Termomechanika 9. přednáška Doc. Dr. RNDr. Miroslav Holeček
Upozornění: Tato prezentace slouží výhradně pro výukové účely Fakulty strojní Západočeské univerzity v Plzni. Byla sestavena autorem s využitím citovaných zdrojů a veřejně dostupných internetových zdrojů. Využití této prezentace nebo jejich částí pro jiné účely, stejně jako její veřejné šíření je nepřípustné.
Vlhký vzduch
Vlhký vzduch:
• směs suchého vzduchu a vodní páry • mohou se vyskytovat krystalky ledu či vločky sněhu
Vlhký vzduch
Vlhký vzduch Absolutní vlhkost:
𝒎𝒑 𝝆𝒑 = 𝑽 ′′
𝝆𝒑 =
na mezi sytosti:
𝒎𝒑 ′′ 𝑽
Relativní vlhkost:
𝝋=
𝝆𝒑 𝝆𝒑 ′′
Měrná vlhkost:
=
𝒎𝒑 𝑽 𝒎𝒑 ′′ 𝑽
=
𝒙=
𝒑𝒑 𝒓𝒑 𝑻 𝒑𝒑 ′′ 𝒓𝒑 𝑻
𝒎𝒑 𝒎𝒔𝒗
=
𝒑𝒑 𝒑𝒑 ′′
hmotnost páry
Měří se vlhkoměrem. Vyjadřuje poměr mezi napětím vodní páry a napětím nasycené vodní páry (v termodynamické rovnováze s rovným povrchem vody či ledu) při stejných teplotách. Jedná se tedy o procentní poměr skutečného množství páry ve vzduchu k maximálně možnému množství při dané teplotě. Relativní vlhkost vzduchu 100% tedy znamená, že při dané teplotě již vzduch nemůže pojmout více vodní páry a při dalším poklesu teploty dochází ke zkapalnění přebytečného množství vodních par (což se projevuje například vznikem rosy, jíní či zapocením skla). Při změnách teplot vzduchu se množství vodních par ve vzduchu nemění. Změní se ovšem maximální možné množství páry, které je vzduch schopen pojmout, a tím pádem i relativní vlhkost vzduchu (vzduch se stává relativně sušším nebo vlhčím). (www.in-pocasi.cz )
Vlhký vzduch
𝒑𝒑 𝑽 𝒎𝒑 𝒓𝒑 𝑻 𝒓𝒔𝒗 𝒑𝒑 𝒙= ≅ = 𝒎𝒔𝒗 𝒑𝒔𝒗 𝑽 𝒓𝒑 𝒑𝒔𝒗 𝒓𝒔𝒗 𝑻 𝒑𝒑 𝝋 𝒑𝒑 ′′ 𝟐𝟖𝟕 = = 𝟎, 𝟔𝟐𝟐 𝟒𝟔𝟏 𝒑𝒗𝒗 − 𝒑𝒑 𝒑𝒗𝒗 − 𝝋 𝒑𝒑 ′′ 𝒑𝒗𝒗 = 𝒑𝒔𝒗 + 𝒑𝒑
Daltonův zákon relativní vlhkost
𝝋 𝒑𝒑 ′′ 𝒙 ≅ 𝟎, 𝟔𝟐𝟐 𝒑𝒗𝒗 − 𝝋 𝒑𝒑 ′′
Míra atmosférické vodní páry (zdroj: Wikipedia)
Vlhký vzduch suchý vzduch
Plynová konstanta 𝒓𝒗𝒗 =
𝒓𝒊 𝝈𝒊 = 𝒓𝒔𝒗
vodní pára
𝒓𝒔𝒗 + 𝒓𝒑 𝒙 𝟏 𝒙 + 𝒓𝒑 = = 𝟏+𝒙 𝟏+𝒙 𝟏+𝒙
𝒓𝒔𝒗 𝒓𝒑 + 𝒙 𝟎, 𝟔𝟐𝟐 + 𝒙 = 𝒓𝒑 = 𝒓𝒑 𝟏+𝒙 𝟏+𝒙 Měrný objem
𝒗𝒗𝒗
𝒓𝒗𝒗 𝑻 𝒓𝒑 𝟎, 𝟔𝟐𝟐 + 𝒙 𝑻 = = 𝒑𝒗𝒗 𝟏 + 𝒙 𝒑𝒗𝒗
Měrná tepelná kapacita
𝒄𝒗𝒗 =
𝝈𝒊 𝒄𝒊 = 𝒄𝒔𝒗
𝒄𝒔𝒗 + 𝒄𝒑 𝒙 𝟏 𝒙 + 𝒄𝒑 = 𝟏+𝒙 𝟏+𝒙 𝟏+𝒙
Vlhký vzduch Měrná entalpie vlhkého vzduchu 𝒉𝟏+𝒙 = 𝒉𝒔𝒗 + 𝒉𝒑 zvolíme: 𝒉𝟏+𝒙 𝒕 = 𝟎°𝑪 = 𝟎 (vzduch, voda) 𝒉𝟏+𝒙 = 𝒄𝒔𝒗 𝒕 + 𝒙𝒍𝟐𝟑 + 𝒙𝒄𝒑 𝒕 vypaření
ohřev
Nasycený vzduch 𝒉𝟏+𝒙′′ = 𝒄𝒔𝒗 𝒕 + 𝒙′′ 𝒍𝟐𝟑 + 𝒄𝒑 𝒕 Nasycený vzduch s kapalnou fází 𝒉𝟏+𝒙′′ +𝒙′ = 𝒄𝒔𝒗 𝒕 + 𝒙′′ 𝒍𝟐𝟑 + 𝒄𝒑 𝒕 + 𝒙′ 𝒄𝒌 𝒕 Nasycený vzduch s tuhou fází 𝒉𝟏+𝒙′′ +𝒙′ +𝒙′′′ = 𝒄𝒔𝒗 𝒕 + 𝒙′′ 𝒍𝟐𝟑 + 𝒄𝒑 𝒕 + 𝒙′ 𝒄𝒌 𝒕 + 𝒙′′′ −𝒍𝟏𝟐 + 𝒄𝒍 𝒕 mrznutí
Vlhký vzduch 𝒌𝑱 𝒌𝒈𝑲
𝒄𝒔𝒗 = 𝟏, 𝟎𝟎𝟒 𝒍𝟐𝟑 = 𝟐 𝟓𝟎𝟎 𝒄𝒑 = 𝟏, 𝟖𝟒
… výparné teplo vody při 0°C
𝒌𝑱 𝒌𝒈𝑲
𝒄𝒌 = 𝟒, 𝟏𝟖𝟕
𝒍𝟏𝟐 = 𝟑𝟑𝟒
𝒌𝑱 𝒌𝒈
𝒄𝒍 = 𝟐, 𝟎𝟗𝟒
… měrná tepelná kapacita páry
𝒌𝑱 𝒌𝒈𝑲
𝒌𝑱 𝒌𝒈 𝒌𝑱 𝒌𝒈𝑲
… měrná tepelná kapacita suchého vzduchu
… měrná tepelná kapacita kapalné vody
… skupenské teplo tání ledu při atm. tlaku … měrná tepelná kapacita ledu
Sdílení tepla Sdílení tepla: • vedením (kondukce) • prouděním (konvekce) • sálání (radiace)
(Zdroj: ms.gsospg.cz)
Sdílení tepla Vedení tepla: 𝒒 Fourierův zákon:
𝑾 𝒎𝟐
𝒒 = −𝝀 𝒈𝒓𝒂𝒅 𝑻
𝑾 𝒎 𝑾 𝝀 = 𝒎𝟐 𝑲 𝒎 𝑲
teplotní pole
Sdílení tepla Stacionární vedení tepla jednodimenzionální (1D) Rovinná stěna 𝒒 = −𝝀 𝒈𝒓𝒂𝒅 𝑻 /. 𝑺 𝒅𝑻 𝑸 = −𝝀 𝑺 𝒅𝒙 𝑸 𝒅𝑻 = − 𝒅𝒙 𝝀𝑺 𝑸 𝑻=− 𝒙+𝑪 𝝀𝑺 𝒙 = 𝟎; 𝑻 = 𝑻𝟏 ; 𝑻𝟏 = −𝟎 + 𝑪 𝑸 𝒙 = 𝜹; 𝑻 = 𝑻𝟐 ; 𝑻𝟐 = − 𝜹 + 𝑻𝟏 𝝀𝑺 𝝀 𝑸=𝑺 𝑻 − 𝑻𝟐 𝜹 𝟏
Sdílení tepla Válcová stěna 𝑸 = −𝝀 𝑺 𝒈𝒓𝒂𝒅 𝑻 𝒅𝑻 𝑸 = −𝝀 𝟐𝝅𝒓𝒍 𝒅𝒓 𝑸 𝒅𝒓 𝒅𝑻 = − 𝟐𝝅 𝝀 𝒍 𝒓 𝑸 𝑻=− 𝐥𝐧 𝒓 + 𝑪 𝟐𝝅 𝝀 𝒍 𝑸 𝒓 = 𝒓𝟏 ; 𝑻 = 𝑻 𝟏 ; 𝑻𝟏 = − 𝐥𝐧 𝒓𝟏 + 𝑪 𝟐𝝅 𝝀 𝒍 𝑸 𝒓 = 𝒓𝟐 ; 𝑻 = 𝑻 𝟐 ; 𝑻𝟐 = − 𝐥𝐧 𝒓𝟐 + 𝑪 𝟐𝝅 𝝀 𝒍 𝑸 𝒓𝟏 𝐥𝐧 𝟐𝝅 𝝀 𝒍 𝒓𝟐 𝑻𝟏 − 𝑻𝟐 𝑸 = 𝟐𝝅 𝝀 𝒍 𝒓 𝐥𝐧 𝒓𝟐 𝟏
𝑻𝟏 − 𝑻 𝟐 = −
Sdílení tepla Kulová stěna 𝑸 = −𝝀 𝑺 𝒈𝒓𝒂𝒅 𝑻 𝒅𝑻 𝟐 𝑸 = −𝝀 𝟒𝝅𝒓 𝒅𝒓 𝑸 𝒅𝒓 𝒅𝑻 = − 𝟒𝝅 𝝀 𝒓𝟐 𝑸 𝟏 𝑻= +𝑪 𝟒𝝅 𝝀 𝒓 𝑸 𝟒𝝅 𝝀 𝑸 𝑻𝟐 = 𝟒𝝅 𝝀 𝑻𝟏 =
𝟏 +𝑪 𝒓𝟏 𝟏 +𝑪 𝒓𝟐
𝑸 𝟏 𝟏 𝑻𝟏 − 𝑻𝟐 = − 𝟒𝝅 𝝀 𝒓𝟏 𝒓𝟐 𝑻𝟏 − 𝑻𝟐 𝑸 = 𝟒𝝅 𝝀 𝟏 𝟏 − 𝒓𝟏 𝒓𝟐
Sdílení tepla Přestup tepla Newtonův (empirický) zákon:
𝑸 = 𝑺 𝜶 𝑻𝒔 − 𝑻𝒕
tekutina
𝒒 = 𝜶 𝑻𝒔 − 𝑻𝒕
𝜶
𝑾 … 𝐬𝐨𝐮č𝐢𝐧𝐢𝐭𝐞𝐥 𝐩ř𝐞𝐬𝐭𝐮𝐩𝐮 𝐭𝐞𝐩𝐥𝐚 𝒎𝟐 𝑲
𝜶 … závisí na vlastnostech tekutiny, na charakteru proudění apod.
mezní vrstva
Sdílení tepla Prostup tepla Rovinná stěna prostup …
𝑸 = 𝑺 𝜶𝟏 𝑻𝒕𝟏 − 𝑻𝒔𝟏
vedení …
𝑸=𝑺𝝀
𝑻𝒔𝟏 −𝑻𝒔𝟐 𝜹
prostup …
𝑸 = 𝑺 𝜶𝟐 𝑻𝒔𝟐 − 𝑻𝒕𝟐 𝑸 𝑺 𝑸 𝑻𝒔𝟐 = 𝑺 𝑸 𝑻𝒕𝟐 = 𝑺
𝑻𝒕𝟏 − 𝑻𝒔𝟏 = 𝑻𝒔𝟏 − 𝑻𝒔𝟐 −
𝟏 𝜶𝟏 𝜹 𝝀 𝟏 𝜶𝟐
(zdroj: www.nesbau.sk)
Sdílení tepla 𝑻𝒕𝟏 − 𝑻𝒕𝟐 =
𝑸=𝑺
𝑸 𝟏 𝜹 𝟏 + + 𝑺 𝜶𝟏 𝝀 𝜶𝟐 𝑻𝒕𝟏 − 𝑻𝒕𝟐 𝟏 𝜹 𝟏 𝜶𝟏 + 𝝀 + 𝜶𝟐
𝑸 = 𝑺 𝒌 𝑻𝒕𝟏 − 𝑻𝒕𝟐
𝒌=
𝒌
𝟏 𝟏 𝜹 𝟏 𝜶𝟏 + 𝝀 + 𝜶𝟐
𝑾 … 𝐬𝐨𝐮č𝐢𝐧𝐢𝐭𝐞𝐥 𝐩𝐫𝐨𝐬𝐭𝐮𝐩𝐮 𝐭𝐞𝐩𝐥𝐚 𝒎𝟐 𝑲
Sdílení tepla Vedení tepla s 𝝀 ≠ 𝒌𝒐𝒏𝒔𝒕 a) 𝝀 = 𝒇(𝑻)
b) 𝝀 = 𝒇(𝒏)
𝒅𝑻 𝑸 = −𝑺 𝝀(𝑻) 𝒅𝒏 𝑸 𝝀 𝑻 𝒅𝑻 = − 𝒅𝒏 𝑺
𝒅𝑻 𝒅𝒏 𝑸 𝒅𝒏 𝒅𝑻 = − 𝑺 𝝀(𝒏)
𝑸 = −𝑺 𝝀(𝒏)
Sdílení tepla Nestacionární vedení tepla Odvození rovnice vedení tepla
(zdroj: http://tor.cz)
Sdílení tepla Teplo přivedené do element. hranolu za čas 𝒅𝝉:
𝒅𝑸𝒙 = 𝒒𝒙 𝒅𝒚 𝒅𝒛 − 𝒒𝒙 + =−
𝝏𝒒𝒙 𝒅𝒙 𝒅𝒚 𝒅𝒛 𝒅𝝉 = 𝝏𝒙
𝝏𝒒𝒙 𝒅𝒙 𝒅𝒚 𝒅𝒛 𝒅𝝉 𝝏𝒙
𝝏𝒒𝒙 𝒅𝑸𝒙 = − 𝒅𝑽 𝒅𝝉 𝝏𝒙 𝝏𝒒𝒚 𝒅𝑸𝒚 = − 𝒅𝑽 𝒅𝝉 𝝏𝒚 𝝏𝒒𝒛 𝒅𝑸𝒛 = − 𝒅𝑽 𝒅𝝉 𝝏𝒛 𝒅𝑸𝒙𝒚𝒛
𝝏𝒒𝒙 𝝏𝒒𝒚 𝝏𝒒𝒛 =− + + 𝝏𝒙 𝝏𝒚 𝝏𝒛 𝒅𝑸𝒙𝒚𝒛 = −𝒅𝒊𝒗 𝒒 𝒅𝑽 𝒅𝝉
𝒅𝑽 𝒅𝝉
Sdílení tepla Vnitřní zdroj: vydatnost 𝒒𝒗
𝑾 𝒎𝟑
𝒅𝑸𝒗 = 𝒒𝒗 𝒅𝑽 𝒅𝝉 Přivedeným teplem se zvýší teplota hranolu o dT 𝒅𝑸 = 𝒅𝒎 𝒄 𝒅𝑻 = 𝝆 𝒅𝑽𝒄 𝒅𝑻 Platí: 𝒅𝑸 = 𝒅𝑸𝒙𝒚𝒛 + 𝒅𝑸𝒗 𝝆 𝒅𝑽𝒄 𝒅𝑻 = −𝒅𝒊𝒗 𝒒 𝒅𝑽 𝒅𝝉 + 𝒒𝒗 𝒅𝑽 𝒅𝝉 𝒅𝑻 𝟏 𝒒𝒗 =− 𝒅𝒊𝒗 𝒒 + 𝒅𝝉 𝝆𝒄 𝝆𝒄
měrná tepelná kapacita
Sdílení tepla 𝒒 = −𝝀 𝒈𝒓𝒂𝒅 𝑻
Pak:
𝒅𝑻 𝟏 𝒒𝒗 =− 𝒅𝒊𝒗 −𝝀 𝒈𝒓𝒂𝒅 𝑻 + 𝒅𝝉 𝝆𝒄 𝝆𝒄 Pro 𝝀 = 𝒌𝒐𝒏𝒔𝒕
𝒅𝑻 𝝀 𝒒𝒗 = 𝒅𝒊𝒗 𝒈𝒓𝒂𝒅 𝑻 + 𝒅𝝉 𝝆𝒄 𝝆𝒄
Fourierova- Kirchhoffova rovnice vedení tepla:
𝝀 𝒂= … 𝝆𝒄
𝒅𝑻 𝒅𝝉
=𝒂
𝐬𝐨𝐮č𝐢𝐧𝐢𝐭𝐞𝐥 𝐭𝐞𝐩𝐥𝐨𝐭𝐧í 𝐯𝐨𝐝𝐢𝐯𝐨𝐬𝐭𝐢
𝑾 𝒎𝟑 𝒌𝒈 𝑲 𝒎𝟐 𝒂 = 𝒎 𝑲 𝒌𝒈 𝑱 𝒔
𝛁𝟐
𝑻+
𝒒𝒗 𝝆𝒄
Sdílení tepla Pro 𝑻 𝒙, 𝒚, 𝒛, 𝝉 platí: 𝝏𝑻 𝝏𝑻 𝝏𝑻 𝝏𝑻 𝒅𝑻 = 𝒅𝒙 + 𝒅𝒚 + 𝒅𝒛 + 𝒅𝝉 𝝏𝒙 𝝏𝒚 𝝏𝒛 𝝏𝝉
𝒅𝑻 𝝏𝑻 𝒅𝒙 𝝏𝑻 𝒅𝒚 𝝏𝑻 𝒅𝒛 𝝏𝑻 = + + + 𝒅𝝉 𝝏𝒙 𝒅𝝉 𝝏𝒚 𝒅𝝉 𝝏𝒛 𝒅𝝉 𝝏𝝉 𝒘𝒙
𝒘𝒚
Pro vedení tepla v tuhém tělese:
𝝏𝑻 𝒒𝒗 = 𝒂 𝛁𝟐 𝑻 + 𝝏𝝉 𝝆𝒄
𝒘𝒛
Konec
Děkuji za pozornost
