VYSOKÁ ŠKOLA EKONOMICKÁ V PRAZE FAKULTA INFORMATIKY A STATISTIKY Katedra statistiky a pravděpodobnosti STATISTIKA VZORCE PRO 4ST201

VYSOKÁ ŠKOLA EKONOMICKÁ V PRAZE FAKULTA INFORMATIKY A STATISTIKY Katedra statistiky a pravděpodobnosti

STATISTIKA VZORCE PRO 4ST201

verze 2.1 poslední aktualizace: 22.9.2008

KSTP 2008

Popisná statistika pi =

k

ni n

n

x=

i =1

i

i =1

=1

i = 1, 2, ..., k

P P < zP < n ⋅ +1 100 100

P + 0,5 = z p 100

n

∑x

∑p

i =1

n⋅

x% p

k

∑ ni = n

n p < zp < n p +1

np + 0,5 = z p k

i

x=

n

∑x

i

i =1 k

ni

k

x = ∑ xi pi

∑n

i =1

i

i =1

k

xH =

n n

1

∑x i =1

xG = n

xH =

i

n

∏ xi = n x1 ⋅x2 ⋅...⋅xn

∑n

i

i =1 k

xH =

ni

∑x i =1

i

xG =

n

k

∏x

ni i

i =1

i =1

=

1 k

pi

i =1

i

∑x

x1n1 ⋅ x2n2 ⋅ ... ⋅ xknk

n

R = xmax - xmin n

n

s = 2 x

∑ (x i =1

i

− x)

s =

i =1 2 s x2 = x 2 − x =

n

n

k

2 x

∑ xi2

2

∑ (x − x ) n i

i

k

∑n i =1

i

k

sx2 = ∑ (xi − x ) 2 pi k

s = s + s = 2

2 x

∑ si2 ni i =1 k

∑ ni i =1

k

k

i =1

i =1

2

2

     

2

i =1

2 i

k

i =1

k

+

∑ (xi − x )2 ni i =1

k

∑ ni i =1

k

x=

∑x i =1 k

i

ni

∑n i =1

i

k

sx2 = ∑ si2 pi + ∑ (xi − x ) 2 pi s x = s x2

k

2 i

s = x − x = ∑ x pi − (∑ xi pi ) 2 2 x

i =1

2 x

2

 k x n ∑ i  ∑ xi ni i =1 i =1 2 2 2 − k sx = x − x = k  ni ∑  ∑ ni i =1  i =1 k

2

i =1

1 n  −  ∑ xi  n   i =1 

x = ∑ xi pi i =1

Vx = 1

sx x © KSTP 22.9.2008

Pravděpodobnost Počet pravděpodobnosti m P (A) = n P(A ∪ B) = P(A) + P(B) P(A ∩ B) = P(A) P(B)

P(A) =

P(A ∩ B) P(B) P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B) P(A ∩ B) = P(A) P(BA) = P(B) P(AB)

P( A B) =

s

s

P(A) = ∑ P(Bi ) P( A Bi )

∑ P( A ∩ B ) i

i =1

Náhodné veličiny P(x) = P(X = x) P( x1 < X ≤ x 2 ) =

i =1

F(x) = P(X ≤ x)= ∑ P(t )

∑ P( x) = F ( x

x1 < x ≤ x2

t≤x

2

) - F ( x1 )

x

F(x) = P(X ≤ x) =

∫ f (t )dt

∞

∫ f ( x)dx = 1

f (x) = F ′(x)

−∞

−∞

P(x1 < X ≤ x2) =

x2

∫ f ( x)dx = F(x2) - F(x1)

x1

xP

F(xP)=P

x P = F −1 ( P ) ∞

E (X ) = ∑ x P(x)

E (X ) =

x

∫x

f (x)dx

−∞

  D(X ) = ∑ x P(x) −  ∑ x P (x)  x  x 

2

2

∞

 ∞ D( X ) = ∫ x f ( x)dx −  ∫ xf ( x)dx  −∞  − ∞

2

2

σ = σ ( X ) = D( X ) E ( X i ) = µ , D( X i ) = σ 2 nezávislé

X i i = 1,.., n,

E (∑ X i ) = nµ ,

E(

1 ∑ Xi ) = µ, n

D(∑ X i ) = nσ 2

D(

1 σ2 X = ) ∑ i n n

Pravděpodobnostní rozdělení Alternativní rozdělení A[π] x 1-x P(x) = π (1 - π) x = 0, 1, 0< π <1 E(X) = π D(X) = π(1 - π)

Binomické rozdělení

Bi[n;π]

n P ( x ) =   π x (1 − π ) n − x x = 0, 1, 2, ..., n, n > 0, 0< π <1  x D(X) = nπ(1 - π) E(X) = nπ Poissonovo rozdělení P (x) = e − λ

λ

x

x!

Po[λ] x = 0, 1, ... , λ > 0,

E(X) = λ 2

D(X) = λ © KSTP 22.9.2008

pravděpodobnost

Hypergeometrické rozdělení Hy[N;M;n] M  N − M       x   n−x  P( x) = , x = max(0, M-N+n), ..., min(M, n), n > 0, N ≥ n, M ≤ N N    n M  M  N −n M D(X ) = n 1 −  E( X ) = n N N  N −1 N

Exponenciální rozdělení E[A;δ] A ≥ 0, δ > 0 0 x≤ A  E(X) = A + δ F (x) =  (x − A ) 1 − e − δ x> A 

D(X) = δ2

Normální rozdělení N[µ;σ2] -∞ < x < ∞, -∞ < µ < ∞, σ2 > 0 E(X) = µ D(X) = σ2 x−µ x−µ F ( x) = Φ (u ) = Φ ( ) xP = µ + σ u P u=

σ

σ

 x − µ X − µ x2 − µ  ≤ ≤ = P (u1 ≤ U ≤ u2 ) = Φ (u2 ) − Φ (u1 ) P(x1 ≤ X ≤ x2 ) = P  1 σ σ   σ Normované normální rozdělení N[0;1] X −µ E(U) = 0 D(U) = 1 U=

σ

Φ (u ) = 1 − Φ (-u )

Φ (-u ) = 1 − Φ (u )

Logaritmicko-normální rozdělení lnX − µ U= ~ N[0;1]

σ

F ( x) = Φ (

ln x − µ

E(X)= e µ +σ

σ

)

2/2

LN[µ;σ2] x >0, -∞ < µ < ∞, σ2>0

xP = exp(µ + σ uP ) D(X)=

Rozdělení t (Studentovo)

2

(

2

)

e 2 µ +σ e σ − 1

µ = E(lnX) = ln(E(X))-σ2/2 Chí-kvadrát rozdělení χ2[ν]

uP = −u1− P

σ2 = D(lnX)= ln(

D( X ) + 1) (E (X )) 2

x>0

t[ν]

F - rozdělení (Fisherovo – Snedecorovo)

-∞ < x < ∞ F[ν1;ν2]

3

x > 0,

tP = - t1-P FP (ν 1 ,ν 2 ) =

1 F1− P (ν 2 ,ν 1 )

KSTP 2008 22.9.2008

Matematická statistika n

s'x =

∑ (x − x )

2

i

i =1

n −1

Odhady parametrů střední hodnota est µ = µˆ = x

est Nµ = N x

normální rozdělení a) σ2 známé σ σ   < µ < x + u1−α / 2 P x − u1−α / 2  = 1−α n n  σ σ     < µ  = 1−α P x − u1−α P µ < x + u1−α  = 1−α n n    b) σ2 neznámé s′ s′   t ~ t[n – 1] P x − t1−α / 2 x < µ < x + t1−α / 2 x  = 1 − α n n  s′ s′     P x − t1−α x < µ  = 1 − α P µ < x + t1−α x  = 1 − α n n    obecné rozdělení, σ2 neznámé, velký výběr (n > 30) s′ s′   P x − u1−α / 2 x < E ( X ) < x + u1−α / 2 x  = 1 − α n n  s′ s′     P x − u1−α x < E ( X )  = 1 − α P E ( X ) < x + u1−α x  = 1 − α n n    rozptyl σ2 (normální rozdělení)

est σ2= σˆ 2 = s′x2

Parametr π alternativního rozdělení (odhad relativní četnosti základního souboru) est π = πˆ = p est Nπ = Np  P p − u1−α / 2 

 P p − u1−α 

p (1 − p ) < π < p + u1−α / 2 n

p (1 − p )   = 1−α  n 

 P π < p + u1−α 

 p (1 − p ) < π  = 1 − α n 

4

p (1 − p )   = 1−α  n 

© KSTP 22.9.2008

matematická statistika Testování hypotéz Střední hodnota normálního rozdělení

H0 µ = µ0

H1 µ > µ0 µ < µ0 µ ≠ µ0

Testové kritérium σ2 známé x − µ0

U=

n

σ

U ~ N[0;1]

Kritický obor Wα={U ≥ u1-α} Wα={U ≤ -u1-α} Wα={|U| ≥ u1-α/2}

t ~ t[n – 1]

Wα={t ≥ t1-α} Wα={t ≤ -t1-α} Wα={|t| ≥ t1-α/2}

σ2 neznámé t=

x − µ0 s′x

n

Střední hodnota, obecné rozdělení, velký výběr

H0 E(X)= µ0

H1 Ε(X) > µ0 Ε(X) < µ0 Ε(X) ≠ µ0

Testové kritérium σ2 neznámé (n > 30)

x − µ0 s′x

U=

n

Kritický obor Wα={U ≥ u1-α} Wα={U ≤ -u1-α} Wα={|U| ≥ u1-α/2}

U ≈ N[0;1]

Rozptyl v normálním rozdělení H0 H1 Testové kritérium

σ2 = σ02

σ2 > σ02 σ2 < σ02 σ2 ≠ σ02

χ = 2

(n − 1)s′x 2

Kritický obor

Wα={χ2 ≥ χ21-α} Wα={χ2 ≤ χ2α} Wα={χ2 ≤ χ2α/2 ∪χ2 ≥ χ21-α/2}

χ ~ χ [n-1] 2

σ 02

2

Parametr π alternativního rozdělení (velké výběry)

H0 π = π0

H1 π > π0 π < π0 π ≠ π0

Testové kritérium p −π0 U= π 0 (1 − π 0 ) n

Kritický obor Wα={U ≥ u1-α} Wα={U ≤ -u1-α} Wα={|U| ≥ u1-α/2}

U ~ N[0;1]

Rovnost středních hodnot dvou rozdělení normální rozdělení (nezávislé náhodné výběry z normálního rozdělení)

H0 µ1 = µ2 µ1 - µ2 = 0

H1 µ1 > µ2 µ1 < µ2 µ1 ≠ µ2

Testové kritérium

Kritický obor Wα={U ≥ u1-α} Wα={U ≤ -u1-α} Wα={|U| ≥ u1-α/2}

a) σ1 , σ2 známé 2

U=

2

x1 − x 2

σ 12 n1

+

U ~ N[0;1]

σ 22 n2

σ12, σ22 neznámé, ale předpokládáme, že σ12 = σ22 x1 − x 2 t=  (n1 − 1) s1′ 2 + (n 2 − 1) s 2′ 2  1 1   +     n1 + n 2 − 2  n1 n 2  

Wα={t ≥ t1-α} Wα={t ≤ -t1-α} Wα={|t| ≥ t1-α/2}

t ~ t[n1 + n2 – 2]

5

KSTP 2008 22.9.2008

matematická statistika σ12, σ22 neznámé, ale předpokládáme, že σ12 ≠ σ22 x1 − x 2 t ~ t[ν] t= s1′ 2 s 2′ 2 + n1 n2 ν=

 s1′2 s2′2  +    n1 n2 

Wα={t ≥ t1-α} Wα={t ≤ -t1-α} Wα={|t| ≥ t1-α/2}

2

2

1  s1′2  1  s2′2    +   n1 + 1  n1  n2 + 1  n2 

2

−2

velké nezávislé výběry H0 µ1 = µ2 µ1 - µ2 = 0

H1 µ1 > µ2 µ1 < µ2 µ1 ≠ µ2

Testové kritérium σ1 , σ2 neznámé x1 − x 2 U= s1′ 2 s 2′ 2 + n1 n2 2

2

U ≈ N[0;1]

Kritický obor Wα={U ≥ u1-α} Wα={U ≤ -u1-α} Wα={|U| ≥ u1-α/2}

závislé výběry z normálního rozdělení (párový t-test) H0

H1

µ1 = µ2 µ1 - µ2 = 0

µ1 > µ2 µ1 < µ2 µ1 ≠ µ2

Testové kritérium d t ~ t[n–1] t= n s′d di = x1i – x2i, i=1,2,..,n

Kritický obor Wα={t ≥ t1-α} Wα={t ≤ -t1-α} Wα={|t| ≥ t1-α/2}

Rovnost rozptylů dvou normálních rozdělení

H0

σ1 = σ2 2

H1 2

σ1 > σ2 σ12 < σ22 σ12 ≠ σ22 2

2

Testové kritérium s′ 2 F= 1 2 F ~ F[n1 – 1; n2 – 1] s2′

Kritický obor Wα={F ≥ F1-α} Wα={F ≤ Fα} Wα={F ≤ Fα/2 ∪F ≥F1-α/2}

Chí-kvadrát test dobré shody

H0 a H1 H0: πi = π0,i i = 1, .., k H1: non H0

Testové kritérium k

G=∑ i =1

Kritický obor

( n i − nπ 0 , i )

nπ 0 , i

2

χ2 ≈ χ2[k-1]

Wα={χ2 ≥ χ21-α} nπ 0,i ≥ 5

6

KSTP 2008 22.9.2008

Analýza závislostí Kontingenční tabulka (r x s) r

s

ni . = ∑ nij

n. j = ∑ nij

j =1

H0 πij= πi. π.j 1≤i≤r 1≤j≤s

C=

nij' =

i =1

H1 non H0

ni . n . j n

nij' ≥ 5

Testové kritérium r

s

G= ∑ ∑

i =1 j =1

G n+G

G=n

(nij − n´ij ) 2

G ≈ χ2[(r - 1)(s - 1)]

n´ij

G , m = min (r,s) n(m − 1)

V =

Tabulka 2 x 2

Kritický obor Wα ={G ≥ χ21-α}

(n11n22 − n12 n21 ) 2 n1.n2.n.1n.2

Analýza rozptylu k

Sy = ∑ i =1

ni

∑ (yij − y)2 = Sy.m + Sy.ν j =1

P2 =

S y ,m

k

k

ni

S y.m = ∑ (yi − y ) 2 ni S y.ν = ∑∑ (yij − yi ) 2 i =1

i =1 j =1

P = P2

Sy

H0

H1 non H0

µ1 = µ2 = ..=µk

Testové kritérium

Kritický obor Wα={F ≥ F1-α}

S y .m F = k −1 S y .v

F ~ F[k – 1;n – k]

n−k

Regrese a korelace n

regresní přímka y = β0 + β1x + ε , Y=b0 + b1x

minimumb0 ,b1

∑ (y − b i =1

i

0

− b1 xi ) 2

n

sxy =

∑ (x − x) (y − y) i =1

b1 = byx =

i

i

n

= xy − x . y

n∑ yi xi − ∑ xi n∑

xi2

∑ yi = xy − x . y = sxy

− (∑ xi ) 2

x2 − x 2

s x2

yi ∑ xi2 − ∑ yi xi ∑ xi ∑ b0 = = y − byx x n∑ xi2 − (∑ xi ) 2

7

© KSTP 22.9.2008

analýza závislostí

Y = b0 + b1 x + b2 x 2

Jiné regresní funkce

Y = b0 + b1 x1 + b2 x2 + .. + bk xk

n

n

S y = ∑ (yi − y ) 2

ST = ∑ (Yi − y ) 2

i =1

s y2 =

i =1

Sy 1 n (yi − y ) 2 = ∑ n i =1 n n

n

i =1

i =1

sY2 =

S R = ∑ (yi − Yi ) 2 = ∑ ei2

1 n S (yi − Yi ) 2 = R ∑ n i =1 n

s(2y −Y ) =

s R2 =

SR n− p

s y2 = sY2 + s(2y −Y )

Sy = SR + ST sR =

1 n S (Yi − y ) 2 = T ∑ n i =1 n

SR = s R2 n− p

I yx2 = R 2 =

ST Sy

I yx = I yx2

2 2 I ADJ = RADJ = 1 − (1 − I yx2 )

n −1 n− p

Test hypotézy o regresních parametrech

H0 βi = 0

H1 βi ≠ 0

Test o modelu

H0

β0 = c β1 = 0

Testové kritérium bi s (bi )

t=

Kritický obor Wα={|t| ≥ t1-α/2}

t ~ t[n – p]

p=k+1

H1 non H0

Testové kritérium

Kritický obor Wα = {F ≥ F1-α}

ST p −1 F= SR n− p

...

βk = 0

F ~ F[p – 1; n – p]

korelační koeficient

ryx = rxy =

H0 ρyx = 0

n

n

n

i =1

i =1

i =1

n ∑ xi yi − ∑ xi ∑ yi n

n

i =1

i =1

n ∑ xi2 − ( ∑ xi ) 2

H1 ρyx ≠ 0

n

n

i =1

i =1

=

n ∑ yi2 − ( ∑ yi ) 2

xy − x y ( x 2 − x 2 )( y 2 − y 2 )

Testové kritérium t=

=

s xy sx s y

Kritický obor Wα={t ≥ t1-α/2}

ryx n − 2

t ~ t[n –2]

1 − ryx2

8

KSTP 2008 22.9.2008

Časové řady n

y=

∑ yt t =1

n

n −1 1 1 y1 + ∑ yt + yn 2 2 t =2 y= n −1

∆t = yt - yt-1 kt =

∆=

yt y t −1

y + y3 y + yn y1 + y 2 d1 + 2 d 2 + ... + n −1 d n −1 2 2 2 y= d1 + d 2 + ... + d n −1

y −y 1 n ∆t = n 1 ∑ n − 1 t =2 n −1 yn y1

k = n −1 k 2 k 3 ...k n = n −1

Klouzavé průměry p

∑

yt =

m = 2p + 1

yt =

m = 2p

i =− p

yt +i

m

=

yt − p + ... + yt −1 + yt + yt +1 + ... + yt + p

1 yt − p + 2 yt − p +1 + . + 2 yt −1 + 2 yt + 2 yt +1 + . + yt + p −1 + yt + p 2m

(

Dekompozice časové řady yt=Tt + St + Ct + εt yt=Tt St Ct εt Tt = β0 + β1t Tˆt = b0+b1t

Tt = β 0 t β1 MSE =

m

Tt = β0 + β1t + β2t2

lnTt= lnβ0 + β1 lnt

)

Tˆt = = b0 + b1t + b2t2

ln(Tˆt ) = lnb0 + b1 lnt

1 n ( y t −Tt ) 2 ∑ n t =1

Analýza sezónní složky 1. Metoda empirických indexů (délka sezónnosti r)

sezónní indext =

y t klouzavé průměry délky r (například r = 4)

průměrný sezónní indexi =

∑

t z i − té sezóny

sezonní index t

počet hodnot z i − té sezóny

standardizovaný sezónní index =

yt yt

i = 1, 2, ., r (např.r =4)

r r

∑ průměrný sezonní index j

. průměrný sezonní index i

j =1

2. Regresní metoda s umělými proměnnými (lineární trend, sezónnost délky 4) yt = Tt + St + εt = β0 + β1t + α1x1t + α2 x2t + α3 x3t + εt a +a +a Si + 4 j = ai − a i=1,2,3 S 4 + 4 j = −a Tˆt = (b0 + a) + b1t a= 1 2 3 4

9

© KSTP 22.9.2008

Indexní analýza I t /1 =

yt = I 2 /1 I 3/ 2 ... I t / t −1 y1

I t / t −1 =

yt I = t /1 yt −1 I t −1/1

Q = pq Ip =

p1 p0

∆ p = p1 − p0

I (Σq) =

∑ q = ∑ Iq.q ∑q ∑q

=

∑Q = ∑ p q ∑Q ∑ p q

=

1

0

0

I (ΣQ) =

Iq =

1 1

0

0 0

∑ Q1 p ∑ q1 = Ip= 1 = p0 ∑ Q0 ∑ q0

∆q = q1 − q0

∑q q ∑ Iq ∑ IQ.Q ∑Q

0

=

∑Q Q ∑ IQ

Q1 Q0

∆Q = Q1 − Q0

∆(ΣQ) = ∑ Q1 − ∑ Q0

1

1

0

∑ p1q1 ∑ q1 = ∑ p0 q0 ∑ q0

IQ =

∆(Σq ) = ∑ q1 − ∑ q 0

1 1

0

1

q1 q0

∑Q Q ∑p ∑Q Q ∑p

1 1

∆ p = p1 − p0 = ∑

1

p1q1

∑q

0

−

1

∑pq ∑q

0 0 0

0

0

Ip ( L ) =

∑ ∑

Ip ( F ) =

Iq ( L ) =

p1q0 p0 q0

=

∑ Ip. p q ∑ pq

0 0

0 0

=

∑ Ip.Q ∑Q

Ip ( P ) =

0

0

∑pq = ∑pq ∑p q ∑ pq Ip 1 1

1 1

0 1

1 1

=

∑Q Q ∑ Ip 1 1

Ip ( L ) . Ip ( P )

∑ ∑

p0 q1 p0 q0

Iq ( F ) = Ip ( L )

I (ΣQ) =

=

∑ Iq. p q ∑pq

0 0

0 0

=

∑ Iq.Q ∑Q

Iq ( P ) =

0

0

∑ ∑

p1q1 p1q0

=

∑pq pq ∑ Iq

1 1 1 1

=

∑Q Q ∑ Iq 1 1

Iq ( P )

∑Q = ∑ p q ∑Q ∑ p q 1

1 1

0

0 0

=

∑ IQ.Q ∑Q

0

0

=

∑Q Q ∑ IQ

∆(ΣQ) = ∑ p1 q1 − ∑ p 0 q 0

1

1

10

© KSTP 22.9.2008