Matematická analýza III

Úvod Teorie Otázky a úlohy V literatuˇre . . . ˇ Doplnky

Matematická analýza III. ˇ 1. Funkce více promenných - limita, spojitost

Miroslav Hušek, Lucie Loukotová

UJEP 2010

Matematická analýza III.


Úvod ˇ znát Co bychom meli limity posloupností v R ˇ základní vlastnosti funkcí jedné promenné (definiˇcní obor, monotónnost, omezenost, . . . ) ˇ definice limity a spojitosti funkce jedné promenné Klíˇcová slova kapitoly ˇ hromadný bod množiny, funkce více promenných, graf funkce více ˇ ˇ promenných, limita, spojitost funkce dvou promenných ˇ jsou analogií dukaz ˇ pro Pozn.: Protože dukazy ˚ zde uvedených vet ˚ u˚ vet ˇ ˇ funkce jedné promenné, nebudou až na výjimky uvádeny.



Základní vlastnosti podmnožin roviny ˇ Funkce více promenných ˇ Graf funkce dvou promenných Vlastnosti funkcí Limita Spojitost

Základní vlastnosti podmnožin roviny Definice 1 (Intervaly a okolí) Intervaly v rovineˇ nebo prostoru jsou obdélníky nebo hranoly se ˇ stranami rovnobežnými s osami souˇradnic. Podmnožiny intervalu˚ se nazývají omezené množiny. ˇ Okolí bodu je každá množina, která obsahuje nejaký interval s daným bodem ležícím uprostˇred intervalu. Intervalem v R2 je napˇr. kartézský souˇcin h−1, 2i × h1, 3i. Tato množina je okolím napˇr. bodu (1, 2).




Definice 2 (Vlastnosti množin) Podmnožina A se nazývá otevˇrená, jestliže je okolím každého svého bodu. ˇ je otevˇrený. Podmnožina A se nazývá uzavˇrená, jestliže její doplnek ˇ bodu, Hranice množiny A je množina tech ˚ jejichž každé okolí ˇ A. obsahuje body z A i z doplnku Množinu A budeme nazývat polootevˇrenou, jestliže vznikne z otevˇrené množiny pˇridáním cˇ ásti své hranice. Množina O = {(x, y ) ∈ R2 ; x 2 + y 2 < 4} je otevˇrená. Množina U = {(x, y ) ∈ R2 ; x 2 + y 2 ≤ 4} je uzavˇrená. Množina H = {(x, y ) ∈ R2 ; x 2 + y 2 = 4} je hranicí množin O a U. Množina P = {(x, y ) ∈ R2 ; 1 < x 2 + y 2 ≤ 4} je polootevˇrená.




Konvergence a hromadné body Následující definice využijeme pˇri studiu limit a spojitosti funkcí více ˇ promenných. Definice 3 Posloupnost {pn } bodu˚ konverguje k bodu p, jestliže každé okolí bodu p obsahuje skoro všechny prvky posloupnosti. Pak p se nazývá limita posloupnosti a znaˇcí se lim pn = p nebo pn → p. Definice 4 Bod P je hromadným bodem množiny A, jestliže existuje prostá ˇ každé okolí posloupnost bodu˚ z A konvergující k P (ekvivalentne, bodu P obsahuje body A ruzné ˚ od P).




Poznámky 1

2

3

4

5

Množina A je uzavˇrená práveˇ když obsahuje limity posloupností z A. Množina A je uzavˇrená práveˇ když obsahuje svou hranici (ekviv., všechny své hromadné body). Množina je omezená práveˇ když její projekce na osy souˇradnic jsou omezené. Posloupnost {pn } konverguje k bodu p práveˇ když projekce bodu˚ pn na osy souˇradnic konvergují k projekcím bodu p. ˇ jako pro konvergenci Pro konvergenci platí obdobné vety ˇ obsahující nerovnosti v definiˇcním oboru. na pˇrímce, kromeˇ vet




Zajímavosti V euklidovských prostorech dimenze asponˇ 2 neexistuje uspoˇrádání, pomocí kterého by se daly definovat intervaly a konvergence. V euklidovských prostorech dimenze asponˇ 2 lze pˇridat jen jedno nekoneˇcno (nebo nekoneˇcneˇ mnoho). Pˇridání nekoneˇcna si lze pˇredstavit jako stoˇcení roviny do koule bez horního (severního) pólu. Nekoneˇcno je pak tento severní pól. Jeho ˇ kruhu (nebo koulí) se stˇredem okolí jsou množiny obsahující doplnky v poˇcátku. Rovina spolu s tímto nekoneˇcnem se nazývá rozšíˇrená rovina. ˇ omezených množin. Okolí ∞ jsou doplnky Lze definovat: r ∈ R, r 6= 0 ⇒ r .∞ = ∞ ,

∀p, p ± ∞ = ∞ .




ˇ Funkce více promenných ˇ ˇ Definice funkce více promenných je zobecnením definice funkce ˇ jedné promenné. Definice 5 ˇ Zobrazení f z nejaké podmnožiny roviny nebo prostoru do reálných ˇ cˇ ísel se nazývá reálná funkce dvou, resp. tˇrí promenných a znaˇcí se f (x, y ) nebo f (x, y , z) pro x, y , z ∈ R, nebo f (p), kde p je bod roviny nebo prostoru. Definiˇcní obor funkce f (znaˇcí se D(f )) je množina bodu˚ p, pro která je f (p) zadána nebo, pokud není zadána, pro která má f (p) smysl. Obor hodnot funkce f (znaˇcí se H(f )) je množina reálných cˇ ísel f (p) pro p z definiˇcního oboru f .




ˇ Graf funkce dvou promenných

Definice 6 ˇ Grafem funkce f dvou promenných je množina {(x, y , f (x, y )); (x, y ) ∈ D(f )} v prostoru. ˇ Podobneˇ se definuje graf funkce tˇrí promenných, který leží ve ˇ cˇ tyˇrrozmerném prostoru. ˇ ˇ než Nakreslit graf funkcí dvou a více promenných je daleko obtížnejší ˇ ˇ u funkcí jedné promenné (pohybujeme se minimálneˇ v trojrozmerném prostoru). Postup je ukázán v úlohách.




Vlastnosti funkcí Funkce, která má jednobodový obor hodnot, se nazývá konstantní (tedy f (p) = f (q) pro všechna p, q ∈ D(f )).

k (x, y ) = 2 je konstantní funkce




Funkce f se nazývá sudá (resp. lichá), jestliže její definiˇcní obor je symetrický kolem 0 (tj. p ∈ D(f ) práveˇ když −p ∈ D(f )) a f (−p) = f (p) (resp. f (−p) = −f (p)) pro všechna p ∈ D(f ).

f (x, y ) = x 2 − y 2 je sudá funkce

g(x, y ) =

1 x


je lichá funkce



ˇ Ríkáme, že funkce f je omezená (resp. shora omezená nebo zdola omezená), jestliže její obor hodnot má uvedenou vlastnost, tj. existuje cˇ íslo k tak, že |f (p)| ≤ k (resp. f (p) ≤ k , nebo f (p) ≥ k ) pro všechna p ∈ D(f ).

h(x, y ) = sin x cos y je omezená funkce




Jsou-li f , g funkce, budeme znaˇcit f + g, f · g, f /g funkce, které mají za hodnotu v bodeˇ p postupneˇ f (p) + g(p), f (p) · g(p), f (p)/g(p). ˇ Složení f ◦ (g1 , g2 ), kde f , g1 , g2 jsou funkce dvou promenných, definujeme jako funkci, která má v bodeˇ (x, y ) hodnotu f (g1 (x, y ), g2 (x, y ))).




Limita

ˇ Limitu funkcí více promenných budeme definovat pˇres posloupnosti. Definice 7 ˇ Necht’ q je hromadný bod definiˇcního oboru funkce f . Ríkáme, že limita funkce f v bodeˇ p se rovná r , jestliže lim f (pn ) = r pro každou prostou posloupnost {pn } ⊂ D(f ) konvergující ke q. Znaˇcíme lim f (p) = r , nebo f (p) → r pro p → q. p→q




ˇ muže Tato veta ˚ sloužit jako alternativní definice limity funkce. ˇ 2.1 (Limita pomocí okolí) Veta Následující tvrzení jsou pro funkci f , hromadný bod q definiˇcního oboru f a bod r ∈ R∗ ekvivalentní: 1 lim f (p) = r ; p→q

2

3

Pro každé okolí U bodu r existuje okolí V bodu q takové, že f (p) ∈ U jakmile p ∈ V ∩ D(f ), p 6= q. (Jsou-li q, r vlastní.) Pro každé ε > 0 existuje δ > 0 takové, že |f (p) − r | < ε jakmile p ∈ D(f ), 0 < |p − q|| < δ.

ˇ ˇ charakterizujících limitu funkce. Následuje nekolik vet




ˇ 2.2 (Vlastnosti limit) Veta 1

Necht’ q ∈ D(f ) je hromadným bodem D(f ). Funkce f je spojitá v bodeˇ q práveˇ když lim f (p) = f (q). p→q

2

Funkce má v daném bodeˇ nejvýše jednu limitu.

ˇ 2.3 (Aritmetické operace) Veta Necht’ q je hromadný bod definiˇcních oboru˚ funkce f + g. Pak platí, pokud mají pravé strany smysl: 1 lim(f (p) + g(p)) = lim f (p) + lim g(p); 2 lim(f (p) · g(p)) = lim f (p) · lim g(p); 3

f (p) lim g(p) =

lim f (p) lim g(p) .




ˇ 2.4 (Limita složené funkce) Veta ˇ ˇ Mejme reálné funkce dvou promenných f , g1 , g2 . Necht’ q je hromadný bod definiˇcního oboru funkcí f ◦ (g1 , g2 ) a necht’ lim g1 (p) = a, lim g2 (p) = b

p→q 1

p→q

Jestliže f je spojitá v bodeˇ (a, b), pak lim (f ◦ g)(p) = f (a, b)

p→q 2

Jestliže jedna z limit a, b je nevlastní, pak lim (f ◦ g)(p) =

P→C

lim

(x,y )→∞

f (x, y ) ,

pokud pravá strana existuje. Podobneˇ pro všechna další složení funkcí. Matematická analýza III.



ˇ 2.5 (Limity a uspoˇrádání na R) Veta ˇ Mejme funkce f , g definované na množineˇ A a q bud’ hromadný bod A. 1 Jestliže lim f (p) < lim g(p), pak existuje okolí U bodu q takové, p→q

2

p→q

že f (p) < g(p) pro všechna p ∈ U ∩ A, p 6= q. Jestliže existuje okolí U bodu q takové, že f (p) ≤ g(p) pro všechna p ∈ U ∩ A, p 6= q, pak lim f (p) ≤ lim g(p) (pokud p→q

p→q

existují).




ˇ 2.6 (Dva policajti) Veta ˇ Mejme funkce f , g, h definované na množineˇ A, q bud’ hromadný bod A, U okolí q a pro p ∈ A ∩ U, p 6= q necht’ f (p) ≤ g(p) ≤ h(p). Pokud existují lim f (p), lim h(p) a rovnají se, pak existuje i lim g(p) a rovná p→q

p→q

p→q

ˇ se obema zbývajícím. Dusledek ˚ ˇ Necht’ lim f (p) = 0 a funkce g je omezená na nejakém okolí bodu q. p→q

Pak lim f (p)g(p) = 0. p→q




Spojitost Definice spojitosti v bodeˇ využívá limitu funkce. Definice 8 Necht’ f je funkce, p ∈ D(f ), a pro jakoukoli posloupnost {pn } z D(f ) konvergující k p necht’ lim f (pn ) = f (p). Pak ˇríkáme, že f je spojitá v bodeˇ p a tento bod se nazývá bodem spojitosti funkce f . Je-li f spojitá v každém bodeˇ množiny A, ˇríkáme, že f je spojitá na množineˇ A. Je-li f spojitá v každém bodeˇ svého definiˇcního oboru, ˇríkáme, že f je spojitá.




ˇ budou uvedeny nekteré ˇ ˇ týkající se spojitosti funkcí více Opet vety ˇ promenných. ˇ 2.7 (Spojitost pomocí okolí) Veta Necht’ f je funkce a p je bod jejího definiˇcního oboru. Následující tvrzení jsou ekvivalentní: 1 f je spojitá v p. 2 Pro každé okolí U bodu f (p) existuje okolí V bodu p takové, že f (q) ∈ U jakmile q ∈ V a f (q) je definováno. 3 Pro každé ε > 0 existuje δ < 0 tak, že |q − p| < δ, q ∈ D(f ) ⇒ |f (q) − f (p)| < ε .




ˇ 2.8 (Spojitost aritmetických operací) Veta Jsou-li funkce f , g spojité v bodeˇ p, jsou i funkce f + g, f · g a f /g (v pˇrípadeˇ g(p) 6= 0) spojité v bodeˇ p. Racionální funkce jsou spojité. ˇ 2.9 (Spojitost složení) Veta ˇ ˇ Mejme reálné funkce dvou promenných f , g1 , g2 . Jsou-li g1 , g2 spojité v bodeˇ (x, y ) a f je spojitá v bodeˇ (g1 (x, y ), g2 (x, y )), je f ◦ (g1 , g2 ) spojitá v bodeˇ (x, y ). (Stejneˇ pro libovolná další složení.) Je-li f spojitá funkce, je i |f | spojitá funkce.




ˇ 2.10 (Zachovávání souvislosti) Veta 1

2

Je-li f spojitá na uzavˇreném omezeném intervalu J a p, q jsou body J s hodnotami f (p) < 0 < f (q), pak existuje r ∈ J s hodnotou f (r ) = 0. Spojitá funkce zobrazuje interval (souvislou množinu) na bod nebo na interval.

Dukaz ˚




ˇ 2.11 (Zachovávání kompaktnosti) Veta 1

2

Spojitá funkce zobrazuje uzavˇrený interval (nebo uzavˇrenou omezenou množinu) na bod nebo na uzavˇrený omezený interval (nebo na uzavˇrenou omezenou množinu, resp.). Spojitá funkce dosahuje na uzavˇrené omezené množineˇ A své ˇ a nejmenší hodnoty, tj., existují body c, d ∈ A takové, že nejvetší f (c) = sup f (p) , p∈A

f (d) = inf f (p) . p∈A



Otázky a úlohy Úloha 1 ˇ definiˇcní obor funkcí Urˇcete a naˇcrtnete p √ 1 f (x, y ) = 1 − x 2 + y 2 − 1 2 g(x, y ) = √ 1 x 2 +y 2 −1

3

h(x, y ) = ln(−x − y )

ˇ Rešení

Úloha 2 Nakreslete graf funkce z = f (x, y ) = x 2 + y 2 . Urˇcete vlastnosti této funkce. ˇ Rešení



Úloha 3 ˇ následující limity: Vypoˇctete 1 lim x 22xy +y 2 x→0 y →0

2

x 3y 6 +y 2 x x→0 y →0

lim

ˇ Rešení



Úloha 4 Ukažte, že funkce ( 2 g(x, y ) =

xy x 2 +y 2

(x, y ) 6= (0, 0)

0

(x, y ) = (0, 0)

je spojitá v bodeˇ (0, 0) ˇ Rešení



V literatuˇre . . .

1

Teorie: Jarník – Diferenciální poˇcet (I), kap. XIII. (základy) Jarník – Diferenciální poˇcet (II), kap. VII. (rozšíˇrení) Kopáˇcek – Matematická analýza pro fyziky (II), kap. 8.

2

Úlohy: ˇ Demidoviˇ c – Sbírka úloh a cviˇcení z matematické analýzy, kap. VI. Pelikán, Zdráhal – Matematická analýza – funkce více ˇ promenných, cviˇcení III., kap. 2 – 5



Dukazy ˚ ˇ ˇ Rešení a odpovedi

ˇ 2.10 Dukaz ˚ vety

Úseˇcka spojující body P a Q leží celá v I a dá se popsat jako množina {(1 − t)P + tQ; t ∈ [0, 1]}. Funkce g : [0, 1] → R definovaná jako g(t) = f ((1 − t)P + tQ) ˇ ˇ je spojitá funkce jedné promenné (ukažte to) a podle Bolzanovy vety existuje t tak, že g(t) = 0. Tedy existuje R ∈ I s hodnotou f (R) = 0. ˇ zpet




ˇ Rešení úlohy 1

1

Z definice druhé odmocniny plyne, že 1 − x2 ≥ 0

∧

y2 − 1 ≥ 0

Úpravou první nerovnice získáme x 2 ≤ 1, a proto |x| ≤ 1. Z druhé nerovnice plyne y 2 ≥ 1, tudíž |y | ≥ 1. Musí tedy platit x ∈ h−1, 1i

∧

y ∈ (−∞, −1i ∪ h1, +∞)




2

Vzhledem k tomu, že ve jmenovateli zlomku je odmocnina, musí platit x 2 + y 2 − 1 > 0, tj. x 2 + y 2 > 1. Definiˇcním oborem funkce g(x, y ) jsou všechny body vneˇ ˇ kružnice se stˇredem v bodeˇ (0, 0) a polomerem 1.

3

Z definice pˇrirozeného logaritmu vyplývá, že −x − y > 0, tedy y < −x. Definiˇcním oborem funkce h(x, y ) je polorovina „pod“ pˇrímkou y = −x, ovšem bez této pˇrímky.




ˇ definiˇcní obory funkcí f , g, h. Modré oblasti znázornují

D(f )

D(g)

ˇ zpet


D(h)



ˇ Rešení úlohy 2 ˇ Pˇri vyšetˇrování grafu funkce dvou promenných budeme postupovat ˇ Sestrojíme prunik následovne. ˚ grafu této fukce s rovinami ˇ rovnobežnými s rovinami xy , yz a xz, a to tak, položíme postupneˇ z = c, x = a, y = b, a, b, c jsou reálná cˇ ísla. ˇ ˇ Tímto zpusobem ˚ dostaneme funkce jedné promenné, jejichž prub ˚ eh již vyšetˇrit umíme. Položíme z = c, kde c je reálné cˇ íslo. Získáme rovnici x 2 + y 2 = c, ˇ která√je pro c > 0 rovnicí kružnice se stˇredem (0, 0) a polomerem r = c (pro c < 0 rovnice nemá ˇrešení a pro c = 0 získáme bod (0, 0)). Pˇri postupné volbeˇ c tedy dostaneme soustˇredné kružnice se stˇredem v bodeˇ (0, 0) a bod (0, 0) – jsou prunikem ˚ grafu funkce z ˇ s rovinami rovnobežnými s rovinou xy (viz obrázek). Matematická analýza III.



pruniky ˚ v rovineˇ xy




Položíme x = a, kde a je reálné cˇ íslo. Dostaneme funkci jedné ˇ promenné z = a2 + y 2 . Grafem této funkce jsou pˇri ruzné ˚ volbeˇ a paraboly, jejichž osa se shoduje s osou z. Napˇr. pro a = 0 je z = x 2 , pro a = 1 je z = x 2 + 1, a = 2 je z = x 2 + 4, pro a = −1 je z = x 2 + 1, atd. ˇ Prunikem ˚ grafu funkce z s rovinami rovnobežnými s rovinou yz jsou ˇ osy z. tedy paraboly, posunuté ve smeru Položíme y = b, kde b je reálné cˇ íslo. Získáme tak funkci jedné ˇ promenné z = x 2 + b2 . Grafem této funkce jsou pˇri ruzné ˚ volbeˇ b paraboly, jejichž osa se shoduje s osou z. ˇ Prunikem ˚ grafu funkce z s rovinami rovnobežnými s rovinou xz jsou ˇ paraboly, posunuté ve smeru ˇ osy z (viz obrázky). opet



pruniky ˚ v rovineˇ yz


pruniky ˚ v rovineˇ xz




Graf funkce potom vypadá takto:

D(f ) = R × R, H(f ) = h0, +∞). Funkce f je zdola omezená a sudá. Jedná se o rotaˇcní paraboloid. ˇ zpet




ˇ Rešení úlohy 3

1

Postupujeme podle definice limity posloupnosti. Vezmeme posloupnost pn = {xn , yn } = { n1 , kn }, kde k ∈ R. Tato posloupnost konverguje k bodu (0, 0). Urˇcíme lim f (pn ): n→∞

lim f (pn ) = lim

n→∞

2·

n→∞ 1 n2

1 n

+

·

k n

k2 n2

2k = lim n→∞ 1 + k 2

( > 0, < 0,

pokud k > 0 pokud k < 0

Pˇri ruzné ˚ volbeˇ k mají posloupnosti f (pn ) ruzné ˚ limity. Funkce tedy nemá limitu.



2


Postupujeme-li analogicky s pˇredchozí úlohou, dojdeme k ˇ záveru, že 1 · n3 1 n→∞ + n6

lim f (pn ) = lim

n→∞

k n k2 n2

kn2 = 0. n→∞ 1 + n4 k 2

= lim

Tato funkce však limitu nemá. Proˇc? Vezmeme nyní posloupnost qn = { n1 , n13 }. Tato posloupnost také konverguje k bodu (0, 0). Limita f (qn ) je potom rovna 1 · 1 n3 n3 n→∞ 16 + 16 n n

lim f (qn ) = lim

n→∞

=

1 . 2

Posloupnosti f (pn ) a f (qn ) mají ruzné ˚ limity a pˇritom pn i qn konvergují k (0, 0). ˇ zpet Matematická analýza III.



ˇ Rešení úlohy 4 Postupujeme podle definice spojitosti, máme tedy ukázat, že lim g(pn ) = g(0, 0) = 0, pokud pn → (0, 0). Necht’ pn = {xn , yn } je libovolná prostá posloupnost, konvergující k bodu (0, 0). Oznaˇcme mn = max{|xn |, |yn |}. Potom platí: xn yn 2 mn 3 ≤ 0 ≤ |g(pn )| = 2 = mn xn + yn 2 mn 2 ˇ 2.6 (Dva policajti) plyne, že lim|g(pn )| = 0, tedy i lim g(pn ) = 0. Z vety ˇ zpet


Matematická analýza III

Recommend Documents