Wat gaan we doen, mees? Onderzoek alles ... en maak er een grafiek van Wouter Sluitman
Heb het lef en doe af en toe het rekenboek aan de kant. De rekenavonturen die zich dan in de klas kunnen gaan afspelen, doen menig leraar watertanden. Wouter Sluitman waagde de sprong en laat de lezers van Willem Bartjens meegenieten. Groep 7, rekenen, les 33. Maar meester, waar staan de dagen dan? Ik schrik van deze vraag, want de grafiek blinkt mijns inziens uit in duidelijkheid. Wie kan Manon even helpen? Enkele ‘voorzichtige’ vingers. Sven krijgt de beurt: Onderaan? Waarom denk je dat? Nou volgens mij staan daar de dagen. De meeste kinderen kijken stomverbaasd, terwijl in grote letters op de xas MA DI WO DO VR staat geschreven. Hoe is het mogelijk dat ‘mijn’ kinderen, die toch vrijwel allemaal op de rekentoetsen van het Leerlingvolgsysteem gemiddeld of bovengemiddeld scoren, niet in staat zijn de grafiek in één oogopslag te lezen? Ik vraag de klas: Waar dienen grafieken eigenlijk voor? Om te rekenen. Leg je antwoord eens uit. Nou, anders heb je niets te rekenen. Eindelijk zegt Lucas: Volgens mij maken grafieken duidelijk wat je hebt onderzocht.
AHAA! HET MAAKT IETS DUIDELIJK! Overdreven enthousiast huppel ik nu door de klas. HET MAAKT DUIDELIJK WAT JE HEBT ONDERZOCHT. JA, JAA! De kinderen knikken. We zijn het eens. Nou, dat kunnen wij ook! Boeken weg! Boeken weg? Ja, gooi ze maar weg ... eh... doe ze maar in je la. Hun stralende gezichten verraden dat ze veel verwachten van wat er nu komen gaat. Tara, wil jij even samen met Norah wat vellen karton pakken.
Gooi je boeken maar weg, we gaan onderzoek doen En Bram, wil jij even wat gekleurd papier pakken. Ja, pak maar van elke kleur een stapel. Wat gaan we doen, mees? Onderzoek doen Dit is zo’n beetje de inleiding van de rekenles die ik wil beschrijven. Graag zou ik hierbij willen vermelden dat het een willekeurig en representatief voorbeeld van mijn rekenonderwijs betreft. Ik ben immers een groot voorstander van realistisch en aanschouwelijk onderwijs. Maar de eerlijkheid gebiedt mij te zeggen dat ik helaas, in de afgelopen maanden het gevecht tegen ‘het routinematig volgen van de methode’ dikwijls verloren heb. Te vaak heb ik de kinderen op de leerstof afgestemd
in plaats van andersom. Vandaag echter beschrijf ik een moment van glorie. Een fijne, betekenisvolle rekenles die mijns inziens de moeite van het bekijken waard is! Jullie gaan in groepjes een onderzoek doen en de resultaten van het onderzoek verwerken jullie in een grafiek zodat precies duidelijk wordt wat de uitkomst van jullie onderzoek is. Natuurlijk zijn er kinderen die allerlei vragen hebben, maar daar schenk ik deze keer bewust weinig aandacht aan. Het moet een onderzoek zijn dat je in de klas kan uitvoeren. Wie heeft er al een idee? Lucas komt over de brug: Ik zou wel willen onderzoeken welke schoenmaat iedereen heeft. En hoe zou je dan de grafiek maken? Nou, gewoon. Mijn gestrekte arm met krijtje in de hand nodigt Lucas uit om naar het bord te komen. Zijn voorbeeld werkt verhelderend en ik proef dat een verdere toelichting mijnerzijds meer kwaad dan goed zal doen. Eén ding wil ik nog even zeggen: niemand is verplicht om mee te doen aan het onderzoek. Als je bijvoorbeeld liever niet wilt vertellen wat je schoenmaat is, dan mag je dat gewoon voor je houden en dan mogen de onderzoekers hier niet om zeuren. In het echt gebeurt het trouwens ook dat mensen weigeren om mee te doen aan een onderzoek. Ik ben blij dat niemand opmerkt dat ‘in het echt’ de onderzoekers wel zeuren als je niet mee wilt werken. Aan de slag Snel maak ik groepjes van drie of vier kinderen. Elk groepje telt tenminste één goede rekenaar. Als ze aan het werk zijn valt me op dat het lang niet altijd de ‘goede rekenaar’ is, die de leiding neemt. Hier en daar geeft de verdeling op de assen aanleiding tot discussie. Hoe verdeel je 31 kinderen ‘mooi’ over 58 centimeter? Hoe dik moeten de staven zijn? Hoe hoog wordt eigenlijk de hoogste staaf? De jonge onderzoekers gaan aan de slag: Wat is jouw lievelingseten? Wat
2000/2001 ■ jrg. 20 nr. 4 ■ willem bartjens ■ 13
Frank Roosendaal
wil je later worden? Wat is je lievelingsspel? Bij sommige onderzoeken word ik ook betrokken. Hoe lang bent u meester? ... Wauw, 1 meter 82 dan wordt de grafiek lekker hoog! Ik zie een groep waar ze de gegevens direct in de grafiek verwerken. Trots wordt mij de taakverdeling uitgelegd. We hebben eerst samen de grafiek bedacht en nu stellen Fiorella en Michiel de vragen en wij tekenen alles gelijk in de grafiek, met potlood nog. Straks gaan we samen de stroken knippen. Gelukkig weet ik het advies ‘begin pas aan de grafiek als je alle gegevens hebt’, voor mij te houden. Laat ze dat maar zelf ontdekken! De kinderen zijn zeer enthousiast.
Bedenk een vraag voor de klas Ik leg de leerlingen uit dat ze straks hun onderzoek moeten presenteren en daarbij een klassenvraag moeten stellen. Dat is een vraag aan de klas waarvan het antwoord uit de grafiek kan worden gehaald. Het werk wordt hervat en twintig minuten later hangen de grafieken op het
1
Meester, wat moet je doen als je klaar bent? Deze (toch te verwachten) vraag overvalt mij een beetje. Eh... dan eh... Nou, dan ga je met je groepje de presentatie voorbereiden. Welke presentatie?
14 ■ willem bartjens ■ jrg. 20 nr. 4 ■ 2000/2001
bord en zitten de kinderen in de kring. Het eerste groepje heeft onderzocht hoeveel glitters iedereen in de klas heeft: Nou, en we zijn erachter gekomen dat er twee kinderen zijn die vijftien glitters hebben. En onze vraag is: Hoeveel kinderen hebben nul glitters? Tijdens de nabespreking zijn de kinderen zeer betrokken. Hoe kan het ook anders?
Er komt veel aan de orde De ‘beroepen-groep’ begint zijn presentatie met zelfkritiek: Nou, wij hebben de staven niet goed gemaakt want de staaf met 3 is niet anderhalf keer zo groot als de staaf met 2. En wij hebben de verticale verdeling veel te groot gemaakt. Hij is wel veertig en hij hoeft maar dertien te zijn, maar dat komt omdat we eerst de grafiek getekend hadden, terwijl we beter hadden kun-
Jasper Oostlander
De grafieken gaan over hen zelf! De motivatie om een vraag van een klasgenoot te beantwoorden is groot. Er komt veel ter sprake. De problemen die de presenterende groepjes hebben ondervonden zijn dikwijls voor iedereen herkenbaar. Ja, dat hadden wij ook! Zeker het aspect ‘ruimtegebrek op de horizontale as’ blijkt een gemeenschappelijk probleem te zijn geweest. En de oplossingen waren zeer divers. Van het ‘overdoen’ door de ‘schoenmaten-groep’ tot ‘het beperken van de groep ondervraagden’ door de ‘lengte-groep’ tot het simpelweg aanplakken van een extra stuk karton door de ‘Glitter-groep’. (Je ziet er niets van!) De grafiek die aangeeft hoeveel jongens en meisjes er in de groepen 6 t/m 8 zitten, wordt gretig door de klas geanalyseerd. Alles wat de kinderen uit deze grafiek kunnen opmaken komt op tafel, vaak gevolgd door een uitleg voor degenen die het niet begrijpen. Onze klas heeft de meeste kinderen! Groep 8a heeft de minste kinderen! In bijna iedere klas zitten meer jongens dan meisjes. Het verschil tussen het aantal jongens en meisje is het grootst in 6a, enz. Ik doe niet mee en ben apetrots! Tijd voor de volgende presentatie.
nen wachten totdat we precies wisten hoe hoog hij moest zijn. Onze vraag aan de klas is: Heeft de meester wel of niet meegedaan aan dit onderzoek?!
Het zijn niet de goede rekenaars die de leiding nemen
Drie paar pretoogjes kijken nu de klas rond. Ronald krijgt de beurt: Ja, want bij elkaar hebben jullie 32 personen ondervraagd en er zitten maar 31 kinderen in deze klas. Ja, dat klopt! Ik vraag Ronald hoe hij weet dat er 32 personen zijn ondervraagd. Voordat hij ook maar kans ziet zijn lippen te bewegen, rolt het antwoord al op z’n ‘kwik-kwek-en-kwaks’ uit de monden van het drietal. Gewoon alle staven optellen! Dan weet je het. Zichtbaar nagenietend van het zojuist gegeven antwoord, gaat het drietal tevreden zitten.
Het aardige is dat bij elke bespreking wel iets nieuws ter sprake komt. Zo verklaren de jongens van de ‘toetsgroep’ (die van mij op willekeurige volgorde het aantal fouten van een rekentoets hadden gekregen) hoe zij het gemiddelde hebben uitgerekend. Vervolgens vertellen de kinderen van de ‘lekkerste-eten-groep’ dat ze eerst een enquête hebben gehouden en daarna pas hebben bepaald welke gerechten er in de grafiek zouden voorkomen. Bij hen hoefden de kinderen niet uit een aantal keuzemogelijkheden te kiezen. Wanneer duurt een les te lang? Hoewel de presentaties vlot verlopen, ben ik blij als het laatste groepje aan de klas vraagt of er nog vragen zijn. Juist op het moment dat ik mijzelf voorlieg dat deze rekenles van ruim anderhalf uur eigenlijk voor niemand te lang heeft geduurd en ik deze laatste groep vriendelijk wil bedanken voor zijn bijdrage, barst er een discussie los. In de grafiek van de ‘lengte-groep’ begint de verticale as namelijk niet bij 0, zoals bij de andere groepen, maar bij 1,35 m! De vraag is: ‘Mag dat eigenlijk wel?’ De argumenten voor en
2000/2001 ■ jrg. 20 nr. 4 ■ willem bartjens ■ 15
Maar jongens dat is stof voor het voortgezet onderwijs! Nee, vertel nou. Wat doen ze dan met die as, meester? (Zachtjes nu:) Ze halen een stuk van de as weg en vullen die lege plek vervolgens met een soort ‘z- teken’ in. Ze geven hiermee aan: ‘Ik laat niet alles zien want alleen de bovenkant is interessant.’ Plechtig (maar mij er terdege
Heeft de meester wel of niet meegedaan aan dit onderzoek? van bewust dat de tijdsduur van deze rekenles nu echt de spuigaten uitloopt) teken ik in een van de grafieken het omgekeerde ‘z-teken’ in de y-as. Kijk, zo. Maar dit mag je meteen weer vergeten, hoor! (Als ze iets niet zullen vergeten...)
Het vervolg Een paar dagen later kreeg de grafiekenles een staartje. Jongens en meisje, zoals jullie weten zijn de finales van het dam- schaaktoernooi gespeeld en hebben wij een trotse winnaar in ons midden! – gejuich – Nu is vrijdagmiddag de prijsuitreiking en ... voor de rest van de middag is er een spelletjescircuit! – harder gejuich. Ik leg uit dat er zeven activiteiten zijn: simultaan dammen, simultaan schaken, dominobaan bouwen, computeren, sjoelen, spelletjes doen en tafeltennissen. Van die zeven activiteiten mogen zij hun eerste, tweede en derde keus bij mij opgeven. Marie-Louise mag als eerste haar bestelling doorgeven. Haar eerste keus is simultaan dammen, haar tweede keus: dominobaan bouwen en haar derde keus: computeren. Dan volgt Peter. Eerste keus: computeren; tweede keus: simultaan dammen; derde keus: spelletjes doen. Op het moment dat ik Richard vraag wat zijn voorkeuren zijn, hoor ik links van mij een opgetogen Bram roepen: Hé mees, daar kunnen we straks ook
Jasper Oostlander
tegen worden tegen elkaar afgewogen. Uiteindelijk vinden de meeste kinderen dat de grafiek een goed beeld geeft van wat er is onderzocht en dat het dus wel mag. Toch willen ze nog van mij horen hoe het officieel moet. Nu doet zich de vreemde situatie voor dat ík wil stoppen met de rekenles en dat de kínderen willen doorgaan. Aan hun gezichten te zien zullen ze geen genoegen nemen met een ontwijkend antwoord. Ze willen harde feiten. Voor het eerst in mijn onderwijsloopbaan begin ik tégen mijn zin uit te wijden over een rekenonderwerp. Volgens mij worden er door mensen die grafieken maken verschillende oplossingen gebruikt. Of ze beginnen gewoon in de oorsprong... Oorsprong?? Eh... (Ik wijs op de oorsprong in een grafiek) De plek waar de twee assen bij elkaar komen wordt oorsprong genoemd. Of ze beginnen daar gewoon met het getal waarmee ze willen beginnen en laten dat verder zo. Zoals jullie dat hebben gedaan. Of ze beginnen met het getal waarmee ze willen beginnen (in jullie geval was dat 1,35 m) maar doen dan iets met die as.
16 ■ willem bartjens ■ jrg. 20 nr. 4 ■ 2000/2001
2
een grafiek van maken! Direct krijgt hij bijval van zijn klasgenoten. Ja, dat kan! Gaan we dat doen, mees? Ook door míjn lijf gaat een vreugdeschok. Het schiet door mijn hoofd dat het vergelijken van verschillende grafieken die gebaseerd zijn op dezelfde gegevens heel leerzaam kan zijn en dat het bovendien naadloos aansluit op de vorige grafiekenles. Het kost me moeite om mijzelf in toom te houden en de situatie maximaal uit te buiten. Ja, maar hoe willen jullie dat dan doen? Nou gewoon, u moet straks die lijst kopiëren. Oja, zo krijgt iedereen de gegevens. Maar het is zoveel informatie. Is het wel mogelijk om daar een grafiek van te maken? Diverse kinderen proberen mij ervan te overtuigen dat die gegevens toch ‘echt wel’ in een grafiek te verwerken zijn. Omdat iedereen door elkaar praat, is er voor mij geen touw aan vast te knopen. Hoeft ook niet, de boodschap was overgekomen. De kinderen gingen hard aan het werk. Sommige gezamenlijk, anderen alleen. Degenen die moeite hadden met het maken van de grafiek vroegen mij of een klasgenoot te hulp. Met tips als: ‘Kijk anders alleen naar de eerste keuze’ of ‘Kijk anders alleen naar hoeveel keer iets gekozen is’ wisten ook kinderen die doorgaans moeite met rekenen hebben, een grafiek te maken. Sterke rekenaars daagde ik uit om alle gegevens in één
liers dan laten zien? De kinderen kwamen er op dat ze dan de grafiek die alleen aangeeft wat de eerste keuze van de kinderen was, zouden gebruiken. En stel je nu eens voor dat je een fabrikant bent die dominosteentjes maakt. Welke grafiek zou je dan het liefst aan de verkopers van speelgoed laten zien? Nu kozen de kinderen unaniem voor de grafiek die alleen ‘alle keuzes bij elkaar’ aangeeft. Björn merkte op dat het onderdeel spelletjes best populair lijkt in de ene grafiek terwijl hij in de ‘eerstekeuze-grafiek’ niet eens voorkomt! Daar waren de kinderen even stil van...
grafiek te stoppen. In afbeelding 2 is te zien dat sommige kinderen dat inderdaad voor elkaar kregen. Alleen kwamen de makers van dit voorbeeld in de problemen toen ze ‘nul keer gekozen’ moesten weergeven. Zij hadden per abuis de verticale as bij 1 laten beginnen. De nabespreking De nabespreking was mijns inziens om van te smullen! De kinderen hadden bewondering voor elkaars werk en ontdekten dat grafieken gebruikt kunnen worden om mensen te misleiden. Ik legde hen de volgende vraag voor:
Hé mees, daar kunnen we ook een grafiek van maken! Stel je voor, je bent een fabrikant die computerspelletjes maakt. En je probeert de eigenaren van speelgoedwinkels ervan te overtuigen dat ze vooral computerspelletjes moeten inkopen omdat kinderen vooral dáár zo dol op zijn. Welke grafiek zou je de winke-
Zo kwam de tweede grafiekenles in stilte ten einde. Al met al is er tijdens de twee rekenlessen veel ter sprake gekomen en ik heb weer bevestigd gekregen wat ik al dondersgoed wist. Namelijk, dat kinderen veel van elkaar leren als ze daar maar de kans voor krijgen. Ik heb ervaren dat kinderen enorm betrokken en vindingrijk zijn als ze een reëel probleem voorgeschoteld krijgen. Ik ontdekte dat er eigenlijk vanzelf nieuwe rekenuitdagingen ontstaan met mogelijkheden tot differentiatie als die maar als zodanig (h)erkend worden. Ik heb weer eens ondervonden dat het beslist de moeite waard is om de rekenmethode wat vaker aan de kant te gooien. Om mijn mening kracht bij te zetten zou ik nu eigenlijk willen vertellen dat ik de kinderen nogmaals les 33 heb voorgeschoteld en dat ze die allemaal zonder fouten wisten op te lossen. Helaas! De waarheid is dat ik inmiddels bij les 46 ben terwijl ik bij les 52 had moeten zijn. Ik loop dus achter en vind dat ik geen tijd heb voor les 33. Want ja, volgens de methode ... De auteur van dit artikel is leerkracht van groep 7 van de WillemAlexanderschool te Amstelveen.
2000/2001 ■ jrg. 20 nr. 4 ■ willem bartjens ■ 17
