MASARYKOVA UNIVERZITA

MASARYKOVA UNIVERZITA ˇ ´ FAKULTA PRˇ ÍRODOVEDECK A

Vyuˇzit´ı matematických ploch k zastˇreˇsen´ı ´ PRACE ´ DIPLOMOVA

Brno 2006

Lucie Banasiová

Prohlaˇsuji, zˇ e tato práce je mým p˚uvodn´ım autorským d´ılem, které jsem vypracovala samostatnˇe a pouˇzila jsem jen uvedených pramen˚u a literatury. Lucie Banasiová

T´ımto bych chtˇela podˇekovat doc. RNDr. Josefu Janyˇskovi, CSc. za veden´ı mé diplomové práce, cenné rady a podnˇety, které mi pomohly pˇri zpracován´ı zadaného tématu.

Obsah ´ Uvod

6

Plochy

7

Stˇrecha

9

1 Pˇr´ımkové plochy 1.1 Rozvinutelné pˇr´ımkové plochy . . . . . . . . 1.1.1 Rovina . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.2 Válcová plocha . . . . . . . . . . . . 1.1.3 Kuˇzelová plocha . . . . . . . . . . . 1.2 Pˇr´ımkové plochy zborcené . . . . . . . . . . 1.2.1 Zborcené kvadriky . . . . . . . . . . 1.2.2 Plocha eliptického pohybu v prostoru 1.2.3 Konoidy . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

11 13 13 27 30 34 36 48 49

2 Translaˇcn´ı plochy 52 2.1 Plochy válcové . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 2.2 Translaˇcn´ı plochy kuˇzeloseˇckovo-kuˇzeloseˇckové . . . . . . . . . 54 3 Kl´ınové plochy

57

4 Rotaˇcn´ı plochy 61 4.1 Rotaˇcn´ı kvadriky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 4.2 Anuloid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 4.3 Obecné rotaˇcn´ı plochy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 Závˇer

75

Literatura

76

5

´ Uvod C´ılem této práce je vytvoˇrit uˇcebn´ı text pojednávaj´ıc´ı o vyuˇzit´ı matematických ploch v technické praxi pˇri zastˇreˇsen´ı. Text je urˇcen pro výuku na stˇredn´ıch sˇkolách technického typu. Vzhledem k této skuteˇcnosti nen´ı teorie podávána formou matematických vˇet, ale je zaˇrazena volnˇe v textu. V u´ vodn´ıch dvou kapitolách se zabývám obecnˇe plochou a stˇrechou. Co se plochy týcˇ e, tak jde pˇredevˇs´ım o shrnut´ı poznatk˚u o vytvoˇren´ı plochy, u stˇrechy jde o jej´ı cˇ a´ sti a hlavnˇe jejich názvoslov´ı, které je pouˇz´ıváno v dalˇs´ı cˇ a´ sti práce. V dalˇs´ıch kapitolách se jiˇz cˇ tenáˇr dozv´ı, jaké plochy se k zastˇreˇsen´ı pouˇz´ıvaj´ı. Práce je rozdˇelena do pˇeti kapitol, kde kaˇzdá kapitola pojednává o jiném typu ploch. Stˇezˇ ejn´ı cˇ a´ sti celého textu je kapitola prvn´ı, zabývaj´ıc´ı se pˇr´ımkovými plochami, kde prvn´ı cˇ a´ st této kapitoly je vˇenována rozvinutelným pˇr´ımkovým plochám, druhá pak plochám nerozvinutelným. Dále postupnˇe pˇrecház´ım k plochám translaˇcn´ım a kl´ınovým. Posledn´ı, pátá, kapitola je vˇenována plochám rotaˇcn´ım. V textu je postupnˇe vysvˇetleno teoretické ˇreˇsen´ı stˇrech, struˇcnˇe jsou popsány jednotlivé typy ploch a jejich vlastnosti a nakonec se pˇrecház´ı ke stˇrechám z dané plochy vytvoˇrených. Texty jsou doplnˇeny názornými obrázky, které pomáhaj´ı pˇredstavivosti. Jde o modely jednotlivých ploch i o obrázky praktického vyuˇzit´ı daného zastˇreˇsen´ı.

6

Plochy V technické praxi se pouˇz´ıvá rˇada ploch, jejichˇz výtvarný zákon je bud’ jednoduchý a známý, nebo sloˇzitý, popˇr. z geometrického hlediska i neznámý. Vˇsechny tyto plochy je vˇsak moˇzno seˇradit tak, zˇ e urˇcitá jejich skupina má ˇradu spoleˇcných výrazných vlastnost´ı, které se mohou s výhodou pˇri ˇreˇsen´ı daných ploch týkat.

Obrázek 1: Plocha a jej´ı parametrické kˇrivky Pˇri studiu ploch v prvn´ı rˇadˇe sledujeme vytvoˇren´ı plochy. Plocha vzniká pohybem kˇrivky, která nen´ı trajektori´ı pohybu; tvar kˇrivky se bˇehem pohybu m˚uzˇ e mˇenit. Plocha je tedy nekoneˇcnou mnoˇzinou kˇrivek k0 , k1 , ..., závislých na jediném parametru u; polohy k0 , k1 , ..., pohybuj´ıc´ı se promˇenné kˇrivky odpov´ıdaj´ı postupnˇe hodnotám u0 , u1 , ..., parametru u. Plocha je tedy jednoparametrickou soustavou kˇrivek v prostoru. Kaˇzdá z tvoˇr´ıc´ıch kˇrivek k0 , k1 , ..., je jednoparametrickou soustavou bod˚u, tzn. zˇ e poloha bodu na kaˇzdé z nich je dána hodnotou nˇejakého dalˇs´ıho parametru v. Poloha bodu na ploˇse tedy závis´ı na dvou na sobˇe nezávislých parametrech, a proto lze plochu povaˇzovat za dvouparametrickou mnoˇzinu bod˚u. Nen´ı-li znám výtvarný zákon plochy, dostáváme tzv. empirické plochy u nichˇz známe jen nˇekolik kˇrivek (napˇr. topografické plochy). Naopak pokud výtvarný 7

PLOCHY

8

zákon známe, nazýváme plochy matematickými. Výtvarný zákon pak m˚uzˇ eme popsat matematicky, napˇr. parametricky pomoc´ı analytických funkc´ı dvou parametr˚u u, v, kde souˇradnice bodu M(x, y, z) matematické plochy vztaˇzené na kartézský souˇradnicový systém lze zapsat napˇr. x = x(u, v),

y = y(u, v),

z = z(u, v),

(1)

pak pro v = konst probˇehne bod pˇri spojité zmˇenˇe parametru u tzv. u-kˇrivku a obdobnˇe pro u = konst probˇehne v-kˇrivku (obr. 1). Vylouˇc´ıme-li z rovnic (1) parametry u, v obdrˇz´ıme rovnici plochy v implicitn´ım F(x, y, z) = 0 nebo explicitn´ım (Mongeovˇe) tvaru z = f (x, y). Parametrické kˇrivky tvoˇr´ı na ploˇse dvˇe soustavy cˇ ar, pomoc´ı nichˇz si mj. utvoˇr´ıme pˇredstavu o tvaru ploch. O stupni mluv´ıme jen u algebraických ploch, jejichˇz rovnice se dá psát ve tvaru F(x, y, z) = ∑ ci jk xi y j zk = 0, kde ci jk jsou reálné koeficienty, které jsou vˇsechny rovny nule pˇriˇcemˇz i, j, k jsou celé kladné exponenty. Nejvˇetˇs´ı exponent max(i + j + k) = n je stupnˇem algebraické plochy Φn . Plochy druhého stupnˇe se nazývaj´ı kvadratické plochy (kvadriky). Pokud nelze rovnici plochy vyjádˇrit ve výsˇe zm´ınˇeném tvaru nazýváme ji plochou transcendentn´ı. Jak jiˇz bylo uvedeno, lze obecnˇe plochu vytvoˇrit spojitým pohybem cˇ a´ ry. Tak napˇr. spojitým pohybem pˇr´ımky vzniká pˇr´ımková plocha, spojitým pohybem kˇrivky obecnˇe zakˇrivená plocha, pohybem kruˇznice vzniká cyklická plocha. V praxi se pouˇz´ıvá vˇetˇsinou jen cˇ a´ st plochy, která bývá ohraniˇcena rovinným ˇrezem plochy nebo kˇrivkou proniku.

Stˇrecha Nejvyˇssˇ´ı cˇ a´ st budovy, která ji chrán´ı od deˇstˇe a snˇehu nazýváme stˇrechou. Mus´ı m´ıt takový tvar, aby co nejrychleji odvádˇela vodu do odpad˚u nebo okap˚u a splnˇ ovala také estetické poˇzadavky. Stˇreˇsn´ı plochy jsou tvoˇreny krytinou, která je nesena stˇreˇsn´ı konstrukc´ı. Z praktických d˚uvod˚u se snaˇz´ıme, abychom vystaˇcili pˇri konstrukci stˇrech s co nejjednoduˇssˇ´ımi plochami. Nejlepˇs´ı je pouˇz´ıván´ı rovin. Nem˚uzˇ eme-li vˇsak s rovinami vystaˇcit, pouˇz´ıváme plochy pˇr´ımkové, výjimeˇcnˇe jiné. Sklon stˇreˇsn´ıch ploch má být u´ mˇerný druhu krytiny, prostˇred´ı (horské nebo n´ızˇ inné) a architektonickým poˇzadavk˚um. Zpravidla navrhujeme stejný sklon stˇreˇsn´ıch rovin (ploch) pro vˇsechny cˇ a´ sti stˇrechy. ´ Ulohu sestrojen´ı vhodných rovin a ploch, ze kterých se skládá stˇrecha a zároveˇn sestrojen´ı jejich pr˚useˇcnic, oznaˇcujeme ˇreˇsen´ım okap˚u. Nˇekdy je moˇzno ˇreˇsen´ı stˇreˇsn´ıho okapu provést v´ıce zp˚usoby. Pak se vˇetˇsinou z ˇreˇsen´ı vyb´ırá to, které je z u´ cˇ elového a estetického hlediska nejvýhodnˇejˇs´ı. Na zaˇca´ tku si mus´ıme uvˇedomit pár vˇec´ı. Krytina bývá zpravidla nesena latˇemi, které jsou upevnˇeny na krokv´ıch, op´ıraj´ıc´ıch se o trám, nazývaný pozednic´ı. Pozednice je vodorovná a je pˇripevnˇena na zdivu budovy. Rovnobˇezˇ nˇe k n´ı je stˇrecha ukonˇcena hranou okapn´ı, pˇres kterou pˇrepadává deˇst’ová voda a sn´ıh ze stˇrechy. Pˇri teoretickém ˇreˇsen´ı stˇrech pozednici nahrad´ıme pˇr´ımkou, kterou nazýváme ˇr´ımsovou hranou. Jej´ı vzdálenost od okapu poloˇz´ıme rovnu nule. Jednotlivé stˇreˇsn´ı cˇ a´ sti maj´ı ustáleny tyto názvy: Okapová (ˇr´ımsová) hrana — vodorovná u´ seˇcka (ˇca´ st kˇrivky), ohraniˇcuj´ıc´ı p˚udorys budovy, na kterou stéká voda ze stˇreˇsn´ıch rovin; Roh stˇrechy — vrchol okapového obrazce, pˇri nˇemˇz je vnitˇrn´ı u´ hel menˇs´ı neˇz 180◦ , na obr. 2 – A, B, C, D, E, F; Kout stˇrechy — vrchol okapového obrazce, pˇri nˇemˇz je vnitˇrn´ı u´ hel vˇetˇs´ı neˇz 180◦ , na obr. 2 – C;

9

ˇ . STRECHA

10

Hˇreben stˇrechy — vodorovná pr˚useˇcnice dvou stˇreˇsn´ıch rovin, na obr. 2 – KL a MN; Nároˇz´ı stˇrechy — pr˚useˇcnice dvou sousedn´ıch stˇreˇsn´ıch rovin, na obr. 2 – BN, DK, EK, FM, AN; ´ zlab´ı stˇrechy — pr˚useˇcnice dvou stˇreˇsn´ıch rovin - obr. 2 – CL; Uˇ Sbˇezˇ iˇstˇe stˇrechy — bod na stˇreˇse, v nˇemˇz se prot´ınaj´ı pr˚useˇcnice nejménˇe tˇr´ı rovin, na obr. 2 – M; Plásˇt’ stˇrechy — mnoˇzina mnohoúheln´ık˚u shodných se stˇreˇsn´ımi plochami (stˇenami stˇrechy), vhodnˇe um´ıstˇenými v rovinˇe tak, zˇ e jejich sloˇzen´ım z´ıskáme povrch stˇrechy; Výsˇka stˇrechy — vzdálenost hˇrebenu od roviny p˚udy; Rozpon stˇrechy — vzdálenost dvou rovnobˇezˇ ných okapových hran; Spád stˇrechy — tangens odchylky stˇreˇsn´ı roviny od roviny p˚udy; Zakázaný okap (výminka zatékán´ı) — cˇ a´ st okapové hrany, na n´ızˇ nesm´ı stékat voda (znaˇc´ı se obvykle druhou cˇ arou tˇesnˇe vedle okapové hrany vnˇe p˚udorysu); Gula — bod uvnitˇr výminky, do kterého odtéká voda z pˇr´ısluˇsné cˇ a´ sti stˇrechy.

Obrázek 2: Stˇrecha s volnými okapy; A – roh, C – kout, KL – hˇreben, BN – nároˇz´ı, CL – u´ zˇ lab´ı, M – sbˇezˇ iˇstˇe

Kapitola 1 Pˇr´ımkové plochy Definice 1. Plocha pˇr´ımková je plocha, jej´ımˇz kaˇzdým bodem procház´ı alespoˇn jedna pˇr´ımka, leˇz´ıc´ı celá na ploˇse. Pˇr´ımková plocha je tedy jednoparametrickou mnoˇzinou pˇr´ımek a m˚uzˇ eme si ji snadno pˇredstavit jako u´ tvar vzniklý pohybem pˇr´ımky v prostoru. A to pohybem v názorném slova smyslu. Parametrickou rovnici pˇr´ımkové plochy dostaneme tak, zˇ e zvol´ıme vhodnou kˇrivku na ploˇse, tzv. rˇ´ıdic´ı kˇrivku a pop´ısˇeme jednoparametrickou mnoˇzinu pˇr´ımek plochy, které kˇrivku prot´ınaj´ı. Pˇr´ımky této mnoˇziny se nazývaj´ı tvoˇr´ıc´ı. Mˇejme dánu ˇr´ıdic´ı kˇrivku k o parametrických rovnic´ıch x = x(u), ¯

y = y(u), ¯

z = z¯(u),

u∈I

a tvoˇr´ıc´ı pˇr´ımku p, která spojitˇe prob´ıhá kˇrivku k. V kaˇzdém bodˇe kˇrivky k má pˇr´ımka smˇer, udaný vektorovou funkc´ı (p1 , p2 , p3 ) = (p1 (u), p2 (u), p3 (u)). Vektor p je jednotkovým vektorem na pˇr´ımce p, jehoˇz smˇer je funkc´ı parametru u dané ˇr´ıdic´ı kˇrivky k. Plocha Φ, vytvoˇrená takovým pohybem pˇr´ımky, má parametrické rovnice x = x(u) ¯ + vp1 (u),

y = y(u) ¯ + vp2 (u),

z = z¯(u) + vp3 (u)

(1.1)

kde v znaˇc´ı parametr na pˇr´ımkách plochy, které jsou parametrickými u-kˇrivkami. O ˇr´ıdic´ı kˇrivce pˇredpokládáme, zˇ e nemá singulárn´ı bod 1 , tj. pˇredpokládáme, zˇ e ˙¯ y, ˙¯ z˙¯) 6= (0, 0, 0). (x, 1 Singul´ arn´ı body

jsou body na ploˇse, ve kterých existuje v´ıce teˇcných rovin. Vˇsechny parciáln´ı derivace prvn´ıho ˇra´ du jsou v singulárn´ıch bodech nulové.

11

KAPITOLA 1. P Rˇ ÍMKOV E´ PLOCHY

12

Teˇcná rovina pˇr´ımkové plochy (1.1) v jej´ım regulárn´ım bodˇe M(x, y, z) je urcˇ ena bodem M a smˇery (xu , yu , zu ) = (x˙¯ + v p˙1 , y˙¯ + v p˙2 , z˙¯ + v p˙3 ),

(xv , yv , zv ) = (p1 , p2 , p3 ).

Protoˇze teˇcná rovina v bodˇe M obsahuje pˇr´ımku p, m˚uzˇ eme ji urˇcit bodem (x, ¯ y, ¯ z¯) a smˇery (xu , yu , zu ), (xv , yv , zv ). Jej´ı rovnice je ¯ ¯ ¯ ¯ X − x¯ Y − y ¯ Z − z ¯ ¯ ¯ ¯= ¯ p1 p p 2 3 ¯ ¯ ¯x˙¯ + v p˙1 y˙¯ + v p˙2 z˙¯ + v p˙3 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯X − x¯ Y − y¯ Z − z¯¯ ¯X − x¯ Y − y¯ Z − z¯¯ ¯ ¯ ¯ ¯ p2 p3 ¯¯ + v ¯¯ p1 p2 p3 ¯¯ = 0 = ¯¯ p1 ¯ x˙¯ ¯ p˙1 y˙¯ z˙¯ ¯ p˙2 p˙3 ¯

(1.2)

Levá strana rovnice (1.2) nemus´ı záviset na parametru v. To nastane právˇe tehdy, ˙¯ y, ˙¯ z˙¯), (p1 , p2 , p3 ) a ( p˙1 , p˙2 , p˙3 ) náleˇz´ı stejnému dvojsmˇeru, tj. kdyˇz kdyˇz smˇery (x, ¯ ¯ ¯ x˙¯ y˙¯ z˙¯ ¯ ¯ ¯ ¯ p1 p2 p3 ¯ = 0, ¯ ¯ ¯ p˙1 p˙2 p˙3 ¯ tj. kdyˇz ˙¯ y, α(x, ¯ z¯) + β(p1 , p2 , p3 ) + γ( p˙1 , p˙2 , p˙3 ) = 0,

(α, β, γ) 6= (0, 0, 0).

(1.3)

Po dosazen´ı do rovnice (1.2) dostaneme ¯ ¯ ¯X − x¯ Y − y¯ Z − z¯¯ ¯ ¯ p2 p3 ¯¯ = 0. (y − αv) ¯¯ p1 ¯ p˙1 p˙2 p˙3 ¯ Vylouˇc´ıme-li na pˇr´ımce p bod, který odpov´ıdá parametru v, vyhovuj´ıc´ımu rovnici y − αv = 0, pak nalezená rovnice je rovnic´ı teˇcné roviny, která je spoleˇcná pro vˇsechny body pˇr´ımky p. Neplat´ı-li (1.3), pak kaˇzdému bodu M pˇr´ımky p odpov´ıdá právˇe jedna teˇcná rovina µ svazku rovin o ose v pˇr´ımce p. Obrácenˇe, kaˇzdé rovinˇe µ svazku o ose p odpov´ıdá právˇe jeden dotykový bod M. Podél pˇr´ımky p pˇr´ımkové plochy existuje bud’ nekoneˇcnˇe mnoho teˇcných rovin, které vytváˇrej´ı svazek o ose p, nebo jediná teˇcná rovina.


13

Tvoˇr´ıc´ı pˇr´ımka pˇr´ımkové plochy, podél které existuje nekoneˇcnˇe mnoho teˇcných rovin, se nazývá regulárn´ı pˇr´ımka. Tvoˇr´ıc´ı pˇr´ımka, podél které existuje jediná teˇcná rovina plochy se nazývá torzáln´ı pˇr´ımka. Podle toho jestli pˇr´ımková plocha obsahuje pouze torzáln´ı pˇr´ımky, nebo obsahuje regulárn´ı tvoˇr´ıc´ı pˇr´ımky, rozliˇsujeme pˇr´ımkové plochy rozvinutelné nebo zborcené plochy.

1.1 Rozvinutelné pˇr´ımkové plochy Definice 2. Pˇr´ımkové plochy rozvinutelné jsou plochy, které se daj´ı bez metrických deformac´ı rozvinout do roviny. Jsou to pˇr´ımkové plochy, jejichˇz vˇsechny pˇr´ımky jsou torzáln´ı. Plat´ı pro nˇe tedy podm´ınka (1.3), tj. ˙¯ ˙¯ α(x(u), y(u), z˙¯(u)) + β(p1 (u), p2 (u), p3 (u)) + + γ( p˙1 (u), p˙2 (u), p˙3 (u)) = 0,

(1.4)

kde koeficienty α, β, γ, které závis´ı na parametru u, nejsou souˇcasnˇe rovny nule. Mezi pˇr´ımkové rozvinutelné plochy patˇr´ı vˇsechny plochy válcové, plochy kuzˇ elové a plochy teˇcen prostorových kˇrivek (samozˇrejmˇe i rovina). Dá se ukázat, zˇ e kaˇzdá kˇrivka na rozvinutelné pˇr´ımkové ploˇse pˇrejde po rozvinut´ı této plochy do roviny do kˇrivky se zachován´ım délek pˇr´ısluˇsných oblouk˚u. Dále dvˇe libovolné kˇrivky na pˇr´ımkové rozvinutelné ploˇse, prot´ınaj´ıc´ı se v daném bodˇe pod daným u´ hlem, pˇrejdou po rozvinut´ı plochy do roviny do dvou kˇrivek, které se prot´ınaj´ı v odpov´ıdaj´ıc´ım bodˇe pod stejným u´ hlem.

1.1.1 Rovina Pokud ˇr´ıdic´ı kˇrivka rozvinutelné pˇr´ımkové plochy je rovinná a smˇer tvoˇr´ıc´ı pˇr´ımky, zadaný vektorovou funkc´ı (p1 , p2 , p3 ) = (p1 (u), p2 (u), p3 (u)) zvol´ıme tak, aby náleˇzel dvojsmˇeru roviny ˇr´ıdic´ı kˇrivky je pˇr´ımkovou rozvinutelnou plochou rovina. Rovina je jedinou plochou prvn´ıho stupnˇe. Aby rovnice (1.1) byly rovnicemi roviny, mus´ı platit ˙¯ y, ˙¯ z˙¯) = λ(p1 , p2 , p3 ), ( p˙1 , p˙2 , p˙3 ) = (0, 0, 0). (x, Jak uˇz bylo naznaˇceno, rovina je nejjednoduˇssˇ´ı plochou vyuˇz´ıvanou k zastˇresˇen´ı budov. Stˇrechy sloˇzené z cˇ a´ st´ı rovin se pouˇz´ıvaj´ı k zastˇreˇsen´ı hranatých (rovnobˇezˇ n´ıky, mohoúheln´ıky) i oblých (elipsy, kruˇznice, ...) p˚udorys˚u. Lze je zhruba


14

dˇelit bud’ podle jejich sklonu nebo podle tvaru. Existuje vˇsak mnoho tvarových kombinac´ı. Pˇri teoretickém ˇreˇsen´ı tˇechto typ˚u stˇrech se v praxi pouˇz´ıvá pravoúhlé prom´ıtán´ı na jednu pr˚umˇetnu. Pˇri tomto ˇreˇsen´ı nejdˇr´ıv pracujeme jen se stˇreˇsn´ımi rovinami, z nichˇz kaˇzdá má od pr˚umˇetny tutézˇ odchylku náleˇzej´ıc´ı intervalu (0, 90◦ ). Jej´ı tangens je kladné cˇ´ıslo zvané spád stˇrechy. O pr˚umˇetu pr˚useˇcnice dvou rovin stejného spádu plat´ı dvˇe vˇety: Vˇeta 1.1.1. Necht’ roviny ρ, σ maj´ı r˚uznobˇezˇ né stopy pρ , pσ a stejný spád vzhledem k pr˚umˇetnˇe π. Potom pravoúhlý pr˚umˇet pr˚useˇcnice q rovin ρ, σ do pr˚umˇetny π je osa r˚uznobˇezˇ ek pρ , pσ . D˚ukaz. Z pˇredpokladu o rovinách ρ, σ plyne, zˇ e pˇr´ımka q nen´ı kolmá k pr˚umˇetnˇe π. Proto jej´ı pravoúhlý pr˚umˇet je pˇr´ımka q0 6= pρ , q0 6= pσ procházej´ıc´ı bodem P = pρ ∩ pσ jak je znázornˇeno na obr. (1.1). Necht’ Q0 je pr˚umˇet libovolného bodu Q 6= P pˇr´ımky q. Kolmice vedené bodem Q0 ke stopám pρ , pσ prot´ınaj´ı tyto pˇr´ımky v bodech R, S. Protoˇze je pρ ⊥ Q0 R, pσ ⊥ QQ0 , je pρ ⊥ τ, kde τ = QQ0 R. Proto je pρ ⊥ QR a obdobnˇe je pσ ⊥ QS. Odchylky rovin ρ, σ od pr˚umˇetny π jsou tedy |]QRQ0 |, |]QSQ0 |. Z rovnosti tˇechto odchylek plyne, zˇ e je 4QQ0 R ∼ = 4QQ0 S 0 0 (usu); proto je |Q R| = |Q S|, takˇze polopˇr´ımka PQ je osou u´ hlu RPS.

Obrázek 1.1: Pr˚useˇcnice dvou rovin stejného spádu Vˇeta 1.1.2. Necht’ r˚uznobˇezˇ né roviny ρ, σ maj´ı r˚uzné a vzájemnˇe rovnobˇezˇ né stopy pρ , pσ , zároveˇn necht’ maj´ı stejný spád vzhledem k pr˚umˇetnˇe π. Potom pravoúhlý pr˚umˇet jejich pr˚useˇcnice h do roviny π je osa pásu ohraniˇceného rovnobˇezˇ kami pρ , pσ . D˚ukaz. Necht’ rovina τ ⊥ pρ (a tedy τ ⊥ π) prot´ıná pˇr´ımky pρ , pσ , h po ˇradˇe v bodech R, S, H. Trojúheln´ık RSH je rovnoramenný se základnou RS; pr˚umˇet bodu H je stˇred u´ seˇcky RS. Z toho a z vˇety o vzájemné poloze tˇr´ı rovin plyne tvrzen´ı dokazované vˇety.


15

Poznámka. Z pˇredchoz´ıch dvou vˇet plyne, zˇ e pravoúhlý pr˚umˇet pr˚useˇcnice r˚uznobˇezˇ ných rovin ρ, σ, které maj´ı stejný spád, je stejný pro kaˇzdý spád; je tedy na volbˇe spádu nezávislý. Pˇri ˇreˇsen´ı stˇrech vycház´ıme z následuj´ıc´ıch pˇredpoklad˚u: • okapové hrany jsou ve stejné výsˇi • vˇsechny stˇreˇsn´ı roviny maj´ı stejný spád • na kaˇzdou okapovou hranu odvád´ı vodu jen jedna stˇreˇsn´ı rovina • na okapovou hranu bez výminky a do guly mus´ı odtékat deˇst’ová voda

ˇ sen´ı stˇrechy rovinami stejných spádu: ˚ Reˇ Základn´ı metody ˇreˇsen´ı stˇrech — pravoúhlý p˚udorys stˇrechy neˇcin´ı vˇetˇs´ı problémy, rovnobˇezˇ n´ıkový p˚udorys ˇreˇs´ıme stejnˇe jako pravoúhlý, avˇsak u´ hly stop mus´ıme pˇresnˇe p˚ulit, abychom obdrˇzeli pˇresný výsledek. 1. Metoda nejvˇetˇs´ıho p˚udorysu K ˇreˇsen´ı stˇrechy nad zadaným p˚udorysem, který je cˇ lenitˇejˇs´ı si vytkneme nejvˇetˇs´ı moˇzný obdéln´ık (rovnobˇezˇ n´ık). Strany tohoto obdéln´ıku (rovnobˇezˇ n´ıku) jsou zˇca´ sti okapové hrany daného p˚udorysu. Nav´ıc je celý uvnitˇr daného p˚udorysu. Nepokrývá-li tento obdéln´ık celý p˚udorys, zvol´ıme jeˇstˇe druhý moˇzný obdéln´ık.

(a) správnˇe

(b) sˇpatnˇe

Obrázek 1.2: Metoda nejvˇetˇs´ıho p˚udorysu Nad tˇemito obdéln´ıky vyˇreˇs´ıme stˇrechy, které následnˇe spoj´ıme. Pak ˇreˇs´ıme stˇrechy nad pˇridruˇzenými obdéln´ıky a spojujeme je se stˇreˇsn´ımi rovinami jiˇz vyˇreˇsené stˇrechy. Na obr. 1.2 máme znázornˇeno správné i sˇpatné ˇreˇsen´ı dané metody. Správné ˇreˇsen´ı ukazuje obrázek vlevo, kde MN je hˇreben, zat´ımco na obrázku vpravo je ˇreˇsen´ı chybné, protoˇze vznikl vodorovný zˇ lab


16

MN, který je pro své nevýhody a vzhledem k dˇr´ıve uvedeným poˇzadavk˚um z ˇreˇsen´ı vylouˇcen. Tato metoda je nevýhodná, je-li uprostˇred p˚udorysu dvorek nebo je-li dán zakázaný okap. 2. Metoda cˇ´ıslovac´ı ˇ ısla zpravidla um´ıst’ujeme Nejdˇr´ıve oˇc´ıslujeme vˇsechny hrany p˚udorysu. C´ k okapovým hranám, pˇr´ıp. stopám ochranných rovin. Pr˚useˇcnice pˇr´ısluˇsných stˇreˇsn´ıch rovin pak oznaˇc´ıme cˇ´ısly tˇech dvou rovin, které se v n´ı prot´ınaj´ı (obr. 1.3). Kaˇzdé dvˇe pr˚useˇcnice, u kterých se vyskytuje stejné cˇ´ıslo, napˇr. 1, 2 a 1, 5 jsou r˚uznobˇezˇ né. Z jejich pr˚useˇc´ıku vycház´ı pr˚useˇcnice, která je oznaˇcena zbylými cˇ´ısly p˚uvodn´ıch pr˚useˇcnic, tedy napˇr. 2, 5.

Obrázek 1.3: Metoda cˇ´ıslovac´ı Pokud ˇreˇs´ıme stˇrechu, kde se vyskytuje pˇr´ıliˇs mnoho stˇreˇsn´ıch rovin, je


17

tato metoda nepˇrehledná a pˇr´ıliˇs zdlouhavá. Proto sloˇzitˇejˇs´ı stˇrechy ˇreˇs´ıme následuj´ıc´ı volnou metodou. 3. Metoda volná Nejdˇr´ıve zavedeme vˇsechny roviny, které jsou z p˚udorysu zˇrejmé. V pˇr´ısluˇsném rozsahu naznaˇc´ıme pr˚useˇcnice zavedených sousedn´ıch rovin. Jakmile se pr˚useˇcnice setká s jinou, jsou obˇe ukonˇceny a je zavedena pr˚useˇcnice tˇret´ı (obr. 1.4 a)). Nesm´ı chybˇet zˇ a´ dná z pr˚useˇcnic zavedených rovin, jinak vzniknou problémy. Dále pak z nejjednoduˇssˇ´ı cˇ a´ sti p˚udorysu zaháj´ıme konstrukci pr˚useˇcnice (obr. 1.4 b). Dojdeme-li ke sloˇzitˇejˇs´ı cˇ a´ sti p˚udorysu, nebo ˇ sen´ı konˇc´ı, kdyˇz se se stˇrecha uzavˇre, provád´ıme ˇreˇsen´ı v druhém smˇeru. Reˇ stˇrecha uzavˇre, tj. kdyˇz vyˇreˇs´ıme spojen´ı vˇsech uˇzitých rovin.

Obrázek 1.4: Volná metoda


18

Teoretické ˇreˇsen´ı, uvedené v pˇredchoz´ım textu je sice jednoznaˇcné, avˇsak vzhledem k tomu, zˇ e závis´ı na výsˇe uvedených pˇredpokladech, pˇr´ıliˇs sloˇzité. A to at’ uˇz z technických cˇ i estetických d˚uvod˚u. Proto se provád´ı u´ pravy teoretického ˇreˇsen´ı s ohledem na zjednoduˇsen´ı konstrukce krovu, pˇriˇcemˇz se nedodrˇz´ı podm´ınka stejného spádu vˇsech rovin, pˇr´ıp. se zmˇen´ı výsˇky okapových hran. Praktické ˇreˇsen´ı v tomto pˇr´ıpadˇe jiˇz nen´ı jednoznaˇcné.

ˇ sen´ı stˇrechy rovinami ruzn´ ˚ ych spádu: ˚ Reˇ ˇ s´ıme-li stˇrechy rovinami stejného spádu, dostáváme nˇekdy ˇreˇsen´ı nevyhovuj´ıc´ı Reˇ jednak z d˚uvod˚u stavebnˇe technických, jednak z d˚uvod˚u estetických. Pˇri navrhován´ı stavebn´ıch konstrukc´ı je nutno poˇcet pouˇzitých rovin co nejv´ıce sn´ızˇ it, dále se dává pˇrednost vodorovným hˇreben˚um. Proto cˇ asto ˇreˇs´ıme stˇrechu rovinami r˚uzných spád˚u, pˇr´ıpadnˇe pouˇz´ıváme i zborcených ploch (viz. str. 37). Pˇri praktickém ˇreˇsen´ı se vycház´ı z ˇreˇsen´ı teoretického, které se dále upravuje. Napˇr. stˇrechu na obr. 1.5 m˚uzˇ eme vyˇreˇsit hned dvˇemi zp˚usoby: 1. V bodˇe A zvol´ıme rovinu 8 tak, aby jej´ı stopa na okapové rovinˇe δ byla rovnobˇezˇ ná se stopou roviny 6 (obr. 1.5 a)). Roviny 6 a 8 budou m´ıt stejný spád a jejich pr˚useˇcnici zvol´ıme ve stejné výsˇi jako hˇreben 2, 7. Pr˚useˇc´ık hˇreben˚u 6, 8 a 2, 7 oznaˇc´ıme N. Podobnˇe roviny 3, 5 maj´ı stejný spád a jejich pr˚useˇcnice bude ve stejné výsˇi jako hˇreben 6, 8. Pr˚useˇc´ık hˇreben˚u 3, 5 a 6, 8 oznaˇc´ıme R. Bodem N jde nároˇz´ı 6, 7 a u´ zˇ lab´ı 2, 8, bodem R pak nároˇz´ı 6, 5 a u´ zˇ lab´ı 3, 8. Rovina nad hranou 4 je urˇcena stopou roviny 4 na rovinˇe δ a vhodnˇe zvoleným bodem H na hˇrebeni 3, 5.

(a)

(b)

ˇ sen´ı stˇrechy rovinami r˚uzných spád˚u Obrázek 1.5: Reˇ


19

2. Nad stopami rovin 2, 1, 7, 6, 5 na rovinˇe δ zvol´ıme roviny o spádu 1 : 1. Lze tedy snadno nalézt pr˚umˇety nároˇz´ı 1, 7 7, 6 6, 5 1, 2 a 7, 2 (obr. ?? b)). Bodem A, pr˚useˇc´ıkem okap˚u 2, 3 vedeme rovinu 8, jej´ızˇ stopa na δ je rovnobˇezˇ ná se stopou roviny 6. Rovina 8 dále procház´ı bodem N, coˇz je sbˇezˇ iˇstˇe rovin 2, 7, 6. Rovina 3 je urˇcena svou stopou na rovinˇe δ a sbˇezˇ iˇstˇem R rovin 6, 8, 5. Rovina 4 je pak urˇcena stopou 4 na rovinˇe δ a vhodnˇe zvoleným bodem H na hˇrebeni 3, 5.

˚ ych výsˇkách: Okapové hrany stˇrechy v ruzn´ Nejprve vyˇreˇs´ıme stˇrechu nad obdéln´ıkem 1, 2, 3, 4 a sestroj´ıme jej´ı rˇez rovinou β (obr. 1.6). Stˇreˇsn´ı roviny bude rovina β prot´ınat v hlavn´ıch pˇr´ımkách prvn´ı osnovy, které oznaˇc´ıme 10 , 20 , 30 , 40 . Nyn´ı sestroj´ıme stˇrechu nad p˚udorysem v rovinˇe β: 10 , 20 , 30 , 40 , 10 , 7, 6, 5.

ˇ sen´ı stˇrechy, okapové hrany v r˚uzných výsˇkách Obrázek 1.6: Reˇ V´ıce o daném problému viz. [3] Velmi jednoduché je ˇreˇsen´ı stˇrechy nad obdéln´ıkovým p˚udorysem. Rozliˇsujeme následuj´ıc´ı typy stˇrech:

Plochá stˇrecha Plochá stˇrecha (obr. 1.7) bývá zcela vodorovná s nepatrným sklonem k jedné stranˇe nebo do stˇredu. Jej´ı plocha mus´ı být pokryta souvislou nepropustnou vrst-


20

vou. Pouˇz´ıvá se pˇredevˇs´ım k zastˇreˇsen´ı rovnobˇezˇ n´ıkových p˚udorys˚u. Pro jej´ı konstrukci je rozhoduj´ıc´ı, zda má nebo nemá m´ıt charakter terasy. M´ıvá spád obvykle kolem 3 stupˇnu˚ (tj. 3 cm na 1 m délky), m˚uzˇ e vˇsak být i zcela bezespádová cˇ i se spádem 10 i v´ıce stupˇnu˚ . V rámci masové produkce se ve vˇetˇsinˇe pˇr´ıpad˚u setkáváme se stˇrechou sˇikmou jako s jakýmsi opozitem v˚ucˇ i plochým stˇrechám rodinných domk˚u z obdob´ı sedmdesátých a osmdesátých let. Zvol´ıme-li pro zastˇreˇsen´ı domu plochou stˇrechu, pak projekt mus´ı poˇc´ıtat s faktem, zˇ e v zimn´ım obdob´ı se vodn´ı pára snaˇz´ı proniknout z interiéru do exteriéru – jej´ımu postupu je nutno bud’ d˚uslednˇe zabránit jiˇz na vnitˇrn´ım l´ıci konstrukce, anebo jej naopak umoˇznit.

Obrázek 1.7: Plochá stˇrecha bezespádová

Stˇrecha sedlová Nejobvyklejˇs´ım tvarem zastˇreˇsen´ı rodinného domu v naˇsich podm´ınkách je sedlová stˇrecha (obr. 1.8). Je to stˇrecha taktézˇ nad obdéln´ıkem, ale narozd´ıl od pultové stˇrechy je okap povolen podél dvou protilehlých ˇr´ımsových hran. Je tvoˇrena dvˇemi sˇikmými plochami, na kratˇs´ıch stranách je uzavˇrena sˇt´ıtovými zdmi. Sedlovou stˇrechu je moˇzné navrhovat v r˚uzných sklonech od 25 stupˇnu˚ (alpský typ s velkými pˇresahy) aˇz po 45 stupˇnu˚ a v´ıce (nˇemecký typ bez pˇresah˚u). Podle sklonu sedlové stˇrechy se rozeznává: • stˇrecha vysoká - dvˇe sˇikmé roviny se prot´ınaj´ı ve hˇrebenu v u´ hlu kolem 90 stupˇnu˚ • stˇrecha vlaˇsská - dvˇe sˇikmé roviny se prot´ınaj´ı ve hˇrebenu v u´ hlu vˇetˇs´ım neˇz 90 stupˇnu˚ • stˇrecha francouzská - má pr˚uˇrez rovnostranného trojúheln´ıku • stˇrecha gotická - jej´ı výsˇka se rovná rozponu


21

• stˇrecha vˇezˇ ová - jej´ı výsˇka bývá vˇetˇs´ı neˇz 2,5 délky rozponu ˇ V Cesk´ e republice tvar sedlové stˇrechy vˇseobecnˇe pˇrevládá pˇredevˇs´ım na venkovˇe. Sedlovou stˇrechou se zastˇreˇsuj´ı hlavnˇe obdéln´ıkové p˚udorysy. Pokud je p˚udorys cˇ lenitˇejˇs´ı, dá se pouˇz´ıt i nˇekolik sedlových stˇrech, jejichˇz seskupen´ım vznikaj´ı dalˇs´ı typy zastˇreˇsen´ı (viz. napˇr. stˇrecha kˇr´ızˇ ová). Venkovský d˚um na naˇsem u´ zem´ı mˇel vˇzdy stˇrechy s vˇetˇs´ımi sklony, zpravidla kolem 45 stupˇnu˚ . Ve starˇs´ıch dobách, kdy se na stˇrechách vyskytovaly nasákavé a spalné pˇr´ırodn´ı materiály, tedy slamˇené doˇsky a dˇrevˇené sˇt´ıpané sˇindele, to cˇ inilo sp´ısˇe o nˇekolik stupˇnu˚ v´ıce. S menˇs´ım sklonem se u nás nesetkáme. Jedinou výjimkou je nevelké sˇumavské u´ zem´ı kolem mˇesteˇcka Volar na Prachaticku, kde se zabydlely sedlové stˇrechy alpského typu. Ty byly importované ze sousedn´ıho Bavorska a vyhovuj´ı zdejˇs´ım extrémn´ım horským podm´ınkám u kterých se poˇc´ıtá, zˇ e na nich sn´ıh z˚ustává leˇzet. Sedlová stˇrecha naˇseho“ sklonu m˚uzˇ e vytváˇret i rezervu pro rozˇs´ıˇren´ı obytné ” cˇ a´ sti do podkrov´ı, pokud se s objemem p˚udy nepoˇc´ıtá hned od zaˇca´ tku, nemluvˇe o rekonstrukc´ı, kde se pˇr´ımo nab´ız´ı.

Obrázek 1.8: Sedlová stˇrecha

Stˇrecha pultová Pultová stˇrecha (obr. 1.9) je stˇrecha nad obdéln´ıkem, pˇriˇcemˇz okap je dovolený jen podél jedné ˇr´ımsové hrany. Je velmi podobná a cˇ asto nesprávnˇe zamˇenˇ ovaná se stˇrechou plochou, tvoˇrená vlastnˇe jen jednou stˇreˇsn´ı plochou r˚uzného sklonu. Konstrukˇcnˇe se jedná o velmi jednoduchý typ zastˇreˇsen´ı, který se zvedá smˇerem k proslunˇené fasádˇe. V podstatˇe se jedná o poloviˇcn´ı sedlovou stˇrechu, pˇriˇcemˇz rovina je u hˇrebene opˇrená o zed’. V minulosti se pouˇz´ıvala zejména nad boˇcn´ımi lodˇemi baziliky, nyn´ı se s oblibou pouˇz´ıvá zejména u takzvaných ekologických


22

dom˚u, jejichˇz energetická bilance poˇc´ıtá s výraznými u´ sporami za vytápˇen´ı d´ıky sluneˇcn´ı energii proud´ıc´ı velkými okenn´ımi plochami do interiéru.

Obrázek 1.9: Pultová stˇrecha

Stˇrecha kˇr´ızˇ ová a polokˇr´ızˇ ová Stˇrecha kˇr´ızˇová (obr. 1.10) vzniká pr˚unikem dvou stˇrech, napˇr. sedlových, o stejné ˇ ıty jsou na vˇsech stranách. výsˇce hˇrebenu. Hˇrebeny se kolmo prot´ınaj´ı. St´

Obrázek 1.10: Kˇr´ızˇ ová stˇrecha


23

Polokˇr´ızˇ ová stˇrecha (obr. 1.11) vzniká pr˚unikem dvou stˇrech o nestejné výsˇce hˇrebenu.

Obrázek 1.11: Polokˇr´ızˇ ová stˇrecha

Stˇrecha motýlková Stˇrecha motýlková (obr. 1.12) je stˇrecha, jej´ızˇ dvˇe ramena se sˇikmo svaˇzuj´ı ke stˇredu stavby. Pouˇz´ıvá se pˇredevˇs´ım v modern´ı architektuˇre.

Obrázek 1.12: Motýlková stˇrecha

Stˇrecha valbová, polovalbová a dlátková Stˇrecha valbová (obr 1.13) je bl´ızce pˇr´ıbuzná sedlové stˇreˇse. Je tvoˇrena cˇ tyˇrmi plochami téhoˇz spádu, prot´ınaj´ıc´ımi se v nároˇz´ıch a ve vodorovném hˇrebenu.


24

Trojúheln´ıkové plochy, které na stˇreˇse vzniknou se nazývaj´ı valbami. Má spád k okap˚um na vˇsech cˇ tyˇrech stranách, takˇze je konstrukˇcnˇe sloˇzitˇejˇs´ı. Na druhou stranu vˇsak vytváˇr´ı ze vˇsech typ˚u stˇrech nejménˇe kub´ık˚u obestavˇeného prostoru a nav´ıc d´ıky pˇretaˇzen´ı stˇreˇsn´ıho plásˇtˇe m˚uzˇ e d˚um chránit lépe neˇz stˇrecha sedlová. ˇ Casto se pouˇz´ıvá pro zastˇreˇsen´ı dom˚u ve tvaru L.

Obrázek 1.13: Valbová stˇrecha

Stˇrecha dlátková je druhem valbové stˇrechy s okosenými hranami. Stˇrecha polovalbová - pokud je stˇrecha na kratˇs´ıch stranách p˚udorysu jen m´ırnˇe pˇretaˇzena, hovoˇr´ıme o stˇreˇse polovalbové (obr. 1.14). Vznikne bud’ jako ˇ ıt je pak bud’ v horn´ı nebo nasazen´ı valbové stˇrechy na sedlovou nebo opaˇcnˇe. St´ doln´ı cˇ a´ sti nahrazen stˇr´ısˇkami.

(a) valbová stˇrecha nasazená na sedlovou

(b) sedlová stˇrecha nasazená na valbovou

Obrázek 1.14: Stˇrecha polovalbová Polovalby pˇredstavuj´ı typický prvek napˇr. dˇrevˇených sˇumavských staveb, jehoˇz c´ılem byl zˇrejmˇe mˇekˇc´ı, v´ıce aerodynamický tvar domu v drsnˇejˇs´ıch klimatických


25

podm´ınkách. Na budovách mladˇs´ıch, zpravidla sociálnˇe výluˇcných, nezemˇedˇelských jako jsou sˇkoly nebo fary se mnohdy pouˇz´ıvala i valba. Hrany na kratˇs´ıch stranách obdéln´ıku se posunou výsˇe. Tam se zvýsˇ´ı i pˇr´ısluˇsné stˇeny a vzniká moˇznost z´ıskat dalˇs´ı pˇr´ımo osvˇetlený prostor.

Stˇrecha stanová, jehlancová a jehlová Stˇrecha stanová (obr. 1.15) je jehlancovitého tvaru. Roviny mohou být stejného nebo r˚uzného spádu. Trojúheln´ıkové zakˇrivené plochy stanové stˇrechy (nad cˇ tvercem cˇ tyˇri, nad mnohoúheln´ıkem v´ıce, pˇr´ıp. uzavˇrená kˇrivka jako tˇreba kruˇznice) se prot´ınaj´ı v nároˇz´ıch a setkávaj´ı se v jednom bodˇe který vyb´ıhá do hrotu, nebo je na nˇej nasazená vˇezˇ iˇcka. Stanové stˇrechy se pouˇz´ıvaly hlavnˇe v obdob´ı gotiky.

Obrázek 1.15: Nahoˇre – stˇrecha stanová a jehlancová, dole jehlancová Jehlancová stˇrecha má podobu jehlanu nad cˇ tvercem nebo pravidelným mnohoúheln´ıkem. Na vˇezˇ´ıch (hrad˚u) m˚uzˇ e být zdˇená (popˇr. s okosenými hranami). Jehlancová stˇrecha francouzského typu je tvoˇrena komolým jehlanem, na nˇemˇz je postaven n´ızký jehlan.


26

Jehla je druh jehlancové stˇrechy, ale sˇt´ıhlejˇs´ı. Charakteristickým pˇr´ıkladem je sanktusn´ık.

Stˇrecha mansardová Stˇrecha mansardová (obr. 1.16) je vydutˇe lomená, sedlová nebo stanová stˇrecha, vymezená rovinami o nestejném sklonu (spodn´ı cˇ a´ st má vˇetˇs´ı sklon, horn´ı menˇs´ı). M˚uzˇ e být valbová, polovalbová nebo se sˇt´ıty, popˇr. m˚uzˇ e m´ıt doln´ı cˇ a´ st zvonovou, horn´ı jehlancovou. Podkrovn´ı prostor se uˇzit´ım mansardové stˇrechy zvˇetˇsuje a zpravidla se vyuˇz´ıvá jako podkrovn´ı obytné podlaˇz´ı. Pouˇz´ıvá se jiˇz od baroka.

Obrázek 1.16: Mansardová stˇrecha

Stˇrecha sˇedová (shedová) Je sestavena z rˇady pultových nebo sedlových stˇrech, novˇe napˇr. eliptických konoid˚u (viz. str. 49), o stejném pr˚uˇrezu, které jsou ˇrazeny za sebou (obr 1.17). Uˇz´ıvá se napˇr´ıklad u továrn´ıch hal (typický pilovitý profil stˇrechy), nebot’ umoˇznˇ uje pˇr´ımé osvˇetlen´ı prostoru okny v kaˇzdé z jednotlivých stˇrech.

Obrázek 1.17: Shedová stˇrecha sestavená z pultových stˇrech


27

1.1.2 Válcová plocha Pˇredpokládejme zˇ e v rovnici (1.3) je α = 0. Z podm´ınky p21 + p22 + p23 = 1, najdeme derivován´ım p1 p1 + p2 p2 + p3 p3 = 0, a tedy po dosazen´ı do rovnice (1.3) dostaneme rovnici p21 + p22 + p23 = 0. Odtud plyne (p1 , p2 , p3 ) = (0, 0, 0). To vˇsak znamená, zˇ e smˇer (p1 , p2 , p3 ) tvoˇr´ıc´ı pˇr´ımky p je konstantn´ı. Pak plocha x = x(u) ¯ + vp1 (u),

y = y(u) ¯ + vp2 (u),

z = z¯(u) + vp3 (u)

(1.5)

je válcovou plochou s ˇr´ıdic´ı kˇrivkou k (obr. 1.18) k ≡ (x = x(u), ¯ y = y(u), ¯ z = z¯(u)), ˇr´ıdic´ı smˇer povrchových pˇr´ımek je (p1 , p2 , p3 ) a p1 , p2 , p3 jsou konstanty pro které plat´ı p21 + p22 + p23 = 1.

Obrázek 1.18: Válcová plocha s ˇr´ıdic´ı kˇrivkou k a tvoˇr´ıc´ı pˇr´ımkou p Uˇzit´ı válcových kleneb jako omezuj´ıc´ıch ploch tzv. valených kleneb je prastarého p˚uvodu, pˇresto vˇsak valené klenby neztratily sv˚uj význam ani v dneˇsn´ı dobˇe. Naopak moˇznost uˇzit´ı jiného materiálu neˇz kamene, dala tˇemto klenbám menˇs´ı tlouˇst’ku a v posledn´ı dobˇe pouˇzit´ı zˇ elezového betonu umoˇznilo ekonomickou, sériovou výrobu tzv. válcových kleneb skoˇrepinových. Ve stavitelstv´ı se za ˇr´ıdic´ı kˇrivky tˇechto ploch uˇz´ıvá cˇ a´ st´ı kruˇznice, elipsy, paraboly, hyperboly, cykloidy, ˇretˇezovky a jiných kˇrivek, velmi cˇ asto také ovál˚u, ˇ sloˇzených z kruhových oblouk˚u. Casto se pouˇz´ıvaj´ı pro svou hospodárnost a vhodný geometrický tvar. U skoˇrepinových oblouk˚u ve tvaru p˚ulkruhu se pˇri vˇetˇs´ıch rozpˇet´ıch bezpodm´ıneˇcnˇe vyˇzaduje vyztuˇzen´ı pomoc´ı výztuˇzných zˇ eber, aby se zabezpeˇcila


28

tuhost konstrukce v˚ucˇ i ohybovým namáhán´ım a zredukovalo se nebezpeˇc´ı vydouván´ı skoˇrepiny. Válcové skoˇrepiny jsou spolu s klasickými kupolovými stavbami základem vývoje vˇsech prostorových konstrukc´ı. Výraznˇe podnˇetily mechaniku a teorii pruˇznosti k ˇreˇsen´ı nároˇcných problém˚u u´ nosnosti skoˇrepinových konstrukc´ı. Od roku 1927 se velmi rychle rozˇs´ıˇrily a svoje vedouc´ı postaven´ı co se skoˇrepin týcˇ e si udrˇzely aˇz do roku 1950. Válcové skoˇrepiny se vyztuˇzuj´ı na obou konc´ıch odlehˇcenými segmentovými deskami. Pˇri vˇetˇs´ım rozpˇet´ı má velký význam vytvoˇren´ı správného nadvýsˇen´ı skoˇrepiny v m´ıstech tlakových cˇ ar. Z tohoto d˚uvodu se pouˇz´ıvaj´ı napˇr´ıklad eliptické oblouky, vykazuj´ıc´ı menˇs´ı ohybové momenty a pˇr´ıznivˇejˇs´ı roznos u´ nosnosti mezi vazn´ıky. Osvˇetlen´ı u klasických halových staveb je zabezpeˇceno nejˇcastˇeji boˇcn´ımi okenn´ımi pásmy. Souˇcasnˇe se pouˇz´ıvaj´ı r˚uzné svˇetl´ıky. Na následuj´ıc´ım obrázku je znázornˇeno vyuˇzit´ı válcové plochy v praxi a sice k zastˇreˇsen´ı Opery v Lyonu válcovou plochou s ˇr´ıdic´ı kˇrivkou kruˇznic´ı.

Obrázek 1.19: Opera Lyon Parabolické skoˇrepinové oblouky s vyztuˇzenými zˇ ebry se pouˇz´ıvaj´ı hlavnˇe pˇri realizaci hal, které slouˇzily jako skladiˇstˇe soli. Krásným pˇr´ıkladem vyuˇzit´ı parabolických válcových ploch k zastˇreˇsen´ı je v Brnˇe pavilon A na Brnˇenském výstaviˇsti.


29

Brnˇenské výstaviˇstˇe Kl´ıcˇ ovou stavbou celé kompozice brnˇenského výstaviˇstˇe z roku 1928 byl pavilon A se stˇrechou ve tvaru parabolické válcové plochy. Autor v´ıtˇezného návrhu výstaviˇstˇe ho koncipoval jako dominantu se dvˇemi kˇr´ıdly sleduj´ıc´ımi smˇery obou hlavn´ıch os. V jejich pr˚useˇc´ıku je kruhová stavba rotundy.

Obrázek 1.20: Pavilony Z a A Brnˇenského výstaviˇstˇe Aˇckoliv architekt Kalous je jistˇe duchovn´ım otcem základn´ı myˇslenky, k dokonalosti ji dovedl profesor Valenta, který zmˇenil p˚uvodn´ı kruhové klenby nosných zˇ eber na ˇretˇezovky a tedy k pˇreklenut´ı hlavn´ı budovy byla pouˇzita válcové klenba s ˇretˇezovkou jako ˇr´ıdic´ı cˇ arou. Tato klenba spolu se smˇelou kulovou, (ˇceskou klenbou = n´ızký kulový vrchl´ık) nad pavilonem Z dává celému výstaviˇsti charakteristický vzhled.


30

Stavba je pˇr´ıkladem cˇ isté architektury, která má vyvázˇ ené proporce i dispozici, skvˇelou a odvázˇ nou konstrukci a velmi dobrý detail. Prosklené stˇeny a klenby tvoˇr´ı dobré podm´ınky pro osvˇetlen´ı expozic denn´ım svˇetlem (coˇz naopak ménˇe vyhovuje dneˇsn´ım zámˇer˚um, kdy za rozhoduj´ıc´ı je povaˇzováno osvˇetlen´ı scénické, které zd˚urazn´ı cˇ a´ sti expozice podle zámˇeru scenáristy a nikoliv podle polohy slunce na obloze). Pavilon A je jistˇe stavbou silnˇe okázalou, neztrác´ı vˇsak lidské mˇeˇr´ıtko a pˇr´ıjemnost interiéru. Autoˇri naˇsli takovou m´ıru oslunˇen´ı v relaci k prostoru, zˇ e zde kupodivu nevzniká takzvaný sklen´ıkový efekt. I kdyˇz architektura rotundy je velmi impozantn´ı, nejp˚usobivˇejˇs´ı pohledy jsou od vstup˚u do hlavn´ıch lod´ı v m´ıstˇe jejich kˇr´ızˇ en´ı s boˇcn´ımi kˇr´ıdly. Pavilon A je z hlediska vývoje architektury jednou z význaˇcných staveb funkcionalismu a konstruktivismu. Je brilantn´ı ukázkou architektury vycházej´ıc´ı z konstrukce splˇnuj´ıc´ı vˇsechny poˇzadavky funkˇcnosti. Velice zaj´ımavé stˇrechy vznikaj´ı r˚uzným spojován´ım válcových ploch, jak je vidˇet na obr. 1.21. Jde o budovu letiˇstˇe St. Louis v Missouri, která byla navrˇzena architektem Minoru Yamasaki v roce 1956.

Obrázek 1.21: Letiˇstˇe Lambert - St. Louis

1.1.3 Kuˇzelová plocha Pˇredpokládejme, zˇ e v rovnici (1.3) je α 6= 0. Dá se dokázat, zˇ e v tomto pˇr´ıpadˇe lze funkce x(u), ¯ y(u), ¯ z¯(u) (které mohou být konstanty) volit tak, zˇ e se (1.3) zjednoduˇs´ı na (x(u), ¯ y(u), ¯ z¯(u)) = µ(p1 (u), p2 (u), p3 (u)). (1.6)


31

Necht’ µ = 0, pak (1.6) pˇrejde v podm´ınku (x(u), ¯ y(u), ¯ z¯(u)) = (0, 0, 0), a tedy x, ¯ y, ¯ z¯ jsou konstanty, které oznaˇc´ıme x¯0 , y¯0 , z¯0 . Plocha x = x¯0 + vp1 (u),

y = y¯0 + vp2 (u),

z = z¯0 + vp3 (u)

(1.7)

je kuˇzelovou plochou, s vrcholem V (x¯0 , y¯0 , z¯0 ) Kuˇzelová plocha tedy vznikne pohybem pˇr´ımky po rovinné kˇrivce, pˇriˇcemˇz jeden bod tvoˇr´ıc´ı pˇr´ımky, neleˇz´ıc´ı na ˇr´ıdic´ı kˇrivce je pevný (obr. 1.22). K zastˇreˇseni se obvykle pouˇz´ıvaj´ı kuˇzelové plochy s ˇr´ıdic´ı kˇrivkou, která je kuˇzeloseˇckou, a sice nejˇcastˇeji jde o kruˇznici.

Obrázek 1.22: Kuˇzelová plocha s ˇr´ıdic´ı kˇrivkou k a tvoˇr´ıc´ı pˇr´ımkou p Kuˇzelová plocha se pouˇz´ıvá napˇr. k rˇeˇsen´ı kruhové okapové hrany, jak je znázornˇeno na obr. 1.23 a). Spád stˇreˇsn´ıch rovin, resp. stˇreˇsn´ı plochy je 1 : 1, okapové hrany jsou ve stejné výsˇi. Nad kruhovým okapem sestroj´ıme kuˇzel o spádu 1 : 1, jeho ˇrez rovinou 1 lze sestrojit dle obrázku. V u´ vahu pˇricházej´ı dvˇe paraboly a to od bodu P k hˇrebeni 1, 3 a od bodu Q k hˇrebeni 1, 3. Body H, H 0 , ve kterých prot´ınaj´ı u´ zˇ lab´ı 1, 5 hˇreben 1, 3, najdeme takto: zvol´ıme vodorovnou rovinu α ve výsˇi hˇrebene 1, 3, ta prot´ıná kuˇzel v kruˇznici, jej´ızˇ polomˇer r0 je roven rozd´ılu polomˇeru základny kuˇzele a výsˇky hˇrebene 1, 3 . Dále je jeˇstˇe sestrojen ˇrez kuˇzele 5 rovinou 3. V u´ vahu ovˇsem pˇricház´ı cˇ a´ st paraboly 3, 5 v okol´ı jej´ıho vrcholu. Jinak (obr 1.23 b)): Toto ˇreˇsen´ı vyluˇcuje parabolická u´ zˇ lab´ı. V bodech P, Q zvol´ıme teˇcné roviny 6, 7 kuˇzele 5. Tyto plochy se dotýkaj´ı podél povrchových pˇr´ımek 5, 6 a 5, 7. Dále sestroj´ıme pr˚umˇet u´ zˇ lab´ı 7, 1 a podobnˇe 6, 1 tak, zˇ e rozp˚ul´ıme u´ hel pˇr´ısluˇsných stop na rovinˇe okapové. Potom konstruujeme pr˚umˇet hran


(a)

32

(b)

Obrázek 1.23: Zastˇreˇsen´ı kruhového p˚udorysu pomoc´ı kuˇzelové plochy ˇ rovinou 3 se z´ıská jako v pˇredcházej´ıc´ı konstrukci. Pˇr´ımky 5, 7 3, 7 a 3, 6. Rez a 6, 5 nejsou stˇreˇsn´ımi hranami. Kuˇzelová plocha s kruhovým p˚udorysem byla pouˇzita k zastˇreˇsen´ı cˇ a´ sti budovy na obr. 1.24.

Obrázek 1.24: Kuˇzelová stˇrecha nad kruhovým p˚udorysem Podobné pouˇzit´ı kuˇzelové plochy k zastˇreˇsen´ı najdeme na budovˇe Meeting house


33

univerzity v Sussex ve Velké Británii. Kuˇzelová plocha je v tomto pˇr´ıpadˇe asymetrická, se sˇikmým eliptickým svˇetl´ıkem ve vrcholu. Tvoˇr´ıc´ı pˇr´ımka plochy spojuje horn´ı a doln´ı obvodový prstenec. Detail horn´ı cˇ a´ sti stˇrechy je na obr. 1.25 vlevo.

Obrázek 1.25: Meeting House univerzity v Sussex


34

1.2 Pˇr´ımkové plochy zborcené Definice 3. Pˇr´ımkové plochy zborcené jsou pˇr´ımkové plochy, které nelze spojitˇe rozvinout do roviny, v r˚uzných bodech tézˇ e pˇr´ımky zborcené plochy jsou teˇcné roviny r˚uzné. Tzn. zˇ e na ploˇse existuje pouze koneˇcný poˇcet torzáln´ıch pˇr´ımek. Definice 4. Jsou-li dány tˇri obecné prostorové kˇrivky a, b, c, pak kaˇzdá pˇr´ımka, která prot´ıná zároveˇn vˇsechny ˇr´ıdic´ı kˇrivky a, b, c je tvoˇr´ıc´ı pˇr´ımkou zborcené plochy. Kˇrivky a, b, c jsou algebraickými kˇrivkami stupˇnu˚ m, n, p; kaˇzdým bodem kˇrivky a jde celkem np pˇr´ımek, kaˇzdým bodem kˇrivky b mp pˇr´ımek a body kˇrivky c mn pˇr´ımek. Kˇrivky a, b, c stupˇnu˚ m, n, p jsou tedy pro zborcenou plochu kˇrivkami np, mp, resp. mn násobnými. Sestrojen´ı (obr. 1.26): Na jedné kˇrivce (napˇr. na a) zvol´ıme bod A. Spoj´ımeli postupnˇe bod A se vˇsemi body kˇrivky b, vytvoˇr´ı vzniklé spojnice kuˇzelovou plochu 1 K, pˇri spojen´ı vrcholu A se vˇsemi body kˇrivky c kuˇzelovou plochu 2 K. Spoleˇcné povrˇsky 1 g, 2 g kuˇzelových ploch 1 K, 2 K jsou hledané pˇr´ımky zborcené plochy.

Obrázek 1.26: Tvoˇr´ıc´ı pˇr´ımky zborcené plochy Jinak: Mˇejme dánu pˇr´ımku, té je moˇzno pˇredepsat pohyb tak, aby pˇr´ımka, která vyplˇnuje plochu pˇrecházela z jedné polohy do polohy soumezné tak, aby byla


35

vˇzdy k této dalˇs´ı poloze mimobˇezˇ ná. Pohyb pˇr´ımky, která má vytvoˇrit zborcenou plochu se nejlépe stanov´ı tak, zˇ e se poˇzaduje, aby pohybuj´ıc´ı se pˇr´ımka stále prot´ınala tˇri dané kˇrivky v prostoru a to at’ uˇz kˇrivky rovinné nebo prostorové. Uvaˇzujme kartézskou soustavu souˇradnic (P, x, y, z). Kaˇzdou pˇr´ımku, která nen´ı rovnobˇezˇ ná s rovinou souˇradnicových os x, y, m˚uzˇ eme zapsat pomoc´ı rovnic x = az + m,

y = bz + n,

kde a, b, m, n jsou reálné koeficienty. Tyto rovnice vyjadˇruj´ı pravoúhlé pr˚umˇety p2 , p3 pˇr´ımky p do souˇradnicových rovin ν, µ urˇcených osami xz a yz. Obrácenˇe pˇr´ımku p k π dostaneme jako pr˚useˇcnici rovin kolmých k ν a µ vedených pˇr´ımkami p2 , p3 . Pˇr´ımky rovnobˇezˇ né s π je moˇzno zapsat pomoc´ı rovnic ax + by + m = 0,

z = n.

V obecném pˇr´ıpadˇe je tedy pˇr´ımka v prostoru urˇcena cˇ tyˇrmi nezávislými parametry a, b, m, n, neboli cˇ tyˇrmi nezávislými podm´ınkami. Ty mohou být vyjádˇreny geometricky. Mnoˇzina pˇr´ımek, splˇnuj´ıc´ıch tˇri nezávislé jednoduché podm´ınky je závislá jiˇz jen na jednom parametru. Je tedy jednoparametrická a vytváˇr´ı pˇr´ımkovou plochu. Pro urˇcen´ı tˇr´ı na sobˇe nezávislých podm´ınek jsme vlastnˇe vybrali ze cˇ tyˇrrozmˇerného pˇr´ımkového prostoru jednoparametrickou soustavu pˇr´ımek. Nyn´ı jde jen o to, jak usmˇernit“ jeden stupeˇn volnosti, aby rovnice pˇredstavovaly pˇr´ımkovou ” plochu zborcenou, ne rozvinutelnou. Dá se ukázat, zˇ e pro vznik zborcené pˇr´ımkové plochy lze zaˇr´ıdit pohyb pˇr´ısluˇsné tvoˇr´ıc´ı pˇr´ımky p takto: Urˇc´ıme tˇri ˇr´ıdic´ı kˇrivky tak aby vyhovovaly následuj´ıc´ım podm´ınkám: • zˇ a´ dné dvˇe z daných kˇrivek nemaj´ı spoleˇcný bod • zˇ a´ dné dvˇe z kˇrivek neleˇz´ı v tézˇ e rovinˇe • dané kˇrivky neleˇz´ı souˇcasnˇe na tézˇ e rozvinutelné pˇr´ımkové ploˇse O kˇrivkách splˇnuj´ıc´ıch tyto podm´ınky ˇr´ıkáme, zˇ e byly zvoleny obecnˇe. Pohybuj´ıc´ı se pˇr´ımka p, která pˇri svém pohybu stále prot´ıná vˇsechny tˇri dané ˇr´ıdic´ı kˇrivky vytváˇr´ı pˇr´ımkovou plochu zborcenou. Kaˇzdý regulárn´ı bod takové plochy je jej´ım hyperbolickým bodem, kromˇe regulárn´ıch bod˚u izolovaných pˇr´ımek zborcené plochy (torzáln´ıch pˇr´ımek). Torzáln´ı pˇr´ımky se na zborcených plochách mohou ale nemus´ı vyskytovat.


36

˚ Stupenˇ zborcené plochy urˇc´ıme t´ımto zpusobem: Vytknˇeme dvˇe ˇr´ıdic´ı pˇr´ımky a, b a rˇ´ıdic´ı kˇrivku c stupnˇe p. Libovolná pˇr´ımka q urˇcuje s a, b zborcenou plochu 2. stupnˇe, která prot´ıná c ve 2p bodech. Jimi procházej´ı povrchové pˇr´ımky hyperboloidu (a b q), které jsou taky povrchovými pˇr´ımkami zborcené plochy Φ ve 2p bodech, Φ je tedy stupnˇe 2p. Zvolen´ım pˇr´ımky a a dvou kˇrivek b, c stupˇnu˚ n a p, a pouˇzit´ım pˇr´ımky q obdobnˇe jako v pˇredeˇslém pˇr´ıpadˇe pˇricház´ıme k tomu, zˇ e plocha (a, b, c) je stupnˇe 2np. Koneˇcnˇe stejnou u´ vahou pouˇzit´ım q sve spojen´ı se dvˇemi z daných kˇrivek a, b, c stupˇnu˚ m, n, p docház´ıme k tomu, zˇ e: Vˇeta 1.2.1. Zborcená plocha urˇcená kˇrivkami a, b, c stupˇnu˚ m, n, p a nemaj´ıc´ıch zˇ a´ dné spoleˇcné body, je stupnˇe 2mnp. Pokud se kˇrivky a, b prot´ınaj´ı v r bodech, pak se z tˇechto bod˚u prom´ıtá tˇret´ı ˇr´ıdic´ı kˇrivka stupnˇe p r kuˇzelovými plochami stupnˇe p. Jejich povrchové pˇr´ımky sice náleˇz´ı k souhrnu pˇr´ımek, které prot´ınaj´ı a, b, c, ale k vlastn´ı zborcené ploˇse urˇcené kˇrivkami a, b, c je nem˚uzˇ eme poˇc´ıtat. Maj´ı-li tedy kˇrivky a, b, c stupˇnu˚ m, n, p po ˇradˇe r, s, t spoleˇcných bod˚u, je jimi urˇcená zborcená plocha Φ stupnˇe 2mnp − rm − sn − t p

(1.8)

Je samozˇrejmé, zˇ e zborcená plocha bude t´ım jednoduˇssˇ´ı, cˇ´ım jednoduˇssˇ´ı jsou ˇr´ıdic´ı kˇrivky a, b, c.

1.2.1 Zborcené kvadriky Zborcená plocha Φ je kvadrikou, pokud je jej´ı stupeˇn roven 2, tj. po dosazen´ı do rovnice (1.8) dostáváme: 2 = 2mnp − rm − sn − t p ˇ ısla m, n, p jsou pˇrirozená, protoˇze jde o stupnˇe jednotlivých ˇr´ıd´ıc´ıch kˇrivek C´ zborcené plochy. Jedinou moˇznost´ı, jak doc´ılit, po dosazen´ı konkrétn´ıch stupˇnu˚ ˇr´ıd´ıc´ıch kˇrivek, platného vztahu je, zˇ e vˇsechny stupnˇe m, n, p jsou rovny jedné a ˇr´ıd´ıc´ı kˇrivky se navzájem neprot´ınaj´ı. Zborcená kvadrika Φ je tedy urˇcena tˇremi navzájem mimobˇezˇ nými pˇr´ımkami. Na zborcené pˇr´ımkové kvadrice leˇz´ı dva systémy pˇr´ımek, tzv. reguly. Pˇr´ımky téhoˇz regulu jsou navzájem mimobˇezˇ né a pˇr´ımka jednoho regulu prot´ıná vˇsechny pˇr´ımky regulu druhého. Kvadrika je urˇcená kterýmikoliv tˇremi pˇr´ımkami téhoˇz regulu.


37

Libovolným bodem M zborcené kvadriky Φ procházej´ı právˇe dvˇe pˇr´ımky, pˇriˇcemˇz kaˇzdá je jiného regulu. Obˇe leˇz´ı na ploˇse a urˇcuj´ı jej´ı teˇcnou rovinu, jako mnoˇzinu teˇcen ke kˇrivkám plochy procházej´ıc´ıch bodem M. Dotykovým bodem teˇcné roviny je právˇe pr˚useˇc´ık M tˇechto dvou r˚uznobˇezˇ ek. Sestrojen´ı teˇcné roviny: Teˇcná rovina v daném dotykovém bodˇe plochy obsahuje teˇcny ke vˇsem kˇrivkám, které t´ımto bodem procházej´ı. U zborcené plochy zastupuje jednu takovou kˇrivku povrchová pˇr´ımka, na které byl dotykový bod zvolen. Tedy kaˇzdá rovina, která procház´ı tvoˇr´ıc´ı pˇr´ımkou zborcené plochy je jej´ı teˇcnou rovinou. Teˇcná rovina v bodˇe zborcené plochy je dána povrchovou pˇr´ımkou, která daným bodem procház´ı a teˇcnou nˇekteré kˇrivky na ploˇse procháj´ıc´ı daným bodem. Je-li tedy τ libovolná rovina procházej´ıc´ı napˇr´ıklad pˇr´ımkou d prvn´ıho regulu zborcené kvadriky Φ, pak je teˇcnou rovinou této kvadriky a obsahuje jeˇstˇe pˇr´ımku m druhého regulu, která se dá urˇcit a základˇe toho, zˇ e prot´ıná vˇsechny pˇr´ımky prvn´ıho regulu. Takˇze zvol´ıme dalˇs´ı dvˇe pˇr´ımky b, c prvn´ıho regulu na Φ a urˇc´ıme jejich pr˚useˇc´ıky s teˇcnou rovinou τ, jejichˇz spojnic´ı je pˇr´ımka m. Pr˚useˇc´ık R = d ∩ m je bodem dotyku roviny τ. Nejjednoduˇssˇ´ı zborcenou kvadrikou je tzv. zborcený hyperboloid.

Zborcený hyperboloid Je urˇcen tˇremi (vlastn´ımi) mimobˇezˇ nými pˇr´ımkami a, b, c, které nejsou rovnobˇezˇ né se zˇ a´ dnou rovinou.

Obrázek 1.27: Zborcený hyperboloid


38

Zborcený hyperboloid prot´ıná nevlastn´ı rovinu v reálné kuˇzeloseˇcce. Protoˇze zˇ a´ dná pˇr´ımka plochy nen´ı nevlastn´ı, je tato reálná kuˇzeloseˇcka regulárn´ı. Konstrukce tvoˇr´ıc´ıch pˇr´ımek zborceného hyperboloidu je jednoduˇssˇ´ı neˇz v obecném pˇr´ıpadˇe, protoˇze pomocné kuˇzelové plochy 1 K, 2 K uvedené dˇr´ıve pˇrejdou v roviny 2 ε ≡ (V, b) a 3 ε ≡ (V, c); bodem V na pˇr´ımce a jde jiˇz jen jedna pˇr´ımka p ≡ 2ε ∩ 3ε Zborcený hyperboloid jakoˇzto zborcená kvadrika obsahuje dvˇe soustavy (dva reguly) pˇr´ımek. V naˇsem pˇr´ıpadˇe patˇr´ı mimobˇezˇ ky a, b, c do jednoho regulu, jejich pˇr´ıcˇ ka p do druhého regulu. Pól S nevlastn´ı pˇr´ımky vzhledem k hyperboloidu je stˇred hyperboloidu. ˇ Rezem rovinou rovnobˇezˇ nou s p˚udorysnou jsou homotetické kruˇznice. Zvlásˇtn´ım pˇr´ıpadem zborceného hyperboloidu je rotaˇcn´ı jednod´ılný hyperboloid. Je vytvoˇren rotac´ı pˇr´ımky kolem osy, která je s danou pˇr´ımkou mimobˇezˇ ná (obr. 1.28).

Obrázek 1.28: Rotaˇcn´ı hyperboloid

Rotaˇcn´ıho hyperboloidu bylo pouˇzito k zastˇreˇsen´ı hotelu Jeˇstˇed’ v Liberci (obr. 1.29). Hlavn´ı architekt Karel Hubácˇ ek z´ıskal za toto ˇreˇsen´ı Perretovu cenu. Je to nejvyˇssˇ´ı ocen´ı, které m˚uzˇ e architekt z´ıskat. Stavba je zaj´ımavá nejen tvarem, jenˇz dodal vrcholu Jeˇstˇed zcela novou podobu, ale také svou jedineˇcnou konstrukc´ı. S ohledem na povˇetrnostn´ı podm´ınky byl zvolen tvar rotaˇcn´ıho hyperboloidu. Od paty aˇz na vrchol anténn´ıho nástavce


39

mˇeˇr´ı 94 metr˚u. Hlavn´ı nosnou konstrukci tvoˇr´ı dva zˇ elezobetonové válce zasunuté do sebe a zakotvené v mohutné základové desce. Vnitˇrn´ı válec má pr˚umˇer 4,4 m, výsˇku 41,4 m a na konci je upevnˇen ocelový kruh anténn´ıho stoˇza´ ru. Vnˇejˇs´ı válec má pr˚umˇer 12,5 m a je jen 22,5 m vysoký.

Obrázek 1.29: Rotaˇcn´ı hyperboloid pouˇzitý k zastˇreˇsen´ı hotelu Jeˇstˇed v Liberci

Dalˇs´ı pouˇzit´ı hyperboloidu m˚uzˇ eme nalézt v St. Louis na budovˇe McDonnellova planetária (obr. 1.30).

Obrázek 1.30: McDonnellovo planetarium v Missouri


40

Od rotaˇcn´ıho hyperboloidu jsou odvozeny dvˇe dalˇs´ı zborcené plochy: trojosý hyperboloid a hyperbolický paraboloid. Vhodnou prostorovou afinitou vznikne z rotaˇcn´ıho hyperboloidu tzv. trojosý hyperboloid. Na rozd´ıl od rotaˇcn´ıho hyperboloidu, jehoˇz ˇrezem v rovinách rovnobˇezˇ ných s rovinou základn´ı je kruˇznice, u trojosého hyperboloidu je t´ımto ˇrezem elipsa. Vhodnou perspektivn´ı kolineac´ı rotaˇcn´ıho hyperboloidu dostaneme tzv. hyperbolický paraboloid, na nˇemˇz m˚uzˇ eme sestrojit napˇr. pˇr´ımkovou plochu zborceného cˇ tyˇru´ heln´ıka.

Hyperbolický paraboloid Hyperbolický paraboloid je zborcená kvadrika obsahuj´ıc´ı nevlastn´ı pˇr´ımku. Tvoˇr´ı ho pˇr´ımky, které prot´ınaj´ı dané dvˇe mimobˇezˇ né ˇr´ıdic´ı pˇr´ımky 1 m a 2 m a jsou pˇritom rovnobˇezˇ né s danou ˇr´ıdic´ı rovinou, napˇr. π. Na hyperbolický paraboloid se m˚uzˇ eme d´ıvat jako na zvlásˇtn´ı pˇr´ıpad zborceného hyperboloidu a sice v tom smyslu, zˇ e tˇret´ı ˇr´ıdic´ı pˇr´ımka 3 m je nahrazena nevlastn´ı pˇr´ımkou roviny π. Hyperbolický paraboloid bývá v technické praxi zpravidla urˇcen tzv. zborˇ ceným cˇ tyˇru´ heln´ıkem. Casto se pouˇz´ıvá k zastˇreˇsen´ı pro své velmi dobré statické vlastnosti i pro zaj´ımavý estetický vzhled.

Obrázek 1.31: Hyperbolický paraboloid urˇcený zborceným kosoˇctvercem ABCD


41

Pokud máme vyˇreˇsit stˇrechu nad lichobˇezˇ n´ıkovým p˚udorysem, pˇriˇcemˇz okapy stˇrechy jsou ve stejné výsˇi, m˚uzˇ eme postupovat napˇr´ıklad následuj´ıc´ım zp˚usobem (obr. 1.32): Kdybychom chtˇeli vyˇreˇsit stˇrechu pomoc´ı rovin stejného spádu, dostali bychom klesaj´ıc´ı hˇreben. Ten bychom tedy rádi odstranili. Nad hranou AB proto zvol´ıme rovinu 1, nad AD rovinu 2, nad CD rovinu 3. Vyˇreˇs´ıme nároˇz´ı 1, 2 a 2, 3. Rovinu 2 ukonˇc´ıme ve vhodné výsˇi vodorovným hˇrebenem MN (MN k AD, bod M leˇz´ı na nároˇz´ı 1, 2 , bod N na nároˇz´ı 2, 3). Pˇr´ımky MN, BC jsou vzájemnˇe mimobˇezˇ né. Nedá se tedy jimi proloˇzit rovina. Ved’me tedy bodem M rovinu α kolmou k hˇrebeni MN. Rovina α je svislá a prot´ıná okap BC v bodˇe M 0 . Stejnˇe tak vedeme bodem N rovinu β kolmou k hˇrebeni MN. Ta prot´ıná okap BC v bodˇe N 0. Zborceným cˇ tyˇru´ heln´ıkem MNM 0 N 0 je urˇcen hyperbolický paraboloid, který pouˇzijeme jako stˇreˇsn´ı plochu nad hranou BC. Najdeme jeho tvoˇr´ıc´ı pˇr´ımky. Pˇr´ımky jedné soustavy hyperbolického paraboloidu (k n´ızˇ náleˇz´ı i pˇr´ımky MN a M 0 N 0 ) jsou vodorovné, jedna ˇr´ıdic´ı rovina hyperbolického paraboloidu je tedy vodorovná, tj. vˇsechny pˇr´ımky tézˇ e soustavy jako M 0 N 0 a MN jsou vodorovné.

Obrázek 1.32: Zastˇreˇsen´ı lichobˇezˇ n´ıkového p˚udorysu pomoc´ı hyperbolického paraboloidu

Pr˚umˇety tvoˇr´ıc´ıch pˇr´ımek druhé soustavy hyperbolického paraboloidu (k n´ızˇ náleˇz´ı pˇr´ımky MM 0 a NN 0 ) jsou vzájemnˇe rovnobˇezˇ né, dalˇs´ı rovina hyperbolického paraboloidu je tedy svislá. Za ˇr´ıdic´ı rovinu této soustavy m˚uzˇ eme povazˇ ovat rovinu α. Pr˚useˇcnice obou ˇr´ıdic´ıch rovin je vodorovná, je kolmá k hˇrebeni MN a je rovnobˇezˇ ná s osou hyperbolického paraboloidu. Sestrojme jeˇstˇe nároˇz´ı mezi hyperbolickým paraboloidem a rovinou 1 a taky


42

mezi hyperbolickým paraboloidem a rovinou 3. Staˇc´ı vyuˇz´ıt hlavn´ıch pˇr´ımek uvedených rovin a tvoˇr´ıc´ıch pˇr´ımek hyperbolického paraboloidu, tézˇ e soustavy jako jsou pˇr´ımky MN a M 0 N 0 . Spádová pˇr´ımka roviny 1 jdouc´ı bodem M má sv˚uj pr˚umˇet kolmý k okapové hranˇe roviny 1. Rozdˇelme u´ seˇcku této spádové pˇr´ımky mezi okapem a bodem M na n stejných d´ılk˚u, koncovými body tˇechto d´ılk˚u vedeme hlavn´ı pˇr´ımky roviny 1. Podobnˇe rozdˇel´ıme u´ seˇcku MM 0 na n stejných d´ılk˚u a jejich koncovými body vedeme tvoˇr´ıc´ı pˇr´ımky hyperbolického paraboloidu. Hlavn´ı pˇr´ımka roviny 1, jej´ızˇ p˚udorys je od p˚udorysu okapové hrany vzdálen 1 o vzdálenosti pˇr´ımky A1 B1 od bodu M1 , je ve stejné výsˇi jako tvoˇr´ıc´ı pˇr´ımka n hyperbolického paraboloidu, jej´ızˇ p˚udorys procház´ı bodem, který je uvnitˇr u´ seˇcky 1 M1 M10 a od M10 je vzdálena o vzdálenosti M1 M10 (jde o pˇr´ımku tézˇ e soustavy n hyperbolického paraboloidu jako MN). Obˇe uvedené pˇr´ımky se prot´ınaj´ı v bodˇe hledaného nároˇz´ı mezi rovinou 1 a hyperbolickým paraboloidem nad pˇr´ımkou BC. Podobnˇe najdeme dalˇs´ı body tohoto nároˇz´ı. Konstrukce pr˚umˇet˚u mezi rovinou 3 a hyperbolickým paraboloidem nad hranou BC je stejná. Obˇe tato nároˇz´ı jsou parabolická, ponˇevadˇz roviny 1, 3 jsou rovnobˇezˇ né s osou hyperbolického paraboloidu. Osobitým tvarem hyperbolického paraboloidu je sedlová skoˇrepina (obr. 1.31). Je ohraniˇcená cˇ tyˇrmi hlavn´ımi kˇrivkami a dva spektra tvoˇr´ıc´ıch pˇr´ımek vytváˇrej´ı v p˚udorysu dva soubory vzájemnˇe rovnobˇezˇ ných pˇr´ımek. Prvn´ı stˇreˇsn´ı konstrukce tohoto typu byly postavené na zaˇca´ tku 20. stolet´ı. V roce 1909 pokryl sˇpanˇelský architekt Antoni Gaud´ı stˇrechami vyzdˇenými v této formˇe malou sˇkolu v Barcelonˇe (obr. 1.33).

Obrázek 1.33: Obecn´ı sˇkola Sagrada Familia v Barcelonˇe


43

Dalˇs´ı rozvoj hyperbolických paraboloid˚u m˚uzˇ eme povaˇzovat za d˚usledek práce Felixe Candely v Mexiku. Hyperbolické paraboloidy jako st´ın´ıc´ı kryty obchodn´ıho domu v Mexiku D.F a známé zastˇreˇsen´ı restaurace v Xochimilco (obr. 1.34) jsou dva pˇr´ıklady konstrukc´ı, které výrazným zp˚usobem ovlivnily vývoj r˚uzných variac´ı a tvar˚u tˇechto konstrukˇcn´ıch systém˚u v mnohých krajinách Evropy a Ameriky.

Obrázek 1.34: Felix Candela - nahoˇre zastˇreˇsen´ı restaurace Xochimilco v Mexiku, vlevo dole kostel v Nuovo Leon v Mexiku, vpravo budova L’Oceanografic ve ˇ Valencii ve Spanˇ elsku

Na následuj´ıc´ım obrázku je znázornˇena skoˇrepina pˇred vchodem do budovy UNESCO v Paˇr´ızˇ i, podepˇrená parabolickým obloukem a charakterizována velkým oboustranným vyloˇzen´ım.

Obrázek 1.35: Budova UNESCA v Paˇr´ızˇ i


44

Stˇrecha sloˇzená z nˇekolika cˇ a´ st´ı hyperbolického paraboloidu Hyperbolické paraboloidy se r˚uzným zp˚usobem sdruˇzuj´ı a vznikaj´ı tak dalˇs´ı plochy vyuˇz´ıvané k zastˇreˇsen´ı. Na obr. 1.36 nahoˇre je zobrazeno zastˇreˇsen´ı haly, skládaj´ıc´ı se ze cˇ tyˇr shodných segment˚u hyperbolického paraboloidu (nad cˇ tvercovou podstavou). Hlavn´ı nosnou stˇreˇsn´ı konstrukci tvoˇr´ı cˇ tyˇri trojúheln´ıkové rámy (jeden oznaˇcen ABC), které tvoˇr´ı sˇt´ıty. K jejich vrchol˚um se pˇrimyká vaznicový kˇr´ızˇ , který omezuje spolu s vazn´ıky cˇ tyˇri stejná stˇreˇsn´ı pole hyperbolických paraboloid˚u, daných zborcenými cˇ tyˇru´ heln´ıky (BV DC).

Obrázek 1.36: Zastˇreˇsen´ı haly (nahoˇre) a nástupiˇstˇe (dole) ˇrazenými hyperbolickými paraboloidy ˇ V jiném rˇazen´ı je provedeno zastˇreˇsen´ı nástupiˇstˇe nádraˇz´ı CSD (obr. 1.36 dole). Stˇrecha konˇc´ı horizontáln´ı pˇr´ımkou tézˇ e u´ rovnˇe. Skoˇrepina je podepˇrena jen ve svých nejniˇzsˇ´ıch bodech sloupky, v nichˇz jsou um´ıstˇeny svody deˇst’ové vody ˇ sen´ı je pro nástupiˇstˇe zvlásˇt’ výhodné, nebot’ opˇerné sloupky jsou ve (bod C). Reˇ znaˇcné vzdálenosti od hranice zakrytého prostoru a nebrán´ı frekvenci pˇri nástupu do vlaku.


45

Téhoˇz ˇreˇsen´ı se pouˇz´ıvá i k zakryt´ı rozlehlých pracoviˇst’ a pr˚umyslových staveb, jak ukazuje obr. 1.37. Jde o zastˇreˇsen´ı filtraˇcn´ı haly vodárny Beerenplaat pobl´ızˇ Rotterdamu. Stˇrecha je sloˇzená ze 20 hˇribových skoˇrepin, sloˇzených vˇzdy ze cˇ tyˇr cˇ a´ st´ı hyperbolického paraboloidu.

Obrázek 1.37: Filtraˇcn´ı hala vodárny Beerenplaat pobl´ızˇ Rotterdamu Vynikaj´ıc´ım pˇr´ıkladem konstrukˇcn´ıch systém˚u které vyuˇz´ıvaj´ı nˇekolik cˇ a´ st´ı hyperbolického paraboloidu je návrh kostela v Tokiu. Tato monolitická skoˇrepinová konstrukce se skládá z osmi cˇ a´ st´ı ve tvaru hyperbolického paraboloidu. P˚udorys je tvaru kˇr´ızˇ e s celkovou délkou 60 m a sˇ´ıˇrkou 45 m.

Obrázek 1.38: Kostel v Tokiu


46

ˇ Ani v Cesk´ e republice nemus´ıme pro pˇr´ıklady zastˇreˇsen´ı nˇekolika hyperbolickými paraboloidy chodit daleko. Na následuj´ıc´ım obrázku je znázornˇena stˇrecha na kostele v Bˇreclavi.

Obrázek 1.39: Kostel v Bˇreclavi

ˇ Zlabov´ a klenba ˇ Zlabov´ a klenba (obr. 1.40) je sestavena se shodných pásových segment˚u hyperbolického paraboloidu.

ˇ Obrázek 1.40: Zlabov´ a klenba


47

Klenby bývaj´ı vyztuˇzeny parabolickými zˇ ebry, patn´ımi a vrcholovými ztuˇzidly. Po stránce statické je tato klenby výhodná t´ım, zˇ e velikost smykových sil, kterými je pˇrenásˇeno zat´ızˇ en´ı klenby do zˇ eber, je konstantn´ı. M´ısto pouˇzit´ı pás˚u hyperbolických paraboloid˚u se nˇekdy pouˇz´ıvaj´ı prstencové pásy jenod´ılného rotaˇcn´ıho paraboloidu. V praxi byly takto zastˇreˇseny hangáry, kde rozpon klenby byl 70 m a vzdálenost kruhových zˇ eber 11 m. Aymondova bánˇ Aymondova bánˇ (obr. 1.41) vzniká seskupen´ım osmi cˇ a´ st´ı ortogonáln´ıho hyperbolického paraboloidu nad cˇ tvercovým p˚udorysem.

Obrázek 1.41: Aymondova bánˇ Na obrázku naznaˇcená osmina celkové klenby je dána zborceným cˇ tyˇru´ heln´ıˇ ıdic´ı roviny jsou prvn´ı prom´ıtakem ABCV . Strana AB m˚uzˇ e být také vodorovná. R´ c´ı roviny pˇr´ımek AB a AV , proto je ˇrez paraboloidu svislou rovinou, procházej´ıc´ı body B a V parabola, jej´ızˇ vrchol je obecnˇe mimo bod V . Pouˇzitá je vˇzdy jen cˇ a´ st nad trojúheln´ıkem omezeným stranou, stˇredn´ı pˇr´ıcˇ kou a u´ hlopˇr´ıcˇ kou cˇ tverce p˚udorysu. Ostatn´ı cˇ a´ sti klenby jsou z´ıskány kolmou soumˇernost´ı podle svislých rovin, procházej´ıc´ı stˇredn´ımi pˇr´ıcˇ kami a u´ hlopˇr´ıcˇ kami cˇ tvercového p˚udorysu. Aymondova bánˇ má výborné statické vlastnosti.


48

1.2.2 Plocha eliptického pohybu v prostoru ˇ ıdic´ımi u´ tvary plochy eliptického pohybu v prostoru jsou dvˇe k sobˇe kolmé miR´ mobˇezˇ ky a, b a ˇr´ıdic´ı rotaˇcn´ı kuˇzelová plocha s osou rovnobˇezˇ nou s osou obou mimobˇezˇ ek. Pˇri této volbˇe maj´ı vˇsechny tvoˇric´ı pˇr´ımky i g vzhledem k π stejný spád, tj. u´ seˇcky 1 A1 B, 2 A2 B,... které na nich vyt´ınaj´ı ˇr´ıdic´ı pˇr´ımky, a také jejich p˚udorysy jsou stejnˇe dlouhé. Zvol´ıme-li na tvoˇric´ı pˇr´ımce g = AB libovolný bod M, pak pˇri pohybu bod˚u A, B po pˇr´ımkách a, b se bod M pohybuje v rovinˇe ⊥ o a probˇehne elipsu. T´ımto pohybem pˇr´ımky g vzniká zborcená plocha cˇ tvrtého stupnˇe a je kolmo soumˇerná podle rovin procházej´ıc´ıch ˇr´ıdic´ımi pˇr´ımkami a jejich osou o. V tˇechto rovinách soumˇernosti leˇz´ı také torzáln´ı pˇr´ımky plochy. Nahrad´ıme-li kuˇzelovou ˇr´ıdic´ı plochu vlastn´ı kruˇznic´ı c tak, aby jej´ı stˇred leˇzel na ose mimobˇezˇ ek a, b a je-li jej´ı rovina kolmá k této ose, z˚ustane plocha opˇet soumˇerná podle rovin ao, bo, v nichˇz leˇz´ı opˇet torzáln´ı pˇr´ımky. Podobnˇe jako u pˇredcházej´ıc´ı plochy i zde je nevlastn´ı pˇr´ımka roviny π izolovanou dvojnou pˇr´ımkou plochy, a proto prot´ınaj´ı roviny rovnobˇezˇ né s π plochu opˇet v elipsách. ˇ asti takto definované plochy lze pouˇz´ıt jako stˇrechy, jej´ızˇ okapovou hranou je C´ kruˇznice nebo elipsa v horizontáln´ı rovinˇe a jej´ızˇ hˇreben tvoˇr´ı vodorovná u´ seˇcka ˇr´ıdic´ı pˇr´ımky a, která je kratˇs´ı neˇz s n´ı rovnobˇezˇ ný pr˚umˇer okapové kuˇzeloseˇcky. Tˇechto stˇrech, tzv. helmic se ve stˇredovˇeku hodnˇe pouˇz´ıvalo k zastˇreˇsen´ı hrad˚u a také u lidových staveb, zejména u dˇrevˇených zvonic. Na Moravˇe je obecnˇe ˇ známá Strambersk´ a trúba, jej´ızˇ stˇrecha je na obr. 1.42. Povrchové pˇr´ımky zborcené plochy tvoˇr´ı krokve v konstrukci stˇrechy.

ˇ Obrázek 1.42: Strambersk´ a trúba


49

1.2.3 Konoidy Konoidy tvoˇr´ı poˇcetnou skupinu zborcených ploch. Konoid obsahuje tˇri ˇr´ıdic´ı cˇ a´ ry takové, zˇ e jedna z nich je vlastn´ı ˇr´ıdic´ı pˇr´ımkou c, a jedna ˇr´ıdic´ı pˇr´ımkou nevlastn´ı d (urˇcená obvykle rovinou α o nevlastn´ı pˇr´ımce d). Tˇret´ı ˇr´ıdic´ı u´ tvar k ( kruˇznice, elipsa,...) urˇcuje druh konoidu. Je-li k pˇr´ımka, je konoid stupnˇe 2. Je to nejjednoduˇssˇ´ı konoid a sice jde o hyperbolický paraboloid (viz. str. 40) Tvoˇr´ıc´ı pˇr´ımky konoid˚u maj´ı tyto vlastnosti: • jsou rovnobˇezˇ né s ˇr´ıdic´ı rovinou α • prot´ınaj´ı ˇr´ıdic´ı pˇr´ımku c • prot´ınaj´ı ˇr´ıdic´ı kˇrivku k Podle druhu ˇr´ıdic´ı kˇrivky k rozliˇsujeme konoidy kruhové, eliptické, parabolické,... apod. Jestliˇze je ˇr´ıdic´ı pˇr´ımka c kolmá na ˇr´ıdic´ı rovinu, mluv´ıme o pˇr´ımém konoidu v opaˇcném pˇr´ıpadˇe o konoidu kosém. 1.2.3.1 Pˇr´ımý kruhový konoid Je dán ˇr´ıdic´ı kruˇznic´ı k, ˇr´ıdic´ı pˇr´ımkou c a ˇr´ıdic´ı rovinou α, danou nevlastn´ı pˇr´ımkou d (obr. 1.43).

Obrázek 1.43: Kruhový konoid Je to plocha cˇ tvrtého stupnˇe se cˇ tyˇrmi torzáln´ımi rovinami, z nichˇz dvˇe jsou svislé roviny teˇcné k ˇr´ıdic´ı kruˇznici k, dalˇs´ı dvˇe jsou opˇet teˇcné roviny procházej´ıc´ı ˇr´ıdic´ı pˇr´ımkou.


50

Kaˇzdá rovina prot´ıná obecnˇe konoid v rovinné kˇrivce cˇ tvrtého stupnˇe. Procház´ıli rovina tvoˇr´ıc´ı pˇr´ımkou, je ˇrezem kubika. Roviny rovnobˇezˇ né s rovinou ˇr´ıdic´ı kruˇznice prot´ınaj´ı konoid v elipsách. Tento konoid se vyuˇz´ıvá pˇredevˇs´ım k zastˇreˇsen´ı budov kruhového p˚udorysu, jelikoˇz jehoˇz ˇr´ıdic´ı kˇrivkou je kruˇznice. Prvn´ı konoidové stˇrechy vznikly ve Francii v dobˇe, kdy v geometrických tvarech skoˇrepin pˇrevaˇzovaly rotaˇcn´ı a válcové plochy. Tento geometrický tvar skoˇ ˇrepinové konstrukce naˇsel sˇiroké uplatnˇen´ı v CSSR, Itálii a pˇredevˇs´ım v Polsku. V posledn´ıch letech vˇsak ztrác´ı sv˚uj význam. Na obr. 1.44 je zakreslen pohled na cˇ a´ st parabolického pˇr´ımého konoidu, ˇ ıdic´ı parabolu tvoˇr´ı nosn´ık ve svislé pouˇzitého ke chránˇen´ı vchodu do budovy. R´ rovinˇe α, rovnobˇezˇ né s pr˚ucˇ elnou stˇenou v budovy, ˇr´ıdic´ı pˇr´ımku pak vhodnˇe volená a u´ cˇ elu vyhovuj´ıc´ı horizontáln´ı pˇr´ımka d ⊂ α. Klenba je ukonˇcena ˇrezem rovinou β, která je urˇcena stopou AB roviny ˇr´ıdic´ı paraboly a bodem C na torzáln´ı pˇr´ımce konoidu (vrcholové pˇr´ımce klenby).

Obrázek 1.44: Parabolický konoid pouˇzitý ke chránˇen´ı vchodu do budovy Zvlásˇt’ výhodné je uˇzit´ı pˇr´ımých konoid˚u pˇri ˇreˇsen´ı tzv. pilových stˇrech, tj. kleneb, které vzniknou vhodným ˇrazen´ım stejných prvk˚u. Na obr. (1.46) je zakreslen pohled na pilovou stˇrechu, k jej´ızˇ konstrukci bylo pouˇzito cˇ a´ st´ı pˇr´ımých konoid˚u. Na horn´ım obrázku jde o konoidy kruhové, u spodˇ n´ıho o parabolické. Razen´ ı je moˇzné provést ˇradou jiných zp˚usob˚u, podle toho, k jakému u´ cˇ elu je prostor zakrytý stˇrechou vytvoˇren.


51

Obrázek 1.45: Pilová stˇrecha z cˇ a´ st´ı pˇr´ımých konoid˚u Na následuc´ım obrázku m˚uzˇ eme vidˇet podobné zastˇreˇsen´ı konoidem. Tato konoidová stˇrecha zdob´ı zˇ elezniˇcn´ı stanici Oxford Road v Manchesteru ve Velké Británii. Je vytvoˇrena ˇrazen´ım tˇr´ı konoid˚u za sebe.

Obrázek 1.46: Stanice Oxford Road v Manchesteru

Kapitola 2 Translaˇcn´ı plochy Translaˇcn´ı plochy vznikaj´ı posouván´ım dané tvoˇr´ıc´ı kˇrivky a tak, zˇ e jej´ı pevný bod prob´ıhá pˇri tomto rovnobˇezˇ ném posuvu danou (pevnou) ˇr´ıdic´ı kˇrivku b. Rovnobˇezˇ ným posunem rozum´ıme takový pohyb v prostoru, pˇri kterém kaˇzdý jej´ı bod opisuje kˇrivku shodnou s danou ˇr´ıdic´ı kˇrivkou b (obr. 2.1).

Obrázek 2.1: Vytvoˇren´ı translaˇcn´ı plochy

52

ˇ Í PLOCHY KAPITOLA 2. TRANSLA CN

53

Posunut´ı je urˇceno dvojic´ı bod˚u: vzorem P a obrazem Q (obr.2.2).

Obrázek 2.2: Rovnobˇezˇ né posunut´ı τ : P → Q Definice 5. Plocha Φ je translaˇcn´ı, jestliˇze existuj´ı kˇrivky a, b plochy Φ, maj´ıc´ı spoleˇcný bod P, takové, zˇ e obraz aτ kˇrivky a v kaˇzdém posunut´ı τ : P → Q, kde Q ∈ b, leˇz´ı na Φ a kaˇzdým bodem z Φ procház´ı obraz kˇrivky a v nˇekterém takovémto posunut´ı. Kˇrivka a se nazývá tvoˇr´ıc´ı, b ˇr´ıdic´ı. Pˇredpokládejme, zˇ e je dána translaˇcn´ı plocha Φ s tvoˇr´ıc´ı kˇrivkou a a ˇr´ıdic´ı kˇrivkou b, které maj´ı spoleˇcný bod P. Mˇejme libovolný bod Q0 ∈ bξ , kde ξ je posunut´ı ξ : P → R, kde R ∈ a, je kˇrivka plochy Φ. Protoˇze ξ je bijektivni zobrazeni prostoru, existuje na b jediný vzor Q bodu Q0 , tj. Q0 = Qξ . Je-li τ : P → Q, pak podle definice leˇz´ı kˇrivka aτ na Φ. Z vlastnost´ı posunut´ı plyne, zˇ e Rτ = Q0 , tedy Q0 ∈ aτ a z toho Q0 ∈ Φ. Plat´ı tedy bξ ⊂ Φ a tedy obraz bξ kˇrivky b v posunut´ı ξ : P → R, kde R ∈ a je kˇrivka plochy Φ. Rovnobˇezˇ ným posouván´ım kˇrivky a po kˇrivce b a opaˇcnˇe z´ıskáme na takto vzniklé translaˇcn´ı ploˇse Φ dvˇe soustavy kˇrivek, pˇriˇcemˇz kaˇzdá soustava se skládá z navzájem shodných kˇrivek. Pokud oznaˇc´ıme [a] mnoˇzinu obraz˚u kˇrivky a ve vˇsech posunut´ıch τ : P → Q, Q ∈ b a [b] mnoˇzinu obraz˚u kˇrivky b v posunut´ıch ξ : P → R, R ∈ a, pak [a] ∪ [b] je s´ıt´ı na ploˇse Φ, tedy bodem na Φ procház´ı právˇe jedna kˇrivka z [a] a právˇe jedna kˇrivka z [b]. Libovolné dvˇe kˇrivky a0 ∈ [a], b0 ∈ [b] m˚uzˇ eme povaˇzovat za tvoˇr´ıc´ı a ˇr´ıdic´ı kˇrivky plochy Φ. Plochu Φ m˚uzˇ eme vytvoˇrit i opaˇcnˇe, posouván´ım neboli translac´ı kˇrivky b jako tvoˇr´ıc´ı po kˇrivce a jako ˇr´ıdic´ı. Kaˇzdým bodem plochy procház´ı jedna tvoˇr´ıc´ı a jedna ˇr´ıdic´ı kˇrivka, jejich teˇcny v uvaˇzovaném bodˇe urˇcuj´ı pˇr´ısluˇsnou teˇcnou rovinu. Podle ˇr´ıdic´ı kˇrivky se dotýká plochy válcová plocha, jej´ızˇ povrchové pˇr´ımky jsou teˇcnami tvoˇr´ıc´ıch kˇrivek a naopak.


54

Translaˇcn´ı plochu lze vytvoˇrit i jinak (obr. 2.3): V prostoru zvol´ıme dvˇe kˇrivky a0 , b0 . Na kˇrivce b0 zvolme bod B0 . Kˇrivku a z´ıskáme tak, zˇ e spoj´ıme stˇredy vˇsech u´ seˇcek vedených mezi bodem B0 a body A0 , 1 A0 , ... kˇrivky a0 . Posouván´ım bodu B0 po kˇrivce b0 do poloh 1 B0 , 2 B0 , ... z´ıskáme kuˇzelové plochy a na nich kˇrivky shodné s kˇrivkou a, která je podobná kˇrivce a0 . Proto kˇrivky a, 1 a, 2 a, ... jsou shodné a v prostoru shodnˇe poloˇzené. Bod A kˇrivky a pˇritom opisuje kˇrivku b, která je mnoˇzinou stˇred˚u u´ seˇcek, urˇcených bodem A0 a kˇrivkou b0 . Takto vznikne plocha translaˇcn´ı o ˇr´ıdic´ı kˇrivce b a tvoˇr´ıc´ı kˇrivce a. Odvodili jsme, zˇ e mnoˇzinou stˇred˚u vˇsech u´ seˇcek, jejichˇz koncové body A0 , B0 leˇz´ı na dvou kˇrivkách a0 , b0 je plocha translaˇcn´ı. Kˇrivky a0 , b0 se nesm´ı skládat z navzájem rovnobˇezˇ ných u´ seˇcek.

Obrázek 2.3: Vytvoˇren´ı translaˇcn´ı plochy

Stupeˇn translaˇcn´ı plochy, jej´ızˇ ˇr´ıdic´ı a tvoˇric´ı kˇrivky jsou algebraickými kˇrivkami stupˇnu˚ m, n je roven mn.

2.1 Plochy válcové Je-li jedna z obou kˇrivek a, b pˇr´ımkou, je translaˇcn´ı plocha obecnou válcovou plochou (viz. kap. 2)

2.2 Translaˇcn´ı plochy kuˇzeloseˇckovo-kuˇzeloseˇckové Z translaˇcn´ıch ploch se k zastˇreˇsen´ı nejˇcastˇeji uˇz´ıvaj´ı ty, jejichˇz ˇr´ıdic´ımi i tvoˇr´ıc´ımi kˇrivkami jsou kuˇzeloseˇcky. Tyto plochy se nazývaj´ı kuˇzeloseˇckovo-kuˇzeloseˇckové


55

a jsou stupnˇe 4. Vytvoˇr´ı posouván´ım kuˇzeloseˇcky a roviny α tak, zˇ e jeden jej´ı bod P prob´ıhá kuˇzeloseˇcku b v rovinˇe β. Je-li ˇr´ıdic´ı i tvoˇr´ıc´ı kˇrivka stˇredová kuˇzeloseˇcka, je také vytvoˇrená plocha translaˇcn´ı plocha stˇredová.

Obrázek 2.4: Kuˇzeloseˇckovo-kuˇzeloseˇcková translaˇcn´ı plocha ˇ Rezem plochy rovinou, která je rovnobˇezˇ ná s rovinou ˇr´ıdic´ı nebo tvoˇr´ıc´ı kˇrivky ˇ je tvoˇr´ıc´ı nebo ˇr´ıdic´ı kˇrivka. Rezem plochy rovinou, která je kolmá na roviny ˇr´ıdic´ı a tvoˇr´ıc´ı kˇrivky je obecnˇe kuˇzeloseˇcka. Je-li rovina teˇcná, jde o kuˇzeloseˇcku singulárn´ı (bod, dvˇe r˚uznobˇezˇ ky,...), v ostatn´ıch pˇr´ıpadech jde o kuˇzeloseˇcku regulárn´ı (elipsa, kruˇznice, hyperbola, parabola). Ve stavebn´ı praxi poskytuje pouˇzit´ı translaˇcn´ıch ploch nesporné výhody. Napˇr. konstrukci skruˇz´ı a t´ım i celého bednˇen´ı lze provést sériovˇe, nebot’ ˇr´ıdic´ı a podobnˇe tvoˇr´ıc´ı cˇ a´ ry jsou shodné. Pˇri zakryt´ı velkých prostor˚u se pouˇz´ıvá jen cˇ a´ st´ı, a to nejˇcastˇeji právˇe kuˇzeloseˇckovo-kuˇzeloseˇckových ploch tak, aby kuˇzeloseˇcky tvoˇr´ıc´ı a ˇr´ıdic´ı mˇely vˇetˇs´ı pr˚umˇery neˇz strany obdéln´ıkového p˚udorysu, který zastˇreˇsujeme. Nejv´ıce se pouˇz´ıvaj´ı translaˇcn´ı plochy kruhovo-eliptické nebo kruhovo-parabolické, protoˇze volbu ˇr´ıdic´ıch oblouk˚u lze dobˇre pˇrizp˚usobit u´ cˇ elu klenby. ˇ Razen´ ım kruhovo-parabolických translaˇcn´ıch ploch lze zakrýt rozsáhlé prostory, aniˇz mezi jednotlivými prvky vzniknou neˇza´ douc´ı vodorovná u´ zˇ lab´ı. Pr˚unik dvou translaˇcn´ıch ploch kuˇzeloseˇckovo-kuˇzeloseˇckových se pouˇz´ıvá jako kˇr´ızˇ ová klenba. Jako pˇr´ıklad zastˇreˇsen´ı translaˇcn´ı plochou bych uvedla stˇrechu na budovˇe Smithfield Poultry Market Hall v Londýnˇe (obr. 2.5). Jedná se o elipticko-parabolickou translaˇcn´ı plochu.


56

Obrázek 2.5: Smithfield Poultry Market Hall

Nˇekolik translaˇcn´ı ploch kruhovo-eliptických bylo pouˇzito k zastˇreˇsen´ı spoleˇcnosti Rubber Company, vyrábˇej´ıc´ı pryˇz ve Walesu (obr. 2.6).

Obrázek 2.6: ”Rubber Company” ve Walesu

Kapitola 3 Kl´ınové plochy Kl´ınové plochy jsou zobecnˇen´ım translaˇcn´ıch ploch. V pˇr´ıpadˇe kl´ınových ploch se ale tvoˇr´ıc´ı kˇrivka pˇri posunu po ˇr´ıdic´ı kˇrivce spojitˇe afinnˇe transformuje.

Obrázek 3.1: Kl´ınová plocha

Mˇejme dány tˇri navzájem kolmé roviny π, ν, µ, a v µ, ν kˇrivky m, n, které maj´ı spoleˇcný bod R. Kl´ınová plocha (tvoˇrená kˇrivkami m, n) je vytvoˇrena vˇsemi kˇrivkami, které leˇz´ı v rovinách rovnobˇezˇ ných s µ, prot´ınaj´ı m a jejichˇz pravoúhlé pr˚umˇety do µ odpov´ıdaj´ı kˇrivce n v pravoúhlé perspektivn´ı afinitˇe o ose x = π ∩ µ. 57

KAPITOLA 3. KL ÍNOV E´ PLOCHY

58

Kˇrivku m nazveme tvoˇr´ıc´ı, n rˇ´ıdic´ı kˇrivkou plochy a rovinu π jej´ı základn´ı rovinou. Rovina α k µ prot´ıná kl´ınovou plochu v kˇrivce 1 n. Jej´ı pravoúhlý pr˚umˇet 1 n0 do roviny µ odpov´ıdá kˇrivce n v perspektivn´ı afinitˇe o ose x = π∩µ, ve které R −→ A0 , kde A0 je pr˚umˇet pr˚useˇc´ıku A roviny α s kˇrivkou m do µ. Vˇsechny pr˚useˇc´ıky kˇrivek i n se základn´ı rovinou π leˇz´ı na u´ seˇcce MN (obr. 3.1). Vezmeme-li rovinu β k ν a najdeme ˇrez plochy touto rovinou, dostaneme kˇrivku 1 m. Tato kˇrivka prot´ıná vˇsechny kˇrivky i n. Pravoúhlý pr˚umˇet kˇrivky 1 m do roviny ν je obrazem kˇrivky m v pravoúhlé perspektivn´ı afinitˇe o ose x = π ∩ ν. Podobnˇe jako na translaˇcn´ıch, existuj´ı také na kl´ınových plochách dvˇe navzájem rovnoprávné soustavy kˇrivek; [m] jsou kˇrivky afinn´ı s kˇrivkou m a [n] jsou kˇrivky afinn´ı s kˇrivkou n. Kaˇzdým bodem plochy procház´ı tedy jedna cˇ a´ ra afinn´ı ke kˇrivce n a leˇz´ıc´ı v rovinˇe x = α k µ a jedna cˇ a´ ra afinn´ı ke kˇrivce m, leˇz´ıc´ı v rovinˇe x = β k ν. Je-li osa perspektivn´ı afinity nevlastn´ı, pak kl´ınová plocha je plochou translaˇcn´ı. Teˇcnou rovinu v libovolném bodˇe plochy urˇc´ıme teˇcnami ˇr´ıdic´ı a tvoˇr´ıc´ı kˇrivky, které uvaˇzovaným bodem procházej´ı. Z afinn´ıho vztahu soustavy kˇrivek i n a i m je zˇrejmé, zˇ e teˇcny k jedné soustavˇe [m] afinn´ıch kˇrivek plochy ve vˇsech bodech kˇrivky n, které patˇr´ı druhé soustavˇe, prot´ınaj´ı základn´ı rovinu π v pˇr´ımce.

Obrázek 3.2: Teˇcny k soustavˇe kˇrivek [m] prot´ınaj´ı základn rovinu v pˇr´ımce MN


59

Teˇcny ke kˇrivkám prvn´ı osnovy v pr˚useˇc´ıc´ıch s kˇrivkou druhé osnovy vytváˇrej´ı konoid s ˇr´ıdic´ı rovinou, která je rovnobˇezˇ ná s rovinami kˇrivek prvn´ı osnovy a s ˇr´ıdic´ı pˇr´ımkou v základn´ı rovinˇe (obr. 3.2). Prvn´ı kl´ınové plochy zaˇcal pouˇz´ıvat Felix Candela napˇr. pˇri zastˇreˇsen´ı laboratoˇre kosmického výzkumu na univerzitˇe v Mexico city z roku 1951 (obr. 3.3). Tehdy jeˇstˇe vˇsak pro konstrukce kl´ınových ploch nebyla známá zˇ a´ dná teorie, a proto ˇreˇsil konstrukce pouze intuitivnˇe.

Obrázek 3.3: Laboratoˇr kosmického výzkumu - Mexico City

Dále se na vzniku terie kl´ınových ploch pod´ılel Bedˇrich Hacar. Ve stavitelsv´ı hodnˇe pouˇz´ıvaná plocha hyperbolického paraboloidu má výborné statické vlastnosti a zaj´ımavý tvar. Jej´ı nevýhodou vˇsak je, zˇ e na vodorovnou rovinu dosedá v oblouc´ıch hyperboly. Snaha o zachován´ı dobrých statických vlastnost´ı plochy, která je tvoˇrená ˇr´ıdic´ı a tvoˇr´ıc´ı parabolou vedla Hacara k vytvoˇren´ı speciáln´ıho typu plochy, Hacarovy plochy. Tato plocha je velmi podobná hyperbolickému paraboloidu, ovˇsem na vodorovnou rovinu dosedá m´ısto hyperboly dvˇema pˇr´ımkami. Na obr. 3.4 to jsou pˇr´ımky MN, KL.


60

Obrázek 3.4: Hacarova plocha

Hacarova plocha vedla ke zobecnˇen´ı, které provedl Frantiˇsek Kadeˇra´ vek. Plochy nazval kl´ınové plochy.

Kapitola 4 Rotaˇcn´ı plochy Definice 6. Rotaˇcn´ım pohybem kolem tzv. osy rotace o rozum´ıme pohyb, pˇri kterém libovolný bod B, neleˇz´ıc´ı na ose o vytváˇr´ı tzv. kruˇznici otácˇ en´ı bodu B, neboli rovnobˇezˇ kovou kruˇznici, leˇz´ıc´ı v rovinˇe kolmé k ose o, se stˇredem na ose o. Rovina kruˇznice je tzv. rovina otácˇ en´ı bodu B a vzdálenost B od stˇredu je tzv. polomˇer otácˇ en´ı bodu B.

Obrázek 4.1: Vytvoˇren´ı rotaˇcn´ı plochy; h’ - rovn´ık, m - meridián, h -rovnobˇezˇ ka, t - teˇcna k meridiánu, u - teˇcna k rovnobˇezˇ ce

61

ˇ Í PLOCHY KAPITOLA 4. ROTA CN

62

Definice 7. Rotaˇcn´ı plocha vzniká rotac´ı kˇrivky k okolo osy rotace o, za pˇredpokladu, zˇ e kˇrivka k neleˇz´ı v ose o a zˇ e - je-li k rovinnou kˇrivkou - nen´ı jej´ı rovina kolmá k ose o (obr. 4.1). Kruˇznice otácˇ en´ı jednotlivých bod˚u kˇrivky se nazývaj´ı rovnobˇezˇ kové kruˇznice (rovnobˇezˇ ky). Nejvˇetˇs´ı z rovnobˇezˇ ek je rovn´ık, maj´ı-li sousedn´ı rovnobˇezˇ ky, leˇz´ıc´ı na obou jejich stranách menˇs´ı polomˇery. Rovnobˇezˇ ka nejmenˇs´ıho polomˇeru se nazývá hrdlo, nebo hrdlová kruˇznice, maj´ı-li naopak sousedn´ı rovnobˇezˇ ky, leˇz´ıc´ı po obou jejich stranách, vˇetˇs´ı polomˇery. ˇ m rotaˇcn´ı plochy rovinou ν procházej´ıc´ı osou rotace o je meridiánem (poRez ledn´ıkem) plochy. Soustava Σr rovnobˇezˇ ek a soustava Σm poledn´ık˚u vytvoˇr´ı na rotaˇcn´ı ploˇse ortogonáln´ı s´ıt’ kˇrivek, pˇriˇcemˇz kaˇzdým bodem plochy procház´ı po jedné kˇrivce obou soustav. T´ım je usnadnˇena konstrukce teˇcné roviny v bodˇe plochy. Teˇcná rovina rotaˇcn´ı plochy je urˇcena teˇcnou t k meridiánu m a teˇcnou u k rovnobˇezˇ ce h procházej´ıc´ı uvaˇzovaným bodem. Vzhledem k ortogonalitˇe soustav Σr a Σm jsou i teˇcny t a u navzájem kolmé. Teˇcna t prot´ıná osu o v bodˇe V. Jej´ı rotac´ı vzniká rotaˇcn´ı kuˇzelová plocha dotýkaj´ıc´ı se rotaˇcn´ı plochy podél odpov´ıdaj´ıc´ı j´ı rovnobˇezˇ ky. V bodech rovn´ıku nebo hrdlové kruˇznice pˇrejde tato plocha v plochu válcovou. Pokud je teˇcna meridiánu v uvaˇzovaném bodˇe kolmá k ose rotace, pˇrejde teˇcná kuˇzelová plocha v teˇcnou rovinu. Rotaˇcn´ı kuˇzelovou nebo válcovou plochu, která vznikne rotac´ı teˇcny meridiánu, nazýváme dotykovou kuˇzelovou nebo válcovou plochou podél rovnobˇezˇ ky vytvoˇrené odpov´ıdaj´ıc´ım bodem. Druhy rotaˇcn´ıch ploch: Rotac´ı pˇr´ımky p kolem osy o se vytvoˇr´ı tyto plochy: • rotaˇcn´ı válcová plocha — je-li tvoˇr´ıc´ı pˇr´ımka rovnobˇezˇ ná s osou • rotaˇcn´ı kuˇzelová plocha — prot´ıná-li tvoˇr´ıc´ı pˇr´ımka osu • rotaˇcn´ı pˇr´ımkový (jednod´ılný nebo zborcený) hyperboloid — pˇr´ımka a osa jsou mimobˇezˇ né Rotac´ı kuˇzeloseˇcky k kolem osy o se vytvoˇr´ı tyto plochy: • kulová plocha — otácˇ en´ım kruˇznice kolem jej´ıho pr˚umˇeru • anuloid — otácˇ en´ım kruˇznice leˇz´ıc´ı v rovinˇe osy rotace, kterou neprot´ıná • rotaˇcn´ı elipsoid — otácˇ en´ım elipsy kolem hlavn´ı nebo vedlejˇs´ı osy


63

• rotaˇcn´ı paraboloid — otácˇ en´ım paraboly kolem své osy • rotaˇcn´ı jednod´ılný hyperboloid — otácˇ en´ım hyperboly kolem jej´ı vedlejˇs´ı osy • rotaˇcn´ı dvojd´ılný hyperboloid — otácˇ en´ım hyperboly kolem jej´ı hlavn´ı osy Rovnice uvedených ploch kromˇe anuloidu jsou druhého stupnˇe, proto jim ˇr´ıkáme rotaˇcn´ı plochy druhého stupnˇe cˇ ili rotaˇcn´ı kvadriky. Rotac´ı obecné kˇrivky k kolem osy o se vytvoˇr´ı rotaˇcn´ı obecná plocha.

4.1 Rotaˇcn´ı kvadriky Rotaˇcn´ı kvadrika vzniká rotac´ı kuˇzeloseˇcky kolem jej´ı osy. Je-li kuˇzeloseˇcka regulárn´ı (singulárn´ı), je také pˇr´ısluˇsná kvadrika regulárn´ı (singulárn´ı). Rotac´ı singulárn´ıch kuˇzeloseˇcek vznikne: • rotaˇcn´ı válcová plocha — nechali bychom kolem osy z rotovat pˇr´ımku leˇz´ıc´ı v rovinˇe yz o rovnici y = b a dospˇeli bychom k rovnici x 2 y2 + = 1 (viz. str. 27) nebo b2 b2 • rotaˇcn´ı kuˇzelová plocha — nechali bychom kolem osy z rotovat pˇr´ımku c leˇz´ıc´ı v rovinˇe yz o rovnici z = y a dospˇeli bychom k rovnici b x 2 y 2 z2 + − = 0 (viz. str. 30) b2 b2 c2 Pr˚useˇc´ıky osy rotace s rotaˇcn´ı kvadrikou jsou vrcholy plochy. Je-li kuˇzeloseˇcka k stˇredová, pak je také pˇr´ısluˇsná kvadrika stˇredová a jej´ım stˇredem je stˇred kuˇzeloseˇcky k. Rotaˇcn´ı kvadriky dˇel´ıme jednak podle druhu rotuj´ıc´ı kuˇzeloseˇcky, jednak podle toho, která jej´ı osa je osou rotace.

Elipsoid Rotac´ı elipsy kolem jej´ı osy rotace vzniká rotaˇcn´ı elipsoid. V pˇr´ıpadˇe rotace kolem hlavn´ı osy vzniká tzv. protáhlý elipsoid, v pˇr´ıpadˇe rotace kolem vedlejˇs´ı osy vzniká tzv. zploˇstˇelý elipsoid. Elipsoid v základn´ı poloze vznikne rotac´ı elipsy leˇz´ıc´ı v rovinˇe yz se stˇredem v poˇca´ tku a osami v souˇradných osách kolem osy z. Tvoˇr´ıc´ı elipsa, která je souˇcasnˇe meridiánem rotaˇcn´ı plochy, je popsána rovnic´ı y2 z2 + = 1. b2 c2

(4.1)


64

Rovnice elipsoidu, který vznikne rotac´ı elipsy o rovnici (4.1) kolem své osy (osa z) má tvar x 2 y 2 z2 + + = 1. b2 b2 c2

Obrázek 4.2: Rotaˇcn´ı elipsoid Pro b > c > 0 (osa z je vedlejˇs´ı osou) dostaneme zploˇstˇelý rotaˇcn´ı elipsoid a pro 0 < b < c (osa z je hlavn´ı osou) dostaneme protáhlý rotaˇcn´ı elipsoid. V pˇr´ıpadˇe b = c bychom dostali kulovou plochu.

Obrázek 4.3: Rotaˇcn´ı elipsoid zploˇstˇelý a protáhlý


65

Oba elipsoidy jsou stˇredovými nepˇr´ımkovými kvadrikami, které neprot´ınaj´ı nevlastn´ı rovinu v reálné kuˇzeloseˇcce. Na ose rotace leˇz´ı vrcholy plochy, které jsou kruhovými body zat´ımco ostatn´ı body jsou eliptické. Rovinné ˇrezy obˇemi elipsoidy mohou být jen kruˇznice a elipsy. Elipsoid se pouˇz´ıvá k zastˇreˇsen´ı pˇredevˇs´ım kruhových, pˇr´ıpadnˇe eliptických p˚udorys˚u. Jako pˇr´ıklad zastˇreˇsen´ı elipsoidem bychom mohli uvést stavbu Assembly Hall v Illinois v USA (obr. 4.4). Jde o cˇ a´ st protáhlého elipsoidu na kruhovém p˚udorysu.

Obrázek 4.4: Rotaˇcn´ı protáhlý elipsoid pouˇzitý na Assembly hall Dalˇs´ım krásným pˇr´ıkladem pouˇzit´ı elipsoidu k zastˇreˇsen´ı je budova Opery v Beijingu (obr. 4.5). V tomto pˇr´ıpadˇe byl k zastˇreˇsen´ı eliptického p˚udorysu zploˇstˇelý elipsoid.

ˇ ınˇe Obrázek 4.5: Opera v Beijingu v C´


66

Kulová plocha Kulová plocha vznikne rotac´ı kruˇznice kolem svého pr˚umˇeru.

Obrázek 4.6: Kulová plocha

Rovnice kulové plochy jak bylo uvedeno dˇr´ıve je tvaru: x 2 + y 2 + z2 = b 2 . Kulová plocha je nepˇr´ımková stˇredová kvadrika, jej´ızˇ vˇsechny body jsou kruhové. Rovinným ˇrezem kulové plochy je vˇzdy kruˇznice. Zastˇreˇsen´ı budov cˇ a´ st´ı kulové plochy je docela cˇ asté. Pouˇz´ıvaj´ı se menˇs´ı i vˇetˇs´ı cˇ a´ sti, v nˇekterých pˇr´ıpadech dokonce i témˇeˇr celá kulová plocha. Jako pˇr´ıklad takového zastˇreˇsen´ı bych uvedla zastˇreˇsen´ı kinosálu Deoda v Paˇr´ızˇ i (obr. 4.7)

Obrázek 4.7: Kinosál Deoda v Paˇr´ızˇ i


67

Na následuj´ım obrázku je zobrazeno dalˇs´ı vyuˇzit´ı cˇ a´ sti kulové plochy k zastˇreˇsen´ı, a to na svˇetovˇe známé budovˇe Opery v Sydney v Austrálii.

Obrázek 4.8: Opera v Sydney Austrálie, k zastˇreˇsen´ı je uˇzito cˇ a´ st´ı kulových ploch

Rotaˇcn´ı paraboloid Rotaˇcn´ı paraboloid vytvoˇr´ıme rotac´ı paraboly o rovnici x2 − 2pz = 0 kolem osy z. Rovnice rotaˇcn´ıho paraboloidu má pak tvar x2 + y2 − 2pz = 0. Rotaˇcn´ı paraboloid je rotaˇcn´ı plocha, která se dotýká nevlastn´ı roviny v bodˇe, který je nevlastn´ım bodem jeho osy rotace. Vlastn´ı pr˚useˇc´ık paraboloidu s osou rotace nazýváme vrcholem paraboloidu. Paraboloid je nestˇredovou, nepˇr´ımkovou kvadrikou, jej´ızˇ body jsou eliptické aˇz na vrchol, který je kruhovým bodem. Rovinné ˇrezy rotaˇcn´ıho paraboloidu jsou paraboly a kruˇznice. Paraboly leˇz´ı v rovinách rovnobˇezˇ ných s osou rotace. Rotaˇcn´ı paraboloid má jediný vrchol V , je soumˇerný podle kaˇzdé roviny jdouc´ı jeho osou o. Spoleˇcné ohnisko vˇsech meridián˚u se nazývá ohnisko paraboloidu.


68

Obrázek 4.9: Rotaˇcn´ı paraboloid Vyuˇzit´ı rotaˇcn´ıho paraboloidu k zastˇreˇsen´ı nen´ı zas aˇz tak cˇ asté, sp´ısˇe se vyuzˇ´ıvá jako plocha satelit˚u, ale pˇrece jenom takové stavby najdeme. Tak napˇr´ıklad ho bylo pouˇzito k zastˇreˇsen´ı budovy Swiss Re Tower v centru Londýna jak ukazuje obr. 4.10.

Obrázek 4.10: Budova Swiss Re Tower v Londýnˇe, vpravo detail stˇrechy


69

Dalˇs´ı budovou, která je zastˇreˇsena rotaˇcn´ım paraboloidem je kostel v Oklahoma City, jehoˇz fotografie je na obr. 4.11. Tento kostel byl postaven v roce 1956.

Obrázek 4.11: ”Egg Church” v Oklahoma City

4.2 Anuloid Anuloid vzniká rotac´ı kruˇznice kolem osy leˇz´ıc´ı v jej´ı rovinˇe a neprocházej´ıc´ı jej´ım stˇredem. Zvol´ıme-li za poledn´ıkovou kˇrivku dvˇe soumˇerné kruˇznice, které jsou kolmé k ose otácˇ en´ı o, vytvoˇr´ı se jejich otácˇ en´ım plocha cˇ tvrtého stupnˇe.

Obrázek 4.12: Anuloid


70

V pravoúhlé souˇradnicové soustavˇe (O; x, y, z), pro niˇz z ≡ o a jej´ızˇ souˇradnicová rovina xy je rovinou stˇred˚u s tvoˇr´ıc´ıch kuˇznic, má anuloid rovnici: (x2 + y2 + z2 − r2 )2 = 4a2 (x2 + y2 ), kde r > 0 je polomˇer polomeridiánu a a > 0 je polomˇer kruˇznice s. Koncové body pr˚umˇer˚u poledn´ıkových kruˇznic, rovnobˇezˇ ných s osou otácˇ en´ı, prob´ıhaj´ı kruˇznice kráterové, podél nichˇz se dotýkaj´ı plochy dvˇe roviny kolmé k ose. Bod nejbliˇzsˇ´ı k ose popisuje hrdlo, které m˚uzˇ e pˇrej´ıt do bodu, dotýkaj´ı-li se poledn´ıkové kruˇznice osy o. Bod nejvzdálenˇejˇs´ı od osy prob´ıhá rovn´ık; v pˇr´ıpadˇe, zˇ e poledn´ıkové kruˇznice prot´ınaj´ı osu ve dvou bodech, jsou tyto body kuˇzelovými body plochy, která nemá hrdlo, ale má dvˇe rovn´ıkové kruˇznice. Rovinným ˇrezem anuloidu je obecnˇe kˇrivka cˇ tvrtého stupnˇe. Pˇr´ıklad zastˇreˇsen´ı anuloidem m˚uzˇ eme vidˇet na následuj´ıc´ı fotografii staniˇcn´ı haly.

Obrázek 4.13: Vlnité skoˇrepinové oblouky ve tvaru anuloidu na staniˇcn´ı hale v Tarzanˇe (USA)

4.3 Obecné rotaˇcn´ı plochy Rotaˇcn´ı plochy m˚uzˇ eme zevˇseobecnit. Pro plochu provedeme afinn´ı prostorové pˇretvoˇren´ı pro rovinu nˇekterého poledn´ıku (obr. 4.14 vlevo), t´ım pˇrejdou rovnobˇezˇ kové kruˇznice a, 1 a, 2 a, ... do vzájemnˇe podobných a podobnˇe poloˇzených


71

elips, které maj´ı své stˇredy na ose o. Shodné poledn´ıkové kˇrivky b, 1 b, 2 b, ... pˇrejdou do kˇrivek afinnˇe sdruˇzených, osa o bude pˇr´ısluˇsnou osou afinity.

Obrázek 4.14: Vytvoˇren´ı obecné rotaˇcn´ı plochy Roviny kˇrivek a, 1 a, ... plochy nemus´ı být kolmé k ose. Pro takto z´ıskané plochy plat´ı: Vˇeta 4.3.1. Kaˇzdé dvˇe kˇrivky soustavy b jsou poloˇzeny na dvou plochách válcových. Podél libovolné kˇrivky soustavy b se dotýká plochy válcová plocha, vyplnˇená teˇcnami kˇrivek a. Vˇeta 4.3.2. Kaˇzdé dvˇe kˇrivky soustavy a jsou poloˇzeny na dvou plochách kuzˇ elových, maj´ıc´ıch vrcholy v pˇr´ımce o. Podél kaˇzdé kˇrivky soustavy a se dotýká plochy plocha kuˇzelová, která má vrchol na pˇr´ımce o a je vyplnˇená teˇcnami kˇrivek b. Vzhledem k tomu, zˇ e afinn´ı transformac´ı se nemˇen´ı stupeˇn plochy, je plocha vytváˇrená v obr. 4.14 (vlevo) kˇrivkou b stupnˇe m − t eho ´ taky sama stupnˇe m − t eho. ´ Je zˇrejmé, zˇ e kˇrivky soustavy b maj´ı v pˇr´ımce o osu soumˇernosti.

Nahrazen´ı rovn´ıku kˇrivkou soumˇernou k ose plochy: Mˇejme dánu stˇredovˇe soumˇernou kˇrivku a, jej´ımˇz stˇredem O jde pˇr´ımka o kolmo k jej´ı rovinˇe. Zvolme v o dva body V , W , tak aby VO = WO a vytvoˇr´ıme plochu ρ jako souhrn elips maj´ıc´ıch v bodech V , W dva své vrcholy a dalˇs´ı dva v bodech kˇrivky a. Vzniklá plocha má stejné vlastnosti jako rotaˇcn´ı plochy, má dvˇe soustavy povrchových kˇrivek, jedny, kˇrivky b, podle osy o afinnˇe sdruˇzené, které,


72

neexistuj´ı-li reálné body V , W , jsou hyperbolami afinnˇe sdruˇzenými podle osy o. V rovinách rovnobˇezˇ ných s rovinou α kˇrivky a jsou k této podobné a podobnˇe poloˇzené kˇrivky soustavy a. Kaˇzdé dvˇe kˇrivky soustavy b lze poloˇzit na dvˇe plochy válcové, tedy prom´ıtnout jednu rovnobˇezˇ nˇe do druhé, v limitˇe se podle kˇrivky soustavy b dotýká plochy ρ plocha válcová vyplnˇená teˇcnami kˇrivek soustavy a. Kaˇzdé dvˇe kˇrivky soustavy a lze poloˇzit na dvˇe kuˇzelové plochy, jejichˇz vrcholy jsou v ose o a v mezn´ım pˇr´ıpadˇe je vidˇet, zˇ e se plochy ρ podél kˇrivky soustavy a dotýká kuˇzelová plocha s vrcholem v ose o a je vyplnˇená teˇcnami kˇrivek soustavy b. Kˇrivky soustavy a mus´ı být kˇrivkami stˇredovˇe soumˇernými. Je-li kˇrivka a slozˇ ena ze dvou kuˇzeloseˇcek resp. kruˇznic, vznikne plocha cˇ tvrtého stupnˇe. Kˇrivku a m˚uzˇ eme zvolit v algebraické epicykloidˇe nebo v hypocykloidˇe o sudém poˇctu vˇetv´ı, popˇr. ji nahradit ˇradou kruˇznic sudého poˇctu stejného polomˇeru, které se navzájem dotýkaj´ı a maj´ı stˇredy na kruˇznici. Jeli kˇrivka b elipsou, z´ıskaj´ı se plochy, které byly vyuˇzity napˇr. na makovic´ıch bánˇe kostela sv. Mikulásˇe v Praze (obr. 4.15).

Obrázek 4.15: Kostel sv. Mikulásˇe v Praze


73

Dále tyto plochy m˚uzˇ eme spatˇrit na Národn´ım divadle v Praze, kde zdob´ı konchy nik (obr. 4.16).

Obrázek 4.16: Národn´ı divadlo v Praze Nahrad´ımeli kuˇzeloseˇcky soustavy b kˇrivkami k ose o kolmo soumˇernými a mezi sebou afinnˇe sdruˇzenými podle pˇr´ımky o, z´ıskáváme nejobecnˇejˇs´ı typ, vybavený stejnými vlastnostmi jako pˇredcházej´ıc´ı plochy. 1 Pokud máme kˇrivku a stupnˇe n − t eho ´ (sudého), pˇrevedenou na soustavu n 2 1 soustˇredných kuˇzeloseˇcek, pˇrejde plocha v n ploch afinn´ıch k plochám rotaˇcn´ım 2 a maj´ıc´ım m − t y´ stupeˇn, je-li kˇrivka b stupnˇe m − t eho. ´ Z toho plyne, zˇ e stupeˇn 1 tˇechto ploch nesouc´ıch kˇrivky a n −t eho ´ a kˇrivky b m −t eho ´ stupnˇe je roven nm. 2 Plochy poslednˇe uvedeného typu zdob´ı velkolepé kupole islámských meˇsit a taky je jimi okrásˇlena známá katedrála Vasila Blaˇzeného v Moskvˇe (obr. 4.17). Dále ji najdeme na bán´ıch kostela sv. Mikulásˇe v Praze.


Obrázek 4.17: Katedrála Vasila Blaˇzeného v Moskvˇe

74

Závˇer S matematickými plochami se setkáváme v kaˇzdodenn´ım zˇ ivotˇe. Staˇc´ı se jen rozhlédnout kolem sebe. Nˇekteré jsou na pohled velice zaj´ımavé, jiné tˇreba ménˇ e. O nˇekteré ani okem nezavad´ıme, na jiné se nem˚uzˇ eme vynad´ıvat. ˇ asti ploch, vyuˇz´ıvané k zastˇreˇsen´ı mohou být sloˇzité i jednoduché, jak dokláC´ dá pˇredloˇzený text. Zat´ımco k zastˇreˇsen´ı cˇ lenitých p˚udorys˚u se cˇ asto pouˇz´ıvá té nejjednoduˇssˇ´ı plochy, tak ten nejjednoduˇssˇ´ı p˚udorys m˚uzˇ e být zastˇreˇsen plochou velice sloˇzitou. Pˇrestoˇze jsme se seznámili se vˇsemi moˇznými styly zastˇreˇsován´ı, existuje spousta dalˇs´ıch zp˚usob˚u zastˇreˇsen´ı vyuˇz´ıvaj´ıc´ıch ploch, které v textu zahrnuty nejsou. Existuj´ı nejr˚uznˇejˇs´ı tvarové kombinace stˇrech, které jsou sestavovány nejen z matematických, ale tˇreba i empirických ploch. Stˇreˇsn´ı plochy mohou být uspoˇra´ dány do nejr˚uznˇejˇs´ıch tvar˚u a umoˇznˇ uj´ı sˇiroké uplatnˇen´ı tv˚urˇc´ı fantazie. At’ uˇz je stˇrecha sestavená z cˇ a´ st´ı rovin nebo z podstatnˇe sloˇzitˇejˇs´ıch ploch, vˇzdy záleˇz´ı jen na autorovi, jak tvarovˇe zaj´ımavou ji vytvoˇr´ı.

75

Literatura [1] Rybiˇcka J.: Latex pro zaˇca´ teˇcn´ıky. Konvoj, Brno 1995 [2] Piska R.,Kowalski Z.: Deskriptivn´ı geometrie III. SNTL, Praha 1960 [3] Vala J.: Deskriptivn´ı geometrie, cˇ a´ st 1. Ediˇcn´ı stˇredisko VUT Brno, Brno 1988 [4] Vala J.: Deskriptivn´ı geometrie, cˇ a´ st 2. Ediˇcn´ı stˇredisko VUT Brno, Brno 1991 [5] Kadeˇra´ vek F.: Plochy stavebnˇe-inˇzenýrské praxe. Cesta k vˇedˇen´ı, Praha 1950 [6] Piska R., Medek V.: Deskriptivn´ı geometrie II. SNTL, Praha 1966 ˇ [7] Holánˇ S.,Hol´ anˇ ová L.: Cviˇcen´ı z deskriptivn´ı geometrie III - plochy stavebnˇe technické prax. Ediˇcn´ı stˇredisko VUT Brno, Brno 1988 [8] Urban A.: Deskriptivn´ı geometrie I. SNTL, Praha 1977 [9] Urban A.: Deskriptivn´ı geometrie II. SNTL, Praha 1979 [10] Jodidio P.: Souˇcasn´ı architekti. Nakladatelstvi Slovart, s.r.o., 2003 [11] Müller Z.: Brnˇenské výstaviˇstˇe - stavba stolet´ı. Veletrhy Brno, a.s., Brno 2003 [12] Drábek K., Harant F., Setzer O.: Deskriptivn´ı geometrie I. SNTL, Praha 1982 [13] Drábek K., Harant F., Setzer O.: Deskriptivn´ı geometrie II. SNTL, Praha 1979 [14] Parkyn N.: Sedmdesát div˚u svˇetové architektury a stavitelstv´ı. Slovart, s.r.o., 2003 76

LITERATURA

77

[15] Rühle H.: Priestorové streˇsné konˇstrukcie 1. Alfa, vydavatelstvo technickej a ekonomickej literatúry, n.p., Bratislava 1978 [16] Rühle H.: Priestorové streˇsné konˇstrukcie 2. Alfa, vydavatelstvo technickej a ekonomickej literatúry, n.p., Bratislava 1979 [17] Menˇs´ık M., Setzer O.: Deskriptivn´ı geometrie I. SNTL, Praha 1981

MASARYKOVA UNIVERZITA

Recommend Documents