FSI VUT v Brně, Energetický ústav Odbor termomechaniky a techniky prostředí prof. Ing. Milan Pavelek, CSc.
TERMOMECHANIKA 4. První zákon termodynamiky OSNOVA 4. KAPITOLY ● 1. forma I. zákona termodynamiky ● Objemová práce ● Vnitřní energie ● Shrnutí 1. formy I. zákona ● Tepelné kapacity ● Mayerův vztah ● 2. forma I. zákona termodynamiky ● Entalpie
Teplo lze měnit v práci
● Technická práce ● Shrnutí 2. formy I. zákona 1
1. FORMA I. ZÁKONA TERMODYNAMIKY I. zákon termodynamiky - R. Mayer, 1842 (Neexistuje perpetuum mobile) Teplo lze měnit v práci a naopak, a to se děje dle určitého vztahu. Jde o zvláštní případ zákona zachování energie (Helmholz - 1847) Součet energií v izolované soustavě je konstantní. 1. forma I. zákona termodynamiky - nerozepsaná Forma vhodná převážně pro uzavřené soustavy (nádoby, pístové stroje)
δQ dU δA ,
δq du δa
Q a A nejsou totální diferenciály, v dalším textu je ale přesto budeme značit dQ a dA
dQ = m.dq, dU = m.du, dA = m.da dQ > 0 teplo se do soustavy přivádí dU > 0 vnitřní energie soustavy roste dA > 0 soustava koná práci
Kontrolní plocha Soustava
OKOLÍ
Q
E, U T, p, V… A 2
OBJEMOVÁ PRÁCE OBJEMOVÁ PRÁCE A [J] MĚRNÁ OBJEMOVÁ PRÁCE a [J.kg-1] Je dána působením síly F po dráze l např. ve válci s pístem a platí
A12 dA
dA = F.dl = p.S.dl = p.dV Definice práce A a měrné práce a mezi původním stavem o objemu V1 a konečným stavem o objemu V2 jsou tudíž dány vztahy 2
A1 2 p dV 1
A1 2 m a1 2
p
2 V1
p
dV
V2
S F
2
a1 2 p dv
Expanze ve válci s pístem
1
p
l1
V F’
dl
l2
1
Objemová práce není stavovou veličinou, jelikož závisí na cestě, po které děj probíhá a také platí, že neexistuje práce A1 nebo A2. Objemová práce je plocha pod křivkou v p-V diagramu.
3
VNITŘNÍ ENERGIE VNITŘNÍ ENERGIE U [J] MĚRNÁ VNITŘNÍ ENERGIE u [J.kg-1] Pro dA = p.dV = 0 (platí u dějů za konstantního objemu) je vnitřní energie dU rovna teplu za konstantního objemu dQv a lze psát
dQV = dU + dA = dU + pdV = dU Definice vnitřní energie a měrné vnitřní energie pro ideální plyn jsou proto dány vztahy:
dU m cv dT
du cv dT
kde cv je měrná tepelná kapacita za konstantního objemu. Vnitřní energie je stavová veličina, a proto dU je totální diferenciál a lze napsat následující integrály:
dU U 2 - U 1 mcv T 2 T1
du u 2 - u 1 cv T 2 T1
dU 0
du 0
2 1
2 1
4
SHRNUTÍ 1. FORMY I. ZÁKONA 1. forma I. zákona termodynamiky - NEROZEPSANÁ uvedená již dříve, vhodná převážně Při dp=0 může být jen p pro uzavřené soustavy - pístové stroje Qp práce A12 p dQ dU dA dq du da 1 2
1. forma I. zákona termodynamiky ROZEPSANÁ PRO IDEÁLNÍ PLYN získaná po dosazení definičních vzorců vnitřní energie a objemové práce
dQ m cv dT p dV
A12 V1
T1
V2
V
dq cv dT p dv
1. forma I. zákona termodynamiky - ROZEPSANÁ PRO PÁRU cv = f (T, p) nerozepisujeme vnitřní energii a platí
dQ dU p dV
dq du p dv 5
TEPELNÉ KAPACITY Měrná tepelná kapacita c [J.kg-1.K-1] je teplo k ohřátí 1 kg látky o 1 K U plynů rozlišujeme ● Měrnou tepelnou kapacitu p 2V za konstantního tlaku cp Qv ● Měrnou tepelnou kapacitu za konstantního objemu cv 2p T2 Děj 1-2V plyn zvýší vnitřní energii 1 Děj 1-2p plyn zvýší vnitřní energii Qp T1 a vykoná práci V
m c p dT dQp dQv m cv dT c p cv
Molová tepelná kapacita Cm [J.kmol-1.K-1]
C m M c
C m p M c p
C m v M cv
Tepelná kapacita C [J.K-1]
C m c n C m , C p m c p n C m p , Cv m cv n C m v
6
MAYERŮV VZTAH Odvození Mayerova vztahu 1. forma I. zákona termodynamiky Stavová rovnice ideálního plynu
Po dosazení p.dv do 1. formy … Pro izobarický děj dp = 0 Mayerův vztah
c p cv r
Poissonova konstanta 1-atomové plyny = 1,67 2-atomové plyny = 1,41 3-atomové plyny = 1,30
dq cv dT p dv p v r T p dv v dp r dT dq cv dT r dT v dp c p dT cv dT r dT
cp κ cv
7
2. FORMA I. ZÁKONA TERMODYNAMIKY Odvození rozepsané 2. formy I. zákona termodynamiky
Mayerův vztah
dq cv dT p dv p v r T p dv v dp r dT c p cv r
Po dosazení p.dv do 1. formy …
dq cv dT r dT v dp
1. forma I. zákona termodynamiky Stavová rovnice ideálního plynu
Po dosazení Mayerova vztahu do poslední rovnice dostaneme rozepsanou 2. formu I. zákona termodynamiky
dQ m c p dT V dp Zavedeme veličiny:
Entalpie
Technická práce
dq c p dT v dp Měrná entalpie
Měrná technická práce 8
ENTALPIE Entalpie H [J], měrná entalpie h [J.kg-1] - teplo za konstantního tlaku
dH m dh Definice entalpie
dH m c p dT
H je stavová veličina dH je totální diferenciál
dH H 2 - H 1 mc p T2 T1
dH 0
dh 0
Vztah mezi entalpií a vnitřní energií 1. forma I. zákona pro p = konst Entalpie je teplo při p = konst Po integraci při p = konst
Po seskupení veličin stavu 1 a 2 Stavová rovnice h = f(u, p, v)
dh c p dT
2 1
dh h2 - h1 c p T2 T1 2 1
dq p du da p
dh du da p h2 h1 u 2 u 1 p v 2 v 1 h2 h1 u 2 p v 2 u 1 p v 1 H U p V
h u p v
9
TECHNICKÁ PRÁCE TECHNICKÁ PRÁCE At [J] MĚRNÁ TECHNICKÁ PRÁCE at [J.kg-1] Je to práce na hřídelích rotačních strojů.
p p1
1
Technická práce je plocha pod křivkou v p-V diagramu směrem k ose p. Plocha je uvažována záporně (vzhledem k růstu tlaku), aby při expanzi či poklesu dp tlaku soustavy byla kladná. Definice technické práce At a měrné p2 technické práce at mezi původním stavem o tlaku p1 a konečným stavem o tlaku p2 jsou tudíž dány vztahy 2
At 1 2 V dp 1
2
at 1 2 v dp
At 1 2 m at 1 2
1
Expanze 1 kg at12 plynu
dat
v
2 v
Technická práce není stavovou veličinou, neboť závisí na cestě, po které děj probíhá a platí, že neexistuje At1 nebo At2. 10
SHRNUTÍ 2. FORMY I. ZÁKONA 2. forma I. zákona termodynamiky NEROZEPSANÁ, použitelná též pro otevřené soustavy - proudění, proudové stroje
dQ dH dA t
dq dh dat
Byla získána dosazením dH= m.cp.dT a dAt = -V.dp do dříve uvedené 2. formy I. zákona termodynamiky ROZEPSANÉ PRO IDEÁLNÍ PLYNY
dQ m c p dT Vdp dq c p dT v dp 2. forma I. zákona termodynamiky ROZEPSANÁ PRO PÁRU cp = f (T, p) nerozepisujeme entalpii
dQ dH Vdp dq dh vdp
T1
p
1
p1 at12
Při dv=0 může být jen práce at12 qv
p2 2 Kontrolní plocha
T2 v qv < 0
H1
H2
at > 0 11
