Termomechanika 2. přednáška Doc. Dr. RNDr. Miroslav HOLEČEK
Upozornění: Tato prezentace slouží výhradně pro výukové účely Fakulty strojní Západočeské univerzity v Plzni. Byla sestavena autorem s využitím citovaných zdrojů a veřejně dostupných internetových zdrojů. Využití této prezentace nebo jejich částí pro jiné účely, stejně jako její veřejné šíření je nepřípustné.
Druhý zákon termodynamiky • Clausiova formulace: Teplo nemůže SAMOVOLNĚ přecházet z teploty nižší na teplotu vyšší. Toto zdaleka není triviální. Znamená to, že neexistuje ani jakkoli „chytrá membrána“ (třeba nějaké mikro-zařízení), kterou vložíme mezi tělesa a ona bude samostatně (bez přívodu energie) realizovat tok tepla opačným směrem.
Q T-dT
T
Druhý zákon termodynamiky
Q? T-dT
T
Tepelné stroje • Tepelné oběhy Tepelný oběh je řada po sobě následujících změn, po kterých se termodynamická soustava vrací do výchozího termodynamického stavu. Systém tedy vykoná určitý cyklus, který může dále opakovat. Příklady: parní stroj, spalovací motor chladnička, tepelné čerpadlo, klimatizace
Tepelné stroje • Jaký je rozdíl mezi motorem a chladničkou? Cyklus u motoru probíhá tak, že je odnímáno teplo nějakému horkému médiu (např. hořící směsi benzínových par) a toto teplo je využíváno na konání práce (např.roztáčení kola). Cyklus u chladničky (tepelného čerpadla) probíhá v opačném pořadí: Dodáváme systému práci (např. stlačujeme pracovní médium) tak, abychom přenášeli teplo (z chladnější části na teplejší).
Tepelné stroje • Tepelná čerpadla Nejčastějším typem je kompresorové tepelné čerpadlo: Chladivo v plynném stavu je stlačeno kompresorem a poté vpuštěno do kondenzátoru. Zde odevzdá své skupenské teplo. Zkondenzované chladivo projde expanzní tryskou do výparníku, kde skupenské teplo (při nižším tlaku a teplotě) přijme a odpaří se. Poté opět pokračuje do kompresoru a cyklus se opakuje.
Tepelné stroje • Termická účinnost U tepelného motoru je v jednom cyklu dodaná horkým médiem tepelná energie Q1, jejíž část je přeměněna na užitečnou práci A a zbylá část Q2 je odevzdána okolí (přesněji nějakému chladiči). Část Q2 je pro nás tedy ztracena. Podle 1. termodynamického zákona je A= Q1 – Q2 termická účinnost:
Th
(horké médium) Q1
STROJ
A
Q2 Tl (chladné médium)
A Q1 − Q2 η= = Q1 Q1
Tepelné stroje • Koeficient výkonu U tepelného čerpadla (chladničky, klimatizace) vše běží opačně: chladnému médiu je odebírána tepelná energie Q2 a konáním práce A je teplo Q1 odevzdáno do horkého média. Opět platí podle 1. termodynamického zákona A= Q1 – Q2 . Termická účinnost zde nemá ten smysl, který má u tepelných motorů. Zavádíme proto určité koeficienty výkonu (též „topný faktor“) definovány jako poměr „užitečného tepla“ (předaného buď horkému médiu při vytápění nebo odebrané chladnému médiu při chlazení) k dodané práci A. Tyto koeficienty jsou obvykle větší než 1. Th
(horké médium) Q1
STROJ
K heat
Q1 Q1 = = A Q1 − Q2
K cool
Q2 Q2 = = A Q1 − Q2
A
Q2 Tl (chladné médium)
Tepelné stroje • Vratný stroj Stroj, který může pracovat jako tepelný motor i jako tepelné čerpadlo tak, že prochází všemi stavy v opačném pořadí. Při chodu jedním směrem přijímá z ohřívače teplo Q1, koná práci A a odevzdá chladiči teplo Q2 . Při zpětném chodu odebere teplo Q2 z chladiče, spotřebuje práci A a odevzdá ohřívači teplo Q1.
Th
(horké médium) Q1
STROJ
Th
(horké médium) Q1
A
Q2 Tl (chladné médium)
STROJ
A
Q2 Tl (chladné médium)
Tepelné stroje Jak dosáhnout obrácení chodu? Musíme mít vyrovnané teploty v celém systému v každém okamžiku. Proč?
Chod „vpřed“
T´ Q T
T´´ Q T
T´´´ Q T
čas Není možný!! Chod „zpět“
T´´´ Q T
T´´ Q T čas
T´ Q T
V rozporu s 2.TD zákonem!
Tepelné stroje Jak dosáhnout obrácení chodu? Kvazistatický proces! proces tak pomalý, že je takřka stále v termodynamické rovnováze
T
T
T
T
dQ
dQ
T
T
Carnotův princip •
Úloha pro konstruktéra: Navrhni tepelný stroj s co možná nejvyšší termickou účinností. 1. Stroj bude pracovat mezi dvěma danými teplotami: Th a Tl 2. Stroj v jednom cyklu vykoná práci o dané velikosti A. 1. termodynamický zákon Th
Q1 − Q2 = A
(horké médium) ? Q1
?STROJ?
A
? Q2
A Q1 − Q2 η= = Q1 Q1
Tl (chladné médium) STROJ může být jakékoliv zařízení!
Konstruktér musí minimalizovat „odpadní“ teplo Q2
Carnotův princip •
Řada otázek: Jaké pracovní médium? Jaké konstrukční uspořádání? Jaké materiály je vhodné použít? Atd…. Ale VŠECHNO JE JINAK!
Mladý francouzský inženýr Sadi Carnot přichází s naprosto geniálním nápadem… Sadi Carnot (1796 – 1832)
Carnotův princip •
Úvaha s fiktivním vratným strojem: Představme si, že máme vratný stroj, který splňuje podmínky úlohy, tj. pracuje mezi teplotami Th a Tl a v jednom cyklu vykoná práci o dané velikosti A. Tento vratný stroj necháme pracovat paralelně s našim strojem…
Th
(horké médium)
Q1 ?STROJ?
Q3 A
VR.STROJ
Q2 Tl (chladné médium)
Q4
A
Carnotův princip •
Vratný stroj může být zpětným chodem použit jako tepelné čerpadlo!
Th
(horké médium)
Q1 ?STROJ?
Q3 A
VR.STROJ
Q2 Tl (chladné médium)
Q4
A
Carnotův princip •
Práce nutná k pohonu tepelného čerpadla se může vzít z našeho stroje… Th
(horké médium)
Q1 ?STROJ?
Q3 A
VR.STROJ
Q2 Tl (chladné médium)
Q4
Carnotův princip •
Práce nutná k pohonu tepelného čerpadla se může vzít z našeho stroje… Th
(horké médium)
Q1 ?STROJ?
Q3 A
VR.STROJ
Q2
Q4
Tl (chladné médium) Th
(horké médium) Q1 – Q3
ZAŘÍZENÍ FUNGUJÍCÍ ZCELA SAMO Q2 – Q4 Tl (chladné médium)
Carnotův princip •
Podle 2. termodynamického zákona nemůže téct teplo bez nějakých vnějších změn samovolně z chladnějšího na teplejší těleso… Th
(horké médium) Q1 – Q3
ZAŘÍZENÍ FUNGUJÍCÍ ZCELA SAMO
Q
Q2 – Q4 Tl (chladné médium)
Q ≡ Q1 − Q3 + Q2 − Q4 ≥ 0
2. termodynamický zákon
Q1 − Q2 = Q3 − Q4 (= A)
1. termodynamický zákon
Carnotův princip A A η= ≤ = η vrat Q1 Q3
Q1 ≥ Q3
Th
(horké médium)
Q1 ?STROJ?
Q3 A
VR.STROJ
Q2
A
Q4
Tl (chladné médium)
•
Neexistuje stroj, který by měl vyšší účinnost než vratný stroj
Carnotův princip •
Carnotův princip: 1. 2.
Mezi všemi stroji, které pracují mezi danými dvěma teplotami Th a Tl , má nejvyšší účinnost vratný stroj. Všechny vratné stroje mají stejnou účinnost, která závisí pouze na teplotách Th a Tl , tj. η(Th ,Tl ). (Účinnost vratného stroje tedy nezávisí na tom, jak je zkonstruován, z čeho je zkonstruován, jaké pracovní médium se používá apod.)
Th
(horké médium)
Q1 VR.STROJ 1
Q3 A
VR.STROJ 2
Q2 Tl (chladné médium)
Q4
A
η1 = η 2
Roztažnost, rozpínavost, stlačitelnost •
Jaká je účinnost vratného stroje? Podle Carnotova principu ji stačí stanovit pro jeden konkrétní vratný stroj. Jak jej navrhneme? Protože je našim cílem využít vyšší teplotu ohřívače ke konání mechanické práce, zaměříme se na jev zvaný ROZTAŽNOST: OBJEMOVÁ ROZTAŽNOST je změna objemu látky při změně teploty za stálého tlaku (ke změně objemu tedy nedochází mechanicky!)
A = mgh h
T0
T
Změnou teploty konáme práci!
Roztažnost, rozpínavost, stlačitelnost •
Objemová roztažnost Nárůst objemu dV látky je úměrný jejímu objemu V a změně teploty dt:
dV = βVdt
( p = konst )
1 ∂V β= V ∂t p
dV
1 ∂v β= v ∂t p
dt = t − t0 = T − T0
β … izobarický součinitel objemové roztažnosti β [K-1] Pevná látka Plyn
~ 3.10-5 ~ 3.10-3
Dále se zaměříme jen na plyny…
Roztažnost, rozpínavost, stlačitelnost •
Rozpínavost Změna tlaku látky (plynu) při změně teploty za stálého objemu.
dp = γ pdt 1 ∂p γ= p ∂t V
(V = konst )
V p
p+dp
T0
T
γ … izochorický součinitel tlakové rozpínavosti
Roztažnost, rozpínavost, stlačitelnost •
Stlačitelnost Změna objemu látky (plynu) při změně tlaku při stálé teplotě.
dV = −ε Vdp 1 ∂V ε = − V ∂p
t
1 ∂v ε = − v ∂p t
(T = konst )
p
p+dp
V
V-dV
T
T
ε … izotermický součinitel objemové stlačitelnosti
Roztažnost, rozpínavost, stlačitelnost •
Pravidlo „-1“ Předpokládejme, že měrný objem je plně určen tlakem a teplotou plynu:
v = f (t , p) dv = Adt + Bdp
… malá změna objemu je „složena“ ze změny teploty a tlaku
∂v ∂v dv = dt + dp ∂t p ∂p t
… MATEMATIKA!
Roztažnost, rozpínavost, stlačitelnost •
Pravidlo „-1“ Předpokládejme, že měrný objem je plně určen tlakem a teplotou plynu:
v = f (t , p) dv = Adt + Bdp
… malá změna objemu je „složena“ ze změny teploty a tlaku
∂v ∂v dv = dt + dp ∂t p ∂p t
p = g ( v, t ) ∂p ∂p dp = dv + dt ∂v t ∂t v
… MATEMATIKA!
Roztažnost, rozpínavost, stlačitelnost •
Pravidlo „-1“ Předpokládejme, že měrný objem je plně určen tlakem a teplotou plynu:
v = f (t , p) dv = Adt + Bdp
… malá změna objemu je „složena“ ze změny teploty a tlaku
∂v ∂v dv = dt + dp ∂t p ∂p t
p = g ( v, t ) ∂p ∂p dp = dv + dt ∂v t ∂t v
dv = 0
∂v ∂v 0 = dt + dp ∂t p ∂p t ∂p dp = dt ∂t v
Roztažnost, rozpínavost, stlačitelnost •
Pravidlo „-1“
∂v ∂v 0 = dt + dp ∂t p ∂p t ∂p dp = dt ∂t v
∂v ∂p ∂v 0 = dt + dt ∂t p ∂p t ∂t v ∂v ∂v ∂p − = ∂t p ∂p t ∂t v 1 ∂v = ∂t p ∂t ∂v p
εγ p =1 β
∂t ∂v ∂p = −1 ∂v p ∂p t ∂t v
Ideální plyn Experimentální zákonitosti: Platí velmi dobře pro plyny za normálních podmínek (ne tedy za nízkých teplot, vysokých tlaků apod.) Experimentálně bylo zjištěno, že izobarický součinitel teplotní roztažnosti je u plynů za normálních podmínek ve velkém rozsahu teplot roven izochorickému součiniteli tlakové rozpínavosti a nabývá hodnoty 1/273,15 °C -1.
β =γ =
1 273,15
t 273,15 + t V = V0 (1 + β t ) = V0 1 + = V0 273,15 273,15 V2 T2 V0 = ( p = konst ) V = T ( p = konst ) T ≡ t + 273,15 V1 T1 T0 zákon Gay-Lussacův
Ideální plyn Experimentální zákonitosti: Platí velmi dobře pro plyny za normálních podmínek (ne tedy za nízkých teplot, vysokých tlaků apod.)
β =γ =
1 273,15
273,15 + t p = p0 (1 + γ t ) = p0 273,15 T ≡ t + 273,15
p p= 0T T0
(V = konst )
p2 T2 = p1 T1
(V = konst )
zákon Charlesův
Ideální plyn Co znamená „ideální plyn“? 273,15 + t p = p0 273 , 15
273,15 + t V = V0 273,15
reálný plyn
V ( p = konst ) p (V = konst )
-273,15°C
0°C
Částice, které na sebe v konečné blízkosti nepůsobí, při t=-273,15°C jejich pohyb ustává.
ideální plyn
Ideální plyn Experimentální zákonitosti: Platí velmi dobře pro plyny za normálních podmínek (ne tedy za nízkých teplot, vysokých tlaků apod.) A ještě, co se děje pokud je teplota konstantní…
pV = p0V0 (t = konst) zákon Boyleův - Mariotteův
Ideální plyn Stavová rovnice
V1 p1 T1
p1V1 = p2Vx
Vx
V2
p2
p2
T1
p1V1 p2V2 = T1 T2
V2 T2 = Vx T1 1
m
T2
p1v1 p2v2 = T1 T2
Konstanta, ovšem různá pro různé plyny…
pv = rT
Ideální plyn Avogadrův zákon: Stejné objemy plynů za téhož tlaku a téže teploty obsahují stejný počet molekul.
V
V
p
p m2
m1 T molární hmotnost
m M= n
pv1 = r1T pv2 = r2T
N1 hmotnost jedné molekuly
N m1 = Nµ1 = M1 NA
T
N2
N1 = N2 = N m1 ≠ m2
M µ= (NA = 6,022. 1026 kmol-1) NA
N m2 = Nµ2 = M2 NA
Ideální plyn Avogadrův zákon: Stejné objemy plynů za téhož tlaku a téže teploty obsahují stejný počet molekul.
V
V
p
p m2
m1 T V V M1 = M2 m1 m2
pv1 = r1T pv2 = r2T
N1
T
N2
v1M1 = v2M2
N1 = N2 = N m1 ≠ m2
pv1M1 = M1r1T pv2 M 2 = M 2r2T
Ideální plyn Avogadrův zákon: Stejné objemy plynů za téhož tlaku a téže teploty obsahují stejný počet molekul.
V
V
p
p m2
m1 T V V M1 = M2 m1 m2
pv1 = r1T pv2 = r2T
N1
T
N2
v1M1 = v2M2
N1 = N2 = N m1 ≠ m2
pv1M1 = M1r1T pv2 M 2 = M 2r2T M1r1 = M2r2 = Rm
Ideální plyn Molární plynová konstanta Rm:
Rm = NAkB
Rm = 8314, 72 J kmol-1K -1
kB = 1,38 . 10-23 J K -1
pv = rT
M1r1 = M2r2 = Rm
Rm pv = T M
M=
m n
pV = nRmT
Tepelná kapacita ideálního plynu dq = du + pdv
dU = −dA + d Q
V =konst
∂u ∂u u (T , v ) ⇒ du = dT + dv ∂T v ∂v T
U, T
Q
∂u = cv ∂T v
∂u ∂u dq = + p dv + dT ∂T v ∂v T Ideální plyn:
u(τ, v)
=
u(τ,v´)
dq = pdv + cv dT
∂u =0 ∂v T
Tepelná kapacita ideálního plynu dq = pdv + cv dT
pv = rT p = konst
…
stavová rovnice
pdv = rdT
dq p = rdT + cv dT 1 dQ = r + cv m dT p
p =konst A U, T
Q
c p = r + cv
Mayerův vztah
Tepelná kapacita ideálního plynu Závislost cv na teplotě: 1. Vnitřní energie ideálního plynu je přímo úměrná pohybové energii atomů: energie posuvného pohybu + energie vnitřních vibrací (více atomové plyny).
1 k BT 2. Na každý stupeň volnosti připadá průměrná energie 2 ∂u = cV ∂T v
u je přímo úměrné teplotě T
c p = r + cv
cv nezávisí na teplotě cp nezávisí na teplotě
Tepelná kapacita ideálního plynu Poissonova konstanta: jednoatomový plyn dvouatomový plyn tříatomový plyn
κc v = r + c v Molární kapacity:
κ =
cp cv
κ = 1,67 κ = 1,40 κ = 1,33
r cv = κ −1 C mp = C mv + R m
κr cp = κ −1
Konec
Děkuji za pozornost
