Proefles webklas Wiskunde. Universiteit van Amsterdam September 2002

Proefles webklas Wiskunde Universiteit van Amsterdam September 2002

1

Inleiding

Deze proefles van de webklas Wiskunde behandelt hetzelfde onderwerp als de echte webklas, alleen in een veel eenvoudiger wereld. Wat we in deze proefles gaan doen staat deftig bekend als een voorbeeld van het waarderen van financi¨ele derivaten. Het idee als volgt. We beschouwen een aandeel van een aan de beurs genoteerd bedrijf. De houder van zo’n aandeel is (samen met vele anderen) eigenaar van een klein stukje van het bedrijf. Het bedrijf heeft een bepaalde waarde, waarin de waarde van de geplaatste machines vertegenwoordigd is, de grootte van de orderportefeuille, maar ook wat men in het algemeen denkt over de toekomst van het bedrijf. Is de algemene mening dat het goed gaat (zal gaan) met het bedrijf, dan zal de koers hoog zijn, en ziet men de toekomst negatief in, dan zal de koers laag zijn. In het eerste geval kun je een in je bezit zijnd aandeel voor een mooie prijs van de hand doen, in het tweede geval waar minder vertrouwen is in de toekomst van het bedrijf, is men niet bereid een hoge prijs te betalen. Er wordt trouwens niet alleen in aandelen gehandeld, maar ook in waardepapieren die daarvan zijn afgeleid, zoals opties. De koersontwikkeling van een aandeel wordt door zoveel factoren be¨ınvloed, dat eigenlijk niets zinnigs over toekomstige waarden gezegd kan worden. Toch pogen we om iets te weten te komen over wat toekomstige waarden zouden kunnen zijn. De manier om dit te doen is door een wiskundig model te beschouwen, waarin met behulp van de kansrekening iets gezegd kan worden.

2

Een eenvoudige wereld

In het model dat we in deze proefles hanteren, beschrijven we een heel beperkte wereld. We beschouwen het bedrijf ABC dat aandelen uitgeeft, waarvan de huidige koers 100 euro (per aandeel) is. Omdat we in zo’n beperkte wereld leven, weten dat de koers morgen ´e´en van de twee waarden 120 of 90 euro is. Nu zijn er twee mensen geinteresseerd in het handelen in aandelen en (aanverwante producten) van ABC, mevrouw Vrolijk (de optimist) en meneer Somberman (de pessimist). Mevrouw Vrolijk ziet de toekomst zonnig in en denkt dat een aandeel ABC morgen met kans 90% gelijk is aan 120 en met kans van 10% gelijk aan 90. Bij meneer Somberman ligt dat net andersom, hij denkt dat morgen het aandeel 90 euro waard is met kans 90%. Wat de echte kansen zijn op een koersdaling laten we in het midden. Voor deze les zijn ze niet eens nodig, zoals verderop zal blijken. Het product in kwestie is een zogeheten call-optie. Dit is een contract dat je vandaag in je handen hebt, waarbij je het recht, maar niet de plicht, hebt om morgen tegen een nu vastgestelde prijs een aandeel ABC te kopen. Die van te voren vastgestelde prijs heet de uitoefenprijs. Laten we die prijs bij wijze van voorbeeld eens vastpinnen op 105 euro. Stel dat jij nu zo’n contract in handen hebt en laten we kijken wat de gevolgen hiervan morgen kunnen zijn. We doen of we inmiddels een dag verder zijn en onderscheiden twee mogelijkheden. In

1

de eerste is de prijs gestegen naar 120 euro. Wat doe je dan? Je hebt het recht om voor 105 euro een aandeel te kopen en dat doe je onmiddellijk bij de dichtstbijzijnde bank, en daarvan verkoop je het tegen de op dat moment geldende waarde (120 euro) en je hebt netto 15 euro verdiend. In het andere geval is de prijs gezakt naar 90 euro. Hoewel je het recht hebt om een aandeel voor 105 euro te kopen, doe je dit natuurlijk niet (tenzij je een gaatje in je hoofd hebt), want je kunt bij elke bank zo’n aandeel voor 90 euro kopen. Je recht is niets waard gebleken en je maakt in dit geval dus geen winst, maar ook geen verlies! Samengevat betekent het hebben van een call-optie dus dat je dit de mogelijkheid geeft om winst te maken, maar dat je nooit verlies lijdt. Het is dus heel prettig om zo’n contract in je bezit te hebben, iets wat ook mevrouw Vrolijk en meneer Somberman in de gaten hebben. Ze zouden dus best die optie van je willen overnemen, en dat doe je alleen maar als ze je daar een bepaalde prijs voor willen betalen, je bent immers Sinterklaas niet. De vraag rijst hoeveel het contract waard is. Het wonderlijke is dat er een objectieve eerlijke prijs voor dit contract blijkt te bestaan!

3

Een paar problemen

Laten we eens zien hoe mevrouw Vrolijk zou kunnen redeneren. Ze doet in gedachten een toevalsexperiment (vergelijkbaar met het 100 keer opgooien van een munt) door de prijsverandering van het aandeel 100 keer na te bootsen. Van die 100 verwacht ze 90 keer een stijging tot 120 en 10 keer een daling tot 90. Dit noemen we de ideale situtatie. Als ze de optie in haar bezit zou hebben, zou ze dus 90 keer een winst van 15 hebben geboekt en 10 keer een winst van 0 euro (geen winst). Haar totale winst over die 100 experimenten is dus 90 × 15 plus 10 × 0, oftewel 1350 euro. Gemiddeld over die 100 experimenten is dat dus 13.50 euro. Deze berekening kunnen we ook schrijven als (90 × 15 + 10 × 0)/100 = .90 × 15 + .10 × 0 = 13.50. Als je al wat meer kansrekening hebt gehad, zie je dat we hier de verwachting van een stochast uitrekenen. Immers als W de winst van mevrouw Vrolijk voorstelt, dan is de kans op 15 euro winst gelijk aan 0.90 en de kans op 0 euro winst gelijk aan 0.10. De verwachting van W is dus 0.90 × 15 + 0.10 × 0 = 13.50 euro. De verwachting is dus gelijk aan de gemiddelde winst in de ideale situatie. We interpreteren de verwachting derhalve als de eerlijke (objectieve) prijs die voor de call-optie betaald moet worden. Meneer Somberman doet net zo’n experiment en komt uit op een gemiddelde winst van 1.50 euro (zie opgave somber). Je zou dus verwachten dat mevrouw Vrolijk veel meer voor zo’n optie over heeft dan meneer Somberman. Het lijkt dat je je eigen optie dus beter aan mevrouw Vrolijk kunt verkopen. Stel nu dat meneer Somberman al zo’n optie heeft, voor welke prijs zou mevrouw die dan willen kopen? Misschien wel voor 13.50 euro en meneer Somberman gaat vast akkoord met elk bod boven de 1.50 euro. Dus misschien is die 13.50 euro toch wat aan de hoge kant. Omgekeerd, stel dat mevrouw Vrolijk 2

zo’n optie zou hebben, zou meneer Somberman die van haar willen kopen? Vast niet, zolang hij denkt dat het ding maar 1.50 waard is en mevrouw Vrolijk aan haar 13.50 euro vasthoudt. Op die manier kan er niet gehandeld worden. In beide gevallen rijst de vraag of de redenering van beiden wel correct is. Om hier wat meer licht op te doen schijnen, gaan we eens wat algemener call-opties bekijken, die van elkaar verschillen in de uitoefenprijs. Noteren we de uitoefenprijs met k, dan geven we de waarde van de optie volgens mevrouw Vrolijk aan met V (k). De optie die we hierboven besproken correspondeert met k = 105. We bepalen nu in de gedachten van mevrouw Vrolijk wat de waarde van zo’n optie zou moeten zijn. We bekijken eerst het geval k < 90. Bij een koersstijging tot 120 euro kan mevrouw Vrolijk een winst van 120 − k euro incasseren, maar zelfs als de koers daalt tot 90 euro, maakt ze nog een winst van 90 − k. We rekenen nu net zo als boven in de ideale situatie en zien dat de gemiddelde winst daar te berekenen is als 0.90 × (120 − k) + 0.10 × (90 − k) euro. Kijk nu naar het geval 90 ≤ k ≤ 120. Bij een koersstijging is de winst nu weer 120 − k euro, maar als de koers daalt tot 90, oefent mevrouw Vrolijk haar recht niet uit en behaalt dus een winst van 0 euro. Wat is nu de gemiddelde winst in de ideale situatie? In het laatste geval k > 120 is de winst altijd 0. Het gereken aan de waarde V (k) vatten we nu samen in de formule  als k < 90  117 − k 108 − 0.9k als 90 ≤ k < 120 V (k) = (3.1)  0 als k ≥ 120. Volgens deze formule zou mevrouw Vrolijk dus 117 euro voor een optie over hebben als k = 0 en 18 euro als k = 100. Het geval k = 0 geeft een hele aantrekkelijke optie: je krijgt het aandeel de volgende dag gratis! Er moet hiervoor natuurlijk wel wat betaald worden . . . We bekijken het geval k = 0 nader en hanteren weer de twee mogelijke scenario’s. In het eerste geval stijgt de koers naar 120 en is haar optie 120 euro waard, in het slechte geval is die waarde nog altijd 90 euro. Terwijl ze dit, vlak voordat ze zo’n optie wil gaan aanschaffen, aan haar zuster Truus vertelt, reageert die met ongeloof als ze vertelt dat deze optie haar maar liefst 117 euro waard is. Haar zuster legt haar uit, dat ze voor minder geld iets kan aanschaffen dat precies hetzelfde uitbetalingspatroon heeft, namelijk het aandeel zelf en dat kost maar 100 euro, ga maar na! Mevrouw Vrolijk wordt ineens wat somberder en beseft dat ze op de rand heeft gestaan een domme aanschaf te doen. Ze piekert zich echter suf, wat er nou fout zat in haar redenenering. Een analoog sommetje (opgave 7.3) voor meneer Somberman resulteert in de volgende formule voor zijn optie-prijs, die we S(k) noemen.  als k < 90  93 − k 12 − 0.1k als 90 ≤ k < 120 S(k) = (3.2)  0 als k ≥ 120. Kijk ook hier eens naar het geval k = 0. Meneer Somberman zou maar 93 euro voor zo’n optie willen betalen. Maar wie zou voor dat bedrag een optie aan

3

hem willen verkopen als een aandeel met precies hetzelfde uitbetalingspatroon 100 moet kosten. Meneer Somberman wil dus gewoon te goedkoop aan zo’n contract komen. Wat we nu hier gezien hebben is dat een optie met uitoefenprijs k = 0 de volgende dag precies dezelfde uitbetaling heeft als een aandeel zelf. Daarom zou de prijs van zo’n optie nu precies gelijk moeten zijn aan die van het aandeel nu.

4

Het oplossen van de probleempjes

Truus Vrolijk, die al snel met een goed argument kwam waarom haar zuster teveel wilde betalen, kon het probleem voor willekurige opties (dus voor verschillende waarden van de variable k) niet aan. Ze vroeg haar vriend Columbus op raad. Columbus was een uiterst pientere man, hoewel hij ook wel een beetje een ei was. Hij zag wel wat in het idee van Truus om de call-optie (met k = 105) met een aandeel te vergelijken, hoewel dat niet meteen goed werkt voor de oorspronkelijke call-optie met k = 105. Wat langer nadenken bracht ’m tot het inzicht dat het optimisme van mevrouw leidt tot een verwachte opbrengst van 117 euro, hoger dan de aanvankelijke koers van 100 euro, en het pessimisme van meneer Somberman tot 93 euro, minder dan de aanvankelijke prijs. Het leek hem wel aardig om een positie een beetje tussen hen in aan te nemen en wel zo, dat hij de verwachte opbrengst van het aandeel de volgende dag op precies 100 euro uitkomt. Na wat geknutsel bleek hem dat een kans van 13 (oftewel 33 13 %) op een koersstijging en een kans van 23 op een koersdaling tot 90 euro precies het goede resultaat oplevert. (Ga dit na.) Dit was een knappe prestatie, vooral omdat Columbus wel pienter is, maar weinig van wiskunde weet. Vervolgens ging hij met precies dezelfde kansen de verwachte waarde (het gemiddelde in een ideale situatie) van de optie bepalen. Omdat in zijn optiek in eenderde van de gevallen de koers stijgt met als gevolg dat de optie 5 waard en in tweedederde van de gevallen de koers zou dalen met een waardeloze optie tot gevolg, leek het met zijn kansen gewogen gemiddelde van 15 en 0 euro, namelijk 2 1 3 × 15 + 3 × 0 = 5 euro wel een zinvolle prijs. Nu moest dat ook nog een keer gerechtvaardigd worden en daarvoor gebruikte hij de volgende redenering. Stel je bezit 5 euro en wil daarvoor wat aandelen kopen en wel zo dat je het uibetalingspatroon van de call-optie kan nabootsen, zoals hierboven voor k = 0. Wederom virtuoos gokkend leek hem het aanschaffen van een half (dat mag gek genoeg ook in onze wereld) aandeel wel een idee. Daarvoor is 5 euro te weinig (een half aandeel kost 12 × 100 = 50 euro), dus moet je 45 euro erbij lenen (Columbus doet dat bij Truus). Het aandeel en de schuldbekentis van de lening stop je dan in je portefeuille, die dan dus precies 50-45=5 euro waard is. Die portefeuille kan de dag erna weer twee waarden aannemen. Bij een koersstijging is het halve aandeel 12 × 120 = 60 euro waard. In je portfeuille zit nog steeds je schuldbekentenis van 45 euro, zodat deze in totaal 15 euro waard is geworden. Bij een koersdaling wordt die waarde 12 × 90 − 45 = 0 euro. Dit zijn precies dezelfde waarden die de call-optie aan kan nemen, zoals we eerder al gezien hadden. Wat hier nu gebeurt, is dat het uitbetalingspatroon van de

4

call-optie perfect nagebootst met het lenen van geld en het aanschaffen van wat aandelen. Daarom zou de prijs vandaag van de call-optie en de waarde van de portefeuille met de nabootsing hetzelfde moeten zijn, dus 5 euro. Laten we nog even nagaan of dat echt zo is. Stel dat iemand, meneer Sukkel, nu meer dan 5 euro zou betalen voor de optie. We vergelijken hem met de nabootsing van Columbus, die met een investering van 5 euro precies dezelde uitbetaling realiseert als de call-optie. Hij krijgt dus goedkoper de volgende dag dezelfde hoeveelheid geld in zijn handen als meneer Sukkel. De conclusie is dat meneer Sukkel teveel betaalt.

5

Een wiskundigere aanpak

Hoe hadden we Columbus nu kunnen helpen om met een beetje wiskunde al zijn getallen uit te rekenen? Laten we nog eens naar zijn kansen kijken. Stel dat we de kans op p stellen dat de koers stijgt naar 120 en op 1 − p dat de koers daalt naar 90. De verwachte koers wordt dan 120p + 90(1 − p). Stellen we dit gelijk aan 100, zoals Columbus wil, dan vinden we dat p = 13 . Merk op dat dit rekensommetje uitgevoerd wordt zonder de optie in beschouwing te nemen. Hoe hadden we Columbus kunnen uitleggen dat hij precies een half aandeel moest kopen en dus 45 gulden moest lenen om de call-optie na te bootsen? Voer de volgende variabelen x en y in. De variabele x stelt het aantal aan te schaffen aandelen voor en y het bedrag dat je moet lenen als je met je 5 euro te kort komt. Vandaag is deze combinatie precies 100x − y waard. We eisen nu dat, wat er ook gebeurt (koersdaling of -stijging), de waarde morgen precies gelijk is aan de waarde van de optie in dezelfde situatie. Dit kunnen we samenvatten in het volgende stelsel vergelijkingen. 120x − y 90x − y

= =

15 0.

Het oplossen van dit stelsel is een fluitje van een cent en leidt tot de antwoorden die we al kennen, nl. x = 21 en y = 45. De conclusie die we uit het bovenstaande trekken formuleren we in twee stellingen. In de eerste zeggen we hoe je de prijs van een optie moet uitrekenen. Stelling 5.1 De waarde vandaag (de objectieve, eerlijke prijs) van een call-optie is gelijk aan de verwachte waarde van die optie morgen, als we deze uitrekenen met behulp van de Columbuskansen 31 en 23 . Deze kansen zijn voor alle soorten call-opties (dus voor varierende k) dezelfde en hebben de belangrijke eigenschap dat de verwachte koers morgen precies gelijk is aan de koers van vandaag. De tweede stelling vertelt je hoe je die waarde kunt verklaren. Namelijk door het principe dat een portefeuille en een optie met identieke uitbetalingspatronen (morgen), vandaag evenveel waard moeten zijn.

5

Stelling 5.2 De eerlijke prijs van een optie komt overeen met de waarde van een portefeuille die het aanschaffen van een aantal aandelen en het lenen van geld daarvoor combineert, waarbij deze combinatie precies zo is, dat de waarde van de call-optie de volgende dag perfect nagebootst wordt. We hebben dus gezien dat wat iemand zelf denkt wat de kans op koersstijging of -daling is (zoals mevrouw Vrolijk of meneer Somberman), volstrekt irrelevant is voor het bepalen van de eerlijke prijs van een optie, en dat klinkt niet onredelijk. Verder blijkt het ook irrelevant te zijn wat de echte kansen zijn waarmee de koersveranderingen plaatsvinden–waarbij we nu even geloven dat het hier gebruikte model realistisch is. En dat is toch vrij verrassend!

6

Tot slot

In de echte webklas Wiskunde wordt dieper op de wiskundige achtergrond van deze proefles ingegaan en gaan we ook verder dan de eenvoudige situatie die we hier beschreven hebben. Ook zul je met de computer het gedrag van koersen gaan nabootsen. Bovendien zullen we ook andere financi¨ele producten dan callopties beschouwen. De centrale idee¨en zijn echter dezelfde. Wat je in deze proefles hebt gezien, dient als een opwarmertje voor de echte webklas. Veel plezier bij de webklas wiskunde.

7

Opgaven

7.1 Geef een voorbeeld van een bedrij, waarvan de aandelen de laatste maanden heel hard gezakt zijn. 7.2 Reken na dat de gemiddelde winst van meneer Somberman in zijn gedachtenexperiment 1.50 euro is. 7.3 Leid, analoog aan de redenering in de tekst boven formule (3.1), formule (3.2) af. 7.4 Maak grafieken van C(k) en S(k). Die van C(k) ligt geheel boven die van S(k). Verklaar dit. Waarom zijn beide functies dalend? 7.5 Beschouw een call-optie met uitoefenprijs k (k ≥ 0). Bepaal met behulp van de kansen van Columbus de verwachte waarde (oftewel de eerlijke prijs) van deze call-optie. Teken ook hiervan een grafiek. 7.6 Laat zien dat we het uitbetalingspatroon van een call-optie gerepliceerd kan worden met de aanschaf van x = 1 aandeel en het wegzetten van k euro’s als k ≤ 90. wat worden de waarden van x en y als 90 < k < 120? Beredeneer zonder berekening dat x = 0 en y = als k ≥ 120.

6