Termomechanika 10. přednáška Doc. Dr. RNDr. Miroslav Holeček
Upozornění: Tato prezentace slouží výhradně pro výukové účely Fakulty strojní Západočeské univerzity v Plzni. Byla sestavena autorem s využitím citovaných zdrojů a veřejně dostupných internetových zdrojů. Využití této prezentace nebo jejich částí pro jiné účely, stejně jako její veřejné šíření je nepřípustné.
1
Sdílení tepla Sdílení tepla: • vedením (kondukce) • prouděním (konvekce) • sálání (radiace)
(Zdroj: ms.gsospg.cz)
2
Sdílení tepla Rovnice vedení tepla:
𝟐
𝛁 𝑻=
𝝏𝟐 𝑻 𝝏𝟐 𝒙
𝝏𝑻 𝒒𝒗 𝟐 =𝒂𝛁 𝑻+ 𝝏𝝉 𝝆𝒄
𝝏𝟐 𝑻 + 𝟐 𝝏 𝒚
𝝏𝟐 𝑻 + 𝟐 𝝏 𝒛
𝑻(𝒙, 𝒚, 𝒛) 𝒒𝒗 (𝒙, 𝒚, 𝒛) … zdroj tepla v místě (𝒙, 𝒚, 𝒛) Počáteční podmínky (např. v čase 𝝉 = 0) Okrajové podmínky 3 (zdroj: http://tor.cz)
Sdílení tepla Stacionární vedení tepla v rovinné stěně s vnitřním zdrojem (1D úloha!) 𝒒𝒗 𝟎= 𝒂𝛁 𝑻+ 𝝆 𝒄𝒑 𝝀 𝝏𝟐 𝑻 𝒒𝒗 𝟎= + 𝝆 𝒄𝒑 𝝏𝒙𝟐 𝝆 𝒄𝒑 𝟐
konstantní zdroj
𝑻=𝒇 𝒙 𝒅𝟐 𝑻 𝒒𝒗 = − 𝒅𝒙𝟐 𝝀 𝒅𝑻 𝒒𝒗 =− 𝒙 + 𝑪𝟏 𝒅𝒙 𝝀 𝒒𝒗 𝟐 𝑻=− 𝒙 + 𝑪𝟏 𝒙 + 𝑪𝟐 𝟐𝝀 4
Sdílení tepla Porovnání s předchozím výsledkem (bez tepelného zdroje, jen využitím Fourierova zákona) 𝒒 = −𝝀 𝒈𝒓𝒂𝒅 𝑻 /. 𝑺 𝒅𝑻 𝑸 = −𝝀 𝑺 𝒅𝒙 𝑸 𝒅𝑻 = − 𝒅𝒙 𝝀𝑺 𝑸 𝑻=− 𝒙+𝑪 𝝀𝑺 𝒙 = 𝟎; 𝑻 = 𝑻𝟏 ; 𝑻𝟏 = −𝟎 + 𝑪 𝑸 𝒙 = 𝜹; 𝑻 = 𝑻𝟐 ; 𝑻𝟐 = − 𝜹 + 𝑻𝟏 𝝀𝑺
𝝀 𝑸=𝑺 𝑻 − 𝑻𝟐 𝜹 𝟏 5
Sdílení tepla Jaký má být vnitřní ohřev desky, aby byl nulový tok tepla do desky zleva? Pak pro 𝒙 = 𝟎 je
( 𝒅𝑻 =𝟎 𝒅𝒙
Pro teploty 𝑻𝟏 a 𝑻𝟐 : 𝒙 = 𝟎; 𝒙 = 𝜹;
⟹
𝒅𝑻 𝒅𝒙
=−
𝒒𝒗 𝝀
𝒙 + 𝑪𝟏 )
𝒄𝟏 = 𝟎
𝒒𝒗 𝑻𝟏 = − ⋅ 𝟎 + 𝑪𝟐 𝟐𝝀 𝒒𝒗 𝟐 𝑻𝟐 = − ⋅ 𝜹 + 𝑪𝟐 𝟐𝝀
𝒒𝒗 =
𝟐𝝀 𝑻𝟏 − 𝑻𝟐 𝜹𝟐
6
Sdílení tepla Fourierova metoda řešení nestacionárního vedení tepla Pro 𝒒𝒗 = 𝟎
𝝏𝑻 = 𝒂 𝛁𝟐 𝑻 𝝏𝝉
Řešení hledáme ve tvaru: 𝑻(𝒙, 𝝉) = 𝑪 𝜸 𝝉 𝜺 𝒙 Dosazení: 𝑪 𝜺 𝒙 𝜸′ 𝝉 = 𝒂 𝑪 𝜸 𝝉 𝜺´´(𝒙) 𝜸′ 𝝉 𝜺´´ 𝒙 =𝒂 = 𝒌𝒐𝒏𝒔𝒕 ≡ 𝑲 𝜸 𝝉 𝜺 𝒙 𝜺´´ 𝒙 = 𝒂−𝟏 𝑲 𝜺 𝒙 Víme, že
….
𝐜𝐨𝐬´´ 𝐤𝐱 = −𝒌𝟐 𝒄𝒐𝒔 𝒌𝒙
𝐬𝐢𝐧´´ 𝐤𝐱 = −𝒌𝟐 𝒔𝒊𝒏(𝒌𝒙)
𝑲 = − 𝒂 𝒌𝟐
7
Sdílení tepla 𝜸′ 𝝉 = 𝑲 = −𝒂 𝒌𝟐 𝜸 𝝉
𝜸′ 𝝉 = −𝜸 𝝉 𝒂𝒌𝟐 𝟐 𝜸 𝝉 = 𝒆−𝒂𝒌 𝝉 𝜺′′ 𝒙 𝒂 = −𝒂 𝒌𝟐 𝜺 𝒙
𝟐
𝑻(𝒙, 𝝉) = 𝑪 𝒆−𝒂𝒌
𝝉
𝟐
𝒄𝒐𝒔 𝒌𝒙 + 𝑫 𝒆−𝒂𝒌
𝝉
𝒔𝒊𝒏 𝒌𝒙
Pozor, počáteční podmínka je ovšem: 𝑻(𝒙, 𝟎) = 𝑪 𝒄𝒐𝒔 𝒌𝒙 + 𝑫 𝒔𝒊𝒏 𝒌𝒙
8
Sdílení tepla Numerické řešení 1 dim. nestacionární vedení tepla, 𝝀 = 𝒌𝒐𝒏𝒔𝒕
𝝏𝑻 𝝏𝝉
≐
𝑻𝒅 −𝑻𝒂 ∆𝝉
𝑻𝒃 = 𝑻𝒂 +
𝝏𝑻 𝝏𝒙
𝑻𝒄 = 𝑻𝒂 +
𝝏𝑻 𝝏𝒙
∆𝒙 +
𝟏 𝝏𝟐 𝑻 𝟐 𝝏𝒙𝟐
−∆𝒙 +
∆𝒙𝟐 + ⋯
𝟏 𝝏𝟐 𝑻 𝟐 𝝏𝒙𝟐
−∆𝒙
𝟐
+⋯ 9
Sdílení tepla Dosazení do rovnice vedení tepla:
𝑻𝒃 + 𝑻𝒄 ≅ 𝟐 ⟹
𝝏𝟐 𝑻 𝝏𝒙𝟐
≅
𝝏𝟐 𝑻 𝑻𝒂 + 𝟐 𝝏𝒙
𝟏 ∆𝒙𝟐
∆𝒙𝟐
𝑻𝒃 + 𝑻𝒄 − 𝟐 𝑻𝒂
𝑻𝒅 − 𝑻𝒂 𝟏 =𝒂 𝑻 + 𝑻𝒄 − 𝟐 𝑻𝒂 ∆𝝉 ∆𝒙𝟐 𝒃 𝑻𝒅 − 𝑻𝒂 = 𝒂
∆𝝉 𝑻𝒃 + 𝑻𝒄 − 𝟐 𝑻𝒂 𝟐 ∆𝒙
𝑻𝒅 (𝑻𝒂 , 𝑻𝒃 , 𝑻𝒄 )
10
Sdílení tepla Sdílení tepla prouděním (konvekcí) Přenos tepla v tekutině je často spojen se současným prouděním tekutiny. Rozlišujeme: – PŘIROZENOU KONVEKCI: proudění je vyvoláno změnou hustoty vlivem ohřevu tekutiny a gravitací – NUCENOU KONVEKCI: pohyb tekutiny vyvolán vnějším účinkem (čerpadlo, ventilátor, apod.)
Řešeno složitým systémem rovnic Podmínky jednoznačnosti: 1. geometrické (tvar a velikost tělesa) 2. fyzikální (hodnota fyzikálních veličin) 3. časové (časový průběh teploty na stěně) 4. okrajové: 1. druhu: teplota stěny 2. druhu: tepelný tok na stěně 3. druhu: teplota tekutiny a součinitel přestupu tepla 𝜶 11
Sdílení tepla Jak vzniká přirozená konvekce? Příklad odspoda zahřívaného systému Vrstvy kapaliny v horní části systému jsou hustší než ve spodní části. Dosáhne-li rozdíl teplot určité hodnoty, tíha horní vrstvy kapaliny převládne nad dosud stabilizujícími viskózními silami. V systému nastává konvekční proudění.
𝑻𝒄
𝑻𝒉 (> 𝑻𝒄 )
Ohřev spodních vrstev kapaliny vede k jejich expanzi, snížení hustoty a jejich stoupání působením vztlaku směrem vzhůru. Chladnější vrstvy v horních částech kapaliny klesají směrem ke dnu.
12
Sdílení tepla Rayleighova – Bénardova nestabilita
13
Sdílení tepla Teorie podobnosti
? 14
Sdílení tepla Teorie podobnosti
Nutno zvýšit svalový „průřez“… 15
Sdílení tepla Teorie podobnosti
16
Sdílení tepla Teorie podobnosti 1. Experimentátor provádí měření na modelu. 2. Jak přenést výsledky z modelu na reálné dílo? 3. Základní předpoklad: jevy na modelu i na díle jsou popsány stejnými rovnicemi.
Zavedeme měřítka 𝒍𝑴 𝒍𝑫
Měřítko geometrické:
𝒄𝒍 =
Měřítko času:
𝒄𝝉 =
A podobně dále…
𝝉𝑴 𝝉𝑫
𝒄𝑻 =
𝑻𝑴 𝑻𝑫
𝒄𝒘 =
𝒘𝑴 𝒘𝑫 17
Sdílení tepla Rovnice vedení tepla pro model: 𝝏𝑻𝑴 𝝏𝑻𝑴 𝝏𝑻𝑴 𝝏𝑻𝑴 𝝏𝟐 𝑻𝑴 + 𝒘 + 𝒘 + 𝒘 = 𝒂𝑴 +⋯ 𝝏𝝉𝑴 𝝏𝒙𝑴 𝒙𝑴 𝝏𝒚𝑴 𝒚𝑴 𝝏𝒛𝑴 𝒛𝑴 𝝏𝒙𝑴 𝟐 Substituce: 𝑻 𝑴 = 𝒄𝑻 𝑻 𝑫 𝒙𝑴 = 𝒄 𝒍 𝒙𝑫 𝝉𝑴 = 𝒄𝝉 𝝉𝑫 𝒚𝑴 = 𝒄 𝒍 𝒚𝑫 𝒘𝑴 = 𝒄𝒘 𝒘𝑫 𝒛𝑴 = 𝒄𝒍 𝒛𝑫 𝒂𝑴 = 𝒄𝒂 𝒂𝑫
Změna měřítka
𝝏𝑻𝑫 𝒄𝑻 𝝏𝑻𝑫 𝒄𝑻 𝝏𝑻𝑫 𝒄𝑻 𝝏𝟐 𝑻𝑫 𝒄𝑻 + 𝒘 𝒄 + 𝒘 𝒄 + ⋯ = 𝒂𝑫 𝒄𝒂 +⋯ 𝝏𝝉𝑫 𝒄𝝉 𝝏𝒙𝑫 𝒄𝒍 𝒙𝑫 𝒘 𝝏𝒚𝑫 𝒄𝒍 𝒚𝑫 𝒘 𝝏𝒙𝑫 𝟐 𝒄𝒍 𝟐 Rovnice vedení tepla pro dílo: 𝝏𝑻𝑫 𝝏𝑻𝑫 𝝏𝑻𝑫 𝝏𝟐 𝑻𝑫 + 𝒘 + 𝒘 + ⋯ = 𝒂𝑫 +⋯ 𝝏𝝉𝑫 𝝏𝒙𝑫 𝒙𝑫 𝝏𝒚𝑫 𝒚𝑫 𝝏𝒙𝑫 𝟐 18
Sdílení tepla Má-li rovnice pro model být identická s rovnicí pro dílo, pak: 𝒄𝑻 𝒄𝑻 𝒄𝒘 𝒄𝒂 𝒄𝑻 = = 𝒄𝝉 𝒄𝒍 𝒄𝒍 𝟐 Porovnáním:
𝒄𝑻 𝒄𝒂 𝒄𝑻 𝒄 𝒂 𝒄𝝉 = ⟹ =𝟏 𝒄𝝉 𝒄𝒍 𝟐 𝒄𝒍 𝟐
Dosazením:
Odtud:
𝒂𝑴 𝝉𝑴 𝒍𝑫 𝟐 𝒂𝑫 𝝉𝑫 𝒍𝑴 𝒂𝑴 𝝉𝑴
𝒂𝑫 𝝉𝑫
𝒍𝑴 𝟐
Podobnostní číslo:
=𝟏
𝟐
=
𝒍𝑫 𝟐
𝒂𝝉 = 𝑭𝒐 𝒍𝟐
(𝐅𝐨𝐮𝐫𝐢𝐞𝐫𝐨𝐯𝐨) 19
Sdílení tepla Podobně:
𝒄𝑻 𝒄𝒘 𝒄𝒂 𝒄𝑻 = 𝒄𝒍 𝒄𝒍 𝟐
𝒄𝑻 𝒄𝑻 𝒄𝒘 𝒄𝒂 𝒄𝑻 = = 𝒄𝝉 𝒄𝒍 𝒄𝒍 𝟐
𝒄𝒘 𝒄𝒍 =𝟏 𝒄𝒂
𝒘𝒍 = 𝑷𝒆 𝒂
(𝐏𝐞𝐜𝐥𝐞𝐭𝐨𝐯𝐨)
20
Sdílení tepla Okrajová podmínka 3. druhu: −𝝀𝒔 𝒈𝒓𝒂𝒅 𝑻
𝒔
= 𝜶 𝑻𝒔 − 𝑻𝒕
𝒅𝑻 −𝝀𝒔 = 𝜶 𝑻 𝒔 − 𝑻𝒕 𝒅𝒙 𝒄 𝝀𝒔 𝒄𝜶 𝒄𝒍 =𝟏 𝒄 𝝀𝒔
⟹
𝒄𝑻 = 𝒄𝜶 𝒄𝑻 𝒄𝒍 𝜶𝒍 = 𝑩𝒊 𝝀𝒔
(𝐁𝐢𝐨𝐭𝐨𝐯𝐨)
21
Sdílení tepla Rovnice přecházení tepla: −𝝀𝒕 𝒈𝒓𝒂𝒅 𝑻
𝒕
= 𝜶 𝑻𝒔 − 𝑻𝒕
𝒄𝑻 𝒄 𝝀𝒕 = 𝒄𝜶 𝒄𝑻 𝒄𝒍
𝜶𝒍 = 𝑵𝒖 𝝀𝒕
(𝐍𝐮𝐬𝐬𝐞𝐥𝐭𝐨𝐯𝐨)
22
Sdílení tepla Navier-Stokesovy rovnice:
𝝏𝒘𝒙 𝝏𝒘𝒙 𝝏𝒘𝒙 𝝏𝒘𝒙 𝟏 𝝏𝒑 + 𝒘𝒙 + 𝒘𝒚 + 𝒘𝒛 = 𝒈𝒛 − + 𝝏𝝉 𝝏𝒙 𝝏𝒚 𝝏𝒛 𝝆 𝝏𝒙 𝟏 𝝏 𝝏𝒘𝒙 𝝏𝒘𝒙 𝝏𝒘𝒙 𝝏𝟐 𝒘𝒙 𝝏𝟐 𝒘𝒚 𝝏𝟐 𝒘𝒛 + 𝝂 + + +𝝂 + + 𝟑 𝝏𝒙 𝝏𝒙 𝝏𝒚 𝝏𝒛 𝝏𝒙𝟐 𝝏𝒚𝟐 𝝏𝒛𝟐 𝒄𝒑 𝒄𝒘 𝒄𝒘 𝟐 𝒄𝒘 = = 𝒄𝒈 = = 𝒄𝝂 𝟐 𝒄𝝉 𝒄𝒍 𝒄 𝝆 𝒄𝒍 𝒄𝒍
23
Sdílení tepla Porovnáním: 1.-2.:
𝒄𝒘 𝒄𝒘 𝟐 𝒄 𝒘 𝒄𝝉 = ⟹ =𝟏 𝒄𝝉 𝒄𝒍 𝒄𝒍 𝒘𝝉 = 𝑺𝒉 (𝐒𝐭𝐫𝐨𝐮𝐡𝐚𝐥) 𝒍
2.-3.:
2.-4.:
𝒄𝒘 𝟐 = 𝒄𝒈 ⟹ 𝒄𝒍 𝒄𝒑 𝒄𝒘 𝟐 = 𝒄𝒍 𝒄𝝆 𝒄𝒍
2.-5.: 𝒄𝒘 𝟐 𝒄𝒘 = 𝒄𝝂 𝟐 𝒄𝒍 𝒄𝒍
⟹
⟹
𝒈𝒍 = 𝑭𝒓 𝒘𝟐
(𝐅𝐫𝐨𝐮𝐝𝐞)
𝒑 = 𝑬𝒖 𝝆 𝒘𝟐
(𝐄𝐮𝐥𝐞𝐫)
𝒘𝒍 = 𝑹𝒆 𝝂
(𝐑𝐞𝐲𝐧𝐨𝐥𝐝𝐬) 24
Sdílení tepla Podobnostní čísla – bezrozměrné veličiny!
Každá bezrozměrná kombinace veličin – podobnostní číslo Příklad:
1 V V t p 𝒈𝒍𝟑 = 𝑮𝒂 𝝂𝟐
𝒈𝒍𝟑 𝜷∆𝑻 𝟐 = 𝑮𝒂 𝝂 𝑷𝒓 =
𝜷∆𝑻 … podobnostní číslo 𝐆𝐚𝐥𝐢𝐥𝐞𝐨
𝐆𝒓𝒂𝒔𝒔𝒉𝒐𝒇𝒇
𝑷𝒆 𝒘𝒍 𝝂 𝝂 = = 𝑹𝒆 𝒂 𝒘𝒍 𝒂
𝑷𝒓𝒂𝒏𝒅𝒕𝒍 25
Sdílení tepla Kriteriální rovnice Výsledky experimentu na modelu
𝜶 = 𝒇 𝜷, 𝑻, 𝒘, 𝝂, 𝝀𝒕 , 𝝉, … se zpracují ve formě podob. čísel (kritérií podobnosti): 𝑵𝒖 = 𝒇 𝑮𝒓, 𝑷𝒓, 𝑹𝒆, 𝑭𝒐
POZOR! charakteristický rozměr
Pro stacionární (ustálený stav): 𝑵𝒖 = 𝒇 𝑮𝒓, 𝑷𝒓, 𝑹𝒆 Pro přirozenou konvekci: 𝑵𝒖 = 𝒇 𝑮𝒓, 𝑷𝒓 Pro nucenou konvekci:
𝒘𝒍 = 𝑹𝒆 𝝂 charakteristická rychlost
𝑵𝒖 = 𝒇 𝑷𝒓, 𝑹𝒆 26
Sdílení tepla Přirozená konvekce v neomezeném prostoru
zahřívaná deska
zahřívaná deska
27
Sdílení tepla Přirozená konvekce v neomezeném prostoru Kolem vodorovného potrubí: Pro 𝟏𝟎𝟑 < 𝑮𝒓𝒕,𝒅 𝑷𝒓𝒕 < 𝟏𝟎𝟖 𝑵𝒖𝒕,𝒅 = 𝟎, 𝟓𝟎 𝑮𝒓𝒕,𝒅 𝑷𝒓𝒕 Kolem svislé plochy: a) 𝟏𝟎𝟑 < 𝑮𝒓𝒕,𝒉 𝑷𝒓𝒕 < 𝟏𝟎𝟗
𝑷𝒓𝒕 𝑷𝒓𝒔
𝟎,𝟐𝟓
𝑷𝒓𝒕 𝑷𝒓𝒔
𝟎,𝟐𝟓
(𝐥𝐚𝐦𝐢𝐧. )
𝑵𝒖𝒕,𝒉 = 𝟎, 𝟕𝟔 𝑮𝒓𝒕,𝒉 𝑷𝒓𝒕 b) 𝑮𝒓𝒕,𝒙 𝑷𝒓𝒕 > 𝟏𝟎𝟗
𝟎,𝟐𝟓
𝟎,𝟐𝟓
(𝐭𝐮𝐫𝐛𝐮𝐥. )
𝑵𝒖𝒕,𝒙 = 𝑵𝒖𝒕,𝒉 = 𝟎, 𝟏𝟓 𝑮𝒓𝒕,𝒙 𝑷𝒓𝒕
𝟎,𝟑𝟑
𝑷𝒓𝒕 𝑷𝒓𝒔
𝟎,𝟐𝟓
28
Konec
Děkuji za pozornost
29
