Differentiaalvergelijkingen Hoorcollege 11 Partiële differentiaalvergelijkingen: De Eendimensionale Golfvergelijking; De Tweedimensionale Laplacevergelijking A. van der Meer
DV — HC11 – p. 1/17
De eendimensionale golfvergelijking (Polking, §13.3, p. 649.) 2u ∂ ∂ 2u 2 (x, t) = c (x, t) 2 2 ∂t ∂x
notatie:
utt (x, t) = c2 uxx (x, t) .
Met homogene Dirichlet randvoorwaarden komen x en t in de basisoplossingen in de vorm: x + ct en x − ct d’Alembert: introduceer nieuwe variabelen: ξ = x + ct ,
η = x − ct
en kijk of de PDV daarmee makkelijker wordt, We moeten daarvoor de partiële afgeleiden naar x en t herschrijven in partiële afgeleiden naar ξ en η om een PDV voor de functie u(ξ, η) te krijgen. DV — HC11 – p. 2/17
De eendimensionale golfvergelijking Gegeven utt (x, t) = c2 uxx (x, t) ,
ξ = x + ct, η = x − ct .
Gevraagd: Druk uxx en utt uit in partiële afgeleiden naar ξ en η We schrijven nu: u(x, t) = u(ξ(x, t), η(x, t))
differentiëren naar x (kettingregel!) ∂u ∂u ∂ξ ∂u ∂η ∂u ∂u = + = + , ∂x ∂ξ ∂x ∂η ∂x ∂ξ ∂η
∂ξ ∂η omdat = =1 ∂x ∂x
DV — HC11 – p. 3/17
De eendimensionale golfvergelijking Gegeven: utt (x, t) = c2 uxx (x, t) , Al gevonden: ux = uξ + uη .
ξ = x + ct, η = x − ct .
Zo doorgaand: Uitdrukkingen voor uxx en utt , invullen in de PDV geeft uiteindelijk: ∂ 2u =0 ∂η∂ξ
met als oplossing: u(ξ, η) = F (ξ) + G(η)
met F en G willekeurige functies.
DV — HC11 – p. 4/17
De eendimensionale golfvergelijking Kortom: Elke functie van de vorm u(x, t) = F (x + ct) + G(x − ct)
voldoet aan de PDV
utt = c2 uxx .
De onbekende functies F en G moeten dus helemaal uit de rand- en beginvoorwaarden worden gehaald. ∂u (x, 0) = 0 . Beginvoorwaarden: u(x, 0) = f (x) , ∂t voor 0 ≤ x ≤ L dus: u(x, 0) = F (x) + G(x) = f (x) en ut (x, t) = c F ′ (x + ct) − c G′ (x − ct) dus ut (x, 0) = c (F ′ (x) − G′ (x)) = 0 =⇒ F (x) − G(x) = C . DV — HC11 – p. 5/17
De eendimensionale golfvergelijking Uit de beginvoorwaarden volgt dus: ( F (x) + G(x) = f (x) F (x) − G(x) = C ( 2F (x) = f (x) + C (optellen) =⇒ 2G(x) = f (x) − C (aftrekken) Omdat in de oplossing u(x, t) de functies F en G bij elkaar moeten worden opgeteld, valt de constante C weg. Het maakt dus niks uit wat we voor C nemen, het gemakkelijkst is C = 0 Uit de beginvoorwaarden volgt dus: 1 F (x) = G(x) = f (x) , 2
als 0 ≤ x ≤ L. DV — HC11 – p. 6/17
De eendimensionale golfvergelijking u(x, t) = F (x + ct) + F (x − ct). 1 Uit de beginwaarde volgt dat F (y) = f (y), zolang y tussen 2 0 en L ligt. Maar de functie F moet op de hele reële as worden gedefinieerd, omdat x + ct en x − ct alle waarden aannemen.
Oplossing tot nu toe:
Randvoorwaarden: u(0, t) = u(L, t) = 0 u(0, t) = F (ct) + F (−ct) = 0 =⇒ F (−ct) = −F (ct) Dus F is een oneven functie. Op [0, L] kennen we hem al, namelijk 21 f (y), dus we kunnen nu het definitiegebied uitbreiden tot [−L, L]: ( f (y) als y ≥ 0 1 F (y) = fo (y), waarbij fo (y) = 2 −f (−y) als y < 0. DV — HC11 – p. 7/17
De eendimensionale golfvergelijking Oplossing tot nu toe: u(x, t) = F (x + ct) + F (x − ct), 1 met F (y) = fo (y), zolang y tussen −L en L ligt. 2 Tweede randvoorwaarde: u(L, t) = F (L + ct) + F (L − ct) = 0 . Noem ct − L = y , dus ct = L + y . Invullen in de randvoorwaarde: F (y + 2L) + F (−y) = F (y + 2L) − F (y), want F is oneven, en dit moet 0 zijn, dus: F (y + 2L) = F (y), voor alle y ∈ R.
Dus F is periodiek, met periode 2L: de periodieke uitbreiding van 21 fo (y). DV — HC11 – p. 8/17
De eendimensionale golfvergelijking Samengevat: utt (x, t) = c2 uxx (x, t) 0 < x < L, beginvoorwaarden: u(x, 0) = f (x) , ut (x, 0) = 0 , 0 ≤ x ≤ L , randvoorwaarden: u(0, t) = u(L, t) = 0 .
Oplossing: fop (x + ct) + fop (x − ct) u(x, t) = 2
met fop de oneven periodieke voortzetting van f . Zie Maple-demonstratie van Polking, voorbeeld 13.3.19.
DV — HC11 – p. 9/17
De Laplacevergelijking ∂u = k ∇2 u Warmtevergelijking: ∂t ∂u = 0, dus ∇2 u = 0 Stationaire situatie: ∂t In twee dimensies (cartesische coördinaten):
gevraagd: u(x, y) met kort:
uxx + uyy = 0
∂2u ∂2u + 2 =0 2 ∂x ∂y
voor (x, y) ∈ G ⊂ R2 .
Randvoorwaarde (Dirichlet): (x, y) ∈ ∂G.
u(x, y) = f (x, y) voor
DV — HC11 – p. 10/17
De Laplacevergelijking: Lineariteit uxx + uyy = 0
voor (x, y) ∈ G
Stel u1 is de oplossing die voldoet aan de randvoorwaarde u(x, y) = f (x, y), en u2 is de oplossing die voldoet aan de randvoorwaarde u(x, y) = g(x, y), (x, y) ∈ ∂G, dan is de som u = u1 + u2 óók een oplossing van de Laplacevergelijking, en voldoet aan de randvoorwaarde u(x, y) = f (x, y) + g(x, y). Bewijs: Invullen.
DV — HC11 – p. 11/17
Laplacevergelijking op een rechthoek Zie Polking, §13.4, figuur 1.
DV — HC11 – p. 12/17
Toegift: Harmonische functies Definitie: Een functie φ : D ⊂ R2 → R is harmonisch als voor alle (x, y) ∈ D geldt: ∂ 2φ ∂ 2φ + 2 =0 2 ∂x ∂y
(dus φ is een oplossing van de Laplace-vergelijking) Stelling: (Riley, §24.2, of Saff & Snider, Theorem 2.5.7) Als f (z) = u(x, y) + i v(x, y) analytisch is, dan zijn u en v harmonische functies. Bewijs: Volgt uit de Cauchy-Riemann-vergelijkingen: ∂v ∂u ∂v ∂u = en = − , dus ∂x ∂y ∂y ∂x ∂ 2u ∂ 2u ∂ ∂u ∂ ∂u ∂ ∂v ∂ ∂v + 2 = + = − =0 2 ∂x ∂y ∂x ∂x ∂y ∂y ∂x ∂y ∂y ∂x DV — HC11 – p. 13/17
Toepassing op Dirichlet-probleem uxx + uyy = 0
voor (x, y) ∈ G ⊂ R2 .
Randvoorwaarde (Dirichlet): constant voor (x, y) ∈ ∂G.
u(x, y) is (stuksgewijs)
Vertaling: Vind een harmonische functie u(x, y) (met (x, y) ∈ G), zodat ∂G uit niveaukrommen van u bestaat. Gebruik zo nodig: Als u(x, y) een harmonische functie is, dan is u(x + a, y + b) óók een harmonische functie; Als u en v harmonische functies zijn, dan is a u(x, y) + b v(x, y) + c óók een harmonische functie.
DV — HC11 – p. 14/17
Voorbeeld 1 G is het gebied dat wordt begrensd door de positieve x-as en de lijn y = x. Bepaal een niet-triviale oplossing van de Laplacevergelijking op G met de randvoorwaarden u(x, x) = u(x, 0) = 0.
Voor elke n ∈ N is z n = (x + iy)n een analytische functie, dus Re(z n ) = rn cos(nθ) en Im(z n ) = rn sin(nθ) (met r = |z| en θ = arg z ) zijn harmonisch. Nu moet u = 0 als θ = 0 en als θ = π4 , dus we kiezen u(x, y) = rn sin(nθ) met n = 4: u(x, y) = Im(z 4 ) = Im(x4 + 4ix3 y − 6x2 y 2 − 4ixy 3 + y 4 ) = 4x3 y − 4xy 3 DV — HC11 – p. 15/17
Voorbeeld 2 2 , rechts van de y -as). Gebied: rechter-halfvlak (dus R ( 1 als − 1 ≤ y ≤ 1 Randvoorwaarde: u(0, y) = 0 elders
Bekijk de functie Log z = Log |z| + i Arg z , analytisch op C zonder de negatieve x-as. Dus u(x, y) = Arg(x + iy) is een harmonische functie. We gebruiken de harmonische functie: u(x, y) = A1 Arg(z − i) + A2 Arg(z + i) + B We vullen de randvoorwaarde in: y>1: u(0, y) = A1 π2 + A2 π2 + B = 0 −1 < y < 1 : u(0, y) = −A1 π2 + A2 π2 + B = 1 y < −1 : u(0, y) = −A1 π2 − A2 π2 + B = 0
A1 = − π1 =⇒ A2 = π1 B=0
DV — HC11 – p. 16/17
Voorbeeld 2: Oplossing en plaatje Als we alles invullen: 1 1 u(x, y) = − Arg(z − i) + Arg(z + i) π π Dit is voor x > 0 ook te schrijven als: 1 y−1 1 y+1 u(x, y) = − arctan( ) + arctan( ) π x π x
DV — HC11 – p. 17/17
