MASARYKOVA UNIVERZITA PEDAGOGICKÁ FAKULTA Katedra matematiky
Zlomek v učivu matematiky 2. stupně základní školy
DIPLOMOVÁ PRÁCE BRNO 2012
Vedoucí diplomové práce RNDr. Růžena Blažková, CSc.
Vypracovala Karolina Janczyková
Bibliografický záznam JANCZYKOVÁ, Karolina. Zlomek v učivu matematiky 2. stupně základní školy : diplomová práce. Brno : Masarykova univerzita, Pedagogická fakulta, Katedra matematiky, 2012. 80 l., 86 l. příl. Vedoucí diplomové práce RNDr. Růžena Blažková, CSc.
2 / 86
Anotace V diplomové práci je zpracována problematika výuky zlomků na druhém stupni základní školy. V první části jsou uvedeny nezbytné teoretické poznatky k tomuto tématu související s budováním tělesa všech racionálních čísel. Ve druhé části je uveden jeden z možných didaktických přístupů k výuce učiva o zlomcích na základní škole. Poslední část diplomové práce uvádí výsledky statistického šetření, které bylo provedeno na základních školách.
Klíčová slova Racionální číslo, zlomek, početní operace se zlomky, výzkumné šetření, didaktický test.
Annotation The thesis is dedicated to the matter of teaching fractions at junior high school. In the first part of the work, you can find the necessary theoretical findings on this topic pertaining to the construction of the field of rational numbers. In the second part, a possible didactic approach to teaching fractions at the primary school is described. The last part of the thesis comprises of the results of a statistical survey performed at primary high schools.
Keywords Rational number, fraction, mathematical operations with fractions, experimental examination, didactic test
3 / 86
Prohlášení
Prohlašuji, že jsem diplomovou práci zpracovala samostatně a použila jen prameny uvedené v seznamu literatury. Souhlasím, aby práce byla uložena na Masarykově univerzitě v Brně v knihovně Pedagogické fakulty a zpřístupněna ke studijním účelům.
V Brně 20. dubna 2012 ........................................ Karolina Janczyková
4 / 86
Poděkování
Na tomto místě chci poděkovat RNDr. Růženě Blažkové, Csc. za odborné vedení práce a poskytnutou pomoc při zpracování diplomové práce. Dále děkuji učitelkám Mgr. Vieře Grendárové, PaeDr. Libuši Sekaninové a Mgr. Aleně Jemelkové za pomoc s výzkumným šetřením, cenné připomínky a rady. Děkuji rodičům, Tomášovi a všem přátelům za jejich podporu a pomoc během studia.
5 / 86
Obsah Úvod........................................................................................................................................8 1 Obor racionálních čísel.....................................................................................................10 1.1 Operace sčítání..........................................................................................................11 1.2 Operace násobení.......................................................................................................13 2 Historie pojmu zlomek......................................................................................................16 2.1 Egypt..........................................................................................................................16 2.2 Mezopotámie.............................................................................................................18 2.3 Řím............................................................................................................................18 2.4 Indie...........................................................................................................................19 2.5 Vývoj zápisu a početních operací se zlomky.............................................................20 3 Rámcový vzdělávací program...........................................................................................23 3.1 Vzdělávací oblast Matematika a její aplikace...........................................................23 3.2 Vzdělávací cíle..........................................................................................................24 3.3 Číslo a proměnná.......................................................................................................25 3.4 Klíčové kompetence..................................................................................................26 3.4.1 Kompetence k učení...........................................................................................26 3.4.2 Kompetence k řešení problémů.........................................................................27 3.4.3 Kompetence komunikativní...............................................................................27 3.4.4 Kompetence sociální a personální.....................................................................28 3.4.5 Kompetence občanské.......................................................................................29 3.4.6 Kompetence pracovní........................................................................................29 4 Zlomky..............................................................................................................................31 4.1 Zlomek jako část celku..............................................................................................31 4.2 Numerace ..................................................................................................................34 4.2.1 Krácení a rozšiřování zlomků............................................................................34 4.2.2 Rovnost zlomků, porovnávání zlomků..............................................................36 4.2.3 Smíšené číslo.....................................................................................................40 4.3 Zlomek jako naznačené dělení .................................................................................40 4.4 Početní operace se zlomky........................................................................................41 4.4.1 Sčítání zlomků...................................................................................................41 4.4.2 Odčítání zlomků.................................................................................................46 4.4.3 Násobení zlomků...............................................................................................50 4.4.4 Dělení zlomků....................................................................................................53 4.4.5 Vlastnosti operací sčítání a násobení racionálních čísel....................................56 4.5 Pomůcky a didaktické hry.........................................................................................58 5 Výzkumné šetření.............................................................................................................63 5.1 Cíl výzkumného šetření.............................................................................................63 5.2 Charakteristika statistického souboru........................................................................63 5.3 Metody výzkumu.......................................................................................................63 5.4 Hypotézy šetření........................................................................................................63 5.5 Výsledky výzkumného šetření...................................................................................64 5.5.1 Úloha č. 1: Rovnost desetinných čísel a zlomků ..............................................64 6 / 86
5.5.2 Úloha č. 2: Porovnávání zlomků ......................................................................65 5.5.3 Úloha č. 3.a: Početní operace se zlomky ........................................................67 5.5.4 Úloha č. 3.b: Úprava složeného zlomku ...........................................................68 5.5.5 Úloha č. 4: Slovní úloha ...................................................................................70 5.5.6 Celkové hodnocení ...........................................................................................73 5.6 Závěry........................................................................................................................74 Závěr.....................................................................................................................................76 Použitá literatura...................................................................................................................78 Seznam příloh........................................................................................................................81
7 / 86
Úvod Učivo o zlomcích je na základní škole jednou ze stěžejních částí tématického okruhu Číslo a proměnná. K pochopení pojmu zlomek jako racionálního čísla je třeba dlouhého časového úseku a postupného přechodu od konkrétních modelů zlomku jako části celku k pojmu zlomku jako reprezentantu racionálního čísla. Během výukové praxe jsem se já sama setkala s obtížemi, které činí žákům početní operace se zlomky, pochopení základních vztahů a souvislostí s desetinnými čísly, proto jsem se rozhodla zaměřit se ve své závěrečné práci na tuto oblast školské matematiky. Závěrečná práce je rozdělena do pěti kapitol. V první kapitole své práce popisuji obor racionálních čísel. Zabývám se zavedením množiny racionálních čísel z algebraického hlediska, vlastnostmi této množiny – reflexivitou, symetričností, tranzitivitou. Dále popisuji početní operace sčítání a násobení v této množině a zabývám se jejich vlastnostmi – komutativitou, asociativitou, distributivitou, zda v množině racionálních čísel existuje neutrální prvek vzhledem k operaci sčítání, násobení, zda existuje inverzní prvek vzhledem k operaci sčítání a násobení. Druhá kapitola mé práce se týká historie zlomků. V této části popisuji čtyři významná období, která výrazně ovlivnily vývoj pojmu zlomek, dále se zabývám vývojem početních operací se zlomky. Třetí kapitola obsahuje informace o Rámcovém vzdělávacím programu, o vzdělávací oblasti Matematika a její aplikace, o tématickém okruhu Číslo a proměnná v souvislosti učiva o zlomcích na druhém stupni základního vzdělávání. V dané části jsou popsány klíčové kompetence, které by měla vzdělávací oblast Matematika a její aplikace rozvíjet, dále jsou zde popsány výukové cíle, zvláště ty, které souvisí s učivem o racionálních číslech. Ve čtvrté kapitole popisuji význam zlomku – zlomek jako část celku, zlomek jako naznačené dělení, zlomek jako reprezentant racionálního čísla. Dále se zabývám numerací a početními operacemi se zlomky. Jsou zde uvedeny motivační úlohy a manipulativní 8 / 86
činnosti vedoucí k uvedení daného učiva, dále v jedné z podkapitol popisuji různé metody, pomůcky a didaktické hry, které mohou žáky zaujmout a motivovat. Některé z uvedených činností mohou být použity k opakování matematických vědomostí a dovedností týkajících se zlomků. V páté kapitole své práce vyhodnucuji pedagogický výzkum, jenž jsem uskutečnila na třech základních školách v Brně. V této části práce je uveden cíl výzkumného šetření, charakteristika statistického souboru, stanovené hypotézy a jejich potvrzení či vyvrácení. V rámci výzkumu jsem sestavila didaktický test obsahující elementární příklady se zlomky. Čerpala jsem z dostupné literatury – odborných článků a skript, ze školských učebnic pro sedmé třídy základních škol.
9 / 86
1 Obor racionálních čísel V historii se nejprve pracovalo s čísly přirozenými a s operací sčítání. Ve vývoji se v algebře vybudovala algebraická struktura - polookruh všech přirozených čísel ( ℕ , +, ⋅) . V množině všech přirozených čísel není možné bez omezení odčítat a dělit. Je potřeba danou algebraickou strukturu dále rozšířit na obor integrity všech celých čísel ( ℤ , + ,⋅) . V oboru integrity všech celých čísel lze bez omezení odčítat. V této struktuře však nelze bez omezení dělit, proto je nutné tuto algebraickou strukturu dále rozšířit na těleso všech racionálních čísel ( ℚ ,+,⋅) . V této struktuře již můžeme bez omezení dělit s výjimkou dělení nulou. Těleso všech racionálních čísel ( ℚ ,+,⋅) bylo vybudováno tak, aby mělo následující vlastnosti: •
aby se v něm počítalo podle stejných pravidel jako v oboru integrity ( ℤ , + ,⋅) ,
•
aby bylo možné považovat celá čísla za čísla racionální,
•
aby bylo možnévyjádřit každé racionální číslo pomocí čísel celých.1
„Komutativní těleso ( ℚ ,+,⋅) nazveme komutativním tělesem racionálních čísel právě tehdy, když platí: •
existuje podobor integrity ( ℤ∗,+ ,⋅) komutativního tělesa ( ℚ ,+,⋅) , který je izomorfní s oborem integrity ( ℤ , + ,⋅) všech celých čísel.
•
Každý prvek komutativního tělesa ( ℚ ,+,⋅) je možné vyjádřit jako podíl dvou prvků z podoboru integrity ( ℤ∗,+ ,⋅) .
Množina ℚ se nazývá množina racionálních čísel a její prvky racionální čísla.“2 Uvažujme dvě uspořádané dvojice α = [a, b], β = [c, d ] ∈ ℤ x ℤ − {0} a definujme relaci α ∼ β ⇔ a ⋅d = b ⋅c .3 1 srv. DRÁBEK, Jaroslav; VIKTORA, Václav. Základy elementární aritmetiky : pro učitelství 1. stupně ZŠ. Str. 208 2 DRÁBEK, Jaroslav; VIKTORA, Václav. Základy elementární aritmetiky : pro učitelství 1. stupně ZŠ. Str. 208 3 KUČERA, Radan; SKULA, Ladislav. Číselné obory. Str. 41
10 / 86
Dokážeme, že tato relace je reflexivní, symetrická a tranzitivní. Reflexivní: ∀ [a , b] ∈ ℤ x ℤ−0:
[a , b]∼[a , b] a⋅b=a⋅b
Symetrická: ∀ [a , b] ,[c , d ] ∈ ℤ x ℤ−0: [a , b]∼[c , d ]⇒ [c , d ]∼[a , b] (a⋅d =b⋅c)⇒ (c⋅b=d⋅a)
Tranzitivní: ∀ [a , b] ,[c , d ] , [e , f ] ∈ ℤ x ℤ−0: ([a , b]∼[c , d ]∧[c , d ]∼[e , f ])⇒ [a , b]∼[e , f ]
. Pokud platí a⋅d =b⋅c a zároveň platí c⋅ f =d⋅e
, potom platí a⋅ f =b⋅e . Aby byla zachována rovnost, tak platí a⋅d⋅c⋅f =b⋅c⋅d⋅e . Jelikož můžeme použít zákon o krácení, platí a⋅ f =b⋅e a daná rovnost platí právě tehdy, když platí a⋅ f =b⋅e ⇔[a ,b]∼[e , f ]
.
Relace ∼ tedy definuje rozklad množiny ℤ x ℤ−{0 } na třídy ekvivalence. Každou třídu ekvivalence nazveme racionálním číslem. V následující části této kapitoly se budeme se nyní zabývat operacemi sčítání a násobení a také jejich vlastnostmi.
1.1 Operace sčítání Na třídách ekvivalence definujeme užitím jejich reprezentantů operaci sčítání: [a , b]+[c , d ]∼[a⋅d+b⋅c , b⋅d ]
.4
Komutativita sčítání ∀[a , b], [c , d ] ∈ ℤ x ℤ− { 0 } : [a , b]+[c , d ] = [c , d ]+[a ,b]
Součet uspořádaných dvojic [a , b] + [c , d ] je ekvivalentní s [a⋅d+b⋅c , b⋅d ] . Součet uspořádaných dvojic [c , d ] + [a , b] je ekvivalentní s [c⋅b+d⋅a , d⋅b] . Jelikož je operace sčítání v množině celých čísel komutativní, proto platí [c⋅b+d⋅a , d⋅b]∼[b⋅c+a⋅d , b⋅d ] . Operace sčítání v množině ℤ x ℤ−0 je komutativní.
4 KUČERA, Radan; SKULA, Ladislav. Číselné obory. Str. 41
11 / 86
Asociativita sčítání ∀ [a , b] ,[c , d ] , [e , f ] ∈ ℤ x ℤ−0: [a , b] + ([c , d ] +[e , f ]) = ([a , b] + [c , d ]) + [e , f ]
Součet uspořádaných dvojic [a , b]+[c⋅f +d⋅e , d⋅ f ]
Součet
je ekvivalentní se součtem
. Daný součet lze dále sečíst a získáme [a⋅d⋅f +b⋅c⋅f +b⋅d⋅e ,b⋅d⋅ f ] .
uspořádaných
[a⋅d+b⋅c , b⋅d ]+[e , f ]
[a , b]+([c , d ]+[e , f ])
dvojic
([a , b]+[c , d ])+[e , f ]
je
ekvivalentní
se
součtem
, po sečtení získáváme [a⋅d⋅f +b⋅c⋅f +b⋅d⋅e ,b⋅d⋅f ] .
Operace sčítání v množině ℤ x ℤ−0 je asociativní.
Neutrální prvek ∃ [e , f ] ∈ ℤ x ℤ− {0 } : ∀ [a , b] ∈ ℤ x ℤ− { 0} : [a , b]+[e , f ]=[e , f ]+[a , b]=[a , b]
. Uspořádaná dvojice [e , f ] reprezentuje neutrální prvek
vzhledem k operaci sčítání. Součet uspořádaných dvojic [a , b ]+[e , f ] má být ekvivalentní s uspořádanou dvojicí [a , b]
, čili má platit následující ekvivalence [a⋅f +b⋅e ,b⋅f ]∼[a , b] . Aby tato ekvivalence
platila, musí platit podle předpisu, kterým je definovaná ekvivalence v množině ℤ x ℤ−0 , následující rovnost b⋅b⋅e=b⋅a⋅f −b⋅a⋅ f
b⋅b⋅e+b⋅a⋅ f =b⋅a⋅f
. Danou rovnost můžeme upravit na tvar
, jelikož množina celých čísel je uzavřená vzhledem k operaci odčítání.
Z toho plyne, že b⋅b⋅e=0 , kde b∈ℤ−{0 } , tj. nemůže být nulové, tím pádem je e=0 . Neutrálním prvkem vzhledem k operaci sčítání v množině ℤ x ℤ−{0 } je třída uspořádaných dvojic [0, f ] , kde první složka je nulá a f ≠0 .
Inverzní prvek ∀ [a , b] ∈ ℤ x ℤ−{0 } ∃ [i , j] ∈ ℤ x ℤ− { 0 } : [a ,b]+[i , j]=[i , j ]+[a , b]=[0, f ]
Uspořádaná dvojice [i , j] reprezentuje inverzní prvek vzhledem k operaci sčítání. Uspořádaná dvojice [0, f ] reprezentuje neutrální prvek vzhledem k operaci sčítání.
12 / 86
Součet uspořádaných dvojic [a , b]+[i , j ] má být ekvivalentní s neutrálním prvkem, tj. platí ekvivalence [a⋅j+b⋅i ,b⋅j ]∼[0, f ] . Aby byla tato ekvivalence platila, musí platit následující rovnost
f ⋅a⋅j + f ⋅b⋅i=b⋅j⋅0
. Danou rovnost upravíme na tvar
f⋅a⋅ j=− f⋅b⋅i
.
Jelikož je f nenulové, můžeme použít zákon o krácení a dostáváme rovnost a⋅ j=−b⋅i . Aby byla daná rovnost zachována, musí se a rovnat i zároveň b se musí rovnat -j nebo se a musí rovnat -i a b se musí rovnat j. Z toho vyplývá, že inverzní prvek má tvar [−a , b] nebo [a ,−b ] . Dokažme, že platí: [−a , b ]∼[a ,−b] . [−a , b]∼[a ,−b] (−a)⋅(−b)=a⋅b a⋅b= a⋅b
1.2 Operace násobení Na třídách ekvivalence množiny ℤ x ℤ− {0 } definujeme užitím jejich reprezentantů operaci násobení: [a , b]⋅[c , d ]∼[a⋅c , b⋅d ] .
Komutativita násobení ∀ [a , b] ,[c , d ] ∈ ℤ x ℤ−{ 0 } : [a , b]⋅[c , d ]=[a , b]⋅[c , d ]
Součin uspořádaných dvojic [a , b]⋅[c , d ] je ekvivalentní s [a⋅c , b⋅d ] . Součin uspořádaných dvojic [c , d ]⋅[a , b ] je ekvivalentní s [c⋅a , d⋅b ]∼[a⋅c , b⋅d ] . Operace násobení je v množině ℤ x ℤ− {0 } komutativní.
Asociativita násobení ∀ [a , b] ,[c , d ], [e , f ] ∈ ℤ x ℤ−{0 } : [a , b]⋅([c , d ]⋅[e , f ]) = ([a , b]⋅[c , d ])⋅[e , f ]
Součin uspořádaných dvojic [a , b]⋅[c⋅e , d⋅f ]
Součin
je ekvivalentní se součinem
. Daný součin je ekvivalentní s [a⋅c⋅e , b⋅d⋅f ] .
uspořádaných
[a⋅c , b⋅d ]⋅[e , f ]
[a , b]⋅([c , d ]⋅[e , f ])
dvojic
([a , b]⋅[c , d ])⋅[e , f ]
je
ekvivalentní
se
součinem
. Daný součin je ekvivalentní s [a⋅c⋅e , b⋅d⋅f ] .
13 / 86
Operace násobení v množině ℤ x ℤ− {0 } je asociativní.
Neutrální prvek ∃ [e , f ] ∈ ℤ x ℤ− {0 } : ∀ [a , b] ∈ ℤ x ℤ− { 0} : [a , b]⋅[e , f ] = [e , f ]⋅[a , b] = [a , b]
Součin [a , b]⋅[e , f ] má být ekvivalentní s uspořádanou dvojicí [a , b] , tj. [a⋅e , b⋅ f ] Je ekvivalentní s uspořádanou dvojicí [a , b] . Daná ekvivalence platí pouze v případě, když platí rovnost a⋅e⋅b=b⋅f ⋅a . Z té vyplývá, že e= f . V množině ℤ x ℤ−{0 } existuje neutrální prvek vzhledem k operaci násobení. Je to třída, která má obě dvě složky stejné: {[1,1], [2,2] ,[3,3] }⇒ je neutrálním prvkem vzhledem k operaci násobení v množině ℤ x ℤ− {0 } .
Inverzní prvek ∀ [a , b] ∈ ℤ x ℤ− {0 } ∃ [i , j] ∈ ℤ x ℤ− {0 } : [a , b]⋅[i , j ] = [i , j]⋅[a ,b] = [1,1]
Uspořádaná dvojice [i , j] reprezentuje inverzní prvek vzhledem k násobení. Uspořádaná dvojice [1,1] reprezentuje neutrální prvek vzhledem k násobení. Součin [a , b]⋅[i , j] je ekvivalentní s neutrálním prvkem. Aby tato ekvivalence platila, musí platit následující rovnost i =b∈ { ℤ− {0 } } , j= a ∈ {ℤ−{ 0 }}
a⋅i⋅1=b⋅ j⋅1
, tj.
a⋅i=b⋅j
. Z toho vyplývá, že
.
Inverzní prvek k prvku [a , b] vzhledem k operaci násobení v množině ℤ x ℤ−{0 } má tvar [b , a], a∈ ℤ−{0 }
. Inverzní prvek neexistuje ke třídě [0,b] .
Distributivní zákon ∀[a , b], [c , d ] ,[e , f ] ∈ ℤ x ℤ− { 0 }:[a , b]⋅([c , d ]+[e , f ])=[a , b]⋅[c , d ]+[a , b]⋅[e , f ]
Součin [a , b ]⋅([c , d ]+[e , f ]) je ekvivalentní s [a⋅c⋅f +a⋅d⋅e , b⋅d⋅f ] . Součet [a , b]⋅[c , d ]+[a , b]⋅[e , f ] je ekvivalentní s [a⋅b⋅c⋅ f +a⋅b⋅d⋅e ,b⋅b⋅d⋅f ] . Budeme se nyní zabývat otázkou, zda jsou tyto dvě uspořádané dvojice ekvivalentní. Pokud má platit [a⋅c⋅f + a⋅d⋅e , b⋅d⋅ f ]∼[a⋅c⋅b⋅f +b⋅d⋅a⋅e , b⋅d⋅b⋅f ] , musí platit následující rovnost,
která
vyplývá
z
definice
ekvivalence: 14 / 86
(a⋅c⋅ f +a⋅d⋅e)⋅b⋅b⋅d⋅f =b⋅d⋅ f⋅(a⋅c⋅b⋅ f +b⋅d⋅a⋅e)
. Jelikož složky b, d, f jsou celá čísla různá
od nuly, můžeme použít zákon o krácení a dostaneme a⋅b⋅c⋅ f +a⋅b⋅d⋅e=a⋅b⋅c⋅f +a⋅b⋅d⋅e . Jelikož je operace sčítání v množině ℤ x ℤ−{0 } komutativní, daná rovnost platí. Vzhledem k tomu, že operace násobení je komutativní, stačí ověřit platnost jednoho z distributivních zákonů.
15 / 86
2 Historie pojmu zlomek Vznik zlomků je spojen s hospodářským rozvojem civilizací. Se zlomky se setkáváme nejdříve u kultur, které přešly k usedlému způsobu života. Společnost začala potřebovat jednotky měřící velikost a obsah pole, objem nádob a sýpek, jednotky vážící různé předměty. Vznikla potřeba vyjadřovat nejen počet celistvých předmětů, ale bylo potřeba počítat s částmi celku. Pojem zlomku se postupně vyvíjel, stejně jako například pojem přirozených čísel. Postupně vznikaly nejrůznější zlomky. 1
Nejstarším zlomkem je zlomek 2 , zřídkakdy se můžeme v historii setkat již se 1
1
zlomky 3 nebo 4 .5 Rozvoj pojmu zlomek se váže se čtyřmi historicky významnými obdobími.6
2.1 Egypt Informace o úrovni vědomostí v oblasti matematiky starověkých Egypťanů se dozvídáme z několika málo textů, které se dochovaly, především papyrů. Dané texty obsahují vědomosti týkající se základních matematických operací, metod algebraických a geometrických výpočtů. Většinou jsou sepsány jako sbírky úloh a obsahují vyřešené úlohy.7 Nejznámějším a nejrozsáhlejším textem, který se dochoval, je Rhindův papyrus, který obsahuje 86 úloh. Je to promyšlená sbírka úloh, ve které jsou jednotlivé příklady rozděleny do několika oddílů. První z nich se věnuje procvičování se zlomky. Ve starověkém Egyptě se používaly zlomky, avšak specifickým způsobem. Egypťané vyjadřovali zlomek jako součet kmenných zlomků, tj. zlomků s čitatelem rovným jedné.
5 srv. STRUIK, Dirk Jan. Dějiny matematiky. Str. 11 6 srv. BALADA, František. Z dějin elementární matematiky. Str. 62 – 63 7 srv. VYMAZALOVÁ, Hana. Staroegyptská matematika: hieratické matematické texty. Str. 101
16 / 86
3
1
1
2
Například zlomek 4 vyjádřovali Egypťané jako součet 2 a 4 . Výjimku tvořil zlomek 3 , 1
který vyjadřovali jako rozdíl 1 a 3 .8 Egypťané používali desítkovou soustavu. Příklady se zlomky jsou v Rhindově papyru rozděleny do několika skupin. 2
„První skupinu výpočtů se zlomky tvoří tzv. Tabulka n , která obsahuje dvojnásobky zlomků s lichým jmenovatelem od 3 do 101.“9 2
Tabulka udává rozklad zlomku n na kmenné zlomky pro všechna lichá n od 3 2
1
1
1
do 101, například: 97 = 56 + 679 + 776 .10 2
V Ahmesově papyru můžeme nalézt tabulku zlomků ve tvaru 2n +1 , pro n z množiny přirozených čísel a 2 ≤ n ≤ 50 vyjádřených jakou součty kmenových zlomků s různými 2 1 1 1 2 1 1 jmenovateli. Například: 13 = 8 + 52 + 104 nebo 7 = 4 + 28 .
Druhá skupina příkladů se zlomky v Rhindově papyru obsahuje šest aplikačních úloh týkajících se přerozdělování obilí. Dané úlohy obsahují zadání, výsledek a zkoušku. Zkouška procvičuje násobení zlomků. Egypťané častokrát řešili úlohu, ve které měli m předmětů rozdělit mezi n lidí. Egypťané chápali dělení jako proces a ne jako koncept, jak zlomek chápeme v současnosti.11 Ve třetí skupině příkladů se nachází ůlohy „sekem“.
8 9 10 11
srv. STRUIK, Dirk Jan. Dějiny matematiky. Str. 21 VYMAZALOVÁ, Hana. Staroegyptská matematika: hieratické matematické texty. Str. 24 srv. STRUIK, Dirk Jan. Dějiny matematiky. Str. 21 srv. HEJNÝ, Milan; NOVOTNÁ, Jarmila; STEHLÍKOVÁ, Naďa. Dvacet pět kapitol z didaktiky matematiky. Str. 347
17 / 86
„Jedná se o skupinu výpočtů určujících ze zadaného zlomků jeho dvě části (a to buď 1 2
1
2
1
a 4 nebo 3 a 3 ) a jejich celkový součet.“12 Způsob počítání se zlomky převzali od Egypťanů Řekové, Římané a Arabové. Počátkem 13. století se vyjádření zlomků pomocí součtu kmenných zlomků s různý-
mi jmenovateli dostává do Evropy.13
2.2 Mezopotámie Mezopotamská matematika byla na vyšší úrovni než matematika v Egyptě. Nejstarší texty ze sumerského období obsahují multiplikační tabulky, ve kterých je desítková soustava doplněna dobře propracovanou šedesátkovou soustavou. 1
Můžeme v těchto
1
textech nalézt symboly čísel 1, 60, 3600 a také 60 nebo 3600 .14 V Mezopotamii se používala šedesátková číselná soustava. To se zachovalo i při počítání se zlomky, které bylo založeno na šedesátinném dělení. Tento způsob počítání se zlomky se používal až do konce středověku a předcházel počítání s desetinnými zlomky.15
2.3 Řím Římané přejali od Egypťanů počítání se zlomky vyjádřenými součtem kmenných zlomků s různými jmenovateli. Sami však také přispěli velkou měrou k rozvoji pojmu zlomek. Římský přínos v rozvoji pojmu zlomek a početních operací se zlomky se týkal zvláště praktického využití souvisejícího s právními úkony, jakými byly dědické právo, úrokový počet, obchodní, zeměměřičské či stavitelské činnosti.16 Římané rozdělili peněžní jednotku as na dvanáct částí. Počítali se zlomky se jmenovatelem rovným dvanácti nebo násobky dvanácti. Tyto zlomky vyjadřovaly 12 13 14 15 16
srv. VYMAZALOVÁ, Hana. Staroegyptská matematika: hieratické matematické texty. Str. srv. BALADA, František. Z dějin elementární matematiky. Str. 63 - 64 srv. STRUIK, Dirk Jan. Dějiny matematiky. Str. 23 srv. BALADA, František. Z dějin elementární matematiky. Str. 63 srv. BALADA, František. Z dějin elementární matematiky. Str. 64
18 / 86
rozdělení asu. Některé názvy zlomků vyjadřující část asu zůstaly dodnes, například třetinu 4
3
triens označoval zlomek 12 , quadrans čili čtvrtinu označoval zlomek 12 . Římský spisovatel Plinius vyjadřuje pomocí součtu kmenných zlomků velikost světa1
1
dílů (dle poznatků známých v dané době), např. velikost Evropy jako součet 3 + 8 , ve1
1
1
1
likost Asie jako součet 4 + 14 nebo velikost Afriky jako součet 5 + 60 . Další vývoj pojmu zlomku však v této civilizaci nenastal.17 „Římský systém počítání se zlomky ovládal praktické počítání středověku až do XII. století.“18
2.4 Indie Historické kořeny obecného pojmu zlomek, tak, jak ho známe v dnešní době, nalezneme v Indii. Již ve 4. století před naším letopočtem počítali Indové se zlomky s čitatelem různým od jedné. Dále již používali všechny početní operace se zlomky. Indická matematika se díky Arabům a jejich spisům dostává v 13. století do Evropy. Ve svých dílech se o ní také zmiňují někteří matematici, například Leonard Pisánský. Indové zapisovali zlomky podobně jako se zapisují v současnosti, chyběla pouze 1 zlomková čára. Celá čísla v zápisu smíšených čísel se nadpisovala, např. zlomek 2 4 se 2
v Indii zapisoval takto: 1 .19 4
V indických spisech tzv. Súlvasútra, které z části vznikly 500 let před naším letopočtem, nalezneme speciální případy Pythagorovy věty zároveň s několika aproxima1 1 1 cemi vyjádřenými kmenovými zlomky, například: √ 2 = 1 + 3 + 3⋅ 4 + 3 ⋅4 ⋅34 .20
17 18 19 20
srv. BALADA, František. Z dějin elementární matematiky. Str. 64 – 65 BALADA, František. Z dějin elementární matematiky. Str. 65 srv. BALADA, František. Z dějin elementární matematiky. Str. 65 srv. STRUIK, Dirk Jan. Dějiny matematiky. Str. 29
19 / 86
2.5 Vývoj zápisu a početních operací se zlomky Egypťané, Arabové, Římané již bez problémů sčítali a odčítali zlomky. Příklad: „Římský spisovatel Plinius (1. stol. n. l.) uvádí velikosti tří tehdy známých světadí1
1
1
1
lů ve srovnání s velikostí zemské pevniny takto: Evropa 3 + 8 ; Asie 4 + 14 ; Afrika 1 1 + . 5 60
Představují uvedené kmenné zlomky celek?“21
Řešení: 1 1 8 + 3 11 Evropa: 3 + 8 = 24 = 24 1 1 7+ 2 9 Asie: 4 + 14 = 28 = 28 1 1 12 + 1 13 Afrika: 5 + 60 = 60 = 60 11
9
13
Součet: 28 + 28 + 60 =
8 736 + 18 480 + 12 960 40 176 279 = = 40 320 40 320 280
Uvedené kmenné zlomky nepředstavují celek. Německý matematik Jordanus Nemorarius doporučoval při dělení zlomků násobit čitatele i jmenovatele zlomků, který představuje dělence, součinem utvořeným z čitatele a jmenovatele dělitele. V daném případě lze dělení zlomků vždy provádět. 3 5 3⋅5⋅ 7 5 3⋅7 Například: 4 : 7 = 4⋅5 ⋅7 : 7 = 4⋅5
S pojmem zlomková čára se setkáváme v dílech Leonarda Pisánského, který ji nazývá „virgula“ a patrně ji přejal od arabských matematiků. Zlomková čára byla obecně zavedena až v 16. století. První souhrn vědomostí týkajících se počítání se zlomky nalezneme ve spise Arithmétique Simona Stevina, který se v této knize obracel pouze na vědecky školené čtenáře, neboť počítání se zlomky bylo jednou z nejtěžších oblastí matematiky.
21 MALÁČ, Jaromír. Sbírka náročnějších úloh z matematiky pro 6. - 9. ročník. Str. 36
20 / 86
Chápání početních operací bylo ovlivněno mimo jiné i biblickými představami a citacemi z Bible, která byla v dané době podkladem pro veškeré učení. Například františkánský mnich Luca Pacioli, florentský profesor matematiky se pozastavuje nad tím, proč je při násobení zlomkem menším než jedna výsledek menší než násobenec a oproti tomu staví citát: „Rostež a množte se.“. V té době bylo sloveso množit synonymem slovesa násobit. Početní operace se zlomky se rovněž vyvíjely. Leonardo Pisánský, stejně jako Arabové a Řekové, násobí zlomky tak, že vynásobí jednotlivé čitatele a jejich součin následně dělí nejdříve jedním, pak druhým jmenovatelem. Ve francouzském rukopise z r. 1484 nalezneme v příkladu při krácení zlomku Euklidův algoritmus, kterým byl určen například největší společný dělitel. Německý matematik Adam Ries doporučuje jiný způsob – aby se čitatel a jmenovatel nejdříve dělil dvěma tak dlouho, dokud to půjde, pak třemi, pěti, atd. Toto jednoduché řešení bylo motivováno nedostatečnými matematickými schopnostmi většiny společnosti. Ve většině středověkých učebnic nenalezneme zmínku o tom, že násobení či dělení čitatele a jmenovatele stejným číslem nemění velikost zlomku. Příklady byly tvořeny tak, aby výsledky byly velmi jednoduché, například příklad 1 1 1 1 1 1 1 1 1 indického matematika Mahavira: 2 + 6 + 8 + 12 + 20 + 24 + 24 + 36 + 180 = 1 .
Příklad: „Sečtěte následující zlomky způsobem, kterého užívali staří indčtí matematikové. Společným jmenovatelem byl součin všech jmenovatelů. Proveďte sčítání indickým i našim způsobem a ověřte, zda je uvedený společný jmenovatel správný. 1 1 1 1 1 1 1 1 + + + + + + + = 2 6 8 12 20 24 36 180 3 583 180 800
.“22
Řešení: Indický způsob: 1 1 1 1 1 1 1 1 1 791 590 400 + 597 196 800 + + + + + + + + = 2 6 8 12 20 24 36 180 3 583 180 800
22 MALÁČ, Jaromír. Sbírka náročnějších úloh z matematiky pro 6. - 9. ročník. Str. 35 – 36
21 / 86
+ 447 897 600 + 298 598 400 + 179 159 040 + 149 299 200 + 99 532 800 + 3 583 180 800 + 19 906 560 3 583 180 800 = =1 3 583 180 800 3 583 180 800
Sčítání zlomků pomocí určení nejmenšího společného násobků jmenovatelů: 1 1 1 1 1 1 1 1 90 + 30 + 9 + 5 + 1 3 + 2 + 1 + + + + + + + = + 2 6 8 12 20 24 36 180 180 24 =
135 6 540 + 180 720 + = = =1 180 24 720 720
S případy, kdy žák převádí zlomky na společný jmenovatel ne použitím společného dělitele obou jmenovatelů, nýbrž jejich součinu, se můžeme setkat již v Indii u matematiků Aryabhaty a Bráhmagupty. V 16. století se můžeme ještě v české zemi setkat s nejednoznačností zápisu čísel. Používaly se zápisy pomocí římských číslic, ale také zápisy složené z indických číslic, které do Evropy přiváželi především kupci.23 Ve středověku se postupně nahrazovalo počítání s šedesátkovými zlomky počítáním s desetinnými zlomky. Francois Viéte poukázal na vhodnost počítání s desetinnými zlomky. Sám rozlišoval celek od desetinného místa tak, že celek psal větší a desetinné místo oddělil svislou čarou.24 Se zavedením metrického systému během Velké francouzské revoluce dochází k rozšíření počítání s desetinnými zlomky i mezi obyvatele především díky obchodníkům a řemeslníkům.
23 srv. BALADA, František. Z dějin elementární matematiky. Str. 65 - 66 24 srv. ŠEDIVÝ, Ondrej; KRIŽALKOVIČ, Karol. Didaktika matematiky pre štúdium učitel'stva I. stupňa ZŠ. str. 68
22 / 86
3 Rámcový vzdělávací program Matematika má v základním vzdělávání nezastupitelné místo. „V základním vzdělávání je tato oblast založena především na aktivních činnostech, které jsou typické pro práci s matematickými objekty a pro užití matematiky v reálných situacích. Poskytuje vědomosti a dovednosti potřebné v praktickém životě a umožňuje tak získávat matematickou gramotnost.“25 „Matematické vzdělávání má rozvíjet abstraktní, kauzální, exaktní a analyticko-syntetické myšlení, logické a kritické usuzování, učit srozumitelné, přesné a věcné argumentaci.“26 Žáci by si měli v rámci matematiky během základního vzdělávání osvojit základní myšlenkové postupy, základní pojmy, vzájemné vztahy, porozumět jim a umět je aplikovat v praxi. „Žáci si postupně osvojují některé pojmy, algoritmy, terminologii, symboliku a způsoby jejich užití.“27
3.1 Vzdělávací oblast Matematika a její aplikace V Rámcovém vzdělávacím programu nalezneme vzdělávací oblast Matematika a její aplikace. Vzdělávací oblast je rozdělena na prvním stupni základního vzdělávání do následujících tématických okruhů: 1) Číslo a početní operace 2) Závislosti, vztahy a práce s daty 3) Geometrie v rovině a v prostoru 4) Nestandardní aplikační úlohy a problémy. 25 FUCHS, Eduard; HOŠPESOVÁ, Alena; LIŠKOVÁ, Hana. Postavení matematiky ve školním vzdělávacím programu Základní vzdělávání. Str. 7 26 FUCHS, Eduard; HOŠPESOVÁ, Alena; LIŠKOVÁ, Hana. Postavení matematiky ve školním vzdělávacím programu Základní vzdělávání. Str. 7 27 srv. Rámcový vzdělávací program pro základní vzdělávání. Str. 29
23 / 86
Na druhém stupni je vzdělávací oblast Matematika a její aplikace rozdělena do těchto tématických okruhů: 1) Číslo a proměnná 2) Závislosti, vztahy a práce s daty 3) Geometrie v rovině a v prostoru 4) Nestandardní aplikační úlohy a problémy. 28 Na druhém stupni základního vzdělávání si žák osvojuje vědomosti a dovednosti týkající se zlomků a racionálních čísel uvedené v tématickém okruhu Číslo a proměnná.
3.2 Vzdělávací cíle V RVP ZV nalezneme jednotlivé vzdělávací cíle, jejichž naplnění by se mělo během základního vzdělávání realizovat. Vzdělávání ve vzdělávací oblasti Matematika a její aplikace má vést žáka k: –
„využívání matematických poznatků a dovedností v praktických činnostech – odhady, měření a porovnávání velikostí a vzdáleností, orientace
–
rozvíjení paměti žáků prostřednictvím numerických výpočtů a osvojováním si nezbytných matematických vzorců a algoritmů
–
rozvíjení abstraktního a exaktního myšlení osvojováním si a využíváním základních matematických pojmů a vztahů, k poznávání jejich charakteristických vlastností a na základě těchto vlastností k určování a zařazování pojmů
–
vytváření zásoby matematických nástrojů (početních operací, algoritmů, metod řešení úloh) a k efektivnímu využívání osvojeného matematického aparátu
–
vnímání složitosti reálného světa a jeho porozumění; k rozvíjení zkušenosti s matematickým modelováním (matematizací reálných situací), k vyhodnocování matematického modelu a hranic jeho použití; k poznání, že realita je složitější
28 srv. Rámcový vzdělávací program pro základní vzdělávání. Str. 29
24 / 86
než její matematický model, že daný model může být vhodný pro různorodé situace a jedna situace může být vyjádřena různými modely –
provádění rozboru problému a plánu řešení, odhadování výsledků, volbě správného postupu k vyřešení problému a vyhodnocování správnosti výsledku vzhledem k podmínkám úlohy nebo problému.“29
3.3 Číslo a proměnná Tématický okruh Číslo a proměnná obsahuje následující očekávané výstupy: „Žák: –
provádí početní operace v oboru celých a racionálních čísel; užívá ve výpočtech druhou mocninu a odmocninu
–
zaokrouhluje a provádí odhady s danou přesností, účelně využívá kalkulátor
–
modeluje a řeší situace s využitím dělitelnosti v oboru přirozených čísel
–
užívá různé způsoby kvantitativního vyjádření vztahu celek – část (přirozeným číslem, poměrem, zlomkem, desetinným číslem, procentem)
–
řeší modelováním a výpočtem situace vyjádřené poměrem; pracuje s měřítky map a plánů
–
řeší aplikační úlohy na procenta (i pro případ, že procentová část je větší než celek)
–
matematizuje jednoduché reálné situace s využitím proměnných; určí hodnotu výrazu, sčítá a násobí mnohočleny, provádí rozklad mnohočlenu na součin pomocí vzorců a vytýkáním
–
formuluje a řeší reálnou situaci pomocí rovnic a jejich soustav
–
analyzuje a řeší jednoduché problémy, modeluje konkrétní situace, v nichž využívá matematický aparát v oboru celých a racionálních čísel.“30
29 Rámcový vzdělávací program pro základní vzdělávání. Str. 29 – 30 30 Rámcový vzdělávací program pro základní vzdělávání. Str. 32
25 / 86
S tématickým okruhem Číslo a proměnná souvisí následující učivo: –
„dělitelnost přirozených čísel – prvočíslo, číslo složené, násobek, dělitel, nejmenší společný násobek, největší společný dělitel, kritéria dělitelnosti
–
celá čísla – čísla navzájem opačná, číselná osa
–
desetinná čísla, zlomky – rozvinutý zápis čísla v desítkové soustavě; převrácené číslo, smíšené číslo, složený zlomek
–
poměr – měřítko, úměra, trojčlenka
–
procenta – procento, promile; základ, procentová část, počet procent; jednoduché úrokování
–
mocniny a odmocniny – druhá mocnina a odmocnina
–
výrazy – číselný výraz a jeho hodnota; proměnná, výrazy s proměnnými, mnohočleny
–
rovnice – lineární rovnice, soustava dvou lineárních rovnic se dvěma neznámými.“31 Základní vlastnosti a početní operace s racionálními čísly žáci využívají během
dalších ročníků základní školy a v další etapě vzdělávání například při práci s lomenými výrazy, přímou a nepřímou úměrností, funkcemi.
3.4 Klíčové kompetence Obsah vzdělávací oblasti Matematika a její aplikace by měl vést u žáků k rozvoji následujících klíčových kompetencí.
3.4.1 Kompetence k učení „Kompetence k učení („učit se učit“) postupně rozvíjí žákovy schopnosti řídit vlastní učení (ať už samostatně nebo ve skupině), aby byl schopen získávat, zpracovávat, hodnotit a integrovat nové znalosti.“32 31 Rámcový vzdělávací program pro základní vzdělávání. Str. 32 32 FUCHS, Eduard; HOŠPESOVÁ, Alena; LIŠKOVÁ, Hana. Postavení matematiky ve školním vzdělávacím programu Základní vzdělávání. Str. 10
26 / 86
„Na konci základního vzdělávání žák operuje s obecně užívanými termíny, znaky a symboly, uvádí věci do souvislostí, propojuje do širších celků poznatky z různých vzdělávacích oblastí a na základě toho si vytváří komplexnější pohled na matematické, přírodní, společenské a kulturní jevy; vybírá a využívá pro efektivní učení vhodné způsoby, metody a strategie, plánuje, organizuje a řídí vlastní učení, projevuje ochotu věnovat se dalšímu studiu a celoživotnímu učení.“33
3.4.2 Kompetence k řešení problémů „Na konci základního vzdělávání žák samostatně řeší problémy; volí vhodné způsoby řešení; užívá při řešení problémů logické, matematické a empirické postupy; vyhledá informace vhodné k řešení problému, nachází jejich shodné, podobné a odlišné znaky, využívá získané vědomosti a dovednosti k objevování různých variant řešení, nenechá se odradit případným nezdarem a vytrvale hledá konečné řešení problému, ověřuje prakticky správnost řešení problémů a osvědčené postupy aplikuje při řešení obdobných nebo nových problémových situací, sleduje vlastní pokrok při zdolávání problémů.“34 K rozvoji této kompetence je nutné vytvořit vhodné podmínky vedoucí k rozvoji žákovy tvořivosti, logického myšlení a vlastní kreativity. Úlohy proto mají více výsledků, vedou ke kauzálnímu myšlení, k vnímání vztahů, zákonitostí a souvislostí, podporují žákovu přirozenou tvořivost. Úlohy mají určitou náročnost a problémovost. Žák při řešení úloh zkouší různé postupy řešení a samostatně svá řešení hodnotí a kontroluje.35
3.4.3 Kompetence komunikativní „Na konci základního vzdělávání žák formuluje a vyjadřuje své myšlenky a názory v logickém sledu, vyjadřuje se výstižně, souvisle a kultivovaně v písemném i ústním projevu; rozumí různým typům textů a záznamů, obrazových materiálů, běžně užívaných gest, zvuků a jiných informačních a komunikačních prostředků, přemýšlí o nich, reaguje na ně a tvořivě je využívá ke svému rozvoji a k aktivnímu zapojení se do společenského dění.“36 33 Rámcový vzdělávací program pro základní vzdělávání. Str. 14 34 Rámcový vzdělávací program pro základní vzdělávání. Str. 15 35 srv. FUCHS, Eduard; HOŠPESOVÁ, Alena; LIŠKOVÁ, Hana. Postavení matematiky ve školním vzdělávacím programu Základní vzdělávání. Str. 10 36 Rámcový vzdělávací program pro základní vzdělávání. Str. 15
27 / 86
Žák věcně argumentuje, komunikuje při řešení úloh a popisuje postupy řešení matematickými pojmy, naslouchá ostatním návrhům řešení. Žák používá ve svém výstupu matematickou symboliku. Důležitou součástí řešení úloh je čtení s porozuměním, proto by měl být žák schopen rozumět různým textům.37
3.4.4 Kompetence sociální a personální „Na konci základního vzdělávání žák účinně spolupracuje ve skupině, podílí se společně s pedagogy na vytváření pravidel práce v týmu, na základě poznání nebo přijetí nové role v pracovní činnosti pozitivně ovlivňuje kvalitu společné práce; přispívá k diskusi v malé skupině i k debatě celé třídy, chápe potřebu efektivně spolupracovat s druhými při řešení daného úkolu, oceňuje zkušenosti druhých lidí, respektuje různá hlediska a čerpá poučení z toho, co si druzí lidé myslí, říkají a dělají; vytváří si pozitivní představu o sobě samém, která podporuje jeho sebedůvěru a samostatný rozvoj; ovládá a řídí svoje jednání a chování tak, aby dosáhl pocitu sebeuspokojení a sebeúcty.“38 „Kompetence sociální a personální zahrnují všechny formy jednání, které si žák musí osvojit, aby byl schopen efektivně a konstruktivně se podílet na dění ve společnosti a dokázal řešit problémy v kontextu osobním, rodinném i veřejném.“39 Žák spolupracuje ve skupině s ostatními žáky při řešení úloh, projektů, hodnotí podíl své vlastní práce a podíl práce ostatních při společném řešení na dané úloze, žák respektuje názory ostatních.40
37 srv. FUCHS, Eduard; HOŠPESOVÁ, Alena; LIŠKOVÁ, Hana. Postavení matematiky ve školním vzdělávacím programu Základní vzdělávání. Str. 10 38 Rámcový vzdělávací program pro základní vzdělávání. Str. 16 39 FUCHS, Eduard; HOŠPESOVÁ, Alena; LIŠKOVÁ, Hana. Postavení matematiky ve školním vzdělávacím programu Základní vzdělávání. Str. 10 40 srv. FUCHS, Eduard; HOŠPESOVÁ, Alena; LIŠKOVÁ, Hana. Postavení matematiky ve školním vzdělávacím programu Základní vzdělávání. Str. 11
28 / 86
3.4.5 Kompetence občanské „Na konci základního vzdělávání žák chápe základní principy, na nichž spočívají zákony a společenské normy, je si vědom svých práv a povinností ve škole i mimo školu; rozhoduje se zodpovědně podle dané situace, poskytne dle svých možností účinnou pomoc a chová se zodpovědně v krizových situacích ohrožujících život a zdraví člověka.“41 „Kompetence občanské vedou k tomu, aby se žáci cítili jako svobodné a zodpovědné osobnosti, uplatňující svá práva a plnící své povinnosti.“42 Žáci i pedagogové dodržují dohodnutá pravidla, respektují vzájemná práva, plní svědomitě své povinnosti, ověřují svá řešení, zodpovídají za ně, jsou zodpovědni za svou práci.43
3.4.6 Kompetence pracovní „Na konci základního vzdělávání žák používá bezpečně a účinně materiály, nástroje a vybavení, dodržuje vymezená pravidla, plní povinnosti a závazky, adaptuje se na změněné nebo nové pracovní podmínky; přistupuje k výsledkům pracovní činnosti nejen z hlediska kvality, funkčnosti, hospodárnosti a společenského významu, ale i z hlediska ochrany svého zdraví i zdraví druhých, ochrany životního prostředí i ochrany kulturních a společenských hodnot; využívá znalosti a zkušenosti získané v jednotlivých vzdělávacích oblastech v zájmu vlastního rozvoje i své přípravy na budoucnost, činí podložená rozhodnutí o dalším vzdělávání a profesním zaměření.“44 „Žáci se učí trpělivosti a prohlubují své volní vlastnosti, protože při řešení některých matematických úloh je nutné intenzivní pracovní nasazení; v hodinách matematiky je pracovní atmosféra; pasivita žáků se netoleruje.“45 41 Rámcový vzdělávací program pro základní vzdělávání. Str. 16 42 FUCHS, Eduard; HOŠPESOVÁ, Alena; LIŠKOVÁ, Hana. Postavení matematiky ve školním vzdělávacím programu Základní vzdělávání. Str. 11 43 srv. FUCHS, Eduard; HOŠPESOVÁ, Alena; LIŠKOVÁ, Hana. Postavení matematiky ve školním vzdělávacím programu Základní vzdělávání. Str. 11 44 Rámcový vzdělávací program pro základní vzdělávání. Str. 17 45 FUCHS, Eduard; HOŠPESOVÁ, Alena; LIŠKOVÁ, Hana. Postavení matematiky ve školním vzdělávacím programu Základní vzdělávání. Str. 11
29 / 86
Rozvíjení klíčových kompetencí závisí na podmínkách, které v dané hodině pedagog vytvoří. Pokud bude učitel žákům vědomosti předkládat, aniž by žáci dané vědomosti plně pochopili a vytvořili si určitý pojem pomocí manipulativních činností a příkladů z reálného života, tak rozvíjení daných kompetencí a pochopení vztahů a souvislostí nemůže být naplněno.
30 / 86
4 Zlomky Žák se se zlomky setkává již dříve, než se o nich učí v rámci vzdělávání na základní škole. Z běžného života již zná pojmy polovina, třetina, čtvrtina. Na prvním stupni základní školy se opět setkává s těmito pojmy, např. polovina, třetina, čtvrtina, zlomek. K upevňování a pochopení těchto pojmů však dochází až na druhém stupni základní školy. Žáci si nejdříve osvojují pojem zlomku jako část celku, v sedmém ročníku si osvojují pojem zlomek jako reprezentant racionálního čísla anebo pojem zlomku jako jiný zápis dělení.
4.1 Zlomek jako část celku Žáci se nejdříve seznamují se zlomkem jako částí celku. Žáci dělí konkrétní předměty na části, potom se seznamují s jednotlivými částmi zlomku – čitatelem, jmenovatelem, zlomkovou čarou a dalšími pojmy. Při vyučování zlomků je důležité věnovat dostatečný čas na pochopení základních pojmů, důležitá je manipulativní činnost, během které má žák dostatek času a prostor pro pochopení, co zlomek vyjadřuje, co vyjadřuje čitatel, co vyjadřuje jmenovatel, jaké jsou rozdíly mezi pravým a nepravým zlomkem. Důležitou roli hraje také propojení učiva o zlomcích s reálným životem a zkušenostmi, které již žáci mají.46 V motivační části se osvědčují různé přímé aktivity, jakými jsou skládání papíru, rozstřihování provázku, rozstřihování papíru, lámání zápalek, vybarvování obrazců, apod. Žák si pomocí těchto aktivit utváří pojem zlomek jako vyjádření části celku. K utvoření a upevnění tohoto významu pomáhají dotazy: –
Na kolik částí jsme složili / rozstřihli papír?
–
Jakou část představuje jeden čtvereček/ obdélník/ kus?
46 BLAŽKOVÁ, Růžena. Co, proč a jak ve školské matematice II. Zlomky. Matematika, fyzika, informatika. str. 395
31 / 86
Po úvodní motivaci se žáci seznamují se základními pojmy. K pochopení se učitel opírá o model, který si se žáky vytvořili – poskládaný papír, různé délky provázku a provázek původní, rozdělené obrazce s vybarvenými částmi, apod. Ve vyučování můžeme využít různé modely, které jsou žákům blízké – dělení koláče, čokolády, dělení tyče, odměřování mléka a podobně. Předpokládáme, že děti již mají s těmi činnostmi zkušenosti. „Skúsenosti, ktoré dieťa so zlomkami nadobudne před ich preberanim v škole, maju veľký vplyv na úspešnosť porozumenia zlomkov v škole.“47 Modely tyč, koláč, tabulka čokolády reprezentují úsečku, kruh a obdélník či čtverec. Neměli bychom opomenout i další obrazce, nejen kruh, čtverec či obdélník, ale také bychom měli se žáky procvičovat rozdělování trojúhelníku, šestiúhelníku či jiných obrazců na n dílů. „Tyto činnosti by měly přispět k tomu, aby žáci pochopili, že při vytváření pojmu zlomku nezáleží na objektech, jejich velikostech, tvaru či materiálu, ale na tom, na kolik stejných částí celek dělíme a kolik částí uvažujeme.“48 U základních pojmů je potřeba žákům zdůrazňovat důležité vlastnosti a informace. Čitatel vyjadřuje počet částí z celku, se kterými počítáme /operujeme. Jmenovatel vyjadřuje počet stejných částí, na který jsme daný celek rozdělili. Pokud je jmenovatel roven nule, zlomek nemá smysl. Pokud se čitatel rovná jmenovateli, rovná se zlomek jedné. Pokud je čitatel roven nule, celý zlomek se rovná nule. ∀ a , b ∈ ℤ, a = 0, b ≠ 0 :
a 0 = =0 b b
0 0 0 Např.: 1 = 0 ; 5 = 0; 1523689 = 0
Žáci se také seznamují s pojmy pravý zlomek, nepravý zlomek.
47 HEJNÝ, Milan. Teória vyučovania matematiky. 2. Str. 69 48 BLAŽKOVÁ, Růžena. Co, proč a jak ve školské matematice II. Zlomky. Matematika, fyzika, informatika. str. 369
32 / 86
Pravý zlomek je takový zlomek, ve kterém je čitatel menší než jmenovatel. a , a
∀ a , b ∈ ℤ , b ≠ 0: 2
57
1542
Např.: 13 ; 164 ; 2100 . Nepravý zlomek je takový zlomek, ve kterém je čitatel větší než jmenovatel. 5
7
137
2100
Např.: 2 ; 5 ; 100 ; 1542 Je důležité při zavedení částí zlomku – čitatele, jmenovatele a zlomkové čáry – se žáky neustále opakovat, co vyjadřuje čitatel, co vyjadřuje jmenovatel, neboť při pozdějším zavádění převráceného zlomku a algoritmů početních operací se žáci o pojmy čitatel a jmenovatel opírají. Žáci se učí zlomky zapisovat nejen pomocí různých obrázků, které mají určitou část vybarvenou, ale mohou mít také název zlomků zapsán slovně a ten přepsat symbolicky. Pedagog by neměl opomenout pojem kmenný zlomek. „Současný způsob zavedení pojmu zlomek ve škole použije pojem kmenného zlomku, ale jen jako předstupně pojmu zlomek. Pojem zlomku je totiž založen na konstrukci 1→
1 1 m → m⋅ → n n n
.“49
Hejný (2004) považuje kmenný zlomek ne pouze za předstupeň zlomku s čitatelem různým od jedné, ale za důležitou vývojovou etapu. Řešení problémů, které mají žáci s pochopením pojmu zlomek, vidí ve větším důrazu na pochopení pojmu kmenný zlomek a pochopení operací s kmenovými zlomky.50
49 HEJNÝ, Milan; NOVOTNÁ, Jarmila; STEHLÍKOVÁ, Naďa. Dvacet pět kapitol z didaktiky matematiky. str. 348 50 srv. HEJNÝ, Milan; NOVOTNÁ, Jarmila; STEHLÍKOVÁ, Naďa. Dvacet pět kapitol z didaktiky matematiky. str. 348 – 350
33 / 86
4.2 Numerace Žáci se nejdříve seznámili se zlomkem jako částí celku. Je potřeba, aby se žáci oprostili od vnímání zlomku jako konkrétních částí předmětů, ale aby začali vnímat a pracovat se zlomkem jako s číslem. Ústřední postavení mají opět tři modely – tyč, koláč, čokoláda - představující úsečku, kruh, čtverec nebo obdélník. Žáci dělí dané modely na požadovaný počet částí – poloviny, čtvrtiny, osminy, v pozdější fázi například na třetiny, pětiny, sedminy (liché dělení je problémovější). Dále vybarvují požadovaný počet částí v daném modelu. V další fázi se žáci učí zapisovat zlomky, přečíst správně symbolicky zapsaný zlomek, zapsat symbolicky zlomek, jehož název slyší, apod. Je důležité dbát na správné čtení zlomků a na správný zápis zlomků. Během těchto činností dochází k upevňování základních pojmů, se kterými se již žáci setkali a to s pojmy čitatel, jmenovatel, zlomek.
4.2.1 Krácení a rozšiřování zlomků K utváření chápání zlomku jako reprezentanta racionálního čísla dochází pomocí rozšiřování a krácení zlomků. „Zlomek rozšíříme, když čitatele a jmenovatele zlomku vynásobíme stejným celým číslem různým od nuly.“51 ∀ a , b , c ∈ ℤ , b≠0, c≠0:
a⋅c b⋅c 3
Příklad: Rozšiřte sedmi zlomek 8 . Řešení:
3 3⋅7 21 ⋅7 = = 8 8⋅ 7 56
Zlomek zkrátíme, když čitatele a jmenovatele zlomku vydělíme týmž celým číslem různým od nuly. Po krácení získáváme opět zlomek.52 51 ODVÁRKO, Oldřich; KADLEČEK, Jiří. Přehled matematiky pro základní školy a víceletá gymnázia. Str. 47 52 srv. ODVÁRKO, Oldřich; KADLEČEK, Jiří. Přehled matematiky pro základní školy a víceletá gymnázia.
34 / 86
∀ a , b , c ∈ ℤ , b≠0, c≠0:
a:c b:c
Žáci si na modelech, se kterými pracovali při zavádění zlomku jako částí celku, přibližují rozšiřování a naopak krácení zlomku. Učí se, že např. zlomek zapsat pomocí ekvivalentních zlomků
2 3 4 5 4, 6, 8, 10
1 2
mohou také
.
„Precizní uvedení tohoto učiva zabrání v budoucnu chybám, kdy žáci obtížně rozlišují situace: 1 16 a) zápis smíšeného čísla pomocí zlomku, např. 3 5 = 5 zapisují chybně jako 3⋅1 3 = 3⋅5 15
1 3 b) násobení zlomku přirozeným číslem, např. 3 5 = 5 násobí chybně jako 3⋅1 3 = .“53 3⋅5 15
Klademe důraz na pojem zlomek v základním tvaru. „Zlomek je zlomkem v základním tvaru, jestliže absolutní hodnota čitatele a absolutní hodnota jmenovatele jsou nesoudělná čísla.“54 1
2
3
11
Např. 2 ; 3 ; 4 ; 73 . Žáci se také učí znázorňovat zlomky na číselné ose. Při znázorňování zlomků na číselné ose je vhodné zobrazit na číselné ose obrazy přirozených čísel. „Při znázornění zlomků na číselné ose je nutné respektovat skutečnost, že obrazem 1
čísla na číselné ose je bod, nikoliv interval, tedy např. obrazem čísla 2 a všech zlomků s tímto zlomkem ekvivalentních je bod, úsečka nebo obdélník, jak někdy žáci znázorňují.“55 Str. 49 53 BLAŽKOVÁ, Růžena. Co, proč a jak ve školské matematice II. Zlomky. Matematika, fyzika, informatika. str. 398 54 ODVÁRKO, Oldřich; KADLEČEK, Jiří. Přehled matematiky pro základní školy a víceletá gymnázia. Str. 49 55 BLAŽKOVÁ, Růžena. Co, proč a jak ve školské matematice II. Zlomky. Matematika, fyzika, informatika. str. 398
35 / 86
Ilustrace 1: Znázornění zlomků na číselné ose.
4.2.2 Rovnost zlomků, porovnávání zlomků Rovnost zlomků zavádíme pomocí modelů, například pomocí skládání listu papíru, 2 4 8 16 kdy můžeme žákům názorně ukázat, že 1 = 2 = 4 = 8 = 16 .
Porovnávání zlomků zavádíme v několika krocích:56
1. Porovnáváme zlomky pomocí číselné osy. Žáci porovnávají zlomky na číselné ose s jednoznačně vyznačenou stupnicí. Pokud porovnáváme zlomky pomoci číselné osy, měly by být na ose zaznačeny obrazy celých čísel. Větší zlomek z porovnávaných zlomků je ten, jehož obraz je na číselné ose více vpravo. „Menší zlomek je na číselné ose znázorněn vlevo od většího zlomku.“57 3 7 1 Příklad: Porovnej zlomky 4 , 8 , 2 pomocí číselné osy.
56 BLAŽKOVÁ, Růžena. Co, proč a jak ve školské matematice II. Zlomky. Matematika, fyzika, informatika. str. 398 – 400 57 ODVÁRKO, Oldřich; KADLEČEK, Jiří. Matematika pro 7. ročník základní školy. str. 14
36 / 86
Řešení:
Ilustrace 2: Porovnávání zlomků na číselné ose 1
3
7
Z číselné osy vyčteme, že 2 < 4 < 8 .
2. Porovnáváme zlomky se stejným jmenovatelem. Porovnávání zlomků se stejným jmenovatelem provádíme pomocí modelu. Žáci si při porovnávání zlomků se stejným jmenovatelem pomáhají modely, které již znají, např. kruh, obdélník, čtverec, úsečka, na kterým vyznačují dané části a porovnávají je. Z manipulativní činnosti jsou žáci schopni vyvodit následující pravidlo pro porovnávání zlomků se stejným jmenovatelem: „Ze dvou zlomků se stejnými jmenovateli je větší ten, který má většího čitatele.“58 3 7 ❑ 10 10
3 < 10 2
5
3 7 < 10 10 3
2
7
9
Př. Porovnejte následující dvojice zlomků: 6 a 6 , 4 a 4 , 15 a 15 .59
Illustration 3: Porovnávání zlomků. Převzato z: HERMAN, Jiří. Matematika : racionální čísla, procenta. 58 ODVÁRKO, Oldřich; KADLEČEK, Jiří. Matematika pro 7. ročník základní školy. str. 14 59 srv. HERMAN, Jiří. Matematika: racionální čísla, procenta. str. 39
37 / 86
3. Porovnáváme zlomky, v nichž první jmenovatel je násobkem druhého. Pokud je jmenovatel prvního z porovnávaných zlomků násobkem jmenovatele druhého porovnávaného zlomku, rozšíříme zlomek s menším jmenovatelem a dále porovnáváme zlomky se stejnými jmenovateli. 3
5
Příklad: Porovnejte zlomky 4 a 8 . Řešení:
3 5 ❑ 4 8 (3⋅ 2) 5 ❑ (4⋅ 2) 8 6 5 ❑ 8 8 6 5 > 8 8
4. Porovnáváme zlomky, jejichž jmenovatele jsou čísla nesoudělná. Zlomky s nesoudělnými jmenovateli porovnáváme tak, že převedeme zlomky na zlomky se společným jmenovatelem a následně je porovnáme. a b
Zlomky nejmenšího
a
c d
převedeme na zlomek se společným jmenovatele buďto pomocí
společného
násobku
jednotlivých
jmenovatelů n(b , d ) anebo
hledaný
jmenovatel získáme vynásobením jednotlivých jmenovatelů. Žáci se seznamují s pojmy: společný jmenovatel, nejmenší společný jmenovatel a s algoritmem převádění zlomků na zlomky se společným jmenovatelem. 6
5
Příklad: Porovnejte zlomky 5 a 6 . Řešení: 6 ❑ 5 5
n(5,6) = 30 6 6⋅6 5⋅ 5 ❑ 5⋅6 6⋅5 36 25 ❑ 30 30 36 25 > 30 30 6 5 > 5 6
38 / 86
5. Porovnáváme zlomky, jejichž jmenovatelé jsou čísla soudělná, ale jmenovatel prvního zlomku není násobkem jmenovatele druhého zlomku. Žáci při porovnávání zlomků, jejichž jmenovatelé jsou čísla soudělná, ale ne násobek, hledají nejmenší společný násobek obou čísel ve jmenovatelích a později převádí zlomky na zlomky se společným jmenovatelem. 5
7
Příklad: Porovnejte zlomky 8 a 12 . Řešení: 5 ❑ 7 8
n(8,12) = 24 12 5⋅ 3 7⋅2 ❑ 8⋅ 3 12 ⋅2 15 14 ❑ 24 24 15 14 > 24 24 5 9 > 8 12
6. Porovnáváme zlomky pomocí šipkového pravidla. Šipkové pravidlo vychází přímo z definice porovnávání zlomků, tj. jestliže ad < bc, a c potom b < d .60 3
4
Příklad: Užitím šipkového pravidla porovnejte zlomky 4 a 7 . Řešení:
3 4 ❑ 4 7 7 ⋅3 ❑ 4⋅4 21 > 16 3 4 > 4 7
Po porovnávání zlomků s různými jmenovateli by žáci měli být schopni vyvodit obecné pravidlo pro porovnávání zlomků, tj.: porovnáváme-li dva zlomky s různými jmenovateli a různými čitateli, větší zlomek je ten, jehož jmenovatel je menší.61
60 srv. BLAŽKOVÁ, Růžena. Co, proč a jak ve školské matematice II. Zlomky. Matematika, fyzika, informatika. str. 399 – 401 61 srv. BLAŽKOVÁ, Růžena. Texty k přednášce Didaktika matematiky I, PdF Brno, 2010
39 / 86
4.2.3 Smíšené číslo Žáci se také seznamují se zápisem nepravého zlomku formou smíšeného čísla. Smíšené číslo vyjadřuje zápis nepravého zlomku. 5 1 137 37 2100 558 Např.: 2 = 2 2 ; 100 = 1 100 ; 1542 = 1 1542
„Smíšené číslo je zkrácený zápis součtu celého čísla různého od nuly a zlomku, který je různý od nuly a jehož absolutní hodnota je menší než 1.“62 5 1 137 37 2100 558 Např.: 2 = 2 + 2 ; 100 = 1 + 100 ; 1542 = 1+ 1542
Každé smíšené číslo lze zapsat jako zlomek a každý zlomek s absolutní hodnotou větší než jedna lze zapsat pomocí smíšeného čísla. Smíšené číslo se skládá z celého čísla (celku) a zlomku.
4.3 Zlomek jako naznačené dělení V případě zlomku jako naznačeného dělení mohou nastat následující situace: dělení je ukončené nebo dělení je neukončené. Pokud je dělení neukončené, zavádíme periodická čísla. Ta mohou být ryze periodická, tj. jedno číslo nebo skupina čísel se opakují, nebo neperiodická, tj. opakující se číslo nebo skupinu čísel předchází číslo nebo skupina čísel, která se neopakuje.63 Příklad: 2
a) Ukončené dělení: 5 = 2 : 5 = 0,4 ;
14 = 14 : 7 = 2 7
2
b) Ryze periodické číslo: 3 = 2 : 3 = 0,6666... = 0, 6 11
c) Neryze periodické číslo: 12 = 11 : 12 = 0,9166666... = 0,91 6 62 ODVÁRKO, Oldřich; KADLEČEK, Jiří. Přehled matematiky pro základní školy a víceletá gymnázia. Str. 53 63 srv. BLAŽKOVÁ, Růžena. Co, proč a jak ve školské matematice II. Zlomky. Matematika, fyzika, informatika. str. 401
40 / 86
Na základní škole se žáci učí vyjádřit periodické číslo zlomkem. Příklad: „Zapište pomocí zlomku číslo 0, 45 .“64 Řešení: Při řešení této úlohy můžeme využít vztah pro součet n členů nekonečné geometrické řady s n =
a1 1−q
. Na základní škole však uplatníme postup, kdy si periodické řešení
označíme jako např. x a vhodnými úpravami dospějeme k zápisu zlomku. Tedy:
0, 45454545... = x
Vynásobíme takovou mocninou deseti, kolik je členů periody,
v tomto případě 10 2 , čili 100: 45,4545 ... = 100 x Odečteme první rovnici od druhé:
(45,4545 ... − 0,4545...) = (100x − x) 45 = 99x 45 99 5 x= 11 x=
Vyjádříme x a zapíšeme zlomkem v základním tvaru:
.65
4.4 Početní operace se zlomky Žáci si postupně osvojují jednotlivé početní operace se zlomky. Tyto operace žáci využívají v praktickém životě, např. při nákupech, vaření; v dalším učivu, např. při úpravách a počítání s lomenými výrazy, v učivu o přímé úměře, počítání s procenty; v algebře.
4.4.1 Sčítání zlomků Ve školské matematice vyvozujeme součet dvou zlomků a hledání společného jmenovatele na konkrétních příkladech. Při vyvozování sčítání zlomků vycházíme z konkrétních modelů a situací.
64 BLAŽKOVÁ, Růžena. Co, proč a jak ve školské matematice II. Zlomky. Matematika, fyzika, informatika. str. 402 65 srv. BLAŽKOVÁ, Růžena. Co, proč a jak ve školské matematice II. Zlomky. Matematika, fyzika, informatika. str. 402
41 / 86
„Na modelech ilustrujeme sčítání částí celku a snažíme se vyhledávat, jakou stejnou částí celku můžeme vyjádřit obě původní části. Toto je v důsledku propedeutika hledání společného jmenovatele zlomků – tedy racionálních čísel, která chceme sčítat.“66 V příkladech na sčítání zlomků využíváme opět situace, které děti znají: cesta na zastávku mi trvá čtvrt hodiny, půl hodiny jedu autobusem, jak dlouho mi trvá celá cesta do školy; piji pětinu litru mléka a sestra čtvrtinu litru mléka; sním jednu čtvrtinu čokolády, pak ještě jednu třetinu čokolády. Konkrétní situace z příkladu opět modelujeme na modelech – úsečka, kruh, obdélník, zapisujeme pomocí zlomků a sčítáme. Při sčítání zlomků aplikujeme následující metodickou řadu:67
1. Sčítáme zlomky se stejnými jmenovateli. Zlomky se stejným jmenovatelem sečteme tak, že jmenovatel opíšeme a jednotlivé čitatele sečteme. 3
2
Příklad: Sečtěte zlomky 6 a 6 . 3 2 3+2 5 Řešení: 6 + 6 = 6 = 6 2 4
Příklad: Katka vypije
3
litru džusu, Jenda vypije 4 litru džusu. Kolik džusu vypijí
dohromady? 2
3
5
1
Řešení: 4 + 4 = 4 = 1 4 3
2
5
1
Provedeme zkoušku: 4 + 4 = 4 = 1 4 1 Katka a Jenda dohromady vypijí 1 4 litru džusu.
66 BLAŽKOVÁ, Růžena. Co, proč a jak ve školské matematice III. Operace se zlomky - sčítání a odčítání. Matematika, fyzika, informatika. str. 464 67 srv. BLAŽKOVÁ, Růžena. Co, proč a jak ve školské matematice III. Operace se zlomky - sčítání a odčítání. Matematika, fyzika, informatika. str. 465
42 / 86
2. Sčítáme zlomky, jejichž první jmenovatel je násobkem druhého. Zlomek s menším jmenovatelem rozšíříme a zlomky se společným jmenovatelem sečteme. 2
5
Příklad: Sečtěte zlomky 3 a 6 . 2
5
2⋅ 2
5
4
5
9
3
1
Řešení: 3 + 6 = 3⋅ 2 + 6 = 6 + 6 = 6 = 1 6 = 1 2 1
1
Příklad: Katka vypije 2 litru džusu, Jenda vypije 4 litru džusu. Kolik džusu vypijí dohromady? 1
1
Řešení: 2 + 4 =
1⋅ 4+1⋅ 2 4 +2 6 3 = = = 2⋅4 8 8 4 1
1
Provedeme zkoušku: 4 + 2 =
1+2 3 = 4 4
3
Katka s Jendou vypijí 4 litru džusu.
3. Sčítáme zlomky, jejichž jmenovatelé jsou nesoudělná čísla. Zlomky, jejichž jmenovatelé jsou nesoudělná čísla, sečteme tak, že zlomky převedeme na zlomky s nejmenším společným jmenovatelem a zlomky sečteme. 3
2
2 ⋅4
9
Příklad: Sečtěte zlomky 4 a 3 . 3
2
3⋅ 3
8
17
5
Řešení: 4 + 3 = 4⋅ 3 + 3 ⋅4 = 12 + 12 = 12 = 1 12
4. Sčítáme zlomky, jejichž jmenovatelé jsou soudělná čísla, ale první jmenovatel není násobkem druhého jmenovatele. Zlomky s různými jmenovateli sečteme tak, že převeme jednotlivé zlomky na zlomek s nejmenším společným jmenovatelem a získáné čitatele sečteme. 3
7
Příklad: Sečtěte zlomky 6 a 8 . 3 7 (3⋅ 4) + (7⋅3) 12 + 21 33 9 3 = = =1 =1 Řešení: 6 + 8 = 24 24 24 24 8
43 / 86
5. Sčítáme smíšená čísla (oběma způsoby). „Smíšená čísla sčítáme tak, že buď sečteme zvlášť celky a zvlášť zlomkové části, nebo smíšená čísla zapíšeme jako nepravé zlomky a sečteme je.“68 1 2 Příklad: Sečtěte smíšená čísla 1 2 a 3 3 .
Řešení: Jsou dva způsoby, kterými můžeme sčítat smíšená čísla: a)
1
1 2 1⋅ 3 + 2⋅2 3 +4 7 1 +3 = 4 =4 =4 =5 2 3 6 6 6 6
b)
1
1 2 2 + 1 9 + 2 3 11 3⋅3 + 11 ⋅2 9 + 22 31 1 +3 = + = + = = = =5 2 3 2 3 2 3 6 6 6 6
Neměli bychom zapomínat u všech příkladů na zkoušku správnosti. Jelikož žáci umí nyní zlomky pouze sčítat, zkoušku můžeme provést tak, že jednotlivé sčítance zaměníme. „Dále je nutné si uvědomit, že při práci s modely nesčítáme modely, ale pouze jejich počet, tedy části celku k sobě přidáváme, přisouváme, ale nesčítáme je, sčítáme pouze čísla, kterými počet částí zapíšeme.“69 Pokud využíváme modely, dbáme na správné grafické znázornění a zápis. Správné grafické znázornění sčítání zlomků:
Ilustrace 4: Správné grafické znázornění sčítání zlomků. Převzato z: MOLNÁR, Josef. Matematika 7.
68 ŠAROUNOVÁ, Alena. Matematika 7. str. 131 69 BLAŽKOVÁ, Růžena. Co, proč a jak ve školské matematice III. Operace se zlomky - sčítání a odčítání. Matematika, fyzika, informatika. str. 464
44 / 86
Ilustrace 5: Správné grafické znázornění sčítání zlomků. Převzato z: MOLNÁR, Josef. Matematika 7.
Chybné znázornění sčítání zlomků:
Ilustrace 6: Chybné grafické znázornění odčítání zlomků. Převzato z: ODVÁRKO, Oldřich; KADLEČEK, Jiří. Matematika pro 7. ročník základní školy.
Ilustrace 7: Chybné grafické znázornění odčítání zlomků. Převzato z: PŮLPÁN, Zdeněk; ČIHÁK, Michal; MÜLLEROVÁ, Šárka. Matematika 7 pro základní školy.
45 / 86
Výše uvedený zápis je chybný z toho důvodu, že nemůžeme sčítat konkrétní předměty, ale pouze jejich počet. Je porušen princip rovnosti množin a ekvivalence množin. Ke znázornění příkladu je také potřeba dvakrát tolik prvků.70 V učebnicích matematiky se častokrát setkáváme s chybným grafickým znázorněním. Výše uvedená grafická znázornění sčítání zlomků se stejnými jmenovateli nebo sčítání zlomků s různými jmenovateli se nachází v několika učebnících matematiky, se kterými žáci mohou na základních školách pracovat. Častou chybou u žáků je tendence sčítat čitatele s čitatelem a jmenovatele se jmenovatelem. Dále mají žáci potíže se sčítáním, pokud mají sečíst zlomky s většími jmenovateli, než jsou schopni si představit na konkrétních modelech. Další chybou, se kterou se můžeme u žáků setkat, je aplikace postupu násobení zlomků na jejich sečtení.
4.4.2 Odčítání zlomků Při zavádění odčítání zlomků opět žákům ukazujeme nejdříve odčítání zlomků pomocí různých modelů, avšak je to složitější než u operace sčítání. Metodická řada odčítání zlomků je analogická jako při sčítání zlomků.71 Zlomky se stejnými jmenovateli odčítáme tak, že jmenovatel opíšeme a jednotlivé čitatele odečteme. 3
2
Příklad: Odečtěte zlomky 5 a 5 . 3
2
1
Řešení: 5 − 5 = 5
Zlomky s různými jmenovateli odečteme tak, že zlomky převedeme na zlomek se společným jmenovatelem a získané čitatele odečteme. 70 BLAŽKOVÁ, Růžena. Co, proč a jak ve školské matematice III. Operace se zlomky - sčítání a odčítání. Matematika, fyzika, informatika. str. 465 71 srv. BLAŽKOVÁ, Růžena. Co, proč a jak ve školské matematice III. Operace se zlomky - sčítání a odčítání. Matematika, fyzika, informatika. str. 468 – 469
46 / 86
2
4
Příklad: Odečtěte 5 a 7 . 2
4
Řešení: 5 − 7 =
(2⋅7)−( 4⋅5) 14−20 6 = =− 35 35 35 1
Příklad: Jana otevřela jednolitrovou krabici mléka a nalila si do hrnečku 4 litru. Maminka 5
potřebuje na koláč 8 litru mléka. Bude jí zbytek mléka stačit?72 1 4 −1 3 Řešení: Nejdříve vypočítáme, jaká část mléka zůstala v krabici: 1 − 4 = 4 = 4 . Vypočí-
táme, zda zbytek mléka bude mamince stačit, tj. odečteme od zbytku mléka potřebnou část 3
5
mléka: 4 − 8 =
3⋅2 − 5 6 − 5 1 = = 8 8 8 1
5
1
6
. 1
Provedeme zkoušku: 8 + 8 + 4 = 8 + 4 =
6 +2 8 = =1 8 8
Zbytek mléka bude mamince stačit.
„Některým žákům dělá problémy odčítání většího čísla od menšího a odčítání smí3 2 šených čísel typu 12 4 − 7 3 , kdy zlomek v menšenci je menší než zlomek v menšiteli.“73 4 1 Příklad: Vypočtěte: 10 5 − 5 6 .74
Řešení: Danou úlohu můžeme řešit dvěma způsoby: 1)
10
2)
10
4 1 54 31 54⋅ 6 − 31 ⋅5 324 − 155 169 19 −5 = − = ⋅6 = = =5 5 6 5 6 5 30 30 30
4 1 4 1 4 1 − 5 = (10 + ) − (5 + ) = (10 − 5)+( − ) = 5 6 5 6 5 6 4⋅6 − 1⋅5 24−5 19 19 =5 +( )= 5+( )= 5+ =5 5⋅6 30 30 30
72 ODVÁRKO, Oldřich; KADLEČEK, Jiří. Matematika pro 7. ročník základní školy. Str. 27 73 BLAŽKOVÁ, Růžena. Co, proč a jak ve školské matematice III. Operace se zlomky - sčítání a odčítání. Matematika, fyzika, informatika. str. 469 74 HERMAN, Jiří. Matematika: racionální čísla, procenta. Str. 68
47 / 86
1 4 Příklad: Vypočtěte: 10 6 − 5 5 .
Řešení: 1 4 61 29 61⋅5 − 29⋅6 305 − 174 131 11 = = =4 1) 10 6 − 5 5 = 6 − 5 = 6⋅5 30 30 30
2)
1 4 1 4 1⋅5 − 4⋅6 − 5 = (10 − 5) + ( − ) = 5+( )= 6 5 6 5 5⋅6 5 − 24 19 30 19 11 11 = 5+( ) = 5 + (− ) = 4 + ( − )=4 +( )= 4 30 30 30 30 30 30 10
Jak je zřetelné z výše uvedeného příkladu, odečítání smíšených čísel můžeme řešit dvojím zpúsobem: buďto převedeme smíšená čísla na zlomky, ty poté odečteme a výsledek převedeme na smíšené číslo, nebo převedeme smíšená čísla na součty celých čísel a zlomků, a potom odečteme celá čísla zvlášť a zlomky zvlášť. Rozdíly poté opět sečteme a převedeme na smíšené číslo. V případě, že je menšitel větší než menšenec, potom pokud odčítáme celky zvlášť a zlomky zvlášť, nesmíme při sčítání celku, který je rozdílem dvou původních celků, a záporného zlomku zapomenout na to, že od celku daný zlomek odčítáme. Žáci mnohdy bezmyšlenovitě celek se zlomkem sečtou a před výsledek dopíši znaménko mínus. Příklady na odčítání zlomků, ve kterých je menšenec menší než menšitel, zavádíme až poté, co žáci zvládají počty s kladnými zlomky. Při zavádění odčítání zlomků opět bychom měli uvádět příklady, které žáci dobře 3
znají, např. snědl jsem 8 dortu, jaká část dortu zůstala na talíři? Správné grafické znázornění odčítání zlomků:75
75 srv. ODVÁRKO, Oldřich; KADLEČEK, Jiří. Matematika pro 7. ročník základní školy. Str. 26
48 / 86
Illustration 8: Správné grafické znázornění odčítání zlomků. Převzato z: BLAŽKOVÁ, Rùžena. Co, proč a jak ve školské matematice III. Operace se zlomky- sčítání a odčítání. Matematika, fyzika, informatika.
Ilustrace 9: Správné grafické znázornění odčítání zlomků. Převzato z: MOLNÁR, Josef. Matematika 7.
Chybné grafické znázornění odčítání zlomků:
Illustration 10: Chybné grafické znázornění odčítání zlomků. Převzato z: ODVÁRKO, Oldřich; KADLEČEK, Jiří. Matematika pro 7. ročník základní školy.
49 / 86
Ilustrace 11: Chybné grafické znázornění odčítání zlomků. Převzato z: PŮLPÁN, Zdeněk; ČIHÁK, Michal; MÜLLEROVÁ, Šárka. Matematika 7 pro základní školy.
Při grafickém znázorňování příkladů si musíme dát pozor na zápis. Tak jako při sčítání zlomků je výše uvedený grafický zápis chybný. Také v tomto případě se můžeme setkat v mnoha učebnicích pro žáky sedmých tříd základních škol se špatným grafickým znázorněním odčítání zlomků. Výše uvedené obrázky pochází z několika učebnic, se kterými mohou žáci v rámci výuky matematiky na základních školách pracovat.
4.4.3 Násobení zlomků Ve školské matematice zavádíme násobení zlomků nejprve na příkladech násobení zlomku přirozeným číslem. To převedeme, podobně jako násobení přirozených čísel, na sčítání několika stejných sčítanců. Příklad: „Čenda, Anička a Pepa budou házet na koš. Pepa rozhodl, že vzdálenost, že které se bude házet, bude jeho pět kroků. „Kolik je to metrů?“ zajímá se Čenda.
50 / 86
„To si můžete spočítat, můj odměřovací krok je dlouhý přesně tři čtvrtiny metru.“76 3 3 3 3 3 3 3 +3 +3 +3 +3 5⋅3 15 3 = = =3 Řešení: 5⋅ 4 = 4 + 4 + 4 + 4 + 4 = 4 4 4 4 3 Čenda, Anička a Pepa budou házet ze vzdálenosti 3 4 metrů.
Příklady na procvičování volíme opět z praxe a zkušeností žáků, např. výpočet obsahu obdélníku, jehož délka jedné strany je vyjádřena přirozeným číslem a délka druhé strany je vyjádřená zlomkem (např. chodba, zahrada, apod.). Zlomek násobíme celým číslem tak, že čitatel vynásobíme daným celým číslem a jmenovatel opíšeme. 3
Příklad: Vynásobte 7 a 5. 3 3⋅ 5 15 Řešení: 7 ⋅5 = 7 = 7 3
Příklad: Pořadatele školního plesu se rozhodli věnovat 4 zisku na konto Naděje. Zisk je 5 200 korun. Kolik korun věnují na konto?77 3 15600 Řešení: 5200⋅ 4 = 4 = 3900
Pořadatelé věnují na konto 3900 korun. Dále se žáci učí násobení zlomku zlomkem. Jako motivační příklad můžeme zvolit výpočet obsahu obdélníku, jehož délky stran jsou vyjádřeny zlomkem. Pro názornost volíme grafické znázornění situace na čtverečkovaném papíře, z čehož by žáci měli odvodit jak výsledek, tak také princip násobení zlomku zlomkem. „Zlomek násobíme zlomkem tak, že vynásobíme čitatele čitatelem a jmenovatele jmenovatelem.“
76 srv. ODVÁRKO, Oldřich; KADLEČEK, Jiří. Matematika pro 7. ročník základní školy. Str. 28 77 ODVÁRKO, Oldřich; KADLEČEK, Jiří. Matematika pro 7. ročník základní školy. Str. 29
51 / 86
3
7
Příklad: Vypočítejte obsah obdélníku, jehož strany jsou dlouhé 5 dm a 8 dm.78 Řešení:
Ilustrace 12: Grafické řešení
3 7 3⋅7 21 ⋅ = = 5 8 5⋅8 40 21
Obsah obdélníku je roven 40 dm2. „Při výuce zlomků věnujeme také pozornost krácení zlomků, a to jak zlomků jednotlivých, tak tzv. krácení křížem, tj. krácení různých činitelů.“79 Dostatečným procvičováním a opakováním věty týkající se násobení zlomku přirozeným číslem můžeme předejít chybě, které se mohou žáci později, když již umí násobit 3 3 3 9 zlomek zlomkem, dopustit, tj.: 4 ⋅3 = 4 ⋅ 3 = 12 .
78 srv. ODVÁRKO, Oldřich; KADLEČEK, Jiří. Matematika pro 7. ročník základní školy. Str. 37 79 BLAŽKOVÁ, Růžena. Co, proč a jak ve školské matematice IV. Operace se zlomky - násobení a dělení zlomků. Matematika, fyzika, informatika. str. 138
52 / 86
4.4.4 Dělení zlomků Při dělení zlomku přirozeným číslem se opíráme o modely, které žáci již znají – dělení koláče, pizzy, rozlití mléka, apod. Pokud dělíme přirozené číslo zlomkem, můžeme využít praktickou činnost, kdy žáci budou rozlévat například tři litry vody do sklenek o různém objemu a zapisovat si, kolik 1
1
1
sklenek o objemu 5 l, 2 l, 3 l naplní. V příkladech, ve kterých dělíme zlomek zlomkem, můžeme jako motivaci také použít 3
rozlévání tekutiny, přitom její obsah by měl být vyjádřen zlomkem, např. rozléváme 4 lit1
ru mléka do sklenic o objemu 5 litru, nebo výpočet délky strany obdélníku, pokud známe délku jedné strany a obsah obdélníku. 80 Nejdříve se žáky počítáme motivační úlohy, z nichž vyvozujeme postup dělení a pojem převrácený zlomek. Při zavádění dělení zlomků aplikujeme následující metodickou řadu:81
1. Dělíme zlomek přirozeným číslem. „Zlomek dělíme přirozeným číslem tak, tímto číslem vynásobíme jmenovatele zlomku a a a čitatele ponecháme beze změny. b : c = b⋅c “82
Příklad: Vydělte
4 6
dvěma.
4 4 4 1 Řešení: 6 : 2 = 6⋅2 = 12 = 3 3
Příklad: Pepovi zbyly z čokolády už jenom 8 . Ty teď chce spravedlivě rozdělit mezi Aničku a Čendu. Jakou část každý z nich dostane?83 80 srv. BLAŽKOVÁ, Růžena. Co, proč a jak ve školské matematice IV. Operace se zlomky - násobení a dělení zlomků. Matematika, fyzika, informatika.str. 139 – 142 81 srv. BLAŽKOVÁ, Růžena. Co, proč a jak ve školské matematice IV. Operace se zlomky - násobení a dělení zlomků. Matematika, fyzika, informatika. str. 13 82 HERMAN, Jiří. Matematika: racionální čísla, procenta. str. 82 83 ODVÁRKO, Oldřich; KADLEČEK, Jiří. Matematika pro 7. ročník základní školy. Str. 33
53 / 86
3 3 1 3 Řešení: 8 : 2 = 8 ⋅ 2 = 16 3
6
3
Výsledek ověříme zkouškou: 16 ⋅ 2 = 16 = 8 . 3
Každý z nich dostane 16 čokolády.
2. Dělíme přirozené číslo zlomkem. 1
Příklad: Dělíme 5 litrů moštu mezi děti. Každé dítě dostane 4 litru moštu. Kolik dětí podělíme? Řešení: V tabulce si sepíšeme, kolik dětí podělíme následovně jedním, dvěmi, třemi, čtyřmi a pěti litry moštu: Litry
1
2
3
4
5
Počet dětí
4
8
12
16
20
1 Celkem jsme podělili 20 dětí, z čehož vyvodíme, že 5 : 4 = 20 . Víme, že 5⋅ 4 = 20 . 4 Z toho vyplývá, že jsme násobili 5⋅ 1 = 20 .
Pokud bychom měli k dispozici 50 l a plnili je nejdříve po 1 l, naplnili bychom celkem 50 láhví, protože 50 : 1 = 50 . 1
Pokud bychom plnili láhve o objemu 2 litru, naplnili bychom jich dvojnásobek, tj. 100 1 láhví. Z toho vyplývá 50 : 2 = 100 . 1 1 Pokud bychom plnili láhve o objemu 4 litru, naplnili bychom 200 láhví, tj. 50 : 4 = 200 .
Žáci sledují podíl a souvislosti mezi násobenými čísly. Z těchto souvislostí pak vyvozují postup dělení přirozeného čísla zlomkem a seznamují se s pojmem převracený zlomek.84
84 srv. BLAŽKOVÁ, Růžena. Texty k přednášce Didaktika matematiky I, PdF Brno, 2010
54 / 86
a b „Převrácený zlomek ke zlomku b , a ≠ 0 se nazývá zlomek a .“85
Přirozené číslo dělíme zlomkem tak, že toto číslo vynásobíme převráceným zloa c⋅ b mkem, tj. c : b = a .
3. Dělíme zlomek zlomkem. 3
1
Příklad: Dělíme 4 litru mléka do skleniček o objemu 4 litru. Kolik skleniček naplníme? Řešení: Danou úlohu můžeme opět řešit pomocí tabulky, v níž si rozepíšeme objem rozděleného moštu a počet sklenek. Objem rozděleného moštu Počet skleniček
1 4
2 4
litru 1
litru
3 4
2
litru 3
3 1 3 4 3 1 3 4 Z toho vyplývá, že 4 : 4 = 3 , tj. 4 ⋅ 1 =3 a tedy platí 4 : 4 = 4 ⋅ 1 .86
„Zlomek dělíme zlomkem tak, že jej vynásobíme převráceným zlomkem.“87 1
Příklad: Čerpadlo plní vodní nádrž rychlostí 2
hl za 1 minutu. Za kolik minut se naplní
3 nádrž o objemu 15 4 hl?88 3 1 63 1 63 2 63 1 Řešení: 15 4 : 2 = 4 : 2 = 4 ⋅ 1 = 2 = 31 2 1 1 63 1 63 3 Výsledek ověříme zkouškou: 31 2 ⋅ 2 = 2 ⋅ 2 = 4 = 15 4 3 1 Nádrž o objemu 15 4 se naplní za 31 2 minuty. 85 ODVÁRKO, Oldřich; KADLEČEK, Jiří. Přehled matematiky pro základní školy a víceletá gymnázia. Str. 52 86 srv. BLAŽKOVÁ, Růžena. Co, proč a jak ve školské matematice IV. Operace se zlomky - násobení a dělení zlomků. Matematika, fyzika, informatika.str. 140 87 ODVÁRKO, Oldřich; KADLEČEK, Jiří. Přehled matematiky pro základní školy a víceletá gymnázia. Str. 52 88 ODVÁRKO, Oldřich; KADLEČEK, Jiří. Matematika pro 7. ročník základní školy. Str. 35
55 / 86
4. Zavádíme pojem složený zlomek. Složený zlomek je takový zlomek, jehož čitatel nebo jmenovatel nebo čitatel a jmenovatel je zlomek.
„Složený zlomek
a b c d
a c znamená totéž jako b : d . Přitom a může být kterékoliv celé
číslo, b, c, d jsou celá čísla různá od nuly.“89
Složený zlomek může mít následující tvar:
Příklad: „Zjednodušte:
Řešení:
9 14 −3 7
1 1 1 2 4 ; ; 2 3 2 3 3
.
.“90
9 14 9 3 9 7 3 1 = : (− ) = ⋅( ) = − =− 1 3 14 7 14 − 3 2 2 − 7
4.4.5 Vlastnosti operací sčítání a násobení racionálních čísel Žáci se také seznamují s vlastnostmi operací sčítání a násobení v množině racionálních čísel. Operace sčítání je v množině racionálních čísel uzavřená, komutativní, asociativní, neutrálním prvkem je číslo 0 a ke každému číslu existuje inverzní prvek – číslo opačné. „Komutativnost, asociativnost sčítání racionálních čísel a existenci neutrálního prvku ilustrujeme na konkrétních příkladech, další vlastnosti vzhledem k probranému učivu (pokud pracujeme nejprve se zlomky kladnými a záporné zlomky zavedeme později).“91 89 ODVÁRKO, Oldřich; KADLEČEK, Jiří. Přehled matematiky pro základní školy a víceletá gymnázia. Str. 52 90 HERMAN, Jiří. Matematika: racionální čísla, procenta. Str. 92 91 BLAŽKOVÁ, Růžena. Co, proč a jak ve školské matematice III. Operace se zlomky - sčítání a odčítání. Matematika, fyzika, informatika. str. 466
56 / 86
Příklad: Komutativita sčítání 3 5 9 + 10 19 + = = 4 6 12 12 5 3 10 + 9 19 + = = 6 4 12 12
Z toho vyplývá, že po záměně sčítanců se součet nemění.92 Příklad: Asociativita sčítání 1 3 7 1 3 7 2+3 7 5 7 25 + 14 39 + + =( + )+ = + = + = = 2 4 10 2 4 10 4 10 4 10 20 10 1 3 7 1 3 7 1 15 + 14 1 29 10 + 29 39 + + = +( + )= + = + = = 2 4 10 2 4 10 2 20 2 20 20 20
„Při sčítání tří sčítanců můžeme nejdříve sečíst první dva sčítance a k jejich součtu přičíst třetího sčítance, nebo k prvnímu sčítanci přičíst součet druhého a třetího sčítance. Součet se nezmění.“93 Příklad: Neutrální prvek vzhledem k operaci sčítání 5 5 +0= 8 8
Přičteme-li k libovolnému zlomku nulu, součet je roven danému zlomku. „Násobení racionálních čísel je operace uzavřená, komutativní, asociativní, neutrálním prvkem je číslo 1, číslo 0 je prvkem agresivním. Ke každému racionálnímu číslu (s výjimkou nuly) existuje inverzní prvek, což je číslo převracené. Součin zlomku a zlomku k němu převrácenému je roven 1.“94 Příklad: Komutativita násobení 3 5 3⋅ 5 15 ⋅ = = 4 7 4⋅ 7 28
92 srv. TREJBAL, Josef; JIROTKOVÁ, Darina; SÝKORA, Václav. Matematika pro 7. ročník základní školy. Str. 29 93 TREJBAL, Josef; JIROTKOVÁ, Darina; SÝKORA, Václav. Matematika pro 7. ročník základní školy. Str. 29 94 BLAŽKOVÁ, Růžena. Co, proč a jak ve školské matematice IV. Operace se zlomky - násobení a dělení zlomků. Matematika, fyzika, informatika. str. 138
57 / 86
5 3 5⋅ 3 15 ⋅ = = 7 4 7⋅ 4 28
Činitelé můžeme násobit v libovolném pořadí.95 Příklad: Asociativita násobení (
17 3 1 51 1 51 ⋅ )⋅ = ⋅ = 2 4 2 8 2 16
17 3 1 17 3 51 ⋅( ⋅ ) = ⋅ = 2 4 2 2 8 16
Činitele můžeme vynásobit tak, že součin prvních dvou činitelů vynásobíme třetím nebo prvním činitelem vynásobíme součin druhého a třetího činitele. Výsledek se nezmění.96 Příklad: Neutrální prvek vzhledem k operaci násobení 3 3⋅ 1 3 ⋅1 = = 7 7 7
„Zlomek se nezmění, násobíme-li jej číslem 1.“97 Příklad: Agresivní prvek vzhledem k operaci násobení racionálních čísel 2 ⋅0 = 0 5
„Součin libovolného zlomku a čísla nula je roven nule.“98
4.5 Pomůcky a didaktické hry Ve vyučování můžeme použít mnoho zajímavých pomůcek a nápadů. Žáci si při manipulaci s nimi upevňují základní pojmy a početní operace se zlomky. Na metodickém portálu RVP nalezneme například zlomkové pexeso, zlomkové domino nebo pracovní list s obrazci a zlomky. Žáci vybarvují danou část kruhu, v druhé
95 96 97 98
srv. MÜLLEROVÁ, Jana. Matematika pro 7. ročník základní školy: aritmetika. Str. 41 srv. MÜLLEROVÁ, Jana. Matematika pro 7. ročník základní školy: aritmetika. Str. 41 srv. MÜLLEROVÁ, Jana. Matematika pro 7. ročník základní školy: aritmetika. Str. 41 MÜLLEROVÁ, Jana. Matematika pro 7. ročník základní školy: aritmetika. Str. 41
58 / 86
aktivitě žáci přiřazují zlomky k jednotlivým útvarům, a pak vybarvují danou část útvaru. Tato aktivita vede žáky k utvrzování pojmů čitatel a jmenovatel.99 Pokud si žáci vytvoří pexeso či domino sami, budou již při jeho výrobě nuceni přemýšlet o tom, jaký obrazec zvolit, na kolik částí ho rozdělit, kolik z nich vybarvit, apod. Vhodnou pomůckou je také tzv. zlomkovnice obsahující barevně odlišené celky rozdělené na různý počet částí, kterou si můžou žáci vyrobit. Již během výroby zlomkovnice učitel se žáky procvičuje pojmy zlomek, čitatel, jmenovatel pomocí otázek, na kolik dílů daný celek dělíme, apod. Zlomkovnici pedagog může využívat i v dalších hodinách, kdy se žáky probírá porovnávání zlomků nebo početní operace se zlomky. 100 V knize Co dokážu s matematikou (King, 1999) v kapitole týkající se zlomků nalezneme příklady ze života, které jsou dětem blízké: rozkrojenou pizzu, rozkrájená jablka. V této knize nalezneme i zlomkovou zeď, kterou může pedagog ve svých hodinách použít.
Illustration 13: Zlomková zeď. Převzato z: KING, Andrew. Co dokážu s matematikou.
Žáci barevně odliší jednotlivá patra zdi, zeď rozstříhají na jednotlivé cihly a znovu ji poskládají tak, aby v každém patře použili minimálně dvě odlišné cihly a byla dodržena šířka zdi. První patro – cihla č.1, která představuje celek, slouží žákům jako vzor. 99 srv. METODICKÝ PORTÁL RVP. Metodický portál – inspirace a zkušenosti učitelů. [online]. [cit. 2012 – 17 - 02]. Dostupné z World Wide Web:
100 srv. METODICKÝ PORTÁL RVP. Výroba a využití zlomkovnice. [online]. 23. 9. 2011 [cit. 2012 – 17 02]. Dostupné z World Wide Web:
59 / 86
Po této činnosti pedagog s žáky diskutuje o možnostech, jaké cihly v daném patře použili. Žáci se učí vyjadřovat celek pomoci různých kmenových zlomků a sčítat je. V učivu o krácení a rozšiřování zlomků využíváme nejčastěji list papíru, který žáci skládají a všímají si, jak se například polovina listu zároveň rovná jeho dvěma čtvrtinám, čtyřem osminám, atd. Tento model můžeme dále využít při vyjádřování různých částí celku. Žáci si mohou libovolnou část papíru vybarvit a vyjádřit zlomkem. Obměnou mohou být pracovní listy, které pedagog rozdá žákům buďto s již barevně připraveným čtvercem či jiným obrazcem rozděleným na n částí, anebo černobíle připraveným obrazcem. Velmi dobré využití má v tomto učivu také obyčejný čtverečkovaný papír, kdy pouze 12
1
5
stačí žákům napsat různé zlomky, které mají graficky znázornit, např. 53 ; 81 ; 37 . Podobně můžeme využít i šachovnici, se kterou se žáci již mohli setkat. Můžeme žákům zadávat následující otázky: –
Jaká část šachovnice je bílá / černá?
–
Jakou částí šachovnice je 1 černý čtverec? Čtyři černé čtverce? Osm bílých čtverců? Osm čtverců libovolné barvy? 101 Můžeme použít další stolní hry, které žáci znají – Černého Petra, Kvarteto nebo oby-
čejné hrací karty a zjišťovat například, jakou část celého balíčku tvoří píky, srdce, esa, apod. Určování části z celku můžeme propojit také s převodem jednotek. Žáci se již setkali s půllitrem limonády, s čtvrtlitrem mléka, se čtvrtinou metru, apod. Mohli bychom v rámci vyučovací hodiny se žáky rozlévat vodu do nádob s různými objemy, měřit metrem délku kroku, rozpažení a vyjadřovat dané délky a objemy pomocí zlomků jakožto části z konkrét1 ního celku, např. 50 cm = 2 m . Aktivitu s rozléváním vody můžeme použít jako motivaci
při zavádění dělení zlomků. 101 srv. ROSECKÁ, Zdena; ČUHAJOVÁ, Vladimíra; RŮŽIČKA, Jiří. Aritmetika : učebnice pro 7. ročník. Str. 20
60 / 86
V notovém zápisu využíváme noty půlové, čtvrťové, osminové, šestnáctinové, atd., které již ve svém názvu obsahují zlomky. Žáci mohou vyjádřiv jednotlivé délky not zlomkem, seznámit se s třičtvrťovým taktem, čtyřčtvrťovým, doplňovat do notového zápisu chybějící noty tak, aby byl zachován předepsaný takt.102 Na metodickém portálu RVP nalezneme také mnoho aktivit k opakování probraného učiva. Jednou z možných forem opakování může být hra AZ kvíz, inspirovaná stejnojmenným televizním pořadem. Žáci se stejně jako soutěžící snaží propojit tři strany trojúhelníku pomocí šestiúhelníkových polí, kterými je daný trojúhelník vyplněn. Každé z polí obsahuje početní úlohu, za jejíž správné vyřešení žáci získávají bod.103 Abychom se žáky nepočítali pouze příklady typu
3 3 33 + = 4 7 28
. můžeme jako
zpestření použít tzv. magické čtverce nebo číselné pyramidy, kdy žáci sami musí nejprve přijít na klíč sestavování magického čtverce či pyramidy, a až potom doplňují výsledky do jednotlivých polí.104
102 srv. MOLNÁR, Josef. Matematika 7. Str. 32 - 33 103 srv. METODICKÝ PORTÁL RVP. AZ kvíz – početní operace se zlomky. [online]. 5. 8. 2011 [cit. 2012 – 14 - 04]. Dostupné z World Wide Web: 104 srv. HUSAR, Petr. Matematikou krok za krokem k přijímacím zkouškám : kalendář řešených písemek pro 7. a 8. ročník ZŠ. Str. 41
61 / 86
Ilustrace 14: Číselné pyramidy a magické čtverce. Převzato z: HUSAR, Petr. Matematikou krok za krokem k přijímacím zkouškám : kalendář řešených písemek pro 7. a 8. ročník ZŠ.
Důležitou roli hraje také samostatnost žáků. Je dobré nechat žáky, aby sami formulovali úlohy.
62 / 86
5 Výzkumné šetření 5.1 Cíl výzkumného šetření Cílem výzkumného šetření bylo ověření, jak žáci zvládají učivo o zlomcích a zda se dopouštějí chyb, které byly popsány v předchozí části práce, tj. zda jim
činí potíže
porovnávání racionálních čísel, zda se při sčítání dvou zlomků dopouštějí chyby, ve které sčítají čitatele s čitatelem a jmenovatele se jmenovatelem, zda při násobení neaplikují algoritmus sčítání racionálních čísel, zda nezapomínají na základní pravidla, jakými je přednost operací, ověření výsledku zkouškou, odpověď na otázku ve slovní úloze.
5.2 Charakteristika statistického souboru Výzkumné šetření bylo provedeno v sedmých třídách následujích základních škol: Základní školy Bakalovo nábřeží 8, Mateřské a základní školy Křídlovická 30b a Základní a mateřské školy Jana Broskvy 3. Didaktický test vyplnilo celkem 142 žáků, z toho 48 testů vyplnili žáci ze Základní školy Bakalovo nábřeží 8, 35 testů vyplnili žáci ze Základní a mateřské školy Jana Broskvy 3 a 59 testů vyplnili žáci z Mateřské a základní školy Křídlovická 30b.
5.3 Metody výzkumu Statistická data byla získána formou zadání didaktického testu, který obsahoval čtyři úlohy. Byla použita metoda kvantitativního výzkumu.
5.4 Hypotézy šetření Hypotéza 1: Žáci mají problém s porovnáváním racionálních čísel. Hypotéza 2: Operace se zlomky řeší úspěšně více než 50 % žáků. Hypotéza 3: Slovní úlohy v oboru racionálních čísel řeší úspěšně méně než 50 % žáků.
63 / 86
5.5 Výsledky výzkumného šetření Následují konkrétní výsledky výzkumného řešení a jejich analýza.
5.5.1 Úloha č. 1: Rovnost desetinných čísel a zlomků Zadání: Vyberte dvojici čísel, která se sobě rovnají: 15
27
1
328
2
30
6 ; 20 ; 0,25 ; 300 ; 0,4 ; 4 ; 0,75 ; 1000 ; 0,09 ; 5 ; 0, 328 ; 5 30 15 1 27 328 2 Řešení: 6 = 5 ; 20 = 0,75 ; 0,25 = 4 ; 300 = 0,09 ; 1000 = 0,328 ; 5 = 0,4
Žáci mohli danou úlohu například řešit tak, že dané zlomky vykrátí, převedou desetinná čísla na desetinné zlomky a upraví je do základního tvaru, případně vydělí čitatele jmenovatelem a vypíšou dvojice čísel, která se sobě rovnají. Ze 142 žáků 12 žáků úlohu neřešilo, 57 žáků ji mělo bezchybně vyřešenou. Mezi nejčastější chyby, kterých se žáci dopouštěli, patřili následující chybné rovnosti: 1 2 2 =0,4 ; =0,25 ; =0,75 4 5 5
.
V následující tabulce je uvedeno, kolik žáků se z dané třídy dopustilo uvedených chyb: Bakalovo nábřeží 8 Chyby
Jana Broskvy 3
Křídlovická 30b
7.B
7.C
7.A
7.B
7.A
7.B
7.C
1 =0,4 4
4
0
2
2
4
2
0
14 žáků
9,8 %
2 =0,25 5
4
0
2
2
0
0
2
10 žáků
7,0 %
2 =0,75 5
1
0
0
1
0
1
0
3 žáci
2,1 %
1
Celkem Celkem %
2
Žáci častokrát přiřazovali ke zlomkům 4 a 5 další chybná desetinná čísla. Z toho 1 2 vyplývá, že největší potíže činilo porovnání čísel 4 ; 5 ; 0,4 ; 0,25 ; 0,75 .
64 / 86
Hodnocení Za každou správně určenou dvojici čísel, která se sobě rovnají, žáci získali jeden bod. V následující tabulce je shrnuta úspěšnost žáků jednotlivých tříd, tj. bodové hodnocení a počet žáků, který získal uvedený počet bodů: Bakalovo nábřeží 8
Jana Broskvy 3
Křídlovická 30b
7.B
7.C
7.A
7.B
7.A
7.B
7.C
Celkem Celkem %
6 bodů
7
19
3
8
3
1
16
57 žáků 40,1 %
5 bodů
2
0
2
1
1
1
0
7 žáků
4 body
6
5
0
6
2
2
1
22 žáků 15,4 %
3 body
2
2
0
1
2
5
2
14 žáků 9,8 %
2 body
0
0
2
3
5
1
1
12 žáků 8,4 %
1 bod
3
0
6
1
3
0
2
15 žáků 10,5 %
0 bodů
2
0
2
0
6
5
0
15 žáků 10,5 %
4,9 %
5.5.2 Úloha č. 2: Porovnávání zlomků Zadání: Porovnejte následující zlomky: 3 3 a) 5 ❑ 15
4 7 c) 7 ❑ 14
7 11 e) 20 ❑ 30
5 7 b) 8 ❑ 12
6 2 d) 25 ❑ 5
26 39 f) 50 ❑ 80
3 3 Řešení: a) 5 > 15
4 7 c) 7 > 14
7 11 e) 20 < 30
5 7 b) 8 > 12
6 2 d) 25 < 5
26 39 f) 50 > 80
Žáci měli v dané úloze porovnat dvojice zlomků . Danou úlohu mohli řešit například pomocí křížového pravidla nebo pomocí převedení zlomků na společného jmenovatele. Všichni žáci se pokusili danou úlohu vyřešit, správně ji vyřešilo 50 žáků ze všech. 65 / 86
V následující tabulce je zapsán počet žáků, který v daných příkladech chyboval: Bakalovo nábřeží 8
Jana Broskvy 3
Křídlovická 30b
Chybně
7.B
7.C
7.A
7.B
7.A
7.B
7.C
Celkem
a)
2
0
6
7
7
5
1
28 žáků
b)
2
0
5
6
9
4
1
27 žáků
c)
2
1
3
8
14
6
3
37 žáků
d)
3
0
2
9
12
6
1
33 žáků
e)
2
2
6
5
5
8
9
31 žáků
f)
9
1
4
6
3
10
12
45 žáků
Jak se dalo předpokládat, největší potíže činil žákům příklad f) . Ze všech žáků se jej rozhodlo neřešit 8 žáků. Potíže také činily příklady c) a d).
Hodnocení Za správné určení, který zlomek je v dané dvojici menší nebo větší, získali žáci jeden bod. V následující tabulce je shrnuta úspěšnost žáků jednotlivých tříd, tj. bodové hodnocení a počet žáků, který získal uvedený počet bodů: : Bakalovo ná- Jana Broskvy 3 břeží 8
Křídlovická 30b
7.B
7.C
7.A
7.B
7.A
7.B
7.C
Celkem
Celkem %
6 bodů
9
22
3
4
1
1
10
50 žáků
35,2 %
5 bodů
10
4
4
3
4
4
5
34 žáků
23,9 %
4 body
1
0
4
7
3
4
5
24 žáků
16,9 %
3 body
0
0
3
1
3
0
1
8 žáků
5,6 %
2 body
1
0
0
3
7
3
1
15 žáků
10,5 %
1 bod
1
0
1
1
4
3
0
10 žáků
7,0 %
0 bodů
0
0
0
1
0
0
0
1 žák
0,7 %
66 / 86
5.5.3 Úloha č. 3.a: Početní operace se zlomky 1 1 2 3 Zadání: Vypočítejte. Výsledek upravte do základního tvaru: ( 2 + 3 )⋅ 5 − 4 (
1 1 2 3 3 + 2 2 3 5 2 3 10 3 20 − 45 25 5 + )⋅ − = ( )⋅ − = ⋅ − = − = =− =− 2 3 5 4 6 5 4 6 5 4 30 4 60 60 12
Řešení: Žáci měli v dané úloze převést zlomky na společného jmenovatele, vynásobit je, převést zlomky na společného jmenovatele, odečíst je a výsledek převést do základního tvaru. Daná úloha činila potíže žákům 7.B ze Základní a mateřské školy Jana Broskvy 3, jelikož ještě neprobírali záporná racionální čísla. Ze 142 žáků danou úlohu neřešilo 8 žáků, úspěšně ji vyřešilo 40 žáků. Žáci se nejčastěji dopustili následujících chyb: 1
1
1
1
1
2
1
1
2
–
chybná úprava součtu zlomků: 2 + 3 = 5 nebo 2 + 3 = 6 nebo 2 + 3 = 5 1 1 2 nebo 2 + 3 = 3
–
chybné odčítání čitatele od čitatele, jmenovatele od jmevatele: 6 − 4 = 2 chybná přednost operací
–
4
3
1
V následující tabulce je uvedeno, kolik žáků se z dané třídy dopustilo uvedených chyb: Bakalovo nábřeží 8
Jana Broskvy 3
Křídlovická 30b
Chyby
7.B
7.C
7.A
7.B
7.A
7.B
7.C Celkem Celkem %
Chybně sečtené zlomky
0
0
4
12
5
6
3
30
21,1 %
Chybně provedené odčítání
0
0
1
6
1
1
0
9
6,3 %
Chybná přednost operací
13
9
3
0
10
4
3
42
29,5 %
67 / 86
Hodnocení Žáci mohli získat dva body za úspěšné vyřešení dané úlohy: půl bodu za správnou 1
1
5 2
úpravu součtu 2 + 3 , půl bodu za správné vynásobení zlomků 6 ⋅ 5 nebo jejich vykrácení, půl bodu za správné odečtení zlomků
4 −9 12
a půl bodu za správný výsledek.
V následující tabulce je shrnuta úspěšnost žáků jednotlivých tříd, tj. bodové hodnocení a počet žáků, který získal uvedený počet bodů: Bakalovo nábřeží 8
Jana Broskvy 3
Křídlovická 30b
7.B
7.C
7.A
7.B
7.A
7.B
7.C
Celkem Celkem %
2 body
6
14
2
5
1
1
13
42 žáků 29,5 %
1,5 bodů
4
1
3
0
0
0
1
9 žáků
1 bod
10
8
4
2
5
0
2
31 žáků 21,8 %
0,5 bodu
2
2
0
1
4
4
2
15 žáků 10,5 %
0 bodů
0
1
6
12
12
10
4
45 žáků 31,6 %
6,3 %
5.5.4 Úloha č. 3.b: Úprava složeného zlomku Zadání: Vypočítejte. Výsledek upravte do základního tvaru: 3
Řešení: 4
− 2
1 2
3 1 − 4 2 2
3−2 1 4 4 1 1 1 1 = = = : 2= ⋅ = 2 2 4 4 2 8
Žáci měli v dané úloze upravit složený zlomek, vynásobit zlomky a výsledek upravit do základního tvaru. Danou úlohu úspěšně vyřešilo 57 žáků a neřešilo ji 29 žáků ze všech 142 žáků. Žáci se nejčastěji dopouštěli následujících chyb: –
3
1
chybná úprava čitatele 4 − 2 68 / 86
1 4 1 1 = : 2 4 2
–
chybná úprava složeného zlomku:
–
chybné násobení zlomků: 4 ⋅ 2 = 6
1 1 1
nebo
1 4 4 2 = ⋅ 2 1 1
1
2
1
krácení při dělení zlomků: 4 : 1 = 2 Někteří žáci také chybně odčítali zlomky, tj. odčítali čitatele od čitatele a jmenovatele –
2 od jmenovatele, tak, jako v předchozím příkladu. Jiní žáci špatně upravili 2 = 2 .
V následující tabulce je uvedeno, kolik žáků se z dané třídy dopustilo uvedených chyb: Bakalovo nábřeží 8 Chyby
Jana Broskvy 3 Křídlovická 30b
7.B
7.C
7.A
7.B
7.A
7.B
7.C Celkem Celkem %
Chybná úprava čitatele
2
1
2
5
11
2
0
22
15,4 %
Chybná úprava složeného zlomku
2
1
0
0
0
0
1
4
2,8 %
Chybné krácení zlomků při dělení
1
0
0
0
1
1
3
6
4,2 %
Chybné násobení zlomků
2
0
0
0
0
1
1
4
2,8 %
Hodnocení Žáci v této úloze mohli získat dva body – půl bodu za správnou úpravu čitatele, půl bodu za správnou úpravu složeného zlomku, tj. za převedení složeného zlomku na zápis dělení dvou zlomků a bod za správné vynásobení zlomků. V následující tabulce je shrnuta úspěšnost žáků jednotlivých tříd, tj. bodové hodnocení a počet žáků, který získal uvedený počet bodů:
69 / 86
Bakalovo ná- Jana Broskvy 3 břeží 8
Křídlovická 30b
7.B
7.C
7.A
7.B
7.A
7.B
7.C
Celkem Celkem %
2 body
8
22
5
4
1
3
14
57
40,1 %
1,5 bodů
0
0
0
0
0
0
0
0
0%
1 bod
5
2
1
1
1
1
0
6
4,2 %
0,5 bodu
8
1
3
1
4
3
5
25
17,6 %
0 bodů
4
2
6
15
16
8
3
54
38,0 %
Úspěšnost a neúspěšnost žáků v této úloze je poměrně vyrovnaná. Žákům činila úprava zlomku poměrné potíže.
5.5.5 Úloha č. 4: Slovní úloha Zadání: Vyřešte slovní úlohu, výsledek ověřte zkouškou, napište odpověď. 3
2
Tatínkův krok měří 4 m a Pavlíkův 5 m. Kolik kroků musel každý z nich udělat na cestě dlouhé 60 m? Řešení: Zápis: 3
Tatínek ….............................. 4 m 2
Pavlík …................................ 5 m cesta …................................... 60 m ___________________________________ 3 4 240 Tatínek: 60 : 4 = 60⋅ 3 = 3 = 80 2 5 300 Pavlík: 60 : 5 = 60⋅ 2 = 2 = 150
Zkouška: 80 ⋅ 3 = 240 = 60
4 4 2 300 150⋅ = = 60 5 5
70 / 86
Odpověď: Na cestě dlouhé 60 m musel tatínek udělat 80 kroků a Pavlík musel udělat 150 kroků. Část žáků řešila danou úlohu také pomocí dělení přirozeného čísla desetinným číslem.
Ze 142 žáků mělo pouze 6 žáků vše dobře, tj. udělalo zápis, provedlo výpočet, ověřilo si výsledek zkouškou a napsalo odpověď. 9 žáků danou úlohu vůbec neřešilo. V následující tabulce je zapsáno, kolik žáků jakou část řešení neuvedlo: Bakalovo Jana Broskvy 3 nábřeží 8 Chybí:
Křídlovická 30b
7.B
7.C
7.A
7.B
7.A
7.B
7.C
Celkem
Celkem %
zápis
0
3
11
4
15
8
16
57 žáků
40,1 %
výpočet
2
3
2
4
7
3
0
21 žáků
14,7 %
zkouška
21
21
11
15
16
11
18
113 žáků
79,5 %
odpověď
4
1
2
10
9
8
6
40 žáků
28,1 %
polovina výpočtu
0
0
0
0
0
1
2
3 žáci
2,1 %
Nejčastějšími chybami ve výpočtu byly následující chyby: –
3 chybné dělení 60 : 4 = (60 : 4)⋅3 = 45 , podobně chybné dělení
–
2 = (60 : 5)⋅ 2 = 24 5 2 chybné dělení 5 : 60 nebo
–
chybné dělení přirozeného čísla desetinným číslem
–
chybný převod jednotek: 60 m = 600 cm
60 :
3 : 60 4
V následující tabulce je uvedeno, kolik žáků se z dané třídy dopustilo uvedených chyb:
71 / 86
Bakalovo ná- Jana Broskvy 3 Křídlovická 30b břeží 8 Chyby:
7.B
7.C
7.A
7.B
7.A
7.B
7.C
2
9
0
6
5
2
1
25 žáků
19,6 %
0
0
0
0
1
0
0
1 žák
0,7 %
Chybné dělení 60: 0,75
0
1
0
0
2
1
0
4 žáků
3,1 %
Chybné dělení 0,75: 60
0
2
0
2
2
0
1
7 žáků
5,5 %
Chybný převod jednotek
1
0
0
0
0
0
0
1 žák
0,7 %
60 :
3 = 45 4
2 : 60 5
Celkem Celkem %
Hodnocení Žáci mohli v dané úloze získat maximálně 7 bodů – 1 bod za zápis, 4 body za výpočet, 1 bod za zkoušku a 1 bod za odpověď. V následující tabulce je shrnuta úspěšnost žáků jednotlivých tříd, tj. bodové hodnocení a počet žáků, který získal uvedený počet bodů: Bakalovo nábřeží 8
Jana Broskvy 3
Křídlovická 30b
7.B
7.C
7.A
7.B
7.A
7.B
7.C
Celkem
Celkem %
7 bodů
0
3
0
2
0
0
1
6 žáků
4,2 %
6 bodů
16
12
0
1
2
1
4
36 žáků
25,3 %
5,5 bodů
0
0
0
0
1
0
0
1 žák
0,7 %
5 bodů
0
0
9
1
1
1
9
21 žáků
14,7 %
4,5 bodů
0
0
0
0
0
0
1
1 žák
0,7 %
4 body
0
0
0
0
1
3
3
7 žáků
4,9 %
3,5 bodů
0
0
0
0
1
0
1
2 žáků
1,4 %
3 body
1
5
0
1
1
1
0
9 žáků
6,3 %
2,5 bodů
0
0
0
1
0
0
0
1 žák
0,7 %
72 / 86
Bakalovo nábřeží 8
Jana Broskvy 3
Křídlovická 30b
7.B
7.C
7.A
7.B
7.A
7.B
7.C
Celkem
Celkem %
2 body
3
3
1
3
3
3
0
16 žáků
11,2 %
1,5 bodu
1
0
0
4
0
0
0
5 žáků
3,5 %
1 bod
1
2
0
5
3
3
1
15 žáků
10,5 %
0,5 bodu
0
0
1
0
0
0
1
2 žáci
1,4 %
0 bodů
0
1
4
2
9
3
1
20 žáků
14,0 %
5.5.6 Celkové hodnocení Didaktické testy žáků jsem hodnotila podle následujícího schématu: Celkem bodů
Hodnocení
23 - 21
100 % – 90 %
20,5 - 17
89 % – 75 %
16,5 - 10
74 % – 45 %
9,5 - 5
44 % – 25 %
4,5 - 0
méně než 25 %
V následující tabulce je uveden počet žáků jednotlivých tříd, který získal dané hodnocení: Bakalovo nábřeží 8
Jana Broskvy 3
Křídlovická 30b
Hodnocení
7.B
7.C
7.A
7.B
7.A
7.B
7.C
Celkem Celkem %
100 % – 90 %
2
11
0
3
0
1
5
22 žáků
15,4 %
89 % – 75 %
9
8
4
0
1
0
10
32 žáků
22,5 %
74 % – 45 %
8
7
4
9
6
5
5
44 žáků
30,9 %
44 % – 25 %
3
0
5
8
8
8
2
34 žáků
23,9 %
méně než 25 %
0
0
2
0
7
1
0
10 žáků
7,0 %
73 / 86
5.6 Závěry Hypotéza 1: Žáci mají problém s porovnáváním racionálních čísel. Hypotéza 1 byla potvrzena. Porovnávání racionálních čísel dělá žákům potíže, konkrétně porovnávání desetinných čísel a zlomků, určení, které zlomky a desetinná čísla jsou ekvivalentní. Žáci měli nejčastěji potíže se zlomky 0,4 ; 0,25 ; 0,75 26 50
39
7
1 2 15 ; ; 4 5 20
a desetinnými čísly 4
7
. Dále jim činilo potíže porovnání následujících dvojic zlomků: 7 a 14 ; 11
a 80 ; 20 a 30 .
Hypotéza 2: Operace se zlomky řeší úspěšně více než 50 % žáků. Hypotéza 2 byla potvrzena, byť procentuálně pouze o necelé procento. Operace se zlomky řešilo úspěšně 50,95 % žáků. Potíže činily základní operace se zlomky – sčítání, odčítání, násobení a dělení. Žáci se častokrát dopouštěli takových chyb, jako např. Sčítání čitatele s čitatelem, jmenovatele se jmenovatelem, odčítání čitatele od čitatele a jmenovatele od jmenovatele, při násobení zlomků jejich jmenovatele sečetli, apod. Častou chybou byla chybná přednost operací, kdy žáci nedali přednost násobení před odečítáním.
Hypotéza 3: Slovní úlohy v oboru racionálních čísel řeší úspěšně méně než 50 % žáků. Hypotéza 3 nebyla potvrzena. Slovní úlohy v oboru racionálních čísel řešilo úspěšně 52 % žáků.
Reakce vyučujících na obsah didaktického testu byly různé: –
Proč je ten test tak jednoduchý?
–
Je to příliš jednoduché. 74 / 86
–
Žáci jsou slabí, budou s tím mít potíže.
Zajímavé bylo, že ve třídě, která měla podle vyučující bez potíží daný test vyplnit, se nejvíce žáků dopustilo základní chyby v podobě špatné přednosti operací. V jiné třídě se projevila volnost škol při sestavování Školního vzdělávacího programu. Žáci se ještě nesetkali se zápornými zlomky a měli potíže s příkladem 3.a, jehož výsledek byl záporný. Výsledky týkající se první z úloh ovlivnila také chybná formulace zadání, které jsem se dopustila, tj: „Vyberte dvojici čísel, která se sobě rovnají.“ Úlohy v didaktickém testu byly sice jednoduché, ale pouze 15,4 % žáků bylo schopno test vyplnit s úspěšností v rozmezí 100 – 90 %. Většina žáků, konkrétně 30,9 % žáků, test vyplnila s úspěšností v rozmezí 74 – 45 % a 7,0 % žáků test vyplnilo s úspěšností menší než 25 %. Výzkumné šetření potvrdilo, že žákům činí učivo se zlomky potíže. Žáci se pořád dopouštějí chyb, které se snaží pedagogové procvičováním odstranit.
75 / 86
Závěr V předchozích kapitolách jsem se věnovala stěžejní části tématického okruhu Číslo a proměnná – učivu o zlomích. Daná část učiva 2. stupně základních škol tvoří poměčně obtížnou etapu ve vyučování matematice. V rámci vyučování matematiky dochází k přechodu k abstraktním pojmům, což není pro žáky jednoduché. Proto je potřeba potřeba žákům základní pojmy přiblížit pomocí manipulativních činností a neustálého opakování řešení aplikačních úloh. Je důležité, aby pedagog chápal odbornou podstatu učiva a volil ve výuce vhodné didaktické postupy, které hrají velmi důležitou roli v osvojování základních pojmů a algoritmů při počítání se zlomky. Žáci se postupně učí, jak vyjádřit část celku pomoci zlomků, dále si budují pojem racionálního čísla a osvojují si základní vlastnosti oboru racionálních čísel. Z tohoto hlediska je vhodné, aby pedagog aplikoval konstuktivistický přístup ve výuce o zlomcích. Konstruktivismus může pozitivně ovlivnit žákovo osvojování základních algoritmů. V diplomové práci je uveden jeden z mnoha didaktických postupů vedoucích k osvojování učiva o zlomcích. Aplikací tohoto postupu do výuky vede pedagog nejdříve k vyvození základních souvislostí a vztahů, později zavádí popis základních algoritmů a základní pojmy. Při vyučování se neustále opírá o činnosti, se kterými se již žáci setkali. V praxi se však setkáváme s nepochopením, nebo s neúplným pochopením základních pojmů týkajících se zlomků, s nepochopením a chybnou aplikací algoritmů početních úloh se zlomky. Tuto skutečnost potvrdilo také výzkumné šetření provedené na Základní škole Bakalovo nábřeží 8, Mateřské a základní škole Křídlovická 30b a Základní a mateřské škole Jana Broskvy 3. V didaktických testech žáci řešili elementární úlohy se zlomky. V řešeních se nacházely koncepční chyby v podobě chybných algoritmů při počítání se zlomky, chybné porovnávání racionálních čísel, chybné řešení slovní úlohy.
76 / 86
Žáci se seznamují s abstraktními pojmy, které jsou těžce pochopitelné a s těmi pracují v další etapě vzdělávání v matematice. Jak dlouho se rozvíjel pojem zlomek a základní početní operace v historii, tak dlouho trvá některým žákům pochopení pojmu zlomek ve školské matematice. I v další etapě vzdělávání je proto důležité se žáky opakovat základní pojmy, algoritmy, jelikož k jejich pochopení bohužel nemusí u některých žáků vůbec dojít. Zpracování odborné literatury, její porovnání a porovnání s učebnicemi matematiky pro základní školy, sestavení didaktického testu a jeho vyhodnocení mne obohatilo o nové poznatky. Ráda bych dané poznatky využila ve své pedagogické praxi, jelikož podle mého názoru tvoří učivo o zlomcích důležitý mezník ve školské matematice.
77 / 86
Použitá literatura BALADA, František. Z dějin elementární matematiky. Vyd. 1. Praha : Státní pedagogické nakladatelství, 1959. 238 s. BĚLOUN, František. Sbírka úloh z matematiky pro základní školu. 8. upr. vyd. Praha : Prometheus, 1998. 254 s. ISBN 8071961043. BLAŽKOVÁ, Růžena. Texty k přednášce Didaktika matematiky I, PdF Brno, 2010 BLAŽKOVÁ, Růžena. Co, proč a jak ve školské matematice I. Číslo nula. Matematika, fyzika, Informatika, Praha, Prometheus JČMF. ISSN 1210 -1761, 2005, vol. 14, no. 5, s. 257262. BLAŽKOVÁ, Růžena. Co, proč a jak ve školské matematice II. Zlomky. Matematika, fyzika, informatika, Praha, Prometheus. ISSN 1210 -1761, 2005, vol. 14, no. 5, s. 257-262. BLAŽKOVÁ, Růžena. Co, proč a jak ve školské matematice III. Operace se zlomky - sčítání a odčítání. Matematika, fyzika, informatika, Praha, Prometheus. ISSN 1210 -1761, 2005, vol. 14, no. 8, s. 463-469. BLAŽKOVÁ, Růžena. Co, proč a jak ve školské matematice IV. Operace se zlomky - násobení a dělení zlomků. Matematika, fyzika, informatika, Praha, Prometheus. ISSN 1210 1761, 2005, vol. 15, no. 3, s. 136-142. DRÁBEK, Jaroslav; VIKTORA, Václav. Základy elementární aritmetiky : pro učitelství 1. stupně ZŠ. 1. vyd. Praha : Státní pedagogické nakladatelství, 1985. 223 s. FUCHS, Eduard; HOŠPESOVÁ, Alena; LIŠKOVÁ, Hana. Postavení matematiky ve školním vzdělávacím programu Základní vzdělávání. 1. vyd. Praha : Prometheus, 2006. 79 s. ISBN 8071963267. HEJNÝ, Milan. Teória vyučovania matematiky. 2. vyd. Bratislava : Slovenské pedagogické nakladateľstvo, 1990. 554 s. ISBN 8008013443. HEJNÝ, Milan; NOVOTNÁ, Jarmila; STEHLÍKOVÁ, Naďa. Dvacet pět kapitol z didaktiky matematiky. Praha : Univerzita Karlova v Praze - Pedagogická fakulta, 2004. s. ISBN 80729018932. HERMAN, Jiří. Matematika : racionální čísla, procenta. 2. vyd. Praha : Prometheus, 2004. 166 s. ISBN 8071962384. HUSAR, Petr. Matematikou krok za krokem k přijímacím zkouškám : kalendář řešených písemek pro 7. a 8. ročník ZŠ. 1. vyd. Praha : Prometheus, 2004. 179 s. ISBN 8071962791. 78 / 86
JELÍNEK, Miloš. Číselné množiny. Vyd. 1. Praha : Státní pedagogické nakladatelství, 1977. 208 s. KING, Andrew. Co dokážu s matematikou. 1. vyd. Havlíčkův Brod : Fragment, 1999. 112 s. ISBN 8072002996. KUČERA, Radan; SKULA, Ladislav. Číselné obory. Vyd. 1. Brno : Masarykova univerzita, 1998. 95 s. ISBN 8021019654. MALÁČ, Jaromír. Sbírka náročnějších úloh z matematiky pro 6. - 9. ročník. Vyd. 2. Praha : Státní pedagogické nakladatelství, 1969. 215 s. MOLNÁR, Josef. Matematika 7. Olomouc: Prodos, 1999. 159 s. ISBN 8072300326 MÜLLEROVÁ, Jana. Matematika pro 7. ročník základní školy: aritmetika. Praha : Kvarta, 1998. 207 s. ISBN 8085570866. ODVÁRKO, Oldřich; KADLEČEK, Jiří. Přehled matematiky pro základní školy a víceletá gymnázia. 1. vyd. Praha : Prometheus, 2004. 270 s. ISBN 8071962767. ODVÁRKO, Oldřich; KADLEČEK, Jiří. Knížka pro učitele k učebnicím Matematiky pro 7. ročník základní školy. 1. vyd. Praha : Prometheus, 1999. 107 s. ISBN 8071961450. ODVÁRKO, Oldřich; KADLEČEK, Jiří. Matematika pro 7. ročník základní školy. 2. vyd. Praha : Prometheus, 2004. 88 s. ISBN 8071962848. PŮLPÁN, Zdeněk; ČIHÁK, Michal; MÜLLEROVÁ, Šárka. Matematika pro základní školy. 1. vyd. Praha : SPN – pedagogické nakladatelství, 2008. 152 s. ISBN 9788072353989 Rámcový vzdělávací program pro základní vzdělávání. Vyd. 1. Stařeč : INFRA, 2005. 113 s. ISBN 8086666247. ROSECKÁ, Zdena; ČUHAJOVÁ, Vladimíra; RŮŽIČKA, Jiří. Aritmetika : učebnice pro 7. ročník. Brno : Nová škola, 1998. 86 s. ISBN 8085607743 RŮŽIČKOVÁ, Bronislava. Didaktika matematiky. 1. vyd. Olomouc : Univerzita Palackého v Olomouci, 2002. 120 s. ISBN 8024405342. SEDLÁČEK, Jiří. Slovník školské matematiky. 1. vyd. Praha : Státní pedagogické nakladatelství, 1981. 239 s. STRUIK, Dirk Jan. Dějiny matematiky. 1. vyd. Praha : Orbis, 1963. 250 s.
79 / 86
ŠAROUNOVÁ, Alena. Matematika 7. 1. vyd. Praha : Prometheus, 1997. 190 s. ISBN 8071960853. ŠEDIVÝ, Ondrej; KRIŽALKOVIČ, Karol. Didaktika matematiky pre štúdium učitel'stva I. stupňa ZŠ. 1. vyd. Bratislava : Slovenské pedagogické nakladateľstvo, 1990. 266 s. ISBN 8008003782. TREJBAL, Josef; JIROTKOVÁ, Darina; SÝKORA ,Václav. Matematika pro 7. ročník základní školy. 1. vyd. Praha : SPN – pedagogické nakladatelství, 1997. 87 s. ISBN 8085937786 VYMAZALOVÁ, Hana. Staroegyptská matematika: hieratické matematické texty. Vyd. 1. Praha : Český egyptologický ústav, 2006. 155 s. ISBN 8073081563. METODICKÝ PORTÁL RVP. Metodický portál – inspirace a zkušenosti učitelů. [online]. [cit. 2012 – 17 - 02]. Dostupné z World Wide Web: METODICKÝ PORTÁL RVP. Zlomkové pexeso [cit. 2012 – 17 - 02]. Dostupné z World Wide Web: METODICKÝ PORTÁL RVP. Výroba a využití zlomkovnice
[cit. 2012 – 17 - 02].
Dostupné z World Wide Web: METODICKÝ PORTÁL RVP. AZ kvíz – početní operace se zlomky [cit. 2012 – 14 - 04]. Dostupné z World Wide Web:
80 / 86
Seznam příloh Příloha I: Didaktický test žáka Základní školy Bakalovo nábřeží 8 Příloha II: Didaktický test žáka 7.B Základní školy Bakalovo nábřeží 8 Příloha III: Didaktický test žáka 7.B Mateřské a základní školy Křídlovická 30b Příloha IV: Didaktický test žáka 7.A Mateřské a základní školy Křídlovická 30b Příloha V: Didaktický test žáka 7.A Základní a mateřské školy Jana Broskvy 3
81 / 86
Příloha I: Didaktický test žáka Základní školy Bakalovo nábřeží 8
82 / 86
Příloha II: Didaktický test žáka 7.B Základní školy Bakalovo nábřeží 8
83 / 86
Příloha III: Didaktický test žáka 7.B Mateřské a základní školy Křídlovická 30b
84 / 86
Příloha IV: Didaktický test žáka 7.A Mateřské a základní školy Křídlovická 30b
85 / 86
Příloha V: Didaktický test žáka 7.A Základní a mateřské školy Jana Broskvy 3
86 / 86
