UITWERKING TOELICHTING OP DE ANTWOORDEN VAN HET EXAMEN 2002-I VAK:
WISKUNDE A1,2
NIVEAU:
VWO
EXAMEN:
2002-I
De uitgever heeft ernaar gestreefd de auteursrechten te regelen volgens de wettelijke bepalingen. Degenen die desondanks menen zekere rechten te kunnen doen gelden, kunnen zich alsnog tot de uitgever wenden.
ThiemeMeulenhoff is een educatieve uitgeverij waarin alle fondsen van de voormalige uitgeverijen Meulenhoff Educatief, SMD Educatieve Uitgevers en uitgeverij Thieme zijn samengevoegd. De uitgaven die ThiemeMeulenhoff ontwikkelt, richten zich op het totale onderwijsveld: basisonderwijs, voortgezet onderwijs, beroepsonderwijs & volwasseneneducatie en hoger onderwijs. www.thiememeulenhoff.nl
© ThiemeMeulenhoff, Utrecht/Zutphen, 2002 Alle rechten voorbehouden. Niets uit deze uitgave mag worden verveelvoudigd, opgeslagen in een geautomatiseerd gegevensbestand, of openbaar gemaakt, in enige vorm of op enige wijze, hetzij elektronisch, mechanisch, door fotokopieën, opnamen, of enig andere manier, zonder voorafgaande schriftelijke toestemming van de uitgever. Voorzover het maken van kopieën uit deze uitgave is toegestaan op grond van artikel 16B Auteurswet 1912 j° het Besluit van 20 juni 1974, Stb. 351, zoals gewijzigd bij het Besluit van 23 augustus 1985, Stb. 471 en artikel 17 Auteurswet 1912, dient men de daarvoor wettelijk verschuldigde vergoedingen te voldoen aan Stichting Reprorecht (Postbus 3060, 2130 KB Hoofddorp). Voor het overnemen van gedeelte(n) uit deze uitgave in bloemlezingen, readers en andere compilatiewerken (artikel 16 Auteurswet 1912) dient men zich tot de uitgever te wenden.
2 0 0 2 - I (A 1 , 2 )
Vogels die voedsel zoeken 1 Het stilstaan duurt telkens 5 seconden (de verticale lijntjes). Tussen twee stops legt de vogel telkens 15 cm af. Tussen twee stops loopt de vogel 15 cm in 2,5 seconden, dus 6 cm per seconde.
seconden
2 Het stilstaan duurt telkens 180 : 24 = 7,5 seconden. Tussen twee stops legt de vogel telkens 480 : 24 = 20 cm af. De vogel loopt tijdens de observatie gedurende 420 – 180 = 240 seconden, dus tussen twee stops loopt de vogel met snelheid 480 : 240 = 2 cm per seconde. Deze gegevens leveren de volgende grafiek: 50 40 30 20 10 0
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
110
120
centimeters
3 Eerst tabel 1 uitbreiden: hoogte in meters
<1,5
1,5–3
3–5
5–7
7–10
aantal waarnemingen
24
26
cumulatief aantal waarnemingen
24
50
cum. aantal waarnemingen in %
6
12,5
25,25
10–15
>15
51
72
122
92
13
101
173
295
387
400
43,25
73,75
96,75
100
De percentages in de onderste rij kunnen nu op normaal waarschijnlijkheidspapier worden aangegeven boven de rechterklassengrenzen. De grafiek staat op de volgende pagina. De getekende punten liggen vrijwel op een rechte lijn dus de waargenomen hoogtes zijn bij benadering normaal verdeeld. Bij 50% kan nu het gemiddelde µ worden afgelezen: µ ≈ 7,6 m. Bij 16% (µ – σ) hoort een hoogte van 3,6 m dus de standaardafwijking σ is 4,0 m. 4 Boomklevers (m = 10 en s = 4) normalcdf(6, 8, 10, 4) = 0,1499
6
8 10
Glanskoppen (m = 4,5 en s = 1,5) normalcdf(6, 8, 4.5, 1.5) = 0,1488 4,5 6
8
De relatieve frequenties zijn vrijwel even groot (14,99% en 14,88%). 1
2 0 0 2 - I (A 1 , 2 )
Dit is de grafiek van vraag 3
99,99 99,95 99,9 99,8 99,5 99 98 95 90 80 70 60 50 40 30 20
10 5 2 1 0,5 0,2 0,1 0,05 0,01 0
2
4
3,6
2
6
8
7,6
10
12
14
16
18
20 hoogte in meters
2 0 0 2 - I (A 1 , 2 )
Energiebronnen 5 Als hout 50% van het totale energieverbruik levert, dan is f = 0,5 en dus
100
0 ,5 f = = 1. 1−f 1 − 0 ,5
10-1
Nu in de grafiek aflezen wanneer hout de 0 hoogte 1 bereikt (kijken bij 10 = 1). Dit was ongeveer in 1877.
6 De afgeleide van de functie y = y' =
(1 − f ) ⋅ 1 − f ⋅ ( −1) (1 − f )
2
=
10-2 1850
1900
1950
f kan bepaald worden met de quotiëntregel. 1−f
1−f +f (1 − f )
hout
1
=
2
(1 − f )
(voor f = 1 bestaat y' niet)
2
Deze laatste breuk is altijd positief als f toeneemt van 0 tot 1, want de teller is altijd positief (+1) en de noemer is een kwadraat dus ook altijd positief. Als de afgeleide van
f steeds positief is, dan stijgt f voortdurend. 1−f
7 Gegeven is de formule
f hout 1 − f hout
= 3,03 · 0,96
t
⇒
t
f hout = 3,03 · 0,96 · (1 – f hout ) ⇒ t
t
⇒
f hout = 3,03 · 0,96 – 3,03 · 0,96 · f hout t
f hout + 3,03 · 0,96 · f hout = 3,03 · 0,96 t
(1 + 3,03 · 0,96 ) · f hout = 3,03 · 0,96 f hout =
3 , 03 ⋅ 0 , 96
t
t
⇒ ⇒
t
1 + 3 , 03 ⋅ 0 , 96
t
8 Olie en gas leveren samen 25% ⇒ f olie + f gas = 0,25 ⇒ 0 , 0023 ⋅ 1, 05
t
1 + 0 , 0023 ⋅ 1, 05
+
t
0 , 0008 ⋅ 1, 05
t
1 + 0 , 0008 ⋅ 1, 05
Voer in de rekenmachine in y1 =
t
0 , 0023 ⋅ 1, 05
t
1 + 0 , 0023 ⋅ 1, 05
0,30
y
2
0,25
y1
O
= 0,25
100
t
+
0 , 0008 ⋅ 1, 05
t
1 + 0 , 0008 ⋅ 1, 05
t
en y2 = 0,25.
De rekenmachine kan met behulp van intersect uitrekenen voor welke waarde van x deze twee functies elkaar snijden. Dit snijpunt ligt bij x ≈ 93,3. De jaren worden gerekend vanaf 1 januari 1850, dus in 1943 leverden olie en gas samen 25% van het totale energieverbruik
3
2 0 0 2 - I (A 1 , 2 )
9 In figuur 3 stelt elke rechthoek het gasverbruik in een periode van 20 jaar voor. Elke rechthoek is tweemaal zo groot als die van de voorgaande periode, dus het gasverbruik verdubbelt elke 20 jaar. 1
De groeifactor per 20 jaar is 2 ⇒ de groeifactor per jaar is 2 20 ≈ 1,035 ⇒ de stijging van het gasverbruik per jaar is 3,5%. Jongen of meisje 10
Gemengde gezinnen met 2 kinderen: 20,9%. Gemengde gezinnen met 3 kinderen: 7,3 + 6,3 = 13,6%. Gemengde gezinnen met 4 of meer kinderen: 8 – 0,5 – 0,5 = 7%. Gemengde gezinnen totaal: 41,5%
11
15,2 % van alle vrouwen krijgt precies één kind. 18,5 % van alle vrouwen krijgt geen kinderen, dus 81,5% van alle vrouwen krijgt minstens één kind. Van de vrouwen met minstens één kind, krijgt
15 , 2 ⋅ 100 = 18,6503% precies één kind. 81, 5
Afgerond 18,7%. 12
X telt het aantal jongens bij 900 geboortes. Dan is X binomiaal verdeeld met n = 900 en kans p op een jongen. De nulhypothese is H0 : p = 0,51, de alternatieve hypothese is H1 : p < 0,51. De overschrijdingskans van 412 bij p = 0,51 = P(X ≤ 412) = –4 binomcdf(900, 0.51, 412) = 9,6 · 10 = 0,00096 < 0,01. De waarneming 412 is dus significant en H 0 wordt verworpen: in de beschreven situatie is de kans op een jongen kleiner dan 0,51. Lentevoordeelweken In deze opgave worden de volgende afkortingen gebruikt: K = kievitsei, L = lammetje, N = narcis en V = vogelverschrikker.
13
Uit de gegevens volgen de kansen P(K) = 0,1 en P(L) = P(N) = P(V) = 0,3 . P(klant wint tegoedbon) = P(2 gelijke afbeeldingen) = 2 2 2 2 P(KK) + P(LL) + P(NN) + P(VV) = 0,1 + 0,3 + 0,3 + 0,3 = 0,28
14
Gegeven zijn de kansen: P(K) = k en P(L) = P(N) = P(V) = 1 − 1 k . 3
3
P(tegoedbon met twee krasloten) = P(2 gelijke afbeeldingen) = 2
2 2 2 P(KK) + P(LL) + P(NN) + P(VV) = k + 3 · 1 − 1 k = k + 3 ⋅ 1 − 2 k + 1 k = 9 9 3 3 9 2 3 6 3 2 1 2 2 1 dus de gegeven formule is juist. k + − k + k = 1 k − k +
9
15
9
9
3
3
1 3
Zet in de rekenmachine y1 = 1 x
3
2
−
2 x 3
+
1 . 3
Een schets van de grafiek op het domein [0, 1] staat hiernaast afgebeeld. De functie minimum op de rekenmachine berekent de coördinaten van het laagste punt: (0,25; 0,25). Conclusie: de kans op een tegoedbon is minstens 0,25 en dit gebeurt als k = 0,25. 4
1
0 0
1
2 0 0 2 - I (A 1 , 2 )
16
De vier afbeeldingen zijn in gelijke mate verdeeld over de krasloten ⇒ P(K) = P(L) = P(N) = P(V) = 0,25 P(tegoedbon met drie krasloten) = P(ten minste 2 keer V) = P(2 keer V en 1 andere afbeelding) + P(3 keer V) = 2 3 3 · 0,25 · 0,75 + 0,25 = 0,15625. Aardbeien
17
a
Als c = 1 en d = 10 wordt de aanbodvergelijking Q t = P t −1 + 10. a
De prijs P0 = 4 leidt tot een aanbod Q 1 = 4 + 10 = 14. v
Ten gevolge van de evenwichtsvergelijking is ook Q 1 = 14 en hieruit volgt –2P1 + 40 = 14 ⇒ –2P1 = –26 ⇒ P1 = 13. a
De prijs P1 = 13 leidt tot een aanbod Q 2 = 13 + 10 = 23. v
Ten gevolge van de evenwichtsvergelijking is ook Q 2 = 23 en hieruit volgt –2P2 + 40 = 23 ⇒ –2P2 = –17 ⇒ P2 = 8,5. 18
Toelichting: start bij P0 op de a
horizontale as, omhoog naar Q , dan naar rechts naar Q
v
Qa en Qv
Qv
en hierbij P1
Qa
a
aflezen; omhoog naar Q en vandaar naar links naar Q
v
en hierbij P2 a
aflezen; omlaag naar Q en vandaar naar rechts naar Q aflezen. 19
v
en hierbij P3 O
P0
P2
P3
P1
P
In de evenwichtsstand geldt P t = P t −1 en nu kan uit de evenwichtsvergelijking de evenwichtsprijs berekend worden. a
v
Qt = Qt
⇒ P + 10 = –2P + 40 ⇒ 3P = 30 ⇒ P = 10 a
v
a
De evenwichtsprijs invullen in Q ( of in Q ) : Q = 10 + 10 = 20. De evenwichtsprijs is 10 euro en de evenwichtshoeveelheid is 20 miljoen kg. 20
a
Als de prijs P = 6 leidt tot een aanbod van Q = c · P + d = 13 dan moet gelden 13 = 6c + d ⇒ d = 13 – 6c a a Q kan dan worden herleid tot Q = c · P + 13 – 6c De evenwichtsprijs volgt (zie ook vraag 19) uit de evenwichtsvergelijking: a
Q =Q
v
⇒ c · P + 13 – 6c = –2P + 40
Omdat de evenwichtsprijs (P = 12) al bekend is, kan uit deze laatste vergelijking c berekend worden. 12c + 13 – 6c = –2 · 12 + 40 ⇒ 6c = 3 ⇒ c = 0,5 a
Deze waarde van c in de aanbodvergelijking Q t = c · P t −1 + 13 – 6c invullen: a
Q t = 0,5 P t −1 + 10 is de nieuwe aanbodvergelijking.
5
