30
BAB V ANALISA DIMENSIONAL
5.1 Pendabuluan Beberapa persoalan yang dijumpai dalam mekanika fluida telah dipecahakan dengan menganalisa persoalan yang sudah diformulasikan secara matematis. Dalam soal yang demikian, baik variabel yang berpengaruh maupun hubungan antara variabel tersebut telab diketahui. Seringkali formulasi demikian diperoleh dengan menggunakan anggapan penyederhanaan. Untuk memperhitungkao efek yang diabaikan, dalam pendekatan selanjutnya digunakan koefisien yang ditentukan secara eksperimental. Hal ini seringkali merupakan eara penyelesaian yang praktis, karena penyelesaian persamaan yang memperhitungkan efek yang diabaikan tadi sangal rumit dan sukar dipecahkan. Sebagai contoh , persamaan Navier-stokes pada umumnya tidak dapat dipecahkan secara kwantitatif. kecuali untuk beberapa hal yang sederhana Cara lain yang dapat digunakan sebagai penyelesaian pendekatan diperoleh dengan mencoba menentukan secara umwn bagaimana koefisien yang dapat ditetapkan secara eksperimental tersebut bergantung pada variabel yang mempengaruhi persoalan. Cara demikian ini, yang akan diuraikan lebih lanjut dalam boo illi dan dikenal sebagai analisa dimensional, dipergunakan bila variabel yang mempengaruhi suatu gejala fisik diketahui, akan tetapi hubungan antara masing-masing belum diketabui. a. variabcl fisik yang ditinjau, yang timbul akibat gerak benda daJam fluida atau sebaJiknya, misalnya gaya, tegangan geser, dan sebagainya. b. Variabel geometri benda saluran atau kedua-duanya, seperti ukuran panjang, bentuk, dan sebagainya. c. Variabel yang menyangkut gerak benda dalam fluida atau sebalikny~ misalnya kecepatan V, pereepatan a dan sebagainya. d. Variabel yang menyatakan sifid fluida, misalnya massajenis 0, tekanan p, viskositas M-tegangan permukaall
0, dan sebagainya.
,
31
e. Variabel yang menyatakan sifat bend~ misaJnya massa jenis m, modulus elastisitas E, dan sebagainya. (dalam mekanika fluida, variabel ini umumnya dapat diabaikan; daJam persoalan aeroelastisitas atau hydroelastisitas, variabel perlu diperhatikan). Dengan analisa dimensional, gejaJa fisik dapat diformulasikan sebagai hubungan antara variabel yang berpengaruh ini, yang telah dikelompokkan dalam serangkaian kelompok bilangan yang tak berdimcnsi. j~mLah kelompok bilangan yang tak berdimensi ini janh lebih sedikit dari jumlah variabel yang semuja. Carn ini sangat berguna dalam metoda analisa persoalan secara eksperimental, terutama karena jumlah eksperimen yang harus dilakukan dapat.diperkeciJ, dan eksperimennya s~ndiri dapat lebih disederhanakan. Sebagai contoh, tinjau persoalan yang dibadapi untuk menentukan gaya tahanau D dari su8tu bola berdiameter d dan. yang permukaannya licin yang bergerak dengan kecepatan V, di dalam fluida viskos yang illkompresibel. Variabel geometri benda adalah d, variabel gerak benda adalah V, variabel yang menyatnkan sifat fluida adalah p dan Jl. sedangkan besarm.1isik yang ditinjau ad~8h gaya tahRIlanD. perlu diperhatikan, bahwa langkah pertama yang penting di sini adalah pengenalan variabel yang berpengaruh ini, dan dengan berdasarlC'dnpada analisn, observasi dan anggapan penyederhanaan, jumlah variabel yang diperhitungkan hanyalah variabel yang penting saja. F'
~
J
~v2 ~/Yl
~
F
PIJ.It
pberubah-ubah Plte1aP
~~y:
r:~f~:~
PIP-;r D
V'-~
YJy
~
/ // .
2Yl
'Plp.."
-~YI
. FI_~:'PIDPI
(:rftrnt'f1r5. J . J) digarnbnrkan sebagai fungsi dar.j d I.Intukbermacarn-rnaca!1'l n!!ai V, untuk tinp killi nihi pdan ~ yang tetup.
Setelah variabel-vaiabel inidikenali, gaya tahanan D dapat dituliskan sebagai fungsi dari variabel-variabel tersebut, yaitu : F(D, d, V, p, Jl.) = 0 Atau D = f{d, V,p,J.1)
...5.1 5.2
Di mana F(~~ V, p, Jl.)= 0 dan f{~ V, p, J.1)menyatakan fungsi dari d, V, p, Jl.yang masih belum diketahui.
32 Untuk mengetahui hubungan 5.2 (atau5.I) SCC3J1i eksperimentiJ diperlukan waKtu yang cukup lama. Karena setiap kali hanya satu variabel di dalam tanda kurung yang diperbolehkan untuk diubah-ubah. Contoh dari prosedar demikian ditunjukkan dalam gambar 5.1
11'2= PVD J.l.
Galnbar 5.2. Grafik suatu kcsperimen dimana 1t} diukur untuk belmacam-macam v:3I";abe1 v, d, p atau
1t'2(1t2 merupakan
1-1.)
Dapat dilihat bahwa percobaan yang dilaksanakan secara ini memerlukan penggunaan bola dengan berbagai diameter, dan beberapa jenis fluida dengan massa jenis dan viskositas yang berbeda-beda. Percob8HOyang demikian 8angat memakan aktu dan biaya. Dengan analisa dimensiooil dapat ditunjukkan adanya hubuogan antara dua kelompok bilangan tak berdimensi sebagai berikut:
yang menyatakan bahwa
D
( pV
'2
d
'2
)
merupakan soatu fungsi dari
pVd
( ),
seperti
)J
diperlihatkan padagambar 5.2 sebagai suatu kurva. Jelas bahwa basil yang digambarkan pada gambar 5.2 diperoleh dengan eksperimen yang lebih sedemana, Jebih murah dan lebih pendek Disini J.l1diukllr untuk bermacam-macam nilai ~. Sedangkan ~ dapat diubah hanya deogan mengubahsalah satu variabel p, V, d atau J.lyang temp. Kurva di atas dapat diperoJeh dengan menggunakan windtunnel, di mana 1t2dapat diubah dengan hanya meogubah V (kecepatan angin), dan D diukur.
33 Prosedur pemiliban kombinasi dari beberapa variabel yang terdapat dalam suatu persoa1an sehingga berkelompok metYadi bilangan tak berdimensi disebut ana1isa dimensionil.
5.2. Kelompok tanpa dimensi Variabel atau besaran fisik dinyatakan dengan dimensi yang dpat dituliskan daJam beberapa dimensi dasar. Sebagai contoh, kecepatan secara dimensionil dinyatakan oleh hubungan dimensi (V)
= (L) I
(t). Beberapa variabel dapat dikelompokkan sedemikian
sehingga tidak berdimensi, dan kelompok tanpa dimensi. Sebagai contoh, 'besaran pVdlJ.l tidak berdimensi. karena :
Yang berarti bahwa pVd/J! tidak berdimel1si. Besaran ini kita kenalsebagai bilangan Reynolds, salah satu kelompok tanpa dimensi yang penting dalam mekanikafluida. 5.3. Hukum keseragaman dimensi Suatu persamaan dikatakan memiliki kescragaman dimensi bita persamaaan tersebut tidak tergantung pada
satuan pengukuran das~.
bentuk Hukum
keseragaman dimensi menyatakan bahwa suatu persamaan uang diturunkan secara analitik dan yang menyatakan suatu geja1aflsik hams b~rlaku semua untuk sistim satuan. Sebagain cOlltoh.persamaan uDtukperioda aYUDanBuatubandul sederhana, yaitu T = 2 1t'" Ug, berlaku untuk tiap sistim satuan, misalnya apakah L diukur da1am fee~ meter, atau mil, dan t diukur da1am meDit, hari atau detik. Jadi I')ersamaan tersebut memiliki keseragaman dimensi dan dapat dikatakan menyatakun gejala fisik. Hukum tersebut dapat diselami mengingat bahwa gejala alami berlangsung tanpa dipengaruhi oleh satuan yang dibuat secara sembarang oleh manusia, dan karena itu persamaan yang menjelaskan gejala demikian harns berlaku untuk segala sisten satuan, jadi harns memiliki ke~eragaman dimensi. Dari asas keseragaman dimensi iui dapat disimpulkan bahwa suatu persamaan yang berbentuk : x = a + b + c
akan seJ"888DI secara dimensionil hanya bita x, ~ b,
34 C.....memilild dimensi yang sama. Hokum ini sangat bel"lDan&atuntuk memeriksa, apakah suatu persamaan yang menyatakan gejala fisik dan yang diturunkan secara analitik. sudah benar dan lengkap. Seperti contoh dibawah ini : X = yz;v,f + a3f2
Agar persamaan diatas memiliki keseragaman dimensi, persamaan tersebut harnSberlaku untuk semua sistim satuan. Agar demildan perubahan skala tiap suku hams sama bila sistem satuannya diubah. Jadi, bila satuan suku yzv/- dikalikan dua dalam sistim satuan yang baru, balyang sama barus terjadi pula pada x ~an a3f2.Untuk itu tiap Buku dalam persamaan diatas harns mempunyai dimensi yang sama. Sebagai contoh lain, dari pengamatan diperoIeh hukum Newton kedua yang menyatakan bahwa F = ma dengan dimensi m (M) dan a (LT -2); di sini keseragaman dimensi digunakan uotuk melldefinisikansuatu dimensi yang bw"U,yaitu dimem;igaya F. 5.4. Teorema PI dari ButkiDcham Bila persamaan yang berlaku uotuk suatu soal tidak diketahui, diperluktm suatu cara lain dalam penggunaan analisa dimensional. Pada awalnya, perIu diketahui atau diduga, variable bebas yang menentukau kalakuan dari variable independen yang ingin kita ketahui. Ini biasanya dapat kita peroleh dengan logika atau institusi yang tumbuh dari pengalaman terdahulu dengan soal yang semps, tetapi tidak ada jaminan bahwa semua besaran yang penting telah disertakan. Rayleigh pertama kali menggunakan metode ini dan hukum aljabar untuk menggabungkan variable yang banyak dalam suatu soal di dalam sustu kelompok yang tak berdimensi. Untuk menentukan kelompok tak berdimensi ini. Bucldngham mengusulkan 8uatu teorema yang dikenal sebagai teorema-pi, yang secara dinyatakan sebagai berikut : Bita ada n besaran fisik yang penting dan m dimensi dasar, maleaterdapat suatu biJangan n maksimun (r) yang menyatakan jumlah besaran ini yang diantara mereka seudiri tidak dapat membentuk kelmpok talcberdimensi. dimana r ~ n2. Maka dengan menggabungkan secara berturut-turut satu dari besaran yang selebinhnya dengan r besaran tadi, dapat dibentuk i kelompok tak berdimensi, d,imanai = n-f. Kelompok tak berdimellsi yang dibelltuk ini disebut suku-sukll 1t dan dikenali dengan simbol 1t1.1t2 ".i1tl
35 Ada dua eara pellyelesaian yang dapat diikuti, yaitu cara Rayleigh dan cara Buckingham.
a. Metode Rayleigh: Misalkan diinginkan untuk menyatakall suatu variable yang penting, ai, sebagai fungsi dari ariable bebas lainnya, a2, a3,.... . .. . ... ... an, dalam bentuk : <X.I= tl «1.2, <1..3,
atoo
..
u"())
f(al, a2,
... ... ... . ..5.3a ...5.3b
u..,J= 0
PerS8I1laan sehmjutnya yang diinginkan berbelltuk : ...Jtl ) = 0
01 ( Jtl ,Jt2 ,
5.4a
atoo
... . .. . . . . .. . . . .
5.4b
Akau telapi diatl<j:I,~ap baltwa ada m dimensi dasar, clanjumlah kelompok tak berdimensi I := n-Ill.
tJntuk menentukan suku-suku Jt dalam persamaan 5.4,anggap bahwa persamaan 5.3 dapat dillyatakan sebagai pel~umlahalldari sejumlah deret ukur clari variabel tersebut, jadi: A
) Oilr~ ""2 a2
u + B v..t b I . . . ""f1 .
0111
n bn ""2 b2 . . . VIda
=0
Di mana A,B . . . dan seterusnya adalah koefisien tanpa dimensi dan aI, a2 . . . an, bl . . . bn. . . adalah eksponen. Persamaan di atas ni dapat ditulis sebagai : l+(B/A)
eL]bl.31eL2b2-a2 ... an bn_an+ ..
=0
Agar azaz keseraganlall dimensi dipenuhi, sernua suku dalarn persamaan yang terakhir ipni harns tak berdirnensi seperti snku Yallg pertama. Jadi keseragaman dimensi dari per-samaantersebut clapatdinyatakan dalam bentuk : I "b
LaI a 2 ".. a" x
j-= [M'
L v"t
0>
]
. . .. ... .. . .. .. .. . ... .. .. . .. .. ..
5.5
ini benu1i bahwa bila tiap-tiap variable yang dinyatakan dengan dimensinya dan dipangkatkan dengan suatu bilangan tertentu saling diperkalikan dan menghasilkan dirnensi nol, maka hubungan fungsional demikian mt:nyatakan gejala fisik yang benar. dan kelmpok tak berdimensi dapat diperoleh.
36
Prosedur yang terperinci akan dijelaskan dengan contoh berikut. misaInya penurunw tekanwl. A P. sepanjang suatu pipa diketahui pergantung pOOa pmYang pipa, S diameternya, d, massa jenis fluida yang mengaIir dalam pipa, p, kecepatannya fluida
Y
dan viskositas fluids, J.1. , jadi : Ap = n ( S, d, p, V, ~t) atau
f( Ap, S, d. P. V. I-l) = 0
dalam belltuk dimensional dapat dituliskan :
teorema-pi menyatakan bahwa bita n = 6, m = 3. maIm1.- 3,jadi ada tiga kelompoktak berdimensi (1t). Dari 8Z8S keseragaman dimensi dgpat disimpulkan bahW8 kerlaku persamaan berikut : untuk M : a + d + 1 = 0
( a)
untuk L : -a + b = c - 3d + e = ()
.
untuk t : -2a - e - 1 = 0
(b) ( c)
persamaan ini menghasilkan ( karena asa 5 anu dWl3 persamaall ). d= a- 1 e=2a-1
c = -b - 1 jadi dapat dituliskan Aba Sb d -b-l p-a-l J.1.= [MoL°to]
bila suku-suku dengan pangkat yang sarna dikelompokkan, diperoleh :
[(",,:,'H~)'(.~d)] [M.L.r.] ~
..5.6
Tiap suku dalani persarnaan 3.5. tidak berdimensi, jadi merupakan suku -1t. Bentuk fungsionil yang berlaku D.p
01
(
atau
:
!~
pV2'd'pVd
D.p _ 0
pV ~ -
=0
...5.7a
)
8 J1 ( d ' pVd )
... . .. . .. . .. . ... .. . .. . ... .. . ... ..5. 7b
37
Jadi disini
1f 1
S
_ f::..n - -2:..pVd'
1! 2
= d
P 1! 3
= pVd
Pertu diperhatikan babwa, walaupun teorema-pi menyatakan jumlah suku pi (1t) yang minimum untuk menerangkan hubungan fisik, pasangam ini tidak unik. Pasangan suku pi yang lain juga mungkin, dan dapat meqjelaskan hubunganfisik yang berlaku; waJaupun mungkin kw-angbermanfaal Jumlah kombinasi N dari suleu pi yang mungkin dibentuk dari n variable dengan m dimensi dasar dinyatakan oleb : n! N
= (m + l)(n - m - 1)
dengan n = 6 dan m = 3, makaN = 15.Diatas telah kita temukantiga suku pi (n). Untuk mencari yang lain, prosedur aljabar untuk memecahkan pasangan persamaan yang dibentuk oleh eksponen dapat diubah, akan tetapi yang lebih mudah adaJah dengan membuat kombinasdi dari suku pi yang telah diperoleh. Karena tiap 8uku pi tidak b€\Tdimensi,suku tersebut dapat dipangkatkan dan dikombinasikan dengan 8atU atau beberapa suku pi yang lain untuk membentuk suku tak berdimensi yang barn. Misalny? suku y dapat dibentuk sebagai :
km-enahanya tiga suku 1t yang independen yang diperlukan untuk menyatakan hubungan fisik, untuk itu dapat dipilih 1t1,7t2, dan 1t4atau 7t3,7t2,dan 7t4-Tetapi 7th 7t3dan 1t4tidak merupakan kombinasi yang benar karena saling bergantungan. b. Metoda Buck.iDcham Di daJam penggunaan teof'ema pi ini. menurut Buckingham attu1Ulberikut perin diperhatikan : a) Kumpulkan suatu daftar dari variable yang penting, misaJnya ada n variable ai.. ...an. persamaan 11sikyang bersangkutan dapat dinyatakan sebagai : f{ al, a2,
...<Xn)= 0
38
b) Tentukan dimensi dasar dari variable di mas. misa1nya ada m dimensi dasar. Bna semua variable di atas dapat dinyatakan da1amempatdimensi dasar, misa1nyaM, L, t dan T ( temperatur ), maka m = 4 c) Pilih basaran fisik ( variable) a sebanyak r, yang disebut sebagai besaran a primer, yang di antara mereka sendiri tidak dapat membentuk kelompok tak berdimensi. Hampir pOOasemua keadaan r = m, sehinggasuatu aturan yang berguna yangdapat diikuti daJam memilih besaran a sedemikian sehingga tiap a mengandung satu dimensi dasar setidah-tidaknya sekali. d) Tentukanjumlah suku- x yang perlu, yaitu sebanyak i = n-r. e) Tentukan suku - x dengan menyatakan hasil bagi dad besaran a yang tertinggal deng31lprodek dari a primer yang masing-masing dipangkatkan dengan eksponen yang akan ditentukan lebih ImYut.Eksponen ini dspat ditentukan dari persyaratan bahwa tiap suku 1ttidak berdimensi. Jadi untuk tisp 1tpersyaratan ini menghaSilkanr persamaan, dengan r eksponen yang barus dicari : a,+l
:
Untuk x)
[ a 1"'a 2 II,
[..yoLOtO .....
]
a,+2
:
Untuk X2
aT II.:;]
[ a/"a/,'
arb. ] ;: [MOLOtO
]
Untuk Xj
f) Pecahkan persamaan simultan di atas untuk memperoleh eksponen dari tiap suku 1t, dan dengan demikian suku-suku 1tdapat dibentuk. g) Maka
1tl = 0 (
1t2,
.1tj)
Metode ini sangan menarik karena sistimatik dan suku 1tyang diperlukan dapat langsung diperoleh dengan menggunakan persamaan yang jumlahnya benar dan tiap variable disertakan paling tidak satu kali. Manfuat dari metoda ini adalah :
f
39
1. Tiap kelompok tak berdimensi ( suku-suku 1C) dibentuk secara terpisah dan mudah drngan me.meriksadimensinya. 2. Bentuk dari suku 1Cini dapat ditetapkan sebelumnya, misa1nyabila ada variable YWlg ingin dihindari dalam pemilihan r variable yang tidak membentuk kalompak tampa dirnensi. variable ini hanya timbulsekali dalam suku n. Perlu diperhatikan pula bahwa pemilihan r variahle yang tidak dapat membentuk kalampok tampa dimensi ini dapat dilakukall dengan mudah dengan menyertakan variable dengan dimensi yang hanya muueul seka1i pada variable tersebut. Sel~iutnya bila dalam mebentuk suku 1tterdapat dua vw'iable YWlgdimensinya tepat sama, suku 1t tersebut dapat diperoleh sebagai bilangan perbandingan kedua variable tersebut. tampa dengan melaksanakan prosedur aljabar diatas ( 1t}= Sid dapat langsung diperoleh )
5.5. JUMLAB SUKU-SUK1J 7t DAN DIMENSI DASAR. jumlah suku 1t~.ng perlu untuk menyatakan hubungan fisik. dinyatakmlsebagai i = n -- r. ada dua cara ulltuk menentukan r. cara. yang paling sederhana adalah cara Van Driest, yang menyataJmnbahwa r adaJah S3ma dengan jumlah variable yang diantara meraka tidak clapat menghasilkan kelompok tampa dimensi. Karena r tidak dapat melebihi n. jumlah dirnensi dasar. maka bila
n variable tidak dapat membentuk kelompak tnk
berdirnensi. hm-usdicoba n - 1 variable. dmt seternsnya. Dalam memilib dirnensi dasar . harus dijaga agar dimensi tersebut benar saling independen. Ada kemungkinan bahwa walaupun rnisalnya M. L. dan t sernuanya diperlukan untuk menyatakan variable yang ada, dua diantaranya selalu timbul dalarn hubungan yang sarna. Sebagai contob bila M dan T sclalu timbul dalam bentuk l\fIf pada variable yang ditinjau
.
M dan T bukan
variable independen. dan kornbinasi WY yang dapat didefinisikaJ1sabaga.i dirnensi baru N. lllerupakan dilllensi dasar.jadijumlah dilllensi dasar berkurang dengan satu. Cara lain nntuk rnenentukan r adalah dengan cara laghaar. dirnana r ditetapkan sebaga.i rank dari lllatriks. Prosedurnya adalah sebagai berikut. Variable Ct.!. Ct.2.
.<X.n.
.
dituliskan pada sumbu horisontaJ dan dimensi dasar M. L. t dan seterusnya dituliskan pada snrnbu vertikal. Di bawah tiap variable dituliskan kolom mtgka yang menyatakan pangkat da!"udimensi dasar padabariable tersebut. Untuk contah diatas dapat dituliskan :
40 Ai>
M -.--. -.-- L T
I SId
q
1
I p_1_
+
~-l__~:~..t__~~._.
-2
V
f1
1
1
[1L~I 0
_
-~ -
-_ -I
0
I.~
I,
-1 -1
Matriks yang terbentuk disebut matriks dimensional, dan dinyatakan sebagai : 1
1
-1
o o
-2
1 o o
1
o
1
-3
1 -1
-1
o
-1
set31liutnyadapat diajukan pertanyaall sebagi berikut. Bita matriks ini uan dijadikan matriks bujW"sangkar ( square matrix), berapa ukuran terkecil dad matriks bqjw' sangkar tersebut yang merupakan penyederhanaan dari matriks semuta. agar determinannya tidak sanla dengan nol? Jumlab kololll atau baris dari mmriks b~jur sangkar ini merupakan rank dari malriks semula. Untuk matriks diatas, matriks bujur sangkar yang dimaksud adalah:
dengan determinan: o
1
1 -1
- 1
- 11 = 2- .::- 1
karena jumlall kolom aiau haris dari matriks bujur sangkar yang determinannya ~ 0 ini S8madenga.ntigs, malearank matriks r = 3. Dan r ini tl1P-rupakan r daJam teorema -1tdari Buckingham.
41
5.6. KELOMPOK TAK BERDIMENSI YANG PENTING DALAM MEKANIKA FLUID A.
Dalam kebanyakan gejala fluida dengan perpindahan yang dapat diabaikan, variable berikut perlu diperhatikan : 1. Tekanan fluids, p. 2. P~jang benda, L. 3. Viskositas fluids, J.L 4. Tegangan permukaan fluids, 0'. 5. Kecepatan soara dalam fluids, c. 6. Percepatan grafitasi bumi, g. 7. Masajenis fluids, p. 8. Kecepatan relatif antara fluida dan bends, V. Dari variable di atas, dengan analis8. .dimensbnal dopat diperoleh kelompok talc berdimensi atau parameter keserupaan berikut :
1. Rey
=
pVd
-bilangan Reynolds.
}J
2. Fr
=
-v2
-bilanganFroude
-v
-bilanganMach
Lg
3. M
=
4. W
=
c
pv2r CT
.5. Eo =
p pv2
-bilangan Weber - bilangan
Euler.
Kelima bilangan ini dapat ditw1Jnkandengan menggunakan teorema-pi dan metoda Buckinghamdari ke delapanvariable di atas; dan merupakanparameterkeserupaanyang salingindependen.
42
5.7. PENURUNAN PARAMETER KESERPAAN (KELOMPOK TAK BERDIMENSI) DARI PERSAMAAN DASAR. Supaya f:ederhana,kita akan perhatikan fIuida yang inkompresibel. Persamaan kontinUltasnyaada1ah: au a~. Ow ... ... .. ..5.9 -+-+-=0 ax ay Oz clankita perhatikan salah satl! komponen persamaan Navierstokes, yang menyatakan suku grafitasi :
Di samping persamaan deferensial, syarat batas barns pula ditetapkan untuk melengkapi persyaratan pen;oalan : Duajanis syarat batas yang penting adalah : (a)
Kecepatan fluida pada semua permukaan ditetapkan ( diketahui )
(b)
Kecepatan fIuida pada sebagian permukaan ditetapkan sedangkan permukaan yang lain adalah pennukaan bebas, dimana tekanannya ditetapkan, walaupun kedudukan eksak dari pennukaan tidak di tetapkan.
Aliran melalui suatu tabung venturi atoo disekitar suatu silinder merupakan contob dari syarat batas yang pertama sedangkan aliran air di dalam saluran yang terbuka dengan pennukaan bebas adalah contoh dari syarat batas yang kedua. Secara simbolis, jenis syarat batas yang pertama dapat dinyatakan sebagai :
padaf(
Xb,Yb,Zb) = 0
. . .. . ... .. . .. . .. . .. . .. . .. ..5.11
di manaf( Xb.Yb,Zb) = 0 adalah persamaan yang mendefinisikan kedudukan permukaan batas. Untuk syarat batas jenis kedua. spesifikasi dari pennukaan batas dengan benda padat dapat dinyatakan seperti di atas. Untuk bagian permukaan batas, dengan mengabaikan tegangan permukaan, dapat dituliskan: P = Pbpada F ( Xf.Yr,Zf) = 0 Di mana fungsi F mula tidak diketahui:
43
DaJam mengubaJl persamaan 5.9 dan 5.10 menjOOituk berdimensi. perlu dipiJih besaran karakteristik atan patokan untuk tiap veriable. Untuk itu kita gunakan Uo sebagai kecepatan patokan. 10sebagai panjang patokan. dan Po sebagai tekanan patokan. Untuk waldu kita gunakan IJuo sebagai waldu patokan. Besaran patokan ini dapat dipilih sesuka kita, tetapi harns merupakan besaran teTtentu dalam 80al yang bersangkutan. Misalnya, untuk aJirdIl didaJam tabung Venturi, diameter penampang yang tersempit dapat digunakan sebagai patokan dan seterusnya. SelanjutnySlkitaukur tiap variable dalam besaran patokan yang sesuai dan dengan demikian didefinisikan variable tampa dimensi berikut dengan tanda *:
u = uo u* v
= 110 v*
x
=
loX*
t = IJuo.t* P
= PoP*,dan sebagainya.
Persamaan kontinuitas dari Navier-stokes menjadi :
au. + a". + aw. _ 0 ax.
oy"
5.12
Oz.-
dan au" au" -+u-+v-+w-= at" Ox.
au" 0'''
au. Oz.
5.13.
demikian pula syarat-syarat batas menjOOi:
clan
u*
=
lib*
v*
=
Vb*
w*
--
Wb*
p*
=
Pb*
padaf( Xb*.Yb*,Zb*)= 0
. . .. .... ... ... ... .. . ..5.14
pOOaF (Xf*, Yr*, Zf*) = 0
yang terakhir ini berlaku bila pOOapennukaan bebas, dan bila tegangan dapat diabaikan .
44
dapat kita lihat bahwa dengan anaJisa semacam ini ditemukan tiga keJomok tak berdimensi atau parameter keserupaan :
~.8. KRSERUPAAN (SIMILITUDE) keserupaan daJam pengerti8ll yang umum berarti indikasi adanya keadaan tertentu yang diketahui antara dua fenomena. Dalam mekanika fluida hubungan ini merupakan hubungan aJiran sesuangguhnya dengan aJirao yang menyangkut model yang batasbatasnya sempaseeara geometris tetapi lebih keeil ukurannya.walaupun demikian [perlu dijeJaskan, bahwa dalam mekanika fluida berlakupula hukum keserupaan untuk aliran dengan batas yang tidak serupa. MisaJnya, ada hubungan kesempaan antara aJimn subsunik kompressibel ( M < 1) sekitas suatu benda dengan aliran inkompresibel sekitar benda yang kedua yang bentuknya serupa dengan benda peertama yang diseformasikan menurut eara tertentu, dan ini dikebnaJ sebagai atW11D kesempaan Gotherl Demikian pula daJam hidrologi diperlukan suatu modeJ dari sungai-sungai yang pandangan atasnya sempa, tetapi dalamnya tidak serupa. Selanjutnya akan dibahas aliran seC8rageometris. Dua alimn yang mempunyai garis arus yang sempa disebut aliran yang serupa secara kinematis. Karena batas benda merupakan garis arns, tentunya aliran yang sempa kinematis h8ll18pula sempa secara geometris. Akan tetapi hal sebaliknya belum tentu benar, seperti ditunjukkan dalam gambar 5.3. disim digambarkan garis &rUSsekitar benda yang berbentuk belah ketupak dalam aJiran dua dimensi. Gambar a. menutriukkan aliran subsonik, M
45' Gambar 5.3. Garis arus sekitar benda berbentuk belah ketupat 2 Dimensi
Selanjutnya dua aliran dikatakan serupa secara dinarnis, bila distribusi gaya pada kedua aJiran adoJah sedemikian, sehingga pada titik yang berkorespondensi, gaya yang sejkenis ( misalnya gaya geser, tekanan, dan sebagainya) saling sejajar. dan memunyai peroaodingan yang sarna dengao pada pasangan tink yang berkorenspondensi Jainnya. Sehuyutny~ angka perbandingan inl juga sarna untuk jenis gaya yang lain. Karena gaya seperti gaya angkat dan tahanan untuk skala sebenamya biasanya diramalkan dengan mengukur ygaya. yang serupa pada model-model yang lebih keci~, jelaslan mengapa keserupaan dinamis sanga! penting daIanl pengujian. Akan ditunjukkan bahwa keserupaan dinamis mensyaratkan dipenuhinya keserupaan kinematik, clan syarat bahwa distribusi massa adalah sedemikian sehingga. pcrbandingan maaa jenis pOOatitik dalam aliran yang berkt>prespondensi mempunyai harga yang sarna pada setiap pas~mgtitik. Atiran yang memenuhi syarat yang terakbir ini disebut aliran distribusi masa yang serupa. Syarat keserupaan kinematis berarti babwa kecepatan dan percepatan pOOa titik yang berkorespondensi. adalah sejtYlr clan perbanclinganbesar harga mutlaknyaadalab kOllstan.Aliran yang serupa secara kinematis dan mempunyai distribus masa yang serupa, dari hukum newton, juga mempunyai gaya resultan yang perbandingan harga mutlaknya sarna untuk titik
yang saling
berkorespondensi. Selain itu pada tink yang berkorespondensi juga sej~ar. JOOialiran yang serupa secara kinematis dan distribusi masanya serupa memenuhi syarat kesempaan. 5.9. ANALISA KESERUP AAN DENGAN MENGGUNAKAN
PERSAMAAN
DASAR.
Kita perhatikan sekarang dua soal yang menyangkut aliran f1uida inkopresibel. yang syarat batasnya sarna bila dinyatakan dengan bilangan tak berdimensi. Misalnya kedua soal ini adalal1aliran disekitar dua ailinder. yang satu lebih besar dari yang lain, srayat batas menyatakan bahwa kecepatan pada permukaan silinder" sarna dengan nol dan kecepatan pada takl terbingga adaklah tetap dan sarna dengan kecepatan fluida bila silinder tidal
46
diameter sHinder sebagai panjang patokan, dan tekanan s~agnasi sebagai tekananpatokan. Bila syarat batasnyajuga dinyatakan dalam besaran tak berdimensi, terlihat bahwa keduaduanya sarna. Dengan demikian pemecahan kedua soal ini, bila dinyatakan dengan bilangan tak berdimensi, temyata akan sarna bila persamaan diferensialnya juga sarna. Bila kita perhatikan persamaan yang berlaku, terlihat bahwa persamaan kontinuitas dengan sendirinya memenuhi syarat tersebut, sedangkan persamaan Navier-Stokes akan sarna untuk kedua hal di atas ini hila ketiga paramet~r : po/pu,,2, v/uolo dan g l./u02 mempunyai harga yang samadalam kedua soal diatas. Bita demikian kedua soal di atas dapat dikatakan sempa"secara dinarnis, disamping secara geometris (konggruen). Pemecahal1 untuk soal Y311gpertama, misalnya dapat diperoleh secara eksperimen, dan hasil ~ksperimen ini akan berlaku untuk aliran di sekitar silinder yang kedua. Sekarang kita periksa secara lebih mendalam ketiga parameter yang timbul dalam persamaan Navier-Stokes. Bilangan
po/put/ menyangkut hasil bagi antara tekanan
patokall dengan tinggi kecepatan yang didasarkan pada kecepatan patokan. Dengan menganalisa parameter ini secara fisik dan bukan matematis, kita lihat bahwa hasil bagi ini hanya berarti bila tekanan absolut dari alinm mempunyai arti yang penting, yaitu bila hanya absolut dari po penting. Dalam banyak soal, harga absolut dari p tidak mempengaruhi besaran pu/ (atau ~ pU02),dan yang t.erakhirini dapat diambil sebagai ukuran tekanan, dan bukan po. Deng311demikian jumlah besaran patokan dapat dikurangi dan parameter pI puo2 del1gan demikian menjadi berharga satu (atau
1/2)
clan tidak perlu dibitung sebagai
parameter yang tersendiri. Kedua, karena harga absolut dari tekanan tidak mempengamhi aliran, tekanan dapat diukur terhadap tiap patokan yang. memudahkan analisa. Misalnya, tekanan pada permukaan bebas dapat digunakan sebagai tekanan patokan, schingga haerga relatif dari tekanan pada. permukaan tersebnt ada1ah nol. Da1anl 80aJ di mana. penyederhanaan yang demikian mungkin, jumlah parameter ada dua.,yaitu u IUoLodan gl./uo2. Penyederbanaan yang demikian tidak selalu mungkiu. Dalam beberapa alirall, tckanan pada titik tertentu menjadi sangat rendah sehingga mencapai tckanan uap dari cairan sehingga terbentuk kavitasi uap, suatu geja1a yang disebnt kavitasi. Da1ama1iran
47
d€'mikianharga absolut dari tekanan merupakan fakt"f y:mgpenting. kar€'natekanan yang tinggi akan mencegah kavitasi. POOasuatu titik sil~der, tekanannya adaIah poo.uo2 . Tekanan (Poo_uo 2) mungkin sarna dengan uap air. Dalam contob semacarn ini, parameter po /puo merupakan suatu faktor yang penting. Karena itu dalam BOalsemacarn tekanan diukur relatifterhadap tekanan uap. Jadi :
-
po = poo Pv sehingga Po ~1~-PUn karena
_ POI>- P, 1.1 2 72pU"
l,;.:iPU 0 2 mempunyai arti khusus, parameter yang sering digunakan adalah : /2
Po _ Pro - p, ,I,{pu() 2 - MpUo 2
yang dikenalsebagai bilangan Euler, Eu. kedua parameter lain OOaJah-2-
uolo
dan
~ Uo
; yang lebib dikenaJ adaJah nol / v, yaitu
bilangan Reynolds, Re, clan bilangan Froude
Fr
=
Uo
. Bila bilangan Euler dapat
gso
diabaik8ll, maka bilangan Froude clan bilangan Reynolds merupakan parameter yang menentukan karakteristik aliran. Ini berarti bahwa bila dua aJiran mempunyai bilangan Reynolds yang sarna dan bilangan Froude yang sarna, uraian kedua aliran ini daJam besaran tak berdimensi akan sarna, asalkan syarai batas ( tak berdimensi ) dari kedua persoalan inijuga sarna. Sekarang kita perbatikan satu jenis soal mana penyederhanaan yang lebih lanjut dapat dilakukan. Misainya aliran cairan tampa pennukaan bebas di daJam suatu pipa. Fluida dianggap inkompresibel clanbilangan Euler dianggap tidak penting untuk soal ini. Bila fluida di daJampipa tidak mengaJir, maka berlaku :
48 Yang dapat diperoleh dari persmnaan Navier-Stokes. Subskrip r digunakan di sini untuk menunjukkan bahwa tekanan yang bersangkutan ditemui bila fluida tidak mengalir. Dengan menggunakan persamaan di atas dari persamaan Navier-Stokes diperoleh:
dimana Pn = P - Proclandisebuttekanannon gravitasi. Di sini dapatdilihat bahwa suku gravitasi dan bilangan Froude dapat dihilangkan dari persmnaan garak. Selanjutnya kita periksa syarat batasnya. Bila b-yarat batas ini termasuk jenis yang kecepatannya ditentukan pada batas yang tetop dalam ruang. maka syarnt batas ini tidak berubah dengan adanya substitusi tekanan sebenamya dengan tekanan non gravitasi. Demikian pula persamaan kontinuitas tidak dipengarubi oleb substitusi dua persamRRndiferensial dan syarat batas dalam bentuk tak berdimensi yaitu bilangan Reynolds. Untuk soal seperti illi. syarat untuk keserupaan dinamis adaIah bahwa bilangan Reynotdsnya sarna besar. Aliran semacam ini banyak dijumpai dalmn mesin fluid&. serak benda di miara pada kecepatan rendah dan sel?againya. Sekarang kita perhatikan satu jenis soal di mana dijumpai permukaan bebas, yaitu pennukaan batas yang bentuknya tergantung pOOa gerak. Dengan demikian konsep tekanan non gravitasi talcdapat menghasilkan penyederbanaan, karena pr harns diperoleh untuk bentuk permmukaan bebas yang terjadi sewaktu fluida mengalir. Bentuk permukaan ini harns ditentukan dari persamaan dinamik lengkap yang penyertakan efek gravitasi. Karana itu suku gravitasi tidak dapat dihilangkan dari persamaan dasar, dan bilangan Froude harus diperhatikan sebagai parameter terpisah. Hal scmacam ini tcrjadi misalnya pada a1iranmela1uisa1urmtterbuka, perambatan ombak dan aJiran disekitar akpa1. Sebagai ringkasan, dopat kita katakan bahwa keserupaan dinanlis dari aliran fluida yang tidak kompresibel yang dipengaruhi ole}}gravitasi clanviskositas umumnya ditentukan olah tiga parameter, yaitu bilangan Euler (Foo - Py) /lh PUo2.bilangan Froude UoIv g10dan bilangan Reynolds UoIJv
.
Bila gravitasi tidalc penting. bilangan Eulel" dopat diabaik~
sehingga bilangan
Reynolds menlpakan parameter yang penting untuk keserupaan dinamis.
49 Untuk aljran dengmrpermukaan bebas. baik bi1anganReynolds maupun bi1anganFroude harns diperhatikan. Disamping bilangan tak berdimensi yang disebutlcandi mas yang penting daJam alirantak
kompresibel. masih ada beberapa bilangan tak berdimensi yang penting,
misaJoyabila efek kompresibilitas. eleldromagnetik dan sebagainya perlu di perbatikan. 5.10. ARTI FISIK DARI PARAMETER KESERUPAAN YANG PENTING
1. Bilangan Reynolds: Perl>andinganantaragaya inersia terbadap gaya gesekan 2. Bilangan Mach: Perbandingan antara akar dari gaya inersia terhadap akar gaya akibat kompresibilitas fluida 3. Bilangan Fronde: Perbandingan aIltara gaya inersia terhadap gaya akibat gravitasi 4. Bilangan Weber: Perl>andingan antara gaya ioersia temadap tegangan pennukaan 5. Bilangan Euler: Perl>andioganantara gaya tekanan terhadap gaya ioersia
