Střední škola stavební Jihlava
Sada 2 - MS Office , Excel 11. Excel 2007. Matice, determinanty, soustavy lineárních rovnic Digitální učební materiál projektu: SŠS Jihlava – šablony registrační číslo projektu:CZ.1.09/1.5.00/34.0284 Šablona: III/2 - inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT
Jan Pospíchal © 2012
Projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky
Matice Excel nabízí funkce, jejichž argumentem je matice. Nechybí ani výpočet determinantu čtvercové matice. Není namístě, abych zde zevrubně probíral část lineární algebry věnovanou maticím. Následující odkazy nabízí postačující úvod do problematiky: matice, determinanty. Omezím se na matice, jejichž prvky tvoří reálná čísla. Matici typu (m,n) si můžeme představit jako m.n reálných čísel uspořádaných do m řádků a n sloupců. „Polohu“ prvku v matici udáváme uspořádanou dvojicí přirozených čísel (indexů) (i,j) – číslem řádku a sloupce. Pro čtvercovou matici platí m=n.
Determinant matice Determinantem čtvercové matice řádu n je součet všech možných součinů n činitelů, z nichž každý obsahuje po jednom prvku z každého řádku a sloupce a je opatřen znaménkem + nebo – podle jistých pravidel. Matice s nenulovým determinantem se nazývá regulární. Nám bude stačit výpočet determinantů druhého a třetího řádu podle následujících vzorců: a
b
c
d
= ad − bc
a b
c
d g
f = aei − afh − bdi + bfg + cdh − ceg i
e h
Součin matic Je-li matice A typu (r,s) a matice B typu (s,t), potom jejich součinem je matice C typu (r,t), kde c = ∑ a b . Příklad: s
ij
k =1
ik
kj
Je-li A čtvercová regulární matice, potom pro její inverzní matici A-1 platí A-1.A = A.A-1=E, kde E je jednotková matice (tj. matice, která má v hlavní diagonále 1 a na ostatních místech 0).
Matice a soustava lineárních rovnic Soustavu lineárních rovnic a11x + a12y = b1 a21x + a22y = b2 můžeme zapsat „maticově“:
a11 a 21
x b1 . = y 22 b2
a a
12
První matice zleva se nazývá matice soustavy. Je-li matice soustavy regulární, má daná soustava jediné řešení:
x a11 = y a 21
−1
a12 b . a 22 b 1
2
První matice na pravé straně rovnosti je inverzní maticí k matici soustavy. Obdobné vztahy platí i pro soustavu tří lineárních rovnic o třech neznámých.
Řešení soustavy dvou lineárních rovnic o dvou neznámých užitím inverzní matice (zadání) Řešme následující soustavu rovnic: 2x – y = 5 x + 4 y = -2 Do tabulky (na obrázku) vložíme koeficienty a levé strany rovnic. Řešení se objeví v buňce H6. Pokud soustava nemá řešení nebo má nekonečně mnoho řešení, vypíše se text „NŘNMŘ “.
Řešení soustavy dvou lineárních rovnic o dvou neznámých užitím inverzní matice (popis řešení)
Matice soustavy
Matice inverzní k matici soustavy
Matice levých stran
Matice řešení
Řešení soustavy dvou lineárních rovnic o dvou neznámých užitím inverzní matice (řešení) Použité funkce a vzorce: Buňka
Vzorec
I3
=$B$3
I4
=$B$4
J3
=$D$3
J4
=$D$4
K3
=$G$3
K4
=$G$4
I6 (oblast I6:J7)
{=INVERZE($I$3:$J$4)}
K6 (oblast K6:K7)
{=KDYŽ(DETERMINANT($I$3:$J$4)<>0;SOUČIN. MATIC($I$6:$J$7;$K$3:$K$4);"NŘNMŘ")}
H6
="x = "&$K$6&ZNAK(10)&"y = "&$K$7
Řešení soustavy tří lineárních rovnic o třech neznámých užitím inverzní matice Řešme následující soustavu rovnic: x + 2y + z = 32 2x + y + z = 28 x + y + 2z = 36 Do tabulky (na obrázku) vložíme koeficienty a levé strany rovnic. Řešení se objeví v buňce K6. Pokud soustava nemá řešení nebo má nekonečně mnoho řešení, vypíše se text „NŘNMŘ “.
Řešení soustavy dvou lineárních rovnic o dvou neznámých užitím Cramerova pravidla Řešme následující soustavu rovnic: 2x – y = 5 a b D = a = b a = a D D x + 4 y = -2 a a b a a b Do tabulky (na obrázku) vložíme koeficienty a levé strany rovnic. Podle Cramerova pravidla platí: Je-li determinant matice soustavy různý od nuly, má soustava rovnic právě jedno řešení x=D1/D, y=D2/D. Čísla b1, b2 jsou levé strany rovnic. Řešení se objeví v buňce H6. Pokud soustava nemá řešení nebo má nekonečně mnoho řešení, vypíše se text „NŘNMŘ “. 11
22
1
22
1
21
22
11
1
21
2
2
2
22
Řešení soustavy dvou lineárních rovnic o dvou neznámých užitím Cramerova pravidla (použité vzorce) Vzorce v oblasti J3:O4
Vzorce v oblasti I6:J7
Řešení soustavy tří lineárních rovnic o třech neznámých užitím Cramerova pravidla Řešme následující soustavu rovnic: x + 2y + z = 32 2x + y + z = 28 x + y + 2z = 36 Do tabulky (na obrázku) vložíme koeficienty a levé strany rovnic. Řešení se objeví v buňce K6. Pokud soustava nemá řešení nebo má nekonečně mnoho řešení, vypíše se text „NŘNMŘ “.
Řešení soustavy tří lineárních rovnic o třech neznámých užitím Cramerova pravidla (použité vzorce)
Použitá literatura Brož , Milan. Microsoft Office Excel 2007. Podrobná uživatelská příručka. 1. vydání. Brno: Computer Press, a. s., 2007. 407 s. ISBN 978-80-251-1822-1 Pecinovský, Josef. Microsoft Excel 2007. Hotová řešení. 1. vydání . Brno: Computer Press, a. s., 2008. 247 s. ISBN 978-80-251-1966-2
Materiál je určen k bezplatnému používání pro potřeby výuky a vzdělávání na všech typech škol a školských zařízení. Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je : : Jan Pospíchal Pokud není uvedeno jinak, byly při tvorbě použity volně přístupné internetové zdroje. Autor souhlasí se sdílením vytvořených materiálů a jejich umístěním na www.ssstavji.cz.
