Termomechanika 11. přednáška Doc. Dr. RNDr. Miroslav Holeček
Upozornění: Tato prezentace slouží výhradně pro výukové účely Fakulty strojní Západočeské univerzity v Plzni. Byla sestavena autorem s využitím citovaných zdrojů a veřejně dostupných internetových zdrojů. Využití této prezentace nebo jejich částí pro jiné účely, stejně jako její veřejné šíření je nepřípustné.
1
Sdílení tepla Teorie podobnosti 1. Experimentátor provádí měření na modelu. 2. Jak přenést výsledky z modelu na reálné dílo? 3. Základní předpoklad: jevy na modelu i na díle jsou popsány stejnými rovnicemi.
Zavedeme měřítka 𝒍𝑴 𝒍𝑫
Měřítko geometrické:
𝒄𝒍 =
Měřítko času:
𝒄𝝉 =
A podobně dále…
𝝉𝑴 𝝉𝑫
𝒄𝑻 =
𝑻𝑴 𝑻𝑫
𝒄𝒘 =
𝒘𝑴 𝒘𝑫 2
Sdílení tepla Rovnice vedení tepla pro model: 𝝏𝑻𝑴 𝝏𝑻𝑴 𝝏𝑻𝑴 𝝏𝑻𝑴 𝝏𝟐 𝑻𝑴 + 𝒘 + 𝒘 + 𝒘 = 𝒂𝑴 +⋯ 𝝏𝝉𝑴 𝝏𝒙𝑴 𝒙𝑴 𝝏𝒚𝑴 𝒚𝑴 𝝏𝒛𝑴 𝒛𝑴 𝝏𝒙𝑴 𝟐 Substituce: 𝑻 𝑴 = 𝒄𝑻 𝑻 𝑫 𝒙𝑴 = 𝒄 𝒍 𝒙𝑫 𝝉𝑴 = 𝒄𝝉 𝝉𝑫 𝒚𝑴 = 𝒄 𝒍 𝒚𝑫 𝒘𝑴 = 𝒄𝒘 𝒘𝑫 𝒛𝑴 = 𝒄𝒍 𝒛𝑫 𝒂𝑴 = 𝒄𝒂 𝒂𝑫
Změna měřítka
𝝏𝑻𝑫 𝒄𝑻 𝝏𝑻𝑫 𝒄𝑻 𝝏𝑻𝑫 𝒄𝑻 𝝏𝟐 𝑻𝑫 𝒄𝑻 + 𝒘 𝒄 + 𝒘 𝒄 + ⋯ = 𝒂𝑫 𝒄𝒂 +⋯ 𝝏𝝉𝑫 𝒄𝝉 𝝏𝒙𝑫 𝒄𝒍 𝒙𝑫 𝒘 𝝏𝒚𝑫 𝒄𝒍 𝒚𝑫 𝒘 𝝏𝒙𝑫 𝟐 𝒄𝒍 𝟐 Rovnice vedení tepla pro dílo: 𝝏𝑻𝑫 𝝏𝑻𝑫 𝝏𝑻𝑫 𝝏𝟐 𝑻𝑫 + 𝒘 + 𝒘 + ⋯ = 𝒂𝑫 +⋯ 𝝏𝝉𝑫 𝝏𝒙𝑫 𝒙𝑫 𝝏𝒚𝑫 𝒚𝑫 𝝏𝒙𝑫 𝟐 3
Sdílení tepla Má-li rovnice pro model být identická s rovnicí pro dílo, pak: 𝒄𝑻 𝒄𝑻 𝒄𝒘 𝒄𝒂 𝒄𝑻 = = 𝒄𝝉 𝒄𝒍 𝒄𝒍 𝟐 Porovnáním:
𝒄𝑻 𝒄𝒂 𝒄𝑻 𝒄 𝒂 𝒄𝝉 = ⟹ =𝟏 𝒄𝝉 𝒄𝒍 𝟐 𝒄𝒍 𝟐
Dosazením:
Odtud:
𝒂𝑴 𝝉𝑴 𝒍𝑫 𝟐 𝒂𝑫 𝝉𝑫 𝒍𝑴 𝒂𝑴 𝝉𝑴
𝒂𝑫 𝝉𝑫
𝒍𝑴 𝟐
Podobnostní číslo:
=𝟏
𝟐
=
𝒍𝑫 𝟐
𝒂𝝉 = 𝑭𝒐 𝒍𝟐
(𝐅𝐨𝐮𝐫𝐢𝐞𝐫𝐨𝐯𝐨) 4
Sdílení tepla Podobně:
𝒄𝑻 𝒄𝒘 𝒄𝒂 𝒄𝑻 = 𝒄𝒍 𝒄𝒍 𝟐
𝒄𝑻 𝒄𝑻 𝒄𝒘 𝒄𝒂 𝒄𝑻 = = 𝒄𝝉 𝒄𝒍 𝒄𝒍 𝟐
𝒄𝒘 𝒄𝒍 =𝟏 𝒄𝒂
𝒘𝒍 = 𝑷𝒆 𝒂
(𝐏𝐞𝐜𝐥𝐞𝐭𝐨𝐯𝐨)
5
Sdílení tepla Okrajová podmínka 3. druhu: −𝝀𝒔 𝒈𝒓𝒂𝒅 𝑻
𝒔
= 𝜶 𝑻𝒔 − 𝑻𝒕
𝒅𝑻 −𝝀𝒔 = 𝜶 𝑻 𝒔 − 𝑻𝒕 𝒅𝒙 𝒄 𝝀𝒔 𝒄𝜶 𝒄𝒍 =𝟏 𝒄 𝝀𝒔
⟹
𝒄𝑻 = 𝒄𝜶 𝒄𝑻 𝒄𝒍 𝜶𝒍 = 𝑩𝒊 𝝀𝒔
(𝐁𝐢𝐨𝐭𝐨𝐯𝐨)
6
Sdílení tepla Rovnice přecházení tepla: −𝝀𝒕 𝒈𝒓𝒂𝒅 𝑻
𝒕
= 𝜶 𝑻𝒔 − 𝑻𝒕
𝒄𝑻 𝒄 𝝀𝒕 = 𝒄𝜶 𝒄𝑻 𝒄𝒍
𝜶𝒍 = 𝑵𝒖 𝝀𝒕
(𝐍𝐮𝐬𝐬𝐞𝐥𝐭𝐨𝐯𝐨)
7
Sdílení tepla Navier-Stokesovy rovnice:
𝝏𝒘𝒙 𝝏𝒘𝒙 𝝏𝒘𝒙 𝝏𝒘𝒙 𝟏 𝝏𝒑 + 𝒘𝒙 + 𝒘𝒚 + 𝒘𝒛 = 𝒈𝒛 − + 𝝏𝝉 𝝏𝒙 𝝏𝒚 𝝏𝒛 𝝆 𝝏𝒙 𝟏 𝝏 𝝏𝒘𝒙 𝝏𝒘𝒙 𝝏𝒘𝒙 𝝏𝟐 𝒘𝒙 𝝏𝟐 𝒘𝒚 𝝏𝟐 𝒘𝒛 + 𝝂 + + +𝝂 + + 𝟑 𝝏𝒙 𝝏𝒙 𝝏𝒚 𝝏𝒛 𝝏𝒙𝟐 𝝏𝒚𝟐 𝝏𝒛𝟐 𝒄𝒑 𝒄𝒘 𝒄𝒘 𝟐 𝒄𝒘 = = 𝒄𝒈 = = 𝒄𝝂 𝟐 𝒄𝝉 𝒄𝒍 𝒄 𝝆 𝒄𝒍 𝒄𝒍
8
Sdílení tepla Porovnáním: 1.-2.:
𝒄𝒘 𝒄𝒘 𝟐 𝒄 𝒘 𝒄𝝉 = ⟹ =𝟏 𝒄𝝉 𝒄𝒍 𝒄𝒍 𝒘𝝉 = 𝑺𝒉 (𝐒𝐭𝐫𝐨𝐮𝐡𝐚𝐥) 𝒍
2.-3.:
2.-4.:
𝒄𝒘 𝟐 = 𝒄𝒈 ⟹ 𝒄𝒍 𝒄𝒑 𝒄𝒘 𝟐 = 𝒄𝒍 𝒄𝝆 𝒄𝒍
2.-5.: 𝒄𝒘 𝟐 𝒄𝒘 = 𝒄𝝂 𝟐 𝒄𝒍 𝒄𝒍
⟹
⟹
𝒈𝒍 = 𝑭𝒓 𝒘𝟐
(𝐅𝐫𝐨𝐮𝐝𝐞)
𝒑 = 𝑬𝒖 𝝆 𝒘𝟐
(𝐄𝐮𝐥𝐞𝐫)
𝒘𝒍 = 𝑹𝒆 𝝂
(𝐑𝐞𝐲𝐧𝐨𝐥𝐝𝐬) 9
Sdílení tepla Podobnostní čísla – bezrozměrné veličiny!
Každá bezrozměrná kombinace veličin – podobnostní číslo Příklad:
1 V V t p 𝒈𝒍𝟑 = 𝑮𝒂 𝝂𝟐
𝒈𝒍𝟑 𝜷∆𝑻 𝟐 = 𝑮𝒂 𝝂 𝑷𝒓 =
𝜷∆𝑻 … podobnostní číslo 𝐆𝐚𝐥𝐢𝐥𝐞𝐨
𝐆𝒓𝒂𝒔𝒔𝒉𝒐𝒇𝒇
𝑷𝒆 𝒘𝒍 𝝂 𝝂 = = 𝑹𝒆 𝒂 𝒘𝒍 𝒂
𝑷𝒓𝒂𝒏𝒅𝒕𝒍 10
Sdílení tepla Kriteriální rovnice Výsledky experimentu na modelu
𝜶 = 𝒇 𝜷, 𝑻, 𝒘, 𝝂, 𝝀𝒕 , 𝝉, … se zpracují ve formě podob. čísel (kritérií podobnosti): 𝑵𝒖 = 𝒇 𝑮𝒓, 𝑷𝒓, 𝑹𝒆, 𝑭𝒐
POZOR! charakteristický rozměr
Pro stacionární (ustálený stav): 𝑵𝒖 = 𝒇 𝑮𝒓, 𝑷𝒓, 𝑹𝒆 Pro přirozenou konvekci: 𝑵𝒖 = 𝒇 𝑮𝒓, 𝑷𝒓 Pro nucenou konvekci:
𝒘𝒍 = 𝑹𝒆 𝝂 charakteristická rychlost
𝑵𝒖 = 𝒇 𝑷𝒓, 𝑹𝒆 11
Sdílení tepla Kriteriální rovnice Příklad: 𝒏 𝜶(𝒙) → 𝑵𝒖𝒕,𝒙 = 𝑪 𝑹𝒆𝒎 𝒕,𝒙 𝑷𝒓𝒕
𝟏
𝑻𝒕 = 𝟐 (𝑻𝒔 + 𝑻𝒕𝟎 )
𝑷𝒓𝒕 𝑷𝒓𝒔
𝟎,𝟐𝟓
𝑻𝒔
teplota stěny
určovací teplota tekutiny 𝝂 𝑷𝒓 = 𝒂 𝑹𝒆 =
𝒘𝒍 𝝂 12
Sdílení tepla Přirozená konvekce v neomezeném prostoru
zahřívaná deska
zahřívaná deska
13
Sdílení tepla Přirozená konvekce v neomezeném prostoru Kolem vodorovného potrubí: Pro 𝟏𝟎𝟑 < 𝑮𝒓𝒕,𝒅 𝑷𝒓𝒕 < 𝟏𝟎𝟖 𝑵𝒖𝒕,𝒅 = 𝟎, 𝟓𝟎 𝑮𝒓𝒕,𝒅 𝑷𝒓𝒕 Kolem svislé plochy: a) 𝟏𝟎𝟑 < 𝑮𝒓𝒕,𝒉 𝑷𝒓𝒕 < 𝟏𝟎𝟗
𝑷𝒓𝒕 𝑷𝒓𝒔
𝟎,𝟐𝟓
𝑷𝒓𝒕 𝑷𝒓𝒔
𝟎,𝟐𝟓
(𝐥𝐚𝐦𝐢𝐧. )
𝑵𝒖𝒕,𝒉 = 𝟎, 𝟕𝟔 𝑮𝒓𝒕,𝒉 𝑷𝒓𝒕 b) 𝑮𝒓𝒕,𝒙 𝑷𝒓𝒕 > 𝟏𝟎𝟗
𝟎,𝟐𝟓
𝟎,𝟐𝟓
(𝐭𝐮𝐫𝐛𝐮𝐥. )
𝑵𝒖𝒕,𝒙 = 𝑵𝒖𝒕,𝒉 = 𝟎, 𝟏𝟓 𝑮𝒓𝒕,𝒙 𝑷𝒓𝒕
𝟎,𝟑𝟑
𝑷𝒓𝒕 𝑷𝒓𝒔
𝟎,𝟐𝟓
14
Sdílení tepla Přirozená konvekce v omezeném prostoru 1. 2.
Tenká štěrbina: pohyb tekutiny silně omezen, přenos tepla uskutečňován převážně vedením Štěrbina o větší tloušťce: přenos tepla můžeme chápat jako přenos vedením (i když jde o kombinaci vedení a proudění!), ale s jakýmsi ekvivalentním součinitelem tepelné vodivosti 𝝀𝒆𝒌 , tj. 𝝀 → 𝝀𝒆𝒌 𝜺𝒌 = 𝟎, 𝟏𝟖 𝑮𝒓 ⋅ 𝑷𝒓 𝑸=𝑺
Pro 𝑮𝒓 ⋅ 𝑷𝒓
𝒕,𝜹
< 𝟏𝟎𝟎𝟎
je
𝜺𝒌 ≡ 𝒕,𝜹
𝝀𝒆𝒌 𝝀
𝟎,𝟐𝟓
𝝀𝒆𝒌 𝑻 𝟏 − 𝑻𝟐 𝜹 𝜺𝒌 = 𝟏 15
Sdílení tepla
16
Sdílení tepla Přestup tepla při nucené konvekci 1. Deska
Pro lokální hodnotu součinitele ve vzdálenosti 𝒙 od náběžné hrany 𝟎,𝟐𝟓 𝑷𝒓 𝒕 𝟎,𝟒𝟑 𝑵𝒖𝒕,𝒙 = 𝟎, 𝟐𝟗𝟔 𝑹𝒆𝟎,𝟖𝟎 𝒕,𝒙 𝑷𝒓𝒕 𝑷𝒓𝒔 Pro střední hodnotu součinitele na úseku desky o délce 𝒍 je-li 𝑹𝒆𝒕,𝒍 > 𝟒 ⋅ 𝟏𝟎𝟒 𝑵𝒖𝒕,𝒍 =
𝟎, 𝟎𝟑𝟕 𝑹𝒆𝟎,𝟖𝟎 𝒕,𝒍
𝑷𝒓𝟎,𝟒𝟑 𝒕
𝑷𝒓𝒕 𝑷𝒓𝒔
Pro laminární proudění, kdy je 𝑹𝒆𝒕,𝒍 < 𝟒 ⋅ 𝟏𝟎𝟒 𝟎,𝟒𝟑 𝑵𝒖𝒕,𝒍 = 𝟎, 𝟔𝟔𝑹𝒆𝟎,𝟓𝟎 𝒕,𝒍 𝑷𝒓𝒕
𝑷𝒓𝒕 𝑷𝒓𝒔
𝟎,𝟐𝟓
𝟎,𝟐𝟓
17
Sdílení tepla 2. Potrubí bez přívodu tepla
𝑔
18
Sdílení tepla 2. Potrubí Kritické:
𝑹𝒆𝒕,𝒅 = 𝟐𝟑𝟐𝟎 = 𝑹𝒆𝒌𝒓
Pro 𝑹𝒆 < 𝑹𝒆𝒌𝒓 laminární 𝟎,𝟒𝟑 𝑵𝒖𝒕,𝒅 = 𝟎, 𝟏𝟓 𝑹𝒆𝟎,𝟑𝟑 𝑮𝒓𝟎,𝟏 𝒕,𝒅 𝑷𝒓𝒕 𝒕,𝒅
Pro 𝑹𝒆 > 𝑹𝒆𝒌𝒓 turbulentní 𝑵𝒖𝒕,𝒅
𝑷𝒓𝒕 𝑷𝒓𝒔
𝟎,𝟐𝟓
𝟎,𝟐𝟓
𝟎,𝟖 𝟎,𝟒𝟑 𝑷𝒓𝒕 = 𝟎, 𝟎𝟐𝟏 𝑹𝒆𝒕,𝒅 𝑷𝒓𝒕 𝑷𝒓𝒔 (není vliv přirozené konvekce)
19
Sdílení tepla 2. Potrubí
20
Sdílení tepla 3. Příčně obtékaný válec
21
Sdílení tepla Výměníky tepla
Regenerační: látce se periodicky teplo přivádí a odvádí (např. vyzdívka) Rekuperační: teplo se předává prostupem tepla Směšovací: mísením dvou nebo více tekutin
Rekuperační souproudý
22
Sdílení tepla 𝑻 → 𝑻 + 𝒅𝑻 𝑺
𝑻 → 𝑻 + 𝒅𝑻
𝒅𝑸 𝑻 → 𝑻 − 𝒅𝑻
𝒅𝑸 = 𝒎 𝒄 −𝒅𝑻 𝒅𝑸 = 𝒎 𝒄 𝒅𝑻 = 𝒅𝑸
prostup tepla:
𝒅𝑸 = 𝒌 𝒅𝑺 𝑻 − 𝑻
→
kalorimetrická rovnice
𝒅𝑸 = 𝒌 𝒅𝑺 𝑻 − 𝑻 𝝉
𝟏 𝟏 𝒅𝑸 𝒅 𝑻 − 𝑻 = 𝒅𝑻 − 𝒅𝑻 = − + 𝒅𝑸 ≡ − 𝒎𝒄 𝒎𝒄 𝑴 23
Sdílení tepla Porovnáním 𝒅𝑸 = −𝑴 𝒅 𝑻 − 𝑻 = 𝒌 𝒅𝑺 𝑻 − 𝑻 𝝉 𝒅 𝑻−𝑻 𝒌𝝉 =− 𝒅𝑺 𝑴 𝑻−𝑻 𝒌𝝉 𝐥𝐧 𝑻 − 𝑻 = − 𝑺 + 𝑪𝒊 𝑴 Pro 𝑺 = 𝟎: 𝐥𝐧 𝑻𝟏 − 𝑻𝟏 = − Pro 𝑺 = 𝑺𝟎 : 𝐥𝐧 𝑻𝟐 − 𝑻𝟐 = −
𝒌𝝉 ⋅ 𝟎 + 𝑪𝒊 𝑴
𝒌𝝉 ⋅ 𝑺𝟎 + 𝑪𝒊 𝑴
𝑻𝟏 − 𝑻𝟏 𝒌 𝝉 𝐥𝐧 = ⋅ 𝑺𝟎 𝑴 𝑻𝟐 − 𝑻𝟐 24
Sdílení tepla Odtud: 𝑴=
𝒌 𝝉 𝑺𝟎 𝑻 − 𝑻𝟏 𝐥𝐧 𝟏 𝑻𝟐 − 𝑻𝟐
Dosazením 𝑴 do rovnice 𝒅𝑸 = −𝑴 𝒅 𝑻 − 𝑻 dostaneme: 𝒅𝑸 = −
𝒌 𝝉 𝑺𝟎 𝒅 𝑻−𝑻 𝑻𝟏 − 𝑻𝟏 𝐥𝐧 𝑻𝟐 − 𝑻𝟐
Integrací: 𝑸 = 𝒌 𝑺𝟎
𝑻𝟏 − 𝑻𝟏 − 𝑻𝟐 − 𝑻𝟐 𝝉 𝑻𝟏 − 𝑻𝟏 𝐥𝐧 𝑻𝟐 − 𝑻𝟐
25
Sdílení tepla Odtud dostaneme vztah pro celkový průtok tepla: ∆𝑻𝟏 − ∆𝑻𝟐 𝑸 = 𝒌 𝑺𝟎 ∆𝑻 𝐥𝐧 ∆𝑻𝟏 𝟐 Průtok tepla můžeme chápat jako prostup tepla pro jakýsi střední teplotní rozdíl, ∆𝑻𝒔 𝑸 = 𝒌 𝑺𝟎 ∆𝑻𝒔 Tedy
∆𝑻𝟏 − ∆𝑻𝟐 ∆𝑻𝒔 = ∆𝑻 𝐥𝐧 𝟏 ∆𝑻𝟐
Toto nazýváme střední logaritmický teplotní spád. 26
Sdílení tepla Sálání (radiace) Sdílení tepla elektromagnetickým vlněním
𝑸𝑶 = 𝑸𝑨 + 𝑸 𝑹 + 𝑸𝑫 𝟏=
𝑸𝑨 𝑸𝑹 𝑸𝑫 + + 𝑸𝑶 𝑸𝑶 𝑸𝑶
𝟏=𝑨+𝑹+𝑫 Pro
𝑨=𝟏 ⟹ 𝑹 = 𝑫 = 𝟎 … 𝐝𝐨𝐤𝐨𝐧𝐚𝐥𝐞 č𝐞𝐫𝐧é 𝑹=𝟏 ⟹ 𝑨 = 𝑫 = 𝟎 … 𝐝𝐨𝐤𝐨𝐧𝐚𝐥𝐞 𝐥𝐞𝐬𝐤𝐥é, 𝐛í𝐥é 𝑫=𝟏 ⟹ 𝑨 = 𝑹 = 𝟎 … 𝐝𝐨𝐤𝐨𝐧𝐚𝐥𝐞 𝐩𝐫ů𝐭𝐞𝐩𝐥𝐢𝐯é
27
Sdílení tepla Základní zákony sálání 𝒅𝑬𝟎 = 𝑬𝟎𝝀 𝒅 𝝀 … teplo vysálané za jednotku času jednotkovým povrchem dokonale černého tělesa 𝑬𝟎𝝀 … monochromatická sálavost dokonale černého tělesa
Planckův zákon: 𝑬𝟎𝝀 =
𝑪𝟏 𝝀𝟓
𝑪𝟐 𝒆𝝀 𝑻
−𝟏
28
Sdílení tepla Základní zákony sálání
Wienův zákon: 𝝀𝒎 𝑻 = 𝒌𝒐𝒏𝒔𝒕 = 𝟐, 𝟗 ⋅ 𝟏𝟎−𝟑 𝒎 𝑲
𝝀𝒎
29
Sdílení tepla Stefanův Boltzmannův zákon ∞
𝑬𝟎 =
𝟎
∞
𝑬𝟎𝝀 𝒅𝝀 =
𝟎
𝑪𝟏 𝑪𝟐 𝟓 𝝀 𝒆𝝀 𝑻
𝒅𝝀 −𝟏
𝑪𝟐 𝑪𝟐 𝟏 𝑪𝟐 𝟏 = 𝒙; 𝝀 = ; 𝒅𝝀 = − 𝒅𝒙 𝝀𝑻 𝑻 𝒙 𝑻 𝒙𝟐 𝑬𝟎 = 𝑪𝟏
𝑪𝟐 − 𝑻
𝝈𝟎 = 𝑬𝟎 = 𝒄𝟎
𝟎
𝟏 𝑪𝟐 𝑻
𝟓
𝒙𝟑
∞
𝟓, 𝟔𝟕𝟔 ⋅ 𝟏𝟎−𝟖
𝑻 𝟏𝟎𝟎
𝒅𝒙 = 𝝈 𝟎 𝑻𝟒 𝒙 𝒆 −𝟏
𝑾 𝒎𝟐 𝑲𝟒
𝟒
;
𝒄𝟎 = 𝟓, 𝟔𝟕𝟔
𝑾 𝒎 𝟐 𝑲𝟒 30
Sdílení tepla Šedé těleso … poměr monochromatické sálavosti 𝑬𝝀 k monochromatické sálavosti dokonale černého tělesa 𝑬𝟎𝝀 je konstantní ve všech vlnových délkách 𝑬 = 𝜺 𝑬𝟎 Poměrná sálavost:
𝑬 𝜺= 𝑬𝟎
Pak:
𝑬 = 𝜺 𝒄𝟎 Poměrná pohltivost šedého tělesa:
𝑻 𝟏𝟎𝟎
𝟒
𝐀
Šedé těleso přijme od černého tělesa za jednotku času na jednotku plochy: 𝒒 = 𝑨 𝑬𝟎 − 𝑬 31
Sdílení tepla Kirchhoffův zákon 𝒒 = 𝑨 𝑬𝟎 − 𝑬
Pro
𝑻š = 𝑻č je
𝒒=𝟎
Pak:
𝑬 𝑬𝟎 = 𝑨
𝑬𝟏 𝑬𝟐 = = =⋯ 𝑨𝟏 𝑨𝟐
(poměr sálavosti k pohltivosti je stejný pro všechna šedá tělesa) Odtud také:
𝑬 𝑨= ; 𝑬𝟎
𝑬 𝜺= ⟹𝑨=𝜺 𝑬𝟎 32
Konec
Děkuji za pozornost
33
