MASARYKOVA UNIVERZITA PRˇI´RODOVEˇDECKA´ FAKULTA U´STAV MATEMATIKY A STATISTIKY
Bakala´rˇska´ pra´ce
BRNO 2012
JANA ZUZA´KOVA´
MASARYKOVA UNIVERZITA PRˇI´RODOVEˇDECKA´ FAKULTA U´STAV MATEMATIKY A STATISTIKY
Aritmeticke´ a geometricke´ posloupnosti v matematice pro gymna´zia Bakala´rˇska´ pra´ce
Jana Zuza´kova´
Vedoucı´ pra´ce: doc. RNDr. Jaromı´r Sˇimsˇa, CSc.
Brno 2012
Bibliograficky´ za´znam Autor:
Jana Zuza´kova´ Prˇ´ırodoveˇdecka´ fakulta, Masarykova univerzita ´ stav matematiky a statistiky U
Na´zev pra´ce:
Aritmeticke´ a geometricke´ posloupnosti v matematice pro gymna´zia
Studijnı´ program:
Fyzika
Studijnı´ obor:
Matematika se zameˇrˇenı´m na vzdeˇla´va´nı´
Vedoucı´ pra´ce:
doc. RNDr. Jaromı´r Sˇimsˇa, CSc.
Akademicky´ rok:
2011/2012
Pocˇet stran:
vii + 37
Klı´cˇova´ slova:
Posloupnost; Aritmeticka´ posloupnost; Geometricka´ posloupnost; Financˇnı´ matematika
Bibliographic Entry Author:
Jana Zuza´kova´ Faculty of Science, Masaryk University Department of Mathematics and Statistics
Title of Thesis:
Arithmetic and geometric progressions in high school Mathematics
Degree Programme:
Physics
Field of Study:
Mathematics with a view to Education
Supervisor:
doc. RNDr. Jaromı´r Sˇimsˇa, CSc.
Academic Year:
2011/2012
Number of Pages:
vii + 37
Keywords:
Progression; Arithmetic progression; Geometric progression; Financial Mathematics
Abstrakt V te´to bakala´rˇske´ pra´ci se veˇnujeme te´matu aritmeticky´ch a geometricky´ch posloupnostı´ v rozsahu gymnazia´lnı´ matematiky. Pra´ce je rozdeˇlena do cˇtyrˇ kapitol, prvnı´ dveˇ kapitoly se zaby´vajı´ teoriı´ posloupnostı´ a rˇesˇenı´m standardnı´ch u´loh. Trˇetı´ kapitola sesta´va´ z vy´kladu neˇkolika nestandardnı´ch u´loh, se ktery´mi se zˇa´ci v beˇzˇne´ vy´uce nesetkajı´, a poslednı´ kapitolu jsme veˇnovali financˇnı´ matematice.
Abstract In this thesis we study arithmetic and geometric progressions as a topic of high school mathematics. The thesis is divided into four chapters, the first two chapters deal with theory of progressions and solving standard problems. The third one consists of solution of several non-standard problems, which the students in regular classes do not meet and in the last chapter we study financial mathematics.
Podeˇkova´nı´ Ra´da bych podeˇkovala doc. RNDr. Jaromı´ru Sˇimsˇovi, CSc., za vedenı´ me´ bakala´rˇske´ pra´ce, odborne´ rady i cˇas stra´veny´ prˇi konzultacı´ch.
Prohla´sˇenı´ Prohlasˇuji, zˇe jsem svoji bakala´rˇskou pra´ci vypracovala samostatneˇ s vyuzˇitı´m informacˇnı´ch zdroju˚, ktere´ jsou v pra´ci citova´ny.
Brno 3. kveˇtna 2012
.......................... Jana Zuza´kova´
Obsah ´ vod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . U
1
Kapitola 1. Vy´klad teorie v ucˇebnici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
Kapitola 2. Standardnı´ u´lohy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1 Aritmeticka´ posloupnost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Geometricka´ posloupnost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8 8 12
Kapitola 3. Nestandardnı´ u´lohy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16
Kapitola 4. Financˇnı´ matematika 4.1 Pouzˇite´ symboly . . . . . . . ´ rokova´ mı´ra a u´rok . . . . 4.2 U 4.3 Jednoduche´ u´rocˇenı´ . . . . . ´ rokova´ doba . . . . . . . . . 4.4 U 4.5 Slozˇene´ u´rocˇenı´ . . . . . . . . ´ rokovacı´ obdobı´ . . . . . . 4.6 U 4.7 Sporˇenı´ . . . . . . . . . . . . . 4.8 Spla´cenı´ dluhu˚ . . . . . . . . .
............................................ ................................. ................................. ................................. ................................. ................................. ................................. ................................. .................................
27 27 28 29 30 31 31 32 33
Za´veˇr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
36
Seznam pouzˇite´ literatury . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
37
– vii –
´ vod U Teorie mnozˇin, teorie cˇ´ısel, algebraicke´ vy´razy nebo planimetrie, to jsou jen neˇktera´ te´mata, do nichzˇ je vy´uka matematiky na gymna´ziı´ch rozdeˇlena. Jedno z poslednı´ch te´mat, jı´m se zˇa´ci zaby´vajı´ ve 4. rocˇnı´ku studia, je nazva´no Posloupnosti a rˇady. Te´ma velice obsa´hle´ a pro zˇa´ky cˇasto velmi na´rocˇne´, vybı´ra´me proto jenom cˇa´st te´to problematiky – aritmeticke´ a geometricke´ posloupnosti, a pra´veˇ jim veˇnujeme pozornost v te´to bakala´rˇske´ pra´ci. Zameˇrˇ´ıme se nejen na ucˇebnicovou la´tku, ale take´ na u´lohy, se ktery´mi se zˇa´ci prˇi vy´uce v beˇzˇny´ch hodina´ch nesetkajı´. Samotny´ text pra´ce je rozdeˇlen do cˇtyrˇ kapitol. V prvnı´ kapitole se zaby´va´me zpu˚sob vy´uky te´matu o posloupnostech, vy´beˇr ucˇebnic a za´kladnı´ teorii ty´kajı´cı´ se pojmu˚ posloupnost, aritmeticka´ posloupnost, geometricka´ posloupnost a jejich vlastnosti. V za´veˇru kapitoly pak shrnujeme zı´skane´ poznatky a porovna´me vztahy ty´kajı´cı´ se obou typu˚ posloupnostı´. Druha´ kapitola popisuje typy standardnı´ch u´loh, ktere´ jsou soucˇa´stı´ beˇzˇne´ho vy´kladu la´tky o aritmeticky´ch a geometricky´ch posloupnostech. Jedna´ se o soubor 13 vzorovy´ch prˇ´ıkladu˚ rozdeˇleny´ do dvou cˇa´stı´ podle typu posloupnosti, prˇicˇemzˇ kazˇdy´ z prˇ´ıkladu˚ je vyrˇesˇen a okomentova´n. V porˇadı´ trˇetı´ kapitola – Nestandardnı´ u´lohy, je steˇzˇejnı´ cˇa´stı´ te´to pra´ce. Obsahuje soubor 11 u´loh, ktery´mi se zˇa´ci v hodina´ch matematiky obvykle nezaby´vajı´. Prˇi rˇesˇenı´ teˇchto u´loh musı´ zˇa´ci cˇasto vyuzˇ´ıvat znalosti z jiny´ch odveˇtvı´ matematiky, sami uda´vat prˇ´ıklady dany´ch posloupnostı´ nebo dokazovat urcˇity´ vztah ty´kajı´cı´ se aritmeticke´ nebo geometricke´ posloupnosti. Tato kapitola jizˇ nenı´ rozdeˇlena do dvou cˇa´stı´, avsˇak stejneˇ jako v kapitole prˇedchozı´ je kazˇdy´ z prˇ´ıkladu˚ podrobneˇ vyrˇesˇen a doplneˇn o prˇ´ıslusˇny´ komenta´rˇ. Za´veˇr kapitoly je pak veˇnova´n souhrnu mozˇny´ch vzorcu˚ uzˇ´ıvany´ch prˇi pocˇ´ıta´nı´ u´loh ty´kajı´cı´ch se aritmeticky´ch a geometricky´ch posloupnostı´. Tyto vzorce jsou usporˇa´da´ny do dvou prˇehledny´ch tabulek, ktere´ usnadnı´ pra´ci prˇi odvozova´nı´ slozˇiteˇjsˇ´ıch vztahu˚. Poslednı´ z kapitol je veˇnova´na financˇnı´ matematice, ktera´ s problematikou posloupnostı´ a obzvla´sˇteˇ geometricky´ch posloupnostı´ u´zce souvisı´. Opeˇt je zde uvedeno neˇkolik rˇesˇeny´ch prˇ´ıkladu˚, z nichzˇ se kazˇdy´ zaby´va´ jistou partiı´ financˇnı´ matematiky (jednoduche´ u´rocˇenı´, sporˇenı´, spla´cenı´ dluhu˚, apod.). Cı´lem te´to bakala´rˇske´ pra´ce je vytvorˇit uceleny´ pohled na strˇedosˇkolskou vy´uku aritmeticky´ch a geometricky´ch posloupnostı´, usnadnit rˇesˇenı´ standardnı´ch a obzvla´sˇteˇ nestandardnı´ch u´loh. Meˇla by by´t vhodnou pomu˚ckou pro zˇa´ka ta´pajı´cı´ho prˇi rˇesˇenı´ u´loh, stejneˇ jako pro ucˇitele hledajı´cı´ho inspiraci pro zada´va´nı´ obtı´zˇneˇjsˇ´ıch prˇ´ıkladu˚ nebo kazˇde´ho, kdo ma´ o te´ma aritmeticky´ch a geometricky´ch posloupnostı´ za´jem. 1
Kapitola 1 Vy´klad teorie v ucˇebnici Dobry´, zˇivy´ a promysˇleny´ vy´klad teoreticky´ch poznatku˚ v hodina´ch matematiky by´va´ za´kladnı´m prˇedpokladem toho, aby zˇa´ci dane´ te´ma dobrˇe pochopili. Prˇi plneˇnı´ tohoto nelehke´ho u´kolu se ucˇitel veˇtsˇinou opı´ra´ o postup, ktery´ najde ve vhodne´ ucˇebnici. Podle nı´ si mohou poznatky opakovat cˇi doplnˇovat i zˇa´ci sami, majı´-li ucˇebnici k dispozici. Proto jsou kvalitneˇ a prˇimeˇrˇeneˇ napsane´ ucˇebnice vy´znamnou pomu˚ckou prˇi vy´uce matematiky. Toto vsˇeobecne´ konstatova´nı´ platı´ i pro problematiku aritmeticky´ch a geometricky´ch posloupnostı´, ktera´ ma´ v gymnazia´lnı´ matematice tradicˇnı´ a pevne´ postavenı´ a ktere´ se budeme v prˇedlozˇene´ pra´ci veˇnovat. V te´to kapitole popı´sˇeme, jak je dane´ te´ma zpracova´no v soucˇasne´ ucˇebnici [Odv1]. Zmı´neˇna´ ucˇebnice [Odv1] s na´zvem Posloupnosti a rˇady je soucˇa´stı´ rˇady ucˇebnic Matematika pro gymna´zia vydane´ nakladatelstvı´m Prometheus. Autorem ucˇebnice je doc. RNDr. Oldrˇich Odva´rko, DrSc. z MFF UK v Praze, ktery´ rovneˇzˇ napsal svazky Funkce a Goniometrie te´zˇe rˇady ucˇebnic (a samostatne´ doprovodne´ sbı´rky u´loh). Na´mi posuzovana´ ucˇebnice je tvorˇena trˇemi vy´kladovy´mi kapitolami: 1. Posloupnosti a jejich vlastnosti 2. Aritmeticke´ a geometricke´ posloupnosti 3. Limity posloupnostı´ a nekonecˇne´ rˇady Drˇ´ıve nezˇ se budeme zaby´vat podrobny´m komenta´rˇem toho, jak je pojata a sestavena kapitola 2, na´meˇtoveˇ totozˇna´ s nasˇ´ı pracı´, popı´sˇeme strucˇneˇji kapitolu 1, na kterou kapitola 2 obsahoveˇ navazuje, zejme´na v ota´zce pojmu (obecne´) posloupnosti. Kapitolu 3 v nasˇ´ı (u´zˇeji zameˇrˇene´) pra´ci hodnotit nebudeme. Kapitola 1 ucˇebnice [Odv1] je slozˇena z teˇchto podkapitol: 1.1 Pojem posloupnost 1.2 Rekurentnı´ urcˇenı´ posloupnosti 2
Kapitola 1. Vy´klad teorie v ucˇebnici
3
1.3 Neˇktere´ vlastnosti posloupnostı´ 1.4 Matematicka´ indukce Pro nasˇi pra´ci ma´ za´sadnı´ vy´znam samotny´ pojem posloupnosti zavedeny´ v podkapitole 1.1. Vycha´zı´ se prˇitom z pojmu funkce (zˇa´ci ucˇivo o funkcı´ch jizˇ majı´ osvojeno) a rozlisˇujı´ se posloupnosti konecˇne´ a nekonecˇne´. Prˇ´ıslusˇna´ definice je na str. 9 uvedena takto: Kazˇda´ funkce, jejı´mzˇ definicˇnı´m oborem je mnozˇina N vsˇech prˇirozeny´ch cˇ´ısel, se nazy´va´ nekonecˇna´ posloupnost. Kazˇda´ funkce, jejı´mzˇ definicˇnı´m oborem je mnozˇina vsˇech prˇirozeny´ch cˇ´ısel n ≤ n0 , kde n0 je pevneˇ dane´ cˇ´ıslo z N, se nazy´va´ konecˇna´ posloupnost.
Kra´tce pote´ se autor dosta´va´ k tradicˇneˇjsˇ´ımu vyjadrˇova´nı´ „n-ty´ cˇlen posloupnosti“ namı´sto „hodnota posloupnosti v bodeˇ n“. Zatı´mco konecˇne´ posloupnosti je mozˇne´ urcˇovat vy´cˇtem cˇlenu˚ nebo tabulkou, u nekonecˇny´ch posloupnostı´ popisuje autor dva vy´znamne´ zpu˚soby: prˇ´ımy´m vzorcem pro n-ty´ cˇlen nebo rekurentnı´ urcˇenı´. V na´sledne´ podkapitole 1.3 je vysveˇtleno, jake´ vlastnosti mohou obecne´ posloupnosti mı´t – ru˚st, klesa´nı´ a omezenost (shora cˇi zdola). Zvla´sˇtnı´ postavenı´ ma´ podkapitola 1.4, ktera´ je jakousi vsuvkou cˇi odbocˇkou od vy´kladu posloupnostı´, veˇnovanou matematicke´ indukci, vy´znamne´ du˚kazove´ technice, jezˇ nutı´ studenty k hlubsˇ´ımu zamysˇlenı´ o podstateˇ prˇirozeny´ch cˇ´ısel. Jedna´ se o te´ma na´rocˇneˇjsˇ´ı a pro mnohe´ zˇa´ky hu˚rˇe pochopitelne´, prˇesto vy´znamne´ a potrˇebne´, jak se da´le uka´zˇe i prˇi odvozova´nı´ obecny´ch poznatku˚ o aritmeticky´ch a geometricky´ch posloupnostech. Dosta´va´me se k hlavnı´mu prˇedmeˇtu nasˇeho za´jmu o ucˇebnici [Odv1]. Je jı´m kapitola 2, ktera´ je rozcˇleneˇna na tyto cˇa´sti: 2.1 Aritmeticka´ posloupnost 2.2 Uzˇitı´ aritmeticky´ch posloupnostı´ 2.3 Geometricka´ posloupnost 2.4 Uzˇitı´ geometricky´ch posloupnostı´ 2.5 Vlastnosti aritmeticky´ch a geometricky´ch posloupnostı´ Z tohoto cˇleneˇnı´ je zrˇejme´, zˇe vy´klad o obou druzı´ch posloupnostı´ je veden vpodstateˇ oddeˇleneˇ, prˇitom „prvnı´ na rˇadeˇ“ jsou aritmeticke´ posloupnosti, ktere´ jsou nepochybneˇ jednodusˇsˇ´ım objektem nezˇli posloupnosti geometricke´. Takove´ rozdeˇlenı´ a porˇadı´ vy´kladu lze jisteˇ povazˇovat za zˇa´doucı´ a rozumne´. Pochybnosti mu˚zˇe vyvolat spı´sˇe dalsˇ´ı deˇlenı´ vy´kladu kazˇde´ho druhu posloupnosti na teoretickou a praktickou cˇa´st. Soucˇasny´ vy´klad „teorie a praxe“ by sice mohl prˇine´st neˇktere´ vy´hody, avsˇak provedene´ rozdeˇlenı´ jisteˇ napoma´ha´ prˇehlednosti jednotlivy´ch cˇa´stı´, jejichzˇ spojenı´m by vznikly prˇ´ılisˇ rozsa´hle´
Kapitola 1. Vy´klad teorie v ucˇebnici
4
celky. K tomu je jesˇteˇ nutne´ dodat, zˇe i „teoreticke´“ podkapitoly 2.2 a 2.4 zahrnujı´ prˇ´ıklady konkre´tnı´ch posloupnostı´, jezˇ majı´ motivacˇnı´ nebo ilustrativnı´ vy´znam. Na´plnı´ podkapitoly 2.1 jsou teoreticke´ poznatky o aritmeticky´ch posloupnostech. Jejich definice je motivova´na prˇ´ıkladem zaby´vajı´cı´m se rychlostı´ sˇ´ırˇenı´ zvuku v za´vislosti na teploteˇ, konkre´tneˇ v rozmezı´ 5 stupnˇu˚ Celsia. Pro zˇa´ky je jisteˇ snadne´ rozepsat hodnoty rychlosti pro jednotlive´ stupneˇ Celsia, ktere´ vytva´rˇejı´ posloupnost. Ihned pote´ na´sleduje v textu na str. 37 tato definice: Posloupnost (an )∞ ´va´ aritmeticka´, pra´veˇ kdyzˇ existuje takove´ rea´lne´ cˇ´ıslo d, n=1 se nazy zˇe pro kazˇde´ prˇirozene´ cˇ´ıslo n je an+1 = an + d. Cˇ´ıslo d se nazy´va´ diference aritmeticke´ posloupnosti.
Tato definice je vza´peˇtı´ ilustrova´na prˇ´ıkladem – studenti v neˇm majı´ rozhodnout, zda posloupnost s obecny´m cˇlenem an = 2n − 4 je aritmeticka´. Na´sledujı´cı´ na´vrat k prˇ´ıkladu s rychlostı´ zvuku ma´ pak zˇa´ky prˇive´st k odhalenı´ vztahu mezi n-ty´m a prvnı´m cˇlenem aritmeticke´ posloupnosti (str. 38): • V aritmeticke´ posloupnosti (an )∞ ˇ de´ n ∈ N n=1 s diferencı´ d platı´ pro kaz an = a1 + (n − 1)d. Ota´zkou zu˚sta´va´, jak moc se ucˇitele´ matematiky na strˇednı´ch sˇkola´ch tomuto postupu veˇnujı´ a jestli nedocha´zı´ kvu˚li cˇaste´ cˇasove´ tı´sni k vynecha´nı´ tohoto „objevova´nı´“, stejneˇ jako k vynecha´nı´ du˚kazu dotycˇne´ho vzorce, ktery´ je v ucˇebnici metodou matematicke´ indukce proveden. Du˚sledkem doka´zane´ho vzorce je vztah mezi libovolny´mi dveˇma cˇleny te´zˇe aritmeticke´ posloupnosti, ktery´ je na str. 39 uveden jako na´sledujı´cı´ veˇta: • V aritmeticke´ posloupnosti (an )∞ n=1 s diferencı´ d platı´ pro vsˇechna r, s ∈ N as = ar + (s − r)d. Po jednoduche´m prˇ´ıkladu na uzˇitı´ tohoto vztahu prˇecha´zı´ autor ucˇebnice k du˚lezˇite´ problematice scˇ´ıta´nı´ cˇlenu˚ aritmeticke´ posloupnosti, a to popisem postupu, ktery´m mlady´ K. F. Gauss rychle vypocˇ´ıtal soucˇet prvnı´ch 100 prˇirozeny´ch cˇ´ısel. Zˇa´ci jsou pote´ autorem opeˇt vyzva´ni, aby se pokusili vyslovit hypote´zu o soucˇtu prvnı´ch n cˇlenu˚ obecne´ aritmeticke´ posloupnosti. Vy´sledny´ soucˇtovy´ vzorec je na str. 42 uveden v podobeˇ na´sledujı´cı´ veˇty: • Pro soucˇet sn prvnı´ch n cˇlenu˚ aritmeticke´ posloupnosti (an )∞ n=1 , tj. pro a1 + a2 + + · · · + an , platı´:
Kapitola 1. Vy´klad teorie v ucˇebnici
5
sn = n2 · (a1 + an ). Tento soucˇtovy´ vzorec je podlozˇen pomeˇrneˇ dlouhy´m du˚kazem, ktery´ ale nenı´ obtı´zˇne´ pochopit. Soucˇtovy´ vzorec je pak ilustrova´n jesˇteˇ jednı´m rˇesˇeny´m prˇ´ıkladem. Podkapitola 2.1 je ukoncˇena souborem nerˇesˇeny´ch u´loh, jejichzˇ obtı´zˇnost se stupnˇuje. Je jisteˇ vhodne´ nechat zˇa´ky veˇtsˇinu teˇchto u´loh propocˇ´ıtat. Prvnı´ cˇa´st podkapitoly 2.2 o uzˇitı´ aritmeticky´ch posloupnostı´ tvorˇ´ı dva rˇesˇene´ prˇ´ıklady, prˇicˇemzˇ druhy´ z nich je opatrˇen na´cˇrtkem dane´ho proble´mu. Na rˇesˇene´ prˇ´ıklady v druhe´ cˇa´sti 2.2 pak navazuje 6 u´loh nerˇesˇeny´ch. Neˇkolik z nich je opeˇt opatrˇeno ilustracı´, ktera´ se tu jevı´ jako dobry´ pomocnı´k. Tyto u´lohy jsou sice zada´ny poneˇkud delsˇ´ım textem popisujı´cı´m konkre´tnı´ „rea´lie“. To ma´ vsˇak velky´ vy´znam – zˇa´ci jednak vidı´ uplatneˇnı´ abstraktnı´ho matematicke´ho pojmu, jednak se ucˇ´ı v popisu teˇchto situacı´ hledat matematicky´ obsah. ´ kolem podkapitoly 2.3 je sezna´mit zˇa´ky s teoreticky´mi poznatky o druhe´m vy´znamU ne´m typu posloupnosti, tedy posloupnostech geometricky´ch. Tato podkapitola je svou vy´´ vodnı´ prˇ´ıklad stavbou velice podobna´ te´, ktera´ se veˇnuje posloupnostem aritmeticky´m. U se tentokra´t ty´ka´ polocˇasu prˇemeˇny radia C a meˇl by zˇa´ky opeˇt prˇive´st k definova´nı´ pojmu geometricka´ posloupnost. Domnı´va´me se vsˇak, zˇe pro zˇa´ky by zvoleny´ motivacˇnı´ prˇ´ıklad mohl by´t spı´sˇe demotivacˇnı´m, je totizˇ zalozˇeny´ na pochopenı´ polocˇasu prˇemeˇny, cozˇ mu˚zˇe odrazovat od zamysˇlenı´ se nad dany´m proble´mem. Lepsˇ´ım motivacˇnı´m prˇ´ıkladem by mohl by´t naprˇ´ıklad tento: Bakterie se deˇlı´ na dveˇ vzˇdy na konci 12. minuty, prˇicˇemzˇ kazˇda´ noveˇ vznikla´ bakterie se opeˇt deˇlı´ na dveˇ na konci 12. minuty atd. Urcˇete pocˇet bakteriı´, ktere´ vzniknou z jedne´ bakterie po 1 hodineˇ. Deˇlenı´ bakteriı´ je v dnesˇnı´ dobeˇ vsˇeobecneˇ zna´my´ jev, tento prˇ´ıklad by tedy pro zˇa´ky mohl by´t srozumitelneˇjsˇ´ı nezˇ ten, co je uveden v ucˇebnici. Po neˇm na str. 50 na´sleduje jizˇ zminˇovana´ definice geometricke´ posloupnosti: Posloupnost (an )∞ ´va´ geometricka´, pra´veˇ kdyzˇ existuje takove´ rea´lne´ cˇ´ıslo n=1 se nazy q, zˇe pro kazˇde´ prˇirozene´ cˇ´ıslo n je an+1 = an · q. Cˇ´ıslo q se nazy´va´ kvocient geometricke´ posloupnosti.
Ihned pote´ je vyrˇesˇen prˇ´ıklad, ve ktere´m majı´ zˇa´ci urcˇit 5. a 6. cˇlen geometricke´ posloupnosti a jejı´ kvocient pomocı´ prvnı´ch dvou cˇlenu˚. Narozdı´l od prˇ´ıpadu aritmeticky´ch posloupnostı´ tady jizˇ bohuzˇel nenajdeme druhy´ motivacˇnı´ prˇ´ıklad, ktery´ by vedl k vyja´drˇenı´ vztahu mezi n-ty´m a prvnı´m cˇlenem uveneny´m na str. 51: • V geometricke´ posloupnosti (an )∞ ˇ de´ n ∈ N n=1 s kvocientem q 6= 0 platı´ pro kaz
Kapitola 1. Vy´klad teorie v ucˇebnici
6
an = a1 · qn−1 . Vztah mezi dveˇma libovolny´mi cˇleny geometricke´ posloupnosti uvedeny´ na str. 52 pak prˇ´ımo vyply´va´ z veˇty prˇedchozı´: • V geometricke´ posloupnosti (an )∞ n=1 s kvocientem q 6= 0 platı´ pro vsˇechna r, s ∈ N as = ar · qs−r . V tomto mı´steˇ opeˇt postra´da´me prˇ´ıklad, ktery´ by vedl k odvozenı´ soucˇtu n cˇlenu˚ geometricke´ posloupnosti. Du˚vodem mu˚zˇe by´t, zˇe se jedna´ o komplikovaneˇjsˇ´ı vztah, nezˇ jaky´ platı´ pro posloupnost aritmetickou. Uva´dı´ jej na´sledujı´cı´ veˇta ze str. 52: • Pro soucˇet sn prvnı´ch n cˇlenu˚ geometricke´ posloupnosti (an )∞ n=1 s kvocientem q platı´: a) je-li q = 1, pak sn = na1 ; b) je-li q 6= 1, pak sn = a1
qn − 1 . q−1
Du˚kaz tohoto tvrzenı´ je pak proveden velice pecˇliveˇ a srozumitelnou formou. Pro cˇa´st b) jsou uvedeny dva du˚kazy, jednak postup zalozˇeny´ na srovna´nı´ soucˇtu˚ sn a q · sn , jednak forma´lneˇjsˇ´ı postup zalozˇeny´ na matematicke´ indukci. Pote´ na´sleduje prˇ´ıklad procvicˇujı´cı´ vzorec pro soucˇet prvnı´ch n cˇlenu˚ geometricke´ posloupnosti. Za´veˇrem podkapitoly je prˇehledna´ tabulka (str. 55), ktera´ porovna´va´ vzorce pro aritmetickou a geometrickou posloupnost: Aritmeticka´ posloupnost
Geometricka´ posloupnost
an = an−1 + d
an = an−1 q
an = a1 + (n − 1)d
an = a1 qn−1
as = ar + (s − r)d n sn = (a1 + an ) 2
as = ar qs−r n
−1 sn = a1 qq−1
(pro q 6= 1)
sn = na1
(pro q = 1)
Takove´ porovna´nı´ obou posloupnostı´ je dozajista vy´borny´m na´padem, tabulka totizˇ pomu˚zˇe zˇa´ku˚m utrˇ´ıdit si jednotlive´ pojmy a vztahy, ktere´ jsou si velice podobne´. Po te´to tabulce je jesˇteˇ uvedeno neˇkolik nerˇesˇeny´ch prˇ´ıkladu˚ urcˇeny´ch k procvicˇenı´ zı´skany´ch poznatku˚. Uzˇitı´ geometricky´ch posloupnostı´ je prˇedposlednı´ (cˇtvrtou) cˇa´stı´ kapitoly 2 a nezahrnuje nic jine´ho nezˇ financˇnı´ matematiku – te´ma, ktere´ veˇtsˇinou zˇa´ky prˇ´ılisˇ nebavı´, je pro neˇ
Kapitola 1. Vy´klad teorie v ucˇebnici
7
komplikovane´ a nesrozumitelne´. Tato cˇa´st obsahuje samozrˇejmeˇ take´ teoreticky´ u´vod, jenzˇ je ovsˇem sestaven z dlouhy´ch bloku˚ textu, ktere´ se zˇa´ku˚m nechce veˇtsˇinou cˇ´ıst, a v du˚sledku toho se pak neorientujı´ v pocˇtech financˇnı´ matematiky. Po cˇtyrˇech rˇesˇeny´ch prˇ´ıkladech tu na´sleduje soubor prˇ´ıkladu˚ nerˇesˇeny´ch. Te´matu financˇnı´ matematiky se budeme podrobneˇji veˇnovat v kapitole 4. Jak jsme jizˇ uvedli, za´veˇrecˇna´ (pa´ta´) cˇa´st kapitoly 2 ucˇebnice [Odv1] ma´ na´zev Vlastnosti aritmeticky´ch a geometricky´ch posloupnostı´. Pomocı´ rˇesˇeny´ch prˇ´ıkladu˚ (veˇtsˇinou doplneˇny´ch grafy) jsou tu rˇesˇeny ota´zky, kdy je zadana´ aritmeticka´ posloupnost rostoucı´ cˇi klesajı´cı´, shora, zdola cˇi oboustranneˇ omezena´. Za´vislost teˇchto vlastnostı´ na diferenci dane´ aritmeticke´ posloupnosti je informativneˇ uvedena ve veˇteˇ na str. 69. Pote´ jsou obdobny´m zpu˚sobem posouzeny zmı´neˇne´ vlastnosti pro geometrickou posloupnost se shrnutı´m ve veˇteˇ na str. 72. Tato cˇa´st je dı´ky motivacˇnı´m prˇ´ıkladu˚m velice na´zorna´ a pro zˇa´ky snadno pochopitelna´, nedomnı´va´me se vsˇak, zˇe by si zˇa´ci meˇli obeˇ shrnujı´cı´ veˇty zapamatovat (proto je zde ani necitujeme). Podkapitola koncˇ´ı peˇticı´ nerˇesˇeny´ch u´loh, ktere´ veˇtsˇinou ukla´dajı´ zˇa´ku˚m, aby uva´deˇli prˇ´ıklady aritmeticky´ch a geometricky´ch posloupnostı´ pozˇadovany´ch vlastnostı´. ´ plny´m za´veˇrem cele´ posuzovane´ kapitoly 2 je soubor 9 nerˇesˇeny´ch u´loh nazvany´ U´lohy U k opakova´nı´. Uvedeny´ pocˇet u´loh je podle nasˇeho na´zoru nedostacˇujı´cı´, ale zajiste´ jej kompenzuje sbı´rka prˇ´ıkladu˚ [Odv2], jezˇ k ucˇebnici prˇ´ıslusˇ´ı. Spolecˇneˇ tedy tvorˇ´ı uceleny´ obraz problematiky aritmeticky´ch a geometricky´ch posloupnostı´, ktery´ je vhodnou pomu˚ckou prˇi vy´kladu tohoto te´matu v hodina´ch matematiky na gymna´ziu.
Kapitola 2 Standardnı´ u´lohy Stejneˇ jako v jiny´ch odveˇtvı´ch strˇedosˇkolske´ matematiky, existuje i v prˇ´ıpadeˇ aritmeticky´ch a geometricky´ch posloupnostı´ soubor takzvany´ch standardnı´ch u´loh, ktere´ by meˇl by´t zˇa´k schopen v pru˚beˇhu vy´kladu tohoto te´matu vyrˇesˇit. V te´to kapitole se budeme tedy zaby´vat jednotlivy´mi typy standardnı´ch u´loh uva´deˇny´ch k te´matu Aritmeticke´ a geometricke´ posloupnosti, nejprve podrobneˇ vyrˇesˇ´ıme prˇ´ıklady ty´kajı´cı´ se posloupnostı´ aritmeticky´ch a pote´ stejny´m zpu˚sobem posoudı´me prˇ´ıklady na posloupnosti geometricke´.
2.1
Aritmeticka´ posloupnost
Oddı´l kazˇde´ sbı´rky prˇ´ıkladu˚ ty´kajı´cı´ se aritmeticky´ch posloupnostı´ je zaha´jen u´lohami ´ loha mu˚zˇe by´t zada´na zada´vajı´cı´mi zˇa´ku˚m vypsat jednotlive´ cˇleny dane´ posloupnosti. U naprˇ´ıklad na´sledujı´cı´m zpu˚sobem: Prˇ´ıklad 1. Vypisˇte prvnı´ch 6 cˇlenu˚ aritmeticke´ posloupnosti, je-li jejı´ prvnı´ cˇlen roven 3 a diference je 2. ˇ esˇenı´: R Ma´me zada´n prvnı´ cˇlen a1 = 3 posloupnosti a jejı´ diferenci d = 2. Pomocı´ vztahu an+1 = = an + d mezi dveˇma po sobeˇ na´sledujı´cı´mi cˇleny tedy mu˚zˇeme jednodusˇe pocˇ´ıtat dalsˇ´ı a dalsˇ´ı cˇleny, a to opakovany´m dosazova´nı´m do zmı´neˇne´ho vztahu:
a2 = a1 + d = 3 + 2 = 5 a3 = a2 + 2 = 5 + 2 = 7 a4 = a3 + 2 = 7 + 2 = 9 a5 = a4 + 2 = 9 + 2 = 11 a6 = a5 + 2 = 11 + 2 = 13
8
Kapitola 2. Standardnı´ u´lohy
9
Uvedeny´ podrobny´ za´pis rˇesˇenı´ se jisteˇ vyplatı´ jen prˇi plneˇnı´ prvnı´ho u´kolu, ktery´m s zˇa´ky zacˇ´ına´me aritmeticke´ posloupnosti procvicˇovat. Varianty te´hozˇ u´kolu pak zˇa´ci mohou plnit rovnou zpameˇti zapisova´nı´m cˇlenu˚ vy´cˇtem, ktery´ by u rˇesˇene´ho prˇ´ıkladu vypadal takto: 3, 5, 7, 9, 11, 13, . . . Jedna´ se tedy o nejjednodusˇsˇ´ı typ vy´pocˇtu, ktery´ je pro pozdeˇjsˇ´ı prˇ´ıklady nezbytny´m, nebot’ vyja´drˇenı´ ru˚zny´ch cˇlenu˚ posloupnosti je pozˇadova´no v kazˇde´m z dalsˇ´ıch typu˚ standardnı´ch u´loh. Patrneˇ nejcˇasteˇjsˇ´ım z nich je u´loha, ve ktere´ je zada´no neˇkolik cˇlenu˚ posloupnosti (veˇtsˇinou dva) a u´kolem zˇa´ka je vyja´drˇit bud’jejı´ prvnı´ cˇlen, nebo diferenci, prˇ´ıpadneˇ obojı´. Uvedeme dveˇ uka´zky. Prˇ´ıklad 2. Urcˇete diferenci aritmeticke´ posloupnosti (an )∞ ´ platı´: a1 = 7, a8 = n=1 , ve ktere = 14. ˇ esˇenı´: R Vyuzˇijeme vzorec an = a1 + (n − 1)d pro hodnotu n = 7 a zı´ska´me tak na´sledujı´cı´ rovnici s nezna´mou d, kterou snadno vyrˇesˇ´ıme: a8 = a1 + 7d 14 = 7 + 7d d=1 Prˇ´ıklad 3. Urcˇete prvnı´ cˇlen a diferenci aritmeticke´ posloupnosti, jejı´zˇ osmy´ cˇlen je roven 10 a desa´ty´ cˇlen je roven 8. ˇ esˇenı´: R Tentokra´t vyuzˇijeme vztahu mezi osmy´m a desa´ty´m cˇlenem, ktery´ by zˇa´ci meˇli zna´t v obecne´ podobeˇ: ar = as + (r − s)d. a10 = a8 + 2d, Tuto rovnici snadno vyrˇesˇ´ıme, protozˇe jedinou nezna´mou je tu diference d: a10 − a8 2 8 − 10 d= 2 d = −1
d=
Zı´skali jsme tedy diferenci d = −1 a ted’jizˇ stacˇ´ı vyja´drˇit pomocı´ vztahu an = a1 + (n − 1)d prvnı´ cˇlen: a8 = a1 + 7d a1 = a8 − 7d a1 = 10 + 7 a1 = 17
Kapitola 2. Standardnı´ u´lohy
10
Po teˇchto dvou nejjednodusˇsˇ´ıch typech standardnı´ch u´loh ve sbı´rka´ch veˇtsˇinou na´sledujı´ prˇ´ıklady na urcˇenı´ aritmeticke´ posloupnosti podle hodnot zadany´ch vy´razu˚ (veˇtsˇinou dvou) sestaveny´ch z neˇktery´ch jejı´ch cˇlenu˚. Uvedeme nynı´ dva takove´ prˇ´ıklady: Prˇ´ıklad 4. Urcˇete prvnı´ cˇlen aritmeticke´ posloupnosti (an )∞ n=1 , v nı´zˇ platı´: a2 + a4 = 6, a3 + a5 = 8. ˇ esˇenı´: R Nejprve je zapotrˇebı´ prˇeve´st vsˇechny zastoupene´ cˇleny na soucˇet cˇlenu prvnı´ho a prˇ´ıslusˇny´ na´sobek diference, pak jizˇ stacˇ´ı vyrˇesˇit soustavu dvou rovnic o dvou nezna´my´ch: a2 + a4
=6
a3 + a5
=8
(a1 + d) + (a1 + 3d) = 6 (a1 + 2d) + (a1 + 4d) = 8 2a1 + 4d
=6
2a1 + 6d
=8
2d
=2
d
=1
Dosazenı´m hodnoty d do jedne´ z rovnic pak zı´ska´va´me hodnotu a1 = 1. Prˇ´ıklad 5. Udejte prˇ´ıklad dvou ru˚zny´ch aritmeticky´ch posloupnostı´ (an )∞ ˇ zˇ platı´ n=1 , pro ne a11 − a8 = 9. Co majı´ vsˇechny takove´ posloupnosti spolecˇne´? ˇ esˇenı´: R Ze vsˇeho nejdrˇ´ıve prˇevedeme v zadane´ rovnici cˇleny a11 a a8 na soucˇet cˇlenu prvnı´ho a prˇ´ıslusˇne´ho na´sobku diference d: (a1 + 10d) − (a1 + 7d) = 9 Po odstraneˇnı´ za´vorek se cˇleny a1 odecˇtou a zı´ska´me rovnost 3d = 9, z cˇehozˇ plyne, zˇe d = 3. Diference je tedy pro vsˇechny hledane´ posloupnosti rovna 3. K uvedenı´ prˇ´ıkladu dvou takovy´ch posloupnostı´ jizˇ stacˇ´ı jen zadat cˇlen a1 , a to naprˇ´ıklad takto: 1. posloupnost: a1 = 5, d = 3 (a8 = 26, a1 1 = 35) 2. posloupnost: a1 = 7, d = 3 (a8 = 28, a1 1 = 37). Toto byl jeden ze zpu˚sobu˚ rˇesˇenı´, zdatneˇjsˇ´ı zˇa´ci by mohli take´ vyuzˇ´ıt vzorce ar − as = = (r − s)d, ktery´ nenı´ sice prˇ´ılisˇ frekventovany´, ale nemeˇl by zˇa´ku˚m cˇinit potı´zˇe.
Kapitola 2. Standardnı´ u´lohy
11
Stejneˇ jako ve sbı´rka´ch jsme i my v te´to kapitole uvedli pouze jednoduchou u´lohu s dveˇma vy´razy, ve ktere´ se zastoupene´ cˇleny (dva a dva) scˇ´ıtajı´. Teprve pote´ prˇicha´zejı´ na rˇadu prˇ´ıklady, v nichzˇ se cˇleny aritmeticke´ posloupnosti odcˇ´ıtajı´ cˇi dokonce na´sobı´ (uka´zky uvedme v kapitole 3). Vza´jemne´ deˇlenı´ cˇlenu˚ se pak v zada´nı´ch u´loh ve strˇedosˇkolsky´ch sbı´rka´ch neobjevuje vu˚bec. Zatı´m jsme uva´deˇli standardnı´ prˇ´ıklady k procvicˇenı´ vztahu˚ mezi dveˇma cˇleny aritmeticke´ posloupnosti. Kromeˇ nich je ve sˇkolske´ teorii uva´deˇn uzˇ je jediny´, zato vsˇak velice vy´znamny´ vzorec, je jı´m vzorec pro vy´pocˇet soucˇtu prvnı´ch n cˇlenu˚ dane´ aritmeticke´ posloupnosti. K jeho uzˇitı´ uvedme v te´to kapitole dva prˇ´ıklady: Prˇ´ıklad 6. Vypocˇteˇte soucˇet prvnı´ch 6 cˇlenu˚ aritmeticke´ posloupnosti (an )∞ n=1 , je-li a1 = 5, d = 3. ˇ esˇenı´: R n Pro vy´pocˇet uzˇijeme vzorce sn = (a1 + an ) pro n = 6. Jedine´, co nezna´me a co je tedy 2 zapotrˇebı´ zjistit, je hodnota cˇlenu a6 : a6 = a1 + 5d = 5 + 5 · 3 = 20. Nynı´ jizˇ stacˇ´ı dosadit vsˇechny zna´me´ hodnoty do soucˇtove´ho vzorce: 6 s6 = (5 + 20) = 3 · 25 = 75. 2 Jak jsme se pra´veˇ prˇesveˇdcˇili, i prˇi nejjednodusˇsˇ´ım uzˇitı´ soucˇtove´ho vzorce je obvykle zapotrˇebı´ vyuzˇ´ıt drˇ´ıve procvicˇeny´ch vztahu˚. Aritmeticke´ posloupnosti, jejichzˇ cˇleny ma´me secˇ´ıst, mohou by´t zada´va´ny nejen pomocı´ a1 a d, ale take´ pomocı´ dvou ru˚zny´ch cˇlenu˚. Ve sbı´rka´ch se pak soucˇtovy´ vzorec vyuzˇ´ıva´ prˇi rˇesˇenı´ prakticky´ch situacı´. Ty mohou by´t zada´ny naprˇ´ıklad takto: Prˇ´ıklad 7. Plechovky s barvou jsou v obchodeˇ postaveny do vrstev tak, zˇe v kazˇde´ vysˇsˇ´ı vrstveˇ je o jednu plechovku s barvou me´neˇ nezˇ ve vrstveˇ pod nı´. Do kolika vrstev se takto slozˇ´ı 28 plechovek s barvou, je-li v nejvysˇsˇ´ı vrstveˇ jedna plechovka? ˇ esˇenı´: R Ze zada´nı´ okamzˇiteˇ vyply´va´, zˇe pocˇty plechovek ve vrstva´ch shora dolu˚ tvorˇ´ı aritmetickou posloupnost, ve ktere´ a1 = 1 a d = 1. Zna´me tedy prvnı´ cˇlen posloupnosti, jejı´ diferenci a soucˇet n cˇlenu˚ pro n, ktere´ hleda´me.
Kapitola 2. Standardnı´ u´lohy
12
n sn = (a1 + an ) 2 n sn = (a1 + a1 + (n − 1)d) 2 n 28 = (1 + n) 2 56 = n + n2 0 = n2 + n − 56 0 = (n − 7)(n + 8)
ˇ esˇenı´m kvadraticke´ rovnice jsme tak zı´skali 2 korˇeny: n1 = 7 a n2 = −8. Pocˇet vrstev R plechovek s barvou ale nemu˚zˇe by´t za´porny´, proto je jediny´m rˇesˇenı´m te´to u´lohy n = 7. Vsˇechny plechovky se tedy ulozˇ´ı do 7 vrstev.
2.2
Geometricka´ posloupnost
Posloupnost prˇ´ıkladu˚ veˇnujı´cı´ch se te´matu geometricky´ch posloupnostı´ je velice podobna´ te´ u posloupnostı´ aritmeticky´ch. Opeˇt zacˇ´ına´me nejjednodusˇsˇ´ım prˇ´ıkladem, tedy vy´pisem neˇkolika prvnı´ch cˇlenu˚ geometricke´ posloupnosti urcˇene´ svy´m prvnı´m cˇlenem a kvocientem. Prˇ´ıklad 8. Zapisˇte prvnı´ch 7 cˇlenu˚ geometricke´ posloupnosti, jejı´zˇ prvnı´ cˇlen je 64 a kvocient 0,5. ˇ esˇenı´: R Vyuzˇitı´m vztahu an+1 = an ·q mezi dveˇma po sobeˇ jdoucı´mi cˇleny velice jednodusˇe zjistı´me hodnoty prvnı´ch 7 cˇlenu˚ posloupnosti: a2 = a1 · q = 64 · 0,5 = 32 a3 = a2 · q = 32 · 0,5 = 16 a4 = a3 · q = 16 · 0,5 = 8 a5 = a4 · q = 8 · 0,5 = 4 a6 = a5 · q = 4 · 0,5 = 2 a7 = a6 · q = 2 · 0,5 = 1
Podstatou vy´pocˇtu˚ cˇlenu˚ geometrich posloupnostı´ je tedy na´sobenı´ nebo deˇlenı´ cˇ´ısel v za´vislosti na zada´nı´ kvocientu. Na´sobenı´ by´va´ pro zˇa´ky veˇtsˇinou slozˇiteˇjsˇ´ı u´kon nezˇ
Kapitola 2. Standardnı´ u´lohy
13
scˇ´ıta´nı´ nebo odecˇ´ıta´nı´ cˇ´ısel – dvou operacı´, jezˇ uplatnˇovali v prˇ´ıpadeˇ posloupnostı´ aritmeticky´ch. Docha´zı´ tu k cˇasteˇjsˇ´ım numericky´m chyba´m, obzvla´sˇt’v prˇ´ıpadech, je-li kvocient zada´n ve tvaru zlomku nebo desetinny´m cˇ´ıslem. Dalsˇ´ı prˇeka´zˇkou, kterou by meˇli by´t zˇa´ci schopni prˇekonat, je pak vyja´drˇenı´ prvnı´ho cˇlenu nebo kvocientu geometricke´ posloupnosti urcˇene´ neˇktery´mi dveˇma jejı´mi cˇleny s dany´mi porˇadovy´mi cˇ´ısly: Prˇ´ıklad 9. Urcˇete kvocient geometricke´ posloupnosti (an )∞ ´ ny cˇleny n=1 , jestlizˇe jsou da a2 = 3 a a6 = 48. ˇ esˇenı´: R Ze vztahu ar = as · qs−r mezi r-ty´m a s-ty´m cˇlenem posloupnosti r=6as=4 q q pro indexy
vyply´va´: a6 = a2 · q4 , takzˇe pro hledany´ kvocient q platı´: q =
4
a6 a2
=
4
48 3
= 2.
Jak je videˇt v prˇedchozı´m prˇ´ıkladu, v u´loha´ch o geometricky´ch posloupnostech prˇecha´zı´me k pocˇtu˚m s mocninami a odmocninami vysˇsˇ´ıch rˇa´du˚, cozˇ mu˚zˇe cˇinit mnohy´m zˇa´ku˚m potı´zˇe. Stejneˇ jako u posloupnostı´ aritmeticky´ch, dosta´va´me se k u´loha´m, v nichzˇ majı´ zˇa´ci za u´kol urcˇit geometrickou posloupnost podle zadany´ch vztahu˚ mezi jejı´mi (zpravidla dveˇma) cˇleny. Jejich rˇesˇenı´ pak vede na soustavy rovnic. V tomto prˇ´ıpadeˇ se ale veˇtsˇinou nejedna´ o soustavy rovnic pouze linea´rnı´ch, ny´brzˇ take´ kvadraticky´ch. Prˇ´ıklad 10. Urcˇete prvnı´ cˇlen a kvocient geometricke´ posloupnosti (an )∞ n=1 , v nı´zˇ platı´: a2 + a3 = 12, a4 − a2 = 12. ˇ esˇenı´: R a2 + a3
= 12
a4 − a2
= 12
a1 q + a1 q2
= 12
a1 q3 − a1 q
= 12
a1 q(1 + q) = 12 a1 q(q2 − 1) = 12 1+q (q−1)(q+1)
=1
q
=2
Dosadı´me-li hodnotu q = 2 do jake´koliv z druhe´ dvojice rovnic, zı´ska´me a1 = 2. V takovy´chto u´loha´ch se musı´ zˇa´k poty´kat nejen s rˇesˇenı´m kvadraticke´ rovnice, ale take´ s u´pravou algebraicky´ch vy´razu˚. I kdyzˇ stojı´ tento prˇ´ıklad na stejne´ u´rovni jako u posloupnostı´ aritmeticky´ch, jedna´ se proto o typ u´lohy s na´rocˇneˇjsˇ´ım rˇesˇenı´m. Nynı´ prˇejdeme k u´loha´m na procvicˇenı´ vy´znamne´ho vzorce pro soucˇet prvnı´ch neˇkolika cˇlenu˚ geometricke´ posloupnosti. I ten je slozˇiteˇjsˇ´ı nezˇ obdobny´ soucˇtovy´ vzorec pro aritmetickou posloupnost.
Kapitola 2. Standardnı´ u´lohy
14
Prˇ´ıklad 11. Vypocˇ´ıtejte soucˇet prvnı´ch peˇti cˇlenu˚ geometricke´ posloupnosti, zna´te-li a1 = 3 a q = −1. ˇ esˇenı´: R n
−1 Dosadı´me-li zadane´ hodnoty do soucˇtove´ho vzorce sn = a1 qq−1 pro n = 5, obdrzˇ´ıme ihned rˇesˇenı´: 5
−1 s5 = a1 qq−1 = 3 −1−1 −1−1 = 3.
K poneˇkud prˇekvapive´ odpoveˇdi s5 = a1 by mohlo by´t vhodne´ zˇa´ku˚m zdu˚raznit, zˇe jsme vlastneˇ pocˇ´ıtali soucˇet 3 − 3 + 3 − 3 + 3. Zˇa´ci by pak sami mohli odvodit, zˇe sn = 3 nebo sn = 0 podle toho, zda je n liche´ nebo sude´ cˇ´ıslo. Prakticke´ u´lohy vyuzˇ´ıvajı´cı´ geometricky´ch posloupnostı´ se veˇtsˇinou zaby´vajı´ proble´my z oblasti financˇnı´ matematiky. Jak jsme jizˇ zmı´nili v prˇedchozı´ kapitole, jedna´ se prˇeva´zˇneˇ o te´ma mezi zˇa´ky neoblı´bene´ a hu˚rˇe pochopitelne´. Budeme se mu veˇnovat v kapitole 4. My zde vsˇak uvedeme jesˇteˇ jeden prˇ´ıklad vyuzˇ´ıvajı´cı´ soucˇtovy´ vzorec, ktery´ do financˇnı´ matematiky nepatrˇ´ı. Prˇ´ıklad 12. Urcˇete pocˇet prvnı´ch cˇlenu˚ geometricke´ posloupnosti, jejichzˇ soucˇet je roven 45, vı´te-li, zˇe a1 = 3 a q = 2. ˇ esˇenı´: R n
−1 Nejdrˇ´ıve vyja´drˇ´ıme ze soucˇtove´ho vzorce sn = a1 qq−1 mocninu qn :
qn =
sn ·(q−1) a1
+1
a dosadı´me zadane´ hodnoty: 45 · (2 − 1) +1 3 2n = 16. 2n =
Odtud jizˇ jednodusˇe urcˇ´ıme hledane´ n = 4. V za´veˇru kazˇde´ sbı´rky standardnı´ch u´loh nesmı´ chybeˇt prˇ´ıklady, v nichzˇ zˇa´ci zkoumajı´ vlastnosti aritmeticky´ch a geometricky´ch posloupnostı´, tedy zda jsou tyto posloupnosti rostoucı´, klesajı´cı´, ani rostoucı´ ani klesajı´cı´, omezene´, nebo shora, cˇi zdola omezene´: Prˇ´ıklad 13. Rozhodneˇte, zda je geometricka´ posloupnost (3n )∞ n=1 rostoucı´, klesajı´cı´, omezena´.
Kapitola 2. Standardnı´ u´lohy
15
ˇ esˇenı´: R Ze vsˇeho nejdrˇ´ıve se budeme zaby´vat tı´m, zda je posloupnost rostoucı´. Zˇa´ci by si sice mohli vypsat neˇkolik prvnı´ch cˇlenu˚ posloupnosti a podle nich tuto vlastnost urcˇit, ale meˇli by by´t spı´sˇe vedeni oveˇrˇova´nı´ te´to vlastnosti pro obecne´ n. Ma´-li tedy by´t posloupnost rostoucı´, musı´ by´t an+1 > an pro libovolne´ n. V nasˇem prˇ´ıpadeˇ tedy musı´ platit 3n+1 > 3n . Pokud nynı´ tuto nerovnost podeˇlı´me vy´razem 3n , dostaneme ekvivalentnı´ nerovnost 3 > 1, ktera´ zrˇejmeˇ platı´. Posloupnost je tedy rostoucı´ (nenı´ klesajı´cı´) a take´ je zdola omezena´ cˇlenem a1 = 31 = 3. Shora tato posloupnost omezena´ nenı´, z cˇehozˇ vyply´va´, zˇe nenı´ ani omezena´. V prˇ´ıkladech podobny´ch tomu prˇedchozı´mu je veˇtsˇinou zada´va´no vı´ce posloupnostı´ najednou a u´kolem zˇa´ku˚ by´va´ urcˇit ru˚zne´ vlastnosti zadany´ch posloupnostı´, avsˇak veˇtsˇinou jsou vsˇechny zadane´ posloupnosti pouze aritmeticke´ nebo geometricke´. I kdyzˇ se tyto u´lohy objevujı´ v kapitole veˇnujı´cı´ se vlastnostem obou zmı´neˇny´ch posloupnostı´, nevyskytujı´ se prˇ´ıklady smı´sˇene´. Rozpoznat typ posloupnosti a pote´ jesˇteˇ urcˇit jejı´ vlastnosti by sice mohlo by´t pro zˇa´ky na´rocˇneˇjsˇ´ı, ale prˇesto by se meˇli umeˇt i s tı´mto komplexneˇjsˇ´ım u´kolem vyrovnat. Za´veˇrem te´to kapitoly je jesˇteˇ nutno podotknout, zˇe sbı´rka standardnı´ch u´loh tvorˇ´ı jaky´si za´klad prˇi vy´uce aritmeticky´ch a geometricky´ch posloupnostı´, samozrˇejmeˇ se vsˇak ve sbı´rka´ch objevujı´ take´ u´lohy slozˇiteˇjsˇ´ı. Ty se mohou zˇa´ku˚m zprvu jevit jako velice na´rocˇne´, ale prˇi blizˇsˇ´ım pohledu brzy zjistı´, zˇe jsou pouze poskla´da´ny z u´loh standardnı´ho typu a obcˇas jsou k jejich vyrˇesˇenı´ potrˇeba take´ znalosti z jiny´ch te´mat strˇedosˇkolske´ matematiky. A pra´veˇ teˇmito na´rocˇny´mi a nestandardnı´mi u´lohami se budeme zaby´vat v na´sledujı´cı´ kapitole.
Kapitola 3 Nestandardnı´ u´lohy Vy´klad problematiky aritmeticky´ch a geometricky´ch posloupnostı´ je kromeˇ jizˇ uvedeny´ch typu˚ standardnı´ch u´loh podporˇen take´ u´lohami, ktere´ mohou by´t pro mnohe´ zˇa´ky obtı´zˇneˇ rˇesˇitelne´. Jedna´ se o u´lohy nestandardnı´, ktere´ mohou by´t zˇa´ku˚m zada´va´ny formou dobrovolny´ch doma´cı´ch u´kolu˚, jako u´lohy k zamysˇlenı´ nebo se mohou vyskytovat v zada´nı´ matematicky´ch olympia´d. Podobneˇ jako v prˇedchozı´ kapitole uvedeme neˇkolik za´stupcu˚ teˇchto nestandardnı´ch u´loh vcˇetneˇ jejich rˇesˇenı´. Prvnı´ prˇ´ıklad, ktery´ v te´to kapitole uvedeme, je zada´n ve sbı´rce prˇ´ıkladu˚ [Vej] na str. 251. Zˇa´ci prˇi neˇm musı´ uplatnit nejen znalosti posloupnostı´, ale take´ rˇesˇenı´ soustav rovnic s parametrem. Prˇ´ıklad 1. Najdeˇte trˇi po sobeˇ jdoucı´ cˇleny aritmeticke´ posloupnosti, vı´te-li, zˇe jejich soucˇet je 3x a jejich soucˇin je x3 − 4, prˇicˇemzˇ x > 0. ˇ esˇenı´: R Oznacˇme si hledane´ cˇleny aritmeticke´ posloupnosti jako an−1 , an , an+1 , prˇicˇemzˇ cˇleny an−1 a an+1 mu˚zˇeme vyja´drˇit pomocı´ an a diference takto: an−1 = an − d, an+1 = an + d. Ze zada´nı´ prˇitom vı´me na´sledujı´cı´: an−1 + an + an+1 = 3x an−1 · an · an+1 = x3 − 4 Dosadı´me-li sem za an−1 a an+1 uvedena´ vyja´drˇenı´, zı´ska´me soustavu dvou rovnic o dvou nezna´my´ch an a d: (an − d) + an + (an + d) = 3x (an − d) · an · (an + d) = x3 − 4 16
Kapitola 3. Nestandardnı´ u´lohy
17
Z prvnı´ rovnice ma´me prˇ´ımo an = x, po dosazenı´ do druhe´ rovnice dostaneme (x − − d)x(x + d) = x3 − 4 neboli x3 − xd 2 = x3 − 4, odkud vzhledem k prˇedpokladu x > 0 √ ma´me d = ± 2 x x . Trˇi po sobeˇ jdoucı´ cˇleny aritmeticke´ posloupnosti, ktere´ splnˇujı´ zadane´ rovnosti: √
√
x ∓ 2 x x , x, x ± 2 x x , jsou tedy azˇ na porˇadı´ prvnı´ho a trˇetı´ho cˇlenu urcˇeny jednoznacˇneˇ. Mezi nestandardnı´ u´lohy patrˇ´ı take´ ty, v nichzˇ je u´kolem zˇa´ku˚ doka´zat neˇjake´ tvrzenı´, proto zde uva´dı´me prˇ´ıklad, ktery´ je opeˇt ze sbı´rky [Vej], tentokra´t uvedeny´ na straneˇ 253: 1 1 1 Prˇ´ıklad 2. Jestlizˇe vy´razy b+c , c+a , a+b , v nichzˇ cˇ´ısla a, b, c naby´vajı´ prˇ´ıpustny´ch hodnot, tvorˇ´ı trˇi po sobeˇ jdoucı´ cˇleny aritmeticke´ posloupnosti, pak take´ cˇ´ısla a2 , b2 , c2 tvorˇ´ı trˇi po sobeˇ jdoucı´ cˇleny aritmeticke´ posloupnosti. Dokazˇte.
ˇ esˇenı´: R Jsou-li uvedene´ vy´razy trˇemi po sobeˇ jdoucı´mi cˇleny aritmeticke´ posloupnosti s diferencı´ d1 , pak musı´ platit na´sledujı´cı´ rovnosti: 1 1 1 1 − = − = d1 c+a b+c a+b c+a Nynı´ budeme postupneˇ upravovat obeˇ strany rovnice tak, bychom zı´skali pozˇadovanou rovnost, tedy b2 − a2 = c2 − b2 : b−a c−b = (c + a)(b + c) (a + b)(c + a) Tuto rovnici vyna´sobı´me soucˇinem vy´razu˚ (c + a), (b + c) a (a + b): (b − a)(a + b) = (c − b)(b + c), pote´ jesˇteˇ na kazˇdou stranu rovnosti aplikujeme (A − B)(B − A) = A2 − B2 : b2 − a2 = c2 − b2 = d2 Z te´to rovnice jizˇ vyply´va´, zˇe cˇ´ısla a2 , b2 , c2 jsou trˇi po sobeˇ jdoucı´ cˇleny aritmeticke´ posloupnosti s diferencı´ d2 . Na´sledujı´cı´ prˇ´ıklad (sestaveny´ vedoucı´m pra´ce) spojuje problematiku aritmeticky´ch posloupnostı´, pravou´hly´ch troju´helnı´ku˚ a take´ pomeˇru˚, mohlo by tedy by´t vhodne´ zarˇadit jej do souhrnne´ pı´semne´ pra´ce naprˇ´ıklad prˇi opakova´nı´ la´tky v maturitnı´ch rocˇnı´cı´ch. Prˇ´ıklad 3. Dokazˇte, zˇe vsˇechny pravou´hle´ troju´helnı´ky se stranami, jejichzˇ de´lky tvorˇ´ı aritmetickou posloupnost, jsou navza´jem podobne´. V jake´m pomeˇru jsou trˇi zmı´neˇne´ de´lky?
Kapitola 3. Nestandardnı´ u´lohy
18
ˇ esˇenı´: R Oznacˇme si strany dane´ho pravou´hle´ho troju´helnı´ku takto:
B
c a
C
b
A
a
a+c 2 .
(a + c)2 4 4c2 = 4a2 + a2 + 2ac + c2 c2 = a2 +
0 = 5a2 + 2ac − 3c2 √ −2c ± 4c2 + 4 · 5 · 3c2 −2c ± 8c a1,2 = = 10 10 ˇ esˇenı´m kvadraticke´ rovnice jsou dva korˇeny: a1 = −c a a2 = 3c . Velikost stany a ale R 5 nemu˚zˇe by´t za´porny´m na´sobkem velikosti strany c, jediny´m rˇesˇenı´m je tedy v nasˇem a+c ´ me b = 4c prˇ´ıpadeˇ a = 3c 5 . Po dosazenı´ do b = 2 zı´ska 5.
Kapitola 3. Nestandardnı´ u´lohy
19
Podobnost vsˇech pravou´hly´ch troju´helnı´ku˚, jejichzˇ strany tvorˇ´ı aritmetickou posloupnost je doka´za´na tı´m, zˇe strany a i b jsou urcˇeny´mi na´sobky strany c, prˇicˇemzˇ jejich pomeˇr je na´sledujı´cı´: a:b:c=
3 4 : : 1 = 3 : 4 : 5. 5 5
Jak jsme zmı´nili jizˇ v prˇedchozı´ kapitole, cˇasto jsou zada´va´ny vztahy mezi jednotlivy´mi cˇleny naprˇ´ıklad aritmeticke´ posloupnosti soucˇtem nebo rozdı´lem jejı´ch cˇlenu˚, zada´me-li vsˇak vztah mezi dveˇma cˇleny aritmeticke´ posloupnosti jejich pomeˇrem (jako je tomu v na´sledujı´cı´m prˇ´ıkladu ze sbı´rky [Kri] – str. 286), mu˚zˇe by´t zˇa´k zaskocˇen, proto jej zarˇazujeme mezi u´lohy nestandardnı´ho typu: Prˇ´ıklad 4. Ve ktere´ aritmeticke´ posloupnosti je
a2 a7
=
4 19 ;
a4 + a5 = 46?
ˇ esˇenı´: R Tato u´loha mu˚zˇe by´t rˇesˇena prˇevedenı´m jednotlivy´ch zastoupeny´ch cˇlenu˚ posloupnosti na soucˇet a1 a prˇ´ıslusˇne´ho na´sobku diference d: 4 a1 + d = , a1 + 6d 19
(a1 + 3d) + (a1 + 4d) = 46,
ˇ esˇenı´m upravene´ soustavy dvou linea´rnı´ch rovnic R 19(a1 + d) = 4(a1 + 6d),
2a1 + 7d = 46,
je dvojice: a1 = 2 a d = 6. Prˇ´ıklad 5. Jestlizˇe cˇ´ısla logk x, logm x, logn x (x 6= 1) tvorˇ´ı aritmetickou posloupnost, pak je n2 = (kn)logk m ; dokazˇte. ˇ esˇenı´: R Jestlizˇe uvedene´ vy´razy tvorˇ´ı aritmetickou posloupnost s diferencı´ d, pak musı´ splnˇovat na´sledujı´cı´ rovnost: logm x − logk x = logn x − logm x = d Nynı´ prˇevedeme oba vy´razy logm x na jednu stranu rovnice a uzˇijeme vztah loga b =
1 logb a :
Kapitola 3. Nestandardnı´ u´lohy
20
2 1 1 = + . logx m logx n logx k Na tomto mı´steˇ prˇedchozı´ rovnost vyna´sobı´me vy´razem logx m a prˇevedeme podı´ly logalog b ritmu˚ na jeden logaritmus, a to dı´ky vzorci: loga c = logc b. a
2 = logn m + logk m, prˇicˇemzˇ cˇ´ıslo 2 mu˚zˇeme prˇepsat na logn n2 a logk m na logn nlogk m . Takto zı´ska´me rovnost obsahujı´cı´ pouze logaritmy stejne´ho za´kladu: logn n2 = logn m + logn nlogk m , odkud po odlogaritmova´nı´ dostaneme: n2 = m · nlogk m = klogk m · nlogk m = (kn)logk m , cozˇ jsme chteˇli doka´zat. Prˇedchozı´ prˇ´ıklad (sbı´rka [Lid], str. 10) patrˇ´ı mezi prˇ´ıklady du˚kazove´. Jeho rˇesˇenı´ by pro zˇa´ky strˇednı´ch sˇkol mohlo by´t obtı´zˇne´, protozˇe je zde vyuzˇ´ıva´no vztahu˚ mezi logaritmy, ktere´ nejsou standardneˇ ve vy´uce uva´deˇny. Naopak prˇi rˇesˇenı´ prˇ´ıkladu na´sledujı´cı´ho (sbı´rka [Kri], str. 290) stacˇ´ı zˇa´ku˚m k vyrˇesˇenı´ znalost Pythagorovy veˇty a vzorcu˚ pro vy´pocˇet obsahu a objemu koule. Prˇ´ıklad 6. Do koule o polomeˇru 1 m je vepsa´na krychle; do nı´ opeˇt koule atd. Vypocˇteˇte polomeˇr desa´te´ koule a povrch a objem desa´te´ krychle. ˇ esˇenı´: R Polomeˇry koulı´ r1 , r2 , r3 , . . . budou zrˇejmeˇ cˇleny geometricke´ posloupnosti, nasˇ´ım u´kolem je tedy vyja´drˇit cˇlen r10 pomocı´ cˇlenu r1 .
H
G
E
F S D C
A
B
Kapitola 3. Nestandardnı´ u´lohy
21
Nejveˇtsˇ´ı koule ma´ polomeˇr r1 = 1 m, prˇicˇemzˇ tento rozmeˇr je v nasˇem obra´zku roven naprˇ´ıklad velikosti teˇlesove´ u´hloprˇ´ıcˇky DF. Pomocı´ pravou´hle´ho troju´helnı´ku BFD jsme proto schopni dopocˇ´ıtat vztah mezi polomeˇrem prvnı´ koule r1 a stranou a1 nejveˇtsˇ´ı vepsane´ krychle: 4r12 = a21 + b2 , √ kde b je u´hloprˇ´ıcˇkou cˇtverce ABCD, tedy b = a1 2, takzˇe 4r12 = a21 + 2a21 ,
odkud
a1 =
q
4 3 r1 .
Zna´me tedy polomeˇr nejveˇtsˇ´ı koule a stranu do nı´ vepsane´ krychle. Do te´to krychle nynı´ vepı´sˇeme qdalsˇ´ı kouli, jejı´ polomeˇr bude zrˇejmeˇ roven polovineˇ de´lky strany krychle: r2 = 12 a1 = 12 chozı´ u´vahy
4 ´ to koule je pak vepsa´na dalsˇ´ı krychle, jejı´zˇ strana bude podle prˇed3 r1 . Do te q 2 q 4 · 12 r1 , do nı´ opeˇt vepı´sˇeme kouli s porˇadovy´m rovna a2 = 43 r2 = 3 1 2 a2
1 2 2
q 2
q
4 3
cˇ´ıslem 3: r3 = = r1 , prˇicˇemzˇ strana trˇetı´ krychle bude a3 = 43 r3 = q 3 4 1 2 = · ´cˇtu jizˇ snadno odvodı´me vztahy pro polomeˇr kazˇde´ na´sle3 2 r1 . Z tohoto vy dujı´cı´ koule a stranu dalsˇ´ı krychle:
rn =
1 n−1 2
q n−1 4 3
a an =
r1
q n 4 3
·
1 n−1 r1 . 2
·
1 9 2
Pro desa´tou kouli a desa´tou krychli tedy bude platit:
r10 =
1 9 2
q 9 4 3
=
√ 3 243
a a10 =
q 10 4 3
=
2 243 .
Nasˇ´ım u´kolem vsˇak bylo urcˇit objem a povrch desa´te´ koule: V10 = a310 =
8 2433
m3 ;
S10 = 6a210 =
24 2432
m2 .
Me´neˇ cˇasto jsou posloupnosti spojova´ny take´ s rˇesˇenı´m kvadraticky´ch rovnic, konkre´tneˇ v dalsˇ´ım prˇ´ıkladu je zapotrˇebı´ zna´t podmı´nku, kdy ma´ takova´ rovnice dvojna´sobny´ korˇen, tedy podmı´nku vztahujı´cı´ se k diskriminantu prˇ´ıslusˇne´ rovnice. Prˇ´ıklad byl prˇevzat ze sbı´rky [Vej] ze strany 255. Prˇ´ıklad 7. Jestlizˇe v rovnici ax2 + 2bx + c = 0 tvorˇ´ı nenulova´ cˇ´ısla a, b, c trˇi po sobeˇ jdoucı´ cˇleny geometricke´ posloupnosti, ma´ rovnice dvojna´sobny´ korˇen. Dokazˇte.
Kapitola 3. Nestandardnı´ u´lohy
22
ˇ esˇenı´: R Jelikozˇ cˇ´ısla a, b a c tvorˇ´ı trˇi po sobeˇ jdoucı´ cˇleny geometricke´ posloupnosti, mu˚zˇeme si cˇ´ısla a a c prˇeznacˇit takto: a = bq a c = bq, kde q je kvocientem posloupnosti, prˇitom podle zada´nı´ b 6= 0 i q 6= 0. Kvadratickou rovnici je tak mozˇne´ prˇepsat: bq x2 + 2bx + bq = 0. Nynı´ obvykly´m zpu˚sobem vyja´drˇ´ıme korˇeny rovnice x1 a x2 : s − 2b ± x1,2 =
(2b)2 − 4bq b 2· q
b q
.
´ pravou diskriminantu zjistı´me, zˇe je roven 0, cozˇ je podmı´nkou toho, zˇe ma´ uvedena´ U kvadraticka´ rovnice dvojna´sobny´ korˇen, jak jsme meˇli doka´zat. Dalsˇ´ı dva prˇ´ıklady, v nichzˇ majı´ zˇa´ci udat prˇ´ıklad posloupnosti nebo rozhodnout o existenci neˇjake´ posloupnosti, opeˇt navrhnul vedoucı´ pra´ce. Prˇ´ıklad 8. Udejte prˇ´ıklad nekonecˇne´ geometricke´ posloupnosti, mezi jejı´mizˇ cˇleny je pra´veˇ 2012 cely´ch cˇ´ısel. ˇ esˇenı´: R Ma´me-li udat prˇ´ıklad nekonecˇne´ geometricke´ posloupnosti, ktera´ ovsˇem obsahuje konecˇny´ pocˇet cely´ch cˇ´ısel, musı´me neˇjaky´m zpu˚sobem zajistit, aby s dalsˇ´ımi a dalsˇ´ımi cˇleny posloupnosti k jejı´m cˇlenu˚m jizˇ neprˇiby´vala cela´ cˇ´ısla. Toho lze docı´lit v prˇ´ıpadeˇ, zˇe bude kvocient te´to posloupnosti v absolutnı´ hodnoteˇ mensˇ´ı nezˇ 1. Zvolme si jej tedy naprˇ´ıklad roven 21 a za prvnı´ cˇlen posloupnosti zvolı´me sude´ cˇ´ıslo, ota´zkou ale zu˚sta´va´, jak velke´, aby vy´sledny´ pocˇet celocˇ´ıselny´ch cˇlenu˚ posloupnosti byl roven cˇ´ıslu 2012. Zkusme prvnı´ cˇlen polozˇit roven 8, kazˇdy´ dalsˇ´ı cˇlen tedy bude roven polovineˇ cˇlenu prˇedcha´zejı´cı´ho: a1 = 8, a2 = 4, a3 = 2, a4 = 1, a5 = 21 , a6 = 14 , . . . Tato posloupnost tedy obsahuje 4 cela´ cˇ´ısla. Zvolı´me-li prvnı´ cˇlen dvakra´t veˇtsˇ´ı, tedy roven cˇ´ıslu 16, bude posloupnost obsahovat o 1 cele´ cˇ´ıslo vı´ce, celkem tedy 5. Souvislost pocˇtu celocˇ´ıselny´ch cˇlenu˚ geometricke´ posloupnosti s volbou prvnı´ho cˇlenu vyjde najevo, prˇevedeme-li si zvolene´ prvnı´ cˇleny na mocniny cˇ´ısla 2, tedy 23 a 24 . Pocˇet celocˇ´ıselny´ch cˇlenu˚ je tak pokazˇde´ o 1 veˇtsˇ´ı, nezˇ je mocnina cˇ´ısla 2 v prvnı´m cˇlenu. Chceme-li tedy zı´skat celkem 2012 cely´ch cˇ´ısel v posloupnosti s kvocientem q = 12 , musı´me prvnı´ cˇlen zadat takto: a1 = 22011 . Prˇ´ıklad 9. Rozhodneˇte, zda existuje geometricka´ posloupnost, ktera´ ma´ za cˇleny nekonecˇneˇ mnoho raciona´lnı´ch cˇ´ısel i nekonecˇneˇ mnoho iraciona´lnı´ch cˇ´ısel. ˇ esˇenı´: R Hleda´me tedy geometrickou posloupnost, jejı´mizˇ cˇleny budou √ strˇ´ıdave √ˇ raciona´lnı´ a iraciona´lnı´ cˇ´ısla. Takove´ho strˇ´ıda´nı´ lze dosa´hnout volbou a1 = 2 a q = 2.
Kapitola 3. Nestandardnı´ u´lohy
a1 =
23
√ √ 3 √ 5 2, a2 = 2, a3 = 2 , a4 = 4, a5 = 2 , a6 = 8, . . .
Uvedeny´ prˇ´ıklad tedy dokazuje existenci geometricke´ posloupnosti, ktera´ ma´ za cˇleny nekonecˇneˇ mnoho raciona´lnı´ch cˇ´ısel i nekonecˇneˇ mnoho iraciona´lnı´ch cˇ´ısel. Desa´ty´ prˇ´ıklad je uveden ve sbı´rce [Lid] na straneˇ 11, jeho rˇesˇenı´ sesta´va´ veˇtsˇinou z algebraicky´ch u´prav, ktery´m ale prˇedcha´zı´ vyuzˇitı´ vztahu˚ mezi jednotlivy´mi cˇleny geometricke´ posloupnosti: Prˇ´ıklad 10. V geometricke´ posloupnosti s kladny´mi cˇleny a1 , a2 , a3 , . . . jsou da´ny cˇleny am+n = A, am−n = B (kde o prˇirozeny´ch cˇ´ıslech m, n platı´ m > n). Najdeˇte am a an . ˇ esˇenı´: R Jelikozˇ jsou am+n a am−n cˇleny geometricke´ posloupnosti, musı´ podle vzorce pro obecny´ cˇlen ak = a1 qk−1 platit: am+n = a1 qm+n−1 = A,
am−n = a1 qm−n−1 = B.
Protozˇe podle zada´nı´ platı´ A > 0 a B > 0, mu˚zˇeme da´t oba vy´razy do pomeˇru: A B
=
am+n am−n
= qm+n−1−m+n+1 = q2n . q
A Odtud jizˇ snadno vyja´drˇ´ıme kladny´ kvocient nasˇ´ı posloupnosti: q = ˇ stacˇ´ı B . Nynı´ jiz r−s vyja´drˇit cˇleny am a an pomocı´ vztahu ar = as q a dosadit za kvocient pra´veˇ nalezenou hodnotu: 2n
1 2 12 √ AB A 2 am = am−n q = B · = = AB, B B −m 2n −m 2n1 2n−m m A 2n A A an = am+n q−m = A · = = A 2n · B 2n . −m B B n
Take´ jedena´cty´ prˇ´ıklad pocha´zı´ ze sbı´rky [Lid], tentokra´t ze strany 12: Prˇ´ıklad 11. Dokazˇte, zˇe cˇ´ısla 49, 4489, 444889, . . . , ktera´ dostaneme postupneˇ tak, zˇe „do strˇedu“ za´pisu prˇedchozı´ho cˇ´ısla vsuneme 48, jsou vesmeˇs druhe´ mocniny prˇirozeny´ch cˇ´ısel. ˇ esˇenı´: R Kazˇde´ z uvazˇovany´ch cˇ´ısel mu˚zˇeme v dekadicke´ soustaveˇ zapsat takto: n cifer n−1 cifer
n cifer
n cifer
z }| { z }| { z }| { z }| { 44 . . . 4 88 . . . 8 9 = 4 · 11 . . . 1 ×10n + 8 · 11 . . . 1 +1,
Kapitola 3. Nestandardnı´ u´lohy
24
n cifer
z }| { n −1 prˇicˇemzˇ cˇ´ıslo 11 . . . 1 lze napsat pomocı´ vztahu sn = a1 qq−1 jako soucˇet cˇlenu˚ geometricke´ posloupnosti s prvnı´m cˇlenem a1 = 1 a kvocientem q = 10: n cifer
z }| { 11 . . . 1 = 1 + 10 + 102 + · · · + 10n−1 = 19 (10n − 1). Pu˚vodnı´ za´pis uvazˇovany´ch cˇ´ısel mu˚zˇeme tedy nynı´ prˇepsat: 4·
1 4 1 n n n 9 (10 − 1)10 + 8 · 9 (10 − 1) + 1 = 9
· 102n + 49
· 10n + 19
=
2·10n +1 3
2
.
Zlomek v poslednı´m vy´razu je cele´ cˇ´ıslo, nebot’ jeho cˇitatel ma´ ciferny´ soucˇet rovny´ 3, takzˇe je deˇlitelny´ trˇemi. Doka´zali jsme tedy, zˇe uvedena´ cˇ´ısla jsou druhy´mi mocninami prˇirozeny´ch cˇ´ısel. Jak mu˚zˇeme videˇt z prˇedchozı´ch prˇ´ıkladu˚, nenı´ vzˇdy jednoduche´ rˇesˇit nestandardnı´ u´lohy ty´kajı´cı´ se aritmeticky´ch a geometricky´ch posloupnostı´, proto by na´sledujı´cı´ tabulky netradicˇnı´ch vztahu˚ uvedene´ v publikaci [Hor] na strana´ch 2-28 a 2-29 mohly by´t pro rˇesˇitele takovy´ch u´loh velmi uzˇitecˇne´.
Kapitola 3. Nestandardnı´ u´lohy
25
Vzorce pro aritmetickou posloupnost a = prvnı´ cˇlen posloupnosti l = poslednı´ cˇlen posloupnosti n = pocˇet cˇlenu˚ posloupnosti d = diference S = soucˇet vsˇech n cˇlenu˚
Hledany´ prvek
a
d
l
n
S
Zadane´ prvky
Vztah
d
l
n
a = l − (n − 1)d
d
n
S
d
l
S
a = Sn − n−1 2qd a = d2 ± 12 (2l + d)2 − 8dS
l
n
S
a=
a
l
n
d=
a
n
S
d=
a
l
S
d=
l
n
S
d=
a
d
n
a
d
S
l = a + (n − 1)d √ 8dS+(2a−d)2 d l = −2 ± 2
a
n
S
d
n
S
a
d
l
a
d
S
a
l
S
d
l
S
a
d
n
a
d
l
a
l
n
d
l
n
2S n −l l−a n−1 2S−2an n(n−1) l 2 −a2 2S−l−a 2nl−2S n(n−1)
2S n −a l = Sn + n−1 2 d n = 1 + l−a d √ 8dS+(2a−d)2 d−2a n = 2d ± 2d 2S n = a+l √ (2l+d)2 −8dS 2l+d n = 2d ± 2d n S = 2 [2a + (n − 1)d] l 2 −a2 a+l S = a+l 2 + 2d = 2d (l + d − a) S = n2 (a + l) S = n2 [2l − (n − 1)d]
l=
Kapitola 3. Nestandardnı´ u´lohy
26
Vzorce pro geometrickou posloupnost a = prvnı´ cˇlen posloupnosti l = poslednı´ cˇlen posloupnosti n = pocˇet cˇlenu˚ posloupnosti r = kvocient S = soucˇet vsˇech n cˇlenu˚
Hledany´ prvek
a
l
n
r
S
Zadane´ prvky
Vztah l rn−1 (r−1)S rn −1
l
n
r
a=
n
r
S
a=
l
r
S
a = lr − (r − 1)S
l
n
S
a
n
r
l = arn−1
a
r
S
l = 1r [a + (r − 1)S]
a
n
S
n
r
S
l=
a
l
r
n=
a
r
S
n=
a
l
S
n=
l
r
S
n=
a
l
n
r=
a
n
S
rn =
a
l
S
r=
l
n
S
rn =
a
n
r
S=
a
l
r
S=
a
l
n
S=
l
n
r
S=
a(S − a)n−1 = l(S − l)n−1
l(S − l)n−1 = a(S − a)n−1 S(r−1)rn−1 rn −1 log l−log a +1 log r log [a+(r−1)S]−log a log r log l−log a log (S−a)−log(S−l) + 1 log l−log [lr−(r−1)S] +1 q log r n−1 l a Sr a−S a + a S−a S−l Srn−1 l S−l − S−l a(rn −1) r−1 lr−a r−1 √ √ n−1 l n − n−1 an √ √ n−1 l− n−1 a l(rn −1) (r−1)rn−1
Kapitola 4 Financˇnı´ matematika Financˇnı´ matematika je odveˇtvı´m prakticke´ matematiky, ktere´ je velmi rozsa´hle´, pomeˇrneˇ na´rocˇne´ a pro zˇa´ky veˇtsˇinou obtı´zˇne´ z hlediska orientova´nı´ se v neˇm. By´va´ sice soucˇa´stı´ kapitol zaby´vajı´cı´ch se geometricky´mi posloupnostmi, avsˇak jako by vzˇdy meˇla vy´jimecˇne´ postavenı´ vu˚cˇi ostatnı´m podkapitola´m. A procˇ take´ ne, vzˇdyt’ s financemi prˇicha´zı´me do kontaktu te´meˇrˇ denneˇ, at’ uzˇ prˇi ukla´da´nı´ peneˇz na u´cˇet, spla´cenı´ pu˚jcˇek a u´veˇru˚ nebo na´kupu akciı´. Toto te´ma je v ucˇebnici matematiky pro gymna´zia [Odv1] soucˇa´stı´ kapitoly o posloupnostech. Vy´znamny´ cˇesky´ autor strˇedosˇkolsky´ch ucˇebnic matematiky Oldrˇich Odva´rko ´ lohy z financˇnı´ matematiky zpracoval te´ma financˇnı´ matematiky take´ v publikacı´ch: U pro strˇednı´ sˇkoly [Odv4], v nı´zˇ je toto te´ma vylozˇeno velmi podrobneˇ, doplneˇno mnoha na´zorny´mi ilustracemi a rejstrˇ´ıkem du˚lezˇity´ch vzorcu˚, a Matematika pro strˇednı´ odborne´ sˇkoly a studijnı´ obory strˇednı´ch odborny´ch ucˇilisˇt’ [Odv3]. V te´to ucˇebnici je naopak financˇnı´ matematice veˇnova´na strucˇna´ kapitola obsahujı´cı´ pouze za´kladnı´ u´daje. Z obou publikacı´ jsme prˇi sestavova´nı´ te´to kapitoly cˇerpali a uvedeme v nı´ za´kladnı´ pojmy financˇnı´ matematiky doplneˇne´ standardnı´mi prˇ´ıklady.
4.1
Pouzˇite´ symboly
Pro zjednodusˇenı´ jsou ve financˇnı´ matematice cˇasto vyuzˇ´ıva´ny symboly oznacˇujı´cı´ ru˚zne´ pojmy, ktery´m je veˇnova´na u´vodnı´ podkapitola. Ve vsˇech dalsˇ´ıch podkapitola´ch je aplikova´n standard 30E/360, neˇmecka´ metoda, podle nı´zˇ ma´ kazˇdy´ meˇsı´c 30 dnı´ a kazˇdy´ rok
27
Kapitola 4. Financˇnı´ matematika
28
ma´ tedy dnı´ 360. Nynı´ uvedeme symboly, jezˇ budou v na´sledujı´cı´m textu vyuzˇ´ıva´ny: n je pocˇet let, po ktery´ se kapita´l u´rocˇ´ı (u´rocˇ´ı se jednou rocˇneˇ), t je pocˇet dnı´, ktere´ tvorˇ´ı u´rokovou dobu, i je u´rokova´ mı´ra vyja´drˇena´ desetinny´m cˇ´ıslem, u k je zdanˇovacı´ koeficient : k = 1 − , kde u % je danˇ z u´roku zı´skane´ho 100 z vlozˇene´ho kapita´lu, K0 je pocˇa´tecˇnı´ vklad (kapita´l), Un je u´rok po zdaneˇnı´ na konci n-te´ho u´rokovacı´ho obdobı´, Kn je vy´sledny´ kapita´l na konci n-te´ho u´rokovacı´ho obdobı´, U je u´rok po zdaneˇnı´ za u´rokovou dobu, K je kapita´l na konci u´rokove´ doby, m je celkovy´ pocˇet u´rokovacı´ch obdobı´, Sm je kapita´l dosazˇeny´ prˇi pravidelne´m sporˇenı´ stejny´ch cˇa´stek na konci m-te´ho u´rokovacı´ho obdobı´, K je cˇa´stka nasporˇena´ v jednom u´rokovacı´m obdobı´ a na konci tohoto u´rokovacı´ho obdobı´ zu´rocˇena´, t q = 1+ · ki, 360 s je spla´tka prˇi pravidelne´m spla´cenı´ dluhu steny´mi cˇa´stkami, D je pocˇa´tecˇnı´ vy´sˇe dluhu.
4.2
´ rokova´ mı´ra a u´rok U
Za´kladnı´m pojmem financˇnı´ matematiky je pojem u´rok a s nı´m spojena´ u´rokova´ mı´ra, definici teˇchto pojmu˚ jsme prˇevzali z ucˇebnice [Odv3], str. 41. ´ rok je cˇa´stka, kterou zı´ska´ veˇˇritel od dluzˇnı´ka jako odmeˇnu za pu˚jcˇenı´ peneˇz. U Rocˇnı´ u´rokova´ mı´ra (u´rokova´ sazba) je podı´l u´roku zı´skane´ho za rok a zapu˚jcˇene´ cˇa´stky vyja´drˇeny´ v procentech. Kazˇdou takto uvedenou definici neˇjake´ho pojmu podporˇ´ıme v na´sledujı´cı´m textu rˇesˇeny´m prˇ´ıkladem, poprˇ´ıpadeˇ vzorcem usnadnˇujı´cı´m vy´pocˇet hledane´ hodnoty. Prˇ´ıklad 1. Pan Nova´k si ulozˇil do banky 25 000 Kcˇ s rocˇnı´ u´rokovou mı´rou 3,8 %. Banka zu´rocˇila jeho vklad v den splatnosti a odecˇetla od u´roku danˇ 15 %. a) Vypocˇ´ıtejte u´rok prˇed zdaneˇnı´m.
Kapitola 4. Financˇnı´ matematika
29
b) Vypocˇ´ıtejte u´rok po zdaneˇnı´. c) Vypocˇ´ıtejte celkovou cˇa´stku, kterou pan Nova´k od banky obdrzˇel. ˇ esˇenı´: R a) Prˇed zdaneˇnı´m je u´rok 3,8 % z 25 000 Kcˇ, tedy: 0,038 · 25 000 Kcˇ = 950 Kcˇ. b) Danˇ z u´roku je 15 %, u´rok po zdaneˇnı´ je tedy 85 % z cˇa´stky 950 Kcˇ: 0,85 · 950 Kcˇ = = 807,50 Kcˇ. c) Celkova´ cˇa´stka, kterou pan Nova´k od banky obdrzˇel je soucˇtem vkladu a u´roku po zdaneˇnı´: 25 000 Kcˇ +807,50 Kcˇ = 25 807,50 Kcˇ.
4.3
Jednoduche´ u´rocˇenı´
Dalsˇ´ım z pojmu˚ je jednoduche´ u´rocˇenı´, ktere´ spocˇ´ıva´ v prˇicˇ´ıta´nı´ sta´le stejne´ho u´roku vypocˇ´ıtane´ho z pocˇa´tecˇnı´ho kapita´lu k vlozˇene´ cˇa´stce. Definice je opeˇt prˇevzata z publikace [Odv3], tentokra´t ze strany 46. Prˇi jednoduche´m u´rocˇenı´ se u´roky pocˇ´ıtajı´ sta´le z pocˇa´tecˇnı´ho kapita´lu (z poskytovane´ho u´veˇru, z pocˇa´tecˇnı´ho vkladu).
Pro vy´pocˇet u´roku Un po zdaneˇnı´ na konci n-te´ho roku a vy´sledne´ho kapita´lu Kn se prˇitom vyuzˇ´ıva´ na´sledujı´cı´ch dvou vzorcu˚, jejich pouzˇitı´ uka´zˇeme na prˇ´ıkladeˇ: t Un = K0 · ki · ·n 360 t Kn = K0 · 1 + ki · ·n , 360
Prˇ´ıklad 2. Pan Dvorˇa´k zakoupil depozitnı´ certifika´t na 4 roky za 37 000 Kcˇ s u´rokovou mı´rou 4,9 % prˇi jednoduche´m u´rocˇenı´. U´rocˇ´ı se jednou rocˇneˇ a danˇ z u´roku je 15 %. Vypocˇ´ıtejte, kolik korun dostane pan Dvorˇa´k po cˇtyrˇech letech. ˇ esˇenı´: R Rˇesˇenı´ provedeme u´vodnı´ analy´zou zadany´ch informacı´ a na´sledny´m dosazenı´m do jednoho z prˇedchozı´ch vzorcu˚:
Kapitola 4. Financˇnı´ matematika
30
K0 = 37 000 Kcˇ
t ·n Kn = K0 · 1 + ki · 360
n = 4 roky
K4 = 37 000 · (1 + 0,85 · 0,049 · 4) = 43 164,20 Kcˇ
i = 0, 049 15 k = 1 − 100 = 0,85
t = 360 dnı´ Kn =?
4.4
´ rokova´ doba U
V te´to podkapitole se budeme zaby´vat vklady na dobu kratsˇ´ı, nezˇ je u´rokovacı´ obdobı´ (rok): meˇsı´ce, ty´dny nebo dokonce dny. Doba, kterou takto vymezı´me, se nazy´va´ u´rokova´: Vy´sˇe u´roku za´visı´ na dobeˇ, po kterou je kapita´l u´rocˇen. Pro tuto dobu se uzˇ´ıva´ na´zev u´rokova´ doba.
Definice pocha´zı´ z [Odv3], str. 51. Vy´pocˇet vy´sledne´ho kapita´lu na konci u´rokove´ doby se prova´dı´ pomocı´ uvedeny´ch vzorcu˚:
U = ki ·
t · K0 , 360
t K = K0 1 + ki · , 360
prˇicˇemzˇ kapita´l se u´rocˇ´ı jen jednou, a to vzˇdy v den jeho splatnosti. Prˇ´ıklad 3. Panı´ Novotna´ si 3. 5. ulozˇila na termı´novany´ vklad na pu˚l roku s u´rokovou mı´rou 4,9 % financˇnı´ obnos v hodnoteˇ 15 000 Kcˇ. Banka u´rocˇ´ı v den splatnosti vkladu, tj. 3. 11. (danˇ z u´roku je 15 %). Kolik korun obdrzˇ´ı panı´ Novotna´ 3. 11. celkem? ˇ esˇenı´: R V tomto prˇ´ıpadeˇ je zdanˇovacı´ koeficient opeˇt roven 0,85, u´rokova´ mı´ra je i = 0,049, pocˇa´tecˇnı´ vklad je 15 000 Kcˇ a jelikozˇ byl obnos ulozˇen na pu˚l roku, uvazˇujeme 180 dnu˚. Tyto hodnoty nynı´ opeˇt dosadı´me do vzorce: t K = K0 1 + ki · 360 180 K = 15 000 1 + 0,85 · 0,049 · = 15 312,30 Kcˇ. 360
Kapitola 4. Financˇnı´ matematika
4.5
31
Slozˇene´ u´rocˇenı´
Do te´to doby jsme vzˇdy pocˇ´ıtali s u´rocˇenı´m jednoduchy´m, tedy s prˇ´ıpadem, kdy je k pocˇa´tecˇnı´mu vkladu na konci jednotlivy´ch u´rokovacı´ch obdobı´ prˇicˇ´ıta´na sta´le stejna´ cˇa´stka. Nynı´ se ovsˇem zameˇrˇme na u´rocˇenı´ slozˇene´: Prˇi slozˇene´m u´rocˇenı´ se u´roky prˇicˇ´ıtajı´ k pocˇa´tecˇnı´mu kapita´lu (k poskytnute´mu u´veˇru, k ulozˇene´mu vkladu) a spolu s nı´m se da´le u´rocˇ´ı.
Uvedena´ definice opeˇt pocha´zı´ z [Odv3], str. 56 a vy´pocˇet spojeny´ se slozˇeny´m u´rocˇenı´m se prova´dı´ podle vzorcu˚:
Kn = K0 (1 + ki)n ,
Un = K0 [(1 + ki)n − 1] .
Prˇ´ıklad 4. Ma´m 23 000 Kcˇ. Na kolik let bych si tuto cˇa´stku musel ulozˇit do banky, aby vzrostla na 25 000 Kcˇ, prˇedpokla´da´m-li, zˇe u´rokova´ mı´ra by po celou dobu byla 4,9 % a danˇ z u´roku 15 % prˇi slozˇene´m u´rocˇenı´ jednou rocˇneˇ? ˇ esˇenı´: R Tentokra´t ma´me prˇi hodnota´ch i = 0,049, k = 0,85 tedy zada´n kromeˇ pocˇa´tecˇnı´ho vkladu K0 = 23 000 Kcˇ take´ vy´sledny´ obnos Kn = 25 000 Kcˇ a zajı´ma´ na´s doba potrˇebna´ k navy´sˇenı´ vkladu. Opeˇt tedy vyjdeme ze zadane´ho vztahu a vyja´drˇ´ıme z neˇj hledany´ pocˇet n let logaritmova´nı´m a uzˇitı´m vztahu˚ ty´kajı´cı´ch se logaritmu˚:
Kn = K0 (1 + ki)n log Kn = log K0 + n log (1 + ki) n log K K0
000 log 25 . 23 000 n= = = 2,04 log (1 + ki) log (1 + 0,85 · 0,049)
Abychom docı´lili pozˇadovane´ cˇa´stky, je tedy zapotrˇebı´ ulozˇit penı´ze na dobu minima´lneˇ 3 let.
4.6
´ rokovacı´ obdobı´ U
Zatı´m jsme vzˇdy uvazˇovali prˇ´ıpady, kdy banky u´rocˇ´ı jednou rocˇneˇ a v den splatnosti vkladu, veˇtsˇinou ale banky u´rocˇ´ı vı´cekra´t za rok. Cˇetnost takove´ho u´rocˇenı´ uda´va´ u´rokovacı´ doba, jejı´zˇ definice je uvedena v [Odv3] na str. 61:
Kapitola 4. Financˇnı´ matematika
32
Cˇasovy´ u´sek, na jehozˇ konci vzroste kapita´l o u´rok, se nazy´va´ u´rokovacı´ obdobı´.
Pro usnadneˇnı´ vy´pocˇtu˚ kapita´lu Km na konci m-te´ho u´rokovacı´ho obdobı´ prˇi slozˇene´m u´rocˇenı´ je mozˇne´ vyuzˇ´ıt na´sledujı´cı´ch vztahu˚:
m t Km = K0 1 + · ki , 360
m t · ki − 1 . Um = K0 1 + 360
Prˇ´ıklad 5. Panı´ Janousˇkova´ si ulozˇila na vkladnı´ knı´zˇku na zacˇa´tku roku cˇa´stku 50 000 Kcˇ s u´rokovou mı´rou 3 %. Vypocˇ´ıtejte vy´sˇi kapita´lu na vkladnı´ knı´zˇce na konci roku za prˇedpokladu, zˇe u´rokovacı´ obdobı´ je 1 meˇsı´c. ˇ esˇenı´: R Uvazˇujme tedy slozˇene´ u´rocˇenı´ prˇi hodnota´ch i = 0,03 a k = 0,85 (s takovou hodnotou k pocˇ´ıta´me vzˇdy, nenı´-li uvedeno jinak) pocˇa´tecˇnı´ho kapita´lu 50 000 Kcˇ, u´rokovacı´ obdobı´ je 1 meˇsı´c (t = 30 dnı´) po dobu jednoho roku, celkem bude tedy pocˇet m u´rokovacı´ch obdobı´ roven 12:
m t · ki Km = K0 1 + 360 12 30 K12 = 50 000 1 + · 0,85 · 0,03 = 51 290 Kcˇ. 360
4.7
Sporˇenı´
Ukla´dat penı´ze do banky mu˚zˇeme dveˇma zpu˚soby, bud’jednora´zoveˇ (viz prˇedchozı´ prˇ´ıpady) nebo opakovaneˇ – sporˇenı´m, prˇicˇemzˇ financˇnı´ obnos ulozˇeny´ na takove´m sporˇ´ıcı´m u´cˇtu opeˇt s cˇasem naru˚sta´. Pro vy´pocˇet nasporˇene´ cˇa´stky Sm zı´skane´ ukla´da´nı´m stejny´ch cˇa´stek mu˚zˇeme vyuzˇ´ıt tento vztah:
qm − 1 t Sm = K , kde q = 1 + · ki. q−1 360 Prˇ´ıklad 6. Chteˇl bych si zacˇ´ıt od ledna prˇ´ısˇtı´ho roku sporˇit meˇsı´cˇneˇ 700 Kcˇ. Mu˚j zameˇstnavatel by prˇeva´deˇl tuto cˇa´stku bance, a to vzˇdy tak, aby jejı´ u´rocˇenı´ zacˇalo 3. dne kalenda´rˇnı´ho meˇsı´ce, prˇicˇemzˇ u´rocˇenı´ probı´ha´ na konci kazˇde´ho kalenda´rˇnı´ho cˇtvrtletı´, danˇ z u´roku je 15 % a u´rokova´ mı´ra je 4,5 %. Kolik korun bych meˇl usporˇeno za 4 roky?
Kapitola 4. Financˇnı´ matematika
33
ˇ esˇenı´: R V tomto prˇ´ıpadeˇ nebude stacˇit k vyrˇesˇenı´ zadane´ho prˇ´ıkladu pouhe´ dosazenı´ do vzorce, nebot’trˇi vklady za jedno cˇtvrtletı´ bodou u´rocˇeny po ru˚zne´ pocˇty dnı´. Abychom mohli pouzˇ´ıt vztah pro vy´pocˇet celkove´ nasporˇene´ cˇa´stky Sm , musı´me nejdrˇ´ıve vypocˇ´ıtat nasporˇenou cˇa´stku K za jedno cˇtvrtletı´. K tomu na´m pomu˚zˇe na´sledujı´cı´ sche´ma, na neˇmzˇ mu˚zˇeme videˇt cˇasove´ obdobı´, ktere´ na´s zajı´ma´, tedy 2. 1. – 30. 3., rozdeˇlene´ na jednotlive´ cˇasove´ u´seky podle toho, jaka´ cˇa´stka je na u´cˇtu ulozˇena:
Konec cˇtvrtletı´ 2. 1.
2. 2.
2. 3.
88 dnı´ 58 dnı´ 28 dnı´
Na obra´zku mu˚zˇeme videˇt, zˇe prvnı´ch 700 Kcˇ bude u´rocˇeno po 88 dnech, druhy´ch 700 Kcˇ ulozˇeny´ch na u´cˇet po 58 dnech a poslednı´ch 700 Kcˇ po pouhy´ch 28 dnech. Celkovy´ obnos na konci prvnı´ho cˇtvrtletı´ bude soucˇtem teˇchto 3 cˇa´stek:
58 88 · 0,85 · 0,045 + 700 1 + · 0,85 · 0,045 + K =700 1 + 360 360 28 29 +700 1 + · 0,85 · 0,045 = 700 3 + · 0,85 · 0,045 360 30 Tento vy´sledek pouzˇijeme ve vzorci pro vy´pocˇet Sm , q = 1 + 14 · 0,85 · 0,045 a celkovy´ pocˇet u´rokovacı´ch obdobı´ bude 16, nebot’u´rocˇenı´ probı´ha´ kazˇde´ cˇtvrtletı´ po dobu 4 let: (1+ 14 ·0,85·0,045)16 −1 m −1 29 = 700 3 + 30 · 0,85 · 0,045 · Sm = K qq−1 = 36 565,80 Kcˇ. 1 ·0,85·0,045 4
4.8
Spla´cenı´ dluhu˚
Spla´cenı´ dluhu˚ je v dnesˇnı´ dobeˇ velice aktua´lnı´, proto jej uva´dı´me i zde. Velice uzˇitecˇny´m se mu˚zˇe uka´zat na´sledujı´cı´ vztah, ktery´ uda´va´ souvislost mezi velikostı´ pocˇa´tecˇnı´ho dluhu a jednotlivy´mi spla´tkami:
s=
Dqm (q − 1) qm − 1
Kapitola 4. Financˇnı´ matematika
34
Prˇ´ıklad 7. Pan Kolarˇ´ık zı´skal dne 7. 6. od banky u´veˇr ve vy´sˇi 80 000 Kcˇ na dobu 3 let s u´rokovou mı´rou 15 %, prˇicˇemzˇ u´rokovacı´ obdobı´ je 1 meˇsı´c. Pan Kolarˇ´ık bude u´veˇr spla´cet stejny´mi spla´tkami, vzˇdy na konci meˇsı´ce, poprve´ dne 30. 6. Banka zaokrouhluje spla´tky na cele´ koruny. Vypocˇ´ıtejte vy´sˇi jedne´ spla´tky a jakou cˇa´stku uhradı´ pan Kolarˇ´ık celkem. ˇ esˇenı´: R Dluh D = 80 000 Kcˇ bude pan Kolarˇ´ık spla´cet 3 roky, prˇicˇemzˇ u´roky mu budou prˇiby´vat kazˇdy´ meˇsı´ce, celkovy´ pocˇet u´rokovacı´ch obdobı´ tedy bude m = 3 · 12 = 36, i = 0,15 a t = 30 dnı´: Dqm (q − 1) s= qm − 1 36 30 30 80 000 · 1 + 360 · 0,15 · 360 · 0,15 s= = 2 774 Kcˇ. 36 30 1 + 360 · 0, 15 − 1 Vypocˇ´ıtali jsme tedy vy´sˇi jedne´ spla´tky, kolik ale pan Kolarˇ´ık zaplatı´ celkem? Splatı´ bance dohromady 36 spla´tek, tedy 36 · 2 774 = 99 864 Kcˇ. Na za´veˇr te´to kapitoly je nutno podotknout, zˇe vesˇkere´ vzorce zde uvedene´ jsme cˇerpali z [Odv3] a [Odv4]. Meˇly by zˇa´ku˚m pocˇty financˇnı´ matematiky velice usnadnit, avsˇak vesˇkere´ prˇ´ıklady, ktere´ jsme zde uvedli, je mozˇne´ pocˇ´ıtat bez prˇevzetı´ teˇchto vztahu˚. Jedna´ se vsˇak o pomeˇrneˇ zdlouhave´ postupne´ odvozova´nı´, ktere´ vzˇdy nakonec vede k uvedeny´m vzorcu˚m. Toto odvozova´nı´ ma´ vztah veˇtsˇinou k problematice geometricky´ch posloupnostı´, mohlo by tedy by´t vhodne´ zˇa´ku˚m na neˇjake´m jednodusˇsˇ´ım prˇ´ıkladu tento postup uka´zat, aby videˇli souvislost mezi geometricky´mi posloupnostmi a vzorci financˇnı´ matematiky, i kdyzˇ pro neˇ pote´ bude snazsˇ´ı tyto vztahy vyuzˇ´ıvat bez jake´hokoliv odvozova´nı´. Ukazˇme si nynı´ oba zpu˚soby rˇesˇenı´ na na´sledujı´cı´m prˇ´ıkladu: Prˇ´ıklad 8. Slecˇna Kra´sna´ si ulozˇila na termı´novany´ u´cˇet na 3 roky 15 000 Kcˇ s rocˇnı´ u´rokovou mı´rou 3,5 %. Jde o slozˇene´ u´rocˇenı´, banka prˇipisuje u´roky jednou rocˇneˇ a danˇ z u´roku je 15 %. Kolik korun vyplatı´ banka slecˇneˇ Kra´sne´ po 3 letech? ˇ esˇenı´: R a) Zameˇrˇme se nejdrˇ´ıve na sestavenı´ geometricke´ posloupnosti a vypisˇme postupneˇ financˇnı´ obnosy ulozˇene´ na u´cˇtu v jednotlivy´ch rocı´ch: pocˇa´tecˇnı´ kapita´l . . . 15 000 Kcˇ kapita´l po 1. roce . . . 15 000 Kcˇ +0,85 · 0,035 · 15 000 Kcˇ = = [15 000(1 + 0,85 · 0,035)] Kcˇ kapita´l po 2. roce . . . [15 000(1 + 0,85 · 0,035)] Kcˇ + +0,85 · 0,035 · [15 000(1 + 0,85 · 0,035)] Kcˇ = [15 000(1 + 0,85 · 0,035)2 ] Kcˇ kapita´l po 3. roce . . . [15 000(1 + 0,85 · 0,035)2 ] Kcˇ + +0,85 · 0,035 · [15 000(1 + 0,85 · 0,035)2 ] Kcˇ = [15 000(1 + 0,85 · 0,035)3 ] Kcˇ Banka tedy slecˇneˇ Kra´sne´ po trˇech vyplatı´ celkem 16 378,90 Kcˇ.
Za´veˇr
35
b) Druhy´ zpu˚sob rˇesˇenı´ zadane´ u´lohy spocˇ´ıva´ v pocˇa´tecˇnı´ analy´ze zna´my´ch u´daju˚ a na´sledne´m dosazenı´ do vztahu uvedene´ho v podkapitole Slozˇene´ u´rocˇenı´: Pocˇa´tecˇnı´ vklad K0 = 15 000 Kcˇ, i = 0,035 a q = 0,85, termı´novany´ u´cˇet je na 3 roky, tedy n = 3:
Kn = K0 (1 + ki)n K3 = 15 000(1 + 0,85 · 0,035)3 = 16 378,90 Kcˇ.
Jak mu˚zˇeme videˇt, prvnı´ zpu˚sob rˇesˇenı´ je poneˇkud cˇasoveˇ na´rocˇneˇjsˇ´ı, avsˇak umozˇnı´ zˇa´ku˚m uveˇdomit si, zˇe financˇnı´ matematika se zaby´va´ problematikou geometricky´ch posloupnostı´, i kdyzˇ to tak na prvnı´ pohled nevypada´. Financˇnı´ matematika, jako cˇa´st te´matu o posloupnostech, mu˚zˇe tedy obcˇas zˇa´ky zaskocˇit mnozˇstvı´m novy´ch pojmu˚ a vzorcu˚, pokud je vsˇak vy´klad te´to la´tky zˇa´ku˚m poda´va´n v jiste´m sledu a dostatecˇneˇ prˇehledneˇ, nemeˇli by mı´t s rˇesˇenı´m financˇnı´ch u´loh zˇa´dny´ proble´m, cozˇ jim mu˚zˇe usnadnit take´ pozdeˇjsˇ´ı manipulova´nı´ s peneˇzi, ktere´ budou mı´t k dispozici. Ty jsou v dnesˇnı´ dobeˇ nedı´lnou soucˇa´stı´ lidsky´ch zˇivotu˚, prˇina´sˇ´ı na´m radost i proble´my, jak ale prohla´sil Prosper Me´rieme´e (1803 – 1870): Jsou du˚lezˇiteˇjsˇ´ı veˇci nezˇ penı´ze, jenom je trˇeba mı´t penı´ze, abyste si je mohli koupit.
Za´veˇr Samotne´mu sepsa´nı´ te´to bakala´rˇske´ pra´ce prˇedcha´zely ty´dny prˇ´ıprav, v nichzˇ bylo nezbytne´ vyrˇesˇit velke´ mnozˇstvı´ prˇ´ıkladu˚ ty´kajı´cı´ch se te´matu aritmeticky´ch a geometricky´ch posloupnostı´ a roztrˇ´ıdit je do dvou kategoriı´ podle obtı´zˇnosti jejich rˇesˇenı´ – na u´lohy standardnı´ a nestandardnı´. Dalsˇ´ım u´kolem pak bylo dobrˇe porozumeˇt teorii uva´deˇne´ v ru˚zny´ch ucˇebnicı´ch a spra´vneˇ ji interpetovat. V neposlednı´ rˇadeˇ pak bylo my´m u´kolem naucˇit se pracovat se softwarem LATEX, a to prostrˇednictvı´m semestra´lnı´ho prˇedmeˇtu M5751 Elektronicka´ sazba a publikova´nı´ v TEXu. Tento zpu˚sob sazby pra´ce se uka´zal jako velmi na´rocˇny´, avsˇak postupem cˇasu se mi stal velky´m pomocnı´kem prˇi sa´zenı´ slozˇity´ch matematicky´ch vy´razu˚. Po absolvova´nı´ teˇchto prˇ´ıpravny´ch u´kolu˚ stacˇilo tedy vsˇechny zı´skane´ poznatky sepsat a upravit pra´ci do konecˇne´ podoby. Vznikla tak bakala´rˇska´ pra´ce, ktera´ by meˇla by´t alesponˇ malou oporou pro vsˇechny za´jemce o te´ma aritmeticky´ch a geometricky´ch posloupnostı´.
36
Seznam pouzˇite´ literatury [Odv1]
´ RKO, Oldrˇich. Matematika pro gymna´zia: Posloupnosti a rˇady. 2. vyda´nı´. ODVA Praha: Prometheus, 2007. ISBN 978-80-7196-195-6.
[Odv2]
´ RKO, Oldrˇich. Sbı´rka u´loh z matematiky pro gymna´zia: Posloupnosti ODVA a rˇady. 2. vyda´nı´. Praha: Prometheus, 2005. ISBN 80-7196-314-3.
[Hor]
HORTON, Holbrook L. Mathematics at work. 4. ed. New York: Industrial Press, 1999. ISBN 0-8311-3083-0.
[Kri]
´ LEK, KRIEGELSTEIN, Eduard, Antonı´n POSPI´SˇIL, Frantisˇek VENCA Vladimı´r KUCˇERA, Josef HUKA, Ja´n GEDEI, Karel VICOVSKY´ a Josef SˇILHAVY´. Sbı´rka u´loh z matematiky pro strˇednı´ pru˚myslove´ sˇkoly a strˇednı´ zemeˇdeˇlske´ technicke´ sˇkoly. 10. vyd. Praha: Sta´tnı´ pedagogicke´ nakladatelstvı´, 1965. ISBN 14-348-82.
[Vej]
VEJSADA, Frantisˇek a Frantisˇek TALAFOUS. Sbı´rka u´loh z matematiky pro gymnasia. 1. vyd. Praha: Sta´tnı´ pedagogicke´ nakladatelstvı´, 1969. ISBN 15-534-69.
[Lid]
LIDSKIJ, V. B. a kol. U´lohy z elementa´rnı´ matematiky. 1. vyd. Praha: Sta´tnı´ pedagogicke´ nakladatelstvı´, 1965. ISBN 14-903-65.
[Odv3]
´ RKO, Oldrˇich. Matematika pro strˇednı´ odborne´ sˇkoly a studijnı´ obory ODVA strˇednı´ch odborny´ch ucˇilisˇt’: Posloupnosti a financˇnı´ matematika. 1. vyd. Praha: Prometheus, 2002. ISBN 80-7196-239-2.
[Odv4]
´ RKO, Oldrˇich. U´lohy z financˇnı´ matematiky pro strˇednı´ sˇkoly. 1. vyd. ODVA Praha: Prometheus, 2005. ISBN 80-7196-303-8.
37