Úvod Teorie Otázky a úlohy V literatuˇre . . . ˇ Doplnky
Matematická analýza III. ˇ 1. Funkce více promenných - limita, spojitost
Miroslav Hušek, Lucie Loukotová
UJEP 2010
Matematická analýza III.
Úvod Teorie Otázky a úlohy V literatuˇre . . . ˇ Doplnky
Úvod ˇ znát Co bychom meli limity posloupností v R ˇ základní vlastnosti funkcí jedné promenné (definiˇcní obor, monotónnost, omezenost, . . . ) ˇ definice limity a spojitosti funkce jedné promenné Klíˇcová slova kapitoly ˇ hromadný bod množiny, funkce více promenných, graf funkce více ˇ ˇ promenných, limita, spojitost funkce dvou promenných ˇ jsou analogií dukaz ˇ pro Pozn.: Protože dukazy ˚ zde uvedených vet ˚ u˚ vet ˇ ˇ funkce jedné promenné, nebudou až na výjimky uvádeny.
Matematická analýza III.
Úvod Teorie Otázky a úlohy V literatuˇre . . . ˇ Doplnky
Základní vlastnosti podmnožin roviny ˇ Funkce více promenných ˇ Graf funkce dvou promenných Vlastnosti funkcí Limita Spojitost
Základní vlastnosti podmnožin roviny Definice 1 (Intervaly a okolí) Intervaly v rovineˇ nebo prostoru jsou obdélníky nebo hranoly se ˇ stranami rovnobežnými s osami souˇradnic. Podmnožiny intervalu˚ se nazývají omezené množiny. ˇ Okolí bodu je každá množina, která obsahuje nejaký interval s daným bodem ležícím uprostˇred intervalu. Intervalem v R2 je napˇr. kartézský souˇcin h−1, 2i × h1, 3i. Tato množina je okolím napˇr. bodu (1, 2).
Matematická analýza III.
Úvod Teorie Otázky a úlohy V literatuˇre . . . ˇ Doplnky
Základní vlastnosti podmnožin roviny ˇ Funkce více promenných ˇ Graf funkce dvou promenných Vlastnosti funkcí Limita Spojitost
Definice 2 (Vlastnosti množin) Podmnožina A se nazývá otevˇrená, jestliže je okolím každého svého bodu. ˇ je otevˇrený. Podmnožina A se nazývá uzavˇrená, jestliže její doplnek ˇ bodu, Hranice množiny A je množina tech ˚ jejichž každé okolí ˇ A. obsahuje body z A i z doplnku Množinu A budeme nazývat polootevˇrenou, jestliže vznikne z otevˇrené množiny pˇridáním cˇ ásti své hranice. Množina O = {(x, y ) ∈ R2 ; x 2 + y 2 < 4} je otevˇrená. Množina U = {(x, y ) ∈ R2 ; x 2 + y 2 ≤ 4} je uzavˇrená. Množina H = {(x, y ) ∈ R2 ; x 2 + y 2 = 4} je hranicí množin O a U. Množina P = {(x, y ) ∈ R2 ; 1 < x 2 + y 2 ≤ 4} je polootevˇrená.
Matematická analýza III.
Úvod Teorie Otázky a úlohy V literatuˇre . . . ˇ Doplnky
Základní vlastnosti podmnožin roviny ˇ Funkce více promenných ˇ Graf funkce dvou promenných Vlastnosti funkcí Limita Spojitost
Konvergence a hromadné body Následující definice využijeme pˇri studiu limit a spojitosti funkcí více ˇ promenných. Definice 3 Posloupnost {pn } bodu˚ konverguje k bodu p, jestliže každé okolí bodu p obsahuje skoro všechny prvky posloupnosti. Pak p se nazývá limita posloupnosti a znaˇcí se lim pn = p nebo pn → p. Definice 4 Bod P je hromadným bodem množiny A, jestliže existuje prostá ˇ každé okolí posloupnost bodu˚ z A konvergující k P (ekvivalentne, bodu P obsahuje body A ruzné ˚ od P).
Matematická analýza III.
Úvod Teorie Otázky a úlohy V literatuˇre . . . ˇ Doplnky
Základní vlastnosti podmnožin roviny ˇ Funkce více promenných ˇ Graf funkce dvou promenných Vlastnosti funkcí Limita Spojitost
Poznámky 1
2
3
4
5
Množina A je uzavˇrená práveˇ když obsahuje limity posloupností z A. Množina A je uzavˇrená práveˇ když obsahuje svou hranici (ekviv., všechny své hromadné body). Množina je omezená práveˇ když její projekce na osy souˇradnic jsou omezené. Posloupnost {pn } konverguje k bodu p práveˇ když projekce bodu˚ pn na osy souˇradnic konvergují k projekcím bodu p. ˇ jako pro konvergenci Pro konvergenci platí obdobné vety ˇ obsahující nerovnosti v definiˇcním oboru. na pˇrímce, kromeˇ vet
Matematická analýza III.
Úvod Teorie Otázky a úlohy V literatuˇre . . . ˇ Doplnky
Základní vlastnosti podmnožin roviny ˇ Funkce více promenných ˇ Graf funkce dvou promenných Vlastnosti funkcí Limita Spojitost
Zajímavosti V euklidovských prostorech dimenze asponˇ 2 neexistuje uspoˇrádání, pomocí kterého by se daly definovat intervaly a konvergence. V euklidovských prostorech dimenze asponˇ 2 lze pˇridat jen jedno nekoneˇcno (nebo nekoneˇcneˇ mnoho). Pˇridání nekoneˇcna si lze pˇredstavit jako stoˇcení roviny do koule bez horního (severního) pólu. Nekoneˇcno je pak tento severní pól. Jeho ˇ kruhu (nebo koulí) se stˇredem okolí jsou množiny obsahující doplnky v poˇcátku. Rovina spolu s tímto nekoneˇcnem se nazývá rozšíˇrená rovina. ˇ omezených množin. Okolí ∞ jsou doplnky Lze definovat: r ∈ R, r 6= 0 ⇒ r .∞ = ∞ ,
∀p, p ± ∞ = ∞ .
Matematická analýza III.
Úvod Teorie Otázky a úlohy V literatuˇre . . . ˇ Doplnky
Základní vlastnosti podmnožin roviny ˇ Funkce více promenných ˇ Graf funkce dvou promenných Vlastnosti funkcí Limita Spojitost
ˇ Funkce více promenných ˇ ˇ Definice funkce více promenných je zobecnením definice funkce ˇ jedné promenné. Definice 5 ˇ Zobrazení f z nejaké podmnožiny roviny nebo prostoru do reálných ˇ cˇ ísel se nazývá reálná funkce dvou, resp. tˇrí promenných a znaˇcí se f (x, y ) nebo f (x, y , z) pro x, y , z ∈ R, nebo f (p), kde p je bod roviny nebo prostoru. Definiˇcní obor funkce f (znaˇcí se D(f )) je množina bodu˚ p, pro která je f (p) zadána nebo, pokud není zadána, pro která má f (p) smysl. Obor hodnot funkce f (znaˇcí se H(f )) je množina reálných cˇ ísel f (p) pro p z definiˇcního oboru f .
Matematická analýza III.
Úvod Teorie Otázky a úlohy V literatuˇre . . . ˇ Doplnky
Základní vlastnosti podmnožin roviny ˇ Funkce více promenných ˇ Graf funkce dvou promenných Vlastnosti funkcí Limita Spojitost
ˇ Graf funkce dvou promenných
Definice 6 ˇ Grafem funkce f dvou promenných je množina {(x, y , f (x, y )); (x, y ) ∈ D(f )} v prostoru. ˇ Podobneˇ se definuje graf funkce tˇrí promenných, který leží ve ˇ cˇ tyˇrrozmerném prostoru. ˇ ˇ než Nakreslit graf funkcí dvou a více promenných je daleko obtížnejší ˇ ˇ u funkcí jedné promenné (pohybujeme se minimálneˇ v trojrozmerném prostoru). Postup je ukázán v úlohách.
Matematická analýza III.
Úvod Teorie Otázky a úlohy V literatuˇre . . . ˇ Doplnky
Základní vlastnosti podmnožin roviny ˇ Funkce více promenných ˇ Graf funkce dvou promenných Vlastnosti funkcí Limita Spojitost
Vlastnosti funkcí Funkce, která má jednobodový obor hodnot, se nazývá konstantní (tedy f (p) = f (q) pro všechna p, q ∈ D(f )).
k (x, y ) = 2 je konstantní funkce
Matematická analýza III.
Úvod Teorie Otázky a úlohy V literatuˇre . . . ˇ Doplnky
Základní vlastnosti podmnožin roviny ˇ Funkce více promenných ˇ Graf funkce dvou promenných Vlastnosti funkcí Limita Spojitost
Funkce f se nazývá sudá (resp. lichá), jestliže její definiˇcní obor je symetrický kolem 0 (tj. p ∈ D(f ) práveˇ když −p ∈ D(f )) a f (−p) = f (p) (resp. f (−p) = −f (p)) pro všechna p ∈ D(f ).
f (x, y ) = x 2 − y 2 je sudá funkce
g(x, y ) =
1 x
Matematická analýza III.
je lichá funkce
Úvod Teorie Otázky a úlohy V literatuˇre . . . ˇ Doplnky
Základní vlastnosti podmnožin roviny ˇ Funkce více promenných ˇ Graf funkce dvou promenných Vlastnosti funkcí Limita Spojitost
ˇ Ríkáme, že funkce f je omezená (resp. shora omezená nebo zdola omezená), jestliže její obor hodnot má uvedenou vlastnost, tj. existuje cˇ íslo k tak, že |f (p)| ≤ k (resp. f (p) ≤ k , nebo f (p) ≥ k ) pro všechna p ∈ D(f ).
h(x, y ) = sin x cos y je omezená funkce
Matematická analýza III.
Úvod Teorie Otázky a úlohy V literatuˇre . . . ˇ Doplnky
Základní vlastnosti podmnožin roviny ˇ Funkce více promenných ˇ Graf funkce dvou promenných Vlastnosti funkcí Limita Spojitost
Jsou-li f , g funkce, budeme znaˇcit f + g, f · g, f /g funkce, které mají za hodnotu v bodeˇ p postupneˇ f (p) + g(p), f (p) · g(p), f (p)/g(p). ˇ Složení f ◦ (g1 , g2 ), kde f , g1 , g2 jsou funkce dvou promenných, definujeme jako funkci, která má v bodeˇ (x, y ) hodnotu f (g1 (x, y ), g2 (x, y ))).
Matematická analýza III.
Úvod Teorie Otázky a úlohy V literatuˇre . . . ˇ Doplnky
Základní vlastnosti podmnožin roviny ˇ Funkce více promenných ˇ Graf funkce dvou promenných Vlastnosti funkcí Limita Spojitost
Limita
ˇ Limitu funkcí více promenných budeme definovat pˇres posloupnosti. Definice 7 ˇ Necht’ q je hromadný bod definiˇcního oboru funkce f . Ríkáme, že limita funkce f v bodeˇ p se rovná r , jestliže lim f (pn ) = r pro každou prostou posloupnost {pn } ⊂ D(f ) konvergující ke q. Znaˇcíme lim f (p) = r , nebo f (p) → r pro p → q. p→q
Matematická analýza III.
Úvod Teorie Otázky a úlohy V literatuˇre . . . ˇ Doplnky
Základní vlastnosti podmnožin roviny ˇ Funkce více promenných ˇ Graf funkce dvou promenných Vlastnosti funkcí Limita Spojitost
ˇ muže Tato veta ˚ sloužit jako alternativní definice limity funkce. ˇ 2.1 (Limita pomocí okolí) Veta Následující tvrzení jsou pro funkci f , hromadný bod q definiˇcního oboru f a bod r ∈ R∗ ekvivalentní: 1 lim f (p) = r ; p→q
2
3
Pro každé okolí U bodu r existuje okolí V bodu q takové, že f (p) ∈ U jakmile p ∈ V ∩ D(f ), p 6= q. (Jsou-li q, r vlastní.) Pro každé ε > 0 existuje δ > 0 takové, že |f (p) − r | < ε jakmile p ∈ D(f ), 0 < |p − q|| < δ.
ˇ ˇ charakterizujících limitu funkce. Následuje nekolik vet
Matematická analýza III.
Úvod Teorie Otázky a úlohy V literatuˇre . . . ˇ Doplnky
Základní vlastnosti podmnožin roviny ˇ Funkce více promenných ˇ Graf funkce dvou promenných Vlastnosti funkcí Limita Spojitost
ˇ 2.2 (Vlastnosti limit) Veta 1
Necht’ q ∈ D(f ) je hromadným bodem D(f ). Funkce f je spojitá v bodeˇ q práveˇ když lim f (p) = f (q). p→q
2
Funkce má v daném bodeˇ nejvýše jednu limitu.
ˇ 2.3 (Aritmetické operace) Veta Necht’ q je hromadný bod definiˇcních oboru˚ funkce f + g. Pak platí, pokud mají pravé strany smysl: 1 lim(f (p) + g(p)) = lim f (p) + lim g(p); 2 lim(f (p) · g(p)) = lim f (p) · lim g(p); 3
f (p) lim g(p) =
lim f (p) lim g(p) .
Matematická analýza III.
Úvod Teorie Otázky a úlohy V literatuˇre . . . ˇ Doplnky
Základní vlastnosti podmnožin roviny ˇ Funkce více promenných ˇ Graf funkce dvou promenných Vlastnosti funkcí Limita Spojitost
ˇ 2.4 (Limita složené funkce) Veta ˇ ˇ Mejme reálné funkce dvou promenných f , g1 , g2 . Necht’ q je hromadný bod definiˇcního oboru funkcí f ◦ (g1 , g2 ) a necht’ lim g1 (p) = a, lim g2 (p) = b
p→q 1
p→q
Jestliže f je spojitá v bodeˇ (a, b), pak lim (f ◦ g)(p) = f (a, b)
p→q 2
Jestliže jedna z limit a, b je nevlastní, pak lim (f ◦ g)(p) =
P→C
lim
(x,y )→∞
f (x, y ) ,
pokud pravá strana existuje. Podobneˇ pro všechna další složení funkcí. Matematická analýza III.
Úvod Teorie Otázky a úlohy V literatuˇre . . . ˇ Doplnky
Základní vlastnosti podmnožin roviny ˇ Funkce více promenných ˇ Graf funkce dvou promenných Vlastnosti funkcí Limita Spojitost
ˇ 2.5 (Limity a uspoˇrádání na R) Veta ˇ Mejme funkce f , g definované na množineˇ A a q bud’ hromadný bod A. 1 Jestliže lim f (p) < lim g(p), pak existuje okolí U bodu q takové, p→q
2
p→q
že f (p) < g(p) pro všechna p ∈ U ∩ A, p 6= q. Jestliže existuje okolí U bodu q takové, že f (p) ≤ g(p) pro všechna p ∈ U ∩ A, p 6= q, pak lim f (p) ≤ lim g(p) (pokud p→q
p→q
existují).
Matematická analýza III.
Úvod Teorie Otázky a úlohy V literatuˇre . . . ˇ Doplnky
Základní vlastnosti podmnožin roviny ˇ Funkce více promenných ˇ Graf funkce dvou promenných Vlastnosti funkcí Limita Spojitost
ˇ 2.6 (Dva policajti) Veta ˇ Mejme funkce f , g, h definované na množineˇ A, q bud’ hromadný bod A, U okolí q a pro p ∈ A ∩ U, p 6= q necht’ f (p) ≤ g(p) ≤ h(p). Pokud existují lim f (p), lim h(p) a rovnají se, pak existuje i lim g(p) a rovná p→q
p→q
p→q
ˇ se obema zbývajícím. Dusledek ˚ ˇ Necht’ lim f (p) = 0 a funkce g je omezená na nejakém okolí bodu q. p→q
Pak lim f (p)g(p) = 0. p→q
Matematická analýza III.
Úvod Teorie Otázky a úlohy V literatuˇre . . . ˇ Doplnky
Základní vlastnosti podmnožin roviny ˇ Funkce více promenných ˇ Graf funkce dvou promenných Vlastnosti funkcí Limita Spojitost
Spojitost Definice spojitosti v bodeˇ využívá limitu funkce. Definice 8 Necht’ f je funkce, p ∈ D(f ), a pro jakoukoli posloupnost {pn } z D(f ) konvergující k p necht’ lim f (pn ) = f (p). Pak ˇríkáme, že f je spojitá v bodeˇ p a tento bod se nazývá bodem spojitosti funkce f . Je-li f spojitá v každém bodeˇ množiny A, ˇríkáme, že f je spojitá na množineˇ A. Je-li f spojitá v každém bodeˇ svého definiˇcního oboru, ˇríkáme, že f je spojitá.
Matematická analýza III.
Úvod Teorie Otázky a úlohy V literatuˇre . . . ˇ Doplnky
Základní vlastnosti podmnožin roviny ˇ Funkce více promenných ˇ Graf funkce dvou promenných Vlastnosti funkcí Limita Spojitost
ˇ budou uvedeny nekteré ˇ ˇ týkající se spojitosti funkcí více Opet vety ˇ promenných. ˇ 2.7 (Spojitost pomocí okolí) Veta Necht’ f je funkce a p je bod jejího definiˇcního oboru. Následující tvrzení jsou ekvivalentní: 1 f je spojitá v p. 2 Pro každé okolí U bodu f (p) existuje okolí V bodu p takové, že f (q) ∈ U jakmile q ∈ V a f (q) je definováno. 3 Pro každé ε > 0 existuje δ < 0 tak, že |q − p| < δ, q ∈ D(f ) ⇒ |f (q) − f (p)| < ε .
Matematická analýza III.
Úvod Teorie Otázky a úlohy V literatuˇre . . . ˇ Doplnky
Základní vlastnosti podmnožin roviny ˇ Funkce více promenných ˇ Graf funkce dvou promenných Vlastnosti funkcí Limita Spojitost
ˇ 2.8 (Spojitost aritmetických operací) Veta Jsou-li funkce f , g spojité v bodeˇ p, jsou i funkce f + g, f · g a f /g (v pˇrípadeˇ g(p) 6= 0) spojité v bodeˇ p. Racionální funkce jsou spojité. ˇ 2.9 (Spojitost složení) Veta ˇ ˇ Mejme reálné funkce dvou promenných f , g1 , g2 . Jsou-li g1 , g2 spojité v bodeˇ (x, y ) a f je spojitá v bodeˇ (g1 (x, y ), g2 (x, y )), je f ◦ (g1 , g2 ) spojitá v bodeˇ (x, y ). (Stejneˇ pro libovolná další složení.) Je-li f spojitá funkce, je i |f | spojitá funkce.
Matematická analýza III.
Úvod Teorie Otázky a úlohy V literatuˇre . . . ˇ Doplnky
Základní vlastnosti podmnožin roviny ˇ Funkce více promenných ˇ Graf funkce dvou promenných Vlastnosti funkcí Limita Spojitost
ˇ 2.10 (Zachovávání souvislosti) Veta 1
2
Je-li f spojitá na uzavˇreném omezeném intervalu J a p, q jsou body J s hodnotami f (p) < 0 < f (q), pak existuje r ∈ J s hodnotou f (r ) = 0. Spojitá funkce zobrazuje interval (souvislou množinu) na bod nebo na interval.
Dukaz ˚
Matematická analýza III.
Úvod Teorie Otázky a úlohy V literatuˇre . . . ˇ Doplnky
Základní vlastnosti podmnožin roviny ˇ Funkce více promenných ˇ Graf funkce dvou promenných Vlastnosti funkcí Limita Spojitost
ˇ 2.11 (Zachovávání kompaktnosti) Veta 1
2
Spojitá funkce zobrazuje uzavˇrený interval (nebo uzavˇrenou omezenou množinu) na bod nebo na uzavˇrený omezený interval (nebo na uzavˇrenou omezenou množinu, resp.). Spojitá funkce dosahuje na uzavˇrené omezené množineˇ A své ˇ a nejmenší hodnoty, tj., existují body c, d ∈ A takové, že nejvetší f (c) = sup f (p) , p∈A
f (d) = inf f (p) . p∈A
Matematická analýza III.
Úvod Teorie Otázky a úlohy V literatuˇre . . . ˇ Doplnky
Otázky a úlohy Úloha 1 ˇ definiˇcní obor funkcí Urˇcete a naˇcrtnete p √ 1 f (x, y ) = 1 − x 2 + y 2 − 1 2 g(x, y ) = √ 1 x 2 +y 2 −1
3
h(x, y ) = ln(−x − y )
ˇ Rešení
Úloha 2 Nakreslete graf funkce z = f (x, y ) = x 2 + y 2 . Urˇcete vlastnosti této funkce. ˇ Rešení
Matematická analýza III.
Úvod Teorie Otázky a úlohy V literatuˇre . . . ˇ Doplnky
Úloha 3 ˇ následující limity: Vypoˇctete 1 lim x 22xy +y 2 x→0 y →0
2
x 3y 6 +y 2 x x→0 y →0
lim
ˇ Rešení
Matematická analýza III.
Úvod Teorie Otázky a úlohy V literatuˇre . . . ˇ Doplnky
Úloha 4 Ukažte, že funkce ( 2 g(x, y ) =
xy x 2 +y 2
(x, y ) 6= (0, 0)
0
(x, y ) = (0, 0)
je spojitá v bodeˇ (0, 0) ˇ Rešení
Matematická analýza III.
Úvod Teorie Otázky a úlohy V literatuˇre . . . ˇ Doplnky
V literatuˇre . . .
1
Teorie: Jarník – Diferenciální poˇcet (I), kap. XIII. (základy) Jarník – Diferenciální poˇcet (II), kap. VII. (rozšíˇrení) Kopáˇcek – Matematická analýza pro fyziky (II), kap. 8.
2
Úlohy: ˇ Demidoviˇ c – Sbírka úloh a cviˇcení z matematické analýzy, kap. VI. Pelikán, Zdráhal – Matematická analýza – funkce více ˇ promenných, cviˇcení III., kap. 2 – 5
Matematická analýza III.
Úvod Teorie Otázky a úlohy V literatuˇre . . . ˇ Doplnky
Dukazy ˚ ˇ ˇ Rešení a odpovedi
ˇ 2.10 Dukaz ˚ vety
Úseˇcka spojující body P a Q leží celá v I a dá se popsat jako množina {(1 − t)P + tQ; t ∈ [0, 1]}. Funkce g : [0, 1] → R definovaná jako g(t) = f ((1 − t)P + tQ) ˇ ˇ je spojitá funkce jedné promenné (ukažte to) a podle Bolzanovy vety existuje t tak, že g(t) = 0. Tedy existuje R ∈ I s hodnotou f (R) = 0. ˇ zpet
Matematická analýza III.
Úvod Teorie Otázky a úlohy V literatuˇre . . . ˇ Doplnky
Dukazy ˚ ˇ ˇ Rešení a odpovedi
ˇ Rešení úlohy 1
1
Z definice druhé odmocniny plyne, že 1 − x2 ≥ 0
∧
y2 − 1 ≥ 0
Úpravou první nerovnice získáme x 2 ≤ 1, a proto |x| ≤ 1. Z druhé nerovnice plyne y 2 ≥ 1, tudíž |y | ≥ 1. Musí tedy platit x ∈ h−1, 1i
∧
y ∈ (−∞, −1i ∪ h1, +∞)
Matematická analýza III.
Úvod Teorie Otázky a úlohy V literatuˇre . . . ˇ Doplnky
Dukazy ˚ ˇ ˇ Rešení a odpovedi
2
Vzhledem k tomu, že ve jmenovateli zlomku je odmocnina, musí platit x 2 + y 2 − 1 > 0, tj. x 2 + y 2 > 1. Definiˇcním oborem funkce g(x, y ) jsou všechny body vneˇ ˇ kružnice se stˇredem v bodeˇ (0, 0) a polomerem 1.
3
Z definice pˇrirozeného logaritmu vyplývá, že −x − y > 0, tedy y < −x. Definiˇcním oborem funkce h(x, y ) je polorovina „pod“ pˇrímkou y = −x, ovšem bez této pˇrímky.
Matematická analýza III.
Úvod Teorie Otázky a úlohy V literatuˇre . . . ˇ Doplnky
Dukazy ˚ ˇ ˇ Rešení a odpovedi
ˇ definiˇcní obory funkcí f , g, h. Modré oblasti znázornují
D(f )
D(g)
ˇ zpet
Matematická analýza III.
D(h)
Úvod Teorie Otázky a úlohy V literatuˇre . . . ˇ Doplnky
Dukazy ˚ ˇ ˇ Rešení a odpovedi
ˇ Rešení úlohy 2 ˇ Pˇri vyšetˇrování grafu funkce dvou promenných budeme postupovat ˇ Sestrojíme prunik následovne. ˚ grafu této fukce s rovinami ˇ rovnobežnými s rovinami xy , yz a xz, a to tak, položíme postupneˇ z = c, x = a, y = b, a, b, c jsou reálná cˇ ísla. ˇ ˇ Tímto zpusobem ˚ dostaneme funkce jedné promenné, jejichž prub ˚ eh již vyšetˇrit umíme. Položíme z = c, kde c je reálné cˇ íslo. Získáme rovnici x 2 + y 2 = c, ˇ která√je pro c > 0 rovnicí kružnice se stˇredem (0, 0) a polomerem r = c (pro c < 0 rovnice nemá ˇrešení a pro c = 0 získáme bod (0, 0)). Pˇri postupné volbeˇ c tedy dostaneme soustˇredné kružnice se stˇredem v bodeˇ (0, 0) a bod (0, 0) – jsou prunikem ˚ grafu funkce z ˇ s rovinami rovnobežnými s rovinou xy (viz obrázek). Matematická analýza III.
Úvod Teorie Otázky a úlohy V literatuˇre . . . ˇ Doplnky
Dukazy ˚ ˇ ˇ Rešení a odpovedi
pruniky ˚ v rovineˇ xy
Matematická analýza III.
Úvod Teorie Otázky a úlohy V literatuˇre . . . ˇ Doplnky
Dukazy ˚ ˇ ˇ Rešení a odpovedi
Položíme x = a, kde a je reálné cˇ íslo. Dostaneme funkci jedné ˇ promenné z = a2 + y 2 . Grafem této funkce jsou pˇri ruzné ˚ volbeˇ a paraboly, jejichž osa se shoduje s osou z. Napˇr. pro a = 0 je z = x 2 , pro a = 1 je z = x 2 + 1, a = 2 je z = x 2 + 4, pro a = −1 je z = x 2 + 1, atd. ˇ Prunikem ˚ grafu funkce z s rovinami rovnobežnými s rovinou yz jsou ˇ osy z. tedy paraboly, posunuté ve smeru Položíme y = b, kde b je reálné cˇ íslo. Získáme tak funkci jedné ˇ promenné z = x 2 + b2 . Grafem této funkce jsou pˇri ruzné ˚ volbeˇ b paraboly, jejichž osa se shoduje s osou z. ˇ Prunikem ˚ grafu funkce z s rovinami rovnobežnými s rovinou xz jsou ˇ paraboly, posunuté ve smeru ˇ osy z (viz obrázky). opet
Matematická analýza III.
Úvod Teorie Otázky a úlohy V literatuˇre . . . ˇ Doplnky
pruniky ˚ v rovineˇ yz
Dukazy ˚ ˇ ˇ Rešení a odpovedi
pruniky ˚ v rovineˇ xz
Matematická analýza III.
Úvod Teorie Otázky a úlohy V literatuˇre . . . ˇ Doplnky
Dukazy ˚ ˇ ˇ Rešení a odpovedi
Graf funkce potom vypadá takto:
D(f ) = R × R, H(f ) = h0, +∞). Funkce f je zdola omezená a sudá. Jedná se o rotaˇcní paraboloid. ˇ zpet
Matematická analýza III.
Úvod Teorie Otázky a úlohy V literatuˇre . . . ˇ Doplnky
Dukazy ˚ ˇ ˇ Rešení a odpovedi
ˇ Rešení úlohy 3
1
Postupujeme podle definice limity posloupnosti. Vezmeme posloupnost pn = {xn , yn } = { n1 , kn }, kde k ∈ R. Tato posloupnost konverguje k bodu (0, 0). Urˇcíme lim f (pn ): n→∞
lim f (pn ) = lim
n→∞
2·
n→∞ 1 n2
1 n
+
·
k n
k2 n2
2k = lim n→∞ 1 + k 2
( > 0, < 0,
pokud k > 0 pokud k < 0
Pˇri ruzné ˚ volbeˇ k mají posloupnosti f (pn ) ruzné ˚ limity. Funkce tedy nemá limitu.
Matematická analýza III.
Úvod Teorie Otázky a úlohy V literatuˇre . . . ˇ Doplnky
2
Dukazy ˚ ˇ ˇ Rešení a odpovedi
Postupujeme-li analogicky s pˇredchozí úlohou, dojdeme k ˇ záveru, že 1 · n3 1 n→∞ + n6
lim f (pn ) = lim
n→∞
k n k2 n2
kn2 = 0. n→∞ 1 + n4 k 2
= lim
Tato funkce však limitu nemá. Proˇc? Vezmeme nyní posloupnost qn = { n1 , n13 }. Tato posloupnost také konverguje k bodu (0, 0). Limita f (qn ) je potom rovna 1 · 1 n3 n3 n→∞ 16 + 16 n n
lim f (qn ) = lim
n→∞
=
1 . 2
Posloupnosti f (pn ) a f (qn ) mají ruzné ˚ limity a pˇritom pn i qn konvergují k (0, 0). ˇ zpet Matematická analýza III.
Úvod Teorie Otázky a úlohy V literatuˇre . . . ˇ Doplnky
Dukazy ˚ ˇ ˇ Rešení a odpovedi
ˇ Rešení úlohy 4 Postupujeme podle definice spojitosti, máme tedy ukázat, že lim g(pn ) = g(0, 0) = 0, pokud pn → (0, 0). Necht’ pn = {xn , yn } je libovolná prostá posloupnost, konvergující k bodu (0, 0). Oznaˇcme mn = max{|xn |, |yn |}. Potom platí: xn yn 2 mn 3 ≤ 0 ≤ |g(pn )| = 2 = mn xn + yn 2 mn 2 ˇ 2.6 (Dva policajti) plyne, že lim|g(pn )| = 0, tedy i lim g(pn ) = 0. Z vety ˇ zpet
Matematická analýza III.