Vysoká škola ekonomická v Praze Fakulta Financí a účetnictví Katedra Bankovnictví a pojišťovnictví Studijní obor: Finance
Opční strategie
Autor bakalářské práce: Viktor Foukal Vedoucí bakalářské práce: doc. RNDr. Jiří Witzany, Ph.D. Rok obhajoby: 2012
Čestné prohlášení: Prohlašuji, že bakalářskou práci na téma „Opční strategie“ jsem vypracoval samostatně a veškerou použitou literaturu a další prameny jsem řádně označil a uvedl v přiloženém seznamu. V Praze dne……… …………………………………… Viktor Foukal
Poděkování: Rád bych tímto poděkoval panu doc. RNDr. Jiřímu Witzanymu, Ph.D. za jeho rady a pomoc při psaní této bakalářské práce.
Abstrakt Hlavním cílem této práce je seznámit čtenáře se základními druhy opčních strategií, s principy jejich chování, základními postupy při sestavení a analyzování těchto strategií. Praktická část této práce je zaměřena na vyhodnocení testovaných opčních strategií, stanovení podmínek pro vstup do strategií, predikování budoucího vývoje indexu S&P 500 pomocí Monte Carlo simulace a zkoumání vztahů mezi implikovanou volatilitou opcí a samotným podkladovým aktivem.
Abstract The main objective of this thesis is to acquaint the reader with the main types of option strategies, with the principles of functioning, with the methods of creating and analyzing these strategies. The practical part focus on valuation of tested option strategies, determination of the conditions for entry into strategies, prediction of future development of index S&P 500 by Monte Carlo simulation and finding relation between implied volatility of options and underlying asset itself.
Obsah 1. ÚVOD..................................................................................................................................... 7 2. ZÁKLADY TEORIE OPCÍ ................................................................................................... 8 2.1 Rozdělení opcí podle typu podkladového aktiva .............................................................. 9 3. VLASTNOSTI OPCÍ ........................................................................................................... 10 3.1 Vnitřní a časová hodnota opce........................................................................................ 11 3.2 Put-call parita.................................................................................................................. 12 3.3 Aplikace put-call parity .................................................................................................. 13 4. BLACK-SCHOLES MODEL .............................................................................................. 15 4.1 Určení vstupujících proměnných .................................................................................... 15 4.2 Předpoklady pro Black-Scholesův model....................................................................... 17 4.2.1 Geometrický Brownův pohyb ................................................................................. 18 4.2.2 Monte Carlo simulace na S&P500 .......................................................................... 20 4.3 Výpočet implikované volatility ...................................................................................... 21 5. IMPLIKOVANÁ VOLATILITA ......................................................................................... 23 5.1 Rozdíl implikovaných volatilit u call a put opcí ............................................................ 23 5.2 Volatility smiles a volatility skews ................................................................................. 24 5.3 Volatility surface ............................................................................................................ 26 5.4 Predikce pomocí implikované volatility ......................................................................... 27 6. OPČNÍ STRATEGIE ........................................................................................................... 30 6.1 Spekulace na růst podkladového aktiva.......................................................................... 30 6.1.1 Syntetic call ............................................................................................................. 30 6.1.2 Bull spread ............................................................................................................... 30 6.2 Spekulace na pokles podkladového aktiva ..................................................................... 33 6.2.1 Syntetic put .............................................................................................................. 33 6.2.2 Bear spread .............................................................................................................. 33 6.3 Spekulace na „nepokles“ podkladového aktiva .............................................................. 35 5
6.3.1 Covered call writing ................................................................................................ 35 6.3.2 Ratio put spread ....................................................................................................... 37 6.4 Spekulace na „nerůst” ceny podkladového aktiva .......................................................... 39 6.4.1 Covered put writing ................................................................................................. 40 6.4.2 Ratio call spread ...................................................................................................... 40 6.5 Spekulace na neutrální očekávání................................................................................... 43 6.5.1 Long Butterfly spread .............................................................................................. 43 6.5.2 Calendar spread ....................................................................................................... 46 6.5.3 Short Straddle, Short Strangle ................................................................................. 47 6.6 Spekulace na zvýšenou volatilitu ................................................................................... 48 6.6.1 Straddle .................................................................................................................... 48 6.6.2 Strangle .................................................................................................................... 49 7 APLIKACE A VYHODNOCENÍ VYBRANÝCH STRATEGIÍ ..................................... 51 7.1 Aplikace strategií pro spekulaci na růst či pokles podkladového aktiva ........................ 52 7.1.1 Aplikace Bull/Bear spread strategií na S&P500 ..................................................... 53 7.2 Aplikace strategií na základě vývoje implikované volatility ......................................... 54 7.2.1 Aplikace strategií na neutrální očekávání ................................................................ 57 7.2.2 Aplikace strategií spekulujících na zvýšenou volatilitu .......................................... 59 8. ZÁVĚR ................................................................................................................................. 61 SEZNAM POUŽITÉ LITERATURY ...................................................................................... 63 PŘÍLOHY ................................................................................................................................. 65
6
1. ÚVOD V mé bakalářské práci se věnuji problematice opcí. Oceňování opcí a sestavování opčních strategií pro různé učely jako je spekulace, arbitráže nebo hedging je velmi obsáhlé a komplexní téma. Z tohoto důvodu jsem se zaměřil pouze na různé typy spekulací. Výhoda spekulací pomocí opcí tkví v možnosti kombinovat různé typy opcí, čímž lze vytvořit zajímavé výnosvé křivky. Důvod, proč jsem si téma opčních strategií vybral, byl zejména kvůli motivaci naučit se techniky oceňování opcí a lépe pochopit využití opcí ve financích. Na finanční deriváty je ve financích kladen stále větší důraz, jelikož tyto odvozené cenné papíry jsou levnější, ale také rizikovější spekulační instrument než samotné podkladové aktivum, což je způsobeno pákovým efektem finančních derivátů. Rozlišujeme prodejní (put) a nákupní (call) opce, které je možno nakupovat nebo prodávat (vypisovat). Spekulovat lze na růst či pokles podkladového aktiva, ale také na jeho stagnaci či zvýšenou volatilitu. Na poslední dva zmíněné typy spekulací (spekulace na stagnaci a na zvýšenou volatilitu podkladového aktiva) se v praktické části zaměřím více. U každého typu spekulace vyberu zajímavé strategie, které budu dále analyzovat. U strategií budu konstruovat výnosové křivky, určím maximální možný výnos a maximální možnou ztrátu. Zároveň také vyčíslím body zvratu, které určí, kdy se strategie s kladnými počátečními peněžními toky plynoucí z vytvoření strategie dostává do ztráty, a kdy se strategie se zápornými počátečními peněžními toky dostává do zisku. Jako podkladové aktivum budu v bakalářské práci uvažovat americký akciový index S&P 500. Testované strategie budu tedy sestavovat z evropských opcí obchodované na burze CBOE zvané SPX index options s peněžním plněním, které proběhne budoucí pracovní den po expiraci. Ve své praktické části budu analyzovat volatilitu indexu S&P 500 pomocí regresní analýzy (Metoda nejmeněích čtverců), dále budu zjišťovat, jak přesně implikovaná volatilita opcí predikuje budoucí vývoj volatility indexu S&P 500 a také budu odhadovat budoucí vývoj samotného podkladového aktiva pomocí Monte Carlo simulace. Hlavním cílem této práce je formulování podmínek pro vstup do strategií s daným typem spekulace a ověřit správnost mých úvah. Mým předpokladem je sestavování strategií spekulujících na stagnaci podkladového aktiva v době vysoké implikované volatility, což by mi mělo zajistit dostatečně vysokou obdrženou opční prémii, což posune body zvratu, čímž strategie bude méně riziková. Stejný předpoklad využiji při sestavování strategií spekulujích na zvýšenou volatilitu za nízké implikované volatility, což by se opět mohlo projevit snížením rizika ztráty.
7
2. ZÁKLADY TEORIE OPCÍ Opce jsou druhem finančních derivátů, které zajišťují budoucí cenu podkladového aktiva v současnosti. Z držby opce plyne právo koupit či prodat podkladové aktivum za stanovenou cenu ve stanoveném čase, na rozdíl od forward nebo futures kontraktů ze kterých plyne povinnost koupit či prodat. Další zásadní odlišností opcí je nelineární závislost ceny opce na podkladovém aktivu1. Opce lze rozdělit podle druhu práva obsaženého v samotné opci. Opce může být s kupním či prodejním právem. Kupní opce (call opce) dává držiteli právo koupit podkladové aktivum za předem dohodnutou cenu (realizační cena) v předem dohodnutém termínu (datum splatnosti opce). Protistrana neboli vypisovatel, který vydá („vypíše“) opční kontrakt se zavazuje uspokojit držitele opce v případě, že se držitel rozhodne opci uplatnit. Pokud se obě strany dohodnou na uzavření opčního kontraktů, vypisovatel opce inkasuje od držitele opční prémii. Držitel se v době expirace opce rozhodne, zda opci využije nebo zda ji nechá propadnout. Z hlediska možnosti plnění lze rozlišovat opce evropského a amerického typu2. Americká opce může být uplatněna kdykoliv po uzavření kontraktu až do doby splatnosti opce, zatímco evropská opce lze uplatnit pouze v době expirace opce. Americká opce je zpravidla dražší, než evropská. Vypisovatel americké opce nezná přesný termín plnění, a proto požaduje vyšší opční prémii. Graf 2.1: Výnosová křivka call opce (3.1.2011, splatnost 18.6.2011, K=1275) zisk/ztráta 140 90
1430
1400
1370
1340
1310
1280
1250
1220
1190
1160
1130
-10
1100
40 St
-60 -110
Zdroj: Vlastní animace; ivolatility.com
1 2
Witzany Jiří; International Financial Markets; strana 111 Mandel, Martin; Durčáková Jaroslava; Mezinárodní finance; strana 196
8
Kupní opce (call opce) je uplatněna pouze v případě, kdy cena podkladového aktiva v době expirace je vyšší než předem sjednaná realizační cena (Graf 2.1). Pokud je cena podkladového aktiva v době expirace opce nižší než realizační cena, investor realizuje ztrátu, která je rovna opční prémii (tržní cena opce). Prodejní opce (put opce) je naopak uplatněna pouze v případě, kdy cena podkladového aktiva v době expirace je nižší než předem sjednaná realizační cena (Graf 2.2) Graf 2.2: Výnosová křivka put opce (3.1.2011, splatnost 18.6.2011, K=1250) zisk/ztráta 140 90
1400
1370
1340
1310
1280
1250
1220
1190
1160
1130
-10
1100
40 St
-60 -110
Zdroj: Vlastní animace; ivolatility.com Pokud okamžité uplatnění opce by bylo ziskové (call opce: S0>K; put opce: S0
K). Opce zvaná „na penězích“ (at-the-money) jejímž okamžitým uplatněním by zisk byl nulový (S0=K).
2.1 Rozdělení opcí podle typu podkladového aktiva Opce lze vypsat téměř na jakýkoliv druh podkladového aktiva. Akciové opce a opce na futures jsou nejčastěji obchodovány na burzách, zatímco měnové opce nebo opce na akciový index jsou obchodovaný mimoburzovně, tedy decentralizovaně. Já se v této bakalářské práci budu zabývat pouze opcemi evropského typu na akciový index. Konkrétně na americký akciový index S&P 500 s peněžním plněním, což znamená, že vypořádání protistran neprobíhá fyzicky, ale pouze peněžním vyrovnáním zisků a ztrát.
3
Witzany Jiří; International Financial Markets; strana 112
9
3. VLASTNOSTI OPCÍ Cena opce je určena pěti různými proměnnými, kterými jsou spotová cena podkladového aktiva S0, realizační cena K, doba do expirace opce T, volatilita podkladového , bezriziková úroková míra rf a očekávaná dividenda vyplacená během životnosti
aktiva
opce, kterou budu v tomto případě opcí s peněžním plněním zanedbávat. Změna těchto proměnných ovlivňuje cenu opce různým způsobem a různou velikostí. Tab. 3.1:Vliv proměnných na hodnotu opce Vstupující proměnné
Evr. call
Evr. put
Am. Call
Am. put
spotová cena
+
-
+
-
realizační cena K
-
+
-
+
doba do expirace opce T
?
?
+
+
volatilita
+
+
+
+
bezriziková úroková míra rf
+
-
+
-
příjem z držby aktiva
-
+
-
+
Zdroj: Witzany, Jiří; Financial Derivatives and Market Risk Management V tabulce 3.1 jsem znázornil, jak změny proměnných ovlivní daný druh opce. Růst spotové ceny podkladového aktiva zvýši hodnotu nákupní (call) opce a naopak sníží hodnotu prodejní (put) opce. Opačný efekt má realizační cena, a tedy čím vyšší realizační cena opce, tím nižší hodnota call opce a vyšší hodnota put opce. Delší doba do splatnosti zvýší hodnotu amerických opcí z důvodu větší pravděpodobnosti, že se tyto opce dostanou tzv. „do peněz“ (in-the-money). U evropských opcí je tento vliv nejednoznačný a záleží na očekávaném vývoji ceny podkladového aktiva. Pokud se futures na podkladové aktivum se stejnou splatností jako má opce nachází v současnosti nad spotovým trhem, je očekáván růst podkladového aktiva. Z čehož plyne, že efekt delší doby do splatnosti na hodnotu evropské opce je pozitivní. Situace je opačná, pokud se futures cena nachází v současnosti pod spotovou cenou podkladového aktiva. Zvýšená volatilita podkladového aktiva zvýší hodnotu opce bez ohledu na to, zda je opce kupní nebo prodejní. Pokud domácí úroková míra pozitivně ovlivní očekávaný růst podkladového aktiva, poté její růst zvýší hodnotu call opce a sníží hodnotu put opce4. Očekávané dividendy nebo jiné příjmy z držby podkladového aktiva mají negativní vliv na kupní opce, jelikož snižují spotovou cenu.
4
Witzany, Jiří; Financial Derivatives and Market Risk Management; strana 91
10
3.1 Vnitřní a časová hodnota opce Faktory ovlivňující hodnotu opce neboli prémii lze rozdělit na vnitřní a časovou hodnotu opce5. Na vnitřní hodnotu opce lze nahlížet jako na arbitrážní zisk, který může držitel opce realizovat uplatněním této opce. Vnitřní hodnota nákupní (call) opce je definována jako rozdíl ceny podkladového aktiva a realizační ceny opce. Vnitřní hodnota call opce nabývá nulové hodnoty, pokud rozdíl mezi spotovou a realizační cenou je záporný. 3.1
Vnitřní hodnota prodejní (put) opce je rovna rozdílu realizační ceny opce a spotové ceny podkladového aktiva. Pokud je tento rozdíl záporný, hodnota prodejní (put) nabývá nulové hodnoty. 3.2
Časovou hodnotu opce lze definovat jako rozdíl opční prémie a vnitřní hodnoty opce. Časová hodnota je ovlivněna pravděpodobností, že se opce dostane in-the-money. Tato pravděpodobnost je určena dobou do splatnosti T, volatilitou podkladového aktiva
,
bezrizikovou úrokovou mírou rf a především vzdáleností mezi spotovou a realizační cenou.
Graf 3.1:Vnitřní a časová hodnota call opce (10.1.2011, splatnost 19.3.2011, S0=1269,75) 140
vnitřní hodnota
ask cena opce
120 100 80 60 40 20
1500
1450
1400
1375
1350
1325
1300
1275
1250
1225
1200
1175
1150
0
realizační ceny opcí
Zdroj: Vlastní animace; ivolatility.com
5
Mandel, Martin; Durčáková Jaroslava; Mezinárodní finance; strana 200
11
Graf 3.2: Vnitřní a časová hodnota put opce (10.1.2011, splatnost 19.3.2011, S0=1269,75) 200
vnitřní hodnota
ask cena
150 100 50
1450
1425
1400
1375
1350
1325
1300
1275
1250
1225
1200
1175
1150
1100
0
realizační ceny opcí
Zdroj: Vlastní animace; ivolatility.com Z grafů 3.1 a 3.2 lze vidět, že čím dál je opce out-of-the-money nebo in-the-money, tím je časová hodnota opce nižší. Nejvyšší časovou hodnotu mají opce, které jsou tzv. „na penězích“ (at-the-money). Opce, které jsou „mimo peníze“ (out-of-the-money) jsou obchodovány za velmi malé částky, protože hodnota opcí „mimo peníze“ (out-of-the-money) a na penězích (at-the-money) je tvořena pouze časovou hodnotou opce6.
3.2 Put-call parita Nákupní i prodejní opce lze vyjádřit portfoliem, které se chová totožně jako samotná opce. Call opci lze opsat portfoliem, které je vytvořeno z dlouhé pozice podkladového aktiva S0, dlouhé pozice put opce a krátké pozice peněžních jednotek o velikosti
7
. Vytvořené
portfolio se chová jako call opce o stejné realizační ceně jako má nakoupená put opce. 3.3
Z rovnice 2.3 lze jednoduše odvodit portfolio pro put opci, které bude obsahovat dlouhou pozici call opce, dlouhou pozici v peněžních jednotkách o velikosti
a krátkou
pozici podkladového aktiva S0. 3.4
Ze vztahu mezi put a call opcí lze tedy odvodit rovnici, která se nazývá put-call parita. Pokud tato parita není splněna, vyskytují se na trhu arbitráže, které mohu využít k arbitrážnímu zisku. Arbitráž spočívá v nakoupení podhodnoceného portfolia a prodejem
6 7
http://www.1option.com Hull, John; Options, futures and other derivatives 7th edition; strana 208
12
relativně nadhodnoceného portfolia. Pro přehlednost upravím rovnici put call parity následovně: 3.5
3.3 Aplikace put-call parity Možnost arbitráží jsem zjišťoval u opcí na akciový index S&P 500, které jsou evropského typu s peněžním plněním (viz příloha č.1). Na grafu 3.3 jsou znázorněny výnosy, kterých bych dosáhl při zobchodování všech nadhodnocených či podhodnocených portfolií. Z celkového počtu 8036 call a put opcí (14 různých realizačních cenách a 5 různých splatnosti) byla put-call parita držena pouze v 94 případech. V ostatních případech byla tedy možnost arbitrážního zisku. Graf 3.3: Výnosy z arbitráží (procentuální vyjádření) 9 8 Arbitrážní výnos (%)
7 6 5 4 3 2 1 0
27.1.2011
24.2.2011
Zdroj: Vlastní animace i výpočty
30.3.2011
4.5.2011 Datum
17.6.2011
8.8.2011
12.10.2011
19.12.2011
Při počítání put-call parity se ovšem zanedbávají veškeré poplatky při nákupu či krátkém prodeji investičního instrumentu. Pokud tyto poplatky budu brát v úvahu, počet možných arbitráží se výrazně změní. Navíc musím uvažovat zápůjční úrokovou míru, kterou je nutno využít v případě vypůjčení peněžních prostředků na koupi podkladového aktiva a také v případě krátkého prodeje podkladového aktiva. Další poplatky plynou z koupě a prodeje opce. Uvažuji-li všechny tyto náklady na vytvoření portfolia, počet arbitrážních příležitostí se sníží na daleko nižší počet. Na grafu 3.3 to jsou výnosy výrazně přesahující hranici ostatních výnosů z arbitráží. Těchto 14 arbitráží s výrazným výnosem by však nebylo možné uskutečnit, jelikož při dohledání cen opcí vhodných pro tyto velmi ziskové arbitráže
13
jsem zjistil nulovou cenu těchto opcí a nulový počet otevřených opčních kontraktů8. Tyto opce by tedy nebylo možné koupit. Vyšší arbitrážní zisky jsou u opcí s delšími splatnostmi, což lze také vypozorovat z grafu 3.3 (klesající arbitrážní zisky v průběhu roku 2011, jelikož data obsahují nejpozdější expiraci 21.1.2012). U těchto arbitrážních strategií s delší splatností jsou však také vyšší poplatky například z důvodu dlouhodobější držby krátké pozice v podkladovém aktivu. Dalším poznatkem je daleko častější zaujetí dlouhé pozice levé strany rovnice (nákup call opce a uložení peněžních prostředků) a krátké pozice pravé strany rovnice (krátký prodej podkladového aktiva a vypsání put opce). Na zkoumaných datech jsem v 97,5% případech zaujal dlouhou pozici levé strany a krátkou pozici pravé strany rovnice.
8
Open interest vyjadřuje celkový počet uzavřených opčních kontraktů.
14
4. BLACK-SCHOLES MODEL Black-Scholes formule je základním vzorcem pro výpočet ceny opce. Do vzorce vstupuje pět proměnných a to: spotová cena podkladového aktiva, realizační cena opce, splatnost opce, bezriziková úroková míra a volatilita. Každá z těchto proměnných samozřejmě působí na cenu opce jinak a v jiné míře, což již bylo zobrazeno v tabulce 3.1. Pro opce na akciový index by však bylo vhodnější použít Mertonův model, který uvažuje spojitou dividendu9. Mertonův model je odvozen od Black-Scholesova modelu s tím rozdílem, že spotová cena podkladového aktiva vyplácející spojitou dividendy je převedana na spotovou cenu podkladového aktiva nevyplácející dividendu
. Tím docílím, že spotové ceny
podkladového aktiva vyplácejícího a nevyplácejícího dividendu se v době expirace rovnají. V mém případě však budu používat klasickou Black-Scholesovu formuli, jelikož podkladové aktivum (akciový index S&P 500) ve skutečnosti nevyplácí žádnou dividendu. Dividendami, které vyplácí jednotlivé společnosti obsažené v indexu, je však ovlivněn vývoj spotové ceny indexu.
4.1 Určení vstupujících proměnných Při oceňování opce je tedy nutné znát hodnoty těchto proměnných. Realizační cena a splatnost opce vychází ze samotné vlastnosti opce, spotová cena podkladového aktiva a bezriziková úroková míra lze poměrně snadno zjistit či dohledat. Za bezrizikovou úrokovou míru se často dosazuje vnitřní výnosová míra státního dluhopisu s nulovými kuponovými platbami, který má stejnou dobu do splatnosti jako opce10.
4.1
Odtud vyjádřím bezrizikovou úrokovou míru rf
4.2
Při výpočtu jednoleté bezrizikové úrokové sazby jsem použil diskontované státní dluhopisy vydávané 11. 11. 2011 za 19 600Kč a splatné 12. 11. 2012 ve své jmenovité hodnotě 20 000Kč11. Jednoletá bezriziková úroková sazba vyšla 2,02%. 9
Hull, John; Options, futures and other derivatives 7th edition; strana 322 Málek, Jiří; Opce a futures; strana 44 11 http://www.mfcr.cz 10
15
Problémy s oceněním však nastanou při zjišťování volatility. Black-Scholes formule používá historickou volatilitu jako anualizovanou směrodatnou odchylku časové řady podkladového aktiva, která je počítána následovně:
4.3
kde
4.4
4.5
Jelikož uvažuji spojité úročení, používám logaritmický výnos za jednu periodu. Na grafu 3.1 jsou logaritmované výnosu indexu S&P500 za rok 2011, z vývoje křivky lze vyvodit vyšší rozptyl výnosů v druhé půli roku 2011. Graf 4.1: Vývoj logaritmovaných výnosů indexu S&P500 za rok 2011 0.06
Logaritmovaný výnos
0.04 0.02 0 -0.02 -0.04 -0.06 -0.08
3.1.2011
15.3.2011
26.5.2011
8.8.2011
18.10.2011
30.12.2011
Datum
Zdroj: Vlastní animace; finance.yahoo.com Průměr těchto logaritmických výnosů
představuje výběrový očekávaný výnos, který
by měl být roven nule, pokud výnosy mají normované normální rozdělení12. Historickou
12
Sinclair, Euan; Volatility Trading; strana 17
16
volatilitu poté zjistím anualizací směrodatné odchylky, tedy přenásobením odmocniny z počtu pozorování. Na zkoumaných datech (3.1.2011-30.12.2011) akciového indexu S&P500 vyšla roční volatilita 0,2333. Dále jsem pomocí Matlabu počítal historické volatility pro jednotlivé opce během jejich životnosti (viz příloha č.2), které budu dále porovnávat s trhem očekávanou (implikovanou) volatilitou na začátku životnosti opce. Analýzu historické a implikované volatility použiji při spekulaci na určitý vývoj volatility podkladového aktiva v kapitole 6. Na závěr přidávám tabulku ročních historických volatilit od roku 2000 pro porovnání jejího vývoje. Tabulka 4.1: Vývoj ročních historických volatilit 2000 0,2221
2001 0,2121
2002 0,2595
2003 0,1674
2004 0,1109
2005 0,1025
2006 0,0987
2007 0,1599
2008 0,4102
2009 0,271
2010 0,18
2011 0,2333
Zdroj: Vlastní výpočty; Thomson Reuters
4.2 Předpoklady pro Black-Scholesův model Výpočet ceny opce pomocí Black-Scholesovy formule provádím na základě sedmi restriktivních předpokladů. Black-Scholesův model je omezen následujícími předpoklady13: 1) Depozitní a zápujční úroková sazba je stejná (bezriziková úroková míra) 2) Neexistuje nákupní/prodejní spread 3) Je možné zaujmout krátkou pozici podkladového aktiva bez poplatků 4) Lze koupit jakékoliv množství podkladového aktiva (včetně části akcie) 5) Vývoj ceny podkladového aktiva na základě Geometrického Brownova pohybu 6) Opční trhy jsou maximálně likvidní 7) Neexistují arbitrážní příležitosti a opční trhy jsou efektivní V následujících podkapitolách se budu věnovat vybraným předpokladům. Budu předpokládat slabě efektivní trh a tedy situaci, kdy vývoj historické ceny nijak neovlivňuje cenu budoucí. Pokud by tento předpoklad nebyl pravdou, technická analýza by přinášela investorům nadprůměrné výnosy. Existuje pouze pár záznamů, které by to dokazovaly. Budu tedy předpokládat, že veškeré minulé informace jsou v ceně již obsaženy.
13
James, Peter; Option theory, strana 51
17
Zda je trh bezarbitrážní jsem zjišťoval na datech indexu S&P500 z roku 2011 a to pomocí put-call parity (kapitola 3.3.)
4.2.1 Geometrický Brownův pohyb V této části se budu zabývat Geometrickým Brownovým pohybem, který vychází z Wiener stochastického procesu, a který je předpokladem pro model implikované volatility. Geometrický Brownův pohyb předpovídá budoucí cenu podkladového aktiva na základě očekávané volatility, očekávaného výnosu, spotové ceny a samozřejmě budoucí cenu ovlivňuje také náhodná (stochastická) složka14. V modelu je také zahrnuto, čím déle podkladové aktivum držím, tím je větší rozptyl simulovaných cen na konci zvolené periody. Geometrický Brownův pohyb předpokládá určité vlastnosti pro cenu podkladového aktiva, které zmíním v následujících třech podkapitolách. 4.2.1.1 Kontinuálnost cen podkladového aktiva v čase Tato první vlastnost předpokládá kontinuální obchodování podkladového aktiva a tudíž neustále se měnící cena. Tento předpoklad není dodržen, protože trhy jsou během víkendů zavřené a obchoduje se pouze během obchodních hodin. Nicméně předpoklad kontinuálního obchodování je zde pouze pro zjednodušení. 4.2.1.2 Ceny podkladového aktiva vychází z Markovského procesu Tato vlastnost podkladového aktiva je v zásadě totéž jako slabá forma efektivnosti trhu, která tvrdí nenávaznost budoucích cen podkladového aktiva na cenách historických15. Markovského proces nahlíží na pohyb cen akciového indexu jako na „náhodnou procházku“. Podlé této teorie je v dlouhodobosti nemožné tzv.“překonat trh“, protože nelze určit nadhodnocené a podhodnocené akcie, jelikož všechny informace jsou v ceně již zahrnuty. Stochastické Markovské procesy vychází z předpokladu, že určité změny se dějí s určitou pravděpodobností, která je ovlivněna právě náhodnou složkou a kde výskyt stavu v určitém okamžiku je závislý na výskytu stavu v předešlém okamžiku16. Pravděpodobnost změny určím jako očekávaný výnos podkladového aktiva a velikost této změny jako očekávanou volatilitou. Časový okamžik je diskrétní spočetná množina17, kterou v mém případě stanovím na 60 obchodních dnů.
14
Hull, John; Options, futures and other derivatives 7th edition; strana 266 Sengupta, Chandan; Financial Modeling Using Excel and VBA; strana 287 16 Kořenář, Václav; Stochastické procesy; strana 8 17 Nejedná se tedy o proces se spojitým časem, minimalizací jednotlivých period v množině se můžeme spojitému procesu přiblížit. 15
18
4.2.1.3 Výnosy podkladového aktiva mají normální rozdělení Tento stochastický proces simuluje změnu ceny podkladového aktiva v malých časových intervalech ∆t18.
4.6
kde
představuje očekávaný výnos aktiva za jednotku času,
je standartizované normální
rozdělení Φ(0,1) se střední hodnotou rovné 0 a se směrodatnou odchylkou, která je rovna 1 a je konstantní volatilita podkladového aktiva za určité mnou zvolené období. Součin tedy celkový očekávaný výnos za celou periodu a součin (náhodná) složka výnosu, kde
je
je právě stochastická
je směrodatná odchylka za krátkou periodu ∆t. Tuto
směrodatnou odchylku je možné jednoduše upravit na rozptyl a očekávaný výnos z aktiva bude logicky figurovat jako střední hodnota tohoto výnosu. Po této úpravě získávám toto normální rozdělení. 4.7
Ze vzorce je patrné, čím vyšší je střední hodnota, která je závislá na očekávaném výnosu a periodě, tím je pravděpodobnější, že změna ceny podkladového aktiva bude kladná, a je tedy očekáván růst ceny podkladového aktiva. Rozptyl, který je určen anualizovanou volatilitou a časovou periodou, určuje rozmezí a váhu náhodné složky. Podobné vlastnosti lze odvodit u rozptylu. Čím delší je perioda neboli čím větší je volatilita, tím větší roli v odhadu hraje náhodná složka, a proto je cena podkladového aktiva hůře predikovatelná.
18
Sengupta, Chandan; Financial Modeling Using Excel and VBA; strana 288
19
Graf 4.2: Histogram logaritmovaných výnosů S&P 500 za rok 2011 80 70
Hustota rozdělení
60 50 40 30 20 10 0
-0.05
-0,04
-0.03
-0.02
-0.01 0 0.01 Rozdělení výnosů
0,02
0.03
0.04
0.05
Zdroj: Vlastní animace; finance.yahoo.com
4.2.2 Monte Carlo simulace na S&P500 Monte Carlo lze poměrně snadno simulovat v Excelu či Matlabu (viz příloha č.3). Budu tedy simulovat několik vývojů indexu S&P500 pro periodu 3 měsíců (0,25 roku). Jako aktuální cenu si zvolím uzavírací cenu indexu z 3. 1. 2012, za očekávaný roční výnos dosadím průměrný roční výnos za poslední dva roky (2010-2011) a za směrodatnou odchylku dosadím anualizovanou volatilitu ze stejného období. Výnos indexu S&P 500 z období 2010-2011 byl roven 6,32%. Průměrný roční výnos jsem vypočítal jako podíl uzavírací ceny indexu z 30.12.2011 a open cenu z prvního obchodního dne v roce 2010 (4.1.2010). Průměrná roční historická volatilita za sledované období byla 0,2067. Časovým okamžikem
bude obchodní
den, kdy byla burza otevřena. Těchto časových okamžiků (obchodních dnů) je ve zvolené tříměsíční periodě 60, tudíž
.
Již jsem uvedl, že v Markovském procesu je výskyt stavu v určitém okamžiku závislý na výskytu stavu v předešlém okamžiku, a proto obě složky určené Geometrickým Brownovým pohybem jsou v Monte Carlo simulaci závislé na simulované spotové ceně z předešlého časového okamžiku ∆t.
20
Graf 4.3 : Simulované ceny akciového indexu S&P500 1500 1450 1400
S&P 500
1350 1300 1250 1200 1150 1100
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
čas
Zdroj: Vlastní animace i výpočty Spotová cena simulovaného aktiva je určena v každém okamžiku ∆t (v každém obchodním dni). Graf 3.3 je výstup 10 simulovaných cen. Černá čára v grafu slouží ke snazšímu posouzení vývoje akciového indexu po dobu 3měsíců. Abych však mohl udělat o vývoji S&P 500 nějaký závěr, musím tuto simulaci provést určitě více než desetkrát. Simulaci vývoje akciového indexu S&P 500 jsem provedl na 100 000 pozorování. Vývoj indexu jsem rozdělil do pěti scénářů po-dle procentní změny indexu na konci simulované periody (30.3.2012). Následná tabulka demonstruje očekávaný vývoje indexu S&P 500 dle Monte Carlo simulace. Tabulka 4.2: Pravděpodobnosti vývoje S&P 500 (3.1.2012-30.3.2012) Silně klesající
Mírně klesající
Stagnující
Mírně rostoucí
Silně rostoucí
ST < -6%
-6% ≤ ST < -3%
-3% ≤ ST ≤ 3%
3% < ST ≤ 6%
ST > 6%
0,153
0,122
0,314
0,141
0,270
Zdroj: Vlastní výpočty Akciový index S&P500 dle Monte Carlo simulace bude s pravděpodobností 0,725 neklesající.
4.3 Výpočet implikované volatility Ve skutečnosti však tržní cenu opce tvoří trhem očekávaná volatilita podkladového aktiva během životnosti opce, která se také nazývá jako implikovaná, což je důvod proč se liší tržní a modelová cena opce. Implikovanou volatilitu lze spočítat vyjádřením této neznámé
21
z Black-Scholes vzorce. Za hodnotu opce je možno dosadit cenu, za kterou se opce obchoduje na burze. 4.8 4.9
kde
4.10
Pravá strana rovnice pro call opci se skládá ze dvou výrazů19. První člen znázorňuje velikost dlouhé pozice akcií, kdy počet akcií je určen členem N(d), což je kumulativní distribuční funkce standardního normálního rozdělení20. Druhý člen rovnice udává velikost krátké pozice v bezrizikových dluhopisech (velikost bezrizikové výpůjčky).
19
Málek, Jiří; Opce a futures; strana 44 Toto rozdělení má nulovou střední hodnotu a rozptyl roven 1, proto distribuční funkce normálového rozdělení pro hodnoty menší než 0 je rovna pravděpodobnosti 0,5 20
22
5. IMPLIKOVANÁ VOLATILITA Implikovanou volatilitu lze chápat jako trhem předpokládanou volatilitu podkladového aktiva s časovým horizontem určeným dobou do splatnosti opce. Pokud průběh volatility je brán jako stochastická veličina, pak je implikovaná volatilita opce chápána jako průměrná volatilita podkladového aktiva21. Vztah mezi implikovanou volatilitou a cenou opce je nelineární. Téměř lineární vztah platí pouze pro opce, které jsou at-the-money, to však neplatí pro opce out-of-the-money nebo in-the-money. Tato citlivost změny volatility na změnu ceny podkladového aktiva lze vypočítat22. Pro opce, které jsou ATM, je tato citlivost poměrně vysoká, protože tyto opce se můžou jednoduše ocitnout v ITM nebo OTM i v případě nízké volatility.
5.1 Rozdíl implikovaných volatilit u call a put opcí Implikované volatility u evropských opcí se stejnou expirací by měli vyjít totožně u nákupních i prodejních opcí bez ohledu na to, zda jsou out-of-the-money nebo in-the-money. Na reálných datech však mohu ukázat, že různé typy opcí s různými realizačními cenami mají rozdílné volatility. Já se však nyní zaměřím na odlišnosti implikované volatility mezi nákupními a prodejními opcemi. Obecně vzato, pokud je implikovaná volatilita u call opcí vyšší než u put opcí, lze říci, že call opce jsou relativně dražší než put opce. Tato situace značí očekávání trhu v býčí trend nebo pokračování býčího trendu podkladového aktiva. Tato anomálie je způsobena tím, že do oceňovacího modelu nevstupuje očekávaná nebo spíše futures cena podkladového aktiva, ale spotová cena. Stejně tak pokud implikovaná volatilita u put opcí je vyšší než u call opcí, trh očekává pokles ceny podkladového aktiva. Implikovanou volatilitu u at-the-money opcí však není příliš jednoduché zjistit. Ve skutečnosti je téměř nereálné najít at-the-money opci, protože spotová cena podkladového aktiva se přesně nerovná některé z realizačních cen, které se na burze obchodují23. Budu tedy hledat realizační cenu, která se nachází nejblíže spotové ceně podkladového aktiva (viz příloha č.4).
21
Carol, Alexander; Market Models: A Guide to Financial Data Analysis; strana 22 Tato citlivost se nazývá vega a její hodnoty jsou nejvyšší u at-the-money opcí. 23 Sinclair, Euan; Volatility Trading; strana 48 22
23
Graf 5.1: Vývoj implikovaných volatilit at-the-money call a put opcí, splatnost 19.3.2011 0.18 implikovaná volatilita call implikovaná volatilita put
Implikovaná volatilita
0.17 0.16 0.15 0.14 0.13 0.12
7.1.2011
14.1.2011
24.1.2011 Datum
31.1.2011
7.2.2011
14.2.2011
Zdroj: Vlastní animace; ivolatility.com Graf 5.1 popisuje vývoj implikovaných volatilit at-the-money put a call opcí s expirací 19.3.2011, což značí trhem očekávanou volatilitu podkladového aktiva během doby do splatnosti opcí. Z grafu lze také vypozorovat, že v období od 15-18. ledna 2011 trh začal očekávat vyšší cenu podkladového aktiva v době expirace opcí. Situace se změnila 29.1.2011 v očekávání poklesu ceny podkladového aktiva, kdy at-the-money put opce jsou relativně dražší, než at-the-money call opce. Tento poznatek později využiji při spekulaci na růst či pokles podkladového aktiva a ověřím správnost očekávání trhu.
5.2 Volatility smiles a volatility skews V předcházející části, jsem potvrdil, že při dosazování konstantní volatility do BlackScholesovy formule vyjde odlišná cena opce od tržní ceny opce. Opce na stejné podkladové aktivum s různými realizačními cenami mají různé implikované volatility. Empirickým sledováním těchto volatilit byly zjištěny určité tvary, které pro většinu podkladových aktiv platí. Implikovaná volatilita pro out-of-the-money opce je vyšší než pro opce, které jsou atthe-money. Black-Scholesova formule předpokládá pro podkladové aktivum Geometrický Brownův pohyb, který předpokládá konstantní volatilitu a normální rozdělení výnosů z podkladového aktiva. Pokud je však volatilita stochastickou veličinou nebo pokud výnosy z podkladového aktiva nemají normální rozdělení, vznikají pak diskrepance mezi modelovou a tržní cenou24. Náhlé výkyvy volatility můžou způsobit, že out-of-the-money opce se mohou snadněji dostat do zisku. Dále pokud výnosy podkladového aktiva jsou vychýleny 24
Carol, Alexander; Market Models: A Guide to Financial Data Analysis; strana 30
24
z normálního jako ve mnou zvoleném případě25, jsou samozřejmě také ovlivněny ceny opcí, které jsou out-of-the-money nebo in-the-money. A právě toto zjištění, že opce s určitou realizační cenou jsou relativně dražší, než opce s jinou realizační cenou nelze zahrnout do Black-Scholesovy formule jinak než jako zvýšená volatilita. Symetrický volatility smile a tedy symetricky rostoucí volatilita u OTM a ITM opcí je typická pro měnové opce na devizovém trhu. Volatility skew popisuje tvar s vyšší volatilitou u nižších realizačních cen a postupné klesání implikované volatility s rostoucí realizační cenou. Podle autorky Alexander Carol (2001) je volatility skew typický pro akcie a akciové indexy, tento předpoklad opět ověřím na zvolených datech. Tento fakt podpírá zejména těmito dvěma argumenty26: 1) Akciové trhy nejsou symetrické. Obecně lze říci, že u akcií je kladně brán pouze vzestup ceny akcie. Naopak je tomu na komoditním trhu, kdy pokles ceny určité komodity je brán pozitivně. ITM call opce jsou žádanější než OTM call opce, jsou sice dražší, ale méně rizikové. OTM put opce jsou žádanější než ITM put opce, protože se používají zejména jako zajištění proti poklesu. 2) Akciové trhy po prudkém pádu se stávají mnohem volatilnějšími než po stejně velkém růstu. Zvýšená volatilita zvyšuje cenu opcí a zejména pravděpodobnost, že se call opce opět vrátí do zisku.
1500
1450
1400
1375
1350
1325
1300
1275
1250
1225
1200
1175
1150
0.35 0.3 0.25 0.2 0.15 0.1 0.05 0 1100
Implikovaná volatilita
Graf 5.2: Volatility skew u call opcí (10.11.2011, splatnost 21.1.2012)
Realizační cena
Zdroj: Vlastní animace; ivolatility.com
25 26
Odhad střední hodnoty zlogaritmovaných výnosů indexu S&P500 za sledované období 2011 byl -0,45% Carol, Alexander; Market Models: A Guide to Financial Data Analysis; strana 31
25
Na grafu (5.2) je typický tvar implikované call opce se splatností 21.1.2012 ve vybraný obchodní den pro různé realizační ceny. Tvar křivky je klesající, až od určité realizační ceny implikovaná volatilita začíná velmi mírně růst. V drtivé většině případů se u opcí na akciový index S&P 500 vyskytoval útvar volatility skew. Pouze v sedmi případech z celkových 574 (246 obchodních dnů, 5 různých expirací)27 se u opcí vyskytoval útvar volatility smile (graf 5.3). Tento útvar jsem si při zjišťování definoval alespoň pěti rostoucími implikovanými volatilitami u opcí s realizačními cenami vyššími, než byla spotová cena (viz příloha č.5). Těchto sedm volatility smile se nacházelo pouze u opcí s kratší splatností než tři měsíce, což dále ověřím při modelování volatility surface. Graf 5.3: Implikovaná volatilita pro různé realizační ceny, 28.1.2011
Implikovaná volatilita
0.3 0.25 0.2 0.15 0.1 0.05 1500
1450
1400
1375
1350
1325
1300
1275
1250
1225
1200
1175
1150
1100
0
Realizační ceny
Zdroj: Vlastní animace; ivolatility.com Při růstu implikované volatility u opcí s vyššími realizačními cenami roste cena call opcí out-of-the-money a put opcí in-the-money, což může značit zvýšenou spekulaci na pokles podkladového aktiva během doby do splatnosti opce.
5.3 Volatility surface Sleduji-li vztah implikované volatility s realizačními cenami a dobami do splatnosti, dostanu trojrozměrný graf známý jako volatility surface. V tomto trojrozměrném grafu (5.4) je možno vidět rostoucí implikovanou volatilitu s rostoucí realizační cenou pouze u opcí s krátkodobou splatností. Volatility surface jsem modeloval 3.1.2011 pro implikované volatility opcí na akciový index S&P 500 ve třech níže uvedených splatnostech. 27
Ve všech obchodních dnech se neobchodovaly stejné splatnosti
26
Graf 5.4: Volatility surface (3.1.2011, splatnosti 19.3.2011, 18.6.2011 a 17.9.2011) 0.26
Implikovaná volatilita
0.24 0.22 0.2 0.18 0.16 0.14 257 0.12 1500 1450 1400 1375 1350 1325 1300 1275 1250 1225 1200 1175
166 1150 1100
75
Realizační cena
Doba do splatnosti (dny)
Zdroj: Vlastní animace; ivolatility.com
5.4 Predikce pomocí implikované volatility Jak jsem již zmínil dříve, na implikovanou volatilitu lze nahlížet jako na očekávanou průměrnou volatilitu během životnosti opce. Trh však nemůže mít tušení, jaká bude volatilita v budoucím období, a proto je implikovaná volatilita mnohdy ovlivněna aktuální situací na trhu. Dle autora McMillan, Lawrance G (2002) byla implikovaná volatilita na jím zkoumaných datech vyšší než ta historická (aktuální), a tudíž opce byly systematicky nadhodnocovány28. Historickou volatilitu lze porovnávat s implikovanou volatilitou. Měření historické volatility je však nutné provést za období zbývající životnosti opce. K porovnání jsem použil index VIX (CBOE Volatility Index), který zobrazuje očekávání trhu během následujících 30 dnů. VIX index je počítán z implikovaných volatilit krátkodobých call i put opcí pro různé realizační ceny na podkladové aktivum S&P 500.29 Původní VIX index byl počítán z indexu OEX a pouze pro at-the-money opce. Očekávaná volatilita během následujících 30 dnů jsem ex post ověřil s historickou volatilitou za toto období.
28 29
McMillan, Lawrance G.; Options as a Strategic Investment; strana 737 http://www.cboe.com
27
Graf 5.5: Porovnání implikované (VIX) a historické (aktuální) volatility 0.5 historická volatilita VIX
0.45 0.4
Volatilita
0.35 0.3 0.25 0.2 0.15 0.1
16.5.2011
28.6.2011
Zdroj: Vlastní animace; Reuters Thomson
10.8.2011 Datum
22.9.2011
3.11.2011
Z grafu 5.5 lze vyvodit, že očekávaná volatilita je ovlivňována aktuální volatilitou na trzích. Dne 28.6.–1.8.2011 se očekávána volatilita pohybovala v rozmezí 0,15-0,25. Ve skutečnosti však volatilita na trzích dosahovala hodnoty až 0,42, což se promítlo do trhem očekávané volatility S&P 500 na další měsíc. Od 11.8.2011 se volatilita na trzích ustálila, avšak implikovaná volatilita vykazuje stále vysoké hodnoty. Z čehož lze vyvodit závěr, že opce jsou nadhodnocené. Pokud by rozdíl mezi implikovanou a historickou volatilita osciloval kolem nuly, implikovanou volatilitu lze považovat jako dobrý prediktor budoucí volatility30. Z grafu 5.6 lze vypozorovat velké diskrepance mezi implikovanou a historickou volatilitou dosahujících hodnot 0,2. U opcí na S&P 500 z roku 2011 můžu udělat závěr, že implikovaná volatilita nebyla dobrým prediktorem budoucího vývoje volatility, čehož využiji u strategií spekulujících na budoucí volatilitu. Lze také říci, že implikovaná volatilita se pravidelně pohybuje nad historickou (aktuální) volatilitou. Dle autora Sinclar, Euan (2008)31 je nutné s tímto zásadním poznatkem dále pracovat. Tato systematická odchylka historické (aktuální) volatility a implikované (trhem očekávané) volatility značí vyšší skeptičnost opčního trhu, což je zahrnuto ve vyšší ceně opcí. Tento poznatek je možno také vidět na grafu 4.6. V situacích, kdy implikovaná volatilita je podstatně vyšší (v určitých situacích téměř dvojnásobná) než historická (aktuální), by bylo výhodné opce vypsat a inkasovat relativně vysokou opční prémii.
30 31
McMillan, Lawrance G.; Options as a Strategic Investment; strana 742 Sinclair, Euan; Volatility Trading; strana 42
28
Graf 5.6: Rozdíl implikované a historické volatility 0.2
Rozdíl volatility
0.1
0
-0.1
-0.2
16.5.2011
28.6.2011
10.8.2011 Datum
Zdroj: Vlastní animace; Thomson Reuters
29
22.9.2011
3.11.2011
6. OPČNÍ STRATEGIE Opční strategie se tvoří pro různé účely, jako jsou arbitráže, zajištění nebo spekulace32. Arbitráže jsem zjišťoval u put-call parity a spekulacemi se budu zabývat v celé této kapitole. Různou kombinací opcí a samotného podkladového aktiva lze vytvořit speciální výnosové křivky, a tedy odlišné druhy spekulací. Spekulovat je možné samozřejmě na vzrůst či pokles podkladového aktiva, ale také na sníženou či zvýšenou volatilitu. Při tvorbě těchto strategií uvažuji pouze evropské opce a předpokládám, že opce lze obchodovat v jakékoliv realizační ceně33. Dále zanedbávám poplatky, daně a obchodování přes maržový účet u brokera.
6.1 Spekulace na růst podkladového aktiva Tento typ spekulace je využíván, pokud očekávám silný růst podkladového aktiva, v mém případě indexu S&P 500. Pro dlouhou pozici je možno využít klasickou call opci, syntetickou call opci anebo méně agresivní strategii jakou je Bull spread, kterou se budu zabývat podrobněji. Vstup do strategie spekulující na vzestup ceny podkladového aktiva načasuji pomocí implikovaných volatilit at-the-money put a call opcí.
6.1.1 Syntetic call Syntetic Call strategie je spekulací na silný býčí trh a kombinuje put opci a podkladové aktivum. Syntetic call má identickou výnosovou křivku a vlastnosti jako klasická call opce. Liší se pouze tím, jak je tato výnosová křivka vytvořena. To, že call opci lze vyjádřit portfoliem, které je tvořeno dlouhou pozicí v put opci a dlouhou pozicí v podkladovém aktivu je využíváno hlavně při oceňování opcí. Tento vztah jsem již podrobněji vysvětlil v kapitole Put-Call parita.
6.1.2 Bull spread Tato strategie využívá dvou stejných opcí s různými realizačními cenami tak, že opce s nižší realizační cenou K1 je nakoupena a opce s vyšší realizační cenou K2 je vypsána (prodána). Strategie lze tedy vytvořit, jak z call opcí, tak z put opcí. Tyto opce mají stejnou splatnost. Jak již bylo zmíněno výše, Bull spread je možno vytvořit nákupem call opce s nižší realizační cenou, což je pro investora peněžní výdaj a prodejem (vypsáním) call opce s vyšší realizační cenou, což je peněžní příjem. Call opce s vyšší realizační cenou jsou vždy levnější než call opce s nižší realizační cenou, a proto je tedy strategie Bull spread (Call) spojena 32 33
Witzany, Jiří; Financial Derivatives and Market Risk Management; strana 98 Malkiel, Burton; Quandt, Richard; Strategies and Rational Decisions in the Securities Options Market
30
s počátečním záporným peněžním tokem34. Navíc nakupuji za cenu ASK a prodávám za cenu BID, a tudíž tento spread tvoří další, mnohdy nezanedbatelný, peněžní výdaj.
1325
zisk/ztráta 120 100 80 60 40 20 0 -20 -40 -60 -80
1225
Graf 6.1: Výnosová křivka Bull spread (3.1.2011, K1=1225, K2=1325, S0=1271,87)
St
Zdroj: Vlastní animace; ivolatility.com Z výnosové křivky (graf 6.1) lze vyvodit, že pokud se cena podkladového aktiva v době splatností opcí nachází pod nižší realizační cenou (ST ≤ K1), nacházím se ve ztrátě, kterou určím právě počátečními peněžními toky a tedy rozdílem mezi cenou vypsané a nakoupené call opce, což je náklad této strategie. Pokud se cena podkladového aktiva v době splatnosti opcí nachází mezi realizačními cenami call opcí (K1 ≤ ST ≤ K2), peněžní pozici lze kvantifikovat jako výnos z nakoupené call opce (ST - K1) po odečtení počátečního peněžního výdaje při tvoření této strategie. A konečně pokud se cena podkladového aktiva vyšplhá nad realizační cenu vypsané call opce (ST ≥ K2), strategie realizuje zisk, který se rovná rozdílu realizačních cen call opcí po odečtení počátečního peněžního výdaje zaplaceného při tvorbě této strategie. Tento zisk odvodím z následujícího výrazu: (ST – K1) – (ST – K2)35, kde první závorka výrazu představuje náš výnos z nákupu opce s realizační cenou K1 (právo koupit podkladového aktivum za cenu K1) a druhá závorka představuje povinnost, která plyne z vypsání call opce s realizační cenou K2 (povinnost prodat podkladové aktivum za cenu K2). 6.1 6.2
34 35
Hull, John; Options, futures and other derivatives 7th edition; strana 222 Výraz (ST – K1) – (ST – K2) platí pouze za předpokladu, kdy ST ≥ K2
31
Zisk u strategie Bull spread tvořené call opcemi je tedy generován pouze nakoupenou call opcí s realizační cenou K1, která je využita za předpokladu, že se spotová cena ST dostane nad úroveň realizační ceny K236. Maximální možný zisk z této strategie tvořené put opcemi je generován peněžním tokem z vypsané put opce, která nebude kupujícím využita za stejného předpokladu a tedy, kdy ST ≥ K2. Tvorba této strategie Bull spread-put je tedy spojena s kladným počátečním peněžním tokem, který je roven maximálnímu možnému výnosu.
6.3 6.4
Ztráta u této strategie tvořené put opcemi je kvantifikována jako rozdíl peněžního výdaje, který plyne z povinnosti odkoupit podkladové aktivum za předem stanovenou cenu K2 a peněžního příjmu, který plyne z možnosti prodat podkladové aktivum za cenu K1. K této ztrátě, podobně jako strategie tvořené call opcemi, je přičten počáteční peněžní příjem (rozdíl z vypsané a nakoupené put opce). Tento rozdíl bude vždy kladný, protože cena put opce s nižší realizační cenou K1 bude vždy nižší, než cena put opce s vyšší realizační cenou K237 Dále lze rozlišit tři typy bull spread strategií podle realizačních cen opcí38: 1) Obě opce jsou out-of-the-money 2) Jedna opce je out-of-the-money, druhá je in-the-money 3) Obě opce jsou in-the-money Bull spread s nejvyšším potencionálním ziskem je vytvořený ze dvou out-of-themoney opcí. Tyto opce jsou vždy levnější a je zde malá pravděpodobnost, že se spotová cena v době expirace opcí dostane nad úroveň realizační ceny K2 a tedy okamžik, kdy strategie dosahuje maximálního možného výnosu. Logicky, čím více jsou call opce hlouběji v out-ofthe-money, tím je strategie méně náročná na počáteční náklady strategie, čímž minimalizuji nejvyšší možnou ztrátu. Na druhou stranu však roste pravděpodobnost, že tato strategie bude ztrátová v době expirace opcí. Nejvíce konzervativní je naopak bull spread vytvořený z inthe-money opcí, o čemž svědčí umístění bodu zvratu vypovídající o tom, kdy se investor
36
Cohen, Guy; The Bible of Options Strategies; strana 99 put (S0, K1, T) < put (S0, K2, T); K2>K1 38 Hull, John; Options, futures and other derivatives 7th edition; strana 223 37
32
dostává do ztráty. Čím více jsou opce hlouběji in-the-money, tím níže se posunuje bod zvratu a tím méně je strategie rizikovější.
6.5
6.6
Pomocí rovnice 6.5 určím výsledný výnos či ztrátu ze strategie Bull spread, která je tvořena pomocí call opcí a rovnice 6.6 určí konečný výnos či ztrátu strategie tvořenou put opcemi. Těmito rovnicemi budu zjišťovat na mých datech výnosy této strategie.
6.2 Spekulace na pokles podkladového aktiva Pokud je mým předpokladem, že nastane tzv. „medvědí“ trend zaujmu krátkou pozici v samotném podkladovém aktivu, koupit put opci, syntetickou put opci anebo vytvořit konzervativnější strategii zvanou Bear spread. Poslední jmenovanou strategii rozeberu podrobněji a opět budu její výnosnost testovat na reálných datech.
6.2.1 Syntetic put Rovněž jako call opci, tak i put opci lze vytvořit portfoliem, které se skládá z krátké pozice v podkladovém aktivu a z dlouhé pozice call opce a uložení peněžních prostředků vyjádřené spojitě odúročenou realizační cenou opce.
6.2.2 Bear spread Podobně jako Bull spread, tak i tato strategie je tvořena pomocí dvou opcí se stejnou splatností a s různými realizačními cenami. K vytvoření této strategie lze využít jak call opce, tak put opce. Na rozdíl od Bull spread, opce s nižší realizační cenou K1 je vypsána a opce s vyšší realizační cenou K2 je koupena39. Nejdříve popíši Bear spread tvořený put opcemi. U put opcí platí, čím menší je realizační cena, tím je cena put opce nižší, jelikož vnitřní hodnota put opce je rovna rozdílu 39
Cohen, Guy; The Bible of Options Strategies; strana 95
33
realizační a spotové ceny (K-S0) a proto Bear spread put je spojen se záporným počátečním peněžním tokem, tedy s nákladem plynoucím z vytvoření této strategie. Opak platí u Bear spread call, kde počáteční peněžní toky jsou kladné, protože call opce s nižší realizační cenou K1, která je vypisována, má vyšší hodnotu. Tento kladný peněžní tok je však snížen o BIDASK spread, což je rozdíl mezi nákupní a prodejní cenou.
1325
Zisk/ztráta 120 100 80 60 40 20 0 -20 -40 -60 -80
1225
Graf 6.2: Výnosová křivka Bear spread (3.1.2011, K1=1225, K2=1325, S0=1271,87)
ST
Zdroj: Vlastní animace; ivolatility.com Výnosovou křivku Bear spread (Graf 6.2) je možné rovněž jako Bull spread rozdělit na 3 části podle výše ceny podkladového aktiva v době expirace opcí. Cena ST může být menší než realizační cena K1, může být větší než realizační cena K1 a zároveň menší než realizační cena K2 anebo nad úrovní realizační ceny K2. Z výnosové křivky je patrné, že pokud je cena podkladového aktiva v době splatnosti opcí nižší než realizační cena K1 (ST ≤ K1), strategie realizuje maximální možný zisk, který se rovná rozdílu realizačních cen po odečtení nákladu na vytvoření této strategie40.
6.7 6.8 Pokud pro cenu podkladového aktiva platí (K1 ≤ ST ≤ K2), výnos ze strategie lze kvantifikovat jako rozdíl realizační ceny K2 a ceny podkladového aktiva v době expirace opcí po odečtení nákladů na vytvoření strategie (K2-ST-náklady strategie). Je to situace, kdy vypsaná put opce s realizační cenou K1 má nulovou vnitřní hodnotu a koupená put opce 40
McMillan, Lawrance G.; Options as a Strategic Investment; strana 330
34
s realizační cenou K2 má vnitřní hodnotu K2-ST. Ztráta rovnající se nákladu na vytvoření strategie vznikne, pokud se cena podkladového aktiva ST vyšplhá nad úroveň realizační ceny K2. Bear spread lze tedy vytvořit i pomocí call opcí. Výnosové křivky jsou stejné, avšak je zde rozdíl při počáteční tvorbě strategie, která je spojena s kladným peněžním příjmem. Pokud se tento peněžní příjem nerovná současné hodnotě rozdílu realizačních cen, je zde možná arbitráž.
6.9
6.10
6.3 Spekulace na „nepokles“ podkladového aktiva Tento druh spekulace je možno použít při zajištění proti stagnaci podkladového aktiva. Strategie covered call writing se používá, když je investor přesvědčen, že cena podkladového aktiva nebude klesající. Tento pokles by mohl způsobit neomezené ztráty, zatímco zisk z této strategie je omezen. Identickou výnosovou křivku jako Covered call writing má vypsaná prodejní opce. Obdobnou strategií je Ratio put spread. U této strategie však lze dosáhnout maximální zisk pouze, když cena podkladového aktiva stagnuje. Strategie Ratio put spread také nese riziko neomezené ztráty při poklesu ceny podkladového aktiva. U všech strategií porovnám počáteční náklady, maximální možný výnos a bod zvratu při určitých realizačních cenách.
6.3.1 Covered call writing Strategie covered call writing se skládá z vypsání call opce k současné držbě několika jednotek podkladového aktiva. Tato strategie má za účel snižovat rizikovost z držby aktiva. I přesto, že tyto dvě uzavřené pozice mají zcela opačný spekulační charakter, tato strategie je používána jako spekulace na „nepokles“ podkladového aktiva, což je zapříčiněno zejména okamžitým ziskem z vypsání opce.
35
Ztráta z poklesu podkladového aktiva je kryta pouze do výše opční prémie, kterou investor obdrží při vypsání opce (obdrží BID cenu opce)41. Pokud tedy podkladové aktivum poklesne více, než je opční prémie, investor se nachází ve ztrátě. Za situace, kdy cena podkladového aktiva stagnuje, strategie realizuje zisk ihned, což je opět díky získané opční prémii. Celkový výnos z této strategie je logicky omezen, jelikož při růstu ceny podkladového aktiva roste nejen zisk z držby aktiva, ale také roste vnitřní hodnota vypsané opce, kterou je nutné při expiraci uhradit. Maximální možný výnos se tedy odvíjí od spotové ceny podkladového aktiva v čase 0, nikoliv od jeho ceny v budoucnosti v čase T, což plyne z následujícího poznatku. Zisk z držby aktiva je roven ∆S, tedy ST-S0 a zisk z vypsání call opce je v podobě opční prémie. Závazek plynoucí z vypsání call opce je poté roven rozdílu spotové ceny v čase T a realizační ceny. Maximální možný výnos vychází z této rovnice STS0+OP-max(ST-K,0). Po úpravě docházím k následujícím rovnicím maximálního možného výnosu a bodu zvratu.
6.11 6.12
Maximální možný výnos je vždy zajištěn, pokud ST ≥ S0 a zároveň pokud ST ≥ K. Po dalším rozebrání této rovnice si můžu jednoduše vyvodit, že maximální možný výnos při vypisování call opce in-the-money nebo at-the-money je roven pouze časové hodnotě opce. Opční prémie, jak jsem již předeslal, se skládá z vnitřní hodnoty opce a z časové hodnoty opce. Časová hodnota opce je tedy rovna rozdílu opční prémie a vnitřní hodnoty opce. Vnitřní hodnota call opce, tedy arbitrážní zisk, je roven rozdílu spotové a realizační ceny v čase 0. Pokud je tento rozdíl záporný, vnitřní hodnota je rovna nule. Po úpravě tedy dostávám rovnici 5.13.
MMV(in-the-money/at-the-money) =
6.13
Čím více je opce in-the-money, tím je maximální možný výnos nižší, avšak tím nižší je riziko, že se tato strategie dostane pod spodní bod zvratu a tedy do ztráty. Přesně opačné vlastnosti této strategie, tedy vyšší maximální možný výnos a nižší spodní bod zvratu (vyšší 41
McMillan, Lawrance G.; Options as a Strategic Investment; strana 47
36
riziko), jsou zajištěny při vypsání opce out-of-the-money. Rovněž zde platí, čím více jsou vypisované opce mimo peníze, tím vyšší je maximální možný výnos a spodní bod zvratu. Obecně lze říci, že atraktivní vlastností této strategie je zejména nižší volatilita v porovnání se samotným podkladovým aktivem, což je kompenzováno omezenou ziskovostí. Pokud se podkladové aktivum vyvíjí opačným směrem, než je žádoucí, je nutné udělat nějaká následná opatření, která budou tuto ztrátu minimalizovat. Jak, jsem již zmínil dříve, riziko ztráty u této strategie není nijak omezené, což může způsobit velké ztráty. Nejjednodušším opatřením je uzavření celé pozice při poklesu ceny podkladového aktiva na určitou úroveň, kterou je možné stanovit technickou analýzou (např. hranice supportu). Uzavření pozice na základě hranice supportu však považuji za nepříliš vhodné. Daleko spolehlivějším opatřením proti poklesu podkladového aktiva je tzv. „rolování“, kdy dříve vypsanou opci lze uzavřít protipozicí. V tomto případě je pozice uzavřena po nakoupení call opce se stejnou realizační cenou a stejnou splatností a následným vypsání další call opce s nižší realizační cenou a popřípadě s delší splatností. Podle autora Lawrance G. McMillan (2002) by toto opatření mělo nejpozději být provedeno při poklesu ceny podkladového aktiva na spodní bod zvratu, který je určen prvotním vypsáním call opce42. Toto tzv.„rolování“ snižuje riziko ztráty za cenu nižšího maximálního možného výnosu z této strategie. Spodní bod zvratu je totiž vypsáním call opce s nižší realizační cenou posunutý níže, tím pádem se stejným směrem posunuje celá výnosová křivka strategie, což zároveň zvýší zisk v případě, že by se již cena podkladového aktiva stabilizovala a zůstala nezměněná.
6.3.2 Ratio put spread Tato strategie je určena pro neutrální či lehce medvědí trend podkladového aktiva. Ratio put spread lze vytvořit nákupem určitého počtu put opcí s vyšší realizační cenou K2 a prodejem (vypsáním) vyššího počtu put opcí s nižší realizační cenou K1. Poměr koupených a prodaných put opcí určím na základě vlastního uvážení, nejčastější je však ratio 2:1. Ratio put spread má omezený maximální možný výnos při poklesu ceny podkladového aktiva43 na nižší realizační cenu K1 a neomezenou potencionální ztrátu při poklesu ceny pod úroveň spodního bodu zvratu. Maximální možný zisk investor dosahuje, když ST=K1. Vnitřní hodnota nakoupené put opce v době expirace je rovna K2-K1 a vnitřní hodnota vypsané put opce je rovna K1-K1, což je rovno nule.
42 43
McMillan, Lawrance G.; Options as a Strategic Investment; strana 71 Tento předpoklad platí pouze, když jsou počáteční peněžní toky kladné
37
44
6.14
Celkový zisk poté závisí na počátečních peněžních tocích při sestavování této strategie. Pokud rozdíl z vypsání a nákupu put opcí byl kladný, přičtu jej k maximálnímu možnému zisku, pokud je tento rozdíl záporný, logicky jej odečtu. Já se však v této části zabývám spekulací na “nepokles” podkladového aktiva a tudíž budu uvažovat, že počáteční peněžní toky jsou kladné. Tuto podmínku formuluji do následující rovnice 6.15: 6.15
kde x je počet vypsaných put opcí a y je počet nakoupených put opcí. Neznámé x a y jsou celá čísla a x je vždy větší než y (x>y). Zjednodušeně by mohl být výraz v první hranaté závorce napsaný jako cena BID put opce se splatností T a realizační cenou K1 a výraz v druhé hranaté závorce jako cena ASK put opce se stejnou splatností T a realizační cenou K2. Takto vytvořená strategie tedy nemá žádný horní bod zvratu45, protože pokud se v době splatnosti T cena podkladového aktiva ST nachází nad realizační cenou K2, tak všechny vypsané i koupené put opce mají nulovou hodnotu a strategie generuje zisk rovnající se počátečním peněžním tokům. Graf 6.3: Výnosová křivka Ratio put spread (3.1.2011, K1=1275, K2=1300, S0=1271,87)
1300
ST 1275
zisk/ztráta 120 100 80 60 40 20 0 -20 -40 -60 -80 -100
Zdroj: Vlastní animace; ivolatility.com
44 45
McMillan, Lawrance G.; Options as a Strategic Investment; strana 359 Horní bod zvratu = počáteční peněžní toky
38
Spodní bod zvratu bude záviset zejména na maximálním možném výnosu, který je vydělený rozdílem vypsaných a nakoupených put opcí (x-y)46. 6.16
Vlastnosti této strategie lze upravit právě poměrem vypsaných a koupených put opcí. Tyto vztahy podrobněji rozeberu u strategie Ratio call spread. Stejně jako Ratio call spread lze převést na strategii Bull spread, tak i Ratio put spread lze převést na Bear spread. Vyrovnání poměru na 1:1 a tedy dokoupením určitého počtu put opcí zajistím stejnou výnosovou křivku, jakou má dříve popisovaná strategie Bear spread. Při poklesu ceny podkladového aktiva může být v zájmu investora vyrovnat poměr nakoupených a vypsaných put opcí, a tím uzavřít riziko neomezené ztráty.
6.17
Celkový výnos této strategie kvantifikuji podobně jako u strategie Bear spread s tím rozdílem, že v Ratio put spread je rozdílný počet vypsaných a koupených put opcí. Výsledkem je tedy vnitřní hodnota nakoupených put opcí v době expirace T po odečtení ASK ceny put opcí při jejím pořízení, což je finální hodnota práva prodat podkladové aktivum. Od této hodnoty put opcí, které investor drží, se odečte hodnota závazku, a tedy povinnosti odkoupit podkladové aktivum, které je oceněno vnitřní hodnotou put opcí v době expirace T po odečtení BID ceny put opcí obdrženou při jejím prodeji v čase 0.
6.4 Spekulace na „nerůst” ceny podkladového aktiva Spekulace na “nerůst” ceny podkladového aktiva v sobě zahrnuje neutrální očekávání. Tento druh spekulace použiji pouze za situace, kdy nepředpokládám v následujícím období růst ceny podkladového aktiva, a tedy očekávám stagnaci anebo mírný medvědí trh. V této části se budu zabývat zejména strategiemi Covered put writing a Ratio call spread.
46
McMillan, Lawrance G.; Options as a Strategic Investment; strana 359
39
6.4.1 Covered put writing Strategií Covered put writing se zde zabývám pouze okrajově, protože hlavní princip, jak tato strategie funguje, jsem již uvedl u strategie Covered call writing. Uvedu pouze pár odlišností. Strategie se sestavuje z krátké pozice podkladového aktiva (prodej na krátko) a z vypsané put opce. Pokud je poměr 1:1, pak výnosová křivka této strategie má totožný tvar jako vypsaná call opce. V této strategii je tedy krátká pozice v podkladovém aktivu kryta vypsanou put opcí. Výsledný efekt této strategie při různých scénářích popíši v následujícím odstavci. Pokud je spotová cena ST nižší nebo rovna než realizační cena K put opce, investor realizuje zisk, který je roven ceně BID put opce při prodeji této opce (opční prémie). Pokud je spotová cena ST vyšší než realizační cena K, tak bod zvratu je určen rozdílem spotové a realizační ceny po přičtení obdržené opční prémie. Maximální možný výnos této strategie je určen následující rovnicí 6.18.
6.18
Rizikovost této strategie, podobně jako u Covered call writing, závisí na realizační ceně vypisované put opce47. Čím více je put opce out-of-the-money, tím je realizační cena nižší a maximální možný výnos roste, protože je nepravděpodobné, že se put opce dostane do “peněz”. Naopak, čím více je opce in-the-money, tím je tato strategie méně riziková (horní bod zvratu je výš), avšak maximální možný výnos je nižší s rostoucí realizační cenou.
6.4.2 Ratio call spread Ratio call spread je neutrální strategií, kterou vytvořím koupí call opcí s nižší realizační cenou K1 a prodejem (vypsáním) většího počtu call opcí s vyšší realizační cenou K2. Nejčastější poměr koupených a prodaných call opcí je opět 2:1. Nejvyšší možný zisk strategie investor obdrží za situace, kdy cena podkladového aktiva v době expirace ST je rovna realizační ceně K2, a tedy při mírném růstu podkladového aktiva. Pokud tato situace nastane, tak vnitřní hodnota vypsané call opce v době expirace je nulová a proto investor inkasuje celou časovou hodnotu put opce, kterou obdržel při tvoření této strategie. Vnitřní hodnota koupené call opce při expiraci je rovna rozdílu K2 - K1 za situace, kdy ST = K2. Od této vnitřní hodnoty je však nutné odečíst vnitřní a časovou hodnotu opce při sestavování této strategie (cena koupené call opce).
47
Stejný vztah realizační ceny a rizikovosti platí u Covered call writing
40
6.19
Existuje několik druhů strategie Ratio call spread, já se však budu zabývat typem, kdy při poklesu podkladového aktiva strategie generuje určitý výnos a tedy situace, kdy rozdíl počátečních peněžních toků při sestavování strategie je kladný. Tuto podmínku lze sepsat následující nerovnicí x*call(S0, K2, T) – y*(S0, K1, T) > 0; x>y a zároveň x a y jsou celé čísla. Kde x je počet vypsaných call opcí a y je počet nakoupených call opcí. Výraz v první závorce vyjadřuje aktuální BID cenu vypsané call opce s realizační cenou K2, zatímco výraz v druhé závorce určuje aktuální ASK cenu koupené call opce s realizační cenou K1.
ST
1275
zisk/ztráta 120 100 80 60 40 20 0 -20 -40 -60 -80 -100
1250
Graf 6.4: Výnosová křivka Ratio call spread (3.1.2011, K1=1250, K2=1275, S0=1271,87)
Zdroj: Vlastní animace; ivolatility.com Takto sestavená strategie nemá žádné riziko při poklesu ceny podkladového aktiva pod realizační cenu K1. Neexistuje tedy žádný spodní bod zvratu, protože při daném poklesu pod realizační nižší cenu K1 strategie generuje zisk, který je určen právě počátečními peněžními toky při sestavování strategie. Horní bod zvratu určuje okamžik, kdy se investor dostává do ztráty při růstu ceny podkladového aktiva a je vyjádřen jako součet vyšší realizační ceny K2 a maximálního možného zisku vydělený rozdílem počtu vypsaných a nakoupených call opcí (x-y). 6.20
Při tvorbě této strategie se investor tedy rozhoduje, jaký bude poměr vypsaných a koupených opcí. Čím vyšší ratio (podíl počtu vypsaných a nakoupených call opcí) je 41
vytvořeno, tím si investor zajistí vyšší zisk za situace, kdy podkladové aktivum poklesne, avšak zároveň zvýší riziko ztráty při vzestupu ceny podkladového aktiva. Naopak čím nižší ratio, tím je bod zvratu posunut výš, čímž je omezeno riziko ztráty při růstu ceny podkladového aktiva, ale na druhou stranu je snížen potencionální výnos (resp. zvýšena potencionální ztráta při jejím poklesu). Ratio této strategie lze v průběhu upravovat. Jedná se o podobná následná opatření, která jsem popisoval u Covered call writing. Pokud se situace nevyvíjí podle představ investora a cena podkladového aktiva roste, je možné dokoupit call opce, tudíž ratio strategie snížit na poměr 1:1 a tím uzavřít riziko neomezené ztráty. Za této situace, kdy se počet vypsaných opcí (x) rovná počtu nakoupených opcí (y), už není obchodována strategie Ratio call spread, ale strategie Bull spread. Jen pro připomenutí, strategie Bull spread se vytvoří vypsáním call opce s vyšší realizační cenou K2 a koupí call opce s nižší realizační cenou K1. Počet opcí, rovnající se (x-y), nemusí být však nakoupen v jeden časový okamžik. Pokud stále převládá na trzích optimismus a investor vyčkává až do poslední chvíle, kdy cena podkladového aktiva dosáhne na spodní bod zvratu, nakupované call opce by již byly relativně drahé. K rozhodování, za kolik dokoupit call opce k dorovnání poměru na 1:1 slouží bod zlomu nákladů call opcí. Tato rovnice tedy určí maximální cenu, za jakou je možné dokoupit další call opce k převedení strategie Ratio call spread na strategii Bull spread.
6.21
Tuto rovnici lze využít i pro postupné dokupování call opcí, avšak do této rovnice dosadím vždy změněné počáteční toky a počet vypsaných nekrytých call opcí po dokoupení určitého počtu call opcí. Vypočítám tedy vždy novou maximální cenu pro dokoupení zbylých call opcí, podle které se budu rozhodovat při dalším vzestupu ceny podkladového aktiva. Celkovou výnosnost této strategie můžu kvantifikovat podobně jako u strategie Bull spread s tím rozdílem, že zde není totožný počet vypsaných a nakoupených call opcí.
6.22
42
Kde y je počet koupených call opcí, x je počet vypsaných call opcí, pro něž platí: x>y a zároveň x,y jsou celá čísla.
6.5 Spekulace na neutrální očekávání Tento typ spekulace je používán, pokud investor očekává stagnaci v ceně podkladového aktiva. Spekuluji tedy na období bez výraznějšího trendu a i přesto v tomto období je možné vydělat. K tomu mi dopomáhají strategie, které v této kapitole rozeberu podrobněji. Strategie rozdělím do dvou skupin, a to strategie s omezeným rizikem ztráty a strategie s neomezeným rizikem ztráty. Do strategií s omezeným rizikem ztráty patří Long Butterfly spread a Calendar spread, které budou hlavním předmětem této kapitoly. Mezi strategie s neomezeným rizikem patří například Short Straddle a Short Strangle. Tyto dvě strategie, avšak se zrcadlově obrácenými výnosovými křivkami, rozeberu podrobněji v kapitole „Spekulace na zvýšenou volatilitu“, což je jejich hlavní využití.
6.5.1 Long Butterfly spread Strategie Butterfly spread se sestavuje pomocí čtyř opcí s třemi různými realizačními cenami. Je to vlastně kombinace strategií Bull spread a Bear spread. Strategie se používá, pokud je investorovým očekáváním stagnace podkladového aktiva. Tato strategie může být sestavena call opcemi, put opcemi anebo kombinací obou. Strategie je poměrně náročná na poplatky, a to právě kvůli tomu, že se tvoří ze čtyř opcí. Já se budu v mém případě zabývat pouze strategií Butterfly spread, která je sestavená dvěmi call opcemi a dvěmi put opcemi. Vlastním tedy jedno právo na nákup podkladového aktiva za vyšší realizační cenu K3, jedno právo na prodej podkladového aktiva za nižší realizační cenu K1 a zároveň mám povinnost podkladové aktivum odkoupit a povinnost podkladové aktivum prodat za realizační cenu K2. Strategii lze vytvořit nákupem put opce s realizační cenou K1, vypsáním call a put opce s realizační cenou K2 a nákupem call opce s realizační cenou K348. Spotová cena podkladového aktiva se rovná realizační ceně K2. Z toho plyne, že put opce s realizační cenou K1 je out-of-the-money, call a put opce s realizační cenou K2 je at-the-money a call opce s realizační cenou K3 je out-of-the-money. Počáteční peněžní toky jsou tedy rovny BID ceně call opce a put opce s realizační cenou K2, po odečtení ASK ceny put opce s realizační cenou K1 a ASK ceny call opce s realizační cenou K3. Je zřetelné, že tyto počáteční peněžní toky, které plynou z vytvoření strategie Butterfly spread, budou kladné. 48
Hull, John; Options, futures and other derivatives 7th edition; strana 227
43
6.23
Pokud bych Butterfly spread sestavil pouze z call opcí, počáteční peněžní toky by byly záporné. Vypsal bych sice dvě call opce at-the-money, ale koupil bych call opci in-the-money s realizační cenou K1, u které hradím nejenom časovou hodnotu, ale i arbitrážní zisk této opce49. Je sice pravda, že čím více je opce in-the-money, tím má nižší časovou hodnotu, ale cena opce naopak roste, a to kvůli vnitřní hodnotě opce. Graf 6.5: Výnosová křivka Long Butterfly spread (3.1.2011, K1=1225, K2=1275, K3=1325, S0=1271,87) zisk/ztráta 80 60 40 20 0 -20 -40 -60 -80 -100
ST
1225
1275
1325
Zdroj: Vlastní animace; ivolatility.com Strategie Long Butterfly spread je kombinací strategií Bull spread put a Bear spread call (obě strategie jsou příjmové)50. Z výnosové křivky (obr. 6.5) je možno vyvodit následující poznatky. Pokud se spotová cena ST v době expirace T nachází pod nejnižší realizační cenou K1, strategie je ve ztrátě, která je rovna zisku z nakoupené put opce, ze závazku z vypsané put opce a z počátečních peněžních příjmů z call opcí, protože koupené i vypsané call opce mají nulovou hodnotu51. Ztráta z vypsané put opce je vyšší, než zisk z koupené put opce, protože vypsaná put opce má vyšší realizační cenu K2. Pokud se cena podkladového aktiva ST v době expirace nachází nad úrovní realizační ceny K3, strategie generuje opět ztrátu. Všechny put opce v této strategii (koupené i vypsané) mají nulovou hodnotu, proto ztrátu lze kvantifikovat podobně jako v předchozím případě s tím rozdílem, že vypsaná call opce generuje vyšší 49
Vnitřní hodnota opce Cohen, Guy; The Bible of Options Strategies; strana 37 51 max(ST-K2;0) + max(ST-K3;0); ST< K1
44
ztrátu, než je zisk z koupené call opce, protože call opci jsem vypsal za nižší realizační cenu K2. Za předpokladu, že se realizační cena K2 nachází přesně uprostřed zbylých dvou realizačních cen52, je v obou výše zmíněných případech stejná ztráta. 6.24
Dále odvodím, proč je maximální možný zisk dosažen za situace, kdy ST = K2 a rovněž jej kvantifikuji. Cena podkladového aktiva tedy zůstala během doby do splatnosti opcí nezměněná. V tomto případě je celkový zisk ze strategie Long Butterfly spread roven počátečním peněžním tokům, jelikož všechny opce v době splatnosti mají nulovou hodnotu. Jak jsem již předznamenal dříve, vypsané opce s realizační cenou K2 jsou at-the-money, a tudíž tyto opce mají nejvyšší časovou hodnotu (dostatečně hradí náklady nakoupených out-ofthe-money opcí). Čím více jsou nakoupené opce out-of-the-money, tím je maximální možný zisk z této strategie vyšší, protože nakoupené opce mají nižší hodnotu. Zároveň však s posunutím opcí do out-of-the-money roste riziko strategie (roste maximální možná ztráta). 53 54
6.25 6.26
Spodní bod zvratu, a tedy situaci, kdy se strategie dostává do ztráty při poklesu ceny podkladového aktiva, lze určit jako minimální cenu podkladového aktiva, která v době expirace T tvoří takovou vnitřní hodnotu vypsané put opce, která je rovna počátečním peněžním tokům. Ostatní opce mají nulovou hodnotu. Lze zapsat do rovnice, kterou jednoduše upravím na známou rovnici Spodního bodu zvratu (rovnice 6.28). 6.27 6.28
Podobným způsobem lze odvodit Horní bod zvratu. Všechny opce mají nulovou hodnotu vyjma vypsané call opce s realizační cenou K2, strategie má nulový výnos, pokud závazek z vypsané call opce je roven počátečním peněžním tokům.
52
Platí . Tato podmínka je brána v potaz již při tvorbě strategie. McMillan, Lawrance G.; Options as a Strategic Investment; strana 337 54 Za předpokladu, že implikovaná volatilita je stejná u at-the-money call i put opcí 53
45
6.29
6.30
6.5.2 Calendar spread U všech strategií jsem doposud uvažoval, že opce mají stejnou splatnost. U strategie Calendar spread opce mají stejnou realizační cenu, avšak různou splatnost. Tuto strategii lze vytvořit prodejem call opce s určitou dobou do splatnosti T a koupí call opce s delší dobou do splatnosti T+n a stejnou realizační cenou K55. Calendar spread je spojen s počáteční investicí, protože kupovaná opce s delší dobou do splatnosti je rozhodně dražší, v případě, že ostatní vlastnosti opce jsou stejné56. U této strategie je předpokladem prodej call opce s dlouhodobější splatností v den expirace krátkodobější call opce. Pokud investor spekuluje na neutrální spekulaci, očekává stagnaci v ceně podkladového aktiva. Realizační cenu proto zvolím, co nejblíže spotové ceně podkladového aktiva. Graf 6.6: Výnosová křivka Calendar spread (3.1.2011, K=1275, T=0,2083, T+n=0,4611, S0=1271,87)
80 30 -20
1275
-70 -120
Zdroj: Vlastní animace; ivolatility.com
55 56
Hull, John; Options, futures and other derivatives 7th edition; strana 228 call(S,K,T) < call(S,K,T+n)
46
Nyní rozeberu určité situace vyplívající z výnosové křivky (Graf 6.6), které mohou nastat v době expirace krátkodobější call opce. Jestli nastane výrazný pokles podkladového aktiva, hodnota krátkodobější call opce v době expirace je nulová a hodnota dlouhodobější opce v čase T je velmi blízko nule. Nelze říci, že je roven nule, protože hodnotu této opce tvoří časová hodnota, záleží však na tom jak moc je opce out-of-the-money. Celková ztráta z této strategie je poté rovna počátečním nákladům po odečtení časové hodnoty dlouhodobější opce. Čím více je dlouhodobější opce out-of-the-money, tím více celková ztráta konverguje k počátečním nákladům strategie. Dále budu uvažovat, že nastane růst ceny podkladového aktiva. V době expirace krátkodobější opce určím vnitřní hodnotu této opce, kterou mám povinnost uhradit kupujícímu této opce (časová hodnota je nulová). Zároveň určím cenu dlouhodobější opce, která má stejnou vnitřní hodnotu a nenulovou časovou hodnotu. Celková ztráta je opět určena počátečním peněžním nákladem po odečtení časové hodnoty dlouhodobější opce. Několikrát jsem již uvedl, že časová hodnota opce at-the-money je nejvyšší. Tudíž vždy, když obě call opce nejsou v době expirace krátkodobější opce at-the-money, investor nerealizuje maximální výnos. Calendar spread lze stejným způsobem vytvořit i z put opcí. Jsou zde však určité odlišnosti v tom, kdy se investor dostává do ztráty. Časová hodnota klesá pomaleji, když je opce stále více in-the-money, než když je opce stále více out-of-the-money. Proto pokud vytvořím Calendar spread pomocí call opcí, dostávám se do ztráty pomaleji při růstu ceny podkladového aktiva, než při jejím poklesu. Naopak pokud Calendar spread tvořím pomocí put opcí, do ztráty se dostávám pomaleji při poklesu podkladového aktiva, než při jeho růstu.
6.31
6.5.3 Short Straddle, Short Strangle Jak již bylo zmíněno výše, těmto dvěma strategiím nebude v této kapitole věnováno tolik prostoru. Strategie jsou poněkud rizikovější ve srovnání s Long Butterfly spread a Calendar spread. S vyšším rizikem logicky roste vyšší maximální možný zisk.
47
Sestavení strategie Short Straddle je velice jednoduché. Prodejem at-the-money (K1=S0=K2) call i put opce s poměrně krátkou dobou expirace (měsíc a méně)57 vytvořím strategii s kladnými počátečními peněžními toky. Vytvoření krátkodobé strategie je právě z důvodu neomezeného rizika ztráty. Maximální možný výnos se tedy skládá z časových hodnot vypsaných opcí. Do ztráty se investor dostává, jakmile vnitřní hodnota jedné z opcí je vyšší než časové hodnoty obou opcí 6.32
Strategie Short Strangle je velmi podobná strategii Short Straddle. Rozdíl je v tom, že nevypisuji opce at-the-money, ale out-of-the-money (K1<S0
6.6 Spekulace na zvýšenou volatilitu Ve strategiích na tento typ spekulace je investorovi zcela jedno, zda cena podkladového aktiva roste nebo klesá, ale tento pohyb musí být výrazný. Spekulace na zvýšenou volatilitu je vhodná před nějakou trhem očekávanou makroekonomickou zprávou či před zveřejněním výsledků hospodaření59. Časová hodnota opce během posledního měsíce klesá exponenciálně, což je důvod, proč volím delší časový horizont doby do splatnosti opce než jeden měsíc. Strategie Straddle a Strangle mají neomezené maximální výnosy a omezené riziko ztráty.
6.6.1 Straddle Opční strategie zvaná Straddle je nejjednodušší strategie používaná ke spekulaci na výrazný pohyb v ceně podkladového aktiva. Strategii sestavím současným nakoupením nákupní a prodejní opce na určité podkladové aktivum se stejnou realizační cenou a stejnou dobou do splatnosti. Realizační cena nakoupených opcí by měla být, co nejblíže spotové ceně podkladového aktiva v době sestavování strategie60. Tato strategie má neomezený ziskový potenciál v jakémkoliv směru pohybu podkladového aktiva a zároveň má omezené riziko potencionální ztráty. Nejvyšší možná ztráta lze vyčíslit jako počáteční peněžní výdaj při tvorbě strategií. 6.33
57
Cohen, Guy; The Bible of Options Strategies; strana 177 Realizační ceny opcí jsou dále od sebe, čímž rozšíříme vzdálenost mezi spodním a horním bodem zvratu. 59 Cohen, Guy; The Bible of Options Strategies; strana 120 60 McMillan, Lawrance G.; Options as a Strategic Investment; strana 282 58
48
Pokud se cena podkladového aktiva v době expirace opcí nachází na úrovni ceny podkladového aktiva S0 strategie generuje maximální možnou ztrátu. Body zvratu lze odvodit z výnosové křivky (Graf 6.7). Graf 6.7: Výnosová křivka Straddle (3.1.2011, K=1275, S0=1271,87, splatnost: 19.3.2011) zisk/ztráta 140 120 100 80 60 40 20 0 -20 -40 -60 -80 -100
ST
1275
Zdroj: Vlastní animace; ivolatility.com
Při investici do této strategie se investor dostává do zisku, jakmile jedna z nakoupených opcí pokryje počáteční náklady strategie. 6.34 6.35
6.6.2 Strangle Tato strategie je velmi podobná výše zmíněné strategii Straddle s rozdílem, že obě nakoupené call a put opce se nachází out-of-the-money, čímž vytvořím levnější strategii avšak s vyšším rizikem ztráty, než je Straddle. Pokud se cena podkladového aktiva nachází v době expirace opcí mezi realizačními cenami K1 a K2, investor realizuje maximální možnou ztrátu61. 6.36
61
McMillan, Lawrance G.; Options as a Strategic Investment; strana 289
49
Straddle se tedy vytvoří z call opce s realizační cenou vyšší než spotová cena podkladového aktiva a z put opce s realizační cenou nižší než spotová cena podkladového aktiva. Obě nakoupené opce mají stejný datum expirace. Strategie je rizikovější z důvodu posunutí bodů zvratu dál od spotové ceny podkladového aktiva. Horní bod zvratu je roven vyšší realizační ceně K2 po přičtení nákladů strategie a spodní bod zvratu je roven nižší realizační ceně K1 po odečtení nákladů strategie. Graf 6.8: Výnosová křivka Straddle (3.1.2011, K1=1250, K2=1300, S0=1271,87, splatnost: 19.3.2011) zisk/ztráta 100 80 60 40 20 0 -20 -40 -60 -80 -100
1250
1300
ST
Zdroj: Vlastní animace; ivolatility.com
6.37
Pokud za realizační ceny K1, K2 dosadím jednotnou realizační cenu K, rovnice pro výnos strategie Strangle bude platit i pro strategii Straddle.
50
7 APLIKACE A VYHODNOCENÍ VYBRANÝCH STRATEGIÍ V této aplikační části vyhodnotím vybrané strategie, které budu obchodovat na základě stanovených podmínek. Zaměřil jsem se hlavně na predikci volatility, a to hlavně z důvodu její vlastnosti. Volatilita je tzv. „vracející se ke svému průměru 62“, a tudíž je dle mého názoru se její vývoj daleko lépe předopovídá, než pohyb samotného podkladového aktiva. Další vlastnosti volatility jako je například pozitivní autokorelace popíšu na následujících časových řadách indexů VIX a S&P 500. Budu testovat lineární závislost indexu volatility at-the-money opcí s podkladovým aktivem S&P 500 a samotného indexu S&P 500 za posledních deset let (3.1.200231.12.2011)63 pomocí lineárního regresního modelu OLS.
7.1
Graf 7.1: Lineární závislost VIX a S&P 500 (OLS) Skuteèná a vyrovnaná vix 90
skuteèné vyrovnané
80
70
60
vix
50
40
30
20
10
0 700
800
900
1000
1100
1200
1300
1400
spx
Zdroj: Vlastní animace; Reuters Thomson
62 63
Carol, Alexander; Market Models: A Guide to Financial Data Analysis; strana 63 Finance.yahoo.com
51
1500
Na grafu 7.1 lze vidět nepřímou závislost volatility na podkladovém aktivu. S rostoucí cenou podkladového aktiva (S&P trenduje) klesá volatilita a naopak s klesající cenou podkladového aktiva roste hodnota volatility, ale roste také roptyl směrodatných odchylek (časová řada je zatížena heteroskedasticitou). Whitův test nám i na 1% hladině významnosti signalizuje heteroskedasticitu. V následující tabulce 7.1 je možné vidět vyhodnocení této závislosti pomocí metody nejmenších čtverců. Tabulka 7.1: Výstup z programu Gretl (závislá proměnná VIX) ---------------------------------------------------const spx
koeficient směr.chyba t-podíl p-hodnota 59.7183 1.05767 56.46 0 -0.032445 896225 -36.2 2.26E-231
Střední hodnota závisle proměnné Sm. odchylka závisle proměnné Součet čtverců reziduí Sm. chyba regrese Adjustovaný koeficient determinace F(1,2516) P-hodnota(F) Durbin-Watsonova statistika
21.89132 10.14003 170162.2 8.223869 0.342231 1310.57 2.30E-230 0.033965
Whitův test Testovací statistika: TR^2 = 137,115510, s p-hodnotou = P(Chí-kvadrát(2) > 137,115510) = 0,000000
Zdroj: Vlastní výpočty; finance.yahoo.com Dle F-statistiky nebo dle p-hodnoty vysvětlující proměnné lze usoudit, že model je statisticky významný. Z výstupu rovněž vidíme, že sledovaný model je zatížen pozitivní autokorelací (Durbin-Watsonovoa statistika se blíží k nule). Tato skutečnost nám signalizuje, že odhad náhodné veličiny v určitém období opakovaně nabývá kladných nebo záporných hodnot. V praxi to znamená klidnější (trendující) nebo volatilnější období podkladového aktiva. V případě výskytu autokorelace a heteroskedasticity v časové řadě bych měl použít jiný model, než je metoda nejmenších čtverců, který lépe popíše vztah VIX a S&P 500.
7.1 Aplikace strategií pro spekulaci na růst či pokles podkladového aktiva U tohoto typu spekulací se zaměřím především na odhadnutí vývoje akciového indexu S&P 500 na základě implikovaných volatilit put a call opcí. Odhadnout budoucí vývoj jakéhokoliv aktiva lze pomocí fundamentální, technické či psychologické analýzy. Já bych se
52
chtěl těmto velmi známým praktikám odhadu budoucího vývoje vyhnout, a proto spíše otestuji správnost očekávání trhu.
7.1.1 Aplikace Bull/Bear spread strategií na S&P500 Při sestavování strategií Bull/Bear spread je tedy hlavním záměrem odhadnout vývoj podkladového aktiva. Zaměřím se pouze na typ Bull spreadu, který je sestaven z jedné in-themoney a jedné out-of-the money opce. Tyto spreadové strategie budu testovat na spreadech 50 a 100 Dle autora Guy Cohena64 by splatnost opcí by měla být vyšší než 3měsíce. Signál k sestavení strategie Bull spread může dát samotný trh. Jak jsem již uvedl v kapitole 5.1, pokud se implikovaná volatilita call opce nachází v daný okamžik nad implikovanou volatilitou put opce, trh očekává růst ceny podkladového aktiva. Obchodování na základě tohoto předpokladu by investorovi taktéž nepřineslo úspěch. Kdyby trh systematicky správně či systematicky špatně předpokládal růst ceny podkladového aktiva, dalo by se na tom vydělat. Graf 7.2: Vývoj implikovaných volatilit pro at-the-money call/put opce se splatností 17.9.2011 0.24 implikovaná volatilita call implikovaná volatilita put
Implikovaná volatilita
0.22
0.2
0.18
0.16
31.1.2011
1.3.2011
29.3.2011
Zdroj: Vlastní animace; ivolatility.com
27.4.2011
25.5.2011
23.6.2011
22.7.2011
Datum
Na zkoumaných datech od 3.1.2011 opční trh systematicky nadhodnocoval put opce, jelikož očekával pokles indexu S&P500 k 17.9.2011, tedy ke dni splatnosti opcí (graf 7.2). Při ověření hodnoty akciového indexu S&P500 ke dni 19.9.2011 jsem zjistil, že očekávání opčního trhu bylo správné65. Pokud bych spekuloval na pokles podkladového aktiva nákupem put opce či vytvořením strategie jako je například Bear spread kdykoliv od 3.1.2011 do 2.5.2011, realizoval bych zisk 64 65
Cohen, Guy; The Bible of Options Strategies; strana 92 Close cena indexu S&P500 ke dni 16.9.2011 se rovnala 1216,01
53
Graf 7.3: Vývoj implikovaných volatilit pro at-the-money call/put opce se splatností 17.12.2011 0.24 implikovaná volatilita call implikovaná volatilita put
Implikovaná volatilita
0.23 0.22 0.21 0.2 0.19 0.18 0.17 0.16
31.1.2011
1.3.2011
29.3.2011
27.4.2011
25.5.2011
23.6.2011
22.7.2011
Datum
Zdroj: Vlastní animace; ivolatility.com Vývoj implikovaných volatilit call a put opcí se splatností 17.12.2011 mi opět jasně značí očekávání trhu. Jak jsem uvedl výše, opční trh v období 3.1.2011-29.3.2011 očekával pokles indexu S&P500 k 17.9.2011. Z grafu 7.3 je patrné, že v období 3.1.2011-23.6.2011 měl trh přesně opačné očekávání k datu expirace opcí 17.12.2011. Toto očekávání však bylo nesprávné a při spekulaci na růst akciového indexu S&P500 bych realizoval znatelnou ztrátu66.
7.2 Aplikace strategií na základě vývoje implikované volatility Vstup do strategií spekulující na stagnaci nebo na výrazný pohyb podkladového aktiva budu určovat na základě implikované volatility v opci. Příjmové strategie, které spekulují na stagnaci, budu sestavovat, pokud bude implikovaná volatilita relativně vysoká, zatímco strategie spekulující na výrazný pohyb podkladového aktiva budu sestavovat při relativně nízké implikované volatilitě. Formuloval jsem tedy podmínku, která mi bude určovat správný okamžik pro sestavení těchto strategií (viz příloha č.6). Do strategie s neutrálním očekáváním vstoupím pouze tehdy, pokud je současná volatilita u at-the-money opce vyšší než 50-ti denní jednoduchý klouzavý průměr historické volatility posunutý o plus dvě směrodatné odchylky výběru (výše posunutá červená křivka). Tato podmínka mi zajistí relativně vysokou úroveň aktuální implikované volatility pro danou 66
Close cena indexu S&P500 ke dni 16.12.2011 se rovnala 1219,66
54
splatnost opce. Do strategie spekulující na výrazný pohyb podkladového aktiva vstoupím, pokud současná implikovaná volatilita u at-the-money opcí je vyšší než 50-ti denní jednoduchý klouzavý průměr historické volatility snížený o dvě směrodatné odchylky výběru (níže posunutá červená křivka), což mi zajistí relativně nízké náklady na sestavení těchto strategií. Implikovanou volatilitu at-the-money opcí zjistím zprůměrováním implikované volatility at-the-money call a put opce (modrá křivka). Graf 7.4: Vývoj implikované volatility a SMA 50 at-the-money opcí se splatností 19.3.2011
implikovaná volatilita SMA 50
impplikovaná volatilita
0.24 0.22 0.2 0.18 0.16 0.14 7.1.2011
14.1.2011
24.1.2011 Datum
31.1.2011
7.2.2011
14.2.2011
Zdroj: Vlastní animace; ivolatility.com
Graf 7.5: Vývoj implikované volatility a SMA 50 ATM opcí se splatností 18.6.2011 0.26
implikovaná volatilita SMA 50
Implikovaná volatilita
0.24 0.22 0.2 0.18 0.16 0.14 21.1.2011
14.2.2011
8.3.2011 Datum
Zdroj: Vlastní animace; ivolatility.com
55
29.3.2011
19.4.2011
11.5.2011
Graf 7.6: Vývoj implikované volatility a SMA 50 ATM opcí se splatností 17.9.2011
Implikovaná volatilita
0.4
implikovaná volatilita SMA 50
0.35
0.3
0.25
0.2
0.15 31.1.2011
1.3.2011
29.3.2011
27.4.2011 Datum
25.5.2011
23.6.2011
22.7.2011
Zdroj: Vlastní animace; ivolatility.com
Graf 7.7: Vývoj implikované volatility a SMA 50 ATM opcí se splatností 17.12.2011
Implikovaná volatilita
0.4
implikovaná volatilita SMA 50
0.35 0.3 0.25 0.2 0.15 14.2.2011
29.3.2011
11.5.2011
23.6.2011 Datum
5.8.2011
19.9.2011
31.10.2011
Zdroj: Vlastní animace; ivolatility.com Graf 7.8: Vývoj implikované volatility a SMA 50 ATM opcí se splatností 21.1.2012
Implikovaná volatilita
0.45
implikovaná volatilita SMA 50
0.4
0.35
0.3
0.25
0.2 30.9.2011
14.10.2011
Zdroj: Vlastní animace; ivolatility.com
28.10.2011 Datum
56
11.11.2011
28.11.2011
12.12.2011
7.2.1 Aplikace strategií na neutrální očekávání Tyto strategie by měly být podle autora Cohen Guy (The Bible of Options Strategies, 2005) krátkodobějšího charakteru. Strategie na neutrální očekávání budu tedy obchodovat s dobou do expirace 1-5 měsíců. Vstup do strategií tohoto typu načasuji pomocí vývoje implikované volatility opcí s danou splatností. Jelikož strategie na neutrální očekávání mají kladné počáteční peněžní toky67, do tohoto typu spekulace vstoupím, pokud je implikovaná volatilita relativně vysoká. Počáteční peněžní toky jsou logicky vyšší u opcí s vyšší volatilitou. Pro znázornění grafy 7.4-7.8 naznačují okamžik vhodný pro sestavení příjmových strategií, který nastává, když modrá křivka protíná červenou směrem nahoru, což značí, že je implikovaná volatilita relativně vysoká. Následující tabulka 7.2 zachycuje zaznamenané signály k vytvoření strategie s neutrálním očekáváním s maximální pěti měsíční dobou do splatnosti. Tabulka 7.2: Signály k vytvoření strategií s neutrálním očekáváním Splatnost opcí
Datum signálů k vytvoření strategií
19.3.2011
-
18.6.2011
16.3.2011
17.9.2011
1.8.2011-16.8.2011
17.12.2011
5.8.2011-24.8.2011
21.1.2012
-
Zdroj: Vlastní výpočty Modré tečky mi značí vstup do daných pozic. Nebudu však vstupovat do všech pozic. Signály na sestavení strategie budu ignorovat, pokud se cena podkladového aktiva výrazněji nezmění nebo pokud bych porušil minimální délku obchodované strategie. Uvedu na následujícím příkladě: U opcí se splatností 17.9.2011 je možné vidět na grafu 7.6 signály ke vstupu do strategie 16.3.2011, 1.8.2011-16.8.2011, samozřejmě nevstoupím do pozice každý den v tomto intervalu, ale pouze při prvním signálu a dále pak při výrazné změně podkladového aktiva (změna ceny podkladového aktiva alespoň o 2%). Totéž bude platit u vstupů do strategií spekulujících na významný pohyb podkladového aktiva. Zároveň nevstoupím do pozice 16.3.2011, jelikož splatnost opcí v tomto okamžiku je delší než požadované trvání strategie. 67
Vyjímkou je strategie Calendar spread
57
Výnosnost strategie Long Butterfly spread za rok 2011 mi vyšla 101,16 USD. Na tuto částku jsem dosáhl po sestavení celkem devíti strategií Long Butterfly spread a k tomuto zisku nebyly nutné žádné počáteční náklady. Strategii Long Butterfly spread jsem testoval s rozpětím 100 USD68. Rozpětí této strategie značí vzdálenost nižší realizační ceny K1 a vyšší realizační ceny K3. Výnosnost strategie Calendar spread, kterou jsem sestavil osmkrát, nabyla hodnoty 163,48 USD. Tato strategie je však už spojena s počátečními náklady při sestavování, a proto k dosáhnutí výše zmíněné výnosnosti bych potřeboval 208,8 USD. Strategii Calendar Spread jsem sestavoval vždy vypsáním krátkodobější at-the-money opce a vypsáním dlouhodobější at-the-money opce. Nejvýnosnější testovaná strategie se jeví jako Short Straddle. Tato velmi riziková strategie byla zisková ve všech případech jejího sestavení a její celkový zisk byl roven 692,31 USD s nulovými počátečními náklady. Podobně zisková byla strategie Short Strangle s rozpětím realizačních cen 100 USD. Tyto strategie s velkou pravděpodobností skončí v době splatnosti opcí v zisku, jelikož je dle mého názoru málá šance, že by hodnota akciového indexu S&P 500 během 76 kalendářních dnů rostla nebo klesala o více než devět procentních bodů. Tuto pravděpodobnost odvodím pomocí Monte Carlo simulace v následující kapitole. Celkové vyhodnocení strategií Long Butterfly spread, Calendar spread, Short Straddle a Short Strangle zachycuje tabulka 7.3. Tabulka 7.3: Vyhodnocení strategií s neutrálním očekáváním
Počet obchodů Ziskové obchody Ztrátové obchody Celkový zisk/ztráta Počáteční náklady Průměrná doba trvání strategií (dny) Průměrný zisk/ztráta Bod zvratu převedený na průměrný procentní růst/pokles podkl. akt.
Butterfly spread 100 9 5 4 101,2 0
Calendar Spread
Short Straddle
8 6 2 163,5 -208,8
9 9 0 692,3 0
Short Strangle 100 9 9 0 543,7 0
75,2
70,3
75.2
75.2
11,2
20,4
76,9
60,4
2,9%
Nelze vyjádřit
8,8%
9,7%
Zdroj: Vlastní výpočty
68
Spread určuje rozpětí realizačních cen K1 a K3. Spread 100 je situace, kdy K3-K1=100
58
7.2.2 Aplikace strategií spekulujících na zvýšenou volatilitu Strategie se spekulací na zvýšenou volatilitu, kdy investor očekává výrazný pohyb podkladové aktiva v jakémkoliv směru, budu sestavovat s minimálně 50 denní splatností opcí. Strategie na zvýšenou volatilitu mají maximální možnou ztrátu ve výši počátečních nákladů (opční prémie) při sestavování strategie. Tyto počáteční náklady se budu snažit minimalizovat nákupem opcí s relativně nízkou implikovanou volatilitou. Tabulka 7.4: Signály k vytvoření strategií spekulujících na zvýšenou volatilitu Splatnost opcí
Datum signálů k vytvoření strategií
19.3.2011
14.1.2011, 18.1.2011, 24.1.2011-27.1.2011
18.6.2011
14.4.2011-29.4.2011
17.9.2011
1.7.2011, 5.7.2011, 8.7.2011
17.12.2011
11.10.2011-28.10.2011
21.1.2012
10.10.2011-14.11.2011, 29.11.2011-2.12.2011
Zdroj: Vlastní výpočty Výnosnost jsem zjišťoval na strategiích Straddle a Strangle. U strategie Straddle jsem kupoval pouze at-the-money call a put opce a strategii Strangle jsem tvořil s rozpětím realizačních cen 100 USD. Vzdálenost vyšší a nižší realizační ceny jsem se snažil volit tak, abych zachoval symetričnost podle současné spotové ceny. Samozřejmě některé opce byly více či méně in-the-money nebo out-of-the-money, než předpokládá teoretické sestavení strategie Strangle, což je logicky způsobeno standardizací obchodovaných realizačních cen. Spekulace na zvýšenou volatilitu pomocí strategií Straddle a Strangle za výše uvedených předpokladech však nebyla úspěšná. I přesto, že jsem nakupoval opce s relativně nízkou implikovanou volatilitou, index S&P 500 by musel během tří měsíců69 růst či poklesnout v průměru alespoň o 7,5%, aby byl překonán spodní či horní bod zvratu. Hranici bodu zvratu překonalo pouze 5 (resp. 4) strategií z celkového počtu 15, čímž se strategie dostaly do mírného zisku. Dle Monte Carlo simulace by bod zvratu, a tedy růst či pokles indexu S&P 500 o více než 7,3% (resp. 9.9%), byl překonán pouze s pravděpodobností 0,37 během tří měsíční periody.
69
Strategie spekulující na zvýšenou volatilitu byly v průměru obchodovány 67 kalendářních dnů.
59
Tabulka 7.5: Vyhodnocení strategií spekulujících na zvýšenou volatilitu
Počet obchodů Ziskové obchody Ztrátové obchody Celkový zisk/ztráta počáteční náklady Průměrná doba trvání strategií Průměrný zisk/ztráta Bod zvratu převedený na průměrný procentní růst/pokles podkl. akt.
Long Straddle 15 5 10 -433,2 -1389,5
Long Strangle 100 15 4 11 -424,8 -1126,2
67
67
-28.9
-28.3
7.3%
9.9%
Zdroj: Vlastní výpočty Celková ztráta u strategií Straddle byla -433,19 USD a u strategií Strangle byla ztráta 424,75 USD. Průměrná výše počátečních nákladů na sestavení strategie Straddle byla 92,63 USD a na strategie Strangle 75,08 USD, což potvrdilo naše teoretické předpoklady z šesté kapitoly.
60
8. ZÁVĚR Porozumnění oceňování a způsob využití finančních derivátů považuji za nezbytnou součást téměř jakéhokoliv odvětví ve financích. Účelem této bakalářské práce bylo vedle aplikace teoretických znalostí na reálných datech přidat hlavně určitý návrh či názor, jak lze také přistupovat ke spekulacím. Mým záměrem tedy nebylo rozebírat známé spekulační praktikty jako je například fundamentální či technická analýza, ale nahlížet na- spekulace právě z hlediska volatility. Volatilita je dle mého názoru daleko lépe predikovatelná, než samotný vývoj podkladového aktiva. V teoretické části jsem se zabýval podrobným popisem, jak lze tyto strategie sestavovat, určit jejich maximální možný zisk a ztrátu a v neposlední řadě jsem konstruoval výnosové křivky vybraných opčních strategií. V této části jsem se zároveň zabýval vlastnostmi volatility a uvedl jsem rozdíly, pokud je na volatilitu nahlíženo jako na konstantní anebo stochastickou veličina. Modely, které nahlíží na volatility jako na stochastickou veličinu, jsou dle mého názoru daleko realističtější. Okrajově jsem se zabýval oceňováním opcí a možnostmi arbitráží na opčním trhu. Arbitráže jsem zjišťoval na základě put-call parity a zjistil jsem, že opční trh je bezarbitrážní, což není žádným překvapením. V praktické části jsem se zaměřil na analyzování implikované volatility. Ověřil jsem předpoklad, že na akciovém trhu se nejčastěji nachází útvar zvaný volatility skew, který je typický klesající implikovanou volatilitou s rostoucí realizační cenou podkladového aktiva. Svou pozornost jsem také věnoval ověření, zda očekávání opčního trhu o budoucím vývoji indexu S&P 500 anebo implikované volatility opcí na stejný index, je správné či nikoliv. Došel jsem k závěru, že trhem očekávaný odhad vývoje podkladového aktiva nebývá systematicky správný ani špatný. Trh však mnohdy reaguje příliš skepticky, což jsem ověřil porovnáním historické (aktuální) a očekávané volatility. Historická (aktuální) volatilita bývá systematicky nižší než implikovaná volatilita opcí. Tento rozdíl je nutné vyčíslit a zahrnout při formulaci modelů, které porovnávají historickou a implikovanou volatilitu. Hlavní částí bakalářské práce byla formulace podmínek pro vstup do spekulace na neutrální očekávání a výrazný pohyb podkladového aktiva. Velmi se mi osvědčil předpoklad vypisování opcí při relativně vysoké implikované volatilitě, ať už použitím strategií Long Butterfly Spread, Short Straddle a nebo Short Strangle. Pomocí Monte Carlo simulace indexu S&P 500 jsem zjistil, že je málo pravděpodobné, aby se výše zmíněné příjmové strategie ocitly pod bodem zvratu, a tedy ve ztrátě. Do strategií spekulujících na výrazný pohyb podkladového aktiva jsem chtěl vstupovat, při relativně nízké implikované volatilitě, čímž
61
bych zajistil relativně levnou cenu nakoupených opce. I přesto byla zisková pouhá třetina zobchodovaných strategií. Body zvratu těchto strategií převedených na procentní růst či pokles byly stále daleko od spotové ceny podkladového a vyhodnotil jsem jako nepravděpodobné, aby index S&P 500 během devíti týdnů rostl či klesal v průměru o 7,5 procentních bodů. Touto prací bych však nechtěl učinit závěr o tom, zda nějaká strategie přináší nadprůměrný či podprůměrný výnos. Takový závěr bych ani učinit nemohl, jelikož jsem opční strategie testoval pouze na malém vzorku dat. Jedná se spíše o možné postupy a metodiku, jakou lze přistupovat k obchodování těchto strategií. Vypracováním této bakalářské práce jsem získal cenné vědomosti, které určitě využiji při dalším studiu.
62
SEZNAM POUŽITÉ LITERATURY
Literatura 1
WITZANY, Jiří. International Financial Markets. Praha: Oeconomica, 2007. ISBN 978-80-245-1274-7.
2
MANDEL, Martin a DURČÁKOVÁ, Jaroslava. Mezinárodní finance. Praha: Management Press, 2010. ISBN 978-80-7261-221-5.
3
WITZANY, Jiří. Financial Derivatives and Market Risk Management: Part I. Praha: Oeconomica, 2011. ISBN 978-80-245-1811-4.
4
HULL, John. Options, futures and other derivatives: 7th edition. New Jersey: Upper Saddle River:
Pearson Prentice Hall, 2009. ISBN 978-0-13-500994-9.
5
MÁLEK, Jiří. Opce a futures. Praha: Oeconomica, 2009. ISBN 80-245-0488.
6
SINCLAIR, Euan. Volatility Trading. New Jersey: John Wiley & Sons, Inc., 2008. ISBN 978-0-470-18199-7.
7
JAMES, Peter. Option theory. New Jersey: John Wiley & Sons, Ltd., 2003. ISBN 0471-49289-2.
8
SENGUPTA, Chandan. Financial Modeling Using Excel and VBA. New Jersey: John Wiley & Sons, Inc., 2003. ISBN 0-471-26768-6.
9
KOŘENÁŘ, Václav. Stochastické procesy. Praha: Vysoká škola ekonomická, 1998. ISBN 80-7079-813-0.
10
CAROL, Alexander. Market Models: A Guide to Financial Data Analysis. Chichester: John Wiley & Sons Ltd., 2003. ISBN 0471-89975-5.
11
MCMILLAN, Lawrance G. Options as a Strategic Investment. New York: New York Institute of Finance, 2002. ISBN 0-7352-0197-8.
12
MALKIEL, Burton a QUANDT, Richard. Strategies and Rational Decisions in the Securities Options Market. Cambridge: Cambridge: M.I.T. Press, 1969.
13
COHEN, Guy. The Bible of Options Strategies. New Jersey: Pearson Education, Inc., 2005. ISBN 0-13-171066-4
.
63
Internetové zdroje 1
Ivolatility.com [online]. [cit. 2012-03-02]. Dostupné z: http://www.ivolatility.com/options.j?ticker=spx&R=0&top_lookup__is__sent=1
2
Finance.yahoo.com. [online]. [cit. 2012-06-05]. Dostupné z: http://finance.yahoo.com/q/hp?s=%5EVIX+Historical+Prices
3
Finance.yahoo.com. [online]. [cit. 2012-06-05]. Dostupné z:
http://finance.yahoo.com/q/hp?s=%5EGSPC+Historical+Prices 4
Mfcr.cz. [online]. [cit. 2012-05-21]. Dostupné z: http://www.mfcr.cz/cps/rde/xchg/mfcr/xsl/podle_splatnosti.html
5
1option.com. STOLCERS, Pete. [online]. [cit. 2012-05-21]. Dostupné z:
http://www.1option.com/index.php/global/comments/how_i_trade_options_market_fir st/ 6
CME.com [online]. [cit. 2012-06-05]. Dostupné z: http://www.cboe.com/micro/VIX/vixintro.aspx
7
CME.com [online]. [cit. 2012-03-26]. Dostupné z: http://www.cboe.com/micro/vix/faq.aspx
64
PŘÍLOHY
Příloha č.1: Zjišťování put-call parity Příloha č.2: Výpočet historické volatility Příloha č.3: Monte Carlo simulace Příloha č.4: Filtrování at-the-money opcí Příloha č.5: Zjišťování volatility smile a skew Příloha č.6: Určení vstupů do strategie
Příloha č.1: Zjišťování put-call parity (Matlab)
load C:\Users\Viktor\Desktop\bc\req_strike.txt A=req_strike; n = length(A); shortleft=0; shortright=0; parity=0; arbitrage=0; diff=zeros(8036,5); for i=1:n diff(i,1)= round(A(i,3)+A(i,2)*exp(-0.02*A(i,7)/360))round(A(i,5)+A(i,1)); diff(i,2) = abs(diff(i,1))/((A(i,3)+A(i,4))/2+(A(i,5)+A(i,6))/2+A(i,1)); diff(i,5)=diff(i,2)*100; if 0.035 < diff(i,2) diff(i,3)=1; diff(i,4)=i; else diff(i,3)=0; end if diff(i,3) == 1 arbitrage = arbitrage+1; end
if round(A(i,3)+A(i,2)*exp(-0.02*A(i,7)/360))>round(A(i,5)+A(i,1)) shortleft=shortleft+1; elseif round(A(i,3)+A(i,2)*exp(-0.02*A(i,7)/360))
Příloha č.2: Výpočet historické volatility (Matlab)
spojeni=ddeinit('excel','spx2010_2011.xlsx:List3') close=ddereq(spojeni,'r1c1:r593c1') n = length(close); rhat = 0; logvyn = zeros(n-1,1);
for i=1:n-1 ri(i,1) = log(close(i,1)/close(i+1,1)); logvyn(n-i,1) = ri(i,1); rhat1 = ri(i,1)/n; rhat = rhat + rhat1; end sumri = 0 for j=1:n-1 sumri1 = (ri(j,1)-rhat)^2 sumri = sumri1 + sumri stdeva = (1/(n-1)*sumri)^0.5 volatility = n^0.5*stdeva end vynos=close(1,1)/close(n,1) -1
Příloha č.3: Monte Carlo simulace (Matlab)
S0 = 1258; volatility =0.2067; drift = 0.0632; t = 0.25/60; g2=0; g1=0; s=0; d1=0; d2=0; gbm = zeros(60,100000); gbm(1,1:100000)=S0; for j=1:100000 for i=2:61 a=rand(); norm = norminv(a,0,1); gbm(i,j)= gbm(i-1,j)+ t*drift*gbm(i-1,j) + norm*gbm(i1,j)*t^0.5*volatility;
end if gbm(61,j) > 1258*1,06 g2=g2+1; elseif gbm(61,j) <=1258*1,06 && gbm(61,j) > 1258*1,03 g1=g1+1; elseif gbm(61,j) <= 1258*1,03 && gbm(61,j) >= 1258*0,97 s=s+1; elseif gbm(61,j) < 1258*0,97 && gbm(61,j) >= 1258*0,94 d1=d1+1; elseif gbm(61,j) < 1258*0,94 d2=d2+1; end end
Příloha č.4: Filtrování at-the-money opcí (Excel)
Sub atm() Application.ScreenUpdating = False Sheets("C").Select n = Application.CountA(Range("A:A")) Application.ScreenUpdating = False For i = 2 To n Sheets("C").Select If Cells(i, 2).Value > Cells(i, 5).Value Then If Cells(i, 2).Value < Cells(i + 1, 5).Value Then If Abs(Cells(i, 2).Value - Cells(i, 5).Value) < Abs(Cells(i, 2).Value Cells(i + 1, 5).Value) Then Cells(i - 1, 1).Select Range(Selection, Selection.End(xlToRight)).Select Selection.Copy Sheets("List5").Select Cells(i, 1).Select ActiveSheet.Paste
Else Cells(i + 1, 1).Select Range(Selection, Selection.End(xlToRight)).Select Selection.Copy Sheets("List5").Select Cells(i, 1).Select ActiveSheet.Paste End If End If End If Next i Application.ScreenUpdating = True End Sub
Příloha č.5: Zjišťování volatility smile a skew (Excel) Sub volatility_smile() Application.ScreenUpdating = False Sheets("C").Select n = Application.CountA(Range("A:A")) For i = 1 To n Sheets("C").Select If Cells(i, 5).Value < Cells(i + 1, 5).Value Then If Cells(i, 10).Value < Cells(i + 1, 10).Value Then If Cells(i + 1, 5).Value < Cells(i + 2, 5).Value Then If Cells(i + 1, 10).Value < Cells(i + 2, 10).Value Then If Cells(i + 2, 5).Value < Cells(i + 3, 5).Value Then If Cells(i + 2, 10).Value < Cells(i + 3, 10).Value Then If Cells(i + 3, 5).Value < Cells(i + 4, 5).Value Then If Cells(i + 3, 10).Value < Cells(i + 4, 10).Value Then Cells(i, 15).Value = "ano" Else Cells(i, 15).Value = "ne" End If End If End If End If End If End If End If End If Next i Application.ScreenUpdating = True End Sub
Příloha č.6: Určení vstupů do strategie (Matlab)
spojeni=ddeinit('excel','impl_volat.xlsm:21.1.-vystup') impl_vol=ddereq(spojeni,'r1c1:r66c4') n=length(impl_vol); UP=zeros(n,1); DO=zeros(n,1); for i=1:n A(i,1)=((impl_vol(i,2)+impl_vol(i,3))/2); end
for i=1:n A(i,3) = impl_vol(i,1)-2*impl_vol(i,4); A(i,4) = impl_vol(i,1)+2*impl_vol(i,4); end t=1:n; plot(t,A(1:n,1), 'b-'); hold on t2=10:n; plot(t2,A(10:n,3), 'r-'); hold on plot(t,A(1:n,1), 'b-'); plot(t2,A(10:n,4), 'r-'); for i=10:n if A(i,1) > A(i,3) UP(i,1)= i; elseif A(i,1) < A(i,4) DO(i,1)=i; end end D=find(DO~=0); D1=A(D) U=find(UP~=0); U1=A(U) plot(U,U1,'blo', 'MarkerFaceColor', 'black', ... 'MarkerSize',5);
plot(D,D1,'blo', 'MarkerFaceColor', 'black', ... 'MarkerSize',5); axis tight
