Termomechanika 6. přednáška Doc. Dr. RNDr. Miroslav Holeček Upozornění: Tato prezentace slouží výhradně pro výukové účely Fakulty strojní Západočeské univerzity v Plzni. Byla sestavena autorem s využitím citovaných zdrojů a veřejně dostupných internetových zdrojů. Využití této prezentace nebo jejich částí pro jiné účely, stejně jako její veřejné šíření je nepřípustné. 1
Vratný a nevratný proces •
Vratný proces: Systém je v každém okamžiku ve statické mechanické rovnováze a v tepelné rovnováze. 2. Pokud je v nějaké fázi procesu systém v tepelném kontaktu s okolím, je jeho teplota vždy rovna teplotě okolí. Jde o idealizaci, kterou si můžeme představit jako velmi pomalý proces (kvazistatický), který můžeme v každém okamžiku jednoduchou mechanickou akcí zastavit a začít realizovat pozpátku. Při tomto zpětném chodu, probíhají všechny toky energií (teplo, práce) s opačným znaménkem – tedy například pokud systém přijímal teplo Q, při zpětném chodu jej odevzdává („přijímá“ tedy teplo –Q). 1.
•
Nevratný proces: každý reálný proces, protože: 1. 2.
Systém není nikdy úplně ve statické mechanické rovnováze. Vyskytují se rozdíly teplot jak uvnitř systému tak mezi systémem (pracovním médiem) a okolím (vždy např. tření apod.).
2
Ideální a neideální plyn •
Ideální plyn: 1.
2.
3.
•
Model plynného média, který velmi dobře aproximuje vlastnosti reálných plynů, zejména při běžných a vyšších teplotách a ne zcela extrémních tlacích. Použití ideálního plynu jako modelu pracovního média umožní proces velmi dobře matematicky popsat (například spočítat průběhy tlaků, teplot, vykonanou práci apod.). Ideální plyn se často používá i při popisu (modelování) nevratných procesů – například při rychlých procesech, kdy se mohou šířit v plynu tlakové vlny, kdy se objevují různě teplá místa v systému a vznikají tepelné toky uvnitř systému apod.
Neideální plyn: 1. 2.
Model neideálního plynu je složitější než model ideálního plynu, zohledňuje například možnost zkapalnění plynu apod. Používá se v případech, kdy nastávají procesy, které nelze popsat ideálním plynem nebo nastávají tak extrémní podmínky, kdy se chování plynu významně odchyluje od ideálního.
3
Popis vratného procesu •
Idealizace vratným procesem umožní přiřadit systému v každém okamžiku několik málo stavových veličin (nejsou zde teplotní či tlakové gradienty, v každém okamžiku máme jedinou teplotu apod.)! Jen to nám umožňuje znázorňovat procesy jednoduchými diagramy (např p-V, T-s, h-s apod.)
• p
1
p,v
T(p,v) s(p,v)
2 4
Vratný proces a kruhový děj (oběh) •
•
p
Vratný proces nesouvisí s kruhovým oběhem - cyklem, při němž se systém vrací do původního stavu! Můžeme mít oběhy vratné i nevratné. Nevratný znamená, že jej nelze realizovat v opačném chodu.
p
1
v
1
v
5
Dvojí idealizace •
I tzv. „reálný proces“ namalovaný v termodynamickém diagramu je ovšem již idealizací (protože opravdu reálný proces bychom nemohli vůbec do tak jednoduchého diagramu namalovat!)
idealizace
•
Zde jde o zjednodušení (idealizaci) ve smyslu náhrady složitého procesu několika jednoduchými ději (adiabatický, izobarický apod.)
6
Dvojí idealizace •
Tj. jde o dvojí idealizaci: střední tlak
p
Th
ph pd
ph
Td Th v
v pd Td
7
Dvojí idealizace •
Tj. jde o dvojí idealizaci: střední tlak
p
Th
ph pd
ph
Td Th v
v pd Td
8
Dvojí idealizace •
Tj. jde o dvojí idealizaci: střední tlak
p
Th
ph pd
ph
Td Th v
v pd Td
Idealizace 2: zjednodušení dějů
9
Směs ideálních plynů V
V
m1
p2
p1 T
m2
T
N1
N2
Každý plyn ve směsi ideálních plynů se chová tak, jako kdyby byl v celém objemu sám a vyvozuje parciální tlak.
V
m1+m2
p1 +p2 T
N1 +N2
Daltonův zákon: Celkový tlak ve směsi plynů je roven součtu parciálních tlaků. 10
Směs ideálních plynů V
V
m1
p2
p1 T
Každý plyn ve směsi ideálních plynů se chová tak, jako kdyby byl v celém objemu sám a vyvozuje parciální tlak.
m2
T
N1
N2
piV ni RmT
V
pi vi riT m1+m2
p1 +p2 T
N1 +N2
piV mi riT
11
Směs ideálních plynů Míchání plynu o stejném tlaku a teplotě:
Vi p
V Jaké parciální tlaky mají plyny ve výsledné směsi? Parciální tlaky plynů již nejsou p, protože každý z nich se rozepnul ze svého objemu Vi na stejný objem V.
pi 12
Směs ideálních plynů Objemové podíly složek směsi: 𝑽𝟏 𝑽𝟐 𝑽𝒊 𝝎𝟏 = ; 𝝎𝟐 = ; … ; 𝝎𝒊 = 𝑽 𝑽 𝑽 Platí: 𝑽= 𝟏=
𝑽𝒊
𝑽𝒊 ⟹ 𝑽
/: 𝑽 𝝎𝒊 = 𝟏
Hmotnostní podíly:
𝒎𝟏 𝒎𝟐 𝒎𝒊 𝝈𝟏 = ;𝝈 = ; … ; 𝝈𝒊 = 𝒎 𝟐 𝒎 𝒎
Platí: 𝐦= 𝟏=
𝒎𝒊 𝒎𝒊 ⟹ 𝒎
/: 𝒎 𝝈𝒊 = 𝟏 13
Směs ideálních plynů Parciální tlak: a) i-tá složka ve směsi směs
𝒑𝒊 𝑽 = 𝒎𝒊 𝒓𝒊 𝑻 𝒑𝑽=𝒎𝒓𝑻 𝒑𝒊 𝒎𝒊 𝒓𝒊 = ⋅ 𝒑 𝒎 𝒓 𝒓𝒊 𝒑𝒊 = 𝒑 𝝈𝒊 𝒓
b) i-tá složka ve směsi 𝒑𝒊 𝑽 = 𝒎𝒊 𝒓𝒊 𝑻 i-tá složka před smísením 𝒑 𝑽𝒊 = 𝒎𝒊 𝒓𝒊 𝑻 𝒑𝒊 𝑽 = 𝒑 𝑽𝒊 𝑽𝒊 𝒑𝒊 = 𝒑 𝑽 𝒑𝒊 = 𝒑 𝝎𝒊
14
Směs ideálních plynů Měrný objem směsi: a) 𝑽 = 𝑽𝟏 + 𝑽𝟐 + 𝑽𝟑 = 𝒎𝟏 𝒗𝟏 + 𝒎𝟐 𝒗𝟐 + 𝒎𝟑 𝒗𝟑 /: 𝒎 𝒎𝟏 𝒎𝟐 𝒎𝟑 𝒗= 𝒗 + 𝒗 + 𝒗 𝒎 𝟏 𝒎 𝟐 𝒎 𝟑 𝒗=
𝝈𝒊 𝒗𝒊
b) 𝒎 = 𝒎𝟏 + 𝒎𝟐 + 𝒎𝟑 = 𝝆𝟏 𝑽𝟏 + 𝝆𝟐 𝑽𝟐 + 𝝆𝟑 𝑽𝟑 /: 𝑽
𝝆 = 𝝆𝟏
𝑽𝟏 𝑽𝟐 𝑽𝟑 + 𝝆𝟐 + 𝝆𝟑 𝑽 𝑽 𝑽
𝝆= 𝒗=
𝝎𝒊 𝝆𝒊 𝟏 𝝎𝒊 𝝆𝒊
15
Směs ideálních plynů Střední molární hmotnost směsi: 𝒎 𝑴= 𝒏 𝒎=
𝒎𝒊 ;
𝒏=
𝒏𝒊
𝒎𝟏 𝒎𝟐 𝒎𝟑 𝒎𝒊 𝑴𝟏 = ; 𝑴𝟐 = ; 𝑴𝟑 = ; … 𝑴𝒊 = 𝒏𝟏 𝒏𝟐 𝒏𝟑 𝒏𝒊 a)
𝒎 𝑴= ; 𝒏 𝑴=
𝒏=
𝒎 𝒎𝒊 = 𝑴𝒊 𝑴=
𝒏𝒊 = 𝒎 𝒎 = 𝒎𝒊 𝒎 𝑴𝒊
𝒎𝒊 𝑴𝒊 𝟏 𝝈𝒊 𝑴𝒊
𝟏 𝝈𝒊 𝑴𝒊 16
Směs ideálních plynů b)
𝒎 𝑴= ; 𝒏 𝑴=
𝒎=
𝒎𝒊 =
𝑴𝒊 𝒏𝒊 = 𝒏
𝑴𝒊 𝒏𝒊
𝒏𝒊 𝑴𝒊 𝒏
𝒏𝒊 = 𝝎𝒊 𝒏 𝒎𝒊 𝒎𝒊 𝑽𝒊 𝒏𝒊 𝝆 𝑴 𝝎𝒊 = = 𝒎𝒊 = 𝒎𝒊 = 𝑽 𝒏 𝝆 𝑴 𝑴=
𝑴 𝒊 𝝎𝒊 17
Směs ideálních plynů Plynová konstanta směsi: a) 𝒑𝟏 𝑽 = 𝒎𝟏 𝒓𝟏 𝑻 𝒑𝟐 𝑽 = 𝒎𝟐 𝒓𝟐 𝑻 𝑽 𝒑𝟏 + 𝒑𝟐 + ⋯ = 𝑻 𝒎𝟏 𝒓𝟏 + 𝒎𝟐 𝒓𝟐 + ⋯
𝑽
𝒑𝒊 = 𝑻
𝒎𝒊 𝒓𝒊
𝒑𝑽=𝑻
𝒎𝒊 𝒓𝒊
𝒑𝑽=𝒎𝒓𝑻 𝒓=
𝒎𝒊 𝒓𝒊 𝒎
𝒓=
𝝈 𝒊 𝒓𝒊
směs
18
Směs ideálních plynů 𝒓=
b)
𝑹𝒊 = 𝑹𝒎 𝑴𝒊 𝟏 𝑴= 𝝈 𝒊 𝑴𝒊 𝑹𝒎 𝒓= 𝑴
𝝈𝒊
𝝈𝒊 𝑴𝒊
𝒑 𝑽𝒊 𝒑 𝑽𝒊 = 𝒓𝒊 𝑻 𝑻 𝒓𝒊 𝒑𝑽 𝒑 𝑽 𝒎= = ⋅ 𝐬𝐦ě𝐬 𝒓𝑻 𝑻 𝒓
𝒎=
𝒎𝒊 =
𝑽 𝑽𝒊 = 𝒓 𝒓𝒊 𝑽 𝟏 𝒓= = 𝝎 𝑽𝒊 𝒊 𝒓𝒊 𝒓𝒊
19
Směs ideálních plynů 𝑹𝒎 𝒓𝒊 = 𝑴𝒊
𝒓=
𝟏 𝝎𝒊 = 𝑹𝒎 𝑴𝒊 𝒓=
𝑴=
𝒓=
𝑹𝒎 𝝎𝒊 𝑴𝒊
𝑹𝒎 𝝎𝒊 𝑴 𝒊 𝑴 𝒊 𝝎𝒊 𝑹𝒎 𝑴 20
Směs ideálních plynů Vyjádření 𝝈𝒊 pomocí 𝝎𝒊 : 𝒎𝒊 𝒎𝒊 𝑽𝒊 𝝆𝒊 𝑽𝒊 𝑴𝒊 𝝈𝒊 = = = = 𝒎 𝒎𝒊 𝑽𝒊 𝝆𝒊 𝑽𝒊 𝑴𝒊 𝑽𝒊 𝑴𝒊 𝝎𝒊 𝑴𝒊 𝝎𝒊 𝑴𝒊 𝑽 𝝈𝒊 = = = 𝑽𝒊 𝝎 𝒊 𝑴𝒊 𝑴 𝑴 𝒊 𝑽 Vyjádření 𝝎𝒊 pomocí 𝝈𝒊 :
𝒎𝒊 𝒎𝒊 𝒎𝒊 𝟏 𝑽𝒊 𝝆𝒊 𝑴 𝒎 𝑴𝒊 𝝎𝒊 = = 𝒎 = 𝒎𝒊 = 𝒎𝒊 𝟏 𝒊 𝒊 𝑽 𝝆𝒊 𝑴𝒊 𝒎 𝑴𝒊 𝝈𝒊 𝑴 𝝎𝒊 = 𝝈𝒊 = 𝑴 𝒊 𝑴𝒊
𝝈𝒊 𝑴𝒊 21
Směs ideálních plynů Směšování plynů o různých teplotách a) Stálý součet objemů 𝒅𝑸 = 𝒅𝑼 + 𝒅𝑨 𝒅𝑸 = 𝟎 𝒅𝑨 = 𝟎 𝒅𝑼 = 𝟎 ⟹ 𝑼 = 𝒌𝒐𝒏𝒔𝒕 𝑼𝟏 + 𝑼𝟐 = 𝑼 𝒎𝟏 𝒄𝒗𝟏 (𝒕𝟏 − 𝒕) + 𝒎𝟐 𝒄𝒗𝟐 (𝒕𝟐 − 𝒕) = 𝟎 𝒎𝟏 𝒄𝒗𝟏 𝒕𝟏 + 𝒎𝟐 𝒄𝒗𝟐 𝒕𝟐 𝒕= 𝒎𝟏 𝒄𝒗𝟏 + 𝒎𝟐 𝒄𝒗𝟐 𝒕=
𝒎𝒊 𝒄𝒗𝒊 𝒕𝒊 𝒎𝒊 𝒄𝒗𝒊
Můžeme si představit, že nejprve dáme plyny do kontaktu a necháme vyrovnat teploty. Toto je výsledná teplota. Pak smísíme jako předtím.
22
Opakování: kontrolní objem První zákon pro celkovou energii:
E2 E1 A12 Q12
1 E U pV mgz mw2 2 Avtlac pV
… vtlačovací práce
At A12
Q Q12
E1 Q12 E2 A12 1 1 2 U1 p1V1 mgz1 mw1 Q U 2 p2V2 mgz2 mw22 At 23 2 2
Opakování: kontrolní objem 1 1 2 H1 mgz1 mw1 Q H 2 mgz2 mw22 At 2 2 1 Q H mg ( z2 z1 ) m( w22 w12 ) At 2 1
m
1 2 q h g ( z2 z1 ) ( w2 w12 ) at 2 24
Směs ideálních plynů b) Směšování proudů 𝒅𝑸 = 𝒅𝑯 + 𝒅𝑨𝒕 + 𝒎 𝒘 𝒅𝒘 + 𝒎 𝒈 𝒅𝒚
𝒅𝒚 = 𝟎 𝒅𝑸 = 𝟎 𝒅𝑨𝒕 = 𝟎 (dp = 0) 𝒅𝑯 + 𝒎 𝒘 𝒅𝒘 = 𝟎 𝒘𝟏 𝟐 𝒘𝟐 𝟐 𝒘𝟐 𝑯𝟏 + 𝑯𝟐 − 𝑯 = −𝒎𝟏 − 𝒎𝟐 + 𝒎𝟏 + 𝒎𝟐 𝟐 𝟐 𝟐
w
𝑯𝟏 + 𝑯𝟐 − 𝑯 = 𝟎
Změna kinetické energie spojené s proudem je zanedbatelná proti změně vnitřní energie (tedy i entalpie) při změnách teplot
𝒎𝟏 𝒄𝒑𝟏 (𝒕𝟏 −𝒕) + 𝒎𝟐 𝒄𝒑𝟐 (𝒕𝟐 − 𝒕) = 𝟎
𝒕=
𝒎𝟏 𝒄𝒑𝟏 𝒕𝟏 +𝒎𝟐 𝒄𝒑𝟐 𝒕𝟐 𝒎𝟏 𝒄𝒑𝟏 +𝒎𝟐 𝒄𝒑𝟐
𝒕=
𝒎𝒊 𝒄𝒑𝒊 𝒕𝒊 𝒎𝒊 𝒄𝒑𝒊 25
Směs ideálních plynů Měrná tepelná kapacita směsi: a) Stálý součet objemů ∆𝒕 𝒎𝟏 𝒄𝒗𝟏 + 𝒎𝟐 𝒄𝒗𝟐 = ∆𝒕 𝒄𝒗 𝒎𝟏 + 𝒎𝟐 𝒎𝟏 𝒄𝒗𝟏 + 𝒎𝟐 𝒄𝒗𝟐 𝒎𝟏 + 𝒎𝟐 𝒎 = 𝒎𝟏 + 𝒎𝟐
𝒄𝒗 =
𝒄𝒗 =
𝝈𝒊 𝒄𝒗𝒊
b) Směšování proudů ∆𝒕 𝒎𝟏 𝒄𝒑𝟏 + 𝒎𝟐 𝒄𝒑𝟐 = ∆𝒕 𝒄𝒑 𝒎𝟏 + 𝒎𝟐 𝒎𝟏 𝒄𝒑𝟏 + 𝒎𝟐 𝒄𝒑𝟐 𝒄𝒗 = 𝒎𝟏 + 𝒎𝟐 𝒄𝒗 =
𝝈𝒊 𝒄𝒑𝒊 26
Termodynamika proudícího id. plynu
p
Avtlac pV napouštění plynu
p
v
E U pV H vtlačovací práce 27
Termodynamika proudícího id. plynu p1
p1 v1
v1 H1 U1 p1V1
napouštění plynu
p2 p2
p1
v2
H 2 U 2 p2V2
p1 28
Termodynamika proudícího id. plynu H 2 U 2 p2V2
H1 U1 p1V1
p2
p1 v1 w12 e1 h1 2
p2
p1
v2 w22 e2 h2 2
29
Termodynamika proudícího id. plynu Změna rychlosti proudícího plynu:
Zde je změna kinetické energie spojené s proudem právě kompenzována změnou entalpie
w
𝒅𝒒 = 𝒅𝒉 + 𝒅𝒂𝒕 + 𝒘 𝒅𝒘 + 𝒈 𝒅𝒚 𝒅𝒚 = 𝟎 Neuvažujeme 𝒅𝒒 = 𝟎 změnu potenciální 𝒅𝒂𝒕 = 𝟎 energie, tok tepla a konání práce
𝒆𝟏 = 𝒆𝟐
𝒘𝟐 𝟐 − 𝒘𝟏 𝟐 = 𝒉𝟏 − 𝒉𝟐 𝟐 𝒘𝟐 =
Rozdíl velkých čísel může být malý!
𝟐 𝒉𝟏 − 𝒉𝟐 + 𝒘𝟏 𝟐
30
Termodynamika proudícího id. plynu 𝒘𝟐 =
𝟐 𝒉𝟏 − 𝒉𝟐 + 𝒘𝟏 𝟐
T1 , p1
𝒘𝟏 = 𝟎
T2 , p2
𝒅𝒉 = 𝒄𝒑 𝒅𝑻 𝒉𝟏 − 𝒉 𝟐 = 𝒄𝒑 𝑻 𝟏 − 𝑻 𝟐 =
𝒘𝟐 =
𝟐𝜿 𝒓 𝑻𝟏 𝜿−𝟏
𝜿𝒓 𝑻 − 𝑻𝟐 𝜿−𝟏 𝟏
𝟏−
𝑻𝟐 𝑻𝟏
31
Termodynamika proudícího id. plynu Adiabatický děj: 𝑻𝟐 𝒑𝟐 = 𝑻𝟏 𝒑𝟏
𝒘𝟐 =
𝜿−𝟏 𝜿
𝟐𝜿 𝒑𝟐 𝒓 𝑻𝟏 𝟏 − 𝜿−𝟏 𝒑𝟏
𝜿−𝟏 𝜿
𝒑𝟐 = 𝟎
𝒘𝟐 =
𝟐𝜿 𝒓 𝑻𝟏 𝜿−𝟏
32
Termodynamika proudícího id. plynu Šíření malých tlakových rozruchů (rychlost zvuku)
a
d
33
Termodynamika proudícího id. plynu t 0
Rychlost zvuku 𝒅𝒎𝒐 = 𝝆 𝑺 𝒂 𝒅𝝉
dm0
d
𝒅𝒎𝑵 = 𝝆 + 𝒅𝝆 𝑺 𝒂 − 𝒅𝒘 𝒅𝝉
t d
ad
𝒅𝒎𝒐 = 𝒅𝒎𝑵 = 𝒅𝒎
dmN
d 𝝆 𝒂 = 𝝆 𝒂 − 𝝆 𝒅𝒘 + 𝒂 𝒅𝝆 − 𝒅𝝆 𝒅𝒘
dwd
𝝆 𝒅𝒘 = 𝒂 𝒅𝝆 34
Termodynamika proudícího id. plynu 𝒅𝒘 𝒅𝑭 = 𝒅𝒎 𝒅𝝉
𝒅𝑭 = 𝑺𝒅𝒑
t 0
dm 𝑺 𝒅𝒑 =
𝝆 𝑺 𝒂 𝒅𝝉 𝒅𝒘 𝒅𝝉
t d
ad
𝒅𝒑 = 𝝆 𝒂 𝒅𝒘
dm
𝒅𝒑 𝝆 𝒅𝒘 = 𝒂
dwd 35
Termodynamika proudícího id. plynu 𝒅𝒑 = 𝒂 𝒅𝝆 𝒂
𝒂𝟐
𝒅𝒑 = 𝒅𝝆
Šíření tlakového vzruchu probíhá natolik rychle, že můžeme zanedbat výměnu tepla – děj adiabatický
𝒂𝟐
=
𝝏𝒑 𝝏𝝆 𝒔
𝒂 =
𝝏𝒑 𝝏𝝆 𝒔
36
Termodynamika proudícího id. plynu Rychlost zvuku v ideálním plynu 𝒑 𝒗𝜿 = 𝒌𝒐𝒏𝒔𝒕 𝒑 𝝆−𝜿 = 𝒌𝒐𝒏𝒔𝒕 𝒅𝒑 𝒅𝝆 −𝜿 =𝟎 𝒑 𝝆 𝒅𝒑 𝒑 =𝜿 =𝜿𝒑𝒗 𝒔 = 𝒌𝒐𝒏𝒔𝒕 𝒅𝝆 𝝆 𝝏𝒑 =𝜿𝒑𝒗 𝝏𝝆 𝒔 𝒂= 𝜿𝒑𝒗= 𝜿𝒓𝑻 37
Termodynamika proudícího id. plynu Závislost rychlosti zvuku v ideálním plynu na rychlosti proudu plynu 𝒘𝟐 𝟐 =
𝒘𝟐 𝟐 =
𝟐𝜿 𝑻𝟐 𝒓 𝑻𝟏 𝟏 − 𝜿−𝟏 𝑻𝟏
T1 , p1
T2 , p2
𝟐𝜿 𝟐 𝒓 𝑻𝟏 − 𝜿 𝒓 𝑻𝟐 𝜿−𝟏 𝜿−𝟏 𝟐 𝒘𝟐𝒎𝒂𝒙 𝟐
𝒂𝟐
𝒘𝟐 𝟐 𝒂𝟐 𝟐 + = 𝒘𝟐𝒎𝒂𝒙 𝟐 𝜿−𝟏 𝟏 𝟐
38
Termodynamika proudícího id. plynu 𝒘𝟐 𝟐 𝒂𝟐 𝟐 + = 𝒘𝟐𝒎𝒂𝒙 𝟐 𝜿−𝟏 𝟏 𝟐
𝒘𝟐 = 𝟎 𝟐
𝒂𝟐 =
𝜿−𝟏 𝟐
𝒑𝟐 = 𝟎
𝟐
𝒘𝟐𝒎𝒂𝒙 =
⟹
𝜿−𝟏 𝟐 𝜿 𝟐 𝜿−𝟏
𝑻𝟐 = 𝟎 ⟹
𝒓 𝑻𝟏 = 𝜿 𝒓 𝑻𝟏 = 𝒂𝟏 𝟐
𝒂𝟐 = 𝟎 ⟹
𝒘𝟐 = 𝒘𝟐𝒎𝒂𝒙
39
Termodynamika proudícího id. plynu Kritická rychlost 𝒘𝑲
𝒘𝟐 = 𝒘𝑲 𝒘𝟐 = 𝒂𝟐 𝟐
𝟐
𝒘𝑲 𝒘𝑲 + = 𝒘𝟐𝒎𝒂𝒙 𝟐 𝜿−𝟏 𝟏 𝟐 𝒘𝑲 𝟐
𝒘𝑲 =
𝟏+
𝟐𝜿 𝜿+𝟏
T1 , p1
T2 , p2
𝟐 = 𝒘𝟐𝒎𝒂𝒙 𝟐 𝜿−𝟏
𝒓 𝑻𝟏 =
𝜿𝒓 𝑻𝟐 = 𝒂𝟐
Zde výtok plynu dosáhne rychlosti zvuku, což může nastat jen při konkrétním poměrů teplot a tlaků.
40
Termodynamika proudícího id. plynu Kritický tlakový poměr
𝒘𝑲 =
𝟐𝜿 𝜿+𝟏
𝒓 𝑻𝟏 =
𝑻𝟐 𝑻𝟏
𝑲
𝜿𝒓 𝑻𝟐 = 𝒂𝟐
= 𝑲
T2 , p2
𝟐 = 𝜿+𝟏
𝑻𝟐 𝒑𝟐 = 𝑻𝟏 𝒑𝟏 𝒑𝟐 𝒑𝟏
T1 , p1
𝜿−𝟏 𝜿
𝟐 𝜿+𝟏
𝜿 𝜿−𝟏
41
Termodynamika proudícího id. plynu Závislost rychlosti na průřezu při stacionárním (ustáleném) proudění 1. Rovnice kontinuity
𝒅𝒎 = 𝝆 𝑺𝒅𝒙 = 𝝆´ 𝑺´𝒅𝒙´
1 / dt
dx
dx´
dx wdt dx´ w´dt
𝒎 = 𝝆 𝒘 𝑺 = 𝒌𝒐𝒏𝒔𝒕
𝒍𝒏(𝝆) + 𝒍𝒏(𝒘) + 𝒍𝒏(𝑺) = 𝒍𝒏(𝒌𝒐𝒏𝒔𝒕)
d "X " 𝒅𝝆 𝒅𝒘 𝒅𝑺 + + =𝟎 𝝆 𝒘 𝑺
42
Termodynamika proudícího id. plynu Závislost rychlosti na průřezu při stacionárním (ustáleném) proudění 2. Závislost rychlosti na hustotě a tlaku dm w
w dw 𝒅𝒎
𝒅𝒘 = 𝒅𝑭 𝒅𝒕
𝒅𝒘 𝒅𝒎 = −𝑺 𝒅𝒑 𝒅𝒕 𝒅𝒘 𝝆𝒅𝒙 = − 𝒅𝒑 𝒅𝒕 𝝆𝒘𝒅𝒘 = − 𝒅𝒑 𝟏 𝒅𝒘 = −𝒘 𝝆 𝒅𝒑
Newtonův zákon
p
p dp
Pro nestlačitelné tekutiny platí
𝒘𝟐 𝝆𝒅 = − 𝒅𝒑 𝟐 𝒘𝟐 𝒅 𝝆 +𝒑 =𝟎 𝟐 𝒘𝟐 𝝆 + 𝒑 = 𝒌𝒐𝒏𝒔𝒕 𝟐 43
Termodynamika proudícího id. plynu 𝒅𝝆 𝒅𝒘 𝒅𝑺 + + =𝟎 𝝆 𝒘 𝑺 𝟏 𝒅𝒘 = −𝒘 𝝆 𝒅𝒑 𝒅𝒘 𝒅𝒘 𝒅𝑺 −𝒘 𝒅𝝆 + + =𝟎 𝒅𝒑 𝒘 𝑺
𝒅𝒘 𝒘
𝒘𝟐 𝟏− 𝒅𝒑 𝒅𝝆
𝒅𝑺 + =𝟎 𝑺
=𝒂𝟐
44
Termodynamika proudícího id. plynu 𝒅𝒘 𝒘
𝒘𝟐 𝟏− 𝒅𝒑 𝒅𝝆
𝒅𝑺 + =𝟎 𝑺
=𝒂𝟐
𝒘 𝑴𝒂 = 𝒂 𝒅𝒘 𝒅𝑺 𝟐 𝟏 − 𝑴𝒂 + =𝟎 𝒘 𝑺
𝒅𝒘 > 𝟎 𝒘 < 𝒂 ⟺ 𝑴𝒂𝟐 < 𝟏 ⟹ 𝟏 − 𝑴𝒂𝟐 > 𝟎 ⟹ 𝒅𝑺 < 𝟎 𝒘 > 𝒂 ⟺ 𝑴𝒂𝟐 > 𝟏 ⟹ 𝟏 − 𝑴𝒂𝟐 < 𝟎 ⟹ 𝒅𝑺 > 𝟎 𝒘 = 𝒂 ⟺ 𝑴𝒂 = 𝟏 ⟹ 𝟏 − 𝑴𝒂𝟐 = 𝟎 ⟹ 𝒅𝑺 = 𝟎 45
Konec
Děkuji za pozornost
46
