Termomechanika 12. přednáška Doc. Dr. RNDr. Miroslav Holeček
Upozornění: Tato prezentace slouží výhradně pro výukové účely Fakulty strojní Západočeské univerzity v Plzni. Byla sestavena autorem s využitím citovaných zdrojů a veřejně dostupných internetových zdrojů. Využití této prezentace nebo jejich částí pro jiné účely, stejně jako její veřejné šíření je nepřípustné.
1
Sdílení tepla Zářivost bodového zdroje:
𝒅𝑸 = 𝑰 𝒅𝜴 zářivost … [W/sr]
prostorový úhel … [sr]
Zářivost plošného zdroje:
𝒅𝑸𝝑 = 𝒅𝑸𝒏 𝒅𝜴 𝐜𝐨𝐬 𝝑 Lambertův zákon
2
Sdílení tepla Výměna tepla sáláním Efektivní sálavost = sálavost vlastní + odražená
𝑬𝟏𝒆𝒇 = 𝑬𝟏 + 𝟏 − 𝑨𝟏 𝑬𝟐𝒆𝒇 a) Výměna tepla mezi dvěma rovnoběžnými plochami 𝒒 = 𝑬𝟏 − 𝑨𝟏 𝑬𝟐𝒆𝒇 = = 𝑬𝟏 + 𝑬𝟐𝒆𝒇 − 𝑨𝟏 𝑬𝟐𝒆𝒇 − 𝑬𝟐𝒆𝒇 = = 𝑬𝟏 + 𝟏 − 𝑨𝟏 𝑬𝟐𝒆𝒇 − 𝑬𝟐𝒆𝒇 = = 𝑬𝟏𝒆𝒇 − 𝑬𝟐𝒆𝒇 3
Sdílení tepla Pro plochu 1 a 2 platí: 𝑬𝟏𝒆𝒇 = 𝑬𝟏 + 𝟏 − 𝑨𝟏 𝑬𝟐𝒆𝒇 𝑬𝟐𝒆𝒇 = 𝑬𝟐 + 𝟏 − 𝑨𝟐 𝑬𝟏𝒆𝒇 Řešení soustavy:
𝑬𝟏 + 𝑬𝟐 − 𝑨𝟏 𝑬𝟐 𝑨𝟏 + 𝑨𝟐 − 𝑨𝟏 𝑨𝟐 𝑬𝟏 + 𝑬𝟐 − 𝑨𝟐 𝑬𝟏 = 𝑨𝟏 + 𝑨𝟐 − 𝑨𝟏 𝑨𝟐
𝑬𝟏𝒆𝒇 = 𝑬𝟐𝒆𝒇
Dosazení do vztahu pro 𝒒: 𝒒 = 𝑬𝟏𝒆𝒇 − 𝑬𝟐𝒆𝒇 =
𝑨𝟐 𝑬𝟏 − 𝑨𝟏 𝑬𝟐 = 𝑨𝟏 + 𝑨𝟐 − 𝑨𝟏 𝑨𝟐
𝑬𝟏 𝑬𝟐 𝟏 𝟏 − 𝑬 − 𝑨𝟏 𝑨𝟐 𝜺𝟏 𝟏 𝜺𝟐 𝑬𝟐 = = = 𝟏 𝟏 𝟏 𝟏 𝑨𝟐 + 𝑨𝟏 − 𝟏 𝜺𝟐 + 𝜺𝟏 − 𝟏 4
Sdílení tepla 𝒄𝟎 =
𝑻𝟏 𝟒 𝑻𝟐 − 𝟏𝟎𝟎 𝟏𝟎𝟎 𝟏 𝟏 + 𝜺𝟐 𝜺𝟏 − 𝟏
𝟒
= 𝜺𝒏 𝒄𝟎
𝑻𝟏 𝟏𝟎𝟎
𝟒
𝑻𝟐 − 𝟏𝟎𝟎
𝟒
Složený součinitel sálání 𝜺𝒏 =
𝟏 𝟏 𝟏 + 𝜺𝟐 𝜺𝟏 − 𝟏
5
Sdílení tepla b) Výměna tepla mezi plochami z nichž 𝑺𝟐 obklopuje plochu 𝑺𝟏 :
𝒒 = 𝜺𝒏 𝒄𝟎 𝜺𝒏 =
𝑻𝟏 𝟏𝟎𝟎
𝟒
𝑻𝟐 − 𝟏𝟎𝟎
𝟒
𝟏 𝑺𝟏 𝟏 𝟏 + − 𝟏 𝜺𝟏 𝜺𝟐 𝑺𝟐
korekce
6
Sdílení tepla Stínící plochy 𝑺 = 𝑺𝟏 = 𝑺𝑺𝟏 = 𝑺𝑺𝟐 = 𝑺𝟐 𝟒
𝑻𝒔𝟏 − 𝟏𝟎𝟎
𝟒
𝑸 = 𝑺 𝜺𝑨 𝒄𝟎
𝑻𝟏 𝟏𝟎𝟎
𝟒
𝑻𝒔𝟐 − 𝟏𝟎𝟎
𝟒
𝑸 = 𝑺 𝜺𝑩 𝒄𝟎
𝑻𝒔𝟏 𝟏𝟎𝟎
𝟒
𝑻𝟐 − 𝟏𝟎𝟎
𝟒
𝑸 = 𝑺 𝜺𝑪 𝒄𝟎
𝑻𝒔𝟐 𝟏𝟎𝟎
𝑻𝟏 𝟏𝟎𝟎 𝑻𝒔𝟏 𝟏𝟎𝟎 𝑻𝒔𝟐 𝟏𝟎𝟎
𝑻𝒔𝟏 − 𝟏𝟎𝟎 𝟒 𝑻𝒔𝟐 − 𝟏𝟎𝟎
𝟒
𝟒
𝟒
𝟒
𝑻𝟐 − 𝟏𝟎𝟎
=
𝑸 𝟏 𝑺 𝒄𝟎 𝜺𝑨
=
𝑸 𝟏 𝑺 𝒄𝟎 𝜺𝑩
=
𝑸 𝟏 𝑺 𝒄𝟎 𝜺𝑪
𝟒
7
Sdílení tepla 𝑻𝟏 𝟏𝟎𝟎
𝟒
𝑻𝟐 − 𝟏𝟎𝟎
𝟒
Odtud: 𝑸 = 𝑺 𝒄𝟎
=
𝑸 𝑺 𝒄𝟎
𝑻𝟏 𝟒 𝑻𝟐 − 𝟏𝟎𝟎 𝟏𝟎𝟎 𝟏 𝟏 𝟏 + + 𝜺𝑨 𝜺𝑩 𝜺𝑪
Bez stínících ploch: 𝑸𝑵 = 𝑺 𝒄𝟎 𝜺𝟏𝟐
𝜺𝟏𝟐 =
𝟏 𝟏 𝟏 + + 𝜺𝑨 𝜺𝑩 𝜺𝑪
𝑻𝟏 𝟏𝟎𝟎
𝟒
𝟒
𝑻𝟐 − 𝟏𝟎𝟎
𝟒
𝟏 𝟏 𝟏 + 𝜺𝟐 𝜺𝟏 − 𝟏 8
Rozměrová analýza Příklad 1: Jakou rychlostí dopadne těleso z výšky h jen vlivem gravitace? 𝒗 = 𝒇(𝒉, 𝒈)
Gravitace – jediný možný vliv
𝒗 =
𝒎 𝒔
[𝒈] =
𝒎 𝒔𝟐
𝒉 =𝒎
Jak zkombinovat veličiny, aby souhlasily jednotky? 𝒎 𝒎 = 𝟐 𝒔 𝒔 𝒓𝟏 + 𝒓 𝟐 = 𝟏 −𝟐𝒓𝟏 = −𝟏
𝑟1
𝒎𝑟2 𝒓𝟏 = 𝟏/𝟐 𝒓𝟐 = 𝟏/𝟐
𝒗 = 𝑪 𝒉𝒈 9
Rozměrová analýza Příklad 2: Jakou rychlostí dopadne těleso z výšky h vlivem gravitace a tření? 𝒗 = 𝒇(𝒉, 𝒈, 𝜶)
Koeficient tření …. 𝑭 = 𝜶𝒗
𝒗 =
𝒎 𝒔
[𝒈] =
𝒎 𝒔𝟐
𝒉 =𝒎
[𝜶] =
𝒌𝒈 𝒔
Přítomnost kg nám neumožní zkombinovat jednotky, vztah 𝒗 = 𝒇(𝒉, 𝒈, 𝜶) nelze splnit. Byl zvolen špatně! 10
Rozměrová analýza Příklad 2: Jakou rychlostí dopadne těleso z výšky h vlivem gravitace a tření? 𝒗 = 𝒇(𝒉, 𝒈, 𝜶, 𝑴)
Hmotnost tělesa
𝒗 =
𝒎 𝒔
[𝒈] =
𝒎 𝒔𝟐
𝒉 =𝒎
𝜶 =
𝒌𝒈 𝒔
𝑴 = 𝒌𝒈
Jak zkombinovat veličiny, aby souhlasily jednotky? 𝒎 𝒎 = 𝟐 𝒔 𝒔
𝑟1
𝒎𝑟2
𝒌𝒈 𝒔
𝑟3
𝒓𝟏 + 𝒓𝟐 = 𝟏 −𝟐𝒓𝟏 − 𝒓𝟑 = −𝟏 𝒓𝟑 + 𝒓𝟒 = 𝟎
𝒌𝒈𝑟4 𝒓𝟐 = 𝟏 − 𝒓𝟏 𝒓𝟑 = 𝟏 − 𝟐𝒓𝟏 𝒓𝟒 = 𝟐𝒓𝟏 − 𝟏
11
Rozměrová analýza Příklad 2: Jakou rychlostí dopadne těleso z výšky h vlivem gravitace a tření? 𝒗 = 𝒇(𝒉, 𝒈, 𝜶, 𝑴) 𝒓𝟐 = 𝟏 − 𝒓𝟏 𝒓𝟑 = 𝟏 − 𝟐𝒓𝟏 𝒓𝟒 = 𝟐𝒓𝟏 − 𝟏
?
𝒗=𝑪
𝒈 𝑴 𝒉 𝜶
𝟐 𝒓𝟏
𝒉𝜶 𝑴
bezrozměrná veličina 𝒈 𝑴 𝚷𝟏 = 𝒉 𝜶
𝟐
,
veličina s rozměrem m/s
𝒗 𝒗𝑴 𝚷= = 𝒉𝜶 𝒉𝜶 𝑴
𝚷 = 𝑪𝚷𝟏 𝒓𝟏 12
Rozměrová analýza Příklad 2: Jakou rychlostí dopadne těleso z výšky h vlivem gravitace a tření? 𝒗 = 𝒇(𝒉, 𝒈, 𝜶, 𝑴)
𝚷 = 𝑭(𝚷𝟏 )
𝒈 𝑴 𝚷𝟏 = 𝒉 𝜶
𝟐
,
𝚷=
Každá možná závislost musí mít tento tvar!
𝒗 𝒗𝑴 = 𝒉𝜶 𝒉𝜶 𝑴
13
Rozměrová analýza Důsledek 1: Vyhodnocení velkého množství experimentů v
M M´ h h´
h
14
Rozměrová analýza Důsledek 1: Vyhodnocení velkého množství experimentů v
M M´ h h´
h 𝚷 𝒈 𝑴 𝚷𝟏 = 𝒉 𝜶
𝟐
,
𝚷=
𝒗𝑴 𝒉𝜶
𝚷 = 𝑭 𝚷𝟏
𝚷𝟏
15
Rozměrová analýza Důsledek 2: Provádění experimentů na modelu
M, a
M´, a´ h
? h´
Pak musí být
𝒗´𝑴´ 𝒉´𝜶´
=
𝒗𝑴 𝒉𝜶
Zvolíme model tak, aby bezrozměrný parametr 𝚷𝟏 byl stejné pro model i pro skutečné dílo
𝒈 𝑴´ 𝒉´ 𝜶´
𝟐
𝒗 = 𝒗´
𝒈 𝑴 = 𝒉 𝜶
𝟐
𝒉𝑴´𝜶 𝒉´𝑴𝜶´ 16
Teorie podobnosti Příklad odspoda zahřívaného systému Vrstvy kapaliny v horní části systému jsou hustší než ve spodní části. Dosáhne-li rozdíl teplot určité hodnoty, tíha horní vrstvy kapaliny převládne nad dosud stabilizujícími viskózními silami. V systému nastává konvekční proudění.
𝑻𝒄
𝑻𝒉 (> 𝑻𝒄 )
Ohřev spodních vrstev kapaliny vede k jejich expanzi, snížení hustoty a jejich stoupání působením vztlaku směrem vzhůru. Chladnější vrstvy v horních částech kapaliny klesají směrem ke dnu.
17
Teorie podobnosti Rayleighova – Bénardova nestabilita: vznik proudění
18
Teorie podobnosti Jaké rovnice popisují tento systém? Navier-Stokesovy rovnice:
výslednice gravitační a vztlakové síly
𝝏𝒘 + 𝛁. 𝒘 𝒘 = 𝝂𝛁𝟐 𝒘 + 𝐠𝛃 (𝑻 − 𝑻𝟎 ) 𝝏𝝉 Rovnice vedení tepla v pohybující se tekutině:
𝝏𝑻 + 𝒘. 𝛁𝑻 = 𝒂𝛁𝟐 𝑻 𝝏𝝉 Řada možných bezrozměrných parametrů:
𝒘𝒍 𝝂 𝒈𝒍𝟑 𝚷𝟏 = = 𝑹𝒆, 𝚷𝟐 = = 𝑷𝒓, 𝚷𝟑 = 𝜷∆𝑻 𝟐 = 𝑮𝒓, … 𝝂 𝒂 𝝂 19
Teorie podobnosti Řada možných bezrozměrných parametrů:
𝒘𝒍 𝝂 𝒈𝒍𝟑 𝚷𝟏 = = 𝑹𝒆, 𝚷𝟐 = = 𝑷𝒓, 𝚷𝟑 = 𝜷∆𝑻 𝟐 = 𝑮𝒓, … 𝝂 𝒂 𝝂 obsahuje a … vedení tepla Nějaký bezrozměrný parametr, který nás zajímá…
obsahuje b … roztažnost tekutiny
𝚷 = 𝑭(𝚷𝟏 , 𝚷𝟐 , 𝚷𝟑 , … )
20
Teorie podobnosti Řada možných bezrozměrných parametrů:
𝒘𝒍 𝝂 𝒈𝒍𝟑 𝚷𝟏 = = 𝑹𝒆, 𝚷𝟐 = = 𝑷𝒓, 𝚷𝟑 = 𝜷∆𝑻 𝟐 = 𝑮𝒓, … 𝝂 𝒂 𝝂 obsahuje a … vedení tepla Nějaký bezrozměrný parametr, který nás zajímá…
obsahuje b … roztažnost tekutiny
𝚷 = 𝑭(𝚷𝟏 , 𝚷𝟐 , 𝚷𝟑 , … ) 𝚷 = 𝑮 𝚷𝟐 𝚷𝟑 = 𝑮(𝑹𝒂) 21
Teorie podobnosti Rayleighovo číslo:
𝒈𝒍𝟑 𝑹𝒂 = 𝜷∆𝑻 𝒂𝝂
Ra = 2084
Ra = 2603
𝒍
Ra < 1707 … jen vedení tepla, tj. tekutina v klidu
Ra = 9215 22
Teorie podobnosti Rayleighovo číslo:
𝒈𝜹𝟑 𝑹𝒂 = 𝜷∆𝑻 𝒂𝝂
Přenos tepla ne příliš širokou štěrbinou: 𝝀 → 𝝀𝒆𝒌
𝜺𝒌 ≡
𝝀𝒆𝒌 𝝀
𝑻𝟐
𝝀𝒆𝒌 𝑸=𝑺 𝑻𝟏 − 𝑻𝟐 𝜹 𝚷
𝜺𝒌 = 𝟎, 𝟏𝟖 𝑹𝒂𝟎,𝟐𝟓 Pro 𝑹𝒂 < 𝟏𝟎𝟎𝟎
je
𝜺𝒌 = 𝟏
𝜹
𝑻𝟏 (> 𝑻𝟐 ) 23
Konec
Děkuji za pozornost
24
