TERMOMECHANIKA 11. Termodynamika proudění

FSI VUT v Brně, Energetický ústav Odbor termomechaniky a techniky prostředí prof. Ing. Milan Pavelek, CSc.

TERMOMECHANIKA 11. Termodynamika proudění OSNOVA 11. KAPITOLY ● 1-rozměrné adiabatické proudění ● Rovnice kontinuity ● Rovnice pohybová ● Dynamické rychlostní sondy ● Rovnice energetická ● Celkové parametry proudu ● Zužující se dýza ● Rychlost zvuku ● Výpočet zužující se dýzy ● Lavalova dýza

Měření proudění ● Výpočet Lavalovy dýzy ● Chování Lavalovy dýzy ● Vliv protitlaku na proudění dýzami ● Vizualizace proudění 1

1-ROZMĚRNÉ ADIABATICKÉ PROUDĚNÍ Proudění plynů a par  v potrubích  ve zužujících se dýzách  v Lavalových dýzách vyskytujících se v lopatkových strojích apod. lze považovat za jednorozměrné. Pak nás zajímají jen střední rychlosti proudění v průtokových průřezech.

Zdroj: Badcock Glasgow

V této kapitole se zaměříme na proudění bez přenosu tepla, které řešíme jako adiabatickou expanzi.

Potrubí vzduchotechniky

Řešení vychází ze tří rovnic: ● Rovnice kontinuity ● Rovnice pohybové ● Rovnice energetické

2

ROVNICE KONTINUITY Rozlišujeme proudění ● Laminární Rychlostní ● Turbulentní profily v kanále Laminární

Turbulentní

Dynamická mezní vrstva w

Zdroj: Badcock Glasgow

Přechodná Laminární

Turbulentní

w w Laminární podvrstva

x

O laminárním či turbulentním proudění rozhoduje Reynoldsovo číslo. [kg.s-1] hmotnostní tok  Rovnice kontinuity m A w  m  konst w [m.s-1] střední rychlost pro stlačitelné v A [m2] průřez tekutiny 3

ROVNICE POHYBOVÁ z

A + dA

A

p+dp w+dw

p w x

dx x

Výsledná síla způsobí zrychlení dw/d

w = f (x,) Po dosazení bude: Rovnice pohybová pro 1D proudění



Síly doprava jsou kladné, doleva záporné

Výsledná síla je dána součtem všech sil: Síly na element

Síly na válcový povrch

pA  p  dp A  dA   p  dp/ 2 dA  dpdA  pApAdpApdAdpdApdA 2 Výsledná síla je:  Adp dw dw stacionární  Adp  dm  ρAdx  dτ dτ dw w w w w  w dw  dx  dτ dτ x τ x τ 1 dw  Adp  Adx  w v dx  w 2  Bernoulliho rovnice pro  v  dp  d   2  stlačitelné tekutiny

4

DYNAMICKÉ RYCHLOSTNÍ SONDY - 1 Bernoulliho rovnici pro stlačitelné tekutiny integrujeme za konstantního objemu

p1  p 2   w 22  w 12 w 2    vdp   d  ρST Ř 2 1 1  2   Bernoulliho rovnice pro nestlačitelné tekutiny 2

p1 

2

w 12 2

ρ ST Ř  p 2 

ps  pd  pc

w 22 2

ρ ST Ř

Zdroj: Universum

Tlak statický + tlak dynamický = tlak celkový Rychlostní sondy w < 0,3 rychlosti zvuku

h Pitotova trubice

M

pd ρM g h Prandtlova trubice

pd  pc  ps p d  ρST Ř w 2 / 2 w 

2pd

ρ ST Ř

5

DYNAMICKÉ RYCHLOSTNÍ SONDY - 2 Bernoulliho rovnici lze integrovat i s uvážením adiabatické změny, kdy ve stavu C při celkovém tlaku pc je wc = 0, a v daném prostředí o statickém tlaku ps je měřená rychlost ws . Pro proudění plynu bude:

w 2     vdp   d  c c  2  s

s

 vdp  dat

κ 1   2 2 κ   κ p w  w c p cv c 1   s    s   pc   κ- 1 2  

ws 

κ 1   κ  ps   2κ  p cv c 1      pc   κ- 1  

Zdroj: Airflow

Pro uvedený vztah je třeba znát:  Statický tlak ps  Dynamický tlak pd pro výpočet celkového tlaku pc = ps + pd  Teplotu Tc pro výpočet měrného objemu vc = r . Tc / pc 6

DYNAMICKÉ RYCHLOSTNÍ SONDY - 3 Porovnání určení rychlosti proudění vzduchu (teplota 0°C, tlak 98 kPa) w = rychlost zvuku

s = ps / rTs w = 0,3 * rychlost zvuku

= konst

c = pc / rTc = konst

  = p / konst nebo  = (c + c )/2

7

DYNAMICKÉ RYCHLOSTNÍ SONDY - 4 Porovnání termodynamických dějů, které je třeba zvažovat při určování rychlosti proudění tekutin z měřeného dynamického tlaku. p

kr n  vs

at

c

 * vs

T

pc = p2 n

pc = p2

c

ps = p1

s ps = p1

kr

T

vc

s

T

vstř x=0

x=0

x=1

x=1

v=1/

s

Pozn.: Při dosažení rychlosti zvuku ve vzduchu je ps/pc = 0,528, viz odvození kritického tlakového poměru v dalším textu. 8

ROVNICE ENERGETICKÁ V termodynamice je energetickou rovnicí I. zákon termodynamiky. Pro proudění je vhodná jeho 2. forma

Zdroj: ČEZ

dq  dh  dat  dh v  dp Proudění považujeme za adiabatickou expanzi, pro kterou platí

0  dh  dat  dh v  dp Rovnice energetická pro proudění má tudíž tvar Řešení proudění vyžaduje často spojení rovnic pohybové –v dp = d (w2/2) energetické –v dp = –dh

Lopatky turbíny tvoří Lavalovy dýzy

dat   dh v  dp   dh w 2    dh  d   2 

9

CELKOVÉ PARAMETRY PROUDU T0 p0 v0

T p v

0



h0

h

w0 ≈ 0

Celkové parametry (klidové) jsou parametry stojící tekutiny (adiabaticky zabrzděné). Označují se obvykle indexem „0“ 2  w Spojená pohybová a  dh  d  energetická rovnice má tvar  2 w

 h  h0  

Po integraci bude

w 2  w 02 2

w2

Pro klidovou entalpii platí:

h0  h 

Pro klidovou teplotu ideálního plynu platí:

w2 T 0 T  2c p

Klidový tlak, měrný objem a hustotu ideálního plynu vypočteme ze vztahů:

T p     T0  p0 

κ- 1 κ

p v 0    p0  v 

κ

ρ0 

  

2

1

v0

10

ZUŽUJÍCÍ SE DÝZA - 1

T0 p0 v0

T p v

T2 p2 v2

w2 w w2 h h2 A A2

w 2   dat  dh  d   2 

Po integraci od průřezu A0 do průřezu A bude

h0  h 

w0≈0 w0 h0 A0

Spojená pohybová a energetická rovnice

w 2  w 02 2

 w  2h0  h   w 02

Pro w0 = 0 a adiabatický děj ideálního plynu je κ 1   κ p   2κ  w  2h0- h   2at  p 0v 0 1      p0   κ- 1  

Rychlost w dosadíme do rovnice kontinuity a dostaneme

A  m v

  p  2κ  p 0v 0 1      p0  κ- 1 

κ 1 κ

   

kde pro měrný objem platí:

 p0  v  v 0    p 

1 κ

11

ZUŽUJÍCÍ SE DÝZA - 2 Rovnici kontinuity můžeme nyní psát ve tvaru 1 κ

κ 1   κ  p   p0 Ap  2κ   m    p 0 v 0 1     A Ψ 2   v 0  p0  κ - 1 p0  v0    kde  je výtoková funkce, pro kterou platí =1,4 K K =1,3  2 κ 1  p κ  p  κ κ      Ψ  κ 1  p0   p0 

 p  Ψ  f  κ,   p0 

Provedeme-li 1. derivaci funkce  dle p/p0 a položíme ji rovnu nule, dostaneme kritický tlakový poměr, při kterém je dosažena kritická rychlost w*

0,528

p/p0 0

p*/p0 p*/p0

p*  2    p0  κ  1

1

κ κ 1

12

RYCHLOST ZVUKU - 1 Lze dokázat, že kritická rychlost w* je rychlost zvuku a. Kritickou rychlost dostaneme pro kritický tlakový poměr

a  κ pv

κ 1 κ   κ  p*   2κ p * 2  κ 1     w* p 0v 0 1    kde     κ- 1 p p0  κ  1 0     κ κ 1    κ 1 κ 2κ 2κ  2   κ  1- 2   w*  p 0v 0 1    p v  0 0   κ  1  κ- 1 κ- 1  κ  1    2κ Dále převedeme parametry p0v0 na p*v* v místě w* w*  p 0v 0 1 κ 1 κ 1 v *  p0 κ v *  κ κ    kde p 0v 0  p * v *  p 0v 0  p * v *   v 0  p*  κ 1 v0  κ 1  p0  κ   p * v * p 0v 0  p * v *  w*  κ  p * v * 2 13  p* 

RYCHLOST ZVUKU - 2

p0

w0≈0

p p2

● Pro p2 = p0 (p2/p0 = 1)  w2 = 0 ● Pro p* < p2 < p0 (Oblast I) p*/p0 < p2/p0 < 1, w2 roste

II K

Výtoková funkce 

w2 ● Pro p = p*, (Bod K) 2

p2/p0 = p*/p0, w2 = w* ● Pro p2 < p*, (Oblast II) p2/p0 < p*/p0, w2 = w*  čárkovaná čára v diagramu  = f (p /p0) V oblasti I je proudění podkritické V oblasti II je proudění kritické (tekutina proudí na výstupu z dýzy rychlostí zvuku, signály se šíří též rychlostí zvuku, at je ztrátová práce)

I

p*/p0

0

1 p/p0

p0

0 2I K

p

p2I p*

I II

at 2II Ideální plyn

p2II

v 14

RYCHLOST ZVUKU - 3 Při relativním pohybu tělesa vůči tekutině nadzvukovou rychlostí w vznikají rázové vlny. RÁZOVÉ VLNY Čelo rázové vlny se šíří ve volném prostoru rychlostí zvuku a

Zdroj: Mechanical and aerospace engineering department, Princeton University

LETÍCÍ STŘELA MACHOVO ČÍSLO

2

w a

w Ma  a MACHŮV ÚHEL

a sin α  w Zdroj: Řezníček 1972

Zdroj: Universum

prof. Dr. ERNST MACH  18. 2. 1838 Brno-Chrlice Česká republika  9. 2. 1916 Harr Německo 15

RYCHLOST ZVUKU - 4 Rychlost zvuku závisí na stavu prostředí a na izoentropickém exponentu 

Zdroj: Polesný 1990. Skripta VUT v Brně

a  κ pv

U ideálních plynů je  konstantní  = 1,67 pro 1-atomové plyny  = 1,41 pro 2-atomové plyny  = 1,30 pro 3-atomové plyny U reálných plynů je  složitou funkcí stavu látky, což má vliv na rychlost šíření rozruchů při jejich expanzi či kompresi Křivky konstantního izoentropického exponentu  páry H2O v t-s diagramu

Pro přibližné výpočty expanze či komprese par H2O lze volit  = 1,3

16

VÝPOČET ZUŽUJÍCÍ SE DÝZY ● Stanovení režimu proudění: Pro p2 / p0 > p*/ p0 (Oblast I) je podkritické proudění Pro p2 / p0  p*/ p0 (Oblast II) je kritické proudění ● Výpočet w2:

Pro ideální plyn

Pro páru

Oblast I podkritické proudění

(   p2  2κ w2 p 0v 0 1   κ- 1   p 0 

Oblast II kritické proudění

  p* 2κ w 2 p 0v 0 1  κ- 1   p 0

● Výpočet v2: Oblast I Oblast II ● Výpočet m :

Pro ideální plyn

v 2  v 0 p 0 p

1 κ 2 1 κ

 p* 

v 2  v 0 p 0 m  A2w 2 v 2

p*  2    p0  κ  1

κ κ 1

κ 1) κ

  w 2  2h0  h 2  

( κ 1) κ

  

  w 2  2h0  h *   Pro páru

Z diagramu / tab.

Z diagramu / tab. 17

LAVALOVA DÝZA Lavalovu dýzu používáme k využití celého poměru tlaků p2 / p0 na rychlost (pro dosažení větší výstupní rychlosti), a to v oblasti II, kde p2 / p0 < p*/ p0



II

I K

Tvar Lavalovy dýzy je dán rovnicí kontinuity

m  A Ψ 2

p0 v0

 A Ψ  konst

● V oblasti I roste  a zmenšuje se A ● V oblasti II klesá  a zvětšuje se A (respektuje se zde funkce ) Návrh dýzy spočívá: ● Ve výpočtu průřezů A* a A2 ● Ve výpočtu délky L rozšiřující se části dýzy pro úhel 2 10 až 20°

0

w0

A0, p0 v0, h0

p2 /p0 p*/p0

2

w*

A*, (D*) p*, v*,h*

1 p/p0

L

w2

A2, (D2) p2, v2, h2

18

VÝPOČET LAVALOVY DÝZY ● Kontrola nutnosti Lavalovy dýzy:

p* p0

κ κ1

 2  p2      p0  κ1 

● Rychlosti: Plyn w * 

D 2 D *

w0

 p0  v 0   p*

  

1 κ

 p0  v 2  v 0    p2 

1 κ

A0, p0 v0, h0

h

m  A* w * v *  A2 w 2 v 2

L

A*, (D*) p*, v*, h*

A2, (D2) p2, v2, h2

v0 p0 0 K 2

v* p*

h0 h*

p2 h2

I II

x=1

v2

Pára Z diagramu / tabulek ● Průřezy:

w2

2

( κ1) κ

  p*   2κ   p 0v 0 1  κ- 1   p 0   ( κ1) κ    p2  2κ  w2 p 0v 0 1    κ- 1   p 0   Pára w *  2h 0  h * , w 2  2h 0 h 2 

● Objemy: Plyn v*

w*

2

● Délka:

D2 D * L 2  tg β

s

19

CHOVÁNÍ LAVALOVY DÝZY - 1 Vliv různých vstupních podmínek - různých vstupních rychlostí MATEMATICKÁ PODPORA: Rovnice kontinuity Rovnice adiabaty Rovnice pohybová

Aw dA dv dw  konst    v A v w dp dv κ pv  konst  κ 0 p v 2 w  dw vdp   wdw   vdp  d   2 w w  2 

Po dosazení do rovnice kontinuity

dA   1 v  κpv  w 2 dp a 2  w 2 dp 1  Ma 2 dp    2 dp    2 2 A  κp w  κw p κw p κMa 2 p Závěr pro fyzikální úvahy

dA 1  Ma 2 dp  A κMa 2 p



dw vdp  2 w w

20

CHOVÁNÍ LAVALOVY DÝZY - 2 Závěr pro fyzikální úvahy

dA 1  Ma 2 dp  A κMa 2 p dw vdp   2 w w

w1

wd ad

p

Tabulka chování dýzy

ad

p ad

Ma < 1 w 1 w>a

dA < 0 dp < 0 dw > 0 dp > 0 dw < 0

dA > 0 dp > 0 dw < 0 dp < 0 dw > 0

p

ad

w

a) w1 < a1 wd < ad

w

b) w1 < a1 wd = ad

w

c) w1 > a1 wd > ad

ad p

w2

w

d) w1 > a1 wd = ad 21

VLIV PROTITLAKU NA PROUDĚNÍ DÝZAMI - 1 LAVALOVA DÝZA při různém protitlaku pvn w0

w2

wd ad

pvn p p*

A B C

p0 pm pe

D

w

F p2 H H F

G E

w* C B A

D

B) p0 > pvn > pm  m  m M AX C) pvn = pm  m  m M AX D)

E G

A) p0 = pvn  m  0

e m

E) F)

Odtržení v nejužším místě pm > pvn > pe  m  m M AX Odtržení za nejužším místem pvn = pe  m  m M AX Odtržení na konci dýzy pe > pvn > p2  m  m M AX Komprese za dýzou

G) pvn = p2  m  m M AX Výpočtový stav H) pvn < p2  m  m M AX Expanze za dýzou

22

VLIV PROTITLAKU NA PROUDĚNÍ DÝZAMI - 2 ZUŽUJÍCÍ SE DÝZA při různém protitlaku pvn

w2

w0

pvn p

A B C

p0

A) p0 = pvn  m  0 B) p0 > pvn > p*  m  m M AX C) pvn = p*  m  m M AX

D) p* > pvn  m  m M AX Vyrovnávání tlaků za dýzou ( w2 > w* )

p* D

w2 > w*

D

w C B A

w* Zdroj: Dejč 1967 23

VIZUALIZACE PROUDĚNÍ - 1 Interferometrie

Interferometrie

Rázová vlna v Lavalově dýze Řezníček 1972

Podkritické proudění z dýzy Stínová metoda

Proudění Interferometrie v lopatkové mříži Řezníček 1972

Kritické proudění z dýzy Dejč 1967

24

VIZUALIZACE PROUDĚNÍ - 2

Kritické proudění z otvoru

Zařízení pro stínovou metodu na EÚ FSI Zařízení pro vytváření kouřových vláken ke sledování proudnic na LÚ FSI

25

VIZUALIZACE PROUDĚNÍ - 3 Odsávání v Lavalově dýze Schlichting 1965

Proudění do překážky

Interferometrie Proudění přes překážku

Fotografie

Interferometrie

26

VIZUALIZACE PROUDĚNÍ - 4 Proudnice v okolí křídla

Proudění z konvektoru

Kouř

Kouřová vlákna Obtékání válce Schlichting 1965

Částice na hladině

Proudění z vyústky

PIV

27

VIZUALIZACE PROUDĚNÍ - 5 2D PIV systém Kamera 30 Hz Míchání

Částice 50 m polyamid Vířič 1,5 Hz Zdroj www.dantecmt.com Vektorová mapa Mapa vířivosti w x w y ω  x y

28

VIZUALIZACE PROUDĚNÍ - 6 Běžné odsávání kouře

Zesílené odsávání kouře

Částečný hydraulický zkrat

Úplný hydraulický zkrat

29

VIZUALIZACE PROUDĚNÍ - 7 Příklad numerické vizualizace proudění v okolí zesílených sacích nástavců pro lokální odsávání škodlivin např. při svařování. Numerické modelování je lacinější, než experimenty a umožní optimalizovat konstrukce sacích nástavců či stanovit vhodné režimy jejich provozu.

Pracovní stůl

a) Rychlostní pole u nástavce

b) Odsávání při svařování

Modely zesílených odsávacích nástavců REEXS (REinforced EXhaust System)

30

VIZUALIZACE PROUDĚNÍ - 8 Vizualizace proudění pomocí kouře u sklářské linky na výrobu pivních lahví Cílem je navrhnout větrání pro snížení tepelné zátěže pracovníků, aniž dojde k narušení výroby Přirozené proudění

Dolní vzduchová sprcha

Horní vzduchová sprcha

31

VIZUALIZACE PROUDĚNÍ - 9 Vizualizační experimenty jsou zpracovávány a vyhodnocovány pomocí software Interfer-Visual. Software vyhodnocuje automaticky:  Hranice kouře

Zdroj: ÚT AV ČR

 Průběhy interferenčních proužků  Rozložení proužků v řezech … aj. Software pracuje s obrazy a také s videosekvencemi. Automaticky vyhodnocená data lze interaktivně editovat a uložit pro možnost zpracování v jiném programu

32

VIZUALIZACE PROUDĚNÍ - 10 Příklad vyhodnocování hranic proudu v místech s malou intenzitou kouře - pomocí funkce skládání dvou obrazů a funkce interferogram.

TRANSFORMACE + = OBRAZOVÉ INTENZITY 1

VÝSTUP

2.5 m

0 0

VSTUP

1

33