Matematicky´ popis syste´mu˚ interagujı´cı´ch cˇa´stic Miroslav Hanzelka, Va´clav Rozhonˇ ˇ eska´ Lı´pa, Zˇitavska´ 2969; Gymna´zium C
[email protected] ˇ eske´ Budeˇjovice; ˇ ra´mka 23, C Gymna´zium J. V. Jirsı´ka, Fra´ni S
[email protected]
TV@J 2013 20. cˇervna 2013
Hanzelka, Rozhonˇ (GCL, GJVJ)
Matematicky´ popis syste´mu˚ interagujı´cı´ch cˇa´stic
20. cˇervna 2013
1 / 11
´ VOD U Definujeme jednoduchy´ model pro pohyb chodcu˚.
0
5
4
110100
3 Hanzelka, Rozhonˇ (GCL, GJVJ)
1
2 Matematicky´ popis syste´mu˚ interagujı´cı´ch cˇa´stic
20. cˇervna 2013
2 / 11
´ VOD U Definujeme jednoduchy´ model pro pohyb chodcu˚. Nalezneme pru˚meˇrne´ hodnoty obsazenosti jednotlivy´ch buneˇk.
0
5
4
110100
3 Hanzelka, Rozhonˇ (GCL, GJVJ)
1
2 Matematicky´ popis syste´mu˚ interagujı´cı´ch cˇa´stic
20. cˇervna 2013
2 / 11
IPS – Syste´my interagujı´cı´ch cˇa´stic
ˇ a´stice se pohybujı´ pomocı´ prˇeskoku˚ mezi bunˇkami mrˇ´ızˇky L. C
Hanzelka, Rozhonˇ (GCL, GJVJ)
Matematicky´ popis syste´mu˚ interagujı´cı´ch cˇa´stic
20. cˇervna 2013
3 / 11
IPS – Syste´my interagujı´cı´ch cˇa´stic
ˇ a´stice se pohybujı´ pomocı´ prˇeskoku˚ mezi bunˇkami mrˇ´ızˇky L. C Pravdeˇpodobnost prˇeskoku w(x → y) = Pr[x → y|S(x) ].
L x
Hanzelka, Rozhonˇ (GCL, GJVJ)
Matematicky´ popis syste´mu˚ interagujı´cı´ch cˇa´stic
S(x)
20. cˇervna 2013
3 / 11
IPS – Syste´my interagujı´cı´ch cˇa´stic
ˇ a´stice se pohybujı´ pomocı´ prˇeskoku˚ mezi bunˇkami mrˇ´ızˇky L. C Pravdeˇpodobnost prˇeskoku w(x → y) = Pr[x → y|S(x) ]. Stav syste´mu ηt = (ηt (x))x∈L .
L x
Hanzelka, Rozhonˇ (GCL, GJVJ)
Matematicky´ popis syste´mu˚ interagujı´cı´ch cˇa´stic
S(x)
20. cˇervna 2013
3 / 11
IPS – Syste´my interagujı´cı´ch cˇa´stic
ˇ a´stice se pohybujı´ pomocı´ prˇeskoku˚ mezi bunˇkami mrˇ´ızˇky L. C Pravdeˇpodobnost prˇeskoku w(x → y) = Pr[x → y|S(x) ]. Stav syste´mu ηt = (ηt (x))x∈L . ηt (x) oznacˇuje pocˇet cˇa´stic v bunˇce x a cˇase t.
L x
Hanzelka, Rozhonˇ (GCL, GJVJ)
Matematicky´ popis syste´mu˚ interagujı´cı´ch cˇa´stic
S(x)
20. cˇervna 2013
3 / 11
Markovovy procesy
Definice Bud’ {ηn , n ∈ N0 } na´hodny´ proces. Potom ho nazy´va´me markovsky´m, pokud Pr[ηn+1 = j|ηn = i; ηn−1 = in−1 ; . . . ; η0 = i0 ] = Pr[ηn+1 = j|ηn = i].
Hanzelka, Rozhonˇ (GCL, GJVJ)
Matematicky´ popis syste´mu˚ interagujı´cı´ch cˇa´stic
20. cˇervna 2013
4 / 11
Markovovy procesy
Definice Bud’ {ηn , n ∈ N0 } na´hodny´ proces. Potom ho nazy´va´me markovsky´m, pokud Pr[ηn+1 = j|ηn = i; ηn−1 = in−1 ; . . . ; η0 = i0 ] = Pr[ηn+1 = j|ηn = i]. Definice Markovsky´ proces je homogennı´ pra´veˇ tehdy, kdyzˇ ∀n ∈ N0 : Pr[ηn+1 = j|ηn = i] = Pr[η1 = j|η0 = i] =: pij . Matici P = (pij ) nazy´va´me matice prˇechodu.
Hanzelka, Rozhonˇ (GCL, GJVJ)
Matematicky´ popis syste´mu˚ interagujı´cı´ch cˇa´stic
20. cˇervna 2013
4 / 11
Staciona´rnı´ rˇesˇenı´ a hustotnı´ profil
Definice Vektor π je staciona´rnı´m rˇesˇenı´m markovske´ho procesu pra´veˇ tehdy, kdyzˇ π = P T π.
Hanzelka, Rozhonˇ (GCL, GJVJ)
Matematicky´ popis syste´mu˚ interagujı´cı´ch cˇa´stic
20. cˇervna 2013
5 / 11
Staciona´rnı´ rˇesˇenı´ a hustotnı´ profil
Definice Vektor π je staciona´rnı´m rˇesˇenı´m markovske´ho procesu pra´veˇ tehdy, kdyzˇ π = P T π. Definice Hustotnı´ profil definujeme jako vektor ρ, jehozˇ slozˇky jsou urcˇeny vztahem X ρ(i) = η(i)π(η). η∈X
Hanzelka, Rozhonˇ (GCL, GJVJ)
Matematicky´ popis syste´mu˚ interagujı´cı´ch cˇa´stic
20. cˇervna 2013
5 / 11
Popis modelu
0
5
4
Pohyb cˇa´stic se vyhodnocuje paralelneˇ.
110100
3
Hanzelka, Rozhonˇ (GCL, GJVJ)
1
2
Matematicky´ popis syste´mu˚ interagujı´cı´ch cˇa´stic
20. cˇervna 2013
6 / 11
Popis modelu
0
5
4
Pohyb cˇa´stic se vyhodnocuje paralelneˇ.
110100
3
Hanzelka, Rozhonˇ (GCL, GJVJ)
Pokud je cˇa´stice na pozici i a pozice i + 1 je volna´, prˇeskocˇı´ do nı´ s pravdeˇpodobnostı´ pi . 1
2
Matematicky´ popis syste´mu˚ interagujı´cı´ch cˇa´stic
20. cˇervna 2013
6 / 11
Popis modelu
0
5
4
Pohyb cˇa´stic se vyhodnocuje paralelneˇ.
110100
3
Hanzelka, Rozhonˇ (GCL, GJVJ)
1
Pokud je cˇa´stice na pozici i a pozice i + 1 je volna´, prˇeskocˇı´ do nı´ s pravdeˇpodobnostı´ pi . Pokud je pozice i + 1 obsazena´ a i + 2 volna´, prˇeskocˇı´ do druhe´ jmenovane´ s pravdeˇpodobnostı´ αpi , kde α ∈ h0; 1i.
2
Matematicky´ popis syste´mu˚ interagujı´cı´ch cˇa´stic
20. cˇervna 2013
6 / 11
Popis modelu
0
5
4
Pohyb cˇa´stic se vyhodnocuje paralelneˇ.
110100
3
Hanzelka, Rozhonˇ (GCL, GJVJ)
1
2
Pokud je cˇa´stice na pozici i a pozice i + 1 je volna´, prˇeskocˇı´ do nı´ s pravdeˇpodobnostı´ pi . Pokud je pozice i + 1 obsazena´ a i + 2 volna´, prˇeskocˇı´ do druhe´ jmenovane´ s pravdeˇpodobnostı´ αpi , kde α ∈ h0; 1i. Pokud by meˇly dveˇ cˇa´stice skocˇit na stejnou pozici, vybere se na´hodneˇ jedna z nich.
Matematicky´ popis syste´mu˚ interagujı´cı´ch cˇa´stic
20. cˇervna 2013
6 / 11
Matice prˇechodu
011100
001110
000111
100011
110001
110100
110010
110100
110010
110100
101100
100110
101100
100110
101100
101001
100101
101010
010101
111000
c1
0
0
0
0
0
a1
0
0
0
0
b1
0
0
0
0
0
0
0
0
011100
111000 0
c2
0
0
0
0
0
0
a2
0
0
0
0
b2
0
0
0
0
0
0
001110
0
0
c3
0
0
0
0
0
0
0
a3
0
0
0
0
b3
0
0
0
0
000111
0
0
0
c4
0
0
0
0
0
0
0
0
a4
0
0
0
0
b4
0
0
100011
0
0
0
0
c5
0
0
b5
0
0
0
0
0
0
a5
0
0
0
0
0
110001
0
0
0
0
0
c0
0
0
0
b0
0
0
0
0
0
0
a0
0
0
0
110100
0
b0*q3
0
0
0
0
c0*q3
c0*p3
b0*p3
0
0
a0*q3
0
0
0
0
0
0
a0*p3
110010
0
0
0
0
0
c0*p4
0
c0*q4
b0*q4
b0*p4
0
0
0
0
0
0
a0*p4
0
a0*q4
0
011010
0
0
b1*q4
0
0
0
0
0
c1*q4
c1*p4
b1*p4
0
0
a1*q4
0
0
0
0
0
a1*p4
011001
c1*p5
0
0
0
0
0
a1*p5
0
0
c1*q5
b1*q5
b1*p5
0
0
0
0
0
0
0
a1*q5
001101
0
0
0
b2*q5
0
0
0
0
0
0
c2*q5
c2*p5
b2*p5
0
0
a2*q5
0
0
a2*p5
101100
0
c2*p0
0
0
0
0
0
0
a2*p0
0
0
c2*q0
b2*q0
b2*p0
0
0
0
0
a2*q0
0
100110
0
0
0
0
b3*q0
0
0
0
0
0
0
0
c3*q0
c3*p0
b3*p0
0
0
a3*q0
0
a3*p0
010110
0
0
c3*p1
0
0
0
0
0
0
0
a3*p1
0
0
c3*q1
b3*q1
b3*p1
0
0
0
a3*q1
010011
0
0
0
0
0
0
0
b4*q1
0
a4*q1
0
0
0
0
0
0
c4*q1
c4*p1
b4*p1
0
a4*p1
001011
0
0
0
c4*p2
0
0
0
0
0
0
0
0
a4*p2
0
0
c4*q2
b4*q2
b4*p2
a4*q2
0
101001
b5*q2
0
0
0
0
0
b5*p2
0
0
a5*q2
0
0
0
0
0
0
c5*q2
c5*p2
0
a5*p2
100101
0
0
0
0
c5*p3
0
b5*q3
b5*p3
0
0
0
0
0
0
a5*p3
0
0
c5*q3
0
a5*q3
101010
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
010101
0
0
0
0
0
0
q1*q3*p5 q1*p3*p5
p0*q2*q4 p0*q2*p4 0
w(110 → 101) = ai = pi+1 1 − w(110 → 011) = bi = αpi 1 −
Hanzelka, Rozhonˇ (GCL, GJVJ)
0
p1*q3*q5 p1*q3*p5
q0*p2*q4 p0*p2*q4 0
αpi 2 . pi+1 2 .
Matematicky´ popis syste´mu˚ interagujı´cı´ch cˇa´stic
0
q1*p3*q5 p1*p3*q5
0
q0*q2*p4 q0*p2*p4 q0*q2*q4 p0*p2*p4 0
0
p1*p3*p5 q1*q3*q5
qi = 1 − pi . ci = 1 − ai − bi .
20. cˇervna 2013
7 / 11
Zu´zˇenı´ – za´vislost na agresiviteˇ Graf: pi = 0, 5 pro i ∈ 0, 1, 2, 3, 4 a p5 = 0, 05.
Hanzelka, Rozhonˇ (GCL, GJVJ)
Matematicky´ popis syste´mu˚ interagujı´cı´ch cˇa´stic
20. cˇervna 2013
8 / 11
Zu´zˇenı´ 2 Graf: pi = 0, 5 pro i ∈ 0, 1, 2, 3, 4 a promeˇnny´m p5 .
Hanzelka, Rozhonˇ (GCL, GJVJ)
Matematicky´ popis syste´mu˚ interagujı´cı´ch cˇa´stic
20. cˇervna 2013
9 / 11
Postupne´ zuzˇova´nı´ Graf: pi = 0, 6 − 0, 1i.
Hanzelka, Rozhonˇ (GCL, GJVJ)
Matematicky´ popis syste´mu˚ interagujı´cı´ch cˇa´stic
20. cˇervna 2013
10 / 11
Deˇkujeme za pozornost
Hanzelka, Rozhonˇ (GCL, GJVJ)
Matematicky´ popis syste´mu˚ interagujı´cı´ch cˇa´stic
20. cˇervna 2013
11 / 11
