Termomechanika 8. přednáška Doc. Dr. RNDr. Miroslav Holeček Upozornění: Tato prezentace slouží výhradně pro výukové účely Fakulty strojní Západočeské univerzity v Plzni. Byla sestavena autorem s využitím citovaných zdrojů a veřejně dostupných internetových zdrojů. Využití této prezentace nebo jejich částí pro jiné účely, stejně jako její veřejné šíření je nepřípustné.
Reálné tekutiny Tekutina = kapalina, plyn
Reálné tekutiny Van der Waalsova rovnice stavu
𝑭´
𝑭
Přitažlivá síla mezi částicemi je úměrná 𝝆𝟐 tlak, který „cítí“ částice
𝒂 𝒑 = 𝒑´ − 𝟐 𝒗 tlak, který měříme
Objem nelze zmenšit pod jistou mez: 𝒗´ = 𝒗 − 𝒃 objem, který „mají“ částice k pohybu
objem, který měříme
Částice splňují rovnici ideálního plynu, ale s tlakem a objemem, který „cítí“:
𝒑´𝒗´ = 𝒓 𝑻 𝒂 𝒑+ 𝟐 𝒗
𝒗−𝒃 =𝒓𝑻
Reálné tekutiny Van der Waalsova rov. stavu 𝒑+
𝒂 𝒗𝟐
𝒗−𝒃 =𝒓𝑻
𝒂
𝒗 − 𝒃 = 𝒓 𝑻 /⋅ 𝒗𝟐
𝒑 + 𝒗𝟐
𝒑
𝒑 𝒗𝟐 + 𝒂 𝒗 − 𝒃 = 𝒓 𝑻 𝒗𝟐 𝒑 𝒗𝟑 − 𝒑 𝒗𝟐 𝒃 + 𝒂 𝒗 − 𝒂𝒃 = 𝒓 𝑻 𝒗𝟐
𝒗𝟑 − 𝒗𝟐 𝒃 +
𝒓𝑻 𝒑
+𝒗
𝒂 𝒑
−
𝒂𝒃 𝒑
=𝟎
Pro každý konkrétní tlak 𝒑 má rovnice maximálně tři různá řešení 𝒗.
Reálné tekutiny Van der Waalsova rov. stavu 𝒗𝟑 − 𝒗𝟐
𝒃+
𝒓𝑻 𝒂 𝒂𝒃 +𝒗 − =𝟎 𝒑 𝒑 𝒑
Pro každý konkrétní tlak 𝒑 má rovnice maximálně tři různé řešení 𝒗.
V kritickém bodě:
𝒗 − 𝒗𝑲
𝟑
=𝟎
𝒗𝟑 − 𝟑 𝒗𝟐 𝒗𝑲 + 𝟑 𝒗 𝒗𝑲 𝟐 − 𝒗𝑲 𝟑 = 𝟎
Reálné tekutiny 𝒗𝟑 − 𝒗𝟐 𝒃 +
𝒓𝑻 𝒂 𝒂𝒃 +𝒗 − =𝟎 𝒑 𝒑 𝒑
𝒗𝟑 − 𝟑 𝒗𝟐 𝒗𝑲 + 𝟑 𝒗 𝒗𝑲 𝟐 − 𝒗𝑲 𝟑 = 𝟎
𝒓 𝑻𝑲 𝟑 𝒗𝑲 = 𝒃 + 𝒑𝑲 𝒂 𝟑 𝒗𝑲 𝟐 = ⟹ 𝒂 = 𝟑 𝒑𝑲 𝒗𝑲 𝟐 𝒑𝑲 𝒂𝒃 𝒑𝑲 𝒗𝑲 𝟑 𝒗𝑲 𝟑 𝒗𝑲 = ⟹𝒃= = 𝒑𝑲 𝒂 𝟑 𝒗𝑲 𝒓 𝑻𝑲 𝟑 𝒗𝑲 = + 𝟑 𝒑𝑲 𝒑𝑲 𝒗𝑲 𝟖 𝒑𝑲 𝒗𝑲 𝒓= 𝟑 𝒗𝑲 − = 𝑻𝑲 𝟑 𝟑 𝑻𝑲
Reálné tekutiny 𝒂 = 𝟑 𝒑𝑲 𝒗𝑲 𝟐
𝒃=
𝒓=
𝒗𝑲 𝟑
𝟖 𝒑𝑲 𝒗𝑲 𝟑 𝑻𝑲
Dosazení do van der Waalsovy rovnice: 𝟑 𝒑𝑲 𝒗𝑲 𝟐 𝒑+ 𝒗𝟐 𝒑 𝒗𝑲 𝟐 +𝟑 𝟐 𝒑𝑲 𝒗
𝒗−
𝒗𝑲 𝟖 𝒑𝑲 𝒗𝑲 = 𝑻 𝟑 𝟑 𝑻𝑲
𝒗 𝟏 𝟖 𝑻 − = 𝒗𝑲 𝟑 𝟑 𝑻𝑲
Reálné tekutiny Zavedeme označení
𝒑
𝒗
𝒌
𝒌
𝝅≡𝒑 , 𝝋≡𝒗 ,
𝑻
𝝉≡𝑻
𝒌
A dostaneme van der Waalsovu rovnici ve tvaru
𝝅+
𝟑 𝝋𝟐
𝝋−
𝟏 𝟖 = 𝝉 𝟑 𝟑
Z toho vyplývá, že pokud dvě tekutiny splňují van der Waalsovu rovnici a platí např. 𝝅𝟏 = 𝝅𝟐 a 𝝋𝟏 = 𝝋𝟐 , pak platí i 𝝉𝟏 = 𝝉𝟐
Reálné tekutiny Izotermy van der Waalsovy rov. stavu CDE: nereálné, protože by došlo ke zvyšování tlaku při zvětšování 𝝏𝒑 objemu, tj. bylo by .. 𝝏𝒗 > 𝟎 𝑻
AC, EB … metastabilní stavy metastabilní přehřátá kapalina metastabilní podchlazená pára
Maxwellovo pravidlo: plocha ADCA = plocha DBED
Reálné tekutiny Termodynamická plocha látek, u nichž dochází při tuhnutí ke zmenšování objemu (ne H2O)
trojný bod (vůči p, T)
Reálné tekutiny Termodynamická plocha látek, které při tuhnutí zvětšují objem (H2O)
v
Reálné tekutiny Průměty termodynamické plochy obcházíme oblast mokré páry
trojný bod
Reálné tekutiny Voda a vodní pára – závislost cp(T, p) 𝒅𝑸𝒑 = 𝒎𝒄𝒑 𝒅𝑻 𝒄𝒑 → ∞
nadkritické tlaky
𝒅𝑻 = 𝟎, 𝒅𝑸𝒑 ≠ 𝟎
𝒄𝒑 → ∞ přehřátá pára
Reálné tekutiny Voda a vodní pára – závislost κ(T, p)
Pro tříatomový ideální plyn:
𝜿 = 𝟏. 𝟑
Reálné tekutiny Diagram T-s
T
K
dodávání tepla
A
B
izoterma
s
Reálné tekutiny Voda a vodní pára Suchost:
𝒙=
hmotnost syté páry
𝒎′′ 𝒎′ +𝒎′′ hmotnost syté kapaliny
Reálné tekutiny Voda a vodní pára
Reálné tekutiny Mokrá pára Suchost:
𝒎′′ 𝒎′′ 𝒙= ′ = 𝒎 + 𝒎′′ 𝒎 𝑽 = 𝑽′ + 𝑽′′ 𝒎 𝒗 = 𝒎′ 𝒗′ + 𝒎′′ 𝒗′′ /: 𝒎 𝒎′ ′ 𝒎′′ ′′ 𝒗= 𝒗 + 𝒗 𝒎 𝒎 𝒗 = 𝒗′ + 𝒙 𝒗′′ − 𝒗′
𝑯 = 𝑯′ + 𝑯′′ 𝒎 𝒉 = 𝒎′ 𝒉′ + 𝒎′′ 𝒉′′ 𝒎′ ′ 𝒎′′ ′′ 𝒉= 𝒉 + 𝒉 𝒎 𝒎 𝒉 = 𝒉′ + 𝒙 𝒉′′ − 𝒉′
Reálné tekutiny 𝑺 = 𝑺′ + 𝑺′′ 𝒎 𝒔 = 𝒎′ 𝒔′ + 𝒎′′ 𝒔′′ 𝒎′ ′ 𝒎′′ ′′ 𝒔= 𝒔 + 𝒔 𝒎 𝒎 𝒔 = 𝒔′ + 𝒙 𝒔′′ − 𝒔′
konstantní suchost
Reálné tekutiny Diagram T-s
Diagram h-s (Molliérův)
konstantní suchost
konstantní suchost
Reálné tekutiny Skupenství:
1…tuhá fáze (led) 2…kapalná fáze (voda) 3…plynná fáze (pára) l12…tání l23…vypařování l13…sublimace
Skupenské teplo:
Výparné teplo:
kapalinné teplo
𝒍𝟐𝟑 = 𝑻 𝒔′′ − 𝒔′ = 𝒉′′ − 𝒉′ výrobní teplo
𝒒𝒌
𝑻 = 𝑻𝟎
𝒒𝒗 = 𝒒𝒌 + 𝒍𝟐𝟑
Reálné tekutiny Clapeyronova-Clausiova rovnice 𝒅𝒑 𝒗′′ − 𝒗′ = 𝒅𝑻 𝒔′′ − 𝒔′ VYKONANÁ PRÁCE
ROZDÍL TEPEL
𝒍𝟐𝟑 = 𝑻 𝒔′′ − 𝒔′ 𝒅𝒑 𝒅𝑻
𝑬𝑽
𝒔′′ − 𝒔′ 𝒍𝟐𝟑 = ′′ = 𝒗 − 𝒗′ 𝑻 𝒗′′ − 𝒗′
𝒅𝒑 𝒅𝑻 𝒅𝒑 𝒅𝑻
𝑴𝑬𝑳𝑻
= 𝑺𝑼𝑩𝑳
𝒍𝟏𝟐 = 𝑻 𝒗′ − 𝒗′′′
𝒍𝟏𝟑 𝑻 𝒗′′ − 𝒗′′′
… 𝒗𝒚𝒑𝒂ř𝒐𝒗á𝒏í
… 𝒕á𝒏í
… 𝒔𝒖𝒃𝒍𝒊𝒎𝒂𝒄𝒆
Reálné tekutiny Pro H2O: 𝒗′ 𝒗′
−
𝒗′′′
<
𝒗′′′
<
𝒗′′
𝒅𝒑 <𝟎⟹ < 𝟎 … 𝒕á𝒏í 𝒅𝑻
Fázový diagram
𝒅𝒑 𝒅𝑻
𝑴𝑬𝑳𝑻
𝒍𝟏𝟐 = 𝑻 𝒗′ − 𝒗′′′
Reálné tekutiny Škrcení reálných tekutin
𝒘𝟏 𝟐 𝒘𝟐 𝟐 𝒉𝟏 + = 𝒉𝟐 + 𝟐 𝟐 𝒉𝟏 ≅ 𝒉𝟐
𝒌𝑱𝑻 =
Joule-Thomsonův součinitel V porézní látce
𝒅𝒑 < 𝟎
𝑻𝟐 > 𝑻𝟏 ⟹ 𝒅𝑻 > 𝟎 𝒂 𝒌𝑱𝑻 < 𝟎 𝑻𝟐 < 𝑻𝟏 ⟹ 𝒅𝑻 < 𝟎 𝒂 𝒌𝑱𝑻 > 𝟎 𝑻𝟐 = 𝑻𝟏 ⟹ 𝒅𝑻 = 𝟎 𝒂 𝒌𝑱𝑻 = 𝟎
𝝏𝑻 𝝏𝒑 𝒉
Reálné tekutiny 𝒅𝒒 = 𝒅𝒉 − 𝒗 𝒅𝒑; 𝒅𝒔 = Matematická vsuvka:
𝒇 𝒙, 𝒚
𝒅𝒒 = 𝑻 𝒅𝒔
𝟏 𝒗 𝒅𝒉 − 𝒅𝒑 𝑻 𝑻
𝝏𝒇 𝝏𝒇 𝒅𝒇 = 𝒅𝒙 + 𝒅𝒚 𝝏𝒙 𝝏𝒚
→
𝟏 𝑻
𝒅𝒔 =
−
𝟏 𝑻𝟐
𝝏𝑻 𝝏𝒑
=− 𝒉
→
𝒗
𝒅𝒉 + − 𝑻 𝒅𝒑
𝝏𝒗 𝝏𝑻
𝒑
𝑻−𝒗 𝑻𝟐
𝝏 𝝏𝒇 𝝏 𝝏𝒇 = 𝝏𝒚 𝝏𝒙 𝝏𝒙 𝝏𝒚
→
𝝏𝑻 𝝏𝑻
𝒑
𝝏 𝝏𝒑
𝝏𝑻 𝝏𝒉
𝒑
𝟏 𝑻
=
𝝏 𝝏𝒉
−
𝒗 𝑻
Reálné tekutiny
−
𝟏 𝝏𝑻 𝑻𝟐 𝝏𝒑 𝝏𝑻 𝝏𝒑
𝒑
𝑻−𝒗
𝝏𝒗 𝝏𝑻
𝒉
𝒑
𝒑
𝒉
𝝏𝑻 𝝏𝒉
𝑻−𝒗
= 𝒄𝒑 ⟹
𝝏𝑻 = 𝝏𝒑
𝝏𝑻 𝝏𝑻
𝑻𝟐
𝒉
=
𝝏𝒉 𝝏𝑻
𝒌𝑱𝑻
=−
𝝏𝒗 𝝏𝑻
𝟏 = 𝒄𝒑
𝝏𝑻 𝝏𝒉 𝝏𝒗 𝝏𝑻
= 𝒑
𝒑
𝟏 𝒄𝒑
𝑻−𝒗 𝒑
𝒑
𝝏𝑻 𝝏𝒉
𝒑
Reálné tekutiny 𝒉𝟏 ≅ 𝒉𝟐 𝒅𝒉 = 𝒄𝒑 𝒅𝑻 𝒄𝒑 = 𝒌𝒐𝒏𝒔𝒕
Ideální plyn 𝒑𝒗=𝒓𝑻 𝒓𝑻 𝝏𝒗 𝒗= ⟹ 𝒑 𝝏𝑻 𝒌𝑱𝑻
= 𝒑
𝒓 𝒑
𝒉𝟐 − 𝒉𝟏 = 𝒄𝒑 𝑻 𝟐 − 𝑻 𝟏
𝟏 𝒓 𝟏 = 𝑻−𝒗 = 𝒗−𝒗 = 𝟎 𝒄𝒑 𝒑 𝒄𝒑
Reálná tekutina 𝟏
𝒌𝑱𝑻 = 𝒄
𝒑
𝐭𝐚𝐧 𝜶 =
𝝏𝒗 𝝏𝑻 𝒑 𝝏𝑻 𝝏𝒗 𝒑, 𝑨
𝑻−𝒗 𝑻
𝐭𝐚𝐧 𝜷 = 𝒗𝑨 𝑨
𝒕𝒂𝒏 𝜶 > 𝒕𝒂𝒏 𝜷 ⟹ 𝒌𝑱𝑻 < 𝟎 b
Reálné tekutiny Reálná tekutina 𝒌𝑱𝑻 < 𝟎 𝒌𝑱𝑻 =
𝝏𝑻 𝝏𝒑
< 𝟎 ⟹ 𝑻𝟐 > 𝑻𝟏 𝒉
𝑻𝒊𝒏𝒗𝟏 :
𝜶 = 𝜷 ⟹ 𝒌𝑱𝑻 = 𝟎 ⟹ 𝑻𝟐 = 𝑻𝟏
𝑻𝒊𝒏𝒗𝟐 :
𝜶 = 𝜷 ⟹ 𝑻𝟐 = 𝑻𝟏
Pro
𝑻𝒊𝒏𝒗𝟏 < 𝑻 < 𝑻𝒊𝒏𝒗𝟐 𝒌𝑱𝑻 > 𝟎 ⟹ 𝑻𝟐 < 𝑻𝟏
b
Reálné tekutiny Škrcení mokré páry
Škrticí kalorimetr
přehřátá pára mokrá pára
Reálné tekutiny Směšování a) Stálý součet objemů 𝒎𝒔 = 𝒎𝟏 + 𝒎𝟐 𝑽𝒔 = 𝑽𝟏 + 𝑽𝟐 𝒅𝑨 = 𝒑 𝒅𝑽 = 𝟎 𝒅𝑸 = 𝟎 𝒅𝑸 = 𝒅𝑼 + 𝒅𝑨 𝒅𝑼 = 𝟎 ⟹ 𝑼 = 𝒌𝒐𝒏𝒔𝒕 𝒎𝟏 𝒖𝟏 + 𝒎𝟐 𝒖𝟐 = 𝒎𝒔 𝒖𝒔
𝒎𝟏 𝒖𝟏 + 𝒎𝟐 𝒖𝟐 𝒖𝒔 = 𝒎𝒔
𝑽𝒔 𝒗𝒔 = 𝒎𝒔
Reálné tekutiny b) Směšování proudů 𝒎𝟏
𝒘𝟏 𝟐 𝒉𝟏 + + 𝒎𝟐 𝟐 = 𝒎𝒔
𝒉𝒔 =
𝒘𝟐 𝟐 𝒉𝟐 + = 𝟐
𝒘𝒔 𝟐 𝒉𝒔 + 𝟐
𝒎𝟏 𝒉𝟏 + 𝒎𝟐 𝒉𝟐 𝒎𝟏 + 𝒎𝟐
Reálné tekutiny Termodynamika proudících reálných plynů 𝟐 𝒉𝟏 − 𝒉𝟐 + 𝒘𝟏 𝟐
𝒘𝟐 =
𝒘𝟐 =
𝟐
𝒘𝟏 𝟐 𝒉𝟏 + − 𝒉𝟐 𝟐 totální entalpie
Hmotnostní průtok 𝒎 =𝝆𝒘𝑺= 𝑺= Dále platí
𝒎𝒗 𝒘
𝒘𝑺 𝒗
𝒅𝒘 𝒅𝑺 𝟏 − 𝑴𝒂𝟐 + =𝟎 𝒘 𝑺
Reálné tekutiny Rychlost zvuku pokud platí 𝒑𝒗𝜿 ≅ 𝒌𝒐𝒏𝒔𝒕 a 𝜿 ≅ 𝒌𝒐𝒏𝒔𝒕
pak
𝒂≅ 𝜿𝒑𝒗 𝒑𝒌 𝟐 ≅ 𝒑𝟏 𝜿+𝟏
𝜿 𝜿−𝟏
Reálné tekutiny Parní oběhy (s kondenzací) Pracovní oběh Clausiův-Rankinův
𝒂𝑻 = 𝒉𝟏 − 𝒉𝟐 (𝒔 = 𝒌𝒐𝒏𝒔𝒕) 𝒂č = 𝒉𝟒 − 𝒉𝟑 (𝒔 = 𝒌𝒐𝒏𝒔𝒕) 𝒒𝒌𝒐𝒕 = 𝒉𝟏 − 𝒉𝟒 (𝒑 = 𝒌𝒐𝒏𝒔𝒕) 𝒒𝒌𝒐𝒏𝒅 = 𝒉𝟐 − 𝒉𝟑 (𝒑 = 𝒌𝒐𝒏𝒔𝒕) 𝒂𝑻 𝜼= 𝒒𝒌𝒐𝒕
Reálné tekutiny Zvyšování termické účinnosti Clausiova - Rankinova oběhu Regenerace v oběhu s mokrou párou
Regenerace v oběhu s přehřátou párou
přihřívání páry
Reálné tekutiny Chladicí oběh
𝒒𝒑 𝒒𝒑 𝜺= = >𝟏 𝒂 𝒒𝒐 − 𝒒 𝒑 𝜺𝒕 =
𝒒𝒐 𝒒𝒐 = 𝒂 𝒒𝒐 − 𝒒𝒑
Chladicí oběh s expandérem
𝒒𝒐 − 𝒒𝒑 + 𝒒𝒑 𝒒𝒐 𝒒𝒐 𝜺𝒕 = = =𝟏+ =𝟏+𝜺 𝒒𝒐 − 𝒒𝒑 𝒒𝒐 − 𝒒𝒑 𝒒𝒐 − 𝒒𝒑
𝒂 = 𝒒𝒐 − 𝒒𝒑
Reálné tekutiny
Chladicí oběh se škrtícím ventilem
Chladnička
Tepelné čerpadlo
Konec
Děkuji za pozornost
