MASARYKOVA UNIVERZITA

MASARYKOVA UNIVERZITA PEDAGOGICKÁ FAKULTA Katedra matematiky

Zlatý řez Diplomová práce

Brno 2008

Autor práce: Kateřina Kotková Vedoucí práce: Doc. RNDr.Jaroslav Beránek, CSc.

Prohlášení Prohlašuji, že jsem diplomovou práci zpracovala samostatně a použila jen prameny uvedené v seznamu literatury. Souhlasím, aby práce byla uložena na Masarykově univerzitě v Brně v knihovně Pedagogické fakulty a zpřístupněna ke studijním účelům

Brně dne 15.července 2008

Kotková Kateřina

2

Poděkování Za laskavé vedení mé diplomové práce, cenné rady a velkou trpělivost bych chtěla poděkovat panu Jaroslavu Beránkovi.

3

docentu

Obsah ÚVOD .........................................................................................................................................5 1.

O ZLATÉM ŘEZU ...........................................................................................................6 1.1

HISTORIE ZLATÉHO ŘEZU .............................................................................................7

1.1.1 Euklides a geometrie .................................................................................................................9 1.1.2 Platónská tělesa ........................................................................................................................10 1.2

MATEMATICKÉ VYJÁDŘENÍ ZLATÉHO ŘEZU ................................................................13

1.2.1 Konstrukce zlatého řezu .........................................................................................................14 1.2.2

Vlastnosti zlatého řezu ............................................................................................................17

1.2.3 Zlatý řez v rovinné geometrii ................................................................................................19 1.3

FIBONACCIOVA ČÍSLA................................................................................................28

1.4

ZLATÝ ŘEZ V PŘÍRODĚ ...............................................................................................29

1.5

ZLATÝ ŘEZ V UMĚNÍ ...................................................................................................35

1.5.1 Planeta Leonardo da Vinci ....................................................................................................36 1.5.2

Číslo a obraz ..............................................................................................................................39

1.5.3 Zlatý řez ve fotografii ..............................................................................................................42 1.5.4 Zlatý řez v architektuře ...........................................................................................................45 ZÁVĚR.....................................................................................................................................53 RESUMÉ .................................................................................................................................54 SUMMARY .............................................................................................................................54 POUŽITÁ LITERATURA .....................................................................................................56 SEZNAM PŘÍLOH.................................................................................................................58 PŘÍLOHY

4

Úvod Co je to krása? Nebo, co je krásné? Dávní mudrci začali tím, že se pokusili rozdělit úsečku na dva díly tak, aby to bylo co nejkrásnější – za krásné je považováno to, co je „přiměřené“, „tak akorát“, ve správném vyváženém poměru k sobě samu. Tohle je asi definice zlatého řezu nejelementárnější. Úloha je řešitelná pomocí základní matematiky či geometrie. Ne, polovina to vskutku není. To by bylo jen průměrné řešení!

5

1. O zlatém řezu Dejme tomu, že jste velcí 1,80 m. V jaké výšce se nachází váš pas? To je jednoduché: mnozí vědci věří, že je člověk vystavěn podle zlatého řezu. V tom případě Váš pas dělí vaše tělo ve zlatém řezu. Tedy… moment, hned to spočítáme. Bod dělí vzdálenost ve zlatém řezu, jestliže oba poměry jsou stejné, totiž nejdříve celková vzdálenost k větší části a pak větší část k menší. Bod, který dělí vzdálenost ve zlatém řezu, leží přibližně v 62 % vzdálenosti. Skutečně poměr 1 : 0,62 je přibližně stejný jako 0,62 : 0,38. Poměr lze určit i přesně a pak dostaneme = 1,618… Tedy přesněji, dělící bod leží v 61,8% celkové délky. Zlatý řez pochází již od Eukleida a měl také význam v matematice (například diagonály pravidelného pětiúhelníku se protínají ve zlatém řezu), ale skutečně populárním se stal zlatý řez teprve v 19. a 20. století. Byl tehdy hromadně objevován, částečně asi díky sugestivitě svého názvu: nejdříve v umění. Čím krásnější a klasičtější bylo umělecké dílo, tím spíše v něm byl hledán – a nalézán – zlatý řez. Jedním z děl klasického umění je Parthenón na Akropoli, a poměr jeho šířky k výšce odpovídá zlatému řezu. I u Cheopsovy pyramidy, Dómu ve Florencii a – samozřejmě u Mony Lisy byl zlatý řez také objeven. Problémem je jen, že od žádného umělce (pokud jsou vůbec známi) se nedochovalo jediné zprávy, že by zlatý řez znali nebo záměrně používali. Jinak je tomu u francouzského architekta Le Corbusiera (1887-1965), který první postuloval, že člověk je vystavěn podle zlatého řezu, a dále vycházel z toho, že domy a nábytek musí odpovídat lidským proporcím, takže došel k závěru, že i domy a nábytek musí být konstruovány podle zlatého řezu (Beutelspacher, 2005). V dnešní době se zlatý řez objevuje dokonce i v moderní počítačové grafice (viz.příloha č.1).

6

1.1 Historie zlatého řezu Nejstarší matematické texty se dochovaly z civilizací starověkého Východu, z Egypta a Babylonu. Nejvýznamnějšími památkami egyptské matematiky jsou papyry. Rhindův papyrus, nyní častěji nazývaný Ahmesovým papyrem, podle písaře, který ho napsal někdy v období 1788-1580 př.n.l., když Egypt byl ovládán Hyksósy, obsahuje 84 úloh. Tento papyrus tvrdí, že „v pyramidách je utajen tajemný kvocient, nazvaný seqt“. Tento seqt objevili Řekové. Staří Řekové věřili, že uměřenost v umění i v životě vede ke zdraví a kráse.

(Chmelíková, 2006)

O antickém učenci Euklidovi (kolem 340 až 287 př.n.l.), autorovi Základů (300 př.n.l.), knihy, podle které studovali geometrii matematici až do 18. století, si budeme povídat více v kapitole Euklides a geometrie.

Kromě Eukleida se v antice zlatým řezem zabýval i umělec Phidias (sochař, malíř, zlatník a architekt) a to již v 5. století př. n. l. Postavil známý athénský Panthenón na Akropoli, jehož základem je zlatý obdélník (viz dále) a zlatý poměr nalezneme i na průčelí této stavby.

(Chmelíková, 2006)

7

Za středověku byl zlatý řez považován za dílo Boha: představoval údajně dokonalost božího stvoření. V období renesance, která se opírala o antickou kulturu, byl pro matematiky ztělesněním božské

logiky,

že

byl

nazýván

„božským poměrem“

(„divina

proportio“). Luca Pacioli, renesanční matematik, je autorem pojednání nazvaného "O božském poměru" (r. 1509, vydáno v krásné úpravě znovu roku 1956) doplněné ilustracemi Leonarda da Vinci, o kterém také ještě budeme mluvit. Obsahuje zajímavý soubor příkladů výskytu poměru zlatého řezu v rovinných obrazcích i tělesech. Německý malíř Albrecht Dürer, ve svém spisu z roku 1528, rozvinul některé teoretické problémy nauky o proporcích. I zde se setkáváme s řadou zlatých řezů úseček a zlatých obdélníků. Mezi holandskými mistry výtvarného umění vynikal v užití i teorii zlatého řezu Jan Vermeer (1632 až 1675), poté se však zájem o zlatý řez začal vytrácet. Názvů "zlatý řez" („zectil aurea“, „proportio divina“) a "zlatý poměr" se začalo používat až v 19. století. Německý fyzik, psycholog a filozof Gustav Theodor Fechner proměřil několik set obrazů ve více než dvaceti muzeích evropských hlavních měst se závěrem, že názory o významu zlatého řezu nelze potvrdit. Jeho výsledky potvrdil i dr. Miroslav Tyrš, který s mravenčí pílí proměřil spoustu antických soch a význačných staveb, avšak zlatý řez prý nenalezl. Označení „zlatý řez“, „zlatý poměr“ se užívají až od 19. století. V současné době ustoupila, snad trochu neprávem, teorie zlatého čísla do pozadí. Jednou z mála osobností zabývající se touto problematikou ve 20. století byl francouz Matila Ghyka, který roku 1931 vydal v Paříži knihu „Le Nombre d'Or“ (v překladu „Zlaté číslo“), o něco později, roku 1946, pak vyšla ve Velké Británii jeho kniha „The geometry of Art and Life“ (v překladu „Geometrie umění a života). V obou dílech se zabývá výskytem zlatého čísla v přírodě i v architektuře, jeho vlastnostmi a využitím od starověkého Egypta přes antiku až po současnost. V dnešní době o přítomnosti zlatého čísla svědčí například „pyramida v Louvre“ (prosklená budova z 80. let 20. století sloužící jako vstupní brána do galerie) nebo budova La Géode v Paříži (největší panoramatické kino na světě). Tohoto poměru se využívá také ve fotografii, plastické chirurgii a v dalších odvětvích, kde je kladen důraz mimo jiné na estetiku (Chmelíková, 2006, Florianová, 2006, http://www.volny.cz/ zlaty.rez/diplomka1.html).

8

La Geóde v Paříži

Pyramide v Louvre (Chmelíková, 2006)

1.1.1 Euklides a geometrie Zlatý řez souvisí také s okamžikem vzniku geometrie jako ucelené sestavy vědění. Tento okamžik nastal asi tři sta let před naším letopočtem v Alexandrii a jméno, s nímž zůstal navždy spojen, zná dnes každý: antický učenec Euklides. Jeho kniha Základy se týkala právě základů geometrie. V čem vlastně tkví jádro systému, do něhož Euklides uvedl geometrii? Je to systém základních, nejjednodušších pravd, jimž říkáme axiómy, a žádáme na nich, aby se z nich dal vystavět celý systém geometrie. Dále žádáme, aby byly skutečně nejjednoduššími pravdami, které nelze odvodit od jiných pravd, ještě jednodušších. Konečně chceme, aby systém základních axiómů byl ucelený a nikdy nevedl k nesmyslným, nepřijatelným závěrům. Základní soustava axiómů nesmí zkrátka vést ke sporům. A právě Euklides právě jednu takovou soustavu vytvořil a na ní vystavěl budovu celé tehdejší – a ještě řadu pozdějších staletí známé – geometrie. Tak tedy zde jsou: „dvěma různými body je vždy určena jediná přímka. Bodem a poloměrem v rovině je jednoznačně určena jediná kružnice, která má svůj střed v onom bodě, má požadovaný poloměr a je narýsována v dané rovině…“ Hlavních axiómů je zkrátka pět, a my si uvedeme ještě aspoň pátý: „protne-li přímka jiné dvě přímky a

9

utvoří s nimi na téže straně vnitřní úhly, jež jsou dohromady menší než dva úhly pravé, pak ony přímky, prodlouženy do nekonečna, protnou se na té straně, na níž leží úhly, jež jsou menší než dva úhly pravé“ – jinak a jednodušeji – součet vnitřních úhlů v trojúhelníku je přesně 180 stupňů. V průběhu začala kolem tohoto nejzajímavějšího Euklidova pátého axiómu pěkná mela. Matematikům připadal neúměrně složitý a tížil je jako břemeno. Na druhé straně ubíhala staletí a nikomu nepřipadalo divné, proč úhly v trojúhelníku dávají dohromady právě těch 180 stupňů. Což mohou existovat trojúhelníky, které tuto vlastnost nemají? Staletí plynula dál a ani matematici nevěděli, že právě v jejich blízkosti takové trojúhelníky existují, že jich dokonce používají, aniž si vůbec uvědomují jejich existenci (Mrázek, 1986).

(Mrázek, 1986)

1.1.2 Platónská tělesa Platón (vlastním jménem Aristokles) byl řecký filosof, který žil asi v letech 428 – 347 př. n. l. (Obr. 43). Veřejnosti je znám především díky „podobenství o jeskyni“. V Athénách založil filosofickou školu, která dostala název „Akadémie“ a jejíž program zahrnoval v neposlední řadě i matematiku.

10

Platónské těleso je pravidelný konvexní mnohostěn (tj. z každého vrcholu vychází stejný počet hran a všechny stěny tvoří stejný pravidelný mnohoúhelník). V trojrozměrném prostoru jich existuje právě pět a to: pravidelný čtyřstěn, pravidelný šestistěn (krychle), pravidelný osmistěn, pravidelný dvanáctistěn a pravidelný dvacetistěn. Platón jako jeden z prvních matematiků tato tělesa podrobně popsal. Krychli, osmistěn, čtyřstěn a dvacetistěn považoval za představitele čtyř základních živlů: země, vzduch, oheň a voda. Dvanáctistěn podle Platónova učení představoval jsoucno, neboli vše, co existuje (Chmelíková, 2006).

1. Pravidelný dvanáctistěn - stěny dvanáctistěnu tvoří pravidelné pětiúhelníky. Už to nám zaručuje přítomnost zlatého čísla na tomto tělese. Dvanáctistěn má ale další zajímavou vlastnost, lze do něj vepsat tři navzájem kolmé zlaté obdélníky a to tak, že jejich vrcholy leží ve středech stěn dvanáctistěnu.

(Chmelíková, 2006)

2. Pravidelný dvacetistěn - stěny dvacetistěnu tvoří rovnostranné trojúhelníky. Ty nám samy o sobě žádný zlatý řez nenabízí. Vezmeme-li ale v úvahu všechny trojúhelníky stýkající se v jednom vrcholu dvacetistěnu, jejich protilehlé strany k tomuto vrcholu leží v jedné rovině a tvoří pravidelný pětiúhelník. Zlaté číslo je na světě.

11

Pro dvacetistěn dále platí: Spojíme-li dvě protilehlé hrany získáme obdélník, jehož delší strana je k menší ve stejném poměru jako součet stran ku delší straně, to znamená, že jsme dostali zlatý obdélník. Odtud plyne, že dvanáct vrcholů dvacetistěnu tvoří současně dvanáct vrcholů tří zlatých obdélníků, které leží ve třech navzájem kolmých rovinách. Společný průsečík těchto obdélníků je středem dvacetistěnu.

(Chmelíková, 2006)

3. Pravidelný osmistěn - do pravidelného osmistěnu lze vepsat pravidelný dvacetistěn tak, že každý vrchol dvacetistěnu rozdělí hrany osmistěnu v poměru zlatého řezu. Dále lze do pravidelného osmistěnu „vepsat“ pravidelný dvanáctistěn způsobem, jakým je znázorněno na obrázku (nejde o vepsání v pravém slova smyslu – dvanáctistěn není celý uvnitř osmistěnu).

(Chmelíková, 2006)

12

4. Krychle – pravidelný dvanáctistěn vepsaný do krychle.

(Chmelíková, 2006)

Ukázali jsme si, že zlatý řez v platónských tělesech skutečně není vzácností. Tvary pravidelných mnohostěnů se vyskytují v přírodě, například jako krystalické struktury některých nerostů. Zlatý řez tedy není jen vyumělkovaným poměrem matematiků, ale dílo přírody (Chmelíková, 2006).

1.2. Matematické vyjádření zlatého řezu Rozdělíme-li úsečku AB délky a bodem C na dvě části x a (a-x) tak, aby byl poměr délky menší části (a-x) k větší části x roven poměru délky větší části x k délce úsečky a:

pak bude platit

a−x x = x a

a říkáme, že jsme sestrojili zlatý řez úsečky AB a poměr x:a, resp. (a-x):x, nazýváme zlatým poměrem. Hodnotu poměru vypočítáme pokud zvolíme velikost úsečky a=1 a dosadíme do rovnice zlatého řezu

1− x x = , 1 x

13

kterou po vynásobení nenulovou velikostí x upravíme na kvadratickou rovnici

jejíž kladný kořen je

ϕ = x1 =

−1+ 5 = 0,61803398874... . 2

Záporný kořen ϕ´= x2 = -1,61803… nevyhovuje, neboť nemůže být délkou úsečky. Pak obrácený poměr

1

ϕ

=

1 = 1,61803398874... x1

bývá rovněž spojován se zlatým řezem, neboť jej lze definovat i jako rovnost poměrů větších částí k menším na popsané úsečce AB. Pro kořeny kvadratické rovnice zlatého řezu platí:

( Tedy převrácená hodnota kořene x 1 je rovna - x 2 .) Platí, že ϕ je jediné kladné číslo, které zvětšené o jedničku, dává svou převrácenou hodnotu:

ϕ +1 =

1

ϕ

Zlatý poměr můžeme vyjádřit dvěma způsoby: x = 0,61803... a

nebo

x 1 = a 1,61803...

(Florianová,2006, http://www.volny.cz/zlaty.rez/diplomka3.html).

1.2.1 Konstrukce zlatého řezu Zlatý řez sestrojíme různými konstrukcemi podle toho, zda chceme úsečku AB, AB = a, rozdělit v poměru zlatého řezu nebo známe větší, AC = x, resp. menší,

CB = a − x , díl úsečky AB a chceme určit celou úsečku AB.

Na obrázku je znázorněna úsečka AB. Na kolmici v bodě B odměříme polovinu délky úsečky AB a dostaneme bod M, sestrojíme úsečku AM, okolo bodu M opíšeme

14

kružnici o poloměru MB, MB =

a , dostaneme na úsečce AB bod N, okolo bodu A 2

opíšeme kružnici o poloměru AN, AN = x , a pak je bod C bodem zlatého řezu úsečky AB.

Lze ji odvodit z vyjádření zlatého poměru, pro nějž platí a−x x = x a čili

Kladný kořen (záporné číslo opět nemůže být řešením) kvadratické rovnice je

upravíme 2

5a 2 a a2 a a a − = a2 + − = a2 +   − . x= 4 2 4 2 2 2

a Rovnost x + = 2

2

a a +   sestrojíme užitím Pythagorovy věty, což je 2 2

uvedená euklidovská konstrukce v pravoúhlém trojúhelníku ABM. Velikost úsečky AM je x +

a a velikost AC je tedy rovna velikosti x. Úloha má vždy jediné řešení. 2

15

Pokud známe větší díl AC úsečky AB, konstrukci celé úsečky AB bychom provedli takto. Nad úsečkou AC sestrojíme čtverec, vyznačíme bod F, který je středem úsečky AC a opíšeme kružnici se středem F o poloměru FD. Průsečík polopřímky AC a kružnice je bod B.

Konstrukci odvodíme opět z rovnice zlatého řezu, ovšem vyjádříme neznámou a. Pak z kvadratické rovnice

a 2 − ax − x 2 = 0

vypočteme kladný kořen

a=

x 2

(

)

5 +1 ,

po úpravě (viz. předchozí konstrukce) dostaneme tvar

a pak

čili

x  x a − = x2 +   2 2

(a − x ) + x = 2

 x a = x +  2 2

2

+

x , 2

2

,

 x x2 +   2

2

, a tedy FB = FD .

Pokud známe menší díl CB, úsečku AB konstruujeme takto. Nad úsečkou CB sestrojíme čtverec a bod F, v polovině strany čtverce. Bod G je průsečíkem kružnice se středem v F a poloměrem FE a polopřímky CF, a pak bod A průsečíkem kružnice se středem v C i poloměru CG a polopřímky BC.

16

E

V uvedené konstrukci

AC = GC = x,

tedy

GC = CF + FE .

Podle Pythagorovy věty je

a tedy

FE =

x=

(a − x )2 + (a − x ) 4

,

(a − x )2 + (a − x )

a−x + 2

x=

po úpravách pak opět

2

4

a 2

(

2

,

)

5 −1

(Florianová, 2006, http://www.volny.cz/zlaty.rez/diplomka3.html).

1.2.2 Vlastnosti zlatého řezu Zlatý řez má

mnoho zajímavých vlastností, například se vyskytuje

v pravidelném pětiúhelníku nebo je to limita poměru mezi dvěma následujícími členy Fibonacciho posloupnosti.

17

(http://cs.wikipedia.org/wiki/Zlat%C3%BD_%C5%99ez)

Obdélník, jehož poměr stran odpovídá zlatému řezu, lze rozdělit na čtverec a obdélník, jehož poměr stran opět odpovídá zlatému řezu. Pokud vezmeme libovolné číslo a0 > 1, pak řady

konvergují ke zlatému řezu. Číslo

lze vyjádřit pomocí řetězového zlomku:

Zápis zlatého řezu v desítkové soustavě 1,6180339887 4989484820 4586834365 6381177203 0917980576 2862135448 6227052604 6281890244 9707207204 1893911374 8475408807 5386891752 1266338622 2353693179 3180060766 7263544333 8908659593 9582905638 3226613199 2829026788 0675208766 8925017116 9620703222 1043216269 5486262963 1361443814 9758701220 3408058879 5445474924 6185695364 ... (http://cs.wikipedia.org/wiki/Zlat%C3%BD_%C5%99ez). 18

1.2.3 Zlatý řez v rovinné geometrii Rovnoramenný trojúhelník ABC, v němž je poměr délky ramene a základny roven ϕ, nazveme „zlatým trojúhelníkem“. AB AC

=ϕ

Zlatý trojúhelník získáme z Herónovi konstrukce zlatého řezu úsečky. Metoda naznačuje zároveň euklidovskou konstrukci úhlu 36° a jeho násobků. Narýsujeme oblouky se středy v bodech B a C s poloměrem AC, AC = x. Jejich průnik označíme F a spojíme ho s body A, B, C, pak AF = a. Potom úhel BAF = AFC = BFC = 36°, úhel CBF = BCF = AFB = 72° a úhel ACF = 108°. Přímka CF je osou úhlu AFB. A máme hned dva zlaté trojúhelníky BAF a BFC.

19

Pokud tedy do zlatého trojúhelníka opět vepisujeme největší možné rovnoramenné trojúhelníky, tj. které mají rameno rovno základně předcházejícího trojúhelníka, platí, že zbude zase zlatý trojúhelník. V definovaném zlatém trojúhelníku ABC platí |AB| = |CD|, pak tedy podle definice zlatého řezu

AD CD

=ϕ

a protože |CD| = |BD|, platí

AD BD

=ϕ

tedy trojúhelník ABD je skutečně zlatý.

Tak můžeme v konstrukci dalších zlatých trojúhelníků pokračovat. Vrcholy zlatých trojúhelníků leží na spirále, která má střed v průsečíku těžnic AA1 a DD1 . Středy jejích oskulačních kružnic leží v bodech D, E, F... Nazýváme ji

„zlatou logaritmickou spirálou“.

20

Tato spirála má stále stejně velké zakřivení, což dosáhneme pouze tehdy, pokud nedodržujeme stejnou vzdálenost mezi závity (mění se velikost průvodiče), ale stále je zmenšujeme či zvětšujeme. Spirála se velmi rychle zmenšuje či roste stejně do délky i do šířky, ale nemění tvar. Ať ji zmenšíme na mikroskopické rozměry nebo zvětšíme na rozměry naší galaxie, tvar logaritmické spirály se nezmění a nacházíme ho u mnoha výtvorů přírody, které člověk kopíruje ve svých (schodiště). Logaritmickou spirálu objevil francouzský filozof a matematik René Descartes. Jakub Bernoulli (1654-1705), nejstarší z rodiny vynikajících učenců, se mimo jiné zajímal o zákonitosti křivek a logaritmická spirála ho přímo fascinovala. Napsal o ní: „...mohla by být symbolem podobnosti potomstva a rodičů, proto chci, aby byla vyryta do mého náhrobního kamene s nápisem: Eadem numero mutata resurget." (Volně přeloženo: „Ze změn se znovuzrozuje ta samá.“) Nyní si zvolíme obdélník se stranami v poměru ϕ a nazveme jej „zlatým obdélníkem“. Zlatý obdélník má řadu zajímavých vlastností. Například ho můžeme vepsat do čtverce tak, že jeho všechny vrcholy dělí strany čtverce zase ve zlatém poměru.

21

Oddělíme-li od zlatého obdélníka ABCD čtverec AEFD, bude zbývající část opět zlatým obdélníkem. Jestliže od obdélníka EBCF oddělíme čtverec GHCF, bude zbytek EBHG opět zlatým obdélníkem atd. Koeficient podobnosti zlatých obdélníků je roven ϕ. Platí EF = ϕ AB

Vidíme, že poloha následujících zlatých obdélníků se mění, obdélníky se otáčejí o pravý úhel. Body F, H, J, L..., vyznačující postupně zlaté řezy a leží znovu na zlaté spirále. Divíme se, že mohla elegantní křivka natolik upoutat? Bernoulli neváhal a označil ji za „spira mirabilis“ - neobyčejná, obdivuhodná spirála. Zlaté obdélníky se otáčejí jak ve směru zmenšování, tak ve směru růstu: Z obdélníka EBCF můžeme dostat obdélník ABCD a z toho opět další, stále větší a větší. Graf zlaté spirály tedy souvisí i s otáčejícím se zlatým obdélníkem.

22

Délky r průvodičů zlaté logaritmické spirály jsou úměrné úhlu ß, který průvodič svírá s pevnou osou.

π β =n , 2

r=

1

ϕn

,n∈ Z

Logaritmickou spirálu můžeme tak přibližně sestrojit pomocí čtvrtkružnic vepsaných do vzniklých čtverců. Skutečná spirála se nedotýká stran čtverců, ale protíná je pod velmi malým úhlem. Úhel mezi tečnou této křivky v jejím libovolném bodě a přímkou spojující tento bod se středem spirály je stálý. Střed spirály O je průsečík úhlopříček BD a CE, které jsou k sobě kolmé. AH a FJ se protínají v bodě O a jsou osami úhlů mezi BD a CE.

23

Jak bylo již uvedeno, logaritmická spirála nemění tvar, roste stejně do délky i do šířky. Tak rostou části živočichů a rostlin. Je to jediná křivka, která roste tak, že zachovává tvar a poměr částí. Asymetrická křivka vyjadřuje symetrický růst. Není v tom rozpor? Počet mnohoúhelníků i pravidelných, které můžeme sestrojit v rovině, je neomezený. Víme, že pro každé celé číslo n 3 existuje pravidelný n-úhelník. Jediným pravidelným mnohoúhelníkem, jenž má týž počet úhlopříček jako stran, je pětiúhelník. Je také „nejnižším“ mnohoúhelníkem, jehož strany i úhlopříčky lze nakreslit jediným tahem. Samozřejmě i v něm najdeme zlaté řezy, a proto jej nazveme zlatým pětiúhelníkem (Florianová, 2006). Jak sestrojíme pravidelný pětiúhelník kružítkem a pravítkem? Pokud známe poloměr kružnice opsané, můžeme při konstrukci využít zlatého řezu. V kružnici se středem S zvolíme průměr AC a průměr BD na něj kolmý, bodem O rozpůlíme AS a opíšeme z něj část kružnice o poloměru OD, která nám protne úsečku AC v bodě E. Vzdálenost DE je hledaná velikost strany pravidelného pětiúhelníka. A nejenom to. Úsečka DO je stranou pravidelného šestiúhelníka a úsečka SE je stranou pravidelného desetiúhelníka.

24

Již Eudoxos (4.st.př.n.l.) věděl, že v kruhu platí věta: . Pětiúhelník je bohatý zdroj zlatých poměrů. Snadno si ověříme následující vlastnosti. 1. Úhlopříčky v pravidelném pětiúhelníku se protínají v poměru zlatého řezu. ∆ABE ~ ∆AFE AB : BE = AF : AE AB = BF = AF AF = EF BF : BE = EF : BF = ϕ

BF je větší díl úhlopříčky dělené zlatým řezem. Můžeme tedy sestrojit stranu pravidelného pětiúhelníku, je-li dána úhlopříčka.

2. Poměr úhlopříčky a strany pravidelného pětiúhelníka je zlatý. Poměr AB : BE = ϕ vyplynul při odvozování první vlastnosti.

3. Jestliže sestrojíme všechny úhlopříčky tohoto pravidelného pětiúhelníka, dostaneme pěticípou hvězdu, uvnitř které je opět pravidelný pětiúhelník a platí, že průsečíky úhlopříček pravidelného pětiúhelníka ABCDE jsou vrcholy pravidelného pětiúhelníka KLMNO. Poměr stran pětiúhelníků je roven ϕ −2 .

25

Podle věty o obvodovém úhlu dělí úhlopříčky každý vnitřní úhel pravidelného pětiúhelníka na tři shodné úhly. Velikost každého z nich označme α = 36°. Z konstrukce je patrno

Pětiúhelník KLMNO je pravidelný. Označme délky jeho stran x. Je-li délka strany původního pětiúhelníka ABCDE rovna jedné, platí: AE = AO = 1, AK = DO = 1 − x,

ϕ=

DO AO

= DO = AK =

AK AO

=

AO − KO AO

úpravou a s použitím vlastnosti ϕ + 1 =

1

ϕ

,

dostaneme

4. Délky úseček AD, AO, AK, KO (seřazeny sestupně) jsou členy geometrické posloupnosti: AD =

1

ϕ

AO = 1 AK = ϕ KO = ϕ 2

26

Součet dvou po sobě jdoucích členů se rovná následujícímu, např.

ϕ 2 + ϕ = ϕ (ϕ + 1) = ϕ

1

ϕ

=1

(Florianová, 2006)

V rovině najdeme další geometrické útvary se zlatým řezem. Na obrázku je nakreslen lotrinský kříž, skládající se z patnácti jednotkových čtverců.

Bodem A je vedena přímka BC, dělící kříž na dvě části o stejném obsahu. V jakém poměru rozdělí bod B úsečku DE? Polovina obsahu kříže je 7,5 j 2 a ∆BCF má tedy obsah roven 2,5 j 2 . Označíme |BD| = x a |CG| = y, potom pro ∆BCF platí, že

součet obsahů ∆AEB a ∆ACG

Po úpravě dostaneme pro x rovnici

jejíž kladný kořen je 0,61803. Bod B dělí úsečku DE zlatým řezem (Florianová, 2006, http://www.volny.cz/zlaty.rez/diplomka3.html).

27

1.3. Fibonacciova čísla Stará legenda praví, že ze čtvera věků na počátku dějin byl prvním věk zlatý. Pověst opěvuje tuto dobu, kdy lidem nebylo třeba zákonů a soudců, neznali válek a byli ušetřeni všech vášní, které je v pozdějších dobách vedly tak často do záhuby. Málokdo však ví, že se člověk tehdejší doby podobal bohům nejenom svým vzhledem a myšlením, ale i nesmrtelností. Tak se stalo, že první pramáti a praotec zplodili muže a ženu, jež po čase dospěli a dali život další dvojici. Mezitím však nesmrtelní prarodiče zplodili další dvojici, a tak to šlo dál a dál. Každá dvojice, která dospěla, si nalezla partnery v nějaké jiné, stejně staré dvojici a začala generaci po generaci plodit další dvojice. Počet lidí, obývajících zemi, tak znamenitě rostl. To přinášelo velké problémy. Lidé se mezi sebou začali hašteřit, nejprve o potravu, později muži o ženy a ženy o muže, a nakonec o všechno, co jen mělo nějakou cenu. Po nějakém čase už to takhle nešlo dál a bohové vypustili na zemi smrt, aby zabránili dalšímu přemnožování lidského rodu. Tak skončil zlatý věk lidstva. Mladičký Leonardo Pisano, později zvaný též Fibonacci (asi 1170-1230), pozorně vyslechl legendu vyprávěnou učitelem latiny. Po návratu domů se zamyslel nad tím, jak rychle že to vzrůstal počet nesmrtelných lidských dvojic. Došel k tomu, že v první generaci byla jedna, dospělá, dvojice, ve druhé pak dvě dvojice, mladá a dospělá. V třetí generaci se pak z mladého páru stane dospělý a dospělý pár zplodí mladé, tedy máme dva dospělé a jeden mladý pár. Celkem mu pak vyšlo, že počet dospělých párů roste následovně:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, ...

Pravidlo je jednoduché, první dva členy jsou dány, jednička a jednička, každý další člen je pak součtem dvou členů předcházejících. To ale zdaleka nebylo všechno! Řada čísel před ním se vyznačovala zvláštností. Poměr dvou jejích následujících členů 1/1, 2/1, 3/2, 5/3, 8/5, 13/8, 21/13, 34/21, 55/34, 89/55, 144/89, 233/144, 377/233, ... se neodvratně blížil k číslu 1.61803398... Leonardo toto číslo nazval božskou proporcí, neboť z legendy vyplývalo, že množit se podle tohoto poměru zůstalo výsadou bohů.

28

Vezmeme-li náš příběh o počátku lidského rodu vážně, můžeme si zaspekulovat, že zlatý řez je bodem, který dělí dějiny lidstva na dvě části: zlatý věk a věk, který žijeme. Je jen škoda, že nevíme přesně, kdy dějiny lidstva začaly a kdy skončil zlatý věk. Mohli bychom totiž vypočítat pomocí našeho čísla konec světa (Punčochář, 2004).

1.4. Zlatý řez v přírodě Fibonacciho princip funguje v přírodě aniž bychom o něm měli ponětí. Sám autor ho vyzkoušel při pokusu o rozmnožování králíků za ideálních podmínek. Uvedený příklad se může zdát jako odtržený od reality, ale dalším důkazem může být rozmnožování včel. Fibonacciho čísla můžeme nalézt také v počtech okvětních kvítků, kupříkladu: 3 (lilie, kosatec), 5 (pryskyřičník, karafiát), 8 (stračka), 13 (blatouch). Ještě zásadnější se však zdá být struktura rozmístění semen v semenících květin ( slunečnice...), semen šišek, kaktusů, uspořádání listů některých květin nebo schránek mořských korýšů (http://www.eatelier.cz/kurzy/?SAMOSTUDIUM:Teorie:Modulor a zlat%FD_%F8ez).

29

banán

jablko

(http://goldennumber.net/plants.htm)

Úhel, který je pro každou rostlinu charakteristický, vyjadřují botanici ve tvaru zlomku, který udává, jakou část obvodu kružnice vytíná. Čísla v čitatelích zlomků tvoří Fibonacciovy posloupnosti:

Zlatý řez se tak nepřímo uplatňuje i při rozložení listů na ose rostliny. Fylotaxe je botanický termín pro postavení listů na stoncích rostlin. V dolní části stonku jsou listy starší a větší, u vrcholu mladší a menší. Všechny listy jsou stejnoměrně osvětlovány, menší nestíní větším, které nad to mají ještě delší řapíky. Zákonitostí rozestavění listů se zabývali, v 30.- 40. letech minulého století, francouzští badatelé bratři Louis a Antoine Bravais, a němečtí morfologové Karel Schimper a Alexandr Braun. Tito botanici vybudovali celou nauku o postavení listů, která k výkladům používá matematických pouček.

30

( Opava, 1989)

Listy jsou postaveny na stonku trojím způsobem, nás však bude zajímat pouze střídavé postavení listů. Kolem stonku opisujeme spirálu, která vystupuje vzhůru podle stáří listů. Tuto myšlenou spirálu nazýváme genetická spirála. Tak můžeme stanovit, že listy jsou postaveny jednak ve spirále, přičemž vždy určitý počet listů tvoří skupiny mezi dvěma listy stojícími nad sebou a opakujícími se pravidelně na celém stonku, a jednak tvoří listy určitý počet svislých řad, v nichž stojí listy vždy po určitém počtu otáček spirály kolem osy. Tedy dva sousední listy jsou od sebe vzdáleny o určitou výškovou distanci d a odchýleny o úhel, který nazýváme divergence δ. Distance je proměnlivá veličina podle tloušťky osy a příkrosti genetické spirály, kdežto divergence je vždy stálá a lze ji vyjádřit zlomkem. Tento zlomek m/n, který bývá u celé rostliny stejný, nám ve jmenovateli udává počet listů v jedné skupině a v čitateli počet otáček spirály kolem stonku od prvního listu k následujícímu, který stojí přímo nad ním. Postavení listů si můžeme znázornit schématicky. Část stonku pokládáme za pravidelný válec, který je v podstatě kuželem, neboť se k vrcholu zúžuje.

31

(http://www.volny.cz/zlaty.rez/diplomka6.html)

Na obrázku je schéma střídavého postavení listů na stonku se zlomkem 1/2, které najdeme např. na větévce lípy nebo révy vinné: zde stojí vždy třetí list nad prvním, přičemž celý cyklus obsahuje jen jediný obvod genetické spirály. Na větvi olše nebo lísky tvoří genetická spirála též jeden obvod, ale přechází tři listy, aby došla k listu, který stojí právě nad listem, od něhož jsme vyšli. Divergence dvou listů je 120°, všechny listy jsou uspořádány ve tři svislé řady a zlomek je 1/3. U stromů např. dub, višeň, topol, akát, vrba či jabloň stojí listy střídavě v pěti řadách a genetická spirála se otočí okolo osy dvakrát, tedy zlomek 2/5. Méně časté je postavení 3/8, např. len, ředkev, vavřín. Pro větší názornost si uvedeme diagramy postavení listů podle zlomků 1/2, 1/3, 2/5.

(Florianová, 2006, http://www.volny.cz/zlaty.rez/diplomka6.html)

Elegantní a přitom účelná konstrukce složená z dvaceti identických nejjednodušších prvků, pravidelných trojúhelníků, a obepínající největší možný objem nám opět připomíná původní jednoduchost přírody. Pravidelné mnohostěny nalezneme i u živočichů. Na obrázku jsou nakresleny kostry některých mřížkovců. 32

(Florianová, 2006, http://www.volny.cz/zlaty.rez/diplomka6.html)

Jsou to drobní mořští živočichové, jejichž kostrami je pokryto dno Tichého a Indického oceánu. Tito mřížovci žili před milióny lety. Kostry na obrázku tvoří skoro dokonalý osmistěn, dvánáctistěn a dvacetistěn. Příroda všechno své bohatství a rozmanitost buduje z nejjednodušších elementů. Jakub Bernoulli (1654-1705), nejstarší z rodiny vynikajících učenců, se mimo jiné zajímal o zákonitosti křivek. Logaritmická spirála, kterou krátce předtím objevil francouzský filozof a matematik René Descartes, ho přímo fascinovala. Napsal o ní: "...mohla by být symbolem podobnosti potomstva a rodičů, proto chci, aby byla vyryta do mého náhrobního kamene s nápisem Eadem numero mutata resurget" (Volně přeloženo: Ze změn se znovuzrozuje ta samá). Jeho přání se vyplnilo v Bazileji roku 1705. Čím mohla elegantní křivka natolik upoutat? Bernoulli neváhal a označil ji za spira mirabilis - neobyčejná, obdivuhodná spirála. Jak jsme již uvedli, nemění tvar, roste stejně do délky i do šířky. Tak rostou živočichové a rostliny. Je to jediná křivka, která roste tak, že zachovává tvar a poměr částí. Asymetrická křivka vyjadřuje symetrický růst. Není v tom rozpor? Začaly se hledat důkazy pro i proti. Zjistilo se, že růst člověka není úplně rovnoměrný, některé části můžou růst rychleji než jiné, např. poměr délky částí ruky je u dětí jiný než u dospělých. A co vlasy a nehty? Ty rostou jedním směrem a víme, která část je starší. Ale ani vlasy ani nehty nejsou živé. Kdyby byly, musely by nám u holiče dát nejdříve narkózu a až potom stříhat. To nám dokonale zpřesňuje, jaký růst logaritmická spirála vlastně vyjadřuje. Růst neživých částí živého tvora. Můžou to být zobáky, zuby, rohy, parohy nebo schránky měkkýšů.

33

Někdy nás ani nenapadne, že to, co před sebou vidíme, je částí spirály. Hlavně ne tehdy, jedná-li se o rychle rostoucí spirálu. Čím více se její zakřivení liší od zakřivení kružnice, tím méně vám bude připomínat spirálu. Mírně ohnutý sloní kel i hustě točená ulitka plže jsou v tomto ohledu příbuzné. Turovitým kopytníkům, mezi které patří i náš hovězí dobytek a ovce, rostou do spirály rohy. Nebývá to vždy na první pohled zřetelné, neboť obyčejně jsou jen částí jednoho závitu spirály, ale některé jsou přímo ukázkou prostorové logaritmické spirály, např. africký kudu.

(http://www.volny.cz/zlaty.rez/diplomka6.html)

Pokud je řeč o hlavonožcích, obyčejně se o nějaké ulitě či schránce nehovoří. Schránkatí hlavonožci, kteří se kdysi plavili v mořích, už vymřeli. Žije jen jeden rod Nautilus. Živý prototyp ponorky. Schránka Nautila je ukázkovou ilustrací logaritmické spirály. Nejlépe se o tom přesvědčíme na průřezu ulity. Přepážky, které ji rozdělují na komůrky, svědčí o tom, jak Nautilus rostl.

(http://www.eatelier.cz/kurzy/?SAMOSTUDIUM:Teorie:Modulor_a_zlat%FD_%F8ez)

34

(Florianová, 2006, http://www.volny.cz/zlaty.rez/diplomka6.html)

Nautilus totiž obývá ve svém bytě vždy jen poslední pokoj. Pokud je mu malý, přistaví hned vedle další, o kousek větší, a nastěhuje se do něj. Komůrka je sice větší než předcházející, ale má přesně ten samý tvar. Bylo by neodpustitelnou chybou, kdybychom zapomněli na schránky ze všech schránek "nejspirálovitější": ulity plžů. Má plž spirálovitou ulitu, protože má spirálovité tělo a "šije si šaty" na míru? Nebo je to naopak - tělo je spirálovité proto, aby pasovalo do stočené ulity? Pozor, to, co je z plže venku, to je pouze noha. Než odpovíte, vzpomeňte si, jak jsme zjistili, že logaritmická spirála je příznačná pro neživé části živého organismu. Plž nezačal stavět spirálovitou ulitu, protože měl takové tělo, ale protože schránka, kterou stavěl, se zatáčela do spirály, přizpůsobilo se tvarem i jeho tělo. Ale to bylo dávno. A ještě něco. Hmyz se ke světlu blíží po spirále a to logaritmické. Vysvětlení je jednoduché. Pohybuje se tak, aby světlo viděl stále pod stejným úhlem. Takže spirála pozpátku. Kromě toho nalezneme logaritmickou spirálu v umístění jader v plodu slunečnice, na úponku vinné révy, u mučenky, na kruhovém schodišti nebo u spirálových galaxií (http://www.volny.cz/zlaty.rez/diplomka6.html).

1.5. Zlatý řez v umění Lidské oko hodnotí tvary užívající zlatého řezu jako krásné. Není příliš jasné proč, avšak i bez teoretického zdůvodnění této vlastnosti umělci velice rádi využívají. Jde především o architekturu, malířství, fotografii a sochařství.

35

Při kompozici malířského díla nebo při vytváření fotografického záběru se umělec podvědomě řídí pravidly vycházejícími ze zlatého řezu. Důležité prvky jsou například často umisťovány právě do místa dělícího obraz na čtyři části, přičemž dvě horizontální části jsou v poměru zlatého řezu, podobně vertikální. Třeba Bohumil Kubišta využívá tento poměr v mnoha obrazech, mezi významná díla užívající tohoto principu můžeme zařadit Poslední večeři páně Leonarda da Vinciho, který je rozdělen bílým ubrusem. Lidská postava byla sexuální preferencí zejména samiček utvářena takovým způsobem, aby se líbila. A pokud se lidem líbí a líbil zlatý řez, můžeme ho začít hledat na různých místech našich tělesných schránek. Například při rozdělení podél pasu by měl vzniknout zlatý řez, při dalším dělení dle krku a oblasti kousek pod kolenem také. Bylo vytvořeno několik kánonů, které zachycovaly člověka děleného různými způsoby různými geometrickými útvary - mezi nejznámější patří tzv. Vitruviova figura, kterou používal například (opět) Leonardo da Vinci. Mezi největší architektonické příklady využití zlatého řezu můžeme zařadit například pyramidy, kde byl tento princip zřejmě (není to jisté) použit. Kde znalost řezu očekáváme určitě oprávněně jsou staří řekové - například jedna z tehdějších nejvyznamnějších staveb je Parthenón na Akropoli. Do něj můžeme snadno umístit desetiúhelník, který, jak již víme, délky o poměru zlatého řezu obsahuje (http://mathes.cz/T%C3%A9mata/Zlat%C3%BD-%C5%99ez.aspx).

1.5.1 Planeta Leonardo da Vinci Leonardo da Vinci (1452-1519) nebyl nikdy dobrý matematik. Kdybychom jej měli posuzovat jen podle zápisníků, byl stěží dostatečný. Sotva zvládl základy geometrie a v aritmetice se často dopouštěl chyb. Nedostatek schopností však doháněl nadšením. Stránky zápisníků plnil jednu po druhé geometrickými obrazci, numerickými čmáranicemi, výpočty a matematickými symboly. Uvědomil si, že matematika je neocenitelným nástrojem jak pro vědu, tak pro umění. K tomu dodává: „Žádný lidský výzkum nemůže být nazýván pravou vědou, pokud nebyl matematicky dokázán. Všechny případy perspektivy jsou vysvětlitelné pěti matematickými termíny: bodem, přímkou, úhlem, povrchem a tělesem.“ Leonarda si matematikou hlavně získal františkánský mnich Luca Pacioli, jeden z nejrespektovanějších vzdělanců v Itálii. Pacioli se proslavil matematickými schopnosti a také díky svému veledílu Summa de Arithmetica Geometrica Proportioni

36

et Proporcionalita, které si Leonardo koupil a začal ve velkém přepisovat do svých zápisníků. Leonardo a Pacioli zůstali doživotními přáteli a několik let po svém prvním setkání společně sestavili pojednání „De Divina Proportione“(Benátky 1509), k níž Leonardo přispěl kresbami ilustrujícími františkánovy poučky a podobiznami antických učenců, ze kterých vycházel včetně Platóna a Euklida. Pacioli zjistil, že je třináct projevů této božské proporce a hledal je v nejdokonalejších matematických výtvorech, pěti platonovských tělesech. Zhotovil je ze skleněných destiček a věnoval různým velmožům do jejich sbírek. Kapitola „O dvanácté, téměř nadpřirozené vlastnosti“ pojednává o pravidelném dvacetistěnu: „Spojíme-li dvě protilehlé hrany dvacetistěnu, dostaneme obdélník, jehož delší strana je k menší právě v poměru zlatého řezu jako součet stran k delší.“

(Chmelíková, 2006)

Leonardo se též pokoušel zařadit mezi důležité osobnosti architektury. A ačkoli se jako architekt nikdy neprosadil, architekturu propojil se stavbou lidského těla – všiml si, že lidské tělo má viditelné proporce. Tuto svou představu vyjádřil ve své slavné kresbě Vitruviova muže z roku 1489. V ní se velmi přiklonil k Vitruviovi, který napsal: „Podobně musejí vykazovat články posvátných chrámů rozměrový vztah, podávající se z jednotlivých jejich úseků co nesouladněji vzhledem na souborný celek vší rozlohy. Přirozeným středem lidského těla je pupek. Položí-li se člověk naznak s roztaženýma rukama i nohama a umístí-li se střed kružítka na jeho pupek, bude se čára opsané kružnice dotýkat prstů obou rukou i nohou. Stejně tak jako se podává na lidském těle obrazec kružnice, dá se na něm zjistit i obraz čtverce.“

37

(Zrzavý, 1977)

Postupně začal Leonardo zkoumat, jestli vzorce spojující strukturu lidského těla s rozměry budov nemohou být propojeny s harmonickou strukturou nalezenou v hudbě. Poté mohl pokračovat v komentáři: „Vzájemný poměr najdeme nejenom v číslech a rozměrech, ale také ve zvucích, krajinách, časech a místech a vůbec v každé formě energie.“ Pokud vědu považujeme za vědu jen tehdy, má-li svůj původ ve sloučení matematické analýzy a pokusu, pak mnozí mohou argumentovat, že Leonardo namůže být považován za vědce. Avšak pokud vědu vnímáme jenom trochu širším způsobem a přemýšlíme o ní jako o postupu k rozmotání tajemství vesmíru pomocí úsudku a pokusu, pak byl vědcem zcela určitě. S tím je svázán fakt, že jeho věda byla proti antické tradici pokroková a že byl přesvědčen o prvořadém významu pokusu, zatímco téměř všichni jeho současníci slepě lpěli na Aristotelovi, Platónovi a jiných řeckých a římských filozofech, kteří pokusy pohrdali. Leonardo navíc matematiku používal. I když tím nejjednodušším způsobem. A možná ještě ještě významnější je fakt, že si uvědomil obrovský význam matematiky jako prostředku k definici pozorování, který vědci umožní vytvořit překlenovací závěry, jež poté mohou být aplikovány na různé situace uvedené v pokusu. Můžeme jen žasnout, čeho by mohl dosáhnout, kdyby byl býval v matematice tak talentovaný jako v mnoha jiných oblastech lidského vědění a chápání (White, 2001).

38

1.5.2 Číslo a obraz Odedávna se některým číslům připisovaly různé významy. Na základě estetických rozborů a experimentů se poznalo, že některé číselné vztahy se často opakují, protože v nich nacházíme zřejmě zalíbení. Jedním z těchto tajemných vztahů je „brána harmonie“, jiný je „zlatý řez“. Brána harmonie je název pro poměr strany čtverce k jeho úhlopříčce, což je přibližně 1 : 1,41. Zlatý řez představuje složitý poměr, který znázorníme takto:

______________________ | ____________ m

n

Délka úsečky se rovná jedné. Rozdělíme ji „zlatým řezem“ na dvě nestejné části, z nichž menší nazveme „minor“, tj. latinsky „menší“, a označíme n. Větší nazveme „maior“ (což znamená latinsky „větší“) a označíme m. Musíme ji však rozdělit tak, že menší část se má k větší, jako se má větší část k celé úsečce. Tedy n : m = m : (n + m). Nenecháme se zmást tím, že to vypadá složitě. Zato vzniká tímto dělení dlouhá řada vzájemně „harmonicky“ vázaných poměrů, protože naše úsečka n + m = 1 se může stát minorem nebo maiorem další úsečky a tak až donekonečna. Nebo naopak, vezmeme-li za základ třeba maior, pak minor jej dělí opět v poměru zlatého řezu, kde n je maiorem a (m – n) je minorem atd. Tak bychom mohli pokračovat dál a dál, pokud naše geometrická představivost stačí. Číselně se dá poměr zlatého řezu vyjádřit jen zcela nepřesně. Geometricky jej sestrojíme snadno. Pro nás však bude mít daleko větší význam, když se pokusíme, aby nám toto dělení „přešlo do krve“, abychom se zlatému řezu dovedli co nejvíce přiblížit pouhým odhadem. Vždyť například při tvorbě obrazových formátů se obou harmonických poměrů běžně užívá. Známý normalizovaný formát řady a má vlastně strany v poměru „brány harmonie“. Naležato se často užívá pro krajinu. Jiné formáty vzniknou různým použitím zlatého řezu pro výšku i šířku rámu. Tak například n : m je protáhlý formát naležato, nazývaný marína, protože se často užívá pro obrazy moře (Hron, 1989).

39

Uplatnění harmonických poměrů v obrazech:

Adolf Kosárek, Česká krajina, olej. Osa stromu je na svislici a horizont na vodorovné přímce, které dělí formát v poměru brány harmonie (Hron, 1989).

Bohumil Kubišta, Žně, olej. Horizont je umístěn v zlatém řezu výšky formátu, osa stodoly na svislici, která dělí šířku formátu v zlatém řezu (Hron, 1989).

Kromě zlatých obdélníků se vyskytují i malířské a sochařské kompozice založené na zlatém trojúhelníku nebo pětiúhelníku, zejména s náboženskou tématikou. Číslo tři symbolizuje Svatou Trojici a pětka představuje Kristovy rány, jejich spojením vznikne opět poměr složený z čísel Fibonacciovy posloupnosti

40

3 . 5

Zlatý řez se uplatňuje v mnoha malířských kompozicích nejrůznějších období. Známý obraz Leonarda da Vinci „Poslední večeře Páně“ je tak působivý právě proto, že postavy na něm jsou rozděleny bílým ubrusem podle zlatého řezu. I Raffaelova „Sixtinská madona“ bývá „vtěsnána“ do poměrů zlatého řezu a snad ještě více zlatých řezů odhalíme, podle Aleny Šarounové, v kompozici „Ukřižovaného Krista s Pannou Marií“. Důkazem, že zlatý řez za jednu z hlavních opor své tvorby pokládal i Jan Vermeer, je jeho obraz „Ateliér“. Svou ruku na něm položil na úsečku zlatého řezu. Také mapa, lustr a malířský stojan leží na dělicích čarách zlatého řezu a obdélník rámující malíře a modelku je určen úsečkami zlatého řezu (Florianová, 2006, http://www.volny.cz/zlaty.rez/diplomka5.html). Skrytý je zlatý poměr zřejmě i v dílech francouzského impresionisty G.P.Seurata, E.B.Jonese či Salvadora Daliho.

Leonardo da Vinci, Poslední večeře Páně (http://goldennumber.net/art.htm).

Edward Burne Jones, Zlaté schody (http://goldennumber.net/art.htm).

41

Salvador Dali, Svátost poslední večeře (http://goldennumber.net/art.htm).

1.5.3 Zlatý řez ve fotografii Mezi základní kameny fotografické techniky patří kompozice. Obdélníkový tvar fotografie umožňuje různé umístění fotografovaného předmětu ve scéně. Vhodnou kompozicí můžete plně využít prostor, který fotografie nabízí, a vyjádřit i svůj subjektivní názor. Jedním z nástrojů, který vám pomůže při komponování scény, je zlatý řez. Obdélníkový formát je pro lidské oko příznivý, protože jsme na něj zvyklí z knih, novin či televize. Když si tuto informaci uvědomíte, můžete ji využít už při samotném komponování objektu v hledáčku fotoaparátu. Tak, jako knihy jsme zvyklí číst zleva doprava a shora dolů, i fotografii „čteme“ stejným způsobem.

Častá je středová kompozice, kdy fotografovaný předmět je přímo v centru fotografie. Taková kompozice je statická, klidná ale někdy může být i nudná. Obvykle bývá chybou zvolit středovou kompozici. Kolem předmětu bývá zbytečně moc nic neříkajícího místa, anebo naopak by nebylo na škodu některé straně dodat volný prostor. Lepší by bylo umístit předmět, který chcete fotografovat, na jiné místo na fotografii. 42

Umístěním předmětu do zlatého řezu oživíte fotografii, dodáte jí tak „něco“ dynamického.

Nalezení zlatého řezu není nic složitého. Vyjďete ze čtverce ABCD, kde na úsečce AB označte její střed S. Opište kružnici se středem v bodě S a poloměrem SC. Průsečíkem polopřímky AB je bod P. Dokončením konstrukce na obdélník APQD dostaneme tzv. „dokonalý obdélník“ s poměry stran 5:8 (tento poměr se velmi blíží poměru políčka 35mm filmu, kde poměr stran 24 × 36 mm je 5:7,5).

Poté spojte body DP úsečkou, dostanete tak diagonálu. Sestrojte ještě jednu úsečku, kterou spojíte body QB. Tam, kde se vám obě úsečky protnuly je zlatý řez.

43

V praxi se přímý postup konstrukce nepoužívá. Nemusíte umisťovat předmět do přesně konstruovaného zlatého řezu, protože často v dalších úpravách fotografie dochází k ořezům a tím se změní i formát původní fotografie. Stačí vám pouze vědět, že fotografii si lze rozdělit pomyslnými úsečkami na třetiny. Zlatý řez leží přibližně v průsečících těchto třetin.

Jak je vidět, tak fotografovaný předmět můžete umístit do jednoho ze čtyř různých zlatých řezů. O konkrétním umístění se musíte rozhodnout sami. Záleží i na dané situaci a umístění předmětu ve scéně. Člověk „čte“ fotografii po částech, očima jde směrem 1→ 2 → 3 → 4, a tedy nejdéle se u fotografie zastaví, pokud ji pochopí až po prohlédnutí bodu 4. Toho můžete také využít při kompozici a zaujmout divákovu pozornost na delší dobu. Při používání zlatého řezu se nemusíte omezovat pouze na fotografování architektury či krajiny, lze jej uplatnit ve všech fotografických disciplínách.

44

Zlatý řez je kompozičně nejlepší řešení. Tím ale nechci říct, že byste od teď měli zanevřít na středovou kompozici, i ta má své použití a navíc někdy se ji prostě nevyhnete (http://digiarena.zive.cz/default.aspx?article=2477).

1.5.4 Zlatý řez v architektuře V moderní architektuře užíval zlatý řez Le Corbusier (1887-1965). Zabýval se geometrií, přes niž se snažil pochopit fungování vesmíru a organické přírody. Příroda žije v harmonii. Člověk jako jedinec vyšel z přírody, přírodní zákony utvářejí jeho život. Musíme poznat nejdříve tyto zákony a žít v souladu s nimi, jenom tak si zajistíme pocit harmonie. Zároveň tvrdil, že je příroda substancí matematiky, která se na první pohled jeví jako hra propletených událostí. Proto, aby si člověk zajistil odpovídající prostředí promítl systém přírody do geometrie. Pomocí geometrie hledal dokonalou proporci, kterou pro něj představoval právě zlatý řez. S jeho pomocí se snažil vymyslet univerzální proporční jednotku, která by vycházela z lidské postavy, a která by pak při použití nejlépe vyjadřovala vlastní cíl, tedy sloužit díky účelnosti právě člověku....

byl to MODULOR.

45

(http://www.eatelier.cz/kurzy/?SAMOSTUDIUM:Teorie:Modulor_a_zlat%FD_%F8ez)

LC byl doslova učarován zlatým řezem. Tento proporční systém používal nejen při rozvržení fasád domů s horizontálními okny, ale též v interiéru staveb, např. při umisťování uměleckých děl. V období druhé světové války odchází LC z Paříže do Vichy. Poprvé v roce 1941 začíná vytvářet svůj vlastní proporční kánon, který nazývá modulorem (mod/ modus - norma, ďor - zlato). Chce vytvořit ideální proporci architektury, prostoru, která by byla ve vzájemné harmonii s člověkem. Svůj výsledek vydává knižně v roce 1948 v první knize Le Modulor (Paris) a v roce 1955 druhý doplněný díl Le Modulor (Paris). Podkladem pro výpočty a zároveň pro spekulování představuje „typické" lidské tělo průměrného Evropana. Mustr lidského těla je logický, vzájemný vztah člověka (těla) vůči architektuře má historické kořeny už z antiky a později z renesance. LC si subjektivně definoval svůj antropologický vzor, sám tvrdil, že jako architekt - umělec má na to právo. Jak troufalé je, že si jako vzor vybral mužské tělo o výšce průměrného Evropana 175 cm. Tuto výšku později upravuje na hodnotu 183 cm nejspíše proto, že při dělení zlatým řezem vycházejí „hezčí" čísla. Skica modulora nepředstavuje tělo „průměrného" Evropa, ale jakoby zobrazovala archaickou postavu řeckého atleta: štíhlý pas, široká ramena a na nich malá hlava. Označuje 3 vzdálenosti na lidském těle, jaké tvoří po Fibonaccim řadu zlatého řezu. Mezi nohou, pupíkem, hlavou a prstem zvednuté ruky. Následně dělí výšku „průměrného" Evropana 175cm v poměru zlatého řezu na měřítko 108,2-66,8-41,4525,4. (hodnota 175 cm je spíše výškou typického Francouze než Evropana ). 46

Tato poslední hodnota představuje přesně 10 palců, nalézá tímto i spojitost s anglickým palcem (to ovšem neplatí pro vyšší hodnoty ). Tato čísla dostávají lidskou podobu, rozhodující body pro prostorové uspořádání. Jsou tedy antropologická.

Grafické zobrazení přináší odpověď:

základní

jednotka..............................................................................A

dvojnásobná

(

jednotka........................................................................B

= (=

108) 216)

Zlatý řez - prodloužení.......................................z A = C ( = 175) (108+67) Zlatý řez - zkrácení...................................................z B = D ( = 83) (143+83)

(http://www.eatelier.cz/kurzy/?SAMOSTUDIUM:Teorie:Modulor_a_zlat%FD_%F8ez)

Od této chvíle lze připustit, že toto pravidlo přiřazuje hlavním bodům prostoru lidské podoby, a že jimi vyjadřuje jednodušší, podstatnější, matematický vývoj hodnot. Totéž u jednotky, jejího dvojnásobku a jejích obou prodloužených nebo zkrácených zlatých řezů. Aby se stal modulor antropologickou normou, musel být universální pro různé délkové jednotky. Proto ho LC převáděl z cm do stop nebo palců.

„Modulor je měřítkový nástroj, který vychází s lidské podoby a matematiky." LE CORBUSIER

47

První grafické zobrazení Modulora (1946) - výška člověka 175cm. (http://www.eatelier.cz/kurzy/?SAMOSTUDIUM:Teorie:Modulor_a_zlat%FD_%F8ez)

V roce 1946 odjíždí LC do USA, kde se setkává v Princetonu s prof. Albertem Einsteinem, který byl zároveň členem komise pro volbu místa budovy OSN. Představuje mu svůj objev - modulora. Einstein LC odpovídá: „je to systém, který dělá špatné složitým a dobré jednoduchým". Po obdržení patentu na modulora, představuje svůj objev veřejnosti a vydává knižní podobu Le Modulor. Troufá si tvrdit, že by měl být modulor na rýsovacím prkně každého architektka, že se jedná o mimořádnou pomoc v projektování, která odstraňuje veškeré pochybnosti, nesprávnosti. V roce 1947 vychází Le Corbusierova výška „průměrného" člověka naopak opačně ze 6ti anglických stop, přesněji z 1828,8 mm. Tou dělením dle zlatého řezu získává tzv.červenou řadu směrem od shora dolů. Když jsou stupně červené řady pro praktické potřeby příliš velké, vytváří další tzv. modrou řadu vycházející z hodnoty 2260 mm (špička prsty zvednuté ruky), taje dvojnásobnou hodnotou červené řady. Matematickým dělením pomocí zlatého řezu jsou zlomky zaokrouhlovány, tím tak dochází k odlišnostem 7-10 mm nad nebo pod takzvané potřebné hodnoty.

48

Při převedení těchto základních hodnot do jiného délkového systému - palců vzniká další, od toho původního nezávislý systém.

Upravené grafické zobrazení Modulora (1947) - výška člověka 182,8cm. (http://www.eatelier.cz/kurzy/?SAMOSTUDIUM:Teorie:Modulor_a_zlat%FD_%F8ez)

Pravidlu zlatého řezu náleží 3 hodnoty: 113, 70, 43cm (43+70=113 nebo 11370=43). Při sčítání: 113+70=183, 113+70+43=226. Tři poslední hodnoty 113, 183 a 226 cm odpovídají vymezenému prostoru, který zaujímá člověk o výšce 180 cm. Při použití pravidla zlatého řezu na hodnotu 113 cm vyplývá 70 cm. Tak vzniká první řada, tzv. červená, 4-6-10-16-27-43-70-113-183 atd... Při použití pravidla zlatého řezu na hodnotu 226 cm (2x113) vyplývá 140-86cm. Tak vzniká druhá řada, tzv.modrá, 3-5-8-13-20-33-53-86-140-226-366-592 atd... Některé hodnoty z červené a modré řady mají pozoruhodný vztah k hodnotám lidského těla.

49

Tabulka představující prostor,jaký zaujímá lidské tělo v různých polohách.

(http://www.eatelier.cz/kurzy/?SAMOSTUDIUM:Teorie:Modulor_a_zlat%FD_%F8ez)

Své teoretické objevy prezentuje v roce 1951 na Trienále v Miláně, kde součastně probíhal kongres o proporcích za účasti předních vědců, matematiků, estetiků, architektů a dalších. Modulor nezůstává pouze v teoretické rovině, LC na jeho základě navrhuje v 50-tých letech 20.století inovativní stavbu - obytný dům, který svým vnitřním uspořádáním a míšením různých funkcí do té doby neměl v architektuře obdoby! Teoretik G.L.Hersley ve své knize s názvem Architektura a geometrie ve věku baroka věnuje prostor i LC a jeho modulorovi. Geometrie prostupuje celým LC dílem, ale nikdy nevykrystalizovala v teorii architektury. Autor konstatuje, že modulor má blízkou spojitost s barokní geometrií R. Fludda, Kirchera a Keplera. LC se od renesance a baroka distancoval a svým předchůdcům vytýkal racionální symetrii přenesenou do geometrických plánů, on zastával geometrii asymetrickou. Přesto stejně jako oni oslavoval účinek hudby, lidského těla jako původce měřítka, vznešených čísel a jejich sérií a sekvencí. Byl průkopníkem ideální souřadnicové sítě, kde se nacházely buňky ideálních čtyřúhelníků, užívaných v renesanci a baroku... To signalizuje odkud vycházel, i když navenek prezentoval svoji teorii a sám to nepřiznává.

Při dělení lidského těla na tři intervaly (od nohy k pupíku, od pupíku k temeni hlavy a od temene hlavy k prstu vztyčené ruky) získává tři hodnoty: 108, 661/2, 411/2. 50

Žádná z těchto délek ve skutečnosti není Fibonacciho řadou a ani neodpovídá poměru zlatého řezu! LC tvrdí pravý opak. Pravá Fibonacciho řada vždy začíná číslem 1, LC svoji řadu začíná čísly 3 a 4, proto mu vycházejí jiné posloupnosti. ( Důkaz: 108 : 661/2= 1,602; 661/2:411/2= 1,624... skutečná hodnota zlatého řezu 1,618). V první skice modulora se vedle „primitivní" kresby člověka objevují další dvě měřítkové řady vymezující plochy. Možná že mají souvislost s tzv. sectorem, barokním nástrojem pro měření ploch a objemů v různém měřítku. Některé hodnoty posloupností jsou podle Fibonacciho řady, některé zase v poměru zlatého řezu a ostatní jsou zcestné, mimo tyto teorie. Číslům LC připisuje intervaly na lidském těle, ale hodnoty 2, 9 a 11 nikdy nemohou pasovat na lidské tělo. Ideál lidské postavy (mužské) jako základního měřítka směřuje do antiky k Vitruviovi. Na něho navazuje Leonardo da Vinci s kresbou člověka vepsaného do kruhu a čtverce (1485-1490). Až doba baroka s sebou přinesla zájem o čísla vytvářející lidské tělo. Robert Fludd (1574-1637) skrz něj chápal podstatu celého kosmu. Za povšimnutí stojí fakt, že i LC renesanční a barokní předchůdci neměli správné proporce, tak jako právě modulor. Skica modulora je nedokonalá. Postava má velmi malou hranatou hlavu bez tváře vyznačenou pouhým obrysem, obdobná je vztyčená ruka naopak mohutná bez zobrazených prstů. LC předchůdci hledali důležité proporční souvislosti i z detailů jako je lidská tvář, dlaň s prsty. LC se o toto vůbec nepokusil, že by bylo grafické ztvárnění důležitější před skutečností a nebo kamufluje nedokonalost jeho postavy?

Kresba člověka od L. da Vinciho (1485-90) a kresba člověka od R. Fludda (1574-1637).

51

Přesto postava LC má s postavou L. da Vinciho společný důležitý vztah. Obě postavy lze vepsat jak do kruhu, tak i do čtverce. Střed kruhu tvoří pupík, střed čtverce penis. Naopak u postavy Roberta Fludda je jejím středem penis, jako střed všeho. Na finální verzi modulora spolupracovalo s LC několik jeho spolupracovníků včetně Ellisy Maillard. Ta původní koncept obrací k R. Fluddovi. Přidává kruhy o různých velikostech vycházející ze středů čtverců základního nákresu. Kruhy se vzájemně protínají stejně jako v baroku u Fludda. O vědomém ovlivnění modulora jeho mikrosvětem není pochyb.

Na závěr G. L. Hersley konstatuje, že modulor nebyl konstruován na základě zlatého řezu a Fibonacciho řady. Kdyby ano, stačilo by pouze změnit hodnoty trojdílného dělení tak, aby vycházely správně. Zároveň nebylo účelem LC ho převádět přímo do architektury. Tvrzení, že poměr 175:108=1,620 představuje hodnotu zlatého řezu 1,618 je chybné. Přidáním čtverců, kruhů do kresby modulora vznikají čistě lineární čtverce, které vytvářejí moduly. Modulor se tak stal základem modulu... to bylo výsledkem. Dělením čtverců ve zlatém řezu vznikají další měřítkově rozmanité čtverce, obdélníky, sítě, které převedením do stavitelství mohly představovat půdorysy domů, stěny-panely, dveře, okna a takto bychom mohli pokračovat do jednotlivých detailů objektu (http://www.eatelier.cz/kurzy/?SAMOSTUDIUM:Teorie:Modulor_a_zlat%FD_%F8ez)

52

Závěr Když člověk začne zlatý řez hledat, nedá se zastavit. Kdo hledá, ten také najde: u lidí a všech možných a nemožných místech. O výšce pasu jsme již mluvili. Jste-li vysocí 1,80 m, pak Váš pas bude asi ve výšce 1,80/1,618, tedy asi ve výšce 1,11 m. Přeměřte se!

53

Bibliografický záznam KOTKOVÁ, Kateřina: Zlatý řez: diplomová práce. Brno : Masarykova univerzita, Fakulta pedagogická, Katedra matematiky, 2008. Vedoucí diplomové práce Jaroslav Beránek.

Anotace Diplomová práce „Zlatý řez“ je určena všem zájemcům z řad široké veřejnosti. Práce zahrnuje konstrukci zlatého řezu, výpočet zlatého čísla a jeho vlastnosti. Ukazuje souvislost zlatého čísla s Fibonacciho posloupností a příklady výskytu zlatého řezu v rovinné geometrii a v platónských tělesech. Seznamuje s historií zlatého řezu od nejstarších matematických textů až po současnost . Pojednává o výskytu logaritmických spirál a symetrie v přírodě – v mnoha formách žijících živočichů a rostlin (v uspořádání okvětních lístků a semen). Vysvětluje využití zlatého čísla a zlatého řezu v umění - při kompozici malířského díla (umísťování důležitých prvků v obraze, zachycení lidské postavy), zhotovení fotografického záběru a v tvorbě Leonarda da Vinciho. Podrobně popisuje užití zlatého řezu v architektuře - francouzským architektem Le Corbusierem, který se snažil vymyslet univerzální proporční jednotku, která by vycházela z lidské postavy (při použití by nejlépe vyjadřovala vlastní cíl, tedy sloužit díky účelnosti právě člověku – modulor) a vytváření ideální proporce architektury, prostoru, která by byla ve vzájemné harmonii s člověkem. Text je doplněn názornými obrázky a fotografiemi.

Annotation Diploma thesis „The Golden Section “ is intended as material for general public. The thesis includes construction methods of the Golden Section and calculation of the Golden Number and its properties. It shows the connection between the Golden Number and the Fibonacci Sequence and examples of the Golden Section occurrence in a plane geometry and in the Platon´s Solids. It makes aquainted with the history of the Golden Section from the oldest mathematical texts to present. This thesis deals with occurrence the logarithmic spirals and symmetry in nature – in certain proportions of living organisms and in plants (in arrangements of petals and seeds). It explains occurrence of the Golden Number and the Golden Section in art – during the composition of the work of art (situating of important elements in pictures, expressing figures), making some 54

photographic shots and in Leonardo da Vinci´s work. The thesis describes in detail occurrence of the Golden Number in architecture – the French architect Le Corbusier tries making the universal proportion number one which is from the human figure (the best expressing own aim during using, to serve as using to people – modulor) and making the ideal proportion of architecture and space which is harmony with people. The text is completed with illuminating figures and photographs.

Klíčová slova Zlatý řez, zlaté číslo, platónská tělesa, Fibonacciho posloupnost, příroda, umění

Keywords Golden Section, Golden Number, Platon's Solids, Fibonacci Sequence, nature, art

55

Použitá literatura BEUTELSPACHER, Adolf. Matematika do vesty. Praha : Baronet, 2005. 116 s. ISBN 80-7214-841-9.

FLORIANOVÁ, Jaroslava. Zlatý řez: závěrečná práce. Brno : Masarykova univerzita, Fakulta pedagogická, Katedra matematiky, 2006. Vedoucí závěrečné práce Jaroslav Beránek.

HRON, Josef. Jak namalovat krajinu. Praha : Státní pedagogické nakladatelství, n.p., 1989. 296 s. ISBN 14-459-89.

CHADRABA, Rudolf. Albrecht Dürer. Praha : Orbis, 1964. 220 s. ISBN 11-007-64.

CHMELÍKOVÁ, Vlasta. Zlatý řez: bakalářská práce. Praha : Univerzita Karlova, Fakulta matematicko-fyzikální, Katedra didaktiky matematiky, 2006. Vedoucí bakalářské práce Alena Šarounová.

NAGYOVÁ, I. http://www.volny.cz/zlaty.rez/diplomka1.html http://www.volny.cz/zlaty.rez/diplomka3.html http://www.volny.cz/zlaty.rez/diplomka6.html

MRÁZEK, Jiří. Taje matematiky. Praha : Práce, 1986. 248 s. ISBN 24-025-86.

OPAVA, Zdeněk. Matematika kolem nás. Praha : Albatros, 1989. 368 s. ISBN 13-78189.

PUNČOCHÁŘ, Miroslav. Nedaleko nekonečna. Praha : Academia, 2004. 277 s. ISBN 80-200-1203-6.

ŘEZÁČ, Dušan. http://www.eatelier.cz/kurzy/?SAMOSTUDIUM:Teorie:Modulor_a_zlat%FD_%F8ez

SLAVÍČEK, Tomáš. http://digiarena.zive.cz/default.aspx?article=2477

56

WHITE, Michael. Leonardo umělec a vědec. Praha : Ottovo nakladatelství, 2001. 304 s. ISBN 80-7181-482-2.

ZRZAVÝ, Josef. Anatomie pro výtvarníky. Praha : Avicenum, zdravotnické nakladatelství, n.p., 1977. 400 s. ISBN 08-017-77.

INTERNETOVÉ STRÁNKY: http://goldennumber.net/architecture.htm http://goldennumber.net/art.htm http://goldennumber.net/plants.htm http://mathes.cz/T%C3%A9mata/Zlat%C3%BD-%C5%99ez.aspx

57

Seznam příloh Příloha č. 1: Moderní počítačová grafika (obrázky) Příloha č. 2: Kánon Michelangelův (obrázek)

58

Přílohy Příloha č. 1: Moderní počítačová grafika (obrázky)

59

Příloha č. 2: Kánon Michelangelův (obrázek)

60