II
8
I' III
11II
" .. n
I' 11II II'
f
,
r
n
.. H n
J
III .. D II' n " , D II III ... I '8 III
, iIII I
a
II
\I D
1___
P!':JB'BWJBpBun5@qwad P!':JB''BWJBpBUn5 'MMM/rd\!4
I~
rdlll:I:I:'.I.':I:~
DAFTAR 151
PRAKATA DAFTARISI
ii
BAB I.
FLUIDA DAN SIFAT-SIFATNYA
1
1.1. 1.2. 1.3. 1.4. 1.5.
1 1 2 3 4
BAB II.
Definisi Fluida Fluida Dalam Kehidupan Sehari-hari Beberapa Istilah Dalam Mekanika Fluida Konsep Kontinum Tegangan Permukaan
STATIKA FLUIDA 2.1. 2.2. 2.3. 2.4. 2.5. 2.6.
BAB III.
I
8
Tekanan Di Suatu Titik Persamaan Dasar Statika Fluida Pengukuran Tekanan Gaya Terhadap Bidang Datar Gaya Apung Stabilitas Benda Yang Terapung dan Tenggelam
KINEMATIKA FLUIDA
20
o
3.1. Metode lagrange dan Metode Euler
3.2. SistemdanVolumeAtur
. ___.
3.3. Medan Kecepatan dan Percepatan dalam Fluida 3.4. Penggunaan Suatu Sistem Referensi Dalam
Menginterpretasikan BentukGerakan BAB IV.
BAB V.
8 10 13 14 15 18
.
20 21 22 23
ALIRAN FLUIDA DAN PERSAMAAN DASAR
25
4.1. KlasifikasiAliran
25
4.2. Beberapa Persamaan Dasar
26
ANAL/SA DIMENSIONAL
30
5.1. Pendahuluan
30
5.2. 5.3. 5.4. 5.5. 5.6.
33 33 34 39
Kelompok Tanpa Dimensi Hukum Keseragaman Dimensi Teorema PI Dari Buckingham Jumlah Suku-suku 11dan Dimensi Dasar Kelompok Tak Berdimensi Yang Penting Dalam Mekanika Fluida 5.7. Penurunan Parameter Keserupaan (Kelompok Tak Berdimensi) dari Persamaan Dasar 5.8. Keserupaan (Similitude) 5.9. Analisa Keserupaan Dengan Menggunakan Persamaan Dasar _ 5.10. Arti Fisik dari Parameter Keserupaan yang Penting
41 42 44 45 49
BABvi.
ALiRANDALAM P/PA
" .
6.1. Pendahuluan 6.2. AliranLaminerDanAliranTurbulen 6.3. DistribusiTeganganGeserDalamPipa BerpenampangLingkaran 6.4. Jari-Jari Hidraulik_ 6.5. AliranLaminerStationerDalamPipa 6.6. AliranTuerbulenMelaluiPipaLilin Hasil-hasilExperiment 6.7. TurbulendanTeganganReynolds BAB VII. LAP/SANBATAS
7.4. lapisan Batas Turbulen - Penyelesaian Pendekatan BAB VIII. HAMBATANDAN GAYA ANGKAT
8.1. Gaya-gayaFluidaPadaSebuahBendaDalamSuatuAliran _ 8.2. Hambatan 8.3. GayaAngkat 0 ALIRAN
9.1. 9.2. 9.3. 9.4. BAB X.
50 50 53 54 55 57 59 62
7.1. KonsepLapisanBatas 7.2. PemecahanPendekatanUntukLapisanBatas 7.3. LpisanBatasLaminer- PenyelesaianPendekatan
BAB IX.
50
MA MPUMA MPA ToO
GasSempurna KecepatanGelombangSuara; BilanganMach GelombangKejut AliranMelaluiLubangPancar
62 64 66 68 70
70 70 77 0 80
80 81 82 83
PENGUKURANALIRAN
86
10.1. Pengukuran-pengukuran Kecepatan 10.2. LajuAliranZat CairDalamPipa 10.3. LajuAliranZat CairDalamTangkiTerbukaAtau SaluranTerbuka 10.4. LajuAliranGasSubsonikDalamPipa
86 88
DAFTARPUSTAKA Lampiran1. Lampiran2.
0
Viskositasmutlakgasdancairantertentu DiagramMoody
91 92 95
96 97
1
BABI FLUIDA DAN 31FAT-SIFATNYA 1.1 .Definisi Fluida Definisi yang Jebih tepat unt~k membedakan zat padat dengan fluida adaJah dari karskteristik deforma.c;ibahan-ballan tersebut. Zat padat dianggap sebagai bahan yang menutYukk3JIreaksi deformasi yang terbatas ketika menerima atau mengaJami snatu gaya geser (shear). Sedangkan fluida ,memperlihatkan penomena sebagai zat yang teros meneros berubah bentuk apabila mengalami tekanan geser; dengan kata lain yang dikategorikan sebagai fluida adaIah suatu zat yang tidak mampu mcnahan tekanan geser tanpa berubah bentuk. 1-2. Plaida dalam kehidapao sehari-hari Setiap hari kita selalu berhobungall del1gan fluida hampir tBnpa sadar. Banyak gejaJa alam yang indah dan menakjubkan, seperti bukit-bukit pasir dan ngarai-ngarai yang dalam, terjadi skibat gaya-gaya yang ditimbulkan oleh aJiran udara atan air serta perilaku aliran fuida itu ketika me~umpai halangan. Pipa air, baik yang dialiri air bersih maupun air limbah, sarna sekali bukan barang yang aneh. Boleh jadi kita sadar bahwa pipa air minum, misalnya, harns mempunyai diameter yang lebih besar dari suatu harga minimum agar aJiran air di keran-keran dapat mencukupi kebutuhan. Kita mungkin juga terbiasa dengan benturan antara air dan pipa ketika keran air ditutup secara tiba-tiba. PUS8f811 air yang kita tihat ketika air dalam bak mandi dikeluarkan melalui lobang pembuangannya pOOadasamya 8ama dengan pusaran tornado atau pusaran air di batik jembatan. Radiator air atau uap panas untuk memanaskan rumab de radiator pendingin dalam sebuah Mobil bergantung pada alinm fluida agar dapat memindahkan panas dengan efektiL Hambatan aerodinamik bilamana kita sedang berjalan atau berlcendara menentang angin yang cukup kencang. Kalan kita sedang berlmyuh dengan perahu terasn bahwa kitn harns mengayuh lebih keras agar dapat melaju lebih cepat, bukun hanya untuk mempercepat laju perahu tet~pi juga untuk mempert3hankan kecepatan yang tinggi. Pennukaan lambung kapal dan sayap serta badan pesnwat terbang dibuat rata agar dapat
2
mengurangi hambatan, bola golf justru diberi pennukann kasar guna me.nguraogi hambatan dalam geraknya. Babkan pakar fisiologi pun berkepentingan dengan konsep-konsep mekallika fluida. Jantung adalah sebuM pompa yang mendorong sebuM fluida (dm-aIl)melalui sebuah sistim pipa (pembuluh-pembuluh darah). Pendek kata kita selalu berurusan dengan fluida baik yang diam maupun yang bergerak. Kemajuan yang dicapai selama abad ini meliputi studi-studi baik secara analitik. numerik (komputer). maupun eksperimen tentang aliran dan pengendalian lapisan batas, smlktur turbulensi, kemantapan aJiran, aliran multifase. pemindahan panas ke dan dari fluida yang mengaIir serta banyak masalah daIam penerapan. 1.2 Beberapa Istilah Dalam Mekanika Fluida
.
Kerapatan(dellsity): adalah jum)ah / kwantitas suatu zat pada suatu unit volume density dapat dinyatakan dalwn 6ga bentuk : 1. Mass density (p) satuan dalam SI adalah (kglm\ 2. Berat spesifik (specific weight) (y) = p . g satuan dalam 31 = N/m3 dimana g= percepatan gravitasi (~9,81 mls2) 3. Spesifik gravity (s.g)
merupakan perbandin053I1antara density dengan
berat
spesifik suatu zat terhadap density atau bera~ spesifik suatu standard zat( umumnya terhadap air). Jadi s.g tidak mempunyai satuan.
.
Viskositns. Viskositas suatu fluida merupakan UkW-Sllketuh811ansmuu fluida
terhadap deformasi stau perubahan bentuk Dalam sistim SI tegangan ('t)= ~l(duldy), atau dengan kata lain tegangan geser diekspresikan dalam N/m2 (Pa) dan gradien kecepatan (duldy) dalam (mIs)/m, karena itu satuan 31 untuk viskositm;dinamik adalah : N.s/m2 atau kg/m.s. Sedang viskositas kinematik (v) didefernisikan Eebagaiperbandingan viskositas dinamik t~hadap kerapatan (density) kinematik mempunyai satuan m2ls.
v = J.l/p dalam SI viskositas
3
Contoh : Suatu fluida dengan viskositas dinamik J.1=0,080 kg/m.s dan kerapatan p =825 kg/m3 mengalir sepanjang sebuah permukaan dengan profil kecepatan yang diberikall melalui persamaan J.l= 50 y - 10 4 Y2 (m/s),dimana y jarak dari pennukaan batas daJam meter. Hitung tegangan geser di permukaan batas itu? Jawab: Gradien kecepatan pOOay = 0 OOalah(duldy}y:o= 50 (m/s)/m jOOi: (1:)=J.l(duldy) y=o= (0,080)(50) =4 Pa.
Dalam menganalisa fluids, sering diperlukan konsep penyederhanaan. Salah satu konsep demikian adalah konsep fluida ideal, yaitu fluida yang tak viskous. Dengau demikian fluida ideal sarna sekali tidak dapat menahan gaya geser. Anggapan bahwa suatu fluida tidak viskous sanga! menyederhanakan analisa, dan dalam banyak hal membantu penyelesaian persoalan-persoalan teknik yang lebih rumit sebagai sebagai pendekatan pertama. Selain itu penyederhanaan demikian masih dapat diterima selama penyederhanaan tersebut memberikan pedoman untuk memperolehjawaban yang masuk akal.
1
KOBsepKontiBum
Dalam zat yang bersifat bersifat kontinum, p~ titik sebarang orang dapat mendefinisikan suatu sifat atau suatu besaran. Misalnyn, massa jenis adaJah fungsi dari kedudukanjOOi: P
= p(x,y,z,t)
Disini kita menjumpai apa yang disebut medan, yaitu suatu besaran yang merupakao fungsi dari kedudukan atau ruang.: Ada tiga macam medan yaitu : 1. Medan skalar, misalnya massajenis, temperatur, viskositas 2. Medan vektor, misalnya kecepatan, percepatan; gaya 3. Medan tensor, misalnya tegangan pada suatu titik.
4
Selwn itu, dalarn fluida yang bersifat kontinuum, dapat dijumpai tiga macarn gaya, yaitu : 1. Gaya permukaan, misalnya tekanan, tegangan geser, yang bekerja pada titik pada pennukaan 2. Gaya badan, rnisalnya gaya elektrostatik~ elektromegnetik. gaya Lorentz, dan gaya sentrifugal. Gaya ini merupakan akibatdari adanya.medan potensial 3. Te.ganganpermukaan, gaya yang hanya bekerja pada pennukaan yaitu bidang pertemuan antara dua macanl atau lebih zat atau fasa). 1.5. Tegallgan Permukaan. Tegangan permukaan adalah gaya perentang yang diperlukan untuk membentuk selaput, yang diperoleh dengan membagi suku energi permukaan denga.npanjang sutuRn selaput dalam kesetimbangan. Tegangan permukaan ini terjadi akibat perbedaan tarik menarik timbal-baJik antara. molekul-molekul zat cair dekat permukaan dan molekulmolekul yang terletak agak lebihjauh dari permukaan dalarn zat cair yang sarna. Untuk tetes kecil yang berbentuk bola dengan jari-jari r dimana, tekanall p yang perIu untuk mengimbangi gaya tarik yang disebabkan oleh tegangan permukaan a dihitung sebagai berikut : Gaya akibat tekanan dalam (pn~ ) = gaya akibat tegangan permukaan yang mengelilinginya(2onr), sehingga dapat ditulis p = 2alr
,
Untuk sebuah persamaall lengkuug yang umumnya dengan 1'1dun r2 sebagai jm-i-jari utama , persamaan tersebut berbentuk :
untuk sebuah siIinder, salah satujari-jari bidang lengkungnya tak terhingg~ maka berlaku
p = air Persamaan tersebut menUl~ukkanbahwa tekanan mel~adi lebih besar bagi jari-jHri tetes atan sHinderyang arnat kecil.
5
Apabila suaiu antard. muka zat cair-gas bersinggungan dengan sebuah permukaan zat pOOat,berarti disitu terdapat tiga buah gaya antar muka; antara gas dan zat eair, antara gas dan zat pOOat, serta antara zm eair dan zat pOOat (lihat garnbar 1-1 ).keseimbangan yang tet:jadi menghasilkan hubungan skalar sebagai berikut : 0' ~
= 0'
&1
+ O'gl eose
la! cair
Gas
IT,)
lat padat
Gambar: 1-1: Sudut korstak.untuk antar r.ouka 8lis-zat cair-zat padat
Dari sini sudut kontak e dapat dihitung. Sebuah zat emr di udara disebut membasahi sebuah permukaan bila e < 1t/2, dan tingkat kebasahan itu meningkat sejalan dengan berkurangnya e hingga nilainya sarna dengan nol. Sudut kontak e untuk air, udara, dan pennukaan kaca yang bersih pada dasrnya adalah nol. Apabila e > 1t12.zat eair disebut tidak membasahi permukaan.
Gejala Kapiler. Naiknya kolom zat eair dalam suatu pipa keeil adalah akibat tegangan permukaan clandisebut gejala kapiler.
--r" ~-
.
Gas
la! cairo kerapatan p
Gambar: 1-2: Kenaibn kapiler suatu zal cair
6 Padagambar 1-2 memperlibatkan berat kolom zat eair dalam pip~ yaitu gaya dari selisih tekanan antara seberang-menyeberang antar muka zat eair kali luas penampang sebanding gaya periferal di seputar lingkaran tabung. Secara matematik ditulis : pgh (7tr2)=Ap7tr2=o27tf cos e sehingga kenaikan akibat gejala kapiler adalah : 2cr h=-
cose grp
apabila e < 1f.f2.kenaikankapiler akan terjadi. apabila e = 7t12.baik kenakan maupul1 penurunan tidal<:akan dialami oleh zat eair dalam tabun& dan bila mana e > 7t/2.zat em dalam tabung akan meng~ami pemU11nan(depresi), untuk jelasnya Hhat gambar 1-3. Persamaan terakhir ini berlaku untuk diameter pipa relatifkecil ( dibawah 1 em).
Zat cair
(a) 8 <.!!: 2
o "'-.,
Zat cair
(b) 0 =.!!: 2
Ic) 0 >~
Gambar: 1-3 . Pengaruh sudut kontak pada kapil&ritasdaJamsuatu pipa keciJ
Dengan bertambahnya diameter pipa, jari-jari lengkung semakin besar dan kenmkan kapiler berkurang. Pada penggunaan alat ukur
seperti manometer seJaJu dibindari
terjadinya efek-efek tegangan permukaan. Maka dipakai cairan yang mempunyai tegangan permukaan yang tinggi seperti air raksa. Contoh : Sampai keinggian h berapa air pada temperatur kamsr akan naik dalam sebuah pipa kaca bersih berdiameter. 2.5 mm. ( jika diketahui tegangan permukaan air di udara sekitar 0,073 N/m). Jawab :
7
2cr
h = .--
cos6
dengane = 0 0
grp
( 2)(O,073Xl)
h= (9,81 )(O,OOI25XI000) h = 0,012 m = 12 mID
8
BAB II STATIKA FLUIDA Pengetahuan tentang statika Ouida dibahas ualam dua bagian yaitu:
> Studi telltang lekanan serta variasinya pada.seluruh bagiau t1uida dllilstudi mengrl1<\igaya-gaya tekanan pada permukaan yang terbatas besarnya_ IIJ Tel\;anan di matn titik.
Tekanan rata-rata dihitung dengan membagi ~aya normal ( gaya tegak-Iurus ) yang rnendorong suatu bidang datm-dengan luas bidang tersebut. Tckanan di suatu titik adalah limit perballdingan gaya normal terhadap luas bidall~ bila bidullg tersebut rncndckati ukuran nol pada titik itu. Di :-:natntitik, Huida yall~ tidak hergerak mempHnY:litekanan yang 8ama daJam semua arah. lIal illi berm'li bahwa suatu bidang clemen ()A yang sangat kecil luasllYa,yang bebas berputar t~rhadap pusatnya biJa tercndam daJam fluida yang tidak b~rgerak>akan mendapat gaya Ycmgbesarnya konstan Y~U1g beke~ia pada kedua sisinya, bagaimanapun ori0l1tasillya.
Ouna melHJl~iukkanhaJ ini, kita mempcrhatikan suatu bt"'ndabebas keci' yang berbentuk b~ii dengan lebar satuan di titik (x, Y ) dalam fIuida yang tidak bergerak(Gb.2.1). Kart?na tidak dapat terjadi gaya geser. maka gaya-gaya yang ada hanyalah gaya-gaya pennukaan normal dan gaya berat; maka. persamaal1-persamaan gcrnkan dalam arab x dan y masing-masing adalah : ~ Fr
.~
""
Pxay
-
Oxoy ~. psu,')sm 8 = -pax 2
::: 0
dan
r; ;r.~:..:;p,8.x.-
p sO:;cos {}- r &8y 2
= ~pa,:;O lixoy
dimana px.1\"psadalah te-kananrata-rata pada ketiga permukaan, r iaJah berat jenis fli1ida. p ken)patannya, dan a~, Bypercepatan. Bila diambiJ limitnya bila benda bebas tersebut
9
diperkeciJ mendekati ukuran nol dengan membuat permukaan miringnya mendekati (x,y) sambiI mempertahankan sudut 6 yang sarna dan bila kita menggunakan hubunganhubungan geometri
8,~sin 0
::
0)'
maka persamaun-persamaaulersebut
Oseos 0
:;
&-
tersederhanakall menjadi
Suku terakhir persamaan yang kedua adaJah keeil takbingga dengan orde kekecilan yang ling~i dan dapat diabaikan. Bila persamaal1-persamaandi atas diba~i masing-masin,~ . ..' . dcngan l5ydan l~X,maimpersamaan-persmnaan tcrsebut dapat digabungkan : ps = px
=
py. . . . . . . . . . . . . . ., . .. . . . . .. ... . .. . .. . . . . . . . . . . .2.1
Karenu e mempakan sembarang sudut, maka persamaall illi membuktikan bahwa t~kanan adalah sarna dalam semna arab di suatu titik dmam fluida statik. Walaupun pembllktian tersebul rlilaksanakan untuk kasus dua rlimensi, nanUlJ1dapat dihuklikan bagi kasus tiga dimensi del1gall persamaan-persamaan kes~ilIlbangan ulltuk sebuh bidang empat kecil fJuida dengan tiga nmka dalam bidang-bidang koordinat dill] muka keempat miring sembarang. __4 ___.___ -------------
. .f
p.6s
p,,6y
_z
GambaI' 2.1 Dia>tram bl~nda-bebas suatu partikel yang bcrbentuk baji.
Jika fluida bergerak sedemikian hingga satu lapisau bergerak relatif terhadap lapisan yang hordclmtan, teljadilah teg~Ulgan-teganp,an besar, clan tcgangan-tcgangan
10
normal di~:ualutitil~ rata-rata scmbarang tiga tegangan tekan yang saling tegak lunls disuatu titik,
p'"
p,+p,+p,. ~-"'
-
Dalrnn fJllida khayaJi yang viskosihumya nol. yakni tluida tampa gesekan, tidak ciapat terjadi tegal1gal1geser llutuk gerak~m Huida yang bagaimanapull. D~m uengan demikian h~bnan di snatu tifik sama dalam scmua arah.
1I.2 Persamaan Dasar Statika Fll1ida
Gaya-gaya ymlg beraksi pada suatu elemen fluida dalam keadaan diam (Gb.2.2) t~rdjri dari gaya-gaya permnkaan (Rurfaceforces) clan gaya-gaya b;Jdau (body forces). Deugau u;aya berat Rebagai satu-satunya gaya badan yang beraksi, den,gau mengambil E:umbny vcrtikal kc atas maka gaya tcrscbut adalah -y6xooz dalam arab y. Dengan '~ka.nanp elipusatnya (x, y, z), gaya yang beraksi terhadap si8i yang tegak Jurus terhadap slimbu y dan yang lerdekat dengan titik nol adalab kurallg -lebih
'
'
l
dp 8v
"
p -- .~- -~- t'ix& . ,Jy: .)
drul gaya yang beraksi terhadap sisi yang berseberangall adalah
I p Iii,:' f
\.
Jp .'~.1&& '
2
.I
di mana 6y/2 i~Jabjarak dari pusal ke muka yang tega.k-Iurus tcrhadap y. dengan mcnjmnlahkan gaya-gaya yang beraksi tcrhadap elemen tersebut dalam arah y kita mendnpal
11
y
%
Gambar 2.2 Elemen tluida dalam keadaan diarn yang berbent.lIkbalok genjang sikll-siku.
Untuk arab x dan Z,kare.natiadanya gaya badan yang beraksi. ~ of
:: 6
op &:: . Oyu.;~_ 0%
Vektor gaya elemental of dibcrikan oleb
Jika clemen tcrsebut diperkecil mendekati ukuran nol. setelah dibagi dengan oxoyoz= 0\1. nmms tersebut m{'!njadieksak
.~~ ~ '{i'~
+j
* + k ~ )p- Jr
limoy ~ 0
(2.2)
Inilab gays.resultanre per volume satuan di snatu tit.ik.yang barns disamakan dengan nol untuk fluida dalam keadaan diwn. Besaran yang dalam kurung adalah gradien, yang disebut V (del). Pasal 8.2.
a
a a
'i1 ~:i .-- + j -:-.k .ax 0' Cz
(2.3)
12 dan grndien negatif p, -Vp, adalah medan vektor f untuk gaya tekanan permukaan per volume 8atm111,
f = -Vp
(2.4)
Makahukumstatikafluidatentangvariasi tekananadal3h f -jy = 0
(2.5)
Bagi fluida tak viskos yang bergerak, atau suatu fluida yang bergerak sedemikiall hingga tegangan gasar di mana-mananol, hukum Newton yang kcdua berbentuk f:jy = pa.
(2.6)
dengan a percepatan elemen fluida tersebut.f - .i'Yadalah resultante gaya fluida apabila gaya berat adalah satu-satunya gaya badan yang beraksi.
Dahun
bentuk
komponen,
P~rs (2.6) menjadi op = 0 op = __r ap = 0
ox
az
0t
(2.6)
Turunan-turunall parsial untuk variasi ,dalam arab horisontal mernpakan snatu belltuk hukum Pascal; persamaan-persamaan itu menyatakan bahwa dua titik pada ketinggian yang sama dalam masa fluida yang sama dan yang tidak bergerak mempunyai tekanan yang sarna. Karena p m~rupakanfungsi y saj~ dp=-ydy
(2.7)
Persamaan diferensial sederhana ini menghubungkan perubahan tekanan dengan berat jenis serta pernbahan ketinggian dan berlaku untukl fl1!idayan.gmampumampat maupun yang tak mampumampat. Bagi fluida yang dapat diwlggap homogen serta tak mampumampat, r adalah konstal1dan pel's (2.7) bila diintegrasikan mel~iadi p=-yy+c dengan c konstanta integrasi. Hukum hidrostatika tentang variasi tekanan seringkali ditulis dalam bentuk. p = yh
(2.8)
dengml h diukllr vertikal ke bawah (h = -y) dari pe!lnukaan cairan bebas dan p adalab kenaikan tekanan dm'i pada permukaau bebas itu. Persamaan (2..8) dapaJ. diturunkan dengan rnenggunakan sebuah kolom bertikaJ cairan c!engan tinggi te=rbatash ymJg
13
pennulcaan-atasnya terletak di permukaan bebas sebagai benda bebas fluida. Penurunan ini kami sediakan sebagai latihan ba.gianda. Il.J PENGUKURANTEKANAN Tekanan dapa! dinyaiakan dengan mengacu kepada sembarang datum. Datum yang lazim ia1ahnol absolut (nol mutlak) dan tekanan atmosfer 10kal.Bila suatu tekanan dinyatakan sebagai beda 3ntara nilainya dan hampa sempurna, maka tekanan tersebut dinamakan tekanan absolut. Bi1atelcananitu dinyaiakan sebagai beda antara nilainya dan lekanan atmoster toka]. maka tek811antersebut dinamakan tekanan relatif Gambar 2.3 melukiskan data serta hubungan autar3:satuan-satuan ukuran tekanan yang lazim. Tekanan atmosf~ standar adaIah takanan rata-rata pada pennukaan Jaut, 29,92 inch H~ Tekanan yang dinyatakan dalam panjang kolom suatu cairan adaJah setara dengan gaya pcrluas satuan di dasar koJom itu. Hubungan untuk perubahan tekanan terhadap ketinggian daJwll suatu cairan p = 'Yh. menunjukkan hubungan antara tinggitekan h.dalam p~jang kolom fluida dengan berat jenis 'Y,dan tekanan p. Satuan tekanan p dalaIt1pascal, 'YdaImn newton per meter kubik, dan h daIam meter. Dengan berat jenis setiap cairnn yang dinyatakan daJam gravitasi jenisnya S kaJi berat jenis air. sehingga dapat ditulis : P =r. Sh
(2.9)
Untuk air "fwdapal diambil sebagai 9806 N/m3. 2 Tekanan
Tekanan atmosfer -------------
----14,7 psi 2116 Ib/ft2 29.92InHg 33.91 f1H20 1 atmosfer 760 mmHg 101,325 PI 10,34 mH20
atmosfer
Tekanan relatif {
Penunjukan barometer lokal
standar lokel
negati f hisap vakum
1
Tekanan
mutlak
Nol mutlak IVakum sempumal
Gambar 2.3 Satuan clan skala ukuran tekanan.
Dalam gambar 2-3 kita dapat menempatkan suat!J tekanan pada diagram, yang D1enu~iukkan hubun~annya dengan lloi absolut dan dengan tekanan atmosfir toka!. Jika
14
titik yang bersangkutan berada di bawah garis tekanan-atmosfir lokaJ dan ditunjuk terhadap datum (acuan) relatif, maka tekanan yang bersangkutan disebut ne,gatif, hisap atau hampa. Pe-rludip~rhatjkanbahwa : p Ib, = P bar + P
relatit'
IL
Dalam parawap-paragrap yang lain kila telah membahas variasi tekanan di dalam fluida. Gaya.gaya terbagi yang diakibatkan oleh aksi fluida terhadap suatu bidang yang Inasnya terb8t9~ mnrlah diganti dengan gays resultante, sejauh menyangknt reaksi hmT terhadap sistim gaya. Dalam paragrdp ini besar gaya resultante dan garis aksi nya (pusaf tekan) di tentukan dengan integrasi, dengan mmus, dan dengan meonggunakankonsepsi prisma tekanau.
r-i I r--"
." Gambar 2.4 l'~ota~i untuk tnt'nt'ntukan garis aksi sualu gaya.
Sebuah permukaan datru"(rata) dalam posisi horisoutal dalam tlnidu Y~U1.~ tidal< bcrgerak mengalami tekanan yang konstan. Besar gaya yang beraksi tcrhadap' saiu sisi pennnkaan itn adaJah
f p ciA = p f
dA
= pA
Gaya-gaya dell1~ntaJ p dA yan~ berak~i terhadap A semmU1ya ~e.iaiar dan dalam ~u'<'.h yang s:una~ kar~lm itu. pl'njumlahan
skala!" tbrhadap
s('genap
delm~n
dl'rnikiall
IS
menghasilkan besar .gaya resultante. Arahnya tegnk-Iurus terhadap pemmkaan dan ke arab pennukaan jika p posisti£ Guna menemukan garis aksi gaya resultant.e, yaitu titik pada bidang tempat n10men gaya terbagi terhadap setiap 8umbu yang melalui titik itu adalah nol, kita dapat memilih sumbu-8umbu xy sembw"ang,seperti dalam Gb. 2.4. Maka, karena momen gaya resultante harns sama dengan momen sistim gaya terbagi t.erhadap setiap slimbu, misalnya sumbu y, 'mnka pAx' :.;:J ldA
Dengan x' jarak 8umbu y ke resultante . karena p konstan. maka ) ,='" ~ -. ',4
J
x'fA ,4'
... -. :>.: --.
Di sini X adalah j,arak ke sentJ"oidbicbmgters('bu(.
Maka dari
itu, bagi bidm1g horisontal yang mengalami tekanan fluida. statik, resultallte melalni sentroid bidtmg(erscbut.
11.5. G aya Apung
Gaya resultante yang dilakukan terhadap Buatu benda oleh fluida statik tempat benda itu tt~rendamatau terapung dinamakan gaya apung. Gaya apung selalu beraksi vertikal ke atas. Tidak mungkin terdapat komponen horisontal dari resultantenya karena proycksi benda yang terendam atau bagian yang terendam daribcnda terapung itu pada hidang vE!rtika.lsl~lajunol.
Gamba!" 2.5 Gaya apung pada benda yang terapung dan bends yang terendam.
Gaya apullg pada benda yang terendam adclah beda antara komponen vertikaJ
~aya tckammterhadap sisi atas benda tersebut. Dalaa-nGb 2.5 ga.yake 31aspada sisi bawah 8ama dengan berat cairan, yang nyata atau yan~ khayali, yang tcrdapat vertika1 di
16
at:m pC'rmnkn:UJ ABC yang ditur~iukkanolclt ben1t cairan di-daJmn ABCEFA. Gaya kC' bawah pada permukaall atas sama dengan bcrat cairaIl ,L\DCEFA.Perbedaan antara kedua gaya torsobut adalah snatu gaya, yang vCltikaJke at:JSdisebabkan oleh berat fluida ABCD yang djpindahkan oleb benda paat itu. DaJambentuk p(~'-R:mmam FH= v 'Y Dcngan Fu gaya apllng, v volufi1l:.~ Huida yang dipindahkan, dan y adalah bera( jenis fluida. Rumns yang sarna bcrlaku ulltuk benda yang t~rapungbila sebagai v dipergunakan volume cairan yang dipindahkan. Hal ini nyata da1'ipemeriksaan tcrhadap benda yang terapullg dalam Ob 2.5.
C'T8Cnbar 2.5. Komponen-kClfnponen gaya vertikal pada elemen benda.
DaJam Gb 2.6 gaya vertikal yang dilakukaJ1terhOOapsuatu elemen benda tersebut yang berbentuk prisma vertikaJ yang berpenampa.llgoA adalah o Fa = (1'2-PI)oA = yh oA = y dv Dengan OVvolume prisma. Integrasi pOOaseluruh benda menghasilkan FB
.
=r J dv = r v .
Bila y dianggap konstan di SehJJ11h volume. Guna mendapatk3J1 garis aksi gaya apung kita mengambil mom.en-momen
.
terhadap suatu sumbu 0 yang mudall dipergunakan dan mempersembahkan dengan momeo resutantenya; jadi, yrxdv=rv; Jv
atau x=~rxdv v J.
\ . ..
-. ----
17
Dengan x sebagai jarak dari sumbu tersebut ke garis aksi. Persamaan ini menghasilkan jar-ak ke sentroid volume~ maka dari jlu gaya apung beraksi melalui sentroid volume fluida yang dipindahkan. Hal ini berlaku baile untuk benda yang terendam maupun benda yang terapung. Sentroid volume fluida yang dipindahkan disebut pusat apung. Dalam meuyelesaikan BOalstatik~ yang menyangkut benda-benda yang terendam atau yang tempung, pada umumnya kits menganggap benda tersebut sebagai benda bebas ..,
d~ kita men~gambar diagram benda bebas. Aksi f1uida dig~U1ti dengan gaya apung. Bera! benda hams ditunjl1kkan(yang beraksi melalui titik beratnya), demikian pula semua gaya konblk lainnya.
Gambar 2.7 Diagram-diagram benda bebas untuk.benda yang digantung dalam fluida.
Menimbang benda berbentuk aneh yang tergantung daJam dua fluida yang berlaimm memberikan cukup data guua menelltukan berat, volume jenis, dati gravitasi jenisnya. Gambar 2.7 menunjukkan dua diagram benda bebas untuk benda y~mgsanm Y~U1g diga!ltung serta ditimbaug dahun dua fluida. F1.F~ adalah benil dahun keadaan tcrendam, 11.12 ada1ah berat jenis fluida-fluida tersel:mt.Kita hams mcncari W dan V, yaitu bl'!ratserta volume henda itu. Kita menuliskan persmnaan-persamaaI1keseirnba1~ga.n FI + v 11= W
; F;: V 12 = W
Dan menyelesaikmmya /.Ian W
= Ftf2
-. F~rl
r 1- r .1
18
- - - - - -----------
II~I:~_ fJj~1
t=====:=:::=::::::: \iF::::::::::::::: -----------------.---------------------------------------.----------------------------------------
GambftJ"'2.8 Hidromet.er di dalam air dan di dalam cah'aJ1yang gravitasi jenisnya S.
COII!oh: Sebongkah bijih yang beratnya 1,5 N di udara te.myataberatnya 1,1 N bila terendam air. Berapakah volumenya dalam sentimeter kubik dan berapakah gravitasi jenisnya? Penyelesaian. Gaya apung yang disebabkan oleh u<:!m.a dapat diabaikan Dari Gb 2.7 1,5 N ==1,1 N + (9806 N/m3) v
v = 0,0000408m"3 = 40,8 em 3
S
- -w __
__
i' v
1,5N (9806 Wm 3)(0,0000408
- .3,75
__
m 3)
11.6. Stabilitas benda yang terap~ng dan yang tenggelam
Suatu benda yang terapung dalam cairan yang statik mempunyai stabilitas vertikal. Suatu perpindahan ke atas yang keci1 skan mengurang! volume cOO.anyang rlipindahkan. dt'!l1ganskibat adanya gaya ke bawah yang tidak terimbangi dan yang cendernng untuk mengembaJikan benda itu ke posisinya semula.demikian - pula, perpindahnn ke bawah yang keeil menghasilkan gaya apung YaJ)glebih besar. yang menyebabkan gaya ke atas yang tidak terimbangi.
19
Snatubt'ndamempunyaistabilitaslinear biJaperpindahanlinear yangkecil daJam sctiap arah manapun mengakibatkal1 terjadinya gaya pengemba1ian yang cenderung mengemba1ikanbenda itu ke'posisinya semuls_ snatu benda mempunyai stabilitas putar bila suatuperpindahan sudut yang kecil menyebabkan terjadinya kopel pengembalian. Dalwn pembahasan
berikut
akan dikembangkan
metode-metode
menentukan stabilitas putar. Suatu benda dapat mengapung dalam keseinban~
untuk stabiJ,
tak stabil mau netra1. Bita sumu benda ada dalam keadaan tak stabil. maka snatu perpindahan sudut yang kecil akan menyebabkan terjadinya kopel yang ccndhmg memperbeRarperpindahan sudut itu. Dalam hat benda dalam kesetimbangan netraJ. yaitu perpindaban sudut tidak menyebabksIl terjadinya momen apapUIl
20
BAB.III KINEMA TIKA FLUIDA
III I. Metode Lagrange dmlMctode euler Mctodc ini menguraikan hubungan 3ntara kedudukan berbagai partikel fluida dengall waktu, dimana fluida dianggap sebagai kontinuum. Hal ini berJaku selama ukuran dari partikel fluida yall,ll;diamati jrnlh lebih besar dari jarak 1i11tasanbebasrata-rata dari molekul. Ada dUBem-a d~\lammenenmgkan gerak fluida moo bentuk persamaan medan da1amfluida, yaitu metode Lagrange dan metode Euler. Perbedaannya terletak pOOacara p~nentu8n kedudukan .llaJnm medan, yang 8atu bers811gkntandengwJ apa yang terjadi pOOapartikel lluida' dengall identitas tetap selama waktu yang tertentu, bagaimana lintasannya, berapa besar kecepatan dan percepatannya. Mt~l()delagnuJge yang bers3ngkut3n den~an partikel fluida dengan identitas letap. Dalam meode ini, vru'iabcl sep~rti lintasan, kecepatan, perccpatan dan variabel fisika 13illllyaciilulislmnuntuk partikel fJnida dengan identitas tetap. Ko~rdinat (x,y, z) adaJah koordinat dari elemen fluida, dan karena elemen fluida yang ditinjau jdentitasnya tctap £Ianbergerak pada lintasanQYa,maka koordinat tersebut terg~tung pada waktu. Dengan kata laill koordinat tersebut mempakal1variabel depe12d~ndalanl bentuk Lagrange. Suatu clemen fluida dikonali dari kedudukannya medan fluida pada aoatu waktu sebarang. yang bias~Ulyadipilih sebagai t =0. Gorak dari partikel fJuida ini tertentu bila kita ketahui persrummn kcdudukannya terhadap waldu.. Jadi jika r menyatakan kedudukan suatu par1ikeJtluida dellgan identitas tetap, maka: R = r (a, b, c, t) i\tmr x ,~,X (~J,b, c. l) y c' y (a, b, c. f) ;1,::::/. (a, b, c. t) Dan luedaH kecepatan
dinya1akall sebagai:
V ,c:v (a, b, c. t)
21
Dengan koordinat (a, b, c) menyataJmn kedudukan ~waJ dari partikel fluida dengan identitas tetap. Variabel aJiran l1uida yang lain, yang merupakan fungsi-fungsi dari kordinat tadi, dapat dit.uliskan dengall canl yang sama. Metode Lagrange
Jarang
dipe-rgunakandalam .mekanika fluida, karena jt>nis infl'nnasi yang diinginkall bukannlah harga vw-iubel fluida yang dialami smuu partikel fluida sepB1:l:.iang lintasannya, letapi hanya variabel fluida pad~ suatu t.itik tetap dalarn mango Meskipun demikian mdode Lagrange dapat dihubungkan den,lI;andengan metode rnmlisaberdasark3l1 sistem. Metode Euler' memcberikan harga variabel fluida pada snatu titik pacta suatu waktu. Da}ambentuk fnngsjonil, meoan kecepatan dnpat ditulisknn sebagai herikllt: V = v ( x. y, z, t) Dimana x, y, z, clan t semuanya merupakan variabel beban untuk smdu titik tertentu (XI, yJ, ZI) dan waktu tl . metode Euler clapat dihubullgkall dellgal1metode analisa dengan volume atur.
Ill.2. Sistim dan ,'oll1nte atul'
Sualu sislim yang kadang-kadang disebut benda terisolasi, didefenisikan sebagai kumpulan zat sebarnng yang mernpllnyai identitas teiap. Segala sesuatu yang ada di Illar sistilJIdisebut lingkungan. Balas dm-isistn~ didJnisikan sebagai snatu perrnukaan, yang dapat berbentuk riil (nyafa) al~1Uirnaginer (khayaJ), yang IIll~misabkansistim dari lingkungannya. Persamaan kOlltinuitas mengungkapkall persyaratan bahwa suaLu t1uida harns kontinu serta bahwa massa f1uida b~rgjfat kekaJ- yakni tidak dapat djciptak~ atau dimusnahkan. Sednng kekekaJan massa fluida mernpersyaratkan bahwa da1am8uatu volume zat massa selalu konst.an)dan karena itu laju perubahan massanya.sarna rlengan nol. Berbagai bentuk persamaali kontinuitas untuk suafu volume atur (volume konn-ot) diturungkan dengan menyatakan secara matematik bahwa I~u netto influks rnassa ke dalam suatu daerah tertentu sanIa dengan l~u
perubahan massa di daerah tersebul Gambar 3.1a
memperlihatkan sebuah volume kontrol yang dibatasi oleh dinding-dinding tangki pengosong, yaitu tangki yang massa di daJamnyaberkurang terhadap waktu. Oleb karena
22
itu, yang dibutuhkan disini adaJah bentuk persamaan kontinuitas yang tidal<steady, Jika volume konb'ol
ditetapkan seperti ganlbar 3-1b, pengosongan tangki lebih I3I!iut
menyebabkan adanya aliran masuk (inflov"r)melalui batas volume kontr61 se bel3h atas, akan tetapj aliran itll steady asalkan laju aliran keluar (out How) tidak bemba11.Ini memll~iukkan bahwa penetapan volume kontrol serta hal-hal lain yang bersal1gkutan harus ditakukan d~ngan teliti, 'wahmpun bila masing-masing kac;usjlu ditaf.c;irkanseeara benar, semua men~jn ke h~juanyang sarna. Bentuk umum untuk kontinuitas dimana, ruas di sebelah kiri sarna dengan nol (karena massa dari voJum zat yan,gtidak berubah) dan dengan kt".fapntantluida p sebagai fun~Hititik YaJl~bernilai tunggal, maimteorema t~rseb.utmenjadi :
o -= ~j
J
p
at"""""
1<""'"'1
,
r I I I I I I I
}p
Volume
p
0". d3) .
kon!rol
Udara
I 1= I I I
II
dV + (.
Udara
Aliran keluar
Za! cair
I
L________ (a)
r--I I I I I I L
1
j
J
I I I I I I
(b)
Gambar: 3.1 DlIacara pengandaian volume kontrol untt~{ scbuah tangki pengosong
PerSi1maanini menyatakal1ballwa l~iu peliambahan masa di dalam volume kontrol plus etluks massa neUo yang rnernintas pennuk3311kontrol sarna dengan nol. .Tadilaju influks massa lletto yang melalui permukaall kontrol maupun dari sumber-sulIlber yang berada di daJamvolume konlrol.
Ill.3. Medan Kecepatan dan Percepatan dalam flllida Bila r ( X, y, Z ) menyatakan koordinat pmiikel fluid~ maim 1Ilcdan keeepatan dinyatakan sebagai.
23
dr
(x,
v,
z,
t)
V(v(u,v,w)= dt
atan: II
= dx/dt
w = dzldt
v = dy/dt
selanjutnya kecepatan daJam urah x dihlfun,tkan sebagai berikut ~ au au au au du = -dx = ---dy + -dz + -dt ox 3y QZ at du. du d"l: du dy ,du. dz du ax :7 ,-;' --, --- -+--+( ) + -dt dr. rft dy dt dz dt" dt /'}lI. du. au OU OU. all. ax == --::: -- --I-u -- + + w- +
at
dt
ax
"
~y
az
-
at
demikian puta:
ay ==
Dv
-Dt
[)w az. ==--== Dt
==
-dv dt
av av -av + '"- + ax at at
:::: U
dw 8'1-11 O~11 ow ==u-+ v-+ w--+-dt I~t';!y ()z
jadi dalam nolasi
OW AX
vektor
p~-;;.: ~+ (\I + !::.)\. Dt at ,
yang menyatakan babwa percepatan pada sualu titik dalal)) ruan.~ ( yaitu tW1.IIUUl total dari kecepatan pada titik yang bersangkutan) adalah sama dengan pel1lbahan kecepatan pada titik terset>ut ( suku pertama pada ruas kamJ) clan peruhahan kaTena adanya konveksi ( suku kedua pada 11Ja."3 kanan). Untukaliran yang staiioner
ov/ot= 0 Ill.4. Pcngguuaan suatu sistim referensi dalam menginterpretasikan gerakan.
bentuk
Pemilihan sistim koordinat se~agai referensi terhadap gerakm~fluida mempunyaii manfaf yang besar. Dalam keadaan tertentn kita dapat mengubah snatu a1iralltak stationer menjadi stationer clansebaliknya.
24 Hal ini dapat dimJaJisa dengan memperthatikan aliran melalui tiang jembatan dengan sistim referensi (atau pen,gamat) diam, atau ju.ejaterjadi pada morrong pesaw31 yang terbang dengan kecep31antetap seperti yang dilihat oleh seorang pengamat dalam pr.sawat fe-rbang.Kedua contoh tersebut merupakan gerakan stationer. Gambar 3-2. Mentt1Ukkan~aris lintasan yang berimpitan dengan garis gores dan garis ams.
A
Gambar. 3-2; garis an.ISpada aliran stationer
Benda k (w8ma hitwn) dianggap sanga! l?~jallg sehingga pengaruh aliran di bagian beJakang benda pada aliran di bagian depan dapat diabaikan. Bila pOOatitik A diteteskan su31u cairan belWama, maka tetesan belWama tersebut akan terletak pOOagaris artIs. Seba.liknyajika aJiran tidal<stationer, keadaan berbeda. lni dap31terjadi bila kita memperhatikan aliran t1uida melalui suatu pesawat terbang dari suatu kedudukan yang cHamterhadapfluidayangmasihterganggu.Gambar3-3 memperJihatkan garis arus,garis IiJltasan dan garis gores sekarang mempullyai belltuk yang berbeda-beda. Benda memindahkan partikel f1uida sedemikian sehingga partikel di depan di dorong ke depan, sedallgkanpartikel pada hap sisi didorongserempak ke depan dan k~ samping. Garis ams lertihat bergerak bersama-sama dengan benda.
\
r
/
garis-Un tasa ... n.
Gambm'; 3-3. Garis ,U1JS,garis linlasan clangaris gores dalam aliranl.idak stationer.
BAB. IV ALIRAN FLUIDA DAN PERSAMAAN DASAR IV.t. Klasifikasi aliran Banyak kriteria yang cIapatdigunakan uuntuk mengklasifikasikanfluida sebagai contob aliran dHpatdigolongkan sebagai aliran steady atau unsteady, satu, du~ atoo tiga dim~nsi, Reragam alan ticlak seragam laminer atau turbulen clan dapat mampat atau tidukdupat mampat. Selain itu, aliran gas ada yang 8ubsonik, transonik. supersonik alau hipe-rsonik,sedangkan zat eair yang mengalir disaJUI1d1 terbuka ada yang sub kritis, kritis atan super kritis. Namun sccara garis besar dapat dibedakan atau dikelompokkan jcnis aJiran aclftlahRebngajberikul : 1. Aliran tunak(steady): suatu aliran dimana kecepatannya tidak terpengamh oleh perubalmn \\'aktu, sehingga kecepatan konstan pada setiap titik (tidak mernpunyai perce.patan) 2. Aliran scraganl (uniform): suain aliran yang tidnk tcrjadi perubahan baik besar maupun arah, dengan k~ta lain tidak terjadi perubahan kecepatan .clan penampang Iintas311. 3. Tidak tunak:smltu aJiran dimana terjadi pembahan keeepatan terhadap waktu. -1. AlinUl tidak scraglliu(non unif()fm): suatu aJiran yang daJarnkondisi bembab baik kecepatan mal1punpenampID1gberubah. TITE ALIRAN a) AlirIDllaminer: u) Alinm tnmsisi c) Aliran turbulen d) Berdasarkan ordillatnya : alirnn satu, dua, dan tiga ctimensi ~~)AlinUlsnbsonik: adalah snafu aJinm yang lebih keeiI dm"ikeeepatIDlsuam f) Transonik: suatu aJinUlyang sarna dengsI1keeepatan SU8Jll g) Supersonik: suatu a1iranyang melebihi kecepatan f;uara h) Hypersonik:suatu aliran yang sangat tinggi (sang~tbesar dibanding kecepatan suara) i) DU
26
Dari b('rbagai jenis maupun tipe aJinm tt'rseb!!t, harm~memeouhi hubungan-hubungnn berikul : Hukum-hukum Newton tentang gerakan, yang hanls berlaku untuk tiap partikel pada st:'!tiapsaat Hubungau kOlltinuitas, yaitu hukum kekekahUlmas:::a Hukum pertama dan hukum kedua termodinamika Syarat-syarat bat3s.
IV.2. BelJerapa IJtrsamaan da~ar
a) Persamaan Kontinnitas
Aliran.steadipada suatuvolumekendali(pk) , gambat,.4-1. llerlaku persamaall: fpk pv.d.A
.. .(4.1)
=0
yang m€'nyatakanbahwa lajn bersih aliran massa kehmr dari volume kendaJi itu hams nol.di penampang 1 l~ju bersih aliran massa keluar adaJah PIVI(iAJ dan dipenampang 2 laju tersebut : P2V2dA2. kat'ena tidak ada alirall melalui dindillg tabung, tnaka: ...(4-2) adalah persmnaan kontinuita.'3 yang diterapkan pada clua penampang dj sepanjang sebuah tabung aIiran dalam aIiraIl steadi.
Volume kendall
Gambar; 4-1. .tViransteadi melalui tabung aliran
b) P~n;amaall Bcmoulli , ..,
gz = --
..
2
.
1)
.. .(4-2)
-I- ~- ::: ki.JI"Islan p
suku tcrakbir, pip adalah ker:i aliran atau energi aliran per ffiaBSasatuan. Ker:ia aliran adaJah kerjn bersih (n~to) yang diJakukan oleh elemen fluida terhadap lingkungannya selagi I1uidatersebut mengalir. Perlla1ikangambar berikut :
Gambar. 4-2. Kerja yang dilak.ukanoleh lekanan yang bekerja lerus menerus
Gambar tersebnt memperlihatkan snatu analogi tnrbin yang terdiri dati suatu satuRnbersudul yang berputar bila lluida mengalir melaluinya, dengau melakukan torsi pada porosnya. Persamaan untuk dua titik pada 8uatu garis a1iranada]ah :
- z..+ P1 . p2
;::1
..,
contob.l.
r
~
+ vI
2
- V2 2g
::
(4-3)
0
air mengaJir dalam suatu saluran terbuka, dengan. kedaJaman 2 m dan
kecepatan 3 m/s. kemudian air itu menga1ir turun melalui saluran peluncur yang menyempit ke Sa1ltraDlain dimana kedalamannya 110 dan kecepatannya 10 mls. dengan asumsi aliran tanpa-gesekan, tentukan beda elevasi (ketinggian) dasar sa1urantersebul Garnbar aJiran da/am saJuran terbuka
2 __L
~
_10
m/s
28
Jawab; kita mengasumsikan bahwa Iwcepatan-kcccpatan 8(jaJah serngam pad:! penampang-penampang, dan bahwa tekanan adalah hidrostatik"Kita dapat memilih titik 1 clan2 pada pcrrnuk33Ilbebas, seperti ditUlijukkandalam gambar, atau kita dapat memilih litik-titik itu pada kedalaman-kedalaman lain. Jika beda elevasi da98f sJuran-saluran adalah y, maka.persamaan Bernoulli me~iadi:
maka 7.;= Y + 2, 27.=1, "I = 3 mis, vo?=10 mIs, dan PI =Pl = I)
3~
\O~ + 0 + yi- 2 = "---I"0 + 1 2U,80(j) 2(~,806)
sehillgga: y = 3,64 III
Contoh.2. (a)Telltukan kecepatm1 aliran kelual" dari 110Seipada dinding reservoar gambaI" bcrikut.(b). berapa debit melalui nosel tersebut.
-
f:~-::::::::::~::~::~:3
il~!illlll!
~-~~t ~t 100 mm j~~~1~~~~~~!!!!~1 : Air. :1 2 -r. ~:~:::::;:::::: =:---
GambaI";
.:.::=:-:-:-:- :--'
Alil"aIldad I"eservoar melalui nose!.
Jawab: (a) Jet keluar sebagaj silinder dengan tekanan atmosfir pada kelilingnya. Untuk kegunaan praktis, tekanan sepmijang sumbunya adalsh tekanan atmosfir. Kita menerapkan penmnumnBernoulli antara suatu titik pada permukaan air dan suatu titik di sebelab hilir nosel.
29
dengan tl"'knnan atmosfir lokaJ sebagai damn tekanan, pl=p2 =0. Dengan datum ketinggian melalui titik 2, z2 = 0, zl = H. kecepatan pOOapermukaan reservoar adalah (pr~kti8)uol; maka: O+O+H=(v~2I2g+0+0
,dimana:
V2 = 8,86 III/S Yang m~nY3takanbahwa: k~cepatan aliran keluar sarna dengan kecepataJlj3tuh bebas dari permukaan reservOaf. ( dikenal dengan dalil TOITicelli). (b) Dcbit Q sarna dengan hasil kaJi kecepatan keluar dari luas aliran,
30
BAB V ANALISA DIMENSIONAL
5.1 Pendabuluan Beberapa persoalan yang dijumpai dalam mekanika fluida telah dipecahakan dengan menganalisa persoalan yang sudah diformulasikan secara matematis. Dalam soal yang demikian, baik variabel yang berpengaruh maupun hubungan antara variabel tersebut telab diketahui. Seringkali formulasi demikian diperoleh dengan menggunakan anggapan penyederhanaan. Untuk memperhitungkao efek yang diabaikan, dalam pendekatan selanjutnya digunakan koefisien yang ditentukan secara eksperimental. Hal ini seringkali merupakan eara penyelesaian yang praktis, karena penyelesaian persamaan yang memperhitungkan efek yang diabaikan tadi sangal rumit dan sukar dipecahkan. Sebagai contoh , persamaan Navier-stokes pada umumnya tidak dapat dipecahkan secara kwantitatif. kecuali untuk beberapa hal yang sederhana Cara lain yang dapat digunakan sebagai penyelesaian pendekatan diperoleh dengan mencoba menentukan secara umwn bagaimana koefisien yang dapat ditetapkan secara eksperimental tersebut bergantung pada variabel yang mempengaruhi persoalan. Cara demikian ini, yang akan diuraikan lebih lanjut dalam boo illi dan dikenal sebagai analisa dimensional, dipergunakan bila variabel yang mempengaruhi suatu gejala fisik diketahui, akan tetapi hubungan antara masing-masing belum diketabui. a. variabcl fisik yang ditinjau, yang timbul akibat gerak benda daJam fluida atau sebaJiknya, misalnya gaya, tegangan geser, dan sebagainya. b. Variabel geometri benda saluran atau kedua-duanya, seperti ukuran panjang, bentuk, dan sebagainya. c. Variabel yang menyangkut gerak benda dalam fluida atau sebalikny~ misalnya kecepatan V, pereepatan a dan sebagainya. d. Variabel yang menyatakan sifid fluida, misalnya massajenis 0, tekanan p, viskositas M-tegangan permukaall
0, dan sebagainya.
,
31
e. Variabel yang menyatakan sifat bend~ misaJnya massa jenis m, modulus elastisitas E, dan sebagainya. (dalam mekanika fluida, variabel ini umumnya dapat diabaikan; daJam persoalan aeroelastisitas atau hydroelastisitas, variabel perlu diperhatikan). Dengan analisa dimensional, gejaJa fisik dapat diformulasikan sebagai hubungan antara variabel yang berpengaruh ini, yang telah dikelompokkan dalam serangkaian kelompok bilangan yang tak berdimcnsi. j~mLah kelompok bilangan yang tak berdimensi ini janh lebih sedikit dari jumlah variabel yang semuja. Carn ini sangat berguna dalam metoda analisa persoalan secara eksperimental, terutama karena jumlah eksperimen yang harus dilakukan dapat.diperkeciJ, dan eksperimennya s~ndiri dapat lebih disederhanakan. Sebagai contoh, tinjau persoalan yang dibadapi untuk menentukan gaya tahanau D dari su8tu bola berdiameter d dan. yang permukaannya licin yang bergerak dengan kecepatan V, di dalam fluida viskos yang illkompresibel. Variabel geometri benda adalah d, variabel gerak benda adalah V, variabel yang menyatnkan sifat fluida adalah p dan Jl. sedangkan besarm.1isik yang ditinjau ad~8h gaya tahRIlanD. perlu diperhatikan, bahwa langkah pertama yang penting di sini adalah pengenalan variabel yang berpengaruh ini, dan dengan berdasarlC'dnpada analisn, observasi dan anggapan penyederhanaan, jumlah variabel yang diperhitungkan hanyalah variabel yang penting saja. F'
~
J
~v2 ~/Yl
~
F
PIJ.It
pberubah-ubah Plte1aP
~~y:
r:~f~:~
PIP-;r D
V'-~
YJy
~
/ // .
2Yl
'Plp.."
-~YI
. FI_~:'PIDPI
(:rftrnt'f1r5. J . J) digarnbnrkan sebagai fungsi dar.j d I.Intukbermacarn-rnaca!1'l n!!ai V, untuk tinp killi nihi pdan ~ yang tetup.
Setelah variabel-vaiabel inidikenali, gaya tahanan D dapat dituliskan sebagai fungsi dari variabel-variabel tersebut, yaitu : F(D, d, V, p, Jl.) = 0 Atau D = f{d, V,p,J.1)
...5.1 5.2
Di mana F(~~ V, p, Jl.)= 0 dan f{~ V, p, J.1)menyatakan fungsi dari d, V, p, Jl.yang masih belum diketahui.
32 Untuk mengetahui hubungan 5.2 (atau5.I) SCC3J1i eksperimentiJ diperlukan waKtu yang cukup lama. Karena setiap kali hanya satu variabel di dalam tanda kurung yang diperbolehkan untuk diubah-ubah. Contoh dari prosedar demikian ditunjukkan dalam gambar 5.1
11'2= PVD J.l.
Galnbar 5.2. Grafik suatu kcsperimen dimana 1t} diukur untuk belmacam-macam v:3I";abe1 v, d, p atau
1t'2(1t2 merupakan
1-1.)
Dapat dilihat bahwa percobaan yang dilaksanakan secara ini memerlukan penggunaan bola dengan berbagai diameter, dan beberapa jenis fluida dengan massa jenis dan viskositas yang berbeda-beda. Percob8HOyang demikian 8angat memakan aktu dan biaya. Dengan analisa dimensiooil dapat ditunjukkan adanya hubuogan antara dua kelompok bilangan tak berdimensi sebagai berikut:
yang menyatakan bahwa
D
( pV
'2
d
'2
)
merupakan soatu fungsi dari
pVd
( ),
seperti
)J
diperlihatkan padagambar 5.2 sebagai suatu kurva. Jelas bahwa basil yang digambarkan pada gambar 5.2 diperoleh dengan eksperimen yang lebih sedemana, Jebih murah dan lebih pendek Disini J.l1diukllr untuk bermacam-macam nilai ~. Sedangkan ~ dapat diubah hanya deogan mengubahsalah satu variabel p, V, d atau J.lyang temp. Kurva di atas dapat diperoJeh dengan menggunakan windtunnel, di mana 1t2dapat diubah dengan hanya meogubah V (kecepatan angin), dan D diukur.
33 Prosedur pemiliban kombinasi dari beberapa variabel yang terdapat dalam suatu persoa1an sehingga berkelompok metYadi bilangan tak berdimensi disebut ana1isa dimensionil.
5.2. Kelompok tanpa dimensi Variabel atau besaran fisik dinyatakan dengan dimensi yang dpat dituliskan daJam beberapa dimensi dasar. Sebagai contoh, kecepatan secara dimensionil dinyatakan oleh hubungan dimensi (V)
= (L) I
(t). Beberapa variabel dapat dikelompokkan sedemikian
sehingga tidak berdimensi, dan kelompok tanpa dimensi. Sebagai contoh, 'besaran pVdlJ.l tidak berdimensi. karena :
Yang berarti bahwa pVd/J! tidak berdimel1si. Besaran ini kita kenalsebagai bilangan Reynolds, salah satu kelompok tanpa dimensi yang penting dalam mekanikafluida. 5.3. Hukum keseragaman dimensi Suatu persamaan dikatakan memiliki kescragaman dimensi bita persamaaan tersebut tidak tergantung pada
satuan pengukuran das~.
bentuk Hukum
keseragaman dimensi menyatakan bahwa suatu persamaan uang diturunkan secara analitik dan yang menyatakan suatu geja1aflsik hams b~rlaku semua untuk sistim satuan. Sebagain cOlltoh.persamaan uDtukperioda aYUDanBuatubandul sederhana, yaitu T = 2 1t'" Ug, berlaku untuk tiap sistim satuan, misalnya apakah L diukur da1am fee~ meter, atau mil, dan t diukur da1am meDit, hari atau detik. Jadi I')ersamaan tersebut memiliki keseragaman dimensi dan dapat dikatakan menyatakun gejala fisik. Hukum tersebut dapat diselami mengingat bahwa gejala alami berlangsung tanpa dipengaruhi oleh satuan yang dibuat secara sembarang oleh manusia, dan karena itu persamaan yang menjelaskan gejala demikian harns berlaku untuk segala sisten satuan, jadi harns memiliki ke~eragaman dimensi. Dari asas keseragaman dimensi iui dapat disimpulkan bahwa suatu persamaan yang berbentuk : x = a + b + c
akan seJ"888DI secara dimensionil hanya bita x, ~ b,
34 C.....memilild dimensi yang sama. Hokum ini sangat bel"lDan&atuntuk memeriksa, apakah suatu persamaan yang menyatakan gejala fisik dan yang diturunkan secara analitik. sudah benar dan lengkap. Seperti contoh dibawah ini : X = yz;v,f + a3f2
Agar persamaan diatas memiliki keseragaman dimensi, persamaan tersebut harnSberlaku untuk semua sistim satuan. Agar demildan perubahan skala tiap suku hams sama bila sistem satuannya diubah. Jadi, bila satuan suku yzv/- dikalikan dua dalam sistim satuan yang baru, balyang sama barus terjadi pula pada x ~an a3f2.Untuk itu tiap Buku dalam persamaan diatas harns mempunyai dimensi yang sama. Sebagai contoh lain, dari pengamatan diperoIeh hukum Newton kedua yang menyatakan bahwa F = ma dengan dimensi m (M) dan a (LT -2); di sini keseragaman dimensi digunakan uotuk melldefinisikansuatu dimensi yang bw"U,yaitu dimem;igaya F. 5.4. Teorema PI dari ButkiDcham Bila persamaan yang berlaku uotuk suatu soal tidak diketahui, diperluktm suatu cara lain dalam penggunaan analisa dimensional. Pada awalnya, perIu diketahui atau diduga, variable bebas yang menentukau kalakuan dari variable independen yang ingin kita ketahui. Ini biasanya dapat kita peroleh dengan logika atau institusi yang tumbuh dari pengalaman terdahulu dengan soal yang semps, tetapi tidak ada jaminan bahwa semua besaran yang penting telah disertakan. Rayleigh pertama kali menggunakan metode ini dan hukum aljabar untuk menggabungkan variable yang banyak dalam suatu soal di dalam sustu kelompok yang tak berdimensi. Untuk menentukan kelompok tak berdimensi ini. Bucldngham mengusulkan 8uatu teorema yang dikenal sebagai teorema-pi, yang secara dinyatakan sebagai berikut : Bita ada n besaran fisik yang penting dan m dimensi dasar, maleaterdapat suatu biJangan n maksimun (r) yang menyatakan jumlah besaran ini yang diantara mereka seudiri tidak dapat membentuk kelmpok talcberdimensi. dimana r ~ n2. Maka dengan menggabungkan secara berturut-turut satu dari besaran yang selebinhnya dengan r besaran tadi, dapat dibentuk i kelompok tak berdimensi, d,imanai = n-f. Kelompok tak berdimellsi yang dibelltuk ini disebut suku-sukll 1t dan dikenali dengan simbol 1t1.1t2 ".i1tl
35 Ada dua eara pellyelesaian yang dapat diikuti, yaitu cara Rayleigh dan cara Buckingham.
a. Metode Rayleigh: Misalkan diinginkan untuk menyatakall suatu variable yang penting, ai, sebagai fungsi dari ariable bebas lainnya, a2, a3,.... . .. . ... ... an, dalam bentuk : <X.I= tl «1.2, <1..3,
atoo
..
u"())
f(al, a2,
... ... ... . ..5.3a ...5.3b
u..,J= 0
PerS8I1laan sehmjutnya yang diinginkan berbelltuk : ...Jtl ) = 0
01 ( Jtl ,Jt2 ,
5.4a
atoo
... . .. . . . . .. . . . .
5.4b
Akau telapi diatl<j:I,~ap baltwa ada m dimensi dasar, clanjumlah kelompok tak berdimensi I := n-Ill.
tJntuk menentukan suku-suku Jt dalam persamaan 5.4,anggap bahwa persamaan 5.3 dapat dillyatakan sebagai pel~umlahalldari sejumlah deret ukur clari variabel tersebut, jadi: A
) Oilr~ ""2 a2
u + B v..t b I . . . ""f1 .
0111
n bn ""2 b2 . . . VIda
=0
Di mana A,B . . . dan seterusnya adalah koefisien tanpa dimensi dan aI, a2 . . . an, bl . . . bn. . . adalah eksponen. Persamaan di atas ni dapat ditulis sebagai : l+(B/A)
eL]bl.31eL2b2-a2 ... an bn_an+ ..
=0
Agar azaz keseraganlall dimensi dipenuhi, sernua suku dalarn persamaan yang terakhir ipni harns tak berdirnensi seperti snku Yallg pertama. Jadi keseragaman dimensi dari per-samaantersebut clapatdinyatakan dalam bentuk : I "b
LaI a 2 ".. a" x
j-= [M'
L v"t
0>
]
. . .. ... .. . .. .. .. . ... .. .. . .. .. ..
5.5
ini benu1i bahwa bila tiap-tiap variable yang dinyatakan dengan dimensinya dan dipangkatkan dengan suatu bilangan tertentu saling diperkalikan dan menghasilkan dirnensi nol, maka hubungan fungsional demikian mt:nyatakan gejala fisik yang benar. dan kelmpok tak berdimensi dapat diperoleh.
36
Prosedur yang terperinci akan dijelaskan dengan contoh berikut. misaInya penurunw tekanwl. A P. sepanjang suatu pipa diketahui pergantung pOOa pmYang pipa, S diameternya, d, massa jenis fluida yang mengaIir dalam pipa, p, kecepatannya fluida
Y
dan viskositas fluids, J.1. , jadi : Ap = n ( S, d, p, V, ~t) atau
f( Ap, S, d. P. V. I-l) = 0
dalam belltuk dimensional dapat dituliskan :
teorema-pi menyatakan bahwa bita n = 6, m = 3. maIm1.- 3,jadi ada tiga kelompoktak berdimensi (1t). Dari 8Z8S keseragaman dimensi dgpat disimpulkan bahW8 kerlaku persamaan berikut : untuk M : a + d + 1 = 0
( a)
untuk L : -a + b = c - 3d + e = ()
.
untuk t : -2a - e - 1 = 0
(b) ( c)
persamaan ini menghasilkan ( karena asa 5 anu dWl3 persamaall ). d= a- 1 e=2a-1
c = -b - 1 jadi dapat dituliskan Aba Sb d -b-l p-a-l J.1.= [MoL°to]
bila suku-suku dengan pangkat yang sarna dikelompokkan, diperoleh :
[(",,:,'H~)'(.~d)] [M.L.r.] ~
..5.6
Tiap suku dalani persarnaan 3.5. tidak berdimensi, jadi merupakan suku -1t. Bentuk fungsionil yang berlaku D.p
01
(
atau
:
!~
pV2'd'pVd
D.p _ 0
pV ~ -
=0
...5.7a
)
8 J1 ( d ' pVd )
... . .. . .. . .. . ... .. . .. . ... .. . ... ..5. 7b
37
Jadi disini
1f 1
S
_ f::..n - -2:..pVd'
1! 2
= d
P 1! 3
= pVd
Pertu diperhatikan babwa, walaupun teorema-pi menyatakan jumlah suku pi (1t) yang minimum untuk menerangkan hubungan fisik, pasangam ini tidak unik. Pasangan suku pi yang lain juga mungkin, dan dapat meqjelaskan hubunganfisik yang berlaku; waJaupun mungkin kw-angbermanfaal Jumlah kombinasi N dari suleu pi yang mungkin dibentuk dari n variable dengan m dimensi dasar dinyatakan oleb : n! N
= (m + l)(n - m - 1)
dengan n = 6 dan m = 3, makaN = 15.Diatas telah kita temukantiga suku pi (n). Untuk mencari yang lain, prosedur aljabar untuk memecahkan pasangan persamaan yang dibentuk oleh eksponen dapat diubah, akan tetapi yang lebih mudah adaJah dengan membuat kombinasdi dari suku pi yang telah diperoleh. Karena tiap 8uku pi tidak b€\Tdimensi,suku tersebut dapat dipangkatkan dan dikombinasikan dengan 8atU atau beberapa suku pi yang lain untuk membentuk suku tak berdimensi yang barn. Misalny? suku y dapat dibentuk sebagai :
km-enahanya tiga suku 1t yang independen yang diperlukan untuk menyatakan hubungan fisik, untuk itu dapat dipilih 1t1,7t2, dan 1t4atau 7t3,7t2,dan 7t4-Tetapi 7th 7t3dan 1t4tidak merupakan kombinasi yang benar karena saling bergantungan. b. Metoda Buck.iDcham Di daJam penggunaan teof'ema pi ini. menurut Buckingham attu1Ulberikut perin diperhatikan : a) Kumpulkan suatu daftar dari variable yang penting, misaJnya ada n variable ai.. ...an. persamaan 11sikyang bersangkutan dapat dinyatakan sebagai : f{ al, a2,
...<Xn)= 0
38
b) Tentukan dimensi dasar dari variable di mas. misa1nya ada m dimensi dasar. Bna semua variable di atas dapat dinyatakan da1amempatdimensi dasar, misa1nyaM, L, t dan T ( temperatur ), maka m = 4 c) Pilih basaran fisik ( variable) a sebanyak r, yang disebut sebagai besaran a primer, yang di antara mereka sendiri tidak dapat membentuk kelompok tak berdimensi. Hampir pOOasemua keadaan r = m, sehinggasuatu aturan yang berguna yangdapat diikuti daJam memilih besaran a sedemikian sehingga tiap a mengandung satu dimensi dasar setidah-tidaknya sekali. d) Tentukanjumlah suku- x yang perlu, yaitu sebanyak i = n-r. e) Tentukan suku - x dengan menyatakan hasil bagi dad besaran a yang tertinggal deng31lprodek dari a primer yang masing-masing dipangkatkan dengan eksponen yang akan ditentukan lebih ImYut.Eksponen ini dspat ditentukan dari persyaratan bahwa tiap suku 1ttidak berdimensi. Jadi untuk tisp 1tpersyaratan ini menghaSilkanr persamaan, dengan r eksponen yang barus dicari : a,+l
:
Untuk x)
[ a 1"'a 2 II,
[..yoLOtO .....
]
a,+2
:
Untuk X2
aT II.:;]
[ a/"a/,'
arb. ] ;: [MOLOtO
]
Untuk Xj
f) Pecahkan persamaan simultan di atas untuk memperoleh eksponen dari tiap suku 1t, dan dengan demikian suku-suku 1tdapat dibentuk. g) Maka
1tl = 0 (
1t2,
.1tj)
Metode ini sangan menarik karena sistimatik dan suku 1tyang diperlukan dapat langsung diperoleh dengan menggunakan persamaan yang jumlahnya benar dan tiap variable disertakan paling tidak satu kali. Manfuat dari metoda ini adalah :
f
39
1. Tiap kelompok tak berdimensi ( suku-suku 1C) dibentuk secara terpisah dan mudah drngan me.meriksadimensinya. 2. Bentuk dari suku 1Cini dapat ditetapkan sebelumnya, misa1nyabila ada variable YWlg ingin dihindari dalam pemilihan r variable yang tidak membentuk kalompak tampa dirnensi. variable ini hanya timbulsekali dalam suku n. Perlu diperhatikan pula bahwa pemilihan r variahle yang tidak dapat membentuk kalampok tampa dimensi ini dapat dilakukall dengan mudah dengan menyertakan variable dengan dimensi yang hanya muueul seka1i pada variable tersebut. Sel~iutnya bila dalam mebentuk suku 1tterdapat dua vw'iable YWlgdimensinya tepat sama, suku 1t tersebut dapat diperoleh sebagai bilangan perbandingan kedua variable tersebut. tampa dengan melaksanakan prosedur aljabar diatas ( 1t}= Sid dapat langsung diperoleh )
5.5. JUMLAB SUKU-SUK1J 7t DAN DIMENSI DASAR. jumlah suku 1t~.ng perlu untuk menyatakan hubungan fisik. dinyatakmlsebagai i = n -- r. ada dua cara ulltuk menentukan r. cara. yang paling sederhana adalah cara Van Driest, yang menyataJmnbahwa r adaJah S3ma dengan jumlah variable yang diantara meraka tidak clapat menghasilkan kelompok tampa dimensi. Karena r tidak dapat melebihi n. jumlah dirnensi dasar. maka bila
n variable tidak dapat membentuk kelompak tnk
berdirnensi. hm-usdicoba n - 1 variable. dmt seternsnya. Dalam memilib dirnensi dasar . harus dijaga agar dimensi tersebut benar saling independen. Ada kemungkinan bahwa walaupun rnisalnya M. L. dan t sernuanya diperlukan untuk menyatakan variable yang ada, dua diantaranya selalu timbul dalarn hubungan yang sarna. Sebagai contob bila M dan T sclalu timbul dalam bentuk l\fIf pada variable yang ditinjau
.
M dan T bukan
variable independen. dan kornbinasi WY yang dapat didefinisikaJ1sabaga.i dirnensi baru N. lllerupakan dilllensi dasar.jadijumlah dilllensi dasar berkurang dengan satu. Cara lain nntuk rnenentukan r adalah dengan cara laghaar. dirnana r ditetapkan sebaga.i rank dari lllatriks. Prosedurnya adalah sebagai berikut. Variable Ct.!. Ct.2.
.<X.n.
.
dituliskan pada sumbu horisontaJ dan dimensi dasar M. L. t dan seterusnya dituliskan pada snrnbu vertikal. Di bawah tiap variable dituliskan kolom mtgka yang menyatakan pangkat da!"udimensi dasar padabariable tersebut. Untuk contah diatas dapat dituliskan :
40 Ai>
M -.--. -.-- L T
I SId
q
1
I p_1_
+
~-l__~:~..t__~~._.
-2
V
f1
1
1
[1L~I 0
_
-~ -
-_ -I
0
I.~
I,
-1 -1
Matriks yang terbentuk disebut matriks dimensional, dan dinyatakan sebagai : 1
1
-1
o o
-2
1 o o
1
o
1
-3
1 -1
-1
o
-1
set31liutnyadapat diajukan pertanyaall sebagi berikut. Bita matriks ini uan dijadikan matriks bujW"sangkar ( square matrix), berapa ukuran terkecil dad matriks bqjw' sangkar tersebut yang merupakan penyederhanaan dari matriks semuta. agar determinannya tidak sanla dengan nol? Jumlab kololll atau baris dari mmriks b~jur sangkar ini merupakan rank dari malriks semula. Untuk matriks diatas, matriks bujur sangkar yang dimaksud adalah:
dengan determinan: o
1
1 -1
- 1
- 11 = 2- .::- 1
karena jumlall kolom aiau haris dari matriks bujur sangkar yang determinannya ~ 0 ini S8madenga.ntigs, malearank matriks r = 3. Dan r ini tl1P-rupakan r daJam teorema -1tdari Buckingham.
41
5.6. KELOMPOK TAK BERDIMENSI YANG PENTING DALAM MEKANIKA FLUID A.
Dalam kebanyakan gejala fluida dengan perpindahan yang dapat diabaikan, variable berikut perlu diperhatikan : 1. Tekanan fluids, p. 2. P~jang benda, L. 3. Viskositas fluids, J.L 4. Tegangan permukaan fluids, 0'. 5. Kecepatan soara dalam fluids, c. 6. Percepatan grafitasi bumi, g. 7. Masajenis fluids, p. 8. Kecepatan relatif antara fluida dan bends, V. Dari variable di atas, dengan analis8. .dimensbnal dopat diperoleh kelompok talc berdimensi atau parameter keserupaan berikut :
1. Rey
=
pVd
-bilangan Reynolds.
}J
2. Fr
=
-v2
-bilanganFroude
-v
-bilanganMach
Lg
3. M
=
4. W
=
c
pv2r CT
.5. Eo =
p pv2
-bilangan Weber - bilangan
Euler.
Kelima bilangan ini dapat ditw1Jnkandengan menggunakan teorema-pi dan metoda Buckinghamdari ke delapanvariable di atas; dan merupakanparameterkeserupaanyang salingindependen.
42
5.7. PENURUNAN PARAMETER KESERPAAN (KELOMPOK TAK BERDIMENSI) DARI PERSAMAAN DASAR. Supaya f:ederhana,kita akan perhatikan fIuida yang inkompresibel. Persamaan kontinUltasnyaada1ah: au a~. Ow ... ... .. ..5.9 -+-+-=0 ax ay Oz clankita perhatikan salah satl! komponen persamaan Navierstokes, yang menyatakan suku grafitasi :
Di samping persamaan deferensial, syarat batas barns pula ditetapkan untuk melengkapi persyaratan pen;oalan : Duajanis syarat batas yang penting adalah : (a)
Kecepatan fluida pada semua permukaan ditetapkan ( diketahui )
(b)
Kecepatan fIuida pada sebagian permukaan ditetapkan sedangkan permukaan yang lain adalah pennukaan bebas, dimana tekanannya ditetapkan, walaupun kedudukan eksak dari pennukaan tidak di tetapkan.
Aliran melalui suatu tabung venturi atoo disekitar suatu silinder merupakan contob dari syarat batas yang pertama sedangkan aliran air di dalam saluran yang terbuka dengan pennukaan bebas adalah contoh dari syarat batas yang kedua. Secara simbolis, jenis syarat batas yang pertama dapat dinyatakan sebagai :
padaf(
Xb,Yb,Zb) = 0
. . .. . ... .. . .. . .. . .. . .. . .. ..5.11
di manaf( Xb.Yb,Zb) = 0 adalah persamaan yang mendefinisikan kedudukan permukaan batas. Untuk syarat batas jenis kedua. spesifikasi dari pennukaan batas dengan benda padat dapat dinyatakan seperti di atas. Untuk bagian permukaan batas, dengan mengabaikan tegangan permukaan, dapat dituliskan: P = Pbpada F ( Xf.Yr,Zf) = 0 Di mana fungsi F mula tidak diketahui:
43
DaJam mengubaJl persamaan 5.9 dan 5.10 menjOOituk berdimensi. perlu dipiJih besaran karakteristik atan patokan untuk tiap veriable. Untuk itu kita gunakan Uo sebagai kecepatan patokan. 10sebagai panjang patokan. dan Po sebagai tekanan patokan. Untuk waldu kita gunakan IJuo sebagai waldu patokan. Besaran patokan ini dapat dipilih sesuka kita, tetapi harns merupakan besaran teTtentu dalam 80al yang bersangkutan. Misalnya, untuk aJirdIl didaJam tabung Venturi, diameter penampang yang tersempit dapat digunakan sebagai patokan dan seterusnya. SelanjutnySlkitaukur tiap variable dalam besaran patokan yang sesuai dan dengan demikian didefinisikan variable tampa dimensi berikut dengan tanda *:
u = uo u* v
= 110 v*
x
=
loX*
t = IJuo.t* P
= PoP*,dan sebagainya.
Persamaan kontinuitas dari Navier-stokes menjadi :
au. + a". + aw. _ 0 ax.
oy"
5.12
Oz.-
dan au" au" -+u-+v-+w-= at" Ox.
au" 0'''
au. Oz.
5.13.
demikian pula syarat-syarat batas menjOOi:
clan
u*
=
lib*
v*
=
Vb*
w*
--
Wb*
p*
=
Pb*
padaf( Xb*.Yb*,Zb*)= 0
. . .. .... ... ... ... .. . ..5.14
pOOaF (Xf*, Yr*, Zf*) = 0
yang terakhir ini berlaku bila pOOapennukaan bebas, dan bila tegangan dapat diabaikan .
44
dapat kita lihat bahwa dengan anaJisa semacam ini ditemukan tiga keJomok tak berdimensi atau parameter keserupaan :
~.8. KRSERUPAAN (SIMILITUDE) keserupaan daJam pengerti8ll yang umum berarti indikasi adanya keadaan tertentu yang diketahui antara dua fenomena. Dalam mekanika fluida hubungan ini merupakan hubungan aJiran sesuangguhnya dengan aJirao yang menyangkut model yang batasbatasnya sempaseeara geometris tetapi lebih keeil ukurannya.walaupun demikian [perlu dijeJaskan, bahwa dalam mekanika fluida berlakupula hukum keserupaan untuk aliran dengan batas yang tidak serupa. MisaJnya, ada hubungan kesempaan antara aJimn subsunik kompressibel ( M < 1) sekitas suatu benda dengan aliran inkompresibel sekitar benda yang kedua yang bentuknya serupa dengan benda peertama yang diseformasikan menurut eara tertentu, dan ini dikebnaJ sebagai atW11D kesempaan Gotherl Demikian pula daJam hidrologi diperlukan suatu modeJ dari sungai-sungai yang pandangan atasnya sempa, tetapi dalamnya tidak serupa. Selanjutnya akan dibahas aliran seC8rageometris. Dua alimn yang mempunyai garis arus yang sempa disebut aliran yang serupa secara kinematis. Karena batas benda merupakan garis arns, tentunya aliran yang sempa kinematis h8ll18pula sempa secara geometris. Akan tetapi hal sebaliknya belum tentu benar, seperti ditunjukkan dalam gambar 5.3. disim digambarkan garis &rUSsekitar benda yang berbentuk belah ketupak dalam aJiran dua dimensi. Gambar a. menutriukkan aliran subsonik, M
45' Gambar 5.3. Garis arus sekitar benda berbentuk belah ketupat 2 Dimensi
Selanjutnya dua aliran dikatakan serupa secara dinarnis, bila distribusi gaya pada kedua aJiran adoJah sedemikian, sehingga pada titik yang berkorespondensi, gaya yang sejkenis ( misalnya gaya geser, tekanan, dan sebagainya) saling sejajar. dan memunyai peroaodingan yang sarna dengao pada pasangan tink yang berkorenspondensi Jainnya. Sehuyutny~ angka perbandingan inl juga sarna untuk jenis gaya yang lain. Karena gaya seperti gaya angkat dan tahanan untuk skala sebenamya biasanya diramalkan dengan mengukur ygaya. yang serupa pada model-model yang lebih keci~, jelaslan mengapa keserupaan dinamis sanga! penting daIanl pengujian. Akan ditunjukkan bahwa keserupaan dinamis mensyaratkan dipenuhinya keserupaan kinematik, clan syarat bahwa distribusi massa adalah sedemikian sehingga. pcrbandingan maaa jenis pOOatitik dalam aliran yang berkt>prespondensi mempunyai harga yang sarna pada setiap pas~mgtitik. Atiran yang memenuhi syarat yang terakbir ini disebut aliran distribusi masa yang serupa. Syarat keserupaan kinematis berarti babwa kecepatan dan percepatan pOOa titik yang berkorespondensi. adalah sejtYlr clan perbanclinganbesar harga mutlaknyaadalab kOllstan.Aliran yang serupa secara kinematis dan mempunyai distribus masa yang serupa, dari hukum newton, juga mempunyai gaya resultan yang perbandingan harga mutlaknya sarna untuk titik
yang saling
berkorespondensi. Selain itu pada tink yang berkorespondensi juga sej~ar. JOOialiran yang serupa secara kinematis dan distribusi masanya serupa memenuhi syarat kesempaan. 5.9. ANALISA KESERUP AAN DENGAN MENGGUNAKAN
PERSAMAAN
DASAR.
Kita perhatikan sekarang dua soal yang menyangkut aliran f1uida inkopresibel. yang syarat batasnya sarna bila dinyatakan dengan bilangan tak berdimensi. Misalnya kedua soal ini adalal1aliran disekitar dua ailinder. yang satu lebih besar dari yang lain, srayat batas menyatakan bahwa kecepatan pada permukaan silinder" sarna dengan nol dan kecepatan pada takl terbingga adaklah tetap dan sarna dengan kecepatan fluida bila silinder tidal
46
diameter sHinder sebagai panjang patokan, dan tekanan s~agnasi sebagai tekananpatokan. Bila syarat batasnyajuga dinyatakan dalam besaran tak berdimensi, terlihat bahwa keduaduanya sarna. Dengan demikian pemecahan kedua soal ini, bila dinyatakan dengan bilangan tak berdimensi, temyata akan sarna bila persamaan diferensialnya juga sarna. Bila kita perhatikan persamaan yang berlaku, terlihat bahwa persamaan kontinuitas dengan sendirinya memenuhi syarat tersebut, sedangkan persamaan Navier-Stokes akan sarna untuk kedua hal di atas ini hila ketiga paramet~r : po/pu,,2, v/uolo dan g l./u02 mempunyai harga yang samadalam kedua soal diatas. Bita demikian kedua soal di atas dapat dikatakan sempa"secara dinarnis, disamping secara geometris (konggruen). Pemecahal1 untuk soal Y311gpertama, misalnya dapat diperoleh secara eksperimen, dan hasil ~ksperimen ini akan berlaku untuk aliran di sekitar silinder yang kedua. Sekarang kita periksa secara lebih mendalam ketiga parameter yang timbul dalam persamaan Navier-Stokes. Bilangan
po/put/ menyangkut hasil bagi antara tekanan
patokall dengan tinggi kecepatan yang didasarkan pada kecepatan patokan. Dengan menganalisa parameter ini secara fisik dan bukan matematis, kita lihat bahwa hasil bagi ini hanya berarti bila tekanan absolut dari alinm mempunyai arti yang penting, yaitu bila hanya absolut dari po penting. Dalam banyak soal, harga absolut dari p tidak mempengaruhi besaran pu/ (atau ~ pU02),dan yang t.erakhirini dapat diambil sebagai ukuran tekanan, dan bukan po. Deng311demikian jumlah besaran patokan dapat dikurangi dan parameter pI puo2 del1gan demikian menjadi berharga satu (atau
1/2)
clan tidak perlu dibitung sebagai
parameter yang tersendiri. Kedua, karena harga absolut dari tekanan tidak mempengamhi aliran, tekanan dapat diukur terhadap tiap patokan yang. memudahkan analisa. Misalnya, tekanan pada permukaan bebas dapat digunakan sebagai tekanan patokan, schingga haerga relatif dari tekanan pada. permukaan tersebnt ada1ah nol. Da1anl 80aJ di mana. penyederhanaan yang demikian mungkin, jumlah parameter ada dua.,yaitu u IUoLodan gl./uo2. Penyederbanaan yang demikian tidak selalu mungkiu. Dalam beberapa alirall, tckanan pada titik tertentu menjadi sangat rendah sehingga mencapai tckanan uap dari cairan sehingga terbentuk kavitasi uap, suatu geja1a yang disebnt kavitasi. Da1ama1iran
47
d€'mikianharga absolut dari tekanan merupakan fakt"f y:mgpenting. kar€'natekanan yang tinggi akan mencegah kavitasi. POOasuatu titik sil~der, tekanannya adaIah poo.uo2 . Tekanan (Poo_uo 2) mungkin sarna dengan uap air. Dalam contob semacarn ini, parameter po /puo merupakan suatu faktor yang penting. Karena itu dalam BOalsemacarn tekanan diukur relatifterhadap tekanan uap. Jadi :
-
po = poo Pv sehingga Po ~1~-PUn karena
_ POI>- P, 1.1 2 72pU"
l,;.:iPU 0 2 mempunyai arti khusus, parameter yang sering digunakan adalah : /2
Po _ Pro - p, ,I,{pu() 2 - MpUo 2
yang dikenalsebagai bilangan Euler, Eu. kedua parameter lain OOaJah-2-
uolo
dan
~ Uo
; yang lebib dikenaJ adaJah nol / v, yaitu
bilangan Reynolds, Re, clan bilangan Froude
Fr
=
Uo
. Bila bilangan Euler dapat
gso
diabaik8ll, maka bilangan Froude clan bilangan Reynolds merupakan parameter yang menentukan karakteristik aliran. Ini berarti bahwa bila dua aJiran mempunyai bilangan Reynolds yang sarna dan bilangan Froude yang sarna, uraian kedua aliran ini daJam besaran tak berdimensi akan sarna, asalkan syarai batas ( tak berdimensi ) dari kedua persoalan inijuga sarna. Sekarang kita perbatikan satu jenis soal mana penyederhanaan yang lebih lanjut dapat dilakukan. Misainya aliran cairan tampa pennukaan bebas di daJam suatu pipa. Fluida dianggap inkompresibel clanbilangan Euler dianggap tidak penting untuk soal ini. Bila fluida di daJampipa tidak mengaJir, maka berlaku :
48 Yang dapat diperoleh dari persmnaan Navier-Stokes. Subskrip r digunakan di sini untuk menunjukkan bahwa tekanan yang bersangkutan ditemui bila fluida tidak mengalir. Dengan menggunakan persamaan di atas dari persamaan Navier-Stokes diperoleh:
dimana Pn = P - Proclandisebuttekanannon gravitasi. Di sini dapatdilihat bahwa suku gravitasi dan bilangan Froude dapat dihilangkan dari persmnaan garak. Selanjutnya kita periksa syarat batasnya. Bila b-yarat batas ini termasuk jenis yang kecepatannya ditentukan pada batas yang tetop dalam ruang. maka syarnt batas ini tidak berubah dengan adanya substitusi tekanan sebenamya dengan tekanan non gravitasi. Demikian pula persamaan kontinuitas tidak dipengarubi oleb substitusi dua persamRRndiferensial dan syarat batas dalam bentuk tak berdimensi yaitu bilangan Reynolds. Untuk soal seperti illi. syarat untuk keserupaan dinamis adaIah bahwa bilangan Reynotdsnya sarna besar. Aliran semacam ini banyak dijumpai dalmn mesin fluid&. serak benda di miara pada kecepatan rendah dan sel?againya. Sekarang kita perhatikan satu jenis soal di mana dijumpai permukaan bebas, yaitu pennukaan batas yang bentuknya tergantung pOOa gerak. Dengan demikian konsep tekanan non gravitasi talcdapat menghasilkan penyederbanaan, karena pr harns diperoleh untuk bentuk permmukaan bebas yang terjadi sewaktu fluida mengalir. Bentuk permukaan ini harns ditentukan dari persamaan dinamik lengkap yang penyertakan efek gravitasi. Karana itu suku gravitasi tidak dapat dihilangkan dari persamaan dasar, dan bilangan Froude harus diperhatikan sebagai parameter terpisah. Hal scmacam ini tcrjadi misalnya pada a1iranmela1uisa1urmtterbuka, perambatan ombak dan aJiran disekitar akpa1. Sebagai ringkasan, dopat kita katakan bahwa keserupaan dinanlis dari aliran fluida yang tidak kompresibel yang dipengaruhi ole}}gravitasi clanviskositas umumnya ditentukan olah tiga parameter, yaitu bilangan Euler (Foo - Py) /lh PUo2.bilangan Froude UoIv g10dan bilangan Reynolds UoIJv
.
Bila gravitasi tidalc penting. bilangan Eulel" dopat diabaik~
sehingga bilangan
Reynolds menlpakan parameter yang penting untuk keserupaan dinamis.
49 Untuk aljran dengmrpermukaan bebas. baik bi1anganReynolds maupun bi1anganFroude harns diperhatikan. Disamping bilangan tak berdimensi yang disebutlcandi mas yang penting daJam alirantak
kompresibel. masih ada beberapa bilangan tak berdimensi yang penting,
misaJoyabila efek kompresibilitas. eleldromagnetik dan sebagainya perlu di perbatikan. 5.10. ARTI FISIK DARI PARAMETER KESERUPAAN YANG PENTING
1. Bilangan Reynolds: Perl>andinganantaragaya inersia terbadap gaya gesekan 2. Bilangan Mach: Perbandingan antara akar dari gaya inersia terhadap akar gaya akibat kompresibilitas fluida 3. Bilangan Fronde: Perbandingan aIltara gaya inersia terhadap gaya akibat gravitasi 4. Bilangan Weber: Perl>andingan antara gaya ioersia temadap tegangan pennukaan 5. Bilangan Euler: Perl>andioganantara gaya tekanan terhadap gaya ioersia
50
BAB VI ALIRAN DALAM PIPA 6.1. Pendahuillan
Pada umumuya aliran fluida dapat dibedakan atas (1) aliran dalam saluran, yaitu aliran yang dibatasi oleh permukaan-permukasn keras, dan (2) a1iransekitar benda, yang dikelilingi oleh fluida yang sel~jutnya tidak terbatas. Pebedaan demikian hanyalah untuk memudahkall peni1liauan saja, karena gejaIa dasar dan kelakuam fluida berlal..'UpOOa kedua keadaan tersebut. Aliran melaJui pipa dipilih untuk mewakiJi bentuk penampang lain karena dilapangan secara garis besar dapat kita jumpai dalam aplikasi lapangall. 6.2. Aliran l.aminer dan aliran Turbulen. Koefisicn gesek untuk pipa silinder merupakan fungsi dad Re (bilangan Reynolds). Kenyataan ini ditunjang oleh hasil-hasil eksperimen. Diagram fterhadap Re untuk pipa-pipa silinder ini memu!iukkankarakter yang dernikian (lihat gambar 6-1): f
--
pada bilangan Reynolds yang rendah f berkurang dengan bertambahnya Re sebagai kebalikan harganya.
Re Gambar 6. 1 . hubungan antara koefisien gese(f) dan angka Reynold (Re)
Sedang<1kandi sekitar hcu'gaRe yang tertentu (sekitar 30(0)terdapat pembalmn harga f, yaitu yang IIlrnllnjllkkanketergantul1ganfpOOaRe yang h.:bihkeei!. Ontuk menyelidiki sebab perubahan tersebut perlu kita periksa alirannya secara hUlj?,snng.Unluk tujuan illi kita rellcanakan suatu eksperimen dengan mengalirkall air mclalui suafu pipa yang transparan. Bilangan Reynoidsnya dapat diubah-uabah dcngan mengnbah laju aJiran maS3. Untuk membuat aliran lerlihat, kita dapat menyuntikkan cairan \V~U"lla scpaI1iculgtengab-tengah pipa seperti tcrlihaf pada gambar 6.2.Untuk
51 mudahnya akan kita anggap bahwa aJirnndiamati pOOasuatu kedudukan yang cukup jauh dari penampang masuk pipa sedemikian sehingga prot1l kecepatan tidak berubah dengan jarak. AHran demikian dikatakan telah mencapai kesetimbangan, atau sudah 'berkembang penuh»(atau 'tunak').
.- ."- .-.
-.
--
-.-.
Gambar 6.2. Penyunt.ikan zat Wa(I1ake dalam pipa untuk. menentukan apakap a\iran laminer stau turbulen
Bilakita mulai dengan l~u aJiran masa yang kecil, maka terlihat bahwa a1irnnL.at wama akan meugikuti suatu gans lW11syang jelas yang sejajar dengall 8umbu pipa. Goresan zat wama tetap lurus pada waldu laju aJirnn seeara perlahan-Iahan diperbcsar. Akan tetapj, setelah laju aJiran masa.melebihi suatu harga tortentu, seeara tiba-tiba.garisgaris yang tegas aka.n hilang dan zat wama akan menyebar secara seraganl pOOaselwllh pipa. Eksperimen ini pertama ka1i dilakukan oJeh Osborne-Reynolds, dan ditunjukkannya bahwa OOadua modus yang mungkin pOOaa1iran mela1ui pipa. Da1am modus yang pertama partikel-partikel fluida (air) mengikuti garis lurns yang sejnjar dengan pipa,' akran tetapi dalam modus yang kedua tiap partikel fluida rupanya mengikuti suatu lintasan yang sebarang di seluruh pip&,hanya gerakan rata-ratanya yang mengikuti sumbu pipa. Modus pertama disebut aliran IamineI', sed8l1gkan modus yang kedua turbulen. Transisi dari aliran laminer ke .a1iranurbulen tentunya merupakan fungsi dari bilangan Reynolds dan bukan hanya pada kecepatan saja, yang dapat dituqjukkan dengan eksperimen. MaJaban traosisi terjadi pada bilangan Reynolds yang bersangkutan dengan teljadinya penambahan koefisien gesek secara tiba-tiba clankarena itu perubahan modus aliran ini dapat dianggap sebagai sebab efek tersebut Transisi terjadi karena di atas bilangan reynolds yang ter1entu a1iran lanliner menjadi tidak stabit, bila suatu gangguan keeil diberikan pada aliran. Pengaruh gangguan ini makin membesar dengan bertambabnya waktu. Suatu aliran dikatakan stabil bila gangguan-gangguan diredamkan. Temyata bahwa di bawah bilangan Reynolds yang
52
t('rtentu aJiran pipa yang laminer bersifat stabil untuk tiap gangguan yang kecil dan karena itu tetap laminer.Bila bilangan Reynolds diperbesar, aliran pipa laminer menjadi tidal<stabil bila ada gangguan yang ti-ekwensinya tertentu dan akhimya untuk setiap gangguan kecil. Parla bilangan Reynolds yang tinggi ini gangguan-gallgguan tumbuh dan berinteraksi satu sama lain yang mengakibatkan gerakan fluktuasi yang sebarang yang memberikan ciri pada aliran turbulen. Karena Iransisi tergantung pada ganguan-gangguan yang dapat berasal dari luar (karena getaran misalnya ) atau karena kekasaran permukaan pipa, fr.msisi tersebut clapat terjadi dalam snafu selang biJangan Reynolds. DaJam eksperimen-eksperimen yang diatur secara ha1i-hati.aliran laminer dalam pipa yang liill dapat diusabakan hillgga bilangan Reynolds 2000 sampai 3000. Di bawab Re
= 2000 aliran benar-benar bersifat
stabil da
seialu laminer. Batas atas yang eksak dari hingga harga Re yang masih memungkillkan terjadinya alirnn laminar belum diketahui. dan aliran laminer dengan Re sampai 40.000 telah diamati dalam 8uasana istimewa. Alifan tw-bulcn dan turbulensi tidak terbatas pads alirall dalanl pipa saja,tetapi juga terjadi pada aliran-aliran melalui permukaan atan benda-benda. MaJaban turbulensi dapat teIjadi pada tiap jenis aliran asalkan bilangan Reynolds-nya cukup tinggi. Tubulensi juga merupakan ciri dari beberapa aliran yang dijumpai sehari-hari. Sebagai contoh, atmosfir hampir selalu ada dalam keadaan hJrbulen. Jelaslab bahwa aliran tw-bulen tidak dapat dipandang sebagai aJiran yang benarbenat stationer; selanjutnya lintasan aliran dari bagian-bagian fluida tertentu tidak dapat diramalkan seem"a a. priori, walaupun untuk syarat batas geometris yang paling sedehanapun. Paling baik harga rata-rata terhadap wal1u dan aJiran dapat dianggap stasioner. clan arab rata-rata dari aliran dapat ditentukan. Bila kita menyederhanakan persamaan Navier-Stokes, dengan menganggap aliran yang benar-benar stasioner atau dengan menentukan lintasan aliran dari partikel-pm"tikelflnida secara a priori~ maim dellga selldirillya kita telah membatasi tinjauan kita pada aJiran lanliner.
53
6.3
DISTRmUSI TEGANGAN GESER DALAM PIPA BIRPENAMPANG LINGKARAN.
Kita akan menganalisa aHran dalam pipa bulat (berpenampang lingkaran), dan pertama-tama akan mellUfuukanpersamaan yang umum yang menghubungkan tegangan geser , penurunan t~kanan dan jari-jari, dan tidak menggunakan persamaan Navier-Stokes secara langsung. Untuk ini, kita perhatikan suatu bagian dari pipa bulat dengan penampang tetap, yang mengalirkan fluids dengan massa jenis yang tetap. Akan kita anggap babwa alinm telah mencapai kesetimbangan (jadi telah berkembang penuh) daD karena itu gradien tekanannya telah mencapai harga yang kostan.panjang pipa 1clanjarijari pipa r. sedangkan beda tekanan sepaqiang I besamya Ap (lihat gambar 6.3)
Gambar 6.3. disbibusi tegangan geser dalam pipe
Tekanan pada tiap penampang bersifat seragam karena pipanya lw'us dan karena itu aJiran rata-rata arahnya mengikuti garis-garis sej~ar sumbu pipa. Untuk silinder keeil yang tergambar dengan garis potus-putus, syarat kesetimbangan gaya-gaya menghasilkan:
Ap. 1t~ =- 2 1tr t 1
6-1
di mana t tegangan geser pada koHt silinder yang bersangkutan. Bila rcJari-jari pip~ maka 6.1. menjadi :
Ap. 1tr~
= 21troto I
(6-2)
Dapat dilihat dari 6.1 dan6.2 babwa: r
(6-3)
T''='T'o'ro
yang menyatakan bahwa tegangan geser harns berubah secara tinier dengan jari-jari. Tegangan geser dinding 'to tentu ada hubungannya dengan koefisien gesek £koefisien
gesek didefmisikan sebagai :6p
= f.!-2 pv 'l.1_d
(6-4)
54
Jadi, dari 6.2 dan 6.4 : i r 1 2 I 2.. -:=J .- pv .-. 0
ro
2
1
1 zpv
(6-5)
d
atau To = 4.J
6.4
2
(6-6)
JAIU-.TAR! HIDRAUI,IK
Untuk saluran dengan penampang yang buka lingkaran, hubungan antura tekanan dengan teganAangeser dapat dinyatakan sebag'cU:
P A- (p + dp) A + to S d x = 0
(6-7)
di mana s adalm. parameter (keliIiugpenampang). sehingga diperoleh :
.."
::
~.Ap $
(6-8)
l
di mana I panjang pipa. Untuk pipa berpenampang lingkaran, dari persamaan 6.2 dan 6.4 dapat digabungkan menjadi :
To = t.p ro. 21
(6-9a)
:: f .~Pv2 4 2
(6-9b)
atan
r = 4.<> 1
(6-9c)
__pv2[ 2
Jadi bila harga eksperimental 'toatan f diketahni. maka besaran yang lain dapat dihitnng. Deugau cara yang serupa, nntnk saluran betpenampang bnkan lingkaran. dapat diturunkan.
55
bp
= f.
;It
4A
PV2
2
Suku 4 Als menggantikan d, dan disebut drmeter ekivalen, de.Als adalah hasil b38i luas penarnpang aliran dengan perimeter yang terbasahi dan disebut radius (jari-jari) hidraulik, rhoUntuk saJnran dengan penampang tidak beraturan, digunakan diameter ekivalende di tempat d, demikian pula unluk perhilungan bilangan Reynolds. Untuk empat persegi panjang, dengan sisi-sisi a dan b, de = 4 ab/2(a+b) = 2 ab/(a+b). wtuk annulus dengan diameter dalam d1dan diameter IU8l"d2, de
= n (d - d 12)/1,( ~
d 2 + d 1)
=d2 -
d 1.
Berdasarkan definisi diameter ekivalen di atas, maka untuk saluran yang tidak sepenuhnya'diaJirif1uida,
maka s hanyalah mencakup sebagian perimeter saja, yaitu
yang berselltuhan del1ganfluids, dan adanya permukaan bebas tidak diperhitungkan. Konsep diameter ini temyata sangat berguna untuk mengorelasikan sifat-sifat saJuran ya.n,gtidak berpenampa11glingkarang. Ada bcberapa penyimpa.ngan, terutama pada saluran-saluran dengan sudut-sudut yang t~am, karena a.daQyaaliran sekunder yang cuknp berarti dan menyebabkan kemgia.n-kemgianta.n1bahanpads nliran turbulen. 6.5
ALmAN LAl\fINER STASIONER DALAM PIPA. Ulltuk aliran laminer, eksperimen ReY110ldsmenwljukkan bahwa tiap partikel
bergerak sepanjang garis lurns yang sejajar dengan sumbu pipa. Persamaan geraknya d.'1patdisederhanakan sekaJi, d~U1dapat ditunjukkan bahwa tegangan gesemya sarna dengal1: du ~ ::
Jl
-d7
(6-7)
Dari persamaan ini yang menyatakan hubungan antarn gaya-gaya geser dengan .profil kecepatsll untuk aJiran lamiller dalumpipa, dan dari 6.i diperoleh :
dll -=-r dr
Ap
21p
(6-8)
56
persamaan ini berlaku terbatas pada aJiran laminer karena mencakup anggapanbahwa aliran bersifat stationer dan bahwa garis-garis ants merupakan garis-garis lurus yang sejsY3fdengan sumbu.setelah integrasi diperoleh : 2
Ap
= Zip
u
~
2
+ konstan
(6-9)
kecepatan fluida pada dinding pipa (r = ro), sarnadengan kecepatandinding, yaitl1nol, karena syarat tidak OOanyapergeseran (no slip). Konstanta integrasillya dengan demikiall dapat"dihitung sehingga : ...(6-10) Tanda negatif di depan Ap menUl~iukkanbahwa hanya bila tekanan pOOadaerah hulu (leiriOlebih besar dari hilir (kanan), fluida mengalir ke arab hilir (kanan). Persamaan di atas menyatakan pula bahwa untuk alinui laminer daJam pip~ distribusi kecepatannya bersif8t parabolik. Contoh di atas ini menunjukkan, bagaimana dengan syarat umum kesetimbangRD,dan hukum tegangan geser, prpfil kecepatan dapat ditentukan. Dengan menggunakan persamaan 7.10, I~u massa pipa dapat dihitung. yaitu :
Q
= I~u2"rrdr
=-
6.p n.r~4
81J,t
(6-11)
sedangkan kecepatan rata-ratanya : (6-12) yangtemyata
sarna dengan setengah harga kecepatan maksimun yang terjadi pOOa
tengah-tengah pipa. Persarnaan 6.12-dapat disusun kembali dalam bentuk: D.p= hI.g p
57
= 64l£.
~
pvd.~ . 2 64 1'2 l -. ----F:e 2 d
.. ...(6-13)
Persamaall yang terakhir ini dapa1 diballdiugkan dengan pers3m3an untuk kell.lgiall gc::.:ck~m di dalam pipa. Untuk kasus khusus alinmlaminer, terlihat ballwa:
l
v2
:: -J-= d 2
64 y2
__0Re 2
l
(6-14) d
:ltau: 64 Jr _ _. -Re
.. ...(6-15)
yang menunjukkan bahwa f merupakan fungsi sederhana dari bilangan Reynolds. Eksperimen menunjukkan persamaan dengan hasil Idi atas. Aliran laminer dengan profil kecepatan parabolik dalam tabung silindrik ini dikenaJ sebagai aJiran PoiseuiUe atau aliran Hagen-Poiseuille. Periu ditekankan bahwa distribusi kecepatan (persamaan 6.10) \
dapat diperoleh dengan integrasi persamaan Navier-Stokes sec9J1llangsung. 6.6. Atiran turbute~ melalui pipa lidn; basiJ...hasiieksperimen.
Untuk menentukan profit kecepatan turbulrn di dalam pipu. kelihatannya sangat logis hil1lkitn melaknknn 1ma.lisayang sempa clenganalinm huniner. T~tapi 3naJisa yang demikian tidak alum berlmsil km"ellaaliranlak lagi stasioner da'llintasan partikel-partikel t1uida sangat seharang, yang Inengakibatkan tidak mungkinnya peramalan gans-gans ami::!.
Akan tetapi ada beberapa hal yang sepintas laJu dapat dikatakan dalam menganalisa dish'ihusi kecepatannya. Harga rata-rata. clari kecepatan (terhadap waletu) hm'us searah dengan sumbu pipa, profil kecepata.l1rata-rata harus simetrik terhadap
58
sumbupjp~ dan pada dinding pipa kecepatan fluida hw"usnol. karena syarat tidak adanya pergeseran. Bentuk mnurn dari profit kecepatan ditunjukkan pada gambar 6.4.
A B
-. -. -. -. -.-
Gambar 6.4 Benlk umurn profil kecepatan
Eksperimen Rynolds menmyukkan bahwa dalam aliran turbulm, elernen-elemen fluida.(yangjauh lebih besar dari satu molekul) bergerak sep31yangpipa secara sebarang. Bila suatu partikel fluida bergerak tegak lurus pada arab kecepatan rata-rata (misalnya dari A kc B daIam gambar 6.4). ia bergerak dad daerah yang momentum rata-ratanya dalmn arab x yang lebih rendah ke daerah yang momentum (dalam arab x) rata-ratanya ~ebihtinggi. Oleh kan~n3ifu partikel tersebut akan mengadakwl gaya tahanan pada fluida di 8ekitar B. demikian pula, bila suatu partikel bergerak menjauhi 8umbu pipa, ia ak.an mempercepat fluida di sekitm.tempat bam yang didudukinya. Gaya-gaya ini merupakan hasil dari gernk lintang turbulen dari partikel-partikel fluida dan merupakan sebab dari geser (gaya geser nyata) dalam tluida. Dapat kita ingat bahwa gaya~gaya viskos dalam gas semplUl13dapat dijelasakan berdasarkan gerak molekuler yang sebarang; yaitu bahwa gaya-gaya gt'ser diha~ilkan oleh transfer momentum oleh gerak termal dari molekulmolekul. Gejala yang s~ienis ter:iadidalam gerak turbulen. tetapi dalam skala yang lebih besar. Dapst kita mengerti bahwa persoalan aIiran turbulen dalam pipa akan bersifat kompleks. Harga-harga koefisien gesek yang digunakan dalwll penggunaan teknik s~b8gjan b~sar bersifat ernpirik, nkan tetapi dengail menggunakan analisa diperoleh penjelas~Ul-pellielasanyang memuaskan tentang kecenderungan-kecenderungan yang diamati. Lebih dahulu akan dibatasi data ek~perimental1jntukpipa liein. Analisa teoritis akau menyusu1. Sela1~jutnya akan dibicarakan persoalan pipa-pipa kasar Yang dimaksudkan dengan pipa licin adaIah pipa-pipa denga:1permukaan seperti gelas, plastik
59
atuu logam yaJ1gdihaluskan. Pipa-pipa kasar m~.ncakuppipa-pipa lain seperti pipa-pipa baja, pipa-pipa besi dan pipa-pipa beton. Korelasi tentang koefisien gesek dalam 8li~
turbulen pertama-tama diajukan
oleh Blasius (1911), dengaD melakukan survei secara
kritis pada data dan
menfonuulasikan persamaan empirik berikut : 0,36 f=
Rl~ 114
YC1J1g berlakl1untuk pipa licin sampai bilangan Reynofcis 10 3. Dapat dilihat bahwa faktor ge.Rek dalam aliran turbulen berubah lebih pelan dengflll bilangan Reynolds dibanding dellp,an pada aliran lamincr. Bila dimlAA3pbahwa pada Re
= 2300 baik
maupun turbulen dapat terjadi, maka untuk aliran lamip-erf
64IRe .
~
aliran laminer
6-6..Turbulensi dan tegangan Reynolds Tw.bulensi adalah gerak p3J1ikel fluida yang sebarang dan fak teratur, baik mcnurut waJdu maupun ruang."Tak teratur" berarti bahwa gerak tersebut tak dapat ditentukan flecarajelas sedangkan"sebarang "(random) berarti walupun tak teratur) harga stalistik dari berbagai besaran dapat ditentukall. Turbulensi dibangkitkan oleh gaya-gaya viskos dan oleh gerakan lapisan .fluida yang berdampingall pada kecepa1anyang berbeda. Suatu gerak turbulen cenderung untuk tcredam bjla tidak ada sumber energi luar. Sebagai contoh, bila. suatu jaring kawat diletakkan di dalam terowongan angin, ulakan-ulakan yang bersekala agak besar akan t~rbentuk dibelak:mg kawat-kaw:Jt terscbut. Ulakan-ulakan ini saling berinteraksi, dan berdi~ipasi
mel'undi uiakun-ulukull yang Ie-bih kecil, smnpai akhirnya disipasi 1111
berlall~sulIg akiba1 elek viskos lIIw"ni (juili bcrsekala molekuler). Oleh karena itu turbulensi ml;'ncakupk~lompokpmtikel-partikel fluida. Terdapat bcberapa kendalabila kita mencoba menyelesaik311secara analitik d3l'i a1irnn tw-bulen, hal ini discbabkan karena alirnn tersebut bersifat sebarang dan tidak Rtationer. Meskipull demikj8J) pemecahan tersebut dnpat didekati den,gan persamaan Navier-Stokes. Persamaan ini mencakup aliran turbulen, dan karena itu masih dapat diterapkan. Untuk rnernlliai analisa vektor, kecepatatl di dalam alirnn tlu.bulen kita
60
bedakan atas kornponen mta-rata (atau bulk), dan komponen kecepatan sekunder yang berfluktuasi yang disuperposisikan
pada yang pertama. Komponen sekunder ini
bersangkutan dengan gemk tal
W=w+w'
Dimana u ,v
w adalah kompouen rata-rata dan u', y' clan w' adalah komponen-
kompollcn 11ukturn;i. IJerJu.diperhatiklUl bahwa daJam aJiran tw'buien satu dimensi daJam arah XI walaupun,v
dan, w s~m1adongan nol, y' dan w' bclum tentu DOl.Sclanjutnya
sital fluida sepl~11itckanan dan maSSH jcnis juga memiliki komponen sesaat p dan p, dell,",ankomponen fluktllHsi p' elmlp'. PengukunUl kecl~patan fluicla yang bedl uktum:Jiini memcrlukan alat khusus, ya.itu anemometer J:awat pana.';, Y1mgmempunyai komponcn ntama kawat balns ( diameter .10-..jsampai .5x 10..4 inei). Kawat ini dipanaskan
dengan
alirall lis(rik stationer, clan laha1l31lnya diukur. Tahanan seballding dengall temperatw' ka\.vat, yang selanjutnya t('rgantung pada k~e~patan aJiran fluida melaJni kawat tersebut. KureJla kapasitas termiknya yang rendab, kawat terseLut bersifat saugat peka. terbadap fluktuasi k0ccpatan yang cukup kedl dari aliran turbnlen. Isyarat yang keluar dari ft.llometerkawat paml8 ini dapat. ditUJ~ukkan pada gambar berikut ini.
61
"
t I
u
\I
-----Garnbar; 6-5 : Ouktusi aliran lI.;;-DIJlen
62
BAR VII LAPISAN BA T AS
o 7.1. KonsepLapisan batas Lapisan batas (boundary layer) mempaksn suafu kons~p untuk aliran yang terhambat, pertama kati diperkenalkall oleh Prandtl dalam thun 1904. Lapisan batas dava! dianalisa pada bagialJ pipa dekat masuk, dimana profil kecepat~nya masih berkembang dengan jarak dari penampang masuk. Disini pola alirallnya bukan merupakan pola aliran yang setimbang aiau tckcmbang ponuh. Hal ini dapat dijumpai pada suatu tangki aL'W rf;!s~rvojr,profit kecepata pada awaj penampang pipa akan terbentuk seragHID,dan fluida mengalir ke arab bilir dan mengalcuni pel1.lbahanprofit kecepatall sampai gaya-gaya gesekan teJah memperlambat fluida di dekat dinding dan profi} kecepatan akhir yang tekemballg penuh tercapai. Pada daerah masuk, fluida dekat tengah-tengah pipa tampaknya tidak dipengaruhi oleh gesekan. sedangkan fluida debt
dinding telah
dipengaruhi oleh gesekan. Daerah dima.na efek gesekan terlihat dengan jelas disebl1t lapisan batas. Scwaktu fluida ke hilir, lapisan batas ini tumbuh dan akhimya memenuhi seluOlhpips.
-.--------
.~._~
Lapisan \Jalas
panjang masukan la)
'//.
Lapisan batas --Panjang masukan-
Ih)
Gambar 7-I. Pp.Jtumbuhan lapisan batas pada pipa .a). a1iranlamincr ;b).aliran turbulen.
63
Tebal Japisan batas, tegaJlgan geser didnding setempat (1oksJ) atoo koe.fisien atau ha.mbatan setempat, dan tegangan geser rata-rata atan koeiisien gesekan rata-rata morupakan haJ yang perln diperhatikan . Tehallapisan batns dapat diekspresikan dalam sejumlah cara : 1. Dahull salah sat.udefinisi, teballapisan batas mengacu ke tebal sesungguhnya daer8h aJiran yang tertmmbat, o. 2. KecepHJaJ)U daJam lapisan batas mendekati kecepatan ants bebas Us di titi asimptot, dalam pengukuran profiI kecepatan lapis8Ubatas 0' lazim didefenisikan sebagai jarak dmi batas ke titik dimana U = 0,99 Us.
.3. Tebal perpindahano.* didetiIlisikansebagai-jarnkI b~tas ,sesnngguhnyayang barus dipindahkan agar l~u aliran sesmlggu~nyasarna dt1lJganlaju aliran fluida ideal yang melewati batas yang berpindah tersebut.
1
IS
IS
.
TJ
l (u:;- u)dv = ! (1 - ..:-)dy Us
o 111 =-
..
.
0,
Us.'
1. TebaJ momentum oi. didefinisikan sebagai jarak dari batas sesungguhnya yang sedemikian rupa sehin.;~a i1uks momentum melalui daerah lapisan batassama deogan fIuks momentum yang akan teJjadi dengan kecep~dankonstan Us melaJui kedaJaman aliran yang dikurangi dengan 6i.
8j=-:
.
6
u
u
0
u.s
11.:;
! (J- - )-dy
Jika uius diekspresikan menurut y, maka 0* dan oi dapat dikspresikan menurut o. Harga o pada gilirall11Ya, dapat ditemukall dari sebuah solusi pe"SIDUWlIl lapisan batas.
64
o 7.2. Pemecahan pendekatan untuk lapisan batas Untuk mempelajari metode pendekatan uotuk men.ghitung pertumbuhan lapisan bata<;rnclalui pelst datar dan tegangan gesemya pOOa~)ermukaan)digunakan suatu model s~df.'!rhalla) yaitu dimana kita anggap bahwa kecepataIJmencapai harga aJiran bebas yang
tepat pada .im.~tk() dari petat. Tebal lapisan batns 0 ini bembah separyang petal. Jadi
y Elemen Volume atur
x I-dx-l
Plat
Gamba!". }-2. Volume atur untuk penyelesaian pendekalan untuk aliran lapisan batas
Di luar garis batns yang menyatakan tebaJ lapisan batas, kecepatan fluida dianggap sarna dengnn k~copatnnalinm bebas U(I,dan dnlnm lnpisan batas kecepfltannynperJahan-lahan turnn <.InriU(Ipada y =0 sampai nol pada dinding. Bcrbcda dengan anaJisa yang tcrdahulu, lIraian di sisni bcrlalm baik untuk aJiran Imniner maupun turbnJen. tJntuk aJiran turbuJen, semua keCl"patan harns dianggap 8~bagaihm"sarata-ratanya terhaclapwaktu. Sebmjutnya kita tinjau suatu eJemen volume atur yang dibatasi oJeh peln!, garis batas dan dua gru-isvertikal sejarak dx. Lebar volume dapa! diambil satu-satuan. AnaJisa rrInsamelalui pcnnukaan tegak kiri : b !n
'"
f~ 1'1<.
(~,..
dan melalui permuka,,"Ultegak kanan : ~ .,1/1
m t
;;
dx:;-=c.Y:
J
J
{.IU
("t
selisih kedua aJirml ini adalah :
.Ii
dy + -- ( J pu . ax ""
, .
dv ,\'~"K
. .
65
clandari pers::unmmkontinuitas, hams menga1irdari batas atas. Alin:mmomentum dalam arab x melaJuipennukaan kiri : 5
M.
."
::.: J pu 2 I.'
dy
dan melalui pcrmukaan kanan : .M'
?NI.f,
, +
ax
a
2. (~y)dy:
= --(,J (Ill &;n .5
6
2
+ j u dy II
dan bedallya adalah : oj elx ::.:~d pu:Jdy)(b: .Jx 0
3M, --Jx
L3jll alinm momentum rtari atas : 0
..
(M.< )
ax
.5
j
II
.J'.J
f'l/JF4,Y)(-<'-x.:
kru'cna f1uida yang l1lengalir batm: atas mempunyai kecepatan Uo Dengan anggapall OIx
- t"
dx.
Hukum momentum 110tukaliran stasiooer menyatakan bahwa jumlab semua gaya yang bekcrja pada vlmue atm" pada arah -tertentu harns 8ama dengan jumlaj momentum keluar dari volme ini daJam arab yang sam~jadi
~
a ·
ax
a~; 0
~ ( pu.).dy )dx - un -
(I udy )dx
aljabar flux
:
= -.r ndJ:
atau ,
,j ". ",x
( ,.0
I TT 2 ... r ' I u '. tl U Jt . ... ..n_. ) (I 0" 0
Ii (.I '--, Y \ :::' . 0 (' .
rr 0
U
yang diperoleh setelah dilakukan pengalian dan pembagian dengan 0 di dalam tanda kurnug dan mengeluarkan 0 dari tanda illtrgral, karena 0 hanya merupakan fungsi dari x. sela1~ilJtnyaalum dianggap l>ahwaprofil kecep~an pada berbagai-bagai jarak sepmYang pelat dapat dmmmya serupa, yaitu :
66
Selama tnk ada gmdien teJmn3n sepal1jang pelat, anggapan ini cukup baik. Dengan anggapmlllil
harga integral pad a.penmmnalJ
Jadi persamaan lersebut me1tiadi: 2.
d8
0
dx.
"U a
f"
knn'"a
0 hanya
_.
f"u
HI~rllpakall limg~i (Iari x sajn.
K'onHt;.mta (1. InJlf:ih b(~Jnm diketahni.
Temyaia bahwa Ct.,yniptu : I
U
'
[( I .- -
o
)
u.
,.'"I _- v;> d (-)
--
Un un(r
kw'ang sellsitif terhadap hubun~an fUllgsionalyang teput antara ulU~ dengan y/~. Oleh knr~na itu, tinp profil pendckatau yang cukup ba.ikmCl/ghasilkanharga a. yang mcndekati harga sebenamya. Suatu profil k~cep~1t3nyang cukup baik adaJah profil kecepatan yang memenuhi syarat-syarat pada dinding dan syan\t balas. Sebagai conloh : ,n y 8111--
-=U Un
(kurva sinus)
2 cJ
dan l4.
--
=; 2
)l
0
UtJ
)ll
(parabola)
(-)
0'
CJ 7.3. LapisaDbatas la~iDer-peDyelesaiaD peDdekataD '
Untuk aliran laminer yang sejajar pel~ tegangan gesemya adalah : 'f=p-
o-u oy
tegangan geser pada dinding: d
.flu TO
tunman
= P ( ~y ) ,.0
_ U(J
-T !
~
-~
d;
y=o
}
ini dihilung deligan menggunakan profil yang sanla ya.ng kita misaIkan daIam
mf!nentukana.. Misalnya dengan df!mikian:
67
yang konstall. flehinggapersamaan me~jadi : 2
(}u
o
ciS
ex -dx
"(..To
==
!.l---Ii
.
8
yang mernpaJmll persamaan diferensial sederhana untuk ().
D€!nganx = 0 pada l~1Jngd€!panpel at) diperol€!h :
atau
Tegangau geser pada dindiug :
...0
I
(}U 0 2 fij3a
- 2 V.IRe
==
r= .V
,
clantekanan pada pel at : (
D
==
f t"odx
==
p- TT <.0:1 r;::;--ji:_-, w '---lv2pa -,:=-
o
2
~Re,
jadi
CD __ -'
D
~2 pTJ t 1
_ 2.J2Pa --
JRe t
Deugau memilih profil kecepatan yang sesuai. persamaan-persamaan di atas dapat diselesaikan dan hasilnya dapat dibandingkan dengan penyeJesaian eksak. Kegunaan metoda pelldekatan terutama terletak pada pemecahan soal-soal, dimana pel1yelesaian eksak tidak atan sukar didapat. Hasit-hasil matoda pendekatan diatas unluk aliran laminer (Jihat Schlichting) menunjukkan jawaban yang memenuhi persyaratan teknik.
68
CJ
7.4. Lapisan batas turbulen- penyelesaian pendekatan Dahun mcnghitung karakteristik lapisan batas turbulen kita dapat menggunakan
prosedur yang sempa dengan untuk a1iran laminer. Akan tetapi, ada perbedaan. Untrik aliran lamine..,kita hitung tegangan geser fluida permukaan dan gradien kecepatan duldy, d~J1unluk itu kita gunakan suatu profit kecepatan yang kita misalkan. Menerka Buatu protil yang teliti dengan gradien yang tepat adalah sukar, walaupun uutuk aliran laminer me.nghasiJkan penyclesaian yang dapat diterima. lTiltuk aJiran tprbulen dijumpai kesukaran, salah satu sebabnya adalah karena adanya sub-lapisan huniner dan transisi. Untllk memecahkan kesukaran ini akan digunakan hsil-hasiul eksperimen, yang dapat dinyataknn dengan bermacmn-:macam earn. S8tn bentuk' sebagai kelo.tYutan hasll eksperimen adalah :
dan persamaan lapisan batac;diatas setclah diintegrasikan menjadi :
dimana 00 .h. tcballapisan bata.')pada titik transisi dari Imniner ke tw'bilen. Umumnya 00 dapat diabaikan bila kita tiJ1iau daenlh aJiran yang cu\mp panjang; d(~ngan demikian dapat diabaikan, clan "
,v
l.{
Uo .
'0
:::
X ' 4,,-
iJ (__ .) /J
o = 0,058(--)
'a
a
(.) 0 4 65 (-," Re"
)
V p. r; 02
dan koefisiell gesekan untuk satu sisi : CD
= O.118(~-)!1 Ret
untuk menghitung, dapat digunakan profiJ turbulen berdasarkan hukum pangkat :
00
69
pOOadaerah yang turbulen penuh. Dengan menghitcng pt:'rbandillgan ke.dua ke.cepatan ini menjadi: I ~_::: TT ',,'
(X)1
c'5
u
yang dapat digunakan daJam: a
,'"
JI,(1 0'
untnk menghihmg
(J,.
u.,
-- --)
"0
u
Tlo
y,
d ( --- ) '8'
harga u pada ;)
>
dimana u = Do.
70
BAnvnI J-tA[\'1BATAN DAN GAYA ANGKAT 8.1 Gaya-gaya lluida pada sebaab benda dalam suatu aliran Apabila sebuah fluida yang viskous. tak agiau pennukaan
bellda yan~ tuasnya
rmngat kecil (infinitef;ima! area), gaya tekanaIJ rnempunyai arah normal terhadap bagiru1 itu sedan,f!kan .~a\la .gesenUJ viskolls .
.
I
.
sehlJar atan 1I10Jlvinggung ba~iml tl~rselm1. ~
_
...
". _..~
....
f:ompoii:;"n gya-gaya ini yang searah dengau' arah gerak benda (atan arah gcrak tluirla tf.~rha
di j!JlIIlahkall untuk keseluruhan
permukaan
benda akan
lIIengha~ilkall hambatan pro1il alau hambatan beutuk (form drag). Geloll1bang IllUllgkin j:lga terb:JlJgkilblJ di p(~rrrltlk:rafJzal eair ap<1bilaada b~~nda yang h~Q;er3k di fJt"wmukaan al<m dd:a\.
pL~rn1UkaanIlYa. Km-eua
penj~}Janu1 p'cdombang-gelombang
ters~but
1I1~~mbutuhk;Ul encrgi. mal~a hams ada gaya yang ter:iadi dalmn interaksi antara bcnda dan !lnida. fJ:lJl!hat~1Iyang h~ljmfi ~{ihal pemhangkilan
g€'lomhang ini disdmt
Immbatan
He/oman?, (...v:-\vt;> drag) . Pada alinm gas dapal lIIampal juga dikc,ml kt'julall kOlllpresi (compressIOn ~h()ck)_ ApalJila kOll1pOl1en-komponellgaya akibat t~kanau dun gest'orallVi8ko~ di chterah yang
sangat' kC'cil dimnbil dalam arah normal terhadap' 'fluida terhadap benda dan
dijumhthkalJ IIntuk kesel1l1111mnpermukaan benda, gay~ yang dihasi}kan disebnt gaya aiigbl (Iill). Pada ~~fofil,gaya angkat ini juga mcnimbulkan gaya hambata11 yang dis~but Immhatan fc.ri"duksi.
Dalam aliraIl sieadi Huida idea.l tidak viskos yang baJlyaknya tidal< t.erhingga, h;J!lY~; gaya"gaya akibal kk:man yang acla sedangkan .gaya hambatan pada umuJlUJya ':';('tw
71
~"I hi ) (' i
of» n fl) I"<> n O '1 1'1' ) L:1 V to.~!.
l 4"' ,~... ')"
.,:::-' ...
'
' ' } I tt"r ) } 1)( inll) « ! :... '.. Ild
l
I.".
'
) ] t,K..~
'
t l. d''':::I\. I' (, id '<,i '
l rl 1 iv t' } I }...(,(. l )I)
1 (.,.
tn
t"fl. l
<:!Il In a t.,...
dengall harnbalan prolil, yang ditiUlbulkan oleh teka.nan dan geserml vu::kos. Hambatan profll
l>i~:a t~ljadi
k:1r~fJa gCr::\;"'faIlvi~kos
sepemlhl!ya,
!\~kanan
8l'penuhnya,
al:111
knmbinasi kc:dmUlY,},j)alam kaSHSyang tcrakhir. gay;\ g\;'~,H;~ran vinkos memai nl-mllperml yang pi)ilting dalam IKrk:nnbang.U1 lapis<.ill batas dan dalmn penentuan
letak Wik
pemi~~I!fpJl lapiRan batas dari pp.nlll1lwnIJb~l1c1a.Ini pmla gilinmnya b~"l)eng
p(1I:;)2 Hmnbalan
=C
A
(X-I)
'2
('= coeJisjet1 hambatan
:\'"
Ina}; km'akleri:;lik
Dalam ha1 hmnbalau.u.esdum gesekan klllit., lllas kar~u
yang mcngalami gcseran. Seem."aumum hambatan yang mcliputi baik geseran kulit dan hambatan bentuk, I1mskarakteristik ada.lah luas proyeksi y~Ulgsejajar dongan arah a1iran. ~
'
Gambru' 8-1a untuk sebuah sHinder dips diproyeksikan
d~ngrul panjallg c, sumbu pendek a yang
ke garis arus clan sumbu pm~jang b yang sej~jar denga.n aliran, hms
hambatan benluk adalah He sedanQ,kan luas gava an,gkal adalah be. Karenu gava _. . .. _0 ... al1gkatol~h f1uid~:biasanya berhubungan dengrul m~rofiJ(lihat gcunbm"8.1 b), disini sudut t.~I:jang (angle
of altac:k) ('J..bennacam-maca.rn
t~rhadap antS yang
ciat:lng, Inas
karakterisiik gaya angkat seringkali adalillll11aschord, yaitu pa1~jallgde kali lebar aerofil buka.nnya luas yang !';ejajar dengan ants yang datang. Karena harga kOt~fisi(mC da}am
72
77--------
~~
, r
('odisil'll
b
h:.ullbulllil ,~T dipell,~(tl1Ihi oldl iapisau baias turhulen 'aLaI! lallliw,'f, Jib
lapi:';:lll b;:'::~: !;I/"iller, ('f Ih'rgnlllug
pada mlgka R:.~ynols alinm yang did:l~ark;1JI pad:!
kt~l'epa{lI arus b~ba~ 1\::;dan palJjall~ peJat x. jika lapisilll bata." Il1rbulen, Cf terg.antung pada angka Rcynols aliran, kd~asarml pc/a 1 clan tingkat tm-tHllcnsi ams bebHs. I
sepelii gambm" 8-2,
73
HamJ}atan tekanan (Cu):: Ilambalan ti.'kanan mumi dialami oleh alinlll yang lIlelt~\.valiscbl1ah Iwlal rata yang normal lerhadap garis CUl.lS. Gaya~gaya g;:~senUlbd
lapsan balaf\ di:,;eI,HIJ~j(\lI,g per'nlUkaan
dan 1Iil'1lI{i:.:Iigall!hi distriblJsi tebman ~,\'alaupun/.::eeil.
perrJlllb';i;
dan
b,n,k1':ri~,:lik!)
:lllgka
;dir:m !<.e).'uolds alira):
yaliS
di,!<warkfU. p~tila slI:li:. di:n~~m,;i
!H'la a!!nl!! (1;111di~:tnb!lsi !('bmHn lIIil!!1-::!lil WI d.i:,!
Iwmbat~1!l !Jlltuk ;)cbuuh pel:.;! y;mg p~lI~ia!lgnya tcr!t:ntu !wrganh!llg !"Hb IIdnlh nej.
k
'" I"" II, {,.: t IIJ .,.,:.. .~
"
t, j " U" III
. \ ('" '.(!
'
t'.,
( '...' U
~
,c.'
1 1()).
. ~
])/1... ~;'.'rt:i
IIllIng. I)ntHk harga DiL dan OA hlll!.!ga 1.0 pad a ReI'"
" 1')",., llll lt llJ-'~' t ""'" II!', lf} <~, \.\..
1;
V'I i {.
'' II.~" '''1 11}{.. ,,7"(. '
"1
I
D
l
::~
+1
o
-I
c - p - p,
, - pu~/2
(a)
,b) ~.wi'uall r:.,!al. ral.(I y,ln;;: lIonn>11 i(1lJCJ<j'.lr'anl~,: !,,,'h;J:'~,(:1) pola
Ilambat:m Kombina:~i yallg mckwali gL~::;8kart kulit dan tekau:tII ( halllbalan kuli!) A1irml yang. nwl('wati schuHh silinder lingk>tnl alall sebuah bola dapat rlimmlisH se\.'ara auali(ik meng.gmmkan ha.rga-harga p~~lIdeka(aL;(erleniu yang b~rlaku uniuk a/ircUl !am;,"'!',
Hm:iI-IJ;IHI d~~:pJ'l'im:'H IIflllIl~ :,Iiranltllb"lell
dapal
diHl'aihm
pt'rhlJnblih,m dan p~mj:'~ahmlJapj~.all balas. ( Jihat ~aJnhar 8-4).
dl~Il!~(lJ1JIll'lIgacli
h'
74
1000
. ... . . i.,
. .
). LUji..::
;i!j(J
100
r-x.:.Bola
;$.:'; !.':-;.T:
, .\.>-."..:.,.
l.) ::
.,
. t.;',!
J_bH"\,
"
".,
,"
,
/;jW'(! ',t: JU::.:-.()JJ ch:)J';:l; t ,+w...,. ,,:'
t';i
.. .:
:;,.:...
.. !.....,..
(j;iii(.tI ..).;;
.?I.-:.........
. . ".
..... .
.. .
'.
.
;
',f,$
t:',..i..'
..t", ' t...:
.;, i-;':'*('
of' t :,
.
I .. "
" ;r ,.S".. -. ,;. (. . to"'" .:..,....;....,<'' .'i .....;"...' ",,;...,J' .,..,.... . . "....... ..:':;y !''1- 'v.:..' . "'.'f""<--', . .... ': ' . . .. '. , Co 10 SilirideL .' . .-.,', . .'-' -. 8 .' ..........,..."('::' '. 4 . '. ....,. .. . . t. . . ..:..... it '.':'.': . r:, '," \ii ",.., ....:' ",:. 2 . . Silin:fer, ,.,
-
,
r--.;;:,
;
.' tSofa '!.
. ..:
0.1 .
- ......t.
, "
10' I
10.
102 R
(jalllhm.
.
Efek kekasaran ............ .1l)sl.s
atau, turbu L--' .!;":".::.;::;.:I..:;,
10'
IOJ 11,0
co=-;-
8-,1. i,:Ut'/i:-:i..'II-kodisielJ ham()a(ml
'}.:.IIIV:rI: ~iJi'I(It>,.;kllrva:? dall]
,"\..-..
...f.. .r
1I\lluk bola d~UJ sililJdcr
lillgkm'Hn i"JiniL
twwitlg sesll3i dengan penmmml1l 8-3 dan 8-4.
l'~l!r"":1ulI!lIk glTak yaup; ~;~Ulgaflambal
dalam
hal 8ililHkr.
IJll'lIcm'j CD clapat
rJigllJmk~n per~amaaJ) rlm-i N:1Vicr-~t()l\e8. (\J
:.:
.------------------------
untllk Rei.'
kllnlJlg elm" 0,5
s(ok..-:sIIJ,:'\Jg
~
.
penyeleRajan yang mirip Ilnluk hola dibuat oleh
3J.lus 1t D
...( 8-2)
Ini hl'rlaku uutuk RC'I)'"0,1. J ilea perRammUl 8. I Urul g.2 digabungkau, Reynolds ini:
didapatkall
baJl\ya uutuk reutang
CD ,. 24/ RCD
,. .(8-3)
Stokt'R jn~a IUPlllperJilmtl{'!'1iga at geseran vi~kous. OSl'l'11flK'uYl'fJlpllnmkaJl ~()IIIsi Stokes d~ngan menyel1al:an pendekahm suku~Ilku kelemimnmn (inersia) yanszc1iabajkalloleh stokeR. sehjngga Oseen men_~ha8ilkall: 2/1 3 ('c. '.'-
(11Hl~!)
Y~IO(!b~rlaku
unlllk
. . RC'jj
)
16
Rl~ -:' 1
.. .(8-,' )
7S
S('cJ:mgl:an IllItl/l::tngka Reynolds Ilingga 100. ..
24 C'.. ;) .-" . . ...
_J
(1
_I'
,.."
ReD) ,'-.
.
16
Rei)
Jib. s~"'hllaIJbola jaluh di daJam ~ua!u Huida :;.-'angbanyaknya lidak terhingga (dimensi fluida .iauh l~bih bt~sm-dibanding diam~ter. boia). gaya apung dilll gaya hmubat. pada kecepalan tcrmi nal atau kcccpatan stcady sama dcngal1 gaya gravitasi yang dialami oleh hot:'!, J"di IIntllk RCf) < ()..l hukmn RlokeR akan berlaku dan: " .
nD'
nD-'
+ 3 .~!n~ n1)
..rf' i' -:::-:
= 'fB,
___nu
6
6
Jib kccl'(wtan.iatuh liS, bend jcnis Huida yf clanbcratjenis bola 'Yfl,dall diam~t(;'r bola D diket~lmi, yiBko:-:itm;f.hJidamhdah :
l'
,c-''/''' ------------1.8U~
pl~rBmnmJ!ltlli ll!('nglwsi!kan
{8-6)
lI1C'todc yang be/ul-hetul
dlllaullk. Jika .t\uida lerdapat dalam JumJah \.vadahnya sc
mudah.untuk nlcngllkur viskositm;
yang tCfl-ala'), pcugaruh tlinding-dinding bambatan y~mg dihasilkm1 lebih tinggi
kt-,timhaugbila fI/Jida tidak terlmtas. Hila Huida tt'pat jatuh pada pusat sebuah silinder Vt'liikal b('rdiallil~kr Dc. kt~cepaiaHrelatif llujda yang bereblahan de ligan bola menill~kat,
hmnhutan jl!ga n,)f..t)ing!G:t,dan bola akan jatuh dengan kecepatan Ie-hillrendal1 dibanding di Iill~l:UII?:W 11"ida yam~ imllyak nya lidak krbalas.
Kcc~patan
dikon'k::i
fllli(:a
L'rlJ::diip
L::cqJatali
;,,:'!arallya
J) ...,'~
dalalil
tak
hasi I pen,RukuntJI Um hams h.\rbalas
lis
digunakan
j
76
1:.\'llailwlt
H,>:.' ~IKaJ1 IlwlJghasilk(1]1
s\?huah
wah~
lurLnku.
dillJaHa
at:1II ~illlHl'>f'. Pt'l'gl"Sl>I'HHtltik pisah IlIIluk almm y:urg melewati
pad:1 chwrah
h~n;d>1lt
sebll
Jin9J
IIa11lhalCliigelombaug ( \.vavlAdrag) dapat terjmii pda ~l~blmhperahu aran kapaJ berh.;yar eli /w111mkaanair, ge1ojl1bang k>rbaJ1gkifkanb:~jk di hall/an m:tllpllll eli hl1ritan. Dihulllhk~U1ener~i gmla melHmlasi hmnbalau g("~clm:Jkulj.!. Halllb~ll:m ~H'iollliJaIl.~jm;a dialami olch kaki po,)udarat pada pesawat amfibi, dati oleh kapal SChUHs~~rfahidl"Ofi)il Y~Hgt!:"r~~ndam tetapi tidak c1!knpclalamsr.hingga nH'lF:ih biflftmemlnmgki1k~!Igelombang dipennuk:.!<.Ulair. Ilmnbatan gelombang tfdak diukur secant hUJgsung, telapi diperhihmgkan sebagai hambalan sisa sesmidah semu3. hambatall yang dapat dihitung atan didnga diklU"angkan dari hambatan folaL Jadi,
lIambatau
gclombang:" hambatan
~ol~1-- hfllubatan
gcsd:an.
77 8.3. Gi1}'i1.Angl~at
Gcjala tentaug gaya angkat yang terjadi dalmn sebuah Huida ideal (tidak viskous) akiliat p0nambahHHsr.:!nmhvortt'ks bebas (sirkuI3si) di seputar sebuah silinder dalmn smiiu alinUi re;
yang mcnY'::'l1lpajsdH!ah vortl'b.: be-has
disd)e\:'dJ hmr I~pjs~mhalHR.Sebuah top spin meng~lilsill. Gaya angJ:;1t
Gerak bola
C;ambat".:';-5. Erd: hoftc'rn ~~pillp:1dasehu::!h bola yang bergcraL: dal:ml tluida 'lid:ou~:
Gaya
ai1.~kat ulltuk
i1wngaH~kat bid~Ulg HlIgkat ulTlulnnya dideft'oisilmll
de-ngan
porsmnmm:
-'
p (usr Gaya angkat.;:;; C 1;
A 2
D~ngan C1ko~fisicn gaya angkat. p (lI~i:12
tekanan dinamik MUSbl~bas.dan a hms
chord bidang a.ngkat. Bidang angkat (lifting vane) adalh bentuk-beutuk ymlg menghasitk~1IJgaya angkat, misalnya Jayang-Iayang , aprofoit, hidrofbiL dan bilah haJin,g-bHIiug.J(arena semua gaya angkat pada dasamya sama, maka cukup mempeh~jaript~lJmnenasalah satu diantanmya.
78
KilHtS B;1ling-haJing. Baling-baling adalah sl':huah bidang angkat
selain gaya angkat juga hambatan
dialami oldl scuah dem€'n kipasnya turut mcnghasilk@1 gayn dorong clan momen gaya.(pcrh:-ilikan gambm' 8-7). Jika gerak lII<~!Ubaling-baling dalam air adal::lh U~, m~ka air mcnddwli baling..baling baling-baling
yalJg temmg ,
tersl'"!butdengan kecepata11
yang sama clan sej~ar dengan poros. Jika laju gerak te-pilingkar baJing-bahng ~uhlJah tit
= (or,
dan air mel1dekati baling-baling dengankecepatan
relalif yang dihasilkan
tallgeusial lit , maka ger.~k
dinyatakan dengan gerak \iektor UR. daJam ha] ini, sueIut teljang
saHIBdengan u. , dnn :,;U(lntkipas pada radius tertenlu ad3J~h p. Gaya dorong, yang s~.i~iaI' dengan porm; untllk schuall elemen kipas sepw~i~g '~r, adahul : gaya dorong ,-~gaya ~Ulgk(ltcos U3 -(1. )... hmllbatan Sill (p
,"u.)
~= (gaY3 3ngkal
81J1O~ -(1.)
+ hamb~stan cos (13-(1.) ) r Gaya angkat
Kecepatan akibat rotasi Kecepatan akibal gerak maju
(jaya angkat ym1g diahulJi oleh aerofil d~pat dihitung ataH dinkuf socara 1angsung drum]) sebuah terowongan augin (wind tunel) alau dahun tt!roW()Ug:UJ air. Uutuk alimn t.
dua dimensi. pengukm"an dalam terowol1gan bisa dilaksmmkan ~ecara tidal< laugsung dcngan mengintegrasi tekanmt-tckanan yang diukur pada dillding-dinding h~row()ngan at an telmmuHekanan di sellJnJh pemunpang nerotoil.
bagian
UJI
79
Sdi:.;ih a!jah:u- ::nI:Jr:1 anlara
tekanmHe/:amu'
yang
umulllnya
negatjf
dj
pemlllkaaJl alas ,f()jJ (hill lekmmn.-tckanan yang umumnya po~ilif di perml1lm~U1ba\I\-'ah abn ril~;llghm:iIbm i.;dmah g~lya ndto yang normal !erharoloil. .fik:t px :!!l:1l:Jhkbmm
Px.
p~:
:I, .,
! 'p
p(H~r' I?
p\>nnukmlIl pada jara); ,,~d:lI-i I('pi rlt'P,ffi f:t~bllabcwro[oil
(
"
J:lahull ~'(>II(H:a!:!II i!li fluid:! r!imtd;:ikan tid:d: ',..i~!ww~
80
BAB.IX ALl RAN MAMP{J MAMPAT Suatu keadaan dimana terdapat perubahan
pada IDassa jenis fluid~akibat
pembahall kecepatan besar, yang menyangkut efek termodiuamika (umumnya terjadi pada gas), biasa disebut alinm mampumampat. Ikompresibel. Variabel kerapatan memegang peranan penting daJam aJiran fluida tersebut. Persamaan kontinuitas, momentum, hukum termodinamika diperlukan daJam analisis situasi aJiran fluida mampnmampat. IX.I. Gas 5cmpurna Fluida yang memenuhi persamaan p = pRT dikatakan gas sempurna (ped'eet), Dimana p adaJah tekan8n mutlak, T subu mutlak, p kerapatan, clanR konstanta gAS.Panas j~nis baik untuk volume konstan cv mapun ulltuk tekanan konstan cp sering dibubungkan dengan !constantagac;. Pada umunya panas jenis pada volume konstan, cv didefinisikan daJam bentuk persamaan: (' <3u ')
('V
dan
0=
I I\, "~:l.. r l}r
;'
ah '\
'
cp'" l,()T ),.
dimal1au adalah enel'gi dalam, h entalpi dengan ( h := \I +p/p). Karena pip 8ama dengan RT dan bagi gas sempuma 11adalah tlmgsi suhu ',saja, maIm h bergantung hanya pada s1IIni.Perbandingan panas jenis k bf:rdefimisi; k = ep/ev,atmldapa!ditulis: CIJ ::
.
Ir
R
k ,- I
k -- 1
.-:..::_-R clan C\T:: ---
81
IX.2. Kecepatan gelombang Slrira; bilangan Mach. Keeepahm suatu gangguan keeil di dalam konduit dapat ditentukan dengan menerapk~mpersamaan momentum dan persamaan kontinuitas. pVA = (p + dp)(V + dV)A dimwm A adalah IU38penampang saluran. Persamaan tersebut dapat disederhanakan menjadi ; pdV+ Vdp)
= {)
bila persamaan momentum diterapkau pada volume kendali : (di dalam garis putusputus), pA- (p+ dp)A= pVA(V + dV-V) atau : dp ==-p V dV, jika pdV dilenyapkal1di antara kedua persamaan tersebut, maIm: V2=dp /dp
~
+dv
p+dp p+dp A
p P A
Gambar. 9.1 aliran steadi di dataIll swan prosmatik dengall perubal131lkecil kecepatan. tekanan, dan kcrapatan.
Suatu gangguan keeil atau perubahan mendadak yang keeil dalam kondisi-kondisi di dalam alimll st~di lumya dapat terjadi bila di dalam konduit terdapat kecepatan khusus
V = (dp/dp)lf2 . untuk gangguanyang besar sepedi ledakanborn, dapat melintas lebih eepat daripada keeepatan suara. Persamaan untuk kecepatan suara. c=
Jf
Contoh: 1, Ka1bon tetrakholorida mempunyai modus elastisitas curahan sebesar 1.124 GPa dan kerapatan 1593 kg/m)' Berapa kecepatan suara dalam medium ini? Penyelesaian : 1.124xl09 N 1m2 = 840m Is 3 1593kg 1m
82
IX.3. G-elombang kejut Da1mllalinm satu dimcnsi satu-satunya jenis gelombang kejut yang dapat terjadi adalah gelombang kejut kompresi normal. Seperti gambar 9-2: 1
:: Va
2
-:\-- ~
!
2.______
IIIIIII
Gambar. 9-2. Gelombang kejut kompresi tegak lurus
Gelombang kejut terjadi dalam aliran isentropi~ dan mereduksi aIiran menjadi a1iran subsonik. OeJomb8l1gkejutmempllnyai
ketebaJan yang sangat kecil. yal1g berorde-
kebesanm lintasan bebas rata-rata molekular gas yang bersangkutan. Persamaan yang mengendaJikan aliran adiabatik ia1ah: kontinuita s
a
m =-::: A
P.VI = P2V2
Energt : v2 2
-L + hI
V2 = -L 2
+ hi
k = ho =-V22 + -k-lp
p
Untuk hat tanpa perubahan ketinggian, tanpa perpindahan panas, clan tanpa diJakukannya ketja. b = u + pIp = cpT iaJahentalpi,bo adaJahnilai entaJpistagnasi,yaitu uilai di reselVoar atau di tempat fluida tidak bergerak. Persamaan tersebut berlaku untuk fluida nyata baik di sebe-Iabbulu maupun di sebelah hilir suatu gelombang kejut
83
IX. 4. Aliran melalui lubang pancar.
.
Aliran gas meJaJuilubang pancar (nozzle) yang menyempit biasanya dipasok dari sebuah tangki bertekanan atau bak penampung dimana kecepatan sarna dengan 1101mau mendekati not Oleh sebab ibJ, tangki pemasok berada dalam, suatu kondisi stagnasi yang diketahui, sedangkan kecepatan, temperatm-, dan tekanan di potongan lain dalam aliran bertllrut-tm-utdiperoleh dari persamaan sbb:
v= ~2CP70(1-,~) untuk aliran isentropik .
[ 1- L YT
V =.12qJTo
(,
po)
Temperatur pada sebuah potongall dimana angka Mach M diketahui dihitung melaJui
To -- _ 1 +-t-l
M2 T 2 dan tekanan pada potonsn manaplUl kaJu3 angka Mach. diketahui po
-
=
-
k 1 1+ -M
( .
J:
2
(i-I)
)
p 2. serla kecepalan dihitung dari persarnaan I Ie -.} 2 (.H) po = 1+ -M p 2.
-
(
gas p= p RT
)
Pada poto1)gandi mana kecepatan sarna dengan laju bunyi (di leher salm-an),angka Mach sarna dengan satu dan alirannya disebut aliran kritis. Apnbiln aliran kelmU"anBonik dan tekanan di daerah penerimaan kurang dari kritis, aIiran menjadi supersonik selepas clari lubang pancar lalu terdisipasi dengall sendirinya melalui serangkaian gejala kejut yang berllrutan di luar lubang pa1!car
84 Tangki pemasok I'll To
3 (Daerah penerimaan)
Vo=0 .-
(a) Bagian leher Tangki pemasok /10 To Vo= 0
Daerah penerimaan Bagian keluaran I 2 3 p B Masukan
(h)
',J:unb3I" ~j.3, ::Jliran gas melalui
Lahar
Kaluaran
(e)
lubang pancar, (a) lubang !Janca!' tipe menyempit
(0). lAlbang pancar tipe
menyempil-m~.1ebar. (c). Tekanan sumbu dalam lubang pancar.
Distribusi tekanan terhadap 8umbu di antara bagian masukan dan Jeher lubang pancar tipe menyempit-meJebar dalam ganlbar. 9.3 C, Juga berlaku untuk lubang pancar tipe menyempit. Untuk lublmg pancar tipe menyempit-melebar (converging-diverging nozzle) gambar 9.3 (b), Hliran tidak tel:jadi bila P3 = po (=PI = P2), dan seterusnya).Ketika tekanan di daernh pent:!rimaanp3 menjadi rendall, aJiran keJuar melalui lubang pancar. dengan tekanan yang minimum dan kecepatan ~g
maksimum di bagian lehernya.
Apabila kecepatan di bagian leher sonik, laju aliran massa diperoleh dad hasil
kaJj VAp. Harga-hargakecepatnndan kernpatanbisa diperoleh untuk potongan yang ma11apullasalkan tekanan clantemperatur disitu diketahui. Contob : Udara 700kPa &uutlal<pada suhu 40°C mengalir dari sebuah tangki melalui sebuM lubang pancar tipe menyeITIJ)it yang luas keluarannya adalah 5 x 10 --4m2.Berapa teknnan keluaran, temperatur keluaran, dan laju aliran apabila tekanan di bagian penerimaai1 adalah: (a.). 500 kPamutiak dan (b). satl1atmosfir (101 kPa mutlak).
85
(a). karena t~kanall di daerah penerirnaan lebih besar dari titik kritis (700)(0,528) = 370 kPa rnutlak, aliran di keiuran lubang pancar akan susonik, dan pI = 500 kPa mutlak.
T,
= To -pi
..
.500
(.1:,1:-1
U.286
( )
= 313 700 -
'
l po J
= 284,2
K
m = V,A,PI dengan
.5x 105
--
VI
==
..12t:P I.'710 .- T l) = -
.
(287,1)(284 ,2)
I..,'
= 6,1.)..::0; m
3
:~ehmgga : rn = O,736kg I:;;
(b). 1'ekanan di da.erahpenerimaan di bawah titik kritis, karena itu tekanan keluaran kritis pada pI = 370 kPa rnntlak. Temperatur ke)uara.l11'1 = 5 To/6 itu:
VI := JkR1'1 ::: J(2)(287 ,1)(261) = 323 m Is
1= fJ
£
RT.
=
370xl03
(287,1)(261)
::
4 94 J,~'m ~
,
~.
maka, m :=VIAlpl = (323)(Sxl0-4 )(4,94) = 0,798 kgls .4,700x10-3 m ~ (0,0404)(5 x 10) . {?, 313
. = 0,798 kg/s
= 261 K ; VI
sonik, karena
<86
BAD.X 1\ I' "-.i { I TT [' T' n J' ii~l~
IWlllllnll,:lnnllg, kipa};. biower,
\.j \.} 1.'I.\)j\.i",i~
1
,\.11.T ~ r r 1 ,\." {l ! \.h..i~
(2) P('f/gl~ljall !1I~i1lk kel:ja peralalall-peraJalau baling-baliug,
dan m>rofoiL (3)studi-stlldi
sl'pvrli
pompa> turbin,
hidr()i(),~;i sdlllbun.t;'rlll d~ngan
cnn!.h !l!IiaH, draimlf;(' da:.'rah gl'mmgan air dan pernhagian St~rta1)('lIgt.'IIdaJianair dajam :.nSII!lH~dilll inc:.lsl: (II) pelll~lIllIanharga :lp~lbil
t~nla.!}g pengulmnm-pengukuran
k~cepaJ.aJl clan
Pl'lIf.jukllran h~i" ~Iiran. .Pc'ngllkllnm alir:m adalah f:('buah illl1l1yang 1I1::'mh(lhaf:koeJh:il>1I k~1"enau11Iomnya meneraplmn pt'nmmmlJl Bemoulli uni.uk ahran Z~ltCHII'dan penmm(}an 011crgi aliran st.::ady untuk aJiraii gas iscntropik (lIa.huH masing-nla.'iing kasus fluida rli~nd(ljka" lanpa gnsckan) dan kemlldian mcmh(lndinp'lwH perilakn 1Jnida s~jati (viskolJs) (itmgan i1uida ideal ~n~h.tluipembandiugan koe(iI,;ic8-kodisi~n ke.cepatan atau debit.
10-1. Pengukufan-pengukuran
kecef)atan
K~ccpatan di sebuah titik a1au discjumlah titik, pada scbuah potongan senng diperlukan untnk menggmnbarkan proiil kecepatan. Prom kecepatml bimmuya climinati da1am £tueli-studi dasar mt~ngena.ilapis3n batas atan \-vake, :ltau untuk menclapatkan kecepatan rata-rata di selunJh polongan dari integraF-1i profil kecl"'patan1.1ntuk me.nentukan l~ju aliran. Kecepatan titik adaJah Rebuah be~mranyang lmmpir tidak mungkin diukm", km-l'1J8 alat sensor manapun nwmpunyai daerrul cakupanymJg tcrbata.~.NamuIl, jika hHL,) ahran yang ditemr.>atioleh alat sensor fmngat.kecjl dibanding hm38 lotal aJinUl,kita boleh beranggapan bahwa kecepatan yang diukur rli situ pada dasarnya adalab kecepatan titik. Se:bagnj contoh, sr-hnah pen,gukur anls yang mempunyaj jangkalJan 20 em di sebuah
sungai yang besru' akan menghasilkan kecepatan titik. Laill lmlnya bila alaJ ukur ilu .berada d::dam sC'buahpipa.
87
Tahun~ Pitot Kalan s('bnah tilbung t~'rblikayang ditelmk di!i.~mpal.kanmenghadap ke arah hulu dalmn :matu aJiran z.at e:1irtL'rlmka.,zal cair akan naik dalam tahung ilu setinggi h (efek kapiler diabaik~Ul)iihar ga1l1bar10-1a. peI"smnaanBemoulli yang ditulis dari sebuah titik ,Ii fwldaJI hull! (~jllflgtabling yang ten~lIdarn~(lrnpaik(~qjung tabllug ilu s,~ndiriad31alI: 7 )
P \ '\-
+
1 p'::po
...~. .{lO-l}
J
karen:l
po = y (y1 + h). sf:'hinggak~cepatan arus (VI) rnel~jadi: ' r::;:-,-
2 (II - /.., ", ". 1 -.- _. - "'-6 11 P ~,
~
...(10-2)
bila kecepatan 3J11Sdisebnah titikdaJam pipa yang hendak diukur ( g~mbHr lO-lb) persamaan yang samajuga
herlaku. Jika tekanan statik setinggi, yl akan besar sehillgga
pembacaan tinggi piezometrik yJ dan yl + h mungkin suiit ( yl akan sckitar 61 m untuk air pada tekanan 600 kPa dahun sehuah pipa. Tabung d~lhun gambm' 10- 1b harns terhubung dengan sebuah manometer seperti dalam gmnbru- lO-le untuk sistim yang lebih baik. SeJisih antara tekanan stagnasi dan tekanan statik (aros beba'3) ada1ah :
po .-, pIc"" hm (I'm .'11) dcngan hm ada1ah det1eksi manometer, dan ym selia "ff berturut-tnrut ada1ah berat jenis 1Ilanomeh~rclan l1uida yang mengalir. Kecepa1rul arus dengH11demikian menjadi : . ..(lO-2)
Head total 8t~rat nknran tabung impact dan hnkmmnYfi hams :,;ekecil-I{I;~cilnyaagar yang diuklu' b(>tul-betul sebuah kecepaian titik
88
Qr
y,
.
0
,///////////
~'E
VI
I~
(a)
YI/HA
'/////////////////
I 1
(h)
/.iLL-. '0
,
Gmnbar 10.1 . Tabun~ pitat daiam (CJ')alira""12at.cair t.erbl.lka,(b) sebuah pipa, clan (c) st:bu:IDpip
10-2. L~jualiran zat cair dalrunpipa Berbagai cara Y~J1lgdapat digunakan mengukur lai11aliran zat call' dillmH plpa, y,mg s(~rjllg diguuakau
sepcrti disk Int.'ter dan rot<.lto meter lInluk
Tl,Iengllkurpt-mHlutian ai", Pengukunm aJinm dalam piP3 pad» prinRipnya mnmmrthatkan beda lekallHn khmmsllva pada hagi~Ulmellyempil atan meuyiku pada pipa tel:;.;ebliLAda dw! melod{~pt'nd~katan yang biasa digunakml yaitu :
1. Penggabungan p;;fsamiJanBernanlli dml persmmmnkontinuitas, AlaI ukn!" nJiran (now meter) hmgsnng yang telah
)
;;.- Amdish
Venturi
me-teT, :NoZ1.:h~meter,
dikalihrnsi
daD Orifi~~e meter.
Pcrsmnaan Bt:l11oulli dan persamaan kontilluitas yang diterapkan diautara potoogan .i d::JH2 pmla gambaI' 10-2. arlalah :
-'~?-~~.-..i
2.g
ELt- =1 -., }'
~f ~g
clan A: V t ." i\;~V 2
~ E..?:t r
z2
89
V2 :::.
dengan suku-suku da.lam ktU'ung di bawah 1~U}daakr menyatakan pernbaha.tl head piezometl'ik Vh antara potongan 1 clan 2.pernbahan head piezometrik ini boleh diukm" dengan ,o.1Oometer diferensial , dimana defleksil1ya merupakan ukuran langsung \
nntukVh tidak peduJi bagaimana inklinasinya sumbu meternya (mungkill hori~ontaJ, \
.
.
vprtikaJ,(thinmiring). Ontuk laju aliran yang idea] dapat rliekspresikansebagai : (10-3)
untukaliran steady untuk zat cair pcrsamaan energi adalab: V2)i V2;'2 a 1 + ---'-. I 1.._ + ;;;1 '-. a 2 1 . _.L I L_._ l z 2 + hI
2g
r
2g
r
.
3
--~tI (a) 2
T D
1-
.
ctP_ ---fd----~ 2
3 J
-+f
(b) 3
T
D, ...L
<:::> ......d
--t-
.
Gamber: 10-2. Meter-meter \.U1tukeliran pipe. (a) Venturi. (b) Nozz1~.(c). Orifice -,
suku-suku (al.a2 dan HL) hams diperhitungkan, ini merupakan efek-efek viskous dan kekasaran dinding. I)enyertaan koefisien aliran K pada persamaan 10-3, menghasilkan bentuk-yang sederhana untuk laju ~inm sesungguhnya Q;
90
dengan d diameter leher me:t.er., Ini ada1ahdiameterpada potongan2 untukventwi. dan nozle meter dalam gambar 10-3, dan diameter lubang sebelah hnln potong81l 2 untuk orifice meter. Harga K dapat dituHs : K = K (bentuk meter, (dID). Red) Harga-hargakoefisien dapat dilihat dalam gambar 10-3.
Gafnbar 10-3. K,)(:fisicn-koefisiCf!:)til'anpendekalrtllunluk meter-r~ti:r dalam pipa.
Sehingga~
K'"
,...:..".i.r...= (;iT; ,\ ),/2g ~h dan Hnga reynolds dopat ditnlislmn seba~~l.i:
91 10-3. h1jnaUran z.~t r..ir do;lam tangki tcrbnka at.HI s;duran terbuk.l. T ;tuf.ki terbuka. Alin1l1zaf cair dari sdnwh lubang bunda,. pada ~.jsj sebuah tangki t~rbuka diduga dt~Hgan ml~lluliskan pl~rsamaan Bemoulli dari sebuah lilik palla permukauft bebag ~.e panc:.:ran yang scmpit. dimana g31"is-garis
=1..,.
"': .: ..~J..
+ -?
Z';,;
Ah=zl
-Zl'
LJU--Zl I
Y1
. KAo
'::hurl'.-1J" I i)-:1..
Alinn melalui !':cbuah1ubang bcJ:.as
Dan:
hun alimn seslluggnhnya ad~,lall:
D~ng;:JnAo 111m:; l11b:mgp:lJ1car;.dml K ko~1i8ien atiran, yang h~rgantung p
p~mcar ko polCJuga!12>clan pada efek~dck aliran tidak idl~a.lsepcrli mgi-
rugi hea.d yang be-rRantnng pacla k€'kH8moan pcrmukaan seht'lah d~hun tangki dekat lubang serta.l~iu a1inmoUntuk Huida ideal. dan ulltuk lub~mg kecil pada tangki yang besar ditUf~ukkan balmm:
92
untuk Huida scjati, kontraksi bergantung pada kelcl.gkungan pinggiran sebelah bulu luhaJlgkr.lllaran.Barga 1ingginmh~am arlaJah~ekilm'0,62.
10.4. Lain AUrao Gas f;ubsonik dalam pipa Luju aliran gar, cJalam pipa dBpat diukur menw'ut alinm mas:;anya. Seperti uJltuk l~iu a1iran zat cmr, meter aliran ga<;hams dikahbrasi unluk pengukunm-pengulmrnn
yang
teliti. Pada gambm- :10-2. Persamaanent'!rgi persamaan isentropik
aliran steady, persmnaan kontinuitan, dan
dapat diterapkan diantara. potongan 1.dan p()longa~' 2 unluk meler
venturi dan IIJekr no;;:z.Je.PenmrmtaIl tt~rsebut.arl:tlah :
v~ '1,2 !- + hI =_.~'- + II2 'Zg 2g
.
T2
Dan :
~
=
p2
( ,Pl.
,(i-I)/k J
P atau 'pF
=k(\n~t.an
Pcnggabungan persamaan-persamaan ini menghasitkan taju aJiran massa dalam suku-suku menurut besaran-besaran pada potongan 2 dan potongan 1)
r
r::;
l
- (p2/ pI)(kool)!k m-_ A2 v2kp1 pILP2/pI) ',,/1 - (A2! .41./(p2/ p1)2fk 211<
Persmnann ini boleh ditu]iskan d~dambentuk ymlg ]ebih sederhan, dibanding untllk a1iran zat cair, dengan menyeltakan koefisien a1inmK (y~mgsarna sepe11iuntuk a1inmzat cair) dan faktor ekspansi Y. Jadi.
93 r..-----.-----... m o. KY.'\~42pl(pJ - fi2)
dimana, unluk venturi dan meter nozzle,
-
'--" (
.._~. \
(
1
[
!I
)I .J: ....
\
'-
J
\i ~
I
)
I
If-.-,
, :(~::;;J \
._'-'~
.
"/~-I
1) '. '.'.__'. Pf ...
.
,
..,( I.. . \ :j..~-
k-
-- (j::~ ! I,. P
L
II I .-
I j
...
JL
ci ~ "p 2 '1 ( p 2') 1f11- I,' ..:-: ;. 1 I
I
\ pl.
.
::--~.~..l .f \ ,; ! r
l D) .
rI!
)
(
'
.J
_. _.n..
W'
1
.1
.
[.
\, l/
'..
p
.
i,i
-' ]
Persammm iui menun.iukl
r
,/, t. I'i' '..
__
"f.,..,.\. \
\I,'I.
?
1'-
~.i
. ~
II
1'1 '-I{) I
jal.li, untuk gm.: tN-tr:Ulu(dengall k tertcntll, Y besm- harm.:lah sl."'buahlimgsi p2/pl yang unik unluk ~:eti:lpharga dlf) yang t~rknll1. Gratik nn'ak faklor ekspam:i Y clapa! dilihat dahun gambar 10-5. Si.filt.alinm yang dapa. mampat (.~oe~ungguhnyagaB memnai kehka lnel2\Vati Ichef meter) merethlksi laju aliran gas untuk kondisi awal dan pemU1man kkanan yaut; dil':0t:lhui, dibanding bila alirml cliandaikan iidak dapat m
(
,,,,', I' "p
1
1
',k
I
;',Ie-.J)
~J + 1 }
HaRd-tuiNil p~ngl~iianTIl(!mborikanfakt()r-J~iktor ekspansi sebagai berik'ui : I~."1 .. "r :.::1.. J j (I .'. "\..I .. I I.11 + II- -,,, t-,. 'I '. to. r, .. ., !
p2 pI
94
d li y
J j
0.7 p
~..I
0.6 1.0
0.9
.;.., , :.
0.8
".
0.7
Nisbah lekanan, p./PI
0.6
Daftnr Pustaka.
1. HohmUl.J.P. ;'?xpe.rime!ltal mcthodsjor EngiNeers.McGraw-Hili Book, Inc. 1984 2. Reuben M. Olso, Steven J. Wraighl Essentials of Engineering Fluid Mechanics. Harper & Row Publisher, inc. 1990 3. Robert. 1 Daugherty, ~~t.at Fluid }'1echanics.Eighth Edition. 1985 4. Victor I. Streeter, Fluid Mechanics. McGraw-Hill, Inc. 1985.
96 Lampiran 1.
,0
o
20
Suhu 40
.
QC
80
(,()
100
120"
Ix10-2 8
1 x 10 I 8
,
4
,
.1
6,1
w
-,.
4
2
"
J .....
1
2
1-10
-.4 8
,..JID
j"6
.....-..-6_.. ..._..
, 4 ,
..,.
.
2
:"T ... Air rakl8
1
i .2 !.. >1><10-51\
8
_._
t(!.;
... E
\, 4
c:
" 10" 2
X
4
E
Z .
'ca (,)
..:0 E ..
'"0
10-3 !! ..
6
....
0
..
:>
a i -=
e
b 4
'm
1 x 10"4
,:>
0
3
f.I1
"
...
...
8
...
....
.
6
1><106 8 b ...m
,4 '2
.4 3
2
HidrogeOf
1 1><10 0
£g
2
50
mrnm
100
o Suhu, ' F
150 '
-..~.200
250
~ ~~ '-' ~ ::: N 0,' 0,09, .;,
TUrbulenli
0,08 0,07
pip. k8ur 0,05
:. ....... ;'~-ill
~ . !,l.LLJ.
0,06
penuh,
0,04 0,03
".
~
-_B~:=,:;~ltT=.~~-~::~;:=~-~ t1H"~+1
,.l_ -_. J+~~::'.n_~
.~~--.
--.". ~ ,t"lfi +_:';_. :::;+.f;.;":~::4~='::;:-:: ;i;H~'~
+~!!::-
-
,,
~-'-'- --~-~
--. I:= . J
B
I
eo
r-
II.
I :
;
,.
i'.v I
e...
E.mm
B';' dik"ing
C.OO3.0.03
BOt<>" p'P8n k.Y'oI
0.001-0.01
0$-9.0 0.3<1.0 0.18-0.8
!
0.0006-0.003
8" tY8ng
0.00085
0.:5
e_i dlplb8nl a.i tuon; befjIW.Jj
0.0005 0.0004
0.15 0.12
8.,. .
bc'ti
i 'TID. db;H\!"Ig" "act,lr: tarik.1"I
0.000\5 0.000005
0.0.8 0,0015
---.---....
I :- t....._ I 0,015 ..l.Ll
i 11 I 0,01 i
-;-n' ,.
I
i
0,000.05
PIP81~ln
,,'
' ;'
I"
:0,009 0,008
';0\
10,0001
7,)01) 3 . ~
Bilengan Revnolds
"IC;
n.. ;P- satuan-utuan
Diagram Moody
;.:,
9 10'
0,000.01 1110'J
6;
1 10~
konsirten
~
98
LampiraD).
oI
&'
20 &
Suhu. 9C 40 60 I . I
80 &
100 .
1200 I
.
8 6
.
. . \1m
2
Hldrooen
4
~
to
2
E ~.
1 X 11,5 '1 8
:;c
6
... o
..
~
2
1 X 10-6 8 . 6 4
2
1 X 10-7
1~10- 0
SO
100
150
200
250
SUhu.oF &.unbar
Visltolitu Idnematik pa clan calrm tertentu. Gu bertekanan atiuu1u.
;
:;
