MASARYKOVA UNIVERZITA PRˇI´RODOVEˇDECKA´ FAKULTA ´ STAV TEORETICKE´ FYZIKY A ASTROFYZIKY U
Bakala´rˇska´ pra´ce
BRNO 2015
DORA SPOUSTOVA´
MASARYKOVA UNIVERZITA PRˇI´RODOVEˇDECKA´ FAKULTA ´ STAV TEORETICKE´ FYZIKY A ASTROFYZIKY U
Prˇ´ıklady z mechaniky se sportovnı´ tematikou Bakala´rˇska´ pra´ce
Dora Spoustova´
Vedoucı´ pra´ce: Mgr. Lenka Czudkova´, Ph.D.
Brno 2015
Bibliograficky´ za´znam Autor:
Dora Spoustova´ Prˇ´ırodoveˇdecka´ fakulta, Masarykova univerzita ´ stav teoreticke´ fyziky a astrofyziky U
Na´zev pra´ce:
Prˇ´ıklady z mechaniky se sportovnı´ tematikou
Studijnı´ program:
Fyzika
Studijnı´ obor:
Fyzika se zameˇrˇenı´m na vzdeˇla´va´nı´ Anima´tor sportovnı´ch aktivit
Vedoucı´ pra´ce:
Mgr. Lenka Czudkova´, Ph.D.
Akademicky´ rok:
2014/2015
Pocˇet stran:
viii + 37
Klı´cˇova´ slova:
kinematika; dynamika; rˇesˇenı´ prˇ´ıkladu˚; sportovnı´ tematika
Bibliographic Entry Author:
Dora Spoustova´ Faculty of Science, Masaryk University Department of Theoretical Physics and Astrophysics
Title of Thesis:
Examples from mechanics with theme of sport
Degree Programme:
Physics
Field of Study:
Physics with a view to Education Animator of Sport Activities
Supervisor:
Mgr. Lenka Czudkova´, Ph.D.
Academic Year:
2014/2015
Number of Pages:
viii + 37
Keywords:
kinematics; dynamics; problems solving; theme of sport
Abstrakt Tato bakala´rˇska´ pra´ce je souborem rˇesˇeny´ch prˇ´ıkladu˚ z mechaniky se sportovnı´ tematikou. Pra´ce je rozdeˇlena na dveˇ cˇa´sti. V prvnı´ cˇa´sti jsou rˇesˇeny proble´my z oblasti kinematiky (popisy pohybu), ve druhe´ cˇa´sti jsou voleny prˇ´ıklady z dynamiky (zkouma´nı´ prˇ´ıcˇin pohybu). Prˇ´ıklady majı´ ru˚zne´ stupneˇ obtı´zˇnosti, od strˇedosˇkolske´ u´rovneˇ azˇ po prˇ´ıklady, pro jejichzˇ rˇesˇenı´ je nezbytna´ volba vhodne´ho modelu a pouzˇitı´ diferencia´lnı´ho pocˇtu. Postup rˇesˇenı´ a vy´sledky jsou doprova´zeny komenta´rˇi, grafy a dalsˇ´ımi na´meˇty na prˇemy´sˇlenı´.
Abstract This bachelor thesis consists of a set of solved examples from mechanics with theme of sport. The thesis is divided into two parts. The first part deals with the problems of kinematics (description of the movement), in the second part there are selected examples of dynamics (examination of the causes of motion). Examples provide different levels of difficulty, from the secondary school level to the examples where we need to choose a suitable model and apply differential calculus. Solutions and results are accompanied by commentary, charts and other ideas to think about.
MASARYI(OVA
U N IVE
RZITA
Piirod oved ecka faku lta
ZADANi EETNMH,STE PRACE Akademickyi rok:
Ustav:
2O1
4/201 5
Ustav teoretick6 fyziky a astrofyziky
Studentka: DoraSpoustovil
Program:
Obor:
Fyzika Fyzika se zamdienim navzd5llvdni imiitor sportovn ich aktivit
An
Reditel lstavu teoretickd fyziky a astrofyziky PfF MU Vim ve smyslu Studijniho a zkuSebniho i6du MU urduje bakalAiskou pr6ci s t6matem: T6ma
price: Pilklady z mechaniky se sportovnitematikou
T6ma
price anglicky: Examples from mechanics with theme of sport
Ofici6lni zaddnl. Ukolem bakaliiisk6 prdce je vytvoieni souboru ie5enfch piikladri z mechaniky se sportovni tematikou. Piiklady by mdly by mit r&znou froveri obtiZnosti - od jednoduchlich motivadnich itloh z kinematiky aZ po probl6my vyladuj(ci zvolenl vhodn6ho modelu, vyhlediini potiebnlich informaci, numerick6 ieSeni rovnic a kritick6 posouzenI ziskanych vlisledk0. Literatura: Fyzika pro gymnd,zia : mechanika. 1. vyd. Praha, Praha: Prometheus, 1993.343 s. ISBN 80-901 619-3-1. KVASNICA, )ozef . Mechanika [Kvasnica, 't988].1 . vyd. Praha: Academia, nakladatelstvi eeskoslovensk6 akademie vdd, 1988. 476 s.
HALLIDAY David, Robert RESNICK a )earl WALKER. Fyzika :vysokoikolskd uiebnice obecnd fyzil
T|UM,2000. xxiv, 1198. ISBN 8171952147. lazykzivEreEn6
Vedouci
pr6ce:
Datum zadini V BrnE
pr6ce:
price:
dne:
de5tina
Mgr. Lenka Czudkovd,, Ph.D. 5. 2. 2014
10.12.2014
Souhlasfm se zadinim (podpis, datum):
6ra Spoustovd studentka
Mgr. Lenka Czudkov6, Ph.D. vedouci pr6ce
prof. Rikard von Unge, Ph/D. ieditel Ustavu teoretick6 tyliky a astrofyziky
Podeˇkova´nı´ Na tomto mı´steˇ bych chteˇla velice podeˇkovat vedoucı´ me´ bakala´rˇske´ pra´ce Mgr. Lence Czudkove´, Ph.D., za jejı´ cˇas, za´jem a inspirativnı´ prˇ´ıstup.
Prohla´sˇenı´ Prohlasˇuji, zˇe jsem svoji bakala´rˇskou pra´ci vypracovala samostatneˇ s vyuzˇitı´m informacˇnı´ch zdroju˚, ktere´ jsou v pra´ci citova´ny.
Brno 18. kveˇtna 2015
.......................... Dora Spoustova´
Obsah ´ vod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . viii U Kapitola 1. KINEMATIKA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1 Usain Bolt v Berlı´neˇ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Usain Bolt v Pekingu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Cyklista na vy´leteˇ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4 Basketbalista ha´zı´ na kosˇ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5 Koularˇ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1 1 2 5 6 7
Kapitola 2. DYNAMIKA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1 Sı´ly pu˚sobı´cı´ na puk, bowlingovou kouli a nohu beˇzˇce . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Lyzˇarˇ na svahu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Skok do vody . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4 Rychlost dopadu vrzˇene´ koule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5 Sra´zˇka kulecˇnı´kovy´ch koulı´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6 Bob v klopene´ ledove´ zata´cˇce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11 11 14 23 29 31 33
Za´veˇr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
36
Seznam pouzˇite´ literatury . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
37
– vii –
´ vod U Tato bakala´rˇska´ pra´ce da´va´ do souvislosti fyziku a sport. Pro popis a vysveˇtlenı´ sportovnı´ch cˇinnostı´ vyuzˇ´ıva´ poznatku˚ mechaniky, ktera´ je za´kladnı´m oborem fyziky. Na na´sledujı´cı´ch strana´ch jsou vybra´ny sportovnı´ prˇ´ıklady, ktere´ jsou popsa´ny pomocı´ kinematiky nebo dynamiky. Prˇi vytva´rˇenı´ u´vah a rˇesˇenı´ prˇ´ıkladu˚ je du˚lezˇite´ zavedenı´ urcˇite´ho modelu (zjednodusˇenı´ pohybu, vyzdvizˇenı´ du˚lezˇity´ch znaku˚ a zanedba´nı´ me´neˇ podstatny´ch jevu˚). V prˇ´ıkladech tedy vzˇdy nejprve volı´me vhodny´ model, vyhleda´va´me vstupnı´ cˇ´ıselne´ u´daje, prova´dı´me rˇesˇenı´ a podrobneˇ kriticky diskutujeme zı´skane´ vy´sledky vcˇetneˇ adekva´tnosti modelu. Pra´ce je rozdeˇlena do dvou kapitol. Prvnı´ kapitola (KINEMATIKA) se zaby´va´ vy´pocˇty rychlostı´ a zrychlenı´ beˇzˇce a na prˇ´ıkladu s cyklistou vysveˇtluje rozdı´ly mezi vektorovy´mi a skala´rnı´mi velicˇinami. V dalsˇ´ı cˇa´sti se zameˇrˇuje na vrhy, ktere´ ve sportu prˇedstavuje naprˇ´ıklad hod na basketbalovy´ kosˇ nebo vrh koulı´. Ve druhe´ kapitole (DYNAMIKA) nejprve shrnujeme, jake´ sı´ly mohou pu˚sobit na teˇlesa, a na tyto poznatky navazujeme v na´sledujı´cı´ch prˇ´ıkladech. Poda´va´me naprˇ´ıklad vysveˇtlenı´, procˇ jsou male´ deˇti na lyzˇ´ıch neˇkdy rychlejsˇ´ı nezˇ jejich rodicˇe, nebo jak vypada´ pru˚beˇh rychlosti prˇi skoku do vody. Tyto prˇ´ıklady jizˇ vyuzˇ´ıvajı´ komplikovaneˇjsˇ´ıch matematicky´ch u´prav. Ty vsˇak nejsou pro pochopenı´ fyzika´lnı´ podstaty nutne´, na teˇchto mı´stech je totizˇ text doplneˇn o podrobneˇjsˇ´ı komenta´rˇe vy´sledku˚, grafy a jejich interpretaci. Prˇi rˇesˇenı´ prˇ´ıkladu˚ se prˇedpokla´da´ znalost mechaniky na u´rovni ucˇiva strˇednı´ sˇkoly. Pro rozsˇ´ırˇenı´ svy´ch znalostı´ mu˚zˇe cˇtena´rˇ nahle´dnout do seznamu pouzˇite´ literatury, v nı´zˇ se nacha´zejı´ ucˇebnı´ texty, ze ktery´ch tato bakala´rˇska´ pra´ce cˇerpa´ vesˇkere´ fyzika´lnı´ poznatky. Elektronicke´ zdroje cˇ´ıselny´ch hodnot uvedeny´ch v zada´nı´ch prˇ´ıkladu˚ jsou pro prˇehlednost uva´deˇny na odpovı´dajı´cı´m mı´steˇ v textu pra´ce (datum navsˇtı´venı´ kveˇten 2015). Te´ma bakala´rˇske´ pra´ce je velice obsa´hle´, proto byl proveden vy´beˇr za´kladnı´ch mechanicky´ch jevu˚. Prˇ´ıklady byly voleny tak, aby zahrnovaly co nejpestrˇejsˇ´ı spektrum dane´ fyzika´lnı´ problematiky.
– viii –
Kapitola 1 KINEMATIKA Kinematika je cˇa´st fyziky, ktera´ popisuje pohyb teˇles. Prˇedevsˇ´ım zkouma´ jejich polohu, rychlost a zrychlenı´. Du˚lezˇity´m pojmem pro na´s bude hmotny´ bod, cozˇ je nejjednodusˇsˇ´ı myslitelny´ objekt, ktery´m si nahradı´me slozˇiteˇjsˇ´ı teˇlesa, u ktery´ch prˇi popisu jejich pohybu nehrajı´ roli vlastnı´ rozmeˇry. Pokud nebude rˇecˇeno jinak, v na´sledujı´cı´ch prˇ´ıkladech si teˇlesa nahradı´me hmotny´mi body a zanedba´me odpor vzduchu.
1.1
Usain Bolt v Berlı´neˇ
Drzˇitel sveˇtove´ho rekordu v beˇhu na 100 m je Jamajcˇan Usain Bolt. V roce 2009 na Mistrovstvı´ sveˇta v atletice v Berlı´neˇ zabeˇhl 100 m v cˇase 9,58 s. Jaka´ byla jeho pru˚meˇrna´ rychlost? Pouzˇijeme vztah pro pru˚meˇrnou rychlost (zmeˇna polohy za zmeˇnu cˇasu): h~v i =
∆~r . ∆t
(1.1)
Soustavu sourˇadnic si zvolı´me tak, aby pohyb probı´hal pouze v ose x. Proto mı´sto vektoru ∆~r mu˚zˇeme psa´t jen jeho x-ovou slozˇku ∆x. Pohyb zacˇ´ına´ v bodeˇ x1 = 0 m, koncˇ´ı v bodeˇ x2 = 100 m a trval od cˇasu t1 = 0 s do t2 = 9, 58 s. hvx i = hvx i =
∆x x2 − x1 = , ∆t t2 − t1
(1.2)
(100 m) . = 10, 44 m · s−1 . (9, 58 s)
Pru˚meˇrna´ rychlost (prˇesneˇji, jejı´ x-ova´ slozˇka) Usaina Bolta v beˇhu na 100 m na MS v Berlı´neˇ byla 10, 44 m · s−1 .
–1–
Kapitola 1. KINEMATIKA
1.2
2
Usain Bolt v Pekingu
Usain Bolt zabeˇhl na Olympia´deˇ v Pekingu v roce 2008 100 m za 9,69 s. V nı´zˇe uvedene´ tabulce1 vidı´me, kolik cˇasu mu trvaly jednotlive´ desetimetrove´ u´seky a odpovı´dajı´cı´ pru˚beˇzˇny´ cˇas za´vodu. Tabulka 1 cˇ. u´seku 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.
u´sek [m] cˇas u´seku ∆t [s] 0 - 10 1,85 10 - 20 1,02 20 - 30 0,91 30 - 40 0,87 40 - 50 0,85 50 - 60 0,82 60 - 70 0,82 70 - 80 0,82 80 - 90 0,83 90 - 100 0,90
celkovy´ cˇas [s] 1,85 2,87 3,78 4,65 5,50 6,32 7,14 7,96 8,79 9,69
a) Jaka´ byla jeho pru˚meˇrna´ rychlost v jednotlivy´ch u´secı´ch? b) S jak veliky´m pru˚meˇrny´m zrychlenı´m by se musel pohybovat, aby dosa´hl sve´ maxima´lnı´ rychlosti? c) S jaky´m pru˚meˇrny´m zrychlenı´m musı´ brzdit, aby u´plneˇ zastavil na 15 m? ad a) Pru˚meˇrnou rychlost vypocˇ´ıta´me stejneˇ jako v prˇedcha´zejı´cı´m prˇ´ıkladeˇ. Opeˇt prˇedpokla´da´me, zˇe se pohyb deˇje pouze v ose x, v tomto prˇ´ıkladu tedy budeme mı´t opeˇt na mysli pouze x-ove´ slozˇky jednotlivy´ch kinematicky´ch velicˇin, anizˇ bychom to da´le explicitneˇ zdu˚raznˇovali. Pro jednotlive´ u´seky tak mu˚zˇeme zapsat vztah (1.2). Pro prvnı´ u´sek dostaneme: (10 m) − (0 m) . = 5, 41 m · s−1 , (1, 85 s) (20 m) − (10 m) . druhy´ u´sek: hvx,2 i = = 9, 80 m · s−1 , (1, 02 s) (30 m) − (20 m) . trˇetı´ u´sek: hvx,3 i = = 10, 99 m · s−1 . (0, 91 s) hvx,1 i =
Pru˚meˇrnou rychlost v dalsˇ´ıch u´secı´ch zjistı´me stejny´m zpu˚sobem. Na tomto mı´steˇ ma´ tedy kazˇdy´ mozˇnost si vy´pocˇty zkusit sa´m. 1 Data
prˇevzata z http://datagenetics.com/blog/july32013/index.html.
Kapitola 1. KINEMATIKA
3
Abychom si mohli pru˚beˇh za´vodu le´pe prˇedstavit, sestrojı´me graf za´vislosti pru˚meˇrne´ rychlosti v jednotlivy´ch u´secı´ch. Graf 1
Z grafu 1 vidı´me, zˇe beˇzˇec zrychloval do sˇeste´ho u´seku, potom beˇzˇel konstantnı´ pru˚meˇrnou rychlostı´ a nakonec zpomaloval. Bohuzˇel nevı´me, jakou meˇl v jednotlivy´ch cˇasech za´vodu okamzˇitou rychlost. Na tomto mı´steˇ mu˚zˇeme jen zave´st odhad, zˇe sve´ maxima´lnı´ rychlosti dosa´hl po 50 metrech a cı´lem probeˇhl rychlostı´, ktera´ odpovı´da´ pru˚meˇrne´ rychlosti v poslednı´m u´seku. Tyto odhady uplatnı´me prˇi rˇesˇenı´ dalsˇ´ıch u´kolu˚. ad b) V prˇedchozı´m u´kolu jsme odhadli, zˇe beˇzˇec dosa´hl maxima´lnı´ rychlosti po padesa´ti metrech. Z tabulky 1 tedy odecˇteme hodnoty sˇeste´ho u´seku. hvx,6 i =
(60 m) − (50 m) . = 12, 20 m · s−1 . (0, 82 s)
Velikost pru˚meˇrne´ho zrychlenı´ zjistı´me ze za´vislosti zmeˇny rychlosti na zmeˇneˇ cˇasu. Opeˇt uvazˇujeme pouze x-ovou slozˇku, dostaneme tedy vztah: hax i =
∆vx . ∆t
(1.3)
V nasˇem idealizovane´m prˇ´ıpadeˇ beˇzˇec zrychluje z nulove´ rychlosti na rychlost 12, 20 m · s−1 a ubeˇhne prˇitom 50 metru˚. Z tabulky 1 odecˇteme cˇas, za ktery´ beˇzˇec
Kapitola 1. KINEMATIKA
4
ubeˇhne 50 metru˚, a cˇ´ıselne´ hodnoty dosadı´me do (1.3). hax i =
(12, 20 m · s−1 ) − (0 m · s−1 ) . = 2, 22 m · s−2 . (5, 50 s) − (0 s)
(1.4)
ad c) Na tomto mı´steˇ opeˇt prˇedpokla´da´me, zˇe beˇzˇec zacˇne zpomalovat z okamzˇite´ rychlosti, ktera´ odpovı´da´ pru˚meˇrne´ rychlosti v poslednı´m, desa´te´m u´seku. hvx,10 i =
(100 m) − (90 m) . = 11, 11 m · s−1 . (0, 90 s)
Ma´me urcˇit pru˚meˇrne´ zrychlenı´, aby beˇzˇec z te´to rychlosti zastavil na vzda´lenosti 15 m. . Zna´me tedy jeho pocˇa´tecˇnı´ rychlost v0 = 11, 11 m · s−1 , dra´hu, kterou ubeˇhl s = 15 m a koncovou rychlost v = 0 m · s−1 . Abychom mohli pouzˇ´ıt vztah (1.3), musı´me zjistit cˇas, za ktery´ beˇzˇec zastavı´. Ten si vyja´drˇ´ıme ze vztahu pro dra´hu rovnomeˇrneˇ zrychlene´ho pohybu. 1 s = v0t + at 2 , 2 s = v0t +
(1.5)
1 ∆v 2 1 v − v0 2 t = v0t + t . 2 ∆t 2 t − t0
Cˇas, ve ktere´m zacˇal beˇzˇec zpomalovat, polozˇ´ıme roven nule, t0 = 0 s, takzˇe mu˚zˇeme napsat: 1 s = t v0 + (v − v0 ) . 2 Odtud uzˇ si vyja´drˇ´ıme cˇas, ktery´ na´sledneˇ dosadı´me do vztahu pro zrychlenı´: t=
2s . v0 + v
Pro pru˚meˇrne´ zrychlenı´, s jaky´m musı´ beˇzˇec brzdit, tedy dosta´va´me: hax i = hax i =
∆vx v2 − v20 = , ∆t 2s
(0 m · s−1 )2 − (11, 11 m · s−1 )2 . = −4, 11 m · s−2 . 2(15 m)
Vy´sledne´ pru˚meˇrne´ zrychlenı´ na´m vysˇlo za´porne´, cozˇ dokla´da´ fakt, zˇe beˇzˇec zpomaloval. Mu˚zˇeme tedy hovorˇit o pru˚meˇrne´m zpomalenı´ o velikosti 4, 11 m · s−2 .
Kapitola 1. KINEMATIKA
1.3
5
Cyklista na vy´leteˇ
Cyklista se rozhodl vyjet na vy´let v okolı´ Vranovske´ prˇehrady. Zvolil si cyklisticky´ okruh, ktery´ zacˇ´ına´ a koncˇ´ı ve Vranoveˇ nad Dyjı´ a celkem ma´ 55,5 km. Cyklista celou trasu ujel za 4,5 hodiny. a) Jaka´ je jeho pru˚meˇrna´ velikost rychlosti? b) Jaka´ je jeho pru˚meˇrna´ rychlost? ad a) Nejprve si musı´me uveˇdomit, jak je pru˚meˇrna´ velikost rychlosti definova´na. Jedna´ se o skala´rnı´ velicˇinu, neza´lezˇ´ı tedy na smeˇru pohybu. Definujeme ji jako podı´l celkove´ dra´hy, kterou cyklista ujel, za celkovy´ cˇas: hvi =
∆s . ∆t
(1.6)
Po dosazenı´ cˇ´ıselny´ch hodnot dosta´va´me: hvi =
(55, 5 km) . = 12, 3 km · h−1 . (4, 5 h)
ad b) Oproti prˇedcha´zejı´cı´mu u´kolu nenı´ hledanou velicˇinou skala´r, ale jedna´ se o vektor. Pru˚meˇrnou rychlost zjistı´me jako zmeˇnu polohove´ho vektoru za zmeˇnu cˇasu. Pouzˇijeme tedy vztah (1.1): h~v i =
~r(t + ∆t) −~r(t) ∆~r = . ∆t ∆t
V nasˇem prˇ´ıpadeˇ se cyklista vracı´ do mı´sta, ze ktere´ho vyjel. Pocˇa´tecˇnı´ a koncova´ poloha je stejna´, takzˇe zmeˇna polohove´ho vektoru je nulova´. Zjistı´me tedy, zˇe v tomto prˇ´ıpadeˇ je pru˚meˇrna´ rychlost nulova´: h~v i = ~0 km · h−1 . Pojmy uvedene´ v prˇ´ıkladeˇ je du˚lezˇite´ dobrˇe rozlisˇovat. Pru˚meˇrna´ rychlost je vektor, jejı´ velikost tedy zjistı´me jako velikost vektoru. Oproti tomu pru˚meˇrna´ velikost rychlosti je neza´pornou skala´rnı´ velicˇinou.
Kapitola 1. KINEMATIKA
1.4
6
Basketbalista ha´zı´ na kosˇ
Jaka´ je velikost pocˇa´tecˇnı´ rychlostı´ mı´cˇe, ha´zı´-li basketbalista mı´cˇ pod u´hlem 60◦ z vy´sˇky 2,1 metru˚? Kosˇ je od neˇj vzda´len 4 metry a je ve vy´sˇce 3 metry (viz obra´zek). (Prˇevzato a upraveno z [2].)
y
v0
h α l
x
Sourˇadnice si zvolı´me tak, jak je zna´zorneˇno na obra´zku. Pro sˇikmy´ vrh pak platı´ na´sledujı´cı´ vztahy: x(t) = v0t cos α , (1.7) 1 (1.8) y(t) = v0t sin α − gt 2 . 2 Vodorovnou vzda´lenost mezi basketbalistou a kosˇem si oznacˇ´ıme jako l, rozdı´l vy´sˇky kosˇe a mı´cˇe v okamzˇiku hodu jako h. V cˇase dopadu pak dostaneme: x(t = td ) = l ,
(1.9)
y(t = td ) = h .
(1.10)
Po dosazenı´ vztahu (1.9) do (1.7) dosta´va´me: x(td ) = v0td cos α = l .
(1.11)
l Odtud vyja´drˇ´ıme cˇas dopadu jako td = v0 cos ´ spolu s (1.10) dosadı´me do (1.8). α , ktery Dosta´va´me tak: l 1 l2 h = v0 (1.12) sin α − g 2 2 . v0 cos α 2 v0 cos α
Po u´prava´ch dostaneme z rovnice (1.12) vyja´drˇenı´ rychlosti: r l g v0 = · . cos α 2(l tan α − h)
(1.13)
Kapitola 1. KINEMATIKA
7
Do tohoto vztahu uzˇ jen stacˇ´ı dosadit zadane´ cˇ´ıselne´ hodnoty, cˇ´ımzˇ zjistı´me pocˇa´tecˇnı´ rychlost, kterou musı´ basketbalista udeˇlit balonu, aby dopadl do kosˇe. s (4 m) (9, 81 m · s−2 ) . · v0 = = 7, 22 m · s−1 . (1.14) ◦ ◦ cos 60 2 [(4 m) tan 60 − (0, 9 m)]
1.5
Koularˇ
Pod jaky´m u´hlem musı´ koularˇ vrhnout kouli, aby dopadla co nejda´l? (Prˇevzato a upraveno z [1].) y
v0 α
h
xmax
x
Stejneˇ jako v prˇedchozı´ u´loze si pro danou soustavu sourˇadnic nejprve zapı´sˇeme vztahy pro sˇikmy´ vrh: x(t) = v0t cos α , (1.15) 1 y(t) = h + v0t sin α − gt 2 . (1.16) 2 U y-ove´ slozˇky, oproti minule´mu prˇ´ıkladu, musı´me prˇicˇ´ıst vy´sˇku h, ze ktere´ je koule vrzˇena. Z obra´zku vidı´me, zˇe y-ova´ sourˇadnice bude v cˇase dopadu (td ) rovna nule. 1 y(td ) = h + v0td sin α − gtd2 = 0 . 2
Kapitola 1. KINEMATIKA
8
Ma´me tedy kvadratickou rovnici, ze ktere´ zjistı´me cˇas dopadu (td ). 1 2 gt − v0td sin α − h = 0 , 2 d q
td1,2 =
v0 sin α ±
v20 sin2 α + 2gh g
.
Vy´sledkem kvadraticke´ rovnice jsou tedy dva cˇasy. K dalsˇ´ım vy´pocˇtu˚m pouzˇijeme tento vztah pouze se zname´nkem +, zajı´ma´ na´s totizˇ dopad koule v kladne´m cˇase po odhodu. Dosazenı´m cˇasu dopadu do vztahu (1.15) prˇevedeme cˇasovou za´vislost x(td ) na u´hlovou za´vislost xd (α): q v0 sin α + v20 sin2 α + 2gh · cos α . (1.17) xd (α) = v0 g Pro dalsˇ´ı pokracˇova´nı´ je potrˇeba, abychom byli obezna´meni se za´klady diferencia´lnı´ho pocˇtu. Maximum te´to funkce najdeme tak, zˇe polozˇ´ıme jejı´ derivaci nule: dxd (α) =0. dα
(1.18)
Po delsˇ´ıch u´prava´ch dostaneme: cos 2α =
gh v20 + gh
.
(1.19)
Pro oveˇrˇenı´ maxima bychom pocˇ´ıtali druhou derivaci funkce xd (α) a zjisˇt’ovali bychom, zda platı´ d 2 xd (α) <0. dα 2 Vy´pocˇet je vsˇak pracny´, a proto se spokojı´me s konkre´tnı´ uka´zkou grafu za´vislosti xd (α). Zada´nı´ pocˇa´tecˇnı´ch podmı´nek na´m umozˇnı´ prˇeve´st vztah (1.17) do grafu.
Kapitola 1. KINEMATIKA
9
Graf vykreslı´me pro na´sledujı´cı´ hodnoty: h = 2 m , v0 = 14, 3 m · s−1 , g = 9, 81 m · s−2 . Graf 2
Z grafu 2 vidı´me, zˇe zjisˇteˇny´ extre´m je opravdu maximem funkce. Pro na´mi zadane´ hodnoty vycha´zı´ elevacˇnı´ u´hel α = 42◦ . Tuto hodnotu mu˚zˇeme porovnat s hodnotou dopocˇtenou ze vztahu (1.19):
cos 2α =
gh (9, 81 m · s−2 )(2 m) . = = 0, 0875 , v20 + gh (14, 3 m · s−1 )2 + (9, 81 m · s−2 )(2 m) . . 2α = 84◦ 580 ⇒ α = 42◦ 290 .
Vidı´me tedy, zˇe hodnota odecˇtena´ z grafu se shoduje s hodnotou vypocˇ´ıtanou.
Kapitola 1. KINEMATIKA
10
Na za´veˇr tohoto prˇ´ıkladu bychom mohli uve´st specia´lnı´ prˇ´ıpad, kdy sˇikmy´ vrh provedeme z nulove´ vy´sˇky. Platı´ tedy, zˇe h = 0 m . Po dosazenı´ do (1.19) podle ocˇeka´va´nı´ dosta´va´me: cos 2α = 0 ⇒ 2α = 90◦ ⇒ α = 45◦ . Opeˇt mu˚zˇeme sestrojit graf za´vislosti xd (α), tentokra´t ale pro nulovou pocˇa´tecˇnı´ vy´sˇku: Graf 3
Vidı´me, zˇe maxima´lnı´ vzda´lenosti prˇi zadany´ch pocˇa´tecˇnı´ch podmı´nka´ch opravdu dosa´hneme prˇi vrhu pod u´hlem α = 45◦ .
Kapitola 2 DYNAMIKA Dynamika se zaby´va´ prˇ´ıcˇinou zmeˇny pohybu teˇles a vyuzˇ´ıva´ poznatku˚ o pohybu z kinematiky. My se budeme zaby´vat pouze klasickou dynamikou, to znamena´, zˇe budeme zkoumat makroskopicka´ teˇlesa s rychlostmi maly´mi oproti rychlosti sveˇtla, a to v inercia´lnı´ vztazˇne´ soustaveˇ spojene´ se Zemı´. Na tomto mı´steˇ je vhodne´ vzpomenout za´kladnı´ principy klasicke´ mechaniky, ktery´mi jsou Newtonovy pohybove´ za´kony. Prvnı´ za´kon o setrvacˇnosti, druhy´ za´kon sı´ly a trˇetı´ za´kon akce a reakce. Tyto za´kony budeme uplatnˇovat v na´sledujı´cı´ch prˇ´ıkladech. Pouzˇijeme prˇedpoklad z prvnı´ kapitoly, takzˇe nebude-li rˇecˇeno jinak, v prˇ´ıkladech si teˇlesa nahradı´me hmotny´mi body a zanedba´me odpor prostrˇedı´.
2.1
Sı´ly pu˚sobı´cı´ na puk, bowlingovou kouli a nohu beˇzˇce
Zakreslete a popisˇte sı´ly, ktere´ pu˚sobı´ na: a) puk na ledeˇ, klouzajı´cı´ konstantnı´ rychlostı´, b) bowlingovou kouli, kuta´lejı´cı´ se bez prokluzova´nı´ konstantnı´ rychlostı´, c) nohu beˇzˇce prˇi beˇhu. ad a) Na puk pu˚sobı´ podlozˇka (led) tlakovou silou ~N a Zemeˇ tı´hovou silou ~FG . y
~v
~ N
x F~G
– 11 –
Kapitola 2. DYNAMIKA
12
Z druhe´ho Newtonova pohybove´ho za´kona vı´me, zˇe vy´sledna´ sı´la pu˚sobı´cı´ na teˇleso je prˇ´ımo u´meˇrna´ jeho hmotnosti a zrychlenı´, ~Fv = m~a. Puk se na ledeˇ pohybuje konstantnı´ rychlostı´, ma´ nulove´ zrychlenı´. Vy´slednice sil na neˇj pu˚sobı´cı´ je tedy nulova´, cozˇ vidı´me i na obra´zku. ~Fv = ~FG + ~N = m~a = ~0 . Velikostneˇ, pro sourˇadnicovy´ syste´m zvoleny´ podle obra´zku, dosta´va´me: N − FG = 0 ⇒ N = FG = mg . −−−→ ad b) Bowlingova´ koule se pohybuje bez prokluzova´nı´ s konstantnı´ rychlostı´ ~v = konst., ~. to znamena´, zˇe konstantnı´ je i jejı´ u´hlova´ rychlost ω ~v
~ N
y
x
F~G
Vidı´me, zˇe sı´ly pu˚sobı´cı´ na kouli jsou opeˇt tlakova´ sı´la podlozˇky ~N a tı´hova´ sı´la ~FG . Pro u´plnost uvedeme, co by se stalo, pokud bychom nezanedba´vali odpor vzduchu a valivy´ odpor pu˚sobı´cı´ proti pohybu koule. Vy´slednice sil by nebyla nulova´ a koule by zpomalovala. Vy´pocˇet jejı´ho zrychlenı´ by spadal do mechaniky tuhe´ho teˇlesa. ad c) Zacˇneme nejprve jednoduchy´m prˇ´ıpadem, kdy je beˇzˇec v klidu a stojı´ na jedne´ noze. Pu˚sobı´ na neˇj tlakova´ sı´la od podlozˇky ~N a tı´hova´ sı´la ~FG .
y
~ N
x
F~G
Pokud se beˇzˇec rozebeˇhne a pobeˇzˇ´ı konstantnı´ rychlostı´, bude na neˇj opeˇt pu˚sobit tlakova´ sı´la ~N a tı´hova´ sı´la ~FG .
Kapitola 2. DYNAMIKA
13
Poslednı´ u´vaha uzˇ bude zajı´maveˇjsˇ´ı, beˇzˇec bude zrychlovat, takzˇe vy´slednice sil, ktere´ na neˇj pu˚sobı´, bude nenulova´: ~a
~ N
y
x
F~T F~G
Vidı´me, zˇe sı´ly ~N a ~FG pu˚sobı´ sta´le, prˇi zrychlova´nı´ se k nim prˇida´ sı´la od podlozˇky ~FT , ktera´ je silou trˇecı´. Opeˇt pouzˇijeme druhy´ Newtonu˚v pohybovy´ za´kon ~Fv = m~a. Pro sourˇadnice zvolene´ podle obra´zku dostaneme dveˇ rovnice, jednu pro x-ovou a druhou pro y-ovou osu: x : max = FT , y : may = N − FG = 0 ⇒ N = FG = mg . V druhe´ rovnici jsme vyuzˇili vazebnı´ podmı´nku ay = 0 (beˇzˇec se pohybuje po vodorovne´ podlozˇce, jeho zrychlenı´ ve smeˇru osy y je nulove´1 ). Na tomto mı´steˇ si prˇipomenˇme, co vı´me o staticke´ a dynamicke´ trˇecı´ sı´le. Pokud je teˇleso v klidu, pu˚sobı´ na neˇj staticka´ trˇecı´ sı´la ~FT,S . Jejı´ okamzˇita´ velikost lezˇ´ı v intervalu [0; FT,Smax ], kde FT,Smax je maxima´lnı´ prˇ´ıpustnou velikostı´ staticke´ trˇecı´ sı´ly a je urcˇena vztahem FT,Smax = µS N (µS je soucˇinitel staticke´ho trˇenı´ a N je velikost tlakove´ sı´ly, kterou pu˚sobı´ podlozˇka na teˇleso). Jakmile se vsˇak teˇleso zacˇne pohybovat, zmeˇnı´ se staticka´ trˇecı´ sı´la na trˇecı´ sı´lu dynamickou ~FT,D . Jejı´ velikost je da´na vztahem FT,D = µD N (µD je soucˇinitel dynamicke´ho trˇenı´), tato velikost je pak stejna´ po celou dobu pohybu. Pokud se beˇzˇec bude odra´zˇet od podlozˇky bez prokluzova´nı´ (tzn. podra´zˇka boty se v mı´steˇ dotyku s podlozˇkou nebude pohybovat), bude na jeho nohu pu˚sobit staticka´ trˇecı´ sı´la, jejı´ maxima´lnı´ velikost je veˇtsˇ´ı nezˇ velikost dynamicke´ trˇecı´ sı´ly. K tomuto rozdı´lu docha´zı´ kvu˚li rozdı´lnosti koeficientu˚ vystupujı´cı´ch ve vztahu pro jednotlive´ trˇecı´ sı´ly. Pobeˇzˇ´ı-li beˇzˇec po mokre´ dra´ze, bla´teˇ, ledu apod., mu˚zˇe dojı´t k prokluzova´nı´, na jeho nohu pak bude namı´sto staticke´ trˇecı´ sı´ly pu˚sobit trˇecı´ sı´la dynamicka´ a jeho zrychlenı´ bude mensˇ´ı.
1 Jedna ´
se pouze o modelovou situaci. Ve skutecˇnosti se vy´sˇka strˇedu hmotnosti beˇzˇce meˇnı´, i kdyzˇ se snazˇ´ı tento jev minimalizovat.
Kapitola 2. DYNAMIKA
2.2
14
Lyzˇarˇ na svahu
Lyzˇarˇ o hmotnosti m stojı´ na svahu, ktery´ ma´ u´hel sklonu α a de´lku l. Zjisteˇte: a) Jake´ sı´ly pu˚sobı´ na lyzˇarˇe na dokonale hladke´m ledove´m svahu? Za jak dlouho by dojel na konec svahu? b) Za jaky´ch podmı´nek by se lyzˇarˇ rozjel z klidu sa´m od sebe, pokud bychom uvazˇovali trˇenı´? Soucˇinitel staticke´ho trˇenı´ mezi lyzˇemi a svahem je µS . c) Urcˇete, jake´ maxima´lnı´ mozˇne´ velikosti rychlosti mu˚zˇe lyzˇarˇ dosa´hnout, jestlizˇe soucˇinitel dynamicke´ho trˇenı´ mezi lyzˇemi a svahem je µD a sı´la odporu vzduchu je urcˇena Newtonovy´m vztahem 21 Cρvzd Sv2 . Prˇ´ıslusˇne´ koeficienty vystupujı´cı´ ve vztahu pro odporovou sı´lu kvalifikovaneˇ odhadneˇte. ad a) Lyzˇarˇe si nahradı´me hmotny´m bodem. Prˇi dokonale hladke´m povrchu svahu nedocha´zı´ mezi lyzˇemi a svahem ke trˇenı´, proto na lyzˇarˇe pu˚sobı´ pouze tlakova´ sı´la ~N a tı´hova´ sı´la ~FG . y ~ N
x
l
F~G
α
Zapı´sˇeme druhy´ Newtonu˚v pohybovy´ za´kon: ~v = ~FG + ~N = m~a . F Sourˇadnicovou soustavu si zvolı´me tak, jak je uvedeno na obra´zku. V nasˇem prˇ´ıpadeˇ vidı´me, zˇe se lyzˇarˇ pohybuje pouze v kladne´m smeˇru osy x. Rychlost a zrychlenı´ lyzˇarˇe v y-ove´m smeˇru jsou tedy nulove´. Pro x-ove´ a y-ove´ slozˇky tak mu˚zˇeme napsat: x : max = mg sin α , y : may = N − mg cos α = 0 ⇒ N = mg cos α .
Kapitola 2. DYNAMIKA
15
Pro x-ovou slozˇku lyzˇarˇova zrychlenı´ dosta´va´me: ax = g sin α . Zrychlenı´ lyzˇarˇe je tedy konstantnı´. Abychom zjistili cˇas, za ktery´ lyzˇarˇ dojede na konec kopce, pouzˇijeme vztah (1.5) pro dra´hu rovnomeˇrneˇ zrychlene´ho pohybu. Lyzˇarˇ se rozjı´zˇdı´ z nulove´ pocˇa´tecˇnı´ rychlosti, po u´prava´ch dosta´va´me: 1 l = at 2 = 2
1 g sin αt 2 , 2s
t=
2l . g sin α
ad b) V tomto prˇ´ıpadeˇ jizˇ uvazˇujeme trˇenı´. Lyzˇarˇ je v klidu, proto na neˇj pu˚sobı´ staticka´ trˇecı´ sı´la ~FT,S . y ~ N
x F~T,S l F~G
α
Opeˇt si zapı´sˇeme druhy´ Newtonu˚v pohybovy´ za´kon: ~Fv = ~FG + ~N + ~FT,S = m~a . Sourˇadnicovou soustavu si opeˇt zvolı´me podle obra´zku, pro x-ove´ a y-ove´ slozˇky dosta´va´me: x : max = mg sin α − FT,S , y : may = N − mg cos α = 0 ⇒ N = mg cos α . Aby se lyzˇarˇ rozjel sa´m od sebe, musı´ platit: mg sin α > FT,S .
Kapitola 2. DYNAMIKA
16
FT,S je okamzˇita´ velikost staticke´ trˇecı´ sı´ly. Prˇed tı´m, nezˇ se lyzˇarˇ rozjede a zacˇne pu˚sobit dynamicka´ trˇecı´ sı´la, dosa´hne staticka´ trˇecı´ sı´la maxima´lnı´ hodnoty, pro kterou platı´ FT,Smax = µS N, kde µS je soucˇinitel staticke´ho trˇenı´. Dosta´va´me tedy: mg sin α > µS mg cos α ⇒ µS < tan α . ad c) V tomto prˇ´ıpadeˇ na lyzˇarˇe kromeˇ tı´hove´ a tlakove´ sı´ly pu˚sobı´ dynamicka´ trˇecı´ sı´la a odporova´ sı´la vzduchu. Stejneˇ jako v prˇedchozı´ch u´loha´ch se budeme rˇ´ıdit na´sledujı´cı´m schematicky´m obra´zkem: y ~ N
F~odp
x F~T,D
l F~G
α
Druhy´ Newtonu˚v pohybovy´ za´kon pro tento prˇ´ıpad vypada´ na´sledovneˇ: ~Fv = ~FG + ~N + ~FT,D + ~Fodp = m~a . Po rozepsa´nı´ do slozˇek dosta´va´me: 1 x : max = mg sin α − FT,D − Cρvzd Sv2x , 2 y : may = N − mg cos α = 0 ⇒ N = mg cos α .
(2.1) (2.2)
Lyzˇarˇ se pohybuje pouze ve smeˇru osy x, proto jsme opeˇt polozˇili ay = 0. O dynamicke´ trˇecı´ sı´le vı´me, zˇe jejı´ velikost FT,D = NµD . V prvnı´ u´vaze si uveˇdomı´me, zˇe pokud lyzˇarˇ dosa´hne maxima´lnı´ velikosti rychlosti, uzˇ nebude da´l zrychlovat. Abychom tuto rychlost zjistili, polozˇ´ıme x-ovou slozˇku jeho zrychlenı´ rovnou nule (ax = 0). max = mg sin α − µD mg cos α − 12 Cρvzd Sv2x,max = 0 .
Kapitola 2. DYNAMIKA
17
Po u´prava´ch dosta´va´me: s vx,max =
2mg(sin α − µD cos α) . Cρvzd S
(2.3)
Zatı´m nevı´me, v jake´m okamzˇiku a jestli vu˚bec te´to rychlosti lyzˇarˇ dosa´hne. Proto prˇejdeme ke druhe´ u´vaze, ktera´ bude po matematicke´ stra´nce na´rocˇneˇjsˇ´ı2 . Pokud chceme zjistit cˇasovy´ pru˚beˇh rychlosti, musı´me sestavit pohybovou rovnici a vyrˇesˇit ji. Z rovnice (2.1) si na leve´ straneˇ prˇepı´sˇeme zrychlenı´ na cˇasovou derivaci rychlosti a pravou stranu upravı´me. Dostaneme: m
1 dvx (t) = mg(sin α − µD cos α) − Cρvzd Sv2x (t) . dt 2
Pro jednodusˇsˇ´ı za´pis si konstantnı´ cˇleny v pohybove´ rovnici nahradı´me takto: vzd S g(sin α − µD cos α) = A a Cρ2m = B. dvx (t) = A − Bv2x (t) . dt Separacı´ promeˇnny´ch dosta´va´me: dvx (t) = dt . A − Bv2x (t) Lyzˇarˇ se rozjı´zˇdı´ z nulove´ pocˇa´tecˇnı´ rychlosti, integra´l diferencia´lnı´ rovnice napı´sˇeme ve tvaru: Z v
1 B
Z v 0
t dvx (t) = dt , 2 0 A − Bvx (t) 0 Z Z t dvx 1 v dvx q q = = dt . A 2 B A A 0 0 − v x B ( B − vx )( B + vx )
Maxima´lnı´ rychlost je vx,max = 1 √ 2 AB
Z 0
v
q
2mg(sin α−µD cos α) Cρvzd S
dvx + (vx,max − vx )
Z v 0
Z
=
q
A B,
po dosazenı´ dosta´va´me:
Zt dvx = dt , (vx,max + vx ) 0 vx,max + v 1 √ ln =t , 2 AB vx,max − v
√ AB − 1 v(t) = vx,max √ e2t AB + 1
e2t
.
(2.4)
2 Kdo neumı´ rˇesˇit diferencia ´ lnı´ rovnice, mu˚zˇe rovnou prˇejı´t na str. 18 a sezna´mit se s graficky´m vy´stupem
rˇesˇenı´.
Kapitola 2. DYNAMIKA
18
Nynı´ sestrojı´me graf za´vislosti velikosti rychlosti na cˇase. Ve vztahu (2.4) zpeˇtneˇ dosadı´me jednotlive´ konstantnı´ cˇleny za A a B. Pouzˇijeme na´sledujı´cı´ cˇ´ıselne´ hodnoty: . m = 80 kg , α = 35◦ , µD = 0, 04 , Cρvzd S = 0, 5 kg · m−1 (ρvzd je hustota vzduchu prˇi 0 ◦ C, koeficient C a u´cˇinny´ pru˚rˇez lyzˇarˇe S zvolı´me pro snı´zˇeny´ postoj3 ). Graf 4 závislost velikosti rychlosti na čase 50
v [ m ∙ s-1 ]
40
30
20
10
v(t)
0 0
20
40
60
80
100
t[s]
Po dosazenı´ vy´sˇe uvedeny´ch cˇ´ıselny´ch hodnot do vztahu (2.3) pro vx,max dosta´va´me: . vx,max = 41, 2 m · s−1 . V grafu 4 vidı´me, zˇe se funkce blı´zˇ´ı hodnoteˇ 41 m ·s−1 , podı´va´me-li se na vztah (2.4), zjistı´me, zˇe lyzˇarˇ by maxima´lnı´ rychlosti dosa´hl limitneˇ v nekonecˇnu. Pohledem na graf 4 zjistı´me, zˇe k te´to rychlosti se lyzˇarˇ s velmi dobrou prˇesnostı´ prˇiblı´zˇ´ı jizˇ . v t = 30 s.
3 Odhad
proveden str. 29, Tabulka 3.
z
http://ceskakinantropologie.cz/elstudovna/index.php?predmet=abi&sec=Acro,
Kapitola 2. DYNAMIKA
19
Nakonec je vhodne´ uve´st grafy za´vislosti maxima´lnı´ rychlosti na jednotlivy´ch cˇlenech vystupujı´cı´ch ve vztahu (2.3), tj. na hmotnosti lyzˇarˇe, jeho postoji (u´cˇinne´m pru˚rˇezu) a u´hlu sklonu svahu. Jako prvnı´ uvedeme graf za´vislosti maxima´lnı´ velikosti rychlosti na hmotnosti lyzˇarˇe: Graf 5 závislost velikosti maximální rychlosti na hmotnosti lyžaře 45
vx,max(m)
vx [ m ∙ s-1 ]
40
35
30
25 30
40
50
60
70
80
90
100
m [ kg ]
Vidı´me, zˇe pokud se meˇnı´ pouze hmotnost lyzˇarˇe, tak s naru˚stajı´cı´ hmotnostı´ roste i velikost jeho maxima´lnı´ rychlosti. Ve skutecˇnosti by se vsˇak s lyzˇarˇovou hmotnostı´ meˇnil i jeho u´cˇinny´ pru˚rˇez, takzˇe vy´sˇe uvedena´ za´vislost je pouze zjednodusˇenı´m. Pro na´zornost vytvorˇ´ıme graf za´vislosti velikosti okamzˇite´ rychlosti dı´teˇte v nı´zke´m postoji (ve vajı´cˇku) a dospeˇle´ho ve vysoke´m i v nı´zke´m postoji (ve vajı´cˇku). Pro jednodusˇsˇ´ı vy´pocˇet jsme nı´zky´ postoj aproximovali koulı´ (C = 0, 5, u´cˇinny´ pru˚rˇez bude kruh) a vysoky´ postoj va´lcem (C = 0, 8, u´cˇinny´ pru˚rˇez bude obde´lnı´k). Dı´teˇ i dospeˇly´ sjı´zˇdı´ stejny´ svah s parametry jako v prˇedcha´zejı´cı´ch u´loha´ch (u´hel sklonu svahu α = 35◦ a soucˇinitel dynamicke´ho trˇenı´ µD = 0, 04).
Kapitola 2. DYNAMIKA
20
Ve vztahu (2.4) da´le vystupuje hustota vzduchu ρvzd = 1, 29 kg · m−3 . K vy´pocˇtu u´cˇinne´ho pru˚rˇezu S(m) pouzˇijeme vztah mezi hmotnostı´, hustotou a objemem teˇlesa (m = ρV ), kde za objem V dosadı´me objem koule, nebo va´lce. Z teˇchto rovnic urcˇ´ıme polomeˇr, ktery´ dosadı´me do vztahu pro u´cˇinny´ pru˚rˇez (plocha kruhu S = πr2 v prˇ´ıpadeˇ koule a plocha obde´lnı´ka S = 2rh, kde h je vy´sˇka dospeˇle´ho lyzˇarˇe). Hustotu lidske´ho teˇla povazˇujeme za blı´zkou hodnoteˇ hustoty vody (ρ = 1000 kg · m−3 ). m1 = 40 kg ,C1 = 0, 5, S1 = π
3m1 4πρ
2/3
. = 0, 14 m2 ,
3m2 2/3 . = 0, 22 m2 , m2 = 80 kg ,C2a = 0, 5, S2a = π 4πρ r m2 . = 0, 43 m2 . h2 = 1, 8 m ,C2b = 0, 8, S2b = 2h2 πρh2
Indexem 1 jsme oznacˇili velicˇiny ty´kajı´cı´ se dı´teˇte, indexem 2a dospeˇle´ho ve vajı´cˇku a 2b dospeˇle´ho ve stoji. Graf 6 závislost okamžité velikosti rychlosti různých lyžařů na čase 80 70 60
v [ m ∙ s-1 ]
50 40 30
dospělý ve vajíčku dítě ve vajíčku dospělý ve stoje
20 10 0 0
10
20
30
40
50
60
70
t [s]
Ze za´vislostı´ uvedeny´ch v grafu 6 je videˇt, zˇe pokud chce dospeˇly´ dohnat dı´teˇ jedoucı´ v nı´zke´m postoji, musı´ zaujmout take´ co nejnizˇsˇ´ı pozici. Pokud zu˚stane dospeˇly´ lyzˇarˇ ve vysoke´m postoji, dı´teˇ dostihne azˇ pod svahem (za prˇedpokladu, zˇe tam na neˇj dı´teˇ pocˇka´).
Kapitola 2. DYNAMIKA
21
Dalsˇ´ı graf sestrojı´me pro za´vislost maxima´lnı´ velikosti rychlosti na u´hlu sklonu svahu: Graf 7 závislost velikosti maximální rychlosti na úhlu sklonu svahu 60
50
vx [ m ∙ s-1 ]
40
30
20
vx,max(α)
10
0 0
10
20
30
40
50 α[°]
60
70
80
90
100
S rostoucı´m u´hlem sklonu svahu roste i maxima´lnı´ velikost rychlosti. Pokud se podı´va´me na vztah (2.3), vidı´me, zˇe po dosazenı´ α = 90◦ dostaneme vztah pro meznı´ velikost rychlosti volne´ho pa´du v prostrˇedı´ s odporem. Veˇtsˇina upravovany´ch sjezdovek ma´ ale u´hel sklonu svahu okolo 15◦ – 35◦ (v extre´mnı´ch prˇ´ıpadech se blı´zˇ´ı ke 45◦ )4 , cozˇ po odecˇtenı´ hodnot z grafu 7 odpovı´da´ velikostem maxima´lnı´ch . rychlostı´ vx,max = 25 − 40 m · s−1 . Pro u´hly od 0◦ do 2◦ vyjde cˇitatel ve vztahu (2.3) pro dane´ µD mensˇ´ı nezˇ nula, proto pro tyto u´hly nema´ vztah rˇesˇenı´ (odmocnina ze za´porne´ho cˇ´ısla nenı´ v oboru rea´lny´ch cˇ´ısel definovana´), lyzˇarˇ by se ani nerozjel.
4 Hodnoty
prˇevzate´ z http://snow.cz/clanek/1039-jak-se-meri-sklon-svahu.
Kapitola 2. DYNAMIKA
22
Poslednı´m grafem je za´vislost maxima´lnı´ velikosti rychlosti na u´cˇinne´m pru˚rˇezu. Graf 8 závislost velikosti maximální rychlosti na účinném průřezu 100 90
vx,max(S)
80
vx [ m ∙ s-1 ]
70 60 50 40 30 20 0
0,5
1
1,5
2
2,5
S [ m2 ]
Z grafu 8 vidı´me, zˇe s rostoucı´m u´cˇinny´m pru˚rˇezem klesa´ velikost maxima´lnı´ rych´ cˇinny´ pru˚rˇez za´visı´ na velikosti lyzˇarˇe, jeho postoji a oblecˇenı´. Lyzˇarˇ o vy´sˇce losti. U 1,7 m a hmotnosti 70 kg ma´ prˇi norma´lnı´m postoji u´cˇinny´ pru˚rˇez 0,8 – 1,0 m2 , prˇi nı´zke´m postoji se tato hodnota snı´zˇ´ı na 0,4 – 0,6 m2 , za prˇedpokladu, zˇe na sobeˇ ma´ obycˇejne´ zimnı´ oblecˇenı´. Pokud by si oble´kl prˇile´havou lyzˇarˇskou kombine´zu, tyto hodnoty by se jesˇteˇ o dveˇ desetiny snı´zˇily5 .
5 Hodnoty
odhadnute´ z http://ceskakinantropologie.cz/elstudovna/index.php?predmet=abi&sec=Acro, str. 29, Tabulka 3.
Kapitola 2. DYNAMIKA
2.3
23
Skok do vody
Odhadneˇte, za jak dlouho a v jake´ hloubce se zastavı´ skokan, ktery´ skocˇ´ı do vody tzv. bombu. Jakmile bude skokan u´plneˇ pod vodou, budou na neˇj pu˚sobit tı´hova´, vztlakova´ a odporova´ sı´la. Na rozdı´l od prˇedchozı´ho prˇ´ıkladu 2.2 c) uvazˇujeme male´ rychlosti skokana, proto pouzˇijeme pro velikost odporove´ sı´ly vody Stokesu˚v vztah Fodp = 6πηrv. 0
F~vztl
F~odp
F~G x
Opeˇt vyjdeme z druhe´ho Newtonova za´kona: ~Fv = ~FG + ~Fvztl + ~Fodp = m~a. Pro orientaci osy x zvolenou podle obra´zku dosta´va´me: max = mg −V ρkap g − 6πηrvx ,
(2.5)
kde V je objem ponorˇene´ cˇa´sti plavce, v dalsˇ´ıch vy´pocˇtech aproximujeme skokana zcela ponorˇenou koulı´. Pokracˇovat mu˚zˇeme obdobneˇ jako v prˇ´ıkladu 2.2 na straneˇ 17. Abychom se vsˇak neopakovali, provedeme jinou u´vahu. Nejprve si prˇepı´sˇeme rovnici (2.5) do tvaru V ρkap g 6πηr dvx (t) = g− − vx (t) . m dt m m Pro jednodusˇsˇ´ı za´pis dalsˇ´ıch vy´pocˇtu˚ si nahradı´me konstantnı´ cˇleny: K = g − b = 6πηr. Dostaneme: dvx (t) b + vx (t) = K . dt m Prˇedpokla´da´me rˇesˇenı´ ve tvaru exponencia´lnı´ za´vislosti6 : vx (t) = Aeλt + B dvx (t) ⇒ = Aλ eλt . dt
V ρkap g m ,
(2.6)
(2.7)
6 Kdo neumı´ rˇesˇit diferencia ´ lnı´ rovnice a nechce se momenta´lneˇ v te´to veˇci prˇiucˇit, mu˚zˇe prˇejı´t na zacˇa´tek
str. 25.
Kapitola 2. DYNAMIKA
24
Dosazenı´m do (2.6) dosta´va´me: b λt Ae + B = K , Aλ e + m b bB λt Ae λ+ =K− . m m λt
Vy´raz na leve´ straneˇ za´visı´ na cˇase, na prave´ straneˇ je konstanta. Aby platila rovnost, nezbude, nezˇ aby K − bB ´ strana musı´ by´t take´ nulova´. Jelikozˇ eλt 6= 0 pro m = 0. Leva libovolne´ t a soucˇasneˇ A je obecneˇ nenulova´ integracˇnı´ konstanta (pozdeˇji ji urcˇ´ıme z pocˇa´tecˇnı´ch podmı´nek), musı´ platit λ + mb = 0: b b =0⇒λ =− , m m bB mK K− =0⇒B= . m b λ+
Tı´mto postupem jsme z tzv. partikula´rnı´ho rˇesˇenı´ zjistili konstantu B. Nynı´ mu˚zˇeme zapsat obecne´ rˇesˇenı´ ve tvaru: b
vx (t) = Ae− m t +
mK . b
Konstantu A zı´ska´me z pocˇa´tecˇnı´ch podmı´nek; skokan skocˇ´ı do vody v cˇase t = 0 s rychlostı´ v0 . mK b mK ⇒ A = v0 − . b
vx (t = 0) = v0 = A +
Zjistili jsme tedy konstanty A a B vystupujı´cı´ ve vztahu (2.7): mK − b t mK vx (t) = v0 − e m + . b b Po zpeˇtne´m dosazenı´ za konstanty K a b dostaneme vztah za´vislosti rychlosti skokana na cˇase: " # g m −V ρkap g m −V ρkap − 6πηr t vx (t) = v0 − e m + . (2.8) 6πηr 6πηr
Kapitola 2. DYNAMIKA
25
Pro lepsˇ´ı prˇedstavu opeˇt sestrojı´me graf za´vislosti rychlosti skokana na cˇase. Skokan ma´ hmotnost m = 80 kg a hustotu teˇla po na´dechu7 ρ = 945 kg · m−3 . Do konstanty b, ktera´ vystupuje ve vztahu q pro odporovou sı´lu, pouzˇijeme rozmeˇr skokana aproximovane´ho koulı´ 3m . o polomeˇru r = 3 4πρ = 0, 3 m a dynamickou viskozitu vody η = 1, 002 · 10−3 Pa · s pro 20 ◦ C. Hustota vody, do ktere´ ska´cˇe, ma´ hodnotu ρkap = 1000 kg · m−3 . Prˇedpokla´dejme, zˇe jakmile je zcela ponorˇen, pohybuje se pocˇa´tecˇnı´ rychlostı´ v0 = 3 m · s−1 . Graf 9 závislost rychlosti na čase ve vodě 4 3
vx [ m ∙ s-1 ]
2
vx(t)
1
0 −1 −2 −3
0
2
4
6 t[s]
8
10
12
Za´vislost rychlosti na cˇase je v tomto grafu linea´rnı´, jedna´ se totizˇ o kra´tky´ cˇasovy´ 6πηr u´sek. Pro mala´ t mu˚zˇeme cˇlen e− m t ve vztahu (2.8) prˇepsat pomocı´ Taylorova rozvoje . jako e−αt = 1 − αt. Pokud tento cˇlen zpeˇtneˇ dosadı´me do vztahu (2.8), dostaneme: g(m −V ρkap ) v0 6πηr t+ t= m m v0 6πηr FG − Fvztl = v0 − t+ t. m m
vx (t) = v0 −
Tento vztah mu˚zˇeme upravit na tvar: vx (t) = v0 − aodpt − at , kde aodp = v0 6πηr > 0 a a = Fvztlm−FG > 0. Dosta´va´me vztah pro rovnomeˇrneˇ zpomaleny´ m pohyb, cozˇ vysveˇtluje onu linea´rnı´ za´vislost rychlosti na cˇase. 7 Hodnota
prˇevzata´ z http://www.converter.cz/tabulky/hustota-pevne.htm.
Kapitola 2. DYNAMIKA
26
. Po dosazenı´ cˇ´ıselny´ch hodnot navı´c zjistı´me, zˇe aodp = 2, 1·10−4 m·s−2 je zanedbatelne´ . oproti a = 0, 57m · s−2 . Tı´m pa´dem se skokan bude prˇiblizˇneˇ pohybovat se zrychlenı´m . vztl | o velikosti a = |FG −F . m Exponencia´lnı´ za´vislost se projevı´ azˇ za delsˇ´ı cˇasovy´ u´sek (voda ma´ velmi malou dynamickou viskozitu η a hustota skokana se od hustoty vody lisˇ´ı jen velmi ma´lo). 6πηr Pro t → ∞ je e− m t = 0, dostaneme tak vztah pro maxima´lnı´ rychlost: g m −V ρkap vx,max = , (2.9) 6πηr ke ktere´ se skokan bude limitneˇ blı´zˇit. V rea´lne´ situaci by se skokan drˇ´ıv vynorˇil nad hladinu, nezˇ by se k te´to rychlosti prˇiblı´zˇil. Cˇas, za ktery´ se skokan zastavı´, odecˇteme . z grafu 9. Vidı´me, zˇe nulove´ rychlosti dosa´hne v cˇase t = 5, 2 s. Tuto hodnotu pouzˇijeme k odhadu hloubky, v jake´ se skokan zastavı´. Za´vislost polohy (hloubky) na cˇase dostaneme integracı´ vztahu (2.8) pro za´vislost rychlosti na cˇase. x(t) =
Z t t0
vx (t)dt .
Na tomto mı´steˇ na´s zajı´ma´ hloubka, v jake´ se skokan zastavı´. Abychom ji zjistili, budeme integrovat od t0 = 0 s do t1 = 5, 2 s. Z #Z t1 t1 g m −V ρkap g m −V ρkap t − 6πηr dt = x(t1 ) = v0 − e m dt + 6πηr 6πηr t0 t0 " # t1 g m −V ρkap g m −V ρkap m − 6πηr t − e m [t]tt10 = = v0 − + 6πηr 6πηr 6πηr t0 " # g m −V ρ g m −V ρkap m kap t − 6πηr 1 = v0 − 1−e m + t1 . 6πηr 6πηr 6πηr "
Po dosazenı´ cˇ´ıselny´ch hodnot ze str. 25 dosta´va´me: . x(t1 ) = 7, 9 m . Te´to hloubky skokan dosa´hne samozrˇejmeˇ pouze za prˇedpokladu, zˇe zu˚stane po celou dobu ve stejne´ poloze a nebude vydechovat (nezmeˇnı´ se jeho hustota).
Kapitola 2. DYNAMIKA
27
Nynı´ uvedeme graf za´vislosti skokanovy hloubky na cˇase: g m−V ρ g(m−V ρkap ) ( kap ) m − 6πηr m t + 1 − e t. x(t) = v0 − 6πηr 6πηr 6πηr Graf 10 závislost hloubky na čase 8
x(t)
x[m]
6
4
2
0 0
2
4
6 t[s]
8
10
12
Na grafu 10 vidı´me, zˇe skokan klesa´ do maxima´lnı´ hloubky 7, 9 m a pak zacˇne stoupat. Pro oveˇrˇenı´ te´to hodnoty mu˚zˇeme pouzˇ´ıt vztah pro dra´hu (v nasˇem prˇ´ıpadeˇ hloubku) rovnomeˇrneˇ zpomalene´ho pohybu: 1 v0 2 1 1 h(t) = v0t − at 2 = v0t − t = v0t . 2 2 t 2 Po dosazenı´ cˇ´ıselny´ch hodnot dosta´va´me: 1 h(t = 5, 2 s) = (3 m · s−1 )(5, 2 s) = 7, 8 m . 2
Kapitola 2. DYNAMIKA
28
Pokud by skokan neska´kal do vody, ale hypoteticky naprˇ´ıklad do na´drzˇe plne´ medu o teploteˇ 25◦ C (ρmed = 1448 kg · m−3 , ηmed = 16, 32 Pa · s)8 a jeho pocˇa´tecˇnı´ rychlost teˇsneˇ pod hladinou by byla v0 = 8 m · s−1 , vypadala by cˇasova´ za´vislost jeho rychlosti na´sledovneˇ: Graf 11 závislost rychlosti na čase v medu 10 8 6
vx(t)
vx [ m ∙ s-1 ]
4 2 0 −2 −4 −6 0
2
4
6
8 t[s]
10
12
14
16
V tomto grafu se uzˇ exponencia´lnı´ za´vislost projevı´ za pomeˇrneˇ kra´tky´ cˇasovy´ u´sek, skokan se zastavı´ za necelou jednu sekundu (0, 9 s). Pokud bychom chteˇli zjistit maxima´lnı´ rychlost, ke ktere´ by se limitneˇ blı´zˇil, stacˇ´ı dosadit vy´sˇe uvedene´ hodnoty do vztahu (2.9) pro vx,max . Dosta´va´me: vx,max = −4, 5 m · s−1 . Z grafu 11 vidı´me, zˇe se funkce opravdu blı´zˇ´ı k hodnoteˇ −4, 5 m · s−1 . Med i voda majı´ totizˇ veˇtsˇ´ı hustotu nezˇ lidske´ teˇlo po na´dechu, vztlakova´ sı´la bude v obou prˇ´ıpadech veˇtsˇ´ı nezˇ sı´la tı´hova´ a skokan po zastavenı´ zacˇne stoupat vzhu˚ru. Tuto skutecˇnost mu˚zˇeme videˇt jak v grafu 10 pro hloubku skokana, ktera´ roste do maxima´lnı´ polohy a na´sledneˇ klesa´, tak i v grafu 11 pro rychlost v medu.
8 Hodnoty
prˇevzate´ z http://crzp.uniag.sk/Prace/2010/C/514202D82ECD4295B6691CD191091775.pdf pro kveˇtovy´ med o teploteˇ 25◦ C, str. 35, Tab. 7, a str. 41, Tab. 10.
Kapitola 2. DYNAMIKA
29
V diskuzı´ch vy´sledku˚ budeme jesˇteˇ chvı´li pokracˇovat. V tomto prˇ´ıkladu jsme do vy´pocˇtu zahrnuli model odporu prostrˇedı´ vyja´drˇeny´ Stokesovy´m vztahem (odporova´ sı´la za´visı´ linea´rneˇ na rychlosti). Da´le jsme neuvazˇovali o tom, co se deˇje prˇi na´razu skokana na hladinu (vı´me, zˇe rychlost skokana se tı´m vy´razneˇ snı´zˇ´ı, tento proces vsˇak nebude vu˚bec jednoduche´ matematicky popsat). Odhadli jsme, zˇe rychlost skokana bezprostrˇedneˇ pod vodnı´ hladinou je v0 = 3 m · s−1 . Zjistili jsme, zˇe odporovou sı´lu vody mu˚zˇeme zpocˇa´tku vu˚cˇi vy´slednici tı´hove´ a vztlakove´ sı´le zanedbat. Jedna´ se tedy o rovnomeˇrneˇ zpomaleny´ pohyb (tento fakt dokla´da´ i graf 9 pro rychlost a graf 10 pro hloubku skokana). Je tedy vhodne´ pouzˇ´ıt v tomto prˇ´ıkladu Stokesu˚v vztah pro velikost odporove´ sı´ly? Abychom zjistili, jestli jsme zvolili adekva´tnı´ model, bylo by trˇeba prove´st rozsa´hlejsˇ´ı teoreticke´ u´vahy. Vy´sledky bychom mohli oveˇrˇovat i experimenta´lneˇ. Obojı´ vsˇak prˇekracˇuje ra´mec, zada´nı´ i cı´le te´to bakala´rˇske´ pra´ce.
2.4
Rychlost dopadu vrzˇene´ koule
Jakou velikostı´ rychlosti a pod jaky´m u´hlem dopadne koule, kterou odhodı´ koularˇ v prˇ´ıkladu 1.5? y
~v0 α m h
xmax
~vd
x
Odporovou sı´lu na kouli tentokra´t zanedba´va´me, takzˇe na ni pu˚sobı´ jen tı´hova´ sı´la, ktera´ je silou konzervativnı´. Velikost rychlosti dopadu tedy zjistı´me pomocı´ za´kona zachova´nı´ mechanicke´ energie. ZZME : Ek,0 + Ep,0 = Ek,d + Ep,d , 1 2 1 mv0 + mgh = mv2d + 0. 2 2 Z rovnice (2.10) vyja´drˇ´ıme velikost dopadove´ rychlosti: q vd = v20 + 2gh .
(2.10)
Kapitola 2. DYNAMIKA
30
Cˇ´ıselneˇ dostaneme velikost dopadove´ rychlosti dosazenı´m hodnot z prˇ´ıkladu 1.5 na str. 9 (h = 2 m , v0 = 14, 3 m · s−1 , g = 9, 81 m · s−2 ): q . vd = (14, 3 m · s−1 )2 + 2(9, 81 m · s−2 )(2 m) = 15, 6 m · s−1 . Abychom zjistili u´hel, pod ktery´m koule dopadne, urcˇ´ıme pru˚meˇt vektoru dopadove´ rychlosti do x-ove´ho a y-ove´ho smeˇru podle obra´zku. vx,d β
~vd vy,d
Vztahy pro x-ovou a y-ovou slozˇku rychlosti pro sˇikmy´ vrh jsou zna´me´: vx (t) = vx = v0 cos α , vy (t) = v0 sin α − gt .
(2.11) (2.12)
Vidı´me, zˇe x-ova´ slozˇka rychlosti vx neza´visı´ na cˇase, je po celou dobu stejneˇ velka´. ´ Uhel odhodu α jsme zjistili v prˇ´ıkladu 1.5 (α = 42◦ 290 ), u´hel dopadu urcˇ´ıme ze vztahu: vx , vd v0 cos α cos β = q . v20 + 2gh cos β =
Dosazenı´m cˇ´ıselny´ch hodnot dosta´va´me: (14, 3 m · s−1 ) cos 42◦ 290 cos β = p = 0, 6755 (14, 3 m · s−1 )2 + 2(9, 81 m · s−2 )(2 m) ⇒ β = 47◦ 300 .
Kapitola 2. DYNAMIKA
2.5
31
Sra´zˇka kulecˇnı´kovy´ch koulı´
Bı´la´ kulecˇnı´kova´ koule o hmotnosti9 m1 = 170 g, ktera´ se pohybuje rychlostı´ o velikosti v1,i = 5 m · s−1 , narazı´ do stojı´cı´ modre´ koule o hmotnosti m2 = 156 g . Jakou rychlostı´ se bude po pruzˇne´ prˇ´ıme´ sra´zˇce pohybovat kazˇda´ z kulecˇnı´kovy´ch koulı´? (Prˇevzato a upraveno z [2].) m1 , ~v1,i
m2 , ~v2,i = ~0
y
x
Soustava je uzavrˇena´ (zˇa´dne´ cˇa´stice z nı´ nevystupujı´ ani do nı´ nevstupujı´ z okolı´) a vy´slednice vneˇjsˇ´ıch sil na teˇlesa pu˚sobı´cı´ je nulova´, proto mu˚zˇeme vycha´zet ze za´kona zachova´nı´ hybnosti (ZZH) a za´kona zachova´nı´ mechanicke´ energie (ZZME) soustavy. ZZH : ~p1,i +~p2,i = ~p1,f +~p2,f , ZZME : E1,i + E2,i = E1,f + E2,f .
(2.13) (2.14)
Indexem i jsme oznacˇili pocˇa´tecˇnı´ stav a indexem f stav koncovy´. Rychlost druhe´ koule prˇed sra´zˇkou ~v2,i = ~0 m · s−1 , jejı´ pocˇa´tecˇnı´ hybnost i kineticka´ energie je tedy nulova´. Da´le vı´me, zˇe mechanickou energii dostaneme soucˇtem energie potencia´lnı´ a kineticke´, E = Ep + Ek . Nulovou hladinu potencia´lnı´ energie si zvolı´me ve vy´sˇce strˇedu hmotnosti koulı´, takzˇe Ep = 0 J. Mechanicka´ energie se tedy bude skla´dat pouze z kineticky´ch energiı´. Pohyb se opeˇt deˇje pouze v kladne´m smeˇru osy x, pro x-ove´ slozˇky zapı´sˇeme vztahy (2.13) a (2.14) jako: m1 v1,i + 0 = m1 v1,f + m2 v2,f , 1 1 1 m1 v21,i + 0 = m1 v21,f + m2 v22,f . 2 2 2 Cˇleny, ve ktery´ch se vyskytuje m1 , prˇevedeme na levou stranu a cˇleny s m2 na pravou stranu rovnic.
9 Hodnoty
m1 (v1,i − v1,f ) = m2 v2,f ,
(2.15)
m1 (v1,i − v1,f )(v1,i + v1,f ) = m2 v22,f .
(2.16)
hmotnostı´ prˇevzaty z http://www.borderbilliards.com/everything-pool-balls.html.
Kapitola 2. DYNAMIKA
32
V rovnici (2.16) jsme pouzˇili identitu a2 − b2 = (a − b)(a + b). Prˇedpokla´da´me, zˇe v1,i 6= v1,f a za´rovenˇ v2,f 6= 0 (na tomto mı´steˇ si mu˚zˇe kazˇdy´ sa´m rozmyslet, co by po fyzika´lnı´ stra´nce prˇ´ıpadna´ rovnost znamenala). Rovnici (2.16) tedy mu˚zˇeme vydeˇlit rovnicı´ (2.15). Dosta´va´me10 : v1,i + v1,f = v2,f .
(2.17)
Dosazenı´m (2.17) do (2.15) zı´ska´me vztah pro v1,f : v1,f =
m1 − m2 v1,i . m1 + m2
(2.18)
Uzˇ tedy zby´va´ jen dosadit (2.18) do (2.17) a tı´m zjistit vztah pro v2,f : v2,f =
2m1 v1,i . m1 + m2
(2.19)
Cˇ´ıselneˇ pak dosta´va´me: (0, 170 kg) − (0, 156 kg) . 5, 0 m · s−1 = 0, 2 m · s−1 , (0, 170 kg) + (0, 156 kg) 2(0, 170 kg) . v2,f = 5, 0 m · s−1 = 5, 2 m · s−1 . (0, 170 kg) + (0, 156 kg)
v1,f =
Koncove´ rychlosti obou koulı´ vysˇly kladne´, to znamena´, zˇe pro na´mi zvolenou sourˇadnicovou soustavu se obeˇ dveˇ koule budou po sra´zˇce pohybovat v souladu s ocˇeka´va´nı´m v kladne´m smeˇru osy x.
10 Ke
stejne´mu vy´sledku bychom dosˇli, kdybychom z rovnice (2.15) vyja´drˇili (v1,i − v1,f ) a dosadili do rovnice (2.16), tento vy´pocˇet je ale poneˇkud pracneˇjsˇ´ı.
Kapitola 2. DYNAMIKA
2.6
33
Bob v klopene´ ledove´ zata´cˇce
Jakou rychlostı´ mu˚zˇe projet bob klopenou zata´cˇkou (u´hel sklonu odhadneme na za´kladeˇ sledova´nı´ prˇenosu˚ na α = 70◦ ) o polomeˇru11 R = 55 m na trati ve Winterbergu (Spolkova´ republika Neˇmecko)? Soucˇinitel staticke´ho trˇenı´ mezi ledem a bobem12 je µS = 0, 03. y
~ N
x
F~T,S,max2
S
F~T,S,max1 F~G
α
Na obra´zku jsou vyznacˇeny sı´ly, ktere´ na bob prˇi pru˚jezdu zata´cˇkou pu˚sobı´. Jsou to tı´hova´ sı´la, tlakova´ sı´la od podlozˇky a obecneˇ i staticka´ trˇecı´ sı´la (jejı´ smeˇr prodiskutujeme pozdeˇji). Prˇedpokla´da´me, zˇe se jedna´ o rovnomeˇrny´ pohyb po kruzˇnici, vy´slednice sil ma´ proto smeˇr do strˇedu te´to kruzˇnice a bob se tedy pohybuje s dostrˇedivy´m zrychlenı´m~ad . Abychom zjistili maxima´lnı´ rychlost bobu, prˇi nı´zˇ se udrzˇ´ı na dra´ze, budeme kromeˇ tı´hove´ a tlakove´ sı´ly uvazˇovat o maxima´lnı´ staticke´ trˇecı´ sı´le smeˇrˇujı´cı´ pode´l nakloneˇne´ roviny dolu˚ ~FT,S,max1 (pokud by jel veˇtsˇ´ı rychlostı´, tak by ho tato staticka´ trˇecı´ sı´la „neudrzˇela“ a „vyleteˇl by ven“ ze zata´cˇky). Druhy´ Newtonu˚v pohybovy´ za´kon tedy znı´: ~Fv = ~FG + ~N + ~FT,S,max1 = m~ad .
11 Hodnota 12 Hodnota
prˇevzata´ z http://www.bobbahn.de/track-informations.html. prˇevzata´ z http://www.engineeringtoolbox.com/friction-coefficients-d 778.html.
Kapitola 2. DYNAMIKA
34
y
x F~v S
α
α
Pro sourˇadnicovy´ syste´m zvoleny´ podle obra´zku˚ si jesˇteˇ pro prˇehlednost rozepı´sˇeme jednotlive´ sı´ly do slozˇek: ~N = (0 ; N) , ~FG = (mg sin α ; −mg cos α) , ~FT,S,max1 = (NµS ; 0) , 2 v2 v = (mad cos α ; mad sin α) = m cos α ; m sin α . R R
~Fv
Pro x-ove´ a y-ove´ slozˇky zapı´sˇeme druhy´ Newtonu˚v pohybovy´ za´kon: 2
x : m vR cos α = mg sin α + NµS , y:
2 m vR
v2 sin α + g cos α sin α = N − mg cos α ⇒ N = m R
.
Po dosazenı´ za N do rovnice pro x-ove´ slozˇky zjistı´me vztah pro velikost rychlosti: s Rg (sin α + µS cos α) vmax = . (2.20) cos α − µS sin α Vidı´me, zˇe prˇi na´mi zvolene´m modelu (zanedba´nı´ odporu vzduchu) neza´visı´ vy´sledna´ rychlost na hmotnosti bobu, ale pouze na parametrech zata´cˇky, kterou projı´zˇdı´. Cˇ´ıselneˇ pak dosta´va´me: s (55 m)(9, 81 m · s−2 ) (sin 70◦ + 0, 03 cos 70◦ ) . vmax = = 40, 4 m · s−1 . cos 70◦ − 0, 03 sin 70◦
Kapitola 2. DYNAMIKA
35
Pro minima´lnı´ rychlost, kterou mu˚zˇe projet zata´cˇkou, je postup obdobny´. Nynı´ vsˇak budeme uvazˇovat maxima´lnı´ statickou trˇecı´ sı´lu pode´l nakloneˇne´ roviny smeˇrem vzhu˚ru ~FT,S,max2 . Pokud by bob projı´zˇdeˇl zata´cˇkou mensˇ´ı rychlostı´, „sesouval“ by se dolu˚ ke spodnı´mu okraji zata´cˇky. Zapı´sˇeme x-ovou a y-ovou slozˇku sı´ly ~FT,S,max2 : ~FT,S,max2 = (−NµS ; 0) . Opeˇt rozepı´sˇeme druhy´ Newtonu˚v pohybovy´ za´kon do slozˇek: 2
x : m vR cos α = mg sin α − NµS , y:
2 m vR
v2 sin α = N − mg cos α ⇒ N = m sin α + g cos α R
.
Odtud dosta´va´me: s vmin =
Rg (sin α − µS cos α) . cos α + µS sin α
(2.21)
Po dosazenı´ cˇ´ıselny´ch hodnot vycha´zı´: s (55 m)(9, 81 m · s−2 ) (sin 70◦ − 0, 03 cos 70◦ ) . vmin = = 36, 8 m · s−1 . cos 70◦ + 0, 03 sin 70◦ Pokud bychom polozˇili trˇecı´ sı´ly rovny nule, projı´zˇdeˇl by bob zata´cˇkou rychlostı´, ktere´ mu˚zˇeme rˇ´ıkat optima´lnı´. Pro jejı´ vy´pocˇet stacˇ´ı ve vztazı´ch (2.20) a (2.21) forma´lneˇ polozˇit µS = 0. r Rg sin α p vopt = = Rg tan α . cos α Opeˇt dosadı´me cˇ´ıselne´ hodnoty: q . vopt = (55 m)(9, 81 m · s−2 ) tan 70◦ = 38, 5 m · s−1 . Za prˇedpokladu, zˇe by bob projel zata´cˇkou optima´lnı´ rychlostı´, cˇlen posa´dky by nemusel by´t prˇipouta´n a ani by se nemusel drzˇet. Dodejme jesˇteˇ, zˇe maxima´lnı´ rychlost bobu13 dosahuje azˇ hodnoty 153 km · h−1 . Prˇevodem jednotek na´mi vypocˇ´ıtany´ch rychlostı´ na kilometry za hodinu dostaneme hodnoty . . . vmax = 145, 4 km · h−1 , vmin = 132, 5 km · h−1 a vopt = 138, 6 km · h−1 . Vidı´me, zˇe takovy´ch rychlostı´ mu˚zˇe bob opravdu dosa´hnout. Mu˚zˇeme take´ rˇ´ıct, zˇe provedeny´ odhad u´hlu sklonu klopene´ zata´cˇky v zada´nı´ je adekva´tnı´. Milovnı´ci zimnı´ch sportu˚ mohou namı´tnout, zˇe se bob pohybuje na ostry´ch nozˇ´ıch, ktere´ se prˇi pru˚jezdu dra´hou zarˇeza´vajı´ do ledu. Pro rˇesˇenı´ prˇ´ıkladu nenı´ du˚lezˇity´ fyzika´lnı´ charakter te´to sı´ly, ale tato sı´la samotna´. Da´le jsme pro jednoduchost zanedbali horizonta´lnı´ sklon dra´hy, ve skutecˇnosti bob jede z kopce dolu˚. Z vy´sledku˚ je vsˇak patrne´, zˇe na´mi zvoleny´ model se od rea´lne´ situace prˇ´ılisˇ nelisˇ´ı. 13 Hodnota
prˇevzata´ z http://www.bobteam.cz/o-nas/faq.
Za´veˇr Vy´sledkem te´to bakala´rˇske´ pra´ce je soubor rˇesˇeny´ch prˇ´ıkladu˚ z mechaniky. Prˇ´ıklady majı´ ru˚znou obtı´zˇnost, od za´kladnı´ch u´loh z kinematiky a dynamiky azˇ po slozˇiteˇjsˇ´ı prˇ´ıklady, u nichzˇ je trˇeba zvolit vhodny´ model a postup vy´pocˇtu. I v teˇchto upraveny´ch podmı´nka´ch jsme vsˇak schopni pochopit podstatu fyzika´lnı´ho proble´mu spojene´ho s danou sportovnı´ cˇinnostı´. Cˇtena´rˇ se mu˚zˇe prˇi vy´pocˇtech oprˇ´ıt o svoji vlastnı´ zkusˇenost, nebo si danou problematiku alesponˇ le´pe prˇedstavit. Ru˚zne´ cˇa´sti pra´ce (s ohledem na jejich obtı´zˇnost) mohou poslouzˇit strˇedosˇkolsky´m studentu˚m, olympioniku˚m, studentu˚m bakala´rˇsky´ch studijnı´ch programu˚ i ucˇitelu˚m. Neˇktere´ vy´sledky prˇ´ıkladu˚ cˇi jejich prˇedpoklady si studenti mohou sami vyzkousˇet (zmeˇrˇit si cˇas beˇhu, sjezdu na lyzˇ´ıch nebo vzda´lenost hodu). Na´zornost prˇ´ıkladu˚ by v nich mohla vzbudit za´jem jak o fyziku, tak i o sport.
– 36 –
Seznam pouzˇite´ literatury [1] BLAZEVICH, Anthony. Sports biomechanics: The basics: Optimising human performance. 2nd edition. London: A & C Black Publishers, 2010. [2] HALLIDAY, David, RESNICK, Robert, WALKER, Jearl. Fyzika. 2. prˇepracovane´ vyda´nı´. Brno: VUTIUM, 2013. [3] KVASNICA, Jozef. Mechanika. 2. vyda´nı´. Praha: Academia, 2004. ´ , Miroslava. Fyzika pro gym[4] SVOBODA, Emanuel, BEDNARˇ´IK, Milan, SˇIROKA na´zia: Mechanika. 5. prˇepracovane´ vyda´nı´. Praha: Prometheus, 2013. [5] http://e-learning.physics.muni.cz/Texty/Nastraha1.pdf (cˇteno kveˇten 2015)
– 37 –