BAB II MAKALAH Makalah Pertama Judul
: Model Volatilitas ARCH(1) dengan Returns Error Berdistribusi noncentral Student-t. Studi kasus: Kurs Beli JPY dan EUR terhadap IDR
Dipresentasikan pada : Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika UNY 2015 yang diselenggarakan oleh Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Negeri Yogyakarta pada tanggal 14 November 2015. Publikasi
: Prosiding
Seminar
Nasional
Matematika
dan
Pendidikan
Matematika “Mengembangkan Kecakapan Abad 21 Melalui Penelitian Matematika dan Pendidikan Matematika” . ISBN : 978602-73403-0-5 Vol. 1 No. 1 2015. (http://eprints.uny.ac.id/view/subjects/prosiding.html).
Makalah Kedua Judul
: Model Volatilitas ARCH(1) skewed Student-t. Studi Kasus: Kurs Beli JPY dan EUR terhadap IDR
Dipresentasikan pada : Seminar Nasional MIPA 2015 dengan tema “Kontribusi Hasil Penelitian MIPA dan Pendidikan MIPA untuk Pengembangan Ilmu Pengetahuan dan Peningkatan Mutu Pendidikan” pada tanggal 28 November 2015 yang diselenggarakan oleh FMIPA Universitas Negeri Semarang.
4
MAKALAH 1 Model Volatilitas ARCH(1) dengan Returns Error Berdistribusi non-central Student-t Studi Kasus: Kurs Beli JPY dan EUR terhadap IDR
5
Model Volatilitas ARCH(1) dengan Returns Error Berdistribusi non-central Student-t Studi Kasus: Kurs Beli JPY dan EUR terhadap IDR Elisabeth D. Saputri 1, Didit B. Nugroho 2, dan Adi Setiawan3. Program Studi Matematika, Fakultas Sains dan Matematika, Universitas Kristen Satya Wacana Jalan Diponegoro 52–60 Salatiga 50711, Jawa Tengah, Indonesia. e-mail:
[email protected]
Abstrak—Studi ini mengaplikasikan model volatilitas Autoregressive Conditional Heteroscedasticity (ARCH) lag 1 untuk returns kurs beli Japanese Yen (JPY) dan Euro (EUR) terhadap Indonesian Rupiah (IDR) dari Januari 2009 sampai Desember 2014. Distribusi non-central Student-t (NCT) dipilih untuk mengakomodasi flexible skewness dan heavy-tailedness pada returns error. Algoritma Markov Chain Monte Carlo (MCMC) yang efisien dikonstruksi untuk memperbarui nilai-nilai parameter dalam model yang tidak bisa dibangkitkan secara langsung dari distribusi posterior. Berdasarkan 95% interval highest posterior density (HPD), hasil menunjukkan penolakan terhadap distribusi NCT untuk semua data yang diamati. Meskipun begitu, Bayes factor mengindikasikan bukti sangat kuat dalam mendukung penggunaan distribusi NCT daripada distribusi normal dan Student-t. Kata Kunci : kurs beli, MCMC, model ARCH, non-central Student-t, volatilitas returns
I. PENDAHULUAN Engle memperkenalkan istilah volatilitas sebagai pola ragam variansi dari data deret waktu terutama data keuangan [1], seperti nilai tukar mata uang. Dalam studi keuangan, volatilitas diperhatikan pada returns aset daripada harga aset karena returns memiliki sifat empiris yang stasioner [2]. Studi ini menggunakan meancorrected returns yang didefinisikan: 1 T (1) Rt 100 (ln S t ln S t 1 ) (ln S t ln S t 1 ) T t 1 dengan
S t adalah harga aset pada saat t.
Terdapat banyak model nonlinear untuk mengestimasi volatilitas dari returns aset keuangan. Model yang populer dalam literatur yaitu model Autoregressive Conditional Heteroscedasticity (ARCH) yang pertama kali dikembangkan oleh Engle pada 1982 [3]. Safrudin dkk. telah mendiskusikan model ARCH(1) untuk volatilitas returns, dengan returns error berdistribusi normal dan Student-t [4]. Model yang disajikan oleh Safrudin dkk. telah mengakomodasi eksistensi dari fat tailedness tetapi belum mengakomodasi skewness dalam returns. Beberapa studi, seperti Nakajima dan Omori pada 2012, [5], Tsiotas pada 2012 [6], serta Nugroho dan Morimoto pada 2014 [7] menyarankan returns sebaiknya mengakomodasi fat tailedness dan skewness. Oleh karena itu, studi ini mengaplikasikan sebuah distribusi yang dapat mengakomodasi fat tailedness dan skewness, yaitu non-central Student-t (NCT), untuk returns. Lebih lanjut dibandingkan model-model volatilitas ARCH(1) yang berdistribusi normal, Student-t, dan NCT. Disini model diestimasi dengan menggunakan metode Markov Chain Monte Carlo (MCMC). Studi empiris dari model volatilitas dilakukan dengan menggunakan data riil kurs beli Japanese Yen (JPY) dan Euro (EUR) terhadap Indonesian Rupiah (IDR) atas periode harian dari Januari 2009 sampai dengan Desember 2014. II. METODE PENELITIAN A. Model ARCH Model ARCH dengan lag p (dinotasikan dengan ARCH(p)) dinyatakan seperti berikut [8]
Rt t t , t ~ N (0,1)
t2 0 1 t21 ... p t2 p , untuk t 2,...,T , 7
(2) (3)
dengan N menyatakan distribusi normal. Sebagai kasus khusus, model volatilitas ARCH(1) yang selanjutnya dinamakan model V-ARCH(1) dapat dituliskan sebagai berikut : Rt t t , t ~ N (0,1)
t2 a bRt21 , untuk t 2,...,T
(4)
a 1 b
(5)
12
dengan a 0 dan 0 b 1 untuk menjamin positivitas dan stasioneritas dari volatilitas kuadrat [9]. Salah satu distribusi untuk mengakomodasi flexible skewness dan heavy-tailedness pada returns error yaitu NCT [10]:
, V Z ,
dimana V ~N(0,1) dan
(6)
Z ~ IG 2 , 2 , dengan IG menyatakan distribusi inverse gamma. Gambar 1
menampilkan fungsi kepadatan dari distribusi NCT untuk beberapa nilai parameter µ dan ν, yang menunjukkan bahwa skewness dan heavy-tailedness dari distribusi NCT merupakan kombinasi dari nilai parameter-parameter. Saat µ=0 distribusinya tereduksi menjadi distribusi Student-t. Semakin besar nilai µ menunjukkan skewness yang semakin positif, dan berlaku sebaliknya. NCT, = 10
0.4
=0 = 0.5 =1
f(x)
0.3
= 1.5 =2 =3 =5
0.2
0.1
0
-6
-4
-2
0
2
f(x)
6
8
10
12
14
NCT, = 5
0.4
0.3
4
=5 = 10 = 20
= 30 = 50 = 100
0.2
0.1
0
0
2
4
6
8
10
12
GAMBAR 1. Plot fungsi kepadatan dari distribusi NCT Selanjutnya studi ini memfokuskan pada model volatilitas ARCH(1) dengan returns error berdistribusi NCT (selanjutnya disingkat V-ARCHnct(1)) yang dapat dirumuskan sebagai berikut: 1 Rt t zt2 ( t ) , zt ~ IG , , t ~ N (0,1) , 2 2 t2 a bRt21 , untuk t 2,...,T , a 12 , 1 b dengan a 0 dan 0 b 1 .
(7)
Ketika µ=0, model diatas tereduksi ke model ARCH(1) dengan returns error berdistribusi Student-t (selanjutnya disingkat V-ARCHt(1)). B. Metode MCMC untuk Model Volatilitas ARCH(1) MCMC merupakan sebuah metode yang terdiri dari dua tahap: pertama, mengkonstruksi rantai Markov, dan kedua, mengaplikasikan metode Monte Carlo. Diambil R ( R1 , R2 ,..., RT ) , Z ( z1 , z 2 ,..., z T ) , dan σ ( 1 , 2 ,..., T ) . Distribusi posterior gabungan untuk model (7) yaitu
p( a, b, , , z | R ) p( R | , , z ) p( z | ) p a, b, , dengan p(R | , , z ) merupakan fungsi likelihood dan p a,b, , merupakan distribusi prior gabungan. Mengikuti kesepakatan umum, ditetapkan prior sebagai berikut :
8
a ~ eksp , b ~ Beta b , b , ~ m ,V , dan ~ G( , ) . Oleh karena itu, distribusi posterior gabungan dinyatakan sebagai berikut:
1 R z 12 t t t p( a, b, , , z | R ) z exp 2 2 z t 1 t t T
1
1 2 t t
2
1
1 zt 2 exp exp a t 1 2 2 zt T
b
b 1
1 b
b 1
1 m 2 1 exp exp 2 v
C. Pembangkitan Parameter Pembangkitan Parameter a Logaritma distribusi posterior untuk parameter a dapat dinyatakan sebagai berikut:
1 1 T F1 ( a ) ln p( a | b, Z, R ) ln 1a ln( a bRt21 ) 2 2 t 2 1
1 b 2 1 b 2 R1 R1 2az1 az1 T Rt Rt2 a 1 1 2 2 2 2 t 2 2a bRt 1 z t a bR z t 1 t
Dalam hal ini, posterior a tidak mengikuti suatu distribusi tertentu, maka parameter a dibangkitkan dengan menggunakan metode independence chain Metropolis–Hastings (IC-MH) dengan melakukan beberapa langkah sebagai berikut [11]:
*
Langkah 1 : membangkitkan proposal a ~ N ( 0,1] ma * ,Va * . Langkah 2 : menghitung rasio probabilitas penerimaan r ( a , a ) *
p( a * | b, R ) . p( a | b, R )
u ~ U (0,1) . * Langkah 4 : jika u min 1, r (a , a ) maka proposal diterima, jika tidak maka proposal ditolak. Dalam kasus ini, ma * dan Va * ditentukan menggunakan metode yang didasarkan pada tingkah laku distribusi Langkah 3 : membangkitkan
disekitar modus (lihat Albert (2009)). Dicari dihitung
Va * min 10 4 , F1ma * .
ma* sedemikian sehingga F1ma * 0 dan selanjutnya
1
Pembangkitan Parameter b Logaritma distribusi posterior untuk parameter b dapat dinyatakan sebagai berikut : 1
1 b 2 1 b 2 1 1 T R1 R1 F2 (b) ln p(b | a, Z, R ) ln(1 b) ln a bR 2t-1 2 2 t 2 2az1 az1
T Rt Rt2 b 1 ln b b 1 ln(1 b) 1 1 2 2 2 2 t 2 2 a bRt 1 z t a bR z t 1 t
Dalam hal ini, posterior b juga tidak mengikuti suatu distribusi tertentu, maka parameter b dibangkitkan dengan menggunakan metode IC-MH seperti pada pembangkitan parameter a.
9
Pembangkitan Parameter µ Logaritma distribusi posterior untuk parameter µ dapat dinyatakan sebagai berikut:
1 T R z 2 F3 ( ) ln p | a, b, Z, R t 2 t t t zt 2 t 2 1
2
2
2m 2v
T R m 1 1 T 2 t 1 t 1 z 2 v 2 v t t Dalam hal ini, parameter µ dapat dibangkitkan secara langsung dari distribusi normal yaitu 1 1 m 1 b 2 T Rt 1 ~ N (M ,V ) dimana V T dan M V R1 1 2 az v v t 2 1 t zt
Pembangkitan Parameter ν Logaritma distribusi posterior untuk parameter ν dapat dinyatakan sebagai berikut:
F4 ( ) ln p( | Z)
T
T ln T ln ln zt zt1 1ln 2 2 2 2 t 1
Dalam hal ini, posterior ν tidak mengikuti suatu distribusi tertentu, maka parameter ν dibangkitkan dengan menggunakan metode IC-MH seperti pada pembangkitan parameter a dan b, dengan proposalnya adalah
* ~ N 3, 40 m ,V *
*
.
Pembangkitan Parameter z Distribusi posterior untuk parameter zt dapat dinyatakan sebagai berikut: p( zt ) f IG zt | , t g ( zt | a, b, , Rt 1 , Rt ) ,
(1 b) R12 a , t 1, 1 2 a dengan , t 2 R ( a bRt21 ) 2 t , t 2,...,T , 2( a bRt21 ) 1 (1 b) 2 R1 exp , t 1, 1 az12 g ( zt | a, b, , Rt 1 , Rt ) Rt exp , t 2,...,T . 1 1 2 2 2 a bR z t 1 t Dalam hal ini, posterior zt tidak mengikuti suatu distribusi tertentu, maka parameter zt dibangkitkan dengan menggunakan metode IC-MH seperti pada pembangkitan parameter a, b, dan µ tetapi dengan proposalnya yaitu
zt* ~ IG( , t ) dan rasio penerimaannya yaitu
r zt* , zt
g ( zt* | a, b, , Rt 1 , Rt ) . g ( zt | a, b, , Rt 1 , Rt )
Secara ringkas, algoritma MCMC dikerjakan seperti berikut: 1. Inisialisasi a, b, z, dan . 2. Membangkitkan nilai acak secara langsung. 3. Membangkitkan vektor nilai acak z dengan metode IC-MH. 4. Membangkitkan nilai acak dengan metode IC-MH. 5. Membangkitkan nilai acak a dengan metode IC-MH. 6. Membangkitkan nilai acak b dengan metode IC-MH.
10
D.
Pemilihan Model Untuk memeriksa apakah data lebih mendukung distribusi NCT daripada distribusi normal dan Student-t, model V-ARCH(1), V-ARCHt(1), dan V-ARCHnct(1) dibandingkan menggunakan kriteria faktor Bayes. Dalam penghitungan faktor Bayes diperlukan nilai marginal likelihood yang dalam hal ini diestimasi menggunakan prosedur dari [12].
III. HASIL DAN PEMBAHASAN A. Data yang Diamati Model V-ARCHnct(1) dan algoritma MCMC diaplikasikan pada data returns harian dari kurs beli JPY dan EUR terhadap IDR periode Januari 2009 sampai Desember 2014. Gambar 2 menampilkan plot returns harian untuk kedua data dan Tabel 1 menyajikan statistik deskriptifnya. Dari uji Jarque–Bera (JB test) dan uji Ljung– Box (LB test) diketahui bahwa returns harian untuk kedua data adalah berdistribusi tak normal dan tidak berkorelasi.
JPY 0.04
kurs beli
0.02 0 -0.02 -0.04 -0.06
0
500
1000
1500
1000
1500
waktu
EUR 0.04
kurs beli
0.02 0 -0.02 -0.04
0
500 waktu
GAMBAR 2. Plot returns harian untuk kurs beli JPY dan EUR terhadap IDR periode Januari 2009 sampai Desember 2014. TABEL 1. Statistik deskriptif returns harian untuk kurs beli JPY dan EUR terhadap IDR periode Januari 2009 sampai Desember 2014. Mata JB Test LB test Mean SD Skewness Kurtosis Uang (normalitas) (autokorelasi) Tidak JPY 0,0000 0,8353 5,6150 Tidak ada korelasi 0,2193 normal Tidak EUR 0,0000 0,6774 4,7173 Tidak ada korelasi 0,1582 normal B.
Pengaturan MCMC Pada algoritma MCMC ditetapkan nilai hyperparameter untuk prior sebagai berikut: 1, b 2,5 , b 3 , 16 , 0,8 , m 0 , V 1
dan nilai awal parameter ditetapkan sebagai berikut:
a0 0,1, b0 0,1 , 0 20 , z ~ IG 0 , 0 2 2
Selanjutnya nilai-nilai parameter dibangkitkan sebanyak 15.000 dimana 5.000 nilai awal dihilangkan dan sisanya disimpan untuk digunakan dalam penghitungan rata-rata posterior, standar deviasi, 95% interval HPD, dan integrated autocorrelation time (IACT). IACT dapat ditafsirkan sebagai banyaknya iterasi MCMC yang diperlukan untuk menghasilkan nilai-nilai acak yang saling bebas. Di sini HPD dan IACT berturut-turut diestimasi menggunakan metode dari [13] dan [14].
11
C. Estimasi Parameter Tabel 2–Tabel 4 meringkas hasil simulasi posterior dari parameter-parameter dalam model-model VARCH(1). Nilai IACT mengindikasikan bahwa metode MCMC yang dikonstruksi adalah cukup efisien. Dari Tabel 4 diketahui bahwa 95% interval HPD dari memuat 0, artinya bahwa asumsi distribusi NCT ditolak untuk semua data. Hasil ini juga didukung oleh uji Kolmogorov–Smirnov (KS test) yang diberikan dalam Tabel 5. Meskipun begitu, berdasarkan kriteria faktor Bayes dan mengikuti penafsiran dari [15] diperoleh bukti sangat kuat terhadap dukungan penggunaan distribusi NCT daripada distribusi normal dan Student-t untuk returns error pada semua data. Pada penerapan data kurs beli JPY dan EUR terhadap IDR atas periode Januari 2009 sampai Desember 2014, didapatkan model V-ARCHnct(1) dengan returns error berdistribusi NCT untuk returns kurs beli JPY terhadap IDR yaitu
t2 0,2558 0,7275 Rt21 dan untuk returns kurs beli EUR terhadap IDR yaitu
t2 0,2637 0,4022 Rt21 . TABEL 2. Ringkasan estimasi model V-ARCH(1) Parameter a Data: Returns kurs beli JPY terhadap IDR Mean 0,5258 SD 0,0190 LB 0,4880 UB 0,5623 IACT 2,3015 ML-GD -5265,9 Waktu Komputasi 145,6800 (detik) Data: Returns kurs beli EUR terhadap IDR Mean 0,3704 SD 0,0127 LB 0,3453 UB 0,3957 IACT 2,0305 ML-GD -3710,0 Waktu Komputasi 145,6800 (detik) TABEL 3. Ringkasan estimasi model V-ARCHt(1) Parameter a Data: Returns kurs beli JPY terhadap IDR Mean 0,2671 SD 0,0202 LB 0,2260 UB 0,3047 IACT 27,0388 ML-GD -2709,9 Waktu Komputasi 144,7900 (detik) Data: Returns kurs beli EUR terhadap IDR Mean 0,2709 SD 0,0159 LB 0,2406 UB 0,3026 IACT 37,7161 ML-GD -2733,9 Waktu Komputasi 144,7850
b 0,2702 0,0333 0,2073 0,3386 2,0785
0,1992 0,0272 0,1472 0,2534 1,9393
b
0,4687 0,0191 0,4253 0,4862 395,3562
6,1114 0,8818 4,5574 7,8619 37,5702
0,2868 0,0248 0,4253 0,3237 138,1507
11,5312 2,3593 7,3516 16,1211 64,5650
12
(detik)
TABEL 4. Ringkasan estimasi model V-ARCHnct(1) Parameter a b Data: Returns kurs beli JPY terhadap IDR Mean 0,2558 0,7275 SD 0,0327 0,0850 LB 0,2008 0,5557 UB 0,3232 0,8742 IACT 60,2950 36,5536 ML-GD -2556,0 Waktu Komputasi 438,5925 (detik) Data: Returns kurs beli EUR terhadap IDR Mean 0,2637 0,4022 SD 0,0254 0,0691 LB 0,2185 0,2616 UB 0,3136 0,5331 IACT 67,4781 49,5612 ML-GD -2665,4 Waktu Komputasi 450,6699 (detik)
µ
0,0143 0,0268 -0,0374 0,0668 1,1031
6,9072 1,1234 4,9236 9,2442 57,6223
0,0022 0,0263 -0,0492 0,0539 1,0422
12,7135 2,4116 8,5691 17,7004 71,4123
Berikut disajikan hasil uji KS pada Tabel 5 yang menunjukkan bahwa error TABEL 5, Hasil uji KS untuk error
( t ) berdistribusi Student-t.
( t )
Data JPY EUR
D 0,0943 0,0991
p-value 0,0000 0,0000
Keterangan Student-t Student-t
TABEL 6. Nilai dua kali log faktor Bayes dari model V-ARCHnct(1) terhadap model V-ARCH(1) dan VARCHt(1) Mata Uang V-ARCH(1) V-ARCHt(1) JPY 5419,8 307,8 V-ARCHnct(1) EUR 2089,2 137,0 Plot nilai-nilai parameter a, b, µ, dan ν yang telah dibangkitkan pada algoritma MCMC ditampilkan dalam Gambar 3, yang mengindikasikan bahwa nilai dari masing-masing parameter berfluktuasi di sekitar rata-rata posterior. Sementara itu, histogram dari distribusi posterior untuk setiap parameter disajikan dalam Gambar 4.
a 0.3 0.2 0.1
0 500010000
0.4 0.3 0.2 0 500010000
b 1.5 1 0.5 0
0.2 0 0 500010000
-0.2
0.6
0.1
0.4
0
0.2
-0.1 0 500010000
20 15 10 5
0 500010000
0 500010000 25 20 15 10 5
0 500010000
0 500010000
GAMBAR 3. Plot nilai parameter a, b, µ, dan ν yang telah dibangkitkan
13
a
b
1000
1000
2000
2000
500
500
1000
1000
0
0
1000
2000
0 -0.2 2000
500
1000
1000
0
0 0.2
0.2
0.3
0.4
0.4
0
0
0
0.5
0.5
1
1
0 -0.2
0
0.2
0
0
20
40
0
20
40
2000 1000 0
0.2
0
GAMBAR 4. Histogram distribusi posterior untuk masing-masing parameter IV. SIMPULAN DAN SARAN Dalam studi ini telah dikonstruksi metode MCMC yang efisien untuk mengestimasi model V-ARCHnct(1). Hasil empiris dengan menggunakan data returns kurs beli JPY dan EUR terhadap IDR menunjukkan bahwa distribusi NCT lebih baik daripada distribusi normal dan Student-t berdasarkan kriteria faktor Bayes. Lebih lanjut model dapat dibandingkan dengan penggunaan distribusi Student-t umum lainnya, seperti generalized hyperbolic skewed Student-t. DAFTAR PUSTAKA [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15]
Engle, R. F. (2004). Risk and Volatility : Econometric Models and Financial Practice. The American Economic Review, 405-420. Campbell, J.Y., Lo, A.W., & MacKinlay, A.C. (1997). The econometrics of financial markets. Princeton University Press, New Jersey. Engle, R. F. (1982). Autoregressive Conditional Heteroskedasticity with Estimates of The Variance of The United Kingdom Inflation, Journal of Econometrica, 50(4):987-1007. Safrudin, I. M, Nugroho, D.B, & Setiawan, A. (2015). Estimasi MCMC untuk Return Volatility dalam Model ARCH dengan Return Error Berdistribusi Student-t, Universitas Kristen Satya Wacana. Nakajima, J. & Omori, Y. (2012). Stochastic volatility model with leverage and asymmetrically heavy-tailed error using GH skew Student’s t-distribution, Comput. Stat. Data Anal., 56, 3690-3704. Tsiotas, G. (2012). On generalised asymmetric stochastic volatility models, Comput. Stat. Data Anal., 56, 151-172. Nugroho, D. B. & Morimoto, T. (2014). Realized Non-Linear Stochastic Volatility Models with Asymmetric Effects and Generalized Student’s-t Distribution. J. Japan Statist. Soc, 44, 83-118. Tsay R.S. (2002). Analysis of Financial Time Series. Ed ke-2 edition, New York:John Wiley & sons, Inc. Lo, M. S. (2003). Generalized Autoregressive Conditional Hetroscedastic Time Series Model, A project submitted in partial fulfillment of requirements fordegree of master of science. Simon Fraser University. Johnson, N. L., Kotz, S. & Balakrishnan, N. (1995). Continuous Univariate Distributions (2nd ed.), John Wiley & Sons. Tierney, L. (1994). Markov chain for exploring posterior distributions. Annals of Statistics, 22(4), 1701-1762. Gelfand, A. E. & Dey, D. K. (1994). Bayesian model choice: asymptotics and exact calculations. Journal of the Royal Statistical Society, B 56, 501-514. Chen, M. H. & Shao, Q. M. (1999). Monte Carlo estimation of Bayesian credible and HPD intervals. Journal of Computational and Graphical Statistics, 8, 69-92. Geweke, J. (1992). Evaluating the accuracy of sampling-based approaches to the calculation of posterior moments, Bayesian Statistics 4 (eds. J. M. Bernardo, J. O. Beger, A. P. Dawid dan A. F. M. Smith), 169-194. Kass, R. E. & Raftery, A. E. (1995). Bayes factors, J. Am. Stat. Assoc., 90(430), 773-795.
14
MAKALAH 2 Model Volatilitas ARCH(1) Skewed Student-t Studi Kasus: Kurs Beli JPY dan EUR terhadap IDR
15
MODEL VOLATILITAS ARCH(1) SKEWED STUDENT-T STUDI KASUS: KURS BELI JPY DAN EUR TERHADAP IDR Elisabeth D. Saputri Didit B. Nugroho, Adi Setiawan Program Studi Matematika , Fakultas Sains dan Matematika, Universitas Kristen Satya Wacana, Jawa Tengah, Indonesia
Info Artikel
Abstrak
_______________________
__________________________________________________________________________________________
Sejarah Artikel: Diterima November 2015 Disetujui November 2015
Dalam studi ini diaplikasikan model volatilitas Autoregressive Conditional Heteroscedasticity (ARCH) lag 1 untuk returns kurs beli Japanese Yen dan Euro terhadap Indonesian Rupiah dari Januari 2009 sampai Desember 2014, dimana returns error diasumsikan berdistribusi skewed Student-t. Metode MetropolisHastings yang efisien dibangun dalam algoritma Markov Chain Monte Carlo untuk memperbarui nilai-nilai parameter dalam model yang tidak bisa dibangkitkan secara langsung dari distribusi posterior. Meskipun 95% interval highest posterior density dari parameter skewness k memuat nol untuk semua data pengamatan, sebagian besar distribusi posteriornya berada di daerah negatif, yang mengindikasikan dukungan terhadap distribusi skewed Student-t. Selain itu diperoleh nilai derajat kebebasan disekitar 15 dan 18, yang mengindikasikan dukungan terhadap heavytailedness.
_______________________ Keywords: kurs beli, Markov Chain Monte Carlo, model Autoregressive Conditional Heteroscedasticity, Skewed Student-t, volatilitas returns _____________________________
Abstract __________________________________________________________________________________________ In this study applied Autoregressive Conditional Heteroscedasticity (ARCH) lag 1 for the buying rate Japanese Yen and Euro to Indonesian Rupiah from January 2009 to December 2014, where returns error are assumed skewed Student-t distribution. An efficient MetropolisHastings method is developed in algorithms Markov Chain Monte Carlo to update the parameter values in the model that could not be sampled directly from their posterior distributions. Although 95% highest posterior density interval from skewness parameter k contains zero for all the observational data, most of the posterior distribution located in the negative area, which indicated support for the skewed Student-t distribution. Furthermore the value of degrees of freedom is obtained around 15 and 18, which indicated support for the heavytailedness. Alamat korespondensi: Jalan Diponegoro 52–60 Salatiga 50711, Jawa Tengah, Indonesia
16
, k Z z Z V ,
PENDAHULUAN Dalam beberapa studi keuangan telah diperlihatkan bahwa data runtun waktu seperti returns saham dan returns mata uang asing mempunyai karakteristik utama yaitu skewness, heavy tailedness, dan pengelompokan volatilitas (simpangan baku) untuk returns. Terkait dengan pengelompokan volatilitas, model yang populer dalam literatur yaitu model (ARCH) yang pertama kali diperkenalkan oleh Engle (1982). Studi ini difokuskan pada model Volatilitas ARCH lag 1, disingkat V-ARCH(1), yang dinyatakan dengan persamaan berikut (Tsay 2002): Rt t t , t ~ N (0,1)
4 , Z ~ IG 2 , 2 , V z E ( Z ) dengan IG 2
dimana
dengan
St
adalah harga aset pada saat t.
f(x)
0.3
k =0 k = -0.5
k = -2 k = -3
k = -1 k = -1.5
k = -5
0.2 0.1 0
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
SKT, k = -3
0.4
=5 = 10 = 20
0.3 f(x)
dengan positivitas dan stasioneritas dari volatilitas kuadrat (Lo 2003). Studi ini menggunakan mean-corrected returns yang didefinisikan: 1 T Rt 100 (ln S t ln S t 1 ) (ln S t ln S t 1 ) T t 1
menyatakan
SKT, = 10
0.4
a 1 b a 0 dan 0 b 1 untuk menjamin
~N(0,1), dan
distribusi inverse gamma. Untuk mengintrepetasikan parameter-parameter ( k , ) yaitu hubungan antara skewness dan heavytailedness, disajikan plot fungsi kepadatan dari distribusi SKT untuk beberapa nilai parameter k dan ν pada Gambar 1.
t2 a bRt21 , untuk t 2,...,T 2 1
(1)
= 30 = 50 = 100
0.2 0.1
Sebagai suatu pendekatan yang menjanjikan untuk model dengan heavy-tailedness dan skewness yang fleksibel, distribusi non-central Student-t (NCT) dan skewed Student-t (SKT) telah didiskusikan berturutturut oleh Johnson et al. (1995) dan Aas & Haff (2006). Saputri et al. (2015) telah mempelajari model volatilitas ARCH(1) dengan returns error berdistribusi NCT, disingkat V-ARCHnct(1). Berbeda dengan itu, studi ini mengasumsikan model volatilitas dengan returns error berdistribusi SKT, selanjutnya disingkat VARCHskt(1). Lebih lanjut dibandingkan model-model volatilitas ARCH(1) yang berdistribusi normal, Studentt, NCT, dan SKT. Disini model diestimasi dengan menggunakan metode Markov Chain Monte Carlo (MCMC). Studi empiris dari model volatilitas dilakukan dengan menggunakan data riil kurs beli Japanese Yen (JPY) dan Euro (EUR) terhadap Indonesian Rupiah (IDR) atas periode harian dari Januari 2009 sampai dengan Desember 2014.
METODE PENELITIAN Model V-ARCHskt(1) Salah satu distribusi untuk mengakomodasi flexible skewness dan heavy-tailedness pada returns error yaitu SKT yang diusulkan oleh Nakajima & Omori (2012) dapat dinyatakan seperti:
0
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
x
Gambar 1. Plot fungsi kepadatan dari distribusi SKT Ketika k=0, distribusi (1) tereduksi menjadi distribusi Student-t. Semakin kecil nilai k menunjukkan skewness yang semakin negatif atau condong kekiri, dan berlaku sebaliknya. Sementara itu semakin besar nilai derajat kebebasan , distribusinya menjadi kurang condong. Selanjutnya model V-ARCHskt(1) yang dapat dirumuskan sebagai berikut:
Rt t k ( zt z ) zt2t , (2) zt ~ IG , , t ~ N (0,1) , 2 2 z , 2 t2 a bRt21 , untuk t 2,...,T , a 12 , 1 b dengan a 0 dan 0 b 1 . 1
Ketika k=0, model diatas tereduksi ke model ARCH(1) dengan returns error berdistribusi Student-t (selanjutnya disingkat V-ARCHt(1)), yang telah dianalisis Safrudin et al. (2015).
17
Metode MCMC untuk Model V-ARCHskt(1)
posterior density (HPD) yang diestimasi menggunakan metode dari Chen & Shao (1999), Diambil R ( R1 , R2 ,..., RT ) , dan integrated autocorrelation time (IACT). IACT Z ( z1 , z 2 ,..., zT ) , dan σ ( 1 , 2 ,..., T ) . dapat ditafsirkan sebagai banyaknya iterasi MCMC Distribusi posterior gabungan untuk model (2) dapat yang diperlukan untuk menghasilkan nilai-nilai dirumuskan sebagai berikut: acak yang saling bebas (Geweke 1992).
p(a, b, k , , z | R) p(R | k , , z ) p ( z | ) p a , b, k ,
p(a, b, k , , z | R ) 2 Rt k t z t T 1 2 1 1 2 t zt exp t2 zt t 1 2
1
T 1 zt 2 exp exp a 2 t 1 2 zt
b
b 1
1 b
b 1
Langkah 1. Nilai-nilai awal yang ditetapkan untuk parameter adalah:
a0 0,1, b0 0,1 , 0 20 , z0 ~ IG 0 , 0 . 2 2 Langkah 2. Log posterior untuk parameter dinyatakan sebagai berikut: F1 ( a ) ln p( a | b, , k , Z, R )
1 kR1 1 b 2 1 b 2 2 R1 kR1 1 a 2az1 a 2 z1 1 b
gabungan. Mengikuti kesepakatan umum, ditetapkan prior sebagai berikut : a ~ eksp , b ~ Beta b , b , k ~ N mk ,Vk ,
kRt 2 Rt kRt 2 1 1 2a bRt21 z t t 2 a bRt21 2 a bRt21 2 zt 12 T
dan
b 3 ,
dapat
1 1 T ln a ln( a bRt21 ) 2 2 t 2
1 k mk 2 exp vk 2
1 exp dengan p(R | k , , z ) merupakan fungsi likelihood p a , b, k , merupakan distribusi prior dan
~ G( , ) , 1, b 2,5 , dimana 0,8 , mk 0 , Vk 1 .
a
16 ,
a
Algoritma MCMC untuk membangkitkan nilainilai acak dari distribusi posterior untuk model VDalam hal ini, posterior a tidak mengikuti ARCHskt(1) dikerjakan berdasarkan langkah-langkah suatu distribusi tertentu, maka parameter a berikut: dibangkitkan dengan menggunakan metode metode 1. Inisialisasi a0, b0, 0, dan z0, Independence chain Metropolis–Hastings (IC-MH) 2. Membangkitkan nilai acak a | b, , k , Z, R , dengan melakukan beberapa tahapan sebagai 3. Membangkitkan nilai acak b | a, , k , Z, R , berikut (Tierney 1994): 4. Membangkitkan nilai acak k | a, b, , Z, R , Tahap 1 : membangkitkan proposal 5. Membangkitkan nilai-nilai acak * a ~ N ( 0,1] ma * ,Va * . zt | a, b, k , , R , Tahap 2 : menghitung rasio probabilitas penerimaan 6. Membangkitkan nilai acak | k , a, b, Z, R , p ( a * | b, R ) . r(a * , a ) 7. Kembali ke langkah 2. p ( a | b, R ) Algoritma MCMC dikerjakan dengan
membangkitkan sebanyak 15.000 nilai acak Tahap 3 : membangkitkan u ~ U (0,1) . * dimana 5.000 nilai awal dihilangkan dan sisanya Tahap 4 : jika u min 1, r (a , a ) maka proposal disimpan. Nilai acak yang disimpan kemudian diterima, jika tidak maka proposal ditolak. digunakan untuk menghitung rata-rata posterior, standard deviation (SD), 95% interval highest
18
Dalam
kasus
ini,
ma * dan
Va * ditentukan
T A2 1 Vk t t 1 B t 2Vk
menggunakan metode yang didasarkan pada tingkah laku distribusi disekitar modus (Albert 2009).
Dicari
F1ma * 0
sedemikian
ma* dan
T AR m M k Vk t t k Vk t 2 Bt
sehingga
selanjutnya
1
dan
.
dihitung
Va * min 10 4 , F1ma * . 1
Langkah 5. Log posterior untuk parameter ν dapat dinyatakan sebagai berikut : F4 ( ) ln p ( | k , a , b, Z, R )
Langkah 3. Log posterior untuk parameter b dapat dinyatakan sebagai berikut : F2 (b) ln p (b | a , , k , Z, R )
1 1 ln(1 b) ln a bR 2t-1 2 2 t 2
T
T
t 1
1 kR 1 b 2 1 b 2 2 1 R1 kR1 1 2az1 az1 a 2 z1 1 b
Rt k t zt k t 2 2 z 1
2 t t
T
ln T ln 2 2 2 2
1ln
ln z z T
t 1
t
1 t
Dalam hal ini, posterior ν tidak mengikuti suatu distribusi tertentu, maka parameter ν dibangkitkan dengan menggunakan metode IC-MH
T Rt2 kRt 1 2 2 a bR z t 2 t 1 t a bRt21 2
dengan proposalnya adalah
kRt 2 1 a bRt21 2 zt12 b 1ln b b 1ln(1 b) .
*
~ N 3, 40 m * ,V * .
Langkah 6. Distribusi posterior untuk parameter zt dapat dinyatakan sebagai berikut:
p( zt ) f IG zt | , t g ( zt | a, b, k , z , Rt ) ,
dengan
Dalam hal ini, posterior b juga tidak mengikuti suatu distribusi tertentu, maka parameter b dibangkitkan dengan menggunakan metode IC-MH seperti pada pembangkitan parameter a.
1, 2
2 1 R 2 2kRt t zt 2 k 2 t2 zt 2 , t t t2 zt 2
t=1,...,T, Langkah 4. Log posterior untuk parameter dinyatakan sebagai berikut: F3 (k ) ln pk | a, b, , Z, R
k
1 g ( zt | a, b, k , z , Rt ) kRt t1 k 2 zt k 2 z zt 2
dapat
t=1,...,T. Dalam hal ini, karena posterior zt tidak mengikuti suatu distribusi tertentu, maka parameter zt dibangkitkan menggunakan metode IC-MH dimana
1 T A2 1 2 T At Rt mk t k B V k k 2 t 1 Bt 2Vk t 1 t dengan
At t ( zt v v 2 ) dan Bt t2 zt .
Dalam hal ini, parameter k dapat dibangkitkan secara langsung dari distribusi normal yaitu
proposalnya yaitu
zt* ~ IG( , t ) dan rasio
penerimaannya yaitu:
r zt* , zt
k ~ N ( M k ,Vk ) dimana:
19
g ( zt* | a, b, k , , Rt ) . g ( zt | a, b, k , , Rt )
HASIL DAN PEMBAHASAN Data yang Diamati Model V-ARCHskt(1) dan algoritma MCMC diaplikasikan pada data returns harian dari kurs beli JPY dan EUR terhadap IDR periode Januari 2009 sampai Desember 2014 seperti yang digunakan oleh Saputri et al. (2015). Dari uji Jarque–Bera dan uji Ljung–Box diperoleh informasi bahwa returns harian untuk kedua data adalah berdistribusi tak normal dan tidak berkorelasi. Plot returns kedua data pengamatan ditampilkan pada Gambar 2. JPY 0.04
Tabel 1. Ringkasan estimasi model V-ARCHskt(1) Parameter a b k Data: Returns kurs beli JPY terhadap IDR Mean
0,4265
0,3942
SD
0,0294
LB
0,3741
0,2846
-0,4870
8,3761
UB
0,4904
0,5152
0,0755
22,2358
IACT
34,2892
23,6083
7,2189
45,2229
0,0614
-0,2100
15,4188
0,1428
3,6062
kurs beli
0.02
Waktu Komputasi 512,8559 (detik) Data: Returns kurs beli EUR terhadap IDR
0 -0.02 -0.04 -0.06
0
500
1000
1500
waktu
EUR
Mean
0,3350
0,2550
-0,2443
18,8928
SD
0,0223
0,0439
0,2099
6,0417
LB
0,2924
0,1727
-0,6847
7,9186
UB
0,3776
0,3401
0,1722
31,3217
IACT
49,2046
22,0009
13,4207
46,7207
0.04
kurs beli
0.02 0 -0.02 -0.04
0
500
1000
1500
waktu
Gambar 2. Plot returns harian untuk kurs beli JPY dan EUR terhadap IDR periode Januari 2009 sampai Desember 2014. Estimasi Parameter Tabel 1 menampilkan ringkasan hasil simulasi posterior dari parameter-parameter dalam model V-ARCHskt(1). Berdasarkan Tabel 1, nilai IACT untuk parameter derajat kebebasan () diperoleh nilai-nilainya berada sekitar 15 untuk data JPY dan 18 untuk data EUR. Hal ini membuktikan bahwa distribusi returns error mempunyai ekor yang tebal (heaviertail). Nilai IACT mengindikasikan bahwa metode MCMC yang dikonstruksi adalah sangat efisien. Berdasarkan kriteria 95% interval HPD, diketahui bahwa interval HPD untuk parameter k memuat nol. Hasil ini juga didukung oleh uji Kolmogorov– Smirnov (KS test) yang ditampilkan pada Tabel 2, artinya bahwa asumsi distribusi SKT ditolak untuk semua data. Meskipun begitu, sebagian besar nilai k berada di daerah negatif seperti ditunjukkan pada Gambar 3, yang mengindikasikan adanya bukti dukungan terhadap distribusi SKT daripada distribusi normal, Student-t, dan NCT untuk returns error pada semua data.
Waktu Komputasi 550,1230 (detik) Tabel 2. Ringkasan hasil uji KS untuk error Data JPY EUR
D 0,1013 0,1366
p-value 0,0000 0,0000
( t )
Keterangan Student-t Student-t
Selanjutnya model V-ARCHskt(1) untuk returns kurs beli JPY dan EUR terhadap IDR berturut-turut adalah:
t2 0,4265 0,3942 Rt21
dan
t2 0,3350 0,2550 Rt21 . Pada Gambar 4, disajikan plot posterior, yang mengindikasikan bahwa nilai dari masing-masing parameter berfluktuasi di sekitar rata-rata posterior. Plot rata-rata posterior untuk kuadrat volatilitas disajikan pada Gambar 5.
20
a
b 2000
2000
2000
1000
1000
1000
1000
0
0
2000
1000
0 -1 2000
1000
500
1000
0
0
0
0.5
0.5
1
1
0
0
0
0.5
0.5
1
1
0 -1
0
PENUTUP Dalam studi ini disajikan metode MCMC yang efisien untuk mengestimasi model VARCHskt(1). Hasil empiris dengan menggunakan data returns kurs beli JPY dan EUR terhadap IDR menunjukkan adanya bukti dukungan dalam penggunaan distribusi SKT pada semua data pengamatan yang ditandai dengan sebagian besar distribusi posterior parameter skewness k berada pada nilai negatif dan nilai derajat kebebasannya cukup kecil.
k
2000
1
0
0
20
40
0
20
40
1000 500 0
1
0
Gambar 3. Histogram distribusi posterior untuk DAFTAR PUSTAKA masing-masing parameter pada model VARCHskt(1) untuk kurs beli JPY (atas) dan EUR Aas, K, & Haff, I.H. (2006). The generalized (bawah) terhadap IDR atas periode Januari 2009 hyperbolic skew Student’s t-distribution, hingga Desember 2014. Journal of Financial Econometrics, 4, 275309. b a k Albert, J. (2009). Bayesian computation with R, (2nd 0.4 30 ed). Springer. 0.6 20 -0.2 Campbell, J.Y., Lo, A.W., & MacKinlay, A.C. (1997). The 0.4 0.4 10 econometrics of financial markets. Princeton 0.2 -0.8 0 500010000 0 500010000 0 500010000 0 500010000 University Press, New Jersey. 0.4 0.5 0.4 30 Chen, M.H, & Shao, Q. M. (1999). Monte Carlo 0 20 estimation of Bayesian credible and HPD 0.3 0.2 -0.5 10 intervals. Journal of Computational and 0 500010000 0 500010000 0 500010000 0 500010000 Graphical Statistics, 8, 6992. Engle, R.F. (1982). autoregressive conditional heteroskedasticity with estimates of the Gambar 4. Plot nilai parameter a, b, k, dan ν yang variance of The United Kingdom Inflation, telah dibangkitkan pada model V-ARCHskt(1) Journal of Econometrica, 50 (4), 987-1007. untuk kurs beli JPY (atas) dan EUR (bawah) Geweke, J. (1992). Evaluating the accuracy of terhadap IDR atas periode Januari 2009 hingga sampling-based approaches to the calculation of Desember 2014. posterior moments, Bayesian Statistics 4 (eds. J. M. Bernardo, J. O. Beger, A. P. Dawid dan A. F. M. Smith), 169194. JPY 8 Johnson, N. L., Kotz, S. & Balakrishnan, N. (1995). 6 Continuous Univariate Distributions (2nd ed.), 2 t 4 John Wiley & Sons. 2 Lo, M.S. (2003). Generalized autoregressive conditional hetroscedastic time series model, 0 0 500 1000 1500 A project submitted in partial fulfillment of EUR 3 requirements fordegree of master of science. Simon Fraser University. 2 2 t Nakajima, J., & Omori, Y. (2012). Stochastic 1 volatility model with leverage and asymmetrically heavy-tailed error using GH 0 0 500 1000 1500 waktu skew Student’s t-distribution, Comput. Stat. Data Anal., 56, 36903704. Gambar 5. Plot returns kurs beli JPY (atas) dan Safrudin, I.M, Nugroho, D.B, & Setiawan, A. (2015). estimasi mcmc untukreturn volatility dalam EUR (bawah) terhadap IDR atas periode Januari model ARCH dengan return error berdistribusi 2009 hingga Desember 2014 pada model Vstudent-t, Prosiding Sendika Seminar Nasional ARCHskt(1). Matematika dan Pendidikan Matematika, FKIP UMP, 3439.
21
Saputri, E.D, Nugroho, D.B, & Setiawan, A. (2015). Model volatilitas ARCH(1) dengan returns error berdistribusi non-central student-t, Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika, FMIPA UNY, 233240, ISBN 978602-73403-0-5. Tierney, L. (1994). Markov chain for exploring posterior distributions. Annals of Statistics, 22(4), 17011762. Tsay, R.S. (2002). Analysis of financial time series. (2nd ed). John Wiley & sons.
22
23
