1 3VYSOK KOLA EKONOMICK 0 9 V PRAZE FAKULTA INFORMATIKY A STATISTIKY Katedra statistiky a pravd їpodobnosti STATISTIKA VZORCE PRO 4ST201

VYSOKÁ ŠKOLA EKONOMICKÁ V PRAZE FAKULTA INFORMATIKY A STATISTIKY Katedra statistiky a pravděpodobnosti

STATISTIKA VZORCE PRO 4ST201

verze 3.0 poslední aktualizace: 16.2.2015

KSTP 2015

Popisná statistika pi 

k

ni n

n

P  0,5  z p 100

n

x

i

i 1

1

i = 1, 2, ..., k

P P  zP  n  1 100 100

n

i 1

p

i 1

xp

x

k

 ni  n

n p  z p  n p 1

np  0,5  z p k

i

x

n

x

ni

i

i 1 k

k

x   xi pi

n

i 1

i

i 1 k

xH 

n n

1

x i 1

xG  n

xH 

n i 1 k

i

ni

x i 1

i

n

 xi  n x1  x2  ...  xn

i

xG 

i 1

xH 

k

n

x



ni i

i 1

n

1 k

pi

i 1

i

x

x1n1  x2n2  ...  xknk

R = xmax − xmin n

s x2 

 ( xi  x ) 2

n

i 1

2

s x2  x 2  x 

n

 (x  x ) n

s 

i

2 i

i

k

n i 1

i

k

i 1

k

s  s  s  2

2 x

k

i 1

i 1

i 1 k

2 i

ni

n

i



 (x  x )

k

k

i 1

i 1

     

2

k

i 1

2

i

k

n i 1

i

ni

x

x i 1 k

i

ni

n i 1

k

sx2   si2 pi   (xi  x ) 2 pi

s x  s x2

2

k

s i 1

k

     

sx2  x 2  x 2   xi2 pi  ( xi pi ) 2

sx2   (xi  x ) 2 pi

2 x

n k

2

i 1

i 1

 n   xi i 1   n  

 k x ni   xi ni  i 1 i 1 sx2  x 2  x 2  k  k  ni    ni i 1  i 1

k

2 x

 xi2

i

x   xi pi i 1

s Vx  x x 1

Pravděpodobnost Počet pravděpodobnosti m P (A)  n P(A  B) = P(A) + P(B)

P(A  B) = P(A) + P(B) − P(A  B)

Náhodné veličiny P(x) = P(X = x) F(x) = P(X  x) =  P(t )

P(x1  X  x2 ) 

t x



 f ( x)dx  1

f (x)  F (x)

f (t )dt



P(x1 < X  x2) =

P(x)  F (x2 )  F (x1 )



x

F(x) = P(X  x) =



x1  x  x2



x2

 f ( x)dx  F(x2) − F(x1)

x1

xP

F  xP   P

x P  F 1 ( P) 

E (X )   x P(x)

E (X ) 

x

f (x)dx



x

  D(X )   x P (x)    x P (x)  x  x 

2

2



  D( X )   x f ( x)dx    xf ( x)dx     2

   ( X )  D( X ) Pravděpodobnostní rozdělení Alternativní rozdělení A[]

P  x    x (1   )1 x

x = 0, 1, 0    1

D  X    (1   )

E(X) = 

Binomické rozdělení Bi[n;]

n P( x )     x (1   ) n  x  x

E  X   n

x = 0, 1, 2, ..., n, n  N , 0    1

D  X   n 1   

Poissonovo rozdělení Po[]

P(x)  e   E(X) = 

x x!

x = 0, 1, ... ,  > 0, D(X) = 

2

2

pravděpodobnost Hypergeometrické rozdělení Hy[N;M;n] M  N  M       x   nx  P( x)  , x  max  0,M  N  n  , ..., min(M, n), n > 0, N ≥ n, M ≤ N N    n M M  M  N n E( X )  n D(X )  n 1   N N N  N 1 Normální rozdělení N[µ;2] -  x  , -  µ  , 2 > 0 E(X) =  D(X) = 2 x  x  xP     u P u F ( x)   (u )          x   X   x2    P(x1  X  x2 )  P  1    P(u1  U  u2 )   (u2 )   (u1 )      Normované normální rozdělení N[0;1] X  U E(U) = 0 D(U) = 1   (u)  1   (-u)  (-u)  1   (u)

Chí-kvadrát rozdělení Rozdělení t (Studentovo)

2[] t[]

F - rozdělení (Fisherovo – Snedecorovo)

u P  u1 P

x  0,   N -  x  ,   N F[1;2]

3

x0

tP[ν] = −t1-P[ν] FP [ 1 ; 2 ] 

1 F1 P [ 2 ; 1 ]

KSTP 2009

Matematická statistika n

sx 

 (x  x )

2

i

i 1

n 1

Odhady parametrů střední hodnota est μ = ˆ  x

est Nμ = N x

normální rozdělení a) 2 známé     P  x  u1 / 2    x  u1 / 2   1  n n 

   P  x  u1     1  , n  

   P    x  u1   1 n 

b) 2 neznámé s s   P  x  t1 / 2 x    x  t1 / 2 x   1   n n 

s   P  x  t1 x     1   , n  

t ~ t[n – 1]

s   P    x  t1 x   1   n 

obecné rozdělení, 2 neznámé, velký výběr (n > 30)

s s   P  x  u1 / 2 x  E (X )  x  u1 / 2 x   1   n n  s s     P  x  u1 x  E (X )   1   , P  E (X )  x  u1 x   1   n n    rozptyl 2 (normální rozdělení) est σ2= ˆ 2  s x2 Parametr  alternativního rozdělení (odhad relativní četnosti základního souboru) est π = ˆ = p est Nπ = Np  p (1  p ) P p  u1 / 2    p  u1 / 2 n    p(1  p) P  p  u1     1   , n    p (1  p )    1 P   p  u1  n  

4

p (1  p )    1  n 

matematická statistika Testování hypotéz Střední hodnota normálního rozdělení H0  = 0

H1  > 0  < 0   0

Testové kritérium 2 známé x  0 U n  2 neznámé x  0 t n sx

U ~ N[0;1]

Kritický obor Wα={U  u1-} Wα={U  -u1-} Wα={U  u1-/2}

t ~ t[n – 1]

Wα={t  t1-} Wα={t  -t1-} Wα={t  t1-/2}

Střední hodnota, obecné rozdělení, velký výběr H0 E(X) =0

H1 X) > 0 X < 0 X  0

Testové kritérium 2 neznámé (n > 30) x  0 U n U ≈ N[0;1] sx

Kritický obor Wα={U  u1-} Wα={U  -u1-} Wα={U  u1-/2}

Parametr  alternativního rozdělení (velké výběry H0  = 0

H1  > 0  < 0   0

Testové kritérium p 0 U ~ N[0;1] U  0 (1   0 ) n

Kritický obor Wα={U  u1-} Wα={U  -u1-} Wα={U  u1-/2}

Rovnost středních hodnot dvou rozdělení velké nezávislé výběry H0 1 = 2 1 − 2 = 0

H1 1 > 2 1 < 2 1  2

Testové kritérium 1 , 2 neznámé x1  x 2 U s1 2 s 2 2  n1 n2 2

2

U ≈ N[0;1]

Kritický obor Wα={U  u1-} Wα={U  -u1-} Wα={U  u1-/2}

závislé výběry z normálního rozdělení (párový t-test) H0

H1

1 = 2 1 − 2 =0

1 > 2 1 < 2 1  2

Testové kritérium d t n t ~ t[n–1] sd di = x1i – x2i, i=1, 2, ..., n

Kritický obor Wα={t  t1-} Wα={t  -t1-} Wα={t  t1-/2}

Chí-kvadrát test dobré shody H0 a H1 Testové kritérium 2 k ( n  n H0: i = 0,i i = 1, …, k i 0 ,i ) G H1: non H0 n i 1

0 ,i

Kritický obor G ≈ 2[k−1]

Wα={G  21-}

n 0,i  5

5

KSTP 2009

Analýza závislostí Kontingenční tabulka (r x s) s

r

ni .   nij

n. j   nij

j 1

i 1

H0 πij= πi. π.j 1≤i≤r 1≤j≤s

C

nij 

ni.n. j n

nij  5

Testové kritérium

H1 non H0

Kritický obor Wα ={G ≥ 21-}

(nij  nij ) 2 G   G ≈ 2[(r − 1)(s − 1)] nij i 1 j 1 r

G nG

Tabulka 2 x 2

s

V

G , m = min (r, s) n(m  1)

Gn

(n11n22  n12 n21 )2 n1.n2.n.1n.2

Analýza rozptylu k

Sy   i 1

ni

 y j 1

P2 

ij  y  = Sy.m + Sy.ν 2

S y ,m

1 = 2 = ...=k

2

i 1

ni

S y.    yij  yi  k

2

i 1 j 1

P  P2

Sy

H0

k

S y.m    yi  y  ni

H1 non H0

Testové kritérium

Kritický obor Wα={F  F1-α}

S y .m F  k 1 S y .v

F

~ F[k – 1; n – k]

nk

Regrese a korelace regresní přímka y = 0 + 1x +  ,

n

Y = b0 + b1x

n

sxy 

  x  x  y  y  i 1

b1  byx 

i

i

n

 xy  x . y

n yi xi   xi

 yi  xy  x . y  sxy 2 sx2 x2  x 2 n xi2    xi 

yi  xi2   yi xi  xi  b0   y  byx x n xi2  ( xi ) 2

6

minimumb0 ,b1

 (y  b i 1

i

0

 b1 xi ) 2

analýza závislostí

n

S y    yi  y 

Y  b0  b1 x1  b2 x2  ..  bk xk

Y  b0  b1 x  b2 x 2

Jiné regresní funkce

n

ST   Yi  y 

2

i 1

s y2 

i 1

S 1 n 2  yi  y   y  n i 1 n n

sY2 

n

S R    yi  Yi    ei2 2

i 1

s y2  sY2  s(2y Y )

Sy = SR + ST ST Sy

S 1 n 2 Yi  y   T  n i 1 n

S 1 n (yi  Yi ) 2  R  n i 1 n

s(2y Y ) 

i 1

I yx2  R 2  I 2 

2

sR =

I yx  I yx2

s R2 

SR n p

SR  s R2 n p

2 2 I ADJ  RADJ  1  (1  I yx2 )

n 1 n p

Test hypotézy o regresních parametrech H0 i = 0

Test o modelu H0

0 = c 1 = 0

Testové kritérium

H1 i  0

bi s (bi )

t

Kritický obor Wα={t ≥ t1-/2}

t ~ t[n – p]

p=k+1 Testové kritérium

H1 non H0

Kritický obor Wα = {F ≥ F1-}

ST p 1 F SR n p

...

k = 0

F ~ F[p – 1; n – p]

korelační koeficient

ryx  rxy 

H0 ρyx = 0

n

n

n

i 1

i 1

i 1

n xi yi   xi  yi n

n

i 1

i 1

n xi2  ( xi ) 2

H1 ρyx  0

n

n

i 1

i 1



n yi2  ( yi ) 2

x

xy  x y 2

 x2

Testové kritérium t

 y

2

 y2





sxy sx s y

Kritický obor Wα={t ≥ t1-/2}

ryx n  2

t ~ t[n –2]

1  ryx2

7

KSTP 2009

Časové řady n 1 1 1 y1   yt  yn 2 2 t 2 y n 1

n

y

 yt t 1

n

t = yt − yt-1



kt 

yt y t 1

I t /1 

yt  I 2 /1 I 3/ 2 ... I t / t 1 y1

y  y3 y  yn y1  y2 d1  2 d 2  ...  n 1 d n 1 2 2 y 2 d1  d 2  ...  d n 1

y y 1 n t  n 1  n  1 t 2 n 1

k  n 1 k 2 k 3 ...k n  n 1

I t / t 1 

yn y1

yt I  t /1 yt 1 I t 1/1

Klouzavé průměry p



yt 

m = 2p + 1

yt 

m = 2p

i  p

yt i

m



yt  p  ...  yt 1  yt  yt 1  ...  yt  p m



1 yt  p  2 yt  p 1  .  2 yt 1  2 yt  2 yt 1  .  2 yt  p 1  yt  p 2m

Dekompozice časové řady yt=Tt + St + Ct + εt Tt =  0 +  1t

yt=Tt St Ct εt T t =  0 +  1 t +  2 t2

Tˆt  b0+b1t

Tˆt  b0 + b1t + b2t2

n

 ( yt  Tˆt ) 2 MSE =

t 1

n

Regresní metoda s umělými proměnnými (lineární trend, sezónnost délky 4) yt = Tt + St + εt = β0 + β1t + α1x1t + α2 x2t + α3 x3t + εt a

a1  a2  a3 4

Si  4 j  ai  a

S 4  4 j  a

i =1,2,3

8

Tˆt  (b0  a )  b1t



Indexní analýza Q = pq Ip 

p1 p0

 p  p1  p0

I (Σq ) 

 q   Iq.q q q



Q   p q Q  p q



1

0

0

I (ΣQ) 

Iq 

1 1

0

0 0

 Q1 p  q1  Ip  1  p0  Q0  q0

q  q1  q0

q q  Iq  IQ.Q Q

0



 q0

Q Q  IQ

Q1 Q0

Q  Q1  Q0

(Q)   Q1   Q0

1

1

0

 p1q1  q1   p0 q0

IQ 

Δ(q)   q1   q0

1

1

0

1

q1 q0

Q Q p Q Q p

1 1

 p  p1  p0  

1

p1q1

q

0



1

pq q

0 0 0

0

0

Ip ( L ) 

 

Ip ( F ) 

Iq ( L ) 

p1q0 p0 q0



 Ip. p q  pq

0 0

0 0



 Ip.Q Q

Ip ( P ) 

0

0

pq  pq p q  pq Ip 1 1

1 1

0 1

1 1



Q Q  Ip 1

1

Ip ( L ) . Ip ( P )

 

p0 q1 p0 q0

Iq ( F )  Iq ( L )

I (ΣQ) 



 Iq. p q pq

0 0

0 0



 Iq.Q Q

Iq ( P ) 

0

0

 

p1q1 p1q0



pq pq  Iq

1 1 1 1



Q Q  Iq

Iq ( P )

Q   p q Q  p q 1

1 1

0

0 0



 IQ.Q Q

0

0



Q Q  IQ

Δ(Q)   p1 q1   p0 q0

1

1

9

1 1