MASARYKOVA UNIVERZITA PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA ÚSTAV MATEMATIKY A STATISTIKY. Bakalářská práce BRNO 2014 JANA VRTÍLKOVÁ

MASARYKOVA UNIVERZITA PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA ÚSTAV MATEMATIKY A STATISTIKY

Bakalářská práce

BRNO 2014

JANA VRTÍLKOVÁ

MASARYKOVA UNIVERZITA PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA ÚSTAV MATEMATIKY A STATISTIKY

Maturity z matematiky Bakalářská práce

Jana Vrtílková

Vedoucí práce: RNDr. Pavel Šišma, Dr.

Brno 2014

Bibliografický záznam Autor:

Jana Vrtílková Přírodovědecká fakulta, Masarykova univerzita Ústav matematiky a statistiky

Název práce:

Maturity z matematiky

Studijní program:

Matematika

Studijní obor:

Matematika se zaměřením na vzdělávání

Vedoucí práce:

RNDr. Pavel Šišma, Dr.

Akademický rok:

2013/2014

Počet stran:

ix + 52

Klíčová slova:

Maturita z matematiky, Státní maturita z matematiky, Školní maturita z matematiky, Vývoj maturitní zkoušky

Bibliographic Entry Author:

Jana Vrtílková Faculty of Science, Masaryk University Department of Mathtematics and Statistics

Title of Thesis:

School Leaving Examinations in Mathematics

Degree Programme:

Mathematics

Field of Study:

Mathematics with a View to Education

Supervisor:

RNDr. Pavel Šišma, Dr.

Academic Year:

2013/2014

Number of Pages:

ix + 52

Keywords:

School leaving exam in Mathematics, State school leaving exam, Developoment of school leaving exams

Abstrakt V této bakalářské práci se věnujeme maturitám z matematiky. Zachycuje vývoj maturit a srovnává obtížnost školní maturity s maturitou státní. První kapitola se zaměřuje na historii maturitní zkoušky. Druhá kapitola je věnována dění okolo státních maturit a jejich výsledkům. Hlavní částí práce je posouzení obtížnosti státní maturity, kterou studenti skládali v roce 2013, a nyní se ji pokusili složit žáci 9. ročníku. Příloha potom obsahuje zmíněný test.

Abstract In this thesis we study school leaving exams in Mathematics. It shows the development of school leaving exams and it compares the difficulty of different types of exams. In the first chapter, it deals with history of school leaving exams. The second chapter covers course of events and results of state school leaving exams. The main chapter icludes adjudication of difficulty of state school leaving exam, which was taken by students in 2013, in comparison to pupils in primary schools who taken this exam. The test is avilable in the appendix.

Poděkování Na tomto místě bych chtěla poděkovat svému vedoucímu bakalářské práce RNDr. Pavlu Šišmovi, Dr. za odborné vedení a cenné připomínky při psaní mé práce. Dále bych chtěla poděkovat RNDr. Haně Hedbávné, která mi pomohla se srovnáním příkladů s RVP pro základní vzdělávání a provedla ve své třídě testování žáků 9. ročníků. Děkuji i Bc. Tereze Vrtílkové, která otestovala dva své šikovné žáky na ZŠ Tuháčkova. A děkuji také své rodině za podporu a pevné nervy.

Prohlášení Prohlašuji, že jsem svoji bakalářskou práci vypracovala samostatně s využitím informačních zdrojů, které jsou v práci citovány.

Brno 14. května 2014

.......................... Jana Vrtílková

Obsah Úvod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . viii Přehled použitého značení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

ix

Kapitola 1. Maturita jako zakončení středního vzdělání . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1 Historie maturity do roku 1989 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Maturita po roce 1989 a nový školský zákon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1 1 2

Kapitola 2. Státní maturita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1 Státní maturita roku 2011 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.1 Maturitní generálka 2010 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.2 Maturitní zkouška . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Státní maturita roku 2012 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Státní maturita roku 2013 a 2014 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4 Plánovaná státní maturita 2015 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4 4 4 5 9 12 12

Kapitola 3. Obtížnost státní maturitní zkoušky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1 Školní vs. státní maturita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Státní maturita 2013: výsledky a porovnání s žáky 9. ročníku ZŠ . . . . . . . . 3.3 Státní maturita jako zajištění základní úrovně středoškolského vzdělání . . .

14 14 25 31

Závěr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

32

Příloha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

33

Seznam použité literatury . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

49

– vii –

Úvod Tato práce je zaměřena na maturitní zkoušku z matematiky, její proměny v historii a zejména v posledních letech. Cílem práce je zamyslet se nad současným stavem státních maturit, porovnat připravenost žáků z různých typů škol na tuto zkoušku a srovnat náročnost školní a státní maturity. Práce je rozdělena do tří kapitol. První kapitola se věnuje historii maturitní zkoušky. Zde jsou popsány nejdůležitější zvraty, reformy a osobnosti ovlivňující maturitní zkoušky až po školskou reformu z roku 2004. Druhá kapitola mapuje dění kolem nových státních maturit a výsledky žáků na jednotlivých typech škol. Zachycuje maturitní generálku 2010, výsledky jarních termínů z let 2011 a 2012. Výsledky žáků jsou zaneseny do tabulek. V této kapitole je popsán Katalog požadavků pro maturitní zkoušku v základní úrovni. Navíc se zde vyskytují i názory odborníků k výsledkům maturitních zkoušek. Mimo jiné je v této kapitole naznačen i předpokládaný vývoj maturitních zkoušek do dalších let. Třetí kapitola je zaměřena na srovnání klasické školní maturity s maturitou státní. V první části je popsána maturitní zkouška na konkrétním gymnáziu a její obsah. Ve druhé části jsou potom výsledky maturitní zkoušky z roku 2013 a výsledky průzkumu mezi žáky 9. ročníku, kteří si tuto maturitu vyzkoušeli.

– viii –

Přehled použitého značení Pro snažší orientaci v textu zde čtenáři předkládáme přehled základního značení, které se v celé práci vyskytuje. CERMAT JČMF MŠMT RVP SOŠ ŠVP ZŠ

Centrum pro zjišťování výsledků vzdělávání Jednota českých matematiků a fyziků Ministerstvo školstvím, mládeže a tělovýchovy Rámcový vzdělávací program Střední odborná škola Školní vzdělávací program Základní škola

– ix –

Kapitola 1 Maturita jako zakončení středního vzdělání Maturitě a především nové státní maturitě jsou věnovány webové stránky http://www. novamaturita.cz, kde v záložkách „Maturitní zpravodaj“ a „Novinky“ je zmapováno veškeré dění kolem státní maturity. V následující kapitole využívám zejména články ze zmíněného Maturitního zpravodaje. První sekce je zaměřena na historii maturity do r. 1989. Vycházím zejména z článku z Maturitního zpravodaje „Historie maturitní zkoušky“ a z Diplomové práce Mgr. Lenky Ottové [1] [3]. Druhá sekce je zaměřena na současné dění. Zachycuje historii maturity po r. 1989, novou školskou reformu z r. 2004 a její dopad na české školství. Zdrojem pro tuto sekci byl zejména článek z Maturitního zpravodaje „Historie matematiky: 2. část“ [2].

1.1

Historie maturity do roku 1989

Slovo maturita pochází z latinského slova „maturitas“, což byl výraz pro zralost či dospělost. Výraz „zkouška dospělosti“, byl oficiálně používán do začátku druhé světové války, nicméně se tento výraz hojně používá i nadále, na rozdíl od hodnocení výsledku maturity jako „dospělý s vyznamenáním“, „dospělý“ nebo „nedospělý“, které se už v dnešní době často nevidí. Základy maturitě položily standardizované státní zkoušky, které jejich absolventům otevřely dveře na univerzity. V českých zemích se tento typ zkoušek objevuje až od roku 1849, díky tzv. Exner-Bonitzově reformě. Poprvé se však tyto zkoušky konaly roku 1812 v Prusku. Pro tyto zkoušky byla typická vysoká obtížnost, a také skladba z více častí než nynější typ. Zkouška měla dvě části – písemnou a ústní. Jednotlivé části se potom skládaly z překladu z latiny a řečtiny, písemné práce z matematiky nebo napsání slohové práce v mateřském a dalším „živém“ jazyce, a v ústní části se potom zkoušely znalosti literatury mateřského jazyka, literatury a gramatiky řecké a latinské, dějepisu, zeměpisu, matematiky, přírodních věd, fyziky, a také gramatiky dalšího „živého“ jazyka. Říšský školní zákon, z roku 1869, stanovil pravidla vyučování v obecných školách. Tento zákon vydaný profesorem Hasnerem, tehdejším ministrem duchovních a školských

–1–

Kapitola 1. Maturita jako zakončení středního vzdělání

2

záležitostí, zavedl maturitu i na tzv. reálkách, školách bez výuky klasických jazyků s důrazem na přírodovědné předměty. O poslední školskou reformu v rámci Rakouska – Uherska se roku 1908 postaral ministr kultury a vyučování Gustav Marchet. Došlo ke zrovnoprávnění maturitní zkoušky na všech školách. Zároveň se tímto snížily nároky na ústní zkoušku. Po vzniku Československa byla výrazně posílena role zkoušky z českého jazyka, která byla povinná. Omezena byla výuka náboženství a rozšířena výuka přírodovědných předmětů a s ní snahy o sbližování jednotlivých typů středních škol. Na gymnáziích byla posílena výuka matematiky a zavedena chemie jako samostatný předmět. Na některých gymnáziích byla dokonce zavedena deskriptivní geometrie. Roku 1931 se o další reformu zasadil významný český pedagog a držitel medaile J. A. Komenského, Václav Příhoda. Přinesla nejen rozpracovaný jednotný systém vícestupňového školství, ale také rozšířila písemnou zkoušku na českých školách o zkoušku z němčiny a naopak na školách německých o zkoušku z češtiny. Takovýto stav trval až do druhé světové války, kdy vznikl Protektorát Čechy a Morava. Roku 1942 pak bylo zavedeno, že hlavní slovo při maturitní zkoušce měl předseda zkoušející komise, přičemž ostatní členové fungovali pouze jako poradci. Od německé inspekce pak bylo předsedům důvěrně nařízeno, že kolem 20 % maturantů nesmí prospět. Vliv Německé říše se ještě více projevil roku 1943, kdy žáci museli odpovídat alespoň na jednu otázku z dějepisu, zeměpisu či matematiky německy. Po zestátnění všech škol, v roce 1948, vznikla jednotná školská soustava a v jejím rámci také čtyřletá gymnázia, která navazovala na druhý stupeň základních škol. Došlo k omezení obtížnosti maturitní zkoušky a pro přijetí studenta na vysokou školu byl hlavním kritériem politický profil studenta. Hodnota maturitní zkoušky byla tímto značně snížena a po roce 1951 se písemná část skládala pouze z češtiny a ruštiny a ústní zkouška rovněž z těchto dvou jazyků a dalších dvou předmětů. Uvolnění politických poměrů roku 1967 s sebou přineslo možnost maturovat z jiných cizích jazyků – angličtina, francouzština, němčina a ruština.

1.2

Maturita po roce 1989 a nový školský zákon

Po sametové revoluci v listopadu 1989 se maturitní zkouška skládala povinně ze zkoušky z českého jazyka a literatury a dobrovolném výběru dalších maturitních předmětů. V 90. letech se začaly objevovat první diskuze ohledně zavedení tzv. státních maturit, mimo jiné na základě doporučení OECD (Organisation for Economic Co-operation and Development = Organizace pro hospodářskou spolupráci a rozvoj). Odborné diskuse ohledně nastavení prvního modelu nové maturity vyvrcholil prvním pokusem o uzákonění nové podoby maturitní zkoušky, který byl však neúspěšný. Statní maturita byla uzákoněna až v roce 2004 a spuštěna měla být ve školním roce 2007/2008. Tento model se však od původních návrhů lišil. V červnu roku 2007 byl start státní maturity odsunut až na rok 2010 a model byl opět upraven. Konečná podoba modelu byla definována v roce 2008 novelou školského zákona. Stanovila mimo jiné dvě úrovně obtížnosti – základní a vyšší s tím, že žák si mohl svobodně vybrat, jakou úroveň si zvolí. Bylo přijato komplexní pojetí zkoušky z českého jazyka a literatury a zkoušky z cizího jazyka. Počet povinných zkoušek profilové části jednotně ustanoven nebyl.

Kapitola 1. Maturita jako zakončení středního vzdělání

3

K dalšímu odkladu došlo v říjnu roku 2009, s tím že spuštění státních maturit bylo stanoveno na školní rok 2010/2011. Na podzim roku 2010 proběhla tzv. maturitní generálka, kde se odzkoušela zejména logistická a organizační stránka celého procesu. Model maturitní zkoušky z roku 2011 byl prodloužen novelou zákona na rok 2012. O rok později byl model ustálen na dvě povinné zkoušky v jedné úrovni obtížnosti. Zákon č. 561/2004 Sb., o předškolním, základním, středním, vyšším odborném a jiném vzdělávání, známý zejména pod názvem školský zákon, vnesl do českého školství značné novinky. Byl zaveden systém kurikulárních dokumentů: Národní program vzdělávání, rámcové vzdělávací programy (RVP), školní vzdělávací programy (ŠVP) a akreditované vzdělávací programy vyšších odborných škol. Mimo jiné zavádí školskou radu jako povinný orgán školy, explicitně popisuje rozsah práv a povinností žáků, studentů a jejich státních zástupců a specifikuje vzdělávání žáku se speciálními vzdělávacími potřebami, a jak již bylo zmíněno výše, zavádí nové pojetí maturitní zkoušky. Spolu se zavedením RVP patří mezi nejzajímavější novinky osvojování tzv. klíčových kompetencí, který vyplývají ze vzdělávacího obsahu, osnov, vyučovacích metod, cílů oblasti a cílů vzdělávání. Zavádí se systém „méně znamená více“, kdy žákovi je předložen například jen jeden způsob řešení příkladu. Novinkami jsou také průřezová témata, která mají být obsažena ve všech předmětech a pomoci žákům se později začlenit do společnosti a lépe se v životě orientovat (mediální výchova, osobní a sociální výchova a další).

Kapitola 2 Státní maturita V následující kapitole je zmapován vývoj státní maturity v letech 2011 a 2012 a naznačen další vývoj pro rok 2014. Loňskému a tedy nejaktuálnějšímu roku 2013 bude věnována Kapitola 3 této práce.

2.1

Státní maturita roku 2011

Školní rok 2010/2011 s sebou přinesl spoustu novinek. Na podzim proběhla generálka nových státních maturit a na konci roku žáci vykonali zkoušku, kde v povinné části byl český jazyk a druhý předmět si žáci volili matematiku nebo cizí jazyk, další předměty už patřily do profilové části zkoušky, kde si už žáci vybírali na základě svých zájmů.

2.1.1

Maturitní generálka 2010

Účel maturitní generálky byl jasný: vyzkoušet logistiku a organizaci celého procesu. Žáci si mohli vyzkoušet danou obtížnost zkoušek a zjistit, zda jsou k maturitě připraveni. Výsledky této generálky byly po logistické a organizační stránce velmi příznivé, nicméně výsledky žáků už tak příznivé nebyly. Pokud by generálka byla maturitou, úspěšně by ji zvládlo jen 70 % žáků. Předpokládaná neúspěšnost u prvního termínu samotné zkoušky byla díky těmto výsledkům 15–20 %, zatímco dříve byla průměrná neúspěšnost u maturit jen 13 % [4]. Největší potíže se zvládnutím generálky měli žáci právě se zvládnutím testu z matematiky. Podle docenta Fuchse, výkonného redaktora časopisu Učitel matematiky a předsedy Společnosti učitelů matematiky JČMF, je relativně vysoká neúspěšnost žáků při maturitní generálce ovlivněna především těmito faktory: • příliš vysoké procento maturantů v populaci • nízká motivovanost žáků k úspěšnému složení maturitní generálky, k čemuž přispěla informace, že hlavním účelem generálky je ověření logistiky, nikoli měření vlastního výkonu žáků • žáci se cíleně ke zkoušce nepřipravovali a některé učivo ještě nebylo probráno [5].

–4–

Kapitola 2. Státní maturita

5

Na míru neúspěšnosti podle ministra školství Josefa Dobeše měl pouze minimální dopad bojkot maturitní generálky, kdy se k bojkotu uchýlilo asi 500 studentů, což odpovídá 0,05 % všech maturantů [4]. Maturitu z matematiky si vybralo 44 % maturantů, z nichž se výsledky setkali s 48% neúspěšností. Výsledky ovšem podle ředitele Centra pro zjišťování výsledků vzdělávání CERMAT, Petra Zeleného, poskytovali pro maturanty důležitou, přestože orientační, informaci, kterou žáci potřebují při volbě svého maturitního předmětového portfolia, a podle něj splnila maturitní generálka svůj účel na 100 % [4]. Společnost učitelů matematiky se k výsledkům maturitní generálky vyjádřila v listopadu po maturitní generálkách. Podle ní výsledky generálky „odrážejí současný stav matematické vzdělanosti na středních školách v České republice“. Nepovažovala je tedy za překvapivé. Dále se vyjádřila, že „testy z matematiky byly dobře připraveny a odpovídaly požadavkům kladeným na absolventy středních škol s maturitou a měřily, to co měly měřit“. Navrhovala, aby obtížnost testů alespoň základní úrovně neklesala a aby maturitní zkouška z matematiky byla pro všechny žáky gymnázií a lyceí (opět alespoň na základní úrovni) povinná [5].

2.1.2

Maturitní zkouška

Během roku 2011 ještě probíhaly spory o celkovém zrušení státních maturit. Návrh senátu na zrušení byl však jednomyslně ve vládě odmítnut a s tímto stanoviskem ani v poslanecké sněmovně nebyl návrh přijat [6]. V únoru 2011 vstoupila v platnost novela 90/2010 Sb., kterou se měnila vyhláška č. 177/2009 Sb., o bližších podmínkách ukončování vzdělávání na středních školách maturitní zkouškou. Tato novela ovlivnila administraci této maturitní zkoušky. Změny a úpravy byly navrženy na základě zkušeností z maturitní generálky a z připomínek ředitelů škol a pedagogů [7]. „Téměř 20 procent žáků neuspělo u státní maturity. Nejhůř dopadly odborné školy a učiliště. Skoro deset procent žáků přitom školy k maturitě nepřipustily,“ komentoval ministr Josef Dobeš výsledky [8]. Následující tabulky jsou z oficiální prezentace ministra v červnu 2011 [9].

Tabulka 2.1: Celkové výsledky Z celkového počtu všech přihlášených nebylo k maturitě připuštěno 9,7 % žáků. V tabulce 2.1 je vyznačena „čistá“ neúspěšnost na jednotlivých typech škol, kde 100 % tvoří žáci, kteří konali zkoušky. Z tabulky vyplývá, že téměř každý pátý žák maturitu neudělal.


6

Podle předpokladů nejvyšší neúspěšnost se projevila u žáků středních odborných učilišť a nástavbových oborů. Vysoké neúspěšnosti u těchto oborů si můžeme všimnout v každém ročníku státních maturit.

Tabulka 2.2: Výsledky dílčích zkoušek Tabulka 2.2 zachycuje výsledky jednotlivých povinných zkoušek v různých úrovních. Jak je vidět, v maturitě z matematiky neuspělo více než 14 % studentů. Ministr Dobeš se k těmto výsledkům vyjádřil následovně: „Teď se ukázalo, že laťka náročnosti byla nastavena správně a já z ní rozhodně nehodlám slevovat. Mým záměrem je spíš dotahovat školy do jisté úrovně, postupně tu laťku kvality zvyšovat“ [8].Ředitel CERMATu prohlásil: „Dnes má maturitu až 36 procent Čechů, v průběhu patnácti let se tak stala úplně něčím jiným, než jaký byl její původní záměr. Je nutné opět vrátit maturitě váhu“ [8]. V následujícím textu, zejména textu Kapitoly 3, bude ukázáno, zda se tyto záměry zdařily. Spolu s tabulkou výsledků úspěšnosti u maturit byl zveřejněn i oficiální „žebříček“ škol neboli tabulka ukazující největší úspěšnost žáků na jednotlivých školách – deset nejlepších gymnázií, deset středních odborných škol a 3 nejúspěšnější gymnázia a SOŠ za každý kraj [10].

Tabulka 2.3: Tři nejlepší školy Jihomoravského kraje

Podle ředitele CERMATu, Pavla Zeleného, však by však výsledky jednotlivých škol neměly sloužit ke tvoření žebříčků kvality porovnávaných škol, nýbrž jako nástroj ke zkvalitnění výuky, aby ředitelé škol věděli, na jaké předměty se mají zaměřit [11]


7

Samotné testy byly klasifikovány jako velmi kvalitní. Zpětná validace ukázala z 2342 úloh jen 4 defektní, za ty žáci dostali plný počet bodů, testů z matematiky se defekty nedotkly [12]. Obsah maturitní zkoušky je dán katalogem požadavků, který byl schválen v roce 2008. V katalogu jsou podrobně popsány očekávané znalosti a dovednosti pro zkoušku z matematiky v základní úrovni obtížnosti. V první části je uvedeno pět hlavních kategorií kompetencí, které se ve zkouškách ověřují a které by měly být během výuky matematiky na střední škole zohledňovány. Jsou to: • osvojení matematických pojmů a dovedností, žák dovede: – užívat správně matematické pojmy, – numericky počítat a užívat proměnnou, – pracovat s rovinnými a prostorovými útvary, – matematicky argumentovat 1 • matematické modelování, žák dovede: – matematizovat reálné situace, – pracovat s matematickým modelem, – ověřit vytvořený model z hlediska reálné situace, • vymezení a řešení problému, – vymezit problém, – analyzovat problém, – zvolit vhodnou metodu řešení problému, – vyřešit problém, – diskutovat o výsledcích, – aplikovat osvojené metody řešení problémů v jiných tématech a oblastech • komunikace, – číst s porozuměním matematický text, – vyhodnotit informace kvantitativního i kvalitativního charakteru obsažené v grafech, diagramech, tabulkách atd., – přesně se vyjádřit, – prezentovat získané informace a výsledky,

1 Od

nými“.

roku 2015 je v plánu rozšířit požadavky o bod „na základě reálné situace sestavit výraz s proměn-


8

• užití pomůcek. – využít informační zdroje, – efektivně řešit problémy pomocí kalkulátoru a PC, – použít kalkulátor a PC k prezentaci řešení problémů, – použít tradiční prostředky grafického vyjadřování. Ve druhé části požadavků jsou vypsány konkrétní znalosti a dovednosti z jednotlivých tematických celků: 1. číselné obory, 2. algebraické výrazy, 3. rovnice a nerovnice, 4. funkce, 5. posloupnosti a finanční matematika, 6. planimetrie, 7. stereometrie, 8. analytická geometrie, 9. kombinatorika, pravděpodobnost a statistika [13]. V základní specifikaci zkoušky je pak uvedeno percentuální zastoupení jednotlivých témat v didaktickém testu, toto zastoupení je zobrazeno v následující tabulce 2.4. Tematické okruhy Číselné množiny Algebraické výrazy Rovnice a nerovnice Funkce Posloupnosti a finanční matematika Planimetrie Stereometrie Analytická geometrie Kombinatorika, pravděpodobnost a statistika

% 5–10 10–20 15–25 10–20 5–10 10–20 10-20 5–10 5–15

Tabulka 2.4: Percentuální zastoupení jednotlivých témat V katalogu nechybí ukázky testových úloh z jednotlivých tématických celků. V testu by se měly vyskytovat jak otevřené, tak uzavřené otázky, což test z roku 2011 splňoval.


2.2

9

Státní maturita roku 2012

V původním plánu maturit se v roce 2012 měla zařadit povinně zkouška z cizího jazyka, nicméně byl odsouhlasen roční odklad, tak systém maturit zůstal „při starém“, tzn. zůstaly dvě úrovně obtížnosti, kdy si samotný žák mohl vybrat, kterou úroveň chce u maturit podstoupit, a povinná část zkoušek se skládala z českého jazyka a literatury a žákovou volbou mezi matematikou a cizím jazykem. Několik změn však maturita 2012 zaznamenala. Tyto změny však byly zejména organizačního charakteru: • pořadí zkoušek – nejprve probíhají zkoušky písemné a potom ústní, • termíny vydávání vysvědčení, protokolů a výpisu výsledků, • pravidla opravných zkoušek – žák opravuje pouze tu dílčí zkoušku, kterou nevykonal úspěšně, nemusí tedy opakovat všechny dílčí zkoušky, • systém hodnocení písemných prací [14]. MŠMT vydalo prohlášení ohledně kritérií celkového hodnocení maturitní zkoušky. U zkoušek konaných pouze formou didaktického testu, kam patří matematika, jsou hranice úspěšnosti vyjádřeny procentními body – pro matematiku jsou tyto body uvedené v tabulce 2.5 [15].

Tabulka 2.5: Hranice úspěšnosti Krátce po vyvěšení ilustračních testů pro tento ročník maturit, se CERMAT vyjádřil k jejich obtížnosti tak, že • míra náročnosti zachovává dlouhodobě stejnou úroveň, • testy slouží maturantům k ověření, zda si dané učivo dostatečně osvojili, • obtížnost testu z matematiky si CERMAT důsledně hlídá; v každém testu v základní úrovni obtížnosti je zhruba polovina bodů (asi 55 %) věnována tzv. základním úlohám, které by měl zvládnout každý maturant z matematiky v základní úrovni [16]. Hranice úspěšnosti je tedy nastavena na pouhých 33 %, pro případ, že by žáci v těchto základních úlohách chybovali.


10

Na základě těchto prohlášení se můžeme domnívat, že úroveň maturit je tedy nastavena tak, že by ji měl zvládnout každý maturant. Následující tabulka 2.6 nejenže ukazuje, že tomu tak není, ale ukazuje v tomto případě i neschopnost maturantů řešit základní úlohy [17].

Tabulka 2.6: Neúspěšnost žáků v roce 2012 Při volbě povinných předmětů si žáci volili matematiku častěji než v roce 2011. Zájem o matematiku byl zaznamenán na všech typech škol kromě zdravotnických (nejvíce u nástavbových studií a gymnázií). Zatímco v roce 2011 byl poměr maturantů z matematiky a cizího jazyka 40:60, v roce 2012 se změnil na 44:56. U nepovinných předmětů je poměr jazyku vs. matematika cca 1:1. Nejčastějšími důvody pro upřednostnění matematiky byly pro maturanty v odborném školství: vysoká neúspěšnost z němčiny a „matematiku se snad doučit stačím. . . “; a pro gymnazisty: jazyk představuje vyšší zkouškovou zátěž [14]. Vzhledem k tomu, že neuspělo o 1,7 % maturantů více, byla novým ministrem školství, Petrem Fialou naznačena snížená obtížnost nadcházejících zkoušek. K maturitám se vyjádřil takto: „Moje představa je jasná: státní maturita do budoucna musí být jednodušší, levnější a lidštější. Systém státních maturit zde má být pro studenty a pro jejich budoucnost a nemůžeme připustit, aby vznikl dojem, že jsou tady studenti pro systém státních maturit.“ Na konferenci, kde prezentoval výsledky státních maturit, navíc informoval o stanovení pracovní skupiny pro revizi státních maturit. Členové skupiny mají za úkol důkladně analyzovat letošní a loňský ročník maturit a pojmenovat nedostatky, navrhnout úpravu podoby státních maturit, která vychází ze stávajícího systému a kterou lze realizovat rychle a následně navrhnout dlouhodobé změny v koncepci státních maturit [17]. Souhrnné zprávy, které školy po maturitách obdržely, obsahovaly statistiky a jejich důkladné analýzy. Podle těchto dat maturovalo v jarním termínu poprvé 94,5 % z celkového počtu maturantů. Jak již bylo zmíněno, hrubá neúspěšnost u zkoušek byla 17,4 %, z toho 6,5 % žáků ke zkoušce nenastoupilo a zbytek neuspěl [18]. Ne všichni žáci si nedokázali osvojit učivo na požadované úrovni. V rámci základních úloh, kam patří například určení definičního oboru elementární funkce, stanovení podmínek v lomeném výrazu, převod jednotek nebo používání ekvivalentních úprav při řešení rovnic, by žáci na úrovni trojkařů měli dosahovat zhruba 80% úspěšnosti, ale ve skutečnosti byla tato úspěšnost jen necelých 62 %. Většina žáků nezvládla rutinní úpravy algebraických výrazů a nepřekonatelným se jevilo stanovení definičního oboru u logaritmické funkce. I v dalších úlohách měli žáci velmi slabé výsledky (aplikace klasické definice


11

pravděpodobnosti, vyjádření objemu kvádru v závislosti na proměnné, použití vzorců při úpravě výrazu, zakreslení situace pro řešení úlohy na analytickou geometrii v rovině apod.). Žáci neměli problém prakticky jen s dosazováním čísel do vzorce (úspěšnost 90 %) a užití trojčlenky (úspěšnost 90 %), což je učivo základní školy [18]. Porovnání úloh podle tematických celků (tabulka 2.7) ukázalo, že nejméně činily žákům problémy číselné množiny a řešení rovnic a nerovnic. Protipólem byla stereometrie, analytická geometrie a kombinatorika. Velmi zarážející jsou nedostatečně osvojené algebraické výrazy vzhledem k tomu, že tato kapitola se vyskytuje prakticky v každé oblasti školské matematiky. Žáci neumějí sečíst dva lomené výrazy, najít společný násobek dvou výrazů, určit, kdy má výraz smysl, ani kdy je hodnota výrazu nulová.

Tabulka 2.7: Úspěšnost v tematických okruzích


2.3

12

Státní maturita roku 2013 a 2014

Podle původního plánu maturit měl v roce 2013 dojít k nástupu tzv. „plnému“ modelu maturitní zkoušky. Spočíval v zavedení tří povinných zkoušek: • český jazyk a literatura, • cizí jazyk, • volba mezi: – matematikou, – občanským a společenskovědním základem, – informatikou [14]. S další novelou školského zákona č. 177/2009 Sb. však došlo k odchylkám od původního plánu. Portfolio předmětů pro povinné zkoušky je stejné jako pro předešlé zkoušky – český jazyk a literatura a výběr mezi cizím jazykem a matematikou. Byly zrušeny dvě úrovně obtížnosti. Jednoúrovňová zkouška vychází z katalogu požadavků pro základní úroveň obtížnosti popsány v Katalogu požadavků [13]. Matematika zůstala ve formě didaktického testu [19] [2]. Na řešení testu z matematiky mají studenti 90 minut, ke kterým nově přibylo 15 minut na rozmyšlení strategie řešení testu. Během 15 minut má žák k dispozici testový sešit, do něhož si může zapisovat poznámky, a záznamový arch, do kterého však v této době zapisovat nesmí. Test na rozdíl od předešlého roku obsahoval i několik široce otevřených úloh, u nichž se hodnotí celý postup řešení 2 . U tzv. úzce otevřených otázek je po žákovi požadováno pouze zapsání výsledku. Dále test obsahuje 11 otázek uzavřených. Povolenými pomůckami jsou rýsovací potřeby, kalkulačka bez grafického režimu, bez řešení rovnic a úprav algebraických výrazů a dále matematicko-fyzikální a chemické tabulky pro střední školy [20]. U kalkulaček se však tolerují další funkce, např. práce se zlomky, částečné odmocňování (tedy úpravy aritmetických výrazů pouze s čísly), převody úhlů, výpočet faktoriálů a kombinačních čísel, statistické funkce a podobně [18]. Obtížnosti a výsledkům maturity 2013 se věnuje kapitola 3. Maturita roku 2014 nedoznává oproti roku 2013 žádných změn [21]. Výsledky maturity 2014 v době psaní této práce nebyly zveřejněny.

2.4

Plánovaná státní maturita 2015

Pro rok 2015 zveřejnilo MŠMT katalog požadavků pro zkoušky společné části maturitní zkoušky konané v roce 2015. V katalogu jsou uvedeny změny, které reagují na zkušenosti z předešlých čtyř zkušebních období, reflektují názory a náměty odborné pedagogické veřejnosti, úpravy směřující ke konsolidaci struktury a srozumitelnosti textu. V matematice došlo k rozšíření v rámci kompetencí došlo pouze v jednom bodě (viz poznámka pod čarou 2 Postup

řešení je také předmětem hodnocení. Za samotný výsledek žák nezíská žádné body. Když se maturant dopustí numerické chyby, která povede k nesprávnému výsledku, může mít uvedení řešení pozitivní dopad na výsledné hodnocení.


13

na str. 7). U tematických okruhů bylo zaznamenáno výrazně více změn. Jako příklad je uvedeno rozšíření okruhů rovnice a nerovnice a funkce, ve kterých došlo k nejrozsáhlejším změnám: • rovnice a nerovnice – algebraické rovnice a nerovnice ∗ správně užít pojmy rovnice (nerovnice) s jednou neznámou, levá a pravá strana rovnice (nerovnice), obor rovnice (nerovnice), kořen rovnice, množina všech kořenů rovnice (nerovnice), ∗ užít ekvivalentní soustavy lineárních rovnice s více neznámými, ∗ provádět zkoušku, – lineární rovnice a jejich soustavy ∗ řešit početně soustavy lineárních rovnic s více neznámými, ∗ užít lineární rovnice a jejich soustavy při řešení slovní úlohy, • funkce – základní poznatky o funkcích ∗ ∗ ∗ ∗

určit hodnoty proměnné x pro dané hodnoty funkce f , přiřadit přepis funkce ke grafu funkce a opačně, určit intervaly monotonie a bod, v němž nabývá funkce extrému, užít definice logaritmu, věty o logaritmech, řešit jednoduché exponenciální a logaritmické rovnice, logaritmování exponenciální rovnice,

– goniometrické funkce ∗ užívat vlastností a vztahů goniometrických funkcí při řešení jednoduchých goniometrických rovnic. V souladu s těmito požadavky by měly být koncipovány zkoušky a dílčí zkoušky společné části maturity po 1. lednu 2015 [22].

Kapitola 3 Obtížnost státní maturitní zkoušky Katalog požadavků byl v od školního roku 2012/2013 zúžen pouze na základní úroveň obtížnosti. S odstraněním požadavků vyšší úrovně z Katalogu zásadně nesouhlasí Jednota českých matematiků a fyziků. Předseda JČMF, RNDr. Josef Kubát uvádí, že vzhledem k tomu, že to, co není v Katalogu, se nesmí zkoušet, pak „MŠMT od školního roku 2014/2015 připravuje maturitní zkoušku z matematiky pro žáky 9. ročníku ZŠ a pro žáky učňovského školství“. Kubát navíc prohlásil, že o maturitní zkoušce by neměli rozhodovat jen politici bez odborníků z praxe. Schopným zájemcům, maturantům by mělo být umožněno absolvovat maturitní zkoušku, která bude mít mnohem větší vypovídající hodnotu [23]. V následující kapitole obsahuje srovnání státní maturity s bývalou školní maturitou na Gymnáziu Vyškov z roku 2010, posledního roku před zavedením maturit státních; a ověření hypotézy, zda maturitu zvládne žák 9. ročníku základní školy.

3.1

Školní vs. státní maturita

Jako příklad školní maturity jsem zvolila maturitu z roku 2010 na Gymnáziu Vyškov. Maturitní zkouška z maturity probíhala ústně. Žák si vylosoval otázku a obdržel dvojici témat, o kterých má hovořit. Dvojice témat byly zvoleny z následujícího seznamu. Žák během celoroční přípravy na maturitu obdržel seznam těchto okruhů spolu s ilustračními příklady a u některých témat se objevovaly i otázky k teorii 1 . Žák měl u maturity potom 15 minut na přípravu, kde si mohl svůj projev přichystat, a potom 15 minut na samotnou zkoušku. 1. Množiny, výroky, matematické věty (a) Množiny – operace: průnik, sjednocení, rozdíl, být podmnožinou, doplněk,. . . (b) Kartézský součin, binární relace, zobrazení (funkce) (c) Matematická věta – důkazy (přímý, nepřímý, sporem, matematická indukce) (d) Výroky – negace, tabulky pravdivostních hodnot 1V

seznamu jsou uvedeny pouze typické příklady. Původní soubor příkladů byl samozřejmě výrazně rozsáhlejší.

– 14 –

Kapitola 3. Obtížnost státní maturitní zkoušky

15

• typické příklady: i. Graficky znázorněte v rovině množiny bodů A ∪ B, A ∩ B, A \ B a B \ A, jetliže A = {[x, y]; x ∈ R ∧ y ∈ R ∧ x2 + y2 ≤ 2} B = {[x, y]; x ∈ R ∧ y ∈ R ∧ x + y > 0} ii. Ze 100 studentů se učilo 30 němčinu, 28 španělštinu, 42 francouzštinu, 8 španělštinu a němčinu, 10 španělštinu a francouzštinu, 5 němčinu a francouzštinu, 3 všechny jazyky. Kolik se jich učilo jen francouzštinu? Kolik nestudovalo žádný z uvedených jazyků? Kolik se učilo němčinu, ale ne současně s francouzštinou? iii. Dokažte matematickou indukcí: 12 + 22 + 32 + · · · + n2 =

n(n + 1)(2n + 1) 6

iv. Vyslovte negaci výroku: Žádný vědec není vševědoucí. 2. Číselné množiny, výrazy, mocniny (a) Reálná čísla, absolutní hodnota reálného čísla, geometrický význam absolutní hodnoty, množiny reálných čísel = intervaly (b) Mocniny s reálným exponentem (c) Odmocniny; částečné odmocňování, odstranění odmocniny ze jmenovatele (d) úpravy a rovnost výrazů • typické příklady: i. Vypočtěte:

√ √ √ | 8 − 2| − |4 − 18| p √ √ √ | 50 − 3 8| + |3 2 − 32| p √ p √ √ ii. Ověřte, zda čísla 20 a 15 + 10 2− 15 + 10 2 představují totéž číslo.

3. Funkce a jejich základní vlastnosti (a) Definice funkce, definiční obor, obor hodnot, graf funkce (b) Vlastnosti funkce (c) Rovnost funkcí (d) Funkce inverzní • typické příklady: i. Určete definiční obor funkce: y = log sin x ii. Zjistěte omezenost funkce y = x21+1 x−1 a x2 −4x+3 funkci y = 2x+1

iii. Rozhodněte, zda se rovnají funkce: y = iv. Zapište rovnici inverzní funkce k

y=

1 x−3


16

4. Lineární funkce, lineární rovnice a nerovnice, soustavy (a) Lineární funkce – graf (b) Lineární rovnice a nerovnice o jedné proměnné, numerické a grafické řešení (c) Lineární rovnice a nerovnice s absolutní hodnotou (d) Soustavy lineárních nerovnic o jedné proměnné (e) Soustavy lineárních rovnic • typické příklady: i. Sestrojte graf funkce: y = |x| + |x + 1| ii. Řešte graficky i numericky: |x + 1| ≤ 3 iii. Která reálná čísla vyhovují nerovnostem: −1 < iv. Řešte v

R2

2−5x 3

≤2

soustavy rovnic: (x + 1)2 + (y + 1)2 + 10 = x(x + 6) + y(y + 6) (x + 1)2 − (y + 1)2 + 8 = x(x − 6) − y(y − 6)

5. Kvadratická funkce; kvadratické rovnice a nerovnice (a) Definice kvadratické funkce; grafy – vlastnosti (b) Kvadratické rovnice a nerovnice – numerické a grafické řešení (c) Vztahy mezi kořeny kvadratické rovnice (d) Kvadratické rovnice a nerovnice s absolutní hodnotou • typické příklady: i. V kvadratické funkci y = ax2 + bx + c stanovte a, b, c tak, aby graf procházel body [1; 2], [0; 2], [2; 4]. ii. Sestavte kvadratickou rovnici, jejíž kořeny jsou čtverce kořenů rovnice x2 + 2x − 15 = 0, aniž danou rovnici řešíte. 6. Racionální funkce, iracionální funkce; rovnice a nerovnice (a) Nepřímá úměrnost, lineární lomená funkce (b) Mocninné funkce, iracionální funkce (c) Rovnice a nerovnice s neznámou ve jmenovateli (d) Iracionální rovnice a nerovnice • typické příklady: i. Do téže soustavy souřadnic načrtněte (vyznačte důležité body): 1 1 1 y = ,y = ,y = 1− x |x| x ii. Řešte v R:

r

7−x +3 3+x

r

3+x =4 7−x


17

iii. Jestliže neznámé číslo zvětšíme o 7 a utvoříme druhou odmocninu takto zvětšeného čísla, dostaneme číslo, které je o 5 menší než původní číslo. Vypočtěte ho. 7. Exponenciální funkce, rovnice, nerovnice (a) Exponenciální funkce (b) Exponenciální rovnice a nerovnice • typické příklady: i. Užitím grafu funkcí rozhodněte, zda je pravdivý výrok: 6 6 ( )2,5 < ( )2,4 7 7 ii. Řešte v R:

x3+2 log x = 100x2+log x

8. Logaritmické funkce, rovnice, nerovnice (a) Logaritmické funkce (b) Logaritmus a počítání s logaritmy (c) Logaritmické rovnice (d) Logaritmické nerovnice • typické příklady: i. Určete výraz, jehož zlogaritmováním dostanete: 1 1 1 [log x + (log x + log x)] 2 2 2 ii. Řešte v R: log7 {log3 [log2 (log2 x)]} = 0 9. Goniometrické funkce, rovnice, nerovnice (a) Orientovaný úhel, míra oblouková, stupňová (b) Goniometrické funkce ostrého úhlu v pravoúhlém trojúhelníku (c) definice goniometrických funkcí obecného úhlu pomocí jednotkové kružnice, grafy goniometrických funkcí (d) Základní vlastnosti goniometrických funkcí (e) Vzorce – goniometrické (f) Goniometrické rovnice a nerovnice • typické příklady: i. Zjednodušte výrazy pro přípustné hodnoty x: 1 − cos 2x sin 2x + sin 2x 1 + cos 2x


18

ii. Řešte v R rovnici: 2 sin2 ϕ − cos2 ϕ − 4 sin ϕ + 2 = 0 10. Funkce a rovnice s parametry (a) Lineární rovnice s parametrem (b) Kvadratické rovnice s parametrem • typické příklady: i. Určete a tak, aby rovnice měla nezáporný kořen x − 2 ax + 1 a − 1 − = 3 2 2 ii. Pro která a má rovnice reálné kořeny ax2 + 2(a − 1)x + a − 5 = 0 11. Trigonometrie (a) Pravoúhlý trojúhelník – vztahy mezi stranami a úhly (b) Sinová věta (c) Kosinová věta (d) Obsah trojúhelníka • typické příklady: i. V trojúhelníku znáte: a = 49 cm, b = 35 cm, c = 56 cm. Určete: A. obsah S B. poloměr ρ kružnice vepsané C. poloměr r kružnice opsané D. výšku vc E. těžnice ta 12. Komplexní čísla a operace s nimi (a) Definice komplexního čísla, tvary komplexního čísla – algebraický, goniometrický, počítání s nimi (b) Moivreova věta (c) Znázornění komplexních čísel v Gaussově rovině • typické příklady:

√

√

i. Vypočtěte: ( 4+i2 2 )5 + ( 4−i2 2 )5 ii. Vypočtěte a5 , je-li a =

15−5i 1+2i

− 1−3i i + (3 + i)(−1 + 2i)


19

iii. Zobrazte v Gaussově rovině množinu obrazů komplexních čísel A. 1 ≤ |z − 3 − 3i| < 3 B. |z + 1 − 2i| < |z − 3 − i| 13. Řešení rovnic v oboru komplexních čísel (a) Řešení rovnice v oboru C (b) Binomické rovnice – n-tá odmocnina z komplexního čísla (c) Kvadratické rovnice s reálnými i komplexními koeficienty v oboru C (d) Algebraické rovnice n-tého stupně • typické příklady: i. Řešte binomickou rovnici v C dvěma způsoby (goniometricky, algebraicky): x6 − 64 = 0 ii. V C řešte:

x6 + 19x3 − 216 = 0

14. Vektory a operace s nimi (a) Definice vektoru, operace s vektory (b) Souřadnice vektoru, velikost (c) Skalární součin – užití (d) Vektorový součin – užití (e) Smíšený součin – užití • typické příklady: i. Určete obsah trojúhelníku ABC A[3, 4], B[7, 8], C[9, 5]. − − − ii. Vektory → u = (−1, 4), → v = (2, −1), → w = (4, 4) umístěte v rovině jako orientované úsečky s počátečním bodem A[1, −2]. √ −Graficky zobrazte √ − − v + 5→ w. lineární kombinaci vektorů −1, 5→ u − 3→ 15. Analytické vyjádření přímky a roviny, polohové úlohy (a) Analytické vyjádření přímky v rovině (b) Analytické vyjádření přímky v prostoru (c) Polorovina (d) Analytické vyjádření roviny (e) Vzájemná poloha dvou přímek v rovině a v prostoru (f) Vzájemná poloha dvou rovin (g) Vzájemná poloha přímky a roviny


20

• typické příklady: i. Určete parametrickou, obecnou rovnici přímky AB a směrnicový tvar rovnice přímky AB, kde A[4, 1], B[8, 5]. Napište parametrické vyjádření polopřímky AB, polopřímky BA, úsečky AB. ii. Určete rovnici roviny, která prochází průsečnicí rovin 4x − y + 5z − 1 = 0, x + 5y − z + 2 = 0 a je kolmá k rovině 2x − y + 5z − 3 = 0. 16. Metrické vlastnosti lineárních útvarů (a) Kolmost přímek a rovin (b) Odchylky přímek, rovin, přímky a roviny (c) Vzdálenost bodu od přímky, od roviny, vzdálenost dvou rovnoběžných přímek, rovin • typické příklady: i. Napište obecnou rovnici roviny, která je určena bodem A[2, −3, 1] a přímkou mající parametrické vyjádření: x = t, y = 2 + 3t, z = 1 − t ii. Vypočtěte odchylku přímky p a roviny ρ, p : x − y + z + 1 = 0; x + y + 3z − 3 = 0; ρ : x − y + z = 0 17. Analytická geometrie kuželoseček (a) Kružnice, kruh (b) Elipsa (c) Hyperbola (d) Parabola • typické příklady: i. Hyperbola má asymptoty y − 3 = 2(x + 1), y − 3 = −2(x + 1) a prochází bodem K[4, 9]. Určete rovnici hyperboly. ii. Průměr parabolického automobilového reflektoru je 24 cm, hloubka reflektoru 12 cm. Určete rovnici parabolického řezu a vypočtěte polohu vlákna žárovky, je-li reflektor zapnut na dálková světla. 18. Vzájemná poloha přímky a kuželosečky (a) Vzájemná poloha bodu a kuželosečky (b) Tečna ke kuželosečce v bodě dotyku (c) Tečna ke kuželosečce z vnějšího bodu (d) Vzájemná poloha přímky a kuželosečky (tečna, sečna, vnější přímka) • typické příklady: i. V rovnici elipsy byla její tečnou.

x2 25

2

+ by2 = 1 určete b tak, aby přímka 2x + 3y = 12


21

ii. Vypočtěte souřadnice bodu, který leží na parabole y2 = 8x a má od jejích ohniska vzdálenost 20. 19. Planimetrie (a) Podobná zobrazení v rovině, Euklidovy věty, Pythagorova věta (b) Konstrukce algebraických výrazů, čtvrtá geom. úměrná, Eukl. a Pythagorova věta (c) Úhly obvodové, středové, úsekové (d) Shodná zobrazení v rovině (e) Stejnolehlost, stejnolehlost kružnic (f) Množiny bodů daných vlastností (g) Konvexní množiny • typické příklady: i. Jsou dány délky a, b, c, d. Sestrojte úsečku délky x: p x = a2 + b2 + c2 − d 2 ii. Dokažte, že spojnice bodů, které vyznačují na ciferníku hodin 1, 6, a 5, 8 jsou k sobě kolmé. iii. Jsou dány kružnice k1 = (O1 ; 2, 5 cm), k2 = (O2 ; 1, 5 cm). Určete středy a koeficienty stejnolehlosti v nichž je obrazem kružnice k1 kružnice k2 , Dále sestrojte společné tečny kružnic k1 , k2 . iv. Určete množinu všech bodů, které mají od bodů A[1, 1], B[5, 1] poměr vzdálenosti 3 : 1. v. Sestrojte trojúhelník ABC, je-li dán jeho obvod o = 12 cm a úhly α = 60, β = 45◦ . 20. Stereometrie • typické příklady: (a) Zobrazte ve volném rovnoběžném promítání pravidelný pětiúhelník, šestiúhelník. (b) Je dána krychle ABCDEFGH. Sestrojte průsečnici rovin SAB SCD SDH a ACF. 21. Kombinatorika (a) Kombinace bez opakování – s opakováním (b) Variace bez opakování – s opakováním (c) Permutace bez opakování – s opakováním (d) Faktoriály, vlastnosti kombinačních čísel – Pascalův trojúhelník (e) Binomická věta – užití


22

• typické příklady: i. Učitel má k dipozici 10 výrazů, 20 rovnic, a 15 slovních úloh. Kolika způsoby může sestavit písemku, ve které budou 2 výrazy, 1 rovnice a 2 slovní úlohy? ii. Zjednodušte, určete podmínky, kdy má výraz smysl: (n + 2)! (n + 1)! − n! (n − 1)! 22. Posloupnosti a nekonečné řady (a) Definice posloupnosti, posloupnost rostoucí, klesající, omezená; n-tý člen posloupnosti, rekurentní zadání, limita posloupnosti (b) Aritmetická posloupnost (c) Geometrická posloupnost (d) Užití geometrické posloupnosti (e) Nekonečná geometrická řada – užití • typické příklady: i. Ve městě se buduje hlediště letního kina pro přibližně 1200 diváků. Do první řady je plánováno 40 sedadel, do každé následující pak o 4 sedadla více. Kolik řad sedadel bude mít hlediště? ii. Určete 3(n2 + n)(2n + 1) lim n→∞ 5n3 23. Pravděpodobnost (a) Jevy a jejich rozdělení, operace s jevy (b) Definice pravděpodobnosti, vlastnosti pravděpodobnosti • typický příklad: i. Ze hry 32 karet vybereme náhodně 3 karty. Jaká je pravděpodobnost, že mezi nimi budou A. nejvýše 2 karty stejné barvy B. právě 2 karty stejné barvy C. alespoň 2 karty stejné barvy? 24. Derivace a limita funkce (a) Derivace funkce, její geometrický význam (b) Derivace základních funkcí, derivace složené funkce (c) Limita funkce, spojitost


23

• typické příklady: i. Řešte na základě Darbouxovy věty: (x2 − 1)(x + 2) ≤0 (x2 − 3x − 4 ii. Vypočtěte:

√ x2 + 1 lim n→∞ 2x + 1 iii. Určete rovnici tečny a normály grafu dané funkce v bodě T iv. Je dána funkce y = 2x2 + x − 1. Na grafu funkce určete bod T tak, aby tečna v bodě T 1 y = e2x − 1 T [ , ?] 2 A. měla směrnici k = 5 cm B. měla směrový úhel ϕ = 60◦ C. byla rovnoběžná s osou x D. byla rovnoběžná s osou y E. byla rovnoběžná s přímkou p : x − y + 10 = 0 F. byla kolmá k přímce q : 3x + y − 1 = 0 v. Derivujte: r 1 + 2x y = ln 1 − 2x 25. Užití derivace funkce (a) Lokální extrémy (b) Průběh funkce (c) L’Hospitalovo pravidlo • typické příklady: i. Jaké rozměry má mít válcová nádoba bez víka, aby při daném objemu V měla minimální povrch? ii. Vyšetřete průběh funkce a načrtněte graf y=

x4 + x3 4

iii. Užitím L’Hospitalova pravidla vypočtěte: tg x x→0 sin 2x lim

26. Neurčitý integrál (a) Primitivní funkce (b) Neurčité integrály základních funkcí


24

• typické příklady: i. Vypočítejte neurčité integrály: √ Z √ ( x − 3 x)2 √ A. dx 5 2 x Z √ B. (1 + x2 ) x dx 27. Určitý integrál a jeho užití (a) Určitý integrál (b) Výpočet obsahů pomocí určitých integrálů (c) Výpočet objemů pomocí určitých integrálů • typické příklady: i. Vypočtěte objem kolmého rotačního kuželu, který vznikne rotací úsečky AB, A[3, 2], B[5, 4] kolem osy x. ii. Vypočtěte vzorec pro objem kulové úseče. Jednotlivá témata byla rozdělena do podotázek (např. 17. okruh byl rozdělen na čtyři oddíly: kružnice, elipsa, hyperbola, parabola) a přiřazena k otázkám. Proto se četnost jednotlivých témat v rámci rozložení lišila. Jedenkrát se v otázkách objevila témata 2, 4, 5, 6, 11, 15, 18, 20, 23 a 26; dvakrát potom 7, 8, 10, 12, 13 2 , 14, 25 a 27; třikrát 1, 9 a 22; čtyřikrát 3, 16, 17, 21 a 24; a nejčetněji se sedmkrát vyskytla 19, planimetrie. Tematicky školní maturita pokrývala veškeré učivo na gymnáziu kromě statistiky, která je také jediným tématem, kterým státní maturita převyšuje náplň staré školní maturity. Zatímco v Katalogu požadavků se v některých okruzích objevují podobné příklady, samotný test se pak vrací pro gymnazisty k opakování ze základní školy případně prvního až druhého ročníku gymnázia. Například u kvadratických rovnic se vyskytují příklady, kde daná rovnice je s parametrem a je dán jeden její kořen, nebo nějaká závislost mezi kořeny původní a požadované rovnice. V maturitě 2013 se pak vyskytuje příklad 3x(x + 1) = 9x2 , kde řešení má být v reálném oboru. Takový příklad, který jako jediný testuje kvadratické rovnice (příklad na Pythagorovu větu do této kategorie nezapočítávám), je zcela nedostatečný, protože i žák základní školy by měl být schopen (bez znalosti kvadratických rovnic) tuto rovnici upravit na součin a odtud vyčíst, kdy má daná rovnice řešení. Jak již bylo zmíněno výše, žáci si volí státní maturitu nejčastěji z důvodů „matematiku se stihnu doučit“ a pro gymnazisty zejména potom je tento důvod zkoušková zátěž, která je pro matematiku pouze didaktický test, zatímco pro cizí jazyk se musí složit zkoušek více. Přesto si někteří studenti, kterým nedělá problém jak jazyk, tak matematika, si raději zvolí jazyk, protože vědí, co od takové zkoušky mají očekávat. Test z matematiky je každý rok jiný, různá skladba příkladů různé obtížnosti. Matematiku si potom volí v profilové části maturity, kde maturují „školně“ a vědí přesně, co se mají učit a z čeho budou zkoušeni. V rámci projektu Vzdělávání budoucích středoškolských učitelů přírodních věd a informatiky vznikla skripta Maturita z matematiky na gymnáziu od Aleše Kobzy [24]. Vzhledem 2 Otázky 12 a 13 se vyskytovaly jako jedna otázka - rozdělení bylo v rámci algebraického a goniometrického

tvaru komplexního čísla.


25

k tomu, že jde o potenciální výukový materiál k nové státní maturitě z matematiky, které se na trhu takřka vůbec neobjevují, považuji tuto učebnici za velmi přínosnou a doporučila bych její vydání ve vyšším nákladu.

3.2

Státní maturita 2013: výsledky a porovnání s žáky 9. ročníku ZŠ

Test z roku 2013 měl podle společnosti EDUin nedostatky. K testu se vyjádřila: Test obsahuje množství úloh vyžadujících úpravu algebraických výrazů, výrazně více než 10–20 %, jak předepisuje katalog. Naopak úloha ze stereometrie (práce s tělesy) je tu fakticky jen jedna: č. 20 z celkem 26 úloh. Závazný rozsah pro stereometrii je ovšem také 10–20 % úloh, maturant má mít možnost získat za stereometrii minimálně 5 bodů. CERMAT se k tomuto vyjádřil ve smyslu, že některé úlohy jsou špatně začlenitelné do kategorií, protože např. právě algebraické výrazy jsou potřeba téměř v každé části středoškolské matematiky, nicméně zmíněný test obsahuje úlohy klasifikované jako Algebraické výrazy právě v bodové hodnotě 7 bodů, což je přesně 14 % celkového skóre testu. Navíc uvádí, že specifikace uvedena na str. 10 v Katalogu požadavků [13] je pouze „přibližné procentuální zastoupení jednotlivých témat“, a vzhledem k vysoké neúspěšnosti žáků v těchto typech úloh byly vyřazeny a snížena jejich náročnost [?]. Na jaře 2013 se k maturitě přihlásilo 33 449 žáků, z toho test konalo 29 516 žáků, neúspěšně 5 936, což činí 20% neúspěšnost – o procento nižší než v roce 2012 [26]. Pro demonstraci nynější úrovně statní maturity jsem se držela výroku doktora Kubáta, že maturitu by měl zvládnout šikovný deváťák [23]. Provedla jsem proto průzkum mezi šikovnými deváťáky. Dva z respondentů jsou ze Základní školy Brno, Tuháčkova 25, příspěvková organizace (označení žák 1 – žák 2). Dalších 19 respondentů je ze Základní školy Vyškov, Nádražní 5 – zde byly vybráni žáci ze třídy s rozšířenou výukou matematiky a přírodovědných předmětů spolu s některými žáky z dalších tříd bez specializace (označení žák 3 – žák 21). Pro porovnání jsem navíc nechala otestovat jednu žačku střední průmyslové školy, která maturovala na jaře v roce 2013, zkoušku opakovala na podzim 2013, a dokonce i na jaře 2014; byla navíc oproti deváťákům ve výhodě – test sama už jednou psala, navíc ho i několikrát propočítávala v rámci procvičování (označena jako žák 22). Výsledky průzkumu jsou zaznamenány v tabulce 3.1, v tabulce 3.2 jsou pak k dispozici výsledky zmíněné maturantky. Technické provedení bylo trochu odlišné než u plošného testování - zkoušení měli 90 minut na test 3 , měli k dispozici matematicko-fyzikální a chemické tabulky, kalkulačky a rýsovací potřeby. Výsledky nebyly zaznamenávány do záznamového archu, žáci psali své odpovědi přímo do zadání. Testy byly vyhodnoceny podle pokynů v dokumentu Klíč správných řešení [27], který je k dispozici na webových stránkách http://www.novamaturita.cz, odkud pocházel i samotný test, který je k dispozici v příloze této práce. 3 15

minut na přípravu strategie muselo být z technických důvodů zrušeno.


žák 12 žák 4 žák 11 žák 18 žák 9 žák 13 žák 15

32 26 23,5 19,5 19 19 19


26

16,5 14,5 14 13,5 12,5 12,5 11


10,5 9 9 8 7,5 7,5 7

Tabulka 3.1: Výsledky průzkumu číslo úlohy: skóre číslo úlohy skóre:

1 0 14 0

2 0 15 0

3 1 16 0

4 2 17 0

5 1 18 0

6 0 19 2

7 0 20 0

8 0 21 0

9 2 22 0

10 0 23 0

11 0 24 2

12 0 25 2

13 0 26 1

Tabulka 3.2: Výsledky jednotlivých úloh žáka 22 Dále jsem obsah testu porovnala s učebnicemi matematiky pro nižší ročníky víceletých gymnázií a třídy základních škol s výukou matematiky a kurikulárním dokumentem RVP pro základní vzdělávání [28]. Navíc jsem se ptala třídní učitelky žáků 9. ročníku s rozšířenou výukou matematiky,Hany Hedbávné, které příklady by žáci měli zvládnout s dosavadními znalostmi. Rámcový vzdělávací program pro základní vzdělávání určuje obsah učiva v rozsahu: • dělitelnost přirozených čísel – prvočíslo, číslo složené, násobek, dělitel, nejmenší společný násobek, největší společný dělitel, kritéria dělitelnosti • celá čísla – čísla navzájem opačná, číselná osa • desetinná čísla, zlomky – rozvinutý zápis čísla v desítkové soustavě; převrácené číslo, smíšené číslo, složený zlomek • poměr – měřítko, úměra, trojčlenka • procenta – procento, promile; základ, procentová část, počet procent; jednoduché úrokování • mocniny a odmocniny – druhá mocnina a odmocnina • výrazy – číselný výraz a jeho hodnota; proměnná, výrazy s proměnnými, mnohočleny • rovnice – lineární rovnice, soustava dvou lineárních rovnic se dvěma neznámými • závislosti a data – příklady závislostí z praktického života a jejich vlastnosti, nákresy, schémata, diagramy, grafy, tabulky; četnost znaku, aritmetický průměr • funkce – pravoúhlá soustava souřadnic, přímá úměrnost, nepřímá úměrnost, lineární funkce


27

• rovinné útvary – přímka, polopřímka, úsečka, kružnice, kruh, úhel, trojúhelník, čtyřúhelník (lichoběžník, rovnoběžník), pravidelné mnohoúhelníky, vzájemná poloha přímek v rovině (typy úhlů), shodnost, podobnost (věty o shodnosti a podobnosti trojúhelníků) • metrické vlastnosti v rovině – druhy úhlů, vzdálenost od přímky, trojúhelníková nerovnost, Pythagorova věta • prostorové útvary – kvádr, krychle, rotační válec, jehlan, rotační kužel, koule, kolmý hranol • konstrukční úlohy – množiny všech bodů dané vlastnosti (osa úsečky, osa úhlu, Thaletova kružnice), osová souměrnost, středová souměrnost • číselné a logické řady • číselné a obrázkové analogie • logické a netradiční geometrické úlohy Žáci nejčastěji odpovídali správně na otázku 1 a u otázky 25 byla nejčastěji správně pouze jedna podúloha a sice rozpoznání konstantní funkce. Podle RVP pro základní vzdělávání by žáci měli být schopni na základě svých dosažených znalostí získat 26 bodů. Žáci se na test nijak výrazně nepřipravovali, takže nižší počty bodů nejsou nijak překvapivé, nicméně mne ohromil výsledek žáka 12, který se náležitě pomocí tabulek vypořádal i s úlohami, které se normálně ve výuce neřeší. Dále jsou popsány jednotlivé úlohy, úspěšnost žáků, nejčastější řešení a chyby: 1. První úloha: Vypočtěte obsah trojúhelníku měla úspěšnost 76 %. Nejčastěji ji žáci řešili tak, že si jednotlivé zlomky převedli na patnáctiny, určili kolik patnáctin zabírají zadané 4 m2 plochy a posléze sčítali jednotlivé části. Racionální čísla jsou náplní učebnice Jiřího Hermana Matematika: racionální čísla, procenta [29], která je probírána již v sedmém ročníku ZŠ. 2. Druhá úloha podle paní učitelky Hedbávné není typickou z učebnic, nicméně žáci by ji mohli zvládnout. Znají zaokrouhlování, stejně jako násobení mocninami čísla 10. Správně však zodpověděli pouze 3 žáci. Nejčastější chybou bylo špatné zaokrouhlení (na jednotky) nebo chyba numerická (pravděpodobně žák neměl kalkulačku, protože si výpočty psal pod sebe, kde udělal chybu). Často ji žáci vůbec neřešili. 3. Třetí úloha pro úpravu výrazu zcela správně zodpověděli čtyři žáci. Další čtyři výsledek nevykrátili, což je považováno za chybu 4 . Kromě chybného krácení byly velmi časté numerické chyby. Několik řešitelů bylo zmateno zadáním, a když se dostali k nějakému výsledku, pohlíželi na něj jako na rovnici s nulovou pravou stranou a pokoušeli se příklad dál řešit. 4 Tito

žáci obdrželi 0,5 bodu s tím, že závěrečné hodnocení to nijak neovlivnilo


28

4. Lomené výrazy nejsou v RVP pro základní vzdělávání. Na Základní škole Vyškov, Nádražní 5 se však toto učivo vyučuje nad rámec RVP, proto by většina respondentů měla zodpovědět. Zcela správně však neodpověděl nikdo. Žák 12 získal 2,5 bodu z max. 3 bodů – dopustil se numerické chyby při předposledním kroku v úpravách. Většina žáků jen určila podmínky, obvykle neuvedli všechny, a do samotného řešení se nepouštěli. Podle učebnice by však měli podobný příklad zvládnout. Příklad podobného charakteru se vyskytuje v učebnici pro osmý ročník [30]: a a+1 a a−1

−1 −1

5. Lineární nerovnice jsou normální náplní učiva základní školy. Správně ji však vyřešilo pouze 5 žáků. Většina řešících udělala chybu už v prvním kroku, kde chtěli celou nerovnici vynásobit 6, ale zapomněli na prvou stranu. Následný postup a zápis řešení byl potom správný. Takový příklad jsem hodnotila 0,5 bodu z max. 2 bodů. V učebnici pro osmý ročník je přitom velmi podobný příklad [31]: a−

a−2 a+1 = 5+ 2 3

6. Úloha 6, na řešení kvadratické rovnice, opět není v RVP pro základní vzdělávání. Na druhou stranu se žáci učí rozklad na součin vytýkáním, což by je mělo dovést ke zdárnému výsledku, ale tentokrát nebyl ani jeden správný řešitel, dokonce tento příklad zaskočil i středoškolačku, která rovnici řešila obdobně jako většina žáků základní školy: 3x(x + 1) = 9x2 3x2 + 3x = 9x2 3x = 6x2 1 = 3x 1 x= 3 Žačka se dopustila v tomto příkladu mezi 3. a 4. řádkem úprav hned několika chyb: krátila celou rovnici 3x, čímž ztratila jeden kořen rovnice, a navíc špatně vydělila 6 3 = 2, takže se nedostala ani k jednomu z řešení. 7. Úloha 7 měla 3 úspěšné řešitele. Podle paní učitelky Hedbávné se takové příklady často na ZŠ nedělají, ale žáci by mohli úlohu správně vyřešit. Žáci si vyjádřili z první rovnice t v závislosti na x a dosadili do druhé rovnice. Tohle řešení bylo pravděpodobně intuitivní. Někteří však udělali chybu už ve vyjádření t, kde namísto t = 2x převedli t na t = 2x. Tato chyba byla evidentně jen z nepozornosti, přesto se vyskytla u 3 žáků. 8. U úlohy 8, 4 žáci správně určili střed strany AC, ale všichni měli špatně narýsovaný trojúhelník ABC, protože vektory se na ZŠ nevyučují. Žáci často špatně považovali − vektor → a za vyjádření pro bod B a umístil ho do soustavy souřadnic jako B[2; −3].


29

9. Základy pravděpodobnosti a statistiky jsou na ZŠ běžně probírány. Nejčastěji se pracuje pouze s aritmetickým průměrem. Aritmetický průměr správně určilo 9 řešitelů, z toho dva se pustili do výpočtu mediánu a jeden ho určil správně. U této úlohy bylo zajímavé, že některým žákům nepřipadaly jejich výsledky zvláštní. Měli spočítat průměrný počet trestných bodu, kde hodnoty počtu trestných bodů byly 0–4, nicméně výsledek 52 nebyl nijak zvláštně komentován. Dále byla zajímavá odpověď „4,8 je průměr“, kde jsem se pokoušela najít postup řešení, jak k tomu žák přišel, případně kde udělal chybu, ale zápis byl značně nepřehledný. 10. Aritmetické posloupnosti nejsou součástí RVP pro základní vzdělávání, stejně jako určení jejích prvních n členů. V této úloze nebyl žádný úspěšný řešitel. 11. V úloze 11, žáci nejspíš selským rozumem došli k řešení bez jakékoliv znalosti aritmetických posloupností. Často byl výsledek zapsán ve tvaru 39 , ale i tento výsledek jsem uznávala jako správný, protože naznačoval, jak žáci uvažovali. Správně zodpovědělo 9 žáků. Je zarážející, že žáci bez znalosti aritmetických posloupnosti vyřešili příklad intuitivně. Středoškolačka se však pokoušela nejdřív určit diferenci a posléze první člen posloupnosti, aby mohla z vyjádření a5 = a1 + 4d určit pátý člen. V postupu se však vyskytovalo příliš mnoho numerických chyb, aby se dostala ke správnému řešení. 12. Exponenciální rovnice se učí až na střední škole. V úloze 10 nebyl žádný úspěšný řešitel, dokonce ani žák 22 si s tímto příkladem neporadil. Někteří se do příkladu pouštěli, ale bez patřičných vědomostí se dopouštěli mnoha chyb. Často považovali 5x za 5x a rovnici se potom pokoušeli vyřešit. 13. Slovní úloha na procenta, úloha 13, měla 8 úspěšných řešitelů. Procenta jsou na ZŠ probírána důkladně. Paní učitelka se vyjádřila, že doufá, že tuhle úlohu snad vyřešili všichni. Někteří se však do úlohy nepouštěli vůbec a několik jich udělalo pár chyb již v základním zápisu a potom nebyli schopni sestavit rovnici. 14. V úloze 13 bylo 8 úspěšných řešitelů. Jde o klasickou slovní úlohu, která vede na soustavu dvou rovnic o dvou neznámých (šikovnější by si mohli vyjádřit rovnou jednu rovnici o jedné neznámé). Žáci nebyli schopni tyto rovnice sestavit, obvykle se zarazili už u označení chlapeckého družstva, které má dvakrát více členů než družstvo dívek (y = 2x) a jedním z řešení mohla být další rovnice x + 1 = y − 12. Po dosazení žáci získají počet dívek, přičtou počet chlapců a získají výsledek. Někteří si chlapce nepotřebovali označovat zvláštní proměnnou. 15. Úlohu na Pythagorovu větu úspěšně vyřešilo 13 žáků, numerické chyby se dopustili 2 žáci (dostali po 1 bodu). Jen několik řešitelů se uchýlilo k použití Pythagorovy věty na trojúhelník PXQ. Jinak si žáci správně určili úsečku x a posléze dopočítali stranu p. Někteří z nepozornosti nepřičetli úsečku x k délce úsečky XQ. 16. Úloha 16 měla čtyři podúlohy. Plný počet bodů byl započítán za 4 správně zodpovězené podúlohy, 1 bod potom za 3 správné odpovědi. Nižší počet správně zodpovězených podúloh byl potom obodován 0. Žáci znají goniometrické funkce, takže pro ně


30

příklad nebyl velkým problémem. Všechny podúlohy správně vyřešili 3 žáci. Jednu chybu mělo 10 žáků. Nejčastěji chybovali v podúloze 16.3. 17. Úloha 17, uzavřená úloha, měla 8 úspěšných řešitelů. Podle učebnice Trojúhelníky a čtyřúhelníky, žáci již od 7. ročníku znají, co platí o výškách v ostroúhlém, pravoúhlém a tupoúhlém trojúhelníku (str. 47–50) [32]. Někteří si do zadání průsečík výšek rýsovali. Často bylo špatnou odpovědí určení pouze 1 tupoúhlého trojúhelníku a někteří pravděpodobně nevěděli, co platí pro pravoúhlý trojúhelník. 18. Úloha 18 obsahuje obloukovou míru, kterou žáci ZŠ neznají. Přesto žáci byli schopni určit úhel β a porovnat ho s nabízenými odpověďmi. Správných řešitelů bylo 5. Několik žáků tipovalo, ale volili nesprávné odpovědi. 19. Úlohu 19 vyřešilo 10 žáků správně. Nejčastější chyba byla ve znaménku – namísto odpovědi D volili odpověď E. 20. Jednodušší úlohu na stereometrii by žáci ZŠ měli zvládnout vzhledem ke svým dosavadním znalostem. 10 žáků zodpovědělo správně. Zbylých 11 žáků úlohu vůbec neřešilo. Možnými problémy mohlo být: problém s převody jednotek, určení výšky celého válce. 21. Úloha 21 je velmi netypická. Žáci mají veškeré znalosti, aby ji mohli vyřešit. V odpovědích jsem však našla jen jedno nesprávné řešení, kdy žák si správně chtěl spočítat obvod , kde se obal dotýká plechovek. Nicméně namísto 13 obvodu jedné plechovky předpokládal, že se obal dotýkal plechovky v polovině jejího obvodu. Správně tipovali 3 žáci. 22. Kombinatorická úloha 22 byla pro žáky ZŠ poměrně dost těžká. Obvykle se na ZŠ probírají pouze jednodušší příklady. Přesto správně příklad vyřešilo 6 žáků, z nichž někteří pravděpodobně tipovali. 23. Uzavřená úloha č. 23 zkouší znalosti základů pravděpodobnosti. Tohle učivo se na ZŠ obvykle nedělá. 6 žáků však tuhle úlohu pravděpodobně s pomocí tabulek vyřešilo správně. Dá se předpokládat, že někteří si správně tipli. 24. Geometrické posloupnosti opět nejsou náplní základního vzdělání. Dva žáci si správně tipli. 25. Jak bylo řečeno výše, jednou z nejčastěji řešenou úlohou byla úloha na přiřazení odpovídajícího předpisu funkce. Nejčastější správnou odpovědí bylo u podúlohy 25.4. – 17 správných odpovědí. Dvě funkce správně určili 4 žáci a jeden žák zodpověděl správně všechny podúlohy. Bodování bylo tentokrát pro každou podúlohu 1 bod. Maximální počet bodů byl tedy 4. 26. Přestože žáci znají pravidla pro exponenty s jednotlivými operacemi, překvapivě mnoho žáků odpovídalo v úloze 26 špatně. Nejčastěji se správná odpověď objevovala u podotázky 26.3. 6 žáků správně přiřadilo 1 podúlohu, 3 žáci se správně vyjádřili u dvou podúloh a jeden žák získal plný počet bodů.


31

Pro úspěšné řešení maturity je podle tabulky 2.5 třeba 33 % správných odpovědí, což v bodovém hodnocení činí 16,5 bodů. Hranice pro výsledek dostatečný je tedy 16,5–25,5 bodů. S hodnocením 4 by v mém průzkumu odešlo 6 žáků 9. ročníku. Dva žáci by si odnesli výsledek 3 – dobrý. Výsledná neúspěšnost žáků je 62 %. Do průzkumu byli zařazeni žáci jak s výbornými známkami, tak s výbornými výsledky na matematických olympiádách a jiných soutěžích. 5 dětí z úspěšných řešitelů byli žáci třídy s rozšířenou výukou matematiky. Další 3 byli žáky dalších tříd Základní školy Vyškov, Nádražní 5. Děti z brněnské základní školy překvapivě měli výsledky lepší než některé děti z třídy matematické.

3.3

Státní maturita jako zajištění základní úrovně středoškolského vzdělání

Text následující části je založen na rozhovoru paní Zuzany Kobíková s panem docentem Eduardem Fuchsem [33]. Podle docenta Fuchse úspěšné absolvování maturitní zkoušky vypovídá o tom, že student dosáhl základní úrovně středoškolského vzdělání, nelze proto státní maturitu chápat jako nahrazení stávající „klasické“ maturity. Po dvou letech však zatím nelze říci, zda tento svůj hlavní cíl maturity splňuje či nikoliv. Podle výsledků jednotlivých škol je zjevné, že některé střední školy při testech podváděly, když měla celá třída naprosto shodné odpovědi – na tyto školy školy nastupuje inspekce a zkouška se musí opakovat. První ročníky maturit tak naznačují, že maturity by neměly zůstávat pouze v kompetenci středních škol, stát by se neměl vzdát možnosti kontroly. Podle pana Fuchse: „Škola, kde státní maturitu neudělá 60 % žáků nemá nárok na existenci a měla by být zrušena.“ Naznačuje, že většina středních škol nemusí končit maturitou – pro některá povolání je tato zkouška zbytečná, na rozdíl od studentů gymnázia, kteří se připravují na vysokoškolské studium. Chyba se stala při prosazení nesmyslné politické teze, že úroveň vzdělanosti se zvýší tím, že se rapidně zvýší procento lidí s maturitou resp. vysokoškolským vzděláním. Řešením by mělo být snížení počtu škol, na kterých se maturuje, přestože lobby středních škol jsou silně proti, protože maturitu svých žáků vnímají jako věc prestiže. Při vyváženém testování je ovšem situace taková, že gymnazisté se smějí úrovni, ze které mají studenti odborné střední školy obavy. Státní maturita by neměla suplovat ústní část maturitní zkoušky. Dala by se chápat spíše jako povolení, aby mohla student skládat tzv. „školní“ maturitu. Samotný test z matematiky na nižší úrovni je testem pouze základních početních dovedností. V roce 2012 navíc došlo k tzv. „harmonizaci výseldků“, která byla provedena proto, že úroveň výsledků maturitních ročníků 2011 a 2012 se výrazně lišila. Výsledky se harmonizovaly, tak, aby rozložení známek bylo zhruba stejné jako v roce 2011, protože žáci měli v roce 2012 výrazně horší výsledky. Harmonizace výsledků však jde zcela proti základnímu cíli státní maturity – možnost srovnávání – zajišťuje totiž, aby každý rok propadlo 20 % studentů.

Závěr V této práci jsme se věnovali maturitním zkouškám z matematiky. V rámci historie maturit byly zmíněny nejdůležitější školské reformy a osobnosti ovlivňující školství. Zvláštní pozornost byla věnována vývoji po roce 1989 a rok 2004, kdy došlo ke změnám cílů vzdělávání a celému novému školskému systému, se kterým přišly i nové státní maturity. V jednotlivých kapitolách a sekcích byly popsány maturitní zkoušky z let 2011, 2012, 2013 a 2014 a naznačen pravděpodobný vývoj pro maturitu 2015. K jednotlivým ročníkům státní maturitní zkoušky byly uvedeny novely, které zkoušky upravovaly. Oficiální vyjádření ministrů školství a ředitelů CERMATu k nalezeným problémům, jednotlivým výsledkům a případně i testům. Maturita 2013 byla podrobněji rozebrána ve srovnání s Rámcovým vzdělávacím programem pro základní vzdělávání pro ověření výroků, že maturitu zvládne absolvent základní školy. Bylo provedeno testování žáků a výsledky zaznamenány do tabulek. Celkem maturitní zkoušku napsali dva žáci na hodnocení 3, 5 žáků na hodnocení 4 z celkem 21 testovaných žáků. Jednotlivé úlohy byly popsány a naznačeny nejčastější chyby. Jako reprezentant klasické školní maturity na gymnáziu byla zvolena maturita na Gymnáziu Vyškov z roku 2010. U této zkoušky byly popsány jednotlivé otázky spolu s otázkami z teorie a typické příklady, které se u maturity mohly vyskytnout. V poslední části práce jsou shrnuty základní myšlenky z rozhovoru s docentem Eduardem Fuchsem, který se vyjadřoval ke státním maturitám, výsledkům z roku 2012 a jejich harmonizaci. Prohlásil, že státní maturita v žádném případě nemůže nahradit ústní zkoušku z matematiky, a navrhoval, že by v budoucnu mohla sloužit jako propustka, aby žák mohl skládat tzv. školní maturitu.

– 32 –

Příloha Obsahem přílohy je test z matematiky z maturitní zkoušky roku 2013.

– 33 –

Příloha

34

VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 1 Trojúhelník je rozdČlen na tĜi þásti. ýást pĜi vrcholu Czaujímá tĜetinu obsahu trojúhelníku, þást pĜi vrcholu B dvČ pČtiny obsahu trojúhelníku a zbývající þást pĜi vrcholu A má obsah 4 m2. C ͳ ͵

Ͷ m2 A

ʹ ͷ

B

(CERMAT)

1 bod 1

VypoþtČte v m2 obsah trojúhelníku ABC.

2

Zaokrouhlete na desítky výsledek þíselného výrazu:

1 bod തതതത െ ͲǡʹͲͷ തതതത൯ ൌ ͳͲହ ή ൫Ͳǡ ʹͷ

1 bod 3

Pro ‫ ܀ א ݔ‬provećte:

‫ݔʹͳ ݔ‬ ͷ‫ ݔ‬െ ͸ ൰ൌ െ൬ െ ͸ ͻ ͸

© Centrum pro zji•ƛování výsledkƽ vzdĢlávání (CERMAT), 2013

2

Příloha

35

max. 3 body 4

Pro ܽ ‫ ܀ א‬upravte výraz a uvećte podmínky. ͳ ܽൌ Ͷܽ ൅ ʹ

Ͷܽ െ

V záznamovém archu uvećte celý postup Ĝe!ení.

max. 2 body 5

V oboru ‫ ܀‬Ĝe!te:

‫ݔ‬൅ͳ ‫ݔ‬െͳ െ͵ ൏‫ݔ‬ ʹ ͸


1 bod 6

V oboru ‫ ܀‬Ĝe!te: ͵‫ݔ‬ሺ‫ ݔ‬൅ ͳሻ ൌ ͻ‫ ݔ‬ଶ


3

Příloha

36

1 bod 7

Je dána pĜímka: ‫݌‬ǣ ‫ ݔ‬ൌ ʹ‫ݐ‬ǡ ‫ ݕ‬ൌ Ͷ ൅ ͵‫ݐ‬Ǣ ‫܀ א ݐ‬

Zapi!te obecnou rovnici pĜímky ‫݌‬.

VÝCHOZÍ TEXT A GRAF K ÚLOZE 8 V trojúhelníku ‫ ܥܤܣ‬je dáno:

ሬሬሬሬሬԦ ൌ ܽԦ ൌ ሺʹǢ െ ͵ሻ ‫ܣ‬ሾെʹǢ െͳሿǡ ‫ܥ‬ሾെͳǢ ͵ሿǡ ‫ܤܥ‬ y

1 O

x

1

(CERMAT)

max. 2 body 8 8.1

Sestrojte trojúhelník ‫ܥܤܣ‬Ǥ

V záznamovém archu obtáhnČte trojúhelník propisovací tu!kou. 8.2

Urþete souĜadnice stĜedu ܵ strany ‫ܥܣ‬.


4

Příloha

37

VÝCHOZÍ TEXT A GRAF K ÚLOZE 9 V soutČ!i na dopravním hĜi"ti mohl ka!dý soutČ!ící získat celkem 0#4 trestné body. Výsledky soutČ!e udává následující graf. 8

poþet soutČ!ících

7 6 5 4 3 2 1 0 0

1

2

3

4

poþet pĜidČlených trestných bodĤ (CERMAT)

max. 2 body 9 9.1

Urþete medián poþtu trestných bodĤ pĜidČlených jednotlivým soutČ!ícím.

9.2

Urþete prĤmČrný poþet trestných bodĤ na osobu.


5

Příloha

38

1 bod 10

V aritmetické posloupnosti je první þlen ܽଵ ൌ ͳ a souþet prvních þtyĜiceti þlenĤ ‫ݏ‬ସ଴ ൌ ͳ͸ͲͲ.

VypoþtČte þtyĜicátý þlen ܽସ଴ této posloupnosti.

1 bod 11

ýtvrtým a •estým þlenem aritmetické posloupnosti jsou þísla VypoþtČte pátý þlen této posloupnosti.

ଵଵ ଷ

a

଻ ଷ

.

max. 2 body 12

V oboru ‫ ܀‬Ĝe!te: ͷ௫ାସ ൌ

ʹͷ ͷ௫


6

Příloha

39

VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 13 V prvních dvou dnech zku•ebního provozu pracovala linka na 25% výkon, ve dvou dal•ích dnech na 50% výkon a pátý den na plný výkon. Za pČt dnĤ zku•ebního provozu se tak vyrobilo celkem 720 výrobkĤ. (CERMAT)

max. 2 body 13

Kolik výrobkĤ se vyrobí za 5 dnĤ pĜi plném výkonu linky?

VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 14 !ákovský oddíl karate má dvakrát více chlapcĤ ne" dívek. Na závody se má sestavit jedno dru"stvo dívek a stejnČ poþetné dru"stvo chlapcĤ. Do chlapeckého dru"stva se nedostane 12 hochĤ, naopak k sestavení kompletního dívþího dru"stva 1 dČvþe chybí. (CERMAT)

max. 3 body 14

Kolik þlenĤ je v !ákovském oddílu karate?

V záznamovém archu uvećte celý postup Ĝe"ení.


7

Příloha

40

VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 15 V pravoúhlém trojúhelníku PQR je odvČsna PQ rozdČlena bodem X na dva úseky, z nich! del"í má délku 33 cm. Druhá odvČsna PR mČĜí 20 cm a délka pĜíþky RX je 25 cm. R

ʹͲ P (CERMAT)

ʹͷ x

X

p

͵͵

Q

max. 2 body 15

VypoþtČte délku p strany QR.



8

Příloha

41

VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 16 V trojúhelníku ‫ ܥܤܣ‬le!í proti stranám ܽǡ ܾǡ ܿ úhly ‫ן‬ǡ ߚǡ ߛ. 16

max. 2 body RozhodnČte o ka!dé následující trojici veliþin, zda popisuje pravoúhlý trojúhelník s pĜeponou ܿ (ANO), þi nikoli (NE). A

16.1 16.2 16.3 16.4

(CERMAT)

N

ܾ ൌ ͳǢ ܿ ൌ ʹǢ‫ן‬ൌ ͸Ͳι

ܽ ൌ ͳǢ ܾ ൌ ξ͵Ǣ‫ן‬ൌ ͸Ͳι

ܽ ൌ ʹǢ ܿ ൌ ͶǢ‫ן‬ൌ ͵Ͳι

ܽ ൌ ξʹǢ ܾ ൌ ξ͸Ǣ‫ן‬ൌ ͵Ͳι

VÝCHOZÍ OBRÁZEK K ÚLOZE 17

(CERMAT)

2 body 17

Kolik ze þtyĜ zobrazených trojúhelníkĤ má prĤseþík vý"ek (resp. prĤseþík pĜímek, na kterých vý"ky le!í, tedy ortocentrum) vnČ trojúhelníku? A) !ádný B) jeden C) dva D) tĜi E) þtyĜi


9

Příloha

42

VÝCHOZÍ OBRÁZEK K ÚLOZE 18

ʹɎ െ ʹߚ

ͳ ߚ൅ Ɏ ͵

(CERMAT)

2 body 18

Jaká je velikost úhlu ߚ? A)

B) C) D) E)

଻

vČt•í ne" Ɏ

ߚൌ

ߚൌ ߚൌ

଻ ଽ

ଶ ଷ ହ ଼

Ɏ

ଽ

Ɏ Ɏ

men•í ne"

ହ ଼

Ɏ 2 body

19

Pro ‫̳܀ א ݔ‬ሼ͵ሽ a ݊ ‫ ۼ א‬je dán vztah ݊ ൌ Které z následujících tvrzení platí? A) B) C) D) E)

‫ݔ‬ൌ

‫ݔ‬ൌ

‫ݔ‬ൌ ‫ݔ‬ൌ

‫ݔ‬ൌ

ହ

௫ିଷ

.

ହ௡ିଷ ௡

ହ

௡ାଷ

௡ିଷ ହ

௡ ହ

௡

ହ

൅͵

െ͵


10

Příloha

43

VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 20 Káć na ryby tvaru válce s podstavou o obsahu 14 000 cm2 má objem 600 litrĤ. Káć je naplnČna vodou pouze do tĜí þtvrtin. (CERMAT)

2 body 20

V jaké vý!ce ode dna (s pĜesností na cm) je vodní hladina? A) 13 cm B) 32 cm C) 44 cm D) 57 cm E) v jiné vý•ce


11

Příloha

44

VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 21 Plechovky tvaru válce mají polomČr r ൌ 3 cm a vý•ku v ൌ 13 cm. Plechovky jsou po tĜech zataveny ve slídovém obalu. Obal obepíná plechovky od horního k dolnímu okraji a nepĜekrývá podstavy plechovek. Rozvinutím rozstĜi!eného obalu vznikne obdélník. PĤdorys r v

Rozvinutý obal

v

(CERMAT)

2 body 21

Jaký je obsah obalu (s pĜesností na cm2)? A)

479 cm2

B)

514 cm2

C)

543 cm2

D)

598 cm2

E)

jiný obsah


12

Příloha

45

VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 22 PČtimístný kód obsahuje pČt rĤzných þíslic, na prvním místČ je þíslice 8 a na posledním místČ þíslice 5. (Zadání vyhovuje napĜ. kód 80415.) (CERMAT)

2 body 22

Kolik rĤzných kódĤ vyhovuje popisu? A)

ménČ ne! 336

B)

336

C)

512

D)

720

E)

více ne! 720

VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 23 Na semináĜi je 25 !ákĤ. Pouze 10 z nich je dobĜe pĜipraveno. Uþitel vylosuje 5 !ákĤ ke zkou"ení. (CERMAT)

2 body 23

Jaká je pravdČpodobnost, !e první vylosovaný !ák je dobĜe pĜipraven? A)

0,05

B)

0,2

C)

0,4

D)

0,5

E)

vČt"í ne! 0,5


13

Příloha

46

2 body 24

V geometrické posloupnosti ሺܽ௡ ሻஶ ௡ୀଵ platí: ܽଶ ൌ ʹ

ܽଶ ή ܽ ଷ ൌ ͸

Které z následujících tvrzení je nepravdivé?

A) ܽଵ ൌ

Ͷ ͵

B) ܽଵ ‫ ݍ‬ൌ ʹ

C) ܽଶ ‫ ݍ‬ൌ ͵

D) ܽଷ ൌ ͵

E)

௔య ௤

ൌ

ଷ ସ


14

Příloha

47

max. 4 body 25

PĜiĜaćte ke ka!dému grafu (25.125.4) odpovídající pĜedpis funkce (A"F).

25.1

y

25.1

݂ଵ

_____

25.2

݂ଶ

_____

25.3

݂ଷ

_____

25.4

݂ସ

_____

f1

1 O 1

25.2

x

y 1 O

x

1

f2

25.3 y

f3 1 O

25.4

x

1

y f4 1 O

1

x

A) ‫ ݕ‬ൌ ʹ

B) ‫ ݕ‬ൌ ‫ ݔ‬൅ ʹ

C) ‫ ݕ‬ൌ ‫ ݔ‬െ ʹ

D) ‫ ݕ‬ൌ െ‫ ݔ‬൅ ʹ E) ‫ ݕ‬ൌ ʹ‫ ݔ‬െ ͳ

F) ‫ ݕ‬ൌ ʹ‫ ݔ‬൅ ʹ


15

Příloha

48

max. 3 body 26

PĜiĜaćte ke ka!dému vyjádĜení (A"E).

26.1

ሺܽିଵ ή ܽଶ ሻଷ

26.2 26.3

výrazu

(26.126.3)

௔ିଵ

ekvivalentní

_____

ିଶ ௔ିସ

ቀ

jeho

ቁ

______

ξܽସ ή ܽଵଶ

_____

A) ܽଷ

B) ܽସ

C) ܽ଺

D) ଼ܽ

E) ܽି଺

ZKONTROLUJTE, ZDA JSTE DO ZÁZNAMOVÉHO ARCHU UVEDL/A V#ECHNY ODPOVċDI.


16

Seznam použité literatury [1] Historie maturitní zkoušky: 1. část, Maturitní zpravodaj [online]. Praha: CERMAT, říjen 2012, no. 13, s. 3 [cit. 2014-04-28]. Dostupné z: http://www.novamaturita. cz/index.php?id_document=1404036098&at=1 [2] Historie maturitní zkoušky: 2. část, Maturitní zpravodaj [online]. Praha: CERMAT, listopad 2012, no. 14, s. 4 [cit. 2014-04-28]. Dostupné z: http://www. novamaturita.cz/index.php?id_document=1404036135 [3] OTTOVÁ, Lenka. Maturita z matematiky do poloviny 20. století [online]. 2011 [cit. 2014-04-28]. Diplomová práce. Masarykova univerzita, Přírodovědecká fakulta. Vedoucí práce Pavel Šišma. Dostupné z: http://is.muni.cz/th/211664/prif_m/ [4] Generálka potvrdila předpoklady – bolestí maturantů může být matematika. Nová maturita: oficiálně [online]. Praha: CERMAT, listopad 2010 [cit. 2014-04-29]. Dostupné z: http://www.novamaturita.cz/generalka-potvrdila-predpoklady-u-bolestimaturantu-muze-byt-matematika-1404034700.html [5] FUCHS, E. Stanovisko SUMA JČMF k nové maturitě a k výsledkům maturitní generálky [online]. Společnost učitelů matematiky JČMF. 6.11. 2010 [cit. 2014-0429]. Dostupné z WWW: http://www.ucitseucit.cz/clanky/2-aktuality-ze-skolstvi/14sum-stanovisko-ke-statnim-maturitam. [6] Poslanecká sněmovna odmítla zrušit státní maturitu. Nová maturita: oficiálně [online]. Praha: CERMAT, únor 2011 [cit. 2014-04-29]. Dostupné z: http://www.novamaturita.cz/poslanecka-snemovna-odmitla-zrusit-statni-maturitu1404034780.html. [7] Novela vyhlášky o maturitní zkoušce, Maturitní zpravodaj [online]. Praha: CERMAT, duben 2011, no. 10, s. 8 [cit. 2014-04-29]. Dostupné z: http://www.novamaturita. cz/index.php?id_document=1404034924&at=1. [8] Ministr Dobeš: U státních maturit propadla pětina žáků, a to je dobře. Nová maturita: oficiálně [online]. Praha: CERMAT, červen 2011 [cit. 2014-04-29]. Dostupné z: http://www.novamaturita.cz/ministr-dobes-u-statnich-maturit-propadlapetina-zaku-a-to-je-dobre-1404035197.html. [9] Souhrnné výsledky maturitní zkoušky 2011. Nová maturita: oficiálně [online]. Praha: CERMAT, červen 2011 [cit. 2014-04-29]. Dostupné – 49 –

Seznam použité literatury

50

z: http://www.novamaturita.cz/souhrnne-vysledky-maturitni-zkousky-20111404035194.html. [10] Ministr Dobeš zveřejnil 10 nejlepších maturitních škol. Nová maturita: oficiálně [online]. Praha: CERMAT, červen 2011 [cit. 2014-0501]. Dostupné z: http://www.novamaturita.cz/ministr-dobes-zverejnil-10-nejlepsichmaturitnich-skol-1404035214.html. [11] Výsledky maturit nejsou nástrojem k sestavování žebříčků. Nová maturita: oficiálně [online]. Praha: CERMAT, říjen 2011 [cit. 2014-0501]. Dostupné z: http://www.novamaturita.cz/vysledky-maturit-nejsou-nastrojem-ksestavovani-zebricku-1404035483.html. [12] HABÁŇ, Petr. Maturitní testy prokázaly vysokou kvalitu. Nová maturita: oficiálně [online]. Praha: CERMAT, červen 2011 [cit. 2014-04-30]. Dostupné z: http://www.novamaturita.cz/maturitni-testy-prokazaly-vysokou-kvalitu1404035231.html. [13] Katalogy požadavků. Nová maturita: oficiálně [online]. Praha: CERMAT [cit. 2014-04-30]. Dostupné z: http://www.novamaturita.cz/katalogy-pozadavku1404033138.html. [14] Tisková konference CERMAT, základní údaje a statistiky k maturitě 2012. Nová maturita: oficiálně [online]. Praha: CERMAT, duben 2012 [cit. 2014-05-07]. Dostupné z: http://www.novamaturita.cz/tiskova-konference-cermat-zakladni-udaje-astatistiky-k-maturite-2012-1404035681.html. [15] Kritéria hodnocení společné části MZ 2012. Nová maturita: oficiálně [online]. Praha: CERMAT, březen 2012 [cit. 2014-04-30]. Dostupné z: http://www.novamaturita.cz/kriteria-hodnoceni-spolecne-casti-mz-20121404035588.html. [16] Vyvěšení ilustračních testů a zadání písemných prací 2012 a vyjádření CERMATu k náročnosti testu z matematiky. Nová maturita: oficiálně [online]. Praha: CERMAT, březen 2012 [cit. 2014-04-30]. Dostupné z: http://www.novamaturita.cz/vyveseniilustracnich-testu-a-zadani-pisemnych-praci-2012-a-vyjadreni-cermatu-knarocnosti-testu-z-matematiky-1404035674.html. [17] KUBAS, Patrik. Ministr představil výsledky státních maturit. Nová maturita: oficiálně [online]. Praha: CERMAT, červen 2012 [cit. 2014-04-30]. Dostupné z: http://www.novamaturita.cz/ministr-predstavil-vysledky-statnich-maturit1404035827.html. [18] Matematika, Maturitní zpravodaj [online]. Praha: CERMAT, únor 2013, no. 16, s. 4 [cit. 2014-05-07]. Dostupné z: http://www.novamaturita.cz/index.php?id_ document=1404036173&at=1. [19] Obtížnost a srovnatelnost zkoušek v roce 2013 a 2014. Nová maturita: oficiálně [online]. Praha: CERMAT, říjen 2012 [cit. 2014-05-07].


51

Dostupné z: http://www.novamaturita.cz/obtiznost-a-srovnatelnost-zkousek-v-roce2013-a-2014-1404036044.html. [20] Stručný obsah novely maturitní vyhlášky, Maturitní zpravodaj [online]. Praha: CERMAT, leden 2013, no. 15, s. 4 [cit. 2014-05-07]. Dostupné z: http://www. novamaturita.cz/index.php?id_document=1404036173&at=1. [21] Matematika, Maturitní zpravodaj [online]. Praha: CERMAT, únor 2014, no. 23, s. 4 [cit. 2014-05-07]. Dostupné z: http://www.novamaturita.cz/index.php?id_ document=1404036860&at=1. [22] Katalogy požadavků pro zkoušky společné části maturitní zkoušky konané v roce 2015. Ministerstvo školství, mládeže a tělovýchovy [online]. 2013 [cit. 201405-08]. Dostupné z: http://www.msmt.cz/vzdelavani/stredni-vzdelavani/ katalogy-pozadavku-pro-zkousky-spolecne-casti-maturitni [23] Kubát, Josef. Stanovisko Jednoty českých matematiků a fyziků k nové maturitní zkoušce a ke Katalogu požadavků zkoušek společné části maturitní zkoušky s platností od škol. roku 2014/2015. Jednota českých matematiků a fyziků [online]. Praha 2013 [cit. 2014-12-30]. Dostupné z: http://www.jcmf.cz/?q=cz/node/504 [24] KOBZA, Aleš. Maturita z matematiky na gymnáziu: témata a úlohy pro přípravu k profilové části maturitní zkoušky. 1. vyd. Brno: Masarykova univerzita, 2013. 183 s. ISBN 978-80-210-6240-5. [25] Odpovídají maturitní didaktické testy Katalogům požadavků? CERMAT se diskuzi nebrání. Nová maturita: oficiálně[online]. Praha: CERMAT, květen 2013 [cit. 201505-10]. Dostupné z: http://www.novamaturita.cz/odpovidaji-maturitni-didakticketesty-katalogum-pozadavkuu-cermat-se-diskuzi-nebrani-1404036344.html. [26] Webová aplikace zpřístupní výsledky maturit široké veřejnosti. Nová maturita: oficiálně[online]. Praha: CERMAT, srpen 2013 [cit. 2015-05-10]. Dostupné z: http://www.novamaturita.cz/webova-aplikace-zpristupni-vysledky-maturit-sirokeverejnosti-1404036430.html. [27] Maturitní zkouška 2013 – jarní termín: klíč správných řešení. Nová maturita: oficiálně [online]. Praha: CERMAT, 2013 [cit. 2014-05-10]. Dostupné z: http: //www.novamaturita.cz/index.php?id_document=1404036350&at=1. [28] Rámcový vzdělávací program pro základní vzdělávání [online]. Praha: Výzkumný ústav pedagogický v Praze, 2007. 126 s. [cit. 2013-11-15]. Dostupné z: http:// www.vuppraha.cz/wp-content/uploads/2009/12/RVPZV_2007-07.pdf [29] HERMAN, Jiří. Matematika: racionální čísla, procenta. 2. vyd. Praha: Prometheus, 2004, 166 s. ISBN 8071962384. [30] HERMAN, Jiří. Matematika: vyrazy (2). 1. vyd. Praha: Prometheus, 1997, 139 s. ISBN 8071960640.


52

[31] HERMAN, Jiří. Matematika: rovnice a nerovnice. 1. vyd. Praha: Prometheus, 1996, 121 s. ISBN 8071960144. [32] HERMAN, Jiří. Matematika: trojúhelníky a čtyřúhelníky. 1. vyd. Praha: Prometheus, 1995, 154 s. ISBN 8085849860. [33] KOBÍKOVÁ, Zuzana. „ROZHOVOR: Státní maturita by měla zajistit základní ’ úroveň středoškolského vzdělání,‘říká Eduard Fuchs“. Učit se učit [online], červenec 2012, [cit. 2013-11-15]. Dostupné z: http://www.ucitseucit.cz/clanky/2-aktuality-zeskolstvi/79-rozhovor-statni-maturita-by-mla-zajistit-zakladni-urove-stedokolskehovzdlani-ika-eduard-fuchs. ISSN: 1805-0573.

MASARYKOVA UNIVERZITA PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA ÚSTAV MATEMATIKY A STATISTIKY. Bakalářská práce BRNO 2014 JANA VRTÍLKOVÁ

Recommend Documents