MATEMATIKA SPANYOL NYELVEN MATEMÁTICAS

ÉRETTSÉGI VIZSGA ● 2007. május 8.

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MATEMATIKA SPANYOL NYELVEN MATEMÁTICAS 2007. május 8. 8:00

EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA EXAMEN ESCRITO DE NIVEL SUPERIOR Az írásbeli vizsga időtartama: 240 perc Duración del examen escrito: 240 minutos Pótlapok száma / Número de hojas extra Tisztázati / En limpio Piszkozati / En sucio

OKTATÁSI ÉS KULTURÁLIS MINISZTÉRIUM MINISTERIO DE EDUCACIÓN Y CULTURA

Matematika spanyol nyelven

emelt szint — írásbeli vizsga 0613

Matematika spanyol nyelven emelt szint

írásbeli vizsga 0613

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Información importante 1. Para la resolución de los ejercicios dispone de 240 minutos, acabado este tiempo debe finalizar el trabajo. 2. El orden para resolver los ejercicios es opcional. 3. En la parte II. sólo tiene que resolver cuatro de los cinco ejercicios propuestos. Tiene que escribir el número del ejercicio que no resuelva en este cuadrado. Si para el profesor que corrige no queda absolutamente claro cuál es el ejercicio no elegido, se eliminará automáticamente el ejercicio 9, es decir, no recibiría ningún punto para el ejercicio 9.

4. Para la resolución de los problemas se puede usar una calculadora que no tenga memoria de datos y cualquier libro con tablas y fórmulas. No se puede usar ayuda electrónica ni impresa. 5. Por favor, especifique los pasos que ha seguido en el desarrollo del ejercicio hasta llegar a la solución porque la mayoría de los puntos que puede obtener se dan por las explicaciones. 6. Preste atención a que todos los pasos en el proceso de la resolución puedan seguirse de manera clara. 7. Al resolver los ejercicios, si necesita hacer referencia a alguno de los teoremas conocidos, como, por ejemplo, el teorema de Pitágoras o el teorema de la altura, no tiene que especificar su enunciado ni la demostración; es suficiente nombrarlos y aplicarlos explicando por qué puede hacerlo. Por otra parte, si necesita utilizar otros teoremas que no tienen nombre concreto, deberá comentar explícitamente su enunciado (sin demostración) y justificar su aplicación en el problema. 8. Tiene que explicar el resultado (la respuesta del problema) también con alguna o algunas frases. 9. Escriba con bolígrafo. Se pueden hacer los dibujos a lápiz. Todo lo que esté escrito a lápiz aparte del dibujo no se calificará. Si tacha cualquier respuesta o una parte de ella, esa parte no se tendrá en cuenta. 10. Sólo se puede puntuar una solución por ejercicio. En caso de que haya varios procedimientos para la resolución, debe indicar, con absoluta claridad, cuál es el válido. 11. Por favor, no escriba en las tablas de puntuación de color gris.


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I. 1.

Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones siendo x e y números reales. log 2 (2 x + y ) − log 2 ( x − 1,5 y ) = 2

⎫ ⎬ log 3 ( x + y ) + log 3 (x − y ) = 2 + log 3 5⎭

Total:


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11 puntos

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2. a) Represente gráficamente las rectas y = 0,5 x + 2 e y = − 0,5 x + 4 en el sistema de coordenadas cartesiano. b) Los ejes X e Y, y las gráficas de las rectas delimitan un cuadrilátero convexo. ¿Cuánto mide su área? c) Las dos rectas y los ejes de coordenadas se cortan en cuatro puntos que forman un cuadrilátero cóncavo. ¿Cuánto mide su perímetro?


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a)

2 puntos

b)

6 puntos

c)

5 puntos

Total:

13 puntos

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3. En un tren en dirección a Pécs viajan, en el compartimento de primera, seis personas que se dirigen a un congreso científico. Tras la salida del tren se descubre que entre ellos hay dos personas que conocen a todas las demás. Además cada uno de los cuatro científicos restantes conoce a otros cuatro. (El conocimiento es recíproco). a) Forme un grafo que represente todas estas relaciones entre conocidos. b) Cuando entraron al compartimento, los conocidos se saludaron estrechándose la mano. ¿Cuántos apretones de mano se dieron en total? c) Los seis compañeros ocupan tres habitaciones dobles. ¿De cuantás maneras se puede hacer la distribución si no hacemos ninguna diferencia entre las habitaciones?


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a)

4 puntos

b)

3 puntos

c)

6 puntos

Total:

13 puntos

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4. Las aristas del ortoedro ABCDEFGH son: AB = 10; AD = 8; AE = 6. Con origen el vértice A, asignamos los vectores formados por tres aristas de la siguiente manera: AB = a; AD = b, AE = c. Desde el vértice A salen tres vectores formados por las aristas, tres vectores formados por las diagonales de las caras a las que pertenece A y el vector de la diagonal del cuerpo que tiene por origen el vértice A. Sume estos siete vectores y llame AP al vector suma.

a) Exprese el vector AP utilizando los vectores a; b y c. b) ¿Cuánto mide el módulo de AP ? c) ¿Cuál es el ángulo formado por los vectores AP y AE ? d) ¿Cuál es el valor de AS ⋅ AP , si S es el baricentro del triángulo HFC ? a)

2 puntos

b)

3 puntos

c)

3 puntos

d)

6 puntos

Total: 14 puntos


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II. Sólo tiene que resolver cuatro de entre los problemas 5-9. Por favor, escriba el número del ejercicio eliminado en el cuadrado de la página 3. 5. Resuelva la siguiente ecuación, si p es un parámetro real. x p 1 + + = 0 2 2 x −4 x + 2x 2x − x 2 ¿Existe algún valor real de p para el que la ecuación tenga dos raíces distintas? ¿Existe algún valor real de p para el que la ecuación no tenga soluciones? 16 puntos


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Sólo tiene que resolver cuatro de entre los problemas 5-9. Por favor, escriba el número del ejercicio descartado en el cuadrado de la página 3. 6. Las dos asignaturas favoritas de Daniel son Matemáticas y Biología. a) Una tarde Dani contó en una tienda de animales los peces rojos grandes y los peces pequeños a rayas que había en una pecera. El número de los peces grandes rojos es p, el número de los peces pequeños a rayas es c. No le dijo a su hermana el número de peces que había contado, pero le planteó lo siguiente: “ Los números 4, p y c ,en este orden, son términos consecutivos de una progresión geométrica, los números p, c y 40, en este orden, son términos consecutivos de una progresión aritmética”. ¿Cuántos peces grandes rojos y peces pequeños a rayas contó Daniel? b) Daniel compró una pecera muy grande y metió en ella 100 peces. Los cuidó tan bien que cada mes el número de peces aumentaba un 20%. Al final de cada segundo mes, Dani vendía el mismo tanto por ciento de peces. Después de 24 meses, quedaron 252 peces en la pecera. ¿Qué tanto por ciento de los peces vendía Daniel cada dos meses c) Daniel le regaló a Kata 20 peces para su cumpleaños: una pecera con 5 peces grandes rojos y 15 peces pequeños a rayas. Los dos hermanos colocaron plantas en la pecera de Kata y para poder hacerlo tuvieron que sacar 8 peces y ponerlos en un bote con agua durante un tiempo. Eligieron estos peces al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que entre los 8 peces 3 fueran peces grandes rojos?


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a)

5 puntos

b)

7 puntos

c)

4 puntos

Total:

16 puntos

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Sólo tiene que resolver cuatro de entre los problemas 5-9. Por favor, escriba el número del ejercicio eliminado en el cuadrado de la página 3. 7. El sueldo bruto de los 220 trabajadores de un ayuntamiento en el mes de agosto se muestra en la siguiente tabla: Sueldo (en miles de forintos)

68

108

154

184

225

Número de trabajadores

25

65

70

44

16

a) Represente la distribución de los sueldos de los 220 trabajadores en un diagrama de barras. b) ¿Cuál es la media y la desviación típica de los sueldos del mes de agosto? c) ¿Cuál es la media de los sueldos netos de los trabajadores durante el mes de agosto? (El sueldo bruto es el 165 % del sueldo neto) d) En septiembre, el sueldo de cada uno de los trabajadores aumenta 2500Ft. ¿Cuánto cambiará la desviación típica?


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a)

3 puntos

b)

6 puntos

c)

3 puntos

d)

4 puntos

Total:

16 puntos

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Sólo tiene que resolver cuatro de entre los problemas 5-9. Por favor, escriba el número del ejercicio eliminado en el cuadrado de la página 3. 8. Sea f una función definida en el intervalo [0; 5]: f(x) = 3cos x − cos (−x). a) Diga si son verdaderas o falsas las siguientes afirmaciones. Justifique su respuesta. • f es una función acotada. • Los puntos donde la función f alcanza el mínimo y el valor mayor de la función son números irracionales. b) ¿Cuánto mide el área de la región del plano determinada por la función f, el eje X y las rectas x = 0 y x = 5?


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a)

6 puntos

b)

10 puntos

Total:

16 puntos

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Sólo tiene que resolver cuatro de entre los problemas 5-9. Por favor, escriba el número del ejercicio eliminado en el cuadrado de la página 3. 9. Determine qué números N enteros positivos de dos cifras verifican que de las cuatro afirmaciones siguientes dos son verdaderas y dos son falsas: N es divisible por 7. N es múltiplo de 29. N + 11 es el cuadrado de un número. N − 13 es el cuadrado de un número. 16 puntos


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(También se puede utilizar esta hoja para la resolución de los ejercicios o para los intentos previos a la resolución).


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(También se puede utilizar esta hoja para la resolución de los ejercicios o para los intentos previos a la resolución).


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número del ejercicio

puntos conseguidos

total

1. 2. 3. 4.

parte I.

puntuación máxima

11 13 13 14 16 16 16 16

parte II. ← ejercicio no elegido

TOTAL GLOBAL

fecha

115

profesor que corrige

__________________________________________________________________________ a feladat sorszáma / número del ejercicio

I.rész/ parte I.

elért pontszám / puntos conseguidos

programba beírt pontszám / puntuación escrita en el programa

1. 2. 3. 4.

II.rész/ parte II.

dátum / fecha

javító tanár / profesor que corrige


jegyző / secretario del Tribunal de Examen

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