MAKALAH
OLEH KELOMPOK II NAMA
: 1. MARISA
(4007059)
2. NOVA LUKITA
(4007215)
3. SYAMSURI
(4007194)
4. SUDARYANTI
(4007055)
5. CAMELLIA
(4007062)
PROGRAM STUDI
: PENDIDIKAN MATEMATIKA
MATA KULIAH
: GEOMETRI TRANSFORMASI
DOSEN PENGAMPU
: FADLI, S.Si.,M.Pd.
SEKOLAH TINGGI KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN PERSATUAN GURU REPUBLIK INDONESIA (STKIP-PGRI) LUBUKLINGGAU TAHUN 2009/2010 1
1. ISOMETRI Isometri Transformasi U merupakan Isometri jika dan hanya jika untuk setiap pasang titik P dan Q dipenuhi P' Q' = PQ dengan P' = U(P ) dan Q' = U(Q ) . Dengan perkataan lain isometri adalah suatu transformasi yang mempertahankan jarak (panjang suatu ruas garis).
Teorema : Isometri adalah kolineasi Sebuah isometri bersifat : a. memetakan garis menjadi garis b. Isometri mempertahankan besar sudut.
c. Isometri mengawetkan kesejajaran.
Bukti : a. Andaikan g sebuah garis dan T suatu isometri Kita akan membuktikan bahwa T(g) = h adalah suatu garis juga . ’
B
B’
A A’
g
h
Gambar Ambil A ∈ g dan B ∈h ' maka A ' = T ( A) ∈ h B ' = T ( B) ∈ h : melalui
A ' dan B ' ada satu
garis, misalnya h ' : Akan kita buktikan h ' = h .untuk ini akan dibuktikan h ⊂ h dan h ⊂ h ' . Bukti h ' ⊂ h Ambil X ' ⊂ h ' oleh karena bidang kita adalah bidang Euclides kita andaikan
(A XB ) artinya '
'
A ' X ' + X ' B ' = A ' B ' . karena itu T suatu isometri, jadi suatu transformasi
maka ada X sehingga T ( X ) = X ' , maka AX = A ' , XB = X ' B ' , '
jadi AX + XB = AB
Berarti bahwa A. X .B segaris pada g , berarti lagi bahwa X = T ( X ) ⊆ h .
2
Bukti h ⊂ h ' Maka ada Y ∈ g sehingga T (Y ) = Y , dengan Y misalnya
( AYB) Artinya
Y ∈ g dan
AY + YB = AB , karena T sebuah isometri maka A 'Y ' = AY .Y ' B ' = YB. A ' B ' = AB. , sehingga
A 'Y + Y ' B = A ' B ' , berarti A ' .Y .B ' segaris yang melalui A ' dan B ' maka Y ∈ h ' ' haruslah h ⊂ h' .
Bukti serupa berlaku untuk keadaan (YAB ) atau ( ABY ) . Sehingga h = h ' , jika g sebuah garis maka h ' = T ( g ) adalah sebuah garis. Ambil sebuah ∠ ABC A
A’
C
B
C’
B’
Andaikan A ' = T ( A) . B ' = T ( B) . C ' = T (C ) Menurut (a) maka A ' B ' dan A ' B ' adalah garis lurus. Oleh karena ∠ ABC = BA ∪ BC maka
∠ A ' B 'C ' =
B ' A'
∪
B ' C ' sedangkan
A ' B ' = AB.B ' C ' = BC .C ' A ' = CA , sehingga ∠ ABC dan ∆ A ' B ' C ' . jadi ∠ A ' B ' C ' = ∠ ABC
Sehingga suatu isometri mengawetkan besarnya sebuah sudut.
a
a’
b
b’
Kita harus memperlihatkan bahwa a ' // b ' . andaikan a ' memotong b ' disebuah titik p ' jadi p 'ε a ' dan pε b . oleh karena T sebuah transformasi maka ada p sehingga T ( P ) = P dengan Pε a dan Pε B . ini berarti bahwa a memotong b di P ; jadi 3
bertentangan dengan yang diketahui bahwa a // b . maka pengandaian bahwa a ' memotong b ' salah jadi haruslah a ' // b '
Contoh : Diketahui garis g = {( x, y ) y = − x} dan garis h = {( x, y ) y = 2 x − 3} apabila M g adalah refleksi pada garis g tentukanlah persamaan garis h ' = M g ( h) ? Penyelesaian : Oleh karena M g sebuah refleksi pada g jadi suatu isometri maka menurut teorema adalah sebuah h ' garis y
h g
0
Q R(1,-1)
x
P(0, -3)
g = {( x, y ) y = − x}
h = {( x, y ) y = 2 x − 3}
y = −x x=0→ y=0
y = 2x − 3 x = 0 → y = −3
x = 1 → y = −1
y = 2x − 3 0 = 2x − 3 2x = 3 x=3 2
, dimana y = 0
Garis h ' akan melalui titik potong antara h dan g misalnya R sebab M g ( R ) = R
4
Jelas bahwa R = (1,−1) : h akan pula melalui Q = M g (Q ) Oleh karena Q = (3 2,0) maka Q ' = (0, − 3 2 )
y = −x x = −y y = 2x − 3 − x = −2 y − 3 − x + 2y + 3 = 0 x − 2y − 3 = 0 Dengan demikian persamaan h ' adalah :
h ' = {( x, y ) x − 2 y − 3 = 0} SOAL
(
)
(
)
' 1. Jika g = ( x, y ) y = x dan g = ( x, y ) y = x tentukan persamaan garis h = M g (h ) ?
Penyelesaian :
g = ((x, y ) y = x )
h = (( x, y ) y = 3 − 2 x )
y=x x=0→ y=0
y = 3 − 2x x=0→ y=3
x =1→ y =1
y = 3 − 2x 0 = 3 − 2x 2x = 3
, dimana y = 0
y
x = 3/ 2
h g
P(0,3 ) R(1,1)
x
0
Garis h ' akan melalui titik potong antara h dan g
5
Jelas bahwa R = (1,1)
y=x y = 3 − 2x x = 3 − 2y x + 2y − 3 = 0 Maka dengan demikian persamaan h ' adalah :
h ' = {( x, y ) x + 2 y − 3 = 0}
(
)
(
)
2. Jika g = ( x, y ) y = − x dan h = ( x, y ) 2 y = x + 3 selidikilah apakah titik A(− 2,−4) terletak pada garis h ' = M g (h ) ? Penyelesaian :
g = (( x, y ) y = − x )
h = (( x, y ) 2 y = x + 3)
y = −x x=0→ y=0 x = 1 → y = −1
y = −x x=0→ y=0 x =1→ y = 2
y h
g
(1,2) x
0 (1,-1)
2y = x + 3 y = −x
(-2,-4)
{
}
,jadi h ' = ( x, y ) 2 x − y + 3 = 0
x = −y Substitusikan nilai x dan y : jadi
Jadi titik A(− 2,−4) terletak pada h ' = M g (h )
− 2x = − y + 3 − 2x + y − 3 = 0 2x − y + 3 = 0 ISOMETRI LANSUNG DAN ISOMETRI LAWAN
6
Suatu transformasi dari segitiga ABC pada segitiga A1 B1C1 yang di cerminkan pada garis g . Lihat gambar (a)
A1
C1
B2 C2
C
A2
B1
A
B
C
A B
0 Gambar (a)
Gambar (a)
Tampak bahwa segitiga ABC urutan keliling adalah A → B → C adalah berlawanan arah dengan putaran jarum jam, maka pada petanya yaitu segitiga
A1 B1C1 urutan keliling
A → B → C adalah sesuai dengan putaran jarum jam. Pada gambar (a) diatas ada juga suatu isometri yaitu suatu rotasi yang mengelilingi sebuah titik O. Pada segitiga ABC urutan A → B → C adalah berlawanan arah dengan putaran jarum jam maka petanya pada yaitu pada segitiga A2B2C2 urutan keliling A2 → B2 → C 2 tetap berlawanan dengan putaran jarum jam.
KONSEP ORIENTASI TIGA TITIK YANG TAK SEGARIS. Andaikan (P1 .P2 .P3 ) ganda titik yang tak segaris. Maka melalui P1 .P2 .P3 ada tepat satu lingkaran l kita dapat mengelilingi l misalnya pada p1 kemudian sampaidi P2 .P3 dan akhirnya kembali ke P1 . apabila arah keliling ini sesuai dengan putaran jarum jam, maka dikatakan bahwa ganda lima titik (P1 .P2 .P3 )
memiliki orientasi yang sesuai dengan putaran jarum jam
(atau orientasi yang negative). Apabila arah keliling itu berlawanan dengan arah putaran jarum jam, maka dikatakan bahwa ganda tiga titik
(P1 .P2 .P3 )
dengan putaran arah jarum jam.( orientasi yang positif ) .
7
memiliki orientasi yang berlawanan
Jadi pada gambar (a)
( ABC )
( A1 B1C1 ) memiliki ( ABC ) adalah positif dan orientasi ( A2 B2 C2 ) tetap
memiliki orientasi positif sedangkan
orientasi negatif. Pada gambar (b) orientasi positif.
Jadi pencerminan pada gambar (a) mengubah orientasi sedangkan putaran pada gambar (b) mengawetkan orientasi .
Definisi : Suatu transformasi dinamakan langsung apabila transformasi itu mengawetkan orientasi: suatu transformasi dinamakan transformasi lawan apabila transformasi itu mengubah orientasi. Salah satu yang penting dalam geometri transformasi kita.
2. Hasil Kali Transformasi Definisi : Misalkan F dan G dua transformasi dengan F : V → V dan
G :V → V
maka komposisi dari F dan G ditulis sebagai F o G yang didefinisikan
(G o F )(P ) = G(F (P )),
∀P ∈ V .
Andaikan T1 , T2 , T3 transformasi – transformasi. Kita dapat menyusun terlebih dahulu hasil kali T2οT1 kemudian dikalikan dengan T3 . untuk hasil kali transformasi ini kita tulis sebagai
T3 (T2 .T1 ) Jadi andaikan P = T1 ( P ).P ' = T2 ( P ' ).P '' = T3 ( P '' ) Maka [T3 (T2 .T1 )]( P ) = T3 [T2T1 ( P )]
= T3 [T2 (T1 (1))]
[
= T3 T2 ( P ' )
]
= T3 ( P " ) = P '' Kita juga dapat mengalikan sebagai berikut :
8
[
(
((TT )T )( P ) = T3T2 T1 ( P ' )
])
= (T3T3 )( P ' )
[
= T3 T2 ( P ' )
]
= T3 ( P " ) = P " Jika hasil kali bersifat asosiatif, kita dapat juga mengatakan bahwa
T3 (T2 T1 ) = (T3 T2 )T1 = T3 T2 T1
9
