Vysoká škola ekonomická Praha Fakulta informatiky a statistiky Katedra statistiky a pravděpodobnosti Hlavní specializace : Statisticko-pojistné inženýrství
Název diplomové práce:
Heteroskedasticita školní rok : 1998-99
Diplomovou práci zpracoval : Petr SOUKAL Vedoucí diplomové práce: Prof. Ing. Petr HEBÁK, CSc.
-1-
Prohlašuji, že předkládanou diplomovou práci jsem zpracoval samostatně a všechny prameny a literaturu jsem uvedl v seznamu.
V Praze dne 22. dubna 1999 .......................... podpis
-2-
Děkuji vedoucímu diplomové práce panu prof. Ing. Petru Hebákovi, CSc. za cenné připomínky.
-3-
OBSAH
strana
1 Úvod.........................................................................................
1
2 Klasický lineární regresní model............................................ 5 2.1 Metoda nejmenších čtverců............................................................. 2.2 Odhad rozptylu náhodné složky...................................................... 2.2 Ověřování významnosti lineárního regresního modelu.................. 2.3.1 t-testy....................................................................................... 2.3.2 Celkový F-test..........................................................................
8 10 11 11 13
3 Zobecněný lineární model.......................................................
15
3.1 Zobecněný lineární regresní model................................................. 3.2 MZNČ.............................................................................................. 3.3 Odhad matice W............................................................................... 3.4 Metoda maximální věrohodnosti.....................................................
15 16 18 20
4 Heteroskedasticita...................................................................
22
4.1 Co je heteroskedasticita a jaké jsou její příčiny............................. 4.2 Vážená metoda nejmenších čtverců................................................
22 26
5 Odhadování parametrů lineárního modelu............................ 28 5.1 Matice W, popř. Ω je známa........................................................... 2 5.2 Rozptyly σi nejsou známy.............................................................. 2 5.2.1 Odhad σi bez apriorních předpokladů..................................... 5.2.2 Konstantní rozptyly v rámci podskupiny pozorování................ 5.2.3 Směr. odchylky σi jsou funkcí vysvětlujících proměnných....... 2 5.2.4 Rozptyly σi jsou lin. funkcí vysvětlujících proměnných............ 2 5.2.5 Rozptyly σi jsou funkcí střední hodnoty................................... 5.2.6 Multiplikativní heteroskedasticita.............................................
29 30 30 32 33 36 38 39
6 Testování heteroskedasticity...................................................
43
6.1 Konstruktivní testy.......................................................................... 6.1.1 Směr. odch. σi jsou lin. funkcí vysvětlujících proměnných....... 2 6.1.2 Rozptyly σi jsou lin. funkcí vysvětlujících proměnných............ 6.1.3 Multiplikativní heteroskedasticita............................................. 6.1.4 Glejserův test.......................................................................... 6.1.5 Parkův test............................................................................... 6.2 Nekonstruktivní testy.......................................................................
39 39 40 40 40 41 42
-4-
6.2.1 Spearmanův test korelace pořadí.............................................. 6.2.2 Goldfeld-Quandtův parametrický test....................................... 6.2.3 Goldfeld-Quandtův neparametrický test................................... 6.2.4 Breusch-Paganův test............................................................... 6.2.5 Bartlettův test........................................................................... 6.2.6 BAMSET.................................................................................. 6.2.7 F test užívající BLUS rezidua................................................... 6.2.8 F test užívající rekurzivní rezidua............................................. 6.3 Závěr k testování..............................................................................
42 42 43 44 45 46 47 47 52
7 Experimenty.............................................................................
53
7.1 Experiment I..................................................................................... 7.2 Experiment II................................................................................... 7.3 Experiment III.................................................................................. 7.4 Experiment IV.................................................................................. 7.5 Experiment V................................................................................... 7.6 Experiment VI.................................................................................. 7.7 Experiment VII................................................................................ 7.8 Experiment VIII............................................................................... 7.9 Experiment IX.................................................................................. 7.10 Experiment X................................................................................. 7.11 Výsledky experimentů....................................................................
56 57 59 60 62 63 65 66 68 69 71
8 Závěr........................................................................................
72
Literatura....................................................................................
74
Příloha.........................................................................................
75
1 Úvod -5-
Obsahem mé diplomové práce je heteroskedasticita v lineárním regresním modelu, problémy s ní spojené, možnosti její redukce a testování. Na následujících řádcích se pokusím tento pojem jednoduše nastínit. Standardní metody jednoduché a vícenásobné regrese předpokládají mimo jiné i předpoklad homoskedasticity (tj. podmínky, že všechna podmíněná rozdělení závisle proměnné Y mají stejnou směrodatnou odchylku (rozptyl)). Podrobně se těmito otázkami budu zabývat v kapitole 2. Pokud se testuje významnost parametrů regresní funkce, tak právě toto testování velmi výrazně závisí na splnění předpokladu homoskedasticity. Jinými slovy předpokladem homoskedasticity se rozumí, že rozptyl každé náhodné složky εi kolem její nulové střední hodnoty nezávisí na hodnotách X. Rozptyl každého εi zůstává pořád stejný bez ohledu na velké či malé hodnoty vysvětlující proměnné X. σ 2 není funkcí Xj, neboli σ i2 je různé od f(xij). Příklad homoskedasticity v grafickém provedení je uveden na obrázku 1.
Pokud σ 2 není konstantní, ale jeho hodnoty záleží na hodnotách X je možno psát σ i2 = f(xij). Na následujících třech obrázcích jsou zobrazeny tři rozdílné formy heteroskedasticity (nepřítomnosti homoskedasticity). Rozložení pozorování na obrázcích záleží na formě heteroskedasticity (vztahu σ i2 a xij). Na obrázku 2 na následující straně je zachycen případ monotonně vzrůstajícího rozptylu εi, jak vzrůstají hodnoty X, vzrůstá i rozptyl ε. Je to nejběžnější forma heteroskedasticity, která se uvažuje v regresních modelech.
-6-
Obrázek 3 ukazuje model „klesající“ heteroskedasticity. Jak vzrůstají hodnoty X odchylky pozorování od regresní přímky klesají. Což znamená, že rozptyl náhodné složky se mění opačným směrem než vysvětlující proměnná (-é).
Konečně na obrázku 4 na následující straně je zobrazena komplikovanější forma heteroskedasticity. Nejdříve rozptyl náhodné složky klesá s růstem hodnot X, ale po určité hodnotě x*, rozptyl ε vzrůstá s X.
-7-
Z předcházejícího textu by mělo být jasné, že model heteroskedasticity záleží na znaméncích a parametrech vztahu σ i2 = f(xij). Pokud ovšem εi nelze pozorovat (v realitě vždy), pak skutečný model heteroskedasticity není znám. V praxi se někdy například provádí před2
2
poklad, že heteroskedasticita je ve formě σ i2 = k xij , kde k je parametr. V realitě v mnoha konkrétních aplikacích se dá usuzovat na nedodržení předpokladu konstantního rozptylu náhodné složky. Jeden z důvodů je, že mnoho proměnných nezařazených do regresní funkce má většinou tendenci měnit se tím samým směrem jako proměnná X, čímž tedy způsobuje růst rozptylu pozorování kolem regresní přímky. Pro pochopení uvádím tři následující příklady. Příklad 1 Předpokládejme, že máme vzorek dat rozpočtů domácností, ze kterých chceme měřit úsporovou funkci domácností: Si = β1 + β2Yi + εi, Si ....úspory i-té domácnosti Yi ....příjem i-té domácnosti. V tomto případě předpoklad konstantního rozptylu náhodných složek není vhodný, protože domácnosti s vyššími příjmy budou vykazovat mnohem vyšší variabilitu v jejich úsporovém chování, než vykazují domácnosti s nižšími příjmy. Ekonomická teorie ukazuje, že domácnosti s vyššími příjmy mají tendenci si udržet jistý životní standard a pokud jejich příjem poklesne, raději zredukují svoje úspory než spotřební výdaje. Naopak domácnosti s nižšími příjmy spoří s určitým záměrem (např. za účelem běžných měsíčních splátek nebo za účelem splácení dluhů) a tak jsou jejich úsporové modely přesnější. Z toho je patrné, že u domácností s vyššími příjmy bude εi vysoké, zatímco u domácností s nízkými příjmy bude εi malé. Předpoklad konstantního rozptylu ε tedy v případě odhadování úsporové funkce z průřezových dat rodinných rozpočtů není dodržen.
-8-
Příklad 2 Uvažujme vzorek firem určitého odvětví, který bude použitý za účelem odhadnutí Cobb-Douglasovy produkční funkce: y = β 1 L β 2 K β 3 ε, L ... množství práce firmy K ... množství kapitálu firmy.
ε v tomto případě zahrnuje faktory jako podnikavost, technologické rozdíly strojního zařízení, rozdíly v organizačních dovednostech a další faktory. V ε zahrnuté faktory se příliš významně nemění u malých firem. Naopak u velkých firem se dá očekávat, že se budou měnit podstatně více. Proto ε bude „heteroskedastické“. Příklad 3 Předpokládejme, že ekonomickou jednotkou je firma a že máme zájem odhadnout nákladovou funkci v daném odvětví. Ze vzorku firem použijeme údaje o jejich nákladech a outputu a budeme uvažovat model například ve tvaru yi = β1 + β2xi + β3xi2 + εi yi ... průměrné náklady i-té firmy xi ... output i-té firmy. Tato funkce je vhodná, pokud očekáváme průměrnou nákladovou funkci ve tvaru U. I v tomto případě je důvod se domnívat, že pokud output nabývá vyšších hodnot, tak jednotlivé hodnoty pozorování průměrných nákladů budou mít tendenci mnohem více kolísat kolem střední hodnoty, než když je output firmy malý. Jinými slovy hodnoty náhodné složky εi budou pravděpodobně malé pro nízké hodnoty outputu a velké pro velké hodnoty outputu.
Závěrem se dá říci, že v praxi jsou někdy a priori důvody věřit v porušení předpokladu homoskedasticity. Proto je poměrně důležité se zabývat důsledky heteroskedasticity na odhady parametrů a jejich směrodatných chyb. Používané testy významnosti regresních parametrů mohou vlivem heteroskedasticity dospět k chybným závěrům. Poznámka V následujícím textu se budu snažit dodržovat následující značení: X ... matice n pozorování k vysvětlujících proměnných (včetně X1 jednotková proměnná) Xj ... j-tá vysvětlující proměnná, pokud X tak je to vysvětlující proměnná X xij ... i-tá hodnota j-té vysvětlující proměnné xi´ ... i-té pozorování všech proměnných Xj Y ... vysvětlovaná proměnná yi ... i-té pozorování vysvětlované proměnné Y y ... vektor pozorování proměnné Y ε ... náhodná složka (proměnná) εi ... i-tá hodnota náhodné složky ε ... vektor náhodných složek.
-9-
2 Klasický lineární model Klasický lineární model vyjadřuje explicitně lineární závislost jedné vysvětlované závislé proměnné na řadě vysvětlujících nezávisle proměnných a na aditivní náhodné složce. Jedná se tedy o lineární stochastický model, který se může vyjádřit např. ve tvaru Y = ΣXjβj + ε,
(2.1)
kde Y je vysvětlovaná proměnná Xj ... j-tá vysvětlující proměnná ε ... náhodná či stochastická složka βj ... j-tý parametr. Rovnici (2.1) lze také psát jako Y = xβ + ε,
(2.2)
x je řádkový vektor k vysvětlujících proměnných, včetně jednotkového vektoru členu, β je sloupcový vektor k parametrů, jehož první složka představuje absolutní člen rovnice (2.2). Odhadnuté parametry tohoto modelu vyjadřují kvantitativně vliv změny jednotlivé vysvětlující proměnné na hodnotu vysvětlované proměnné za předpokladu, že ostatní vysvětlující proměnné se nemění. k bude značit počet parametrů modelu. Označí-li se bj jako odhadnutá hodnota j-tého parametru, pak bj =
∂ Y ∂ Xj
, j = 1, 2, ..., k,
(2.3)
je odhadem intenzity separovaného působení j-té vysvětlující proměnné na Y. Protože odhad parametrů modelu je možný pouze na základě statistických dat, tj. pozorování jednotlivých proměnných, která jsou zpravidla představována konečným výběrem n hodnot vysvětlované proměnné a všech vysvětlujících proměnných, je možné základní lineární model (2.2) zapsat ve tvaru y = Xβ + ε
(2.4)
nebo jako - 10 -
⎡ y1 ⎤ ⎢y ⎥ ⎢ 2⎥= ⎢ ... ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ yn ⎦
⎡ x11 ⎢x ⎢ 21 ⎢ ... ⎢ ⎣ x n1
x12 x 22 ... xn2
... x1k ⎤ ... x 2 k ⎥⎥ β+ ... ... ⎥ ⎥ ... x nk ⎦
⎡ε 1 ⎤ ⎢ε ⎥ ⎢ 2⎥ ⎢ ... ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ε n ⎦
(2.5)
kde y je vektor napozorovaných hodnot vysvětlované závisle proměnné X ... matice pozorování vysvětlujících nezávisle proměnných, ε ... vektor nepozorovatelné náhodné složky modelu v každém z n pozorování, n ... rozsah výběru. Z toho vyplývá, že každý z n řádků matice X je množinou hodnot všech vysvětlujících proměnných v jednom pozorování, zatímco každý z k sloupců této matice představuje množinu všech napozorovaných hodnot jedné vysvětlující proměnné, přičemž první vysvětlující proměnná nabývá ve všech pozorováních stejné hodnoty a to jedna. Rozdíl mezi počtem pozorování n a počtem parametrů k se nazývá počet stupňů volnosti, přičemž musí platit, že n je větší než k. Pro klasický lineární regresní model mají být splněny následující požadavky: 1) E(εi) = 0 pro každé i = 1, 2, ..., n, takže vektorově E(ε) = 0n.
Vektor ε je náhodný s nulovou střední hodnotou. Neuvažované vlivy systematickým způsobem nezkreslují regresní odhady. Z toho vyplývá, že vektor y je rovněž náhodný a je určen regresní funkcí Xβ a náhodným vektorem ε. 2) D(εi) = σ 2 pro každé i = 1, 2, ..., n ( σ 2 je neznámá kladná konstanta),
C(εi,εi´) = 0 pro každé i ≠ i´ = 1, 2, ..., n. Spojením obou podmínek se dostane C(ε) = σ 2 In. První část podmínky je tzv. homoskedasticita. Tato část se týká rozptylů náhodné složky a vyjadřuje, že variabilita ε1, ε2, ...,εn nezávisí na hodnotách vysvětlujících proměnných. Z toho vyplývá, že i podmíněné rozptyly Y jsou nezávislé na hodnotách vysvětlujících proměnných a rovnají se stochastickému parametru tj. neznámé kladné konstantě σ 2 . Prvky na diagonále matice C(ε) představují konečné a konstantní rozptyly náhodné složky. Druhá část podmínky se týká kovariancí různých dvou dvojic náhodných veličin εi a εi´ pro každé i ≠ i´ = 1, 2, ..., n. Vyjadřuje podmínku nekorelovanosti různých dvojic pozorování vysvětlované proměnné Y. Nediagonální prvky C(ε) jsou nulové. - 11 -
3) X je nestochastická matice.
Vysvětlující proměnné jsou nenáhodné. Jsou pod „kontrolou“ experimentátora, nezávisí tedy na výsledku provedených pokusů. Při opakovaných výběrech by pozorování vysvětlujících proměnných nabývala stejných hodnot, jediným zdrojem variability Y v různých výběrech je tedy pouze měnlivost vektoru náhodných složek. Matice X je tedy nenáhodná. 4) Matice X má hodnost h(X) = k, kde n ≥ k.
Ke splnění této podmínky je třeba, aby mezi vysvětlujícími proměnnými nebyla funkční (lineární) závislost. Matice X nesmí obsahovat perfektně lineárně závislé sloupce, aby soustava normálních rovnic (2.5) byla jednoznačně řešitelná. Splnění této podmínky znamená, že X´X je symetrická nesingulární matice řádu k, takže existuje k ní jednoznačná inverzní (X´X)-1, která hraje klíčovou roli při odhadu parametrů modelu metodou nejmenších čtverců. Zároveň je třeba, aby počet pozorování nebyl menší než počet neznámých parametrů. V praxi je užitečné, aby počet pozorování n byl výrazně vyšší než počet neznámých parametrů k. K určení odhadových funkcí parametrů lineárního regresního modelu (2.4) metodou nejmenších čtverců není třeba předpokládat žádné konkrétní rozdělení pravděpodobnosti náhodných složek a tedy ani reziduí. Avšak aby bylo možné získat intervalové odhady parametrů a odvodit výběrová rozdělení odhadových funkcí, popř. testovat i určité hypotézy týkající se vlastností lineárního regresního modelu, je vhodné k již uvedeným předpokladům přidat ještě požadavek následující. 5) εi mají normální rozdělení pro každé i = 1, 2, ..., n. Vektor ε má n-rozměrné normální
rozdělení s nulovým vektorem středních hodnot a s kovarianční maticí σ 2 In. Důsledkem podmínky normálního rozdělení náhodného vektoru ε je i normální rozdělení náhodného vektoru y. Rovněž podmíněná rozdělení Y odpovídající různým kombinacím hodnot vysvětlujících proměnných jsou normální a náhodný vektor y má n-rozměrné normální rozdělení s vektorem středních hodnot Xβ a kovarianční maticí σ 2 In. 6) Parametry βj, j = 1, 2, ..., k, mohou nabývat libovolných hodnot. Na vektor β nejsou kla-
deny žádná omezení či požadavky. Tj. nemáme o hodnotách parametrů žádné předběžné podmínky. - 12 -
V praxi je téměř nemyslitelné bez ověření platnosti výše uvedených předpokladů hovořit o vlastnostech regresních odhadů. Nelze očekávat, že tyto předpoklady platí automaticky. V následující kapitole 3 budu výše uvedené podmínky oslabovat.
2.1 Metoda nejmenších čtverců Jsou-li splněny první čtyři předpoklady, lze na základě výběru n pozorování vysvětlované proměnné a všech k vysvětlujících proměnných odhadnout vektor parametrů lineárního regresního modelu metodou nejmenších čtverců (MNČ). Je-li v souladu s prvním předpokladem střední hodnota vektoru ε rovna nule, pak E(y) = Xβ + E(ε) = Xβ.
(2.6)
Takže střední hodnota vysvětlované proměnné je rovna pouze systematické složce modelu. Odhad regresních koeficientů Označí-li se b odhadová funkce vektoru parametrů β, získaná metodou nejmenších čtverců pak lze psát (2.7)
y = Xb + e
popř. y$ = Xb
(2.8)
kde e je vektor reziduí odpovídající odhadu ε$ , y$ ... vektor odhadnutých hodnot vysvětlované proměnné. Na základě definice odhadované funkce, lze odhad vektoru parametrů β získat minimalizací součtu čtverců reziduí e´e. Dospěje se k tzv. normálním rovnicím nejmenších čtverců z nichž se vyjádří odhadová funkce vektoru β, založená na kritériu nejmenších čtverců ve tvaru b = (X´X) -1 X´y.
(2.9)
Protože matice druhých parciálních derivací
∂ 2 e ′e je pozitivně definitní, vektor b zaručuje ∂ b ′∂ b
opravdu dosažení minima (2.9).
- 13 -
Vlastnosti : 1) Protože (X´X)-1 X´ je matice konstant, prvky vektoru b jsou lineárními funkcemi vektoru y. Nebo-li odhadová funkce (2.9) je lineární transformací y. Tudíž b je lineární odhadová funkce. Vzhledem k tomu, že y závisí na náhodné složce, je b stochastického charakteru. 2) Střední hodnota odhadové funkce b, získané opakovaným výběrem pozorování vektoru y je β, nebo-li odhadová funkce MNČ (2.9) je nestranná. 3) Odhadová funkce (2.9) je nejlepší lineární nestranná odhadová funkce vektoru β.
Aby se mohly posoudit rozptyly a kovariance odhadové funkce MNČ je nutné stanovit kovarianční matici odhadové funkce b tj. C(b) = E[(b - β )(b - β )´] = (X´X)-1X´E[(uu´)X(X´X)-1] = σ 2 In (X´X)-1X´X(X´X)-1 = σ 2 (X´X) -1.
(2.10)
Označí-li se libovolná lineární odhadová funkce vektoru β, různá od odhadové funkce MNČ např. jako b*, lze ukázat, že C(b*) je větší nebo roven C(b), rozdíl kovariančních matic C(b*) - C(b) je tedy pozitivně semidefinitní matice. Nebo-li, že 2
2
E(bj* - βj) ≥ E(bj - βj) , j = 1, 2, ..., k,
(2.11)
kde bj jsou prvky odhadové funkce b. Důkazy výše uvedených tvrzení viz. například
Hu-
šek, Ekonometrie, 1976. Jinými slovy, odhadová funkce b, získaná MNČ má nejmenší výběrový rozptyl ze všech lineárních nestranných odhadových funkcí vektoru β. Tím by se zároveň dokázala i tzv. Gaussova-Markovova věta, která říká, že při splnění předpokladů, které se týkají matice X pro použití MNČ, je odhadová funkce b získaná MNČ ve tvaru (2.9) nejlepší lineární ne-
stranná odhadová funkce, takže jakákoli odhadová funkce vektoru β, která je také lineární formou vektoru y, a zároveň nestranná, má kovarianční matici složenou z kovarianční matice b a navíc z pozitivně semidefinitní matice.
- 14 -
2.2 Odhad rozptylu náhodné složky K výpočtu kovarianční matice odhadnutých parametrů C(b) je potřeba znát i odhad rozptylu náhodné složky, neboť skutečnou hodnotu σ2 nelze určit vzhledem k tomu, že hodnoty náhodných složek nelze získat pozorováním. Označí-li se odhad σ2 jako σ$ 2 , pak lze ukázat, že při odvození odhadové funkce rozptylu náhodné složky je možno vyjít z rozptylu vektoru reziduí e, spočteného na základě MNČ. Vyjádří-li se střední hodnota součtu čtverců reziduí, dostane se E(e´e) = σ 2 (n - k),
(2.12)
rozptyl náhodných složek lze tudíž psát jako
σ 2 = E(e´e)/(n - k), takže statistika σ$ 2 ve tvaru
σ$ 2 = (e´e)/(n - k)
(2.13)
je nestrannou odhadovou funkcí rozptylu náhodné složky σ 2 , získanou pomocí MNČ, protože platí, že E( σ$ 2 ) = σ 2 . e´e je reziduální součet čtverců a k je počet parametrů regresní funkce. Nyní je možné přistoupit i k numerickému určení kovarianční matice odhadnutých -1 parametrů C(b). Protože inverzní momentová matice (X´X) je nestochastická a σ$ 2 je ne-
strannou odhadovou funkcí rozptylu σ 2 , je nestrannou odhadovou funkcí kovarianční matice odhadů parametrů, určených MNČ statistika S(b), daná výrazem -1
S(b) = σ$ 2 (X´X) .
(2.14)
Odmocniny diagonálních prvků této matice jsou odhadnuté směrodatné chyby regresního lineárního modelu, které se používají nejen jako míry přesnosti bodové odhadové funkce MNČ b, ale i při intervalovém odhadu a při testování statistické významnosti bodových odhadů
parametrů.
- 15 -
2.3 Ověřování významnosti lineárního regresního modelu K určení odhadových funkcí parametrů lineárního regresního modelu (2.4) MNČ nebylo zase úplně nutné předpokládat nějaké konkrétní rozdělení pravděpodobnosti náhodných složek a tedy ani reziduí. Aby bylo možné dostat intervalové odhady parametrů a bylo možné odvodit výběrová rozdělení odhadových funkcí, popř. testovat i určité hypotézy týkající se vlastností lineárního regresního modelu, je nutné k prvním čtyřem předpokladům přidat ještě požadavek, aby n-rozměrný vektor náhodných složek měl normální rozdělení s nulovou střed2
ní hodnotou a kovarianční maticí E(εε´) = σ In, takže lze psát
ε ~ N(0,σ In ), 2
(2.15)
přičemž funkce vektoru ε má tvar f(ε) = (2πσ ) exp[-ε´ε /(2σ )]. 2 -n/2
2
(2.16)
Při předpokladu normality je odhadová funkce MNČ pro parametry modelu identická s odhadovou funkcí metody maximální věrohodnosti (MMV).
2.3.1 t-testy
Protože bodová odhadová funkce parametrů b poskytuje výběrové odhady b1, b2, ..., bk na základě jednoho výběru pozorování ze základního souboru, musí se testovat jejich statistická významnost. Z předpokladu normality náhodných složek plyne, že také stochastická odhadová funkce b má normální rozdělení s vektorem středních hodnot rovných β a s kovarianční maticí σ (X´X) . Pokud by byl konstantní rozptyl náhodných složek znám, dalo by se 2
-1
použít předpokladu b ~ N[β, σ (X´X)-1], 2
(2.17)
jako východiska k testování hypotéz o skutečných hodnotách jednotlivých parametrů. Ve skutečnosti však σ není znám a proto se vychází při testování významnosti parametrů z jeho ne2
stranného odhadu MNČ. Pokud je nestranný odhad σ znám, určí se i nestranné odhady roz2
ptylů odhadnutých parametrů b na základě (2.14). Odmocniny odhadů rozptylů σ$ b2 = σ$ 2 x jj na - 16 -
diagonále odhadu pro kovarianční matice S(b) jsou odhady směrodatných chyb bodových odhadů βj, takže pro ně platí σ$ b j = σ$ x jj , j = 1, 2, ..., k a xjj je diagonální prvek (X´X)-1.
Nediagonální prvky (2.14) představují odhadnuté kovariance dvojic bodových odhadů, neboli cov(bjbj´) = σ$ 2 x jj′ , Podíl
bj − β j
σb
j ≠ j´.
je standardizovaná normální proměnná s nulovým průměrem a jednotkovým
j
rozptylem, takže poměr tj =
bj − β j σ$ b
(2.18)
j
má pro každé j Studentovo rozdělení t s (n - k) stupni volnosti. Testovací statistika (2.18) je vhodná především pro malé výběry (n < 30). Pohybuje-li se počet stupňů volnosti kolem 30, pak rozdíly mezi kritickými hodnotami rozdělení t a normovaného normálního rozdělení jsou již malé. Testovací statistika (2.18) umožňuje testovat hypotézy, týkající se skutečné hodnoty libovolného parametru βj. 1) Pokud je potřeba testovat nulovou hypotézu, že skutečná hodnota parametru βj = mj pro-
ti alternativní hypotéze βj ≠ mj, použije se jako testovací statistika veličina tj =
b j − mj . σ$ b
(2.19)
j
Platí-li při použití dvoustranného testu |tj| > tα/2, nebo-li absolutní hodnota vypočteného tj je větší než tabelovaná kritická hodnota tα/2 pro (n - k) stupňů volnosti, pak se na α% hladině významnosti nulová hypotéza odmítne ve prospěch alternativní hypotézy. V opačném případě kdy tα/2 ≥ |tj|, se nulová hypotéza na dané hladině významnosti akceptuje. 2) Velmi často se testuje nulová hypotéza, že libovolný parametr βj = 0, což znamená, že
příslušná vysvětlující proměnná Xj nemá žádný vliv na vysvětlovanou proměnnou Y.
- 17 -
V takovém případě se statistika tj zjednoduší, neboť vzhledem k (2.19) se pro j-tý parametr dostane tj =
bj . σ$ b
(2.20)
j
Testovací statistika (2.20) se nazývá t poměr a někdy se používá jako míra přesnosti bodových odhadů parametrů místo odhadnutých směrodatných chyb. Pomocí tohoto poměru se posuzuje statistická významnost j-tého parametru tak, že nulová hypotéza βj = 0 se akceptuje když tα/2 ≥ |tj| pro hladinu významnosti α a (n - k) stupňů volnosti, nebo-li s pravděpodobností 100(1-α) procent se dá usuzovat, že bodový odhad bj není statisticky významný. Platí-li naopak, že |tj| > tα/2, nulová hypotéza βj = 0 se odmítne a konstatuje se, že vysvětlující proměnná Xj je z hlediska svého vlivu na vysvětlovanou proměnnou Y významnou proměnnou na hladině významnosti α a při (n - k) stupních volnosti. 2.3.2 Celkový F-test
Obdobným způsobem, jakým se testuje významnost jednotlivého parametru, nebo se určuje jeho interval spolehlivosti na základě rozdělení t, lze postupovat v případě, kdy se testuje významnost nebo kdy je nutné stanovit interval spolehlivosti více parametrů najednou. Místo z rozdělení t se však vychází z rozdělení F, jehož testovací statistika je podílem dvou 2
nezávislých rozdělení χ s počtem stupňů volnosti (k - 1), popř. (n - k). Takže podíl
F=
( b − β ) ′ X ′X ( b − β ) ( n − k ) ( y − Xb) ′( y − Xb) ( k − 1)
(2.21)
má rozdělení F s počtem stupňů volnosti (k - 1) a (n - k). Tuto statistiku lze použít platí-li, že Y má nulový průměr, k získání simultánního intervalu spolehlivosti pro všechny složky vektoru b současně i k testování významnosti odhadnutého modelu jako celku. V případě pouze dvou parametrů je interval spolehlivosti dán elipsou, pro k parametrů je pak výsledkem k-rozměrný elipsoid spolehlivosti. Celkový F-test neumožňuje posoudit, zda všechny proměnné jsou v regresní funkci užitečné, ani zda bylo potřeba zařadit do rovnice další, či jiné proměnné. V aplikacích je tedy třeba dát pozor na přecenění výsledku zamítnutí Ho : β1 = β2 = ... = βk. - 18 -
Na základě t, resp. F testů se nemusí vždy dospět k jednoznačnému závěru. Často se při ověřování statistické významnosti stává, že F-test je signifikantní, ale některé nebo všechny parametry nikoliv, nebo naopak F-test je nevýznamný a většina nebo všechny parametry významné jsou. V takových situacích je těžké rozhodnout, zda se přisoudí větší váha F-testu, nebo směrodatným chybám odhadnutých parametrů modelu.
- 19 -
3 Zobecněný model 3.1 Zobecněný lineární regresní model V aplikacích lineárního regresního modelu nebývají některé požadavky týkající se vlastností vektoru náhodných složek ε splněny. Proto je nutné předpoklady o charakteru vektoru ε do jisté míry uvolnit a použít při kvantifikaci modelu odpovídajícím způsobem modifikované metody odhadu parametrů. Obecně se postupuje tak, že v prvním kroku, který má diagnostický charakter se na základě vhodných testovacích charakteristik ověřuje, který z klasických požadavků (pokud jde o náhodnou složku lineárního modelu) a v jaké míře není splněn. Následuje úprava základní struktury modelu, použitých statistických dat nebo odhadových metod. Zobecněným lineárním modelem
se rozumí klasický lineární regresní model
y = Xβ + ε se změněnou podmínkou týkající se kovarianční matice ε, a tedy i y. Předpoklad
E(ε) = 0 tedy zůstává v platnosti. Rozdíl mezi klasickým a zobecněným modelem spočívá v tom, že místo kovarianční matice C(ε) = C(y) = σ2In se zavádí obecnější kovarianční matice
Ω = σ2W s rozptyly D(εi) = D(yi) = σ i2 = σ2wii, i = 1, 2, ..., n, a s kovariancemi C(εi,εi´) = C(yi,yi´) = σ ii′2 = σ2wii´ pro každou dvojici i ≠ i´ = 1, 2, ..., n. V klasickém lineárním modelu se předpokládá, že jednotlivé rozptyly jsou stejné a rovnají se nějaké neznámé konstantě σ2. Proti tomu se v zobecněném modelu připouští, že tyto rozptyly nemusí být nutně všechny stejné a jsou to (většinou neznámé) konstanty σ i2 . Pro obecné řešení a snažší přehlednost je výhodné je zapsat ve formě σ i2 = σ2wii´, kde wii´ jsou kladné konstanty (váhy). Podobně se v klasickém modelu předpokládá, že dvojice náhodných složek εi a εi´ (popř. yi a yí´) jsou nezávislé, zatímco zobecněný model připouští možnost závislosti jednotlivých pozorování. Z věcného hlediska jde o dva samostatné problémy heteroskedasticity a autokorelace. Pro obecné řešení je možné zkoumat oba případy společně, já se budu zabývat pouze heteroskedasticitou a kovarianční matici ε (popř. y) zapsat maticově ve tvaru
- 20 -
⎡ σ 12 σ 12 ⎢ σ σ 22 C(ε) = C(y) = Ω = ⎢ 21 ⎢ ... ... ⎢ ⎢⎣σ n1 σ n2
⎡ w112 ... σ 1n ⎤ ⎥ ⎢ ... σ 2 n ⎥ w = σ 2 ⎢ 21 ⎢ ... ... ... ⎥ ⎥ ⎢ ... σ 2n ⎥⎦ ⎢⎣ wn1
w12 2 w22 ... wn2
... w1n ⎤ ⎥ ... w2 n ⎥ = σ 2 W. ⎥ ... ... 2 ⎥ ... wnn ⎥⎦
Z vlastností rozptylu vyplývá, že na diagonále matice jsou kladná čísla (wii ≥ 0 pro každé i), že matice W je symetrická ( wii´ = wi´i pro každou dvojici i ≠ i´) a navíc je i pozitivně semidefinitní (vyplývá z nerovnice E(εi εi´) ≤ [E(εi )E(εi´ ) ] řádu n). 2
2 1/2
-1
Rovněž se předpokládá, že matice W existuje. Symetrická matice W se normuje tak,
že
st W = n, nebo-li průměr diagonálních prvků kovarianční matice C(ε) je σ 2 , což je rozptyl náhodných složek εi. Je-li W = In, model se redukuje na standardní lineární regresní vztah.
3.2 MZNČ Podstatou této metody, někdy také nazývané Aitkenův odhadový postup je vhodná transformace zobecněného lineárního modelu, která zajistí splnění podmínky C(ε) = σ 2 In a umožní následný odhad takto modifikovaného modelu klasickou MNČ. Pokud se předpokládá, že ostatní předpoklady klasického lineárního modelu (2.4) zůstávají v platnosti, existují různé možnosti určení nejlepšího lineárního nezkresleného odhadu vektoru β. Tato metoda musí vycházet ze znalosti matice W. Jednou z možností je nalézt matici T takovou, aby platilo T´T=W
(3.1)
-1
takže TWT´ = In. Pokud se rovnice y = Xβ + ε vynásobí zleva nesingulární čtvercovou maticí T řádu n získá se Ty = TXβ + Tε
(3.2)
neboli y* = X*β + ε*
(3.3)
což lze interpretovat jako lineární regresní model s vektorem n vysvětlovaných proměnných y* = Ty, ve kterém X* = TX je matice k nových vysvětlujících proměnných a ε* = Tε je - 21 -
vektor náhodných složek. Výhodou této úpravy je okolnost, že pro náhodnou složku ε* platí klasická podmínka C(ε*) = σ 2 In. Nebo-li E(ε*ε*´) = E(Tεε´T´) = σ 2 TWT´ = σ 2 In. Neboť matice transformace T je volena tak, že (3.2) vyhovuje předpokladům kladeným na klasický lineární regresní model a odhadová funkce vektoru β založená na MNČ má optimální vlastnosti (uvedené v předcházející části klasický lineární regresní model). Použije-li se MNČ k odhadu parametrů transformovaného modelu (3.2), získá se b = (X´*X*)-1X*´y* = (X´T´TX)-1X´T´Ty = (X´W -1X) -1X´W -1y
(3.4)
což je tzv. Aitkehova odhadová funkce, odvozená metodou zobecněných nejmenších čtverců (MZNČ), pro vektor β zobecněného lineárního modelu (3.2). Odhadová funkce MZNČ vektoru β, definovaná výrazem (3.4), je opět nejlepší lineární nestrannou odhadovou funkcí. Jde o odhadovou funkci MNČ, aplikovanou na standardní lineární regresní model (3.2) popř. (3.3) obsahující transformované proměnné. Je-li vektor ε rozdělen normálně, má normální rozdělení i vektor ε*, takže lze při statistickém ověřování významnosti transformovaného modelu (3.2) nebo (3.3) použít např. testy uvedené v předcházejících podkapitolách 2.3. Použije-li se k odhadu vektoru β MNČ i v případě, že W není rovno In, pak odhadová funkce MNČ vektoru β si sice zachová vlastnosti nestrannosti, avšak její kovariační matice bude větší než při odhadu β pomocí MZNČ. Tzn., že odhadová funkce MNČ, aplikovaná přímo na zobecněný lineární model, kde E(εε´) = σ 2 W, přestává být nejlepší lineární nestrannou odhadovou funkcí vektoru β, neboť nesplňuje požadavek minimálního rozptylu. Kovarianční matice odhadové funkce MZNČ (3.4) je dána výrazem -1
C(b) = σ 2 (X*´X*) = σ 2 (X´W -1X) . -1
(3.5)
Nevychýlený odhad σ 2 se získá obdobně jako v KLM. E(e´W e ) = σ 2 (n - k) -1
takže nevychýlený odhad σ 2 je
σ$ 2 = (e´W e)/(n - k). -1
(3.6)
Zobecněný rozptyl (3.6) je nezkresleným odhadem stochastického parametru σ 2 . - 22 -
Odhadovou funkcí kovarianční matice C(b) je tudíž statistika S(b) ve tvaru -1 -1 S(b) = σ$ 2 (X´W X) .
(3.7)
Pokud by se nerespektovala skutečnost, že podmínka E(εε´) = σ 2 In není splněna bude odhad
σ 2 na základě σ$ 2 dokonce zkreslený. Intervaly spolehlivosti a testy hypotéz pak nebudou mít velkou cenu. Pokud se respektuje okolnost, že E(εε´) = σ 2 W, a bude se vycházet ze skutečnosti, že matice W je známa, pak pomocí (3.4) se vypočte odhadová funkce MZNČ, jakož i směrodatné chyby, takže je možné určit i hodnoty obvyklých testovacích statistik, včetně intervalů spolehlivosti jednotlivých parametrů βj. Praktické řešení problému je ovšem výrazně složitější než řešení teoretické. Vzniká celá řada otázek, jako např.: Jak se identifikuje domněnka o stejných rozptylech a (nebo) nulových kovariancích? Kdy použít MZNČ místo MNČ ? Známe matici W? Jakým způsobem se odhadne? Pokud se nahradí W jejím odhadem, zůstane zobecněný odhad kvalitní? Ve většině úloh je matice W neznámá a konstruuje se „ex post“, tj. teprve po odhadu (2.4) MNČ na základě spočtených reziduí, přičemž způsoby transformace (2.4) na (3.2) se liší v případě heteroskedasticity a autokorelace.
3.3 Odhad matice W v zobecněném lineárním modelu V praktických situacích je většinou nutné slevit z předpokladu znalosti matice Ω, popř. W. A musí se hledat vhodný odhad matice W a následně se tento odhad použije k odhadu β. Výše uvedený odhad „odhadu“ se vyjadřuje jako
$
β$ = (X´ W$ -1X)-1X´ W$ -1y.
(3.8)
Odhad n rozptylů na základě n pozorování nepřichází většinou bez určitých omezení, či dodatečných předpokladů v úvahu. Jednotlivými typy heteroskedasticity a následnými odhady diagonálních prvků matice Ω se zabývám v následujících kapitolách. Určení konečných vlastností odhadu (3.8) je obecně obtížný problém mimo jiné protože
$
β$ = (X´ W$ -1X)-1X´ W$ -1y = β + (X´ W$ -1X)-1X´ W$ -1ε.
- 23 -
$ Úsudky o β jsou založené na asymptotických vlastnostech β$ a pro některé specifické funkce W(θ), kde θ je nějaký vektor parametrů či parametr na jehož určení závisí i od-
$ hady W. Existují dva obecné výsledky, které patří ke konečným vlastnostem odhadu β$ . Pokud rozdělení ε je symetrické kolem 0 a W$ je sudá funkce reziduí e tj. ( W$ (e) = W$ (-e))
$ $ potom je β$ nevychýlený odhad β (pokud existuje E( β$ ) ). Pro druhý výsledek platí
σ$$ 2 = e$ ´ W$ -1 e$ /(n - k) kde
$ e$ = y - X β$
a nechť θ$ je odhad θ (neznámého parametru, či vektoru parametrů W) je získán pomocí reziduí z MNČ. Potom např. Breusch, A Simple Test for Heteroscedasticity and Random Coeffici-
$ ent Variation, 1980 dokázal, že rozdělení ( β$ - β)/σ, σ$$ 2 /σ2 a e$ /σ nezávisí na β a σ2. Tento fakt má význam při plánování simulačních experimentů. Vlastnosti EGLS v konečných výběrech nejsou obecně odvoditelné. Je pouze možné spoléhat se na asymptotické vlastnosti a pro konečné výběry na výsledky simulačních experimentů. Tyto experimenty jsou, ale pouze konkrétními specifickými modely a je tedy „nebezpečné“ provádět obecná zevšeobecnění. Nicméně se ukazuje, že odhady EGLS budou častěji „lepší“ než odhady MNČ, alespoň pro větší rozsahy výběrů. Je jasné, že to neplatí vždy. Například pokud by platilo, že β$ = b budou mít oba odhady minimální rozptyly a tedy b má
$ menší rozptyl než β$ . Asymptotické výsledky jsou obecnější. Pokud se předpokládají dodatečné podmínky je možné odvodit odhadové funkce pro Ω, stejně jako odhady MZNČ a EGLS pro β, takové aby byly konzistentní. Dostatečné podmínky, aby odhady MZNČ a odhady (EGLS) byly konzistentní a měli stejné asymptotické rozdělení jsou : lim n (X´ Ω -1X) = Q, -1
(3.9)
kde Q je konečná a nesingulární matice;
- 24 -
-1 p lim n X´( Ω$ -1- Ω -1)X = 0
a -1/2
p lim n
(3.10)
X´( Ω$ -1- Ω -1 )ε = 0
(3.11) $ n( β$ − β$) konverguje podle pravděpodobnosti k nule,
Pokud jsou tyto podmínky dodrženy,
obě odhadové funkce budou asymptoticky normální se střední hodnotou β a kovarianční maticí n σ2Q-1. Pokud navíc platí -1
p lim n e´( Ω$ -1 - Ω -1)e = 0 -1
(3.12)
potom oba odhady
$ $ σ$$ 2 = [(y - X β$ )´ Ω$ -1(y - X β$ )]/(n - k) a
σ$ 2 = [(y - X β$ )´ Ω$ -1(y - X β$ )]/(n - k) jsou konzistentní odhady σ2. Tyto podmínky, jestliže jsou splněny, znamenají, že pokud se podaří nalézt matici T$ takovou, že platí T$ ´ T$ = Ω$ -1, mohou být obvyklé procedury aplikované na transformovaný model T$ y = T$ Xβ + T$ ε asymptoticky spolehlivé. Podmínky (3.9) - (3.12) jsou obecné podmínky, které mohou být ještě konkrétnější, pokud se vezmou v úvahu nějaké další předpoklady o Ω.
3.4 Metoda Maximální věrohodnosti Za předpokladu, že v modelu y = Xβ + ε má náhodný vektor ε normální rozdělení s nulovým vektorem středních hodnot a s kovarianční maticí σ2W(θ), kde W(θ) vyjadřuje, že matice W závisí na h-členném vektoru parametrů θ. Po vynechání nepotřebných proměnných má logaritmus věrohodnostní funkce tvar logL = (-n/2)logσ2 - (1/2)log⏐W⏐- (1/2σ2)(y - Xβ)´W -1(y - Xβ).
(3.13)
Maximalizace (3.13) vzhledem k β a σ2 vede k ~
β = (X´W(θ)-1X)-1X´W(θ)-1y ~
(3.14)
~
σ~ 2 = (y - X β )´W(θ)-1(y - X β )/n.
(3.15) - 25 -
Obvyklý postup je takový, že se nejdříve maximalizuje (3.13) vzhledem k θ získaný θ$ se použije v W( θ$ ) = W$ . Díky vlastnostem metody maximální věrohodnosti jsou výsledné odhady pro β a σ2 asymptoticky vydatné. Většinou je ale třeba užít pro řešení některou z metod umožňující řešení soustavy nelineárních rovnic.
4 Heteroskedasticita - 26 -
4.1 Co je heteroskedasticita a jaké jsou její příčiny Podmínka klasického lineárního regresního modelu v sobě zahrnuje především požadavek konečného a konstantního rozptylu náhodných složek, a tudíž i reziduí modelu, který se označuje jako homoskedasticita. V opačném případě se jedná o heteroskedasticitu. S tímto modelem je možné se setkat především při odhadu parametrů z průřezových dat, kdy dochází k velkým změnám v hodnotách vysvětlujících proměnných. Mnohem méně se heteroskedasticita objevuje při odhadu modelu z časových řad. Tři příklady měnícího se rozptylu náhodných složek, a tedy i rozptylu vysvětlované proměnné jsem uvedl v první kapitole, jednalo se o úsporovou funkci domácností (s rostoucími příjmy domácností roste variabilita jejich úspor), Cobb-Douglasovu produkční funkci (rozptyl objemu produkce se zpravidla přímo úměrně mění s počtem zkoumaných firem nebo jejich velikostí) a odvětvovou nákladovou funkci. Někdy je z ekonomické praxe a priori nezbytné předpokládat porušení podmínky homoskedasticity. V dalším textu budu všude předpokládat existenci pouze samotné heteroskedasticity bez existence autokorelace. Příčiny heteroskedasticity jsou především 1) Jak jsem již uvedl mikro či makro ekonomická data nabývají značně rozdílných hodnot
v jednom náhodném výběru pozorování, takže rozptyl vysvětlované proměnné, a tím i reziduí, je často funkcí některé vysvětlující proměnné. 2) Chybná specifikace modelu, spočívající ve vynechání některé podstatné vysvětlující
proměnné. Takto vynechaná proměnná je pak zahrnuta v náhodné složce a pokud má podobný průběh jako vysvětlovaná proměnná, tj. vyšší hodnota vysvětlované proměnné je důsledkem vyšší hodnoty vysvětlující proměnné, způsobuje růst variability vysvětlované proměnné, kterou vysvětlující proměnné zahrnuté do modelu nepostihují. 3) Při výskytu chyb měření dochází k jejich kumulaci s rostoucí vysvětlovanou proměnnou
a tím se zvětšuje její rozptyl i rozptyl reziduí.
- 27 -
4) Heteroskedasticita rovněž přirozeně vzniká v modelech s náhodnými parametry (Hildre-
th a Houck, Some Estimators for Linear Model with Random Coefficients, 1968).
V tomto
případě se uvažuje k
k
k
j =1
j =1
j =1
yi = ∑ β ij xij = ∑ ( β j + vij ) xij = ∑ β j xij + ε i
kde εi =
k
∑v
iji
(4.1)
xiji , E(vij) = 0, E(vijvij´) = 0 pro j ´≠ j nebo i ≠ i´, a E(vij2) = αj.
j =1
To implikuje, že E(ei) = 0 , E(eiei ´) = 0 pro i ≠ i ´ a σi2 = E(ei2) =
k
∑α
j
xij2 .
j =1
Tedy každý parametr, βij se považuje za náhodnou veličinu se střední hodnotou βj a odhad vektoru středních hodnot β´= (β1, β2, ..., βk) je možno uskutečnit MZNČ. MZNČ, ale vyžaduje odhad αj, tento odhad se potom použije k odhadu odhadové funkce β MZNČ. 5) Použijí-li se k odhadu parametrů modelu nikoliv původní pozorování, nýbrž například
skupinové průměry, spočtené z tříděných údajů. Poslední příčinu zdokumentuji na příkladě. Příklad 4 Nechť yij je sklizeň určité plodiny z i-tého hektaru j-té farmy, xij1 a xij2 představují množství vložené práce a množství vloženého kapitálu na i-tý hektar j-té farmy, i = 1, 2, ..., Nj, j = 1, 2, ..., n, kde Nj je počet hektarů (s n
nějakou plodinou) u j-té farmy a N =
∑N
j
. Pokud by byla tato data dostupná, může se předpokládat napří-
j =1
klad model: yij = β0 + β1xij1 + β2xij2 + εij,
(4.2)
kde platí E(εε´) = σ2In, ε´ = (ε1´, ε2´, ...,εn´), εj´ = (ε1j, ε2j, ..., εNjJ). Většinou jsou, ale k dispozici data která představují „jen“ průměrné hodnoty z jednotlivých n farem. Zajímá nás vlastně regresní funkce
y j = β 0 + β 1 x j1 + β 2 x j2 + ε j ,
1 kde y j = Nj
(4.3)
Nj
∑y
ij
a podobně i další průměry x j1 ,x j2 .
i =1
- 28 -
V tomto případě platí E( ε j ) = 0, a 2 2 σ2 1 ⎡⎛ Nj ⎞ ⎤ N j σ E (ε ) = 2 E ⎢⎜ ∑ ε ij ⎟ ⎥ = = . Nj N j ⎢⎝ i =1 ⎠ ⎥ N 2j ⎣ ⎦ 2 j
(4.4)
Ačkoliv εij jsou nekorelované a mají stejný rozptyl σ2 pro každé i = 1, 2, ..., Nj, j = 1, 2, ..., n, jsou agregovaná data heteroskedastická s nestejnými rozptyly
σ2 Nj
-1
farmy) je velmi jednoduché matici W určit jako W Agregací hektarů se data stala heteroskedastickými.
. Pokud se znají váhy Nj (celkový počet hektarů u j-té -1
= diag (N1, N2, ..., Nn) a použít ji k odhadu β MZNČ.
Předpokládejme, že náhodné složky εi nemají konstantní rozptyly, ale jsou nezávislé. Kovarianční matice náhodných složek má pak tvar ⎡σ 12 ⎢ 0 C(ε) = ⎢ ⎢ ... ⎢ ⎢⎣ 0
0
σ 22 ... 0
0 0⎤ ⎥ ... 0 ⎥ ... ... ⎥ ⎥ ... σ 2n ⎥⎦
Ω.
=
Zapíše-li se každý rozptyl ve formě σi2 = σ2wi, je možné matici Ω zapsat jako ⎡ w1 ⎢ 2⎢ 0 Ω=σ ⎢ ... ⎢ ⎣0
0 w2 ... 0
0 0⎤ ... 0 ⎥⎥ ... ... ⎥ ⎥ ... wn ⎦
σ2W.
=
n
Výhodné je zavést podmínku st(W) = ∑ wi = n . Pro obecné řešení odhadu vektoru β i =1
v modelu y = Xβ + ε je lhostejné, zda se pracuje s maticí Ω nebo s maticí W. Konstanta σ2 nic nemění na tom, že nejlepším lineárním nezkresleným odhadem β je zobecněný odhad
β$ = (X´Ω -1X)-1X´Ω -1y= (X´W -1X)-1X´W -1y
(4.5)
s kovarianční maticí σ2(X´Ω X)-1. -1
σ2 odhadujeme pomocí σ$ 2 = e´Ω -1e/(n - k), což je jeho nevychýlený odhad Pro odhad β není podstatné, zda se pracuje přímo s rozptyly σ i2 nebo s maticí vah wi.
- 29 -
-1 Pokud by se za předpokladu Ω ≠ In, β odhadovala pomocí b = (X´X) X´y místo (4.5), tak β$
zůstává stále nevychýlenou odhadovou funkcí β, ale odhad již není vydatný, protože nemá minimální rozptyl. Protože její kovarianční matice je nyní C(b) = E[(b - β)(b - β)´] = E[(X´X) X´εε´X(X´X) ]= σ2 (X´X) (X´Ω X)(X´X) , -1
-1
-1
-1
-1
obvyklý vzorec pro kovarianční matici není vhodný a rovněž v předchozí kapitolách bylo ukázáno, že odhadová funkce pro σ2 je vychýlená. Heteroskedasticita způsobuje, že odhady parametrů získané klasickou MNČ, ztrácejí některé optimální vlastnosti. Lze dokázat, že i při nedodržení požadavku konečného a konstantního rozptylu poskytuje MNČ nestranné a konzistentní bodové odhady regresních parametrů, které však ztrácejí vydatnost i asymptotickou vydatnost. Odhady rozptylů a směrodatných chyb odhadnutých regresních parametrů nelze získat pomocí vzorců, odvozených pro případ homoskedasticity, takže běžné testy statistické významnosti, ani intervalový odhad nejsou použitelné. Při aplikaci obvyklých odhadových funkcí pro směrodatné chyby odhadů, bez ohledu na měnící se rozptyl náhodných složek, se dospěje k vychýleným odhadům směrodatných chyb, takže intervalový odhad je podhodnocený nebo nadhodnocený a výsledky testů jsou také nereálné.
- 30 -
4.2 Vážená metoda nejmenších čtverců Předtím než začnu popisovat jednotlivé heteroskedastické struktury, pokusím se nastínit použití MNČ a MZNČ za obecného předpokladu, že Ω = diag ( σ 12 , σ 22 , ..., σ 2n ). V této souvislosti se MZNČ někdy také nazývá vážená metoda nejmenších čtverců. K důvodu tohoto názvu uvádím příklad. Příklad 5 i-té pozorování rovnice y = Xβ + ε lze zapsat jako yi = xi´β + εi ,
(4.6)
a odhadová funkce získaná MZNČ je tedy dána
(
β$ = X ′Ω −1 X
)
−1
⎛ n ⎞ X ′Ω y = ⎜ ∑ σ −i 2 x i x i′ ⎟ ⎝ i =1 ⎠ −1
−1
⎛ n ⎞ σ x i yi = ⎜ ∑ x i* x i*′ ⎟ ∑ ⎝ i =1 ⎠ i =1 n
−2 i
−1
n
∑x
i
* yi*
i =1
= (X*´X*)-1X*´y*
(4.7)
kde xi* = xi/σi, yi* = yi/σi, X* = TX, y* = Ty, T = diag ( σ 1 , σ 2 , ..., −1
−1
-1 σ −1 n ) a platí T´T = Ω .
Nebo-li MZNČ je MNČ uplatněná na transformovaný model Ty = TXβ + Tε, jehož i-té pozorování je yi /σi = xi´β /σi + εi/σi.
(4.8)
Každé z těchto pozorování je váženo převrácenou hodnotou směrodatné odchylky odpovídající náhodné složky n
a odhadová funkce MZNČ vlastně minimalizuje
εi
∑σ i =1
, součet čtverců vážených reziduí. Spolehlivější pozo-
i
rování (tj. ty s relativně nízkou σ i ) jsou váženy mnohem více a hrají větší roli v procesu odhadování než ty pozorování, která jsou méně spolehlivá.
Pokud bych se vrátil k příkladu, kde se používala zprůměrovaná data (příklad 4), tak pozorování z velkých farem by byla vážena více než pozorování z malých farem. Pokud není
σi2 znám, případně závisí na neznámých parametrech v odhadové funkci pro β získané pomocí MZNČ. Je možné nahradit σi2 jejich odhady σ$ i2 , pak se ovšem jedná o odhad odhadové funkce. O metodách odhadu σi2 se zmíním v dalších částech své diplomové práce. Poznámka Pokud by se použila MNČ v případě, že Ω ≠ σ2In odhadová funkce b by nebyla vydatná a odhadová funkce jejího rozptylu by byla dokonce vychýlená. Všechny odhady vychýlení rozptylu budou záviset pouze na matici X a na formě heteroskedasticity, takže je nutné přihlížet - 31 -
k jednotlivým příkladům. Například pokud by se uvažoval model yi = βxi + εi, E(εi2) = σi2, rozdíl ve vydatnosti je dán C(b) - C( β$ ) =
∑x σ (∑ x ) 2 i
2 i
2 2 i
−
1 2 ∑ ( xi / σ i )
.
(4.9)
Pokud je σi2 = σ2 tento rozdíl je roven 0, pokud σi2 = σ2xi2 pak rozdíl je (σi2/(∑xi2)2)(∑xi4 - (∑xi2)2/n), což indikuje ostatně jak by se dalo očekávat, že čím větší je rozptyl xi2, tím větší je ztráta vydatnosti. Vychýlení odhadové funkce rozptylu b v modelu yi =
βxi + εi , E(εi2) = σi2 je tedy dáno
E[ σ$ 2 (X´X)-1] - C(b) =
−n (n − 1)( ∑ xi2 ) 2
⎛ x2 σ 2 ⎞ ⎜⎜ ∑ xi2σ i2 − ∑ i ∑ i ⎟⎟ . n ⎠ ⎝
(4.10)
Odtud je vidět, že vychýlení závisí na stupni korelace mezi xi2 a σi2. Pokud je tato korelace kladná, což je nejčastější případ, výběrový rozptyl b bude podhodnocen. Pokud není korelace, tak ani odhad nebude vychýlen. Volba vhodných metod odhadů rozptylu závisí také na dalších předpokladech o σi2. O jednotlivých předpokladech a vhodných technikách, které se dají použít pro každý předpoklad, pojednává kapitola 5 a v kapitole 6 se zmíním o možném testování heteroskedasticity.
- 32 -
5 Odhady parametrů lineárního modelu V této kapitole se pokusím přiblížit některé typy heteroskedastických struktur a s nimi související odvozovací procedury, které se nejčastěji objevují v literatuře. Pokud je dána určitá forma σi2, nabízejí se například otázky: Jak odhadnout neznámé parametry na nichž σi2 závisí ? Jak testovat existenci nějaké konkrétní formy heteroskedasticity a jaké provést závěry o β? Širší otázky vznikají s obecným testováním heteroskedasticity (bez znalosti konkrétní formy) například: Jakou povahu má σi2 pokud se heteroskedasticita v modelu „prokáže“ a jaké je možné činit závěry o vlastnostech odhadových funkcí, které jsou důsledkem testů hypotéz v kapitole 2. Tab.1 y = Xβ + ε , E(ε) = 0, E(εε´) = Ω = diag (σ12, σ22, ..., σn2) 2
5.2.1 Odhad σi bez apriorních předpo-
5.2.2 Rozptyly konstantní v rámci
5.2.3 Směrodatné odchylky σi jsou
kladů
podskupiny pozorování
lineární funkcí vysvětlujících proměnných
2
5.2.4 Rozptyly σi jsou lineární funkcí
5.2.5 Rozptyly σi jsou funkcí střední
vysvětlujících proměnných
hodnoty E(yi)
2
5.2.6 Multiplikativní heteroskedasticita
V tabulce1 jsou uvedeny hlavní heteroskedastické struktury, které budou popsány v následujících podkapitolách. Jako první popíši situaci, kdy matici W známe. A poté situaci, kdy nejsou kladena žádná dodatečná omezení na rozptyly (provádí se tedy odhad σi2 bez jakýchkoliv apriorních předpokladů). V následujících podkapitolách budu uvažovat alternativní omezující předpoklady o σi2, které se vyskytují v literatuře. Pro každou formu je obvykle nejdůležitější jak se získá vektor odhadů ( σ$12 , σ$ 22 , ..., σ$ 2n ), který je poté možné použít v odhadové funkci
$
n
n
i =1
i =1
β$ = ( ∑ σ$ −i 2 x i x i′ ) −1 ∑ σ$ −i 2 x i yi. $ V anglické literatuře se β$ nazývá EGLS (estimated generalized least square) tedy „odhad“ odhadové funkce MZNČ.
- 33 -
5.1 Matice W, popř. Ω je známa V takovém případě se parametry modelu y = Xβ + ε
určí MZNČ jako
β$ = (X´W
-1
n
n
i =1
i =1
X)-1X´W
-1
y =
n
n
i =1
i =1
(X´Ω -1X)-1X´Ω -1y = ( ∑ σ −i 2 x i x i′ ) −1 ∑ σ −i 2 x i yi =
( ∑ z i z i′ ) −1 ∑ z i qi = (Z´Z)-1Z´q,
(5.1.1)
kde xi je i-tý řádek matice X, yi je i-tá hodnota vektoru y, zi je i-tý řádek matice Z = TX, qi je itý řádek vektoru q = Ty a T je diagonální matice T = diag (σ1-1, σ2-1, ..., σn-1),
takže T´T = Ω . V tomto případě je MZNČ vlastně MNČ uplatněná na transformovaný mo-1
del yi /σi = xi´β /σi + εi/σi.
(5.1.2)
Odhad β$ se získá, kterýmkoliv ze vzorců (5.1.1), nebo uplatněním MNČ na transformovaná data, kdy i-té pozorování yi, xij, i = 1, 2, ..., n, j = 1, 2, ..., k, se dělí i-tou směrodatnou odchylkou σi. Jde vlastně o použití vážené MNČ, kdy se minimalizuje 2
⎛ε ⎞ Qe = ∑ ⎜ i ⎟ . i =1 ⎝ σ i ⎠ n
Opět bych chtěl zdůraznit, že nesprávné použití MNČ místo MZNČ vede k méně vydatným odhadům pro β a ke zkresleným odhadům směrodatných chyb odhadů. V praxi to znamená, že odhady vypadají většinou lepší než ve skutečnosti jsou. Jestliže totiž existuje přímá závislost mezi σ i a xi , výběrové rozptyly b budou podhodnocené. Pokud však závis2
lost neexistuje, tak k vychýlení odhadů rozptylů nedojde.
- 34 -
Poznámka Známé rozptyly V minulém případě se předpokládala znalost matice W či Ω. Ve většině modelů s heteroskedasticitou jsou měnící se rozptyly neznámé. Někdy je ovšem odůvodněné předpokládat, že rozptyl každé náhodné složky je kromě proporcionální konstanty známou funkcí vysvětlující proměnné. Například pokud by se uvažoval model yi = β1 + β2xi + β3xi + εi, a dále se předpo2
kládalo, že rozptyl εi bude pravděpodobně v přímém vztahu s xi. Např. se může uvažovat σi = 2
σ xi potom vzniká situace ve které jsou kromě konstanty σ rozptyly známé. A je tedy možné 2
2
2
psát
Ω =σ W=σ 2
2
⎡ x12 ⎢ ⎢0 ⎢ ... ⎢ ⎢⎣ 0
0 x 22 ... 0
... 0 ⎤ ⎥ ... 0 ⎥ ... ... ⎥ ⎥ ... x n2 ⎥⎦
a pak je tedy možné použít odhad b = (X´W -1X)-1X´W -1y pomocí MZNČ, resp. aplikovat MNČ na transformovaný model yi /xi = β1 /xi + β2 + β3xi + εi /xi. Touto procedurou se rovněž získají uspokojivé odhady. Na druhou stranu vzniká otázka proč právě předpokládat σi = 2
σ xi , proč ne třeba σi = σ | xi|; σi = σ xi apod.. 2
2
2
2
2
2
1/2
2
5.2 Rozptyly σi nejsou známy 2 V tomto případě se v (5.1.1) nahradí rozptyly σi jejich výběrovými odhady σ$ i2 ,
popř. matici Ω jejím výběrovým odhadem Ω$ . S tím však vzniká nový problém nejen způsobu odhadu, ale především posouzení důsledků nahrazení σi výběrovými odhady na vlastnosti 2
odhadu vektoru parametrů β. Simulační studie naznačují, že kvalita odhadu β podle (5.1.1) při nahrazení Ω odhadem Ω$ značně závisí na postižení skutečné struktury heteroskedasticity. Nabízí se několik možností: 5.2.1 Odhad σi bez apriorních předpokladů 2
Předpokládá se model y = Xβ + ε , E(ε) = 0, E(εε´) = Ω = diag (σ12, σ22, ..., σn2), -1
Pokud by se vzaly odhady MNČ b = (X´X) X´y a jim odpovídající rezidua e = y - Xb a ozna2 2 čí-li se e&jako vektor druhých mocnin reziduí ei a σ& jako vektor rozptylů σi . Pokud nejsou k
dispozici žádná další omezení, je k dispozici vždy jedno pozorování k odhadu jednoho roz- 35 -
ptylu a celkově n pozorování k odhadu n + k parametrů. Příliš velký optimismus o hodnotě odhadů tedy není na místě. Autoři Rao a Kleffe navrhli tzv. MINQUE (nevychýlený kvadratický odhad s minimální normou) neznámých rozptylů σ&. Poznámka MINQUE odhady n
Kvadratická forma y´Ay je MINQUE lineární funkce
∑c σ i
2 i
, jestliže Eukleidovská norma
i =1
n
1/2
matice A, tj. (st(AA)) , je minimální za podmínky AX = 0 a
∑a σ ii
i =1
2 i
n
≡ ∑ ci σ i2 . (podrobně se i =1
problematikou zabýval např. Rao, Estimation of Heteroskedastic Variances in Linear Models). Je doporučen odhad σ&, který je MNČ odhadem z rovnice &σ&+ η , e&= M & je matice druhých mocnin prvků idempotentní matice M = In - X(X´X)-1X´ hodnosti (n kde M - k). Uplatněním MNČ na tuto rovnici je možné získat $ = (M &′M &) −1 M &′e&= M &−1e&. σ&
(5.1.3)
& je regulární. Odhad (5.1.3) je definován, ačkoli matice M je singulární, protože matice M Jelikož hodnost matice M je n - k, je možné vyjádřit k reziduí jako lineární funkci zbývajících n - k reziduí a podobně k rozptylů σi jako n - k nelineárních funkcí zbývajících σi . To by 2
2
znamenalo k nelineárních omezení prvků vektoru σ&. Pokud je třeba odhadovat n - k parametrů na základě n pozorování, je třeba taková omezení mít k dispozici nebo učinit nějaké apriorní předpoklady (třeba o závislosti mezi xi a σi ). 2
S užitím (5.1.3) jsou spojeny dva základní problémy pro odhad
$
n
n
i =1
i =1
β$ = ( ∑ σ$ −i 2 x i x i′ ) −1 ∑ σ$ −i 2 x i yi.
(5.1.4)
Odhad (5.1.3) není konzistentním odhadem σ&, takže ani s rostoucím počtem pozorování nedochází ke zvýšení pravděpodobnosti menších výběrových chyb a asymptotické vlastnosti
$
β$ založené na σ& nemohou být odvozené od vlastností, které má odhad (5.1.1). Druhou potí-
- 36 -
ží je možnost výskytu záporných prvků vektoru σ&, což komplikuje jejich interpretaci jako vah v odhadu (5.1.4). 5.2.2 Rozptyly konstantní v rámci podskupiny pozorování
V některých případech může být rozumné předpokládat, že rozptyly náhodných složek jsou konstantní v podskupinách pozorování a liší se pouze mezi skupinami. Označí-li se počet podskupin jako M a četnost m-té podskupiny m = 1, 2, ..., M, jako nm, je možné zapsat model ve tvaru: ⎡ y1 ⎤ ⎢y ⎥ ⎢ 2 ⎥= ⎢ ... ⎥ ⎢ ⎥ ⎣yM ⎦
⎡ x1 ⎤ ⎢x ⎥ ⎢ 2 ⎥β + ⎢ ... ⎥ ⎢ ⎥ ⎣x M ⎦
⎡ ε1 ⎤ ⎢ε ⎥ ⎢ 2⎥ ⎢ ... ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ε M ⎦
(5.2.1)
kde ym je nm-členný vektor, Xm je typu (nm × k), εm je nm-členný vektor, přičemž E(εmεm´) =
σm2In, E(εmεm´) = 0, pro každé m ≠ m´= 1, 2, ..., M. Příkladem této situace mohou být data z různých časových období, z různých geografických oblastí nebo opakované kombinace hodnot vysvětlujících proměnných. Pro odhad β MZNČ se použije ⎛M ⎞ β$ = ⎜ ∑ σ −m2 X m′ X m ⎟ ⎝ m =1 ⎠
−1
M
∑σ
−2 m
X m′ y m .
(5.2.2)
m =1
K užití (5.2.2) je však třeba nahradit rozptyly σm2 jejich výběrovými odhady. Jednou možností pro nm > k, m = 1, 2, ..., M je
σ$ 2m = (nm- k ) (ym - Xm bm)´(ym - Xmbm), -1
kde bm = (Xm´Xm)-1Xm´ym. Při dodatečné podmínce normality bude odhad
$ ⎛ M −2 ⎞ $ β = ⎜ ∑ σ$ m X m′ X m ⎟ ⎝ m =1 ⎠
−1
M
∑ σ$
−2 m
X m′ y m
m =1
asymptoticky vydatný s asymptotickou kovarianční maticí - 37 -
(5.2.3)
−1
⎛ M −2 ⎞ ⎜ ∑ σ m X m′ X m ⎟ . ⎝ m =1 ⎠
Odhad získaný dosazením (5.2.3) do (5.2.2) je tedy asymptoticky vydatný. Výsledky, které se týkaly pozorování z konečných výběrů (Taylor, Small Sample Properties of Class of
$ Two-stage Aitken Estimators) ukazují, že relativní vydatnost β$ klesá s rostoucím m. Pro m = $ 2 je odhad β$ téměř stejně vydatný jako β$ , takže i perfektní znalosti rozptylů přinesly poměrně malý zisk na vydatnosti. Pokud jde o tzv. opakovaná pozorování, kdy řádky matice X v podskupinách jsou shodné, je možné odhad (5.2.3) redukovat na odhad nm
σ$ 2m = ( nm − 1) −1 ∑ ( y im − y m ) 2
(5.2.4)
i =1
tj. na výběrový skupinový rozptyl. Jinou možností je použít iterativní postup, kdy se v prvním kroku odhadne β MNČ na celý soubor n pozorování ⎛M ⎞ b = ⎜ ∑ X m′ X m ⎟ ⎝ m =1 ⎠
−1
M
∑ X′ y m
(5.2.5)
m
m =1
a rozptyl se odhadne jako
σ$ 2m = (nm − k )
−1
( y m − X m b) −1 ( y m − X m b) .
(5.2.6)
Ve druhém kroku se nahradí (5.2.6) v (5.2.2) a postup se opakuje až do očekávané stabilizace výsledku. Pro hodnocení hypotézy o shodě rozptylů v podskupinách je výhodný test M.S. Bartletta. 5.2.3 Směrodatné odchylky σi jsou lineární funkcí vysvětlujících proměnných
Častější jsou situace kdy nejsou k dispozici opakované pozorování nebo, není oprávněný požadavek stejných rozptylů uvnitř podskupin. Alternativní přístup je vztáhnout σi pří2
- 38 -
mo k xi´ tj. řádkům matice X, i =1, 2, ..., n. Jednou z možností je předpokládat, že směrodatné odchylky σi jsou lineární funkcí některých nebo všech vysvětlujících proměnných (nebo jejich funkcí). Za předpokladu modelu yi = xi´β + εi , i = 1, 2, ..., n. E(εi) = 0, E(εiεi´) = 0 i ≠ i ´ a E(εi2) = σi2 = (zi´α)2,
(5.3.1)
kde α je S-členný vektor neznámých heteroskedastických parametrů a zi = (1, zi1, zi2, ..., ziS)´ je vektor hodnot vysvětlujících proměnných, či jejich známých funkcí způsobujících heteroskedasticitu. i-tý řádek zi může být shodný s xi, jestliže všechny vysvětlující proměnné se určitým způsobem podílejí na vzniku heteroskedasticity. Potom odhadem β je n
n
i =1
i =1
′ β$ = (X´Ω -1X)-1X´Ω -1y = ( ∑ ( z i′α ) −2 x i x i′ ) −1 ∑ ( z i α ) −2 x i yi s kovarianční maticí X´Ω X = -1
n
∑ ( z ′α ) i
−2
(5.3.2)
x i x i′ ) −1 .
i =1
Použití odhadu (5.3.2) vyžaduje ovšem znalost vektoru α nebo alespoň jeho odhadu. V literatuře se nejčastěji používají následující možnosti. a) α$ získaný MNČ $ získaný MZNČ b) α$ ~ c) α získaný metodou maximální věrohodnosti.
Zároveň s každým odhadem α existuje odhad MZNČ pro vektor β. Za předpokladu, že veličiny εi/σi mají nulovou střední hodnotu a jednotkový rozptyl je potom možné psát E(|εi|/σi) = c, kde c je konstanta nezávislá na i, ale závislá na rozdělení veličiny |εi|/σi (při normálním rozdělení εi je c = (2/π) ). Při odhadu se vychází z rovnice 1/2
|ei| = czi´α + vi,
(5.3.3)
ve které ei jsou rezidua získaná uplatněním MNČ a vi jsou nové rušivé složky vi = |ei| - E(|εi|). MNČ se získá c α$ = (Z´Z) Z´|e| , -1
(5.3.4)
- 39 -
kde matice Z má jako řádky vektory zi a |e| je vektor absolutních hodnot reziduí ei. Skutečnost, že se odhadla c α$ a ne jenom α$ nemá vliv na odhad (5.3.2). Tento odhad ovšem podle literatury nemá příliš dobré vlastnosti, protože vi jsou ve skutečnosti heteroskedastické, korelované a nemají nulovou střední hodnotu. Odhad (5.3.2) zůstává konzistentní, jestliže rozdělení |ei| konverguje k rozdělení veličiny |εi| (pak je i α$ konzistentním odhadem α). Intuitivně by se dalo očekávat, že pokud by se nalezl vydatnější odhad pro α, nový odhad pro β získaný MZNČ bude mít celkově lepší vlastnosti v konečném výběru. Pokud ei konverguje k rozdělení εi potom v asymptotickém případě bude vi nezávisle rozdělená nová rušivá složka s nulovou střední hodnotou a rozptylem E(vi2) = E(|εi| 2) - (E(|εi|) )2 = σi2(1 - c2) = (zi´α)2(1 - c2). Potom je tedy možné použít zobecněný odhad n
n
i =1
i =1
′ -1 -1 c α$$ = ( ∑ ( zi′α$) −2 z i zi ) −1 ∑ ( z i′α$) −2 z i |ei |=(Z´ Ω$ Z)-1Z´ Ω$ |e|,
(5.3.5)
kde Ω$ je diagonální matice s prvky ( z i′α$) 2 . Vlastnosti α$ a α$$ nebyly dosud zcela ještě prozkoumány, ale dalo by se rozumně očekávat (Judge, 1981), že za vhodných podmínek budou oba odhady α$ a α$$ asymptoticky normální s asymptotickou kovarianční maticí C( α$ ) = ((1-c2)/c2)(Z´Z)-1Z´ΩZ(Z´Z)-1 a
C( α$$ ) = ((1 - c2)/c2)(Z´Ω −1Z)-1.
Z toho vyplývá, že odhad α$$ bude vydatnější. Dá se tedy očekávat, že odhad pro β založený na α$$ bude pravděpodobně vydatnější než odhad založený na α$ . Poznámka Odhad α$$ předpokládal ve svojí práci Harvey, Estimation of Parameters in a Heteroscedastic Regression Model, 1974 a odhad α$ navrhl Glejser v práci A New Test for Heteroscedasticity.
- 40 -
Pokud mají εi normální rozdělení je možné použít k současnému odhadu α, β metodu maximální věrohodnosti. Derivace logaritmu věrohodnostní funkce (s vyloučením konstanty) n
1 n logL = −∑ log z i′α − ∑ [(yi - xi´β)2 /(zi´α)2] (5.3.6) 2 i =1 i =1 podle α β položené rovny nulovým vektorům, ale vedou k soustavě nelineárních rovnic. 5.2.4 Rozptyly σi jsou lineární funkcí vysvětlujících proměnných 2
Tomuto modelu je rovněž věnována velká pozornost v literatuře např. Theil, Principles of Econometrics, 1971; Goldfeld, Quandt, Nonlinear Methods in Econometrics, 1972; Harvey, Estimation of Parametres in a Heteroscedastic Regression model, 1974; Raj, Linear Regression with Random Coefficients, 1975. Předpokládá se, že σi2 je lineární funkcí množiny vysvětlujících proměnných. V tomto případě platí tedy yi = xi´β + εi , i = 1, 2, ..., n. E(εi) = 0, E(εiεi´) =0 i ≠ i´ a E(εi2) = σi2 = (zi´α) .
(5.4.1)
Odhadem β je nevychýlený odhad β$ = (X´W -1X)-1X´W -1y = n
( ∑ ( z i′α ) x i x i′ ) −1
−1
i =1
n
∑ ( z ′α ) i
−1
x i yi,
i =1
n
kde β$ má střední hodnotu β a kovariance (X´Ω -1X)-1 = ( ∑ ( z i′α ) −1 x i x i′ ) −1 , kde Ω má na i =1
diagonále zi´α. V literatuře se nejčastěji objevují tři resp. čtyři možnosti odhadu pro vektor α. 1) Z (5.4.1) vyplývá, že
ei2 = zi´α + vi,
(5.4.2)
kde vi = ei2 - E(εi2) a ei2 je druhá mocnina reziduí z MNČ ei = yi - xi´b. Uplatněním MNČ na (5.4.2) se získá - 41 -
⎛ n ⎞ α$ = ⎜ ∑ z i z i′ ⎟ ⎝ i =1 ⎠
−1
n
∑z
i
ei2 = (Z´Z)-1Z´ e&
i =1
kde z´ = (z1, z2, ..., zn) a e& = (e12, ei2, ..., en2)´. Bohužel, ale vi v (5.4.2) má nenulovou střední hodnotu a rovněž trpí heteroskedasticitou a autokorelací. Takže α$ bude vychýlený a vzhledem k odhadu α$ MZNČ bude nevydatný. &Zα je E( α$ ) = (Z´Z)-1Z´ M &Zα, 2) Jelikož E( u&) = M & je matice druhých mocnin prvků již uvažované matice M = In - X(X´X)-1X´, kde M nabízejí se dva nevychýlené odhady
α$ (1) = (Z´ M& M&Z)-1Z´ M& e&
(5.4.3)
α$ (2) = (Z´ M&Z)-1Z´ e&.
(5.4.4)
První odhad je uplatněním MNČ na rovnici &Zα + w, e& = M
(5.4.5)
zatímco druhý je MINQUE (nevychýlený kvadratický odhad s minimální normou) 3) Jiný odhad pro α se dá definovat po poznání kovarianční struktury vi v (5.4.2) a w v
(5.4.5) a provedení MZNČ na každou z těchto rovnic. Jestliže ei2 konverguje svým rozdělením k rozdělení εi2, mají vi nulovou střední hodnotu a jsou to nekorelované náhodné veličiny s rozptyly úměrnými (zi´α ) . Potom vydatnějším 2
odhadem než α$ je ⎛ n ⎞ −2 α$$ = ⎜ ∑ ( z i′α$) z i z i′ ⎟ ⎝ i =1 ⎠
−1
n
∑ ( z ′α$)
−2
i
z i ei2.
(5.4.6)
i =1
Pro rovnici (5.4.5) pokud je εi normálně rozděleno, bude mít w kovarianční matici danou 2 Q& kde Q = MΩM a uplatněním MZNČ se dostane &
&
α$$ (1) = (Z´ M& Q$−1 M&Z)-1Z´ M& Q$−1 e&, kde Q bylo nahrazeno Q$ = M Ω$ Μ , Ω$ má i-tý diagonální prvek (zi´ α$ (1))2.
- 42 -
Ačkoliv α$$ a α$$ (1) jsou asymptoticky vydatnější než jejich protějšky MNČ, jejich použití k odhadu pro β nepovede k vydatnějším odhadům. Při vhodných podmínkách (Hildreth, Houck, Some Estimators for a Linear Model with Random Coefficients, 1968), odhad odhadové funkce
pro β MZNČ bude mít asymptotickou kovarianční matici danou −1
⎛ n ⎞ −1 ⎜ ∑ ( z i′α ) x i x i′⎟ . Dá se očekávat, že asymptoticky vydatnější odhady pro α povedou k ⎝ i =1 ⎠ vydatnějším odhadům odhadové funkce MZNČ v konečném výběru. Je třeba to však ověřit, například experimenty Monte Carlo. V souvislosti s modelem s náhodnými parametry použil Raj, Linear Regression with Random Coefficients, 1975 experiment Monte Carlo
$ pro srovnání odhadu b (MNČ) s odhadem β$ získaným pomocí α$ (1) a α$$ (1). Pokud se ke srovnání použije střední čtvercová chyba, tak druhá odhadová funkce pro β (s pomocí
$ α$$ (1)) by pro velké výběry (n = 50) byla lepší než odhadová funkci b a β$ (s použitím
α$ (1)). Naopak pro n = 10 a n = 20 byl odhad b lepší než ostatní odhady pro β. Což jsou $ (1), nebymožná pro někoho překvapující výsledky. Srovnání pro α$ s α$ (1) nebo α$$ s α$ la ještě podle literatury uskutečněna. d) Numerická maximalizace derivace logaritmu věrohodnostní funkce n
n
i =1
i =1
log L = −0,5∑ log z i′α − 0,5∑ [(yi - xi´β)2 /(zi´α)].
(5.4.7)
Stejně jako v předcházejícím případě se derivace log L podle α a β položí rovny nulovým vektorům a získá se soustava nelineárních rovnic. 5.2.5 Rozptyly σi2 jsou funkcí střední hodnoty E(yi)
V relativně starých ekonometrických studiích výdajových funkcí domácností (Theil, Estimates and Their Sampling Variance of Parametres of Certain Heteroscedastic Disturbation, 1951) se považoval za realistický předpoklad, že σi2 je úměrný (xi´β)2 spíše než, že
σi2 = σ2xki2, kde xki představoval příjem i-té domácnosti. Za předpokladu modelu yi = xi´β + εi , i = 1, 2, ..., n, - 43 -
platí tedy E(εi) = 0, E(εiεi´) = 0, i ≠ i´ a E(εi2) = σi2 = σ2(xi´β)2, takže kovarianční matice pro ε je E(εε´) = Ω = σ2W = σ2 diag((x1´β)2, (x2´β)2, ..., (xn´β)2). Přímé použití MZNČ pomocí Ω literatura nedoporučuje, protože Ω závisí na β. Je ale možné vyjít z odhadu β získaného pomocí MNČ a dosazením dostat odhad n
$
n
β$ = ( X ′W$ −1 X ) −1 X ′W$ −1 y = ( ∑ ( x i′b) x i x i′ ) −1 ∑ ( x i′b) x i yi −2
i =1
−2
(5.5.1)
i =1
kde W$ je diagonální matice s prvky (xi´b)2. Za určitých podmínek (Judge) je vyhovujícím odhadem kovarianční matice odhadu (5.5.1) n $ −2 C( β$ ) = σ$ 2 ( ∑ ( x i′b) x i x i′ ) −1 , i =1
n $ -1 2 $ kde σ = (n - k) ∑ [( x i′b) −2 (yi - xi´ β$ )2]. i −1
Poznámka Rozptyl σi2 je funkcí p-té mocniny střední hodnoty Se specifikací σi2 = σ2(xi´β)2 vzniká jeden problém a to ten, že zde nejsou parametry na nichž by se daly založit testy homoskedasticity. Tento problém je překonán, když se předpokládá, že rozptyl je úměrný neznámé mocnině střední hodnoty. V tomto případě σi2 = σ2(xi´β)p, kde p je dodatečný odhadový parametr. Za předpokladu normality použil Bonyhady, A Class of Heteroscedastic Error Models, 1977, metodu maximální věrohodnosti k odhadu modelu pro celou řadu výdajových funkcí domácností. Test homoskedasticity (p=0) může být založen na asymptotické normalitě maximálně věrohodných odhadů. 5.2.6 Multiplikativní heteroskedasticita
Předpokládá se model yi = xi´β + εi , i = 1, 2, ..., n. E(εi) = 0, E(εiεi´) = 0 i ≠ i´ a E(εi2) = σi2 = exp(zi´α) = exp(α1)exp(α2zi2)...exp(αs zis), - 44 -
velmi často se tento model nazývá multiplikativní heteroskedasticita, protože různé komponenty rozptylu se mezi sebou násobí. zi je vektor (S × 1) obsahující i - té pozorování S nestochastických proměnných a α je (S × 1) vektor neznámých parametrů. První prvek vektoru zi se obvykle bere jako 1 a ostatní zij jsou buď xij nebo nějaká jejich funkce. Toto vyjádření redukuje problém odhadu n × σi2 na odhad S rozměrného vektoru α. Nyní se musí posoudit nejen, která vysvětlující proměnná Xj vysvětluje změny v Y, ale také, která Z ovlivňují změny v rozptylu Y. Pokud jsou σi2 úplně neznámé, nelze spočítat odhad β$ = (X´Ω -1X)-1X´Ω--1y MZNČ. Místo toho je třeba použít nějakou metodu pro obdržení odhadů σ$12 , σ$ 22 , ..., σ$2n , a jich potom použít na odhad kovarianční matice Ω$ = diag ( σ$12 , σ$ 22 , ..., σ$2n ) a použít tuto odhadnutou kovarianční matici k nalezení odhadu odhadové funkce MZNČ
$
β$ = ( X ′Ω$ −1 X ) −1 X ′Ω$ −1 y .
(5.6.1)
Pokud je možné získat odhadovou funkci α$ , potom je možné ji použít k odhadům
σ$ i2 = exp( z i′α$) i = 1, 2, ..., n a tyto odhady rozptylů je možné použít k odhadu odhadové funkce pro β MZNČ. První krok v tomto směru je vypočítat rezidua MNČ e = y - Xb, kde b = (X´X)-1X´y a poté vytvořit rovnici ln ei2 = zi´α + vi,
(5.6.2)
kde vi = ln(ei2/σi2). Na rovnici (5.6.2) je možno se dívat jako na regresní model kde ln ei2 je i-té pozorování závisle proměnné, zi´ je (1 × S) vektor obsahující i-té pozorování S vysvětlujících proměnných, vi je i-tá náhodná složka a α je neznámý vektor parametrů, které se mají odhadnout. V maticovém zápisu q = Zα + v
(5.6.3)
kde Z = (z1, z2, ..., zn)´, q = (ln e12, ln e22, ..., ln en2)´ a v = (v1, v2, ..., vn)´. Jedna z možností jak odhadnout α je aplikovat MNČ na (5.6.3). Tím se získá odhadová funkce ⎛ n ⎞ α$ = (Z´Z) Z´q = ⎜ ∑ z i z i′ ⎟ ⎝ i =1 ⎠ -1
−1
n
∑z
i
ln ei2.
(5.6.4)
i =1
Vzniká ovšem otázka, jaký je důvod pro užití α$ jako odhad α a jaké jsou jeho vlastnosti? - 45 -
Dá se ukázat, že jeho střední hodnota je E( α$ ) = α + (Z´Z)-1Z´E(v)
(5.6.5)
a kovarianční matice -1 C( α$ ) = (Z´Z)-1Z´E [(v - E(v))(v - E(v))´]Z(Z´Z) .
(5.6.6)
Z toho je vidět, že vlastnosti odhadu budou záviset na vlastnostech v. Harvey, Estimating Regression Models with Multiplicative Heteroscedasticity, 1976 uvádí, že vlastnosti vektoru v jsou velmi komplikované v případě konečného výběru a tak je vhodné přistoupit k asymptotickým vlastnostem. V tomto pohledu je nutné provést nějaké předpoklady o limitním chování vysvětlujících proměnných. Předpokládá se tedy, že i-té reziduum z MNČ bude konvergovat k rozdělení odpovídající náhodné složce εi, a vi = ln(ei2/σi2) bude konvergovat k rozdělení náhodné proměnné ln(εi2/σi2). Pokud je tato náhodná proměnná označena jako vi* a pokud je
εi normálně rozděleno potom (εi2/σi2) má rozdělení χ2(1) a vi* bude mít rozdělení log χ2(1). Ale co více vi* bude nezkorelované. Pokud se použijí výše uvedené informace je možné ukázat (Harvey, 1976), že E(vi*) = -1,2704
(5.6.7)
D(vi*) = 4,9348 a C(vi* vi´* ) = 0 pro i ≠ i´.
(5.6.8)
K obdržení asymptotických vlastností α$ se nahradí v v* = (v1*, v2*, ...,vn*)´ v rovnici (5.6.5) a (5.6.6) a provedou se nějaké další předpoklady o limitním chování Z. Tyto předpoklady o Z -1
-
tedy jsou p lim n Z´Z = C(ZZ) existuje a je nesingulární. A pokud se použije (5.6.7), p lim n 1
-1
-1
Z´v = lim E(n Z´v*) = -1,2704 lim (n Z´j) = -1,2704 μz , kde j = (1, 1, ..., 1)´, E(v*) = -1
1,2704j a μz = lim(n Z´j). Tím pádem je možno ukázat ⎡α 1 − 1,2704⎤ ⎥ ⎢ α2 ⎥ = α - 1,2704d, ⎢ $ $ p lim α = lim E( α ) = ⎥ ⎢ ... ⎥ ⎢ αS ⎦ ⎣
(5.6.9)
kde d = (1, 0, ..., 0)´. Obdobně je možné odvodit asymptotickou kovarianční matici jako -1 lim E(n ( α$ - α + 1,2704d)( α$ - α +1,2704d)´) = 4,9348(n-1Z´Z) .
- 46 -
(5.6.10)
Z (5.6.9) je vidět, že první prvek vektoru α$ , α$ 1 bude asymptoticky vychýlený a nekonzistentní, kdežto ostatní prvky vektoru budou asymptoticky vychýlené a konzistentní. Nekonzistence α$ 1 je přímý následek nenulové střední hodnoty v*. Z výše uvedeného vyplývá, že je možné odhadovat α pomocí regrese logaritmů reziduí MNČ na Z. Vlastnosti této odhadové funkce v konečném výběru nejsou známy, ale je známa asymptotická střední hodnota a rozptyl. První prvek vektoru α$ , α$ 1 je nekonzistentní s asymptotickým vychýlením -1,2704, ale zbývající prvky α$ 2 , α$ 3, ..., α$ s jsou konzistentními odhady. -1 Z (5.6.10) se dá použít matice 4,9348(Z´Z) k přibližnému vyjádření kovarianční matice α$ .
I když α$ 1 je nekonzistentní, nemá to význam pro
$
n
n
i =1
i =1
β$ = ( ∑ exp( − z i′α$) x i x i′ ) −1 ∑ exp( − z i′α$) x i yi. Změna α$ 1 pouze změní konstantu úměrnosti. Jestliže α$ ´ = ( α$ 1, α$ *´), potom α$ * je konzis-
$ tentní a β$ je asymptoticky vydatné.
Poznámka V praxi je třeba současně řešit problém výběru vhodné regresní formy a adekvátní specifikace formy heteroskedasticity. V některých případech může linearizující transformace (nejčastěji logaritmická) mít za následek eliminaci heteroskedasticity. Například model yi = β 1 xiβ12 xiβ23 exp ε i
(5.6.11)
kde εi mají normální rozdělení s nulovými středními hodnotami a stejným rozptylem σ2, je vzhledem k rozptylu yi modelem heteroskedastickým. Po logaritmické transformaci jde nejen o lineární model, ale i rozptyly ln yi jsou již stejné.
6 Testování heteroskedasticity Je důležité položit si otázku, zda-li procedury popsané v předcházející kapitole je skutečně možné použít. Jak jsem se již několikrát zmínil, pokud heteroskedasticita neexistuje potom MNČ dává nejlepší lineární nevychýlený odhad parametrů regresní funkce. Stejně tak - 47 -
je nevychýlený i odhad rozptylu a je tedy zbytečné provádět některé procedury popsané v předcházejících kapitolách. Pokud ovšem v modelu zůstane heteroskedasticita nezpozorována a na tento model se aplikuje MNČ potom odhad nebude nejlepší dosažitelný (nebude vydatný) a vychýlený odhad rozptylu povede k chybným závěrům při intervalových odhadech či testování hypotéz. Proto je velmi dobré před samotným odhadem parametrů modelu nějakým způsobem otestovat existenci či neexistenci heteroskedasticity. V této kapitole bych se proto chtěl věnovat několika nejběžnějším testům uváděným v literatuře. Literatura má na problematiku testování několik rozdílných pohledů. Na jednom konci spektra jsou tzv. nekonstruktivní testy (nonconstructive). V této skupině testů je primárním zájmem „potvrdit“ přítomnost či absenci heteroskedasticity a odhadové aspekty jsou zcela ignorovány. Druhý konec tvoří testy určité konkrétní formy heteroskedasticity za účelem přímého odhadu parametrů modelu. Střed spektra testů tvoří tzv. konstruktivní testy (constructive). V tomto případě je testování spojeno s odhadem, nebo-li pokud test zamítá hypotézu o homoskedasticitě, pak poskytuje přímou metodu odhadu, která bere v úvahu nesferický charakter náhodných složek. Nejdříve bych se podíval na tzv. konstruktivní testy.
6.1 Konstruktivní testy 6.1.1 Směrodatné odchylky σi jsou lineární funkcí vysvětlujících proměnných
Model a jeho vlastnosti s touto heteroskedastickou formou byl popsán v kapitole 5.2.3. Platí tedy σi = zi´α. Odhad α byl proveden buď podle (5.3.4) nebo (5.3.5), rozdělí-li se vektor α na absolutní člen α1 a α∗ = (α2, α3, ..., αs), pak při platnosti H0 : α∗ = 0 a alespoň přibližné normalitě α$ popř. α$$ mají testové statistiky $ * )/ σ$12 ] g = (c2/(1-c2))[( α$$ * ´D-1 α$
(6.1.1)
g* = (c2/(1-c2))[( α$ * ´D-1 α$ * )/ σ$ 12 ]
(6.1.2)
přibližné rozdělení χ2 (S - 1), kde D = (Z´Z)-1 bez prvního řádku a sloupce a jestliže εi jsou normálně rozděleny je c = (2/π)1/2. Nulová hypotéza α* = 0 se zamítá pokud statistika g či g* spadne do kritické oblasti vymezené kritickou hodnotou χ21-α (S - 1). Statistika g* je výpočetně jednodušší protože c2 α$ *′ D −1α$ * je teoretický součet čtverců odpovídající regresi |e| na Z. 6.1.2 Rozptyly σi2 jsou lineární funkcí vysvětlujících proměnných
Model s touto formou heteroskedasticity byl popsán v kapitole 5.2.4. Tedy σi2 = zi´α. Pokud jsou εi normálně rozdělena a pokud jsou podmínky pro asymptotickou normalitu α$ - 48 -
popř. α$$ dodrženy, dá se zkonstruovat test založený buď na α$ popř. α$$ . Například pokud α´ = (α1, α*´) a při nulové hypotéze α∗ = 0 má veličina g3 = [( α$ * ´D-1 α$ * )/2 σ$ 4 ]
(6.1.3)
přibližně rozdělení χ2(S - 1), kde D = (Z´Z)-1 bez prvního řádku a sloupce a α$ ´= ( α$ 1, α$ *´).Nulová hypotéza α* = 0 se zamítá pokud statistika g3 spadne do kritické oblasti vymezené kritickou hodnotou χ21-α (S - 1).
6.1.3 Multiplikativní heteroskedasticita
Tato forma byla popsána v kapitole 5.2.5. Rozptyl je tedy vyjádřen jako σi2 = exp(zi´α) = exp(α1)exp(zi*´α∗). Z uvedené kapitoly rovněž vyplývá, že asymptotická kovarianční matice pro α$ je C( α$ ) = 4,9348(Z´Z)-1. Při platnosti nulové hypotézy H0 : α∗ = 0, proti H1: α∗ ≠ 0 má statistika
g4 =
α$ *′ D −1α$ *
(6.1.4)
4,9348
přibližně rozdělení χ2 (S - 1), kde D = (Z´Z)-1 bez prvního řádku a sloupce a α$ ′ = (α$ 1 , α$*′ ) . 6.1.4 Glejserův test
H. Glejser, A New Test for Heteroscedasticity, 1969 předložil test heteroskedasticity, kde zkoumá závislost absolutních hodnot reziduí na určité vysvětlující proměnné Xj, která způsobuje heteroskedasticitu. Navrhl provést regresi absolutních hodnot reziduí |ei| z MNČ na několik funkcí některých či postupně všech vysvětlujících proměnných. Test předpokládá, že pokud heteroskedasticita existuje, tak se mění s proměnnou Xj. Navrhl například: |ei|=α1+ α2x2i + vi
(6.1.5)
|ei|=α1+ α2x2i-1+ vi
(6.1.6)
|ei|=α1+ α2x2i1/2+ vi .
(6.1.7)
S následujícími závěry: - 49 -
1) Pokud je α$ 2 nevýznamné, přijímá se hypotéza o homoskedasticitě. 2) Pokud je α$1 nevýznamné a α$ 2 významné, pak se provádí odhad MZNČ kde rozptyl se odhadne z rovnice σi2 = σ2zij2, kde zij je xij či nějaká její funkce. 3) Pokud jsou α$1 a α$ 2 významné pak se provádí odhad MZNČ a pro rozptyl se bere σi2 =
σ2( α$1 + α$ 2 zij)2. Testování významnosti α$1 a α$ 2 se provádí t-testy. Výhodou tohoto postupu je mimo jiné to, že dává informaci o konkrétní formě závislosti rozptylu náhodných složek na zvolené vysvětlující proměnné. To lze pak využít k určení matice transformace T pro odhad parametrů MZNČ. Glejser na základě výsledků simulačních experimentů tvrdí, že síla testu jím popsaného testu je větší ve srovnání s GoldfeldQuandtovým testem (viz dále), pokud variabilita vysvětlující proměnné není příliš velká. Nevýhodou ovšem je, že apriori obvykle není známa přesná specifikace vztahů a navíc chyba vi nemá nulovou střední hodnotu, konstantní rozptyl a nulové kovariance. 6.1.5 Parkův test
Park postuluje, že rozptyl náhodných složek je v tvaru
σi2 = σ2zijγ exp(vi)
(6.1.8)
v je nová náhodná složka s vlastnostmi KLM. Rovnici lze přepsat log σi2 = log σ2 + γlog zij + vi .
(6.1.9)
Park navrhuje použít ei2 jako odhad σi2 . Obdržený odhad pro γ může být testován t-testem a pokud je parametr γ významný, může se použít k transformaci původní rovnice. vi v (6.1.9) trpí rovněž tím, že nemá nulovou střední hodnotu je zautokorelované a heteroskedastické.
- 50 -
6.2 Nekonstruktivní testy 6.2.1 Spearmanův test korelace pořadí
Je to velmi jednoduchý neparametrický test heteroskedasticity projevující se lineární závislostí směrodatné odchylky náhodných složek modelu na některé z vysvětlujících proměnných. Je vhodný pro velké i malé výběry. Aplikuje se na rezidua spočtená na základě MNČ. Bez ohledu na znaménka se uspořádají absolutní hodnoty reziduí a pozorování příslušné vysvětlující proměnné a spočte se jednoduchý koeficient korelace pořadí ze vzorce
re, x = 1 −
6∑ d i2 n(n 2 − 1)
i = 1, 2, ..., n,
(6.2.1)
kde di jsou diference v pořadí odpovídajících dvojic ei a xij. Hodnoty blízké jedné svědčí o existenci heteroskedasticity. Jedná-li se o model vícenásobné regrese, spočtou se koeficienty korelace pořadí mezi rezidui a pozorováními všech vysvětlujících proměnných a testuje se jejich významnost pomocí t-testu. Za předpokladu, že rex = 0 v základním souboru, testuje se významnost spočteného výběrového rex na zvolené hladině významnosti pomocí
t = rex
(n − k ) 1 − rex2
(6.2.2)
kde n - k je dostatečně velký počet stupňů volnosti. Je-li spočtená hodnota t větší než kritická hodnota akceptuje se hypotéza heteroskedasticity, v opačném případě se nezamítne hypotéza o homoskedasticitě. 6.2.2 Goldfeld - Quandtův test (parametrický)
Autoři Goldfeld a Quandt navrhli dva testy parametrický a neparametrický. Nejdříve nastíním parametrický test. Tento test je vhodný pro případ menšího počtu pozorování nebo nedostatečně se opakující kombinace vysvětlujících proměnných a tehdy, když lze pozorování uspořádat podle rozptylů. Jde především o případ, kdy zdrojem variability podmíněných rozdělení jsou hodnoty vysvětlujících proměnných ve formě σi2 = σ2xij , i = 1, 2, ..., n, j = 2, 3, ..., k, kde n je počet pozorování a k je počet parametrů. Testuje se H0 : σi2 = σ2 pro i = 1, 2, ..., n, proti
σ2 pro alespoň jedno i. Postup testu je následující: - 51 -
H 1 : σ i2 ≠
a) Pozorování se uspořádají podle velikosti Xj (postupně pro všechna j = 2, 3, ..., k ). b) Vypustí se prostředních c pozorování. Vypovídací schopnost testu je tím menší, čím ví-
ce se vypustí proměnných. Autoři uvádějí v případě jedné vysvětlující proměnné pro n = 30; c = 8 a pro n = 60; c = 16. Starší literatura méně častěji uvádí pro n = 30; c = 4 a pro n = 60; c = 10. c) Vypočítá se regresní funkce pro prvních (n - c)/2 pozorování a pro posledních (n - c)/2
pozorování. d) Vypočítají se reziduální součty čtverců pro obě skupiny pozorování Qe,1 , Qe,2. e) Veličina F = Qe,1 /Qe,2 má rozdělení F s (n - c - 2k)/2 a (n - c - 2k)/2 stupni volnosti (při
normalitě rozdělení rušivé složky a při platnosti hypotézy H0 : σi2 = σ2 pro i = 1, 2, ..., n ). f) H0 : σi2 = σ2 pro i = 1, 2, ..., n se zamítá na hladině významnosti α pokud padá do kri-
tické oblasti. Zamítnutí H0 vyjadřuje nestejnou variabilitu náhodné složky při různých hodnotách proměnné Xj. Tj. proměnná Xj je zřejmě zdrojem heteroskedasticity. Goldfeld - Quandtův test je tím méně užitečný, čím menší je oprávnění uspořádat pozorování podle velikosti rozptylů na základě hodnot jednotlivých vysvětlujících proměnných. Může ovšem usnadnit rozhodnutí, zda určitá proměnná způsobuje heteroskedasticitu. 6.2.3 Goldfeld - Quandtův test (neparametrický)
Postup testu je následující: a) Provede se regrese závisle proměnné na nezávisle proměnnou, která je podezřelá ze
způsobování heteroskedasticity. b) Vytvoří se proměnné odpovídající absolutní hodnotě BLUS či jiných nezkorelovaných
reziduí. c) Uspořádají se absolutní hodnoty reziduí podle vzestupně uspořádaných hodnot nezávisle
proměnné. d) Definují se vrcholy jako absolutní hodnoty uspořádaných nezkorelovaných reziduí |ei|,
tak že |ei| > |ei´| pro všechna i´ < i. f) Spočítá se počet vrcholů v seznamu uspořádaných absolutních hodnot nezkorelovaných
reziduí. g) Srovná se počet vrcholů s kritickou hodnotou x, kde x je obvykle tabelovaná hodnota
distribuční funkce pro příslušné n.
- 52 -
Pokud je počet vrcholů buď příliš velký či malý, potom se zamítá hypotéza o homoskedasticitě. Významně vyšší počty vrcholů znamenají, že absolutní hodnoty reziduí rostou se vzrůstem nezávisle proměnné. Významně malé počty vrcholů naopak znamenají, že absolutní hodnoty reziduí klesají se vzrůstem nezávisle proměnné. Tab.2: Distribuční funkce rozdělení vrcholů v případě homoskedasticity P(počet vrcholů ≤ x ) n x=0 x=1 x=2 x=3 x=4 x=5 x=6 x=7 x=8 0,2000 0,6167 0,9083 0,9917 1,0000 5 0,1000 0,3829 0,7061 0,9055 0,9797 0,9971 0,9997 1,0000 10 0,0667 0,2834 0,5833 0,8211 0,9433 0,9866 0,9976 0,9997 1,0000 15 0,0500 0,2274 0,5022 0,7530 0,9056 0,9720 0,9935 0,9988 0,9998 20 0,0400 0,1910 0,4441 0,6979 0,8705 0,9559 0,9879 0,9973 0,9995 25 0,0333 0,1654 0,4001 0,6525 0,8386 0,9395 0,9815 0,9953 0,9990 30 0,0286 0,1462 0,3654 0,6144 0,8098 0,9234 0,9745 0,9929 0,9984 35 0,0250 0,1313 0,3373 0,5818 0,7837 0,9078 0,9674 0,9903 0,9975 40 0,0222 0,1194 0,3138 0,5536 0,7600 0,8930 0,9601 0,9874 0,9966 45 0,0200 0,1096 0,2940 0,5288 0,7383 0,8788 0,9530 0,9844 0,9956 50 0,0182 0,1014 0,2769 0,5068 0,7184 0,8653 0,9456 0,9813 0,9944 55 0,0167 0,0944 0,2620 0,4871 0,7001 0,8524 0,9384 0,9780 0,9932 60
x = 9 x = 10
1,0000 0,9999
1,0000
0,9998
1,0000
0,9997
0,9999
0,9995
0,9999
0,9992
0,9998
0,9989
0,9998
0,9986
0,9997
0,9982
0,9996
Zdroj Goldfeld, Quandt, Some tests for homoscedasticity JASA(1965)
Pro pochopení uvádím příklad. Pokud v souboru o n = 15 je 7 vrcholů z výše uvedené tabulky je vidět, že pravděpodobnost pro vyšší počet vrcholů než 7 je 0,0003, tedy zamítá se hypotéza o homoskedasticitě (při určité α). Pokud pro n = 15 jsou 3 vrcholy, pravděpodobnost pro získání více než 3 vrcholů je 0,1789, je tedy možné učinit závěr, že proměnná se nepodílí na heteroskedasticitě. 6.2.4 Breusch - Paganův test
V některých případech je třeba testovat hypotézu, že rozptyly jsou nějakou funkcí (nikoliv nutně multiplikativní ) více než jedné vysvětlující proměnné. H0 : σi2 = σ2 pro i = 1, 2, ..., n, alternativou homoskedasticity je H1 : σi2 = h(zi´α) = h(α1 +zi*´α*) kde h je nějaká funkce nezávislá na i, zi´ = (1, zi*´) = (1, zi2, zi3, ..., zis) je vektor vysvětlujících proměnných a
α´ = (α1, α*´) = (α1, α2, ..., αs) je vektor neznámých parametrů. Tato množina podmínek zahrhuje například i σi2 = exp(zi´α) jako zvláštní případ. Při nulové hypotéze a za předpokladu normality ε má veličina
- 53 -
n
V = 1/2(Qc - Qe), kde Qc =
∑(y
− y)
i
i =1
2
(6.2.3)
a Qe je reziduální součet čtverců z rovnice ei2 n
n = z i′α + vi ,
∑e
(6.2.4)
2 i
i =1
asymptoticky normální rozdělení χ2 (S - 1). Rezidua ei v rovnici (6.2.4) byla pořízena MNČ. Pokud je V větší než kritická hodnota χ2 (S - 1) pak padá do kritického oboru a H0 se zamítá a přijímá se alternativní hypotéza o heteroskedasticitě. Poznámka Několik statistiků ve svých pracech ukazuje, že Breuch - Paganův test zamítá nulovou hypotézu trochu častěji než indikuje vybraná chyba I. druhu. Tuto skutečnost je potřeba vzít v úvahu, když se stanovuje hladina významnosti. Tento test se někdy rovněž nazývá test Langrangeovými multiplikátory. 6.2.5 Bartlettův test
Jde o známý test o shodě rozptylů v m souborech, zde použitelný pro opakovaná pozorování, či rozdělení souboru do podskupin, za předpokladu stejných rozptylů uvnitř podskupin. Pokud je k dispozici M nezávislých, normálně rozdělených výběrů, kde máme ni pozorování v každém i-tém výběru (každý výběr má průměr a rozptyl ) potom test věrohodnostním poměrem pro H0 : σ12 = σ22 = ... = σm2 je ⎛S ⎞ u = ∑⎜ ⎟ i =1 ⎝ S ⎠ n
ni
(
2 i 2
ni 2
kde n s = ∑ yij − yi 2 i i
j =1
,
(6.2.5)
2
m
m
) , ns = ∑ n s , ∑ n 2
i =1
2 i i
i
=n
i =1
a yij, i = 1, 2, .., m; j = 1, 2, ..., ni jsou pozorování normálně rozdělených proměnných. Bartlett nahradil ni (ni - 1) a dělil konstantou proto, aby test zůstal nevychýlený a využil modifika-
- 54 -
ce -2logu, která má při platnosti nulové hypotézy přibližně rozdělení χ2 (m - 1). Což vedlo ke statistice m
M=
(n − m) log σ$ 2 − ∑ (ni − 1) log σ$ i2 i =1
⎡1 ⎛ 1 1 ⎞⎤ 1 + ⎢ (m − 1)⎜ ∑ − ⎟⎥ ⎝ i =1 ni − 1 (n − m) ⎠ ⎦ ⎣3 m
,
(6.2.6)
kde ni
(
(ni − 1)σ$ i2 = ∑ yij − yi j =1
)
2
m
(
)
2
a ( n − m)σ$ 2 = ∑ ni − 1 σ$ i2 i =1
Při normálním rozdělení náhodné složky a při platnosti H0 má veličina M rozdělení
χ2(m -1). Pokud by byla regresní funkce dobře zvolena, bude variabilita kolem podmíněných průměrů blízká variabilitě kolem regresní funkce. Poznámka Obdobou Bartlettova testu je Pearsonův test, kde za stejných předpokladů je v testovém statistice použito místo (ni - 1) ni . 6.2.6 BAMSET
Pod názvem BAMSET navrhuje Ramsey, Test for Specification Error in Classical Linear Least Squares Regression Analysis, nahradit si2 a s2 v (6.2.5) odhady založenými na BLUS reziduích. takže vsi2 =
vi
∑ e~j2 , (n - k)s2 = j =1
n−k
∑ e~j2 a j =1
m
∑v
i
= n−k
(6.2.7)
i =1
vi je celé číslo rovné (n - k)/m. Pak při nulové hypotéze má -2log u asymptotické rozdělení
χ2(m - 1).V tomto případě se využila skutečnost, že β je konstantní mezi všemi skupinami a pro všechna pozorování, nezávislost si2 je zajištěna použitím BLUS reziduí. Pokud by se testovala heteroskedasticita obecně, je volba počtu skupin libovolná. Ramsey doporučil rozdělit výběr do tří nepřekrývajících se podsouborů jako kompromis mezi dostatečným počtem stupňů volnosti a dostatečným počtem pozorování v každé skupině. Skupiny jsou voleny přibližně tak, aby 1/3 pozorování spadla do prvního podsouboru, prostřední třetina pozorování do dru- 55 -
hého podsouboru a zbytek do třetího podsouboru. Pomocí experimentů Monte Carlo se došlo k zajímavému kontroverznímu závěru, že síla testu je vyšší pokud se použijí rezidua z MNČ, než když se použijí BLUS rezidua. 6.2.7 F-test užívající BLUS rezidua
Tento test je v podstatě obdoba Goldfeld - Quandtova testu. Liší se tím, že místo reziduí z MNČ se používají BLUS rezidua. Díky nezávislosti reziduí, není nutné počítat dvě regrese (pro první (n - c)/2 a pro poslední (n - c)/2 ) a tedy počítat dva reziduální součty čtverců. Což vede k růstu počtu stupňů volnosti. Používání BLUS reziduí vyžaduje rozdělení výběru do (n - k) a k pozorování. Pokud se předpokládá, že jsou pozorování uspořádána podle vzrůstajícího rozptylu, bude mít testová statistika, uvedená například Szroeter, A Class of Parametric Tests, 1978 (při platnosti nulové hypotézy) F rozdělení s (n - k)/2 a (n - k)/2 stupni volnosti. 6.2.8 F-test užívající rekurzivní rezidua
Harvey a Phillips, Estimation of Parameters in Heteroscedastic Regression model, 1974 navrhli používat místo BLUS reziduí rezidua rekurzivní, což povede k F statistice, která má při nulové hypotéze stejné rozdělení jako v předcházejícím případě. Ve dvou případech a to σi2 je úměrné některé z vysvětlujících proměnných a σi2 je úměrné čtverci některé z vysvětlujících proměnných srovnávali sílu testu s Goldfeld - Quandtovým testem a F testem s BLUS rezidui. Dospěli k závěru, že zde jde jen o malý rozdíl a obhajují použití rekurzivních reziduí z důvodu jejich výpočetní jednoduchosti.
- 56 -
6.3 Závěr k testování heteroskedasticity Mezi hlavní oblasti zájmu při tvorbě regresního modelu patří například, jak heteroskedasticitu testovat, jak zkonstruovat model, pokud se prokáže její přítomnost a jak případně odhadnout parametry tohoto modelu. Je nutné říci, že neexistuje nějaký přesný recept jak postupovat při testování a tvorbě regresního modelu. Volba jednotlivých procedur záleží na „podstatě“ modelu a neznámých hodnotách parametrů. Když se pracuje s průřezovými daty, je velmi dobré použít některý test heteroskedasticity, jelikož pro průřezová data je heteroskedasticita typická. Ukazuje se ovšem, že se heteroskedasticita objevuje i v údajích z časových řad (i když v menší míře). Jakou testovou proceduru použít závisí na a priorních předpokladech o formě heteroskedasticity. Pokud se například dá odůvodněně očekávat některá z forem popsaných v předcházejících kapitolách, pak nejsilnějším testem bude pravděpodobně ten postavený proti konkrétní alternativě σι2 = f(z1, z2, ..., zs). Pokud je důvod se domnívat, že velikost rozptylu je v přímé vazbě na jednu z vysvětlujících proměnných, nebo nějaké jiné exogenní proměnné, ale dále se nepředpokládá žádná konkrétní forma heteroskedasticity, je možné použít například Goldfeld - Quandtův test, Ftest užívající BLUS rezidua nebo rekurzivní rezidua. Jestliže rozptyl závisí více než na jedné vysvětlující proměnné a proměnné se ne vždy mění stejným směrem, je nemožné uspořádat pozorování podle vzrůstajícího rozptylu. V tomto případě je možné použít Breusch - Paganův test. V případě, že nejsou k dispozici žádné a priori informace o tom jak se může rozptyl měnit, ale je z nějakých důvodů opodstatněné heteroskedasticitu otestovat, je možné použít například Bartlettův test, Goldfeld - Quandtův test, F-test užívající BLUS či rekurzivní rezidua. Ovšem není namístě příliš velký optimismus, co se týče síly testů. Pokud testování „prokáže“ že heteroskedasticita je přítomna, potom je obvykle nutné vybrat její konkrétní formu. A opět platí, že pokud se a priori uvažovala nějaká konkrétní forma, tak se tento předpoklad použije pro transformaci modelu.
- 57 -
7 Experimenty Vlastnosti EGLS v konečných výběrech nejsou obecně odvoditelné. Je pouze možné spoléhat se na asymptotické vlastnosti a pro konečné výběry na výsledky simulačních experimentů. Tyto experimenty jsou, ale pouze konkrétními specifickými modely a je tedy „nebezpečné“ provádět obecná zevšeobecnění. Nicméně se ukazuje, že odhady EGLS budou častěji „lepší“ než odhady MNČ, alespoň pro větší rozsahy výběrů. Je jasné, že to neplatí vždy. Hlavním záměrem 10-ti výběrových experimentů je zjistit „relativní“ vydatnost a empirické vychýlení několika odhadových procedur za přítomnosti heteroskedasticity. Dále jsem se zaměřil na schopnosti indikace tří testů pro zjišťování heteroskedasticity. Podmínky experimentů Jako základní rovnici jsem použil yi = β1 + β2xi + εi,
(7.1)
kde εi jsou normálně rozděleny náhodné složky se střední hodnotou 0 a rozptylem
σi2 = α1 + α2xi + α3xi2.
(7.2)
Vysvětlující proměnné jsem generoval buď z rovnoměrného rozdělení R(20,100) nebo z lognormálního rozdělení LN(50,10). Rovnoměrné rozdělení jsem použil v experimentech I, II, III, IV, VI, VIII, X a log-normální rozdělení v experimentech V, VII, IX. Pro každý experiment I-X jsem nageneroval rozptyly σi2 z rovnice (7.2), kde jsem v každém experimentu použil určité α1, α2, α3 podle tabulky 7.1. Náhodné veličiny Y jsem poté vypočítal z (7.1) dosazením X a ε, kde jsem opět za β1 a β2 dosadil konkrétní hodnoty. Ve všech experimentech jsem uvažoval β1 = 4 a β2 = 2. Každý experiment jsem prováděl pro dvě velikosti výběru a) n = 30 (reprezentuje malý výběr) a b) n = 100. Přičemž u každého experimentu pro obě velikosti výběru jsem provedl 100 opakování. V rámci každého experimentu, oba rozsahy výběru a každé opakování jsem provedl odhad parametrů β1 a β2 následujícími metodami:
- 58 -
1) MNČ 2) MZNČ 3) MZNČ/X2 4) Glejserovou metodou 5) Modifikovanou Glejserovou metodou (pouze u VI, VII, VIII). MNČ nepotřebuje snad další vysvětlování, podrobně jsem se jí zabýval v kapitole 2. MZNČ je možné použít pouze teoreticky, protože znám skutečnou formu rozptylu. V praxi tato situace nemůže nastat. Výsledky této metody slouží pro srovnání s ostatními metodami. MZNČ/X2 chybně předpokládá, že rozptyl náhodné složky je ve tvaru σi2 = σ2xi2, což odpovídá váze 1/x. Glejserova a modifikovaná Glejserova metoda jsou metody tříkrokové. Prvním krokem je MNČ ze které se spočítají rezidua. Ve druhém kroku Glejserova metoda užívá absolutní hodnoty reziduí z MNČ jako závisle proměnnou a modifikovaná Glejserova metoda užívá druhou mocninu reziduí. Třetí krok je MZNČ, kde se použijí odhady rozptylů na základě odhadu parametrů z druhého kroku. V případě, že odhady parametrů α1 a α2 nejsou významné nebo je významný pouze odhad pro α1 použije se odhad z MNČ, pokud je významný odhad pro α2 použije se odhad z MZNČ/X2. A pokud jsou významné α1 i α2 použije se jako váha 1/(α1 + α2xi). V případě modifikované Glejserovy metody vzniká ovšem velký problém, někdy se stává, že odhady rozptylů jsou záporné. Tuto situaci jsem se pokusil vyřešit né zcela korektně tím, že místo záporných rozptylů jsem nepoužil váhu žádnou. Kromě toho jsem pro každý experiment, velikost výběru a opakování spočítal hodnoty testových statistik Goldfeld-Quandtova testu (G-Q) a Breusch-Paganova testu (B-P) a klasickými t-testy jsem testoval významnost odhadů parametrů α1 a α2 z Glejserovy a modifikované Glejserovy metody. Hladina významnosti byla vždy u všech testů α = 5%. Pro odhady
β1 a β2 jsem spočítal pro každý experiment, velikost výběru a odhadovou metodu střední vychýlení (mean bias, MB) a střední čtvercovou chybu (mean square error, MSE) podle vzorců:
∑ β$ MB =
MSE =
j
100
j
−β
∑ ( β$ j − β )
(7.3) 2
j
(7.4)
100
- 59 -
Jako míry relativní vydatnosti jsem použil poměr střední čtvercové chyby odhadu parametrů pro každou metodu odhadu a střední čtvercové chyby z MZNČ. Tab. 7.1 shrnuje výše uvedené do přehledné podoby. Tab.7.1: Předpoklady experimentů I-X Experiment
I II III IV V VI VII VIII IX X
Skutečné hodnoty parametrů
Předpoklad nenulových parametrů při odhadu
β1
β2
α1
α2
α3
α1
α2
4 4 4 4 4 4 4 4 4 4
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
20 10 10 10 10 20 0 20 20 0
0 0 1 0 0,2 0,4 0,5 0 0,5 0 2 0 2 0 0,1 0,4 0,1 0,4 0,2 0
* * * * * * * * * *
* * * * * * * * * *
Počet opakování
n Rozdělení
α3
* * *
100 100 100 100 100 100 100 100 100 100
30 30 30 30 30 30 30 30 30 30
100 100 100 100 100 100 100 100 100 100
R(20,100) R(20,100) R(20,100) R(20,100) LN(50,10) R(20,100) LN(50,10) R(20,100) LN(50,10) R(20,100)
Poznámka Například v experimentu I byly náhodné složky generovány z rozdělení N(0,20), σi2 = 20, ale v odhadovacích procesech jsem předpokládal σi2 = α1 +α2xi. V experimentu VI byly rozptyly náhodných složek generovány z rovnice σi2 = 20 + 2xi , ale v odhadovacím procesu se předpokládá σi2 = α1 + α2xi + α3xi2. Nejdůležitější výsledky 10-ti provedených experimentů uvádím v následujících podkapitolách 7.1 - 7.10 v přehledných tabulkách s krátkým komentářem. Výsledky takto provedených experimentů, tj. odhady parametrů β1 a β2 pro každou uvedenou metodu a dva rozsahy výběru uvádím v příloze této diplomové práce.
- 60 -
7.1 Experiment I Předpoklad tohoto experimentu je v tabulce 7.1. Tento experiment jsem provedl proto, abych si ověřil hladinu významnosti jednotlivých testů a získal určitou představu o ztrátě vydatnosti, která je spojena s odhadem nadbytečného parametru. Ve skutečnosti je experiment I případ homoskedastických náhodných složek, kde jsem ale v rámci experimentu nesprávně předpokládal σi2 = α1 +α2xi . V tomto experimentu by MNČ a MZNČ měly poskytovat stejné výsledky, což tabulky I.1 - I.3 potvrzují. Tab. I.1: Střední vychýlení (mean bias) n = 30 n = 100 metoda
β2
β1
β2
β1
MNČ MZNČ MZNČ/X2 Glejser
-0,00554 -0,00554 -0,00825 -0,00544
0,290066 0,290066 0,442201 0,285113
-0,00148 -0,00148 -0,00102 -0,00156
0,06334674 0,06334674 0,03974126 0,06766098
Tab. I.1 ukazuje střední vychýlení. Je vidět, že větší rozsah výběru má za následek menší střední vychýlení, přičemž vychýlení je větší u odhadu parametru β1 ve všech metodách a obou velikostech výběrů.
Tab. I.2: Střední čtvercová chyba (mean square error) n = 30 n = 100 metoda
β2
β1
β2
β1
MNČ MZNČ MZNČ/X2 Glejser
0,001161 0,001161 0,002136 0,001177
5,150108 5,150108 8,216973 5,145009
0,000421 0,000421 0,000661 0,000419
1,34535936 1,34535936 1,84668169 1,34596752
Tab. I.3: Relativní vydatnost (relative efficiency) n = 30 n = 100 metoda
β2
β1
β2
β1
1 1 1 1 MNČ 2 MZNČ/X 1,840589 1,595495 1,570605 1,3726308 Glejser 1,014178 0,99901 0,99697 1,00045204
Tab. I.3 ukazuje relativní vydatnost měřenou poměrem střední čtvercové chyby odhadu každé metody a střední čtvercové chyby odhadu z MZNČ. MNČ a MZNČ jsou totožné co do - 61 -
relativní vydatnosti. Nesprávné použití MZNČ/X2 má za následek ztrátu na vydatnosti pro odhad β2 u n = 100 57 %. V případě Glejserovy procedury u n = 100 je odhad pro β2 mírně vydatnější než odhad pro β2 z MZNČ, odhad pro β1 je naopak trochu méně vydatný než MZNČ. U n = 30 je tomu právě naopak.
metoda Glejser α1 Glejser α2 G-Q test B-P test
Tab. I.4: Procentní významnost n = 30 n = 100 76 100 5 5 9 8 6 5
Tab. I.4 ukazuje v jakém rozsahu jednotlivé metody resp. testy odkrývají heteroskedasticitu, která samozřejmě v tomto experimentu není přítomna. V případě Glejserovy metody je odhad parametru α2 významný v 5% opakování na 5% hladině významnosti u n = 100 i n = 30. Pro n = 30 G-Q test indikuje heteroskedasticitu v 9% a B-P test v 6% opakování. Pro n = 100 G-Q test indikuje heteroskedasticitu v 8% a B-P test v 5% opakování. Dá se tedy říci, že shoda mezi četností chyby 1. druhu a teoretickou hladinou významnosti je velmi dobrá.
7.2 Experiment II Předpoklady experimentu jsou uvedeny v tabulce 7.1. Výsledky experimentu II jsou uvedeny v tabulkách II.1 - II.4.
Tab. II.1: Střední vychýlení (mean bias) n = 30 n = 100 metoda
β2
β1
β2
β1
MNČ MZNČ MZNČ/X2 Glejser
-0,00229 -0,00299 -0,00477 0,001574
0,010743 0,054502 0,148425 -0,20667
-0,00558 -0,00535 -0,00606 -0,00483
0,22697885 0,21393096 0,2476656 0,1855298
Střední vychýlení z tabulky II.1 je u n = 100 u všech metod srovnatelné, poněkud lepší výsledky při odhadu obou parametrů β1 a β2 poskytuje Glejserova metoda. Celkově nejhorší je u obou odhadů parametrů MZNČ/X2. Rozdíly jsou ovšem minimální.
- 62 -
Tab. II.2: Střední čtvercová chyba (mean square error) n = 30 n = 100 metoda
β2
β1
β2
β1
MNČ MZNČ MZNČ/X2 Glejser
0,004049 0,003994 0,005552 0,004216
13,27101 13,31677 18,11613 13,75524
0,001214 0,001139 0,001538 0,001207
3,23398198 2,95453224 3,73246624 3,22441718
Tab. II.3: Relativní vydatnost (relative efficiency) n = 30 n = 100 metoda
β2
β1
β2
β1
1,013805 0,996564 1,06519 1,09458341 MNČ 2 MZNČ/X 1,389916 1,3604 1,349723 1,26330191 Glejser 1,055639 1,032926 1,059209 1,09134608
Střední čtvercová chyba v tabulce II.2 je opět nižší u všech odhadovaných parametrů pro větší rozsah výběru. Z hlediska relativní vydatnosti poskytuje nejhorší výsledky u obou rozsahů výběrů pro oba odhady parametrů MZNČ/X2, pro odhad β2 u n = 100 činí ztráta na vydatnosti 35% vůči MZNČ. Glejserova metoda a MNČ se liší u velkého rozsahu výběru minimálně.
metoda Glejser α1 Glejser α2 G-Q test B-P test
Tab. II.4: Procentní významnost n = 30 n = 100 23 78 22 67 33 82 23 71
Z hlediska indikace heteroskedasticity je u obou rozsahů výběrů nejlepší G-Q test, který odhaluje pro n =100 heteroskedasticitu v 82% opakování. B-P test je o trochu horší a indikuje jen 71% opakování. V malém rozsahu je schopnost všech testů výrazně nižší a myslím si, že ani jeden z testů neposkytuje uspokojivé výsledky.
- 63 -
7.3 Experiment III Předpoklad experimentu je uveden v tabulce 7.1. Experiment III se snaží nastínit problém chybné specifikace rozptylů náhodných složek. Ze specifikace rozptylu byl vynechán vliv funkce X2, neuvažuje se tedy parametr α3. Vynechání proměnné ze specifikace je mnohem horší chyba, než zařazení proměnné navíc. Výsledky experimentu ukazují tabulky III.1 III.4. Tab. III.1: Střední vychýlení (mean bias) n = 30 n = 100 metoda
β2
β1
β2
β1
MNČ MZNČ MZNČ/X2 Glejser
-0,00733 0,006553 0,006802 -0,00857
0,923908 0,131721 0,118089 0,993449
-0,01371 -0,01069 -0,01065 -0,01065
0,5042053 0,3435143 0,34184795 0,34184795
Střední vychýlení je největší u n = 30 v případě Glejserovy metody, která je následována MNČ, rozdíl je zvláště patrný u odhadu pro β1. U velkého rozsahu je vychýlení odhadu pro β2 téměř rovnocenné u všech metod. Výsledky jsou v tabulce III.1.
Tab. III.2: Střední čtvercová chyba (mean square error) n = 30 n = 100 metoda
β2
MNČ MZNČ MZNČ/X2 Glejser
0,090712 0,062809 0,062895 0,076471
β1
β2
β1
222,6272 0,034523 80,7128492 133,5536 0,020872 42,1340249 133,5228 0,02097 42,280805 180,4051 0,02097 42,280805
Tab. III.3: Relativní vydatnost (relative efficiency) n = 30 n = 100 metoda
β2
β1
β2
β1
1,444261 1,66695 1,654018 1,91562162 MNČ 2 MZNČ/X 1,00138 0,999769 1,004674 1,00348365 Glejser 1,217531 1,350807 1,004674 1,00348365
Výsledky v tabulce III.3 ukazují, že MZNČ/X2 se jen minimálně liší od MZNČ. U velkého rozsahu n = 100 je MZNČ/X2 identická s Glejserovou metodou, což vyplývá z tabulky III.4. V případě parametru β2 a n = 100 je MNČ o 65% méně vydatná než MZNČ. - 64 -
metoda Glejser α1 Glejser α2 G-Q test B-P test
Tab. III.4: Procentní významnost n = 30 n = 100 2 0 61 100 81 100 70 100
Z tabulky III.4 vyplývá, že u n = 100 odhalují nějakou formu heteroskedasticity B-P i G-Q test ve 100% opakování. Glejserův test je rovněž úspěšný pro n = 100 ve 100%, indikovaná heteroskedasticita je ovšem v jiné než předpokládané formě. V rozsahu n = 30 se jako nejlepší indikátor v tomto experimentu jeví G-Q test s 81% indikací heteroskedasticity na 5% hladině významnosti.
7.4 Experiment IV Předpoklady experimentu jsou uvedeny v tabulce 7.1. Experiment IV je obdobný experimentu II, liší se pouze „stupněm“ heteroskedasticity, kde u experimentu II se α2 = 1 a u experimentu IV je α2 = 0,5. Výsledky jsou uvedeny v tabulkách IV.1 - IV.4.
Tab. IV.1: Střední vychýlení (mean bias) n = 30 n = 100 metoda
β2
MNČ MZNČ MZNČ/X2 Glejser
-0,00591 -0,00632 -0,00648 -0,00546
β1
β2
β1
0,200935 0,000838 -0,0515237 0,228291 0,00024 -0,0177477 0,236428 -0,0014 0,06121797 0,175802 0,000326 -0,0285076
Při malém rozsahu výběru n = 30 má nejmenší vychýlení Glejserova metoda a to pro oba parametry β1 a β2, ovšem vychýlení ostatních metod je pouze o trochu horší. Při rozsahu výběru n = 100 je z hlediska vychýlení nejhorší MZNČ/X2 a to pro oba parametry. Vychýlení je ale minimální a s růstem n klesá.
- 65 -
Tab. IV.2: Střední čtvercová chyba (mean square error) n = 30 n = 100 metoda
β2
β1
β2
β1
0,002843 9,99175 0,000709 2,0929462 MNČ 0,00277 10,11343 0,000686 1,99109173 MZNČ MZNČ/X2 0,002785 10,092 0,000978 2,67225146 Glejser 0,002949 10,16582 0,000706 2,08906156
Tab. IV.3: Relativní vydatnost (relative efficiency) n = 30 n = 100 metoda
β2
β1
β2
β1
1,026221 0,987968 1,034391 1,05115509 MNČ 2 MZNČ/X 1,005343 0,99788 1,426749 1,34210364 1,06429 1,00518 1,029477 1,04920408 Glejser
Tab. IV.2 zachycuje střední čtvercovou chybu jednotlivých metod a Tab. IV.3 ukazuje relativní vydatnost metod. Pro n = 30 se jako relativně nejvydatnější vůči MZNČ jeví MZNČ/X2, naopak pro n = 100 se zdá, že je nejhorší, kde ztráta na vydatnosti odhadovaných parametrů činí pro β1 a β2 maximálně 43%.
metoda Glejser α1 Glejser α2 G-Q test B-P test
Tab. IV.4: Procentní významnost n = 30 n = 100 38 89 17 59 22 68 13 63
Pro n = 30 všechny testy hrubě selhaly při indikaci heteroskedasticity. G-Q test odhalil heteroskedasticitu pouze v 22% a B-P dokonce jen v 13% opakování. Pro n = 100 je situace příznivější. G-Q test byl úspěšný v 68% opakování a B-P test v 63% opakování. Při srovnání tabulky IV.4 s tabulkou II.4, je vidět, že testy byly mírně úspěšnější při odhalování „silnějšího“ stupně heteroskedasticity v experimentu II. Neúspěch testovacích metod bych přisoudil právě tomuto slabému stupni heteroskedasticity.
- 66 -
7.5 Experiment V Předpoklad experimentu je uveden v tabulce 7.1. Experiment V je obdoba experimentu IV, s tím rozdílem, že X bylo generováno nikoliv z rovnoměrného rozdělení, ale z lognormálního rozdělení LN(50,10). Výsledky experimentu V jsou v tabulkách V.1 - V.4. Tab. V.1: Střední vychýlení (mean bias) n = 30 n = 100 metoda MNČ MZNČ MZNČ/X2 Glejser
β2
β1
β2
β1
0,010618 -0,56673 0,002389 -0,0746877 0,017486 -0,92156 0,001775 -0,0439988 0,019219 -1,0101 0,001667 -0,038727 0,012458 -0,65997 0,003468 -0,1268894
Z tabulky V.1 pro n = 30 má největší vychýlení MZNČ/X2, pro n = 100 Glejserova metoda, pro odhad parametru β2 se ovšem střední vychýlení liší až na 3. desetinném místě. Rozdíly jsou tedy minimální.
Tab. V.2: Střední čtvercová chyba (mean square error) n = 30 n = 100 metoda
β2
β1
β2
β1
MNČ MZNČ MZNČ/X2 Glejser
0,012289 0,012444 0,012302 0,013161
32,84676 33,43678 33,01985 35,02693
0,002864 0,002548 0,002679 0,003151
6,64312859 5,82774191 6,06624896 7,26714163
Tab. V.3: Relativní vydatnost (relative efficiency) n = 30 n = 100 metoda
β2
β1
β2
β1
0,987511 0,982354 1,124043 1,13991469 MNČ MZNČ/X2 0,988597 0,987531 1,051663 1,04092615 Glejser 1,057607 1,047557 1,236706 1,24699098
Pro malé výběry n = 30 je MNČ a MZNČ/X2 mírně relativně vydatnější než MZNČ, pro n = 100 tato skutečnost mizí a relativně nejvydatnější vůči MZNČ je MZNČ/X2, ztráta na vydatnosti u odhadu parametru pro β2 je 5,1% u β1 4.1%. Jako relativně nejméně vydatná se
- 67 -
jeví Glejserova metoda u odhadu pro parametr β2, číní ztráta, ale jen necelých 24% a pro β1 24.7%.
metoda Glejser α1 Glejser α2 G-Q test B-P test
Tab. V.4: Procentní významnost n = 30 n = 100 13 45 8 24 10 29 5 22
Při indikaci heteroskedasticity všechny testy selhaly, situace je mírně příznivější pro n = 100, ovšem i v tomto větším rozsahu výběru G-Q test přítomnost heteroskedasticity odhalil jen v 29% opakování. Důvod může být opět ve „slabším“ stupni heteroskedasticity.
7.6 Experiment VI Předpoklad experimentu VI jsem uvedl v tabulce 7.1. V experimentu VI jsem ve skutečnosti odhadoval nadbytečný parametr α3 v rovnici (7.2). Skutečné rozptyly náhodných složek jsem ale generoval z rovnice σi2 = 20 + 2xi. V tomto experimentu poprvé používám ještě tzv. modifikované Glejserovy metody. Výsledky experimentu jsou uvedeny v tabulkách VI.1 - VI.4. Tab. VI.1: Střední vychýlení (mean bias) n = 30 n = 100 metoda
β2
β1
β2
β1
MNČ MZNČ MZNČ/X2 Glejser MOD.Glejser
0,020406 0,019373 0,017997 0,020826 0,02066
-1,14285 -1,0783 -1,00575 -1,16257 -1,16281
-0,0048 -0,003 0,000754 -0,0045 -0,00433
0,34799915 0,24582935 0,0679026 0,33347294 0,31990461
Z tabulky VI.1 má nejmenší střední vychýlení MZNČ/X2 a to pro oba rozsahy výběru i pro oba odhadované parametry β1, β2. Rozdíly mezi jednotlivými metodami jsou ovšem nepatrné, liší se až na 3. či čtvrtém desetinném místě pro β2 u n = 100.
- 68 -
Tab. VI.2: Střední čtvercová chyba (mean square error) n = 30 n = 100 metoda
β2
β1
β2
β1
MNČ MZNČ MZNČ/X2 Glejser MOD.Glejser
0,009896 0,008554 0,009595 0,009157 0,009888
32,68185 27,77238 30,64568 30,44872 32,62345
0,002582 0,002332 0,002911 0,002428 0,002525
7,32408255 6,42136595 7,54145205 7,10102776 7,22528753
Tab. VI.3: Relativní vydatnost (relative efficiency) n = 30 n = 100 metoda
β2
β1
β2
β1
MNČ MZNČ/X2 Glejser MOD.Glejser
1,156849 1,121759 1,07046 1,156001
1,176775 1,103459 1,096367 1,174672
1,107343 1,248408 1,041292 1,08271
1,14058015 1,17443113 1,10584381 1,12519479
Z tabulky VI.3 je vidět, že relativně nejvydatnější je Glejserova metoda, která ztrácí u odhadu pro β2 n = 100 pouze 4,1% vydatnosti a pro β1 10.6% vydatnosti.
metoda Glejser α1 Glejser a2 M. Glej.α1 M. Glej.a2 M. Glej.α3 G-Q test B-P test
Tab. VI.4: Procentní významnost n = 30 n = 100 27 86 22 60 1 1 2 8 2 7 27 73 7 38
Z hlediska testů heteroskedasticity Glejserův test odkrývá nějakou formu heteroskedasticity (heteroskedasticitu jiného typu než z jakého byly generovány rozptyly pro náhodné složky) v 60% opakování pro n = 100. Pro n = 100 G-Q test indikuje heteroskedasticitu v 73% opakování, ovšem B-P test jen v 38% opakování. U n = 30 je „nejúspěšnější“ G-Q test, ale 27% indikaci lze jen stěží považovat za úspěch. Modifikovaný Glejserův test úplně selhal.
- 69 -
7.7 Experiment VII Předpoklady experimentu jsou uvedeny v tabulce 7.1. V experimentu VII odhaduji navíc v rovnici (7.2) parametry α1 a α3, ve skutečnosti je jen α2 = 2. Výsledky jsou presentovány v tabulkách VII.1 - VII.4.
Tab. VII.1: Střední vychýlení (mean bias) n = 30 n = 100 metoda
β2
β1
β2
β1
MNČ MZNČ MZNČ/X2 Glejser M.Glejser
0,010124 0,008059 0,006211 0,010159 0,010921
-0,34859 -0,24036 -0,14665 -0,35124 -0,38974
0,004514 0,004912 0,005919 0,005618 0,00264
-0,2342349 -0,2541271 -0,3015734 -0,287061 -0,1453606
Nejméně vychýlené odhady poskytuje MZNČ, MZNČ/X2 a modifikovaná Glejserova metoda. Tyto metody se v tomto experimentu liší z hlediska středního vychýlení jen minimálně viz tab. VII.1, s rozsahem výběru vychýlení klesá. Nutno říci, že pomaleji než v předchozích experimentech. Tab. VII.2: Střední čtvercová chyba (mean square error) n = 30 n = 100 metoda
β2
β1
β2
β1
MNČ MZNČ MZNČ/X2 Glejser M.Glejser
0,042371 0,038877 0,038314 0,04141 0,042164
110,1093 101,5966 101,0076 107,8395 109,6024
0,009339 0,008169 0,008454 0,009019 0,008805
23,031664 20,1039883 20,6162466 22,1823973 21,7904081
Tab. VII.3: Relativní vydatnost (relative efficiency) n = 30 n = 100 metoda MNČ MZNČ/X2 Glejser M.Glejser
β2
β1
β2
β1
1,089856 1,08379 1,143194 1,14562661 0,985521 0,994203 1,034813 1,02548044 1,065147 1,061448 1,104032 1,10338292 1,084554 1,0788 1,077777 1,08388484
Z tabulky VII.2 a VII.3 je opět vidět, že relativně nejvydatnější vůči MZNČ je MZNČ/X2, která je téměř stejně relativně vydatná jako MZNČ, pro n = 30 je dokonce mírně relativně - 70 -
vydatnější. Pro obě velikosti výběru se jako relativně nejméně vydatná zdá MNČ, její ztráta číní přibližně 14.6% pro n = 100 u obou odhadů parametrů β1,β2 a s růstem výběru její ztráta roste.
metoda Glejser α1 Glejser α2 M. Glej.α1 M.Glej.α2 M.Glej.α3 G-Q test B-P test
Tab. VII.4: Procentní významnost n = 30 n = 100 9 34 16 27 1 3 1 5 2 7 17 43 5 17
Ani jeden z testů neposkytuje uspokojivé výsledky, mírně příznivější jsou závěry pro n = 100. V tomto případě Glejserův test indikuje tuto formu heteroskedasticity pouze u 27% opakování, G-Q test v 43% opakování a B-P test jen v 17% opakování. Důvod bude pravděpodobně opět relativně „slabý“ stupeň heteroskedasticity v nagenerovaných datech.
7.8 Experiment VIII Předpoklady experimentu VIII jsou uvedeny v tabulce 7.1. a výsledky jsou uvedeny v tabulkách VIII.1 - VIII.4.
Tab. VIII.1: Střední vychýlení (mean bias) n = 30 n = 100 metoda
β2
β1
β2
β1
MNČ MZNČ MZNČ/X2 Glejser M.Glejser
0,038864 0,034801 0,034759 0,033357 0,041391
-1,33839 -1,1053 -1,10285 -1,01314 -1,48395
0,025367 0,036635 0,01011 0,012021 0,031775
-0,6914226 -1,439939 0,07510731 -0,0178156 -1,0307752
Pro malé rozsahy výběru n = 30 jsou vychýlení nejmenší pro Glejserovu metodu u obou odhadů parametrů β1, β2. Pro n = 100 má Glejserova metoda vychýlení rovněž nejnižší resp. druhé nejnižší pro oba odhady parametrů β1, β2. Obecně je vychýlení větší pro odhad parametru β1.
- 71 -
Tab. VIII.2: Střední čtvercová chyba (mean square error) n = 30 n = 100 metoda
β2
β1
β2
β1
MNČ MZNČ MZNČ/X2 Glejser M.Glejser
0,085666 0,058328 0,058548 0,066874 0,085101
206,2845 117,2704 118,1336 142,1648 204,7092
0,032607 0,049566 0,020545 0,021585 0,03111
65,889106 96,9719348 37,496156 39,3920531 60,8780601
Tab. VIII.3: Relativní vydatnost (relative efficiency) n = 30 n = 100 metoda
β2
β1
β2
β1
1,468702 1,75905 0,657863 0,67946573 MNČ MZNČ/X2 1,003784 1,007361 0,414509 0,38667019 1,14653 1,212282 0,435489 0,40622117 Glejser M.Glejser 1,459017 1,745617 0,627644 0,62779051
Relativní vydatnost z tabulky VIII.3 pro n = 100 mě osobně překvapila, protože všechny zde použité metody jsou výrazně relativně vydatnější než MZNČ. Ztráta MZNČ činí až 163% u obou odhadů parametrů vůči MZNČ/X2. Pro n = 30 se zdá jako relativně nejvydatnější vůči MZNČ MZNČ/X2, ztráta jen 0,3%. Pro n = 100 je rovněž relativně nejvydatnější a je výrazně vydatnější i než MZNČ!!.
metoda Glejser α1 Glejser α2 M.Glej.α1 M.Glej.α2 M.Glej.α3 G-Q test B-P test
Tab. VIII.4: Procentní významnost n = 30 n = 100 1 3 66 100 0 5 3 10 8 15 85 100 52 100
V tabulce VIII.4 jsou výsledky testování experimentu VIII. Glejserův test pro n = 30 indikuje heteroskedasticitu v 66% opakování, pro n = 100 indikuje heteroskedasticitu ve 100% opakování, nutno podotknout, že jiné formy, než z jaké byly původní data generována. Pro n = 30 indikuje G-Q test heteroskedasticitu v 85% a B-P test v 52% opakování. S rostoucím n =100 je indikace obou testů 100%.
- 72 -
7.9 Experiment IX Předpoklady experimentu IX jsou uvedeny v tabulce 7.1. Na rozdíl od experimentu VIII se zde neuvažuje α3. Vynechání parametru, jak jsem už jednou uvedl, je mnohem závažnější problém, než odhad nadbytečného parametru. Výsledky jsou uvedeny v tabulkách IX.1 IX.4. Tab. IX.1: Střední vychýlení (mean bias) n = 30 n = 100 metoda MNČ MZNČ MZNČ/X2 Glejser
β2
β1
β2
β1
0,017063 -2,0475 0,017744 -0,723758 -0,03382 0,572309 -0,00486 0,44144267 -0,03535 0,650484 -0,01506 0,87055554 0,013298 -1,9521 -0,01004 0,60275723
Pro n = 30 se největší střední vychýlení pro β1 zdá být u MNČ činí až -2,04, která je následována Glejserovou metodou. MNČ poskytuje i nejvíce vychýlený odhad pro β2 při n = 30. Totéž platí i pro n = 100, ale střední vychýlení s rozsahem výběru viditelně klesá.
Tab. IX.2: Střední čtvercová chyba (mean square error) n = 30 n = 100 metoda
β2
β1
β2
β1
0,565574 1431,606 0,119764 266,994927 MNČ MZNČ 0,484059 1206,799 0,170236 371,526759 MZNČ/X2 0,48397 1206,334 0,093667 205,98019 Glejser 0,599064 1487,88 0,109298 241,356623
Tab. IX.3: Relativní vydatnost (relative efficiency) n = 30 n = 100 metoda
β2
β1
β2
β1
1,168399 1,186284 0,703517 0,71864252 MNČ 2 MZNČ/X 0,999817 0,999615 0,550221 0,55441549 Glejser 1,237585 1,232915 0,642037 0,64963456
Tab. IX.3 ukazuje relativní vydatnost jednotlivých metod. Pro n = 30 je relativně nejvydatnější MZNČ/X2 a je dokonce i relativně vydatnější než MZNČ. Pro n = 100 platí totéž. Zatímco pro n = 30 je MZNČ/X2 pouze mírně vydatnější než MZNČ, pro n = 100 MZNČ ztrácí výrazně na vydatnosti vůči všem ostatním metodám. Hlavní důvod tohoto problému - 73 -
bych viděl v tom, že vliv parametrů α1, α2 na stupeň heteroskedasticity je relativně malý, ale právě zařazení X2 do modelu vyjadřuje změny nejlépe. Ostatní metody chybně nezařazují α3. Ukazuje se, že nezařazení proměnné do modelu je skutečně velká chyba.
metoda Glejser α1 Glejser α2 G-Q test B-P test
Tab. IX.4: Procentní významnost n = 30 n = 100 6 9 18 73 23 86 22 81
Pro n = 30 Glejserův test indikuje heteroskedasticitu v 18% opakování, G-Q test ve 23% a B-P test ve 22% opakování. Pro n = 100 jsou výsledky výrazně lepší, Glejserův test je úspěšný v 73%, G-Q test v 86% a B-P test v 81% opakování.
7.10 Experiment X Předpoklady experimentu X jsou uvedeny v tabulce 7.1. V rámci tohoto experimentu mylně předpokládám existenci α1, α2, přestože ve skutečnosti existuje jen α2 . Výsledky jsou uvedeny v tabulkách X.1 - X.4. Tab. X.1: Střední vychýlení (mean bias) n = 30 n = 100 metoda
β2
MNČ MZNČ MZNČ/X2 Glejser
-0,00043 -0,00035 -0,00049 -0,00049
β1
β2
β1
-0,07448 -0,00116 0,03957342 -0,07934 -0,00116 0,0352503 -0,07251 -9E-06 -0,0178949 -0,07166 -0,00099 0,03209744
Střední vychýlení v tabulce X.1 je velmi nízké u obou rozsahů výběrů a obou odhadů parametrů u všech metod. Tab. X.2: Střední čtvercová chyba (mean square error) n = 30 n = 100 metoda
β2
β1
β2
0,00067 2,043099 0,000176 MNČ MZNČ 0,000627 1,891719 0,000181 MZNČ/X2 0,000597 1,795144 0,000174 0,00064 1,955305 0,00017 Glejser
- 74 -
β1 0,50917243 0,51121353 0,48680246 0,50327906
Tab. X.3: Relativní vydatnost (relative efficiency) n = 30 n = 100 metoda
β2
β1
β2
β1
1,068835 1,080022 0,974919 0,99600735 MNČ MZNČ/X2 0,951783 0,948949 0,962628 0,95224877 Glejser 1,020912 1,033613 0,938191 0,98447915
Z hlediska relativní vydatnosti u n = 30 dopadla nejlépe MZNČ/X2 pro oba odhady parametrů, dokonce je i mírně relativně vydatnější než MZNČ. Pro n = 100 jsou relativně vydatnější všechny metody než MZNČ. Ztráta MZNČ činí maximálně jen 6,5% a to vůči Glejserově metodě.
metoda Glejser α1 Glejser α2 G-Q test B-P test
Tab. X.4: Procentní významnost n = 30 n = 100 18 68 29 72 41 86 30 80
U n = 30 Glejserův test odhalil nějakou formu heteroskedasticity jen v 29% opakování, G-Q test u 41% opakování a B-P test u 30% opakování. S růstem výběru roste i schopnost indikace heteroskedasticity u všech uvedených testů. G-Q test indikuje heteroskedasticitu v 86% opakování.
- 75 -
7.11 Výsledky experimentů V této kapitole jsem se zabýval důsledky heteroskedasticity, její indikací a možnostmi jejího odstranění. Heteroskedasticita je významný problém. V 10-ti experimentech jsem předpokládal různé struktury rozptylů náhodné složky, dvě velikosti výběru n = 30 a n = 100 a 4 resp. 5 metod odhadu parametrů β1, β2 a tři testy heteroskedasticity. Z uvedených experimentů jsou patrné následující závěry: 1) Schopnost všech metod indikovat heteroskedasticitu výrazně vzrůstá s růstem velikosti výběru. 2) Ukázalo se, že prosté vážení proměnných z MZNČ/X2 pracuje celkem spolehlivě bez ohledu na skutečnou formu heteroskedasticity a je zvlášť účinné pokud σi2 = α1+α2xi+α3xi2. 3) Goldfeld-Quandtův test, Breuch-Paganův test i Glejserův test indikují heteroskedasticitu tím častěji, čím je „silnější“ její stupeň. (Větší výkyvy hodnot proměnné Y, nebo-li vyšší hodnoty parametrů α ve specifikační rovnici (7.2).) V provedených experimentech jsem předpokládal spíše „slabší“ stupně heteroskedasticity, což možná zkresluje publikované výsledky a jejich transparentnost. 4) Střední vychýlení je u většiny experimentů zanedbatelně malé a navíc s růstem výběru se snižuje. Dá se tedy usuzovat, že odhady parametrů β uvedenými metodami jsou nezkreslené. 5) V experimentech I - VII je vidět, že znalost skutečného tvaru heteroskedasticity tj. aplikace MZNČ poskytuje vydatnější odhady parametrů. U VIII - X tato skutečnost platí pouze u rozsahu n = 30, u n = 100 to neplatí.
- 76 -
8 Závěr Zjistí-li se při testování nedodržení klasického předpokladu homoskedasticity, je vhodné nejdříve přezkoumat původní specifikaci modelu. Testování je možné provádět celou řadou testů, kde nejobvyklejší dělení je na konstruktivní a nekonstruktivní testy. Není-li heteroskedasticita způsobena například vynecháním některé významné vysvětlující proměnné, přistupuje se obvykle k transformaci modelu, která zajistí, že náhodné složky mají konečný a konstantní rozptyl, takže při splnění ostatních klasických požadavků lze již zobecněný model odhadnout MNČ. Jak vyplynulo z odvození MZNČ, vynásobení původního modelu transformační maticí T spočívá v podstatě v transformaci originálních pozorování proměnných, a to v případě heteroskedasticity v závislosti na konkrétní formě funkčního vztahu mezi měnícím se rozptylem σi2 a hodnotami příslušné vysvětlující proměnné. Transformace modelu znamená vydělení výchozího regresního vztahu odmocninou nenulových diagonálních prvků matice W. Ověří-li se pomocí Glejserova testu, či s využitím apriorní informace, že lze oprávněně předpokládat například závislost typu σi2 = σ 2xij2, pak se matice T definuje jako diagonální matice s převrácenými hodnotami xij až xij na diagonále. Pokud by byly apriori známy všechny σi2, transformace původního modelu maticí T neznamená nic jiného, než vydělení všech pozorování jednotlivých proměnných směrodatnými odchylkami σi. Potom odhad paramerů modelu MZNČ je shodný s jeho odhadem MNČ, aplikovanou nikoliv na původní data, ale na pozorování, která jsou vážena hodnotami nepřímo úměrným velikostem měnících se směrodatných odchylek náhodných složek. Tento způsob odhadu zobecněného lineárního modelu, který se nazývá vážená metoda nejmenších čtverců, je tudíž pouze speciální modifikací MZNČ, jsou-li hodnoty všech rozptylů σi2 předem známé. Takový případ se ovšem v praktické analýze vyskytuje málokdy. Analogicky by se určila matice transformace T pro jakoukoliv předpokládanou funkční formu heteroskedasticity. Po následném pronásobení zobecněného modelu touto maticí by se získaly opět odhady parametrů MZNČ. Aplikace zobecněných nejmenších čtverců je adekvátním postupem i při odhadu parametrů z průřezových dat, roztříděných do několika skupin. Jednou z možných cest zmírnění heteroskedasticity modelu je transformace původního modelu, spočívající v nahrazení původních pozorování všech měřitelných proměnných jejich logaritmy. Logaritmická transformace snižuje stupnici, ve které jsou proměnné měřeny, takže diference mezi původními hodnotami pozorování se po přechodu k logaritmickým hodnotám několikanásobně zmenší. Použití logaritmické formy proměnných nesmí být ovšem v rozporu s výchozí teoretickou ekonomickou hypotézou. Logaritmická transformace není použitelná, nabývají-li proměnné v některých pozorováních nulových nebo záporných hodnot. Protože hodnoty σi2, a tím ani matice W není v reálných aplikacích známa, vychází se jen z různých způsobů jejich konzistentního odhadu pomocí hypotetických funkčních forem heteroskedasticity. Jednotlivé závěry, vyplývající z obvyklých testovacích postupů, jsou - 77 -
plně platné pouze pro velké počty pozorování, takže při interpretaci testů významnosti nebo přesnosti odhadnutých parametrů zobecněného lineárního modelu v případě malých výběrů pozorování je vždy na místě opatrnost. Problém heteroskedasticity není záležitost pouze teoretická, ale metody s tímto problémem související se používají pro konkrétní aplikace v ekonomické praxi a moderní ekonomie je používá rovněž velmi často. Jednu ze zajímavých aplikací, kde je nutné se s tímto problémem vypořádat ukazují L. Brown a H.W. Chappell ve svojí práci Forecasting Presidential Elections in the States. Autoři se pomocí kombinace historických výsledků prezidentských voleb v USA a výsledků předvolebních průzkumů snaží odhadnout skutečné výsledky prezidentských voleb v roce 1996. Parametry odhadové funkce se mění s délkou časového intervalu mezi předvolebními průzkumy a dnem voleb a připouštějí heteroskedastické náhodné složky. Směrodatnou odchylku náhodné složky definují ve tvaru σu(i,t)=γ0+γ1DBE(i,t)+γ2Final(i,t), kde Final(i,t) je umělá proměnná rovna jedné pokud je itý výsledek předvolebního průzkumu úplně poslední před termínem voleb a DBE(i,t) interval mezi datem průzkumu a dnem voleb pro i-tý průzkum v t-tém roce. Pomocí odhadu rozptylů náhodných složek zpřesňují odhady volebních výsledků a ve svojí práci dosahují velmi přesných předpovědí výsledků prezidentských voleb. Pomocí těchto metod se jim podařilo odhadnout s 92,2% přesností vítěze prezidentských voleb v jednotlivých státech. Ve svojí diplomové práci jsem provedl celkem 10 experimentů, kde jsem předpokládal různé struktury rozptylů náhodných složek pro dvě velikosti výběrů pozorování. U každého experimentu jsem provedl 4 metody odhadu parametrů a tři testy heteroskedasticity. Z experimentů, které jsem provedl, vyplývají následující závěry. Schopnost všech testů indikovat heteroskedasticitu viditelně vzrůstá s růstem velikosti výběru. Střední vychýlení je většinou zanedbatelně malé a snižuje se s rozsahem výběru. Testy indikují heteroskedasticitu tím častěji, čím je silnější její stupeň. MZNČ/X2 pracuje celkem spolehlivě bez ohledu na skutečnou formu heteroskedasticity. Znalost skutečné formy heteroskedasticity umožňuje ve většině případů vydatnější odhady pro β.
- 78 -
Literatura Anděl, J.: Matematická statistika. SNTL, Praha 1985. Bakytová, H. - Hátle, J. - Novák, I. - Ugron, M.: Statistická indukce pro ekonomy. SNTL, Praha 1986. Brown, L. - Chappell, W.E.: Forecasting Presidential Elections in the States. 1996 Cipra, T.: Ekonometrie. MFF UK, Praha 1984. Draper, N. - Smith, H.: Applied Regression Analysis, 2-nd edition. Wiley Interscience, New York 1981. Goldberger, A.S.: Econometric Theory. John Wiley & Sons, Inc., New York 1966. Goldfeld, S.M. - Quandt, R.E.: Nonlinear Methods in Econometrics. North Holland Publishing Company, London 1972. Hebák, P. - Hustopecký, J.: Vícerozměrné statistické metody. SNTL, Praha 1987. Hebák, P - Kozák, J.: Regrese, Vícerozměrné statistické metody I..; SPN, Praha 1988. Hušek, R.: Ekonometrické modely řízení a plánování. SNTL, Praha 1987. Hušek, R. - Walter, J.: Ekonometrie. SNTL, Praha 1976. Hušek, R.: Základy ekonometrické analýzy I. VŠE, Praha 1997. Judge, G.G.: Introduction to the Theory and Practice of Econometrics. John Wiley&Sons, Inc., New York1982. Judge, G.G. - Griffiths, W.E. - Hill, R.C. - Lee, T.C.: The Theory and Practice of Econometrics. John Wiley&Sons, Inc., New York 1985. Koutsoyiannis, A.: Theory of Econometrics. The Macmillan Press, LTD., London 1973. Malinvaud, E.: Statistical Methods of Econometrics, 2-nd edition. North Holland Publishing Company, London 1970.
- 79 -
Experiment I n = 30
β2 2,0248 2,0080 2,0365 2,0176 1,9844 1,9876 1,9612 2,0361 1,9923 β1 3,0651 1,3180 7,0519 3,6258 4,8683 0,9207 5,6299 4,1193 4,5183 4,5114 3,8508 5,6837 8,6127 5,7077 4,5938 3,2340 6,3077 4,4864 MZNČ β2 2,0313 2,0248 1,9529 2,0080 1,9756 2,0365 1,9693 2,0176 1,9742 1,9844 1,9880 1,9876 1,9250 1,9612 1,9908 2,0361 1,9593 1,9923 β1 3,0651 1,3180 7,0519 3,6258 4,8683 0,9207 5,6299 4,1193 4,5183 4,5114 3,8508 5,6837 8,6127 5,7077 4,5938 3,2340 6,3077 4,4864 MZNČ/X2 β2 1,9871 1,9862 1,9834 1,9899 1,9730 2,0658 1,9610 2,0485 1,9830 1,9813 1,9441 2,0017 1,9431 1,9705 1,9481 1,9998 1,9943 1,9479 β1 5,5496 3,4910 5,3343 4,6196 5,0412 -0,7237 6,0735 2,4112 4,0326 4,6862 6,2982 4,8341 7,5390 5,1873 7,0136 5,2480 4,3584 7,0224 Glejserova metoda 1,9569 2,0313 1,9743 1,9529 1,9497 1,9756 1,9562 1,9693 2,0232 1,9742 2,0161 1,9880 2,0168 1,9250 2,0264 1,9908 2,0410 1,9593 β1 3,0651 1,3180 7,0519 3,6258 MNČ 2,0313 1,9529 1,9756 1,9693 1,9742 1,9880 1,9250 1,9908 1,9593
1,9862 1,9583 1,9657 2,0142 2,0058 2,0151 1,9859 2,0050 1,9822 1,9806 4,8701 6,6113 5,7370 5,0143 3,4734 3,5558 4,1880 4,5641 4,2645 5,8936 1,9862 1,9583 1,9657 2,0142 2,0058 2,0151 1,9859 2,0050 1,9822 1,9806 4,8701 6,6113 5,7370 5,0143 3,4734 3,5558 4,1880 4,5641 4,2645 5,8936 1,9857 1,9102 1,9650 1,9983 2,0318 2,0237 1,9644 2,0255 1,9671 1,9191 4,8994 9,3113 5,7641 5,9260 2,0498 3,1293 5,3469 3,3970 5,1344 9,3475 β2 2,0248 2,0080 2,0365 2,0176 1,9844 1,9876 1,9612 2,0471 1,9923 4,8701 6,6113 5,7370
1,9647 2,0107 1,9846 2,0011 2,0052 1,9873 1,9847 1,9492 2,0100
2,0576 1,9576 2,0028 1,9657 1,9339 1,9802 1,9839 1,9900 1,9714
1,9756 2,0479 2,0650 2,0733 2,0163 1,9712 2,0414 2,0086 1,9733
2,0051 2,0117 2,0092 1,9931 2,0183 2,0331 1,9771 2,0290 2,0022
1,9987 1,9746 1,9231 2,0211 1,9762 2,0288 2,0404 2,0028 2,0073
1,8789 1,9600 1,9846 2,0557 1,9828 2,0394 2,0216 2,0031 2,0492
1,9951 2,0390 1,9827 1,9234 1,9593 1,9651 1,9681 2,0148 1,9840
1,9569 1,9743 1,9497 1,9562 2,0232 2,0161 2,0168 2,0264 2,0410
6,3471 4,3253 4,5586 3,6910 2,4252 6,0903 4,3283 7,0151 3,4140
0,6615 7,1309 4,7009 6,4539 8,9041 4,7100 6,1949 3,6450 6,9414
6,0297 -0,1960 -0,7637 -0,5865 2,6997 5,6233 0,5386 2,9319 5,7890
2,8958 3,2495 3,9871 5,3290 2,5229 1,5117 4,7067 0,0970 2,5246
2,1220 5,3284 7,7079 2,8610 4,5086 3,9491 1,0347 4,6816 2,6083
11,6543 6,7917 4,8060 -0,4284 4,7725 2,6539 3,1123 2,5127 1,0587
4,6799 0,5645 5,0416 7,1526 6,8802 7,1866 6,0777 2,8668 3,9395
7,0925 6,2960 8,6922 6,0753 2,6340 2,5728 4,0099 2,8657 1,9389
1,9647 2,0107 1,9846 2,0011 2,0052 1,9873 1,9847 1,9492 2,0100
2,0576 1,9576 2,0028 1,9657 1,9339 1,9802 1,9839 1,9900 1,9714
1,9756 2,0479 2,0650 2,0733 2,0163 1,9712 2,0414 2,0086 1,9733
2,0051 2,0117 2,0092 1,9931 2,0183 2,0331 1,9771 2,0290 2,0022
1,9987 1,9746 1,9231 2,0211 1,9762 2,0288 2,0404 2,0028 2,0073
1,8789 1,9600 1,9846 2,0557 1,9828 2,0394 2,0216 2,0031 2,0492
1,9951 2,0390 1,9827 1,9234 1,9593 1,9651 1,9681 2,0148 1,9840
1,9569 1,9743 1,9497 1,9562 2,0232 2,0161 2,0168 2,0264 2,0410
6,3471 4,3253 4,5586 3,6910 2,4252 6,0903 4,3283 7,0151 3,4140
0,6615 7,1309 4,7009 6,4539 8,9041 4,7100 6,1949 3,6450 6,9414
6,0297 -0,1960 -0,7637 -0,5865 2,6997 5,6233 0,5386 2,9319 5,7890
2,8958 3,2495 3,9871 5,3290 2,5229 1,5117 4,7067 0,0970 2,5246
2,1220 5,3284 7,7079 2,8610 4,5086 3,9491 1,0347 4,6816 2,6083
11,6543 6,7917 4,8060 -0,4284 4,7725 2,6539 3,1123 2,5127 1,0587
4,6799 0,5645 5,0416 7,1526 6,8802 7,1866 6,0777 2,8668 3,9395
7,0925 6,2960 8,6922 6,0753 2,6340 2,5728 4,0099 2,8657 1,9389
2,0122 2,0067 1,9742 1,9814 2,0173 1,9939 1,9781 1,9229 2,0267
2,0769 1,9711 1,9757 1,9500 1,8820 1,9781 2,0241 2,0155 1,9896
1,9342 2,0531 2,0853 2,0911 2,0900 1,9445 1,9874 1,9555 2,0118
2,0352 2,0499 1,9914 1,9989 2,0214 1,9327 1,9526 1,9997 1,9983
1,9958 1,9539 1,9551 2,0124 1,9640 2,0227 2,0769 2,0336 2,0383
1,8882 1,9968 1,9656 2,0741 2,0286 2,0256 2,0669 2,0037 2,0697
1,9601 2,0135 1,9909 1,8849 1,9129 1,9418 1,9472 2,0420 2,0041
1,9268 1,9800 1,9609 1,9446 2,0391 2,0344 2,0199 1,9870 2,0033
3,7305 4,5389 5,1643 4,7728 1,7587 5,7415 4,6965 8,5026 2,5142
-0,3982 6,3835 6,2340 7,3664 11,8100 4,8217 3,9872 2,2010 5,8912
8,3548 -0,5169 -1,8493 -1,5638 -1,3956 7,1513 3,5584 5,9294 3,6048
1,1941 1,0964 4,9448 4,9783 2,3565 7,1348 6,0596 1,7485 2,6765
2,2763 6,4812 5,8731 3,3471 5,1783 4,3117 -0,9847 2,9412 0,8322
11,1244 4,6839 5,8520 -1,4723 2,2186 3,4075 0,5257 2,4904 -0,0950
6,6644 2,0311 4,5808 9,2854 9,4890 8,4847 7,2218 1,3387 2,8078
8,7900 6,0095 8,0760 6,6801 1,7273 1,5430 3,8506 5,0746 4,0724
1,9862 1,9583 1,9657 2,0142 2,0058 2,0151 1,9859 2,0050 1,9822 1,9806 6,3471 4,3253 4,5586
1,9647 2,0107 1,9846 2,0011 2,0052 1,9873 1,9847 1,9492 2,0100
2,0576 1,9576 2,0028 1,9657 1,9339 1,9802 1,9839 1,9900 1,9714
1,9756 2,0479 2,0650 2,0733 2,0163 1,9712 2,0414 2,0086 1,9733
2,0051 2,0117 2,0092 1,9931 2,0183 2,0331 1,9771 2,0290 1,9852
1,9987 1,9746 1,9231 2,0124 1,9762 2,0227 2,0404 2,0336 2,0073
1,8789 1,9600 1,9846 2,0557 1,9828 2,0394 2,0216 2,0031 2,0492
1,9951 2,0390 1,9827 1,9234 1,9593 1,9651 1,9681 2,0148 1,9840
0,6615 7,1309 4,7009
6,0297 -0,1960 -0,7637
2,8958 3,2495 3,9871
2,1220 5,3284 7,7079
11,6543 4,6799 6,7917 0,5645 4,8060 5,0416
7,0925 6,2960 8,6922
- 80 -
n = 100
4,8683 5,6299 4,5183 3,8508 8,6127 4,5938 6,3077 MNČ 1,9992 1,9742 1,9965 2,0009 1,9980 1,9772 1,9914 1,9881 1,9730
0,9207 4,1193 4,5114 5,6837 5,7077 2,4980 4,4864 β2 2,0010 1,9721 2,0136 1,9789 2,0368 1,9774 1,9889 1,9726 1,9700 β1 3,6837 3,7484 5,3628 5,7632 4,3414 2,9952 3,2043 4,3903 3,3664 1,9023 5,0691 5,5919 3,9503 4,7287 4,0725 4,9738 5,2561 5,2036 MZNČ β2 1,9992 2,0010 1,9742 1,9721 1,9965 2,0136 2,0009 1,9789 1,9980 2,0368 1,9772 1,9774 1,9914 1,9889 1,9881 1,9726 1,9730 1,9700 β1 3,6837 3,7484 5,3628 5,7632 4,3414 2,9952 3,2043 4,3903 3,3664 1,9023 5,0691 5,5919 3,9503 4,7287 4,0725 4,9738 5,2561 5,2036 MZNČ/X2 β2 1,9960 2,0018 1,9682 1,9660 1,9887 2,0196 2,0079 1,9934 2,0058 2,0373 1,9790 1,9879 1,9807 2,0067 1,9946 1,9587 1,9829 1,9650 β1 3,8417 3,7180 5,6931 6,0689 4,7242 2,6864 2,8903 3,6374 2,9682 1,8321 4,9556 5,0489 4,5368 3,8678 3,7494 5,6619 4,7489 5,4585 Glejserova metoda 1,9905 1,9992 2,0233 1,9742 1,9726 1,9965 2,0000 2,0009 1,9709 1,9980 2,0216 1,9772 2,0016 1,9914
5,0143 3,4734 3,5558 4,1880 4,5641 4,2645 5,8936 1,9919 1,9817 2,0039 1,9874 1,9976 2,0208 1,9559 1,9504 1,9975 1,9835 4,5136 4,5847 3,7739 5,3153 4,0191 2,7098 6,9428 7,2808 4,8735 4,4381 1,9919 1,9817 2,0039 1,9874 1,9976 2,0208 1,9559 1,9504 1,9975 1,9835 4,5136 4,5847 3,7739 5,3153 4,0191 2,7098 6,9428 7,2808 4,8735 4,4381 1,9896 2,0004 2,0142 1,9823 1,9984 2,0041 1,9839 1,9601 2,0041 1,9863 4,6604 3,6244 3,2586 5,5231 3,9635 3,5829 5,5294 6,7918 4,5334 4,2854 β2 2,0010 1,9721 2,0136 1,9789 2,0368 1,9774 1,9889
3,6910 2,4252 6,0903 4,3283 7,0151 3,4140
6,4539 8,9041 4,7100 6,1949 3,6450 6,9414
-0,5865 2,6997 5,6233 0,5386 2,9319 5,7890
5,3290 2,5229 1,5117 4,7067 0,0970 3,6569
3,3471 4,5086 4,3117 1,0347 2,9412 2,6083
-0,4284 4,7725 2,6539 3,1123 2,5127 1,0587
7,1526 6,8802 7,1866 6,0777 2,8668 3,9395
6,0753 2,6340 2,5728 4,0099 2,8657 1,9389
1,9925 2,0323 2,0080 1,9855 2,0288 1,9959 1,9918 1,9998 1,9845
2,0170 1,9789 1,9908 1,9624 2,0300 1,9969 1,9847 2,0078 2,0000
2,0274 2,0204 1,9789 1,9995 2,0037 2,0095 2,0040 1,9988 1,9991
2,0398 2,0093 2,0050 1,9997 1,9908 2,0164 2,0364 1,9841 2,0133
1,9896 2,0021 1,9906 1,9804 2,0009 2,0019 2,0112 1,9833 2,0012
1,9855 2,0136 2,0149 1,9812 2,0099 1,9996 2,0435 2,0290 2,0089
2,0133 1,9817 2,0008 2,0204 1,9877 2,0398 1,9519 2,0182 1,9576
1,9905 2,0233 1,9726 2,0000 1,9709 2,0216 2,0016 1,9942 2,0543
3,6018 2,9347 4,6166 4,2467 2,5568 4,0286 4,7643 3,9056 4,6654
1,9640 4,3825 4,9468 6,3002 2,6038 4,5392 4,7901 4,1121 3,6612
2,6698 2,5212 5,3971 3,5923 4,3082 3,5383 3,4428 3,4976 4,2943
2,3240 3,5573 3,6554 4,5446 4,4335 3,0986 1,8056 5,2657 3,2979
4,4851 4,5577 3,6247 5,0394 3,7861 4,1837 3,3806 5,2474 3,7990
4,7495 3,5562 3,4853 5,5158 3,6286 3,7686 1,6660 2,2892 3,5373
3,5146 4,8884 3,6612 3,6614 4,1958 2,0710 7,0583 2,4851 6,2869
5,0265 3,1774 5,6032 3,6929 4,9740 2,8915 3,8215 4,0961 1,0083
1,9925 2,0323 2,0080 1,9855 2,0288 1,9959 1,9918 1,9998 1,9845
2,0170 1,9789 1,9908 1,9624 2,0300 1,9969 1,9847 2,0078 2,0000
2,0274 2,0204 1,9789 1,9995 2,0037 2,0095 2,0040 1,9988 1,9991
2,0398 2,0093 2,0050 1,9997 1,9908 2,0164 2,0364 1,9841 2,0133
1,9896 2,0021 1,9906 1,9804 2,0009 2,0019 2,0112 1,9833 2,0012
1,9855 2,0136 2,0149 1,9812 2,0099 1,9996 2,0435 2,0290 2,0089
2,0133 1,9817 2,0008 2,0204 1,9877 2,0398 1,9519 2,0182 1,9576
1,9905 2,0233 1,9726 2,0000 1,9709 2,0216 2,0016 1,9942 2,0543
3,6018 2,9347 4,6166 4,2467 2,5568 4,0286 4,7643 3,9056 4,6654
1,9640 4,3825 4,9468 6,3002 2,6038 4,5392 4,7901 4,1121 3,6612
2,6698 2,5212 5,3971 3,5923 4,3082 3,5383 3,4428 3,4976 4,2943
2,3240 3,5573 3,6554 4,5446 4,4335 3,0986 1,8056 5,2657 3,2979
4,4851 4,5577 3,6247 5,0394 3,7861 4,1837 3,3806 5,2474 3,7990
4,7495 3,5562 3,4853 5,5158 3,6286 3,7686 1,6660 2,2892 3,5373
3,5146 4,8884 3,6612 3,6614 4,1958 2,0710 7,0583 2,4851 6,2869
5,0265 3,1774 5,6032 3,6929 4,9740 2,8915 3,8215 4,0961 1,0083
1,9983 2,0404 2,0104 1,9770 2,0198 2,0192 1,9595 2,0058 1,9817
2,0114 1,9384 1,9824 1,9310 2,0333 2,0267 2,0047 2,0206 1,9971
2,0350 2,0108 1,9798 1,9710 2,0055 1,9817 2,0028 1,9848 2,0081
2,0509 2,0442 2,0181 1,9956 1,9945 2,0424 2,0270 2,0087 2,0409
1,9698 1,9796 2,0069 2,0136 1,9857 1,9948 1,9710 1,9917 2,0042
1,9850 2,0440 2,0132 1,9800 2,0254 2,0102 2,0393 2,0165 1,9960
2,0176 1,9690 1,9853 2,0131 1,9589 2,0258 1,9589 2,0117 1,9367
1,9996 2,0556 1,9815 2,0064 1,9662 2,0131 2,0031 1,9881 2,0571
3,2903 2,5459 4,5124 4,6839 3,0025 2,8741 6,3921 3,6257 4,7830
2,2558 6,4037 5,3824 7,9150 2,4365 3,0179 3,7917 3,4425 3,8207
2,2780 2,9807 5,3592 5,0351 4,2056 4,9123 3,4953 4,1730 3,8607
1,7580 1,7849 2,9823 4,7403 4,2508 1,8203 2,2835 4,0391 1,9079
5,4698 5,6816 2,7995 3,3865 4,5552 4,5190 5,4516 4,8008 3,6416
4,7817 2,0243 3,5643 5,5689 2,8492 3,2293 1,8904 2,9414 4,2020
3,2776 5,5474 4,4416 4,0014 5,6579 2,7816 6,7148 2,7792 7,3453
4,5571 1,5601 5,1536 3,3643 5,2091 3,3107 3,7817 4,3954 0,8540
1,9919 1,9817 2,0029 1,9874 1,9976 2,0208 1,9559 1,9504
1,9925 2,0323 2,0080 1,9855 2,0288 1,9959 1,9918 1,9998
2,0170 1,9789 1,9908 1,9624 2,0300 1,9969 1,9847 2,0078
2,0274 2,0204 1,9789 1,9995 2,0037 2,0095 2,0040 1,9988
2,0398 2,0093 2,0050 1,9997 1,9908 2,0164 2,0364 1,9841
1,9896 2,0021 1,9906 1,9804 2,0009 2,0019 2,0112 1,9833
1,9842 2,0136 2,0149 1,9812 2,0059 1,9996 2,0435 2,0290
2,0066 1,9817 2,0064 2,0204 1,9877 2,0398 1,9519 2,0182
- 81 -
1,9942 2,0543 3,6837 5,3628 4,3414 3,2043 3,3664 5,0691 3,9503 4,0725 5,2561
1,9881 1,9730 β1 3,7484 5,7632 2,9952 4,3903 1,9023 5,5919 4,7287 4,9738 5,2036
1,9726 1,9700 4,5136 4,5847 3,8303 5,3153 4,0191 2,7098 6,9428 7,2808 4,8735 4,4381
1,9975 1,9835 3,6018 2,9347 4,6166 4,2467 2,5568 4,0286 4,7643 3,9056 4,6654
1,9845
2,0000
1,9991
2,0133
2,0012
2,0089
1,9576
1,9640 4,3825 4,9468 6,3002 2,6038 4,5392 4,7901 4,1121 3,6612
2,6698 2,5212 5,3971 3,5923 4,3082 3,5383 3,4428 3,4976 4,2943
2,3240 3,5573 3,6554 4,5446 4,4335 3,0986 1,8056 5,2657 3,2979
4,4851 4,5577 3,6247 5,0394 3,7861 4,1837 3,3806 5,2474 3,7990
4,8170 3,5562 3,4853 5,5158 3,8639 3,7686 1,6660 2,2892 3,5373
3,9109 4,8884 3,3372 3,6614 4,1958 2,0710 7,0583 2,4851 6,2869
5,0265 3,1774 5,6032 3,6929 4,9740 2,8915 3,8215 4,0961 1,0083
1,9745 1,9925 1,9328 1,9390 2,0417 2,0306 1,9550 1,9025 2,0023 1,8950 6,9335 1,8091 6,6063 7,4948 1,4664 2,7444 3,4419 9,5009 4,7623 10,7512 1,9617 1,9770 1,9215 1,9360 2,0658 2,0410 1,9676 1,9010 2,0130 1,8602 7,7341 2,7733 7,3168 7,6795 -0,0422 2,0959 2,6509 9,5969 4,0945 12,9253 1,9360 1,9339 1,9132 1,9158 2,1022 2,0636 1,9827 1,8688 2,0351 1,8106 9,0892 5,0434 7,7540 8,7414 -1,9622 0,9070 1,8585 11,2882 2,9308 15,5431
1,9200 2,0441 2,0228 2,0763 1,9540 2,0656 1,9828 2,1107 1,9567
2,0783 1,9670 1,8992 1,9484 2,0064 2,0914 2,0260 2,0464 1,9642
2,0195 2,0336 1,9580 2,0680 2,0178 2,0849 2,0864 1,9854 2,0534
2,0129 1,9602 2,0387 2,1514 1,9248 2,0478 1,9225 2,1023 2,0536
1,9459 2,0049 2,1185 1,9697 1,9503 1,9722 1,9537 1,9846 1,8474
2,0185 1,8816 1,9918 1,9766 2,0991 2,0316 1,9662 1,9355 1,9325
1,9794 2,1146 2,0725 1,9874 1,9973 2,0182 1,9888 2,0549 1,9133
2,0022 1,8782 1,9573 1,9983 1,8976 2,0499 2,0247 2,0253 1,9809
7,5175 0,8108 4,4272 -0,8158 8,4375 0,9742 6,1372 -1,4320 5,8365
0,5384 7,0606 7,9583 8,9126 4,3078 0,9900 2,3289 0,0189 4,6848
1,3843 5,2812 4,9776 -2,7182 3,0043 2,0695 -1,6625 5,1380 0,0632
0,7700 5,6807 2,0668 -2,4610 8,1173 0,2714 9,2802 -3,6193 -0,2714
10,0980 4,7572 -1,3908 6,0117 7,0614 4,6122 6,3882 2,4695 10,1611
3,4625 8,4995 5,6597 5,4684 -3,9863 0,4810 4,6958 8,1107 5,9930
5,5436 -1,6055 1,7132 1,9905 5,8051 4,3126 5,3396 0,3218 8,4859
5,7217 11,3600 5,2286 2,5096 10,1471 -0,1013 0,8611 2,7068 4,0952
1,9457 2,0114 2,0214 2,0632 1,9674 2,0805 1,9527 2,1286 1,9812
2,0661 1,9636 1,8670 1,9377 2,0010 2,0986 1,9725 2,0443 1,9976
2,0373 2,0338 1,9694 2,0752 2,0255 2,1080 2,0760 2,0153 2,0696
2,0369 1,9677 2,0364 2,1323 1,9207 2,0402 1,9293 2,1078 2,0393
1,9355 2,0234 2,0772 1,9645 1,9387 1,9716 1,9468 1,9807 1,8805
2,0213 1,9173 1,9822 1,9608 2,0815 2,0338 1,9497 1,9365 1,9295
1,9623 2,0824 2,0740 1,9447 2,0126 2,0260 2,0161 2,0536 1,9224
2,0180 1,8634 1,9298 2,0248 1,8984 2,0724 1,9918 2,0449 1,9786
5,9106 2,8554 4,5147 0,0034 7,6044 0,0469 8,0182 -2,5529 4,3008
1,3025 7,2691 9,9671 9,5818 4,6454 0,5354 5,6680 0,1510 2,6010
0,2708 5,2684 4,2703 -3,1696 2,5245 0,6227 -1,0148 3,2714 -0,9533
-0,7275 5,2105 2,2103 -1,2728 8,3733 0,7449 8,8567 -3,9607 0,6260
10,7481 3,6028 1,1909 6,3310 7,7831 4,6554 6,8143 2,7136 8,0931
3,2858 6,2733 6,2642 6,4508 -2,8845 0,3447 5,7248 8,0504 6,1804
6,6088 0,4061 1,6228 4,6630 4,8454 3,8261 3,6303 0,4010 7,9234
4,7339 12,2864 6,9445 0,8537 10,0990 -1,5021 2,9171 1,4822 4,2441
1,9663 1,9609 2,0376 2,0544 1,9929 2,1074 1,8982 2,1625 2,0167
2,0613 1,9498 1,8167 1,9012 1,9759 2,1001 1,8959 2,0368 2,0312
2,0469 2,0326 1,9937 2,0929 2,0520 2,1416 2,0590 2,0649 2,0872
2,0816 1,9857 2,0340 2,1092 1,9280 2,0326 1,9306 2,1081 2,0222
1,9355 2,0528 2,0263 1,9739 1,9346 1,9687 1,9173 1,9692 1,9270
2,0180 1,9730 1,9735 1,9299 2,0693 2,0357 1,9335 1,9420 1,9166
1,9312 2,0235 2,0803 1,8593 2,0156 2,0295 2,0552 2,0457 1,9382
2,0595 1,8286 1,8719 2,0588 1,9123 2,1268 1,9417 2,0734 1,9708
4,8198 5,5183 3,6642 0,4661 6,2606 -1,3708 10,8925 -4,3400 2,4305
1,5563 7,9958 12,6170 11,4974 5,9646 0,4588 9,7065 0,5467 0,8265
-0,2364 5,3304 2,9903 -4,1023 1,1280 -1,1472 -0,1176 0,6552 -1,8819
-3,0828 4,2657 2,3398 -0,0537 7,9927 1,1466 8,7883 -3,9802 1,5251
10,7500 2,0510 3,8787 5,8403 8,0047 4,8078 8,3701 3,3153 5,6393
3,4602 3,3327 6,7213 8,0828 -2,2364 0,2423 6,5871 7,7593 6,8596
8,2485 3,5105 1,2911 9,1581 4,6868 3,6418 1,5687 0,8203 7,0896
2,5558 14,1131 9,9923 -0,9369 9,3713 -4,3665 5,5569 -0,0202 4,6509
Experiment II n = 30
β2 1,9257 1,9079 2,0462 2,0369 2,0670 2,0237 2,0369 1,9544 1,9802 β1 5,0429 8,5142 1,4613 9,7100 10,3515 2,2121 5,1775 2,0990 9,6841 2,9134 5,1391 3,0497 -0,7456 1,9644 3,5618 6,1145 -4,4484 4,7085 MZNČ β2 1,9669 1,9315 2,0467 1,9311 1,9171 2,0221 1,9391 2,0230 1,8873 2,0722 1,9708 2,0492 2,0424 2,0398 1,9939 1,9717 2,1191 1,9636 β1 5,8289 8,1517 2,9693 8,2560 8,7071 3,7209 5,5216 2,9675 9,2616 2,5896 6,3952 1,4600 -0,5141 1,7867 3,4946 5,0350 -3,9371 5,7492 MZNČ/X2 β2 1,9302 1,9435 2,0142 1,9652 1,9517 1,9935 1,9257 2,0044 1,9053 2,0664 1,9614 2,0871 2,0531 2,0265 2,0120 1,9933 2,1048 1,9351 β1 7,7591 7,5158 4,6851 6,4586 6,8813 5,2319 6,2268 3,9497 8,3091 2,8886 6,8945 -0,5365 -1,0728 2,4823 2,5434 3,8944 -3,1824 7,2515 MNČ 1,9795 2,0709 1,8908 1,9446 1,8805 1,9909 2,0461 1,9928 2,1273
- 82 -
n = 100
Glejserova metoda 0,0310 0,0584 0,0038 -0,0270 -0,0307 0,0683 0,0070 0,0596 -0,0067 0,0781 0,0634 0,0684 0,0217 0,1241 -0,0286 0,0226 0,1088 0,0641 β1 3,7490 1,9795 7,4816 1,3864 1,9263 4,9278 2,4088 2,9833 2,2808 2,7244 2,8520 3,0027 -0,7944 2,7119 4,5812 4,3477 1,5228 2,9894 MNČ β2 1,9879 2,0034 2,0321 1,9366 1,9824 2,0054 1,9831 2,0204 2,0375 1,9888 1,9178 1,9881 2,0364 2,0464 1,9729 1,9722 1,9659 1,9975 β1 4,6981 4,1279 3,7110 6,1363 5,1362 3,4144 4,4651 3,2784 1,3371 3,3877 7,6329 5,2318 2,2037 0,6993 5,1106 5,4275 5,5244 5,1117 MZNČ β2 1,9881 2,0109 2,0420 1,9273 1,9797 2,0044 1,9839 2,0217 2,0253 1,9748 1,9437 1,9995 2,0392 2,0431 1,9741 1,9733 1,9931 1,9696 β1 4,6864 3,7045 3,1521 6,6614 5,2884 3,4713 4,4220 3,2047 2,0251 4,1788 6,1705 4,5860 2,0424 0,8891 5,0435 5,3662 3,9850 6,6845 MZNČ/X2 β2 1,9963 2,0254 2,0646 1,9180 1,9823 1,9987 1,9887 2,0255 2,0118 1,9346 1,9742 2,0142 2,0287 2,0270 1,9744 1,9739 2,0510 1,9217 β1 4,2996 3,0120 2,0768 7,1056 5,1659 3,7417 4,1934 3,0233
β2 0,0372 0,0956 0,0278 0,0467 0,0280 0,0738 0,0869 0,0386 0,0495 -0,3172 5,2882 2,2017 4,4424 5,8009 1,1400 3,6680 4,0755 1,6246 3,0260 2,0082 2,0217 2,0178 1,9910 1,9851 1,9994 2,0159 2,0245 2,0260 1,9634 3,0200 3,2066 2,8175 3,5971 4,3928 4,8795 3,6610 1,7539 1,6017 6,0083 2,0044 2,0028 2,0102 1,9771 1,9804 2,0023 2,0075 2,0110 2,0132 1,9938 3,2360 4,2790 3,2488 4,3817 4,6561 4,7164 4,1391 2,5176 2,3248 4,2913 2,0013 1,9729 2,0211 1,9639 1,9634 2,0052 1,9987 1,9810 1,9975 2,0474 3,3869 5,6987 2,7351 5,0118 5,4637
0,0951 0,0248 0,0640 0,0320 0,0327 0,0835 0,0544 0,0418 0,0603 0,0355 2,5793 3,3058 1,8302 6,6800 5,4987 1,7513 2,4522 1,1085 9,8147
0,0504 0,0495 0,0757 0,0090 -0,0063 0,0755 0,0482 0,0837 -0,0471
0,0418 -0,0169 0,0482 0,0048 0,0422 0,0845 0,0609 0,0593 0,0419
0,0291 0,0414 0,0436 0,0559 0,0552 0,0392 0,0487 0,1051 0,0659
-0,0270 0,0611 -0,0009 0,0299 0,0090 0,0712 0,0095 0,0554 0,0692
-0,0094 0,1067 0,0586 0,0456 0,0825 0,0702 0,0679 0,0826 0,1244
0,0066 0,0304 0,0602 0,0352 0,0726 0,0756 0,0851 0,0491 0,0552
0,0035 0,0527 0,0948 -0,0147 0,0987 0,0943 0,0565 0,0315 0,0433
2,7825 7,0707 3,9042 6,4109 5,0854 1,4092 5,5695 2,4573 5,4537
3,3096 2,6350 1,6368 2,0743 3,7684 3,7862 2,7297 1,5141 2,7910
6,9296 3,2530 6,1673 5,3598 5,3263 2,4110 5,5231 3,4998 2,3525
6,2614 0,2185 4,0295 2,9266 0,9289 1,7109 2,6034 -0,5288 -0,5035
5,3055 5,0989 0,4675 4,4473 2,7012 2,4158 2,3244 3,1369 4,5070
5,4475 4,0305 0,1416 6,8650 1,8833 -0,5153 4,3294 5,2772 2,4412
4,0716 5,6275 9,6687 6,2760 5,3268 3,1992 4,6508 6,7333 0,2946
2,0151 2,0413 1,9823 1,9424 2,0047 1,9659 1,9916 1,9571 1,9895
1,9487 1,9815 2,0082 2,0023 2,0244 1,9909 2,0343 2,0087 2,0030
2,0437 1,9991 1,9801 2,0022 1,9934 1,9894 2,0142 1,9456 1,9891
1,9669 1,9939 2,0280 1,9324 1,9390 2,0160 1,9925 1,9407 1,9908
2,0243 2,0033 2,0419 2,0152 1,9755 2,0228 2,0399 1,9989 2,0179
1,9945 2,0021 1,9459 1,9571 2,0841 1,9682 1,9971 1,9942 1,8983
1,9740 2,0319 1,9673 1,9246 2,0364 1,9491 2,0095 1,9867 1,9480
1,9456 2,0127 2,0206 2,0165 2,0711 2,0439 1,9250 1,9793 2,0421
2,0881 1,9688 4,5380 6,8862 4,6166 5,2646 5,0422 5,6915 4,2443
5,7692 5,5934 4,6007 3,5829 4,2240 5,0942 2,7833 2,4549 4,8045
1,2899 5,0377 4,4363 4,1871 4,5384 3,7276 3,2503 7,9595 5,3116
7,2921 4,6951 2,6821 6,8038 6,6352 3,3102 5,4861 7,0691 4,5032
2,9441 4,8629 2,0124 2,3856 5,6526 2,4689 2,6139 3,9652 1,3230
4,7579 4,3863 6,0925 5,0522 -0,1681 6,2198 4,0275 3,4155 8,8629
6,2800 2,1206 6,1836 7,7743 0,9099 5,9476 1,9355 3,0221 6,1635
5,9682 3,6044 3,3011 2,8210 2,5005 1,4835 6,1894 4,9974 1,5851
2,0182 2,0383 1,9731 1,9710 2,0049 1,9723 1,9838 1,9418 2,0012
1,9508 1,9755 1,9954 1,9865 2,0365 1,9811 2,0525 2,0080 2,0096
2,0428 1,9917 1,9859 1,9967 2,0110 2,0001 2,0219 1,9634 2,0029
1,9846 1,9891 2,0269 1,9266 1,9487 2,0126 1,9900 1,9444 1,9884
2,0102 1,9995 2,0329 2,0201 1,9665 2,0123 2,0447 2,0017 2,0277
2,0097 1,9961 1,9451 1,9526 2,0789 1,9693 1,9953 1,9963 1,8810
1,9793 2,0274 1,9745 1,9255 2,0337 1,9542 2,0191 1,9754 1,9469
1,9512 2,0108 2,0132 2,0181 2,0739 2,0161 1,9342 2,0057 2,0418
1,9106 2,1404 5,0582 5,2708 4,6091 4,9019 5,4799 6,5563 3,5830
5,6490 5,9342 5,3271 4,4776 3,5397 5,6490 1,7527 2,4955 4,4328
1,3383 5,4608 4,1075 4,4938 3,5413 3,1196 2,8148 6,9508 4,5344
6,2911 4,9694 2,7457 7,1317 6,0874 3,4995 5,6273 6,8550 4,6349
3,7410 5,0784 2,5190 2,1114 6,1605 3,0656 2,3457 3,8120 0,7713
3,8980 4,7251 6,1355 5,3055 0,1309 6,1609 4,1257 3,2971 9,8394
5,9763 2,3759 5,7737 7,7246 1,0619 5,6637 1,3910 3,6617 6,2248
5,6494 3,7106 3,7219 2,7295 2,3455 3,0529 5,6700 3,5064 1,6066
2,0187 2,0319 1,9644 2,0095 2,0026 1,9759 1,9699 1,9283 2,0131
1,9552 1,9724 1,9647 1,9508 2,0417 1,9653 2,0953 1,9886 2,0274
2,0427 1,9927 1,9857 1,9857 2,0336 2,0088 2,0301 1,9967 2,0338
2,0104 1,9817 2,0150 1,9163 1,9684 2,0031 1,9823 1,9488 1,9931
1,9868 1,9938 2,0335 2,0236 1,9516 1,9984 2,0403 2,0105 2,0344
2,0385 1,9875 1,9435 1,9455 2,0613 1,9736 1,9982 1,9965 1,8587
1,9895 2,0230 1,9808 1,9244 2,0268 1,9531 2,0270 1,9471 1,9281
1,9628 2,0023 1,9942 2,0133 2,0751 1,9594 1,9607 2,0485 2,0339
1,8868 2,4454 5,4727 3,4363 4,7180
5,4423 6,0796 6,7845 6,1686 3,2907
1,3403 5,4160 4,1148 5,0156 2,4697
5,0647 5,3202 3,3105 7,6187 5,1536
4,8505 5,3488 2,4950 1,9433 6,8733
2,5320 5,1340 6,2124 5,6413 0,9612
5,4931 2,5883 5,4764 7,7784 1,3897
5,0991 4,1132 4,6252 2,9561 2,2846
- 83 -
2,6700 6,0842 4,7166 3,8898 2,5389 1,6510 5,0320 5,3370 1,2405 8,9606 Glejserova metoda 1,9512 1,9869 2,0108 2,0321 2,0167 1,9824 2,0133 1,9838 2,0743 2,0236 2,0192 1,9424 1,9607 2,0410 2,0050 1,9729 2,0421 1,9659 β1 4,7567 3,0120 3,7110 6,8037 5,1362 3,7417 4,4318 3,0233 2,0865 3,9464 6,2900 4,4502 1,9444 0,7634 5,1106 5,3370 5,5244 5,1117
4,5780 4,5558 3,9399 3,0703 1,7418 β2 2,0254 1,9241 1,9987 2,0255 1,9785 2,0026 2,0452 1,9739 1,9975 3,2045 3,2066 2,8175 4,5046 4,5142 4,7319 3,6610 2,4129 1,6017 6,0083
4,7316 6,1417 7,1981 3,0170
6,3971 -0,2781 3,4129 3,5895
2,7058 2,4248 5,3748 3,0674
3,9477 5,9909 6,6505 4,4140
3,7281 2,5515 3,3903 0,4534
5,9532 3,9926 3,2856 10,9005
5,7119 1,0166 5,0049 7,1126
5,7449 4,4157 1,4738 1,9796
2,0049 2,0217 2,0178 1,9750 1,9828 2,0022 2,0159 2,0123 2,0260 1,9634 1,9993 1,9688 5,0317 6,8862 4,6166 4,8454 5,0422 6,6647 3,0170
2,0167 2,0413 1,9733 1,9424 2,0047 1,9736 1,9916 1,9391 2,0131
1,9552 1,9815 1,9647 2,0023 2,0397 1,9653 2,0527 1,9886 2,0098
2,0427 1,9927 1,9883 1,9857 2,0336 2,0088 2,0142 1,9682 1,9891
1,9819 1,9939 2,0280 1,9324 1,9516 2,0121 1,9907 1,9443 1,9875
2,0063 2,0033 2,0419 2,0236 1,9658 2,0228 2,0399 2,0014 2,0344
1,9945 2,0021 1,9459 1,9528 2,0789 1,9688 1,9971 1,9967 1,8781
1,9740 2,0265 1,9752 1,9261 2,0364 1,9531 2,0188 1,9867 1,9467
5,4423 5,5934 6,7845 3,5829 3,3955 6,3971 1,7878 3,4129 4,4382
1,3403 5,4160 3,9936 5,0156 2,4697 2,7058 3,2503 6,6793 5,3116
6,4716 4,6951 2,6826 6,8038 5,9238 3,5188 5,5830 6,8702 4,6797
3,9157 4,8629 2,0124 1,9433 6,1787 2,4689 2,6139 3,8330 0,4534
4,7579 4,3863 6,0925 5,2890 0,1144 6,1861 4,0275 3,2810 9,9571
6,2800 2,4112 5,7511 7,6935 0,9099 5,7119 1,4281 3,0221 6,2210
5,6640 3,7049 3,5171 2,9561 2,3243 2,8225 4,4157 3,5997 1,5851
1,6268 2,1090 2,6679 2,5692 1,5844 1,8989 2,1685 2,2501 1,7825 2,3970 18,1097 3,8695 -17,0255 -20,3931 25,4306 11,1022 -6,1326 -1,1837 17,0125 -11,2442 1,6878 2,2175 2,5042 2,5140 1,5266 1,7972 2,1453 2,1828 1,8399 2,4315 14,4193 -2,2002 -7,9871 -17,3770 28,7042 16,9238 -4,7723 2,5888 13,8295 -13,1751 1,6858 2,2205 2,4972 2,5118 1,5258 1,7943
2,1962 2,1221 2,1543 1,9240 1,8153 1,7279 1,5829 2,4786 1,9170
1,7292 2,4651 2,0166 2,0734 1,9987 1,7822 2,1195 1,9453 1,9450
1,7981 1,6266 1,8810 2,0507 2,1183 2,3882 2,1201 2,1181 1,4961
2,3877 2,2313 2,1886 2,1266 1,5633 1,3381 2,1148 2,2624 1,6927
1,6687 2,3129 2,2017 2,1240 2,1959 1,6977 2,6459 2,1742 1,5743
1,9093 1,9002 1,3430 1,7654 1,7088 1,9265 2,4199 1,3968 2,0777
2,1096 1,5078 1,5648 2,2072 2,1590 1,4526 1,5510 2,2727 1,8493
2,2035 2,1992 2,1506 1,6291 1,8160 2,5406 2,1596 1,4937 2,1793
-4,8907 0,3912 -4,8279 -4,4938 5,6314 13,8303 13,7320 -17,0235 10,9630
21,2251 -14,9570 13,5163 0,9874 -4,2592 4,6197 1,8819 18,4138 4,2561
2,3641 18,5036 15,7254 -1,0111 -3,5209 -11,6090 -7,1382 -5,7434 18,6175
-11,7791 -8,4562 -4,6452 0,0065 29,9382 25,4765 -1,2189 -16,7355 12,1158
18,6286 -12,8523 2,1540 -3,0120 -9,0818 17,1130 -21,3528 -1,1176 34,0887
12,2722 17,9957 42,0701 21,6188 22,1010 11,6880 -5,0794 43,5141 0,3169
3,8368 26,0475 15,6425 -6,2996 -1,8812 21,6839 19,2493 -17,7087 11,3058
-4,8298 -1,8029 4,3081 26,1119 23,4810 -30,5895 -8,2509 26,9312 -16,8216
2,2636 2,1639 2,0472 1,9917 1,7103 1,8743 1,7075 2,4345 1,8920
2,0083 2,3912 2,1583 1,9958 1,8559 1,9560 2,1416 2,0949 2,0201
1,9653 1,4389 1,9107 2,0083 1,9467 2,4273 2,2628 2,1842 1,5848
2,0052 1,8174 2,0419 2,1067 1,7286 1,1659 2,1388 2,1394 1,8299
1,9965 2,3362 2,1626 2,2175 2,0441 1,8656 2,4758 2,2432 1,9497
1,8638 1,8977 1,4788 1,8464 2,0002 1,9917 2,5299 1,8519 2,2123
2,3163 1,6382 1,7447 2,2422 2,0907 1,5967 1,6753 2,1623 1,9588
2,2496 2,1745 2,2683 1,7640 1,8988 2,0716 1,9289 1,6712 2,0379
-8,8056 -2,0105 1,1731 -8,4377 11,7539 5,2056 6,5202 -14,2444 12,4185
5,0581 -10,6467 5,5732 5,6233 3,9466 -5,4893 0,6945 10,4046 0,0744
-7,2503 28,9515 13,6182 1,1126 6,2361 -14,0872 -15,3491 -9,5030 13,6397
9,8851 14,8715 3,9009 1,2425 20,9654 35,1553 -2,7562 -9,8262 4,2971
0,0269 -14,2261 4,3422 -8,2937 -0,4310 7,5268 -11,4930 -5,1438 12,6214
14,9557 18,0920 34,1708 17,2510 5,4538 7,8566 -11,3844 17,5211 -7,6601
-8,1630 18,4903 5,3118 -7,9952 2,2207 13,3994 12,1802 -11,4980 4,7991
-7,3176 -0,2773 -2,3317 18,5734 19,0188 -3,6750 4,8768 16,8240 -8,6696
2,2650 2,1648 2,0448 1,9909 1,7098 1,8744
2,0098 2,3919 2,1615 1,9967 1,8553 1,9569
1,9669 1,4329 1,9067 2,0030 1,9454 2,4255
1,9963 1,8064 2,0409 2,1070 1,7370 1,1612
2,0012 2,3364 2,1613 2,2207 2,0405 1,8707
1,8654 1,8983 1,4788 1,8502 2,0037 1,9909
2,3163 1,6393 1,7459 2,2470 2,0914 1,5985
2,2508 2,1762 2,2716 1,7691 1,9038 2,0664
Experiment III n = 30
β2 1,6946 2,3711 2,3315 1,6599 1,9111 1,9818 2,0906 1,9777 1,8829 β1 7,4222 27,9993 -16,9231 -12,9987 -4,8400 -11,9368 25,5946 30,2042 8,0062 -2,9858 -3,8186 10,7017 12,8228 -1,6572 1,9274 3,2069 1,0609 7,6936 MZNČ β2 1,8433 2,0425 1,8443 2,2082 2,2328 2,3977 1,9187 1,7117 1,9461 1,7555 2,1398 2,0650 1,9970 2,1035 1,9720 1,8429 2,0114 1,9125 β1 14,2895 8,3960 13,1297 -3,7404 1,7322 -15,5279 15,6952 27,4801 12,3826 5,7992 -4,8218 5,9432 19,5402 -2,3167 1,3590 11,0769 4,8847 6,0475 MZNČ/X2 β2 1,8406 2,0489 1,8379 2,2057 2,2324 2,4014 1,9212 1,7159 1,9470 1,7515 MNČ 1,9652 2,3692 2,3458 1,7449 2,0204 2,1228 2,1172 1,9576 2,0841
- 84 -
2,1405 1,9931 1,9756 2,0065
n = 100
2,0661 2,1043 1,8430 1,9134 β1 14,4349 8,0429 13,4814 -3,6016 1,7523 -15,7256 15,5575 27,2499 12,3367 6,0169 -4,8553 5,8804 19,7516 -2,3602 1,1618 11,0715 5,1499 5,9988 Glejserova metoda 2,2508 1,9652 2,1992 1,8379 2,2716 2,2324 1,6291 1,9212 1,8160 1,9470 2,0664 2,1405 1,9248 1,9931 1,4937 1,9576 2,1793 2,0065 β1 7,4222 27,9993 13,4814 -3,6016 1,7523 -15,7256 15,5575 27,2499 12,3367 6,0169 -4,8553 5,8804 19,7516 -1,6572 1,9274 3,2069 5,1499 5,9988 MNČ β2 2,1316 2,0744 2,1639 2,0410 1,9152 2,0169 2,1822 1,8856 2,1237 2,2392 1,9546 2,0763 1,8952 2,1296 1,9350 2,0038 2,3544 1,6207 β1 -3,7348 1,3178 -6,4164 0,5036 2,4227 1,0172 -3,7109 11,1419 -4,6901 -8,2096 7,8314 1,1826 10,3930 2,2099 5,4890 3,2320 -7,4270 19,2414 MZNČ β2 1,9965 2,1994 2,0601 1,8402 1,7951 2,0070 2,2142 1,8801 2,0334 2,1363 1,9866 1,9054 1,9289 2,1065 1,9260 2,0441 2,3278 1,6864 β1 3,2480 -4,9680 -1,0517 10,9371 8,7008 1,5671 -5,3664 11,3677 0,1524 -2,5964 6,3557 9,8141 8,5112 3,4506 6,0231 0,8476 -5,9586 15,9982
2,1452 2,1811 1,8417 2,4336 14,5238 -2,3637 -7,6073 -17,2585 28,7462 17,0788 -4,7691 2,6806 13,7321 -13,2864 β2 1,6946 2,2057 2,4014 1,7159 1,7515 2,0661 2,0906 1,9777 1,9134 14,5238 -2,3637 -17,0255 -20,3931 28,7462 11,1022 -4,7691 2,6806 17,0125 -11,2442 2,1655 2,1945 1,8259 1,9402 1,8590 2,2735 1,9647 1,8605 2,0127 1,9116 -2,6369 -7,1418 10,5342 9,3872 7,8107 -7,3596 6,5483 13,0648 5,1279 10,9540 2,0031 2,0258 1,7915 1,9979 1,8935 2,2455 2,1408 1,8265 2,0114 2,1116 5,6103 1,5410 12,2809 6,4046 6,3319 -5,8937 -2,4499 14,6536 5,1114 0,6417
1,7077 2,4364 1,8925
2,1438 2,1038 2,0230
2,2642 2,1845 1,5871
2,1382 2,1351 1,8326
2,4754 2,2440 1,9543
2,5318 1,8582 2,2105
1,6768 2,1593 1,9569
1,9248 1,6746 2,0374
-8,8791 -2,0580 1,3042 -8,3940 11,7815 5,1984 6,5055 -14,3503 12,3940
4,9729 -10,6810 5,3978 5,5750 3,9810 -5,5353 0,5752 9,9225 -0,0864
-7,3418 29,2781 13,8335 1,4000 6,3116 -13,9888 -15,4236 -9,5168 13,5146
10,3687 15,4687 3,9546 1,2272 20,5131 35,4100 -2,7234 -9,5949 4,1528
-0,2343 -14,2354 4,4123 -8,4708 -0,2313 7,2524 -11,4679 -5,1885 12,3693
14,8696 18,0655 34,1691 17,0444 5,2591 7,8997 -11,4909 17,1742 -7,5631
-8,1654 18,4297 5,2463 -8,2510 2,1828 13,2986 12,0976 -11,3351 4,8988
-7,3827 -0,3703 -2,5120 18,2996 18,7492 -3,3880 5,0987 16,6345 -8,6438
1,6858 2,2205 2,6679 2,5692 1,5258 1,8989 2,1452 2,1811 1,7825 2,3970 -8,8791 -2,0580 1,3042 -4,4938 11,7815 5,1984 13,7320 -14,3503 12,3940
2,2650 2,1648 2,0448 1,9240 1,7098 1,8744 1,5829 2,4364 1,8925
2,0098 2,4651 2,0166 1,9967 1,9987 1,7822 2,1438 2,1038 1,9450
1,9669 1,4329 1,9067 2,0030 1,9454 2,4255 2,1201 2,1845 1,4961
2,3877 2,2313 2,0409 2,1070 1,7370 1,3381 2,1148 2,1351 1,8326
1,6687 2,3364 2,2017 2,2207 2,1959 1,8707 2,4754 2,2440 1,5743
1,8654 1,9002 1,3430 1,8502 1,7088 1,9909 2,4199 1,3968 2,2105
2,1096 1,6393 1,7459 2,2072 2,0914 1,5985 1,6768 2,1593 1,9569
4,9729 -14,9570 13,5163 5,5750 -4,2592 4,6197 0,5752 9,9225 4,2561
-7,3418 29,2781 13,8335 1,4000 6,3116 -13,9888 -7,1382 -9,5168 18,6175
-11,7791 -8,4562 3,9546 1,2272 20,5131 25,4765 -1,2189 -9,5949 4,1528
18,6286 -14,2354 2,1540 -8,4708 -9,0818 7,2524 -11,4679 -5,1885 34,0887
14,8696 17,9957 42,0701 17,0444 22,1010 7,8997 -5,0794 43,5141 -7,5631
3,8368 18,4297 5,2463 -6,2996 2,1828 13,2986 12,0976 -11,3351 4,8988
-7,3827 -1,8029 -2,5120 26,1119 23,4810 -3,3880 5,0987 26,9312 -16,8216
1,8375 1,9090 2,1549 1,9805 2,1755 2,0467 1,9534 2,0947 1,8650
2,1744 1,8957 2,0938 1,9452 2,1310 1,8236 2,0296 2,0966 1,7051
2,1625 1,6799 1,8018 1,4985 1,9581 1,9266 1,7063 1,8758 2,0525
2,2888 1,9447 2,1220 2,1542 1,7289 1,7965 1,8118 2,3063 2,0463
1,9056 1,7294 1,9008 2,0897 2,1495 2,0291 1,9011 1,6474 2,0746
1,9853 1,6532 2,0425 2,0602 2,1890 2,1688 2,0556 1,9586 1,8176
1,7898 1,7214 2,0627 1,9772 2,0701 1,9580 2,0370 1,8371 1,9052
2,2782 1,6017 1,4500 2,0915 1,9733 2,3487 2,2137 2,0542 2,3760
13,3001 3,1774 -3,6335 1,9201 -5,6619 5,0273 4,3442 -1,4358 8,8095
-4,6465 11,1904 -2,3623 9,3190 -3,3834 11,9581 1,0803 0,7256 20,9719
-8,6602 17,3425 17,4309 24,2756 4,2152 4,1380 15,6045 6,6615 3,1643
-9,1477 4,6060 -5,7859 -3,2838 18,8334 14,2911 18,7233 -7,7820 0,2326
9,5436 19,5124 5,5094 -4,6927 -0,7680 5,1439 6,9249 22,0015 4,0045
2,9758 21,3561 3,6565 2,9333 -7,5003 -3,5887 1,2676 2,1947 7,8517
14,5434 11,4203 1,3763 4,3422 3,2345 12,0824 -2,3556 16,2946 8,5155
-10,0408 21,6380 31,0106 -1,2333 4,5165 -10,2959 -9,5017 4,6256 -11,7207
2,0482 2,0118 2,2376 1,8510 2,0786 2,0604 1,9323 1,9907 1,7302
2,1700 1,9741 2,0636 1,8684 2,1634 1,8370 1,8515 2,1601 1,9659
2,1316 1,7886 1,8360 1,6329 1,9355 1,9097 1,7172 1,7668 2,1302
2,1589 1,8986 2,0482 2,0794 1,8703 1,8801 1,9014 2,2293 2,0585
2,0694 1,8668 2,0476 2,0673 2,0794 1,9048 1,9058 1,9136 2,1119
2,0749 1,7662 1,9458 2,0732 2,1633 2,1069 2,0754 1,9257 1,8420
1,8454 1,7216 2,1469 1,9663 2,2395 2,0978 2,0581 1,9419 1,9871
2,1016 1,8035 1,6934 2,0587 1,9621 2,0840 1,8868 2,1409 2,1659
2,4762 -2,0542 -7,9702 8,4349 -0,7508 4,4920 5,3325 3,7537 15,7206
-4,4721 7,1884 -0,6593 13,1946 -4,9725 11,3004 10,1685 -2,5641 7,5274
-7,1515 11,8277 15,6965 17,1874 5,2723 4,8661 14,9937 12,2983 -0,8233
-2,5359 6,9196 -1,9674 0,5647 11,4792 9,8286 14,2552 -3,7725 -0,2446
1,2647 12,4416 -2,0062 -3,5430 2,9548 11,5678 6,5377 8,2573 2,1376
-1,7558 15,4712 8,7015 2,2719 -6,0824 -0,5009 0,2583 3,8383 6,5837
11,7761 11,2783 -2,9879 4,9225 -5,6547 4,9419 -3,4596 10,7019 4,0109
-0,9854 11,1457 18,4198 0,3561 5,1241 3,3202 7,4599 0,2322 -0,7530
- 85 -
MZNČ/X2 β2 1,9933 2,2038 2,0590 1,8376 1,7944 2,0070 2,2149 1,8793 2,0360 2,1395 1,9892 1,9007 1,9279 2,1071 1,9270 2,0404 2,3286 1,6902 β1 3,4024 -5,1802 -0,9967 11,0656 8,7378 1,5645 -5,4013 11,4064 0,0271 -2,7513 6,2332 10,0454 8,5562 3,4191 5,9764 1,0247 -5,9962 15,8122 Glejserova metoda 2,0993 1,9933 1,8052 2,0590 1,6959 1,7944 2,0565 2,2149 1,9617 2,0360 2,0803 1,9892 1,8822 1,9279 2,1436 1,9270 2,1650 2,3286 β1 3,4024 -5,1802 -0,9967 11,0656 8,7378 1,5645 -5,4013 11,4064 0,0271 -2,7513 6,2332 10,0454 8,5562 3,4191 5,9764 1,0247 -5,9962 15,8122
1,9995 2,0232 1,7899 1,9985 1,8983 2,2456 2,1451 1,8234 2,0106 2,1153 5,7906 1,6716 12,3586 6,3762 6,1023 -5,8956 -2,6638 14,8030 5,1508 0,4591 β2 2,2038 1,8376 2,0070 1,8793 2,1395 1,9007 2,1071 2,0404 1,6902 5,7906 1,6716 12,3586 6,3762 6,1023 -5,8956 -2,6638 14,8030 5,1508 0,4591
2,0526 2,0144 2,2373 1,8467 2,0758 2,0626 1,9306 1,9863 1,7283
2,1701 1,9769 2,0650 1,8658 2,1658 1,8378 1,8473 2,1607 1,9708
2,1306 1,7907 1,8374 1,6321 1,9330 1,9070 1,7167 1,7653 2,1315
2,1557 1,8973 2,0481 2,0784 1,8716 1,8789 1,9051 2,2285 2,0592
2,0752 1,8690 2,0512 2,0670 2,0812 1,9027 1,9046 1,9178 2,1122
2,0748 1,7668 1,9451 2,0731 2,1643 2,1032 2,0746 1,9235 1,8430
1,8476 1,7202 2,1473 1,9677 2,2402 2,1007 2,0585 1,9413 1,9854
2,0993 1,8052 1,6959 2,0565 1,9617 2,0803 1,8822 2,1436 2,1650
2,2611 -2,1828 -7,9580 8,6449 -0,6138 4,3842 5,4169 3,9673 15,8134
-4,4757 7,0519 -0,7250 13,3244 -5,0875 11,2590 10,3776 -2,5934 7,2908
-7,0996 11,7214 15,6322 17,2242 5,3955 4,9989 15,0203 12,3760 -0,8880
-2,3760 6,9805 -1,9595 0,6170 11,4164 9,8849 14,0751 -3,7355 -0,2817
0,9782 12,3326 -2,1847 -3,5305 2,8718 11,6726 6,5937 8,0524 2,1202
-1,7558 15,4433 8,7371 2,2756 -6,1287 -0,3206 0,2935 3,9414 6,5370
11,6662 11,3498 -3,0080 4,8533 -5,6909 4,7991 -3,4772 10,7288 4,0904
-0,8669 11,0620 18,2951 0,4619 5,1431 3,5067 7,6866 0,1027 -0,7021
1,9995 2,0232 1,7899 1,9985 1,8983 2,2456 2,1451 1,8234 2,0106 2,1153 2,2611 -2,1828 -7,9580 8,6449 -0,6138 4,3842 5,4169 3,9673 15,8134
2,0526 2,0144 2,2373 1,8467 2,0758 2,0626 1,9306 1,9863 1,7283
2,1701 1,9769 2,0650 1,8658 2,1658 1,8378 1,8473 2,1607 1,9708
2,1306 1,7907 1,8374 1,6321 1,9330 1,9070 1,7167 1,7653 2,1315
2,1557 1,8973 2,0481 2,0784 1,8716 1,8789 1,9051 2,2285 2,0592
2,0752 1,8690 2,0512 2,0670 2,0812 1,9027 1,9046 1,9178 2,1122
2,0748 1,7668 1,9451 2,0731 2,1643 2,1032 2,0746 1,9235 1,8430
1,8476 1,7202 2,1473 1,9677 2,2402 2,1007 2,0585 1,9413 1,9854
-4,4757 7,0519 -0,7250 13,3244 -5,0875 11,2590 10,3776 -2,5934 7,2908
-7,0996 11,7214 15,6322 17,2242 5,3955 4,9989 15,0203 12,3760 -0,8880
-2,3760 6,9805 -1,9595 0,6170 11,4164 9,8849 14,0751 -3,7355 -0,2817
0,9782 12,3326 -2,1847 -3,5305 2,8718 11,6726 6,5937 8,0524 2,1202
-1,7558 15,4433 8,7371 2,2756 -6,1287 -0,3206 0,2935 3,9414 6,5370
11,6662 11,3498 -3,0080 4,8533 -5,6909 4,7991 -3,4772 10,7288 4,0904
-0,8669 11,0620 18,2951 0,4619 5,1431 3,5067 7,6866 0,1027 -0,7021
2,0059 1,9412 2,0757 2,0123 1,8746 1,9749 1,9469 1,9560 1,9168 2,0213 2,7800 6,2273 0,4495 3,8121 10,7287 3,7964 7,7059 6,4198 10,3928 2,1933 2,0041 1,9685 2,0394 2,0248 1,8918 1,9995 1,9468 1,9803 1,9076 1,9446 2,8926 4,7403 2,5573
1,9967 1,9583 1,9679 2,0491 2,0205 2,1271 1,9447 1,9453 2,0709
2,0518 2,0482 2,0169 2,0331 1,9351 1,9836 1,9594 1,9702 2,0004
1,9940 2,0484 2,0480 2,0734 1,9265 1,9204 2,0140 1,9808 1,9588
1,9082 1,9301 1,8839 2,0527 2,1439 2,0248 1,9817 2,0078 1,9750
1,9401 2,0235 1,9131 2,0133 2,0212 2,0036 1,9522 1,9759 2,0371
2,1010 1,9965 2,0003 1,9622 1,9787 1,9691 1,9311 1,8479 1,9795
2,0090 1,9474 2,0079 1,9759 1,9533 2,0661 1,9844 1,9938 1,9986
2,0354 1,9561 2,0432 2,0700 1,9528 1,9747 1,9611 1,9660 1,9742
3,4572 5,1420 5,5737 0,3597 3,5670 -3,3586 7,0377 7,1623 -0,4412
0,9554 2,4973 1,1365 0,7684 5,6315 4,4414 6,3756 5,6310 5,1540
4,3813 1,3714 0,6380 -0,2079 7,0390 10,3316 2,8406 4,9151 6,1762
10,9697 9,0732 9,3781 -1,2230 -2,1673 2,4569 5,6593 4,6157 5,3750
6,9830 3,0875 9,4531 2,5316 2,8812 0,7486 3,9703 4,6265 2,1826
-1,0432 5,9562 4,7793 6,3351 4,5171 3,8062 9,8503 12,3737 3,8361
2,1915 8,9858 3,0382 5,7594 5,7009 -0,3416 5,9009 4,3112 4,0096
2,5470 6,6441 1,2826 -1,6788 6,7135 4,6355 6,2990 3,6151 4,9918
1,9809 1,9960 1,9403 2,0499 1,9956 2,0566 1,9287 1,9657 2,0842
2,0471 2,0677 2,0572 2,0080 1,9903 1,9739 1,9588 1,9494 2,0374
1,9757 2,0564 2,1065 2,0110 1,9700 1,9333 1,9771 1,9779 1,9459
1,9309 1,9525 1,9202 2,0397 2,0934 2,0764 1,9098 2,0031 1,9930
1,9604 2,0187 1,9409 1,9968 2,0013 1,9668 1,9428 2,0129 2,0796
2,1039 1,9780 2,0376 1,9768 1,9199 1,9679 1,9572 1,8522 1,9853
1,9918 1,9285 2,0142 1,9329 1,9938 2,0678 1,9618 1,9972 1,9807
1,9790 1,9589 2,0730 2,0210 2,0349 1,9882 1,9600 1,9325 2,0384
4,4444 3,0383 7,1521
1,2488 1,4028 -1,1285
5,5206 0,8712 -2,6781
9,5535 7,7969 7,3042
5,7141 3,3524 7,8625
-1,2266 7,0657 2,7089
3,1525 5,7717 10,0466 6,5375 2,6668 -0,4566
Experiment IV n = 30
MNČ 1,9604 1,9408 2,0934 2,0326 1,9990 2,0201 2,0017 2,0977 2,0073 6,1565 8,8840 0,0908 1,6283 4,6625 5,6635 2,4794 -1,8419 3,2932 MZNČ 1,9266 1,9312 2,0006 2,0189 1,9740 2,0678 2,0018 2,1252 2,0400 8,0057 9,4631
β2 1,9607 1,9587 1,9845 2,0099 2,0707 2,0656 1,9700 2,0330 2,0091 β1 6,3948 4,1632 4,8956 2,1716 0,8423 1,1477 6,1670 0,9232 3,6713 β2 1,9426 1,9999 1,9341 2,0527 2,0752 2,0063 1,9860 2,0377 2,0253 β1 7,4393 1,8555
- 86 -
n = 100
5,3009 7,7491 2,4175 -0,2450 6,1108 0,5864 2,9843 4,4738 2,4437 5,2469 -3,3928 0,6578 1,4195 2,7942 MZNČ/X2 β2 1,9249 1,9425 1,9314 2,0010 1,9980 1,9329 2,0187 2,0542 1,9739 2,0753 2,0692 2,0046 2,0013 1,9863 2,1260 2,0379 2,0405 2,0262 β1 8,1013 7,4467 9,4517 1,7929 5,4434 7,8109 2,4277 -0,3251 6,1157 0,5801 2,9103 4,5671 2,4682 5,2292 -3,4344 0,6439 1,3928 2,7494 Glejserova metoda 2,0354 1,9604 1,9561 1,9408 2,0432 2,0934 2,0700 2,0326 1,9528 1,9739 1,9747 2,0201 1,9611 2,0017 1,9311 2,0977 1,9742 2,0405 β1 6,1565 6,3948 8,8840 1,7929 0,0908 4,8956 1,6283 2,1716 6,1157 0,5801 5,6635 1,1477 2,4794 6,1670 -1,8419 0,9232 1,3928 3,6713 MNČ β2 2,0611 1,9642 2,0340 1,9878 2,0160 2,0022 1,9581 1,9896 2,0048 1,9373 1,9961 1,9769 2,0527 2,0064 1,9745 1,9676 1,9967 1,9542 β1 0,9162 4,9017 2,4925 4,1988 3,5659 4,3662 7,3770 4,2915 3,6566 7,2370 4,7540 6,5286 1,6910 3,3250 4,7771 6,5317 2,8397 5,9400 MZNČ β2 2,0612 1,9657 2,0158 1,9780 2,0202 2,0084 1,9496 1,9896 2,0056 1,9418 2,0062 1,9705 2,0483 2,0259
3,1339 9,6712 2,4336 7,7057 5,0915 10,8782 6,4891 2,0029 1,9701 2,0390 2,0255 1,8910 2,0004 1,9465 1,9819 1,9071 1,9424 2,9558 4,6545 2,5828 3,0981 9,7163 2,3862 7,7223 5,0079 10,9065 6,6133 β2 1,9607 2,0010 1,9845 2,0099 2,0753 2,0656 1,9700 2,0330 2,0091 2,9558 6,2273 0,4495 3,8121 10,7287 3,7964 7,7059 6,4198 10,9065 2,1933 2,0321 1,9847 1,9833 1,9871 1,9983 1,9867 1,9824 2,0040 2,0015 1,9953 2,3009 5,6201 4,4783 4,8201 3,8023 4,3131 4,7046 4,5009 3,4397 4,1151 2,0226 1,9839 1,9855 1,9871 1,9975 2,0021 1,9840 2,0157
0,3072 4,9865 0,6645 7,9714 6,0084 -1,1301
2,2378 2,5076 4,9838 6,4638 6,7959 3,1143
3,2700 4,5282 9,5984 4,8643 5,1127 6,9119
-0,4640 0,7261 -0,4564 9,7600 4,8796 4,4031
3,4897 4,0003 2,8610 4,4594 2,5612 -0,2009
5,4737 7,8508 3,8294 8,4336 12,0952 3,5311
8,2510 3,4504 -0,4628 7,2282 4,1055 4,9924
1,0958 2,0501 3,8639 6,3222 5,4567 1,4209
1,9560 1,9975 1,9404 2,0495 1,9954 2,0556 1,9290 1,9664 2,0856
2,0373 2,0681 2,0583 2,0079 1,9915 1,9736 1,9595 1,9488 2,0389
1,9293 2,0561 2,1075 2,0091 1,9704 1,9334 1,9749 1,9785 1,9456
1,9706 1,9529 1,9208 2,0397 2,0926 2,0774 1,9084 2,0029 1,9944
1,9907 2,0187 1,9414 1,9966 2,0006 1,9664 1,9420 2,0139 2,0809
2,0964 1,9785 2,0392 1,9766 1,9186 1,9672 1,9582 1,8517 1,9858
1,9911 1,9281 2,0140 1,9326 1,9951 2,0672 1,9617 1,9972 1,9797
1,9786 1,9594 2,0727 2,0197 2,0366 1,9881 1,9595 1,9311 2,0405
5,7785 2,9547 7,1510 0,3282 4,9970 0,7194 7,9572 5,9732 -1,2065
1,7750 1,3775 -1,1888 2,2390 2,4430 5,0024 6,4276 6,8291 3,0343
8,0080 0,8864 -2,7346 3,3754 4,5065 9,5936 4,9826 5,0803 6,9256
7,4189 7,7756 7,2723 -0,4658 0,7660 -0,5115 9,8319 4,8941 4,3231
4,0891 3,3551 7,8373 3,5035 4,0376 2,8818 4,5068 2,5070 -0,2667
-0,8346 7,0383 2,6221 5,4829 7,9175 3,8653 8,3761 12,1213 3,5026
3,1914 10,0685 2,6736 8,2660 3,3790 -0,4342 7,2341 4,1022 5,0460
5,7928 6,5089 -0,4435 1,1660 1,9600 3,8698 6,3484 5,5327 1,3023
2,0029 1,9412 2,0757 2,0123 1,8746 1,9749 1,9469 1,9560 1,9071 2,0213 3,4572 5,1420 5,5737 0,3597 3,5670 -3,3586 7,0377 7,1623 -0,4412
1,9967 1,9583 1,9679 2,0491 2,0205 2,1271 1,9447 1,9453 2,0709
2,0518 2,0681 2,0169 2,0331 1,9351 1,9836 1,9594 1,9702 2,0004
1,9940 2,0484 2,0480 2,0734 1,9265 1,9204 2,0140 1,9808 1,9588
1,9082 1,9301 1,8839 2,0397 2,1439 2,0248 1,9817 2,0078 1,9750
1,9907 2,0187 1,9414 2,0133 2,0212 1,9664 1,9522 1,9759 2,0809
2,1010 1,9965 2,0003 1,9622 1,9787 1,9691 1,9311 1,8351 1,9795
1,9911 1,9474 2,0079 1,9759 1,9533 2,0661 1,9844 1,9938 1,9797
0,9554 1,3775 1,1365 0,7684 5,6315 4,4414 6,3756 5,6310 5,1540
4,3813 1,3714 0,6380 -0,2079 7,0390 10,3316 2,8406 4,9151 6,1762
10,9697 9,0732 9,3781 -0,4658 -2,1673 2,4569 5,6593 4,6157 5,3750
4,0891 3,3551 7,8373 2,5316 2,8812 2,8818 3,9703 4,6265 -0,2667
-1,0432 5,9562 4,7793 6,3351 4,5171 3,8062 9,8503 13,2177 3,8361
3,1914 8,9858 3,0382 5,7594 5,7009 -0,3416 5,9009 4,3112 5,0460
2,5470 6,6441 1,2826 -1,6788 6,7135 4,6355 6,2990 5,5327 4,9918
1,9895 2,0064 2,0365 1,9592 1,9930 2,0337 1,9525 1,9744 2,0030
1,9698 2,0216 2,0224 2,0090 2,0394 1,9880 1,9754 2,0196 2,0201
1,9463 1,9638 1,9860 1,9922 1,9886 2,0034 1,9737 1,9987 2,0736
1,9641 1,9963 2,0452 2,0129 2,0029 2,0296 2,0388 1,9667 1,9769
1,9976 2,0493 2,0542 1,9940 2,0275 2,0010 2,0120 2,0122 2,0197
1,9876 2,0131 1,9712 2,0086 2,0015 2,0189 1,9894 2,0007 1,9995
1,9769 1,9784 2,0049 2,0227 2,0118 1,9838 1,9786 2,0356 1,9822
1,9979 2,0384 2,0138 2,0128 2,0223 2,0323 2,0483 1,9931 1,9830
5,6936 3,0321 2,1264 5,8316 5,3269 2,1319 5,1694 5,2453 2,7100
5,4058 3,0323 3,0862 3,0815 2,4769 4,8315 5,1329 2,6158 2,2496
6,5939 5,7875 4,9576 4,5721 4,5059 2,7565 5,9481 3,8613 0,1697
5,5062 4,2338 2,1897 2,7140 3,9511 2,5234 1,6151 5,2284 4,3518
3,9832 1,6112 1,7948 4,1463 2,0407 3,5320 2,8163 3,3333 3,8483
3,9970 4,1051 5,3943 2,8177 3,5381 3,3354 4,7025 3,5396 4,9714
5,5649 5,1269 3,6872 3,9743 4,7574 4,3589 5,8356 1,7581 4,9580
4,6553 1,9066 3,5039 3,3413 2,9032 2,4663 0,6719 3,9952 5,7440
1,9941 2,0094 2,0290 1,9631 1,9970 2,0230 1,9447 1,9685
1,9785 2,0228 2,0197 2,0083 2,0287 1,9778 1,9698 2,0216
1,9585 1,9651 2,0038 2,0037 1,9870 1,9898 1,9670 2,0081
1,9603 2,0014 2,0450 2,0024 2,0039 2,0226 2,0407 1,9669
1,9981 2,0369 2,0534 1,9920 2,0211 2,0003 2,0167 1,9921
1,9793 2,0146 1,9614 2,0104 2,0027 2,0225 1,9915 1,9998
1,9819 1,9769 2,0064 2,0140 2,0135 1,9792 1,9720 2,0383
1,9940 2,0324 2,0228 2,0006 2,0096 2,0356 2,0478 1,9959
- 87 -
1,9740 1,9984
1,9764 1,9499 β1 0,9070 4,8214 3,5203 4,7564 3,3260 4,0160 7,8592 4,2964 3,6087 6,9775 4,1839 6,8886 1,9423 2,2250 4,8040 6,0336 2,7415 6,1830 MZNČ/X2 β2 2,0732 1,9734 1,9870 1,9610 2,0307 2,0095 1,9329 1,9821 1,9980 1,9519 2,0228 1,9494 2,0245 2,0499 1,9754 1,9941 1,9953 1,9436 β1 0,3333 4,4482 4,9190 5,5761 2,8221 3,9564 8,6675 4,6531 3,9689 6,4938 3,3750 7,8969 3,0829 1,0561 4,7356 5,1752 2,8867 6,4919 Glejserova metoda 1,9979 2,0614 2,0297 2,0098 2,0265 2,0307 2,0128 1,9581 2,0223 2,0048 2,0323 2,0089 2,0483 2,0245 1,9970 1,9738 1,9952 1,9990 β1 0,9045 4,8427 3,8018 4,1988 2,8221 3,9333 7,3770 4,6531 3,6566 6,9866 4,0608 7,8969 3,0829 1,9401 4,8148 6,0975 2,7107 5,9400
2,0067 1,9859 2,8377 5,6635 4,3574 4,8178 3,8485 3,4419 4,6149 3,8410 3,1473 4,6488 2,0172 1,9746 1,9842 1,9896 2,0100 2,0220 1,9942 2,0507 2,0125 1,9692 3,1054 6,1079 4,4176 4,6966 3,2501 2,4766 4,1239 2,1549 2,8690 5,4574 β2 1,9653 1,9878 2,0101 1,9821 1,9419 1,9494 2,0319 1,9755 1,9542 2,3009 5,7247 4,3270 4,6966 3,8023 4,3131 4,7046 4,5009 3,4397 4,6991
1,9983
2,0271
2,0665
1,9662
2,0297
2,0008
1,9891
1,9939
5,4328 2,8660 2,5522 5,6111 5,1003 2,7358 5,6094 5,5794 2,9740
4,9152 2,9607 3,2408 3,1200 3,0802 5,4119 5,4485 2,5042 1,8531
5,9041 5,7125 3,9497 3,9229 4,5957 3,5213 6,3283 3,3278 0,5671
5,7220 3,9409 2,2026 3,3104 3,8942 2,9164 1,5049 5,2170 4,9553
3,9589 2,3139 1,8392 4,2571 2,3997 3,5738 2,5515 4,4661 3,2847
4,4666 4,0215 5,9523 2,7184 3,4653 3,1318 4,5880 3,5878 4,9002
5,2854 5,2119 3,6031 4,4644 4,6651 4,6189 6,2114 1,6054 4,5700
4,8750 2,2482 2,9971 4,0307 3,6244 2,2785 0,6977 3,8384 5,1246
1,9954 2,0187 2,0048 1,9659 1,9971 1,9842 1,9283 1,9538 2,0028
2,0019 2,0222 2,0085 2,0216 2,0101 1,9590 1,9520 2,0116 2,0466
1,9872 1,9741 2,0320 2,0084 1,9817 1,9752 1,9480 2,0322 2,0570
1,9516 2,0226 2,0564 1,9877 2,0029 2,0132 2,0430 1,9719 1,9390
2,0039 2,0005 2,0532 1,9906 2,0072 2,0034 2,0327 1,9521 2,0504
1,9673 2,0180 1,9382 2,0034 2,0118 2,0169 1,9993 1,9900 2,0068
1,9850 1,9763 2,0187 2,0074 2,0175 1,9648 1,9680 2,0351 1,9862
1,9927 2,0239 2,0364 1,9735 1,9938 2,0471 2,0438 1,9834 2,0134
5,3655 2,4177 3,7153 5,4695 5,0944 4,5999 6,4022 6,2885 2,7652
3,7845 2,9896 3,7811 2,4866 3,9819 6,3199 6,3045 2,9817 0,9162
4,5249 5,2778 2,5854 3,6834 4,8522 4,2358 7,2442 2,1679 1,0275
6,1402 2,9248 1,6596 4,0229 3,9416 3,3736 1,3932 4,9751 6,2726
3,6790 4,0636 1,8499 4,3279 3,0714 3,4224 1,7784 6,3996 2,2858
5,0510 3,8602 7,0698 3,0530 3,0320 3,3944 4,2131 4,0599 4,6095
5,1307 5,2445 3,0124 4,7913 4,4734 5,3116 6,4092 1,7543 4,6997
4,9422 2,6609 2,3375 5,3368 4,3950 1,7283 0,8896 4,4319 4,1865
2,0321 1,9826 1,9861 1,9896 1,9983 1,9867 1,9824 2,0040 2,0015 1,9846 5,3572 2,8736 2,1264 5,5866 5,0291 2,1319 5,1694 5,6751 2,7100
1,9957 2,0093 2,0365 1,9637 1,9985 2,0337 1,9525 1,9664 2,0030
1,9698 2,0222 2,0224 2,0086 2,0394 1,9880 1,9754 2,0116 2,0277
1,9463 1,9639 1,9860 1,9922 1,9869 1,9859 1,9737 2,0101 2,0652
1,9598 1,9963 2,0452 1,9971 2,0029 2,0190 2,0413 1,9667 1,9769
1,9977 2,0493 2,0532 1,9940 2,0275 1,9999 2,0169 2,0122 2,0197
1,9673 2,0149 1,9712 2,0112 2,0028 2,0169 1,9894 2,0004 2,0018
1,9826 1,9764 2,0049 2,0074 2,0137 1,9838 1,9697 2,0390 1,9899
5,4058 2,9896 3,0862 3,1109 2,4769 4,8315 5,1329 2,9817 1,8305
6,5939 5,7795 4,9576 4,5721 4,6030 3,7041 5,9481 3,2434 0,6231
5,7367 4,2338 2,1897 3,5675 3,9416 3,0925 1,4782 5,2284 4,3518
3,9804 1,6112 1,8496 4,1463 2,0407 3,5940 2,5522 3,3333 3,8483
5,0510 4,0083 5,3943 2,6776 3,4668 3,3944 4,7025 3,5544 4,8525
5,2562 5,2390 3,6872 4,7913 4,6555 4,3589 6,3211 1,5754 4,5355
4,6553 2,3765 2,8198 3,3413 2,9032 2,4663 0,6719 3,7796 5,0781
2,1415 1,9520 2,0398 1,9069 1,9908 2,0161 1,9150 1,9369 2,0771 2,0613 -2,1996 6,0833 1,4243 7,4500 5,1153 5,3052 8,7765 7,0834
1,8149 1,9976 1,8949 2,2947 1,8463 2,0100 2,0963 2,0231 2,0768
1,8435 2,0260 1,9587 1,9741 1,9203 1,9608 1,9887 1,9980 1,9926
1,9415 1,9938 1,9658 2,1162 1,9700 2,1683 2,1088 1,8463 2,2365
1,8620 2,0101 2,3641 2,1337 1,8985 2,1430 2,1851 2,0282 1,8986
1,9473 2,0311 1,9382 1,8543 1,9436 1,8594 1,9567 1,9397 2,2062
1,9763 1,9179 1,8885 1,9467 1,9378 2,0550 1,9649 1,9563 1,9358
1,9216 2,0307 1,9367 2,1781 2,0199 2,0058 2,2201 1,9718 2,1339
2,1106 2,0921 1,9251 2,0003 2,2181 2,0261 2,0516 2,1275 1,9316
13,6200 4,3141 8,8075 -11,6690 10,2358 3,7846 -1,2891 1,6834
11,7075 0,7650 5,4907 6,0013 8,8285 7,2974 5,7450 5,9247
9,0426 4,0773 6,4540 -1,7971 4,8681 -3,6470 -2,1786 11,9257
11,2142 4,4821 -15,3058 -3,4019 8,8990 -2,8426 -5,4743 4,5034
5,5218 3,0760 7,9579 11,7554 6,1516 10,4235 5,7358 8,0630
6,1574 7,4997 9,8953 5,7272 6,3061 1,9110 4,5926 7,3538
6,6868 2,5493 7,2532 -6,9544 3,2157 3,2342 -6,5917 4,4805
-2,5001 -0,6009 10,3836 3,1482 -7,3246 2,8961 0,4093 -2,4864
Experiment V n = 30
MNČ 2,0431 2,1340 2,0270 2,0230 2,1868 1,9672 1,9593 2,0280 1,8931 3,7263 -1,9356 2,1882 1,2328 -5,5892 6,6370 5,8997
β2 2,0734 1,8831 2,1254 1,9161 2,1627 1,9634 2,0874 2,0920 1,7142 β1 -0,4802 9,0642 -2,9920 7,0275 -5,1440 5,8695 0,0460
- 88 -
0,8332 9,3578 MZNČ 2,0757 2,0761 2,0127 2,1028 2,1782 2,0062 1,9628 2,0556 1,8128
n = 100
-1,7558 18,9803 β2 2,0285 1,8787 2,1732 1,9876 2,2289 2,0046 1,9898 2,1239 1,6869 β1 2,0491 1,8373 1,0503 9,2907 2,9292 -5,4608 -2,8790 3,3434 -5,1494 -8,5508 4,6285 3,7536 5,7239 5,0753 -0,5864 -3,3967 13,4963 20,3949 MZNČ/X2 β2 2,0764 2,0278 2,0752 1,8785 2,0129 2,1737 2,1041 1,9889 2,1781 2,2303 2,0067 2,0054 1,9633 1,9882 2,0560 2,1244 1,8115 1,6867 β1 2,0116 1,8728 1,0961 9,3028 2,9183 -5,4857 -2,9443 3,2782 -5,1411 -8,6208 4,5997 3,7109 5,7016 5,1561 -0,6098 -3,4244 13,5590 20,4054 Glejserova metoda 2,1106 2,0431 2,0921 2,1340 1,9251 2,0270 2,0003 2,0230 2,2697 2,1868 2,0261 1,9672 2,0516 1,9593 2,1275 2,0280 1,9316 1,8931 β1 3,7263 -0,4802 -1,9356 9,0642 2,1882 -2,9920 1,2328 7,0275 -5,5892 -5,1440 6,6370 5,8695 5,8997 0,0460 0,8332 -1,7558 9,3578 18,9803 MNČ β2 2,0465 2,0905 2,1095 2,1124 2,0303 1,9790 1,9482 2,0017 2,0541 2,0275 2,0176 2,0109 1,9500 2,0280 1,9261 2,0514 1,8797 2,0399 β1 2,1914 -0,3763 -0,8771 -2,2629
-0,0497 0,4378 2,1383 2,0269 1,9738 1,9532 1,9711 2,0081 1,9209 1,9933 2,0731 2,0899 -2,0338 2,2258 4,8234 5,0625 6,1273 5,7229 8,4740 4,1812 0,1645 -1,0456 2,1262 2,0282 1,9727 1,9538 1,9706 2,0081 1,9209 1,9943 2,0734 2,0897 -1,4114 2,1574 4,8825 5,0297 6,1548 5,7197 8,4712 4,1281 0,1490 -1,0380 β2 2,0734 1,8831 2,1254 1,9161 2,1627 1,9634 2,0874 2,0920 1,7142 -2,1996 6,0833 1,4243 7,4500 5,1153 5,3052 8,7765 7,0834 -0,0497 -1,0380 2,0336 1,9998 1,9799 2,0164 2,1212 1,9223 2,0775 1,9920 1,9739 2,0720 2,8063 4,5706 4,9797
1,4538
3,4115
-8,0906
9,8805
-5,4914
6,2251
-1,8164
7,3691
1,8130 2,0453 1,8501 2,2646 1,8693 1,9899 2,1382 2,0995 2,0431
1,8574 2,0096 1,9804 1,9783 1,9397 1,9313 1,9600 2,0949 1,9369
1,9689 1,9721 1,9235 2,1166 1,9945 2,1014 2,1406 1,8732 2,1201
1,8845 2,0430 2,3255 2,0539 1,8771 2,1205 2,1560 1,9924 1,9746
1,9693 2,1078 1,9392 1,8444 1,9688 1,9073 1,9377 1,8916 2,2330
1,9777 1,9381 1,9187 2,0439 1,9317 1,9995 1,9569 2,0164 1,9135
1,9307 2,0663 1,9462 2,0698 2,0522 2,0208 2,2527 2,0475 2,1894
2,1424 2,1352 1,9758 2,0122 2,2685 2,0481 2,0251 2,1610 1,9358
13,7205 1,8565 11,1156 -10,1158 9,0445 4,8223 -3,4496 -2,2637 3,1931
10,9830 1,6089 4,3714 5,7832 7,8288 8,8159 7,2320 0,9254 6,2688
7,6093 5,1931 8,6394 -1,8225 3,6120 -0,1983 -3,8214 10,5358 -2,0847
10,0344 2,7809 -13,3153 0,7132 10,0029 -1,6775 -3,9870 6,3435 5,9627
4,3709 -0,8738 7,9086 12,2672 4,8527 7,9546 6,7163 10,5411 -6,8798
6,0866 6,4606 8,3354 0,7207 6,6196 4,7649 5,0024 4,2573 7,3735
6,2159 0,7116 6,7645 -1,3701 1,5435 2,4555 -8,2715 0,5697 -4,6803
-4,1421 -2,8218 7,7804 2,5366 -9,9161 1,7677 1,7761 -4,2140 7,1460
1,8151 2,0463 1,8492 2,2642 1,8693 1,9896 2,1386 2,1002 2,0429
1,8730 2,0093 1,9809 1,9784 1,9400 1,9308 1,9600 2,0959 1,9353
2,0203 1,9719 1,9231 2,1164 1,9951 2,1002 2,1411 1,8737 2,1186
1,9250 2,0431 2,3249 2,0528 1,8767 2,1203 2,1547 1,9917 1,9759
2,0210 2,1093 1,9395 1,8444 1,9692 1,9079 1,9374 1,8907 2,2332
1,9934 1,9385 1,9190 2,0457 1,9316 1,9985 1,9566 2,0175 1,9131
1,9310 2,0667 1,9464 2,0680 2,0523 2,0205 2,2530 2,0479 2,1902
2,1426 2,1359 1,9772 2,0125 2,2697 2,0490 2,0244 2,1615 1,9357
13,6144 1,8070 11,1598 -10,0959 9,0461 4,8344 -3,4722 -2,2952 3,2044
10,1857 1,6213 4,3474 5,7822 7,8108 8,8427 7,2304 0,8728 6,3492
4,9807 5,2064 8,6589 -1,8125 3,5776 -0,1405 -3,8452 10,5143 -2,0090
7,9650 2,7755 -13,2859 0,7692 10,0238 -1,6705 -3,9186 6,3804 5,8959
1,7288 -0,9531 7,8952 12,2692 4,8300 7,9218 6,7314 10,5862 -6,8866
5,2831 6,4419 8,3185 0,6324 6,6239 4,8180 5,0201 4,2027 7,3921
6,2038 0,6907 6,7524 -1,2823 1,5374 2,4706 -8,2891 0,5474 -4,7215
-4,1517 -2,8601 7,7084 2,5234 -9,9779 1,7218 1,8090 -4,2398 7,1515
2,1415 1,9520 2,0398 1,9069 1,9908 2,0161 1,9150 1,9369 2,0771 2,0897 13,6200 4,3141 8,8075 -11,6690 10,2358 3,7846 -1,2891 1,6834 1,4538
1,8149 1,9976 1,8949 2,2947 1,8463 2,0100 2,0963 2,0231 2,0768
1,8435 2,0260 1,9587 1,9741 1,9203 1,9308 1,9887 2,0959 1,9926
1,9415 1,9938 1,9658 2,1162 1,9700 2,1683 2,1088 1,8463 2,2365
1,8620 2,0431 2,3641 2,1337 1,8985 2,1430 2,1851 2,0282 1,8986
1,9473 2,0311 1,9382 1,8543 1,9436 1,8594 1,9567 1,9397 2,2332
1,9763 1,9179 1,8885 1,9467 1,9378 2,0550 1,9649 1,8761 1,9358
1,9216 2,0307 1,9367 2,1781 2,0199 2,0058 2,2201 1,9718 2,1902
11,7075 0,7650 5,4907 6,0013 8,8285 8,8427 5,7450 0,8728 3,4115
9,0426 4,0773 6,4540 -1,7971 4,8681 -3,6470 -2,1786 11,9257 -8,0906
11,2142 2,7755 -15,3058 -3,4019 8,8990 -2,8426 -5,4743 4,5034 9,8805
5,5218 3,0760 7,9579 11,7554 6,1516 10,4235 5,7358 8,0630 -6,8866
6,1574 7,4997 9,8953 5,7272 6,3061 1,9110 4,5926 11,6716 6,2251
6,6868 2,5493 7,2532 -6,9544 3,2157 3,2342 -6,5917 4,4805 -4,7215
-2,5001 -0,6009 10,3836 3,1482 -9,9779 2,8961 0,4093 -2,4864 7,3691
1,9380 1,9345 2,0221 1,9683 1,9750 2,0956 2,0221 2,0215 2,0834
1,9413 2,0083 2,0249 1,9198 2,0058 2,0900 2,0346 2,0016 1,9649
2,0182 2,0639 1,9900 1,9685 2,0231 1,9685 2,0264 2,0239 2,0089
1,9763 1,9430 1,9176 1,9110 2,1447 2,0023 2,0605 2,0301 1,9734
2,0504 2,0441 1,9709 1,9438 2,0198 2,0440 1,9362 2,0104 1,9394
1,9195 1,9019 2,0349 1,9313 1,9926 1,9959 2,1039 1,9543 1,9263
1,9836 1,9878 2,0138 1,9793 2,0035 2,0818 2,0431 2,0347 1,9837
1,9979 1,9808 2,0399 1,9453 1,9741 1,9742 1,9751 1,9649 1,9621
6,3987 7,4834 2,7560
7,2681 3,8565 3,0275
3,5919 0,0358 5,1680
3,8990 6,7134 7,1732
2,1045 2,0562 5,6090
6,8237 8,5516 2,7168
4,1512 4,9179 3,5325
4,5787 4,5425 1,7132
- 89 -
2,1757 5,7283 1,1827 3,5532 6,1474 7,6930 10,0782 MZNČ 2,0457 2,1096 2,0328 1,9610 2,0383 2,0063 1,9335 1,9218 1,9033
4,6018 3,3404 2,2423 3,6403 3,4573 2,5651 2,1582 β2 2,0914 2,0968 1,9645 2,0048 2,0152 2,0228 2,0195 2,0550 2,0402 β1 2,2301 -0,4220 -0,8848 -1,4875 2,0514 5,3288 5,0891 3,1834 1,9733 2,8549 4,1202 3,0452 6,9722 3,8782 7,9086 2,3848 8,8970 2,1429 MZNČ/X2 β2 2,0470 2,0935 2,1246 2,0806 2,0453 1,9545 1,9852 1,9954 2,0103 1,9948 1,9856 2,0493 1,9068 2,0107 1,9040 2,0758 1,9373 2,0476 β1 2,1713 -0,5230 -1,5996 -0,7117 1,4571 5,8094 3,9341 3,6322 3,3125 3,8299 5,1088 1,7785 8,2452 4,3030 8,7554 1,3923 7,2715 1,7879 Glejserova metoda 1,9979 2,0470 1,9808 2,1246 2,0399 2,0303 1,9453 1,9852 1,9368 2,0541 1,9742 2,0176 1,9751 1,9068 1,9649 1,9261 1,9621 1,8797 β1 2,1713 -0,5230 -1,5996 -2,2629 2,1757 4,6018 3,9341 3,6322 1,1827 2,2423 3,5532 3,6403 8,2452 3,4573 7,6930 1,3923 10,0782 2,1582
4,0816 -1,1412 6,7462 0,9842 4,7743 5,6237 0,3136 2,0291 2,0074 1,9634 2,0135 2,1113 1,9345 2,0569 1,9829 1,9709 2,0916 3,0356 4,1924 5,8035 4,2247 -0,6452 6,1374 2,0127 5,2274 5,7755 -0,6639 2,0208 2,0055 1,9486 2,0004 2,0947 1,9567 2,0180 1,9755 1,9714 2,1348 3,4299 4,2799 6,5132 4,8501 0,1485 5,0720 3,8730 5,5798 5,7515 -2,7264 β2 2,0935 2,1124 1,9790 1,9954 2,0275 2,0109 2,0280 2,0758 2,0399 2,8063 4,2799 4,9797 4,8501 -1,1412 6,7462 0,9842 4,7743 5,6237 0,313
6,1518 4,7981 -0,3547 2,8674 2,7516 -0,5211
6,6412 3,2076 -0,2595 2,9304 3,3575 7,3124
6,2291 2,3843 5,6222 2,9571 2,9611 4,3415
8,6908 -3,1461 2,8287 1,9003 2,8199 5,7930
6,2160 3,3410 1,6472 7,9283 4,5248 7,0478
7,3881 3,5513 4,8033 -1,1392 5,9878 8,4582
6,2667 3,3170 0,6027 1,8892 1,6758 3,9786
6,9088 5,5843 5,1959 4,7762 5,1163 5,5534
1,9439 1,9192 2,0110 1,9867 1,9780 2,0945 2,0126 2,0270 2,0614
1,9273 2,0068 2,0353 1,9248 1,9849 2,0918 2,0360 2,0117 1,9759
2,0166 2,0526 2,0014 1,9914 1,9973 1,9689 2,0291 2,0245 2,0079
1,9560 1,9558 1,9399 1,9176 2,1301 2,0165 2,0520 2,0495 1,9706
2,0416 2,0387 1,9769 1,9545 2,0112 2,0327 1,9412 2,0142 1,9365
1,9189 1,9075 2,0279 1,9358 1,9860 1,9996 2,0907 1,9605 1,9390
2,0021 1,9873 2,0008 1,9869 2,0135 2,0826 2,0416 2,0420 1,9767
2,0106 1,9793 2,0312 1,9585 1,9567 1,9805 1,9581 1,9637 1,9610
6,1001 8,2447 3,3112 5,2312 4,6490 -0,3004 3,3395 2,4809 0,5775
7,9678 3,9303 2,5056 6,3888 4,2529 -0,3504 2,8590 2,8541 6,7636
3,6685 0,5961 4,6009 5,0869 3,6743 5,5987 2,8234 2,9322 4,3910
4,9120 6,0727 6,0604 8,3636 -2,4200 2,1172 2,3231 1,8518 5,9328
2,5462 2,3254 5,3076 5,6814 3,7728 2,2106 7,6781 4,3317 7,1946
6,8511 8,2713 3,0657 7,1626 3,8832 4,6177 -0,4816 5,6792 7,8253
3,2279 4,9426 4,1802 5,8870 2,8182 0,5615 1,9646 1,3100 4,3307
3,9444 4,6175 2,1482 6,2483 6,4512 4,8784 5,6217 5,1773 5,6105
1,9546 1,8999 1,9890 2,0157 1,9821 2,0935 1,9956 2,0414 2,0257
1,9192 1,9968 2,0414 1,9343 1,9563 2,0961 2,0400 2,0239 1,9993
2,0069 2,0384 2,0144 2,0387 1,9532 1,9666 2,0316 2,0315 1,9954
1,9281 1,9632 1,9828 1,9348 2,1046 2,0316 2,0357 2,0826 1,9635
2,0293 2,0319 1,9900 1,9829 1,9927 2,0300 1,9412 2,0320 1,9287
1,9096 1,9079 2,0250 1,9345 1,9818 1,9935 2,0682 1,9679 1,9659
2,0396 1,9727 1,9717 1,9929 2,0260 2,0866 2,0493 2,0503 1,9636
2,0409 1,9794 2,0223 1,9876 1,9368 1,9919 1,9324 1,9627 1,9642
5,5916 9,1682 4,3604 3,8476 4,4512 -0,2537 4,1518 1,7913 2,2864
8,3549 4,4108 2,2152 5,9378 5,6186 -0,5562 2,6710 2,2697 5,6452
4,1311 1,2789 3,9812 2,8274 5,7836 5,7091 2,7011 2,5960 4,9888
6,2479 5,7202 4,0093 7,5430 -1,1969 1,3970 3,1028 0,2693 6,2713
3,1351 2,6510 4,6825 4,3278 4,6575 2,3402 7,6776 3,4838 7,5645
7,2968 8,2498 3,2044 7,2257 4,0829 4,9091 0,5961 5,3286 6,5379
1,4360 5,6396 5,5706 5,6033 2,2187 0,3738 1,5994 0,9119 4,9543
2,4977 4,6141 2,5723 4,8607 7,4050 4,3368 6,8539 5,2225 5,4560
2,0336 2,0055 1,9799 2,0004 2,1212 1,9223 2,0775 1,9920 1,9739 2,0720 6,3987 9,1682 2,7560 3,8476 4,7981 -0,2537 2,8674 1,7913 -0,5211
1,9380 1,8999 2,0221 2,0157 1,9750 2,0935 2,0221 2,0414 2,0834
1,9192 2,0083 2,0249 1,9198 2,0058 2,0961 2,0346 2,0016 1,9993
2,0182 2,0639 1,9900 1,9685 2,0231 1,9685 2,0264 2,0239 1,9954
1,9763 1,9430 1,9176 1,9110 2,1447 2,0316 2,0605 2,0826 1,9734
2,0504 2,0441 1,9709 1,9438 2,0198 2,0300 1,9362 2,0104 1,9394
1,9195 1,9019 2,0349 1,9345 1,9926 1,9959 2,1039 1,9543 1,9263
1,9836 1,9878 2,0138 1,9929 2,0035 2,0866 2,0431 2,0347 1,9837
8,3549 3,8565 3,0275 6,6412 3,2076 -0,5562 2,9304 3,3575 5,6452
3,5919 0,0358 5,1680 6,2291 2,3843 5,6222 2,9571 2,9611 4,9888
3,8990 6,7134 7,1732 8,6908 -3,1461 1,3970 1,9003 0,2693 5,7930
2,1045 2,0562 5,6090 6,2160 3,3410 2,3402 7,9283 4,5248 7,0478
6,8237 8,5516 2,7168 7,2257 3,5513 4,8033 -1,1392 5,9878 8,4582
4,1512 4,9179 3,5325 5,6033 3,3170 0,3738 1,8892 1,6758 3,9786
4,5787 4,5425 1,7132 6,9088 7,4050 5,1959 4,7762 5,1163 5,5534
1,9112 2,0043 2,0292 2,1038
2,1486 2,0176 2,0482 2,0233
2,1800 2,1287 1,9341 2,1081
1,9948 2,1036 2,1950 1,9818
2,2101 2,0978 2,0533 1,9773
1,8596 2,0810 2,0093 1,8805
1,9639 2,1515 2,0132 1,8916
2,2369 1,9438 1,9456 2,0293
1,8519 1,8321 2,0539 1,9971
Experiment VI n = 30
MNČ 2,0399 2,0711 1,9728
β2 2,1279 1,9730 1,9834
- 90 -
1,8951 2,0873 2,0216 2,0509 2,0573 1,9930
2,0493 1,8911 2,0500 2,1163 1,8217 1,9535 β1 0,3435 -4,9702 -2,4681 6,4613 6,4471 2,0189 11,2866 3,5457 -0,6704 10,4775 0,9753 -2,3535 3,3626 -0,1904 -2,2674 11,1537 0,6894 6,7655 MZNČ β2 2,0115 2,1262 2,0398 1,9628 1,9937 1,9736 1,8560 2,0126 2,0416 1,8491 2,0235 2,0722 2,0613 2,1042 2,0567 1,8274 2,0200 1,9587 β1 2,1179 -4,8625 -0,5085 7,0986 5,1411 2,6367 13,7282 5,8404 2,1822 13,0971 0,8549 -3,7402 2,7107 0,5682 -2,2313 10,7999 -0,9960 6,4414 MZNČ/X2 β2 1,9720 2,1267 2,0171 1,9319 2,0300 1,9399 1,7782 1,9580 1,9633 1,7606 2,0304 2,1030 2,0685 2,0737 2,0721 1,8535 2,0598 1,9668 β1 4,2008 -4,8874 0,6938 8,7206 3,2283 4,4048 17,8277 8,7207 6,3099 17,7567 0,4934 -5,3611 2,3336 2,1730 -3,0400 9,4269 -3,0895 6,0149 Glejserova metoda 1,8672 2,0399 1,8321 2,0711 2,0539 2,0300 1,9971 1,8951 1,9760 2,0873 1,9818 2,0216 2,0916 2,0509 2,0253 2,0573 2,1550 1,9930 β1 0,3435 -4,8874 -2,4681 8,7206 3,2283 2,0189 11,2866 3,5457 -0,6704 10,4775 0,9753 -2,3535 3,3626 2,1730
2,0362 2,0317 1,9695 2,0120 2,0134 2,0590 11,6450 4,2830 2,7577 -5,3472 -1,5360 2,9529 4,9964 4,2854 5,7915 2,9012 1,9598 2,0058 2,0543 2,0585 2,0253 2,0664 1,9944 2,0032 1,9709 2,0894 8,6072 4,1918 1,1934 -2,5191 -0,8569 0,7829 3,4411 4,8360 8,4461 1,0013 2,0450 2,0261 2,1035 1,9942 2,0074 2,1105 2,0322 1,9787 1,9093 2,1209 4,1177 3,1246 -1,3996 0,8734 0,0843 -1,5411 1,4473 6,1267 11,6955 -0,6648 β2 2,1267 1,9319 1,9834 2,0493 1,8911 2,0500 2,0737 1,8217 1,9535 11,6450 3,1246 2,7577 -5,3472 -1,5360 2,9529 4,9964 4,2854
2,2324 2,0838 1,9185 2,0397 1,9424
1,9017 2,0121 1,9224 2,0542 2,0787
1,9087 2,2180 2,1084 1,9732 2,0771
1,9379 1,9581 2,0983 1,8009 1,8752
2,0752 2,0614 2,1501 1,9447 1,8854
2,1115 1,9221 1,8800 1,9336 1,9254
2,1383 2,0149 2,1281 1,9809 2,1827
2,0106 1,9108 2,1282 2,0905 2,1550
-3,0833 3,2997 -0,7498 3,2354 -6,6229 -3,0241 6,7814 3,1681 6,7607
-5,3443 -3,0679 8,6766 3,8282 7,4484 1,9714 4,5208 1,1264 -0,0043
4,6117 -2,9774 -6,3829 2,4430 7,2953 -8,8834 -2,4016 3,7354 -1,1890
-10,2454 -2,5712 4,0852 8,6368 1,7716 4,7459 0,0056 15,6042 8,9069
12,4090 1,4027 6,9643 11,2564 -0,2125 6,5888 -6,9665 7,2995 11,1958
3,4024 -2,2372 5,9060 10,1457 -1,8187 8,8069 11,0979 6,0204 5,0284
-6,7892 5,3785 5,3007 -0,7495 -2,9825 5,8718 -3,0545 6,3034 -7,7038
14,5455 17,4537 1,4993 5,9488 4,0877 8,3403 -1,5033 0,9071 -2,8766
2,1224 2,0232 2,0536 2,0312 2,2370 2,0416 1,9148 2,0575 1,9379
2,1721 2,1297 1,9422 2,0827 1,8736 2,0067 1,9107 2,0345 2,0681
1,9966 2,1032 2,1562 1,9598 1,9308 2,1904 2,1251 2,0011 2,0977
2,2006 2,0911 2,0334 1,9637 1,9663 1,9794 2,0731 1,8137 1,8632
1,8904 2,0826 2,0041 1,9262 2,0653 2,0940 2,1282 1,9763 1,8734
1,9894 2,1571 2,0184 1,9212 2,0872 1,9439 1,9173 1,9662 1,9253
2,2323 1,9470 1,9416 2,0058 2,1181 2,0101 2,1559 1,9562 2,1039
1,8571 1,8943 2,0496 2,0262 1,9950 1,9321 2,1028 2,0709 2,1674
-1,4493 2,9489 -1,0884 2,7413 -6,9094 -0,3872 7,0139 2,0556 7,0428
-4,8511 -3,1315 8,1708 5,4136 9,2086 2,3117 5,2551 2,3578 0,6586
4,4951 -2,9556 -3,9574 3,8175 5,9116 -7,1546 -3,4461 1,9938 -2,4764
-9,6518 -2,1497 5,3296 9,4833 -0,0021 3,4137 1,5740 14,8095 9,6556
10,4858 1,3061 7,2877 8,3975 0,4060 4,5551 -5,5982 5,3229 11,9457
1,8051 -2,5901 5,5813 8,2964 -0,3027 7,4458 8,7677 3,9799 5,0369
-6,5032 5,1806 5,5485 0,7201 -1,7216 6,1747 -4,7947 7,8475 -2,7812
14,2193 13,5703 1,7680 4,1284 5,0577 7,0095 0,0858 2,1298 -3,6528
2,0606 2,0288 2,0687 2,0298 2,2169 1,9788 1,9336 2,0993 1,9409
2,1848 2,1095 1,9504 2,0615 1,7889 1,9949 1,8759 2,0098 2,0702
2,0036 2,0902 2,1077 1,9399 1,9412 2,1522 2,1810 2,0399 2,1085
2,1980 2,0836 2,0170 1,9417 2,0087 2,0061 2,0480 1,7994 1,8300
1,9372 2,1146 2,0051 1,9908 2,0744 2,1313 2,0994 2,0404 1,8430
2,0250 2,1702 2,0292 1,9556 2,0632 1,9699 1,9596 2,0085 1,9219
2,2454 1,9539 1,9486 1,9876 2,0879 2,0074 2,2160 1,9185 1,9767
1,8672 1,9767 2,0487 2,0455 1,9760 1,9818 2,0916 2,0253 2,1723
1,8046 2,6509 -1,8842 2,8112 -5,8599 2,9207 6,0286 -0,1467 6,8882
-5,5185 -2,0723 7,7393 6,5368 13,6610 2,9321 7,0836 3,6650 0,5527
4,1322 -2,2715 -1,4013 4,8702 5,3605 -5,1401 -6,3863 -0,0526 -3,0498
-9,5101 -1,7544 6,2002 10,6468 -2,2376 2,0072 2,9000 15,5528 11,4036
8,0197 -0,3759 7,2386 4,9930 -0,0672 2,5891 -4,0779 1,9507 13,5480
-0,0686 -3,2756 5,0110 6,4792 0,9654 6,0723 6,5347 1,7504 5,2104
-7,1885 4,8165 5,1843 1,6839 -0,1314 6,3129 -7,9567 9,8313 3,9242
13,6889 9,2247 1,8199 3,1095 6,0615 4,3956 0,6832 4,5276 -3,9131
1,9112 2,0261 2,0292 2,1038 2,0362 2,0317 1,9695 2,0120 2,0134 2,0590 -3,0833 3,2997 -0,7498 3,2354 -6,6229 -3,0241 6,7814 3,1681
2,1486 2,0176 2,0482 2,0233 2,2324 2,0838 1,9185 2,0397 1,9409
2,1800 2,1287 1,9504 2,1081 1,9017 2,0121 1,9224 2,0542 2,0787
2,0036 2,1036 2,1950 1,9818 1,9087 2,2180 2,1084 1,9732 2,0771
2,2101 2,0836 2,0533 1,9773 1,9379 1,9581 2,0983 1,8009 1,8752
1,9372 2,0810 2,0051 1,8805 2,0752 2,0614 2,0994 2,0404 1,8854
1,9639 2,1515 2,0292 1,8916 2,0632 1,9221 1,8800 1,9336 1,9254
2,2369 1,9539 1,9456 2,0293 2,1383 2,0074 2,1281 1,9809 2,1827
-5,3443 -3,0679 7,7393 3,8282 7,4484 1,9714 4,5208 1,1264
4,1322 -2,9774 -6,3829 2,4430 7,2953 -8,8834 -2,4016 3,7354
-10,2454 -1,7544 4,0852 8,6368 1,7716 4,7459 0,0056 15,6042
8,0197 1,4027 7,2386 11,2564 -0,2125 6,5888 -4,0779 1,9507
3,4024 -2,2372 5,0110 10,1457 0,9654 8,8069 11,0979 6,0204
-6,7892 4,8165 5,3007 -0,7495 -2,9825 6,3129 -3,0545 6,3034
13,6889 17,4537 1,4993 5,9488 6,0615 4,3956 0,6832 4,5276
- 91 -
n = 100
-2,2674 11,1537 0,6894 6,7655 Mod. Glej. metoda 1,8519 2,0399 1,8321 2,0711 2,0539 1,9728 1,9971 1,8951 2,0106 2,0873 1,9108 2,0216 2,1282 2,0509 2,0905 2,0573 2,1550 1,9930 β1 0,3435 -4,9702 -2,4681 4,4660 6,4471 2,0189 11,2866 3,5457 -0,6704 10,4775 0,9753 -2,3535 3,3626 -0,1904 -2,2674 11,1537 0,6894 6,7655 MNČ β2 2,0108 1,9625 1,9789 2,0508 1,8977 1,9492 2,0409 2,0220 1,9764 2,0277 2,0184 1,9709 1,9927 1,9248 1,9997 1,8871 2,0373 2,0031 β1 2,8432 5,8840 4,9456 3,9701 10,2382 7,6378 4,4955 2,3899 4,5053 2,3659 2,8509 6,0687 4,6051 6,5332 4,3299 9,0284 2,8032 4,2543 MZNČ β2 2,0080 1,9769 1,9703 2,0767 1,9331 1,9481 2,0388 2,0370 1,9938 2,0203 2,0123 1,9794 2,0133 1,9292 1,9915 1,8966 2,0210 2,0096 β1 3,0012 5,0715 5,4349 2,5061 8,2349 7,6985 4,6177 1,5387 3,5217 2,7860 3,1960 5,5839 3,4387 6,2869 4,7952 8,4895 3,7229 3,8890 MZNČ/X2 β2 1,9800 1,9862 1,9648 2,1195 1,9959 1,9537 2,0373 2,0541 2,0155 2,0209 1,9967 2,0045 2,0339 1,9170 1,9736 1,8995 1,9967 2,0304 β1 4,3253 4,6269 5,6988 0,4722
5,7915 2,9012 β2 2,1279 1,9983 1,9834 2,0493 1,8911 2,0500 2,1163 1,8217 1,9535 11,6450 4,2830 2,7577 -5,3472 -1,5360 2,9529 4,9964 4,2854 5,7915 2,9012 2,0658 1,8914 2,0550 1,9743 1,9924 2,0360 2,0010 1,9329 1,9629 1,9646 -0,9346 9,3357 0,2036 4,8599 6,0113 2,3087 5,7854 5,9498 6,9398 5,1306 2,0578 1,9077 2,0377 1,9587 2,0205 2,0314 1,9938 1,9245 1,9634 1,9902 -0,4845 8,4150 1,1774 5,7413 4,4257 2,5663 6,1905 6,4239 6,9083 3,6828 2,0457 1,9488 2,0140 1,9446 2,0799 2,0152 1,9872 1,9181 1,9741 2,0303 0,0908 6,4647 2,3037
6,8882
-0,0043
-1,1890
8,9069
11,1958 5,0284
-7,7038
-2,8766
1,9112 2,0043 2,0292 2,1038 2,0362 2,0317 1,9695 2,0120 2,0134 2,0590 -3,0833 3,2997 -0,7498 3,2354 -6,6229 -3,0241 6,7814 3,1681 6,7607
2,1486 2,0176 2,0482 2,0233 2,2324 2,0838 1,9185 2,0397 1,9424
2,1800 2,1287 1,9341 2,1081 1,9017 2,0121 1,9224 2,0542 2,0787
1,9948 2,1036 2,1950 1,9818 1,9087 2,2180 2,1084 1,9732 2,0771
2,2101 2,0978 2,0533 1,9773 1,9379 1,9581 2,0983 1,8009 1,8752
1,8596 2,0810 2,0093 1,8805 2,0752 2,0614 2,1501 1,9447 1,8854
1,9639 2,1515 2,0132 1,8916 2,1115 1,9221 1,8800 1,9336 1,9254
2,2369 1,9438 1,9456 2,0293 2,1383 2,0149 2,1281 1,9809 2,1827
-5,3443 -3,0679 8,6766 3,8282 7,4484 1,9714 4,5208 1,1264 -0,0043
4,6117 -2,9774 -6,3829 2,4430 7,2953 -8,8834 -2,4016 3,7354 -1,1890
-10,2454 -2,5712 4,0852 8,6368 1,7716 4,7459 0,0056 15,6042 8,9069
12,4090 1,4027 6,9643 11,2564 -0,2125 6,5888 -6,9665 7,2995 11,1958
3,4024 -2,2372 5,9060 10,1457 -1,8187 8,8069 11,0979 6,0204 5,0284
-6,7892 5,3785 5,3007 -0,7495 -2,9825 5,8718 -3,0545 6,3034 -7,7038
14,5455 17,4537 1,4993 5,9488 4,0877 8,3403 -1,5033 0,9071 -2,8766
1,9362 2,0856 2,0621 1,9778 1,9870 1,9256 1,9233 2,0316 2,0465
1,9563 2,0159 1,9892 2,0142 1,9237 1,9667 1,9739 2,0521 2,0135
2,0172 2,0145 1,8578 1,9359 2,0077 2,0542 1,9298 2,0200 2,0947
2,1222 1,9680 1,9831 2,0138 1,9321 1,8747 1,9546 2,0128 1,9922
2,0616 2,0171 2,0216 2,0683 2,0226 2,0023 2,0632 2,0165 2,0010
2,0398 1,9892 2,0171 2,0262 1,9518 1,9817 2,0155 2,0647 1,9441
1,9850 2,0207 2,0231 1,9884 2,0153 2,0564 1,9481 1,9915 2,0242
1,9645 1,9848 2,0634 2,0059 1,9219 2,0111 1,9316 2,0691 1,9167
7,3755 0,3800 -1,1894 4,8343 4,5800 8,8713 7,2623 1,9313 1,1508
6,6965 4,3523 5,1419 3,1786 9,2034 4,6095 5,6231 -1,1731 2,2684
4,7289 3,2847 9,9340 6,6947 2,3712 1,7476 6,1360 2,6493 -0,3351
-0,9399 5,6588 4,3841 3,8621 7,6794 11,8124 6,4813 1,9058 4,5803
2,3743 4,2082 3,7638 2,4946 3,3861 3,2597 0,0584 2,9487 4,3164
4,0799 5,3450 3,3865 1,7761 6,2562 4,6287 3,2156 1,6172 6,0760
5,8352 4,4856 2,7062 4,7288 3,4897 -0,4945 7,8843 5,8436 2,7836
7,0258 4,7544 -0,9594 2,4755 8,1281 4,5602 7,6148 0,6159 7,0594
1,9356 2,0747 2,0566 1,9803 1,9991 1,9185 1,9281 2,0227 2,0483
1,9537 2,0073 2,0128 2,0315 1,9281 1,9514 1,9956 2,0472 1,9953
2,0328 2,0330 1,8617 1,9254 2,0082 2,0295 1,9497 1,9844 2,0900
2,1353 1,9655 1,9875 1,9884 1,9313 1,8577 1,9712 2,0052 2,0280
2,0559 2,0033 2,0259 2,0584 2,0301 2,0186 2,0318 1,9991 2,0329
2,0316 1,9822 2,0360 2,0055 1,9529 1,9994 2,0250 2,0442 1,9675
1,9959 2,0338 2,0246 1,9853 2,0023 2,0541 1,9631 1,9958 2,0159
1,9726 2,0078 2,0434 2,0089 1,9255 2,0171 1,9441 2,0731 1,9237
7,4094 1,0009 -0,8792 4,6939 3,8956 9,2699 6,9905 2,4321 1,0515
6,8438 4,8414 3,8114 2,1995 8,9519 5,4737 4,3972 -0,8966 3,2948
3,8468 2,2394 9,7170 7,2872 2,3453 3,1476 5,0124 4,6644 -0,0712
-1,6815 5,7978 4,1373 5,2981 7,7217 12,7707 5,5477 2,3377 2,5583
2,6965 4,9882 3,5197 3,0504 2,9645 2,3386 1,8334 3,9368 2,5140
4,5444 5,7405 2,3151 2,9461 6,1924 3,6317 2,6750 2,7735 4,7566
5,2186 3,7448 2,6197 4,9028 4,2284 -0,3625 7,0345 5,6011 3,2501
6,5710 3,4553 0,1732 2,3015 7,9249 4,2245 6,9099 0,3888 6,6608
1,9489 2,0614 2,0414 1,9798 2,0250 1,9122 1,9369 1,9899 2,0651
1,9500 1,9834 2,0539 2,0525 1,9302 1,9137 2,0222 2,0330 1,9738
2,0654 2,0614 1,8715 1,9148 1,9980 1,9912 1,9683 1,9493 2,0753
2,1681 1,9677 1,9926 1,9557 1,9324 1,8272 2,0097 2,0002 2,1058
2,0369 1,9897 2,0164 2,0371 2,0299 2,0479 2,0050 1,9603 2,0957
2,0089 1,9626 2,0612 1,9691 1,9633 2,0333 2,0570 2,0094 1,9964
2,0209 2,0570 2,0428 1,9919 1,9694 2,0456 1,9858 1,9995 2,0034
1,9567 2,0263 2,0287 2,0202 1,9253 2,0307 1,9803 2,0899 1,9552
6,7761 1,6320 -0,1582
7,0170 5,9720 1,8590
2,3009 0,8917 9,2527
-3,2343 5,6951 3,8940
3,5949 5,6362 3,9662
5,6213 6,6682 1,1208
4,0320 2,6457 1,7620
7,3169 2,5730 0,8771
- 92 -
5,2561 7,4308 4,6917 0,7267 2,4886 2,7567 3,9366 4,3974 2,4621 6,8595 5,6426 8,3497 4,8798 2,9033 Glejserova metoda 1,9743 2,0108 2,0095 1,9671 2,0395 1,8977 2,0202 2,0409 1,9266 2,0155 2,0111 2,0131 1,9316 1,9927 2,0715 1,9736 1,9552 1,9967 β1 2,8432 4,6269 5,5832 3,9701 10,2382 7,7761 4,4955 1,4446 2,4886 2,8624 3,1388 5,4988 4,6051 6,5332 5,6426 8,4821 4,8798 3,8233 Mod. Glej. metoda 1,9645 2,0108 1,9848 1,9789 2,0634 1,8977 2,0059 2,0409 1,9207 1,9764 2,0111 2,0184 1,9316 1,9927 2,0755 1,9997 1,9247 2,0373 β1 2,8432 5,8840 4,9456 3,9701 10,2382 7,6378 4,4955 2,3899 4,5053 2,4859 2,8509 6,0687 4,6051 6,6793 4,3299 9,0284 2,8032 4,2543
6,4158 1,6059 3,3342 6,5045 6,7282 6,4047 1,7788 β2 1,9862 2,0508 1,9467 2,0394 2,0185 1,9816 1,9248 1,8970 2,0113 -0,4278 6,4647 0,2036 5,6179 6,0113 2,4886 6,5045 6,5124 6,9398 1,7788 β2 1,9625 2,0508 1,9492 2,0220 2,0268 1,9709 1,9210 1,8871 2,0031 -0,9346 9,3357 0,2036 4,8599 6,0113 2,3087 5,7854 5,9498 6,9398 5,1306
4,7165 2,6694 9,5706 6,5753 3,9861 0,2545
1,2004 8,8535 7,2621 3,1299 -0,2205 4,3192
7,7939 2,8259 4,9658 4,1239 6,3346 0,6274
6,8547 7,6720 14,2211 3,7210 2,5777 -1,1350
4,0581 2,9696 0,9461 3,1133 5,7758 -0,4674
4,6789 5,6979 2,0226 1,1594 4,4282 3,3782
4,5939 5,7859 0,0429 5,9546 5,4219 3,8441
1,7683 7,9329 3,5761 5,1944 -0,4077 5,1739
2,0564 1,9488 2,0550 1,9604 1,9924 2,0326 1,9872 1,9225 1,9629 2,0303 7,3755 0,3800 -0,9682 4,6621 4,0177 9,3659 7,2623 1,9313 1,1385
1,9362 2,0856 2,0580 1,9810 1,9973 1,9164 1,9233 2,0316 2,0468
1,9500 2,0159 2,0107 2,0525 1,9291 1,9556 1,9739 2,0475 1,9937
2,0341 2,0145 1,8578 1,9359 2,0089 1,9912 1,9683 2,0200 2,0947
2,1222 1,9680 1,9884 1,9557 1,9311 1,8272 1,9546 2,0002 1,9922
2,0616 1,9989 2,0277 2,0595 2,0226 2,0023 2,0305 2,0165 2,0010
2,0350 1,9892 2,0171 2,0016 1,9518 1,9817 2,0231 2,0647 1,9731
1,9967 2,0309 2,0231 1,9840 2,0037 2,0564 1,9625 1,9954 2,0174
7,0170 4,3523 3,9733 1,2004 8,9076 5,2136 5,6231 -0,9270 3,3418
3,8152 3,2847 9,9340 6,6947 2,3044 4,9658 4,1239 2,6493 -0,3351
-0,9399 5,6588 4,0969 6,8547 7,7351 14,2211 6,4813 2,5777 4,5803
2,3743 5,1889 3,4282 2,9761 3,3861 3,2597 1,8391 2,9487 4,3164
4,3428 5,3450 3,3865 3,0996 6,2562 4,6287 2,8036 1,6172 4,5179
5,2084 3,9299 2,7062 4,9695 4,1203 -0,4945 7,1008 5,6322 3,1514
6,4898 3,4119 0,3346 1,7683 7,8727 4,5602 7,6148 0,4855 5,1739
2,0658 1,8914 2,0550 1,9743 1,9924 2,0360 2,0010 1,9329 1,9629 1,9646 7,3755 1,1238 -1,1894 4,8343 4,5800 8,8713 7,2623 1,9313 1,1508
1,9362 2,0725 2,0621 1,9778 1,9870 1,9256 1,9233 2,0316 2,0465
1,9563 2,0159 1,9892 2,0142 1,9237 1,9667 1,9739 2,0521 2,0135
2,0172 2,0145 1,8578 1,9359 2,0077 2,0542 1,9683 2,0200 2,0925
2,1222 1,9680 1,9831 2,0138 1,9321 1,8747 1,9546 2,0128 1,9922
2,0616 2,0171 2,0216 2,0683 2,0226 2,0023 2,0632 2,0165 2,0166
2,0398 1,9892 2,0171 2,0262 1,9518 1,9817 2,0155 2,0647 1,9441
1,9850 2,0207 2,0231 1,9884 2,0153 2,0564 1,9481 1,9915 2,0242
6,6965 4,3523 5,1419 3,1786 9,2034 4,6095 5,6231 -1,1731 2,2684
4,7289 3,2847 9,9340 6,6947 2,3712 1,7476 4,1239 2,6493 -0,1643
-0,9399 5,6588 4,3841 3,8621 7,6794 11,8124 6,4813 1,9058 4,5803
2,3743 4,2082 3,7638 2,4946 3,3861 3,2597 0,0584 2,9487 3,1667
4,0799 5,3450 3,3865 1,7761 6,2562 4,6287 3,2156 1,6172 6,0760
5,8352 4,4856 2,7062 4,7288 3,4897 -0,4945 7,8843 5,8436 2,7836
7,0258 4,7544 -0,9594 2,4755 8,1455 4,5602 7,6148 0,2559 6,5735
2,3139 1,7871 1,9133 2,2161 1,9994 1,9676 2,0409 1,9145 1,5499 1,8477 -11,6465 16,3147 7,0927 -2,9888 5,3449 6,7398 2,5904 7,9399 31,2099 13,0839 2,3119 1,8144 1,9531 2,2136 1,9845
2,0103 1,7844 1,9699 1,7197 1,9599 2,2300 2,0864 2,3384 2,2562
2,1355 1,9316 1,6906 2,0883 2,1747 1,8967 2,1991 1,9468 1,8946
1,9145 2,2128 2,0255 2,2358 2,3670 2,0175 1,9206 1,8290 1,8531
1,9885 1,9417 1,9766 2,2535 2,0776 2,0355 2,0391 2,2573 2,3093
2,1738 2,0865 1,9166 1,5313 1,9323 1,8329 2,0495 2,3225 1,5846
1,8505 2,1642 2,2402 2,1929 2,1178 2,2529 1,9302 1,9477 1,9520
1,9387 1,7138 2,2359 2,1980 1,8744 2,0349 2,1581 1,8626 1,8805
1,9754 1,8974 2,2335 2,4320 1,8024 2,4155 1,7271 2,1553 1,8307
2,7737 14,0890 6,2273 14,7611 4,0550 -11,0148 1,6573 -11,2572 -8,1999
-0,7848 7,6082 17,1998 2,2737 -5,9292 8,4674 -8,4080 7,8202 9,1761
8,5937 -8,9223 2,8718 -8,9218 -9,5411 5,1811 6,0824 10,3337 9,7038
3,8440 6,6842 6,6307 -11,0616 -1,0375 3,9001 -0,1276 -8,0871 -9,3062
-6,2580 2,3292 8,3480 28,9902 4,0038 12,7964 2,0217 -11,9678 23,9647
12,4708 -4,9601 -7,6104 -3,6832 -1,8173 -11,8612 11,4114 5,4720 5,8545
8,2405 17,6391 -7,9089 -8,9052 12,0785 -1,8132 -6,1566 11,2402 9,2305
5,6716 7,7221 -2,3012 -16,0457 13,5867 -19,8992 18,6989 -1,7021 12,2158
1,9902 1,7860 1,9153 1,7605 2,0235
2,1708 1,8579 1,7584 2,1202 2,1758
1,9483 2,2273 2,0270 2,2360 2,3657
1,9441 1,9883 1,9658 2,2151 2,0425
2,1576 2,0579 1,9568 1,5267 1,9520
1,8243 2,1532 2,2517 2,1666 2,1361
1,9245 1,7409 2,1895 2,1890 1,8644
1,9948 1,9604 2,1899 2,3716 1,8553
Experiment VII n = 30
MNČ 1,9032 1,8959 2,0027 1,7811 1,5974 2,0157 1,6324 2,3201 2,0066 8,7361 10,3176 4,7726 14,7997 26,2841 4,7284 22,1180 -10,3837 5,0581 MZNČ 1,9083 1,9548 2,0839 1,7838
β2 2,1444 1,9509 2,3921 2,2046 2,1394 2,1480 1,7158 2,0541 1,5452 β1 -1,7987 12,6956 -14,9275 -8,5479 -3,5948 -3,7916 19,5884 -1,0206 25,9945 β2 2,1669 1,9264 2,3674 2,1186
- 93 -
1,5740 1,9465 1,6933 2,2841 2,0202
2,1048 2,0748 1,7111 2,0866 1,5436 β1 8,4695 -2,9778 7,2304 13,9778 0,5132 -13,6325 14,6548 -4,0414 27,5077 -1,7841 8,3580 0,0437 18,9260 19,8318 -8,4972 -2,7282 4,3444 26,0738 MZNČ/X2 β2 1,9033 2,1962 2,0139 1,9055 2,1558 2,3410 1,7944 2,0315 1,5503 2,0780 1,8837 1,9812 1,7616 1,7153 2,2453 2,1224 2,0343 1,5369 β1 8,7215 -4,4631 4,2351 15,0365 -3,1335 -12,2951 14,1185 0,3777 28,7088 -0,4249 11,5413 4,7951 15,4599 19,6208 -6,5310 -4,5402 3,6334 26,4149 Glejserova metoda 1,9754 1,9032 1,8974 1,8959 2,2335 2,1558 2,3285 1,7811 1,8024 1,5974 2,4155 2,0157 1,7271 1,6324 2,1553 2,3201 1,9104 2,0066 β1 8,7361 -1,7987 10,3176 15,0365 -3,1335 -14,9275 14,7997 0,3777 26,2841 -3,5948 4,7284 -3,7916 22,1180 19,5884 -10,3837 -1,0206 5,0581 25,9945 Mod. Glej. metoda 1,9754 1,9032 1,8974 1,8959 2,2335 2,0027 2,4320 1,7811 1,8024 1,5974 2,4155 2,0157 1,7271 1,6324 2,1553 2,3201 1,9104 2,0066 β1 8,7361 -1,7987 10,3176 12,6956 4,7726 -14,9275 14,7997 -8,5479 26,2841 -3,5948 4,7284 -3,7916 22,1180 19,5884 -10,3837 -1,0206 5,0581 25,9945
1,9701 2,0868 1,8711 1,5351 1,9064 -11,5386 14,8847 5,0050 -2,8572 6,1285 6,6131 0,1829 10,2101 31,9850 10,0094 2,3058 1,8366 1,9895 2,1987 1,9646 1,9506 2,1273 1,8389 1,5148 1,9776 -11,2278 13,7612 3,1619 -2,1060 7,1344 7,6008 -1,8675 11,8458 33,0144 6,3994 β2 2,1444 1,9055 2,3921 2,0315 2,1394 2,1480 1,7158 2,0541 1,5452 -11,2278 16,3147 7,0927 -2,1060 5,3449 7,6008 -1,8675 7,9399 31,2099 13,0839 β2 2,1444 1,9509 2,3921 2,2046 2,1394 2,1480 1,7158 2,0541 1,5452 -11,6465 16,3147 7,0927 -2,9888 5,3449 6,7398 2,5904 7,9399 31,2099 13,0839
2,2799 2,1196 2,3344 2,3061
1,8745 2,1537 1,9452 1,8924
1,9699 1,9008 1,8306 1,9081
2,0695 2,0164 2,2373 2,2895
1,7984 2,0567 2,3281 1,6295
2,2044 1,8704 1,9119 1,9340
1,9691 2,1219 1,8609 1,8503
2,3733 1,7640 2,1503 1,8766
3,8250 14,0080 9,0873 12,6229 0,7248 -13,6285 -0,0805 -11,0469 -10,8138
-2,6314 11,4705 13,6467 0,6001 -5,9888 9,6274 -6,0301 7,9010 9,2881
6,8231 -9,6825 2,7926 -8,9305 -9,4738 7,6787 7,1202 10,2506 6,8199
6,1731 4,2394 7,1929 -9,0501 0,8002 2,1185 1,0580 -7,0385 -8,2680
-5,4062 3,8273 6,2407 29,2333 2,9708 14,6070 1,6439 -12,2626 21,6133
13,8447 -4,3833 -8,2163 -2,3067 -2,7772 -9,3175 14,5447 7,3470 6,7971
8,9825 16,2181 -5,4758 -8,4348 12,6035 1,6370 -4,2602 11,3286 10,8173
4,6529 4,4207 -0,0174 -12,8835 10,8168 -17,6863 16,7683 -1,4365 9,8142
1,9703 1,7909 1,8611 1,7940 2,0887 2,3272 2,1477 2,3201 2,3566
2,2156 1,7746 1,8350 2,1460 2,1846 1,8385 2,1060 1,9380 1,8972
1,9875 2,2457 2,0434 2,2414 2,3726 1,9389 1,8865 1,8500 1,9660
1,8976 2,0404 1,9519 2,1611 2,0052 2,0957 1,9932 2,2268 2,2642
2,1527 2,0251 2,0042 1,5115 1,9761 1,7623 2,0509 2,3315 1,6716
1,8003 2,1260 2,2670 2,1476 2,1578 2,1608 1,8128 1,8738 1,9083
1,9108 1,7710 2,1507 2,1936 1,8533 1,9017 2,0770 1,8591 1,8247
2,0083 2,0232 2,1518 2,3285 1,9062 2,3266 1,8105 2,1583 1,9104
4,8373 13,7584 11,8367 10,9210 -2,5836 -16,0295 -1,5080 -10,3221 -13,3792
-4,9026 15,6940 9,7623 -0,7101 -6,4346 11,4522 -3,6108 8,2696 9,0483
4,8350 -10,6139 1,9622 -9,2054 -9,8238 9,2505 7,8480 9,2651 3,8874
8,5314 1,5975 7,9000 -6,3134 2,6947 0,7877 2,2377 -6,5055 -6,9843
-5,1571 5,4892 3,8364 30,0049 1,7495 16,4341 1,9384 -12,4344 19,4733
15,0615 -3,0068 -8,9901 -1,3449 -3,8769 -7,1087 17,4679 9,2800 8,1012
9,6747 14,6931 -3,5070 -8,6643 13,1675 5,0562 -1,9802 11,4172 12,1133
3,9673 1,2352 1,9168 -10,6957 8,2322 -15,3180 14,4084 -1,8423 8,1002
2,3058 1,7871 1,9133 2,1987 1,9994 1,9506 2,1273 1,9145 1,5499 1,8477 2,7737 14,0890 6,2273 14,7611 4,0550 -11,0148 1,6573 -11,2572 -8,1999
2,0103 1,7844 1,9699 1,7197 1,9599 2,2300 2,0864 2,3384 2,2562
2,1324 1,9316 1,6906 2,0883 2,1846 1,8967 2,1060 1,9468 1,8972
1,9292 2,2457 2,0434 2,2358 2,3670 2,0175 1,9206 1,8290 1,9660
1,9398 1,9417 1,9766 2,2535 2,0776 2,0355 2,0391 2,2573 2,3093
2,2269 2,0865 1,9166 1,5313 1,9323 1,8329 2,0495 2,3225 1,5846
1,8003 2,1642 2,2402 2,1929 2,1178 2,2529 1,9302 1,9477 1,9520
1,9387 1,7138 2,2359 2,1980 1,8744 2,0349 2,1581 1,8626 1,8805
-0,6198 7,6082 17,1998 2,2737 -6,4346 8,4674 -3,6108 7,8202 9,0483
7,8239 -10,6139 1,9622 -8,9218 -9,5411 5,1811 6,0824 10,3337 3,8874
6,3725 6,6842 6,6307 -11,0616 -1,0375 3,9001 -0,1276 -8,0871 -9,3062
-9,0833 2,3292 8,3480 28,9902 4,0038 12,7964 2,0217 -11,9678 23,9647
15,0615 -4,9601 -7,6104 -3,6832 -1,8173 -11,8612 11,4114 5,4720 5,8545
8,2405 17,6391 -7,9089 -8,9052 12,0785 -1,8132 -6,1566 11,2402 9,2305
5,6716 7,7221 -2,3012 -10,6957 13,5867 -19,8992 18,6989 -1,7021 8,1002
2,3139 1,7871 1,9133 2,2161 1,9994 1,9676 2,0409 1,9145 1,5499 1,8477 2,7737 14,0890 6,2273 14,7611 4,0550 -11,0148 1,6573 -11,2572 -8,1999
2,0103 1,7844 1,9699 1,7197 1,9599 2,2300 2,0864 2,3384 2,2562
2,1355 1,9316 1,6906 2,0883 2,1747 1,8967 2,1991 1,9468 1,8946
1,9145 2,2128 2,0255 2,2358 2,3670 2,0175 1,9206 1,8290 1,8531
1,9885 1,9417 1,9766 2,2535 2,0776 2,0355 2,0391 2,2573 2,3093
2,1738 2,0865 1,9166 1,5313 1,9323 1,8329 2,0495 2,3225 1,5846
1,8505 2,1642 2,2402 2,1929 2,1178 2,2529 1,9302 1,9477 1,9520
1,9387 1,7138 2,2359 2,1980 1,8744 2,0349 2,1581 1,8626 1,8805
-0,7848 7,6082 17,1998 2,2737 -5,9292 8,4674 -8,4080 7,8202 9,1761
8,5937 -8,9223 2,8718 -8,9218 -9,5411 5,1811 6,0824 10,3337 9,7038
3,8440 6,6842 6,6307 -11,0616 -1,0375 3,9001 -0,1276 -8,0871 -9,3062
-6,2580 2,3292 8,3480 28,9902 4,0038 12,7964 2,0217 -11,9678 23,9647
12,4708 -4,9601 -7,6104 -3,6832 -1,8173 -11,8612 11,4114 5,4720 5,8545
8,2405 17,6391 -7,9089 -8,9052 12,0785 -1,8132 -6,1566 11,2402 9,2305
5,6716 7,7221 -2,3012 -16,0457 13,5867 -19,8992 18,6989 -1,7021 8,1002
- 94 -
n = 100
β2 2,0722 1,9900 1,9120 1,9039 1,8613 2,0634 1,9379 2,0442 1,9686 β1 0,3061 0,4109 -7,2858 3,0617 0,3734 8,1216 9,1078 9,1269 4,2124 10,2870 6,4282 2,0389 7,9803 9,1252 0,8903 0,9649 5,4165 5,2866 MZNČ β2 2,0782 2,1114 2,1870 1,9573 2,0000 1,9323 1,9429 1,8870 2,0168 1,8325 1,9423 2,0923 1,9180 1,9044 2,0483 1,9854 2,0166 1,9762 β1 0,8220 -1,5480 -4,3651 4,6956 2,7395 7,1060 6,6070 9,9743 3,7342 11,7261 6,4054 0,5940 7,5505 10,7965 2,0939 3,9029 5,3084 4,9062 MZNČ/X2 β2 2,0778 2,1526 2,1344 1,9266 1,9544 1,9567 1,9887 1,8597 2,0308 1,8015 1,9456 2,1139 1,9333 1,8721 2,0312 1,9319 2,0234 1,9821 β1 0,8395 -3,4898 -1,8861 6,1397 4,8915 5,9540 4,4450 11,2604 3,0698 13,1885 6,2497 -0,4212 6,8295 12,3195 2,9042 6,4277 4,9876 4,6262 Glejserova metoda 2,1489 2,0778 2,0747 2,2455 1,9160 2,0474 1,8560 1,8928 2,0773 2,0308 1,8141 1,9418 2,0479 1,9094 2,0205 2,0725 2,2035 2,0234 β1 0,8395 0,4109 -7,2858 3,0617 0,3734 8,1216 9,1078 9,1269 MNČ 2,0885 2,2455 2,0474 1,8928 2,0072 1,9418 1,9094 2,0725 2,0145
2,0622 2,0668 2,0399 2,1051 2,1151 2,0395 1,9133 1,9680 2,0231 1,8972 -0,0050 2,0248 0,0791 -1,4786 -0,4854 2,5769 9,5741 4,6625 2,2656 9,6789 2,0857 2,0447 2,0337 2,1220 2,1097 2,0290 1,9124 1,9988 2,0382 1,9105 -1,1799 3,1236 0,3924 -2,3229 -0,2164 3,0995 9,6151 3,1226 1,5151 9,0182 2,0982 2,0171 2,0201 2,1405 2,1219 2,0142 1,9087 2,0289 2,0579 1,9290 -1,7695 4,4287 1,0326 -3,1972 -0,7910 3,8000 9,7925 1,7031 0,5830 8,1464 β2 2,0722 1,9900 1,9120 1,9039 1,8613 2,0634 1,8721 2,0442 1,9821 -0,0050 2,0248 0,0791 -1,4786 -0,4854
2,2179 2,0657 2,0142 1,8803 2,1399 2,0538 1,8832 1,8220 2,0241
2,1149 1,9952 1,9945 1,9083 1,9757 2,0627 2,2202 1,9226 1,8519
1,9605 2,0154 1,8839 2,0433 2,2055 1,9711 1,9859 1,9887 1,8684
1,9681 1,9134 2,0075 1,9256 1,9762 1,9094 1,9949 2,0023 2,1045
2,0975 1,8876 1,9986 1,9743 2,0080 1,8242 1,8002 2,0321 1,9483
2,1392 1,9191 1,9506 2,0402 1,9605 2,0681 2,0972 1,9967 2,0226
1,9687 2,1525 2,0179 2,1211 1,9865 1,9169 2,2105 2,0797 1,9818
2,1074 2,1013 1,9160 1,8618 2,1038 1,8141 2,0479 2,0205 2,2035
-6,1284 1,5068 3,3518 10,7977 -0,9724 0,5774 9,5738 13,3423 2,4407
-1,8173 3,4556 4,9084 7,7691 6,4204 0,7548 -5,9831 8,3620 9,4489
5,5476 2,6718 9,7119 2,1699 -4,4277 5,2799 5,5407 3,7464 8,5959
5,8105 7,8514 1,6747 6,8446 5,9742 8,7029 4,6623 4,3427 -4,0658
-1,2615 9,4854 3,4094 5,1401 3,0639 13,4937 14,4968 1,6122 6,8112
-2,8883 7,4539 5,8495 1,0851 6,7020 -0,4675 -2,0530 4,5071 4,5573
4,9272 -1,5912 3,1903 -1,3377 4,7876 8,2791 -7,9192 0,4458 5,2810
-2,8302 -0,6753 7,8802 11,2098 -2,6865 13,3140 2,7339 3,1633 -5,7806
2,2045 2,0494 1,9781 1,8566 2,1716 2,0558 1,9145 1,8433 1,9977
2,1333 1,9501 1,9570 1,9266 1,9997 2,0909 2,2007 1,9510 1,8887
1,9720 2,0439 1,9122 2,0583 2,1868 2,0000 1,9696 1,9723 1,8876
1,9594 1,9038 2,0350 1,9508 1,9724 1,9219 1,9764 1,9859 2,0819
2,0886 1,9063 1,9229 1,9873 1,9986 1,8764 1,8312 2,0255 1,9332
2,1219 1,9651 1,9364 2,0656 1,9809 2,0113 2,1099 1,9967 2,0221
1,9648 2,1393 2,0164 2,1206 2,0215 1,9845 2,1690 2,0919 2,0140
2,1291 2,0840 1,8828 1,8590 2,0781 1,8368 2,0547 1,9963 2,1951
-5,4603 2,3243 5,1556 11,9801 -2,5547 0,4781 8,0091 12,2791 3,7597
-2,7405 5,7063 6,7798 6,8533 5,2189 -0,6523 -5,0102 6,9438 7,6065
4,9759 1,2503 8,2998 1,4217 -3,4923 3,8342 6,3549 4,5630 7,6371
6,2434 8,3313 0,2990 5,5850 6,1613 8,0787 5,5847 5,1588 -2,9383
-0,8153 8,5545 7,1897 4,4903 3,5295 10,8892 12,9489 1,9454 7,5685
-2,0265 5,1610 6,5594 -0,1856 5,6844 2,3683 -2,6901 4,5051 4,5852
5,1247 -0,9353 3,2617 -1,3140 3,0390 4,9063 -5,8489 -0,1635 3,6693
-3,9154 0,1910 9,5407 11,3511 -1,4061 12,1796 2,3941 4,3692 -5,3595
2,1924 2,0175 1,9496 1,8420 2,1933 2,0661 1,9296 1,8640 1,9755
2,1493 1,9259 1,9270 1,9459 2,0289 2,1164 2,1793 1,9720 1,9201
1,9807 2,0684 1,9415 2,0750 2,1689 2,0210 1,9510 1,9659 1,9167
1,9536 1,8942 2,0521 1,9603 1,9751 1,9223 1,9606 1,9799 2,0618
2,0767 1,9086 1,8467 2,0077 1,9886 1,9289 1,8683 2,0208 1,9181
2,1112 2,0113 1,9223 2,1019 2,0043 1,9619 2,1147 2,0075 2,0258
1,9596 2,1304 2,0118 2,1320 2,0557 2,0573 2,1289 2,1046 2,0488
2,1489 2,0747 1,8428 1,8560 2,0501 1,8601 2,0643 1,9614 2,1828
-4,8864 3,8248 6,4982 12,6697 -3,5746 -0,0075 7,2994 11,3059 4,8075
-3,4932 6,8482 8,1921 5,9429 3,8430 -1,8554 -4,0002 5,9551 6,1277
4,5627 0,0943 6,9206 0,6354 -2,6478 2,8465 7,2330 4,8646 6,2679
6,5176 8,7823 -0,5071 5,1351 6,0380 8,0617 6,3317 5,4425 -1,9904
-0,2529 8,4445 10,7817 3,5277 4,0042 8,4128 11,1980 2,1663 8,2778
-1,5194 2,9786 7,2274 -1,8954 4,5788 4,7002 -2,9143 3,9963 4,4118
5,3698 -0,5120 3,4822 -1,8520 1,4235 1,4712 -3,9578 -0,7605 2,0293
-4,8488 0,6275 11,4270 11,4914 -0,0833 11,0814 1,9421 6,0152 -4,7779
2,0622 2,0668 2,0399 2,1051 2,1151 2,0142 1,9133 1,9680 2,0231 1,8972 -6,1284 1,5068 3,3518 10,7977 -3,5746
2,2179 2,0657 2,0142 1,8803 2,1933 2,0538 1,9296 1,8220 2,0241
2,1149 1,9259 1,9945 1,9083 1,9757 2,0627 2,2202 1,9720 1,8519
1,9605 2,0154 1,8839 2,0433 2,1689 1,9711 1,9859 1,9659 1,9167
1,9681 1,8942 2,0075 1,9603 1,9762 1,9094 1,9949 2,0023 2,1045
2,0975 1,8876 1,9986 2,0077 1,9997 1,8242 1,8002 2,0321 1,9483
2,1392 1,9191 1,9506 2,1019 1,9760 1,9619 2,0972 1,9967 2,0258
1,9687 2,1304 2,0118 2,1211 2,0557 2,0573 2,1289 2,0797 1,9818
-1,8173 6,8482 4,9084 7,7691 6,4204
5,5476 2,6718 9,7119 2,1699 -2,6478
5,8105 8,7823 1,6747 5,1351 5,9742
-1,2615 9,4854 3,4094 3,5277 3,4701
-2,8883 7,4539 5,8495 -1,8954 5,9343
4,9272 -0,5120 3,4822 -1,3377 1,4235
-4,8488 0,6275 7,8802 11,4914 -1,3827
- 95 -
3,0698 10,2870 6,4282 2,0389 7,9803 12,3195 0,8903 0,9649 4,9876 4,6262 Mod. Glej. metoda 2,1074 2,0885 2,1013 2,1344 1,9160 2,0474 1,8618 1,8928 2,1038 2,0072 1,8141 1,9418 2,0479 1,9094 2,0205 2,0725 2,2035 2,0145 β1 0,3061 0,4109 -1,8861 3,0617 0,3734 8,1216 9,1078 9,1269 4,2124 10,2870 6,4282 2,0389 7,9803 9,1252 0,8903 0,9649 5,4165 5,2866
3,8000 9,5741 4,6625 2,2656 9,6789 β2 2,0722 1,9900 1,9120 1,9039 1,8613 2,0634 1,9379 2,0442 1,9686 -0,0050 2,0248 0,0791 -1,7279 -0,4854 2,5769 9,5741 4,6625 2,2656 9,6789
0,5774 7,2994 13,3423 2,4407
0,7548 -5,9831 5,9551 9,4489
5,2799 5,5407 4,8646 6,2679
8,7029 4,6623 4,3427 -4,0658
13,4937 14,4968 1,6122 6,8112
4,7002 -2,0530 4,5071 4,4118
1,4712 -3,9578 0,4458 5,2810
13,3140 2,7339 3,1633 -5,7806
2,0622 2,0668 2,0399 2,1094 2,1151 2,0395 1,9133 1,9680 2,0231 1,8972 -6,1284 1,5068 3,3518 10,7977 -0,9724 0,5774 9,5738 13,3423 3,7886
2,2179 2,0657 2,0142 1,8803 2,1399 2,0538 1,8832 1,8220 1,9965
2,1149 1,9952 1,9945 1,9083 1,9757 2,0627 2,2202 1,9226 1,8519
1,9605 2,0154 1,8839 2,0433 2,1949 1,9711 1,9859 1,9887 1,8684
1,9681 1,9134 2,0075 1,9950 1,9762 1,9094 1,9949 2,0023 2,1045
2,0975 1,8876 1,9986 1,9743 2,0080 1,8242 1,8002 2,0321 1,9483
2,1392 1,9191 1,9364 2,0402 1,9605 1,9619 2,0972 1,9967 2,0226
1,9687 2,1525 2,0179 2,1211 1,9865 1,9169 2,2105 2,0797 1,9905
-1,8173 3,4556 4,9084 7,7691 6,4204 0,7548 -5,9831 8,3620 9,4489
5,5476 2,6718 9,7119 2,1699 -4,0238 5,2799 5,5407 3,7464 8,5959
5,8105 7,8514 1,6747 3,4529 5,9742 8,7029 4,6623 4,3427 -4,0658
-1,2615 9,4854 3,4094 5,1401 3,0639 13,4937 14,4968 1,6122 6,8112
-2,8883 7,4539 6,5594 1,0851 6,7020 4,7002 -2,0530 4,5071 4,5573
4,9272 -1,5912 3,1903 -1,3377 4,7876 8,2791 -7,9192 0,4458 4,7803
-2,8302 -0,6753 7,8802 11,2098 -2,6865 13,3140 2,7339 3,1633 -5,7806
1,9845 2,4779 1,3469 2,0508 1,8118 1,7782 1,9210 1,7416 2,1812 1,9128 7,8668 -8,7398 36,3225 -6,5889 8,8851 14,3452 5,0473 17,5592 0,5044 15,0068 2,0613 2,4804 1,4921 2,0898 1,9914 1,8472 1,7832 2,1040 2,1866 2,0807 3,6635 -8,7277 28,1616 -8,5701 -1,3416 10,5967 13,1400 -3,2947 0,6755 5,5873 2,0649 2,4838 1,4967 2,0954 1,9963 1,8514
1,5785 1,8911 1,7364 2,2631 1,9219 1,3089 2,0381 2,2880 2,2623
1,7452 2,5665 2,1424 2,2538 1,7876 1,8080 2,2560 2,5171 1,7754
2,0104 2,5809 1,9823 2,4335 2,0442 1,7359 2,1222 2,1571 1,7812
1,7008 2,1279 2,4657 2,2812 2,1332 2,0757 2,2396 2,2990 2,0500
1,9377 1,4370 2,2151 2,0802 2,2396 2,2205 1,7682 1,6074 1,8470
2,0453 2,2280 1,4935 2,0096 2,3864 2,1491 2,3205 1,9949 2,0895
1,8293 2,1787 1,7409 1,8545 1,8738 1,9618 1,6292 2,4444 1,9893
2,3299 1,8303 2,1539 2,1419 2,4468 2,1967 2,3840 1,9303 2,1408
26,6733 10,4819 11,0652 0,5737 10,6603 34,4331 3,4389 -9,7292 -6,0559
14,3099 -11,0646 -4,9338 -21,7321 9,4146 11,1736 -10,0358 -18,0476 16,6646
8,4418 -33,6832 0,4228 -10,6363 3,7574 29,2888 -12,3233 -1,3064 14,9946
12,2614 5,0594 -14,5033 -13,7487 -7,3400 -1,0649 -5,0075 -13,6230 -0,0341
2,0536 26,6205 -2,0010 9,1202 -15,9757 0,5673 7,9934 21,4446 21,4592
-6,1343 -15,3192 30,8063 -4,0610 -9,3716 -8,3555 -8,5361 12,8111 2,2044
7,0695 -1,8633 13,6439 8,4115 9,8902 -0,7013 11,8606 -14,8078 4,7496
-8,0486 23,3664 -7,2632 -5,2336 -19,9230 -3,3598 -13,6846 18,2774 3,5869
1,7844 1,9480 1,6114 2,3849 2,0005 1,4787 2,1329 2,3369 2,4071
1,5673 2,5985 1,8875 1,9619 1,9022 1,8326 1,9624 2,3450 2,0210
2,0191 2,2171 2,1025 2,2101 1,9673 1,8707 1,8490 2,0087 1,9021
1,6981 1,9461 2,4082 1,9269 2,0051 1,9795 2,1588 2,0568 2,0671
1,7180 1,6504 2,3753 2,1804 2,0155 2,1659 1,5586 1,7006 2,0206
2,2829 2,0037 1,6764 2,1285 2,1545 2,1306 1,9739 2,0860 2,1573
1,7903 2,1951 1,7943 2,0138 1,9066 2,2991 1,7026 2,0344 1,9711
2,1676 2,2723 2,2447 1,9424 2,2714 2,1506 2,3014 2,1762 2,2093
14,5591 7,3266 18,2150 -7,0641 6,2532 24,4407 -1,5297 -12,3278 -14,4753
24,3468 -13,0307 9,2879 -4,8913 2,6495 9,7255 6,5815 -8,2145 2,5529
8,0308 -13,0526 -6,0870 2,0294 8,1097 21,6418 3,0497 7,0708 7,9058
12,6948 15,4495 -11,3958 6,5871 -0,2271 4,2586 -0,0846 0,7393 -0,9609
14,6302 14,7455 -11,1496 3,2695 -3,1477 3,7342 19,9458 16,1539 11,5727
-19,5090 -2,4975 20,4530 -10,7549 3,8887 -7,4622 11,1096 7,5532 -1,1355
9,2938 -2,6326 10,4391 -0,6251 7,7849 -19,9576 7,7249 8,4955 5,5424
1,2066 -1,5357 -12,6914 6,0017 -10,0488 -0,7052 -9,0995 4,3696 -0,1837
1,7831 1,9499 1,6100 2,3728 2,0057 1,4773
1,5590 2,5965 1,8738 1,9573 1,9004 1,8332
2,0204 2,2073 2,1138 2,2017 1,9657 1,8750
1,7017 1,9421 2,4060 1,9193 1,9967 1,9742
1,7133 1,6624 2,3788 2,1787 2,0092 2,1650
2,2923 2,0004 1,6844 2,1342 2,1508 2,1259
1,7908 2,1992 1,7936 2,0159 1,9014 2,3083
2,1627 2,2901 2,2409 1,9351 2,2643 2,1526
Experiment VIII n = 30
β2 2,4881 2,1810 2,3494 1,7869 2,2097 1,9686 2,5723 1,7233 2,2868 β1 -15,7170 -22,8242 15,6400 -6,8269 34,3334 -6,3515 11,1456 21,0042 -0,6125 7,3747 0,1615 17,4634 6,4669 -29,2858 17,6238 24,2749 -11,6754 -5,7855 MZNČ β2 2,1972 2,1951 1,9178 2,4004 1,3835 2,1065 1,8274 1,8006 2,3384 2,1817 2,0594 2,0812 2,2702 2,4106 1,7056 1,8704 2,2555 2,3827 β1 -7,8683 -6,0210 14,3904 -19,5210 27,2660 7,2459 9,5027 20,0106 -3,2220 8,6969 -1,9525 11,0849 -7,7589 -19,8482 9,5270 15,7626 -1,3644 -11,2942 MZNČ/X2 β2 2,1967 2,1908 1,9156 2,4058 1,3859 2,0947 1,8235 1,7953 2,3419 2,1739 MNČ 2,3331 1,9004 1,2587 1,8029 2,2916 2,0281 2,0157 1,5581 2,4383
- 96 -
2,0541 2,2835 1,7146 2,2481
n = 100
2,0869 2,4087 1,8718 2,3836 β1 -7,8369 -5,7762 14,5166 -19,8151 27,1327 7,8955 9,7154 20,2959 -3,4111 9,1218 -1,6643 10,7741 -8,4928 -19,7426 9,0324 15,6824 -0,9564 -11,3441 Glejserova metoda 2,3299 2,1967 1,8303 1,9004 2,2409 1,3859 2,1419 1,8235 2,2643 2,2916 2,1526 2,0281 2,2959 2,0157 2,1847 1,7146 2,1408 2,4383 β1 -7,8369 -22,8242 15,6400 -6,8269 27,1327 7,8955 9,7154 20,2959 -0,6125 7,3747 0,1615 10,7741 6,4669 -19,7426 9,0324 15,6824 -11,6754 -11,3441 Mod. Glej. metoda 2,3299 2,3331 1,8303 1,9004 2,1539 1,2587 2,1419 1,8029 2,4468 2,2916 2,1967 2,0041 2,3840 2,0157 1,9303 1,5581 2,1408 2,4383 β1 -15,7170 -22,8242 15,6400 -6,8269 34,3334 -6,3515 11,1456 21,0042 -0,6125 7,3747 0,8851 10,7741 6,4669 -29,2858 17,6238 15,6824 -11,6754 -5,7855 MNČ β2 2,1621 1,6443 2,2189 1,7295 2,2701 1,7715 1,9605 2,1726 1,8470 1,8634 1,9965 2,0800 2,1674 2,0229 2,0198 1,8706 2,1021 2,0949 β1 -5,2509 19,7799 -6,7904 12,1476 -4,2365 13,6096 9,0725 -2,6124 11,4263 11,3519 5,3985 2,3402 -2,8848 1,2361 1,0580 8,2140 4,4019 -2,6161
1,7846 2,1100 2,1971 2,0871 3,4648 -8,9145 27,9055 -8,8770 -1,6148 10,3615 13,0664 -3,6316 0,1047 5,2347 β2 2,4881 2,1810 2,0947 1,7953 2,2097 2,0869 2,4087 1,8718 2,3836 3,4648 -8,9145 27,9055 -8,8770 8,8851 14,3452 5,0473 17,5592 0,1047 15,0068 β2 2,4881 2,1810 2,3494 1,7869 2,2097 2,0869 2,5723 1,8718 2,2868 7,8668 -8,7398 36,3225 -6,5889 8,8851 14,3452 5,0473 17,5592 0,5044 15,0068 2,0572 2,3006 1,9137 1,8923 2,1327 2,1205 1,9709 1,8392 1,9015 2,3408 -0,4922 -3,1435 6,8676 10,7951 -7,3252 1,6968 5,4973 11,7251 9,7631 -0,1628
2,1440 2,3430 2,4052
1,9536 2,3406 2,0253
1,8380 2,0041 1,9018
2,1623 2,0627 2,0650
1,5516 1,7036 2,0257
1,9661 2,0876 2,1691
1,7070 2,0215 1,9669
2,2959 2,1847 2,2148
14,6263 7,2236 18,2984 -6,4046 5,9667 24,5143 -2,1405 -12,6617 -14,3774
24,8058 -12,9186 10,0437 -4,6342 2,7459 9,6922 7,0720 -7,9697 2,3105
7,9599 -12,5012 -6,7072 2,4907 8,2016 21,3992 3,6578 7,3297 7,9224
12,4980 15,6738 -11,2714 7,0112 0,2315 4,5541 -0,2753 0,4262 -0,8546
14,8920 14,0853 -11,3447 3,3611 -2,8017 3,7872 20,3353 15,9893 11,2911
-20,0256 -2,3053 20,0127 -11,0707 4,0981 -7,2085 11,5492 7,4645 -1,7861
9,2724 -2,8572 10,4791 -0,7492 8,0630 -20,4679 7,4851 9,2093 5,7700
1,4785 -2,5225 -12,4882 6,4080 -9,6551 -0,8124 -8,7966 3,8945 -0,4853
2,0649 2,4838 1,4967 2,0954 1,8118 1,7782 1,9210 1,7416 2,1971 1,9128 26,6733 10,4819 18,2984 -6,4046 5,9667 24,5143 -2,1405 -12,6617 -6,0559
1,5785 1,8911 1,6100 2,3728 2,0057 1,4773 2,1440 2,3430 2,2623
1,5590 2,5965 2,1424 1,9573 1,7876 1,8332 1,9536 2,3406 1,7754
2,0204 2,2073 2,1138 2,4335 2,0442 1,7359 1,8380 2,0041 1,9018
1,7017 1,9421 2,4060 2,2812 2,1332 1,9742 2,1623 2,2990 2,0650
1,7133 1,6624 2,2151 2,1787 2,0092 2,1650 1,5516 1,7036 2,0257
2,0453 2,0004 1,6844 2,1342 2,1508 2,1259 2,3205 2,0876 2,1691
1,7908 2,1992 1,7936 2,0159 1,8738 2,3083 1,7070 2,4444 1,9669
24,8058 -12,9186 -4,9338 -4,6342 9,4146 9,6922 7,0720 -7,9697 16,6646
7,9599 -12,5012 -6,7072 -10,6363 3,7574 29,2888 3,6578 7,3297 7,9224
12,4980 15,6738 -11,2714 -13,7487 -7,3400 4,5541 -0,2753 -13,6230 -0,8546
14,8920 14,0853 -2,0010 3,3611 -2,8017 3,7872 20,3353 15,9893 11,2911
-6,1343 -2,3053 20,0127 -11,0707 4,0981 -7,2085 -8,5361 7,4645 -1,7861
9,2724 -2,8572 10,4791 -0,7492 9,8902 -20,4679 7,4851 -14,8078 5,7700
-8,0486 23,3664 -12,4882 -5,2336 -9,6551 -0,8124 -8,7966 3,8945 3,5869
1,9845 2,4779 1,3469 2,0508 1,8118 1,7782 1,9210 1,7416 2,1812 1,9128 26,6733 10,4819 11,0652 0,5737 5,9667 34,4331 3,4389 -9,7292 -6,0559
1,5785 1,8911 1,7364 2,2631 2,0057 1,3089 2,0381 2,2880 2,2623
1,7452 2,5665 2,1424 2,2538 1,7876 1,8080 2,2560 2,5171 1,7754
2,0104 2,5809 1,9823 2,4335 2,0314 1,7359 2,1222 2,1571 1,7812
1,7008 1,9421 2,4657 2,2812 2,1332 2,0757 2,2396 2,2990 2,0500
1,9377 1,4370 2,2151 2,0802 2,2396 2,2205 1,7682 1,6074 1,8470
2,0453 2,2280 1,4935 2,1342 2,3864 2,1491 2,3205 1,9949 2,0895
1,8293 2,1787 1,7409 1,8545 1,8738 1,9618 1,6292 2,4444 1,9893
14,3099 -11,0646 -4,9338 -21,7321 9,4146 11,1736 -10,0358 -18,0476 16,6646
8,4418 -33,6832 0,4228 -10,6363 4,8482 29,2888 -12,3233 -1,3064 14,9946
12,2614 15,6738 -14,5033 -13,7487 -7,3400 -1,0649 -5,0075 -13,6230 -0,0341
2,0536 26,6205 -2,0010 9,1202 -15,9757 0,5673 7,9934 21,4446 21,4592
-6,1343 -15,3192 30,8063 -11,0707 -9,3716 -8,3555 -8,5361 12,8111 2,2044
7,0695 -1,8633 13,6439 8,4115 9,8902 -0,7013 11,8606 -14,8078 4,7496
-8,0486 23,3664 -7,2632 -5,2336 -19,9230 -3,3598 -13,6846 18,2774 3,5869
2,0333 1,9699 1,6984 2,2543 1,7951 1,9799 2,0120 2,0413 2,1589
1,9900 1,9810 2,0221 1,8909 2,0074 2,2452 1,9637 2,0330 2,5892
1,9578 1,7689 2,1347 2,1537 1,8681 1,8601 2,0757 1,7182 1,7693
2,1864 2,0255 2,2969 2,0949 1,9553 1,6588 2,1680 2,2504 1,6952
2,1843 1,8012 2,2303 1,8351 1,8269 2,1927 2,1096 2,1296 2,0126
2,2013 2,1838 2,0417 2,1416 2,1093 2,1314 2,2689 2,2048 2,2469
1,8945 2,0191 1,9445 1,9962 1,9260 2,1843 1,8693 1,9961 2,0551
1,8523 2,0071 1,8757 2,4844 2,0378 2,0752 1,8516 2,1747 1,6733
1,3277 5,9284 17,3215 -6,5207 14,1352 5,6836 6,5169 4,2678 -9,0004
7,6694 -0,1652 2,9777 8,1516 5,1923 -1,6531 12,3412 3,3469 -17,0589
8,8238 16,2051 -4,4353 1,6619 11,2502 8,2469 -0,8181 16,7973 18,4805
-0,5459 5,9905 -10,6624 -2,0706 5,5694 19,9970 -1,8600 -3,4317 18,5993
-6,5802 16,5589 -0,8615 12,2179 10,7198 -6,4295 1,8334 -4,0686 4,1831
-3,4127 -3,0561 2,3706 -8,7319 -3,0274 -4,5296 -8,7940 -7,2644 -8,3162
12,2818 6,7363 8,9913 2,0303 0,5059 -1,0805 12,1840 1,0493 4,4251
7,5250 7,0690 2,6132 -18,0625 -0,1433 4,1251 6,5870 -6,6347 18,7174
- 97 -
β2 1,7404 1,6333 1,7422 2,2433 1,9474 2,1240 2,0676 1,8206 2,1019 β1 0,7338 11,6161 -7,4770 13,3955 -1,1190 15,3075 2,8780 -5,2256 6,8735 5,0265 1,3230 0,2716 -8,4468 -0,5467 -7,3979 12,1773 8,0152 -3,9995 MZNČ/X2 β2 2,2951 1,6752 2,0164 1,7615 2,1775 1,9373 1,8991 2,1547 1,8782 1,7510 1,9769 2,0492 2,1882 1,9374 2,1254 1,8770 2,1872 1,9688 β1 -11,9595 18,1834 3,3654 10,5755 0,3578 5,1540 12,1022 -1,7879 9,9454 16,9397 6,3828 3,8753 -3,9066 5,6336 -4,1249 8,0085 -0,0339 3,9768 Glejserova metoda 1,9238 2,2951 2,0641 2,0164 1,8633 2,1775 2,3783 1,8991 1,9805 1,8782 2,0463 1,9769 1,7298 2,1882 2,0397 2,1254 1,8003 2,1872 β1 -11,9595 18,1834 3,3654 10,5755 0,3578 5,1540 12,1022 -1,7879 9,9454 16,9397 6,3828 3,8753 -3,9066 5,6336 -4,1249 8,0085 -0,0339 3,9768 Mod. Glej. metoda 1,8523 2,2951 2,0071 2,2189 1,8757 2,2701 2,4844 1,9605 1,9805 1,8470 2,0752 1,9769 1,8516 2,1674 2,1747 2,0198 1,6733 2,1021 β1 -11,9595 18,8342 -6,7904 12,1476 -4,2365 13,6096 9,0725 -2,6124 MZNČ 2,1094 2,2180 2,1937 2,0942 1,9470 2,0490 2,2799 2,1859 1,9883
1,9249 2,5439 1,7864 1,8667 2,0449 2,1948 1,9141 2,0462 1,8697 2,5187 6,6924 -13,3131 12,3156 15,5307 -3,8789 -1,0658 6,3099 5,9730 9,4363 -9,0909 1,9445 2,1172 2,0333 1,9165 1,9805 2,1396 2,0003 1,8147 1,8317 2,3672 5,3428 6,4361 0,6980 9,6339 0,6314 0,7395 4,1772 12,8932 13,3228 -1,6140 β2 1,6752 1,7615 1,9373 2,1547 1,7510 2,0492 1,9374 1,8770 1,9688 5,3428 6,4361 0,6980 9,6339 0,6314 0,7395 4,1772 12,8932 13,3228 -1,6140 β2 1,6610 1,7295 1,7715 2,1726 1,8634 2,0800 2,0229 1,8706 2,0949 -0,4922 -3,1435 6,8676 10,7951 -7,3252
1,9885 2,0273 1,5839 2,1642 1,8411 2,0605 2,0126 1,9425 2,2012
2,0339 1,9459 2,0965 1,8274 2,0899 2,2721 2,0353 2,0115 2,6409
1,9782 1,6111 2,3163 2,2018 1,9778 1,8030 1,9305 1,8328 1,6538
2,1807 2,0234 2,1422 1,7858 2,1070 1,7346 2,1449 2,5072 1,8254
2,3237 1,6852 2,1023 1,9014 1,6772 2,1931 2,0195 2,2298 1,8659
2,2265 2,2885 1,9746 2,2895 1,9727 2,1582 2,4949 2,2925 2,2269
1,7173 2,1754 1,7872 2,1107 1,9953 2,2351 1,7531 1,9671 2,1680
2,0099 1,8612 1,8363 2,4947 2,0889 2,1333 1,8656 2,1564 1,6577
2,4904 3,7299 22,1447 -0,7347 13,0915 2,6821 7,4932 8,5537 -12,0377
6,5614 1,2650 0,2183 11,0953 -2,0537 -5,1826 12,2584 3,9258 -21,2468
11,7317 22,9972 -11,9113 -3,2976 7,5433 9,1647 8,1388 9,8255 24,6563
-0,4305 7,5113 -4,9775 9,1892 -1,8425 16,1448 -2,1733 -14,4334 12,7957
-13,2594 19,8721 4,0177 9,6090 14,8294 -4,2775 2,7636 -8,9380 10,4712
-8,7057 -6,9806 8,2521 -14,3041 4,4499 -5,8031 -18,9424 -9,9591 -9,0137
17,2876 -1,3807 15,2576 -3,4945 -5,2194 -0,7937 15,1955 5,0314 -1,1864
1,7867 11,8078 4,1537 -20,1357 -2,5794 1,7124 6,3477 -6,1027 17,0357
2,1854 2,0653 1,8288 2,2754 1,9076 2,0376 2,0923 2,0084 2,0382
2,0113 1,8037 1,9914 1,9926 1,9837 2,2052 2,0011 2,1639 2,3618
1,9611 1,8715 2,1022 2,0902 2,0156 1,8251 2,0491 1,6946 1,9664
2,1792 2,0335 2,1364 2,0607 1,8957 1,7425 2,0395 2,0923 1,8353
1,8308 1,9927 2,1780 1,9204 1,9612 2,1398 2,0929 1,9942 1,9895
1,9500 2,0229 2,0172 2,1541 2,1336 2,0869 2,0767 2,1620 2,2569
1,8289 1,9928 1,9802 2,0092 1,8624 2,1622 1,9434 1,8818 2,1567
1,9238 2,0641 1,8593 2,2441 1,9805 2,0463 1,7298 2,0397 1,8003
-6,6150 1,0511 10,4550 -7,5057 8,2395 2,5602 2,1907 6,1585 -2,9330
6,6051 8,9299 4,6065 2,8716 6,3215 0,2376 10,4382 -3,3446 -5,3162
8,4865 11,0743 -2,8970 4,6578 3,6629 9,9559 0,3748 18,0090 8,3655
-0,0969 5,5705 -2,3784 -0,4155 8,5572 15,6999 4,8184 4,6021 11,3999
11,6326 6,7275 1,6210 7,8920 3,6377 -3,4487 2,6744 2,8983 5,1730
9,3648 5,2213 3,5631 -9,2633 -4,4719 -2,1629 1,0696 -4,9908 -8,8247
15,6999 8,0657 6,9975 1,2949 3,7996 -0,0617 8,4930 7,0247 -0,7099
3,8719 4,1622 3,4912 -5,7640 2,6471 5,5133 12,8378 0,2774 12,2108
1,9445 2,1172 2,0333 1,9165 1,9805 2,1396 2,0003 1,8147 1,8317 2,3672 -6,6150 1,0511 10,4550 -7,5057 8,2395 2,5602 2,1907 6,1585 -2,9330
2,1854 2,0653 1,8288 2,2754 1,9076 2,0376 2,0923 2,0084 2,0382
2,0113 1,8037 1,9914 1,9926 1,9837 2,2052 2,0011 2,1639 2,3618
1,9611 1,8715 2,1022 2,0902 2,0156 1,8251 2,0491 1,6946 1,9664
2,1792 2,0335 2,1364 2,0607 1,8957 1,7425 2,0395 2,0923 1,8353
1,8308 1,9927 2,2307 1,9204 1,9612 2,1398 2,0929 1,9942 1,9895
1,9500 2,0229 2,0172 2,1541 2,1336 2,0869 2,0767 2,1620 2,2569
1,8289 1,9928 1,9802 2,0092 1,8624 2,1622 1,9434 1,8818 2,1567
6,6051 8,9299 4,6065 2,8716 6,3215 0,2376 10,4382 -3,3446 -5,3162
8,4865 11,0743 -2,8970 4,6578 3,6629 9,9559 0,3748 18,0090 8,3655
-0,0969 5,5705 -2,3784 -0,4155 8,5572 15,6999 4,8184 4,6021 11,3999
11,6326 6,7275 -0,9081 7,8920 3,6377 -3,4487 2,6744 2,8983 5,1730
9,3648 5,2213 3,5631 -9,2633 -4,4719 -2,1629 1,0696 -4,9908 -8,8247
15,6999 8,0657 6,9975 1,2949 3,7996 -0,0617 8,4930 7,0247 -0,7099
3,8719 4,1622 3,2808 -12,3168 2,6471 5,5133 12,8378 0,2774 12,2108
2,0572 2,3006 1,9137 1,8923 2,1327 2,1205 1,9709 1,8392 1,9015 2,3408 1,3277 5,9284 17,3215 -6,5207 8,2395
2,0333 1,9699 1,6984 2,2543 1,9076 1,9799 2,0120 2,0413 2,1589
1,9900 1,9810 2,0221 1,8909 2,0074 2,2452 2,0011 2,0330 2,5892
1,9578 1,7689 2,1347 2,1537 1,8681 1,8601 2,0491 1,7182 1,9664
2,1864 2,0255 2,2969 2,0949 1,9553 1,6588 2,1680 2,2504 1,8353
2,1843 1,8994 2,2303 1,8351 1,8269 2,1927 2,1096 2,1296 2,0190
2,2013 2,1838 2,0417 2,1416 2,1093 2,1314 2,2689 2,1620 2,2569
1,8945 2,0191 1,9802 1,9962 1,9260 2,1843 1,8693 1,9961 2,0551
7,6694 -0,1652 2,9777 8,1516 5,1923
8,8238 16,2051 -4,4353 1,6619 11,2502
-0,5459 5,9905 -10,6624 -2,0706 5,5694
-6,5802 11,0153 -0,8615 12,2179 10,7198
-3,4127 -3,0561 2,3706 -8,7319 -3,0274
12,2818 6,7363 6,9975 2,0303 0,5059
7,5250 7,0690 2,6132 -18,0625 2,6471
- 98 -
11,4263 6,3828 -2,8848 1,0580 4,4019
11,3519 2,3402 1,2361 8,2140 -2,6161
1,6968 5,4973 11,7251 9,7631 -0,1628
5,6836 6,5169 4,2678 -9,0004
-1,6531 10,4382 3,3469 -17,0589
8,2469 0,3748 16,7973 8,3655
19,9970 -1,8600 -3,4317 11,3999
-6,4295 1,8334 -4,0686 3,8199
-4,5296 -8,7940 -4,9908 -8,8247
-1,0805 12,1840 1,0493 4,4251
4,1251 6,5870 -6,6347 18,7174
3,4846 3,2610 1,4560 2,6850 1,2929 2,0577 1,7141 1,7119 1,4067 1,7999 -69,7827 -71,7420 26,3291 -28,3046 44,0191 -1,2819 10,0673 8,6376 38,3845 15,2933 2,8699 2,3928 1,1067 2,2953 1,4456 1,9404 1,8942 1,6452 1,3036 1,7004 -38,0855 -26,9878 44,3205 -8,1772 36,1257 4,7448 0,8043 12,0528 43,7182 20,4309 2,8574 2,3740 1,0985 2,2913 1,4467 1,9358 1,9001 1,6418 1,3042 1,6993 -37,4469 -26,0184 44,7439 -7,9678 36,0733 4,9816 0,5022 12,2288 43,6896 20,4870 β2 2,0804 2,6259 -0,3988 1,0615 2,5834 1,0151
1,7588 1,6810 1,4820 1,7529 2,8366 1,8755 1,5461 2,8476 1,3262
2,2482 1,7963 2,3346 2,6429 1,4249 1,0314 1,3751 0,7854 3,3048
1,8251 1,6819 2,6654 3,4099 2,4300 1,6905 1,4648 3,2130 1,4109
1,8863 1,6420 1,2771 3,0442 1,6034 1,8586 4,0625 1,9943 3,0049
1,6416 3,1436 2,5417 1,4079 2,0742 1,3534 2,3836 1,0043 2,0750
1,7235 2,3155 2,4882 3,2524 1,5351 1,6565 1,1750 1,5386 2,3056
1,3413 1,5115 2,1894 3,1177 1,9215 3,3140 1,1919 1,9109 2,6994
0,6204 1,9951 1,5381 2,2357 1,8435 2,6665 1,2355 2,5860 1,2939
20,2334 16,2230 38,2558 13,5754 -42,2559 14,1750 19,5435 -41,4107 32,2405
-1,0834 10,5209 -6,5748 -29,1830 30,5800 51,2908 37,0509 56,3299 -59,1992
19,4665 11,4147 -31,4860 -59,5816 -25,0201 12,1656 24,8100 -60,4302 34,7431
7,8731 12,1109 45,6153 -42,3255 21,3174 5,3617 -99,5654 -1,6112 -47,9453
18,6682 -49,2320 -24,0749 26,9421 3,3767 28,3821 -22,8582 50,2712 5,5316
11,3082 -17,3612 -18,5747 -61,9758 34,4896 27,5291 46,2259 35,3545 -2,7922
37,3563 23,1305 -6,8312 -50,9838 5,5921 -67,8095 51,3014 0,9102 -33,9762
74,3603 6,7592 27,4633 -6,6323 29,4202 -38,9112 41,7679 -33,3921 32,1459
1,8257 1,7108 1,9499 1,6742 3,0070 2,0411 1,4266 2,9201 1,2411
2,4819 2,0646 2,0616 2,4716 1,2630 0,9594 1,5704 0,6166 2,7565
2,2286 1,6250 2,4681 2,8553 2,2829 1,6751 1,6101 3,2856 1,1727
2,1082 1,8518 1,6057 2,7782 1,4006 1,6869 3,9438 2,1934 2,3782
1,8996 2,8680 2,4652 1,5815 1,8364 1,3550 2,5347 1,5018 1,8027
1,3587 2,1516 2,3081 2,9981 1,6839 1,9850 1,4291 1,4576 2,1697
1,6875 1,5551 2,2595 2,7904 2,0756 3,2283 0,9758 1,9562 2,5715
0,6022 1,6233 1,7006 2,4982 1,6068 2,3466 0,7173 2,4313 1,0602
16,7557 14,7012 14,1141 17,6445 -51,0269 5,6280 25,6702 -45,1725 36,6316
-13,1282 -3,3416 7,5226 -20,3572 38,9065 55,0011 26,9719 65,0152 -30,9162
-1,3768 14,3756 -21,3473 -30,9508 -17,4162 12,9559 17,3131 -64,2317 46,9938
-3,5677 1,3157 28,6579 -28,6359 31,7726 14,2586 -93,4737 -11,8587 -15,6236
5,3297 -34,9533 -20,1321 17,9520 15,6336 28,3366 -30,6461 24,5903 19,5692
30,1187 -8,9173 -9,2985 -48,9134 26,8035 10,5716 33,1265 39,5100 4,2187
19,4829 20,8851 -10,4436 -34,1642 -2,4086 -63,4022 62,4612 -1,4610 -27,3891
75,3067 25,9358 19,0450 -20,1684 41,5932 -22,4420 68,4703 -25,4161 44,1644
1,8234 1,7126 1,9590 1,6738 3,0121 2,0439 1,4203 2,9185 1,2389
2,4877 2,0674 2,0585 2,4675 1,2574 0,9582 1,5734 0,6116 2,7461
2,2325 1,6257 2,4607 2,8472 2,2826 1,6738 1,6121 3,2808 1,1649
2,1143 1,8576 1,6118 2,7707 1,3958 1,6877 3,9381 2,1989 2,3648
1,9012 2,8692 2,4639 1,5806 1,8306 1,3598 2,5383 1,5089 1,7968
1,3517 2,1473 2,3030 2,9881 1,6858 1,9903 1,4340 1,4537 2,1665
1,6922 1,5563 2,2617 2,7782 2,0740 3,2254 0,9731 1,9534 2,5677
0,6023 1,6151 1,7001 2,5041 1,5987 2,3377 0,7042 2,4272 1,0515
16,8720 14,6088 13,6491 17,6631 -51,2888 5,4811 25,9955 -45,0928 36,7429
-13,4256 -3,4852 7,6851 -20,1466 39,1923 55,0651 26,8152 65,2744 -30,3814
-1,5768 14,3389 -20,9670 -30,5363 -17,4006 13,0219 17,2078 -63,9867 47,3961
-3,8792 1,0201 28,3486 -28,2505 32,0158 14,2140 -93,1804 -12,1432 -14,9359
5,2425 -35,0103 -20,0681 17,9942 15,9275 28,0935 -30,8318 24,2251 19,8738
30,4811 -8,6992 -9,0374 -48,3969 26,7065 10,3002 32,8730 39,7122 4,3809
19,2358 20,8200 -10,5562 -33,5333 -2,3243 -63,2542 62,6010 -1,3190 -27,1935
75,2988 26,3557 19,0683 -20,4710 42,0117 -21,9817 69,1437 -25,2085 44,6087
3,4846 3,2610 1,4560 2,6850 1,2929 2,0577 1,7141
1,7588 1,6810 1,4820 1,7529 2,8366 1,8755 1,5461
2,2482 2,0674 2,3346 2,6429 1,4249 0,9582 1,3751
1,8251 1,6819 2,6654 3,4099 2,2826 1,6905 1,4648
1,8863 1,6420 1,6118 3,0442 1,6034 1,6877 4,0625
1,9012 3,1436 2,5417 1,4079 2,0742 1,3534 2,3836
1,7235 2,3155 2,4882 2,9881 1,6858 1,9903 1,1750
1,6922 1,5115 2,1894 3,1177 2,0740 3,3140 1,1919
Experiment IX n = 30
β2 2,1735 2,7442 -0,3988 1,0615 2,5834 1,0151 2,4280 3,3027 2,8133 β1 36,0461 1,0521 -32,5007 -24,6254 -37,6731 117,6939 -11,9981 54,3375 3,6084 -29,8248 -10,4704 50,1481 41,9289 -25,8360 52,5287 -56,9857 -31,7932 -42,1122 MZNČ β2 1,1733 2,0789 3,1409 2,6248 2,8001 -0,1379 2,6850 1,2287 1,7650 2,4556 2,2358 0,7496 1,0490 2,3870 1,1618 3,5524 2,2828 2,5254 β1 40,7103 5,9656 -49,9804 -18,4267 -42,0742 104,2283 -20,4416 45,7396 7,8639 -23,2151 -16,2310 63,8268 51,3535 -23,7093 45,8876 -69,8374 -18,8437 -27,2623 MZNČ/X2 β2 1,1720 2,0804 3,1453 2,6259 2,8015 -0,1333 2,6874 1,2349 1,7634 2,4551 2,2463 0,7428 1,0419 2,3876 1,1628 3,5600 2,2800 2,5192 β1 40,7778 5,8873 -50,2115 -18,4842 -42,1433 103,9944 -20,5689 45,4182 7,9464 -23,1866 -16,7715 64,1774 51,7193 -23,7422 45,8364 -70,2278 -18,6991 -26,9470 Glejserova metoda 0,6023 -0,3073 1,9951 2,8023 1,5381 2,7147 2,5041 2,5214 1,8435 1,8475 2,6665 2,1225 MNČ 1,2635 2,8023 2,7147 2,5214 1,8475 2,1225 1,2325 1,0333 2,5334
- 99 -
1,2355 2,5860 1,2939
n = 100
1,2325 1,0333 2,5334 β1 107,3033 5,8873 -32,5007 -18,4842 -37,6731 117,6939 -11,9981 54,3375 3,6084 -29,8248 -10,4704 50,1481 41,9289 -25,8360 52,5287 -56,9857 -31,7932 -42,1122 MNČ β2 1,9501 2,2975 1,9442 2,0314 1,2178 2,0490 2,1653 2,3252 2,3529 2,8512 1,4381 1,5025 2,2145 2,3423 1,5871 1,8653 1,7393 3,0106 β1 6,1918 -7,8181 8,9990 9,2035 35,9472 6,6391 -2,6275 -14,0344 -15,8448 -40,4722 29,3008 31,2511 -8,3295 -12,5364 21,1958 6,5919 16,9321 -41,0809 MZNČ β2 1,7681 2,1121 1,7287 1,9067 0,9662 2,2028 2,1145 2,2423 2,3793 2,8969 1,3090 1,4622 2,2779 2,3871 1,4386 1,6889 2,0266 3,1730 β1 15,8686 2,0627 18,4525 15,8732 47,1131 -6,1437 -2,5991 -5,8679 -15,7151 -40,7853 37,2200 35,4730 -9,7841 -13,7167 28,6923 12,4084 2,6994 -46,5029 MZNČ/X2 β2 2,2011 2,1989 2,1401 2,0969 1,1377 2,1943 1,9604 2,3649 2,2488 2,3847 1,5087 1,7642 1,9031 2,3142 1,6301 2,0209 1,6347 2,7795 β1 -5,9961 -3,0395 -0,5656 5,9920 39,8043 -0,3770 7,3053 -15,9413 -10,8564 -17,7726 25,8362 18,5076 6,8533 -11,1837 19,1495 -0,9623 22,0171 -29,8759 Glejserova metoda 2,1300 2,2011
2,4280 3,3027 2,8133 -69,7827 -71,7420 26,3291 -28,3046 44,0191 -1,2819 10,0673 8,6376 38,3845 15,2933 2,2523 1,8246 1,8923 2,6344 1,3000 1,6823 1,6134 2,0924 1,8548 1,6488 -13,7364 16,8373 5,3334 -29,1595 33,9529 21,9691 24,1235 4,5892 13,8687 18,1406 2,2588 1,7599 1,6416 2,5186 1,4370 1,8356 1,6382 2,1503 1,6988 1,6598 -11,6805 19,1126 14,6771 -22,8426 28,7661 14,2371 21,3932 -0,1821 17,0432 17,8593 2,0248 2,1193 2,0914 2,5597 1,4021 1,6160 1,7332 1,8205 1,7446 1,8688 -2,7026 2,5850 -4,3237 -25,5650 29,0122 25,1983 18,2357 17,7634 19,2440 7,4819 β2 2,1989
1,7119 1,4067 1,7999 20,2334 16,2230 38,2558 13,5754 -42,2559 14,1750 19,5435 -41,4107 32,2405
2,8476 1,3262
0,7854 3,3048
3,2130 1,4109
1,9943 3,0049
1,0043 2,0750
1,4537 2,3056
1,9534 2,6994
-1,0834 -3,4852 -6,5748 -29,1830 30,5800 55,0651 37,0509 56,3299 -59,1992
19,4665 11,4147 -31,4860 -59,5816 -17,4006 12,1656 24,8100 -60,4302 34,7431
7,8731 12,1109 28,3486 -42,3255 21,3174 14,2140 -99,5654 -1,6112 -47,9453
5,2425 -49,2320 -24,0749 26,9421 3,3767 28,3821 -22,8582 50,2712 5,5316
11,3082 -17,3612 -18,5747 -48,3969 26,7065 10,3002 46,2259 39,7122 -2,7922
19,2358 23,1305 -6,8312 -50,9838 -2,3243 -67,8095 51,3014 -1,3190 -33,9762
75,2988 6,7592 27,4633 -20,4710 29,4202 -38,9112 41,7679 -33,3921 32,1459
2,1545 2,3548 1,6211 1,8248 2,8316 2,0683 1,5511 2,1914 2,1936
1,6989 1,9313 1,9028 1,8053 2,2408 1,8132 1,7474 1,9100 1,4136
2,2242 2,2215 2,0678 1,6003 1,8275 2,4202 2,2978 1,9389 2,0355
2,1649 2,3770 1,5115 2,1011 2,1985 2,4862 2,4477 2,1161 1,3341
2,1289 2,1806 2,7345 1,9380 1,9753 1,4734 2,4772 2,2079 1,9308
2,3801 2,1545 2,0116 1,6198 1,9132 1,9133 2,2108 1,4186 2,3467
2,1064 1,6948 2,0541 1,8271 1,7284 2,3262 2,1373 2,3457 2,1906
2,3058 2,0883 2,4037 1,6394 2,0147 1,9091 2,1663 1,7678 1,7486
1,2445 -10,8154 20,8507 12,7166 -29,3880 4,5759 29,3742 -5,1515 -3,5292
19,3592 13,9427 11,5538 12,1010 -8,2987 11,6702 9,2167 9,1247 29,6446
-4,2725 -6,7945 3,1869 25,8830 8,2629 -17,3568 -16,1800 7,0818 -3,7058
-5,8514 -16,8474 32,0137 -0,5498 -2,5598 -17,2905 -17,1268 0,5454 36,2593
0,7997 -6,2540 -32,4940 7,9335 5,2680 22,0521 -15,9532 -5,1330 4,4795
-9,6717 -6,6333 4,3782 20,3807 5,1807 5,9515 -11,3817 30,3835 -12,5896
-2,7721 11,3500 4,9288 13,4459 17,0431 -5,4739 1,6458 -11,2995 -7,2383
-8,1792 0,7259 -14,1548 19,8549 4,1351 6,6357 -4,2694 21,6901 14,5421
2,0615 2,1109 1,6455 1,6416 2,8951 2,2768 1,6815 2,3578 2,1849
1,5519 1,7436 1,7992 1,8029 2,3928 1,8549 1,6867 1,9910 1,2430
2,0564 2,4685 1,7272 1,6154 1,9228 2,1337 2,3277 1,9278 1,9984
2,1514 2,2136 1,4291 2,0452 2,5857 2,7792 2,3571 2,1152 1,4385
2,1992 2,1430 2,6573 1,7399 1,9208 1,5846 2,4362 1,6643 1,8823
2,3218 2,5510 1,8462 1,4323 1,9386 1,4539 2,5783 1,7536 2,7349
2,5106 1,7411 1,5504 1,9966 1,8480 2,1323 2,2684 2,4069 2,1655
2,1028 2,3973 2,6389 1,4608 1,5961 1,7469 2,3555 1,4252 1,4382
3,1856 0,7993 17,7540 23,1606 -31,5220 -5,9317 23,4472 -7,6906 -5,1202
23,9848 22,9890 17,9041 11,8176 -13,9427 11,2889 10,5414 0,1795 38,1175
2,6001 -15,0669 18,3683 23,7167 2,2419 -2,9543 -16,1628 7,1041 -3,1928
-5,8636 -9,4052 34,7347 4,7153 -21,4547 -30,8806 -15,5210 2,1397 32,3390
-0,2959 -3,7648 -28,8258 13,6817 8,7630 14,8857 -11,5363 20,1958 3,5180
-5,3908 -24,2945 10,1015 30,3278 5,0637 30,1871 -29,8616 11,4481 -30,0294
-19,5878 11,0654 29,2132 7,2066 13,1143 0,6432 -4,3183 -12,4964 -7,4704
2,9855 -12,6759 -24,6876 28,9656 21,7579 15,6093 -10,9876 38,3952 31,6862
2,3133 1,9722 1,4382 1,6616 2,5549 1,7733 1,8043 2,3432 1,9617
1,6863 2,0267 1,8198 1,6674 2,2043 1,7757 1,8820 1,8160 1,6645
2,5610 1,9622 1,9191 1,6777 1,8175 2,3797 2,2502 1,8900 2,0421
2,1043 2,3296 1,7913 2,0109 2,1884 2,0825 2,3045 2,2156 1,5190
2,0935 2,1032 2,5009 1,8383 2,0895 1,7682 2,4808 1,9652 1,8659
2,4179 2,4042 2,1684 1,5392 1,7443 2,0159 2,1936 1,5014 2,2711
1,8273 1,4453 2,0889 1,8009 1,6649 2,4613 2,1217 2,0073 2,1551
2,1300 2,1188 2,4206 1,7765 1,7691 1,6722 1,8729 1,6562 1,6688
-6,4664 7,8502 29,7258 20,6893 -16,0176 18,9071 17,0138 -12,5668 7,7789
19,9545 9,3287 15,6050 18,8317 -6,5450 13,4435 2,6038 13,6800 17,4838
-20,6063 5,8351 10,4448 22,1778 8,6966 -15,3026 -13,8291 9,4398 -4,0006
-2,9055 -14,5421 18,3890 3,7741 -2,1027 2,2757 -10,1146 -4,2598 27,3503
2,5207 -2,5238 -21,1273 12,8216 -0,3401 7,6907 -16,1328 6,6452 7,6710
-11,4281 -18,7432 -3,2386 24,3355 13,3970 0,9276 -10,5587 26,3483 -8,8928
10,7775 23,4558 3,1469 14,7419 20,1054 -12,0673 2,3830 5,1732 -5,5172
0,4159 -0,7235 -14,9776 13,2019 16,0979 18,1300 9,9683 27,1394 18,3870
2,0248 2,1193
2,3133 1,4147
1,6863 2,0267
2,5610 1,9622
2,1649 2,3770
2,0935 2,1032
2,4179 2,4042
1,8273 1,4453
- 100 -
2,1188 2,4206 1,7765 2,0147 1,6722 2,1663 1,6562 1,6688 -5,9961 8,9990 39,8043 7,3053 -15,8448 25,8362 6,8533 21,1958 22,0171
1,9442 1,1377 1,9604 2,3529 1,5087 1,9031 1,5871 1,6347 β1 -3,0395 9,2035 6,6391 -15,9413 -17,7726 31,2511 -12,5364 6,5919 -41,0809
2,0314 2,0490 2,3649 2,3847 1,5025 2,3423 1,8653 3,0106 -2,7026 2,5850 -4,3237 -25,5650 29,0122 25,1983 18,2357 4,5892 19,2440 7,4819
2,0914 2,5597 1,4021 1,6160 1,7332 2,0924 1,7446 1,8688 -6,4664 32,3773 29,7258 20,6893 -16,0176 18,9071 17,0138 -16,2323 -3,5292
1,4382 1,6616 2,5549 1,7733 1,8043 2,4235 2,1936
1,8198 1,6674 2,2043 1,7757 1,8820 1,8160 1,4136
2,0678 1,6777 1,8175 2,3797 2,2978 1,9389 2,0421
1,7913 2,0109 2,1884 2,0825 2,3045 2,2156 1,3341
2,5009 1,8383 1,9753 1,7682 2,4772 1,9652 1,8659
2,1684 1,6198 1,9132 2,0159 2,2108 1,5014 2,2711
2,0889 1,8009 1,6649 2,4613 2,1217 2,3457 2,1906
19,9545 9,3287 15,6050 18,8317 -6,5450 13,4435 2,6038 13,6800 29,6446
-20,6063 5,8351 3,1869 22,1778 8,6966 -15,3026 -16,1800 7,0818 -4,0006
-5,8514 -16,8474 18,3890 3,7741 -2,1027 2,2757 -10,1146 -4,2598 36,2593
2,5207 -2,5238 -21,1273 12,8216 5,2680 7,6907 -15,9532 6,6452 7,6710
-11,4281 -18,7432 -3,2386 20,3807 5,1807 0,9276 -11,3817 26,3483 -8,8928
10,7775 23,4558 3,1469 14,7419 20,1054 -12,0673 2,3830 -11,2995 -7,2383
0,4159 -0,7235 -14,9776 13,2019 4,1351 18,1300 -4,2694 27,1394 18,3870
1,9836 2,0044 2,0089 1,9994 2,0456 2,0137 2,0161 2,0175 1,9596
2,0210 1,9941 1,9666 2,0384 1,9836 2,0168 2,0004 2,0121 1,9546
1,9845 2,0175 1,9403 1,9943 2,0170 1,9687 1,9825 2,0352 1,9853
2,0235 1,9635 2,0322 1,9729 2,0050 1,9775 2,0106 2,0282 1,9571
2,0239 1,9800 1,9740 2,0184 1,9673 2,0147 1,9920 2,0347 1,9663
2,0380 2,0379 1,9893 1,9845 1,9992 1,9899 1,9975 1,9671 1,9839
1,9852 1,9787 2,0125 2,0149 1,9976 2,0395 2,0174 1,9842 2,0122
2,0258 1,9872 2,0014 2,0120 1,9971 1,9712 2,0010 1,9669 2,0185
1,4221 4,4618 1,6758 2,8195 2,0754 4,8947 5,8609 4,8421 4,4326 5,9803 2,0367 1,9833 2,0383 2,0254 2,0252 1,9696 1,9771 1,9879 1,9862 1,9591 1,3640 4,3262 1,8370 2,9162 1,9655 4,8532 5,8552 5,0903 4,4340 5,7465 2,0282 1,9889 2,0101 2,0114 2,0372 1,9744 1,9787 1,9678 1,9849 1,9775 1,8171 4,0043 3,3834 3,6868 1,3089
4,1437 4,0828 3,0610 4,0592 1,7702 4,2718 3,3726 2,4603 6,6881
2,3011 4,7220 6,1880 1,4797 4,8123 2,3463 3,1940 2,5002 5,6729
4,4497 3,5130 6,9921 4,1491 3,0411 4,9506 5,0190 2,6954 5,7435
2,5982 5,1856 1,9452 4,4952 4,5360 5,4999 3,6482 2,4702 5,8223
2,0450 4,8895 5,5010 3,2787 5,2090 3,0670 4,7030 2,9157 5,9494
1,9678 1,9430 4,8816 5,4489 3,6979 3,6390 4,4468 6,6496 4,8557
4,0057 3,7908 4,1404 3,6019 3,8745 1,3407 3,2908 5,1415 3,1279
1,9826 2,0051 2,0078 1,9969 2,0482 2,0140 2,0197 2,0135 1,9616
2,0207 1,9919 1,9699 2,0386 1,9830 2,0163 2,0016 2,0114 1,9529
1,9807 2,0152 1,9404 1,9951 2,0196 1,9659 1,9866 2,0322 1,9864
2,0212 1,9653 2,0290 1,9707 2,0077 1,9777 2,0093 2,0270 1,9619
2,0222 1,9815 1,9765 2,0176 1,9669 2,0123 1,9939 2,0351 1,9686
2,0369 2,0371 1,9881 1,9824 2,0009 1,9913 2,0024 1,9715 1,9835
1,9833 1,9798 2,0136 2,0121 2,0003 2,0399 2,0165 1,9825 2,0081
4,2020 4,0371 3,1281 4,2161 1,6062 4,2531 3,1481 2,7135 6,5609
2,3212 4,8558 5,9842 1,4643 4,8486 2,3747 3,1192 2,5451 5,7780
4,6914 3,6569 6,9853 4,0963 2,8764 5,1280 4,7646 2,8870 5,6766
2,7404 5,0768 2,1437 4,6333 4,3673 5,4890 3,7276 2,5426 5,5224
2,1481 4,7989 5,3441 3,3309 5,2376 3,2141 4,5856 2,8874 5,8033
2,0334 1,9963 4,9511 5,5787 3,5905 3,5527 4,1419 6,3742 4,8833
4,1248 3,7222 4,0671 3,7789 3,7032 1,3199 3,3454 5,2464 3,3888
1,9740 2,0030 2,0033 2,0124 2,0562 2,0183 2,0339 1,9983 1,9804
2,0161 1,9827 1,9926 2,0425 1,9828 2,0143 2,0104 2,0151 1,9411
1,9688 1,9910 1,9516 1,9979 2,0224 1,9533 2,0112 2,0183 1,9786
2,0089 1,9630 2,0126 1,9711 2,0252 1,9726 2,0037 2,0212 1,9842
2,0210 1,9833 1,9826 2,0181 1,9565 2,0063 1,9946 2,0375 1,9792
2,0333 2,0404 1,9897 1,9784 2,0086 1,9880 2,0126 1,9924 1,9920
1,9867 1,9840 2,0132 2,0007 2,0037 2,0394 2,0065 1,9785 1,9936
4,6751 4,1499 3,3846 3,3915 1,1515
2,5773 5,3667 4,7330 1,2553 4,8615
5,3579 4,9887 6,3799 3,9360 2,7094
3,4206 5,1862 3,0558 4,6193 3,4001
2,2247 4,6885 4,9963 3,3157 5,7973
2,2324 1,8213 4,8748 5,8079 3,1683
3,9534 3,4928 4,0847 4,4184 3,4974
Experiment X n = 30
MNČ 1,9818 2,0728 1,9725 1,9454 2,0090 2,0270 2,0483 2,0066 1,9913 2,3891 4,8060 3,6999 3,3069 3,5745 4,6324 3,9690 5,0680 2,6790 2,0278 1,9869 2,0042 2,0086 1,9999 1,9750 1,9982 1,9683 2,0170 2,2629 4,8212 3,5232 3,5228 3,4007 4,3984 4,1491 4,9817 2,7698 2,0438 1,9812 1,9977 2,0030 2,0048 1,9942 1,9849 1,9711 2,0054 1,3818 5,1318 3,8549 3,8461
β2 1,9987 2,0023 1,9587 1,9978 2,0158 1,9926 2,0172 1,9778 2,0395
2,0358 1,9811 2,0409 2,0270 2,0235 1,9689 1,9770 1,9919 1,9863 1,9554 β1 4,0330 4,2563 0,6890 4,1683 5,5466 6,5050 7,3796 3,6768 3,4234 3,7618 1,8430 3,8759 0,9421 3,8810 3,8190 5,1317 4,2549 1,4912 MZNČ β2 1,9875 1,9989 2,0682 2,0020 1,9763 1,9603 1,9505 1,9964 2,0083 2,0176 2,0271 1,9839 2,0446 2,0189 2,0089 1,9824 1,9887 2,0372 β1 3,6759 4,2471 0,9791 4,1888 5,3102 6,4039 7,0651 3,7650 3,4708 3,6480 1,8382 4,4186 1,1737 3,7778 3,6763 4,8432 4,4191 1,6366 MZNČ/X2 β2 2,0057 1,9900 2,0412 2,0092 2,0015 1,9694 1,9613 1,9938 2,0105 2,0300 2,0307 1,9365 2,0349 2,0285 2,0213 1,9986 1,9622 2,0270 β1 2,6491 4,7309 2,4707 3,8034 3,9203 5,8962 6,4419 3,9159
- 101 -
3,1168 3,3349 4,8831 4,8255 3,4100 1,9852 1,9787 2,0132 2,0149 2,0037 2,0395 2,0065 1,9842 2,0122
n = 100
2,3891 4,8060 3,8549 3,3069 3,1168 4,6324 4,8831 5,0680 2,6790 MNČ 2,0046 1,9982 1,9884 1,9928 2,0028 1,9960 1,9575 1,9700 1,9729 3,7638 3,7596 5,4141 4,1506 4,8577 1,9102 4,6974 3,7157 3,0783 2,0069 2,0012 1,9766 1,9898 1,9945 2,0265 1,9867 2,0085 2,0070 3,7913 3,7748 5,4911 4,2328 4,8477 2,0712 4,6135 3,4758 2,9819 2,0139 1,9933 1,9867 1,9947 1,9891 2,0232 1,9915 2,0088 1,9968
3,3590 2,9719 1,6388 7,0496 1,7219 3,2452 2,9887 3,9369 5,8663 2,2076 Glejserova metoda 2,0258 1,9818 1,9872 2,0728 1,9977 1,9725 2,0120 1,9454 2,0048 2,0090 1,9712 2,0307 1,9849 2,0349 1,9669 2,0066 2,0185 1,9913 β1 4,0330 4,2563 0,6890 3,8034 5,5466 6,5050 7,3796 3,6768 3,4234 3,7618 1,6388 3,8759 1,7219 3,8810 3,8190 5,1317 4,2549 2,2076 β2 1,9871 2,0065 1,9894 2,0201 1,9884 2,0355 1,9934 2,0144 2,0070 1,9986 2,0019 2,0055 2,0091 2,0110 1,9976 1,9957 2,0198 1,9978 1,9869 β1 3,3776 3,4958 4,1034 3,2747 4,0370 2,2953 4,5082 2,9958 3,6639 4,2014 4,2263 3,5346 5,3223 3,2651 5,3984 4,3357 4,5858 3,7044 MZNČ β2 2,0035 2,0044 1,9990 2,0202 1,9851 2,0383 1,9928 2,0151 1,9998 2,0024 1,9982 2,0070 1,9580 2,0111 1,9704 1,9953 1,9753 1,9996 β1 3,4306 3,6441 4,0646 3,3989 4,1501 2,1688 4,5866 2,9592 3,8528 3,9915 4,1586 3,5037 5,3056 3,2059 5,3375 4,4191 4,4321 3,6591 MZNČ/X2 β2 1,9911 2,0135 2,0044 2,0164 1,9844 2,0324 2,0045 2,0105 2,0024 1,9925 1,9961 2,0114 1,9783 2,0091 1,9674 2,0189 1,9814 1,9984
4,5920 5,7691 6,2073 4,5020 4,7225 β2 1,9987 2,0092 1,9587 1,9978 2,0158 1,9926 2,0172 1,9778 2,0270 1,4221 4,4618 1,6758 3,6868 1,3089 4,5920 5,8609 6,2073 4,5020 5,9803 2,0278 1,9994 2,0220 2,0116 2,0071 2,0118 2,0104 2,0012 1,9953
4,0213 2,3516 3,5661 5,5302
2,4868 2,6349 2,3528 6,4298
5,8326 3,4033 3,6529 6,0918
5,7613 4,0328 2,8707 4,2760
3,5613 4,5345 2,7564 5,2132
3,7231 3,5515 5,2129 4,4242
1,3460 3,8920 5,4720 4,2000
2,0358 1,9811 2,0409 2,0114 2,0372 1,9744 1,9770 1,9678 1,9849 1,9554 4,1437 4,1499 3,3846 4,0592 1,7702 4,2718 3,3726 3,5661 6,6881
1,9836 2,0030 2,0033 1,9994 2,0456 2,0137 2,0161 1,9983 1,9596
2,0210 1,9941 1,9666 2,0384 1,9836 2,0168 2,0004 2,0121 1,9411
1,9845 2,0175 1,9516 1,9943 2,0170 1,9687 2,0112 2,0352 1,9853
2,0235 1,9635 2,0322 1,9729 2,0252 1,9726 2,0037 2,0282 1,9842
2,0239 1,9800 1,9740 2,0184 1,9673 2,0147 1,9946 2,0347 1,9792
2,0333 2,0379 1,9897 1,9845 1,9992 1,9899 1,9975 1,9671 1,9839
2,3011 4,7220 6,1880 1,4797 4,8123 2,3463 3,1940 2,5002 6,4298
4,4497 3,5130 6,3799 4,1491 3,0411 4,9506 3,4033 2,6954 5,7435
2,5982 5,1856 1,9452 4,4952 3,4001 5,7613 4,0328 2,4702 4,2760
2,0450 4,8895 5,5010 3,2787 5,2090 3,0670 4,5345 2,9157 5,2132
2,2324 1,9430 4,8748 5,4489 3,6979 3,6390 4,4468 6,6496 4,8557
4,0057 3,7908 4,0847 3,6019 3,4974 1,3407 3,8920 5,1415 3,1279
2,0119 2,0035 1,9896 2,0214 1,9955 2,0018 2,0025 1,9941 2,0084
2,0055 2,0083 2,0057 2,0045 2,0083 1,9988 1,9909 1,9944 1,9812
2,0050 2,0109 1,9925 2,0095 1,9823 2,0012 1,9902 1,9972 2,0084
1,9864 1,9931 1,9885 2,0053 1,9840 1,9910 2,0054 1,9836 1,9918
1,9890 2,0047 1,9724 1,9779 1,9961 1,9902 2,0086 1,9834 2,0160
1,9941 1,9818 2,0136 1,9991 2,0014 2,0122 1,9972 1,9896 1,9710
2,0092 2,0006 1,9794 1,9910 1,9928 2,0299 1,9852 2,0048 2,0046
5,0085 4,3217 4,3827 4,2707 3,9932 3,7643 3,5353 3,8787 3,2437 4,9000 1,9909 1,9875 1,9883 1,9891 2,0056 1,9956 2,0115 2,0037 2,0194 1,9912 4,8445 4,3378 4,3290 4,5247 4,1122 4,0354 3,3527 3,5407 3,2188 4,7064 1,9998 1,9905 1,9923 1,9880 2,0140 1,9744 2,0001 1,9821 2,0146 1,9946
2,8596 4,0697 3,0949 3,4700 3,6222 3,8575 3,5485 3,7860 4,3141
3,8706 3,7736 4,8826 3,2415 4,0701 4,0635 3,7874 4,5765 4,0904
4,1108 3,2763 3,4829 4,2176 3,3055 3,6050 3,9362 4,7922 5,2707
3,2535 2,2167 4,3725 3,8697 5,1856 3,6455 4,4072 3,4757 3,4393
4,9583 4,3075 5,2503 3,8429 4,9117 4,0341 3,4781 4,3849 4,4794
4,9164 3,6456 5,3588 5,2325 4,5914 4,5301 3,3917 4,7683 3,6261
4,4678 4,8306 3,4068 3,9789 3,8063 3,4902 4,6673 4,5087 5,2786
2,0279 1,9977 2,0199 2,0124 2,0070 2,0118 2,0094 2,0023 1,9980
2,0132 2,0051 1,9883 2,0232 1,9973 2,0022 2,0032 1,9930 2,0053
2,0046 2,0101 2,0054 2,0038 2,0127 2,0054 1,9878 1,9933 1,9800
2,0068 2,0094 1,9881 2,0064 1,9835 1,9969 1,9885 1,9950 2,0090
1,9894 1,9969 1,9898 2,0033 1,9856 1,9900 2,0074 1,9805 1,9906
1,9922 2,0067 1,9694 1,9745 1,9919 1,9884 2,0088 1,9843 2,0137
1,9925 1,9836 2,0133 1,9974 1,9999 2,0109 1,9990 1,9912 1,9720
2,8720 4,2265 3,2650 3,4658 3,5192 3,7679 3,6874 3,7455 4,1487
3,7998 3,6242 4,9067 3,1657 4,0018 3,9774 3,7354 4,5416 4,2834
4,1670 3,1170 3,5392 4,4142 3,1044 3,3344 4,0115 4,7736 5,3807
3,1668 2,3239 4,5832 4,0518 5,1320 3,8614 4,4023 3,5731 3,4329
4,7630 4,0127 5,1152 3,9262 4,8420 4,0672 3,3166 4,6000 4,5647
4,6523 3,5691 5,4679 5,3923 4,7785 4,5462 3,4241 4,6431 3,7658
4,4855 4,8549 3,3797 4,0057 3,9022 3,5706 4,5656 4,4525 5,2069
2,0079 2,0213 2,0255 2,0143 1,9946 2,0029 2,0002 1,9931 1,9925
2,0000 1,9986 1,9944 2,0371 1,9933 1,9919 1,9879 1,9906 2,0185
2,0025 2,0007 2,0130 1,9979 2,0141 2,0074 2,0159 2,0012 1,9773
2,0092 2,0006 2,0030 2,0106 1,9913 1,9999 1,9981 1,9950 2,0246
2,0014 2,0193 1,9995 1,9973 1,9858 1,9912 2,0071 1,9872 1,9920
1,9937 1,9861 1,9696 1,9964 2,0025 1,9822 2,0092 1,9940 2,0202
2,0143 1,9866 2,0125 1,9902 1,9970 2,0106 1,9949 1,9861 1,9836
- 102 -
3,5223 4,1461 5,0668 3,9581 5,0533 2,2367 4,3875 3,5120 3,4770 2,0026 1,9805 2,0138 1,9991 1,9976 2,0106 1,9974 1,9859 1,9710 3,6030 4,0276 5,2913 4,1506 4,9852 1,9102 4,6345 3,7157 3,2337
β1 4,0855 3,1494 3,7762 3,4639 4,2420 2,4634 3,9379 3,1871 3,7019 4,5116 4,2047 3,2340 4,2609 3,3733 5,5611 3,1528 4,1700 3,6703 Glejserova metoda 2,0122 2,0046 1,9956 1,9982 1,9819 1,9862 1,9910 2,0045 1,9905 2,0024 2,0299 1,9976 1,9863 1,9783 2,0048 1,9700 2,0018 1,9729 β1 3,3776 3,1494 4,1034 3,4639 4,1573 2,4482 3,9379 3,1871 3,7019 4,3205 4,1381 3,2340 4,2609 3,3733 5,3984 4,3357 4,5858 3,6703
4,3657 4,2696 4,1827 4,5232 3,6383 5,1488 3,9865 4,6911 3,5216 4,4921 β2 2,0135 2,0164 2,0326 2,0105 1,9964 2,0114 2,0091 1,9957 1,9984 4,8087 4,2696 4,1827 4,2707 3,9932 4,1098 3,9865 4,4673 3,5216 4,5802
3,8612 2,9418 2,9020 3,3264 4,2408 4,3133 4,0861 4,1993 4,4554
4,4593 4,0146 4,6303 2,4268 4,1783 4,5375 4,5510 4,7509 3,6040
4,2708 3,6556 3,1273 4,5444 3,0152 3,1622 2,6296 4,4325 5,4802
3,0676 2,7554 3,8399 3,8332 4,7174 3,6974 3,9822 3,6208 2,6119
4,1980 2,9711 4,6898 4,2409 4,8282 4,0297 3,3892 4,2221 4,4756
4,6640 4,5838 5,4969 4,3068 4,2735 4,9086 3,3536 4,2268 3,4060
3,4521 4,6111 3,4601 4,4342 4,0461 3,5748 4,7763 4,6990 4,6440
1,9908 1,9905 1,9923 1,9934 2,0070 1,9956 2,0001 1,9867 2,0146 1,9928 2,8596 2,9418 2,9020 3,3581 3,7182 3,8575 4,0861 4,1993 4,3574
2,0278 2,0213 2,0255 2,0136 2,0054 2,0118 2,0002 1,9931 1,9945
2,0000 1,9986 1,9920 2,0214 1,9950 1,9919 1,9913 1,9938 2,0185
2,0025 2,0067 2,0064 1,9979 2,0141 2,0074 1,9909 1,9978 1,9773
2,0034 2,0109 1,9925 2,0075 1,9823 2,0020 1,9902 1,9972 2,0154
1,9864 2,0041 1,9916 2,0053 1,9834 1,9906 2,0065 1,9872 1,9920
1,9890 1,9970 1,9715 1,9779 2,0025 1,9906 2,0086 1,9834 2,0202
4,4593 4,0146 4,7504 3,2415 4,0970 4,5375 4,3865 4,5934 3,6040
4,2708 3,3630 3,4489 4,5444 3,0152 3,1622 3,9362 4,6067 5,4802
3,3473 2,2167 4,3725 3,9815 5,1856 3,5994 4,4072 3,4757 3,0602
4,9583 3,7139 5,0776 3,8429 4,9425 4,0600 3,4182 4,2221 4,4756
4,9164 4,0539 5,4033 5,2325 4,2735 4,5055 3,3917 4,7683 3,4060
4,0136 4,9030 3,3975 3,9789 4,0151 3,5756 4,6524 4,7087 5,2786
- 103 -
