MASARYKOVA UNIVERZITA

MASARYKOVA UNIVERZITA Přírodovědecká fakulta

Ústav matematiky a statistiky

MATEMATIKA VE STARÉM EGYPTĚ Diplomová práce

Brno 2008 Autor: Bc. Kateřina Rábová Vedoucí práce: doc. RNDr. Eduard Fuchs, CSc.

Prohlášení Prohlašuji, ţe tato diplomová práce je mým pŧvodním autorským dílem, které jsem vypracovala samostatně. Všechny zdroje, prameny a literaturu, které jsem při vypracování pouţívala nebo z nich čerpala, v práci řádně cituji s uvedením úplného odkazu na příslušný zdroj.

Poděkování Děkuji svému vedoucímu, panu doc. RNDr. Eduardu Fuchsovi, CSc., za umoţnění psát tuto diplomovou práci. Dále za jeho odborné vedení, cenné rady a pomoc při vypracování této diplomové práce. Také chci poděkovat pracovníkŧm Českého egyptologického ústavu, kteří mě přivedli na nápad psát diplomovou práci na toto téma a za jejich ochotu se mnou vše konzultovat.

Alexandrie

Obsah Prohlášení ................................................................................................................................... 2 Poděkování ................................................................................................................................. 3 Obsah .......................................................................................................................................... 5 Úvod ........................................................................................................................................... 6 Starověký Egypt ......................................................................................................................... 7 Poloha ..................................................................................................................................... 7 Stručná historie....................................................................................................................... 7 Náboženství........................................................................................................................... 14 Architektura .......................................................................................................................... 20 Písmo a písemné památky..................................................................................................... 25 Matematika v Egyptě ................................................................................................................ 30 Dochované texty ................................................................................................................... 30 Číselný systém a zápis čísel .................................................................................................. 32 Některé matematické funkce ................................................................................................. 33 Staroegyptské jednotky délky a objemu ................................................................................ 37 Zlomky .................................................................................................................................. 38 Posloupnosti ......................................................................................................................... 45 Algebra ................................................................................................................................. 47 Shrnutí ...................................................................................................................................... 51 Literatura .................................................................................................................................. 52

Úvod Jiţ dlouhou dobu se zajímám o historii Egypta a to především o období starověku, tj. období asi 5500 př.n.l. aţ do 30 př.n.l.. A jelikoţ studuji matematiku, zvolila jsem jako téma své diplomové práce právě matematiku starověkého Egypta. Toto téma je mi totiţ velice blízké. Počátky novodobé matematiky jsou sice kladeny aţ do období starověkého Řecka, ale základní kameny matematiky a její základní pravidla byly poloţeny uţ v období starověkého Egypta. A právě Řekové při rozvoji novodobé matematiky vycházeli ze základŧ, které jiţ dávno před nimi poloţili Egypťané. Svoji práci jsem rozdělila do dvou ucelených částí. V první části nastiňuji charakteristiku doby, v níţ se základy matematiky vyvíjely. K tomu je nutné popsat zeměpisnou polohu Egypta, jeho historický vývoj, kulturní vývoj, náboţenství, vývoj písma a písemnictví a samozřejmě nesmím opomenout ani architekturu. Právě v architektuře nalézáme doklady o tom, jak vyspělá byla matematika, přesněji geometrie, Egypta, a to ve sloţitosti a dŧmyslnosti některých architektonických prvkŧ a staveb (např. nejznámějších pyramid). Pro proniknutí do tajŧ starověkého Egypta ale bylo nezbytné učinit nejdŧleţitější krok a to, rozluštit hieroglyfy a hieratické písmo, kterým se vše dŧleţité, a tedy i matematika, zapisovalo. V druhé části jsem se zaměřila jiţ na matematiku samotnou, přesněji na její algebraickou část. Tu dokumentuji na řadě příkladŧ, které se dochovaly na staroegyptských matematických papyrech do současnosti. Kaţdý z těchto příkladŧ obsahuje zadání, dále je vysvětlen postup při řešení a nakonec, jako v dnešní době, je slovně uveden výsledek.

6

Starověký Egypt Poloha Egypt se nachází v severovýchodní části Afriky s rozlohou téměř 1 000 000 km2. Jeho přirozenou hranicí je na severu Středozemní moře a na východě Rudé moře. Ve středověku se za jiţní hranici povaţovaly první nilské peřeje u dnešního Asuánu, zatímco dnešní jiţní hranice probíhá poblíţ druhého nilského kataraktu u Wádí Halfy. Západní hranicí byl řetěz oáz v Západní Libyjské poušti. Nilské katarakty byly určeny v době faraonského Egypta. V současné době není úplně jisté, kde přesně se nacházely, ale jejich přibliţná poloha je známa. První nilský katarakt se nachází jiţně od Asuánu, druhý u Wádí Halfy, třetí poblíţ dvacáté rovnoběţky, čtvrtý a pátý zhruba ve stejné poloze na osmnácté rovnoběţce a šestý několik kilometrŧ severně od Chartúmu (hlavní město Súdánu). Území, kde vznikla a po celá tisíciletí se rozvíjela staroegyptská civilizace, však tvořilo pouze úzké úrodné nilské údolí, sevřené na východě horami Východní arabské pouště a na západě rozlehlými písečnými pláněmi Západní pouště a spolu s nimi široká baţinatá nilská delta leţící mezi dnešní Káhirou a Středozemním mořem. Je zajímavé, ţe toto území zabírá pouze 4 % celkové rozlohy Egypta. Tuto oblast s úrodnou černozemí vţdy staří Egypťané nazývali Kemet neboli Černá zem. V současné době se také Egypťané drţí více v okolí úrodného údolí Nilu, jako by zdědili pověstný strach a hrŧzu svých dávných předkŧ z nebezpečné pouště, která představovala obávanou říši zla, ovládanou bohem bouří Sutechem. Významnou roli má také Fajjúmská oáza, která se nachází přibliţně 100 km jihozápadně od Káhiry. Jiţ od 3. tisíciletí před Kristem do ní začali Egypťané přivádět vodu z Nilu pomocí umělého kanálu. Svŧj zvláštní přírodní ráz získal Egypt v době přibliţně před 25 000 lety, kdy došlo k dlouhodobým změnám podnebí. Díky jarnímu tání sněhu na Etiopské vysočině a prudkým dešťŧm se veletok Nil začal pravidelně vylévat ze svých břehŧ a po dobu čtyř měsícŧ (červen – září) zaplavoval celé své údolí aţ po oblast delty a tyto záplavy s sebou přinášely tmavé úrodné bahno a hlínu, coţ vedlo k zavlaţování a zúrodňování nilských břehŧ. Pravidelná a dostatečná nilská záplava vţdy byla zárukou přeţití.

Stručná historie Celé období egyptského státu lze rozdělit do několika kratších úsekŧ. Jiţ ve 3. století před Kr. rozdělil egyptský kněz Maneth vládu panovníkŧ do 31. dynastií. Novodobí egyptologové ještě navíc rozdělili panování faraonŧ podle výraznějších rysŧ doby jejich vlády a stability státu na Předdynastickou dobu, Archaickou dobu, Starou říši, První přechodné období, Střední říši, Druhé přechodné období, Novou říši, Třetí přechodné období a Pozdní dobu. Navíc přidali Řeckou dobu, coţ je období po dobytí Egypta Alexandrem Velikým, a tato vládnoucí dynastie je brána jako 32.

7

Nejstarší egyptský stát vznikl někdy okolo 3. tisíciletí před Kr. V čele státu stál panovník – jediný ţijící bŧh na zemi. Tento panovník měl podle královského protokolu pět jmen, která definovala blíţe jeho postavení a vztah k ochranným boţstvŧm státu: 1. trŧní jméno – Král Horního a Dolního Egypta 2. Horovo jméno – faraon byl pozemským vtělením sokolího boha nebes Hora 3. Zlatý Hor – pŧvod tohoto titulu je nejasný 4. Obě paní – supice Nechbeta a kobra Vadţeta, ochranné bohyně horno- a dolnoegyptské koruny 5. Reŧv syn – panovník byl povaţován za syna slunečního boha Rea Ureus Pokud jde o označení panovníka jako faraona, jde o hebrejskou podobu egyptského slova per aa jeţ znamená „velký dŧm“ a pŧvodně značil obydlí panovníka a aţ v období 18. dynastie byl přijat jako označení pro panovníka.

Předdynastická doba (5 500 – 3 000 př. Kr.) – Jednalo se o období, kdy se teprve začal rozvíjet ţivot v okolí Nilu. Lidé pěstovali obilí, chovali dobytek a vyráběli především uţitkovou keramiku a kamenné nástroje pro zemědělství a lov. Tato doba je rozdělena do období Nakáda I – III a 0. dynastie. Nakáda se označuje podle hornoegyptské lokality Nakády, kde byla nalezena dŧleţitá rozlehlá pohřebiště, díky kterým mohli archeologové tato období rozdělit. Nejzajímavější z předdynastické doby je období Nakáda III., v níţ došlo k velkému rozmachu řemesel a umění a také se datuje vznik prvního egyptského státu. V této době byl také velký rozmach obchodních stykŧ se syropalestinskou oblastí a Sinajským poloostrovem. To vedlo k diferenciaci obyvatelstva a byl určen jeden vedoucí člověk = panovník. Díky tomu máme doloţena některá jména z tzv. 0. dynastie. Významným panovníkem byl Štír I. Do doby jeho vlády je datován vznik písma, který je doloţen souborem téměř 200 drobných štítkŧ převáţně ze slonoviny a kamene. Štítky jsou popsány z jedné strany a to většinou značkami představujícími lidské postavy, zvířata, rostliny a počítací čárky. Kaţdý štítek měl malý otvor, jímţ byl pŧvodně provlečen provázek. Pouţité značky mají prokazatelně fonetický význam. Jednou z tehdejších klíčových událostí bylo vítězství egyptského vládce Narmera nad obyvateli delty a tím k definitivnímu sjednocení země. Tato událost je znázorněna na slavné břidlicové Narmerově paletě, která slouţila k roztírání líčidel a také měla pamětní ráz. Reliéfová výzdoba na přední straně je rozvrţena do tří vodorovných pásŧ. V prostředním je zobrazen panovník a to jednou s bílou korunou Horního Egypta a podruhé s červenou Dolního Egypta, coţ jasně vyjadřuje myšlenku sjednocení obou zemí jedním vládcem. Do této doby se jih a sever rozvíjely samostatně a byl mezi nimi velký rozdíl. Narmerova paleta

8

Archaická doba (3 000 – 2 700 př. Kr.) – V této době jiţ začal egyptský stát plně politicky, hospodářsky a kulturně pŧsobit. Datuje se vláda prvních dvou dynastií. V čele jednotného egyptského státu stál panovník, jenţ byl jediným ţijícím bohem na zemi a pánem všeho a všech. Novým sídelním městem se staly Bílé zdi, dosud však nevíme jak vŧbec toto město vypadalo. V Archaické době byla celá země rozdělena do krajŧ (nomů). Jejich počet se postupně ustálil na čtyřiceti dvou. Zemi spravovali úředníci, kteří byli z okruhu panovníkovy rodiny. Panovníci si nechávali stavět dva pohřební komplexy – jeden náboţenský a druhý skutečný. Základem těchto komplexŧ byla mastaba, která byla předzvěstí stupňovitých pyramid. Významnějším panovníkem byl Meni, který je pokládán za zakladatele 1. dynastie. Meni upevnil sjednocený Egyptský stát a zaslouţil se o další rozvoj ekonomiky a hospodářství státu.

Stará říše (2 700 – 2 180 př. Kr.) – Zahrnuje vládu králŧ 3. – 6. dynastie a je povaţována za nejstabilnější období. Někdy je také nazývána Obdobím stavitelŧ pyramid díky gigantickým stavebním projektŧm, které velmi ovlivnily celé hospodářství. Sídelním městem byl Mennofer (řecky Memfis). Zakladatelem 3. dynastie byl faraon Necerichet (Dţoser). Vládl okolo 20 let a proslavil ho především jeho pyramidový komplex v Sakkáře se stupňovitou pyramidou v centru. Tato stavba vešla do dějin architektury, protoţe je to první stavba v níţ bylo pouţito ve velkém mnoţství kamene jako stavebního materiálu. Za stavitele komplexu je povaţován Dţoserŧv syn, vezír a lékař Imhotep. Je zřejmé, ţe pyramidový komplex krále Dţosera inspiroval i pozdější dynastie panovníkŧ, kteří po jeho vzoru stavěli pyramidy jako své příbytky na věčný ţivot. Jedním z nich byl také zakladatel 4. dynastie Snofru, který si nechal vystavět dokonce tři pyramidové Dţoserova pyramida komplexy – dvě v Dahšúru (Lomenou a Červenou pyramidu) a jednu v Medúmu. U prvních dvou pyramid je vidět jak postupně přechází ze stupňovité pyramidy (Červená) k hladkému jehlanovitému tvaru (Lomená). Jedním ze sedmi divŧ starověku je Chufuova pyramida v Gíze. Chufu byl synem Snofrua. Jedná se o největší z pyramid. Má jiţ tvar hladkého jehlanu. Je vystavěna z vápence a byla obloţena leštěným bílým vápencem. Ten se však nedochoval. Zbytky tohoto obloţení jsou částečně viditelné na menší z gízských pyramid, na Rachefově pyramidě. Rachef byl synem Chufua. Rachef nechal vystavět svou pyramidu na vyvýšenině a tudíţ vypadá vyšší. Do doby vlády tohoto panovníka se také datuje stavba Sfingy. Další Chufuŧv syn Menkaure si nechal postavit třetí gízskou pyramidu, která je však ze všech tří nejmenší. Za zakladatele 5. dynastie Veserkafa vrcholil v Egyptě sluneční kult boha Rea. Dŧleţité je, ţe Veserkaf si jako první z panovníkŧ nechal postavit velký sluneční chrám severně od Abúsíru. Panovníci 5. dynastie si opět stavěli velké pyramidové komplexy. Hlavní činnost v pyramidovém komplexu se soustřeďovala především na kultovní sluţbu duchu zemřelého 9

vládce. Nejednalo se pouze o přísun potravin, ale také především o rozmanité obřady související se svátky bohŧ. Svŧj pyramidový komplex si nechali panovníci Veserkaf a Venis vystavět v Sakkáře, ostatní panovníci 5. dynastie především v Abúsíru. Zdaleka ne všechny pyramidy se dochovaly v takovém stavu jako Gízské. Z některých zbyla jen nevzhledná hromádka písku a kamení. Takové jsou bohuţel také pyramidy v Abúsíru. Zakladatelem 6. dynastie byl Teti. Byl pravděpodobně zetěm Venise. Jeho Horovo jméno naznačuje, ţe snad jiţ v době jeho vlády politická a ekonomická situace v zemi byla velmi nestabilní. Jeho nástupce Pepi I. se ještě snaţil rŧznými sňatky s dcerami vlivných pánŧ upevnit situaci v zemi. Pepi II. nastoupil na trŧn v šesti letech a vládl neuvěřitelných 94 let. Za jeho vlády jiţ začali přebírat správu nomarchové. Stará říše byla velkou epochou egyptských dějin. Vznikla v ní monumentální díla stavitelského i sochařského umění. Všechno k čemu Egypťané v umění a písemnictví dospěli, bylo jejich výtvorem a objevem, coţ je neuvěřitelné.

První přechodné období (2 180 – 1 994 př. Kr.) – Jedná se o dobu vlády 7. – 11. dynastie, kdy některé dynastie vládly souběţně, protoţe Egyptský stát byl opět rozdělen na severní a jiţní část. Většinou se jednalo o panovníky, kteří vládli jen velmi krátkou dobu a nezanechali po sobě ţádné výraznější památky. V době 1. přechodného období byla dokonce otřesena i víra v posmrtný ţivot a snaha o uchování těla před rozpadem. Na konci období zahájili dŧsledný boj o znovusjednocení Egypta vládci jihoegyptského Vesetu. Z nich vzešla 11. dynastie, které se skutečně podařilo sjednotit znesvářené státy. Dŧleţitým jménem při sjednocování byl panovník Mentuhotep II.. Jeho vládou začíná období Střední říše.

Střední říše (1 994 – 1 797 př. Kr.) – Mentuhotep II. znovu obnovil nejen silný egyptský vliv v Núbii, kam podnikl nejedno válečné taţení, ale také obchodní styky s Byblem. Sídelním městem byl hornoegyptský Veset, kde se vystřídali panovníci 11. dynastie. Z Vesetu se stalo významné náboţenské město. Stavěly se tu chrámy rozličným bohŧm a také na protějším břehu v Der-el-Bahrí si nechal Mentuhotep II. vystavět svou hrobku. Mentuhotep III. ještě více upevnil politickou a hospodářskou stabilitu státu, obnovil výpravy do země Punt, ze které získávali bohaté exotické plody a také stavební materiál. Nástup 12. dynastie znamenal přesunutí sídelního města více na sever, kde zakladatel této dynastie Amenemhet I. zaloţil město Ictauej (poblíţ dnešního Lištu). Klíčovou zemědělskou oblastí se stala oáza Fajjúm. Také panovníci 12. dynastie si ještě nechávali postavit pyramidy jako věčné příbytky, ale ty jiţ nebyly stavěné z kamene, ale pouze z nepálených cihel. Období 12. dynastie je označováno jako zlatý věk egyptské literatury. V této epoše panovníci vysílali četné výpravy do vzdálených míst, jeţ měly za úkol přivést nejen drahé kameny, ale také vzácné stavební materiály. O těchto výpravách se dozvídáme ze skalních kreseb u nalezišť drahých kamenŧ. Střední říše končí vládou Amenemheta IV. a jeho sestry Sebekneferu.

10

Druhé přechodné období (1 797 – 1 543 př. Kr.) – Jde o období vlády 13. – 17. dynastie. Tyto dynastie se velmi rychle střídají a 13. dynastie má dokonce přes padesát panovníkŧ vládnoucích ne déle jak 3 roky. Jde o období nadvlády Hyksósŧ, kteří si vystavěli vlastní hlavní město v deltě Nilu. Nejsou známi nějací významnější panovníci.

Nová říše (1 543 – 1 080 př. Kr.) – Nová říše je obdobím hlavního města Vesetu a hlavně slunečního boha Amona, kterému vládci Vesetu připisují zásluhy na poraţení Hyksósŧ a opětovnému spojení Egypta v jednotný stát. Je to doba vlády 18. – 20. dynastie. Jde o zlatý věk Egypta. Amonovi byl vystavěn veliký chrám v Karnaku a kněţí se stali nejvyššími osobami po faraonovi ve státě. Veset byl označován za město ţivých, zatímco na opačném západním břehu Nilu bylo rozlehlé pohřebiště, dnes známé jako Údolí králŧ se svými skalními hrobkami a obrovskými chrámy označovanými jako paláce miliónů let. Za prvního panovníka pochovaného v Údolí králŧ je povaţován Thutmose I. Jeho vnuk Thutmose III. vytvořil z Egypta skutečnou světovou velmoc rozkládající se od Eufratu aţ po 4. nilský katarakt. Velikostí státu ho jiţ ţádný panovník nedokázal překonat Memnonovy kolosy a dokonce nedokázal ani udrţet. Významným panovníkem byl také Amenhotep III., který proslul svojí architektonickou činností. Proslulé jsou jeho dvě kolosální sochy známé jako Memnonovy kolosy, které zdobily vchod do jeho zádušního chrámu. Z řady panovníkŧ, kteří podporovali kult Amona, se vymyká syn Amenhotepa III. Achnaton (pŧvodně Amenhotep IV.). Oslabil velikou moc Amonových chrámŧ a ustanovil nového boha Atona, boha slunečního kotouče. Své sídelní město přestěhoval do Achetatonu (dnešní Tel-el-Amarna). Achnatonovou manţelkou byla krásná Nefertiti, jeţ ho v jeho vládě velmi podporovala. Za jejich nástupce Smenkarea dochází uţ k postupnému úpadku Atonova kultu a za vlády Tutanchatona Atonŧv kult zaniká. Amonovi kněţí opět přichází k moci a donutili krále změnit jméno na Tutanchamon a hlavní město se opět přesunuje do Vesetu. Tento panovník vládl 9 let a zemřel mladý, je však znám díky objevu jeho hrobky, která nebyla vykradena a obsahovala celou pohřební výbavu. Poslední panovník 18. dynastie Haremheb určil za svého nástupce velitele svých vojsk Paramesse, který zaloţil 19. dynastii a vládl pod jménem Ramesse I. Jeho vládou začalo významné období označované jako Ramessovské. Nejvýznamnějším panovníkem této doby a jistě i celého starověkého Egypta byl Ramesse II., který vládl dlouhých 67 let. Za své vlády vybudoval v deltě nové sídelní město Piramesse s velkým přístavem, který měl velký význam pro zahraniční obchod. Jeho rozsáhlá stavební činnost je citelná po celém Egyptě. Známý je jeho zádušní chrám Ramesseum, chrámy v Abú Simbelu a také největší hrobka v Údolí králŧ. Ramesse II. byl také velkým válečníkem. Nejznámější je jeho bitva s chetitským králem Muvatallišem u Kadeše, která dala vzniknout dlouholeté smlouvě mezi oběma státy o míru a která se dodrţela aţ do konce Ramessovské doby. Ramesse byl také obklopen početnou 11

královskou rodinou. Jeho hlavní manţelkou byla Nefertari, pro kterou nechal postavit menší z chrámŧ v Abú Simbelu a která je majitelkou nejkrásnější hrobky v Údolí královen. Na sklonku 19. dynastie nastala chaotická situace a vlády se na čas ujal núbijský místokrál. Byl však poraţen a za vlády 20. dynastie byl opět nastolen pořádek. Nejsilnějším panovníkem 20. dynastie byl Ramesse III., který byl ještě uznávaným i v okolních státech. Na konci 20. dynastie, za vlády Ramesse XI., vypukl v zemi neklid a hladomor. Tím končí slavná doba Nové říše a vlastně i období velkých stavitelŧ.

Třetí přechodné období (1 080 – 715 př. Kr.) – Nástupem Ramessova zetě Nesbanebdţeda začíná vláda 21. dynastie a doba 3. přechodného období. Panovníci 21. dynastie byli podle titulŧ vládci celého Egypta, ve skutečnosti však ovládali pouze deltu Nilu. Na ostatním území vládli Amonovi kněţí. Sídelním městem byl Tanis ve Východní deltě, u kterého bylo i královské pohřebiště 21. a 22. dynastie. Toto pohřebiště se výrazně lišilo od pohřebišť předchozích období. Bylo totiţ součástí chrámového komplexu, z dŧvodu nedostatku místa. Deltu totiţ kaţdoročně zalévaly záplavy a chrám byl jediným místem, kam voda nezasáhla. Hlavním rysem 3. přechodné doby byla roztříštěnost Egyptského státu na samostatné územní celky, ovládané místními vládci a kněţími.

Pozdní doba (715 – 332 př. Kr) – Od doby nástupu 25. dynastie po dobytí Egypta Alexandrem Velikým uţ Egypt není tak stabilním a velkým státem jak dříve. Do tohoto období spadá také nadvláda núbijských vládcŧ, jeţ skončila vypleněním Vesetu. V Pozdní době vyniká vláda 26. dynastie, která se někdy nazývá sajská renesance. Tito panovníci měli sídelní město v Sájích (dnešní Sá el-Hagar). Typickým znakem této doby je hledání vzoru ve staré říši. Upadá také moc Amonových kněţí. Za vlády Psammetika I. dochází opět k sjednocení Egypta a navázání obchodních vztahŧ se syropalestinou. V podobném duchu pokračoval také jeho syn Neko II. Dokázal soupeřit s rozrŧstající se Babylonskou říší a díky svým zahraničním stykŧm s Féničany ovládal moře kolem svého státu. To mu umoţnilo opět pořádat výpravy do vzdálené země Punt. Jako prvního jej také napadlo spojit Rudé moře s řekou Nil a tím urychlit lodní dopravu. V Pozdní době byl velmi rozšířen kult posvátných býkŧ Hapiŧ, načeţ upozornil objev jejich pohřebiště poblíţ Sakkáry. Do něj byly balzamovaní býci ukládáni jiţ od vlády Amenhotepa III. Do období vlády 26. dynastie spadá zaloţení Amonova chrámŧ v Sívě s jeho slavnou věštírnou, kterou navštívil také Alexandr Veliký. Posledním velkým panovníkem 26. dynastie byl Ahmose II. Přivedl stát k hospodářskému rozkvětu a dokázal uzavřít spojenectví s Řeckem a zajistit tak obranu Egyptského státu před Peršany. Perské říši však Egypt neunikl a v roce 525 př. Kr. bylo poraţeno faraonovo vojsko a chvíli na to padl i Mennofer a tím byl Egypt plně pod nadvládou Peršanŧ. V čele perského vojska stál Vedţahorresnet, jehoţ šachtový hrob objevila česká expedice v Abú Síru. Jde o neobvyklou stavbu z vápencových blokŧ, kterou v podzemí tvoří dŧmyslný systém 12

šachet. Vlastní pohřební komora obsahovala ţulový sarkofág. Do pohřební výbavy patřily také vešebty, coţ byly malé fajánsové sošky, které měly po smrti zesnulého za něj pracovat na onom světě. Po poráţce perského vojska u Marathónu v roce 490 př. Kr. se rozhořely boje o obnovu Egyptského státu. Poslední dvě egyptské dynastie 29. a 30. zakončují období egyptské samostatnosti. Po nich nastupuje 31. dynastie, která je jiţ perská a ničí v Egyptě veškeré staré památky, protoţe v Egyptě vidí svého nepřítele. V roce 333 př. Kr. dobyje Egypt Alexandr Makedonský a Egypťané v něm vidí osvoboditele od perské nadvlády. Tím také končí pozdní doba.

Vešebt

Řecká doba (332 – 30 př. Kr.) – Někdy se Řecká doba nazývá také Ptolemaiovskou, podle vlády řeckého rodu Ptolemaiovcŧ. Alexandr Veliký, aby si naklonil egyptský lid, váţil cestu do Amonova chrámu v Sívě, aby pak mohl v Mennoferu být korunován králem Dolního a Horního Egypta. Sídelním městem této doby byla Alexandrie. Alexandrie byla významnou obchodní křiţovatkou s obrovským přístavem. Známý je také maják na ostrově Faru, který byl jedním z divŧ světa. Vzdálený ostrov Faros byl s Alexandrií spojený hrází dlouhou 1,5 km. Proslulou alexandrijskou stavbou byl také Múseion, který vlastně byl takovou středověkou univerzitou. K Múseionu přiléhala známá alexandrijská knihovna, která obsahovala tisíce děl, ale bohuţel pro nás vyhořela jiţ v době vlády posledních Ptolemaiovcŧ. Mezi Ptolemaiovci je známé jméno Ptolemaia V. Epifana, a to díky Rosettské desce, díky které došlo k rozluštění hieroglyfického písma. Jde vlastně pouze o pozvánku na výročí vlády Ptolemaia V., ale tím, ţe byla psaná ve třech typech písma (hieroglyfy, démotština, řečtina) se stala významnou památkou. Za vlády posledních Ptolemaiovcŧ dochází k vnitřnímu rozvratu a vzrŧstajícímu tlaku Říma. Poslední obranu proti Římu ještě zkusila Kleopatra VII., která proslula nejen svojí krásou, ale i láskou svého lidu k ní. Jako poslední udrţela Egypt jako mocnou samostatnou říši. Díky svým diplomatickým schopnostem si dokázala podmanit Gaia Iulia Caesara a po jeho smrti také Marka Antonia. Po poráţce Marka Antonia Octaviem byl konec všem Kleopatřiným plánŧm. Nechala se uštknout posvátnou kobrou, coţ jí podle bájí umoţnilo vstup mezi bohy. Tím končí nejen řecká doba, ale i zlatá doba Egypta.

MILUJ PRAVDU, KONEJ PRAVDU. PRAVDA JE VZNEŠENÁ, VELKÁ A TRVALÉ HODNOTY. NAJDI JI, NEBOŤ MÁ BÝT ODHALENA, A UČIŇ, ABY SE ZASKVĚLA VE SVÉ VZNEŠENOSTI. ŠPATNÝ ČIN PŘÍSTAVU NEDOSÁHNE … 13

Náboženství Egyptští bohové Egypťané uctívali mnoho bohŧ. Někteří byli spojováni se stvořením světa, jiní s nilskými záplavami, další byli ochrannými bohy lidí a jiní zase ochrannými bohy zemřelých. Byla uznávána i místní boţstva zastávající nejrŧznější úkoly. Bohové v prŧběhu let vznikali a spojovali se dohromady, aby třeba později zanikli nebo se vrátili ve své pŧvodní podobě. Egyptští bohové nikdy nezapřeli svŧj přírodní pŧvod. Byli uctíváni buď ve všech nebo ve vybraných zvířatech, rostlinách, úkazech a tak také byli zobrazováni. Lidskou podobu dostali bohové poměrně pozdě a to většinou jen napŧl. Jejich sochy a obrazy jsou většinou spojením lidského těla s hlavou ptáka, lva či dokonce brouka. Prvním bohem byl bŧh Nun. Byl bohem pravodstva, z něhoţ vzešel svět. Představoval jakousi prahmotu, ze které vše vzešlo a která dala teprve vzniknout ostatním bohŧm a všemu na světě. Egypťané tomuto bohovi Nun nestavěli chrámy, byl zřídka zobrazován, obvykle však v lidské podobě, případně s ţabí hlavou. Podle heliopolské kosmologie bylo devět boţstev stvořitelŧ: Atum, Šu, Tefnut, Geb, Nut, Usir, Eset, Sutech a Nebthet. Atum – bŧh stvořitel uctívaný v Heliopoli. Je znázorňován jako brouk, pahorek či had. Mívá také lidskou podobu. Později spojován s Reem, představuje slunce jako Reatuma a souvisí se zapadajícím sluncem. Podle představ Egypťanŧ zapadlé slunce opustilo tento svět a vyšlo v říši duchŧ Atum a proto se Atum stal i ochráncem duchŧ zesnulých. Šu – je to bŧh vzduchu a světla, který tvořil se svou manţelkou Tefnut první boţskou dvojici stvořenou Atumem. Je znázorňován v lidské podobě s pštrosím perem na hlavě, často jak ve zvednutých paţích drţí bohyni nebe Nut. Tefnut Tefnut – je to bohyně vlhkosti a vody. Manţelka Šua. Šu Geb – ztělesnění země a manţel bohyně Nut. Je znázorňován v lidské podobě, někdy s královskou korunou na hlavě, jindy s husou, která značila hieroglyfický znak pro jeho jméno. Byl ochráncem před hady a štíry. Nut – zosobnění nebeské klenby, manţelka boha Geba a dcera boha Šua a bohyně Tefnut. Byla zobrazována jako ţena skloněná do oblouku nad zemí, dotýkající se nohama východního a rukama Nut západního horizontu, s tělem posetým hvězdami, nebo v podobě krávy poseté hvězdami. Často byla Geb zobrazována v královských hrobkách nebo na víkách sarkofágŧ. Časem převzala úlohu matky zemřelého.

14

Usir – bŧh pŧdy, přírody, plodnosti a vládce mrtvých. Bŧh v podobě mumie, pán záhrobí a Esetin manţel. Zplodil po své smrti, zpŧsobené jeho bratrem Sutechem, syna Hora. Je znázorňován s korunou atef, ţezlem a dŧtkami. Střediskem jeho kultu byl Abydos. Pŧvodně s ním byl ztotoţněn pouze mrtvý panovník, později jiţ kaţdý zemřelý. Eset – paní kouzel. Velmi oblíbená bohyně, manţelka a sestra boha Usira, matka Hora. Po vraţdě Usira jeho bratrem Sutechem Usir sesbírala části těla Usira a znovu z nich sestavila tělo, Eset které mumifikovala. Na její hlavě je zobrazen trŧn, s přepisem jejího jména, případně i jiné další ozdoby hlavy. Uctívání bohyně Eset se rozšířilo i do několika dalších zemí (např. Řecko, Řím). Sutech – bŧh bouří a chaotických sil. Hlavní nepřítel Hora a Usira. Usirŧv bratr a vrah zobrazovaný s lidským tělem a hlavou neidentifikovaného zvířete. Bŧh pouště, cizích zemí a moře. Dohlíţel na nadvládu Egypta v jiných zemích. Uctívaný v Horním Egyptě, zvláště v Kóm Ombu. Nebthet – sestra bohyně Esety a manţelka Sutecha. Ochranná bohyně mrtvých. Znázorňována v lidské podobě s hieroglyNebthet fickým znakem svého jména na hlavě. Sutech

Z těchto základních devíti boţstev vznikala postupně další, která měla kaţdá své opodstatnění. Uvádím výčet těch nejdŧleţitějších: Re – je to bŧh slunce a slunce samo. Starověké sluneční boţstvo, pŧvodně uctívané hlavně v Heliopoli. Re byl zobrazován s hlavou sokola se slunečním kotoučem a s hlavou berana během své noční plavby, případně v lidské podobě se slunečním kotoučem a ureem na hlavě. Je pokládán za stvořitele a spravedlivého nejvyššího soudce. Pŧvodně byl sluneční kult rozdělen na tři boţstva. Slunce bylo ráno, ve své rodící se podobě, uctíváno v podobě skarabea Cheprera, jako triumfující Re v poledne a jako Atum, v podobě starce, večer. Vţdy, v kaţdé podobě, putoval na bárce. V noci musel Cheprer-Re-Atum Re překonat nebezpečí temnou cestou světem mrtvých (12 úsekŧ). Cheprer – bŧh vycházejícího slunce, znázorňovaný v podobě brouka vrubouna posvátného (skarabea) s kuličkou trusu znázorňující sluneční kotouč. Apop – démon v podobě obrovského hada. Nepřítel boha Rea. Tito dva spolu sváděli nekonečný boj v podsvětí. Apop vytvářel určité nástrahy a překáţky Cheprer při noční cestě boha Rea podsvětím. Re ho však vţdy porazil a znovu vyšel z podsvětí. Apop

15

Hor

Amon

Chonsu

Chnum

Thovt

Hor – syn Usira, bŧh nebe úzce spjatý s panovníkem. Bŧh se sokolí hlavou (někdy zobrazován jako úplný sokol), bŧh nebes a faraonŧv ochránce. Jako syn Usirŧv a Esetin je Hor často zobrazován jako dítě, které si cucá palec. Jeho symbolem je pár křídel či sluneční bárka se sedícím sokolem. Hathor – bohyně lásky, zrození, ochránkyně ţen, hudby a mrtvých. Bohyně s hlavou krávy (nebo ţena s kravíma ušima). Manţelka Hora.

Hathor

Amon = nepoznaný – bŧh Stvořitel, často spojovaný s bohem Reem a uctívaný jako Amonre. Boţstvo nazývané „král bohŧ“ se někdy zobrazuje jako lidská bytost se dvěma vysokými pery nad pokrývkou hlavy a modrým tělem (barva vody a vzduchu), někdy jako posvátný beran. Společně s bohyní Mutou a bohem Chonsuem tvořil „thébskou triádu“. Hlavním střediskem jeho kultu byly Théby. Mut – bohyně, pŧvodně zobrazovaná jako supice a později i v lidské podobě. Amonova manţelka, matka boha Chonsu, jejíţ kult byl v Thébách. Chonsu – měsíční bŧh v podobě dítěte. Často je zobrazován se sokolí Mut hlavou, ozdobenou srpkem měsíce, kolem něhoţ je měsíční kotouč. V Thébách uctíván jako syn Amona a Mut. Aton – bŧh slunečního kotouče. Za vlády faraona Achnatona byl prohlášen za jediného boha. Jeho kult byl uctíván v Achetatonu (dnešní Tel el-Amarna).

Aton

Chnum – bŧh plodnosti a stvořitel všeho ţivého. Bŧh v podobě berana, který na svém hrnčířském kruhy vytvářel lidi a jejich ka (duši). Je povaţován i za dárce nilské vody. Rohy měly zvláštní tvar, nebyly klasickým zpŧsobem zakrouceny a tím se odlišoval od ostatních bohŧ, kteří byli zobrazováni v podobě berana. Anup – bŧh mumifikace a pohřebišť, prŧvodce zemřelých. Boţstvo se šakalí hlavou nebo šakal, které dozírá nad Anup balzamováním a doprovází mrtvé do záhrobí. Thovt – bŧh písma, počítání, vědění a moudrosti. Měsíční boţstvo. Boţstvo zobrazované jako ibis nebo v podobě lidského těla s hlavou ibise nebo také jako pavián. Jako vynálezce písma a vědy byl ochráncem písařŧ, úředníkŧ a soudcŧ. Střediskem jeho kultu byla Heliopolis. Jako bŧh moudrosti a písař, vede protokol při Posledním soudu a opravňuje vstup mrtvých do podsvětí. Díky tomuto bohu dokáţí lidé mluvit a psát. Byl dárcem i veškerého umění geometrie, architektury a astronomie a také vynálezcem hudby.

16

Sešat – bohyně písemnictví a počítání. Zaznamenávala roky vlády jednotlivých panovníkŧ a tyto doklady opatrovala. Starala se o chrámové archivy a pomáhala při vzniku plánŧ staveb. Hrála také dŧleţitou roli při obřadech provázejících zakládání těchto staveb. Byla zobrazována jako štíhlá ţena v levhartí kŧţi se sedmicípou hvězdou a dvěma péry na hlavě. Ptah – patron řemesel. Bŧh stvořitel v Mennoferu zobrazovaný jako muţ v podobě mumie s ţezlem vas. Jeho posvátným Sešat zvířetem je býk Apis. Později splynul s bohem západního pohřebiště v Memfidě Sokarem a byl uctíván jako Ptahsokari. Jeho manţelkou Ptah byla bohyně Sachmet. Sachmet – bohyně války v podobě lvice nebo ţeny se lví hlavou. Na hlavě má korunu ze vztyčených kobřích hlav a sluneční kotouč. Nejvýznamnější bohyně války, která vţdy doprovázela faraona na všech válečných výpravách. Pro svou moc se stala i bohyní lékařství, avšak byla obávanou bohyní, protoţe dokázala nemoc vyléčit i přivodit. Maat – bohyně pravdy a spravedlnosti, zosobňuje řád vesmíru. Jejím symbolem je pštrosí pero. Je znázorňována jako ţena s křídly a na hlavě má pštrosí pero. Sachmet Při Posledním soudu se duše zemřelého váţila Maat na vahách oproti peru této bohyně.

Příprava na věčný život Uţ Hérodotos před 2500 lety označil Egypťany za nejzboţnější lidi starověku. Měl na mysli to, jak náboţenství v Egyptě hluboko proniklo do lidského myšlení a veškerých lidských činností. S tím souvisí i víra Egypťanŧ v posmrtný ţivot. Podle nich po smrti ţivot nekončil, ale naopak pokračoval v jiném světě, a proto své mrtvé ukládali do honosných staveb s bohatou výzdobou a věcmi pro ţivot a i dlouho po smrti jim nosili četné dary. Aby však duše zemřelého mohla ţít dál, bylo dŧleţité zachování tělesné schrány. Aby Egypťané zachovali tělo neporušené, procházelo po smrti dlouhou přípravou, které se účastnili i balzamovači s maskami bohŧ. Tomuto procesu se říká mumifikace. Mumifikace byla počátkem celého pohřebního rituálu. Podle náboţenských předpisŧ bylo nutné tělo pohřbít do 70 dnŧ. V těchto dnech probíhala nejen mumifikace, ale také potřebné poslední úpravy v hrobkách. A co se vlastně mělo stihnout v těchto 70 dnech? Díky četným písemným památkám se dá vcelku snadno rekonstruovat toto období. Bezprostředně po smrti se prŧvod s tělem vydal k balzamovací dílně. Tuto jeho cestu doprovázel dav profesionálních plaček, které oplakávaly smrt dotyčného. V prŧvodu také někdy bývali tři významní hodnostáři. První z nich je označován za „nositele pečeti boha, představeného balzamovačŧ“. Druhý je označován jako „balzamovač Anupa“ a třetí jako „kněz předčitatel“. Ten nese v levé ruce svitek papyru, 17

ze kterého v prŧběhu obřadŧ předčítá náboţenské texty. Tyto texty měly pomoci zesnulému úspěšný přechod na onen svět a nerušenou posmrtnou existenci. Druhou etapou byla cesta přes vodní plochu, která tvořila vstupní bránu do pohřebiště. Přes tuto plochu se vydával prŧvod, aby doprovodil zesnulého do balzamovacích dílen, které se musely nacházet na západním břehu. I na bárce, která umoţňovala cestu na druhý břeh, bylo přesně udáno místo pro kaţdou osobu. Na bárce byly dvě plačky a mimo předchozích tří muţŧ také kormidelník. Po příjezdu k okraji nekropole bylo tělo vyloţeno a rituálně očištěno vodou z Nilu v přístřešku zvaném ibu. Po tomto očištění jiţ bylo tělo přeneseno do balzamovací dílny. V této dílně strávilo celých 70 dnŧ. Balzamovací dílna Nyní nastala nejdŧleţitější fáze a to zabezpečení těla před fyzickým rozkladem a rozpadem. S nejstarším dokladem mumifikace se setkáváme v hrobě krále Dţera (1.dynastie) v Abydu. Ve 4. dynastii se začalo s vyjímáním vnitřních orgánŧ z těla (trup nařízli na levém boku). Tím se zvýšila kvalita mumifikace a na konci 3. tisíciletí jiţ dosáhla vysoké úrovně. Vyjmuté orgány se ukládaly do nádob zvaných kanopy. Tyto kanopy byly vyrobeny z alabastru nebo terakotu a jejich zátky představovaly boţstva. Jednalo se o čtyři syny boha Hora. Pro játra to byl Amset s lidskou hlavou, pro ţaludek Duamutef s hlavou šakala, pro plíce Hapi s paviání hlavou a pro střeva Kebehsenuf s hlavou sokola. Srdce bylo ponecháno na svém místě, protoţe to bylo potřeba pro obřad vážení srdce. Později bylo nahrazeno skarabem, ale stále bylo ukládáno vedle těla. Jak vnitřní orgány, tak celé tělo byly posypány práškem zvaným natron, který dokázal tělo dokonale vysušit. Následně bylo tělo vycpáno do pŧvodních proporcí a začalo se ovinovat vrstvami plátěných obinadel; Obřad Váţení srdce kaţdá část těla se ovinovala zvlášť. Po úspěšné mumifikaci následovala poslední fáze pohřebního ceremoniálu. Mumifikované tělo se převezlo na pohřebiště, kde bylo uloţeno do hrobky za provádění posledních rituálních úkonŧ a pokládání obětin. Toto se odehrávalo nejspíš přímo před hrobkou nebo případně v zádušním chrámu, který se nacházel u hrobky. Zásadním z posledních rituálŧ bylo „Otevírání úst“, jehoţ cílem mělo být oţivení těla, případně sochy. Oţivením mu bylo navráceno umění řeči, vrácen sluch a zrak. Během tohoto rituálu se kněz dotknul několika nástroji úst zemřelého. Po vykonání posledních rituálŧ bylo tělo uloţeno do pohřební komory a uzavřeno do sarkofágu nebo dřevěné rakve. Pohřební komora byla následně vyplněna obětinami 18

a pohřební výbavou. Vchod do hrobky byl následně zapečetěn a šachta nakonec zasypána. Péče o zesnulého byla následně svěřena profesionálním kněţím, kteří pečovali o zádušní kult zemřelého. Vedle nich tu také pracovali stráţci pohřebiště, kteří měli zajistit nevykrádání hrobek. Pohřeb tedy skončil ve chvíli, kdy byl vchod do hrobky zapečetěn a přístupová šachta byla zasypána. Zesnulému pak bylo pravidelně v nadzemní kapli situované většinou na východní stranu obětováno. Jednalo se především o pokrmy a nápoje pro duši zemřelého. Pro duši zemřelého však byla určena náboţenská říkadla, která jsou souborně nazývána Texty pyramid. Tyto texty se poprvé objevily v 5. dynastii za vlády faraona Venise. Tyto texty obsahovaly formule pro obětování, zaříkání a jiná kouzelná zaklínání, jejichţ úkolem bylo zahánět nepřátelské síly od zemřelého nebo jinak pomáhat při překonávání překáţek v záhrobí. Během času se texty vyvinuly v Texty pyramid a následně v Knihu mrtvých. Obávaný poslední soud začal tím, ţe bŧh Anup přivedl zesnulého do soudní síně před boha Usira a jeho tribunál. Uprostřed síně stály váhy, kde na jedné straně bylo pírko pravdy bohyně Maat a na druhou stranu pokládal zesnulý své srdce. Tohoto obřadu se účastnil také bŧh Thovt, který zapisoval výsledek procesu, a také Velká poţíračka, divoká obluda s tělem hrocha, hrudí lva a hlavou krokodýla. Zesnulý prohlašoval, ţe se za svého pozemského ţivota nedopustil ţádného zločinu proti lidem, zvířatŧm a bohŧm. Při jakémkoli lhaní se váhy vychýlily. Pokud k tomu došlo, zesnulého seţrala Velká poţíračka. Pokud však obřad proběhl bez problémŧ, bŧh Thovt oznámil tribunálu, ţe se zesnulý nedopustil ţádných hříchŧ a tím se mu otevřela cesta do říše mrtvých.

STVOŘIL JSEM VÍTR ZE ČTYŘ STRAN NEBE, ABY KAŢDÝ ČLOVĚK MOHL ZA SVÉHO ŢIVOTA DÝCHAT … STVOŘIL JSEM NILSKOU ZÁPLAVU, ABY NEPATRNÝ ČLOVĚK MĚL Z NÍ TÝŢ UŢITEK I PRÁVA JAKO VYSOCE POSTAVENÝ. STVOŘIL JSEM KAŢDÉHO ČLOVĚKA ROVNÝM DRUHÉMU JEJICH VLASTNÍ MYSL VŠAK PORUŠILA, CO JSEM PŘIKÁZAL, NEŢÁDAL JSEM, ABY KONALI ZLO … Slovo boha Rea – Texty rakví (překlad Zbyněk Ţába)

19

Architektura Egyptská architektura se dělí na stavby sakrální a stavby světské. K sakrálním stavbám patří chrámové komplexy a hrobky či hroby, světské stavby reprezentují obytné domy či opevnění. Paláce zaujímají zvláštní místo mezi oběma těmito styly. Světské stavby byly ryze účelové, ale sakrální stavby mají, coby sídla bohŧ a místa posledního odpočinku vyšší neţ pouze účelovou funkci. Z náboţenského hlediska jsou zárukou věčného ţivota. Základním stavebním materiálem pro sakrální stavby byl kámen – pískovec, ţula, vápenec, křemenec – tedy materiály, na něţ byly bohaté lomy podél břehŧ Nilu. Tyto trvanlivé materiály se pouţívaly, protoţe byly odolné proti vodě a větru. Pro světské stavby se pouţívaly spíše sušené hliněné cihly, rákosové rohoţe nebo dřevo. Sídliště byla stavěna na místě dnešních měst a díky pouţitému stavebnímu materiálu byla často přestavována. Dnešní jednoduché obytné domy v Egyptě se pouţitým materiálem a stavební architekturou stále podobají těm starověkým. Chrámové a pohřební komplexy se rozkládají na okraji oblasti úrodné země a pouště. Protoţe jsou z trvanlivého stavebního materiálu, často se stávalo, ţe některé starší stavby byly rozebrány a materiál pouţit na nové chrámové stavby. Některé chrámy byly naopak dále rozšiřovány.

Světské stavby Obytné domy a sídliště Byly zhotovovány ze sušených cihel vyrobených z nilského bahna. Stěny domŧ byly na několika místech vyztuţeny dřevem, dveře zakryty rohoţí upletenou z rákosí. Kámen se pouţíval pouze na dveřní prahy, zárubně, základy sloupŧ a okenních mříţí. V Předdynastické době se jednalo o domy o jedné místnosti, které byly pravoúhlého nebo oválného tvaru. Z nich se v Archaické době vyvinul dŧm o několika místnostech seskupený kolem vnitřního dvora, na kterém pracovali. V pozdější době si vyšší hodnostáři stavěli rozlehlé obytné komplexy s několika halami, místnostmi a byty pro sluţebnictvo. Lépe situovaní řemeslníci bydleli ve středně velkých obytných domech, např. řemeslníci z vesnice Der-el-Medína. Domy byly z venku omítnuty bílou nebo ţlutou barvou. Paláce Byly stavěny pouze ze sušených cihel z nilského bahna. Proto se také do dnešní doby zachovalo pouze několik zbytkŧ palácových staveb, přestoţe si všichni faraoni budovali více neţ jeden palác. Kaţdý palác byl velkou usedlostí s vlastním správním a hospodářským systémem. V kaţdém paláci se nacházel velký obytný dŧm, několik kuchyní, lázně, spíţe a rozlehlé zahrady. Na ochranu faraona byl palácový komplex zvenčí zajištěn jako pevnost. Palác byl sídlem vlády Část palácové výzdoby a tedy v něm nesměla chybět audienční síň, trŧnní sál a archiv s knihovnou, kam se ukládala faraonova korespondence a posvátné svitky. Paláce byly zvenčí natřeny na bílo a zevnitř byly bohatě zdobeny výjevy z přírody a barevnými dlaţdicemi.

20

Sakrální stavby Faraon musel mít za svého ţivota vystavěný majestátní palác a samozřejmě i jeho věčný příbytek musel být majestátní. Ve Staré a Střední říši se jednalo o pyramidové komplexy, jejichţ jádrem byla pyramida. Slovo pyramida je vlastně řeckého pŧvodu, ale není jasný jeho pŧvod. Egyptské slovo označující pyramidy znamená moře. Předchŧdcem pyramidy však byla mastaba, coţ v překladu znamená lavice. Ve všech těchto stavbách je vyjádřen jeden společný princip: hrob je negací samotné smrti, druhé nesmrtelné fáze ţivota krále, boţího syna. Mastaba Je nejstarším typem náhrobní architektury ve Starém Egyptě. Jedná se o pravoúhlou stavbu obdélníkového pŧdorysu, jejíţ stěny se sbíhaly ke středu. Byla postavena nad podzemním hrobem. Mastaba nahradila oválné zemní hroby obvyklé pro Předdynastickou dobu. Nejdříve byla výsadou krále, ale v pozdější době si mastabu nechávali vystavět i vyšší hodnostáři. V nadzemní části, které se říká superstruktura, bývala chodba a zdobená kaple, v jejíţ západní stěně byly umístěny tzv. nepravé dveře, které byly povaţovány za symbolickou bránu na onen svět. Na obětní stoly, které byly umístěny před nepravými dveřmi, se kladly obětiny určené duchu zemřelého, který přicházel na svět těmito dveřmi. Vedle kaple byla ještě zvláštní uzavřená místnost zvaná serdab (arabsky sklep), která byla spojena s vnějškem jenom několika malými Nepravé dveře štěrbinami, a v niţ se nacházela socha zesnulého, který tak mohl zŧstávat ve styku s vnějším světem a přijímat obětiny. Nadzemní část byla spojená s podzemní částí, tzv. substrukturou, šachtou, ze které vedla chodba do pohřební komory se sarkofágem. Tato část mastaby byla při pohřbu uzavřena a zasypána, aby nebyl rušen klid zesnulého. Skalní hrobky První skalní hrobky byly zaloţeny pro vysoké úředníky 4. dynastie. Skalnaté hory kolem Nilu vytvářely ideální místo pro tesané hrobky. Podobně jako u obytného domu se i do hrobu vstupuje přes malý dvorek a za ním je kultovní místo. Pohřební komora byla uzavřena a umístěna na konci skalní hrobky. Královské skalní hrobky jsou vybaveny přepychověji. Nejznámější skalní hrobky leţí v Údolí králŧ, coţ je hluboká severozápadně orientovaná rozsedlina ve vápencovém masívu Libyjského pohoří.

Pravá stěna komory se šachtou a pilířové síně - Ramesse VI.

21

Má dvě části: Západní údolí (obsahuje 4 hrobky, z toho 2 královské) a Údolí králŧ (58 hrobek). Jako první byl na tomto místě pohřben pravděpodobně Thutmose I. (18. dynastie) a jako poslední Rammesse XI. (20. dynastie). Pŧdorys královských hrobek je sloţitý a kaţdá z nich má svoji specifickou podobu. Přesto se v kaţdé z nich najdou společné rysy. Jsou to rŧzná schodiště, sestupná chodba vedoucí do pilířových síní a pohřební komora určená pro králŧv sarkofág. V pilířových síních se nacházely pilíře džed, které symbolizovaly páteř Usira. Výzdoba hrobky se netýkala všedního ţivota, ale pouze posmrtného ţivota a cesty, kterou faraon musel podniknout a četné zkoušky, které musel podstoupit, aby dosáhl Usirova království. Témata výzdob jsou tedy pro všechny hrobky společné – magické texty a zaříkadla doplněné zobrazeními. Chrámové komplexy Chrámová architektura se v Egyptě vyvíjela poměrně pozdě. Z počátku období Staré říše nacházíme pouze malé jednoduché cihlové chrámy, ve kterých je jiţ vidět prostorové rozčlenění pozdějších chrámŧ. Kaţdý egyptský chrám má pylon (vstupní brána), sloupové nádvoří, sloupový sál, sál s obětním stolem, sál s bárkou a sanktuárium. Chrámy se začínaly stavět od vnitřku a postupovalo se směrem ven, a proto se kaţdý chrám mohl dále rozšiřovat. Pylon chrámu Amenhotepa III. V sanktuáriu se nacházela schrána, v níţ byl uzavřen obraz boha, kterému byl chrám zasvěcen a kam ho denně chodili zdravit nejvyšší kněţí a panovník. Stěny i stropy chrámu byly bohatě zdobeny reliéfními výjevy náboţenských scén a významných událostí a hieroglyfickými nápisy. V pozdější době se v komplexech nacházelo také posvátné jezírko určené pro rituální omývání kněţí a často se zde nacházela i chrámová zahrada. Kaţdý egyptský panovník měl za úkol si vystavět nejen svŧj vlastní příbytek, ale také zvelebovat příbytky bohŧ, tedy chrámové komplexy. Celý chrámový komplex byl obehnán zdí ze sušených cihel často dekorovaný lomeným vzorem, coţ představovalo pŧvodní pravodstvo. Speciálním chrámem byly svatyně zasvěcené slunečnímu bohu Reovi, tzv. sluneční chrámy. Vznikaly jen občas a měly odlišné formy. Byly stavěny s údolním chrámem, vzestupnou cestou a kultovním místem. Srdcem svatyně byl otevřený dvŧr, na jehoţ konci stál na vysokém podstavci obelisk obloţený ţulou. U tohoto obelisku bylo obětováno slunečnímu bohu a to ze všech jeho čtyř stran. Pyramidové komplexy Prvním pyramidovým komplexem byl pohřební areál faraona Dţosera (3. dynastie) v Sakkáře, jehoţ srdce tvoří šestistupňová pyramida. Ve 4. dynastii se však prosadil tvar jednoduchého hladkého jehlanu a také se ustálil celý soubor staveb tvořících pyramidový komplex. Všechny pyramidy byly orientovány v ose východ-západ tak, aby sledovaly dráhu Slunce.

22

D

A B C D E F

F C

Údolní chrám Vzestupná cesta Zádušní chrám Hlavní pyramida Satelitní pyramida Ohradní zeď

E

B

Pyramidový komplex krále Sahurea (5. dynastie)

A

Vstupní část pyramidového komplexu tvořil údolní chrám umístěný na okraji nilského údolí, jenţ zároveň slouţil jako přístaviště pro připluvší lodě. Poblíţ údolního chrámu se také nacházelo pyramidové město, kde bydlel personál pyramidového komplexu, kněţí a úředníci. Z údolního chrámu vedla vzestupná cesta zdobená reliéfy, která byla osvětlena úzkými prŧzory ve stropě. Ta ústila do zádušního chrámu zesnulého panovníka, kam mu kněţí denně nosili obětiny. Mumie panovníka byla v den pohřbu uloţena do kamenného sarkofágu v pohřební komoře, která se nacházela v nitru pyramidy. Vstup do pyramidy se nacházel nejčastěji v severní části pyramidy. Součástí pyramidového komplexu byla ještě malá, tzv. satelitní pyramida, jejíţ význam není dosud znám. Část se zádušním chrámem a pyramidami byla ještě obehnána vysokou ohradní zdí. Někdy se u pyramidového komplexu nacházely jámy, ve kterých byly umístěny tzv. Reovy bárky. Na vrchol pyramidy se kladla miniaturní pyramida, která se nazývá pyramidion. Pyramidion bylo vyrobeno ze speciálního kamene, ve Staré říši to byl diorit, ţula nebo kvalitní vápenec, a následně bylo popsáno texty a symboly. Scény z Abúsíru napovídají, ţe pyramidion bylo posledním architektonickým prvkem umístěným na pyramidu a bylo tam pravděpodobně umístěno během oslav za přítomnosti panovníka. Umístění pyramidionu bylo Pyramidion oficiálním ukončením stavebních prací na pyramidovém komplexu. Pyramidové komplexy měly také svŧj vlastní výzdobný program. Z jednoduchých stél nesoucích královská jména, jeţ byly vztyčeny před hrobkami králŧ, se v prŧběhu Staré říše rozvinul sloţitý výzdobný program. Ten měl zajistit posmrtný ţivot panovníka a také měl udrţet vesmírný řád. Na stěnách pyramidových komplexŧ bylo znázorňováno pět kategorií výjevŧ. První kategorií byly výjevy potvrzující panovníkovu nadvládu, např. vyobrazení krále na lovu nebo pobíjejícího nepřátele. Druhou byly výjevy, na nichţ se král ztotoţňuje s boţstvy. Účelem těchto scén je znázornit panovníka jako boha Hora ve společnosti ostatních

23

boţstev. Další kategorií jsou výjevy ze svátku sed. Čtvrtou kategorií jsou obětní scény, na kterých je faraon zobrazen, jak obětuje bohŧm. Poslední kategorií jsou obětiny od boţstev pro krále. Jde o poslední scénu v řadě reliéfŧ. Vţdy se odehrává v obětní síni a vyobrazuje krále přijímajícího od boţstev obětiny a boţskou podstatu.

OD NEPAMĚTI JINÍ PŘICHÁZEJÍ ZA TY, KDO ODEJDOU. FARAONI DÁVNÍ, SLAVNÍ DNES V PYRAMIDÁCH LEŢÍ A V PYRAMIDÁCH SPOČINOU.

VZNEŠENÍ MUŢOVÉ I HODNOSTÁŘI. CO DNES JE S TĚMI, KTEŘÍ STAVĚLI PYRAMIDY? CO S NIMI JE, KDE JSOU? Z Písní harfeníkŧ (překlad Zbyněk Ţába)



Svátek sed pořádal kaţdý faraon kaţdých třicet let u příleţitosti výročí svého nástupu na trŧn. V den tohoto svátku měl dokázat, ţe má ještě dost tělesných sil, a je tedy schopen dále zastávat svŧj úřad. Ke zkoušce patřil například rituální běh a přemoţení býka. Král se s pomocí bohŧ obrodil a mohl vládnout dál. Časem se svátky sed pořádaly v kratších odstupech, protoţe by se jich mnoho faraonŧ nedoţilo.

24

Písmo a písemné památky Písmo a jazyk Vznik písma se datuje do období Nakáda III. (přibliţně 3 200 – 3 000 př. Kr.). Hlavním dŧvodem vzniku hieroglyfického písma byla nutnost administrativy hospodářského rázu, ale také zaznamenání významných historických událostí a textŧ bohŧ. Na počátku vývoje písma v Egyptě bylo obrázkové písmo, kdy určitý obrázek znamenal přesně to, co představoval. Toto bylo později rozšířeno i o věci příbuzné k danému obrázku, ale také k vyjádření věcí zcela odlišných, těţko znázornitelných, ale majících podobné zvukové znění. V egyptském písmu se zaznamenávaly pouze souhlásky a samohlásky tudíţ neznáme. Abychom však mohli v dnešní době přečíst egyptská slova, vkládá se mezi jednotlivé souhlásky samohláska e. Hieroglyfické písmo (řecky „posvátné písmo tesané“), kterým jsou psány egyptské texty, je sloţením tří rŧzných druhŧ znakŧ – významových znakŧ (ideogramů), zvukových znakŧ (fonogramů) a určujících znakŧ (determinativů). Všechny tyto znaky se musí dŧsledně rozlišovat. Ideogramy znamenají předmět, který je skutečně znázorněn, nebo předmět s ním úzce související. K ideogramŧm se často přidávaly fonogramy, které naznačují zvukové znění slova a pomáhají určit přesný význam. Determinativy byly znaky, které se připisují za slovo, aby ho lépe určily, ale nečetly se. Hieroglyfŧ bylo přibliţně 750. Některé z nich se během doby přestaly pouţívat a jiné naopak vznikaly. Určité znaky se však pouţívaly po celá tisíciletí. Patří mezi ně fonogramy, které označují vţdy jen jednu souhlásku, takţe se také někdy označují jako „abecední znaky“. Jejich počet je 24 a jsou uvedeny v následující tabulce: Hieroglyfický znak

Zobrazený předmět

Zvuková hodnota

Supice

alif (není v češtině)

Rákosový list

i

Paţe

c(ajn) – není v češtině

Kuře křepelky

w (obouretné v) – není v češtině

Noha

b

Rohoţ

p

Rohatá zmije

f

Sova

m

Vodní hladina Ústa

n r

25

Pŧdorys dvora

h

Pletenec lnu

h (emfatické h) – není v češtině

Placenta nebo kruhová podloţka Břicho savce s ohonem Závora

ch h (odpovídá našemu ch, š) s (pŧvodně naše z)

Přehnutý pruh látky

ś (naše s)

Vodní nádrţ Svah Košík Podstavec nádoby Chléb Pouto na vázání dobytka Ruka

š k (zadní k) – není v češtině k g t t (naše c, č) d

Kobra

d (naše dž)

Hieroglyfické písmo však není jediné, které se v Egyptě pouţívalo. Z hieroglyfŧ se vyvinulo zjednodušením tvarŧ značek písmo hieratické (řecky „kněţské“). Toto zjednodušení si vyţádala kaţdodenní potřeba rychle pořídit písemný záznam. Dalším zjednodušením hieratického písma vzniklo kurzívní písmo démotické (řecky „lidové“). Vzdělanci a kněţí ve starém Egyptě znali všechny druhy písma a uměli je pouţívat. Hieroglyfické písmo bylo určeno pro monumentální nápisy na stěnách chrámŧ a hrobek, hieratické písmo pro psaní literárních, náboţenských a hospodářských textŧ na papyry a ostraka a démotické písmo pro běţné kaţdodenní záznamy a dopisy. Poslední doklad hieroglyfického písma pochází ze 3. století n. l. a démotického z 5. století n. l. Jazykem egyptských textŧ je egyptština, která se řadí mezi afroasijské jazyky (dříve nazývané semitohamitské). Rozeznáváme u ní pět vývojových fází – nejstarší egyptština (pouţívala se přibliţně do roku 2 160 př. Kr.), klasická egyptština (2 160 – 1 543 př. Kr.), novoegyptština (1 543 – 715 př. Kr.), démotština (715 př. Kr. – 450 po Kr.) a koptština, kterou Egypťané zaznamenávali koptským písmem, které se skládalo z velkých písmen řecké abecedy a sedmi znakŧ démotického písma.

Psací materiál a psací pomůcky Typickým egyptským psacím materiálem byly papyrové svitky. Dobrou představu o tom, jak se svitky vyráběly, máme díky dochovaným znázorněním v hrobkách. Vytrţené a oloupané stonky papyrové rostliny (Cyperus papyrus) se noţem nařezaly na tenké prouţky a následně se kladly vedle sebe tak, aby se lehce překrývaly, nejdříve vodorovně na desku pokropenou vodou z Nilu a následně kolmo k první vrstvě druhou a to tak, aby první vrstvu kryla. Obě vrstvy byly stlačeny lisem a lepkavá šťáva ze stonkŧ je slepila dohromady tak, ţe vytvořily jednotnou masu. Tento papyrový arch byl usušen na slunci a poté byl jeho povrch 26

vyhlazen a vytepán. Uţívalo se k tomu mušlí, kamene nebo leštičŧ ze slonoviny. Jednotlivé archy, jejichţ výška se pohybovala mezi 20 – 50 cm a šířka mezi 15 – 40 cm, se slepovaly obvykle po dvaceti do dlouhých pásŧ, jejichţ šířka ovšem nepřekročila 47 cm. Ale délka papyrových svitkŧ byla rŧzná. Nejdelší, tzv. Harrisův papyrus, dosahuje délky 40,5 m. Zpočátku se na papyrus psalo rákosovým perem s měkkým hrotem, poté se postupně zašpičaťovalo a později i rozštíplo. K písařově výbavě patřila také dřevěná paleta s dvěma jamkami pro inkoust (červený a černý) a dále malá nádobka na vodu, jíţ ředil barvu, a podlouhlý kámen na odstranění chyb a vyhlazení Psací náčiní papyru. Černá barva se vyráběla ze sazí z nádob, v nichţ se vařilo nad ohněm. Pojidlem byla arabská guma. Červená barva se vyráběla z okrového prášku. Jelikoţ však byla výroba papyrových svitkŧ zdlouhavá a pracná a tedy i draţší, pouţívalo se k zachycování méně dŧleţitých věcí hliněných střepŧ nádob, tzv. ostrak. Vedle těchto dvou nejpouţívanějších materiálŧ se také psalo na rŧzné dřevěné destičky, koţené svitky, pruhy plátna nebo kovové a fajánsové předměty. Dokonce bylo zjištěno, ţe Egypťané psali také na hliněné tabulky, a to v době, kdy byl nedostatek papyrových rostlin.

Rozluštění hieroglyfů Jiţ během 1. století n. l. v době římské nadvlády nad Egyptem se vytrácela znalost hieroglyfického i hieratického písma a hieroglyfy se stávaly součástí mýtŧ o tajemném starověkém Egyptě. Byly povaţovány za tajemné magické a náboţenské symboly, nikoli za prvky písemného systému. Toto přesvědčení trvalo po dlouhá staletí a aţ nástup renesance v 17. stol. n. l. podnítil opětovný zájem Kartuše o egyptské hieroglyfy a jejich rozluštění jako písma. Německý lingvista Athanasius Kircher (1602 – 1680) se jako jeden z prvních pokusil o rozluštění hieroglyfŧ. Vyšel z jejich čistě symbolické funkce a došel tak ke špatnému výsledku. Dŧleţité však bylo, ţe sepsal první koptskou gramatiku, a tím přispěl ke znalosti koptštiny, která byla nezbytná k rozluštění hieroglyfŧ, jak se ukázalo později. S podnětnou myšlenkou pro luštění hieroglyfŧ přišel francouzský orientalista J. J. Barthélemy (1716 – 1795). Usoudil, ţe královská jména jsou obklopena zvláštními ovály, které nazval kartuše. Velký krok dopředu přišel aţ s Napoleonovou výpravou do Egypta. Roku 1799 byla u Rosetty nedaleko Alexandrie nalezena černá čedičová deska. Jednalo se o pamětní stélu, která kdysi stála v chrámu a obsahovala kopii dekretu z 9. roku vlády Ptolemaia V. Epifana. Dekret byl napsán třemi formami písem (hieroglyfické, démotické a řecké). Deska je však poškozena, a to nejvíce v horní části, kde se nachází písmo hieroglyfické. Podle místa objevu je nazývána Rosettská deska. Francouzští vědci si ihned uvědomili dvojjazyčnou povahu tohoto textu a moţnost rozluštění egyptských verzí, protoţe řečtina byla známým jazykem. V roce 1802 byl hotov překlad řecké části. Nápisy na Rosettské desce se zabývali především francouzský orientalista A. I. Silvestre de Sacy (1758 – 1832), švédský diplomat J. D. Åkerblad (1763 – 1819) a anglický lékař a fyzik T. Young (1773 –1829). Všichni tři dosáhli jistých dílčích úspěchŧ, ale egyptské hieroglyfické písmo nerozluštili. 27

Sacy se rozhodl zaměřit na démotickou část, protoţe ta byla téměř nepoškozena. Začal u řeckých vlastních jmen a pokusil se je izolovat v jejich démotické verzi. Při izolaci skupin démotických znakŧ označujících jména Ptolemaios a Alexander se setkal s částečným úspěchem, ale zjistil, ţe je nemoţné určit hodnotu jednotlivých znakŧ.

Rosettská deska

Sacyŧv ţák Åkerblad dosáhl významnějšího pokroku. Dokázal určit všechna vlastní jména a z takto získaných fonetických hodnot vytvořil „démotickou abecedu“ o devětadvaceti písmenech, z nichţ téměř polovina byla správná. Åkerbladŧv úspěch při určování hodnot démotických znakŧ jej však zavedl do slepé uličky. Byl totiţ přesvědčený, ţe se jedná o čistě fonetické (abecední) písmo, ale to se později ukázalo jako nesprávné. Angličan T. Young začal podobně luštěním démotické části textu. Během několika týdnŧ dokázal izolovat většinu grafických skupin vyjadřujících jednotlivá slova a najít vztah s jejich řeckými ekvivalenty. Zjistil však, ţe démotické písmo nebylo naprosto odlišné od hieroglyfŧ, ale hlavně, Ptolemaios ţe egyptský systém písma byl kombinací rŧzných typŧ znakŧ. Po studiu jiných textŧ se vrátil zpět k Rosettské desce a na ní dokázal zcela přesně určit shodnou hodnotu mnoha démotických a hieroglyKleopatra fických znakŧ. 28

Úplné rozluštění hieroglyfického písma se podařilo aţ mladému francouzskému učenci J. F. Champollionovi (1790 – 1832). Jako první se mu podařilo rozluštit jméno vládce Ptolemaia a královny Kleopatry. Mezi znaky, které se objevovaly u obou jmen, byla určitá míra shody. Jen a si neodpovídaly. Champollion správně usoudil, ţe tyto dva znaky mají ve skutečnosti stejnou fonetickou hodnotu. Díky tomuto objevu byl brzy schopen přečíst jména řeckých a římských vládcŧ Egypta, uvedená v jiných nápisech. Konečně v roce 1822 se mu podařilo určit jména egyptských vládcŧ Thutmose a Ramesse. Přesvědčivě dokázal, ţe fonetický princip je základním v egyptském písemném systému. Odhalil vztah ideogramŧ, fonogramŧ a determinativŧ a to vedlo ke zrodu moderní egyptologie. Rosettská deska byla zcela rozluštěna aţ v roce 1922.

ČLOVĚK ZAHYNUL, JEHO TĚLO SE OBRÁTILO V PRACH, JEHO POTOMSTVO SE VRÁTILO DO ZEMĚ, PÍSEMNICTVÍ VŠAK NA NĚHO OŢIVUJE VZPOMÍNKU V ÚSTECH TOHO, KDO JEHO DÍLA PŘEDČÍTÁ.

KNIHA JE UŢITEČNĚJŠÍ SVÉMU TVŦRCI NEŢ DŦM NEBO HROBKA V POHŘEBIŠTI, UŢITEČNĚJŠÍ NEŢ DOBŘE VYSTAVĚNÝ PALÁC NEBO PAMĚTNÍ DESKA V CHRÁMĚ.

Papyrus Chestera Beattyho č. IV (překlad Zbyněk Ţába)

29

Matematika v Egyptě Matematika starověkého Egypta se rozvíjela společně s rozvojem egyptské civilizace od 4. tisíciletí př. Kr. Slouţila pouze k výpočtŧm a měřením, které by vyhovovaly hospodářským potřebám státu. Matematická tvrzení byla výsledkem zkoušek a pokusŧ. K jejímu výkladu se nepouţívala obecná pravidla, ale konkrétní úlohy. Jako abstraktní věda nebyla ještě vyvinuta. Egypťané dokázali sčítat, odčítat, násobit, dělit, počítat se zlomky a řešit některé sloţitější aritmetické a geometrické problémy. Objevují se úvahy o výpočtech obsahu rovinných obrazcŧ (obdélníku, trojúhelníku a kruhu). Písemných památek se z celého období moc nedochovalo, a ty které se dochovaly jsou rŧzného stáří a místa pŧvodu. Díky tomu je vidět určité odchylky ve formě zápisŧ příkladŧ. Přesto je moţné vysledovat určitou snahu o formální jednotu, uţívání specifické matematické terminologie a ustálené výrazy pro jednotlivé části příkladŧ. Nejpropracovanější úlohy dodrţují určitou formu, která zahrnuje také nadpis upřesňující typ úlohy. Tato forma dále zahrnuje vlastní zadání problému, podrobný popis řešení a v závěru zkoušku a stručnou odpověď. Jednotlivé části výpočtu mohly být nadepisovány zvláštním spojením. Tyto nadpisy bývají v textu zvýrazněny červeným inkoustem, který se v egyptských textech obecně pouţíval pro nadpisy a pasáţe vyţadující pozornost.

Dochované texty Většina našich znalostí o egyptské matematice pramení ze dvou matematických papyrŧ psaných hieratickým písmem. Jsou to Rhindŧv matematický papyrus obsahující 85 úloh a Moskevský matematický papyrus, který je asi o dvě století starší a obsahuje 25 úloh. Všechny tyto úlohy byly vykládány uţ dlouho před vznikem rukopisŧ. Existují však i papyry menšího rozsahu z podstatně mladších dob (dokonce z doby římské), které nejsou metodicky nijak odlišné. Skotský egyptolog Alexander Henry Rhind nalezl u Ramessea v oblasti dnešního Luxoru papyrus, který byl napsán zhruba roku 1650 př. n. l. Podle tohoto egyptologa se nazývá Rhindův matematický papyrus. Tento papyrus byl sepsán za vlády hyksóského panovníka Auserrea Apopiho z 15. dynastie písařem Ahmosem, avšak jeho předloha se datuje do vlády Nimaatrea Amenemheta III. z 12. dynastie. Celková délka papyru po spojení dvou větších fragmentŧ je 513 cm a sestává se ze 14 listŧ širokých 38 – 40 cm. Tento papyrus dokazuje, ţe Egypťané uměli násobit, i kdyţ egyptská číselná soustava násobení znesnadňovala. V současné době je papyrus uloţen v Britském muzeu v Londýně (proto je občas nazýván Londýnský papyrus). Poprvé byl přeloţen do moderního jazyka na konci 19. století. Rhindŧv matematický papyrus (úlohy R49-R54)

30

Moskevský matematický papyrus byl nalezen na pohřebišti Dra Abú en-Naga v oblasti dnešního Luxoru, kde jej zakoupil ruský egyptolog V. S. Goleniščev (proto se také občas říká tomuto papyru Goleniščevŧv). Jde o tzv. palimpsest, kde pŧvodní text je znatelný, ale není čitelný. Nový text je opsán patrně za 13. dynastie. Pŧvodní rozměry svitku se odhadují na 544 × 8 cm, slepen byl z 11 listŧ. Do současnosti se však zachoval jeden větší kus a 9 malých fragmentŧ. Text je uspořádán do 45 sloupcŧ, z nichţ kaţdý obsahuje nejvýše 8 řádkŧ písma. Úlohy na tomto papyru mají jednotnou formu, nejsou tématicky Moskevský matematický papyrus (úloha 14) uspořádány a některé se dokonce opakují. Káhúnské matematické papyry nalezl roku 1889 egyptolog Flinderse Petrie v Káhúnu. Jde o pět zlomkŧ papyrŧ psaných hieratickým písmem a patrně se jedná o palimpsesty. Dva největší měří 41 × 14 cm a jsou uloţeny v Britském muzeu. Jde o staroegyptský text probírající matematická a lékařská témata. Většina textŧ pochází zhruba z roku 1825 př. n. l. z doby vlády Amenemheta III. Kahúnské papyry jsou také známé pro přehled, který vnáší do uţití egyptských zlomkŧ i s jejich přesným řešením. Obsahují část tabulky n2 a několik matematických úloh. Dvě dřevěné tabulky pokryté z obou stran štukem byly nalezeny patrně v Achmímu ve středním Egyptě. Dnes jsou uloţeny v Káhirském egyptologickém muzeu. Pocházejí z období 12. dynastie. Měří přibliţně 47 × 26 cm a jsou popsány hieratickým písmem. Štuk je místy poškozený. Tabulky obsahují 14 matematických výpočtŧ. Kožený svitek byl nalezen spolu s Rhindovým papyrem, dnes je uloţen v Britském muzeu. Pochází z doby 15. dynastie. Měří přibliţně 44 × 26 cm a obsahuje tabulku 26 součtŧ kmenných zlomkŧ ve čtyřech sloupcích, kde první a druhý sloupec je shodný se třetím a čtvrtým. Díky jeho špatnému stavu ho bylo moţné rozvinout aţ roku 1927, ale díky tomu, ţe výpočty jsou uvedeny dvakrát, dal se text dobře zrekonstruovat. Berlínský papyrus byl nalezen v Thébách na počátku 19. století. Dnes je uloţen v Berlínském muzeu. Pochází nejspíš z období 12. dynastie. Do současné doby se zachovaly dva větší kusy a několik zlomkŧ. Papyrus obsahuje staroegyptské matematické a medicínské znalosti. Je popsán oboustranně a obsahuje 4 řešené příklady z nichţ ani jeden není úplný, kvŧli špatnému stavu papyru. O matematických poznatcích starých Egypťanŧ svědčí také texty, které nejsou přímo matematické. Byly nalezeny svitky, které nejsou přímo „učebnicí“ matematiky, ale zachycují praktické příklady, jako například stavbu lodí, obchod apod. O matematických znalostech starověkých Egypťanŧ svědčí také mnohé projevy jejich civilizace. Projektování pyramid a ostatních staveb, rozpisy prací a přísunu materiálu, zásobování pracovníkŧ potravinami a veškerá organizace společnosti jsou dŧkazem nemalé znalosti matematiky a její aplikace.

31

Číselný systém a zápis čísel Egyptská matematika pouţívala dva typy čísel, a to čísla přirozená a zlomky. Se znaky představujícími přirozená čísla se ve starém Egyptě setkáváme jiţ v Archaické době. Jejich podoba se v této době však teprve utvářela. V době I. dynastie se jiţ objevil znak pro tisíc. Ve Staré říši pak znak pro milion, který však v Nové říši vymizel. Egypťané pouţívali desítkovou číselnou soustavu, která se podobala římské soustavě a nebylo v ní moţno snadno provádět násobení nebo dělení. Čísla se zapisovala kombinací potřebného počtu číslic pro jednotlivé řády. Egypťané pouţívali matematiku k praktickým účelŧm a nechápali čísla jako abstraktní hodnoty, ale vţdy pod číslem chápali počet nějakých předmětŧ. Přehled, popis a hieroglyfický zápis čísel znázorňuje následující tabulka:

Hodnota

1

10

Měřící hŧl

Kraví pouta

100

1 000

10 000

100 000

1 000 000

Ukazovák

Pulec

Klečící postava (moţná bŧh Šu)

Hieroglyfy Hieratika Popis

Měřící Květ lotosu provazec

Pokud Egypťané chtěli zapsat nějaký násobek těchto hodnot, vyjádřili to opakováním symbolŧ kolikrát bylo potřeba. Například, reliéf na kameni z Karnaku ukazuje číslo 4622

Egyptské hieroglyfy mohly být psány v obou směrech (dokonce i shora dolŧ). Tento příklad je psán zleva doprava a shora dolŧ. V pozdější době se vyvinul číselný systém také v hieratickém písmu. Jednalo se o zjednodušení hieroglyfŧ. Zároveň se vyvinuly také hieratické znaky pro jednotlivé násobky jedničky, desítky, stovky a tisícovky. Bylo tedy mnohem jednodušší zapsat větší čísla. Např. číslo 9 999 bylo v hieratice zapsáno 4 znaky oproti 36 znakŧm v hieroglyfech. Egypťané neznali pouze přirozená čísla, ale znali také čísla racionální a zapisovali je zlomky. Tyto zlomky zahrnovaly převrácené hodnoty přirozených čísel a v zápisu se odlišovaly pouze pouţitím speciálního symbolu. Kromě tohoto číselného systému měl jazyk starověkého Egypta moţnost psát číslovky i jako slova, foneticky, stejně jako v češtině třicet místo 30. Například třicítka byla psána jako

32

naproti tomu číslice 30 byla psána jedničky a dvojky.

. To však nebylo obvyklé pro většinu číslovek, kromě

Některé matematické funkce Matematika zapsaná ve všech matematických papyrech se opírá o desítkovou soustavu se zvláštním znakem pro kaţdou větší decimální jednotku. Na základě tohoto systému rozvinuli Egypťané aritmetiku převáţně aditivního charakteru, coţ znamená, ţe se snaţili hlavně o převedení všeho násobení i dělení na opakované sčítání. Symbolický zápis nebyl ve starém Egyptě znám. Zadání úloh i postup řešení se popisovaly slovně, v některých případech slovní popisy doprovázely také písemné výpočty provádějící operace zmíněné v textu.

Sčítání Desítková číselná soustava umoţňovala velmi jednoduše sčítat jakékoli celočíselné hodnoty (nejenom dvě, ale i více). Postačovalo jen „shrnout“ znaky všech čísel dohromady a případně deset jednotek daného řádu nahradit jednou jednotkou řádu vyššího. Sčítání se vyjadřovalo slovesem s významem „spojit“. Př. Spojte čísla 4 263 a 1 381. V dnešní symbolice by se jednalo o jednoduché sečtení čísel, neboli 4263  1381  5644 . Egypťané si všechny znaky shrnuli dohromady. Vypadalo to asi takto:

Věděli však, ţe pokud se u některého řádu sejde více jak 10 znakŧ, těchto deset znakŧ škrtnou a nahradí je jedním znakem vyššího řádu. V tomto případě nahradili deset znakŧ

jedním znakem . Takţe výsledek vypadal takto: .

Úloha R79 Majetek:

Domy 7 Kočky 49 1 2 801 Myši 343 2 5 602 Pšenice 2 301sic 4 11 204 Ječmen 16 807 Celkem 19 607 Celkem 19 607* V této úloze je vidět součet více jak dvou čísel. V kaţdém sloupci na konci je jeden ze součtŧ čísel, které jsou nad ním. Ve druhém sloupci pisatel udělal chybu v zápise a místo čísla 2 401 napsal číslo 2 301. Součet je však správný. *

Všímavější čtenář si všimne, ţe jde o mocniny čísla 7.

33

Odčítání U odčítání se postupovalo obdobně jak u sčítání. Někdy bylo nutné jednotku vyššího řádu nahradit deseti jednotkami řádu niţšího. Odčítání se vyjadřovalo slovesem s výrazem „zmenšit“ nebo podstatným jménem „zbytek“. Př. Spočítej zbytek 16 za 15 (M15) V dnešní symbolice se jedná o zápis 16  15  1 . V hieroglyfickém zápise číslo 16 vypadá takto: a číslo 15 takto: Kdyţ tato dvě čísla odečteme, vidíme, ţe poškrtáním shodných znakŧ nám zŧstane pouze jeden znak . A tedy výsledek je 1. Coţ si snadno ověříme přepisem do současné symboliky. Pro znaménka plus a mínus byly uţívány hieroglyfy ve směru psaní, znamenalo to sčítání a opačně odčítání.

a

. Kdyţ noţičky směřovaly

Násobení Operace násobení je zaloţena na sčítání a na to poukazují také formulace, kterými jsou příklady zadány. Nejčastěji se objevuje „počítej s x y-krát“. K hledání výsledku se vţdy číslo x zdvojnásobovalo, dokud se nedošlo součtem jeho násobkŧ k číslu y. V některých případech bylo výhodnější místo dvojnásobkŧ vyuţívat desetinásobky, pro necelé činitele se také určovaly desetiny či poloviny. Př. Počítej s 15 13-krát. Kdybychom si to převedli do současné symboliky, hledali bychom vlastně 15·13 = 195. Avšak Egypťané to počítali jinak: \ 1 15 2 30 \ 4 60 \ 8 120 Označili si násobky, které součtem dostanou 13 = 1 + 4 + 8, svislou čarou (\). Výsledku dosáhli sečtením druhého sloupce odpovídajících hodnot, tedy 15 + 60 + 120 = 195. Př. Počítej s 74 23-krát. V současné symbolice se jedná opět o jednoduchý výpočet 74  23  1702 . V tomto případě Egypťané vyuţili také desetinásobku: \ 1 74 10 740 \ 20 1 480 \ 2 148 Součet 23 nám dají násobky 1 + 20 + 2. A tedy sečtením druhého sloupce odpovídajících hodnot dostaneme 74 + 1480 + 148 = 1702.

34

Dělení Při dělení se postupovalo podobně jako při násobení. Při zdvojnásobování dělitele se nejprve našla hodnota dělence a sečtením odpovídajících hodnot se získal výsledek. Pokud se nenašel zdvojnásobováním, dělitel se pŧlil. Při dělení se často pouţívalo obrácené hodnoty, jejíţ násobek je roven 1. Někdy také pouţívali desetinásobku nebo pětinásobku dělitele. Příklady na dělení se formulují: „Počítej s x dokud nenajdeš y.“, coţ znamená v současné symbolice y ÷ x. Celkový součet byl někdy pod výpočtem uveden, velmi často však chyběl. Ze samotného výpočtu nebylo vţdy jasné, zda se jedná o násobení nebo dělení. Je to nutné zjistit z kontextu. Př. Počítej s 8 dokud nenajdeš 43. V naší symbolice tedy počítáme 43 ÷ 8 = 5 \

1 2 4

\ \ \

1 8

8 16 32 1

1 4

2

3 8

. Avšak Egypťané to počítali jinak:

Označili si svislou čarou (\) násobky, které součtem dostanou 43 = 8 + 32 + 1 + 2. Výsledku dosáhli sečtením prvního sloupce odpovídajících hodnot, tedy 1 + 4 + 18 + 14 = 5 14 18 = 5 83 . Úloha R69 3 12 měřic mouky převést na 80 chlebů. Udej mi množství jednoho v mouce. Udej mi jejich kvalitu. Počítej s 3 1

3

10 \ 20 \ 2

35 70 7

\

2 3

2

\

1 21

\

1 7

1 2

1 2

až najdeš 80. Kvalita je 22

2 1 3 7

1 21

Počítej s 80, až najdeš 1 120. Postup 1 80 \ 10 800 \1

22

2 1 3 7

1 21

2

160

\2

45

1 1 1 1 1 3 4 14 28 42

1 6

\ 4

320

\

11

1 1 1 3 14 42

1 2

Celkem 1 120

1 3

Podíl jednoho z těch chlebů v mouce:

1 32

1 2

4 ro

Egyptské algoritmy pro násobení a dělení vyuţívají skutečnosti, ţe kaţdé číslo se dá vyjádřit jako součet mocnin čísla 2. Ale znalost binární soustavy u Egypťanŧ nepředpokládáme.

35

Umocňování a odmocňování Operace umocňování není v dochovaných textech častá. Většinou se jedná o „vhodné“ hodnoty nebo je vyjádřena jako „spočítej x x-krát“. Zpŧsob popisŧ v textech by nasvědčoval, ţe druhá mocnina byla produktem geometrie. Př. V úloze R48 je spočítána druhá mocnina čísel 8 a 9. Pro číslo 8 vypadal výpočet takto: Pro číslo 9 vypadal výpočet takto: 1 8 \ 1 9 2 16 2 18 9 4 32 4 36 \ 8 64 \ 8 72 V prvním příkladu není nutné sčítat, ve druhém mi 9 dá součet 1 + 8. Při odmocňování se téměř ve všech případech počítalo s bezproblémovou hodnotou, jedinou výjimkou je výpočet v Berlínském papyru. Předpokládá se, ţe při odmocňování byla stejně jako u umocňování pouţita geometrická cesta výpočtu.

Další operace Velký význam v egyptské matematice má operace zdvojnásobování. Je velmi často uţívaná u operací násobení a dělení. Většinou bývá vyjádřena jako „počítej s x 2krát“. V Moskevském papyru se však setkáváme i s termínem „zdvojnásobit“. Ještě se pouţívala operace zdesateronásobování, která bývá vyjádřena jako „počítej s x 10krát“.

36

Staroegyptské jednotky délky a objemu V Egyptě, stejně jako v jiných kulturách, bylo přirozené pouţívat části lidského těla k porovnání rozměrŧ určitých předmětŧ. Postupně se odstoupilo od pŧvodního významu a tyto míry začaly být chápány jako skutečné jednotky. Jako první byly stanoveny jednotky délkové a v závislosti na nich byly později stanoveny jednotky plošné. V egyptských matematických textech se pouţívají délkové míry pro popis rozměrŧ pyramid, polí a sýpek. Nezávisle na těchto jednotkách byly stanoveny jednotky pro objem. Pro obilí se pouţívala měřice a později byly stanoveny další jednotky, které byly násobkem nebo zlomkem měřice. Souvislost mezi jednotkami délky a objemu lze nalézt v Rhindově papyru, a to v úlohách počítajících objem sýpek rŧzného tvaru. Rozměry jsou udávány v loktech a první výsledek je tedy zapsán v loktech3 a následně převeden na pytle, přičemţ platí vztah loket3 = 1 + 12 pytle. Přehled základních jednotek používaných v úlohách: 1 loket = 52,5 cm = 7 dlaní 1 dlaň = 75 mm = 4 prsty 1 prst = 18,5 mm 1 chet = 52,5 m = 100 loktŧ 1 secat

= 2 756,5 m2

1 měřice 1 ro 1 dvojnásobná měřice 1 čtyřnásobná měřice 1 pytel 1 henu

= 1 chet2

= 4,805 l = 0,015 l = 9,610 l = 19,22 l = 96,114 l = 0,4805 l

= 10 000 loktŧ2 = 320 ro = 2 měřice = 4 měřice = 20 měřic = 101 měřice

37

Zlomky Nejstaršími zlomky, které se v Egyptě objevily, byly patrně jedna polovina a jedna čtvrtina. Jejich vznik byl zřejmě inspirován procesem pŧlení. Kromě nich byly jiţ v době Staré říše uţívány zlomky 13 , 23 , 34 , 16 , 56 , pro které se uţívaly zvláštní symboly. Označení zlomkŧ 13 , 2 3

,

1 4

,

3 4

,

1 6

,

5 6

vidíme na následujícím obrázku:

V době Střední říše začaly být v Egyptě uţívány pouze zlomky kmenné. Zlomky se zapisovaly jako převrácená hodnota přirozených čísel, tedy čitatel byl číslo 1. V zápisu se zlomek od přirozeného čísla odlišoval znakem zapsaným nad číslovkou. Tento znak by se dal povaţovat za zlomkovou čáru. V hieratickém písmu byl nahrazen tečkou. Takţe

1 3

byla v hieroglyfech psána takto:

Všechny zlomky se převáděly na součty kmenných zlomkŧ. Jedinou výjimku tvořil zlomek 2 . Převádění na součty kmenných 3 , pro tento zlomek se pouţíval zvláštní symbol zlomkŧ umoţňovaly tabulky udávající rozklady zlomkŧ tvaru potřebné pro násobení dvěma. Kdyţ byl jmenovatel příliš velký, byl znak

2 n

, tedy jediné rozklady

umístěn pouze nad začátkem jmenovatele:

Se smíšenými čísly se počítalo podobně jako s čísly přirozenými. Při násobení a dělení se vyuţívalo kromě zdvojnásobování, také pŧlení a dělení na více částí. Počítání s kmennými zlomky není však tak jednoduché, protoţe výsledky jakékoli matematické operace musely být opět vyjádřeny kmennými zlomky. Zvládnutí počítání se zlomky však bylo základem pro další studium matematiky. Př. V příkladu R24 je číslo 19 děleno číslem 8 (pomocí pŧlení). 1 8 Násobky, které součtem dostanou číslo 19 jsou 16 + 2 + 1. \ 2 16 Sečtením čísel v prvním sloupci dostanu výsledek dělení 1 4 a tedy 2 + 14 + 18 . 2 \

1 4

2

\

1 8

1

38

Př. V příkladu R39 je číslo 50 děleno číslem 6 (při výpočtu byla pouţita 13 )

\ \

1 2 4 8

6 12 24 48 2

1 3

Násobky, které součtem dostanou číslo 50 jsou 48 + 2. Sečtením čísel v prvním sloupci dostanu výsledek dělení a tedy 8 + 13 .

Př. V příkladu R54 je číslo 7 děleno číslem 10. My by jsme toto dělení vyjádřili zlomkem 107 . To však není kmenný zlomek a tedy Egypťané si tyto kmenné zlomky dopočítali (pouţívali při tom nejen pŧlení, ale také utvoření pětiny čísla). 1 10 1 \ 5 2 \

2

1 5

Tedy výsledek byl 7  10 

1 1 2 5

.

Stejným zpŧsobem bylo moţno dělit i smíšeným číslem. V příkladu R58 je vypočten podíl 70  93 13  12 14 a v příkladu R69 podíl 80  3 12  22 23 17 211 . S dělením přirozeného čísla se setkáváme také v příkladech R36, kde je vypočten podíl 10  1 12 14 , a R33, kde se počítá podíl 37  1 23

Tabulka

1 1 2 7

.

2 n

Jedním z ulehčení převádění na kmenné zlomky byla tabulka zlomkŧ typu

2 n

. Týkala se jedné

ze stěţejních operací staroegyptské matematiky a to zdvojnásobování. U celých čísel bylo zdvojnásobování jednoduché, stejně tak u zlomkŧ typu 21k nepŧsobilo potíţe (jednoduše se vykrátily). Tuto tabulku se písaři většinou učili nazpaměť, případně ji měli vţdy při ruce. Její části se nachází na jednom fragmentu Káhúnského papyru a na počátku Rhindova papyru. Káhúnský papyrus obsahuje všechna lichá n od 3 do 21 a má skutečně tvar jakési tabulky. Jedná se o deset řádkŧ a první začínán číslem 2, kterým se zlomek násobí. Např. pro hodnotu 13 jsou v jednom řádku vedle sebe uvedena čísla: 1 11 1 1 1 1 1 13 . 8 28 4 104 8 52 Smysl těchto čísel je moţno vyjádřit vztahy: 2 1 1 1 11 1 1    2 1   . , 13 8 52 104 28 4 8 Rhindŧv papyrus obsahuje tabulku, která udává pro všechna lichá n od 3 do 101 rozklady zlomku n2 na kmenné zlomky. Rhindŧv papyrus také ukazuje písemný výpočet hodnot.

39

Tyto rozklady na kmenné zlomky nebyly většinou jednoznačné, ale tabulka v Rhindově papyru ukazuje vţdy jen jeden rozklad. U kaţdého rozkladu je také ověření, zda je výpočet správný. Př. Při prověření vzorce

2 1 1   7 4 28 je nejdříve vypočtena

1 4

z čísla 7: 1

Tedy

1 4

 7  1 12

1 4

1 2

7 3 12

1 4

1 12

a do čísla 2 zbývá

1 4

1 4

1 2

7 14

4

28

a tedy:

11 1  24 4 Vydělením tohoto vztahu číslem 7 získáme výše uvedený vzorec. Smíšené číslo vydělíme číslem 7 snadno, neboť bylo konstruováno jako sedminásobek jedné čtvrtiny, výpočet čtyřnásobku čísla 7, je uveden výše. 2 1

Z takovýchto zkoušek správnosti výpočtu však nelze rekonstruovat pŧvodní úvahy počtářŧ, kteří tabulku sestavovali. Není totiţ jasné, jaký zlomek je z daného čísla nutné vypočítat, víme-li jen, ţe má být menší neţ 2. Navíc i doplňky tohoto čísla nejsou jednoznačné a tedy je lze napsat pomocí kmenných zlomkŧ více rŧznými zpŧsoby. V tabulce n2 v Rhindově matematickém papyru, lze najít jisté zákonitosti hledání rozkladu. Neplatí to však pro všechny rozklady a je moţné, ţe v určitých případech byl z několika rŧzných výsledkŧ pouze vybrán ten, který se zdál nejvhodnější pro další výpočty. Takto vypadala tabulka 2/n v Rhindově matematickém papyru: 2/3 = 1/2 + 1/6 2/5 = 1/3 + 1/15 2/7 = 1/4 + 1/28 2/9 =1/6 + 1/18 2/11 = 1/6 + 1/66 2/13 = 1/8 + 1/52 + 1/104 2/15 = 1/10 + 1/30 2/17 = 1/12 + 1/51 + 1/68 2/19 = 1/12 + 1/76 + 1/114 2/21 = 1/14 + 1/42 2/23 = 1/12 + 1/276 2/25 = 1/15 + 1/75 2/27 = 1/18 + 1/54 2/29 = 1/24 + 1/58 + 1/174 + 1/232 2/31 = 1/20 + 1/124 + 1/155 2/33 = 1/22 + 1/66 2/35 = 1/30 + 1/42 2/37 = 1/24 + 1/111 + 1/296 2/39 = 1/26 + 1/78 2/41 = 1/24 + 1/246 + 1/328 2/43 = 1/42 + 1/86 + 1/129 + 1/301 2/45 = 1/30 + 1/90 2/47 = 1/30 +1/141 + 1/470 2/49 = 1/28 + 1/196 2/51 = 1/34 + 1/102 2/53 = 1/30 + 1/318 + 1/795 2/55 = 1/30 + 1/330 2/57 = 1/38 + 1/114 2/59 = 1/36 +1/236 + 1/531 2/61 = 1/40 + 1/244 + 1/488 + 1/610 2/63 = 1/42 + 1/126 2/65 = 1/39 + 1/195 2/67 = 1/40 + 1/335 + 1/536 2/69 = 1/46 + 1/138 2/71 = 1/40 + 1/568 + 1/710 2/73 = 1/60 + 1/219 + 1/292 + 1/365 2/75 = 1/50 + 1/150 2/77 = 1/44 + 1/308 2/79 = 1/60 + 1/237 + 1/316 + 1/790

40

2/81 = 1/54 + 1/162 2/83 = 1/60 + 1/332 + 1/415 + 1/498 2/87 = 1/58 + 1/174 2/89 = 1/60 + 1/356 + 1/534 + 1/890 2/93 = 1/62 + 1/186 2/95 = 1/60 + 1/380 + 1/570 2/99 = 1/66 + 1/198 2/101 = 1/101 + 1/202 +1/303 + 1/606

2/85 = 1/51 + 1/255 2/91 = 1/70 + 1/130 2/97 = 1/56 + 1/679 + 1/776

Tuto tabulku egyptští počtáři pouţívali velmi často. Jakmile při výpočtu bylo nutné zdvojnásobit kmenný zlomek s lichým jmenovatelem, pouţili tabulku n2 . Její uţití je vidět například ve zkoušce u příkladu R1: 1 1 10 \ \

2

1 5

4

1 1 3 15

8

2 1 1 3 10 30

V tomto výpočtu byla pouţita tabulka dokonce dvakrát (při zdvojnásobování 15 a 151 ): 

2 5



2 15

 13  151  101  301

Algoritmy pro převod na kmenné zlomky Ne všechny rozklady na kmenné zlomky se dají algoritmizovat. V některých případech se však dají nalézt vztahy, které se dají rozepsat jako kroky nějakého algoritmu. Uvádím dva z nich. První algoritmus, který nemá nic společného se starověkými egyptskými metodami, ale vytváří egyptské zlomky, znázorňuje vytváření racionálních čísel r  ba mezi 0 a 1. Poislámská metoda zachycuje „neúplný“ algoritmus, který je připisován Jamesi Josephu Sylvesterovi, ale také ho popisuje Leonardo z Pisy (1202) v knize Liber Abaci v kapitole 7. Kroky algoritmu jsou tyto: 1. Najděte největší jednotkový zlomek, který je menší neţ r. Jmenovatel mŧţete najít tak, ţe vydělíte číslo b číslem a, oddělíte zbytek a přičtete jedničku (Kdyţ není ţádný zbytek, jste hotovi, protoţe r je sám o sobě jednotkovým zlomkem). 2. Odečtete nalezený zlomek od r. Potom pokračujete krokem jedna a dostanete novou menší hodnotu r. Druhý algoritmus hledá pro zlomek

p q

, kde p, q  1 a  p, q   1 , dělitele mezi čísly q  p

a q. Z těchto mezí vybere jedno z čísel a pro něj vyjádří zlomek ve tvaru

p q

 rr 

pr qr

 1r 

pr q qr

.

Tím, ţe zvolí vhodné r, tak uţ v prvním kroku mŧţe za pomoci dělitelŧ čísla r vyjádřit zlomek

p q

jako součet kmenných zlomkŧ. Pokud se tak nestane, opakuje opět hledání

vhodného čísla, tentokrát mezi čísly qr   pr  q  a qr. Př. Převeďte zlomek

19 20

na jednotkové zlomky.

První algoritmus: Budeme postupovat podle krokŧ algoritmu. Tedy jako první vydělíme číslo 20 číslem 19: 20  19  1 se zbytkem a první jednotkový zlomek je 111  12 . Tento zlomek odečteme

41

od pŧvodního:

19 20

 12 

9 20

. Tento zlomek není jednotkový a tedy musíme opakovat kroky

algoritmu 20  9  2 se zbytkem, druhý jednotkový zlomek je

1 2 1



1 3

a opět odečteme

60  7  8 se zbytkem, tedy třetí jednotkový zlomek je Dostaneme zlomek

1 81



9 20

 13 

a odečteme

1 9

7 60

7 60

.

1  19  180 .

, který uţ je jednotkový zlomek. Takţe náš výsledek je tvaru . 19  1  1  1  1 20 2 3 9 180 Druhý algoritmus: Ahmes pravděpodobně přepočítal zlomek 19 20 pomocí jednoduchého testování prvního dělitele 1 2

1 180

v rámci dobře známé starověké metody známé jako Hultsch-Bruinsova metoda.

Nebo-li

19 20

 12 

9 20

a vyřešil zlomek

9 20

pomocí hledání dělitelŧ čísla 20 (jsou to 20, 10, 5, 4,

2, 1), které po sečtení nepřevýší číslo 9. Zaměnil číslo 9 za (5 + 4), pak 19 20

 12 

5  4  20

 12  14  15 je optimální řešení.

Tato starověká metoda mŧţe být po krátké praxi počítána z paměti. Př.: Vypočtěte kmenné zlomky ke zlomku

2 19

První algoritmus: 19  2  9 se zbytkem a první jednotkový zlomek je od pŧvodního.

2 19

1 9 1



1 10

a odečteme tento zlomek

1  101  190 . Tím jsme dostali druhý jednotkový zlomek a výpočet tímto končí.

Tedy výsledný rozklad je

2 19

1  101  190

Druhý algoritmus: Vidíme, ţe jde o zlomek z tabulky 2/n. Podíváme se, jak Ahmes přišel na kmenné zlomky. Na začátku dělil: 19  2  9 se zbytkem. Vybereme tedy nějaké přirozené číslo, které leţí mezi 9 a 19. Je vhodné vybírat sudá čísla, aby se dalo snadněji krátit. Mŧţeme tedy vybírat z čísel 10, 12, 14, 16 a 18. Ahmes si vybral číslo 12, díky jeho velkému počtu dělitelŧ (12, 6, 4, 3, 2, 19  5 5 24 1 1). Výpočet pak vypadal takto: 192  12 12  228  228  12  228 . Nyní vyuţil dělitelŧ čísla 12 a našel součet takových, které dají číslo 5. Ahmes si vybral 3 + 2 3 2   121  761  1141 .  228 a počítal: 192  121   228 U tohoto výpočtu je vidět, ţe rozklad na kmenné zlomky není jednoznačný. Například u výběru součtu čísel dávajících číslo 5 jsme také mohli pouţít dělitele 4 + 1. Kmenné zlomky 4 1   121  571  2281 .  228 by pak vypadaly takto: 192  121   228 Jestliţe si na začátku vybereme číslo 14 místo 12, výpočet pak vypadá takto: 2 19

 14 14 

28 266

2 1  192669  141  7266  141  381  133 , coţ je hledaný rozklad na kmenné zlomky.

Pro číslo 16 pak výpočet vypadá takto: Pro číslo 18 takto:

2 19

 18 18 

36 342

2 19

 16 16 

32 304

13  19304  161 

8 4 1 304

 161  381 

1 76

1  304 .

6 2  17 1  19342  181  9342  181  381  571  171 .

42

Př. Vypočtěte kmenné zlomky ke zlomku

2 17

Pro výpočet pouţijeme druhý algoritmus. Máme pouţít číslo, které leţí mezi číslem 8 a 17. Vybereme si například číslo 14 a jeho děliteli 14, 7, 2 a 1. Výpočet pak vypadá takto: 28 17 11 2 14 1 11 17  14  238  238  14  238 . Nyní vyuţijeme dělitelŧ čísla 14 a číslo 11 vyjádříme pomocí nich, např. 11 = 7 + 2 + 2. Rozklad pak dále vypadá takto:

2 17

7  141   238 

2 2 238

  141  341  1192 .

Poslední zlomek je opět tvaru 2/n a musíme pro něj nalézt rozklad na kmenné zlomky, který pak dosadíme do součtu pro 172 . Pro

2 119

tedy počítáme s číslem vybraným z mezí 59 aţ 119. Vybereme si třeba číslo 60.

Výpočet pak vypadá takto:

2 119

na kmenné zlomky. Tímto rozkladem tedy nahradíme

 60 60 

2 119

120 7140

1  119 7140 

1 60

1  7140 , coţ je uţ rovnou rozklad

. Výsledek tedy vypadá takto:

2 17

1  141  341  601  7140

Procvičování práce se zlomky Sčítání zlomkŧ se provádělo převedením zlomkŧ na společný jmenovatel. Nemusel to však být nutně nejmenší společný násobek, jak je tomu v současné době, takţe hodnoty odpovídající čitatelŧm mohly být ve tvaru zlomku. Hodnota čitatele se ve výpočtu připsala pod zlomky červeným inkoustem, přičemţ zvolený jmenovatel měl hodnotu 1. Tato červená čísla zachycovala vztah jednotlivého zlomku k ostatním hodnotám ve výpočtu. Úloha R7: 1  12  14    14  281 

 14  281   18  561   161  1121  při tomto sčítání se vyuţívá společného jmenovatele 28, červená čísla uvádějící z našeho pohledu hodnoty čitatelŧ jsou pak tato: 7  1  3 12  12   1 12 14  14  a dávají součet 14. Výsledkem je tedy zlomek

14 28

 12 .

Doplňování nějakého zlomku do čísla 1 je také častým úkolem popsaným v nalezených matematických papyrech. Tento problém mŧţeme také povaţovat za odčítání zlomkŧ. Výpočty jsou doprovázeny komentáři, které objasňují postup. Vţdy je provedena zkouška. Úloha R22: Co doplní

2 1 3 30

do 1? V dnešní symbolice hledáme 1   23  301   15  101 . Společným

jmenovatelem v tomto případě bylo číslo 30. Zbytek do 1 je nalezneš 9. Tedy kmennými zlomky hledaný výsledek je

1 1 5 10

9 30

neboli počítej s 30 neţ

.

Pro urychlení počítání se zlomky se mimo tabulky 2/n také uţívalo tabulky pro sčítání zlomkŧ, kde se nacházely jak jednoduché identity jako 101  101  15 , tak i sloţitější identity jako 1 28



1 49



1 98

1  196 

1 14

. Tato tabulka se dochovala na koţeném svitku.

43

V egyptské matematice hrály určovány 2 3

2 3

2 3

dŧleţitou úlohu. Z výpočtŧ není patrné, jak přesně byly

z čísla, ale pravděpodobně pro to existovaly tabulky. Například pro určování

z lichého zlomku, pro sudý zlomek se jednoduše vykrátí, je tabulka zaznamenána

v Rhindově matematickém papyru v úloze R61B. Tak jak je problém popsán v této úloze, lze najít určitý společný vztah pro toto hledání. Tento vztah lze vyjádřit jako 23  1x  21x  61x .

Horovy zlomky Jedná se o speciální systém zlomkŧ, z nichţ kaţdý je reprezentován vlastním znakem, odlišným od běţných egyptských zlomkŧ. Tyto znaky tvořily části znaku vedžat, neboli Horova oka. Jejich sloţením 63 vznikl celý znak. Součet těchto zlomkŧ je 64 . Tento systém byl pouţíván při dělení objemové jednotky hekat (měřice), která slouţila pro měření zrna. Pro odlišení jsou Horovy zlomky psány kurzívou.

Vedţat

Hieroglyfy Hieratika 1 2

Zlomek

1 4

1 8

1 16

1 32

1 64

V praxi se však písaři setkávali i s takovými objemy obilí, jeţ odpovídaly jiným zlomkŧm měřice, neţ s kterými operoval tento systém. V takových případech se zlomek převáděl na součet zlomkŧ, které systém měřice pouţíval. Doklad takovýchto převodŧ se dochoval na dvou dřevěných tabulkách z Achímu. Převody měřice na ro 1 1 měřice = 320 ro = 20 ro 16 měřice 1 1 = 160 ro 2 měřice měřice = 10 ro 32

1 4

měřice

= 80 ro

1 8

měřice

= 40 ro

Úloha 25367/2: Nalezení

1 64

1 7

měřice

=

5 ro

měřice.

Víme, ţe 1 měřice = 320 ro a tedy hledáme 320  7 . \ 1 7 \ 4 28 1 10 70 Dělení v dnešní symbolice zapíšeme \ 1 7 20 140 1 1 takto: 320  7  45  12  17  141 ro. 2 4 28 \ 40 280 1 1 \ 4 2 14 2 14 Celé číslo, které zbylo (tedy číslo 45) se převede na Horovy zlomky. Zbytek podílu se nechá jako zlomky z jednotky ro. 45 ro  40  5 ro  81  641 měřice. Pro zkoušku se mŧţe zpět roznásobit: 7   81  641 měřice  12  17  141 ro   1 měřice.

44

Posloupnosti Některé slovní úlohy v Rhindově matematickém papyru ukazují, ţe egyptští písaři se dovedli dobře orientovat také v problémech s posloupnostmi. Jeden příklad je také znám z Káhúnského papyru, nemá však slovní zadání.

Aritmetické posloupnosti Kdyţ se v dnešní době bavíme o aritmetických posloupnostech, máme na mysli nějakou číselnou posloupnost an n1 , v níţ se rozdíl mezi libovolnými dvěma po sobě jdoucími členy 

nemění (je konstantní). Egypťané ţádnou takovou poučku neměli a aţ z řešení daného příkladu je poznat, ţe se jedná o aritmetickou posloupnost (v případě úlohy R40). Úloha R64 je nadepsána jako „Metoda počítání s rozdílem peru“, coţ charakterizuje aritmetickou posloupnost. Posloupnosti z těchto příkladŧ mají pět, resp. deset členŧ, tedy jedná se o konečné aritmetické posloupnosti. Úloha R40 Je třeba rozdělit 100 chlebů mezi 5 mužů tak, aby byla jedna sedmina ze tří horních pro dva muže dole. Ze známého součtu známého počtu členŧ posloupnosti a doplňující podmínky je tato úloha vypočtena. Řeší se metodou chybného předpokladu. Máme 5 členŧ posloupnosti a chybným předpokladem v tomto případě je, ţe za první člen povaţujeme číslo 1. Členy tedy jsou tvaru 1, 1 + d, 1 + 2d, 1 + 3d, 1 + 4d. Podmínku, která je na tyto členy kladena, mŧţeme vyjádřit vztahem 1  1  d   17  1  2d   1  3d   1  4d  , ze kterého snadno vypočteme diferenci d  5 12 . Jedná se tedy o posloupnost 1, 6 12 , 12, 17 12 , 23, jejíţ součet nám dá číslo 60. Součet hledané posloupnosti je však 100 a tedy číslo 60 musíme vynásobit číslem 100  60  1 23 . Tímto číslem musíme tedy vynásobit i všechny členy posloupnosti. Hledanou posloupností je tedy posloupnost čísel: 1 23 , 10 23 16 ,

20,

jejíţ diference d  5 12  1 23   9 16 .

29 16 ,

38 13

Úloha R64 Řekne-li se ti: 10 měřic ječmene pro 10 muţŧ, rozdíl peru kaţdého muţe vŧči jeho druhovi: mnoţství v ječmeni je 81 měřice, hlavní část je 21 sic. Odečti 1 od 10, zbytek je 9. Spočítej 1 2

z rozdílu peru, je to

Odečti

1 8

1 16

, počítej (s tím) 9krát, vyjde

1 1 2 16

měřice. Přičti k hlavní části.

měřice od kaţdého muţe neţ dojdeš k poslednímu.

Tento text psaný egyptským písařem nám dovoluje rekonstruovat metodu řešení, i kdyţ v něm písař udělal chybu. Řešení vychází z představy aritmetické posloupnosti s diferencí 2d a členy a  9d , a  7d , a  5d , a  3d , a  d , a  d , a  3d , a  5d , a  7d , a  9d .

45

Číslo a je tzv. hlavní část neboli aritmetický prŧměr všech členŧ posloupnosti. Jelikoţ známe součet členŧ posloupnosti, který má být 10a  10 , je a = 1. Diference d je zřejmě 1 16 a největším členem posloupnosti je tedy a  9d  1  9  161  1 12 161 .

Postupným odčítáním diference dostaneme všechny zbylé členy posloupnosti. Je zajímavé, ţe úloha je konstruována tak, aby nám vyšly pouze Horovy zlomky.

Geometrické posloupnosti Kdyţ se v dnešní době bavíme o geometrických posloupnostech, rozumíme tím takovou číselnou posloupnost an n1 , v níţ se podíl libovolných dvou po sobě jdoucích členŧ nemění 

(je konstantní). V egyptských textech nalézáme pouze jediný příklad geometrické posloupnosti. Jedná se o úlohu R79, ve které nacházíme pětičlennou posloupnost, jejíţ kvocient q je konstantní a je roven číslu 7. Úloha je uvozena slovem „majetek“ a její smysl lze interpretovat asi takto: Úloha R79 Na statku je 7 sýpek, v každé sýpce žije 7 koček, každá kočka honí 7 myší, na každou myš připadá 7 pytlů obilí a v každém pytli je 7 měřic ječmene. Kolik nám to dá dohromady? Jde o posloupnost se členy: a1  7 sýpek; a 2  7  7  49 koček; a3  7  49  343 myší;

Součet členŧ této posloupnosti je tedy 7  49  343  2 401  16 807  19 607 .

a 4  7  343  2 401 pytlŧ; a5  7  2 401  16 807 měřic.

Protoţe se u tohoto příkladu po straně nachází součin 7  2 801  19 607 , dalo by se předpokládat, ţe cesta k výsledku vedla přes následující posloupnost součtŧ: s1  7  1  7 ,



s 2  7  1  7   56 ,



s3  7  1  7  7 2  7  1  56   399 ,





s 4  7  1  7  7 2  7 3  7  1  399   2 800 ,





s5  7  1  7  7 2  7 3  7 4  7  1  2 800   19 607 .

qn 1 Není doklad, ţe by Egypťané postupovali podle vzorce s n  a1  pro součet prvních n q 1

členŧ geometrické posloupnosti tak, jak bychom postupovali s současnosti. Po dosazení by nám vyšlo: 16 807  1 16 806 s5  7   7  7  2 801  19 607 , 7 1 6 ale výpočet 16 806  6  2 801 nikde uveden není.

46

Algebra Ve staroegyptských matematických textech nalézáme úlohy, které je moţno řešit rovnicemi s jednou neznámou. Tato skutečnost svědčí o jejich významu pro egyptské počtáře a také nám dává příleţitost porovnat problémy z hlediska obtíţnosti, zpŧsobu zadání i metody řešení. Většinou se jedná o příklady na vypočtení neznámého mnoţství, které je zadáno nějakou podmínkou. Úlohy tohoto typu jsou většinou formulovány abstraktně. Některé příklady jsou zadány jako slovní úlohy, jiné však o problému pojednávají bez potřeby demonstrovat metodu na nějaké situaci ze ţivota. Neznámá se označuje egyptským výrazem aha, který je chápán jako abstraktní mnoţství. Na základě tohoto výrazu se někdy egyptským rovnicím říká úlohy aha. Úlohy, které vedou na lineární rovnice, nacházíme především v Rhindově a Moskevském matematickém papyru. Jsou řešeny převáţně metodou nesprávného předpokladu nebo přímým dělením.

Rovnice řešené metodou nesprávného předpokladu V Rhindově matematickém papyru v úlohách R24 – R27 jsou formulovány lineární rovnice, které mŧţeme obecně zapsat ve tvaru x  1A  x  B , a to zpŧsobem: Přidej 1A z neznámého mnoţství k němu samému tak, aby vyšlo B. Díky jednoduchosti zadání je moţné snadno vyřešit tuto rovnici. Vezmeme hodnotu A a zvolíme ji za neznámou x. Levá strana rovnice je pak rovna hodnotě A + 1. Skutečná hodnota x je potom rovna A  AB1 . Po vyřešení je vţdy provedena zkouška, ve které se ověří platnost zadaného vztahu. Úloha R24 Množství, jehož

1 7

k němu přidaná dá 19.

x  17  x  19 7  17  7  7  1  8 19  8  2  14  18

7  2  14  18   16  12  18  x

16  12  18   17  16  12  18   16  12  18   2  14  18   19 Úloha se sestává ze slovně zadaného problému a písemných výpočtŧ. Postup řešení není opatřen ţádným komentářem. Zřejmě jej pro jednoduchost příkladu nebylo potřeba. Úloha R26 Množství, jehož

1 4

k němu přidaná dá 15.

Počítej se 4. Spočítej

1 4

se 3 4krát vyjde 12,

z toho 3, celkem 15. Mnoţství 12,

1 4

z toho, tedy 1, celkem 5. Počítej s 5, aţ najdeš 15. Vyjde 3. Počítej 1 4

z toho 3, celkem 15.

47

x  14  x  15 4  14  4  4  1  5 15  5  3 4  3  12  x 12  14  12  12  3  15 Tato úloha počítá s jednoduššími hodnotami a kromě písemného výpočtu obsahuje také slovní popis řešení. Mŧţeme ji povaţovat za vzorovou úlohu pro řešení metodou nesprávného předpokladu. V Rhindově papyru se metoda nesprávného předpokladu vyuţívá i v jiných problémech, např. v úloze R40, kde se rozděluje chléb několika lidem podle určitého vztahu (viz kapitola Aritmetické posloupnosti).

Rovnice řešené metodou dělení V úlohách tohoto typu se postupuje jinak neţ u metody nesprávného předpokladu. U rovnic se provede dělení pravé strany násobkem neznámé. Tedy u rovnice x  1A x  B se provede B  1 

1 A

 x.

S tímto typem úloh se setkáváme v Moskevském papyru, na jednom ze zlomkŧ Káhúnského papyru a také v některých úlohách Rhindova matematického papyru. V Moskevském a Káhúnském papyru se objevují pouze jednodušší typy příkladŧ, zatím co Rhindově tyto úlohy vedou k obtíţnějším výpočtŧm. Úloha M25 Metoda výpočtu množství. To, co se spočítá 2krát (a jednou) ze 4 tak, aby to přišlo k 9, je to, o čem se hovoří. Sečti to množství a ty dvě, vyjde 3. Počítej s těmi 3, až najdeš 9, vyjde 3krát. Hle, 3 je to, o čem se hovoří. Nalezl jsi správně. V současné symbolice jde o jednoduchou lineární rovnici tvaru: 2x  x  9 . Jednoduchými ekvivalentními úpravami této rovnice dojdeme k výsledku x  3, který nalezl také písař Moskevského papyru. Úloha K4 Máme zadanou lineární rovnici tvaru:

x   12 

1 4

 x  5 .

Písař Káhúnského papyru došel k výsledku takto: 1   12  14  

1 4

1  14  4 5  4  20  x

48

Tento příklad je velice specifický tím, ţe jako jediný počítá lineární rovnici, která v zadání obsahuje odčítání. V prvním kroku se upraví levá strana rovnice. Poté se pravá strana rovnice vydělí tímto násobkem. Nedělí se však přímo, ale přes vyjádření poměru násobku neznámé vŧči 1 (v současné matematice nalézáme převrácenou hodnotu čísla). Existuje skupina úloh v Rhindově matematickém papyru, která se svým zadáním podobá příkladŧm řešeným metodou nesprávného předpokladu. Touto metodou však tyto úlohy řešit nelze kvŧli více násobkŧm neznámé. Tyto úlohy zároveň ukazují, jak sloţité mohlo dělení v některých případech být. Neznámá je většinou vyjádřena pomocí více kmenných zlomkŧ a řešení se provádí dělením pravé strany rovnice násobkem neznámé, kterou si vyjádřili na levé straně. Na konci kaţdé této úlohy je provedena zkouška pro ověření, zda písař došel ke správnému výsledku. R 30:  23  101   x  10 R 31: x   23  12  17   x  33 R 32: x   13  14   x  2

R 33: x   23  12  17   x  37 R 34: x   12  14   x  10 Úloha R32 Množství, jehož k němu přidané dají 2. V současné symbolice by se jednalo o lineární rovnici tvaru: x   13  14   x  2 . Písař poté řešil rovnici metodou přímého dělení a tedy pravou stranu rovnice vydělil násobkem neznámé. 1 1 2  1  13  14   1  16  121  114  228 Tímto dostal řešení rovnice. Pro jistotu provedl na konci zkoušku tím, ţe roznásobil výsledek a násobek neznámé. 1  16  121  1441  2281   1  13  14   2 Při výpočtu pouţíval také pomocné hodnoty, které se vztahují ke společnému jmenovateli, který byl získán v pomocných výpočtech úlohy a to ve dvou krocích. i) 12 12  144 ii) 144  1  13  14   228 Zkouška byla provedena s touto pomocnou hodnotou, která byla ve výpočtech označena červeným inkoustem, aby se odlišila od samotného řešení příkladu. Úloha R34 Množství, jehož k němu přidané dají 10. Opět se jedná o jednoduchou lineární rovnici x   12  14   x  10 , která se vyřeší metodou dělení. A tedy 10  1  12  14   5  12  17  141 a následně se provede zkouška:

5  12  17  141   1  12  14   10 .

49

Zadání této úlohy je nejjednodušší z této pětice příkladŧ a dělení vede přímo k výsledku. Ve zkoušce se pouţívá opět pomocných hodnot, které usnadňují ověření výsledku.

Rovnice druhého řádu Jediný známý příklad počítající rovnici druhého řádu se zachoval na jednom z fragmentŧ Berlínského papyru. Rovnice zahrnuje dvě neznámá mnoţství. Jejich vztah je zadán jako b   12  14   a a součet jejich druhých mocnin je 100. Úloha B1

100  a 2  b 2

100  a 2  12  14   a

2

100  1  12  161   a 2

10  1 

 a 10  1  14   8  a 8   12  14   6  b . 1 4

V prvním kroku řešení se neznámá b převede pomocí vztahu b   12  14   a . Tím dostaneme kvadratickou rovnici s jednou neznámou. Násobky neznámé se poté umocní a sečtou tak, aby bylo moţné provést odmocnění celé rovnice. První neznámá a je potom snadno dopočítána pomocí dělení. Druhou neznámou b si vyjádříme dosazením a do výše uvedeného vztahu. Na jednom z fragmentŧ Káhúnského papyru se nachází nepříliš srozumitelná úloha K5, kterou také mŧţeme povaţovat za úlohu s rovnicí druhého řádu. Lze zde nalézt neznámou v druhé mocnině. Jedná se o rovnici 10 x   12  14   x  120 . Další kroky výpočtu vypadají takto:

120 10  12 1   12  14   1 13 12  1 13  16

16  4 .

V obou těchto příkladech vidíme kvadratické rovnice, které ovšem nemají lineární člen, tedy jde o neúplné kvadratické rovnice. V egyptských matematických textech se nesetkáváme s ţádnou úplnou kvadratickou rovnicí.

50

Shrnutí Matematika měla i v Egyptě dvě sloţky a to algebraickou a geometrickou. Ve své diplomové práci jsem se zabývala pouze algebraickou částí, jak jsem nastínila jiţ v úvodu své práce. Popsala jsem metody řešení základních aritmetických operací jako je sčítání, odčítání, násobení a dělení. Dále jsem se zaměřila na rŧzné typy rovnic, které se dochovaly v písemných pramenech. Také geometrie byla v Egyptě na vysoké úrovni a to moţná i na vyšší neţ algebra. K tomuto stavu přispěl především velký rozvoj architektury. Obyvatelé starověkého Egypta pouţívali matematiku pouze pro výpočty dŧleţité pro hospodářské potřeby státu, jak bylo patrné na příkladech pouţitých pro ilustraci v mé diplomové práci. Dokázali řešit velice sloţité matematické úlohy i přes mnohá úskalí jednotkových zlomkŧ a také bez pouţití současných moderních pomŧcek, jako kalkulaček a osobních počítačŧ. Egypťané však ještě neznali matematiku jako abstraktní vědu. Pro své výpočty vţdy potřebovali nějakou pevnou a hmatatelnou jednotku, tzn. osoby, pecny chleba, sýpky, obilí… Tyto jednotky nedokázali nahradit, tak jak je tomu v současné matematice, abstraktní jednotkou (tzn. místo hmatatelných jednotek třeba písmeno).

51

Literatura Bečvář J., Bečvářová M., Vymazalová H.: Matematika ve starověku – Egypt a Mezopotámie, Dějiny matematiky 23, Prometheus, Praha 2003 Davies, W. V.: Egyptské hieroglyfy – Čtení v minulosti, Litera, Volvox Globator, Praha 2002 Lázňovská M., Hessová L.: Egypťané a první civilizace, Euromedia, Praha 2000 Hawas, Z.: Pyramidy – Magické symboly starého Egypta, Nakladatelství Rebo Productions, Čestlice 2004 Hüttlová, J.: Poklady egyptských hrobů – z dějin papyru a papyrových nálezů, Ústřední dělnické knihkupectví a nakladatelství, Praha 1919 Martellová, H. M.: Svět ve starověku, Fragment, Havlíčkŧv Brod 2003 Siliotti, A.: Údolí králů – Thébská pohřebiště a chrámy, Rebo Productions, Čestlice 1998 Siliotti, A.: Egypt – chrámy, bohové a lidé, Rebo Productions, Čestlice 1994 Tomek, J.: Bohové a faraoni, Albatros, Praha 2000 Vachala, B.: Egypt, Stručná historie státŧ, Libri, Praha 2003 Vachala, B.: 77 zajímavostí ze Starého Egypta, Albatros, Praha 1989 Vachala, B.: Nejstarší literární texty v nekrálovských hrobkách egyptské Staré říše, Nadace Universitas Masarykiana, Brno 2000 Vachala, B.: Egyptské hieroglyfy – Dar boha, vědění a moudrosti, Vesmír, březen 2002, roč. 81, č. 3, s. 148 – 155 Verner, M.: Ztracené pyramidy, zapomenutí faraoni, Abúsír, Academia, Praha 1994 Vymazalová, H.: Staroegyptská matematika – Hieratické matematické texty, Dějiny matematiky 31, Český egyptologický ústav Filozofické fakulty UK v Praze, Praha 2006 Vymazalová, H.: Odraz úřednické praxe v úlohách Rhindova matematického papyru, Praţské egyptologické studie 2, Praha 2003, s.202 – 212 Vymazalová, H.: Zkusme měřit měřicí, Praţské egyptologické studie 3, Praha 2004, s. 159 – 167 Vymazalová, H.: Počty v zemi faraonů: matematika stavitelů pyramid, Dokořán, Praha 2008 Zamarovský, V.: Jejich veličenstva pyramidy, Perfect, Praha 2006 Zornová, O.: Jak je poznáme? Umění Egypťanů, Euromedia, Praha 2005 Starověký Egypt [září 2007] Starověký Egypt a jeho historie [leden 2008] Egyptologie, Egypt [listopad 2007] Wikipedia [říjen 2008] PlanetMath [říjen 2008]

52