocˇet, proto je vhodne´ zave´st nove´ pomocne´ promeˇnne´ a sice hloubku proniknutı´ teplotnı´ vlny lν a teplotnı´ parametr Θν (Farinella 1998) definovane´ jako s p KρC p ν K , (2.7) , Θν = lν = ρC p ν εσ T∗3 kde T∗ je subpola´rnı´ teplota urcˇena´ jako εσ T∗4 = αε∗ , 7 Platı´

pro cˇedicˇove´ planetky obı´hajıćı´ po kruhovyćh drahaćh.

(2.8)


11

kde ε∗ je tok slunecˇnı´ho za´rˇenı´ ve vzda´lenosti teˇlesa (planetky). Terma´lnı´ parametr Θν je meˇrˇ´ıtkem relaxace mezi pohlcenı´m a znovu vyza´rˇenı´m fotonu o frekvenci ν. Nynı´ se zameˇrˇ´ıme na vy´pocˇet zpeˇtne´ho ra´zu zpu˚sobene´ho tepelny´m za´rˇenı´m (neˇkdy oznacˇovany´ jako Jarkovske´ho sı´la). Za prˇedpokladu izotropnı´ (Lambertovy) emise je odpovı´dajıćı´ sı´la na jednotku hmotnosti dańa (Spitale & Greenberg 2001) 2 εσ 4 T n⊥ dS(u, v) , df = − 3 mc

Z

f=

df,

(2.9)

S

kde m je hmotnost teˇlesa a integrace je prˇes cely´ povrch teˇlesa S parametrizovany´ sourˇadnicemi (u, v). Zavedeme-li si sourˇadnicovy´ syste´m, v neˇmzˇ bude osa z souhlasna´ s osou rotace planetky a osy x a y budou lezˇet v rovnı´kove´ rovineˇ, pak lze rozdeˇlit Jarkovske´ho sı´lu do svou slozˇek. Prvnı´ slozˇkou jsou komponenty dennı´ho Jarkovske´ho efektu fx a fy , ktere´ za´visı´ prˇedevsˇ´ım na frekvenci rotace ω. Druha´ slozˇka obsahuje komponentu sezońnı´ slozˇky fz , ktera´ za´visı´ pouze na strˇednı´m pohybu n. Tyto jednotlive´ slozˇky meˇnı´ prˇedevsˇ´ım velkou poloosu planetky a. Jelikozˇ jsou tyto perturbace male´, obvykle se pocˇ´ıta´ jejich celkovy´ efekt za jeden obeˇh. Pro sfe´ricky´ objekt s polomeˇrem R a zanedbatelnou excentricitou platı´, zˇe zpru˚meˇrovany´ dennı´ a sezońnı´ Jarkovske´ho efekt meˇnı´ velkou poloosu na´sledovneˇ 8α Φ da =− Fω (R0 , Θ) cos γ + O(e), (2.10) dt denni 9 n da 4α Φ = Fn (R0 , Θ) sin2 γ + O(e). (2.11) dt sezonni 9 n kde α je albedo podobneˇ jako v rovnici (2.6) (Vokrouhlicky´ & Bottke 2001), γ je sklon rotacˇnı´ osy, Φ je klasicky´ tlak za´rˇenı´, pro ktery´ platı´ Φ=

πR2 ε0 . mc

(2.12)

Da´le funkce Fν (R0 , Θ) je za´visla´ na polomeˇru teˇlesa sˇka´lovane´ho hloubkou proniknutı´ teplotnı´ vlny8 a na teplotnı´m parametru Θ, prˇicˇemzˇ oba odpovı´dajı´ prˇ´ıslusˇne´ frekvenci ν. Azˇ na rozdı´l ve frekvencıćh, kde pro dennı´ slozˇku platı´ ν = ω a pro sezońnı´ ν = n, je funkce Fν stejna´. Jejı´ explicitnı´ vyja´drˇenı´ za´vislosti na teplotnı´m parametru Θ vypada´ na´sledovneˇ: κ1 (R0 )Θν , (2.13) Fν (R0 , Θ) = − 1 + 2κ2 (R0 )Θν + κ3 (R0 )Θ2ν kde κi jsou analyticke´ funkce R0 .

2.2.2

YORP efekt

Prˇedcha´zejıćı´ u´vahy o Jarkovske´ho jevu meˇly spolecˇny´ prˇedpoklad a to, zˇe planetka je sfe´ricka´. Jak ovsˇem prˇedpokla´da´me a pozorujeme, tak planetky nejsou v drtive´ veˇtsˇineˇ prˇ´ıpadu˚ dostatecˇneˇ hmotne´ na to, aby svou vlastnı´ gravitacı´ vy´znamneˇ zakulatily svu˚j tvar. 8 R0

= R/lν


12

Dı´ky tomuto nesymetricke´mu tvaru mu˚zˇe na planetku pu˚sobit slaby´ tocˇivy´ moment, ktery´ ovlivnˇuje jejı´ rotaci (u´hlovou rychlost rotace i sklon rotacˇnı´ osy). Tento jev pojmenoval Rubincam (2000) jako Yarkovsky–O’Keefe–Radzievskii–Paddack9 efekt, zkraćeneˇ YORP efekt, na za´kladeˇ prˇ´ıspeˇvku˚ jednotlivyćh veˇdcu˚. Dı´ky tomu, zˇe YORP efekt je schopen ovlivnˇovat rotaci a tı´m i velikost Jarkovske´ho jevu, mu˚zˇeme pomocı´ neˇj vysveˇtlit rˇadu nejasnostı´ jako naprˇ´ıklad drˇ´ıve zminˇovany´ prˇebytek rychle a pomalu rotujıćıćh malyćh planetek. I kdyzˇ je YORP efekt pomeˇrneˇ slaby´, jsme schopni u vhodnyćh planetek tento jev prˇ´ımo zaznamenat (Vokrouhlicky´ et al. 2004).

Obra´zek 2.4: Ilustrace sfe´ricke´ planetky s pevneˇ prˇipevneˇny´mi klıńy pro vysveˇtlenı´ YORP efektu. Jednı´m z mozˇnyćh zpu˚sobu˚, jak na´zorneˇ uka´zat princip YORP efektu je ten, ktery´ pouzˇil Rubincam (2000). Prˇedstavme si opeˇt sfe´rickou planetku s rotacˇnı´ osou kolmou k rovineˇ obeˇhu, ale tentokra´t na jejı´ rovnı´k pevneˇ prˇipevnı´me dva klıńy orientovane´ jako na obra´zku 2.4. Vyzarˇovańı´ ze samotne´ho povrchu sfe´ricke´ cˇa´sti planetky je k povrchu kolme´ (prˇedpokla´dejme Lambertovu emisi), takzˇe ve vy´sledku nevznika´ zˇa´dny´ moment. To ovsˇem neplatı´ pro jednotlive´ klıńy, protozˇe vy´slednice sı´ly zpu˚sobena´ vyzarˇovańı´m z jednotlivyćh steˇn ma´ nenulovou slozˇku lezˇ´ıcı´ v rovineˇ rovnı´ku. Pokud geometrie soustavy a smeˇr rotace jsou orientovańy jako na obra´zku 2.4, docha´zı´ k urychlenı´ rotace planetky. Pokud by planetka rotovala opacˇny´m smeˇrem, rotace by se zpomalovala. Aby se YORP efekt mohl projevit, je tedy, mimo jine´, potrˇeba, aby meˇla planetka vhodnou asymetrii (nesoumeˇrnost). Rovnice YORP efektu Stejneˇ jako u Jarkovske´ho jevu stojı´ za vznikem YORP efektu zpeˇtny´ ra´z za´rˇenı´ (at’uzˇ odraz cˇi znovu vyza´rˇenı´). Element te´to sı´ly df lze popsat rovnicı´ (2.9)10 . Kdyzˇ tento element sı´ly integrujeme prˇes cely´ povrch teˇlesa na´sledovneˇ Z

T=

r × f,

(2.14)

S

dostaneme celkovy´ silovy´ moment T pu˚sobıćı´ na teˇleso. Vektor r uda´va´ polohu orientovane´ elementa´rnı´ plochy dS (dS = n⊥ dS). 9 Radzievskii 10 Pro

1954; Paddack 1969, 1973; Paddack & Rhee 1975; O’Keefe 1976 4 prˇipomenutı´ df = − 32 εσ mc T n⊥ dS(u, v)


13

Oznacˇ´ıme-li si u´hlovou rychlost rotace planetky jako ω, jednotkovy´ vektor rotacˇnı´ osy e a moment setrvacˇnosti jako C, mu˚zˇeme napsat rotacˇnı´ moment planetky11 L jako L = Cωe.

(2.15)

V inercia´lnı´ soustaveˇ je cˇasova´ zmeˇna L rovna pu˚sobıćı´mu momentu T, neboli dL = T. dt

(2.16)

Prˇedpokla´da´me-li, zˇe moment setrvacˇnosti je v cˇase nemeˇnny´, mu˚zˇeme prˇedesˇly´ vztah rozepsat na´sledovneˇ: dω T·e de T − (T · e)e = , = . (2.17) dt C dt Cω V neˇkteryćh prˇ´ıpadech je uzˇitecˇne´ parametrizovat vektor e pomocı´ sklonu rotacˇnı´ osy ε (u´hel mezi e a norma´lovy´m vektorem N kolmy´m k rovineˇ obeˇhu), precesı´ v de´lce ψ a de´lkou vy´stupne´ho uzlu Ω. Jednotlive´ slozˇky vektoru e pak vypadajı´ takto e = e(ε, ψ, Ω) = (sin ε sin(ψ + Ω), sin ε cos(ψ + Ω), cos ε).

(2.18)

Dı´ky tomu mu˚zˇeme napsat cˇasovy´ vy´voj parametru˚ ε a ψ a rozlozˇit tak T do slozˇek Tε a Tψ T · e⊥1 Tε dε = ≡ , (2.19) dt Cω Cω Tψ dψ T · e⊥2 = ≡ , (2.20) dt Cω Cω prˇicˇemzˇ e×N (N · e)e − N , e⊥2 = . (2.21) e⊥1 = sin ε sinε Za zmıńku stojı´, zˇe ve skutecˇnosti T obsahuje nejen slozˇku zpu˚sobenou YORP efektem, ale take´ prˇ´ıspeˇvek od gravitacˇnı´ho a setrvacˇne´ho tahu zpu˚sobene´ho pohybem soustavy pouzˇite´ k definici ε a ψ (Vokrouhlicky´ & Cˇapek 2002). Na dlouhyćh cˇasovyćh sˇka´laćh je nejvy´razneˇji prˇispı´vajıćı´m cˇlenem k slozˇka´m Ts a Tε pra´veˇ YORP efekt a ostatnı´ prˇ´ıspeˇvky jsou zanedbatelne´.

11 Za

prˇedpokladu, zˇe planetka rotuje pouze kolem sve´ nejkratsˇ´ı osy.

Kapitola 3 Popis vzda´lenostı´ v prostoru dra´hovyćh elementu˚ Prˇi studiu planetkovyćh syste´mu˚ (at’ uzˇ rodin nebo pa´ru˚) je velice uzˇitecˇne´ zave´st si vhodny´ popis rozdı´lnosti orbita´lnıćh drah jednotlivyćh planetek. Jeden takovy´, dnes velice pouzˇ´ıvany´, popis prˇedstavil Zappala` et al. (1990) prˇi klasifikaci a studiu asteroida´lnıćh rodin. Od te´ doby je tento popis hojneˇ prˇebı´rań a da´le upravovań pro konkre´tnı´ aplikace.

3.1

Zappala` 1990

Zpu˚sob popisu, ktery´ pouzˇil Zappala` (1990), je zalozˇen na prˇedpokladu, zˇe rodiny planetek vznikajı´ trˇ´ısˇtivy´m rozpadem materˇskyćh teˇles. Pro kazˇde´ dveˇ cˇa´sti vzdalujıćı´ se z materˇske´ho teˇlesa mu˚zˇeme pouzˇ´ıt Gaussovy rovnice (viz Brouwer & Clemence 1961 [str. 299]). Pomocı´ teˇchto rovnic lze urcˇit vza´jemne´ vztahy mezi rozdı´ly dra´hovyćh elementu˚ a vza´jemny´mi rychlostmi, ktery´mi se fragmenty po sra´zˇce pohybujı´. Oznacˇ´ıme-li si d1 jako slozˇku vza´jemne´ rychlost dvou vzniklyćh fragmentu˚ ve smeˇru obeˇhu, d2 jako radia´lnı´ slozˇku vza´jemne´ rychlosti a d3 jako slozˇku vza´jemne´ rychlosti ve smeˇru kolme´m na rovinu obeˇhu, mu˚zˇeme prˇi zanedbańı´ vy´razu˚ u´meˇrnyćh excentriciteˇ, napsat (Brower 1951; Zappala` 1984) 2d1 δ a = , na a d2 sin( f ) 2d1 cos( f ) + = δ e, (3.1) na na d3 cos(ω + f ) = δ i, na kde a, e, i a ω jsou klasicke´ oskulacˇnı´ dra´hove´ elementy (viz kapitola 1), f je oskulacˇnı´ prava´ anoma´lie1 , n je strˇednı´ pohyb, takzˇe cˇlen na vyznacˇuje kruhovou rychlost. Epocha, pro kterou jsou urcˇeny oskulacˇnı´ elementy, je totozˇna´ s okamzˇikem rozpadu planetek. Kdybychom znaly u´hly f a (ω + f ), pak bychom mohli spocˇ´ıtat slozˇky rychlosti d jako rozdı´ly vlastnıćh dra´hovyćh elementu˚ mı´sto oskulacˇnıćh2 (Brower 1951). I kdyzˇ jsou tyto 1 prava ´ anoma´lie = u´hel mezi smeˇrem z centra k nejblizˇsˇ´ımu bodu obeˇzˇne´ dra´hy (periapsidou) a soucˇasnou

polohou planetky 2 Alespon ˇ v ra´mci linea´rnı´ sekunda´rnı´ poruchove´ teorie.

– 14 –

Kapitola 3. Popis vzda´lenostı´ v prostoru dra´hovyćh elementu˚

15

u´hly nezna´me´, mu˚zˇeme sta´le pomeˇrneˇ prˇesneˇ odhadnout celkovou vza´jemnou rychlost vzdalovańı´ fragmentu˚ d pomocı´ funkce 2 2 d δa = ka + ke (δ e)2 + ki (δ i)2 , (3.2) na a kde a je pru˚meˇr hodnot a1 a a2 dvou vzdalujıćıćh se fragmentu˚ a ka , ke a ki jsou va´hove´ koeficienty v rˇa´dech jednotek. Ota´zkou zu˚sta´va´, jak zvolit jednotlive´ koeficienty. Zpru˚meˇrovańı´m rovnic (3.1) prˇes f a (ω + f ) a dosazenı´m do rovnice (3.2) obdrzˇ´ıme √ (3.3) d = xhd12 i + yhd22 i + zhd32 i, prˇicˇemzˇ ke ki , z= . (3.4) 2 2 Nevy´hoda te´to metody spocˇ´ıva´ v tom, zˇe prˇi volbeˇ x = y = z = 1 nemu˚zˇeme dostat kladne´ koeficienty ka , ke , ki . Proto musı´ by´t zvoleny jine´ hodnoty koeficientu˚ jako standardnı´ metrika. Beˇzˇneˇ pouzˇ´ıvany´mi hodnotami, ktere´ pouzˇil Zapalla` (1990), jsou ka = 5/4, ke = ki = 2. Tı´m pa´dem x = 9, y = 1, z = 1 a slozˇka ka tak dosta´va´ trojna´sobnou va´hu nezˇ slozˇky zby´vajıćı´, cozˇ je pomeˇrneˇ rozumne´ vzhledem k tomu, zˇe tato komponenta je zcela neza´visla´ na nezna´myćh u´hlech f a (ω + f ) (viz prvnı´ z rovnic (3.1)). Za prˇedpokladu 2 2 2 izotropnı´ho rozpadu rodiny, pro kterou ˇ uje vy´sˇe pouzˇita´ 1 i = hd2 i = hd3 i prˇecen p platı´ hd . metrika vza´jemne´ rychlosti faktorem 11/3 = 1.915. Jako kontrolu, zda je mozˇne´ tuto metriku pouzˇ´ıt, byla vyzkousˇena (prˇi identifikaci rodin) i metrika ka = 1/2, ke = 3/4, ki = 4, ktera´ je velice blı´zka´ k ka = 1/4, ke = 2/5, ki = 2, cozˇ je metrika odvozena´ z Gaussovyćh rovnic, zpru˚meˇrovańa opeˇt prˇes u´hly f a (ω + f ) a prˇedpokla´da´ hd12 i = hd22 i. Obeˇ tyto metriky da´vajı´ podobne´ vy´sledky prˇi identifikaci rodin (Zapalla` 1990). x = 4ka + 2ke

3.2

,

y=

Doplneˇnı´ do 5D

Prˇi hledańı´ planetkovyćh syste´mu˚, ktere´ jsou relativneˇ mlade´ (< 106 let) nereprezentujı´ vlastnı´ dra´hove´ elementy rea´lne´ dra´hy, proto je vhodneˇjsˇ´ı pouzˇ´ıt oskulacˇnı´ nebo strˇednı´ elementy. Prˇ´ı hledańı´ vza´jemnyćh rychlostı´ prˇi rozpadu materˇskyćh teˇles d mu˚zˇeme na´sˇ popis rozsˇ´ırˇit o dalsˇ´ı dva dra´hove´ elementy a sice Ω a ϖ. Vy´sledna´ funkce pak mu˚zˇe vypadat na´sledovneˇ (Nesvorny´ & Vokrouhlicky´ 2006): 2 2 d δa = ka + ke (δ e)2 + ki (δ sin i)2 + kΩ (δ Ω)2 + kϖ (δ ϖ)2 , (3.5) na a kde koeficienty kΩ a kϖ jsou urcˇeny empiricky (typicky kΩ = kϖ = 10−6 − 10−4 ). Za povsˇimnutı´ take´ stojı´, zˇe mı´sto samotne´ inklinace i se cˇasto pouzˇ´ıva´ sin i. Pro lepsˇ´ı prˇedstavu je vhodneˇjsˇ´ı pomy´sˇlet na funkci d jako na funkci, ktera´ reprezentuje vzda´lenost dvou planetek v trˇ´ı nebo peˇti rozmeˇrne´m prostoru dra´hovyćh elementu˚. Vzhledem k tomu, zˇe rychlost precese v u´hlech Ω i ϖ je v hlavnı´m pa´su neprˇ´ılisˇ odlisˇna´3 , lze vzne´st rozumny´ pozˇadavek, aby kΩ ' kϖ . 3 Za

1961)

prˇedpokladu linea´rnı´ poruchove´ teorie je rychlost precese pro Ω i ϖ shodna´ (Brouwer & Clemence

Kapitola 4 Identifikace kandida´tu˚ na planetkovy´ pa´r Prˇi identifikaci a hledańı´ novyćh planetkovyćh rodin pomocı´ hierarchicke´ shlukovacı´ metody se uka´zalo, zˇe existuje cela´ rˇada dvojic planetek, ktere´ majı´ velice podobne´ dra´hy. Typicke´ vzda´lenosti d v rodinaćh (at’uzˇ ve trˇech nebo v peˇti rozmeˇrech) jsou desı´tky m·s−1 , prˇicˇemzˇ tyto pa´ry vykazujı´ vza´jemne´ vzda´lenosti v rˇa´dech jednotek m·s−1 nebo i meńeˇ. V oblastech hlavnı´ho pa´su s nizˇsˇ´ı hustotou planetek (prˇedevsˇ´ım mimo rodiny) mohou by´t vzda´lenosti drah detekovanyćh pa´ru˚ veˇtsˇ´ı nezˇ jednotky m·s−1 a to azˇ ∼ 36 m·s−1 (Pravec & Vokrouhlicky´ 2009). Prvnı´ ukazatel toho, zˇe blı´zkyćh pa´ru˚ je vıće, nezˇ kolik by jich mohlo vzniknout na´hodneˇ lze ilustrovat na´sledovneˇ. Pro kazˇdou planetku z databa´ze bychom si spocˇ´ıtali vzda´lenost d od jejı´ho nejblizˇsˇ´ıho souseda (v prostoru dra´hovyćh elementu˚) a na´sledneˇ vynesli do grafu, prˇicˇemzˇ bychom na x-ove´ ose vynesli vzda´lenost d a na y-ove´ ose celkovy´ pocˇet planetek N(< d), ktere´ majı´ nejblizˇsˇ´ıho souseda ve vzda´lenosti mensˇ´ı nezˇ d. Takto to udeˇlali Vokrouhlicky´ & Nesvorny´ (2008), prˇicˇemzˇ pouzˇili oskulacˇnı´ dra´hove´ elementy te´meˇrˇ 370 000 planetek a ka = 5/4, ke = ki = 2, kΩ = kϖ = 10−5 . Vy´sledek je videˇt na grafu 4.1. Pro hodnoty d > 30 m·s−1 sleduje funkce N(< d) trend N(< d) ∝ d α , prˇicˇemzˇ α ≈ 4, 7. Pro na´hodne´ rozlozˇenı´ drah v peˇti rozmeˇrne´m prostoru se prˇedpokla´da´ α = 5. Rozdı´l mezi hodnotami α lze vysveˇtlit tı´m, zˇe koeficienty kx da´vajı´ ru˚zne´ va´hy ru˚zny´m dra´hovy´m elementu˚m. Pro d < 10 m·s−1 prˇevysˇuje napozorovany´ pocˇet teˇsnyćh drah prˇedpoklad o ∼ 60 dvojic. Jak sami autorˇi (Vokrouhlicky´ & Nesvorny´ 2008) vysveˇtlujı´, tak 15 dvojic je soucˇa´stı´ velice mladyćh rodin, kde hustota drah v prostoru dra´hovyćh elementu˚ je pomeˇrneˇ vysoka´ a je pravdeˇpodobneˇjsˇ´ı nale´zt zde velice podobne´ obeˇzˇne´ dra´hy. Neˇktere´ z dvojic jsou soucˇa´stı´ rodin a nelze u nich dostatecˇneˇ prˇesveˇdcˇiveˇ vyloucˇit, zˇe vznikly na´hodou. Vy´sledkem takove´hoto pocˇa´tecˇnı´ho odhadu (Vokrouhlicky´ & Nesvorny´ 2008) je 22 planetkovyćh dvojic, ktere´ nejsou soucˇa´stı´ zˇa´dne´ rodiny a jejich vznik nenı´ jasny´. Mozˇnyćh vysveˇtlenı´ navrhli neˇkolik, naprˇ´ıklad pa´r vznikl pu˚sobenı´m YORP efektu nebo je soucˇa´stı´ dosud neobjevene´ mlade´ rodiny. Take´ je mozˇne´, zˇe se jedna´ pouze o planetky, ktere´ majı´ shodou okolnostı´ te´meˇrˇ stejne´ dra´hy, ale nemajı´ spolecˇny´ pu˚vod. Statisticke´ vy´znamnosti identifikovanyćh pa´ru se budeme zaby´vat da´le.

– 16 –

Kapitola 4. Identifikace kandida´tu˚ na planetkovy´ pa´r

17

Obra´zek 4.1: Graf distribucˇnı´ funkce planetkovyćh dvojic jako funkce N(< d). Rea´lne´ hodnoty jsou body s oznacˇenı´m 1 (cˇerne´). Nejistoty bodu˚ pod d < 10 m s−1 jsou odhadnuty na za´kladeˇ nejistot urcˇenı´ jejich drah. Body s oznacˇenı´m 2 (sˇede´) reprezentujı´ 370 000 testovacıćh drah v rozmezı´ 1,7 - 3,6 AU. Cˇerneˇ prolozˇena´ prˇ´ımka (nejlepsˇ´ı fit) testovacı´mi hodnotami odpovı´da´ za´vislosti N(< d) ∝ d 4,91 . Mezi mnozˇinami bodu˚ 1 a 2 je patrny´ rozdı´l pro d < 20 m s−1 .

4.1

Statisticka´ analy´za

´ kolem statisticke´ analy´zy, v tomto konkre´tnı´m prˇ´ıpadeˇ, je odhadnout s jakou pravdeˇU podobnostı´ mohl vzniknout konkre´tnı´ planetkovy´ pa´r pouhou na´hodou. Zpu˚sobu˚, jak lze takove´ho odhadu dosa´hnout je spousta, zde se zameˇrˇ´ıme pouze na vy´znamne´ metody, ktere´ pouzˇili Vokrouhlicky´ & Nesvorny´ (2008) a Pravec & Vokrouhlicky´ (2009).

4.1.1

Simulace na´hodne´ho rozdeˇlenı´ drah

Jednou z metod je na´hodne´ vygenerovańı´ si vlastnıćh drah v prostoru dra´hovyćh elementu˚. V principu se jedna´ o velice jednoduchou metodu - vytvorˇ´ıme si vlastnı´ (umeˇlou) oblast drah (naprˇ: hlavnı´ pa´s) s na´hodny´mi dra´hami a v nı´ hleda´me vznikle´ pa´ry. Da´le porovna´me pocˇet vzniklyćh blı´zkyćh dvojic s teˇmi, ktere´ jsme napozorovali z rea´lnyćh dat. Samozrˇejmeˇ je nutne´ zachovat velikost zkoumane´ oblasti a pocˇet planetek v te´to oblasti. Pomeˇrneˇ komplikovanou za´lezˇitostı´ je samotna´ hustota drah v prostoru dra´hovyćh elementu˚, ktera´ rozhodneˇ nenı´ konstantnı´. Prˇ´ıkladem mohou by´t Kirkwoodovy mezery, cozˇ jsou pro planetky velice nestabilnı´ oblasti hlavnı´ho pa´su vznikle´ rezonancemi s Jupiterem, nebo samotne´ rodiny, kde mu˚zˇe by´t hustota drah podstatneˇ veˇtsˇ´ı nezˇ je tomu v jejich okolı´. Proto je potrˇeba vzı´t tyto zmeˇny hustoty drah v potaz prˇi generovańı´ drah umeˇlyćh,


18

tedy pseudona´hodnyćh. Drobnou neprˇ´ıjemnostı´ je take´ fakt, zˇe pocˇ´ıtacˇe nejsou schopne´ vygenerovat zcela na´hodna´ cˇ´ısla a tak nebude rozmı´steˇnı´ drah nikdy zcela na´hodne´. To lze pomeˇrneˇ jednodusˇe vyrˇesˇit tı´m, zˇe si necha´me vygenerovat na´sˇ soubor drah vıćekra´t a/nebo pouzˇijeme ru˚zne´ algoritmy generujıćı´ „na´hodna´“ cˇ´ısla. Tuto metodu (mimo jine´) pouzˇili Vokrouhlicky´ & Nesvorny´ (2008) a dostali pomeˇrneˇ jasne´ vy´sledky. Dle ocˇeka´vańı´ sleduje pocˇet dvojic od sebe meńeˇ vzda´lenyćh nezˇ d trend N(< d) ∝ d 5 (viz graf 4.1). Kdyby skutecˇneˇ platilo na´hodne´ rozdeˇlenı´ drah, pak by se v testovane´m vzorku 370 000 planetek vytvorˇil v pru˚meˇru jeden pa´r se vzda´lenostı´ d ≈ 10 m·s−1 . Jelikozˇ takovyćhto pa´ru˚ nalezli 60, je pravdeˇpodobnost na´hodne´ho vzniku jednoho vybrane´ho pa´ru je prˇiblizˇneˇ 1,7 %. Tato pravdeˇpodobnost strmeˇ klesa´ pro mensˇ´ı hodnoty d, naprˇ´ıklad pro d < 4, 5 m·s−1 je pravdeˇpodobnost na´hodne´ho vzniku ≈ 0, 2%.

4.1.2

Pravdeˇpodobnost vy´skytu teˇsnyćh drah

Druha´ metoda pouzˇita´ Vokrouhlicky´m & Nesvorny´m (2008) spocˇ´ıva´ v hledańı´ pravdeˇpodobnosti vy´skytu dostatecˇneˇ podobnyćh drah v peˇti-rozmeˇrne´m hyperkva´dru o objemu V = d 5 , kde d je dańo konkre´tnı´ dvojicı´ planetek (viz rovnice (3.5)). Pocˇet drah ν vyskytujıćı´ se v objevu V je dań jednodusˇe vztahem ν = ηV,

(4.1)

prˇicˇemzˇ η = η(a, e, i, Ω, ϖ) je loka´lnı´ hustota drah v dane´m okolı´. Pravdeˇpodobnost pn (d), zˇe nalezneme n drah v hyperkva´dru o objemu d 5 je dańa Poissonovy´m rozdeˇlenı´m pravdeˇpodobnosti νn pn (d) = e−ν , (4.2) n! kde v nasˇem prˇ´ıpadeˇ n = 2. Abychom se neomezovali pouze na konkre´tnı´ pomeˇr jednotlivyćh stran hyperkva´dru, mu˚zˇeme zave´st pravdeˇpodobnost Pn (d), ktera´ bude vyjadrˇovat pravdeˇpodobnost nalezenı´ n drah v jake´koliv boxu o objemu V . Tuto pravdeˇpodobnost urcˇ´ıme jako soucˇet pravdeˇpodobnostı´ pn (d) prˇes vsˇechny mozˇne´ hyperkva´dry M. Vzhledem k prakticˇnosti je suma prˇes M nahrazena peˇti-rozmeˇrny´m integra´lem na´sledovneˇ V n−1 Pn (d) = ∑ pn (d) = n! M

Z

η n e−ν dV.

(4.3)

Jelikozˇ ν typicky naby´va´ nı´zkyćh hodnot, lze prˇiblizˇneˇ prˇedpokla´dat, zˇe e−ν ≈ 1 a pravou stranu prˇedchozı´ rovnice lze zjednodusˇit do tvaru Pn (d) ≈

n hη n i Vtot , n! M n−1

(4.4)

prˇicˇemzˇ hη n i je strˇednı´ hodnota η n hlavnı´ho pa´su v peˇti-rozmeˇrne´m prostoru dra´hovyćh elementu˚, Vtot je celkovy´ objem hlavnı´ho pa´su a M = Vtot /V . Vzhledem k tomu, zˇe nelze dost dobrˇe prˇedpokla´dat konstantnı´ hustotu drah naprˇ´ıcˇ cely´m hlavnı´m pa´sem planetek, bylo nutno vzı´t do u´vahy nerovnomeˇrnost hustoty zpu˚sobenou zna´my´mi rodinami. Vzhledem k tomu, zˇe v rodinaćh je rozdeˇlenı´ Ω a ϖ te´meˇrˇ uniformnı´ (η 6= f (Ω, ϖ)), lze popsat funkci η cˇisteˇ jako η = η(a, e, i). Samotny´ pru˚beˇh hustoty η(a, e, i) byl zjisˇteˇn numericky


19

vzorkovańı´m (vyhlazovańı´m) po urcˇityćh intervalech dsmooth . Prakticky lze vzorkovacı´ frekvenci (resp. velikost jednotlive´ho kroku˚) ∆a urcˇit jako ∆a =

dsmooth √ , n ka

(4.5)

kde dsmooth je propojeno s ∆a rovnicı´ (3.5). Pouzˇitı´m te´to metody bylo zjisˇteˇno, zˇe prˇi vzorkovańı´ ∆a = 0, 1 AU je pravdeˇpodobnost nalezenı´ dvou drah ve vzda´lenosti maxima´lneˇ 5 m·s−1 P2 (5) ≈ 1% a prˇi pouzˇitı´ jemneˇjsˇ´ıho vzorkovańı´ ∆a = 0, 01 AU je P2 (5) ≈ 3%. Je videˇt, zˇe prˇi zjemneˇnı´ vzorkovańı´ 10-kra´t dojde k na´ru˚stu pravdeˇpodobnosti 3-kra´t (alesponˇ tedy pro prˇ´ıpad P2 (5)), tı´m pa´dem lze prˇedpokla´dat, zˇe nejpravdeˇpodobneˇjsˇ´ı vznik na´hodne´ho pa´ru by meˇl by´t ve velmi hustyćh rodinaćh. I kdyzˇ je tato pravdeˇpodobnost sta´le velice mala´ (P2 (5) ≈ 3%), je prozatı´m rozumne´ vyhnout se hledańı´ planetkovyćh pa´ru uvnitrˇ teˇchto syste´mu˚.

4.1.3

Studium loka´lnı´ hustoty drah kolem pa´ru

Trˇetı´ mozˇnostı´, kterou pouzˇili Pravec & Vorkouhlicky´ (2009), jak odhadnout pravdeˇpodobnost vy´skytu blı´zkyćh drah je metoda prˇedpokla´dajıćı´ uniformnı´ rozlozˇenı´ drah ve fixnı´ oblasti kolem studovane´ho pa´ru. Hlavnı´m rozdı´lem je zjisˇt’ovańı´ a testovańı´ η, cozˇ je kriticka´ velicˇina pro dalsˇ´ı odhady. Metoda spocˇ´ıva´ ve vytvorˇenı´ trˇ´ı ru˚zneˇ velkyćh hyperkva´dru˚ kolem studovane´ho pa´ru, prˇicˇemzˇ nejveˇtsˇ´ı z nich ma´ rozmeˇry dańy na´sledujıćı´mi vztahy s s 10−5 10−5 . . a∆Ω = 0, 0178a , ∆e = ∆Ω = 0, 014, ∆a = ka ke s ∆ sin i =

10−5 . ∆Ω = 0, 014 ki

,

∆Ω = ∆ϖ = 2π.

(4.6)

Jelikozˇ se opeˇt neprˇedpokla´da´ zˇa´dna´ vy´znamna´ za´vislost η na u´hlech Ω a ϖ, jsou velikosti stran zvoleny v cele´m jejich mozˇne´m rozsahu. Zbyle´ dva boxy jsou mensˇ´ı, prˇicˇemzˇ strˇednı´ box ma´ polovicˇnı´ velikost kazˇde´ strany velke´ho boxu a maly´ box ma´ cˇtvrtinovou velikost kazˇde´ strany velke´ho boxu. Vsˇechny trˇi boxy jsou centrovańy na zkoupany´ pa´r. Logicky dalsˇ´ım krokem je zjisˇteˇnı´ pocˇtu drah, ktere´ se vyskytujı´ v kazˇde´m boxu. Na rozdı´l od prˇedchozı´ metody pouzˇite´ Vokrouhlicky´m & Nesvorny´m (2008) na´s zajı´majı´ pouze planetky, ktere´ majı´ absolutnı´ magnitudu H < H2 + 0, 5, kde H2 je absolutnı´ magnituda slabeˇji svı´tıćı´ planetky z pa´ru a prˇicˇtena´ konstanta 0, 5 je zvolena jako typicka´ nejistota prˇi urcˇovańı´ absolutnı´ magnitudy. Tato doplnˇujıćı´ podmıńka je prˇidańa, protozˇe pouze planetky stejne´ nebo veˇtsˇ´ı velikosti (jasnosti) jsou vy´znamne´ pro dalsˇ´ı statisticke´ testy. Otestovańı´, zda je prˇedpoklad uniformnı´ho rozdeˇlenı´ drah v nejveˇtsˇ´ım boxu splneˇn, je provedeno pomocı´ boxu˚ mensˇ´ıch a to na´sledovneˇ: spocˇ´ıtejme vsˇechny dra´hy ve velke´m boxu N1 (splnˇujıćı´ H < H2 + 0, 5) a vypocˇteˇme z nich hustotu drah (sta´le jsme v peˇtirozmeˇrne´m prostoru dra´hovyćh elementu˚) η = N1 /V1 , kde V1 je objem nejveˇtsˇ´ıho boxu. Na za´kladeˇ takto zı´skane´ hustoty si vypocˇteˇme pravdeˇpodobnost Pb , zˇe v mensˇ´ıch boxech nalezneme alesponˇ Nb drah, kde index b = 1/2 pro box s polovicˇnı´mi de´lkami stran a


20

b = 1/4 pro box se cˇtvrtinovy´mi de´lkami stran. Tato pravdeˇpodobnost je dańa binomicky´m rozdeˇlenı´m na´sledovneˇ (Nb −2)−1

Pb = 1 −

N1 − 2 i pV (1 − pV )N1 −2−i , i

∑

i=0

(4.7)

prˇicˇemzˇ pV je pomeˇr objemu˚ mensˇ´ıch dvou boxu˚ vzhledem k velke´mu, tedy pV = b5 (pV = 1/32 pro strˇednı´ box a pV = 1/1024 pro maly´ box). Od velicˇin Nb a N1 jsou odecˇteny dra´hy pa´ru˚, protozˇe na´s zajı´ma´ pravdeˇpodobnost vy´skytu minima´lnı´ho pocˇtu drah v okolı´ pa´ru, ne samotna´ pravdeˇpodobnost vy´skytu pa´ru. Jestlizˇe je tato pravdeˇpodobnost mala´, nesplnˇuje okolı´ pa´ru prˇedpoklad uniformnı´ho rozdeˇlenı´ drah a pa´r je vyrˇazen z dalsˇ´ıch testu˚. Pro pa´ry, ktere´ prosˇly testem uniformity jejich okolı´, mu˚zˇeme opeˇt odhadnout pravdeˇpodobnost vy´skytu dvou blı´zkyćh drah prˇi urcˇite´ hustoteˇ η. Propojenı´m rovnic (4.1) a (4.2) s prˇedpokladem, zˇe ma´me M boxu˚ o stejne´m objemu V , mu˚zˇeme vypocˇ´ıtat prˇedpokla´dany´ pocˇet pa´ru˚ v prostoru o objemu V je P2 (V ) = M p2 (V ) = M

ν 2 −ν e , 2

(4.8)

cozˇ je vhodne´ z praktickyćh du˚vodu˚ upravit, jelikozˇ M = N/ν, kde N je celkovy´ pocˇet drah v cele´m objemu vsˇech M boxu˚. Dosazenı´m obdrzˇ´ıme P2 (V ) =

Nν −ν e . 2

(4.9)

Uvazˇujeme-li peˇti-dimenziona´lnı´ hyperkouli o objemu V , pak jejı´ polomeˇr d je d=

8π 2 15V

− 15 ,

(4.10)

pak mu˚zˇeme pro konkre´tnı´ objem V a hustotu η zave´st charakteristickou vzda´lenost mezi objekty R0 jako 2 − 15 8π η . (4.11) R0 = 15 Vyja´drˇenı´m η a V z prˇedcha´zejıćıćh dvou rovnic a dosazenı´m do rovnice (4.1), dostaneme ν = ηV =

d R0

5 ,

(4.12)

cozˇ v kombinaci s rovnicı´ (4.9) vede ke vztahu N P2 (V ) = P2 (d) = 2

d R0

5

5 − Rd

e

0

.

(4.13)

Pomocı´ te´to rovnice mu˚zˇeme prˇ´ımo zjistit pocˇet pa´ru, ktery´ ocˇeka´va´me v dane´m konkre´tnı´m prˇ´ıpadeˇ.


21

Prˇi pouzˇitı´ te´to metody na vzorek 342 444 planetek (Pravec & Vokrouhlicky´ 2009) byly dosazˇeny na´sledujıćı´ vy´sledky. Z pu˚vodnı´ho pocˇtu 558 dvojic planetek jich bylo 281 vyrˇazeno, jelikozˇ se vyskytovaly v neˇktere´ ze zna´myćh rodin. Dalsˇ´ıch 62 dvojic bylo vyrˇazeno, jelikozˇ neprosˇly testem uniformnı´ho rozlozˇenı´ drah v jejich okolı´. Meznı´ hodnoty pro P1/2 byly 0,01 pro kandida´ty s d < 10 m·s−1 a 0,05 pro kandida´ty s d ≥ 10 m·s−1 . Nutno podotknout, zˇe jen protozˇe neˇktera´ dvojice planetek neprosˇla neˇktery´m z testu˚, rozhodneˇ neznamena´, zˇe se nejedna´ o skutecˇny´ pa´r (vznikly´ YORP efektem). Tato metoda jen nenı´ schopna´ takove´to pa´ry odhalit.

Kapitola 5 Prakticka´ cˇa´st Jednı´m ze za´sadnıćh prˇedpokladu˚ metody identifikace planetkovyćh pa´ru˚ pouzˇite´ Pravcem & Vokrouhlicky´m (2009) je loka´lneˇ uniformnı´ rozlozˇenı´ drah v prostoru dra´hovyćh elementu˚ kolem studovane´ho pa´ru. My´m u´kolem je oveˇrˇit kde a do jake´ mı´ry je tento prˇedpoklad splneˇn a jak je mozˇne´ pu˚vodnı´ metodu upravit. Nakonec se jako nejrozumneˇjsˇ´ı postup uka´zalo zamı´tnutı´ prˇedpokladu uniformnı´ho rozlozˇenı´ drah ve studovane´m boxu a jeho nahrazenı´ linea´rnı´ za´vislostı´ hustoty planetek v okolı´ pa´ru˚ (gradient hustoty). Podrobny´ postup i s vy´sledky jsou rozebrańy v te´to kapitole.

5.1

Pouzˇite´ databa´ze

Ke vsˇem vy´pocˇtu˚m zahrnujıćı´ strˇednı´ dra´hove´ elementy planetek a jejich jasnosti jsem pouzˇil databa´zi ocˇ´ıslovanyćh planetek1 Milani & Knezˇević (kveˇten 1997), verze 8.3.1. Tento seznam jsem da´le rozsˇ´ırˇil o planetky, jejichzˇ dra´hy byly vypocˇteny z vıće opozic, ale zatı´m nedostaly sve´ fina´lnı´ oznacˇenı´. Jedna´ se opeˇt o databa´zi vytvorˇenou Milani & Knezˇević (kveˇten 1997), verze 8.3.1. Dohromady tyto databa´ze obsahujı´ 503 373 planetek, prˇicˇemzˇ 397 313 jich je ocˇ´ıslovanyćh a 106 060 jich je multiopozicˇnıćh. Abych mohl vyrˇadit kandida´ty na planetkove´ pa´ry, kterˇ´ı jsou situovańy v neˇktere´ ze zna´myćh rodin, pouzˇil jsem katalog rodin vytvorˇeny´ Nesvorny´m (2012) Nesvorny HCM Asteroid Families V2.0. Tento katalog obsahuje 64 rodin, ktere´ celkem evidujı´ 137 620 cˇlenu˚. Samotny´ seznam kandida´tu˚ jsem obdrzˇel od vedoucı´ho te´to praće Petra Pravce, prˇicˇemzˇ se jedna´ o aktualizovany´ seznam z cˇlańku Pravec & Vokrouhlicky´ (2009). Prˇi pouzˇitı´ hranicˇnı´ pravdeˇpodobnosti vy´skytu dvou konkre´tnıćh blı´zkyćh drah (pro zpu˚sob urcˇenı´ viz Pravec & Vokrouhlicky´ 2009) P2 /N p = 0, 05 jsem zı´skal seznam 95 kandida´tu˚. Jelikozˇ pu˚vodnı´ metoda nenı´ schopna spolehliveˇ detekovat pa´ry planetek v neˇktere´ z rodin, vyvaroval jsem se teˇmto oblastem i v te´to praći. Prˇi testovańı´, zda se neˇktera´ planetka z pa´ru nacha´zı´ v neˇktere´ z evidovanyćh rodin, neprosˇlo 38 dvojic kandida´tu˚. U peˇti dvojic se vzˇdy jedna planetka nenacha´zela v databa´zi2 , ale vhledem k tomu, zˇe lze prˇedpokla´dat velice blı´zke´ dra´hy, prˇedpokla´dal jsem identickou dra´hu, jako ma´ druha´ 1 Planetka 2 jedna ´

dosta´va´ sve´ definitivnı´ oznacˇenı´ (cˇ´ıslo) azˇ pote´, co je jejı´ dra´ha zna´ma s vysokou prˇesnostı´. se o planetky 2008FF88, 2001UU227, 2005QG179, 2006BT227, 2006XY31

– 22 –

Kapitola 5. Prakticka´ cˇa´st

23

planetka z dvojice. Jasnost planetky byla dohledańa z jinyćh zdroju˚. Tı´m pa´dem zu˚stalo 57 dvojic planetek, ktere´ byly podrobeny dalsˇ´ım testu˚m.

5.2

Popis hustoty pozadı´

U dvojic planetek, ktere´ prosˇly prˇedchozı´m vy´beˇrem jsem popsal gradient hustoty drah ve trˇech slozˇkaćh (a, e, i) peˇti-rozmeˇrne´ho prostoru strˇednıćh dra´hovyćh elementu˚. Jelikozˇ docha´zı´ pomeˇrneˇ k rychle´mu rozmazańı´ elementu˚ Ω a ϖ, je velikost stran kva´dru konstantnı´ a sice ∆Ω = ∆ϖ = 2π. Kolem kazˇde´ dvojice planetek jsem vytvorˇil kva´dr centrovany´ na zkoumany´ pa´r, prˇicˇemzˇ pomeˇr stran ∆a, ∆e, ∆i pro dane´ dstrana je urcˇen z rovnice (3.5) na´sledovneˇ dstrana dstrana dstrana , ∆e = √ , ∆i = √ . (5.1) ∆a = √ n ka na ke na ki Velikosti stran (hodnota dstrana ) jsou zvoleny empiricky a to tak, aby kva´dr obsahoval minima´lneˇ 160 planetek a za´rovenˇ byl dostatecˇneˇ maly´ na to, aby se v neˇm mohl prˇedpokla´dat linea´rnı´ gradient hustoty drah. Pouzˇita byla hodnota dstrana = 700 m·s−1 (1,75x veˇtsˇ´ı nezˇ pouzˇili Pravec a Vokrouhlicky´ 2009). Tı´mto testem neprosˇlo 19 dvojic (v okolı´ jejich drah se nacha´zı´ meńeˇ nezˇ 160 podobnyćh drah). Prˇi vytva´rˇenı´ takove´hoto kva´dru mu˚zˇe nastat proble´m u pa´ru˚ s velice nı´zkou excentricitou nebo inklinacı´ a sice, zˇe kva´dr bude zasahovat do za´pornyćh hodnot neˇktere´ho z dra´hovyćh elementu˚. Toto nastalo ve

0.35

Evidovaní v rodinách

Singularita

25

0.30

Málo drah v boxu

Zbylí kandidáti

20

0.25 15

e

i [°]

0.20 0.15

10

0.10 5

0.05 0.00 1.5

2.0

2.5 3.0 a [AU]

3.5

4.0

0 1.5

2.0

2.5 3.0 a [AU]

3.5

4.0

Obra´zek 5.1: Uka´zka dra´hovyćh elementu˚ dvojic, ktere´ neprosˇly neˇktery´m z testu˚ a planetek, ktere´ testy prosˇly. Cˇerveneˇ je vyneseno 38 planetek, ktere´ jsou zaevidovane´ v neˇktere´ z rodin, oranzˇoveˇ jsou vyznacˇene´ 2 planetky u nichzˇ sestavovany´ box zasahuje do za´pornyćh hodnot inklinace a zeleneˇ je naznacˇeno 19 planetek, ktere´ ve sve´m okolı´ nemajı´ dostatecˇny´ pocˇet porovnatelnyćh sousedu˚ (< 160). Cˇerneˇ je pak vyznacˇeno 36 planetek, ktere´ prosˇly vsˇemi teˇmito testy. Pozn.: Z kazˇde´ dvojice je vzˇdy vynesen do grafu˚ pouze jeden cˇlen.


24

Planetková dvojice (a0 ,e0 ,i0 )

i0+∆2i

i0

a0 −∆2a

e −∆e ∆a 0 2

a0

e0

i0−∆2i e0 + ∆2e

a0 + 2

Obra´zek 5.2: Naćˇrt rozcˇleneˇnı´ velke´ho kva´dru na osm mensˇ´ıch. Samotny´ pa´r nebyl zapocˇ´ıta´m v zˇa´dne´m. dvou prˇ´ıpadech, kdy box zasahoval do za´porne´ inklinace. Kandida´ty, kolem kteryćh nesˇel vytvorˇit takovy´to kva´dr (bez zasahovańı´ do za´pornyćh hodnot), jsem z dalsˇ´ıho zkoumańı´ vyrˇadil. Nakonec tedy z pu˚vodnı´ho seznamu 95 dvojic jich zbylo 36. Dalsˇ´ım krokem bylo rozdeˇlenı´ velke´ho kva´dru na osm mensˇ´ıch, stejneˇ velkyćh kva´drˇ´ıku˚ (viz obra´zek 5.2). Kazˇdy´ z teˇchto kva´drˇ´ıku˚ meˇl polovicˇnı´ velikost stran v a, e, i vzhledem k velke´mu kva´dru, tudı´zˇ osminovy´ objem. Velikost stran v Ω a ϖ zu˚stala stejna´. Pro kazˇdy´ z osmi mensˇ´ıch boxu˚ jsem urcˇil pocˇet planetek Nb , ktere´ do neˇj svou dra´hou spadajı´ a na´sledneˇ jsem vypocˇ´ıtal hustotu drah ηm jako ηm =

Nb , Vb

(5.2)

prˇicˇemzˇ Vb je objem boxu v prostoru dra´hovyćh elementu˚ s jednotkou [m5 ·s−5 ] a vypocˇteme ho na´sledovneˇ Vb = d 5 =

p ∆a ka ke ki kΩ kϖ (na)5 ∆e ∆i ∆Ω ∆ϖ. a

(5.3)

Takto zı´ska´me 8 hodnot hustoty pro velky´ kva´dr v ru˚znyćh mı´stech. Pro kazˇdy´ box mu˚zˇeme napsat gradient hustoty ηm ηm (a, e, i) = η0 + A(a − a0 ) + B(e − e0 ) +C(i − i0 ),

(5.4)

prˇicˇemzˇ a0 , e0 , i0 oznacˇujı´ strˇed velke´ho boxu (jsou to dra´hove´ elementy studovane´ho pa´ru), a, e, i jsou promeˇnne´ oznacˇujıćı´ strˇed malyćh boxu˚ a koeficienty η0 , A, B,C jsou nezna´me´


Porovnání η0 η0 Pravec

Vypo tené η0

η0 ·1012 [m−5 ·s5 ]

4.5 4.0 3.5 3.0 2.5 2.0 1.5 1.0 0.5 0.0

25

0

5

10

15

20

25

30

35

25

30

35

Rozdíl v procentech

50 40

Rozdíl [%]

30 20 10 0 10 20 30 0

5

10

15

20

vlastní ozna ení páru

Obra´zek 5.3: Porovnańı´ zı´skanyćh hodnot koeficientu η0 minimalizacı´ funkce (5.5) s hodnotami zı´skany´mi za prˇedpokladu uniformnı´ho rozlozˇenı´ drah v cele´m boxu (Pravec & Vokrouhlicky´ 2009). konstanty. Takto dostaneme 8 rovnic pro okolı´ kazˇde´ho studovane´ho pa´ru, prˇicˇemzˇ ma´me 4 nezna´me´ konstanty. Ty jsem na´sledneˇ vypocˇetl minimalizacı´ vy´razu 8

∑

η j − ηmodel

2

.

(5.5)

j=1

Podrobneˇjsˇ´ı popis metody nejmensˇ´ıch cˇtvercu˚ viz naprˇ. Mikula´sˇek & Zejda U´vod do studia promeˇnnyćh hveˇzd [str. 77 - 93]. Takto dostaneme sadu koeficientu˚ (vcˇetneˇ odhadu jejich nejistot), pomocı´ ktere´ mu˚zˇeme prˇesneˇji popsat loka´lnı´ hustotu drah kolem studovane´ho pa´ru. Porovnańı´m vypocˇtenyćh hodnot η0 s hodnotami zı´skany´mi prˇedpokladem uniformity (Pravec & Vokrouhlicky´ 2009) zjistı´me, zˇe prˇiblizˇneˇ v polovineˇ prˇ´ıpadu˚ jsou vy´sledky te´meˇrˇ shodne´ (lisˇ´ı se v rˇa´dech jednotek procent). Ve veˇtsˇineˇ zbylyćh prˇ´ıpadu˚ je relativnı´ odchylka do 30%, v jednom prˇ´ıpadeˇ prˇiblizˇneˇ 45%. Aplikacı´ vy´sˇe popsane´ho postupu na vsˇechny kandida´ty obdrzˇ´ıme jednotlive´ sady koeficientu˚, ktere´ mu˚zˇeme mezi

Kapitola 5. Prakticka´ cˇa´st 1σ

50

2σ

26 5σ

3σ

Vá ený pr.

30

2σ

3σ

4σ

5σ

6σ

0.0

0.5

1.0

Vá ený pr.

30

20

20

10

10

0

10

0

10

20 30

1σ

40

Koeficient A ·1012 [m−6 · s5 ]


40

50

20

80

60

40

20

0

20

40

Koeficient B ·1012 [m−5 · s5 ]

60

80

(a) Rozmı´steˇnı´ koeficientu˚ A a B. 1σ

2.0

2σ

4σ

3σ

6σ

30 2.0

1.5

1.0

0.5

Koeficient C ·1012 [m−5 · s5 ]

1.5

2.0

(b) Rozmı´steˇnı´ koeficientu˚ A a C. Vá ený pr.


1.5 1.0

0.5

0.0 0.5

1.0 1.5 2.0

80

60

40

20

0

20

40


60

80

(c) Rozmı´steˇnı´ koeficientu˚ C a B.

Obra´zek 5.4: Na grafech (a), (b), (c) jsou vynesene´ koeficienty A, B, C ve vza´jemnyćh za´vislostech. Koeficienty (tedy i jejich strˇenı´ hodnota) se hromadı´ kolem nuly, cozˇ bychom take´ ocˇeka´vali. Vyskytujı´ se zde vsˇak i znacˇneˇ odlehle´ body. Cˇa´rkovaneˇ jsou vyznacˇene´ na´sobky smeˇrodatne´ odchylky (σ ) pocˇ´ıtane´ pro A, B, C zvla´sˇt’. sebou porovna´vat a da´le je zkoumat. Pro jednotlive´ koeficienty ze vsˇech sad vy´pocˇtu˚ jsem urcˇil jejich strˇednı´ hodnotu (jako va´zˇeny´ pru˚meˇr) a jejich rozptyl. Zobrazı´me-li si postupneˇ za´vislosti koeficientu˚ A − B, A −C, B −C, zjistı´me, zˇe veˇtsˇina bodu˚ se na´m hromadı´ kolem nuly, cozˇ bychom take´ ocˇeka´vali. Vyskytujı´ se zde i body, ktere´ jsou velmi odlehle´ (i prˇes hranici 5σ ). Nejodlehlejsˇ´ı body jsou podrobeny dalsˇ´ı kontrole. Dalsˇ´ı mozˇny´m prozkoumańı´m zı´skanyćh koeficientu˚ je jejich porovnańı´ s norma´lnı´m


27

Koeficient B

35

35

30

30

Po et koef. < koef. / σ


Koeficient A

25 20 15 10

Gaussovo rozlo ení µ=-0.804 σ=3.39 Vypo tené hodnoty Vá ený pr.

5 0

6

4

2

0

2

koeficient / σ

4

6

25 20 15 10

Gaussovo rozlo ení µ=2.546 σ=8.92 Vypo tené hodnoty Vá ený pr.

5

8

(a) Distribucˇnı´ funkce koeficientu A.

0

4

3

2

1

0

1

koeficient / σ

2

3

4

5

(b) Distribucˇnı´ funkce koeficientu B.

Koeficient C

35


30 25 20 15 10

Gaussovo rozlo ení µ=0.020 σ=0.12 Vypo tené hodnoty Vá ený pr.

5 0

8

6

4

2

0

2

koeficient / σ

4

6

8

(c) Distribucˇnı´ funkce koeficientu C.

Obra´zek 5.5: Na jednotlivyćh grafech je videˇt porovnańı´ distribucˇnı´ funkce koeficientu˚ s distribucˇnı´ funkcı´ norma´lnı´ho rozdeˇlenı´. Prˇedevsˇ´ım u koeficientu A je videˇt mı´rny´ nedostatek oblastı´ s nı´zky´mi kladny´mi hodnotami koeficientu (do 3σ ). (Gaussovy´m) rozlozˇenı´m. Jelikozˇ je k dispozici pomeˇrneˇ ma´lo zı´skanyćh hodnot (36), provedl jsem porovnańı´ pomocı´ distribucˇnı´ funkce, prˇicˇemzˇ jsem na osu x vynesl hodnoty jednotlivyćh koeficientu˚ podeˇlenou jejich smeˇrodatnou odchylkou a na osu y jsem vynesl pocˇet koeficientu˚, ktere´ majı´ hodnotu (po vydeˇlenı´ σ ) mensˇ´ı nebo rovnou hodnoteˇ na ose x.


28

¯ B, ¯ va´zˇeny´m pru˚meˇrem a jejich smeˇro¯ C) Tabulka 5.1: Vypocˇ´ıtane´ strˇednı´ hodnoty (η¯0 , A, datne´ odchylky. η¯0 [m−5 ·s5 ]

A¯ [m−6 ·s5 ]

B¯ [m−5 ·s5 ]

C¯ [m−5 ·s5 ]

(0, 63 ± 0, 47) · 1012

(−1, 6 ± 6, 8) · 1012

(5, 1 ± 17, 8) · 1012

(0, 04 ± 0, 25) · 1012

5.3

Odlehle´ koeficienty

Vzhledem k tomu, zˇe se ve vy´sledcıćh objevujı´ koeficienty, ktere´ se nacha´zı´ v oblasti za hranicı´ 3σ (ve dvou prˇ´ıpadech i mimo 5σ ), zameˇrˇil jsem se detailneˇji na tyto planetky, celkem se jedna´ o deset dvojic. Vysveˇtlenı´m mu˚zˇe by´t, zˇe acˇkoliv ani jeden cˇlen z dvojice nepatrˇ´ı do zˇa´dne´ rodiny, dvojice se nacha´zı´ velice blı´zko k neˇktere´ z rodin a box vytvorˇeny´ kolem nı´ jizˇ do rodiny zasahuje. Proto jsem provedl dalsˇ´ı test, ktery´ toto kontroluje a pro porovnańı´ jsem znovu vypocˇetl koeficienty (η0 , A, B,C), ale z boxu jsem postupneˇ vyloucˇil vsˇechny cˇleny rodin a sledoval jsem, jak se koeficienty zmeˇnily. Dalsˇ´ım mozˇny´m vysveˇtlenı´m mu˚zˇe by´t fakt, zˇe box zasahuje do neˇktere´ z oblastı´, kde se vyskytuje neˇktera´ z rezonancı´, naprˇ: Kirkwoodovy mezery. Vy´sledky pro jednotlive´ dvojice jsou uvedeny nı´zˇe.

Planetky 69298 a 2012FF11 Planetky 69298 a 2012FF11 jsou umı´steˇne´ na drahaćh se strˇednı´mi elementy drah a ≈ 2, 38 AU, e ≈ 0, 11, i ≈ 3, 34◦ . Vza´jemna´ vzda´lenost d (v oskulacˇnıćh elementech) mezi nimi je 13,02 ± 0,01 m·s−1 (Pravec & Vokrouhlicky´ 2009). Velikost stran velke´ho kva´dru . . . vytvorˇene´ho kolem jich je ∆a = 0, 074 AU, ∆e = 0, 025 a ∆i = 1, 40◦ . Hodnota koeficientu B z rovnice (5.4) je B = (59, 14, 37 ± 5, 2) · 1012 [m−5 ·s5 ], cozˇ se vy´znamneˇ lisˇ´ı od nuly a od va´zˇene´ho pru˚meˇru vsˇech 36 zı´skanyćh sad koeficientu˚ o 3, 03σ . Prˇi testu na vy´skyt cˇlenu˚ rodin v kva´dru se uka´zalo, zˇe z celkove´ho pocˇtu 740 planetek, jich 174 spada´ do rodin Nysa a Polana, 38 do rodiny Flora a 23 do rodiny Clarissa (viz obra´zek 5.6). Prˇedevsˇ´ım rodiny Nysa a Polana znacˇneˇ zveˇtsˇujı´ gradient hustoty drah v excentriciteˇ a cˇa´stecˇneˇ take´ v inklinaci (viz tabulka 5.2). Na druhou stranu prˇ´ıtomnost rodin Flora a Clarissa nijak vy´znamneˇ hodnoty koeficientu˚ neovlivnˇujı´ (rodina Flora mı´rneˇ ovlivnˇuje C). Pro jednoduchost vzˇdy porovna´va´m hodnoty prˇepocˇtenyćh koeficientu vu˚cˇi na´sobku˚m pu˚vodnı´ smeˇrodatne´ odchylky tj. z 36 sad se zapocˇtenı´m vsˇech rodin (viz tabulka 5.1).


29

Tabulka 5.2: Vypocˇtene´ koeficienty pro okolı´ planetek 69298 a 2012FF11.

Se zapocˇtenı´m vsˇech rodin Bez rodin Nysa a Polana Bez rodiny Flora Bez rodiny Clarissa Po vyloucˇenı´ vsˇech rodin

Hranice boxu

η0 · 1012 [m−5 ·s5 ] 1,675 ± 0,032 1,281 ± 0,035 1,589 ± 0,033 1,623 ± 0,05 1,143 ± 0,035

A · 1012 [m−6 ·s5 ] 0,73 ± 1,72 (0,34 σ ) 2,44 ± 1,87 (0,6 σ ) 2,44 ± 1,78 (0,6 σ ) -2,07 ± 2,72 (-0,07 σ ) 1,34 ± 1,9 (0,43 σ )

B · 1012 [m−5 ·s5 ] 59,14 ± 5,2 (3,03 σ ) 13,31 ± 5,67 (0,46 σ ) 56,92 ± 5,39 (2,91 σ ) 56,55 ± 8,22 (2,88 σ ) 8,5 ± 5,76 (0,19 σ )

Planetky 69298 a 2012FF11

ádná rodina

Rodina Nysa a Polana

0.120

C · 1012 [m−5 ·s5 ] 0,065 ± 0,09 (0,1 σ ) 0,31 ± 0,1 (1,09 σ ) -0,09 ± 0,09 (-0,52 σ ) 0,006 ± 0,14 (-0,13 σ ) 0,097 ± 0,1 (0,23 σ )

Rodina Flora

Rodina Clarissa

4.0 3.8

0.115

3.6

e

i [°]

0.110 0.105

3.4 3.2 3.0

0.100

2.8 0.095 2.34

2.36

2.38 2.40 a [AU]

2.42

2.6

2.34

2.36

2.38 2.40 a [AU]

2.42

Obra´zek 5.6: Rozmı´steˇnı´ planetek v okolı´ dvojice 69298 a 2012FF11. Barevneˇ jsou oznacˇeni cˇlenove´ rodin, sˇedeˇ planetky nepatrˇ´ıcı´ do zˇa´dne´ rodiny. Na prvnı´ pohled je viditelny´ vliv rodin Nysa a Polana zpu˚sobujıćı´ gradient hustoty v excentriciteˇ, tedy koeficientu B.


30

Planetky 334248 a 2011SG264 Planetky s oznacˇenı´m 334248 a 2011SG264 se nacha´zejı´ na drahaćh se strˇednı´mi elementy drah a ≈ 2, 60 AU, e ≈ 0, 21, i ≈ 1, 88◦ . Vza´jemna´ vzda´lenost d (v oskulacˇnıćh elementech) mezi nimi je 16,33 ± 0,54 m·s−1 (Pravec & Vokrouhlicky´ 2009). Velikost stran velke´ho . . . kva´dru vytvorˇene´ho kolem nich je ∆a = 0, 081 AU, ∆e = 0, 025 a ∆i = 1, 40◦ . V tomto kva´dru bylo nalezeno 400 planetek. Hodnota koeficientu C z rovnice (5.4) je C = (1, 11 ± 0, 21) · 1012 [m−5 ·s5 ], cozˇ se lisˇ´ı o 4, 3σ od strˇednı´ hodnoty koeficientu C. Za´veˇrecˇny´ test uka´zal, zˇe 31 z nich je evidovańo v rodineˇ Misa, ale ani po vyrˇazenı´ teˇchto planetek se hodnota koeficientu C prˇ´ılisˇ nezmeˇnila (viz tabulka 5.3) a sta´le lezˇ´ı za hranicı´ 3σ . Pravdeˇpodobnou prˇ´ıcˇinou tohoto gradientu hustoty je fakt, zˇe v oblasti hlavnı´ho pa´su s i ∼ 0◦ se vyskytuje prˇirozeny´ gradient hustoty a tato oblast zasahuje i do okolı´ zkoumane´ dvojice. Tabulka 5.3: Vypocˇtene´ koeficienty pro okolı´ planetek 334248 a 2011SG264

Se zapocˇtenı´m rodiny Misa Po vyloucˇenı´ rodint Misa

Hranice boxu

η0 · 1012 [m−5 ·s5 ] 1,124 ± 0,072 1,037 ± 0,044

A · 1012 [m−6 ·s5 ] -1,11 ± 3,57 (0,07 σ ) -5,42 ± 2,18 (-0,56 σ )

B · 1012 [m−5 ·s5 ] 3,67 ± 11,78 (-0,08 σ ) -2,29 ± 7,21 (-0,41 σ )

C · 1012 [m−5 ·s5 ] 1,105 ± 0,21 (4,31 σ ) 0,953 ± 0,13 (3,69 σ )

Planetky 334248 a 2011SG264 ádná rodina

Rodina Misa

0.220

2.4

0.215

2.2 2.0

0.210

i [°]

e

2.6

1.8 1.6

0.205

1.4

0.200

1.2 2.56

2.58

2.60 a [AU]

2.62

2.64

2.56

2.58

2.60 a [AU]

2.62

2.64

Obra´zek 5.7: Rozlozˇenı´ planetek v okolı´ dvojice 334248 a 2011SG264. Jelikozˇ pocˇet cˇlenu˚ rodiny v boxu je maly´, tak jejich odstraneˇnı´ vy´znamneˇ neovlivnı´ jednotlive´ koeficienty.


31

Planetky 26416 a 214954 dvojice planetek 26416 a 214954 se nacha´zı´ na drahaćh a ≈ 2, 34 AU, e ≈ 0, 05, i ≈ 6, 00◦ . Vza´jemna´ vzda´lenost d (opeˇt v oskulacˇnıćh elementech) mezi nimi je 0,338 ± 0,005 m·s−1 (Pravec & Vokrouhlicky´ 2009). Velikost stran velke´ho kva´dru vytvorˇene´ho kolem jich je . . . ∆a = 0, 073 AU, ∆e = 0, 025 a ∆i = 1, 40◦ . Hodnota koeficientu B se znacˇneˇ odchyluje od nuly a naby´va´ hodnoty B = (61, 67 ± 9, 57) · 1012 [m−5 ·s5 ], cozˇ odpovı´da´ vzda´lenosti 3, 17σ od strˇednı´ hodnoty. Uka´zalo se, zˇe z celkove´ho pocˇtu 538 drah, jich 382 na´lezˇ´ı pocˇetne´ rodineˇ se jmeńem Vesta. Po odstraneˇnı´ cˇlenu˚ rodiny z boxu se hodnoty koeficientu B, ale i C podstatneˇ prˇiblı´zˇily k nule (viz tabulka 5.4). Tabulka 5.4: Vypocˇtene´ koeficienty pro okolı´ planetek 26416 a 214954

Se zapocˇtenı´m rodiny Vesta Po vyloucˇenı´ rodiny Vesta

Hranice boxu

0.065

η0 · 1012 [m−5 ·s5 ] 1,168 ± 0,059 0,339 ± 0,014

A · 1012 [m−6 ·s5 ] 7,14 ± 3,21 (1,29 σ ) 3,81 ± 0,75 (0,8 σ )

Planetky 26416 a 214954 ádná rodina

C · 1012 [m−5 ·s5 ] 0,557 ± 0,17 (2,09 σ ) -0,025 ± 0,04 (-0,26 σ )

Rodina Vesta

6.8

6.6

0.060

6.4

0.055

6.2

0.050

6.0

i [°]

e

B · 1012 [m−5 ·s5 ] 61,67 ± 9,57 (3,17 σ ) 5,67 ± 2,24 (0,03 σ )

5.8

0.045

5.6 5.4

0.040 2.30

2.32

2.34 2.36 a [AU]

2.38

5.22.30

2.32

2.34 2.36 a [AU]

2.38

Obra´zek 5.8: Rozlozˇenı´ planetek v okolı´ dvojice 26416 a 214954. Je videˇt, zˇe rodina Vesta ovlivnˇuje prˇedevsˇ´ım koeficient spojeny´ s excentricitou (B) a v mensˇ´ı mı´rˇe s inklinacı´ C.


32

Planetky 233771 a 2008UX299 Planetky 233771 a 2008UX299 se nacha´zı´ na obeˇzˇnyćh drahaćh s elementy a ≈ 2, 169 AU, e ≈ 0, 10, i ≈ 4, 74◦ . Vza´jemna´ vzda´lenost d (v oskulacˇnıćh elementech) mezi nimi je 0, 63 ± 1, 72 m·s−1 (Pravec & Vokrouhlicky´ 2009). Velikost stran velke´ho kva´dru vy. . . tvorˇene´ho kolem jich je ∆a = 0, 084 AU, ∆e = 0, 025 a ∆i = 1, 40◦ . Tentokra´t hodnota ¯ Kva´dr kolem te´to dvojice obsakoeficientu A se vy´znamneˇ lisˇ´ı od nuly a o 4, 94σ mimo A. huje 894 drah planetek z nichzˇ 99 spada´ do rodiny Merxia, dalsˇ´ıch 99 do rodiny Nemesis a 13 do rodiny Padua. Prˇedevsˇ´ım rodiny Merxia a Nemesis svy´m zastoupenı´m vy´znamneˇ ovlivnˇujı´ hodnotu koeficientu A, rodina Merxia i koeficient C. Rodina Padua ovlivnˇuje vsˇechny koeficienty jen mı´rneˇ. Prˇi odstraneˇnı´ vsˇech rodin se hodnota koeficientu A snı´zˇila prˇiblizˇneˇ na desetinu. Tabulka 5.5: Vypocˇtene´ koeficienty pro okolı´ planetek 233771 a 2008UX299

Se zapocˇtenı´m vsˇech rodin Bez rodiny Merxia Bez rodiny Nemesis Bez rodiny Padua Po vyloucˇenı´ vsˇech rodin

Hranice boxu

η0 · 1012 [m−5 ·s5 ] 2,743 ± 0,236 2,439 ± 0,186 2,439 ± 0,232 2,703 ± 0,206 2,096 ± 0,155

A · 1012 [m−6 ·s5 ] 31,93 ± 11,27 (4,94 σ ) 18,89 ± 8,87 (3,02 σ ) 18,01 ± 11,07 (2,89 σ ) 30,02 ± 9,85 (4,66 σ ) 3,08 ± 7,38 (0,69 σ )

ádná rodina

Rodina Merxia

Rodina Nemesis

Rodina Padua

5.4 5.2

0.105

5.0

0.100

4.8

i [°]

e

C · 1012 [m−5 ·s5 ] 0,087 ± 0,67 (0,2 σ ) -0,166 ± 0,53 (-0,83 σ ) 0,079 ± 0,66 (0,16 σ ) -0,026 ± 0,59 (-0,26 σ ) -0,289 ± 0,44 (-1,32 σ )

Planetky 233771 a 2008UX299

0.110

0.095

4.6 4.4 4.2

0.090 2.64

B · 1012 [m−5 ·s5 ] 9,02 ± 38,53 (0,22 σ ) 3,51 ± 30,34 (-0,09 σ ) 3,51 ± 37,88 (-0,09 σ ) 15,53 ± 33,7 (0,59 σ ) 4,51 ± 25,23 (-0,03 σ )

2.66

2.68 2.70 a [AU]

2.72

2.74

4.0 2.64

2.66

2.68 2.70 a [AU]

2.72

2.74

Obra´zek 5.9: Rozlozˇenı´ planetek v okolı´ dvojice 233771 a 2008UX299. Na prvnı´ pohled je zcela evidentnı´ vliv rodin zpu˚sobujıćı´ gradient hustoty v hlavnı´ poloose (koeficient A).


33

Planetky 220015 a 2006UT69 dvojice planetek nesoucı´ oznacˇenı´ 220015 a 2006UT69 obı´ha´ kolem Slunce se strˇednı´mi elementy drah a ≈ 2, 30 AU, e ≈ 0, 18, i ≈ 1, 76◦ . Vza´jemna´ vzda´lenost d (opeˇt v oskulacˇnıćh elementech) mezi nimi je 6, 79 ± 0, 12 m·s−1 (Pravec & Vokrouhlicky´ 2009). Velikost . . . stran velke´ho kva´dru vytvorˇene´ho kolem jich je ∆a = 0, 072 AU, ∆e = 0, 025 a ∆i = 1, 40◦ . Hodnoty koeficientu˚ A a C se podstatneˇ lisˇ´ı od nuly i od svyćh strˇednıćh hodnot o 3, 25σ pro A a azˇ o 5, 76σ pro C. Z celkove´ho pocˇtu 763 planetek, jich je 198 zaevidovanyćh v rodinaćh Nysa a Polana, 5 v rodineˇ Euterpe, 2 v rodineˇ Flora a 2 v rodineˇ Massalia. Po vyloucˇenı´ rodin Nysa a Polana se gradient hustoty v hlavnı´ poloose a inklinaci snı´zˇ´ı. Vyloucˇenı´ zby´vajıćıćh trˇ´ı rodin, pouhyćh 9 cˇlenu˚, jizˇ koeficienty te´meˇrˇ neovlivnı´. „Zbyly´“ gradient hustoty v inklinaci lze pravdeˇpodobneˇ opeˇt vysveˇtlit tı´m, zˇe studovany´ pa´r ma´ nı´zkou inklinaci a nacha´zı´ se v oblasti hlavnı´ho pa´su s prˇirozeny´m gradientem hustoty. Tabulka 5.6: Vypocˇtene´ koeficienty pro okolı´ planetek 220015 a 2006UT69

Se zapocˇtenı´m vsˇech rodin Bez rodin Nysa a Polana Po vyloucˇenı´ vsˇech rodin

Hranice boxu ádná rodina

η0 · 1012 [m−5 ·s5 ] 1,576 ± 0,08 1,167 ± 0,064 1,149 ± 0,066

A · 1012 [m−6 ·s5 ] 20,44 ± 4,5 (3,25 σ ) 9,36 ± 3,55 (1,62 σ ) 8,78 ± 3,71 (1,53 σ )

B · 1012 [m−5 ·s5 ] -3,71 ± 13,14 (-0,49 σ ) -11,13 ± 10,37 (-0,91 σ ) -10,79 ± 10,83 (-0,89 σ )

Planetky 220015 a 2006UT69

Rodina Nysa a Polana

Rodina Euterpe

0.190

2.4

0.185

2.2

C · 1012 [m−5 ·s5 ] 1,466 ± 0,23 (5,76 σ ) 0,83 ± 0,18 (3,2 σ ) 0,836 ± 0,19 (3,22 σ )

Rodina Flora

Rodina Massalia

2.0

e

i [°]

0.180 0.175

1.8 1.6 1.4

0.170

1.2 0.165 2.26

2.28

2.30 a [AU]

2.32

2.34

1.0

2.26

2.28

2.30 a [AU]

2.32

2.34

Obra´zek 5.10: Rozlozˇenı´ planetek v okolı´ dvojice 220015 a 2006UT69. Cˇlenove´ rodin ovlivnˇujı´ gradient hustoty prˇedevsˇ´ım v hlavnı´ poloose (A) a inklinaci (C).


34

Planetky 76111 a 354652 Planetky s oznacˇenı´m 76111 a 354652 se nacha´zejı´ na drahaćh se strˇednı´mi elementy drah a ≈ 2, 72 AU, e ≈ 0, 05, i ≈ 6, 21◦ . Vza´jemna´ vzda´lenost d (v oskulacˇnıćh elementech) mezi nimi je 2, 297 ± 0, 007 m·s−1 (Pravec & Vokrouhlicky´ 2009). Velikost stran velke´ho . . . kva´dru vytvorˇene´ho kolem jich je ∆a = 0, 085 AU, ∆e = 0, 025 a ∆i = 1, 40◦ . V tomto kva´dru bylo nalezeno 1 348 planetek. Hodnoty koeficientu˚ A a B se pohybujı´ na hranici 3σ , ale hodnota C = (−1, 40 ± 0, 51) · 1012 [m−5 ·s5 ] se nacha´zı´ azˇ ve vzda´lenosti −5, 8σ . Pouhyćh 70 planetek z boxu na´lezˇ´ı rodineˇ Padua a 15 rodineˇ Nemesis. Po jejich vyrˇazenı´ klesne hodnota koeficientu C pod hranici 3σ , ale i tak je tato oblast pomeˇrneˇ neuniformnı´. Gradient hustoty mu˚zˇe by´t zpu˚soben slabou rezonancı´ strˇednı´ho pohybu s Jupiterem (8:3) na poloze 2,71 AU. Tabulka 5.7: Vypocˇtene´ koeficienty pro okolı´ planetek 76111 a 354652

Se zapocˇtenı´m vsˇech rodin Bez rodiny Padua Bez rodiny Nemesis Po vyloucˇenı´ vsˇech rodin

η0 · 1012 [m−5 ·s5 ] 4,238 ± 0,177 4,018 ± 0,179 4,191 ± 0,157 3,971 ± 0,157

A · 1012 [m−6 ·s5 ] 17,54 ± 8,38 (2,82 σ ) 15,46 ± 8,48 (2,52 σ ) 15,6 ± 7,44 (2,54 σ ) 13,52 ± 7,44 (2,23 σ )

B · 1012 [m−5 ·s5 ] -48,25 ± 28,96 (-2,99 σ ) -45,17 ± 29,28 (-2,82 σ ) -53,9 ± 25,69 (-3,31 σ ) -50,82 ± 25,69 (-3,13 σ )

C · 1012 [m−5 ·s5 ] -1,398 ± 0,51 (-5,81 σ ) -0,77 ± 0,51 (-3,27 σ ) -1,263 ± 0,45 (-5,26 σ ) -0,636 ± 0,45 (-2,73 σ )

Planetky 76111 a 354652

Hranice boxu

ádná rodina

7.0

0.060

Rodina Padua

Rodina Nemesis

6.8 6.6

0.050

6.4

e

i [°]

0.055

0.045

6.2 6.0

0.040

5.8 5.6

0.035 2.68

2.70

2.72 a [AU]

2.74

2.76

2.68

2.70

2.72 a [AU]

2.74

2.76

Obra´zek 5.11: Rozlozˇenı´ planetek v okolı´ dvojice 76111 a 354652. I prˇes maly´ pocˇet planetek patrˇ´ıcı´ do neˇktere´ z rodin ovlivnˇujı´ tyto planetky gradient hustoty v inklinaci (C). Na zbyle´ koeficienty nemajı´ vy´znamneˇjsˇ´ı vliv.


35

Planetky 383620 a 2008MX1 dvojice planetek 383620 a 2008MX1 se nacha´zı´ na drahaćh a ≈ 2, 63 AU, e ≈ 0, 11, i ≈ 13, 03◦ . Vza´jemna´ vzda´lenost d (opeˇt v oskulacˇnıćh elementech) mezi nimi je 2, 42 ± 0, 05 m·s−1 (Pravec & Vokrouhlicky´ 2009). Velikost stran velke´ho kva´dru vytvorˇene´ho kolem . . . jich je ∆a = 0, 082 AU, ∆e = 0, 025 a ∆i = 1, 40◦ . Hodnota koeficientu B se opeˇt vy´razneˇ odchyluje od nuly a jejı´ hodnota je B = (60, 44 ± 12, 06) · 1012 [m−5 ·s5 ], cozˇ odpovı´da´ vzda´lenosti 3, 1σ od strˇednı´ hodnoty. Uka´zalo se, zˇe z celkove´ho pocˇtu 824 drah, jich 320 na´lezˇ´ı rodineˇ Eunomia, 16 rodineˇ Maria a 4 rodineˇ Adeona. Rodina Eunomia ovlivnˇuje prˇedevsˇ´ım gradient v excentriciteˇ (B) a rodina Maria, i prˇes pouhyćh sˇestnaćt cˇlenu˚, v inklinaci (C). Po odstraneˇnı´ vsˇech rodin z boxu se hodnoty koeficientu˚ (A, B,C) prˇiblı´zˇ´ı nule (viz tabulka 5.8). Tabulka 5.8: Vypocˇtene´ koeficienty pro okolı´ planetek 383620 a 2008MX1

Se zapocˇtenı´m vsˇech rodin Bez rodiny Eunomia Bez rodiny Maria Po vyloucˇenı´ vsˇech rodin

0.120

Hranice boxu

η0 · 1012 [m−5 ·s5 ] 2,383 ± 0,074 1,458 ± 0,055 2,308 ± 0,084 1,371 ± 0,05

A · 1012 [m−6 ·s5 ] -2,26 ± 3,61 (-0,1 σ ) -0,0 ± 2,68 (0,24 σ ) -3,96 ± 4,09 (-0,35 σ ) -1,41 ± 2,44 (0,03 σ )

B · 1012 [m−5 ·s5 ] 60,44 ± 12,06 (3,1 σ ) 17,94 ± 8,95 (0,72 σ ) 60,44 ± 13,68 (3,1 σ ) 16,05 ± 8,14 (0,61 σ )

Planetky 383620 a 2008MX1

ádná rodina

Rodina Eunomia

C · 1012 [m−5 ·s5 ] 0,56 ± 0,21 (2,11 σ ) 0,461 ± 0,16 (1,71 σ ) 0,363 ± 0,24 (1,31 σ ) 0,297 ± 0,14 (1,04 σ )

Rodina Maria

Rodina Adeona

13.8 13.6

0.115

13.4 13.2 i [°]

e

0.110 0.105

12.8

0.100

12.6

0.095 2.58

13.0

12.4 2.60

2.62 2.64 a [AU]

2.66

2.58

2.60

2.62 2.64 a [AU]

2.66

Obra´zek 5.12: Rozlozˇenı´ planetek v okolı´ dvojice 383620 a 2008MX1. Zde rodiny ovlivnˇujı´ prˇedevsˇ´ım gradient hustoty v excentriciteˇ (B) a mı´rneˇ v inklinaci (C)


36

Planetky 165370 a 379550 dvojice planetek nesoucı´ oznacˇenı´ 165370 a 379550 obı´ha´ kolem Slunce se strˇednı´mi elementy drah a ≈ 2, 43 AU, e ≈ 0, 15, i ≈ 5, 31◦ . Vza´jemna´ vzda´lenost d (opeˇt v oskulacˇnıćh elementech) mezi nimi je 1, 64 ± 0, 17 m·s−1 (Pravec & Vokrouhlicky´ 2009). Velikost stran . . . velke´ho kva´dru vytvorˇene´ho kolem jich je ∆a = 0, 076 AU, ∆e = 0, 025 a ∆i = 1, 40◦ . Hodnota koeficientu A se lisˇ´ı od nuly i od sve´ strˇednı´ hodnoty o −3, 02σ . Z celkove´ho pocˇtu 787 planetek, jich je 127 zaevidovanyćh v rodineˇ Vesta, 11 v rodineˇ Flora a 6 v rodineˇ Erigone. Rodina Vesta ovlivnˇuje prˇedevsˇ´ım koeficient C. Rodina Flora prakticky neovlivnˇuje zˇa´dny´ z koeficientu˚. Po vyrˇazenı´ vsˇech rodin se sice hodnota A snı´zˇ´ı na −2, 27σ , ale rozdı´l je videˇt take´ v koeficientech B a C. Prˇ´ıcˇinou gradientu hustoty v hlavnı´ poloose mu˚zˇe by´t silna´ rezonance ve strˇednı´m pohybu (3:1 s Jupiterem) na poloze 2,5 AU. Tabulka 5.9: Vypocˇtene´ koeficienty pro okolı´ planetek 165370 a 379550

Se zapocˇtenı´m vsˇech rodin Bez rodiny Vesta Bez rodiny Flora Po vyloucˇenı´ vsˇech rodin

Hranice boxu

η0 · 1012 [m−5 ·s5 ] 1,883 ± 0,098 1,579 ± 0,068 1,857 ± 0,101 1,539 ± 0,064

A · 1012 [m−6 ·s5 ] -22,08 ± 5,16 (-3,02 σ ) -19,18 ± 3,59 (-2,59 σ ) -20,69 ± 5,33 (-2,81 σ ) -17,03 ± 3,36 (-2,27 σ )

Planetky 165370 a 379550

ádná rodina

Rodina Vesta

C · 1012 [m−5 ·s5 ] 0,702 ± 0,28 (2,68 σ ) -0,055 ± 0,19 (-0,38 σ ) 0,736 ± 0,29 (2,82 σ ) -0,02 ± 0,18 (-0,24 σ )

Rodina Flora

Rodina Erigone

6.0

0.165

5.8

0.160

5.6

0.155

i [°]

e

B · 1012 [m−5 ·s5 ] -21,49 ± 15,97 (-1,49 σ ) -4,69 ± 11,1 (-0,55 σ ) -21,88 ± 16,5 (-1,51 σ ) -7,42 ± 10,42 (-0,7 σ )

5.4 5.2

0.150

5.0

0.145

4.8 4.6 2.40

2.42

2.44 a [AU]

2.46

2.48

2.40

2.42

2.44 a [AU]

2.46

2.48

Obra´zek 5.13: Rozlozˇenı´ planetek v okolı´ dvojice 165370 a 379550. Na prvnı´ pohled je jasne´, zˇe cˇlenove´ rodin gradient hustoty v inklinaci (C) zvysˇujı´ a v excentriciteˇ (B) snizˇujı´.


37

Planetky 320025 a 2007DP16 Planetky 320025 a 2007DP16 se nacha´zı´ na obeˇzˇnyćh drahaćh s elementy a ≈ 2, 84 AU, e ≈ 0, 11, i ≈ 15, 07◦ . Vza´jemna´ vzda´lenost d (v oskulacˇnıćh elementech) mezi nimi je 1, 02 ± 0, 89 m·s−1 (Pravec & Vokrouhlicky´ 2009). Velikost stran velke´ho kva´dru vytvorˇene´ho . . . kolem jich je ∆a = 0, 089 AU, ∆e = 0, 025 a ∆i = 1, 40◦ . Opeˇt hodnota koeficientu A se znacˇneˇ lisˇ´ı od nuly. Jeho hodnota je (A = 20, 52 ± 3, 95) · 1012 [m−6 ·s5 ], cozˇ je o 3, 26σ mimo va´zˇeny´ pru˚meˇr vsˇech koeficientu˚ A. Kva´dr kolem te´to dvojice obsahuje 241 drah planetek, ale uka´zalo se, zˇe te´meˇrˇ polovina (114) jich spada´ do rodiny Brasilia. Po odstraneˇnı´ teˇchto planetek se hodnota koeficientu snı´zˇila na 1, 34σ . Z grafu 5.14 je patrne´, zˇe dvojice se nacha´zı´ velice blı´zko Kirkwoodovy mezery, kde docha´zı´ k obeˇzˇne´ rezonanci s Jupiterem v pomeˇru 5:2. Tabulka 5.10: Vypocˇtene´ koeficienty pro okolı´ planetek 320025 a 2007DP16

Se zapocˇtenı´m rodiny Brasilia Po vyloucˇenı´ rodiny Brasilia

Hranice boxu

η0 · 1012 [m−5 ·s5 ] 0,849 ± 0,087 0,447 ± 0,034

A · 1012 [m−6 ·s5 ] 20,52 ± 3,95 (3,26 σ ) 7,48 ± 1,53 (1,34 σ )

B · 1012 [m−5 ·s5 ] -24,73 ± 14,26 (-1,67 σ ) -10,93 ± 5,55 (-0,9 σ )

Planetky 320025 a 2007DP16 ádná rodina

0.115

C · 1012 [m−5 ·s5 ] -0,311 ± 0,25 (-1,42 σ ) -0,05 ± 0,1 (-0,36 σ )

Rodina Brasilia

15.8 15.6

0.110

15.4

0.105 e

i [°]

15.2

0.100

15.0 14.8

0.095

14.6 14.4

0.090 2.80

2.82

2.84 2.86 a [AU]

2.88

2.80

2.82

2.84 2.86 a [AU]

2.88

Obra´zek 5.14: Rozlozˇenı´ planetek v okolı´ dvojice 320025 a 2007DP16. Na prvnı´ pohled je zde na´padna´ absence planetek okolo a = 2, 82, cozˇ je jedna z Kirkwoodovyćh mezer (5:2). Koeficient (A) zde nema´ informacˇnı´ vy´znam.


38

Planetky 255780 a 388044 dvojice planetek nesoucı´ oznacˇenı´ 255780 a 388044 obı´ha´ kolem Slunce se strˇednı´mi elementy drah a ≈ 2, 42 AU, e ≈ 0, 12, i ≈ 6, 22◦ . Vza´jemna´ vzda´lenost d (opeˇt v oskulacˇnıćh elementech) mezi nimi je 3, 326 ± 0, 009 m·s−1 (Pravec & Vokrouhlicky´ 2009). Velikost . . . stran velke´ho kva´dru vytvorˇene´ho kolem jich je ∆a = 0, 075 AU, ∆e = 0, 025 a ∆i = 1, 40◦ . Hodnota koeficientu A se lisˇ´ı od strˇednı´ hodnoty o −3, 19σ . Z celkove´ho pocˇtu 1 538 planetek, jich je 733 zaevidovanyćh v rodineˇ Vesta, 24 v rodineˇ Sulamitis a 2 v rodineˇ Flora. Rodina Vesta vy´znamneˇ ovlivnˇuje koeficienty A a B, kdezˇto rodina Sulamitis prˇedevsˇ´ım koeficient C .Po vyrˇazenı´ vsˇech rodin se sice hodnota A podstatneˇ snı´zˇ´ı a to na −0, 45σ , podobneˇ se tak stane i u koeficientu B, ovsˇem sta´le´ zu˚sta´va´ mı´rna´ odlisˇnost u C. Tabulka 5.11: Vypocˇtene´ koeficienty pro okolı´ planetek 255780 a 388044

Se zapocˇtenı´m vsˇech rodin Bez rodiny Vesta Bez rodiny Sulamitis Po vyloucˇenı´ vsˇech rodin

Hranice boxu

η0 · 1012 [m−5 ·s5 ] 3,627 ± 0,109 1,898 ± 0,083 3,57 ± 0,109 1,837 ± 0,095

A · 1012 [m−6 ·s5 ] -23,26 ± 5,77 -3,19 (σ ) -3,63 ± 4,41 (-0,3 σ ) -24,51 ± 5,77 (-3,38 σ ) -4,63 ± 5,02 (-0,45 σ )

B · 1012 [m−5 ·s5 ] 36,19 ± 17,76 (1,74 σ ) 6,55 ± 13,58 (0,08 σ ) 41,58 ± 17,76 (2,05 σ ) 12,71 ± 15,44 (0,43 σ )

Planetky 255780 a 388044

ádná rodina

Rodina Vesta

C · 1012 [m−5 ·s5 ] -0,43 ± 0,31 (-1,9 σ ) -0,491 ± 0,24 (-2,14 σ ) -0,269 ± 0,31 (-1,24 σ ) -0,316 ± 0,27 (-1,43 σ )

Rodina Sulamitis

Rodina Flora

7.0 6.8

0.135

6.6 6.4

0.125

i [°]

e

0.130

6.2 6.0

0.120

5.8 0.115

5.6 2.38

2.40

2.42 2.44 a [AU]

2.46

2.38

2.40

2.42 2.44 a [AU]

2.46

Obra´zek 5.15: Rozlozˇenı´ planetek v okolı´ dvojice 255780 a 388044. Velice husta´ oblast, ve ktere´ rodina Vesta citelneˇ ovlivnˇuje gradient hustoty prˇedevsˇ´ım v hlavnı´ poloose (A).


39

Boxy bez rodin

50

Boxy se zasahujícími rodinami

30


30

20

20

10

10

0

10

0

10

20 30

Boxy bez rodin

40



40

50

20

80

60

40

20

Koeficient

0

B ·1012

20

[m

−5

40 · 5

s]

60

80

(a) Rozmı´steˇnı´ koeficientu˚ A a B. Boxy bez rodin

2.0

30 2.0

1.5

1.0

0.5

0.0

0.5

1.0


1.5

2.0

(b) Rozmı´steˇnı´ koeficientu˚ A a C.



1.5 1.0

0.5

0.0 0.5

1.0 1.5 2.0

80

60

40

20

0

20

40


60

80

(c) Rozmı´steˇnı´ koeficientu˚ C a B.

Obra´zek 5.16: Na grafech (a), (b), (c) jsou opeˇt vyneseny koeficienty A, B, C, prˇicˇemzˇ jsou barevneˇ odlisˇene´. Zeleneˇ je vzˇdy vyznacˇeno 12 bodu˚, ktere´ odpovı´dajı´ boxu˚m do kteryćh nezasahuje zˇa´dna´ rodina. Oranzˇoveˇ je zvy´razneˇno zbylyćh 24 bodu˚ odpovı´dajıćı´ boxu˚m do nichzˇ zasahuje alesponˇ jedna rodina.


5.4

40

Tabulky s vy´sledky

Tabulka 5.12: Seznam vsˇech 95 dvojic planetek, ktere´ byly testovańy. Znacˇka „ok“ znacˇ´ı, zˇe dvojice testem prosˇla, symbol „X“ znacˇ´ı, zˇe dvojice testem neprosˇla a znak „-“ znamena´, zˇe dvojice nebyla da´le testovańa. Pokud dvojice prosˇla vsˇemi testy, byl jı´ udeˇlen konecˇny´ status „ok“. Planetkova´ dvojice 21436 334916 63440 331933 195479 284765 180906 217266 88259 337181 26416 214954 92652 194083 233771 2008UX299 57202 276353 13481 158395 320025 2007DP16 106700 263114 165370 379550 125887 197706 76111 354652 4765 350716 383620 2008MX1 136952 2010RB104 255780 388044 17198 229056 84203 285637 52773 279865 101065 368313 220015 2006UT69 92336 143662 174620 2006WE119 45223 266505 113643 361318 69298 2012FF11 182790 2010TY150 52478 287685 334248 2011SG264 54211 287829 145046 2007RB325 2006BT227 381362 174470 2011AZ20 348452 2008FF88 16815 2011GD83 184300 2001UU227 67982 317521 358983 224801 21028 2005SA135 23998 205383 209165 2005QG179 25884 48527 243984 299735 106479 294315 2110 44612

rodiny ok ok ok ok ok ok ok ok ok ok ok ok ok ok ok ok ok ok ok ok ok ok ok ok ok ok ok ok ok ok ok ok ok ok ok ok ok ok ok ok ok ok ok ok ok ok ok ok

Testy singularita ok ok ok ok ok ok ok ok ok ok ok ok ok ok ok ok ok ok ok ok ok ok ok ok ok ok ok ok ok ok ok ok ok ok ok ok ok ok ok ok ok ok ok ok ok ok ok ok

pokracˇovańı´ na dalsˇ´ı straneˇ

pocˇet v boxu ok ok ok ok ok ok ok ok ok ok ok ok ok ok ok ok ok ok ok ok ok ok ok ok ok ok ok ok ok ok ok ok ok ok ok ok X X X X X X X X X X X X

Konecˇny´ status ok ok ok ok ok ok ok ok ok ok ok ok ok ok ok ok ok ok ok ok ok ok ok ok ok ok ok ok ok ok ok ok ok ok ok ok X X X X X X X X X X X X


41

pokracˇovańı´ z prˇedcha´zejıćı´ strany Planetkova´ dvojice 2000SM320 2008TN44 69142 127502 4010 113774 321238 2006XY31 136216 2009SE342 124236 2011HD23 1390 2001TC253 80218 213471 38184 221867 165389 282206 54041 220143 111962 280008 95750 304873 11842 228747 99052 291788 100440 2011SE164 2897 182259 10484 44645 134789 267767 237517 2007TN127 122173 259585 38707 32957 233401 180856 211569 2005UN161 46162 323879 15107 291188 59184 293667 70511 2007TC334 92052 101376 105247 2009SZ67 88604 60546 2004VQ64 205153 14806 2008SC9 53537 2004ED107 130909 179883 30301 205231 120969 2011UX161 8306 2011SR158 49791 2011CL97 112249 261878 2002RJ126 2008TS51 81471 139526 11879 81368 65935 73724 323465 2006RL1 3985 17430 38395 141513

rodiny ok ok ok ok ok ok ok ok ok X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X

Testy singularita ok ok ok ok ok ok ok X X -

pocˇet v boxu X X X X X X X -

Tabulka 5.13: Pokracˇovańı´ tabulky 5.12.

Konecˇny´ status X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X


42

Tabulka 5.14: Tabulka zı´skanyćh koeficientu˚ (η0 , A, B,C) pro 36 dvojic, ktere´ prosˇly prˇedesˇly´mi testy. Pro porovnańı´ je uvedena i hodnota η0 vypocˇtena´ metodou Pravec & Vokrouhlicky´ (2009) a take´ pocˇet planetek (drah), ktere´ se nacha´zı´ v boxu vytvorˇene´m kolem kva´dru. V za´vorkaćh u koeficientu˚ (A, B,C) jsou uvedene´ vzda´lenosti od strˇednı´ hodnoty dane´ho koeficientu v na´sobcıćh prˇ´ıslusˇne´ smeˇrodatne´ odchylky. Planetka 1 Planetka 2 21436 334916 63440 331933 195479 284765 180906 217266 88259 337181 26416 214954 92652 194083 233771 2008UX299 57202 276353 13481 158395 320025 2007DP16 106700 263114 165370 379550 125887 197706 76111 354652 4765 350716 383620 2008MX1 136952 2010RB104 255780 388044 17198 229056 84203 285637 52773 279865 101065 368313

η0,Prav. · 1012 [m−5 ·s5 ] 0.682

planetek v boxu 422

0.677

386

0.733

272

0.876

377

0.423

248

1.400

538

0.554

255

2.257

894

2.509

1150

1.948

664

1.145

241

0.430

295

1.556

787

1.181

442

4.106

1348

0.451

317

2.358

824

0.407

165

3.619

1538

1.686

803

0.312

218

0.768

429

0.517

218

η0 · 1012 [m−5 ·s5 ] 0.771 ± 0.041 0.522 ± 0.025 0.734 ± 0.022 0.729 ± 0.035 0.334 ± 0.015 1.168 ± 0.059 0.553 ± 0.041 2.743 ± 0.236 2.484 ± 0.052 1.824 ± 0.111 0.849 ± 0.087 0.384 ± 0.025 1.883 ± 0.098 1.020 ± 0.053 4.238 ± 0.177 0.433 ± 0.034 2.383 ± 0.074 0.435 ± 0.069 3.627 ± 0.109 1.629 ± 0.091 0.303 ± 0.016 0.813 ± 0.060 0.492 ± 0.039

A · 1012 [m−6 ·s5 ] 16.53 ± 2.39 (2.7σ ) -6.27 ± 1.63 (-0.7σ ) -4.07 ± 1.10 (-0.4σ ) 4.77 ± 1.99 (0.9σ ) -6.61 ± 1.00 (-0.7σ ) 7.14 ± 3.21 (1.3σ ) -3.69 ± 2.24 (-0.3σ ) 31.93 ± 11.26 (4.9σ ) -6.64 ± 2.83 (-0.7σ ) 9.87 ± 5.54 (1.7σ ) 20.52 ± 3.95 (3.3σ ) 5.87 ± 1.68 (1.1σ ) -22.08 ± 5.16 (-3.0σ ) -9.14 ± 2.82 (-1.1σ ) 17.54 ± 8.38 (2.8σ ) -7.12 ± 2.28 (-0.8σ ) -2.26 ± 3.61 (-0.1σ ) 17.24 ± 3.51 (2.8σ ) -23.26 ± 5.77 (-3.2σ ) 6.28 ± 5.12 (1.2σ ) -6.56 ± 1.02 (-0.7σ ) -0.11 ± 3.45 (0.2σ ) 1.46 ± 2.11 (0.5σ )

pokracˇovańı´ na dalsˇ´ı straneˇ

B · 1012 [m−5 ·s5 ] 8.35 ± 6.66 (0.2σ ) -6.62 ± 4.02 (-0.7σ ) 22.91 ± 3.58 (1.0σ ) 8.52 ± 5.65 (0.2σ ) 4.40 ± 2.47 (-0.0σ ) 61.67 ± 9.57 (3.2σ ) 12.38 ± 6.67 (0.4σ ) 9.02 ± 38.53 (0.2σ ) 30.33 ± 8.42 (1.4σ ) -5.38 ± 18.14 (-0.6σ ) -24.73 ± 14.26 (-1.7σ ) 9.14 ± 4.07 (0.2σ ) -21.49 ± 15.97 (-1.5σ ) -11.30 ± 8.60 (-0.9σ ) -48.25 ± 28.96 (-3.0σ ) 3.34 ± 5.63 (-0.1σ ) 60.44 ± 12.06 (3.1σ ) -18.49 ± 11.29 (-1.3σ ) 36.19 ± 17.76 (1.7σ ) 29.47 ± 14.83 (1.4σ ) -5.91 ± 2.55 (-0.6σ ) -18.26 ± 9.74 (-1.3σ ) -2.95 ± 6.37 (-0.5σ )

C ·1012 [m−5 ·s5 ] -0.292 ± 0.116 (-1.3σ ) 0.146 ± 0.070 (0.4σ ) 0.138 ± 0.062 (0.4σ ) 0.259 ± 0.099 (0.9σ ) 0.069 ± 0.043 (0.1σ ) 0.557 ± 0.167 (2.1σ ) 0.142 ± 0.116 (0.4σ ) 0.087 ± 0.672 (0.2σ ) 0.345 ± 0.147 (1.2σ ) 0.000 ± 0.317 (-0.2σ ) -0.311 ± 0.249 (-1.4σ ) 0.041 ± 0.071 (0.0σ ) 0.702 ± 0.279 (2.7σ ) 0.158 ± 0.150 (0.5σ ) -1.398 ± 0.505 (-5.8σ ) -0.128 ± 0.098 (-0.7σ ) 0.560 ± 0.210 (2.1σ ) -0.248 ± 0.197 (-1.2σ ) -0.430 ± 0.310 (-1.9σ ) 0.665 ± 0.259 (2.5σ ) 0.000 ± 0.045 (-0.2σ ) 0.329 ± 0.170 (1.2σ ) -0.026 ± 0.111 (-0.3σ )


43

pokracˇovańı´ z prˇedchozı´ strany Planetka 1 Planetka 2 220015 2006UT69 92336 143662 174620 2006WE119 45223 266505 113643 361318 69298 2012FF11 182790 2010TY150 52478 287685 334248 2011SG264 54211 287829 145046 2007RB325 2006BT227 381362 174470 2011AZ20

η0,Prav. · 1012 [m−5 ·s5 ] 1.409

planetek v boxu 763

0.251

189

0.656

361

0.587

244

0.580

173

1.593

740

0.771

268

1.200

642

0.869

400

0.394

193

0.453

323

0.433

255

0.410

394

η0 · 1012 [m−5 ·s5 ] 1.576 ± 0.080 0.262 ± 0.027 0.808 ± 0.023 0.585 ± 0.043 0.553 ± 0.041 1.675 ± 0.032 0.861 ± 0.056 1.205 ± 0.049 1.124 ± 0.072 0.570 ± 0.043 0.436 ± 0.026 0.494 ± 0.056 0.505 ± 0.033

A · 1012 [m−6 ·s5 ] 20.44 ± 4.50 (3.3σ ) -3.18 ± 1.78 (-0.2σ ) -2.79 ± 1.24 (-0.2σ ) -5.05 ± 2.24 (-0.5σ ) -2.25 ± 1.93 (-0.1σ ) 0.73 ± 1.72 (0.3σ ) 5.42 ± 2.62 (1.0σ ) 15.70 ± 2.83 (2.6σ ) -1.11 ± 3.57 (0.1σ ) -0.72 ± 2.06 (0.1σ ) -4.39 ± 1.72 (-0.4σ ) 3.89 ± 3.19 (0.8σ ) 8.33 ± 2.25 (1.5σ )

B · 1012 [m−5 ·s5 ] -3.71 ± 13.14 (-0.5σ ) 2.49 ± 4.43 (-0.1σ ) -1.10 ± 3.75 (-0.3σ ) -13.30 ± 6.94 (-1.0σ ) 15.14 ± 6.71 (0.6σ ) 59.14 ± 5.20 (3.0σ ) -24.13 ± 9.12 (-1.6σ ) 6.13 ± 7.96 (0.1σ ) 3.67 ± 11.78 (-0.1σ ) 42.93 ± 6.94 (2.1σ ) -20.07 ± 4.24 (-1.4σ ) -7.90 ± 9.08 (-0.7σ ) 9.21 ± 5.44 (0.2σ )

C ·1012 [m−5 ·s5 ] 1.466 ± 0.229 (5.8σ ) -0.138 ± 0.077 (-0.7σ ) -0.389 ± 0.065 (-1.7σ ) -0.355 ± 0.121 (-1.6σ ) -0.082 ± 0.117 (-0.5σ ) 0.065 ± 0.091 (0.1σ ) 0.201 ± 0.159 (0.7σ ) 0.000 ± 0.139 (-0.2σ ) 1.105 ± 0.206 (4.3σ ) -0.261 ± 0.121 (-1.2σ ) 0.181 ± 0.074 (0.6σ ) 0.590 ± 0.158 (2.2σ ) 0.015 ± 0.095 (-0.1σ )

Tabulka 5.15: Pokracˇovańı´ tabulky 5.14.

¯ B, ¯ a jejich smeˇrodatne´ odchylky pro ¯ C) Tabulka 5.16: Vypocˇ´ıtane´ strˇednı´ hodnoty (η¯0 , A, prˇ´ıpad se zapocˇtenı´m vsˇech rodin a s vyrˇazenı´m rodin, ktere´ prokazatelneˇ ovlivnˇujı´ okolı´ studovanyćh deseti dvojic v prˇedchozı´ cˇa´sti. Konkre´tneˇ se jedna´ o rodiny Nysa a Polana, Misa, Vesta, Merxia, Nemesis, Padua, Eunomia a Maria. η¯0 · 1012 [m−5 ·s5 ]

A¯ · 1012 [m−6 ·s5 ]

B¯ · 1012 [m−5 ·s5 ]

C¯ · 1012 [m−5 ·s5 ]

Vsˇechny rodiny

(0, 63 ± 0, 47)

(−1, 6 ± 6, 8)

(5, 1 ± 17, 8

(0, 04 ± 0, 25)

Bez vybranyćh rodin

(0, 56 ± 0, 37)

(−1, 07 ± 5, 53)

(2, 65 ± 10, 88)

(0, 01 ± 0, 22)

Za´veˇr Tato diplomova´ praće je rozdeˇlena do dvou cˇa´stı´ a sice do cˇa´sti teoreticke´ a cˇa´sti prakticke´. V teoreticke´ cˇa´sti je cˇtena´rˇ nejprve sezna´men s popisem drah planetek ve Slunecˇnı´ soustaveˇ a s rozdı´ly mezi jednotlivy´mi dra´hovy´mi elementy. Cˇtena´rˇi je take´ objasneˇna volba strˇednıćh dra´hovyćh elementu˚. V druhe´ kapitole je cˇtena´rˇ sezna´men se za´kladnı´mi mechanismy rozpadu planetek vzniku planetkovyćh rodin a planetkovyćh pa´ru˚. Velka´ cˇa´st kapitoly je zameˇrˇena na Jarkovske´ho jev a jeho vliv na zmeˇnu drah planetek. Za´sadnı´m principem stojıćı´m za vznikem planetkovyćh pa´ru˚ je YORP efekt. Tento efekt je schopen meˇnit rotaci planetek (sklon rotacˇnı´ osy i rychlost rotace). Urychlovańı´ rotace planetky mu˚zˇe ve´st k jejı´mu roztrzˇenı´ - vzniku na´mi studovane´ho pa´ru. Jelikozˇ si takto dnes vysveˇtlujeme vznik planetkovyćh pa´ru˚, je tomuto jevu veˇnovań zbytek te´to kapitoly. Trˇetı´ kapitola je veˇnovańa strucˇne´mu odvozenı´ a popisu vzda´lenostı´ planetek v prostoru dra´hovyćh elementu˚ a to at’ ve trˇech (vlastnıćh elementech) nebo v peˇti rozmeˇrech (oskulacˇnı´ a strˇednı´ elementy). V poslednı´ kapitole teoreticke´ cˇa´sti je zmıńeˇno neˇkolik, jizˇ pouzˇityćh, metod identifikace planetkovyćh pa´ru˚. Tato kapitola obsahuje i seznam publikovanyćh pracı´ a meˇla by cˇtena´rˇe v prvnı´ rˇadeˇ prˇesveˇdcˇit o tom, zˇe planetkove´ pa´ry nevznikajı´ na´hodny´m vy´skytem dvou geneticky nesouvisejıćıćh planetek. Podstatna´ cˇa´st kapitoly se zaby´va´ odhadem pravdeˇpodobnosti vy´skytu teˇsnyćh dvojic planetek v dane´m okolı´. K tomu je ovsˇem potrˇeba zna´t hustotu drah v okolı´ zkoumane´ dvojice. Dosavadnı´ metody prˇedpokla´daly, zˇe je tato hustota konstantnı´. Tento prˇedpoklad byl otestovań v prakticke´ cˇa´sti te´to praće, ktera´ navazuje na metodu Pravec & Vokrouhlicky´ (2009; viz 4.1.3). Uvedene´ vy´sledky v prakticke´ cˇa´sti naznacˇujı´, zˇe prˇedpoklad uniformnı´ho rozlozˇenı´ drah kolem studovane´ dvojice (Pravec & Vokrouhlicky´ 2009) je splneˇn prˇiblizˇneˇ u poloviny studovanyćh prˇ´ıpadu˚ a hodnota hustoty drah v peˇti-rozmeˇrne´m prostoru dra´hovyćh elementu˚ η0 se lisˇ´ı o meńeˇ nezˇ 10%. Tento rozdı´l take´ mu˚zˇe by´t v male´ mı´rˇe zpu˚sobeny´ pouzˇitı´m noveˇjsˇ´ı databa´ze drah planetek. Ve veˇtsˇineˇ zbylyćh prˇ´ıpadu˚ se hodnoty pohybujı´ v rozmezı´ 20-30%. Da´le se uka´zalo, zˇe rodiny planetek v oblasti hlavnı´ho pa´su jsou znacˇneˇ rozpty´lene´ a nacha´zejı´ se v blı´zkosti veˇtsˇiny studovanyćh dvojic (zasahujı´ do 24 z 36 boxu˚). Pro vsˇech 36 vybranyćh kandida´tu˚ na planetkovy´ pa´r jsem spocˇ´ıtal gradient hustoty rozlozˇenı´ drah ve vymezene´ oblasti v okolı´ dvojic. Zı´skal jsem tedy sady koeficientu˚ η0 , ktery´ uda´va´ samotnou hustotu drah, A, ktery´ uda´va´ gradient hustoty drah v hlavnı´ poloose, B, ktery´ uda´va´ gradient hustoty drah v excentriciteˇ a C, ktery´ uda´va´ gradient hustoty drah v inklinaci. Ocˇeka´vali bychom, zˇe hodnoty koeficientu˚ (A, B,C) se budou hromadit kolem nuly, cozˇ se potvrdilo jen cˇa´stecˇneˇ. Ve studovane´m vzorku se nacha´zelo pomeˇrneˇ velke´ mnozˇstvı´ koeficientu˚ znacˇneˇ se odchylujıćıćh od nuly i od strˇednı´ hodnoty dane´ho – 44 –

Za´veˇr

45

koeficientu. Celkem takto bylo nalezeno deset oblastı´ okolo dvojic, ve kteryćh se alesponˇ jeden z koeficientu˚ odchyloval o vıće nezˇ 3σ od jejich strˇednı´ hodnoty, ve dvou prˇ´ıpadech byla odchylka i prˇes 5σ . Teˇmto oblastem jsem veˇnoval zvy´sˇenou pozornost. U deseti odlehlyćh koeficientu˚ jsem hledal prˇ´ıcˇinu vy´razne´ho gradientu hustoty drah. U dvojice 334248 - 2011SG264 se jako pravdeˇpodobna´ prˇ´ıcˇina gradientu hustoty drah jevı´ nı´zka´ hodnota inklinace i ≈ 1, 88◦ . V oblastech velice blı´zkyćh i rovineˇ ekliptiky se vyskytuje prˇirozeny´ gradient hustoty drah planetek. To same´ vysveˇtlenı´ platı´ i pro dvojici 220015 - 2006UT69, ktera´ se nacha´zı´ na dra´ze s i ≈ 1, 76◦ . U dvojce 320025 - 2007DP16 dosˇlo k tomu, zˇe studovana´ dvojce se nacha´zı´ v bezprostrˇednı´ blı´zkosti vy´znamne´ rezonance strˇednı´ho pohybu s Jupiterem (5:2). Jelikozˇ tato rezonance zasahuje do velke´ cˇa´sti studovane´ho okolı´ (viz obra´zek 5.14), je nepochybneˇ prˇ´ıcˇinou (alesponˇ z velke´ cˇa´sti) gradientu hustoty drah. Stejneˇ tak pu˚sobı´ silna´ rezonance opeˇt s Jupiterem (3:1) na pozici 2,5 AU, ktera´ pravdeˇpodobneˇ zpu˚sobuje vy´znamne´ odchy´lenı´ koeficientu A od nuly pro dvojici 165370 - 379550. V teˇchto dvou prˇ´ıpadech se jednalo o odchylku pouze koeficientu A, ale v okolı´ dvojice 76111 - 354652 se odchylujı´ vsˇechny trˇi koeficienty gradientu hustoty drah. I kdyzˇ byla nalezena slaba´ rezonance s Jupiterem (8:3), ktera´ lezˇ´ı ve studovane´m okolı´ (na poloze a = 2, 71 AU), nenı´ zcela jasne´, zda je prˇ´ıcˇinnou odchy´lenı´ vsˇech trˇ´ı koeficientu˚. U zbylyćh peˇti dvojic se podarˇilo vysveˇtlit prˇ´ıcˇinu gradientu hustoty rodinami, ktere´ zasahujı´ do studovanyćh oblastı´. Postupny´m vyrˇazovańı´m rodin ze zkoumane´ho okolı´ jsem zjisˇt’oval vliv dane´ rodiny na jednotlive´ koeficienty. Jak se uka´zalo, ne vsˇechny rodiny ovlivnˇujı´ hodnoty koeficientu˚ (alesponˇ tedy koeficientu˚ (A, B,C)). Mezi takove´to rodiny patrˇ´ı naprˇ´ıklad rodiny Flora a Clarissa. Naopak mezi rodiny znacˇneˇ ovlivnˇujıćı´ okolı´ zkoumanyćh dvojic patrˇ´ı rodiny Nysa a Polana, Vesta, Merxia, Nemesis, Padua, Eunomia, Maria, Brasilia a Misa. Po vyrˇazenı´ cˇlenu˚ teˇchto rodin z databa´ze a zopakovańı´m vsˇech testu˚ se vsˇechny trˇi koeficienty gradientu hustoty prˇiblı´zˇily nule a i jejich smeˇrodatne´ odchylky se zmensˇily (viz tabulka 5.16). Prˇ´ımy´m vy´sledkem te´to diplomove´ praće bude zdokonalenı´ metody identifikace planetkovyćh pa´ru˚ (Pravec & Vokrouhlicky´ 2009). Dalsˇ´ım pokracˇovańı´m vy´zkumu v oblasti identifikace planetkovyćh syste´mu˚ bude podrobneˇjsˇ´ı studium a klasifikace jednotlivyćh rodin (v cele´m hlavnı´m pa´su planetek) podle mı´ry ovlivneˇnı´ hustoty drah ve sve´m okolı´, mohli bychom tak zobecnit metodu Pravec & Vokrouhlicky´ (2009) a tı´m rozsˇ´ırˇit oblast hledańı´ planetkovyćh pa´ru˚ i do oblastı´ (minima´lneˇ okrajovyćh oblastı´) rodin, ktery´m se dosavadnı´ metody vyhy´bajı´. Takto vylepsˇena´ metoda detekce planetkovyćh pa´ru˚ (bez prˇedpokladu uniformnı´ho rozlozˇenı´ drah v okolı´ teˇsnyćh dvojic planetek) mu˚zˇe by´t za´kladem pro hledańı´, zatı´m ma´lo zna´myćh, planetkovyćh klastru˚ - malyćh skupin planetek (pocˇtem podobne´ velmi maly´m rodina´m) s velice blı´zky´mi drahami (jako planetkove´ pa´ry).

Seznam pouzˇite´ literatury [1] R. P. Binzel et al., Asteroid rotation rates - Distributions and statistics, v Asteroids II, University of Arizona Press (1989), ISBN 978-0-8165-1123-5 [2] W. F. Bottke et al., Asteroids III, v Tucson: University of Arizona Press (2002), ISBN 978-0-8165-2281-1 [3] W. F. Bottke et al., Linking the collisional evolution of the main belt to its dynamical excitation and depletion, v Icarus 179:63–94 (2005) [4] W. F. Bottke et al., The Yarkovsky and YORP Effects: Implications for Asteroid Dynamics, v Annual Review of Earth and Planetary Sciences, 2006.34:157-191 (2006) [5] D. Brouwer, Secular variations of the orbital elements of minor planets, v The Astronomical Jurnal 56-9 (1951) [6] D. Brouwer a G. M. Clemence., Methods of Celestial Mechanics, v Academic, New York (1961) 978-1-4832-0075-0 [7] M. Brozˇ s M. Sˇolc, Fyzika Slunecˇnı´ soustavy, v matfyzpress (2013), ISBN 978-807378-236-8 [8] P. Farinella, D. Vokrouhlicky´ a W. K: Hartmann, Meteorite delivery via Yarkovsky orbital drift, v Icarus, 132:178-87 (1998) [9] W. K. Hartmann, Reviewing the Yarkovsky effect: New light on the delivery of stone and iron meteorites from the asteroid belt, v Meteoritics & Planetary Science, 34:161–67 (1999) [10] Z. Mikula´sˇek a M. Zejda U´vod do studia promeˇnnyćh hveˇzd, Brno, CZE: Masarykova Univerzita (2013) ISBN 978-80-210-6241-2 [11] D. Nesvorny´, Nesvorny HCM Asteroid Families V2.0, v NASA Planetary Data System, 189 (2012) [12] J. A. O’Keefe, Tektites and Their Origin, v Developments in Petrology, No. 4. Amsterdam: Elsevier, (1976) ISBN 978-0-444-41350-5 ¨ pic, Collision probabilities with the planets and the distribution of interplane[13] E. J. O tary matter, v Proceedings of the Royal Irish Academy, 54A:165–99 (1951) – 46 –

Seznam pouzˇite´ literatury

47

[14] S. J. Paddack, Rotational bursting of small celestial bodies: effects of radiation pressure, v Journal of Geophysical Research, 74:4379–81 (1969) [15] S. J. Paddack, Rotational bursting of small particles, v PhD thesis, Catholic University Washington, DC (1973) [16] S. J. Paddack a J. W. Rhee Rotational bursting of interplanetary dust particles, v Geophysical Research Letters, 2:365–67 (1975) [17] P. Pravec a A. W. Harris, Fast and slow rotation of asteroids, v Icarus, 148:12–20 (2000) [18] P. Pravec a D. Vokrouhlicky´, Significance analysis of asteroid pairs, v Icarus, 204: 580–588 (2009) [19] V. V. Radzievskii, Amechanism for the disintegration of asteroids and meteorites, v Doklady Akademii Nauk SSSR, 97:49–52 (1954) [20] D. P. Rubincam, LAGEOS orbit decay due to infrared radiation from Earth, v Journal of Geophysical Research, 92:1287–94 (1987) [21] D. P. Rubincam, Yarkovsky thermal drag on LAGEOS, v Journal of Geophysical Research, 93:13805–10 (1988) [22] D. P. Rubincam, Drag on the LAGEOS satellite, v Journal of Geophysical Research, 95:4881–86 (1990) [23] D. P. Rubincam, Asteroid orbit evolution due to thermal drag, v Journal of Geophysical Research,100:1585–94 (1995) [24] D. P. Rubincam, Yarkovsky thermal drag on small asteroids and Mars-Earth delivery, v Journal of Geophysical Research,103:1725–32 (1998) [25] D. P. Rubincam, Radiative spin-up and spin-down of small asteroids, v Icarus, 148:2–11 (2000) [26] J. Spitale a R. Greenberg, Numerical evaluation of the general Yarkovsky effect: Effects on semimajor axis, v Icarus, 149:222–34 (2001) [27] D. Vokrouhlicky´ a P. Farinella, The Yarkovsky seasonal effect on asteroidal fragments: A nonlinearized theory for the plane-parallel case, v The Astronomical Jurnal, 116:2032–41 (1998) [28] D. Vokrouhlicky´ a P. Farinella, The Yarkovsky seasonal effect on asteroidal fragments: A nonlinearized theory for spherical bodies, v The Astronomical Jurnal, 118:3049–60 (1999) [29] D. Vokrouhlicky´, The Yarkovsky effect in the dynamics of the Solar System, v The Restless Universe: Applications of Gravitational N-Body Dynamics to Planetary, Stellar and Galactic Systems, Bristol, UK: Inst. Phys. (2001) ISBN 978-0-75030822-9

Seznam pouzˇite´ literatury

48

[30] D. Vokrouhlicky´ et al., Detectability of YORP rotational slowing of asteroid 25143 Itokawa, v Astronomy & Astrophysics 414:L21–24 (2004) [31] D. Vokrouhlicky´ a W. F. Bottke et al., The Yarkovsky thermal force on small asteroids and their fragments. Choosing the right albedo, v Astronomy & Astrophysics 371:350–53 (2001) [32] D. Vokrouhlicky´ a D. Cˇapek, YORP-induced long-term evolution of the spin state of small asteroids and meteoroids. I. Rubincam’s approximation, v Icarus 159:449–67 (2002) [33] D. Vokrouhlicky´ a D. Nesvorny´, Pairs of asteroids probably of a common origin, v The Astronomical Jurnal 136: 280–290 (2008) [34] V. Zappala`, Asteroid families. I. identification by hierarchal clustering and reliability assessment, v The Astronomical Jurnal 100: 2030–2046 (1990) [35] V. Zappala` et al., Collisional origin of the asteroid families - Mass and velocity distributions, v Icarus 59: 261-285 (1984)

Obra´zky (i) Obra´zek 1.1: Orbit1 cs“ od Orbit1.svg: Lasunncty (talk).derivative work: Jann ” (talk) – Orbit1.svg. Licencovańo pod CC BY-SA 3.0 via Wikimedia Commons http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Orbit1 cs.svg#/media/File:Orbit1 cs.svg (ii) Obra´zek 2.1 (a): ”YarkovskyEffect”by Original uploader was Graevemoore at en.wikipedia - Transferred from en.wikipedia; transfer was stated to be made by User:Captain panda.. Licensed under CC BY-SA 3.0 via Wikimedia Commons http://commons.wikimedia.org/wiki/File:YarkovskyEffect.svg#/media/File:YarkovskyEffect.svg

(iii) Obra´zek 2.1 (b): viz [4] (iv) Obra´zek 2.2: viz [4] (v) Obra´zek 2.2: viz [4] (vi) Obra´zek 2.4: viz [4] (vii) Obra´zek 4.1: viz [33]

MASARYKOVA UNIVERZITA

Recommend Documents