TERMOMECHANIKA 16. Přenos tepla vedením

FSI VUT v Brně, Energetický ústav Odbor termomechaniky a techniky prostředí prof. Ing. Milan Pavelek, CSc.

TERMOMECHANIKA 16. Přenos tepla vedením OSNOVA 16. KAPITOLY ● Diferenciální rovnice vedení tepla ● Počáteční a okrajové podmínky ● Metody řešení úloh vedení tepla ● Exaktní řešení DR vedení tepla ● Analogie při řešení DR vedení tepla ● Vizualizace teplotních polí při vedení tepla

Vedení tepla v rameni kovacího lisu 1

DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE VEDENÍ TEPLA - 1 Odvození diferenciální rovnice (DR) vedení tepla: A) KARTÉZSKÝ SOUŘADNICOVÝ SYSTÉM TEPLO Teplo [J] do elementu přivedené

Q*

z

dQz+dz

-3

[Wm ]

dQx

dQ x  dQ y  dQ z Teplo [J] z elementu odvedené

dQy

dQy+dy

dQ x d x  dQ y d y  dQ z d z kde

y

x dQx+dx dQz

 T  dQ x    λ   dy  dz   d τ x    dQ x dx dQ x dx  dQ x  x

Element dV = dx.dy.dz Teplo [J], které zůstane v elementu v důsledku vedení ve směru x

dQ x  dQ x dx

   T dQ x dx   λ x x  x

  dx dy dz d τ 

2

DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE VEDENÍ TEPLA - 2 Teplo [J], které zůstane v elementu v důsledku vedení ve směru y

dQ y  dQ y dy

   T dQ y dy   λ y  y  y

  dx dy dz d τ 

Teplo [J], které zůstane v elementu v důsledku vedení ve směru z

dQ z  dQ z dz

   T  dQ z dz   λ  dx dy dz dτ z  z  z 

CELKOVÉ TEPLO [J], které zůstane v elementu dV v důsledku vedení

   T    T  λ dQ1    λ   x  x  y  y

   T   λ  z  z

TEPLO [J], které zůstane v elementu dV  * [W.m-3] v důsledku vnitřních zdrojů Q

  dx dy dz dτ 

dQ 2  Q * dx dy dz d τ

ZVÝŠENÍ VNITŘNÍ ENERGIE / ENTALPIE [J] elementu dV za dobu d

dT dU  m  c v  dT  ρ  c v  dx dy dz d τ dτ

3

DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE VEDENÍ TEPLA - 3 I. zákon termodynamiky

dQ  dU  dA  dU  0  dQ  dU dQ1  dQ 2  dU

Po dosazení za dQ1, dQ2, dU, pokrácení dx.dy.dz.d a pro cv = c bude

 T  λ  y kde  = f (x, y, z, T)  x

 T λ  x

    y

   T   dT   λ   Q*  c  ρ  dτ  z  z   = f (x, y, z, T) c = f (x, y, z, T)

Pro , c,  nezávislé na T a pro izotropní látky dostaneme OBECNOU DR VEDENÍ TEPLA - I. zákon termodynamiky

  2T  2T  2T  Q * dT  a  2  2  2   dτ y z  c  ρ  x

Platí pro homogenní tuhé látky s vnitřními zdroji (i tekutiny)

a [m2s-1] je teplotová vodivost a platí definice

λ a c ρ

4

DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE VEDENÍ TEPLA - 4 dT je totální diferenciál, T = f (x, y, z,  ), a proto platí

T T T T dT  dτ  dx  dy  dz τ x y z dT T T T T kde wx, wy, wz jsou složky   wx  wy  wz rychlostí elementu (tekutiny) d τ τ x y z Pro tuhá tělesa wx = wy = wz = 0. Obecná DR vedení tepla přejde do tvaru FOURIEROVY DR VEDENÍ TEPLA

  2T  2T  2T  T  a  2  2  2  τ y z   x

Platí pro tuhé homogenní látky bez vnitřních zdrojů

Fourierova DR vedení tepla je I. zákon termodynamiky pro vedení tepla, nebo také energetická rovnice pro vedení tepla Řešením DR vedení tepla je T = f (x, y, z,

)

5

DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE VEDENÍ TEPLA - 5 B) CYLINDRICKÝ SOUŘADNICOVÝ SYSTÉM Fourierova DR vedení tepla - pro tuhé homogenní látky bez vnitřních zdrojů

  2T 1 T T 1  2T  2T   a  2   2  2  2 τ r r r  z   r Řešením je T = f (r,

, z,  )

z



r

C) SFÉRICKÝ SOUŘADNICOVÝ SYSTÉM Fourierova DR vedení tepla - pro tuhé homogenní látky bez vnitř. zdrojů

  2T 2 T T 1   a  2   2 τ r r r sin Ψ Ψ  r Řešením je T = f (r, ,,  )

 T  sin Ψ  ψ 

 1  2T     2 2 2   r sin Ψ   6

POČÁTEČNÍ A OKRAJOVÉ PODMÍNKY - 1 ● Řešením DR přímých úloh je rozložení teplot v prostoru a čase za pomocí počátečních (u nestacionárních úloh) a okrajových podmínek. ● Řešením DR nepřímých úloh je určení okrajových podmínek (OP) ze známého rozložení teplot v různých časových úrovních.

POČÁTEČNÍ PODMÍNKA ● Určuje rozložení teplot na počátku děje pro  = 0. Často se používá To = konst

T x, y, z, τ  0   f x, y, z 

OKRAJOVÉ PODMÍNKY ● OP 1. druhu, Dirichletova - Určuje rozložení teplot na povrchu tělesa (index w), a to v čase. Tw  f x w , y w , z w , τ Často se používá Tw = konst





● OP 2. druhu, Neumannova - Určuje rozložení hustot tepelného toku na povrchu tělesa v čase. qw  f x w , y w , z w , τ Často se používá qw  konst





7

POČÁTEČNÍ A OKRAJOVÉ PODMÍNKY - 2 ● OP 3. druhu, Newtonova - Určuje rozložení součinitelů přestupu tepla na povrchu tělesa (a teploty okolí T) v čase. α  f xw , yw , zw , τ Často se používá  = konst



Rozdíly mezi OP 2. druhu a 3. druhu ● U podmínky 2. druhu qw  konst má čárkovaná tečna stále stejný sklon

T Tw R T

/



y

● U podmínky 3. druhu  = konst prochází čárkovaná tečna řídicím bodem R, viz důkaz:

 T  y

- λ 

 T -   y

   α Tw - T   w

 Tw - T    λα w

8

POČÁTEČNÍ A OKRAJOVÉ PODMÍNKY - 3 ● OP 4. druhu - Ve styku dvou těles b) Nedokonalý styk těles a) Dokonalý styk těles

 T 1    - λ2 - λ1   y w

 T 2     y w

1  Tw 1 Tw 2  qw  RK RK [m2.K.W-1]

Tw1

Tw1 = Tw2 Tw2

1

2

1

2

kontaktní tepelný odpor Závisí na drsnosti, materiálu, tlaku mezi tělesy a druhu plynu v kontaktu. RK bývá tabelován

● OP 5. druhu - S fázovou přeměnou látky na povrchu 9

METODY ŘEŠENÍ ÚLOH VEDENÍ TEPLA ROZLIŠUJE METODY: ● Exaktní řešení DR vedení tepla (pro jednoduché úlohy) ● Analogové metody řešení DR vedení tepla (pro složitější úlohy, skládáním jednoduchých úloh) ● Přibližné řešení DR vedení tepla (předpoklad teplotních profilů Numerické řešení teplotního ve tvaru polynomu, splinu, …) pole při kontinuálním lití ● Numerické řešení DR vedení tepla doc. Štětina (i složité úlohy, aplikace počítačů) ● Grafické řešení DR vedení tepla (pro jednoduché úlohy, nepřesné) ● Experimentální řešení vedení tepla (přesné, složité, drahé) ● Teorie podobnosti pro řešení DR vedení tepla (nutná znalost podobného řešení vyjádřeného pomocí Biotova, Fourierova čísla …) ● Kapacitní metoda řešení DR vedení tepla (založená na tepelné bilanci, vhodná pro malé objekty) … aj. 10

EXAKTNÍ ŘEŠENÍ DR VEDENÍ TEPLA - 1 STACIONÁRNÍ VEDENÍ TEPLA ROVINNOU STĚNOU NEBO TYČÍ

Vyjdeme z DR vedení tepla v kartézském souřadném systému

Tw1 Tw2

Tw1 0

h

  2T  2T  2T  T  a  2  2  2  τ y z   x

Q

Pro stacionární 1-D vedení platí:

Tw2

Řešení této DR je přímka

x

d 2T 0 2 dx T  a 0  a 1x

kde konstanty a0, a1 získáme z OP.

Pro okrajové podmínky 1. druhu

dostaneme teplotní profil ve tvaru

x  0  T TW 1 x  h  T TW 2 Tw 2 Tw 1 T Tw 1  x h

11

EXAKTNÍ ŘEŠENÍ DR VEDENÍ TEPLA - 2 Derivací uvedeného teplotního profilu dle souřadnice x dostaneme

Tw 2 Tw 1 T Tw 1  x h

Tw1 Tw2 Q Tw1 0

Tw2 h

x

Pro tepelný tok platí

Tw 2 Tw 1  Q   λ S  h

dT Tw 2 Tw 1   dx h Q  - λ  S  d T dx

T T q   λ  w 2 w 1 h

Kratší odvození tepelného toku lze provést přímo z Fourierova zákona, kam dosadíme za dT a dx a dostaneme:

dT TW 2 TW 1 TW 2 TW 1  Q  - λ S   - λ S   - λ S  dx x 2  x1 h Při tomto kratším odvození tepelného toku nezískáme bezprostředně informaci, že teplotní profil je přímka.

12

EXAKTNÍ ŘEŠENÍ DR VEDENÍ TEPLA - 3 STACIONÁRNÍ VEDENÍ TEPLA VÁLCOVOU STĚNOU Vyjdeme z DR vedení tepla v cylindrickém z souřadném systému

Tw1 r1 r2

Tw2 L

  2T 1 T T 1  2T  2T   a  2   2  2  2 τ r r r  z   r d 2T 1 dT Pro stacionární  0 2 1-D vedení platí:

q

Po substituci

r

u = dT/dr bude:

Dále provedeme integraci, dosadíme za u a dostaneme: Teplotní profil má tvar logaritmické křivky

dr r dr du 1  u 0 dr r r du  u dr  d u r   0 dT u r  a1 r  a1 dr T  a 0  a 1 ln r

13

EXAKTNÍ ŘEŠENÍ DR VEDENÍ TEPLA - 4 Konstanty a0, a1 logaritmického teplotního profilu získáme z OP. Pro OP 1. druhu platí:

z Tw1 r1 r2

Tw2 L q r

Pro tepelný tok platí a po úpravách

r  r 1  TW 1  a 0  a 1 ln r 1 r  r 2  TW 2  a 0  a 1 ln r 2

Po výpočtu konstant a0, a1 bude mít teplotní profil tvar

Tw 2 Tw 1 Tw 2 Tw 1 T Tw 1  ln r 1  ln r ln r 2 r 1  ln r 2 r 1 

dT 1 Tw 2 Tw 1  dr r ln r 2 r 1  dT Tw 2 Tw 1  Q  λ S    λ  2 π  r  L  dr r ln r 2 r 1  2 π  λ  L  Tw 1 Tw 2   Q ln r 2 r 1  Derivace teplotního profilu dle r bude

14

EXAKTNÍ ŘEŠENÍ DR VEDENÍ TEPLA - 5 Hustota tepelného toku je na vnitřním a vnějším povrchu trubky různá (viz obrázek), a proto definujeme

z

Tw1 r1 r2

tepelný tok na 1 m délky trubky Q [W.m-1]

Tw2 L

Q 2 π  λ  Tw 1 Tw 2   QL   L ln r 2 r1 

L

Kratší odvození tepelného toku lze provést přímo z Fourierova zákona

q r 2

dT dT  Q  - λ  S r    - λ  2 π  r  L dr dr

DR řešíme separací proměnných a dostaneme:

2 dr  Q 1 r  - 1 λ  2 π  L  dT 2 π  λ  L Tw 1 Tw 2   Q ln r 2 r1 

r2   Q  ln   λ  2 π  L Tw 2 Tw 1  r1

Při tomto odvození nezískáme informaci o tvaru teplotního profilu.

15

ANALOGIE PŘI ŘEŠENÍ DR VEDENÍ TEPLA - 1 Mezi veličinami tepelnými a elektrickými existuje analogie, která nám můžeme pomoci při řešení úloh vedení tepla. Pro vedení tepla platí Fourierův zákon

ΔT  q  λ h

Je zřejmé, že: ● Elektrický proud je analogický hustotě tepelného toku ● Napětí či rozdíl napětí je analogický rozdílu teplot ● Elektrický odpor R je analogický tepelnému odporu R = h /  Poznatky z řešení elektrických obvodů můžeme využít při řešení složitějších úloh vedení tepla, a to skládáním jednodušších exaktních řešení DR

Pro elektrické obvody platí Ohmův zákon

U I  R

Zapojení sériové R1 U0

R2 U1

I

R3 U2

U3

Zapojení paralelní

U0

R1 R2 R3

I U1 16

ANALOGIE PŘI ŘEŠENÍ DR VEDENÍ TEPLA - 2 STACIONÁRNÍ VEDENÍ TEPLA SLOŽENOU ROVINNOU STĚNOU

Tw1

Tw2 Tw3 h1 h2

0 Tw1

Tw2 R1

x Tw3

R2 q

Hustota tepelného toku jednoduchou rovinnou stěnou je dána vztahem

Tw 1 Tw 2 Tw 1 Tw 2  q  h1 R λ1 λ1

Hustota tepelného toku složenou rovinnou stěnou s n vrstvami (tepelné odpory jsou řazeny sériově) je dána vztahem

q 

Tw 1 Tw , n1 Tw 1 Tw , n1  n n hi R λi   i 1 λi i 1

Tepelný odpor při vedení rovinnou stěnou

Ri [K.m2.W-1] je dán vztahem

hi R λi  λi

17

ANALOGIE PŘI ŘEŠENÍ DR VEDENÍ TEPLA - 3 STACIONÁRNÍ VEDENÍ TEPLA SLOŽENOU VÁLCOVOU STĚNOU Tepelný tok jednoduchou válcovou stěnou na ; 1 m délky potrubí je dán vztahem

Tw1 r1 r2 r3

0 Tw1

Tw2

Tw3 r

Tw2 R1

Tw3 R2 QL

2π  λ1 Tw 1 Tw 2  Tw 1 Tw 2  QL   r2 1 r2 ln ln r1 2π  λ1 r 1

Tepelný tok složenou válcovou stěnou na 1 m délky potrubí (tepelné odpory jsou řazeny sériově) je dán vztahem

QL 

Tw 1 Tw , n1 Tw 1 Tw , n1  n n 1 r i 1 ln R λi   ri i 1 2π  λi i 1

Tepelný odpor při vedení válcovou stěnou

Ri [K.m.W-1] je dán vztahem

1 r i 1 R λi  ln 2π  λi ri

18

VIZUALIZACE TEPLOTNÍCH POLÍ PŘI VEDENÍ TEPLA - 1 Termovizní měření dynamických teplotních polí na povrchu kleští manipulátoru kovacího lisu šířící se vedením z výkovku.

Sestava kovacího lisu při kování

Termogram kleští při kování

Kleště manipulátoru s výkovkem

Termogram kleští po kování

19

VIZUALIZACE TEPLOTNÍCH POLÍ PŘI VEDENÍ TEPLA - 2 Vedení tepla umožňuje s využitím termovizní kamery identifikovat činnost a skryté závady různých zařízení.

Termogram soustavy kompresorů chladicího zařízení

Termogram holicího strojku s vadným kontaktem 20

VIZUALIZACE TEPLOTNÍCH POLÍ PŘI VEDENÍ TEPLA - 3 Aplikace termovizní kamery v chemickém průmyslu umožňuje díky vedení tepla efektivně, bezdotykově a na dálku zjišťovat stav a činnost různých zařízení. Zdroj: InfraTec

Identifikace výšky hladiny v zásobníku

Detekce aktivního potrubí s rozvodem přehřáté páry 21

VIZUALIZACE TEPLOTNÍCH POLÍ PŘI VEDENÍ TEPLA - 4 Příklady termogramů monitorujících činnost transformátoru, kde vedení tepla stěnou identifikuje výšku hladiny oleje a tepelný stav zařízení. Zdroj: InfraTec

Termogram teplotního pole transformátoru při optimálních pracovních podmínkách

Termogram transformátoru při nízké hladině oleje - žebra jsou chladná, zařízení se přehřívá 22