MASARYKOVA UNIVERZITA ÚSTAV MATEMATIKY A STATISTIKY

MASARYKOVA UNIVERZITA PRˇI´RODOVEˇDECKA´ FAKULTA U´STAV MATEMATIKY A STATISTIKY

Diplomova´ praće

BRNO 2014

JANA ZUZA´KOVA´

MASARYKOVA UNIVERZITA PRˇI´RODOVEˇDECKA´ FAKULTA U´STAV MATEMATIKY A STATISTIKY

Mocniny a logaritmy ve sˇkolske´ matematice Diplomova´ praće

Jana Zuza´kova´

Vedoucı´ praće: doc. RNDr. Jaromı´r Sˇimsˇa, CSc.

Brno 2014

Bibliograficky´ za´znam Autor:

Bc. Jana Zuza´kova´ Prˇ´ırodoveˇdecka´ fakulta, Masarykova univerzita ´ stav matematiky a statistiky U

Na´zev praće:

Mocniny a logaritmy ve sˇkolske´ matematice

Studijnı´ program:

Fyzika

Studijnı´ obor:

Ucˇitelstvı´ matematiky pro strˇednı´ sˇkoly

Vedoucı´ praće:

doc. RNDr. Jaromı´r Sˇimsˇa, CSc.

Akademicky´ rok:

2013/2014

Pocˇet stran:

vii + 81

Klıćˇova´ slova:

Mocnina; Logaritmus; Mocninna´ funkce; Logaritmicka´ funkce; Exponencia´lnı´ funkce; Logaritmicka´ rovnice; Exponencia´lnı´ rovnice; Logaritmicka´ nerovnice; Exponencia´lnı´ nerovnice

Bibliographic Entry Author:

Bc. Jana Zuza´kova´ Faculty of Science, Masaryk University Department of Mathematics and Statistics

Title of Thesis:

Powers and logarithms in school mathematics

Degree Programme:

Physics

Field of Study:

Upper Secondary School Teacher Training in Mathematics

Supervisor:

doc. RNDr. Jaromı´r Sˇimsˇa, CSc.

Academic Year:

2013/2014

Number of Pages:

vii + 81

Keywords:

Power; Logarithm; Power function; Logarithmic function; Logarithmic equation; Exponetial equation; Logarithmic inequality; Exponential inequality

Abstrakt V te´to diplomove´ praći se veˇnujeme te´matu mocnin a logaritmu˚ ve sˇkolske´ matematice. Praće je rozdeˇlena do 3 kapitol, z nichzˇ prvnı´ popisuje historicky´ vy´voj pojmu˚ mocnina a logaritmus. Druha´ kapitola se zaby´va´ vy´kladem teˇchto pojmu˚ v soucˇasnyćh ucˇebnicıćh matematiky pro nizˇsˇ´ı i vysˇsˇ´ı rocˇnı´ky gymna´ziı´ a trˇetı´ kapitola je tvorˇena sbı´rkou rˇesˇenyćh exponencia´lnıćh a logaritmickyćh rovnic a nerovnic.

Abstract In this thesis we study powers and logarithms as a topic of school mathematics. This thesis is divided into 3 chapters, the first of which describes the historical development of concepts of power and logarithm. The second chapter deals with the interpretation of these terms in contemporary mathematics textbooks for lower and upper secondary schools, and the third is made of a collection of solved exponential and logarithmic equations and inequalities.

Podeˇkovańı´ Na tomto mı´steˇ bych chteˇla podeˇkovat docentu Sˇimsˇovi za vedenı´ me´ diplomove´ praće, za vsˇechny odborne´ rady a prˇedevsˇ´ım za cˇas, ktery´ mi veˇnoval beˇhem konzultacı´ a korekcı´ mnou psane´ho textu.

Prohla´sˇenı´ Prohlasˇuji, zˇe jsem svoji diplomovou praći vypracovala samostatneˇ s vyuzˇitı´m informacˇnıćh zdroju˚, ktere´ jsou v praći citovańy.

Brno 8. dubna 2014

.......................... Jana Zuza´kova´

Obsah ´ vod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . U

1

Kapitola 1. Historie a soucˇasnost logaritmu˚ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

Kapitola 2. Mocniny a logaritmy v soucˇ. ucˇebnicıćh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 2.1 Nizˇsˇ´ı trˇ´ıdy vıćeletyćh gymna´ziı´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 2.2 Vysˇsˇ´ı trˇ´ıdy vıćeletyćh gymna´ziı´ a strˇednıćh sˇkol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.2.1 Matematika pro gymna´zia: Za´kladnı´ poznatky z matematiky . . . . . . 11 2.2.2 Matematika pro gymna´zia: Funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 Kapitola 3. Sbı´rka rˇesˇenyćh u´loh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 Za´veˇr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

79

– vii –

´ vod U Diplomova´ praće Mocniny a logaritmy ve sˇkolske´ matematice se zaby´va´, jak jizˇ na´zev napovı´da´, problematikou vyúky mocnin a logaritmu˚ na za´kladnıćh a strˇednıćh sˇkolaćh. Text praće je rozdeˇlen do 3 kapitol: Historie a soucˇasnost logaritmu˚, Mocniny a logaritmy v soucˇasnyćh ucˇebnicıćh a Sbı´rka rˇesˇenyćh u´loh. Prvnı´ kapitola se veˇnuje historicke´mu vy´voji pojmu˚ mocnina a logaritmus. Je zde za´rovenˇ uvedeno neˇkolik praktickyćh aplikacı´ logaritmu˚ v ru˚znyćh veˇdnıćh oborech (fyzice, biologii, chemii, . . . ), nebot’ toto shleda´va´me beˇhem vy´kladu ve sˇkolaćh velice du˚lezˇity´m, tedy da´t studentu˚m a zˇa´ku˚m odpoveˇd’ na ota´zku: K cˇemu na´m vlastneˇ logaritmy slouzˇ´ı? Druha´ kapitola shrnuje teorii ty´kajıćı´ se mocnin a logaritmu˚ uvedenou v soucˇasnyćh ucˇebnicıćh matematiky. Kapitola je rozdeˇlena do dvou podkapitol, z nichzˇ prvnı´ popisuje vy´klad tohoto te´matu v ucˇebnicıćh matematiky pro nizˇsˇ´ı trˇ´ıdy vıćeletyćh gymna´ziı´, zatı´mco druha´ podkapitola se zaby´va´ ucˇebnicemi matematiky pro vysˇsˇ´ı rocˇnı´ky vıćeletyćh gymna´ziı´. Nejdu˚lezˇiteˇjsˇ´ı cˇa´stı´ cele´ praće je pak kapitola trˇetı´, ktera´ tvorˇ´ı steˇzˇejnı´ cˇa´st textu, nebot’ pra´veˇ cı´lem projektu bylo vytvorˇit sbı´rku u´loh na te´ma mocnin a logaritmu˚. Poslednı´ kapitolu tedy tvorˇ´ı na´mi rˇesˇene´ u´lohy, jejichzˇ zadańı´ jsme prˇevzali z publikace Semina´rˇ ze strˇedosˇkolske´ matematiky [8], ktera´ je vyuzˇ´ıvańa prˇi vyúce stejnojmenne´ho prˇedmeˇtu Masarykovy univerzity. Dalsˇ´ım zdrojem zadańı´ u´loh na´m pak byl studijnı´ materia´l k prˇedmeˇtu Didaktika matematiky [14], takte´zˇ vyucˇovane´mu na Masarykoveˇ univerziteˇ a v neposlednı´ rˇadeˇ jsme pouzˇili jako zdroj zadańı´ neˇkteryćh u´loh take´ diplomovou praći Mgr. Hany Bartosˇove´ s na´zvem Exponencia´lnı´ rovnice a nerovnice [1]. Cela´ kapitola je koncipovańa jako sbı´rka prˇ´ıkladu˚ zacˇ´ınajıćı´ prˇ´ıklady jednodusˇsˇ´ımi, prˇicˇemzˇ da´le se jejich na´rocˇnost stupnˇuje. Vy´jimku tvorˇ´ı za´veˇrecˇne´ u´lohy prˇevzate´ z vy´sˇe zmıńeˇne´ diplomove´ praće, ktere´ v nı´ byly uvedeny (bez rˇesˇenı´) jako prˇ´ıklady u´loh zada´vanyćh v minulosti prˇi prˇijı´macı´m rˇ´ızenı´ na ru˚zne´ vysoke´ sˇkoly v tehdejsˇ´ım Soveˇtske´m svazu.

1

Kapitola 1 Historie a soucˇasnost logaritmu˚ V prvnı´ kapitole nasˇ´ı diplomove´ praće se zameˇrˇ´ıme na vy´voj pojmu logaritmus a mocnina. S pojmem mocnina se setka´va´me jizˇ od dob staroveˇkyćh Rˇeku˚, naprˇ´ıklad v souvislosti s Pythagorovou veˇtou nebo vy´pocˇty obsahu˚ geometrickyćh obrazcu˚. Prvnı´m, kdo pouzˇil pro aa symbolu a2 ve sve´m dı´le La Geóme´trie roku 1637, byl pak francouzsky´ matematik, fyzik a filozof Rene´ Descartes (1596 – 1650) [4]. Jı´m uzˇ´ıvana´ symbolika se velmi rychle rozsˇ´ırˇila a prˇetrva´va´ dodnes. V dalsˇ´ım textu budeme veˇtsˇ´ı pozornost veˇnovat logaritmu˚m a jejich vy´voji, nebot’ten byl poneˇkud slozˇiteˇjsˇ´ı nezˇ v prˇ´ıpadeˇ pojmu˚ mocniny s celocˇ´ıselny´m exponentem cˇi odmocniny. Te´meˇrˇ nezna´mou zu˚sta´va´ skutecˇnost, zˇe mocniny s obecny´m exponentem vstoupily do matematiky azˇ pote´, co byl vy´voj pojmu logaritmus zavrsˇen. Zameˇrˇ´ıme se proto nynı´ na historii logaritmu˚, jejichzˇ zrod byl vy´sledkem praće neˇkolika generacı´ matematiku˚, a za´rovenˇ na to, v jakyćh odveˇtvıćh veˇdy se logaritmy vyuzˇ´ıvajı´ v soucˇasnosti. Prvnı´ zmıńky o konceptu logaritmu˚ se dle [12] objevujı´ jizˇ v Babylonu. Tam byly pozdeˇji nalezeny pa´lene´ tabulky obsahujıćı´ soubory po sobeˇ jdoucıćh mocnin celyćh cˇ´ısel a s nimi za´rovenˇ ota´zka: Na jak vysoke´ cˇ´ıslo musı´me dane´ cˇ´ıslo umocnit, abychom obdrzˇeli cˇ´ıslo chteˇne´?, prˇicˇemzˇ dnes bychom tuto ota´zku mohli prˇeformulovat do rˇecˇi logaritmu˚ takto: Kolik je logaritmus dane´ho cˇ´ısla o dane´m za´kladu?. Babylonˇane´ ovsˇem prˇistoupovali k logaritmu˚m pouze jako k na´stroji pro rˇesˇenı´ urcˇityćh typu˚ u´loh, proto mysˇlenku samotnyćh logaritmu˚ prˇ´ılisˇ nerozvı´jeli. Dalsˇ´ım, kdo se pak tematikou blı´zkou prozatı´m nezavedeny´m logaritmu˚m zaby´val, byl Archimedes (287 prˇ. n. l. – 212 prˇ. n. l.). Ten svou pozornost veˇnoval mocnina´m o za´kladu 100 milionu˚, u kteryćh se mu podarˇilo dojı´t k za´veˇru, zˇe na´sobek dvou mocnin o stejne´m za´kladu souvisı´ se soucˇtem dvou danyćh exponentu˚. Ke zrodu pojmu logaritmus vsˇak dosˇlo teprve v 16. stoletı´. Za´sadnı´m bylo tehdejsˇ´ı obdobı´, ve ktere´m se pokousˇel astronom Tycho Brahe (1546 – 1601) vyvra´tit teorii o pohybu planet Mikula´sˇe Kopernı´ka (1473 – 1543). Potrˇebne´ vy´pocˇty prova´deˇl Brahe tzv. metodou prosthaphaeresis, tedy pomocı´ goniometrickyćh identit. Soucˇin dvou cˇ´ısel touto metodou prˇeva´deˇl na soucˇet kosinu˚ (podobneˇ jako soucˇet logaritmu˚ prˇeva´dı´me na logaritmus soucˇinu a naopak), cˇ´ımzˇ si vy´pocˇet nesmı´rneˇ zjednodusˇil, nebot’jizˇ tehdy meˇl k dispozici trigonometricke´ tabulky s prˇesnostı´ na 10 mı´st. Zmıńeˇnou metodu na´m prˇiblı´zˇ´ı na´sledujıćı´ prˇ´ıklad:

2

Kapitola 1. Historie a soucˇasnost logaritmu˚

3

Zajı´ma´ na´s soucˇin cˇ´ısel 2250 a 1219. K vy´pocˇtu vyuzˇijeme vztahu: (cos A ) (cos B) =

cos (A + B) + cos (A − B) , 2

do neˇjzˇ dosadı´me tyto hodnoty cos A = 0,2250, cos B = 0,1219. Odtud A ≈ 77◦ , B ≈ 83◦ : (0,2250) · (0,1219) =

=

cos (77◦ + 83◦ ) + cos (77◦ − 83◦ ) = 2

cos (160◦ ) + cos (−6◦ ) −0,9397 + 0,9945 0,0548 = = = 0,0274 2 2 2

Vra´tı´me-li nynı´ desetinnou cˇa´rku na sve´ pu˚vodnı´ mı´sto, zı´ska´me prˇiblizˇny´ vy´sledek soucˇinu: 2250 · 1219 ≈ 2 740 000. Posunˇme se ovsˇem v nasˇem vy´kladu historie logaritmu˚ o pa´r let da´le, konkre´tneˇ do roku 1590. Tehdy se konala svatba Jamese VI ze Skotska a princezny Anny, dcery dańske´ho kra´le Fridricha. Kdyzˇ se tohoto roku plavili svatebcˇane´ do Dańska, zastihla je na morˇi bourˇe, jezˇ donutila celou vy´pravu prˇista´t u brˇehu˚ ostrova Mven, kde meˇl svou observatorˇ pra´veˇ Tycho Brahe. Beˇhem pobytu se zde Dr. John Craig (le´karˇ Jamese VI) sezna´mil s vy´sˇe uvedenou metodou prosthaphaeresis, kterou na´sledneˇ podrobneˇ popsal sve´mu prˇ´ıteli Johnu Napierovi (1560 – 1617), skotske´mu sˇlechtici, jenzˇ byl vzdeˇlańı´m pra´vnı´k a teolog. Ten vesˇel do deˇjin matematiky jako objevitel logaritmu˚, pro ktere´ vymyslel i jejich samotny´ na´zev. Jeho prˇedstava logaritmu˚ se od te´ soucˇasne´ prˇece jen jesˇteˇ lisˇila. Napier vycha´zel ze souvislosti geometrickyćh a aritmetickyćh posloupnostı´. Ukazˇme si tedy nynı´, jak podle Napiera souvisı´ tyto posloupnosti s pojmem logaritmus. ∞ Uvazˇujme naprˇ. geometrickou posloupnost (3n )∞ n=1 a aritmetickou posloupnost (2n)n=1 :

2 ←→ 3 4 ←→ 9 6 ←→ 27 8 ←→ 81 10 ←→ 243 .. . Nazveme-li nynı´ kazˇdy´ cˇlen aritmeticke´ posloupnosti logaritmem cˇlenu geometricke´


4

posloupnosti, pak: 2 ←→ log 3 4 ←→ log 9 6 ←→ log 27 8 ←→ log 81 10 ←→ log 243 .. . Pocˇty s teˇmito hodnotami jsou pak velice snadne´, chceme-li naprˇ´ıklad najı´t soucˇin cˇ´ısel 9 a 27, vyuzˇijeme prˇi tom logaritmu˚ na´sledujıćı´m zpu˚sobem: log (9 · 27) = log (9) + log (27) = 4 + 6 = 10 = log (243) , tedy 9 · 27 = 243. Vsˇimneˇme si take´, zˇe v te´to definici logaritmu prozatı √´m vu˚bec nefiguruje pojem za´klad logaritmu, ktery´ je v uvedene´m prˇ´ıpadeˇ roven cˇ´ıslu 3. Za´rovenˇ tento postup ukazuje, zˇe logaritmy prˇekvapiveˇ nebyly objeveny jako inverze mocninnyćh operacı´, jak jsou definovańy v dnesˇnıćh ucˇebnicıćh, viz [11]. Takove´ prˇirˇazenı´ logaritmu˚ a geometricke´ a aritmeticke´ posloupnosti je samozrˇejmeˇ mozˇne´ ∞ i pro geometrickou posloupnost (10n )∞ ˇ n=0 a aritmetickou posloupnost (n)n=0 , prˇicˇemz budeme na´sledneˇ pracovat s logaritmy o za´kladu 10. Nevy´hodou tohoto syste´mu logaritmu˚ jsou velike´ rozestupy mezi jednotlivy´mi cˇleny geometricke´ posloupnosti. Tento proble´m vyrˇesˇil pra´veˇ Napier, jehozˇ postup popı´sˇeme na´sledovneˇ. 7 Prˇedpokla´dejme, zˇe body b a c jsou od sebe vzda´leny 10 kde pozici b odpovı´da´ jednotek, 1 cˇas t = 0. Nechme bod b posunout na pozici, ktera´ je 1 − 107 = 0,9999999 vzda´lenosti b a c, prˇicˇemzˇ se toto stane za jednotku cˇasu. Nynı´ je vzda´lenost b a c 9 999 999. V druhe´ . jednotce cˇasu bude jejich vzda´lenost po stejne´m pohybu 107 · 0,99999992 = 9 999 998,1. Budeme-li takto pokracˇovat, zı´ska´me geometrickou posloupnost de´lek s prvnı´m cˇlenem 107 a kvocientem 0,9999999, jednotky cˇasu pak tvorˇ´ı cˇleny aritmeticke´ posloupnosti s diferencı´ 1 a prvnı´m cˇlenem 0. Da´me-li do souvislosti vzda´lenost bc s jednotkami cˇasu, zı´ska´me za´vislost, na nizˇ prˇisˇel Napier a ktera´ je zna´zorneˇna na na´sledujıćı´m obra´zku uvedene´m takte´zˇ v cˇlańku [12]:


5

Vzda´lenost od 0 do t je pak ekvivalentnı´ logaritmu vzda´lenosti bc. Dodejme, zˇe Napierovo pojetı´ chybneˇ vyuzˇ´ıva´ prˇedpokladu, zˇe log(x) = log(−x), cozˇ ovsˇem pozdeˇji vyvra´til Leonhard Euler. Zverˇejneˇnı´ zde uvedene´ Napierovy konstrukce se setkalo s okamzˇity´m prˇijetı´m. Jednı´m z nejveˇtsˇ´ıch obdivovatelu˚ byl profesor londyńske´ univerzity Henry Briggs (1561 – 1630), ktery´ spolecˇneˇ s Napierem jesˇteˇ v roce 1615 modifikoval logaritmy na vy´hodneˇjsˇ´ı za´klad 10 tak, aby platilo log 1 = 0 a log 10 = 1. Po Napieroveˇ smrti pak Briggs v te´to praći pokracˇoval a 1624 publikoval v knize Arithmetica Logarithmica uzˇitou terminologii a vlastnosti dekadickyćh logaritmu˚ spolu s na´vody k jejich prakticke´mu vyuzˇitı´. Logaritmy se velmi za´hy zacˇaly vyuzˇ´ıvat a zaby´vali se jimi samozrˇejmeˇ i mnozı´ dalsˇ´ı. Du˚lezˇitou roli ve vy´voji logaritmu˚ zasta´valy logaritmicke´ tabulky, jejichzˇ postupny´m uprˇesnˇovańı´m se zaby´vali mnozı´, zminˇme zde naprˇ´ıklad Joosta Bu¨rgiho (1552 – 1632), sˇvyćarske´ho hodina´rˇe na dvorˇe Rudolfa II v Praze. Bu¨rgi chteˇl sobeˇ i svy´m kolegu˚m usnadnit pocˇ´ıtańı´, proto sestavil pocˇetnı´ tabulky, ktere´ vydal roku 1620 v knize Arithmetische und geometrische Progress-Tabulen. Pro prˇehlednost v nı´ cˇleny aritmeticke´ posloupnosti zapisoval cˇerveneˇ a cˇleny geometricke´ posloupnosti modrˇe [4]. Rozsˇirˇovańı´ logaritmickyćh tabulek bylo pro vy´voj logaritmu˚ nezbytne´, ovsˇem v soucˇasne´ dobeˇ pocˇ´ıtacˇu˚ a kalkulacˇek ztratily prˇiblizˇne´ vy´pocˇty pomocı´ logaritmu˚ a jejich tabulek smysl. Vrat’me se ovsˇem zpeˇt do historie pojmu logaritmus. Po Napierovi a Briggsovi se naprˇ. holandsky´ kartograf Gerhard Mercator (1512 – 1594) jako jeden z prvnıćh veˇnoval rovneˇzˇ logaritmu˚m prˇirozeny´m, tedy logaritmu˚m o za´kladu e. Dalsˇ´ımi, kterˇ´ı pak usnadnili pocˇ´ıtańı´ pomocı´ logaritmu˚, byli anglicˇtı´ matematikove´ William Oughtred (1574 – 1660) a Edmund Guntr (1581 – 1626), viz [15]. Ti sestrojili v roce 1622 logaritmicke´ pravı´tko - matematickou pomu˚cku pro na´sobenı´ a deˇlenı´ cˇ´ısel, ktera´ se (nejen) ve sˇkolaćh pouzˇ´ıvala azˇ do na´stupu pocˇ´ıtacˇu˚ a kalkulacˇek.

Obr. 1.1. Logaritmicke´ pravı´tko [10]

Poslednı´m, ktere´ho zde uvedeme, je jizˇ jednou zmıńeˇny´, nejveˇtsˇ´ı matematik vsˇech dob, Sˇvyćar Leonhard Euler (1707 – 1783), jenzˇ se mj. zaslouzˇil o modernı´ definici logaritmu uva´deˇnou v soucˇasnyćh strˇedosˇkolskyćh ucˇebnicıćh matematiky (v te´to praći v 2.2.2).

Tolik tedy strucˇneˇ k historii pojmu logaritmus. Zameˇrˇme se nynı´ na konkre´tnı´ vyuzˇitı´ logaritmu˚ v soucˇasnosti, nebot’to je pra´veˇ to, co veˇtsˇinou tra´pı´ studenty prˇi vyúce logaritmu˚. Cˇasto postra´dajı´ prˇi samotne´m vy´kladu smysl logaritmu˚ (nebot’ je dnes k numericky´m


6

vy´pocˇtu˚m uzˇ prakticky nepotrˇebujeme) a netusˇ´ı, kde by se s nimi mohli setkat jinde, nezˇ v ucˇebnici matematiky. Proto zde nabı´dneme neˇkolik uka´zek z veˇdnıćh oboru˚, ktere´ pra´veˇ logaritmu˚ vyuzˇ´ıvajı´, a to prˇedevsˇ´ım jako apara´tu, pomocı´ neˇhozˇ je mozˇne´ pracovat s daty ve vhodne´ sˇka´le rozpeˇtı´. Fyzika je veˇdnı´m oborem, ktery´ je matematice nesmı´rneˇ blı´zky´m, proto i zde nacha´zı´me samozrˇejmeˇ logaritmy, a to naprˇ´ıklad prˇi studiu zvuku [6]: Lidske´ ucho slysˇ´ı zvuky v ohromne´m rozpeˇtı´ intenzit, proto je pro fyziky vy´hodneˇjsˇ´ı uvazˇovat namı´sto intenzity zvuku I jejı´ hladinu β . Ta je definovańa na´sledovneˇ: β = (10 dB) log

I , I0

kde dB znacˇ´ı decibel, jenzˇ je jednotkou hladiny intenzity zvuku, I0 je referencˇnı´ intenzitou (nejnizˇsˇ´ı lidsky´m uchem slysˇitelna´ u´rovenˇ zvuku rovna 10−12 W m−2 ). Pro I = I0 platı´ β = 10 log 1 = 0, referencˇnı´ hladina tedy odpovı´da´ nulove´ hodnoteˇ β v decibelech. Hodnota β se dı´ky te´to definici zvysˇuje o 10 dB pokazˇde´, vzroste-li intenzita zvuku o 1 rˇa´d. Pro prˇedstavu zde jesˇteˇ uvedeme tabulku neˇkteryćh hladin intenzity zvuku takte´zˇ uvedenou v [6]: Neˇktere´ hladiny intenzity zvuku v dB Pra´h slysˇitelnosti Sˇevelenı´ listu˚ Beˇzˇny´ hovor

0

Rockovy´ koncert

110

10

Pra´h bolesti

120

60

Proudovy´ motor

130

Chemie vyuzˇ´ıva´ logaritmu˚ dobrˇe zna´my´m zpu˚sobem prˇi stanovovańı´ kyselosti, cˇi za´saditosti roztoku, tedy meˇrˇenı´ jejı´ho pH faktoru. Jedna´ se o jednu z nejpodstatneˇjsˇ´ıch informacı´, jakou mu˚zˇeme o roztoku podat a pra´veˇ logaritmus hraje prˇi jejı´m stanovenı´ za´sadnı´ roli. Citujme ucˇebnici [2]: Hodnota pH, neboli vodı´kove´ho exponentu, je definovańa jako za´porny´ logaritmus la´tkove´ koncentrace oxionovyćh kationtu˚: pH = − log H3 O+ . Dle zı´skane´ hodnoty pH deˇlı´me pak roztoky na kysele´ (pH < 7), neutra´lnı´ (pH = 7) a za´sadite´ (pH > 7).


7

Psychologie se zaby´va´ mimo jine´ i te´matikou pocˇitku˚ a vjemu˚, ktere´ popisuje tzv. Fechneru˚v za´kon [9], ktery´ pro strucˇnost zapı´sˇeme „slovnı´m“ vzorcem: intenzita pocˇitku = konstanta · logaritmus intenzity podneˇtu. Jiny´mi slovy mu˚zˇeme rˇ´ıci, zˇe intenzita pocˇitku je prˇ´ımo u´meˇrna´ logaritmu intentnzity podneˇtu. Toto tvrzenı´ v sobeˇ samozrˇejmeˇ zahrnuje pro sluchovy´ pocˇitek jizˇ zmıńeˇnou definici intenzity hladiny zvuku, jedna´ se tedy o obecneˇjsˇ´ı tvrzenı´, nezˇ jake´ nacha´zı´me ve fyzice. Autorem vy´sˇe uvedene´ho za´kona z roku 1860 byl neˇmecky´ veˇdec Gustav Theodor Fechner (1801 – 1887). Biologie vyuzˇ´ıva´ logaritmu˚ naprˇ´ıklad prˇi popisu tzv. alometrie, tedy nerovnomeˇrnosti ru˚stu a vy´vinu, prˇesneˇji zmeˇn v proporcıćh organizmu˚ vyvolanyćh zmeˇnami v absolutnı´ velikosti cele´ho organizmu nebo jeho jednotlivyćh cˇa´stı´, viz [13]. Mala´ zmeˇna x v celkove´ velikosti teˇla organizmu mu˚zˇe ve´st k velke´mu a neu´meˇrne´mu zveˇtsˇenı´ y rozmeˇru˚ prˇ´ıdavku˚ – naprˇ´ıklad u hmyzu se mu˚zˇe jednat o nohy, tykadla, apod. Vztah mezi teˇmito velicˇinami je na´sledujıćı´: y = αxβ

log y = β log x + log α,

, neboli

kde α, β jsou konstanty.

Ekologie je veˇdnı´m oborem, ve ktere´m by laik matematiku prˇ´ılisˇ nehledal, avsˇak opak je pravdou. Jednou z oblastı´ zkoumańı´ ekologie je take´ druhova´ ru˚znorodost, neboli diverzita. Index diverzity popisujıćı´ jistou vymeˇrˇenou oblast prˇ´ırody je mozˇne´ dle [5] vyja´drˇit neˇkolika ru˚zny´mi zpu˚soby, prˇicˇemzˇ jednı´m z nich je vyja´drˇenı´ pra´veˇ pomocı´ logaritmu. Jedna´ se konkre´tneˇ o tzv. Shannonu˚v – Weaveru˚v index druhove´ diverzity H, pro neˇjzˇ platı´ na´sledujıćı´: n

H = − ∑ pi log2 pi , i=1

kde pi je definovańo pro kazˇdy´ i-ty´ druh takto: p=

n , N

prˇicˇemzˇ n je pocˇet za´stupcu˚ i-te´ho druhu, N pak celkovy´ pocˇet jedincu˚ ve zkoumane´ oblasti. Tento index diverzity je specia´lnı´ svou variabilitou, nebot’je mozˇne´ ve vztahu uzˇ´ıt logaritmus o libovolne´m za´kladu. Zı´skana´ data tak mohou naby´vat mnoha ru˚znyćh hodnot, proto je nezbytne´ vzˇdy uva´deˇt, jaky´ za´klad logaritmu˚ jsme pouzˇili (v nasˇem vzorci jsme volili nejcˇasteˇji uzˇ´ıvany´ za´klad – cˇ´ıslo 2). Samozrˇejmeˇ bychom mohli zmıńit i dalsˇ´ı aplikace logaritmu˚ v ru˚znyćh veˇdnıćh oborech. To ovsˇem nebylo cı´lem nasˇ´ı praće, a proto vyćˇet uka´zek na tomto mı´steˇ ukoncˇ´ıme. Jak jsme v te´to kapitole nastıńili, vy´voj logaritmu˚ nebyl nikterak jednoduchy´ a jejich vyuzˇitı´ bylo v minulosti a zu˚sta´va´ i dodnes bohate´ a ru˚znorode´.

Kapitola 2 Mocniny a logaritmy v soucˇasnyćh ucˇebnicıćh Mocniny a logaritmy jsou veˇcˇny´m strasˇa´kem sˇkola´ku˚. Vy´klad teˇchto te´mat v ucˇebnicıćh je tedy podstatny´ pro jejich spra´vne´ pochopenı´ a odstraneˇnı´ te´to nepeˇkne´ na´lepky. Proto se zameˇrˇ´ıme na zpracovańı´ mocnin a logaritmu˚ v ru˚znyćh ucˇebnicıćh matematiky, konkre´tneˇ rozebereme trˇi soucˇasne´ ucˇebnice, z nichzˇ jedna je urcˇena studentu˚m na nizˇsˇ´ım gymna´ziu a zbyle´ dveˇ pak strˇedosˇkola´ku˚m. Jedna´ se o na´sledujıćı´ publikace nakladatelstvı´ Prometheus: [7] Matematika pro nizˇsˇ´ı trˇ´ıdy vıćeletyćh gymna´ziı´: Vy´razy [1] [3] Matematika pro gymna´zia: Za´kladnı´ poznatky z matematiky [11] Matematika pro gymna´zia: Funkce. Podı´vejme se nynı´, jak je problematika mocnin a logaritmu˚ vylozˇena v teˇchto ucˇebnicıćh konkre´tneˇ.

2.1

Nizˇsˇ´ı trˇ´ıdy vıćeletyćh gymna´ziı´

Ze vsˇeho nejdrˇ´ıve se veˇnujme ucˇebnici [7], kterou vyuzˇ´ıvajı´ prˇi vyúce matematiky zˇaći vıćeletyćh gymna´ziı´ v sekundeˇ. Ucˇivo tedy odpovı´da´ 7. trˇ´ıdeˇ za´kladnı´ sˇkoly. Problematika mocnin je jednı´m ze steˇzˇejnıćh te´mat tohoto rocˇnı´ku, je mu proto take´ veˇnovańa podstatna´ cˇa´st jizˇ zminˇovane´ ucˇebnice — kromeˇ zavedenı´ a vy´kladu pojmu˚ druha´ mocnina, trˇetı´ mocnina a vysˇsˇ´ı mocnina se tu take´ objevujı´ aplikace mocnin v geometrii a prˇi praći s vy´razy. V nasˇem textu podrobneˇ popı´sˇeme jen prvnı´ dveˇ kapitoly te´to ucˇebnice. Cela´ kapitola 1 (11 stran textu) je veˇnovańa druhe´ mocnineˇ, ktera´ je tu nejprve popisovańa geometricky pomocı´ cˇtvercu˚ ru˚znyćh velikostı´ a na´sledneˇ take´ aritmeticky jako soucˇin dvou stejnyćh cˇinitelu˚: a · a = a2 . Samotny´ vy´pocˇet druhe´ mocniny mu˚zˇe znamenat jiste´ proble´my v prˇ´ıpadeˇ, kdy budeme umocnˇovat naprˇ´ıklad cˇ´ıslo veˇtsˇ´ı nezˇ 10. Proto autorˇi zdu˚raznˇujı´, zˇe pro jednodusˇsˇ´ı pocˇ´ıtańı´ 8

Kapitola 2. Mocniny a logaritmy v soucˇ. ucˇebnicıćh

9

s mocninami je vhodne´ pamatovat si druhe´ mocniny cˇ´ısel 11, 12, 13, 14 a 15. Da´le je v publikaci vysveˇtlovańo umocnˇovańı´ desetinnyćh cˇ´ısel a na´sobku˚ deseti. Jedna´ se o cˇasto nepochopenou cˇa´st problematiky, avsˇak v te´to kapitolce je postup vy´pocˇtu umocneˇn na´zorny´m obra´zkem, kdy jsou rukou zakryty „prˇebytecˇne´“ nuly, cˇ´ıslo je umocneˇno a pote´ opatrˇeno spra´vny´m pocˇtem nul. Samozrˇejmeˇ zde pak take´ nalezneme du˚sledne´ matematicke´ odu˚vodneˇnı´ tohoto postupu, ktere´ vede k obecneˇjsˇ´ımu vztahu pro druhou mocninu soucˇinu: (a · b)2 = a2 · b2 . Tento vztah je doplneˇn, stejneˇ jako ostatnı´ pojmy a vztahy v ucˇebnici, kra´tky´m pocˇetnı´m cvicˇenı´m. Vza´peˇtı´ pak na´sleduje na´vod, jak pocˇ´ıtat druhou mocninu na kalkulacˇkaćh a vyhleda´vat ji v Tabulkaćh pro ZSˇ. Zˇaći jsou jizˇ tedy schopni spocˇ´ıtat nebo vyhledat druhou mocninu „malyćh“ i „velkyćh“ cˇ´ısel, at’ uzˇ celyćh nebo desetinnyćh, vyvsta´va´ vsˇak ota´zka: Jak umocnˇovat zlomky?. Ze vsˇeho nejdrˇ´ıve se tedy autorˇi veˇnujı´ kladny´m zlomku˚m, jejichzˇ druhou mocninu mu˚zˇeme prˇeve´st opeˇt na vyna´sobenı´ dvou stejnyćh zlomku˚, nebo vyuzˇ´ıt dalsˇ´ıho zjednodusˇujıćı´ho vztahu: !2 a2 a = 2. b b Poslednı´ cˇa´st te´to podkapitoly je pak veˇnovańa vlastnostem druhe´ mocniny. Nejprve se text zaby´va´ porovna´vańı´m velikostı´ druhyćh mocnin ru˚zneˇ velikyćh kladnyćh cˇ´ısel: Pokud pro dveˇ kladna´ cˇ´ısla a, b platı´ a > b, pak take´ platı´ a2 > b2 . Da´le jsou pak uvedeny nerovnosti pro velikost druhe´ mocniny cˇ´ısla, ktere´ je mensˇ´ı nezˇ 1, veˇtsˇ´ı nezˇ 1 nebo rovno jedne´: • Pro kladne´ cˇ´ıslo a mensˇ´ı nezˇ 1 platı´ a2 < a. • Pro cˇ´ıslo a veˇtsˇ´ı nezˇ 1 platı´ a2 > a. • Cˇ´ıslo 1 je jedine´ kladne´ cˇ´ıslo, ktere´ se rovna´ sve´ druhe´ mocnineˇ. V dalsˇ´ım textu se pak autorˇi veˇnujı´ vy´pocˇtu druhe´ mocniny za´pornyćh cˇ´ısel. Z poznatku, zˇe druha´ mocnina je soucˇinem cˇ´ısla se sebou samy´m, docha´zejı´ k za´veˇru, zˇe soucˇin dvou za´pornyćh cˇ´ısel je vzˇdy kladny´. Konkre´tneˇ doporucˇujı´ prˇi vy´pocˇtu zakry´t znameńka a vypocˇ´ıtat soucˇin cˇ´ısel opacˇnyćh, tedy kladnyćh. V neposlednı´ rˇadeˇ nesmı´ take´ chybeˇt odpoveˇd’ na ota´zku: Je druha´ mocnina vzˇdy kladna´?. Jedna´ se zajiste´ o problematickou ota´zku, samotna´ „kladnost“ druhe´ mocniny je cˇasto mylneˇ pokla´dańa za zcela spra´vnou. Uprˇesneˇna´ odpoveˇd’ na polozˇenou ota´zku je pro autory ucˇebnice take´ motivacı´ k zavedenı´ pojmu neza´porne´ho cˇ´ısla. Proto ocenˇme odstavec, ktery´ se tomuto proble´mu v ucˇebnici veˇnuje. Je podstatne´ zdu˚raznit prˇ´ıpad, kdy je druha´ mocnina rovna nule, a pra´veˇ proto je spra´vne´ tvrzenı´ na´sledujıćı´:


10

Pro kazˇde´ a 6= 0 platı´ a2 > 0. Rovnost a2 = 0 platı´ jen pro a = 0. Po takto du˚kladne´m sezna´menı´ s druhy´mi mocninami prˇecha´zı´ autorˇi ke slozˇiteˇjsˇ´ımu te´matu, ktery´m je druha´ odmocnina (kapitola 2, 24 stran textu). Podobneˇ jako v prˇ´ıpadeˇ druhe´ mocniny je tu nejprve vyuzˇito prˇedstavy cˇtverce, prˇicˇemzˇ zna´me tentokra´t jeho obsah a zajı´ma´ na´s, jakou velikost ma´ jeho strana. Definice druhe´ odmocniny uvedena´ na str. 21 znı´ takto: Druhou odmocninou z√kladne´ho cˇ´ısla a nazveme to kladne´ cˇ´ıslo b, pro ktere´ platı´ b2 = a. Pak pı´sˇeme b = a. Vza´peˇtı´ na´sleduje zamysˇlenı´ se nad tı´m, zda je mozˇne´ odmocnit nulu nebo za´porne´ cˇ´ıslo. V prˇ´ıpadeˇ 0 se samozrˇejmeˇ dospeˇje ke vztahu: √ 0=0 a pomocı´ u´vah o za´pornyćh cˇ´ıslech se na´sledneˇ dospeˇje k tvrzenı´: Druha´ odmocnina ze za´porne´ho cˇ´ısla NEMA´ SMYSL. V souvislosti s druhou odmocninou autorˇi ucˇebnice zava´deˇjı´ pojem iraciona´lnı´ cˇ´ıslo, prˇicˇemzˇ jeho popis je motivovań snahou, aby zˇaći bezpecˇneˇ pochopili, o jaka´ cˇ´ısla se vlastneˇ jedna´. Proto je tomuto pojmu v ucˇebnici [7] veˇnovańo neˇkolik strańek, na nichzˇ autorˇi popisujı´ iraciona´lnı´ cˇ´ısla za podpory ilustracı´. Vy´sledkem je pak samotna´ definice iraciona´lnıćh cˇ´ısel uvedena´ na str. 29: Na cˇ´ıselne´ ose existujı´ body, ktere´ nejsou obrazy zˇa´dne´ho raciona´lnı´ho (tj. desetinne´ho nebo periodicke´ho) cˇ´ısla. Tyto body jsou obrazy iraciona´lnıćh cˇ´ısel. Kazˇde´ iraciona´lnı´ cˇ´ıslo je urcˇeno neperiodicky´m neukoncˇeny´m za´pisem v desı´tkove´ soustaveˇ. Naopak kazˇdy´ takovy´ za´pis urcˇuje iraciona´lnı´ cˇ´ıslo. Nato prˇicha´zı´ vyćˇet jednotlivyćh vlastnostı´ iraciona´lnıćh cˇ´ısel – komutativnost a asociativnost scˇ´ıtańı´, komutativnost, asociativnost a distributivnost na´sobenı´ vzhledem ke scˇ´ıtańı´, spolecˇneˇ s teˇmito tvrzenı´mi: Kazˇdy´ bod cˇ´ıselne´ osy je obrazem jedine´ho rea´lne´ho cˇ´ısla. Kazˇde´ rea´lne´ cˇ´ıslo se na cˇ´ıselne´ ose zobrazı´ do jedine´ho bodu.

Kazˇde´ kladne´ rea´lne´ cˇ´ıslo a ma´ jedinou druhou odmocninu. Je to takove´ kladne´ rea´lne´ cˇ´ıslo b, pro ktere´ platı´ b2 = a. Na prˇ´ıkladech destinnyćh cˇ´ısel a mocnin deseti je odvozen vztah pro odmocninu ze soucˇinu dvou neza´pornyćh cˇ´ısel a, b: √ √ √ a · b = a · b.


11

Stejneˇ jako v prˇedchozı´ kapitole i zde se autorˇi veˇnujı´ vysveˇtlenı´, jak hledat druhe´ odmocniny ru˚znyćh cˇ´ısel v tabulkaćh nebo je vypocˇ´ıtat na kalkulacˇkaćh.

Pote´ prˇecha´zejı´ k odmocnˇovańı´ zlomku˚, ktere´ vede k ota´zce, zda je odmocnina podı´lu rovna podı´lu odmocnin. Na neˇkolika jednoduchyćh prˇ´ıkladech je pravidlo potvrzene´: r √ a a =√ . b b Poslednı´ cˇa´st kapitoly 2 je pak veˇnovańa vztahu˚m mezi druhy´mi odmocninami ru˚zneˇ velkyćh cˇ´ısel a porovnańı´ druhyćh odmocnin cˇ´ısel s cˇ´ısly samotny´mi v za´vislosti na jejich velikosti (str. 39): Je-li kladne´ cˇ´ıslo a veˇtsˇ´ı nezˇ kladne´ cˇ´ıslo b, pak i cˇ´ıslo

√ √ a je veˇtsˇ´ı nezˇ cˇ´ıslo b.

√ Pro kladne´ cˇ´ıslo a mensˇ´ı nezˇ√1 platı´ a > a. Pro cˇ´ıslo a veˇtsˇ´ı nezˇ 1 platı´ a < a. Cˇ´ıslo 1 je jedine´ kladne´ cˇ´ıslo, ktere´ se rovna´ sve´ druhe´ odmocnineˇ. Nejen prvnı´ dveˇ popsane´, ale i dalsˇ´ı kapitoly ucˇebnice [7] jsou velmi pecˇliveˇ konstruovańy. Postup vy´kladu je v jednotlivyćh kapitolaćh podobny´, v neˇkteryćh prˇ´ıpadech dokonce stejny´. Dalsˇ´ı kapitoly nazvane´ Trˇetı´ mocnina, Trˇetı´ odmocnina, Vysˇsˇ´ı mocniny a Vysˇsˇ´ı odmociny tak majı´ vpodstateˇ stejnou strukturu jako kapitoly 1 a 2, ktery´m jsme se veˇnovali v prˇedchozı´m textu, ikdyzˇ je prˇ´ıslusˇny´ vy´klad strucˇneˇjsˇ´ı. Ucˇebnice [7] je tedy velmi dobrˇe zpracovańa a dı´ky sve´ systematicˇnosti mu˚zˇe zarucˇit zˇa´ku˚m dobrou orientaci v dane´m proble´mu. Zajiste´ dobrˇe poslouzˇ´ı zˇa´ku˚m jako vhodna´ pomu˚cka prˇi studiu nebo opakovańı´ konkre´tnı´ la´tky.

2.2

Vysˇsˇ´ı trˇ´ıdy vıćeletyćh gymna´ziı´ a strˇednıćh sˇkol

Vyúka mocnin a logaritmu˚ probı´ha´ na veˇtsˇineˇ cˇeskyćh strˇednıćh sˇkol a gymna´ziı´ za pomoci publikacı´ z rˇady Matematika pro gymna´zia nakladatelstvı´ Prometheus. Konkre´tneˇ je te´ma mocnin a logaritmu˚ postupneˇ podańo v publikacıćh: [3] a [11]. Podı´vejme se tedy nynı´ na tyto ucˇebnice.

2.2.1

Matematika pro gymna´zia: Za´kladnı´ poznatky z matematiky

Publikace je u´vodnı´ knı´zˇkou se´rie matematickyćh ucˇebnic, ktere´ prova´zejı´ zˇa´ky strˇednıćh sˇkol v pru˚beˇhu cele´ho studia. Te´matika mocnin je v nı´ vysveˇtlena v kapitole 6 s na´zvem Mocniny s prˇirozeny´m a cely´m mocnitelem. Prvnı´ cˇa´st te´to kapitoly je tedy zameˇrˇena na mocniny s prˇirozeny´m mocnitelem, prˇicˇemzˇ tento pojem je navozen opakovany´m


12

na´sobenı´m cˇ´ısla 7, nacˇezˇ je na str. 120 uvedena definice n-te´ mocniny a pravidla pro pocˇ´ıtańı´ s mocninami: Pro kazˇde´ rea´lne´ cˇ´ıslo a a kazˇde´ prˇirozene´ cˇ´ıslo n je an = a · a · . . . · a, kde v soucˇinu na prave´ straneˇ je n cˇinitelu˚. Vy´raz an se nazy´va´ mocnina, a je za´klad mocniny (mocneˇnec), n je mocnitel (exponent). Citujeme da´le ze str. 120: a) pro kazˇde´ rea´lne´ cˇ´ıslo a platı´ a1 = a. b) pro kazˇde´ prˇirozene´ cˇ´ıslo n platı´ 1n = 1 a 0n = 0. Da´le se na str. 120 pı´sˇe: Pro kazˇde´ a ∈ R a pro kazˇde´ n ∈ N platı´: a) je-li a > 0, pak an > 0, b) je-li a < 0, pak a2n > 0, c) je-li a < 0, pak a2n−1 < 0. Vyuzˇ´ıtı´ teˇchto pravidel je okamzˇiteˇ procvicˇeno na dvou prˇ´ıkladech. Na´sledujı´ pak dalsˇ´ı pravidla pro pocˇ´ıtańı´ s mocninami s prˇirozeny´m mocnitelem, ktera´ zde (narozdı´l od ucˇebnice) uvedeme vcˇetneˇ du˚kazu˚: Pro kazˇda´ dveˇ rea´lna´ cˇ´ısla a, b a pro kazˇda´ prˇirozena´ cˇ´ısla r, s platı´: ar · as = ar+s (ar )s = ars

(2.1) (2.2)

ar : as = ar−s , a 6= 0, r > s (a · b)r = ar · br a r ar = r , b 6= 0 b b

Du˚kaz 1.1. ar · as = a| · a {z · . . . · a} · |a · a {z · . . . · a} = |a · a {z · . . . · a} = ar+s r cˇinitelu˚

s cˇinitelu˚

r + s cˇinitelu˚

(2.3) (2.4) (2.5)


13

Du˚kaz 1.2. (ar )s = (a · a · . . . · a) · (a · a · . . . · a) · . . . · (a · a · . . . · a) = ar·s | {z } | {z } | {z } r cˇinitelu˚ r cˇinitelu˚ r cˇinitelu˚ | {z } s za´vorek, v nich r · s -kra´t a

Du˚kaz 1.3. r cˇinitelu˚

r − s cˇinitelu˚ (r > s)

s cˇinitelu˚

ar

z }| { z }| { z }| { a·a·...·a a·a·...·a· a·a·...·a r s = a :a = s = a a| · a {z · . . . · a} · . . . · a} |a · a {z s cˇinitelu˚

= ar−s

s cˇinitelu˚

Du˚kaz 1.4. (a · b)r = (a · b) · (a · b) · . . . · (a · b) = |a · a {z · . . . · a} · |b · b {z · . . . · b} = ar · br | {z } r cˇinitelu˚

r cˇinitelu˚ (a · b)

r cˇinitelu˚

Du˚kaz 1.5. r cˇinitelu˚

a r b

a a a = · ·...· = b {z b} |b r cˇinitelu˚

z }| { a · a · . . . · a ar = · . . . · b} br |b · b {z r cˇinitelu˚

Tato pravidla jsou ihned procvicˇena na neˇkolika prˇ´ıkladech, ktere´ ukoncˇujı´ cˇa´st kapitoly 6 veˇnovanou mocnina´m s prˇirozeny´m mocnitelem. Dalsˇ´ı jejı´ cˇa´st pak rˇesˇ´ı podrobneˇ ota´zku, jak rozsˇ´ırˇit pojem mocnina tak, aby mocnitelem mohlo by´t libovolne´ cele´ cˇ´ıslo a aby s teˇmito exponenty platila pravidla pro pocˇ´ıtańı´ s mocninami uvedena´ v prˇedchozı´m textu. Autorˇi si vsˇ´ımajı´ pravidla o deˇlenı´ mocnin se stejny´m za´kladem opatrˇene´ho podmıńkou r > s. Vyzvou cˇtena´rˇe, aby se spolecˇneˇ s nimi podı´val, k cˇemu dojde v prˇ´ıpadeˇ r = s. Je jasne´, zˇe pro libovolne´ nenulove´ rea´lne´ cˇ´ıslo a a libovolne´ prˇirozene´ cˇ´ıslo r platı´: ar =1 ar Definujeme-li nynı´ pro nenulove´ rea´lne´ cˇ´ıslo a0 = 1, mu˚zˇeme prˇedchozı´ prˇepsat: ar = 1 = a0 = ar−r ar a pravidlo zu˚stane platne´ i v prˇ´ıpradeˇ r = s. Autorˇi konstatujı´, zˇe je tedy ućˇelne´ rozsˇ´ırˇit definici mocniny i pro mocnitel nula a nultou mocninu kazˇde´ho cˇ´ısla a 6= 0 definovat na´sledovneˇ.


14

Pro kazˇde´ rea´lne´ cˇ´ıslo a 6= 0 platı´ a0 = 1. Da´le autorˇi vybı´zejı´ k posouzenı´ zmıńeˇne´ho pravidla o deˇlenı´ mocnin v prˇ´ıpadeˇ r < s. Jisteˇ pro kazˇde´ nenulove´ rea´lne´ cˇ´ıslo a a libovolna´ prˇirozena´ cˇ´ısla r, s takova´, zˇe r < s, platı´: r cˇinitelu˚

r cˇinitelu˚

z }| { z }| { a·a·...·a ar a · a · . . . · a 1 1 = , = = = as a| · a {z · . . . · a} |a · a {z · . . . · a} · |a · a {z · . . . · a} as−r · . . . · a} |a · a {z s cˇinitelu˚

r cˇinitelu˚

s − r cˇinitelu˚

s − r cˇinitelu˚

kde s−r je prˇirozene´ cˇ´ıslo. Definujeme-li nynı´ pro kazˇde´ nenulove´ rea´lne´ cˇ´ıslo a a libovolne´ prˇirozene´ cˇ´ıslo m a−m =

1 , am

pak vy´sledek provedene´ho deˇlenı´ mu˚zˇeme zapsat jako ar 1 = s−r = a−(s−r) = ar−s , s a a kde r − s je cele´ za´porne´ cˇ´ıslo. Autorˇi na´sledneˇ konstatujı´, zˇe uvedeny´ zpu˚sob zavedenı´ mocnin s cely´m exponentem, lze vyja´drˇit pravidlem (str. 126): Pro kazˇde´ rea´lne´ cˇ´ıslo a 6= 0 a kazˇde´ cele´ cˇ´ıslo m platı´: a−m =

1 . am

Na prˇ´ıkladech je pak ilustrovańo, zˇe vy´pocˇty mocnin s cely´mi exponenty prova´dı´me podle stejnyćh pravidel, at’jsou za´klady mocnin cˇ´ısla raciona´lnı´ cˇi iraciona´lnı´, drˇ´ıve vyja´drˇenyćh veˇtami 2.1 azˇ 2.5. Tı´mto je cˇa´st ucˇebnice [3] veˇnovana´ mocnina´m ukoncˇena.

2.2.2

Matematika pro gymna´zia: Funkce

Mocninna´ funkce Dalsˇ´ı publikacı´ z rˇady Matematika pro gymna´zia, kde se zˇaći setka´vajı´ s mocninami, tentokra´t trochu jinak, je Funkce [11]. Mocninny´m funkcı´m je tu veˇnovańa cela´ kapitola 6 (str. 85 - 116), rozdeˇlena´ do neˇkolika podkapitol: • Mocninne´ funkce s prˇirozeny´m exponentem • Mocninne´ funkce s cely´m exponentem • Inverznı´ funkce


15

• Definice n-te´ odmocniny • Pocˇ´ıtańı´ s odmocninami • Mocniny s raciona´lnı´m exponentem • Mocniny s iraciona´lnı´m exponentem Nynı´ se budeme jednotlivy´mi cˇa´stmi te´to kapitoly zaby´vat postupneˇ. Kazˇda´ z teˇchto podkapitol je ukoncˇena neˇkolika u´lohami, ktere´ majı´ danou la´tku procvicˇit a podporˇit. Autor ucˇebnice u´vodem konstatuje, zˇe poznatky o mocninaćh s cely´m exponentem zˇaći vlastneˇ znajı´ z minule´ho rocˇnı´ku, pu˚jde tedy o jejich prˇipomenutı´ z pohledu teorie funkcı´. Mocninne´ funkce s prˇirozeny´m exponentem Samotna´ podkapitola je uvedena definicı´ mocninne´ funkce s prˇirozeny´m mocnitelem (str. 85): Pro vsˇechna a ∈ R a pro vsˇechna n ∈ N definujeme an = |a · a {z · . . . · a} n-kra´t

a . . . za´klad mocniny (mocneˇnec) n . . . exponent (mocnitel) Mocninnou funkcı´ pak nazy´va´me funkci: y = xn

(n ∈ N).

Okamzˇiteˇ po uvedenı´ te´to definice autor poznamena´va´, zˇe zˇaći jizˇ neˇktere´ z mocninnyćh funkcı´ vlastneˇ znajı´, konkre´tneˇ se jedna´ o linea´rnı´ funkci y = x1 a kvadratickou funkci ´ kolem zˇa´ku˚ je tedy pomocı´ tabulek s hodnotami funkcı´ nacˇrtnout grafy funkcı´ y = x2 . U 3 y = x , y = x4 , y = x4 , y = x5 , vedoucı´ k urcˇenı´ grafu funkce y = xn a jejıćh vlastnostı´ na straneˇ 87:


16

Obra´zek 2.1: Funkce y = xn ; n ∈ N

Obra´zek 2.2: n liche´

Obra´zek 2.3: n sude´ • Oborem hodnot je h0, ∞).

• Oborem hodnot je R.

• Je rostoucı´ v h0, ∞).

• Je rostoucı´. • Je klesajıćı´ v (−∞, 0i. • Je licha´. • Je suda´. • Nenı´ shora, ani zdola omezena´. • Je zdola omezena´, nenı´ shora omezena´. • Nema´ v zˇa´dne´m bodeˇ ani minimum, ani maximum.

• V bodeˇ 0 ma´ minimum, v zˇa´dne´m bodeˇ nema´ maximum.

Mocninne´ funkce s cely´m exponentem Kromeˇ prˇirozenyćh exponentu˚ je nynı´ uvazˇovań take´ prˇ´ıpad, kdy je exponentem 0 nebo za´porne´ cˇ´ıslo: Zatı´mco graf konstantnı´ funkce y = x0 znajı´ zˇaći jizˇ z te´matu linea´rnıćh funkcı´ (cˇ´ıslo 0 ovsˇem do definicˇnı´ho oboru nepatrˇ´ı, nebot’00 nema´ smysl), za´porny´ exponent je novinkou. Podobny´m zpu˚sobem jako v prˇechozı´ podkapitole zˇaći sami prˇicha´zejı´ na tvar grafu funkce a jejı´ vlastnosti (str. 90):


17

Obra´zek 2.4: Funkce y = xn ; n ∈ Z−

Obra´zek 2.5: −n liche´

• Oborem hodnot je R − {0}.

Obra´zek 2.6: −n sude´

• Oborem hodnot je R+ . • Je rostoucı´ v (−∞, 0).

• Je klesajıćı´ v (−∞, 0), (0, ∞). • Je klesajıćı´ v (0, ∞). • Je licha´. • Je suda´. • Nenı´ shora, ani zdola omezena´. • Je zdola omezena´, nenı´ shora omezena´. • Nema´ v zˇa´dne´m bodeˇ ani minimum, ani maximum.

• Nema´ v zˇa´dne´m bodeˇ ani minimum, ani maximum.

Inverznı´ funkce Jelikozˇ se na´sledujıćı´ podkapitola bude zaby´vat odmocninami, je nejdrˇ´ıve trˇeba sezna´mit se s pojmem inverznı´ funkce, ktery´ je zaveden na straneˇ 94: Inverznı´ funkce k proste´ funkci f je funkce f −1 , pro kterou platı´: 1. D f −1 = H f . 2. Kazˇde´mu y ∈ D f −1 je prˇirˇazeno pra´veˇ to x ∈ D f , pro ktere´ je f (x) = y.

Na prˇ´ıkladu je pak uka´zańo, jak se graf inverznı´ funkce sestrojı´, a docha´zı´ se tak na str. 96 k tvrzenı´: Grafy funkcı´ f a f −1 sestrojene´ v te´zˇe soustaveˇ sourˇadnic Oxy se stejnou de´lkovou jednotkou na obou osaćh jsou soumeˇrneˇ sdruzˇeny podle prˇ´ımky y = x.


18

Definice n-te´ odmociny V u´vodu autor prˇipomıńa´ pojmy druha´ a trˇetı´ odmocnina, ktere´ vza´peˇtı´ zobecnˇuje na definici n-te´ odmocniny (str. 100): Pro kazˇde´ n ∈ N je n-ta´ odmocnina z neza´porne´ho cˇ´ısla a takove´ neza´porne´ cˇ´ıslo b, pro neˇzˇ platı´ bn = a. Budeme zapisovat √ b = n a. Cˇ´ıslo n se nazy´va´ odmocnitel (exponent odmocniny), cˇ´ıslo a odmocneˇnec (za´klad odmocniny). √ Opeˇt√je tu jako v prˇedesˇlyćh podkapitolaćh u´kolem zˇa´ku˚ nacˇrtnout graf funkce y = x a y = 3 x, tentokra´t s vyuzˇitı´m veˇty o vza´jemne´ poloze grafu funkce a funkce k nı´ inverznı´:

Obra´zek 2.7

Pocˇ´ıtańı´ s odmocninami Na tomto mı´steˇ (tedy na straneˇ 103) je v ucˇebnici uvedeno neˇkolik veˇt pro pocˇ´ıtańı´ s odmocninami. Tyto veˇty uvedeme i s jejich du˚kazy, ktere´ (azˇ na jeden) jsou v ucˇebnici vynechańy s vy´zvou, aby je zˇaći provedli sami. • Pro vsˇechna neza´porna´ rea´lna´ cˇ´ısla a, b a pro kazˇde´ prˇirozene´ cˇ´ıslo n platı´: √ √ √ n n n a · b = ab. (2.6) „Soucˇin n-tyćh odmocnin cˇ´ısel a, b je roven n-te´ odmocnineˇ jejich soucˇinu.“ √ √ Du˚kaz. Oznacˇ´ıme n a, n b po rˇadeˇ pı´smeny s, t. Zrˇejmeˇ je s ≥ 0, t ≥ 0. Podle definice n-te´ odmocniny je a = sn , b = t n ; odtud plyne da´le ab = sn · t n = (st)n .


19

Cˇ´ısla a, b jsou neza´porna´, tedy i ab je neza´porne´ cˇ´ıslo, a existuje proto jednoznacˇneˇ urcˇene´ neza´porne´ cˇ´ıslo, jezˇ je jeho n-tou odmocninou. Uveˇdomı´me-li si, zˇe je st ≥ 0, pak z 2.6 ihned dosta´va´me √ √ √ √ n n n ab = st cˇili ab = n a · b.

• Pro vsˇechna prˇirozena´ cˇ´ısla n, r a pro vsˇechna neza´porna´ rea´lna´ cˇ´ısla a1 , . . . , ar je √ √ √ n a1 · · · n ar = n a1 · · · ar . √ √ Du˚kaz. Oznacˇme n a1 = b1 , . . . , n ar = br . Zrˇejmeˇ je b1 , . . . , br ≥ 0. Podle definice n-te´ odmocniny je a1 = bn1 , . . . , ar = bnr ; odtud da´le plyne: a1 · · · ar = bn1 · · · bnr = (b1 · · · br )n . Cˇ´ısla a1 , . . . , ar jsou neza´porna´, tedy i a1 · · · ar je neza´porne´ cˇ´ıslo, proto existuje jednoznacˇneˇ urcˇene´ neza´porne´ cˇ´ıslo, jezˇ je jeho n-tou odmocninou: √ √ √ n a1 · · · ar = b1 · · · br = n a1 · · · n ar .

• Pro kazˇde´ neza´porne´ rea´lne´ cˇ´ıslo a, kazˇde´ kladne´ rea´lne´ cˇ´ıslo b a kazˇde´ prˇirozene´ cˇ´ıslo n platı´: r √ n a a √ = n . n b b „Podı´l n-tyćh odmocnin cˇ´ısel a, b je roven n-te´ odmocnineˇ jejich podı´lu.“ √ √ Du˚kaz. Oznacˇme si nejdrˇ´ıve n a = s a n b = t, prˇicˇemzˇ jisteˇ s,t ≥ 0. Z definice n-te´ odmocniny dosta´va´me a = sn , b = t n , zkoumejme nynı´ podı´l a a b: a sn s n = = . b tn t Jelikozˇ opeˇt cˇ´ısla a i b jsou neza´porna´, je neza´porny´ i jejich podı´l, tedy existuje jednoznacˇneˇ dane´ neza´porne´ cˇ´ıslo, ktere´ je n-tou odmocninou tohoto podı´lu: r √ n a s a n = =√ . n b t b


20

• Pro kazˇde´ cele´ cˇ´ıslo s, kazˇde´ kladne´ rea´lne´ cˇ´ıslo a a kazˇde´ prˇirozene´ cˇ´ıslo n platı´: s √ √ n n a = as . Je-li s prˇirozene´ cˇ´ıslo, pak tato veˇta platı´ i pro a = 0, tj. pro vsˇechna neza´porna´ cˇ´ısla a. Je-li specia´lneˇ s ∈ N, s = n, pak pro kazˇde´ neza´porne´ cˇ´ıslo a dosta´va´me n √ √ n a = n an = a. √ Du˚kaz. Opeˇt si pro jednoduchost oznacˇ´ıme n a = p; p ≥ 0. Dle definice n-te´ odmocniny platı´ a = pn . Tentokra´t se zameˇrˇ´ıme na vy´raz as : √ s n as = (pn )s = pns = (ps )n = n a . Jelikozˇ je a neza´porne´, je neza´porna´ i jeho s-ta´ mocnina, proto existuje jedine´ neza´porne´ cˇ´ıslo, ktere´ je jejı´ n-tou odmocninou: √ √ s n s a = na .

• Pro vsˇechna prˇirozena´ cˇ´ısla m, n a pro kazˇde´ neza´porne´ rea´lne´ cˇ´ıslo a platı´: q q √ m √ n √ n m a= a = mn a. √ √ Du˚kaz. Pro jednodusˇsˇ´ı zacha´zenı´ s vy´razy nejdrˇ´ıve prˇeznacˇme : n a = p ≥ 0, m p = = q ≥ 0, tedy z definice n-te´ odmocniny a = pn , p = qm , odkud √ a = pn = (qm )n = qmn = ( m p)mn . K neza´porne´mu a existuje jednoznacˇneˇ dane´ neza´porne´ cˇ´ıslo, jezˇ je jeho mn-tou odmocninou: q q √ √ m √ n √ mn n m a= a a podobneˇ mn a = a.

• Pro vsˇechna prˇirozena´ cˇ´ısla m, n, p a pro kazˇde´ neza´porne´ rea´lne´ cˇ´ıslo a platı´: √ √ np mp a = n am . Du˚kaz. Oznacˇme

√ n m a = q ≥ 0, z definice n-te´ odmocniny am = qn ma´me √ np amp = (qn ) p = qnp = n am .

Jelikozˇ a ≥ 0, je take´ amp ≥ 0 a platı´ √ √ np mp a = n am .

Vsˇechny vy´sˇe uvedene´ veˇty jsou v ucˇebnicıćh ilustrovańy jednoduchy´mi konkre´tnı´mi prˇ´ıklady. Na´sledujı´ pak cˇtyrˇi na´rocˇneˇjsˇ´ı rˇesˇene´ u´lohy, vyuzˇ´ıvajıćı´ teˇchto pravidel.


21

Mocniny s raciona´lnı´m exponentem Jak na´zev te´to podkapitoly napovı´da´, autor nynı´ rozsˇirˇuje pojem mocniny o prˇ´ıpad, kdy bude mocnitelem raciona´lnı´ cˇ´ıslo (cˇ´ıslo, ktere´ lze vyja´drˇit ve tvaru zlomku mn , kde m je cele´ cˇ´ıslo a n prˇirozene´). K definici mocniny s raciona´lnı´m exponentem se autor dosta´va´ na´sledujıćı´ u´vahou: Zvolı´me libovolny´ zlomek mn , v neˇmzˇ je n prˇirozene´ cˇ´ıslo a m = kn, kde k je cele´ cˇ´ıslo. Pro kazˇde´ kladne´ rea´lne´ cˇ´ıslo a pak platı´: n p p √ m n n n m kn k = ak = a n . a = a = a √ m Toto na´s vede k mysˇlence zave´st a n jako n am pro kazˇde´ raciona´lnı´ cˇ´ıslo mn a pro kazˇde´ a ≥ 0. Nezˇ takovy´ postup prohla´sı´me za definici, je trˇeba proveˇrˇit, zda rovnost platı´ take´ pro celocˇ´ıselne´ exponenty a zda je mocnina urcˇena jednoznacˇneˇ neza´visle na volbeˇ zlomku, ktery´ k vyja´drˇenı´ exponentu vyuzˇijeme: k

• Pro kazˇde´ cele´ cˇ´ıslo k by muselo platit a 1 = ak . Toto vsˇak splneˇno je: √ k 1 a 1 = k = ak . • Prˇedpokla´dejme, zˇe mn je jeden z mozˇnyćh za´pisu˚ cˇ´ısla r, ve ktere´m n ≥ 0, da´le qp je dalsˇ´ım tvarem cˇ´ısla r, tentokra´t ale v za´kladnı´m tvaru (q ≥ 0). Pak je m = kp, n = kq, kde k je jiste´ prˇirozene´ cˇ´ıslo. Odtud dosta´va´me: p √ √ p m kq a n = n am = akp = q a p = a q . Nynı´ jizˇ lze bez obav navrhovanou definici uvedenou na str. 110 prˇijmout: Pro kazˇde´ kladne´ rea´lne´ cˇ´ıslo a, pro kazˇde´ cele´ cˇ´ıslo m a pro kazˇde´ prˇirozene´ cˇ´ıslo n je √ m a n = n am . Cˇ´ıslo a budeme nazy´vat za´klad mocniny cˇili mocneˇnec, cˇ´ıslo cˇili mocnitel.

m n

se nazy´va´ exponent

Ihned pote´ autor konstatuje, zˇe pro pocˇ´ıtańı´ s mocninami, jejichzˇ exponentem je raciona´lnı´ cˇ´ıslo, platı´ stejna´ pravidla jako prˇi pocˇ´ıtańı´ s mocninami s exponentem cely´m: • Pro vsˇechna kladna´ rea´lna´ cˇ´ısla a, b a pro vsˇechna raciona´lnı´ cˇ´ısla r, s je a) ar · as = ar+s , b) (ar )s = ars , c)

ar as

= ar−s ,

d) (ab)r = ar · br . Da´le v textu na´sledujı´ 4 vyrˇesˇene´ prˇ´ıklady a pocˇetny´ soubor nerˇesˇenyćh u´loh.


22

Mocniny se iraciona´lnı´m exponentem S mocninami s iraciona´lnı´m exponentem seznamuje autor v te´to podkapitole zˇa´ky spı´sˇe informativneˇ, protozˇe toto te´ma je z teoreticke´ho hlediska nad sı´ly veˇtsˇiny strˇedosˇkola´ku˚. Proto je nejdrˇ´ıve zopakovań pojem iraciona´lnı´ho cˇ´ısla, u ktere´ho je mozˇne´ prova´deˇt dolnı´ a hornı´ aproximaci desetinny´mi cˇ´ısly. Samotna´ definice mocniny s iraciona´lnı´m exponen√ 2 tem je naznacˇena na konkre´tnı´m prˇ´ıkladu cˇ´ısla 2 , u neˇhozˇ jsou provedeny zminˇovane´ aproximace: 2 = 21 <2 2,6 < 21,4 <2 2,65 < 21,41 <2

√ 2 √ 2 √ 2 √

< 22 = 4 < 21,5 < 2,9 < 21,42 < 2,68

2,664 < 21,414 <2 2 < 21,415 < 2,667 atd. Odtud je jizˇ patrne´, zˇe bude 2

√ 2

= 2,66 . . . . √

Pomocı´ dalsˇ´ıch vy´pocˇtu˚ lze dojı´t k prˇesneˇjsˇ´ı hodnoteˇ cˇ´ısla 2 2 . Autor konstatuje, zˇe stejny´m zpu˚sobem je mozˇne´ urcˇovat mocniny a p pro libovolne´ kladne´ rea´lne´ cˇ´ıslo a a pro kazˇde´ iraciona´lnı´ cˇ´ıslo p. Pro pocˇ´ıtańı´ s mocninami s iraciona´lnı´m exponentem pak platı´ stejna´ pravidla jako pro mocniny s exponentem raciona´lnı´m: • Pro vsˇechna kladna´ rea´lna´ cˇ´ısla a, b a pro vsˇechna rea´lna´ cˇ´ısla r, s je a) ar · as = ar+s , b) (ar )s = ars , c)

ar as

= ar−s ,

d) (ab)r = ar · br . Kapitola Mocninne´ funkce je v publikaci [11] ukoncˇena jesˇteˇ souborem u´loh k opakovańı´. Na´sleduje za´veˇrecˇna´ kapitola 7 cele´ ucˇebnice, ktera´ je veˇnovańa dalsˇ´ım vy´znamny´m funkcı´m a kterou nynı´ popı´sˇeme stejny´m zpu˚sobem jako kapitolu 6 o mocninnyćh funkcıćh.

Exponencia´lnı´ a logaritmicke´ funkce Exponencia´lnı´ a logaritmicke´ funkce jsou cˇasty´m „strasˇa´kem“ strˇedosˇkola´ku˚, a to zcˇa´sti dı´ky vypra´veˇnı´ rodicˇu˚ a prarodicˇu˚ o tom, jak je obtı´zˇne´ pracovat s tabulkami cˇi logaritmicky´m pravı´tkem, ktere´ je ovsˇem v dnesˇnı´ dobeˇ pocˇ´ıtacˇu˚ da´vno ukoncˇenou historiı´. Obeˇ zmıńeˇne´ elementa´rnı´ funkce vsˇak svu˚j vy´znam v matematice a jejıćh aplikacıćh nikterak neztratily. V kapitole 8 se autor publikace [11] zameˇrˇuje na exponencia´lnı´ a logaritmicke´ funkce opeˇt v neˇkolika podkapitolaćh: • Exponencia´lnı´ funkce


23

• Exponencia´lnı´ rovnice • Logaritmicka´ funkce • Logaritmus • Veˇty o logaritmech • Logaritmicke´ a exponencia´lnı´ rovnice • Prˇirozena´ exponencia´lnı´ funkce, prˇirozeny´ logaritmus Postupneˇ se popisu zpracovańı´ teˇchto te´mat v ucˇebnici [11] budeme veˇnovat i my. Exponencia´lnı´ funkce Podkapitola je uvedena prˇ´ıkladem ty´kajıćı´m se za´vislosti hmotnosti radioaktivnı´ la´tky na cˇase t prˇi jejı´ radioaktivnı´ prˇemeˇneˇ. Zˇaći znajı´ tuto za´vislost a jejich u´kolem je urcˇit hmotnost v jednotlivyćh cˇasech a nacˇrtnout graf te´to za´vislosti. Na´sledny´m prˇevedenı´m za´vislosti do tvaru y = ax , x ∈ h0, ∞), se docha´zı´ ke zjisˇteˇnı´, zˇe se jedna´ o funkci podobnou mocninny´m funkcı´m, lisˇ´ıcı´ se vsˇak tı´m, zˇe tentokra´t je promeˇnnou exponent a ne za´klad mocniny. Ten je v tomto prˇ´ıpadeˇ totizˇ konstantou a, ktera´ je veˇtsˇ´ı nezˇ 0 (jinak by mocnina ax meˇla smysl jen pro cela´ x. Prˇ´ıpad a = 1 je v dalsˇ´ıch u´vahaćh vynechań, protozˇe vede na konstantnı´ funkci y = 1, zna´mou jizˇ z drˇ´ıveˇjsˇka. Na´sleduje tedy definice exponencia´lnı´ funkce (str. 119): Exponencia´lnı´ funkce o za´kladu a je funkce na mnozˇineˇ R vyja´drˇena´ ve tvaru y = ax , kde a je kladne´ cˇ´ıslo ru˚zne´ od 1. x Prvnı´m u´kolem zˇa´ku˚ je sestrojit grafy funkcı´ y = 2x a y = 12 podobny´m zpu˚sobem, jako tomu bylo drˇ´ıve u mocninnyćh funkcı´ (prolozˇenı´m spojite´ krˇivky vyneseny´mi izolovany´mi body):

Tak se docha´zı´ k obecny´m vlastnostem exponencia´lnı´ funkce y = ax :


24

Obra´zek 2.8: Funkce y = ax ; a ∈ R+ − {1}

Obra´zek 2.9: 0 < a < 1

Obra´zek 2.10: a > 1

• Definicˇnı´ obor je R.

• Definicˇnı´ obor je R.

• Obor hodnot je (0, ∞).

• Obor hodnot je (0, ∞).

• Je klesajıćı´ a tedy je prosta´.

• Je rostoucı´ a tedy je prosta´.

• Je zdola omezena´, nenı´ shora omezena´.

• Je zdola omezena´, nenı´ shora omezena´.



• Funkcˇnı´ hodnota v bodeˇ 0 je rovna 1.


Obecne´ vlastnosti jsou podporˇeny dveˇma rˇesˇeny´mi prˇ´ıklady a sbı´rkou nerˇesˇenyćh cvicˇenı´, ktera´ ukoncˇuje i kazˇdou dalsˇ´ı podkapitolu. Exponencia´lnı´ rovnice V u´vodu majı´ zˇaći za u´kol vyrˇesˇit rovnici 2x = 8 pomocı´ grafu funkce y = 2x . Prostrˇednictvı´m tohoto u´kolu docha´zı´ autor k obecne´ u´vaze: Vı´me, zˇe pro kazˇde´ kladne´ cˇ´ıslo a, ktere´ je ru˚zne´ od jedne´, je funkce y = ax prosta´. Pro vsˇechna rea´lna´ cˇ´ısla x1 , x2 tedy platı´: je-li x1 6= x2 , pak ax1 6= ax2 , cˇili je-li ax1 = ax2 , pak x1 = x2 . Vzhledem k tomu, zˇe take´ platı´: je-li x1 = x2 , pak ax1 = ax2 , autor formuluje na´sledujıćı´ za´veˇr: ax1 = ax2 , pra´veˇ kdyzˇ x1 = x2 . Toto tvrzenı´ pak hraje du˚lezˇitou roli prˇi rˇesˇenı´ rovnic, v nichzˇ se vyskytujı´ mocniny s nezna´mou v mocniteli: jde o tzv. exponencia´lnı´ rovnice. Postup rˇesˇenı´ takovyćhto rovnic je pak proveden na dvou prˇ´ıkladech. Prvnı´ z nich je velice podobny´ u´vodnı´mu prˇ´ıkladu, ten druhy´ ukazuje vyuzˇitı´ substituce prˇi rˇesˇenı´ exponencia´lnıćh rovnic.


25

Logaritmicka´ funkce Definice logaritmicke´ funkce je zalozˇena na pojmu inverznı´ funkce, se ktery´m se zˇaći setkali v minule´ kapitole ty´kajıćı´ se mocninnyćh funkcı´. Nejdrˇ´ıve je tedy zapotrˇebı ´ zopakovat tento 1 x x pojem a pak vykreslit grafy funkcı´ inverznıćh k funkcı´m y = 2 a y = 2 . Po teˇchto dvou uka´zkaćh je na´sledneˇ na straneˇ 129 uvedena definice obecne´ logaritmicke´ funkce:

, Obra´zek 2.11

Logaritmicka´ funkce o za´kladu a je funkce, ktera´ je inverznı´ exponencia´lnı´ funkci y = ax ; a je libovolne´ kladne´ cˇ´ıslo ru˚zne´ od jedne´. Da´le autor uvazˇuje exponencia´lnı´ funkci f : y = ax . Pro hodnotu funkce f −1 prˇirˇazene´ cˇ´ıslu x se volı´ specia´lnı´ oznacˇenı´: loga x, ktere´ cˇteme „logaritmus x o za´kladu a“ nebo „logaritmus o za´kladu a cˇ´ısla x“. V souladu s tı´mto oznacˇenı´m pak mı´sto f −1 pı´sˇeme y = loga x. Definicˇnı´m oborem kazˇde´ logaritmicke´ funkce je mnozˇina (0, ∞), nebot’tento interval je oborem hodnot funkce f : y = ax . Da´le autor uva´dı´ prˇehledneˇ obecne´ vlastnosti funkce y = loga x: Obra´zek 2.12: Funkce y = loga x; a ∈ R+ − {1}

Obra´zek 2.13: a > 1

Obra´zek 2.14: 0 < a < 1


26

• Definicˇnı´ obor je (0, ∞).

• Definicˇnı´ obor je (0, ∞).

• Obor hodnot je R.

• Obor hodnot je R.

• Je rostoucı´ a tedy je prosta´.

• Je klesajıćı´ a tedy je prosta´.

• Nenı´ ani shora, ani zdola omezena´.

• Nenı´ ani shora, ani zdola omezena´.





ˇ esˇeny´ prˇ´ıklad se pak veˇnuje nerovnostem mezi logaritmy o stejne´m i ru˚zne´m za´kladu. R Logaritmus Tato podkapitola se veˇnuje rˇesˇenı´ peˇti prˇ´ıkladu˚ o logaritmech. Prvnı´ prˇ´ıklad se zameˇrˇuje na urcˇovańı´ hodnoty dane´ funkce logaritmus v dane´m bodeˇ, tj. urcˇenı´ logaritmu dane´ho cˇ´ısla o dane´m za´kladu. Pomocı´ tohoto prˇ´ıkladu pak autor docha´zı´ k na´sledujıćı´mu tvrzenı´: Urcˇit funkcˇnı´ hodnotu v bodeˇ r (libovolne´ kladne´ cˇ´ıslo), tj. logaritmus cˇ´ısla r o za´kladu a znamena´ najı´t takove´ cˇ´ıslo, ktery´m musı´me umocnit za´klad a, abychom obdrzˇeli cˇ´ıslo r: r = aloga r . Jinak rˇecˇeno, logaritmus cˇ´ısla r o za´kladu a je takove´ cˇ´ıslo v, pro ktere´ platı´ av = r: loga r = v,

pra´veˇ kdyzˇ

av = r.

Zbyle´ cˇtyrˇi rˇesˇene´ prˇ´ıklady jsou urcˇeny k procvicˇenı´ tohoto vztahu. Veˇty o logaritmech Prˇi praći s logaritmy se rˇ´ıdı´me du˚lezˇity´mi pravidly, ktera´ autor uva´dı´ jako veˇty formulovane´ na stranaćh 135 a 136. Tyto veˇty postupneˇ doka´zˇeme (v ucˇebnici je uveden pouze du˚kaz prvnı´ z nich): • Pro kazˇde´ a > 0, a 6= 1 a pro vsˇechna kladna´ cˇ´ısla r, s je loga (r · s) = loga r + loga s. „Logaritmus soucˇinu dvou kladnyćh cˇ´ısel je roven soucˇtu logaritmu˚ jednotlivyćh cˇinitelu˚.“ Du˚kaz. Vyuzˇijme tvrzenı´ z prˇedchozı´ podkapitoly: r = aloga r

(1)

s = aloga s

(2)

r · s = aloga (r·s) .

(3)


27

Nynı´ z (1) a (2) dostaneme: r · s = aloga r · aloga s = aloga r+loga s .

(4)

Podle (3) a (4) odtud da´le plyne aloga (r·s) = aloga r+loga s .

(5)

Vı´me, zˇe pro kazˇde´ a ∈ R+ −{1} a pro vsˇechna rea´lna´ cˇ´ısla x1 , x2 platı´: je-li ax1 = ax2 , pak x1 = x2 . Odtud a z (5) dosta´va´me ihned loga (r · s ) = loga r + loga s.

• Pro kazˇde´ a > 0, a 6= 1 a pro vsˇchna kladna´ cˇ´ısla r, s je r loga = loga r − loga s. s „Logaritmus podı´lu dvou kladnyćh cˇ´ısel je roven rozdı´lu logaritmu˚ deˇlence a deˇlitele (v tomto porˇadı´).“ Du˚kaz. V tomto du˚kazu i v na´sledujıćı´m budeme postupovat podobneˇ, jako u veˇty prˇedesˇle´: r = aloga r

(1)

s = aloga s r r = aloga ( s ) . s

(2) (3)

Z (1) a (2) dosta´va´me r aloga r = log s = aloga r−loga s . s a a

(4)

Podle (3) a (4): r aloga ( s ) = aloga r−loga s r loga = loga r − loga s. s

• Pro kazˇde´ a > 0, a 6= 1, pro vsˇechna r ∈ R+ a pro vsˇechna s ∈ R je loga rs = s · loga r. „Logaritmus mocniny kladne´ho cˇ´ısla je roven soucˇinu mocnitele a logaritmu za´kladu mocniny.“


28

Du˚kaz. r = aloga r rs

rs = aloga .

(1) (2)

Dosadı´me-li z 1 do 2 rs , zı´ska´me: s rs = aloga r = as·loga r . To uzˇ znamena´, zˇe loga rs = s · loga r. Vy´sˇe uvedena´ pravidla jsou podporˇena dveˇma rˇesˇeny´mi prˇ´ıklady a (jako obvykle) neˇkolika nerˇesˇeny´mi cvicˇenı´mi. Logaritmicke´ a exponencia´lnı´ rovnice ´ vodem te´to podkapitoly autor konstatuje, zˇe prˇi rˇesˇenı´ logaritmickyćh a exponencia´lnıćh U rovnic je trˇeba uveˇdomit si jednu za´sadnı´ veˇc: funkce y = loga x je pro kazˇde´ kladne´ cˇ´ıslo a ru˚zne´ od 1 prosta´. To znamena´, zˇe pro vsˇechna x1 , x2 ∈ R+ platı´: je-li x1 6= x2 ,

pak

loga x1 6= loga x2 ,

neboli je-li x1 = loga x2 ,

pak x1 = x2 .

Vzhledem k tomu, zˇe take´ platı´ je-li x1 = x2 ,

pak

loga x1 = loga x2 ,

mu˚zˇeme uve´st tento za´veˇr: loga x1 = loga x2 ,

pra´veˇ kdyzˇ x1 = x2 .

Jedna´ se tedy o podobne´ pravidlo, jake´ zˇaći poznali jizˇ u exponencia´lnıćh rovnic. Jeho uzˇitı´ je ilustrovańo na trˇech rˇesˇenyćh rovnicıćh. Druha´ z nich je sice „jen“ exponencia´lnı´, logaritmy vsˇak potrˇebujeme k za´pisu vy´sledku – drˇ´ıve nebyli schopni rovnice typu 2x = 5 rˇesˇit. Prˇirozena´ exponencia´lnı´ funkce, prˇirozeny´ logaritmus Poslednı´ podkapitola se zaby´va´ specia´lnı´m typem exponencia´lnı´ funkce a jı´ prˇ´ıslusˇne´ho logaritmu. Hleda´ se exponencia´lnı´ funkce y = ex s takovy´m nezna´my´m za´kladem e, aby graf te´to funkce meˇl s prˇ´ımkou y = x + 1, jezˇ „svı´ra´“ s kladny´m smeˇrem osy x u´hel 45 ◦ , jediny´ spolecˇny´ bod. Po dvou marnyćh pokusech s funkcemi y = 2x a y = 3x autor usoudı´, zˇe hledane´ cˇ´ıslo e bude patrˇit do intervalu (2, 3), konkre´tneˇ se bude jednat o cˇ´ıslo . e = 2,718 281 828.


29

Jde o iraciona´lnı´ cˇ´ıslo, ktere´ nazy´va´me Eulerovo cˇ´ıslo. Exponencia´lnı´ funkce o za´kladu e se pak nazy´va´ prˇirozena´ exponencia´lnı´ funkce. Inverznı´ funkcı´ k exponencia´lnı´ je prˇirozena´ logaritmicka´ funkce, prˇicˇemzˇ je zvykem psa´t mı´sto y = loge x jednodusˇe y = ln x. Autor naznacˇuje, zˇe tyto funkce majı´ velky´ vy´znam v teoreticke´ matematice (bez znalostı´ z analy´zy to naprˇ´ıklad vzorci (ex )0 = ex a (ln x)0 = 1x ovsˇem nemu˚zˇe dolozˇit).

Na za´veˇr podkapitoly je jesˇteˇ uvedeno (na str. 146) i s du˚kazem pravidlo o vztahu logaritmu˚ te´hozˇ cˇ´ısla prˇi ru˚znyćh za´kladech: • Pro vsˇechna kladna´ cˇ´ısla r, s ru˚zna´ od jedne´ a pro kazˇde´ kladne´ cˇ´ıslo t je logr t =

logs t . logs r

Du˚kaz. Podle definice logaritmu je rlogr t = t. Odtud postupneˇ dosta´va´me logr t logs r = logs t, logr t · logs r = logs t; cˇ´ıslo r je ru˚zne´ od jedne´, a tedy logs r 6= 0; lze tedy psa´t logr t =

logs t . logs r

Tı´m je du˚kaz veˇty proveden. Celou kapitolu 7 o exponencia´lnıćh a logaritmickyćh funkcıćh ukoncˇuje soubor 11 nerˇesˇenyćh „u´loh na za´veˇr“. Takto je tedy vylozˇena problematika mocnin a logaritmu˚ v ucˇebnicıćh pro strˇednı´ sˇkoly a gymna´zia. La´tka je v nich velice pecˇliveˇ vysveˇtlena vcˇetneˇ neˇkolika uvedenyćh du˚kazu˚. V mnoha prˇ´ıpadech je podporˇena na´zornou ilustracı´, ktera´ pochopenı´ la´tky jen usnadnı´. Tyto publikace tak mohou u´speˇsˇneˇ vyuzˇ´ıvat jak ucˇitele´ prˇi prˇ´ıpaveˇ na vyúku, tak zˇaći prˇi samostudiu.

Kapitola 3 Sbı´rka rˇesˇenyćh u´loh Prˇi vyúce te´matu ty´kajıćı´ho se logaritmu˚ samozrˇejmeˇ nestacˇ´ı uve´st teorii, hlavnı´ pozornost by meˇla by´t veˇnovańa rˇesˇenı´ jednotlivyćh u´loh. Proto se i my v te´to kapitole zameˇrˇ´ıme na rˇesˇenı´ u´loh. V prvnı´ cˇa´sti se bude jednat o u´lohy z publikace Semina´rˇ ze strˇedosˇkolske´ matematiky [8], v nı´zˇ jsou jednotlive´ u´lohy opatrˇeny pouze odpoveˇd’mi, takzˇe jsme jejich rˇesˇenı´ vypracovali samostatneˇ. Ve druhe´ cˇa´sti kapitoly pak budeme rˇesˇit slozˇiteˇjsˇ´ı u´lohy, ktere´ byly v minulyćh letech zadańy pro rˇesˇenı´ prˇi zkousˇce z prˇedmeˇtu Didaktika matematiky. Zacˇneˇme vsˇak teˇmi jednodusˇsˇ´ımi. V prvnı´m prˇ´ıkladu odvodı´me du˚lezˇite´ vlastnosti logaritmu˚ z odpovı´dajıćıćh vlastnostı´ mocnin. 1. Z vlastnostı´ mocnin odvod’te vzorce a) – g): a) loga xy = loga x + loga y (x > 0, y > 0, a > 0, a 6= 1) ˇ esˇenı´: K odvozenı´ tohoto vzorce vyuzˇijeme za´kladnı´ vlastnosti mocniny, tedy R ab+c = ab · ac : aloga x+loga y = aloga x · aloga y = x · y. Nynı´ celou tuto rovnost zlogaritmujeme a vyuzˇijeme vlastnosti loga bc = = c loga b: (loga x + loga y) loga a = loga x · y. | {z } =1

Vzorec a) je tak doka´zań. Stejny´ postup, tedy vyuzˇitı´ vlastnosti mocniny a zlogaritmovańı´ cele´ rovnosti, pak provedeme i v na´sledujıćıćh prˇ´ıpadech. b) loga xy = loga x − loga y (x > 0, y > 0, a > 0, a 6= 1) ˇ esˇenı´: R aloga x x aloga x−loga y = aloga x · a− loga y = log y = y a a x (loga x − loga y) loga a = loga | {z } y =1

30

Kapitola 3. Sbı´rka rˇesˇenyćh u´loh

31

c) loga (xy ) = y · loga x (x > 0, y ∈ R, a > 0, a 6= 1) ˇ esˇenı´: R a

y·loga x

y loga x = xy = a

y · loga x · loga a = loga (xy ) | {z } =1

d) loga

1 x

= − loga x (x > 0, a > 0, a 6= 1)

ˇ esˇenı´: R −1 1 loga x a = a = x−1 = x 1 − loga x · loga a = loga | {z } x − loga x

=1

e) loga x =

logb x (x > 0, a > 0, a 6= 1, b > 0, b 6= 1) logb a

ˇ esˇenı´: V tomto prˇ´ıkladeˇ zvolı´me trochu jiny´ postup: R loga x x = aloga x = blogb a = blogb a·loga x , celou rovnost zlogaritmujeme o za´kladu b: logb x = logb a · loga x · logb b | {z } =1

a vydeˇlenı´m cˇ´ıslem logb a odtud vyja´drˇ´ıme loga x: loga x =

f) loga b =

1 logb a

logb x . logb a

(a > 0, a 6= 1, b > 0, b 6= 1)

ˇ esˇenı´: Jedna´ se o prˇedchozı´ prˇ´ıklad v prˇ´ıpadeˇ, zˇe x = b. R


32

g) bloga c = cloga b (a > 0, a 6= 1, b > 0, c > 0) ˇ esˇenı´: R loga c

b

loga b loga c loga b·loga c loga c loga b = cloga b =a = a = a

Dalsˇ´ı u´loha pak slouzˇ´ı k procvicˇenı´ vsˇech prˇedesˇlyćh vzorcu˚: 2. Urcˇete cˇ´ıslo m, je-li: 1

a) m = 491− 4 log7 25 ˇ esˇenı´: R 49 1 1 2 m = 491− 4 log7 25 = 72− 2 log7 5 = 72−log7 5 = 7log7 49−log7 5 = 7log7 5 = b) m = log log

p√ 5 10

ˇ esˇenı´: R p√ 1 m = log log 5 10 = log log 10 10 = log

1 10 log 10

= −1

1

c) m = 81 log5 3 ˇ esˇenı´: R 1

m = 81 log5 3 = 81log3 5 = 92 log3 5 = 34 log3 5 = 54 = 625 d) m = log2

2 3

+ log4

9 4

2 3

+ log4

9 4

ˇ esˇenı´: R m = log2 =

log4 1 2

2 3

= log2 32 − 2 log4 23 =

log4 23 log4 2

− 2 log4 23 =

− 2 log4 23 = 2 log4 23 − 2 log4 23 = 0

e) m = 32 log3 2+log3 5 ˇ esˇenı´: R m = 32 log3 2+log3 5 = 3log3 4+log3 5 = 3log3 20 = 20 f) m =

1 1 1 + − log2 3 log4 9 log8 3

ˇ esˇenı´: R 1 1 1 1 1 1 m= + − = + − = log2 3 log4 9 log8 3 log2 3 2 log4 3 log8 3 = log3 2 + 21 log3 4 − log3 8 = log3 2 + log3 2 − 3 log3 2 = − log3 2

49 5


33

g) m = 36log6 5 + 101−log 2 − 3log9 36 ˇ esˇenı´: R m = 36log6 5 + 101−log 2 − 3log9 36 = 6log6 25 + 10log 10−log 2 − 32 log9 6 = = 25 + 10log 5 − 9log9 6 = 25 + 5 − 6 = 24 3. Pomocı´ cˇ´ısel a, b, c vyja´drˇete cˇ´ıslo x: a) x = log100 40; a = log2 5 ˇ esˇenı´: Opeˇt pomocı´ vzorcu˚ z prˇ´ıkladu 1 postupneˇ upravı´me vy´raz pro x tak, R aby obsahoval vy´raz a = log2 5: log2 5 + 3 log2 5 · 23 a+3 log2 40 = = x = log100 40 = = 2 2 log2 100 log2 5 · 2 2 log2 5 + 2 2(a + 1) b) x = log6 16; a = log12 27 ˇ esˇenı´: Nejdrˇ´ıve je vhodne´ upravit cˇ´ıslo a: R a = 3 log12 3 =

3 3 3 = = 2 log3 12 log3 2 · 3 + 1 2 log3 2 + 1

a nynı´ z te´to rovnice vyja´drˇ´ıme, cˇemu je roven vy´raz log3 2: log3 2 =

3 a

−1 3−a = . 2 2a

Zadane´ cˇ´ıslo x vyja´drˇeme pomocı´ cˇ´ısla log3 2, za ktere´ pote´ dosadı´me vy´raz 3−a 2a : 3−a log3 2 log3 2 3−a x = log6 16 = 4 log6 2 = 4 · = 4· = 4 · 2a3−a = 4 · log3 6 1 + log3 2 3+a 1 + 2a 1 c) x = log 300 ; a = log 2, b = log 3, c = log 5

ˇ esˇenı´: x = log 1 = − log 22 · 3 · 52 = − (log 3 + 2 log2 +2 log5 ) = −b − 2a − R 300 − 2c d) x = log140 63; a = log2 3, b = log3 5, c = log7 2 ˇ esˇenı´: Na tomto prˇ´ıkladu si uka´zˇeme jiny´ postup rˇesˇenı´: R 140x = 63, x 22 · 5 · 7 = 32 · 7, 22x · 5x · 7x = 32 · 7.


34

Zlogaritmujme nynı´ celou rovnici prˇi za´kladu 2 a vyuzˇijme pravidla, zˇe logaritmus soucˇinu je roven soucˇtu logaritmu˚: log2 22x + log2 5x + log2 7x = log2 32 + log2 7 x · (2 + log2 5 + log2 7) = 2 log2 3 + log2 7 log3 5 x· 2+ + log2 7 = 2 log2 3 + log2 7 log3 2 ! 1 b 1 = 2a + x· 2+ 1 + c c a x=

2ac + 1 abc + 2c + 1

4. Zjednodusˇte vy´raz V = (loga b + logb a + 2) (loga b − logab b) logb a − 1. Vy´raz ma´ smysl, je-li a > 0, b > 0, a 6= 1, b 6= 1 a ab 6= 1. ˇ esˇenı´: R V = (loga b + logb a + 2)(loga b − logab b) log ba−1 = 1 1 1 + logb a + 2 − logb a − 1 = = log a log a log ab b b b 1 1 1 = + logb a + 2 − logb a − 1 logb a logb a logb a + logb b Pro zjednodusˇenı´ zaved’me substituci y = logb a:

1 V = +y+2 y = loga b

1 1 (1 + y)2 1 1 1 − y−1 = · ·y−1 = = = y y+1 y y(y + 1) y logb a

5. Dokazˇte na´sledujıćı´ implikace: a) a2 + b2 = 7ab =⇒ log

a + b log a + log b = 3 2

(a > 0, b > 0)

ˇ esˇenı´: Zacˇneme u´pravou rovnosti na leve´ straneˇ implikace, a to tak, zˇe ke R kazˇde´ jejı´ straneˇ prˇicˇteme vy´raz 2ab: a2 + 2ab + b2 = 9ab (a + b)2 = 9ab. Nynı´ zlogaritmujeme a upravı´me do na´sledujıćı´ho tvaru: 2 log (a + b) = log 9 + log a + log b 2 log (a + b) − 2 log 3 = log a + log b (a + b) log a + log b log = . 3 2


35

Tı´m je implikace doka´zańa. b) a2 + 9b2 = 10ab =⇒ log3

a + 3b log3 a + log3 b = 4 2

(a > 0, b > 0)

ˇ esˇenı´: Tentokra´t prˇicˇteme k obeˇma strana´m rovnosti vy´raz 6ab a pote´ opeˇt R zlogaritmujeme: a2 + 6ab + 9b2 = 16ab log3 (a + 3b)2 = log3 16 + log3 a + log3 b 2 log3 (a + 3b) − 2 log3 4 = log3 a + log3 b a + 3b log3 a + log3 b log3 = 4 2 Tı´m je implikace doka´zańa. Ma´me jizˇ tedy „procvicˇene´“ u´pravy vy´razu˚ obsahujıćı´ logaritmy a mu˚zˇeme se pustit do rˇesˇenı´ exponencia´lnıćh a logaritmickyćh rovnic: ˇ esˇte v R na´sledujıćı´ rovnice: 6. R a) 2x + (0,5)2x−3 − 6 · (0,5)x = 1 ˇ esˇenı´: Nejdrˇ´ıve prˇevedeme vsˇechny mocniny na stejny´ za´klad: R 2x + 2−2x+3 − 6 · 2−x = 1 2x + 8 · (2x )−2 − 6 · (2x )−1 = 1. Pro usnadneˇnı´ dalsˇ´ıch za´pisu˚ zaved’me substituci y = 2x : 1 1 −6· = 1 2 y y 3 2 y − y − 6y + 8 = 0 (y − 2) y2 + y − 4 = 0. y+8·

Vyrˇesˇenı´√ m kvadraticke´ rovnice pak zı´ska´va´me tyto korˇeny: y1 = 2, y2,3 = −1 ± 17 = , ovsˇem je zapotrˇebı´ se vra´tit k pu˚vodnı´ promeˇnne´, tedy dosadit 2 zpeˇt do substituce: y1 = 2 ⇒ 2x = 2 ⇒ x1 = 1 √ √ −1 + 17 17 − 1 y2 = > 0 ⇒ x2 = log2 2√ 2 √ −1 − 17 −1 − 17 y3 = < 0 ⇒ rovnice 2x = nema´ rˇesˇenı´. 2 2 Dana´ exponencia´lnı´ rovnice ma´ tedy v R dveˇ rˇesˇenı´, a to x1 = 1 a vy´sˇe uvedene´ x2 .


36

b) 4x + 2x+1 − 24 = 0 ˇ esˇenı´: Opeˇt prˇevedeme mocniny na stejny´ za´klad a zavedeme substituci R y = 2x : 22x + 2 · 2x − 24 = 0 y2 + 2y − 24 = 0

Uvedena´ kvadraticka´ rovnice ma´ 2 korˇeny: y1 = 4, y2 = −6. Po dosazenı´ do substituce zı´ska´me na´sledujıćı´ rovnice: y1 : 2x = 4 ⇒ x = 2 y2 : 2x = −6 , tato rovnice nema´ rˇesˇenı´. Pu˚vodnı´ rovnice ma´ tedy jedine´ rˇesˇenı´, a to x = 2. c) 5x + 5x+1 + 5x+2 = 3x + 3x+1 + 3x+2 ˇ esˇenı´: Zatı´m jsme rˇesˇili pouze rovnice o jedine´m za´kladu mocniny, nynı´ vsˇak R ma´me za´klady dva: 5 a 3, prˇicˇemzˇ se jedna´ o dalsˇ´ı typ exponencia´lnıćh rovnic, ktery´ je svy´m postupem rˇesˇenı´ specificky´. Nejdrˇ´ıve upravı´me obeˇ strany na soucˇin: 5x + 5 · 5x + 25 · 5x = 3x + 3 · 3x + 9 · 3x 5x · (1 + 5 + 25) = 3x · (1 + 3 + 9) . ax a x Vyuzˇijme vlastnosti mocnin x = , pote´ zlogaritmujme obeˇ strany rovnice b b a po u´praveˇ jizˇ zı´ska´me rˇesˇenı´: x 13 5 = 3 31 x (log 5 − log 3) = log 13 − log 31 log 13 − log 31 x= log 5 − log 3

d) 9x

2 −1

− 36 · 3x

2 −3

+3 = 0

ˇ esˇenı´: Zadańı´ sice vypada´ dı´ky druhy´m mocnina´m nezna´me´ x slozˇiteˇji, ovsˇem R postup rˇesˇenı´ rovnice je stejny´, nejdrˇ´ıve upravı´me mocniny na stejny´ za´klad a


37 2

zavedeme substituci y = 3x : 2

2

32x −2 − 36 · 3x −3 + 3 = 0 1 2x2 4 x2 ·3 − ·3 +3 = 0 9 3 2 y − 12y + 27 = 0. Tato kvadraticka´ rovnice ma´ opeˇt 2 rˇesˇenı´: y1 = 3, y2 = 9, vrat’me se proto k pu˚vodnı´ nezna´me´: 2

3x = 3 ⇒ x2 = 1 ⇒ x1 = 1, x2 = −1 √ √ 2 y2 : 3x = 9 ⇒ x2 = 2 ⇒ x3 = 2, x4 = − 2.

y1 :

Zna´me jizˇ tedy vsˇechna rˇesˇenı´ dane´ rovnice a vidı´me, zˇe jedinou slozˇiteˇjsˇ´ı cˇa´stı´ rˇesˇenı´ byl prˇechod od pu˚vodnı´ nezna´me´ k nezna´me´ substitucˇnı´. e) |x|x

2 −2x

=1

ˇ esˇenı´: Tuto rovnici vyrˇesˇ´ıme u´vahou: rovnost ab = 1 je mozˇna´, je-li bud’ R a = 1 (a b je libovolne´), nebo b = 0 (a a 6= 0 libovolne´). Pro splneˇnı´ zadane´ rovnice jsou tedy pouze dveˇ mozˇnosti: (a) |x| = 1, prˇicˇemzˇ te´to rovnici odpovı´dajı´ hodnoty x1 = 1 a x2 = −1 ˇ esˇenı´m te´to kvadraticke´ rovnice zı´ska´me trˇetı´ hodnotu (b) x2 −2x = 0 a x 6= 0. R x3 = 2. Cˇ´ısla −1, 1 a 2 jsou tedy rˇesˇenı´mi zadane´ rovnice. f) 10x − 5x−1 · 2x−2 = 950 ˇ esˇenı´: Zapı´sˇeme-li mocninu 10x jako soucˇin mocnin 5x a 2x , bude jizˇ na´sledne´ R rˇesˇenı´ jednoduche´: 1 1 5x · 2x − · 5x · 2x · = 950 5 4 1 5x · 2x · 1 − = 950 20 950 (5 · 2)x = 19 20

10x = 1000. Rˇesˇenı´m dane´ rovnice je tedy cˇ´ıslo 3. √ x √ x g) 2 + 3 + 2 − 3 = 4


38

ˇ esˇenı´: Na prvnı´ pohled ma´me zadańy dveˇ x−te´ mocniny dvou zcela „jinyćh“ R cˇ´ısel, ovsˇem snadno se prˇesveˇdcˇ´ıme, zˇe jde o cˇ´ısla navza´jem prˇevraćena´: √ √ 2 + 3 2 − 3 = 4 − 3 = 1. √ √ Zavedeme-li tedy oznacˇenı´ y = 2 + 3, pak 2 − 3 =

1 y

a rovnice zı´ska´ tvar:

yx + y−x = 4. Celou rovnici vyna´sobme vy´razem yx : y2x + 1 − 4yx = 0. Opeˇt jizˇ stacˇ´ı vyrˇesˇit tuto kvadratickou rovnici pro nezna´mou t = yx , jejı´mizˇ √ √ korˇeny jsou cˇ´ısla t1 = 2 + 3 a t2 = 2 − 3. Nesmı´me ovsˇem zapomenout, zˇe jsme provedli substituci, tedy konecˇny´m rˇesˇenı´m zadane´ rovnice jsou cˇ´ısla x1 = 1 a x2 = −1. h) 3 · 16x + 37 · 36x = 26 · 81x ˇ esˇenı´: Zadańı´ te´to exponencia´lnı´ rovnice mu˚zˇe na mnohe´ zˇa´ky pu˚sobit R za´ludneˇ, obzvla´sˇteˇ, nevsˇimnou-li si, zˇe cˇ´ısla 16, 36 a 81 je mozˇne´ rozlozˇit na soucˇin mocnin cˇ´ısel 2 a 3: 3 · 24x + 37 · 62x = 26 · 34x 3 · 24x + 37 · (3 · 2)2x = 26 · 34x . Docı´li jsme tedy tvaru rovnice, ve ktere´m se vyskytujı´ pouze mocniny cˇ´ısel 2 a 3, a nynı´ provedeme stejny´ postup jako u prˇ´ıkladu 6c). Celou rovnici tedy vydeˇlı´me vy´razem 34x , prˇicˇemzˇ vı´me, zˇe se nikdy nejedna´ o 0: 2x 4x 2 2 + 37 · = 26. 3· 3 3 Nynı´ se samozrˇejmeˇ nabı´zı´ vhodna´ substituce y = na jednoduchou kvadratickou rovnici:

2 2x , dı´ky nı´zˇ se dostaneme 3

3y2 + 37y − 26 = 0. ˇ esˇenı´mi te´to rovnice jsou cˇ´ısla −13 a 2 . Zatı´mco rovnice 2 2x = −13 nema´ R 3 3 2x 2 rˇesˇenı´, druha´ rovnice 23 = 3 ma´ pra´veˇ jedno rˇesˇenı´ a tı´m je x = 1. To je i jedine´ rˇesˇenı´ pu˚vodnı´ zadane´ rovnice. i) 6 · 9x − 13 · 6x + 6 · 4x = 0


39

ˇ esˇenı´: Stejneˇ jako u minule´ho prˇ´ıkladu je i tady zapotrˇebı´ uveˇdomit si, zˇe je R mozˇne´ rovnici upravit tak, aby se v nı´ vyskytovaly pouze mocniny cˇ´ısel 2 a 3: 6 · 32x − 13 · 2x · 3x + 6 · 22x = 0. Vydeˇlme tentokra´t kladny´m nenulovy´m vy´razem 22x : 2x x 3 3 6· − 13 · + 6 = 0. 2 2 x Korˇeny kvadraticke´ rovnice pro nezna´mou y = 32 , jejı´zˇ rˇesˇenı´ opeˇt necha´me na cˇtena´rˇi, jsou cˇ´ısla 32 a 32 . Odtud vyply´va´, zˇe rˇesˇenı´m zadane´ exponencia´lnı´ rovnice jsou cˇ´ısla x1 = 1 a x2 = −1. x 7 3 j) + = 2x 5 5 ˇ esˇenı´: Tuto exponencia´lnı´ rovnici vyrˇesˇme u´vahou: leva´ strana rovnice zada´R x x va´ funkci f (x) = 35 + 75 , jezˇ je stejneˇ jako funkce y = 53 , klesajıćı´. Naproti tomu prava´ strana rovnice g(x) = 2x je funkcı´ rostoucı´. Grafy funkcı´ f a g se tedy mohou protnout v jedine´m bodeˇ, jehozˇ x-ova´ sourˇadnice bude hledany´m rˇesˇenı´m rovnice f (x) = g(x). Ze zadańı´ snadno vidı´me, zˇe je jı´m hodnota x = 1, nebot’ 53 + 75 = 2. k) 4x + 6x = 2 · 9x ˇ esˇenı´: Cˇ´ısla 4, 6 a 9 opeˇt napovı´dajı´, zˇe bude nejlepsˇ´ı prˇepsat zadańı´ do tvaru R obsahujıćı´ho pouze mocniny 2 a 3: 22x + 2x · 3x = 2 · 32x . Pokracˇujme stejneˇ jako v prˇedchozıćh prˇ´ıkladech, tedy vydeˇlenı´m cele´ rovnice nenulovy´m vy´razem 32x : 2x x 2 2 + − 2 = 0. 3 3 x Opeˇt tedy pomeˇrneˇ jednoducha´ kvadraticka´ rovnice pro nezna´mou y = 32 , jejı´mizˇ rˇesˇenı´mi jsoucˇ´ısla 1 a −2. Po na´vratu k pu˚vodnı ´ promeˇnne´ x tedy 2 x 2 x zı´ska´va´me rovnici 3 = 1 s rˇesˇenı´m x = 0 a rovnici 3 = −2, ktera´ ovsˇem nema´ rˇesˇenı´. Pu˚vodnı´ rovnice tak ma´ jedine´ rˇesˇenı´ x = 0. Od exponencia´lnıćh rovnic nynı´ prˇejdeˇme k rovnicı´m logaritmicky´m. Mu˚zˇeme rˇ´ıci, zˇe rˇesˇenı´ teˇchto rovnic budou podobna´ jako u prˇedchozıćh prˇ´ıkladu˚, ovsˇem nesmı´me zapomıńat, zˇe je v prˇ´ıpadeˇ logaritmu˚ trˇeba pohlı´zˇet take´ na definicˇnı´ obor, nebot’ logaritmovany´ vy´raz musı´ by´t vzˇdy kladny´.


40

ˇ esˇte v R na´sledujıćı´ rovnice: 7. R a) log 29 − x = log 92 − log x ˇ esˇenı´: U tohoto i vsˇech na´sledujıćıćh prˇ´ıkladu˚ se budeme ze vsˇeho nejdrˇ´ıve R zaby´vat urcˇenı´m definic ˇ nı´ho oboru. 9 Definicˇnı´ obor: 2 − x > 0 ∧ x > 0 ⇔ x ∈ 0; 29 Prˇi rˇesˇenı´ logaritmicke´ rovnice se zpravidla snazˇ´ıme prˇeve´st zadańı´ na rovnost dvou logaritmu˚, abychom pote´ mohli rovnici odlogaritmovat. K tomuto prˇevodu vyuzˇ´ıva´me vsˇech pravidel, ktera´ jsme uvedli v minule´ kapitole. V nasˇ´ı u´loze tedy uzˇijme pravidlo o rozdı´lu dvou logaritmu˚ a prˇeved’me zadańı´ na rovnost logaritmu˚: 9 9 − 2x = log . log 2 2x Dı´ky tomu, zˇe je funkce y = loga x pro kazˇde´ kladne´ cˇ´ıslo a ru˚zne´ od 1 prosta´, mu˚zˇeme rovnici odlogaritmovat, tj. ekvivalentneˇ prˇepsat do tvaru: 9 − 2x 9 = 2 2x 2 9x − 2x − 9 = 0. 2x Stacˇ´ı tedy vyrˇesˇit tuto rovnici. Rovnou z jejı´ho zadańı´ je zrˇejme´, zˇe x 6= 0 a 9x − 2x2 − 9 = 0, prˇicˇemzˇ rˇesˇenı´m kvadraticke´ rovnice jsou 32 a 3. Obeˇ hodnoty lezˇ´ı v na´mi stanovene´m definicˇnı´m oboru, tedy jsou rˇesˇenı´mi pu˚vodnı´ logaritmicke´ rovnice. log 35 − x3 b) =3 log (5 − x) ˇ esˇenı´: R √ . 3 > 0∧5−x > 0∧log(5−x) 6= 0 ⇔ x < 3 35 = Definicˇnı´ obor: 35−x 3,27∧x < √ < 5 ∧ x 6= 4 ⇔ x < 3 35 Protozˇe v definicˇnı´m oboru je log(5 − x) 6= 0, mu˚zˇeme v neˇm prove´st ekvivalentnı´ u´pravy: nejprve se zbavit zlomku vyna´sobenı´m cele´ rovnice jeho jmenovatelem a pak rovnici odlogaritmovat: log 35 − x3 = 3 · log (5 − x) log 35 − x3 = log (5 − x)3 35 − x3 = (5 − x)3 35 − x3 = 125 − 325x + 15x2 − x3 0 = 15x2 − 75x + 90. Logaritmicka´ rovnice se tedy opeˇt zredukovala na rˇesˇenı´ kvadraticke´ rovnice, jejı´mizˇ korˇeny jsou cˇ´ısla 2 a 3, ktera´ obeˇ lezˇ´ı v definicˇnı´m oboru, jenzˇ jsme


41

stanovili na zacˇa´tku, jedna´ se tedy o rˇesˇenı´ pu˚vodnı´ rovnice (zkousˇka nenı´ nutna´). c) log 5 + log (x + 10) = 1 − log (2x − 1) + log (21x − 20) ˇ esˇenı´: R 20 Definicˇnı´ obor: x + 10 > 0 ∧ 2x − 1 > 0 ∧ 21x − 20 > 0 ⇔ x > 21 Nasˇ´ım cı´lem je prˇeve´st rovnici na rovnost dvou logaritmu˚, obeˇ strany tedy upravme pomocı´ pravidel o soucˇtu a rozdı´lu logaritmu˚ a za´rovenˇ prˇeved’me 1 na log 10: 10 · (21x − 20) 2x − 1 210x − 200 log (5x + 50) = log . 2x − 1

log (5 · (x + 10)) = log

Po odlogaritmovańı´ rovnici vyna´sobı´me vy´razem 2x − 1, ktery´ je na definicˇnı´m oboru nenulovy´ (totizˇ kladny´). Po vyna´sobenı´ a u´praveˇ zı´ska´me kvadratickou rovnici 2x2 − 23x + 30 = 0, jejı´mizˇ korˇeny jsou cˇ´ısla 32 a 10, ktera´ opeˇt obeˇ lezˇ´ı v definicˇnı´m oboru, takzˇe to jsou rˇesˇenı´ zadane´ rovnice. d) log4 log2 log3 (2x − 1) =

1 2

ˇ esˇenı´: R Definicˇnı´ obor: log2 log3 (2x − 1) > 0 ⇔ log3 (2x − 1) > 1 ⇔ 2x − 1 > 3 ⇔ x > > 2. Dalsˇ´ım typem logaritmickyćh rovnic, se ktery´mi se cˇasto setka´me je pra´veˇ tento, je prˇitom zapotrˇebı´ uveˇdomit si stavbu vy´razu na leve´ straneˇ rovnice a vzpomenout na tvrzenı´, zˇe logaritmus cˇ´ısla r o za´kladu a je takove´ cˇ´ıslo v, pro ktere´ platı´ av = r. Pomocı´ tohoto tvrzenı´ tedy budeme postupneˇ rovnici ekvivalentneˇ zjednodusˇovat: 1 2 1 log2 log3 (2x − 1) = 4 2 = 2

log4 log2 log3 (2x − 1) =

log3 (2x − 1) = 22 = 4 2x − 1 = 34 = 81 x = 41. Rovnice ma´ jedine´ rˇesˇenı´, a to cˇ´ıslo 41.


42

e) log (20 − x) = log3 x ˇ esˇenı´: R Definicˇnı´ obor: 20 − x > 0 ∧ x > 0 ⇔ x ∈ (0; 20) Samotne´ zadańı´ rovnice napovı´da´, zˇe se nejedna´ o typickou u´lohu, proto ji vyrˇesˇ´ıme u´vahou o monotońnosti funkcı´ f (x) = log (20 − x) a g(x) = log3 x, a to pouze na intervalu (0; 20), prˇicˇemzˇ jedno rˇesˇenı´ rovnice je mozˇne´ okamzˇiteˇ uhodnout: x = 10. Podı´vejme se tedy nejdrˇ´ıve, jak se dane´ funkce budou chovat na intervalu (0; 10): log (20 − x) > log 10 = 1 log3 x < 1, takzˇe rovnost f (x) = g(x) pro zˇa´dne´ x ∈ (0, 10) nenastane. Na intervalu (10; 20) bude naopak platit f (x) < 1 < g(x), tedy rovnost f (x) = g(x) nastane pouze v pro x = 10. To je tedy jedine´ rˇesˇenı´. f) log2 x2 − 1 = log 1 (x − 1) 2

ˇ esˇenı´: R Definicˇnı´ obor: x2 − 1 > 0 ∧ x − 1 > 0 ⇔ x > 1 Zadańı´ te´to logaritmicke´ rovnice jizˇ sice je rovnostı´ dvou logaritmu˚, avsˇak o ru˚znyćh za´kladech. Abychom mohli rˇesˇit da´le, je potrˇeba prˇeve´st oba logalog b ritmy na stejny´ za´klad. K tomu vyuzˇijeme pravidla loga b = logc a pro a = 12 a c c = 2: log2 (x − 1) log2 x2 − 1 = log2 12 log2 x2 − 1 = − log2 (x − 1) 1 x2 − 1 = . x−1 Vyna´sobı´me-li celou rovnici vy´razem x−1 (ktery´ je v definicˇnı´m oboru kladny´), zı´ska´me√kubickou rovnici x3 − x2 − x + 1 − 1 = 0, jejı´mizˇ korˇeny jsou x1 =√0, √ x2 = 1+2 5 a x3 = 1−2 5 . Rˇesˇenı´m pu˚vodnı´ rovnice vsˇak bude pouze x2 = 1+2 5 , nebot’ostatnı´ korˇeny nelezˇ´ı v definicˇnı´m oboru. g) log4 (x + 12) · logx 2 = 1 ˇ esˇenı´: R Definicˇnı´ obor: x + 12 > 0 ∧ x > 0 ∧ x 6= 1 ⇔ x ∈ (0; 1) ∪ (1; ∞).


43

Pro zjednodusˇenı´ prˇeved’me oba logaritmy na za´klad 2: log2 (x + 12) log2 2 · =1 log2 4 log2 x log2 (x + 12) = 1. log2 x2 Protozˇe na definicˇnı´m oboru je x2 6= 1, a tedy log2 x2 6= 0, mu˚zˇeme ekvivalentneˇ odstranit zlomek a pak odlogaritmovat: log2 (x + 12) = log2 x2 x + 12 = x2 . Tato kvadraticka´ rovnice ma´ dva korˇeny x1 = −3 a x2 = 4. Korˇen x1 vsˇak nelezˇ´ı v definicˇnı´m oboru logaritmicke´ rovnice, tedy jejı´m rˇesˇenı´m je pouze korˇen x2 = 4. √ h) log0,5x x2 − 14 log16x x3 + 40 log4x x = 0 ˇ esˇenı´: R 1 ∧ x 6= 41 . Definicˇnı´ obor: x > 0 ∧ x 6= 2 ∧ x 6= 16 Cˇ´ısla 0,5, 4 a 16 v za´kladech logaritmu˚ napovı´dajı´, zˇe by bylo vhodne´ prˇeve´st je vsˇechny na za´klad 2: 2 · log2 x 14 · 3 · log2 x 40 · 12 · log2 x − + = 0. log2 24 x log2 22 x log2 12 x Logaritmy soucˇinu ve jmenovatelıćh rozdeˇlme na soucˇet logaritmu˚: 42 log2 x 20 log2 x 2 log2 x − + =0 −1 + log2 x 4 + log2 x 2 + log2 x a pro jednoduchost zaved’me substituci y = log2 x: 2y 42y 20y − + = 0. y−1 4+y 2+y Podle definicˇnı´ho oboru pu˚vodnı´ rovnice vı´me, zˇe novou nezna´mou y budeme hledat v oboru urcˇene´m podmıńkami: y ∈ R, y 6= 1, y 6= −4 a y 6= −2. Za nich mu˚zˇeme rovnici vyna´sobit soucˇinem (y − 1) (4 + y) (2 + y) a da´le upravit: 2y (4 + y) (2 + y) − 42y (y − 1) (2 + y) + 20y (y − 1) (4 + a) = 0 2y3 + 12y2 + 16y − 42y3 − 42y2 + 84y + 20y3 + 60y2 − 80y = 0 20y3 − 30y2 − 20y = 0 Korˇeny upravene´ rovnice jsou y1 = 0, y2 = 2 a y3 = − 12 , tedy rˇesˇenı´mi pu˚vodnı´ √ rovnice budou cˇ´ısla x1 = 1, x2 = 4 a x3 = oboru.

2 ´ vsˇechna patrˇ´ı do definicˇne´ho 2 , ktera


44

i) xlog x = 103 x2 ˇ esˇenı´: R Definicˇnı´ obor: x > 0 V prˇ´ıpadeˇ, zˇe rovnici zlogaritmujeme prˇi za´kladu 10 a pouzˇijeme pravidla o logaritmu soucˇinu, zadańı´ se na´m vy´razneˇ zjednodusˇ´ı: log x · log x = log 103 + log x2 log2 x − 2 log x − 3 = 0. Tato rovnice je kvadraticka´ pro nezna´mou y = log x a ma´ korˇeny y1 = 3 a 1 . y2 = −1, ktere´ odpovı´dajı´ rˇesˇenı´ pu˚vodnı´ rovnice x1 = 1000 a x2 = 10 j) xlog3 x+1 = 9x2 ˇ esˇenı´: R Definicˇnı´ obor: x > 0 Postup rˇesˇenı´ te´to rovnice bude podobny´ jako u minule´ho prˇ´ıkladu, rovnici tedy celou zlogaritmujme, tentokra´t prˇi za´kladu 3: (log3 x + 1) log3 x = log3 9 + log3 x2 log23 x − log3 x − 2 = 0. Rˇesˇenı´m kvadraticke´ rovnice pro nezna´mou y = log3 x dojdeme k na´sledujıćı´m rovnicı´m: log3 x = 2 ⇔ x = 9 a log3 x = −1 ⇔ x = 31 . Dana´ logaritmicka´ rovnice ma´ tedy rˇesˇenı´ x1 = 9 a x2 = 13 . k) 16logx 2 = 8x ˇ esˇenı´: R Definicˇnı´ obor: x > 0 ∧ x 6= 1. Nenechme se odradit nezna´mou v za´kladu logaritmu a pouzˇijme stejnou metodu jako v prˇedchozıćh prˇ´ıkladech, tedy zlogaritmujme celou rovnici prˇi nezna´me´m za´kladu x: logx 2 · logx 16 = logx 8 + logx x logx 2 · 4 logx 2 = 3 logx 2 + 1 4 log2x 2 − 3 logx 2 − 1 = 0. Korˇeny te´to kvadraticke´ rovnice pro nezna´mou y = logx 2 jsou cˇ´ısla y1 = 1 a y2 = − 41 , tudı´zˇ pro pu˚vodnı´ nezna´mou x zı´ska´me 2 rovnice: logx 2 = 1 ⇔ x1 = 2 ⇔ x = 2 1 1 1 logx 2 = − ⇔ x− 4 = 2 ⇔ x = 2−4 = . 4 16


45

Pu˚vodnı´ rovnice ma´ dveˇ rˇesˇenı´ x1 = 2 a x2 =

1 16 .

l) 15log5 3 · x1+log5 9x = 1 ˇ esˇenı´: R Definicˇnı´ obor: x > 0 Zlogaritmujeme-li celou rovnici prˇi za´kladu 5 a pouzˇijeme-li pak pravidlo o logaritmu soucˇinu, zı´ska´me postupneˇ: log5 15log5 3 + log5 x1+log5 9x = log5 1 log5 3 · log5 15 + (1 + log5 9x) · log5 x = log5 1 log5 3 · log5 15 + 2 log5 3 · log5 x + log25 x + log5 x = 0. Zjednodusˇme si rˇesˇenı´ substitucı´ y = log5 x: y2 + y (2 log5 3 + 1) + log5 3 · log5 15 = 0 a pokusme se nynı´ nale´zt korˇeny te´to „slozˇite´“ kvadraticke´ rovnice pomocı´ Vietovyćh vztahu˚. Hleda´me takove´ dva cˇ´ıselne´ vy´razy y1 a y2 , pro neˇzˇ platı´: y1 · y2 = log5 3 · log5 15 a y1 + y2 = − (2 log5 3 + 1). Nabı´zı´ se hodnoty y1 = − log5 3 a y2 = − log5 15, ktere´ zrˇejmeˇ splnˇujı´ rovnost pro soucˇin. Pro jejich soucˇet platı´: − log5 3 − log5 15 = − log5 3 − (log5 3 + 1) = −2 log5 3 − 1, takzˇe je splneˇna i podmıńka pro soucˇet. Zna´me tedy korˇeny y1 a y2 a mu˚zˇeme se vra´tit k pu˚vodnı´ nezna´me´ x: 1 1 log5 x = − log5 3 = log5 ⇔ x = 3 3 1 1 log5 x = − log5 15 = log5 ⇔x= . 15 15 1 Obeˇ cˇ´ısla x1 = 13 a x2 = 15 patrˇ´ı do definicˇnı´ho oboru, jsou to tedy rˇesˇenı´m pu˚vodnı´ rovice. x

m) xlog2 98 · 14log2 7 = 1 ˇ esˇenı´: R x Definicˇnı´ obor: 98 >0⇔x>0 Postup rˇesˇenı´ te´to rovnice bude stejny´ jako v prˇedchozı´m prˇ´ıpadeˇ, nejdrˇ´ıve celou rovnici zlogaritmujeme prˇi za´kladu 2 a pote´ upravı´me do jednodusˇsˇ´ıho tvaru: x

log2 xlog2 98 + log2 14log2 7 = log2 1 x log2 · log2 x + log2 7 · log2 14 = 0 98 (log2 x − log2 98) · log2 x + log2 7 · log2 14 = 0 log22 x − log2 x · log2 98 + log2 7 · log2 14 = 0.


46

Vhodnou substitucı´ (y = log2 x) prˇevedeme opeˇt na kvadratickou rovnici: y2 − y log2 98 + log2 7 · log2 14 = 0 a pomocı´ Vietovyćh vztahu˚ najdeme korˇeny te´to rovnice. Protozˇe cˇ´ıslo 98 je soucˇinem cˇ´ısel 7 a 14, je rˇesˇenı´ prˇ´ımo viditelne´: y1 = log2 7 a y2 = log2 14. Dosazenı´m zpeˇt do substituce dospeˇjeme k na´sledujıćı´m rovnicı´m a rˇesˇenı´ pu˚vodnı´ logaritmicke´ rovnice: log2 x = log2 7 ⇔ x = 7 a log2 x = log2 14 ⇔ x = ˇ esˇenı´m jsou tedy cˇ´ısla 7 a 14. = 14. R √ √ √ n) log 1 + x + 3 log 1 − x = log 1 − x2 + 2 ˇ esˇenı´: R Definicˇnı´ obor: 1 + x > 0 ∧ 1 − x > 0 ∧ 1 − x2 > 0 ⇔ x ∈ (−1, 1). Prˇeved’me rovnici na rovnost dvou dekadickyćh logaritmu˚ a pak odlogaritmujme: q p 3 (1 + x) (1 − x) = log 1 − x2 · 100 log q p (1 + x) (1 − x)3 = 1 − x2 · 100. Celou rovnici umocneˇme a upravme vy´raz pod levou odmocninou: 1 − x2 (1 − x)2 = 1 − x2 · 10 000. Zdu˚razneˇme, zˇe na definicˇnı´m oboru byly oba vy´razy pod odmocninou kladne´, takzˇe umocneˇnı´ byla ekvivalentnı´ u´prava, stejneˇ jako bude vydeˇlenı´ vy´razem 1 − x2 , ke ktere´mu nynı´ prˇistoupı´me: (1 − x)2 = 10 000 1 − x = ±100. Ani jeden z obou korˇenu˚ 101 a 99 v definicˇnı´m oboru (−1, 1) zadane´ rovnice nelezˇ´ı, ta tedy nema´ zˇa´dne´ rˇesˇenı´. 3

o) xloga x = aloga x , kde a > 0, a 6= 1 ˇ esˇenı´: R Definicˇnı´ obor: x > 0 Postupovat budeme podobneˇ jako prˇi rˇesˇenı´ prˇedchozıćh prˇ´ıkladu˚, tedy zlogaritmujeme celou rovnici prˇi za´kladu a: loga x · loga x = log3a x log2a x − log3a x = 0 log2a x (1 − loga x) = 0. Rˇesˇenı´ se na´m rozpada´ na 2 cˇa´sti:


47

1) loga x = 0 ⇒ x1 = a0 = 1 2) loga x = 1 ⇒ x2 = a1 = a Dana´ rovnice ma´ tedy dveˇ rˇesˇenı´, jimizˇ jsou cˇ´ısla 1 a a. Kromeˇ exponencia´lnıćh a logaritmickyćh rovnic jsou soucˇa´stı´ strˇedosˇkolske´ho te´matu Logaritmy take´ exponencia´lnı´ a logaritmicke´ nerovnice, ty se vyznacˇujı´ vysˇsˇ´ım stupneˇm na´rocˇnosti. ˇ esˇte v R nerovnice: 8. R a)

1 2x − 1

>

1 1 − 2x−1

ˇ esˇenı´: R Definicˇnı´ obor: 2x 6= 1 ∧ 2x−1 6= 1 ⇔ x 6= 0 ∧ x 6= 1. Upravme rovnici tak, aby obsahovala pouze mocninu 2x : 1

1 >0 1 − 12 2x 1 2 − > 0. 2x − 1 2 − 2x

2x − 1

−

Pro jednodusˇsˇ´ı praći s nerovnicı´ zaved’me substituci y = 2x , prˇi nı´zˇ nova´ nezna´ma´ y je kladna´, budeme tedy substituovanou nerovnici rˇesˇit pouze v oboru R+ : 1 2 − >0 y−1 2−y 4 − 3y > 0. (y − 1) (2 − y) Rˇesˇenı´mi te´to nerovnice jsou vsˇechna y ze sjednocenı´ 1; 43 ∪ (2; ∞). Jelikozˇ je funkce y = 2x rostoucı´, jsou nerovnosti prˇi na´vratu od nove´ k pu˚vodnı´ nezna´me´ zachovańy: 4 = 22−log2 3 ⇔ 0 < x < 2 − log2 3 3 2 = 21 < 2x < ∞ ⇔ 1 < x < ∞.

1 = 20 < 2x <

Mnozˇina rˇesˇenı´ dane´ exponencia´lnı´ nerovnice je sjednocenı´ intervalu˚ (0; 2 − log2 3) ∪ (1; ∞). b)

1 1 > 2x + 3 2x+2 − 1 ˇ esˇenı´: R Definicˇnı´ obor: 2x 6= −3, cozˇ platı´ vzˇdy, nebot’je funkce y = 2x vzˇdy kladna´ a 2x+2 6= 1 ⇔ x 6= −2.


48

Rˇesˇme podobneˇ jak v minule´m prˇ´ıkladu, tedy prˇeved’me vsˇe na levou stranu nerovnice a upravme do tvaru obsahujıćı´ho pouze x−te´ mocniny 2: 1 1 − > 0. 2x + 3 4 · 2x − 1 Zaved’me substituci y = 2x , prˇicˇemzˇ nova´ nezna´ma´ y je vzˇdy kladna´. Opeˇt tedy rˇesˇ´ıme nerovnici v oboru R+ : 1 1 − >0 y + 3 4y − 1 3y − 4 > 0. (y + 3) (4y − 1) Tentokra´t jsou rˇesˇenı´m substituovane´ nerovnice vsˇechna y ∈ 0; 14 ∪ 43 ; ∞ . S uva´zˇenı´m monotonie funkce y = 2x (jedna´ se o funkci rostoucı´) prˇejdeˇme tedy opeˇt k pu˚vodnı´ nezna´me´ x: 0 < 2x <

1 ⇔ −∞ < x < −2 4

4 < 2x < ∞ ⇔ 2 − log2 3 < x < ∞, 3 tudı´zˇ rˇesˇenı´mi zadane´ nerovnice jsou vsˇechna x ∈ (−∞; −2) ∪ (2 − log2 3; ∞). c)

1 3x + 5

≤

1 3x+1 − 1

ˇ esˇenı´: R Definicˇnı´ obor: 3x 6= −5, cozˇ platı´ pro libovolne´ x a 3x+1 6= 1 ⇔ x 6= −1. Postup rˇesˇenı´ zu˚sta´va´ naprosto totozˇny´ jako u prˇedchozıćh prˇ´ıkladu˚, tedy upravı´me a zavedeme substituci y = 3x , kde y je vzˇdy kladne´, proto novou nerovnici rˇesˇme v oboru R+ : 1 1 − ≤0 y + 5 3y − 1 2 (y − 3) ≤0 (y + 5) (3y − 1) a tato nerovnost platı´ pro vsˇechna y z intervalu nezna´me´ x:

1 3;3

. Vrat’me se k pu˚vodnı´

1 = 3−1 < 3x ≤ 3 ⇔ −1 < x ≤ 1 3 ˇ esˇenı´mi pu˚vodnı´ exponencia´lnı´ (dı´ky tomu, zˇe je funkce y = 3x rostoucı´). R nerovnice jsou pak vsˇechna x ∈ (−1; 1i.


49

d) 52x+1 > 5x + 4 ˇ esˇenı´: R Definicˇnı´ obor: Definicˇnı´m oborem jsou vsˇechna rea´lna´ cˇ´ısla. Prˇeved’me vsˇe na levou stranu a zaved’me substituci y = 5x , kde y je vzˇdy kladne´: 5 · 52x − 5x − 4 > 0 5y2 − y − 4 > 0 (5y + 4) (y − 1) > 0. Protozˇe 5y + 4 > 0 pro kazˇde´ y > 0, kladny´mi rˇesˇenı´mi jsou vsˇechna y z intervalu (1; ∞). Prˇi na´vratu k pu˚vodnı´ nezna´me´ x opeˇt vyuzˇijeme vlastnosti funkce y = 3x , totizˇ zˇe je funkcı´ rostoucı´: 1 = 50 < 5x < ∞ ⇔ 0 < x < ∞. Pu˚vodnı´ exponencia´lnı´ nerovnici vyhovujı´ vsˇechna kladna´ x. e) 2x+2 − 2x+3 − 2x+4 > 5x+1 − 5x+2 ˇ esˇenı´: R Definicˇnı´ obor: R Podobny´ prˇ´ıklad jako rovnici jsme rˇesˇili ve cvicˇenı´ 6, postupovat budeme obdobneˇ. Pravou i levou stranu nerovnice upravı´me tak, aby obsahovaly pouze mocniny 2 a 5: 4 · 2x − 8 · 2x − 16 · 2x > 5 · 5x − 25 · 5x −20 · 2x > −20 · 5x 2x < 5x . Na tomto mı´steˇ mu˚zˇeme pokracˇovat bud’ u´vahou, kdy je graf funkce y = 5x nad grafem funkce y = 2x , cozˇ nasta´va´ pro x > 0, nebo celou nerovnici vydeˇlit x vy´razem 5x , ktery´ je vzˇdy kladny´ a jelikozˇ je funkce v = 25 klesajıćı´, bude platit na´sledujıćı´ ekvivalence: x 0 2 2 >1= ⇔ x > 0. 5 5 Zadane´ nerovnici tedy vyhovujı´ vsˇechna kladna´ x. f) 8x + 18x − 2 · 27x > 0 ˇ esˇenı´: R Definicˇnı´ obor: R


50

Cˇ´ısla 8, 18 a 27 napovı´dajı´, zˇe by bylo vy´hodne´ prˇeve´st vsˇechny scˇ´ıtance do tvaru obsahujıćı´ho mocniny cˇ´ısel 2 a 3: 23x + 32x · 2x − 2 · 33x > 0. Nynı´ podobneˇ jako u rovnice tohoto typu vydeˇlme celou nerovnici kladny´m x vy´razem 33x a zaved’me substituci y = 23 , prˇicˇemzˇ y je vzˇdy kladne´: 3x x 2 2 + −2 > 0 3 3 y3 + y − 2 > 0. Prˇesˇli jsme tedy k rˇesˇenı´ kubicke´ nerovnice, kterou mu˚zˇeme prˇepsat do soucˇinove´ho tvaru: (y − 1) y2 + y + 2 > 0, kde druhy´ soucˇinitel je vzˇdy kladny´, takzˇe ma´me rˇesˇit nerovnici y − 1 > 0, ktere´ vyhovujı´ vsˇechna y > 1. Vra´tı´me-li se k pu˚vodnı´ nezna´me´ x za veˇdomı´, x zˇe funkce y = 23 je klesajıćı´, pak x 0 2 2 >1= ⇔ x < 0. 3 3 Rˇesˇenı´mi exponencia´lnı´ nerovnice jsou vsˇechna x z intervalu (−∞; 0). g) log8 x2 − 4x + 3 < 1 ˇ esˇenı´: R Definicˇnı´ obor: Pro zı´skańı´ definicˇnı´ho oboru musı´me vyrˇesˇit tuto kvadratickou nerovnici: x2 − 4x + 3 > 0 (x − 3) (x − 1) > 0. Definicˇnı´m oborem je tedy mnozˇina (−∞; 1) ∪ (3; ∞). Prˇi rˇesˇenı´ logaritmickyćh nerovnic stejneˇ jako u rovnic je nasˇ´ı prvnı´ snahou prˇeve´st zadańı´ do tvaru nerovnice mezi dveˇma logaritmy o stejne´m za´kladu: log8 x2 − 4x + 3 < log8 8. Nynı´ jizˇ prˇejdeˇme k nerovnici mezi logaritmovany´mi vy´razy, tedy jak strucˇneˇ rˇ´ıka´me, nerovnici odlogaritmujeme. Prˇitom ovsˇem za´lezˇ´ı na za´kladu logaritmu: bude-li z intervalu (1; ∞), znak nerovnice zu˚sta´va´ zachovań, bude-li za´klad logaritmu naopak z intervalu (0; 1), je zapotrˇebı´ znak nerovnice obra´tit. V tomto prˇ´ıpadeˇ ma´me za´klad 8 veˇtsˇ´ı nezˇ jedna, znak nerovnice se tedy nezmeˇnı´: x2 − 4x − 5 < 0 (x − 5) (x + 1) < 0.


51

Nerovnici vyhovujı´ vsˇechna x z intervalu (−1; 5), ne vsˇechna z nich vsˇak lezˇ´ı v urcˇene´m definicˇnı´m oboru. Pru˚nikem definicˇnı´ho oboru a mnozˇiny rˇesˇenı´ za´veˇrecˇne´ kvadraticke´ nerovnice je sjednocenı´ intervalu˚ (−1; 1) ∪ (3; 5), prˇicˇemzˇ pra´veˇ ta x, ktera´ lezˇ´ı v te´to mnozˇineˇ, jsou rˇesˇenı´mi zadane´ nerovnice. h) log0,7

x2 − 4x + 6 <0 x

ˇ esˇenı´: R 2 Definicˇnı´ obor: x −4x+6 > 0, kde cˇitatel je vzˇdy kladny´, proto je definicˇnı´ obor x urcˇen nerovnostı´ x > 0. Upravme nynı´ nerovnici do tvaru nerovnosti dvou logaritmu˚ o za´kladu 0,7. Jelikozˇ se jedna´ o cˇ´ıslo z intervalu (0; 1), zmeˇnı´me v pru˚beˇhu rˇesˇenı´ znak nerovnice: x2 − 4x + 6 < log0,7 1 x x2 − 4x + 6 −1 > 0 x (x − 2) (x − 3) > 0. x

log0,7

Nerovnici vyhovujı´ vsˇechna x ∈ (0; 2)∪(3; ∞), ktera´ za´rovenˇ lezˇ´ı i v definicˇnı´m oboru, jsou tedy rˇesˇenı´mi dane´ nerovnice. x−1 i) log 2x + 1

<0

ˇ esˇenı´: R x−1 Definicˇnı´ obor: > 0, tedy x 6= 1 ∧ x 6= − 21 . 2x + 1 Protozˇe 0 = log 1 a dekadicky´ logaritmus ma´ za´klad veˇtsˇ´ı nezˇ 1, rˇesˇenı´ logaritmicke´ nerovnice za´hy prˇevedeme na rˇesˇenı´ nerovnice s absolutnı´ hodnotou: x−1 x−1 < 1 neboli −1 < 0. 2x + 1 2x + 1 Tuto nerovnici budeme rˇesˇit zvla´sˇt’na trˇech intervalech definicˇnı´ho oboru: (a) x ∈ −∞; − 12 Protozˇe oba vy´razy x − 1 a 2x + 1 jsou za´porne´, pro takova´ x platı´: x−1 x−1 x − 1 − (2x + 1) −1 = = −1 = 2x + 1 2x + 1 2x + 1 −x − 2 = < 0 ⇔ x ∈ (−∞, −2) . 2x + 1 Prvnı´ cˇa´stı´ mnozˇiny rˇesˇenı´ je interval K1 = (−∞; −2).


52

(b) x ∈ − 12 ; 1 Nynı´ x − 1 < 0 a 2x + 1 > 0, takzˇe x−1 1−x 1 − x − (2x + 1) −1 = = −1 = 2x + 1 2x + 1 2x + 1 −3x = < 0 ⇔ x ∈ (0, 1) . 2x + 1 Druhou cˇa´stı´ mnozˇiny rˇesˇenı´ je interval K2 = (0; 1). (c) x ∈ (1; ∞) Nebot’oba vy´razy x − 1 a 2x + 1 jsou kladne´, pro takova´ x platı´: x−1 x − 1 − (2x + 1) x−1 −1 = = −1 = 2x + 1 2x + 1 2x + 1 −x − 2 = < 0 ⇔ x ∈ (1, ∞) . 2x + 1 Trˇetı´ cˇa´stı´ mnozˇiny rˇesˇenı´ je interval K3 = (1; ∞). Mnozˇinou rˇesˇenı´ pu˚vodnı´ logaritmicke´ nerovnice je K = (−∞; −2) ∪ (0; 1) ∪ ∪ (1; ∞). j) log0,1 x2 + 1 < log0,1 (2x − 5) ˇ esˇenı´: R Definicˇnı´ obor: x2 + 1 > 0 ∧ 2x − 5 > 0 ⇔ x > 25 . Prˇi odlogaritmovańı´ je zapotrˇebı´ veˇnovat pozornost monotonii funkce y = = log0,1 x, ktera´ je funkcı´ klesajıćı´: x2 + 1 > 2x − 5 x2 − 2x + 6 > 0, cozˇ je splneˇno pro libovolne´ rea´lne´ x. Musı´me vsˇakjesˇteˇ vzı´t v potaz definicˇnı´ obor, ktery´ mnozˇinu rˇesˇenı´ omezı´ na interval 52 ; ∞ . k) logx (x + 2) > 2 ˇ esˇenı´: R Definicˇnı´ obor: x + 2 > 0 ∧ x > 0 ∧ x 6= 1 ⇔ x ∈ (0; 1) ∪ (1; ∞). Pravou stranu nerovnice zapisˇme rovneˇzˇ jako logaritmus o za´kladu x: logx (x + 2) > logx x2 . Jelikozˇ je nezna´ma´ x za´kladem logaritmu, rozdeˇlı´me rˇesˇenı´ tohoto prˇ´ıkladu na 2 prˇ´ıpady — kdy je funkce logaritmus o za´kladu x rostoucı´ a kdy je klesajıćı´:


53

(a) x ∈ (0; 1): x + 2 < x2 0 < x2 − x − 2 0 < (x − 2) (x + 1) . Te´to nerovnici vyhovujı´ x ∈ (−∞; −1) ∪ (2; ∞), my vsˇak rˇesˇ´ıme nerovnici na intervalu (0; 1), tedy v tomto prˇ´ıpadeˇ je mnozˇina rˇesˇenı´ K1 mnozˇinou pra´zdnou. (b) x ∈ (1; ∞): x + 2 > x2 0 > x2 − x − 2 0 > (x + 1) (x − 2) . Te´to nerovnici vyhovujı´ x z intervalu (−1; 2), jehozˇ pru˚nikem s intervalem, na ktere´m nerovnici rˇesˇ´ıme, je interval K2 = (1; 2). Vsˇechna rˇesˇenı´ zadane´ nerovnice tvorˇ´ı interval (1; 2). l) logx

x+3 >1 x−1

ˇ esˇenı´: R Definicˇnı´ obor: x+3 x−1 > 0 ∧ x > 0 ∧ x 6= 1 ⇔ x ∈ (1; ∞). Postupujme stejneˇ jako vy´sˇe a jelikozˇ rˇesˇ´ıme nerovnici na intervalu (1; ∞), je zastoupeny´ logaritmus funkce rostoucı´, takzˇe po odlogaritmovańı´ znak nerovnice nezmeˇnı´me: x+3 > logx x logx x−1 x+3 >x x−1 − (x − 3) (x + 1) > 0. x−1 Rˇesˇenı´mi te´to nerovnice v oboru R jsou vsˇechna x ∈ (−∞; −1) ∪ (1; 3), rˇesˇ´ıme ji vsˇak pouze na intervalu (1; ∞), tedy mnozˇinou rˇesˇenı´ zadane´ nerovnice je pouze interval (1; 3). m) logx |x2 − 1| > 0 ˇ esˇenı´: R Definicˇnı´ obor:|x2 − 1| > 0 ∧ x > 0 ∧ x 6= 1 ⇔ x ∈ (0; 1) ∪ (1; ∞). Prˇeved’me nejprve 0 na logaritmus o za´kladu x a rozdeˇlme rˇesˇenı´ na 2 prˇ´ıpady, kdy je funkce logaritmu o za´kladu x rostoucı´ a kdy klesajıćı´: logx |x2 − 1| > logx 1.


54

Body, ve kteryćh bude docha´zet ke zmeˇneˇ znameńka absolutnı´ hodnoty jsou −1 a 1, ktere´ na´m cˇ´ıselnou osu rozdeˇlı´ na 3 intervaly: (−∞; −1), (−1; 1) a (1; ∞). My se ovsˇem nemusı´me zaby´vat vsˇemi teˇmito intervaly, nebot’ prvnı´ z nich vylucˇuje definicˇnı´ obor a z druhe´ho intervalu na´s bude zajı´mat jen cˇa´st mezi cˇ´ısly 0 a 1: (a) x ∈ (0; 1): −x2 + 1 < 1 x2 > 0 ⇔ x 6= 0, Protozˇe jsme pouze na intervalu (0; 1), jsou rˇesˇenı´mi vsˇechna x z tohoto intervalu. (b) x ∈ (1; ∞): x2 − 1 > 1 x2 − 2 > 0, √ √ 2; ∞ . Pracujeme ovsˇem pouze na cˇemuzˇ vyhovujı´ x ∈ −∞; − 2 ∪ √ intervalu (1; ∞), tedy rˇesˇenı´mi te´to cˇa´sti jsou pouze x z intervalu 2; ∞ . Mnozˇinou ´ zadane´ logaritmicke´ nerovnice je sjednocenı´ dı´lcˇ´ıch intervalu˚: √rˇesˇenı 2; ∞ . (0; 1) ∪ √ n) logx 20 − x > 1 ˇ esˇenı´: R √ Definicˇnı´ obor: 20 − x > 0 ∧ x > 0 ∧ x 6= 1 ⇔ x ∈ (0; 1) ∪ (1; 20). Opeˇt zapı´sˇeme pravou stranu jako logx x a kvu˚li odlogaritmovańı´ rozdeˇlı´me rˇesˇenı´ na 2 cˇa´sti, podle monotonie funkce logaritmus o za´kladu x: (a) x ∈ (0; 1): Zde se jedna´ o klesajıćı´ funkci, takzˇe znak nerovnice obra´tı´me: √ 20 − x < x. Nerovnici nynı´ mu˚zˇeme umocnit, nebot’jsou obeˇ jejı´ strany kladne´: x2 + x − 20 > 0 (x − 4) (x + 5) > 0. Mnozˇinou rˇesˇenı´ te´to nerovnice je (−∞; −5) ∪ (4; ∞). My vsˇak pracujeme na intervalu (0; 1), tedy mnozˇina rˇesˇenı´ te´to cˇa´sti je pra´zdnou mnozˇinou. (b) x ∈ (1; 20): Zde je logaritmus funkce rostoucı´, takzˇe dosta´va´me nerovnici √ 20 − x > x,


55

kterou opeˇt mu˚zˇeme umocnit: x2 + x − 20 < 0 (x − 4) (x + 5) < 0. To platı´ pro x ∈ (−5; 4), avsˇak pracujeme na mensˇ´ım intervalu, tedy rˇesˇenı´m te´to cˇa´sti jsou vsˇechna x z intervalu (1; 4). Dane´ nerovnici vyhovujı´ vsˇechna x ∈ (1; 4). o) logx (x + 1) > log 1 (2 − x) x

ˇ esˇenı´: R Definicˇnı´ obor: x + 1 > 0 ∧ x > 0 ∧ x 6= 1 ∧ 2 − x > 0 ∧ 1x 6= 1 ∧ 1x > 0 ⇔ ⇔ x ∈ (0; 1) ∪ (1; 2) . Zadańı´ te´to nerovnice je poneˇkud komplikovaneˇjsˇ´ı nezˇ zadańı´ prˇedchozı´, stacˇ´ı t si vsˇak uveˇdomit, zˇe log 1 a = logx 1a , nebot’platı´ a = 1x ⇒ 1a = xt . Nerovnici x tedy mu˚zˇeme prˇepsat do na´sledujıćı´ho tvaru: logx (x + 1) > logx

1 2−x

a rozdeˇlit rˇesˇenı´ opeˇt do dvou intervalu˚ definicˇnı´ho oboru: (a) x ∈ (0; 1): Prˇi takove´m za´kladu je funkce logx x klesajıćı´: 1 2−x x2 − x − 1 0< . 2−x √ √ Nerovnici splnˇujı´ vsˇechna x ∈ −∞; 1−2 5 ∪ 1+2 5 ; 2 , z nichzˇ zˇa´dne´ vsˇak nelezˇ´ı v intervalu, v neˇmzˇ pracujeme. (b) x ∈ (1; 2): Nynı´ je funkce logx x rostoucı´: x+1 <

1 2−x x2 − x − 1 0> . 2−x

x+1 >

Uva´zˇ´ıme-li√ rovnou interval, na neˇmzˇ pracujeme, jsou rˇesˇenı´mi vsˇechna x ∈ 1; 1+2 5 . √ 1+ 5 Mnozˇinou rˇesˇenı´ zadane´ nerovnice je K = 1; 2 .


56

p) logx2 (2 + x) < 1 ˇ esˇenı´: R Definicˇnı´ obor: 2 + x > 0 ∧ x2 > 0 ∧ x2 6= 1 ⇔ x ∈ (−2; −1) ∪ (−1; 0) ∪ (0; 1) ∪ ∪ (1; ∞). Rˇesˇme tuto nerovnici podobny´m zpu˚sobem jako prˇedchozı´, tedy zapisˇme nejdrˇ´ıve pravou stranu nerovnosti jako logaritmus a pote´ rozdeˇlme rˇesˇenı´ na 2 cˇa´sti podle toho, zda je za´klad logaritmu z intervalu (0; 1), nebo (1; ∞): logx2 (2 + x) < logx2 x2 (a) x2 ∈ (0; 1), tedy x ∈ (−1; 0) ∪ (0; 1): 2 + x > x2 0 > x2 − x − 2 0 > (x − 2) (x + 1) . Rˇesˇenı´ tvorˇ´ı vsˇechna x z intervalu (−1; 2). V pru˚niku s intervaly, v nichzˇ pracujeme, pak jsou rˇesˇenı´mi x ∈ (−1; 0) ∪ (0; 1). (b) x2 ∈ (1; ∞), tedy x ∈ (−2; 1) ∪ (1; ∞): 2 + x < x2 0 < (x − 2) (x + 1) . Rˇesˇenı´mi te´to cˇa´sti jsou vsˇechna x ∈ (−2; −1) ∪ (2; ∞). ˇ esˇenı´ pu˚vodnı´ nerovnice tvorˇ´ı mnozˇinu, ktera´ je sjednocenı´m mnozˇin z obou R cˇa´stı´, tedy (−2; −1) ∪ (−1; 0) ∪ (0; 1) ∪ (2; ∞). q) log|x−1| 0,5 < 0,5 ˇ esˇenı´: R Definicˇnı´ obor: |x − 1| > 0 ∧ |x − 1| 6= 1 ⇔ x ∈ R − {0, 1, 2}. Zadańı´ nerovnice opeˇt vypada´ mnohem slozˇiteˇji nezˇ vsˇechna, ktera´ jsme doposud rˇesˇili, nebot’za´kladem logaritmu je vy´raz v absolutnı´ hodnoteˇ. Nenechme se vsˇak odradit a postupujme stejnou cestou jako u prˇ´ıkladu˚ prˇedchozıćh, tedy upravme pravou stranu na logaritmus stejne´ho za´kladu jako vlevo: p log|x−1| 0,5 < log|x−1| |x − 1| a stejneˇ jako drˇ´ıve kvu˚li odlogaritmovańı´ rozdeˇlme rˇesˇenı´ na 2 cˇa´sti podle za´kladu˚ logaritmu, prˇi kteryćh je tato funkce klesajıćı´, cˇi rostoucı´. (a) |x − 1| ∈ (0; 1), tedy x ∈ (0; 1) ∪ (1; 2): p 0,5 > |x − 1|.


57

Obeˇ strany nerovnice jsou kladne´, mu˚zˇeme ji tedy ekvivalentneˇ umocnit: 1 > |x − 1|. 4 Dospeˇli jsme k nerovnici s absolutnı´ hodnotou, jejı´zˇ rˇesˇenı´ ovsˇem rozdeˇlı´me do dvou cˇa´stı´ podle toho, jake´ ma´ vy´raz v absolutnı´ hodnoteˇ znameńko, tedy do dvou intervalu˚ (0; 1) a (1; 2): i. x ∈ (0; 1): Pro takova´ x platı´ |x − 1| = −x + 1, 3 1 > −x + 1 ⇔ x > . 4 4 Rˇesˇenı´mi tedy budou cˇ´ısla z intervalu Kai = ii. x ∈ (1; 2): Pro takova´ x platı´ |x − 1| = x − 1,

3 4;1

.

5 1 > x−1 ⇔ x < . 4 4 Mnozˇinou rˇesˇenı´ je Kaii = 1; 45 . Tı´m je ukoncˇen rozbor prˇ´ıpadu, kdy je za´klad logaritmu z intervalu (0; 1), podı´vejme se na prˇ´ıpad druhy´. (b) |x − 1| ∈ (1; ∞), tedy x ∈ (−∞; 0) ∪ (2; ∞): p 0,5 < |x − 1| 1 < |x − 1|. 4 Opeˇt jsme prˇed u´kolem vyrˇesˇit nerovnici s absolutnı´ hodnotou, rozdeˇlme opeˇt postup na dva prˇ´ıpady: i. x ∈ (−∞; 0): Pro tato x platı´ |x − 1| = −x + 1, 3 1 < −x + 1 ⇔ x < . 4 4 Mnozˇinou rˇesˇenı´ te´to cˇa´sti je Kbi = (−∞; 0). ii. x ∈ (2; ∞): Naopak pro tato x platı´ |x − 1| = x − 1, 1 5 < x−1 ⇔ x > . 4 4 Mnozˇinou rˇesˇenı´ je Kbii = (2; ∞). Mnozˇinou rˇesˇenı´ pu˚vodnı´ logaritmicke ´ nerovnice je sjednocenı´ dı´lcˇ´ıch vy´sled 3 5 ku˚: (−∞; 0) ∪ 4 ; 1 ∪ 1; 4 ∪ (2; ∞).


58

r) log x−1 0,3 > 0 x+5

ˇ esˇenı´: R x−1 x−1 Definicˇnı´ obor: x−1 x+5 > 0∧ x+5 6= 1 ⇔ x ∈ (−∞; −5)∪(1; ∞). (Prˇ´ıpad, kdy x+5 = = 1, nikdy nenastane.) Upravme si nejprve pravou stranu nerovnice: log x−1 0,3 > log x−1 1. x+5

x+5

Nerovnost 0,3 > 1 nenı´ pravdiva´, tedy okamzˇiteˇ vidı´me, zˇe za´klad logaritmu musı´ by´t z intervalu (0; 1) a zˇe tato podmıńka jizˇ splneˇnı´ zadane´ nerovnice zarucˇuje, nebot’tehdy je zastoupeny´ logaritmus klesajıćı´ funkce. Logaritmicka´ nerovnice je tedy ekvivalentnı´ s nerovnicı´ 0<

x−1 < 1. x+5

Leva´ nerovnice jizˇ byla vyrˇesˇena prˇi hledańı´ definicˇnı´ho oboru. Pravou nerovnici vyrˇesˇ´ıme nynı´: 0 < 1−

6 x−1 = ⇔ x + 5 > 0 ⇔ x > −5. x+5 x+5

V pru˚niku s definicˇnı´m oborem tak zı´ska´me mnozˇinu rˇesˇenı´ pu˚vodnı´ nerovnice, jı´zˇ je interval (1; ∞). s) log(x−2) (2x − 3) > log(x−2) (24 − 6x) ˇ esˇenı´: R Definicˇnı´ obor: 2x − 3 > 0 ∧ 24 − 6x > 0 ∧ x − 2 > 0 ∧ x − 2 6= 1 ⇔ x ∈ (2; 3) ∪ ∪ (3; 4). Rˇesˇme tuto nerovnici opeˇt ve dvou cˇa´stech pro ru˚zne´ hodnoty za´kladu˚ logaritmu, prˇi kteryćh jde o klesajıćı´, cˇi rostoucı´ funkci: (a) x − 2 ∈ (0; 1), tedy x ∈ (2; 3): 2x − 3 < 24 − 6x ⇒ x <

27 . 8

Te´to nerovnici vyhovujı´ vsˇechna x ∈ (2; 3). (b) x − 2 ∈ (1; ∞), tedy x ∈ (3; 4): 2x − 3 > 24 − 6x ⇒ x > Rˇesˇenı´mi te´to cˇa´sti jsou vsˇechna x ∈

27 8 ;4

Mnozˇinou rˇesˇenı´ pu˚vodnı´ nerovnice je (2; 3) ∪

27 . 8

. 27 8 ;4

.


59

r 3 − 2x >1 t) log2 1−x ˇ esˇenı´: R 3−2x 3−2x 3−2x 2−x Definicˇnı´ obor: log2 3−2x 1−x ≥ 0 ∧ 1−x > 0 ⇔ 1−x ≥ 1 ⇔ 1−x − 1 = 1−x ≥ ≥ 0 ⇔ x ∈ (−∞; 1) ∪ h2; ∞). Nerovnici s odmocninou umocnı´me, cozˇ bude ekvivalentnı´ u´prava, nebot’obeˇ strany jsou neza´porne´: r 3 − 2x log2 >1 1−x 3 − 2x > log2 2 log2 1−x 3 − 2x >2 1−x 3 − 2x 1 −2 = > 0. 1−x 1−x Poslednı´ nerovnici vyhovujı´ vsˇechna x < 1, ktera´ navıć lezˇ´ı v definicˇnı´m oboru pu˚vodnı´ nerovnice, takzˇe jı´ vyhovujı´ vsˇechna x ∈ (−∞; 1). u) xlog2 x > 2 ˇ esˇenı´: R Definicˇnı´ obor: x > 0. Nerovnici budeme rˇesˇit zlogaritmovańı´m o za´kladu 2: log2 x · log2 x > log2 2 log22 x − 1 > 0 (log2 x − 1) (log2 x + 1) > 0. Te´to nerovnici vyhovujı´ ta x, pro neˇzˇ log2 x < −1 nebo log2 x > 1, neboli x ∈ 0; 21 ∪ (2; ∞). To je i mnozˇina rˇesˇenı´ pu˚vodnı´ nerovnice. v) 2x ≥ 11 − x ˇ esˇenı´: R Definicˇnı´ obor: Definicˇnı´m oborem jsou vsˇechna rea´lna´ cˇ´ısla. Nerovnici vyrˇesˇ´ıme u´vahou o monotonii obou jejıćh stran, ktery´mi jsou funkce: f (x) = 2x a g(x) = 11 − x. Prˇitom rˇesˇenı´, prˇi neˇmzˇ nastane rovnost, lze snadno uhodnout, je jı´m cˇ´ıslo 3. Protozˇe na cele´m intervalu (−∞; ∞) je funkce f (x) rostoucı´ a funkce g(x) klesajıćı´, platı´ pro kazˇde´ x < 3 nerovnosti f (x) < f (3) = g(3) < g(x),


60

tedy f (x) < g(x); zatı´mco pro kazˇde´ x > 3 platı´ nerovnosti f (x) > f (3) = g(3) > g(x), tedy f (x) > g(x). Odtud plyne, zˇe mnozˇinou rˇesˇenı´ dane´ nerovnice je interval h3; ∞). x w) x2 + x + 1 < 1 ˇ esˇenı´: R Definicˇnı´ obor: Definicˇnı´m oborem jsou vsˇechna rea´lna´ cˇ´ısla, protozˇe nerovnost x2 + x + 1 > 0 platı´ pro kazˇde´ x ∈ R. Nerovnost ab < 1 nastane ve dvou prˇ´ıpadech. V prvnı´m z nich je 0 < a < 1 a b > 0, ve druhe´m pak a > 1 a b < 0. Budeme proto rˇesˇit dveˇ soustavy rovnic: a) 0 < x2 + x + 1 < 1 ∧ x > 0: Leve´ nerovnici vyhovujı´ vsˇechna rea´lna´ x, vyrˇesˇme proto nynı´ nerovnici pravou: x2 + x + 1 < 1 x2 + x < 0 x (x + 1) < 0. Mnozˇinou rˇesˇenı´ te´to nerovnice je (−1; 0), uva´zˇ´ıme-li vsˇak podmıńku x > 0, pak je mnozˇinou rˇesˇenı´ te´to cˇa´sti mnozˇina pra´zdna´. b) x2 + x + 1 > 1 ∧ x < 0: x2 + x + 1 > 1 x2 + x > 0 x (x + 1) > 0 Te´to nerovnici vyhovujı´ vsˇechna x ∈ (−∞; −1) ∪ (0; ∞). Uva´zˇ´ıme-li podmıńku x < 0, pak je mnozˇinou rˇesˇenı´ te´to cˇa´sti (−∞; −1). Rˇesˇenı´mi pu˚vodnı´ nerovnice jsou tedy vsˇechna x z intervalu (−∞; −1). x)

1 > 1, kde a > 1 loga x ˇ esˇenı´: R Definicˇnı´ obor: x > 0 ∧ loga x 6= 0 ⇔ x ∈ (0; 1) ∪ (1; ∞). Zaved’me substituci y = loga x a rˇesˇme nerovnici: 1 −1 > 0 y 1−y > 0. y


61

Nerovnici vyhovujı´ pra´veˇ ta y, pro neˇzˇ 0 < y < 1, takzˇe pro pu˚vodnı´ nezna´mou dosta´va´me soustavu 0 < loga x < 1. Dı´ky prˇedpokladu a > 1 je loga x rostoucı´ funkce, takzˇe vsˇechna rˇesˇenı´ jsou urcˇena nerovnostmi 1 < x < a. y) loga x > 6 logx a − 1, kde a ∈ (0; 1) ˇ esˇenı´: R Definicˇnı´ obor: x > 0 ∧ x 6= 1 ⇔ x ∈ (0; 1) ∪ (1; ∞) Prˇi rˇesˇenı´ te´to nerovnice vyuzˇijeme vztah loga b = loga x >

1 logb a :

6 − 1. loga x

Zaved’me substituci y = loga x a vyrˇesˇme odpovı´dajıćı´ nerovnici: y>

6 −1 y

y2 − 6 + y >0 y (y − 2) (y + 3) > 0. y Vsˇechna rˇesˇenı´ y te´to nerovnice tvorˇ´ı mnozˇinu (−3; 0) ∪ (2; ∞). Dosadı´me-li za y zpeˇt loga x, cozˇ je dı´ky prˇedpokladu 0 < a < 1 klesajı ćı´ funkce, pak zjistı´me, zˇe mnozˇinou vsˇech rˇesˇenı´ zadane´ nerovnice je 0; a2 ∪ 1; a−3 . V dalsˇ´ım textu se budeme zaby´vat u´lohami, ktere´ jsou soucˇa´stı´ podkladu˚ [14] k prˇedmeˇtu Didaktika matematiky (ota´zky cˇ. 19 a 20) vyucˇovane´mu v druhe´m a trˇetı´m semestru oboru Ucˇitelstvı´ matematiky pro strˇednı´ sˇkoly na Prˇ´ırodoveˇdecke´ fakulteˇ MU. Jedna´ se o u´lohy teˇzˇsˇ´ı, ktere´ je mozˇne´ ve strˇedosˇkolske´ vyúce zarˇadit naprˇ´ıklad prˇi opakovańı´ la´tky prˇed maturitnı´ zkousˇkou, nebot’kromeˇ znalostı´ ty´kajıćıćh se logaritmu˚ zde musı´ zˇa´k uplatnit take´ mnohe´ jine´ znalosti. Nejdrˇ´ıve zde vyrˇesˇ´ıme jednu exponencia´lnı´ rovnici a dveˇ exponencia´lnı´ nerovnice a pote´ jesˇteˇ neˇkolik rovnic a nerovnic logaritmickyćh. √ x−3

A) V oboru R rˇesˇte rovnici 43·

= 4 · 2−2x .

ˇ esˇenı´: R Definicˇnı´ obor: x − 3 ≥ 0 ⇔ x ≥ 3. Danou rovnici nejdrˇ´ıve upravme tak, aby obsahovala pouze mocniny cˇ´ısla 2: √ x−3

26·

= 22−2x .

Jelikozˇ pro exponencia´lnı´ funkce prˇi za´kladu a 6= 1 platı´ ax = ay ⇔ x = y, mu˚zˇeme tuto rovnici prˇeve´st do na´sledujıćı´ho tvaru: √ 6 · x − 3 = 2 − 2x √ 3 · x − 3 = 1 − x,


62

tuto rovnici umocneˇme: 9 · (x − 3) = (1 − x)2 0 = x2 − 11x + 28 0 = (x − 7) (x − 4) , prˇicˇemzˇ korˇeny uvedene´ kvadraticke´ rovnice jsou cˇ´ısla 4 a 7. V pru˚beˇhu rˇesˇenı´ jsme provedli du˚sledkovou u´pravu (umocneˇnı´ rovnice), proto je na tomto mı´steˇ nezbytna´ zkousˇka: √ 4−3

L(4) = 43·

= 26

P(4) = 4 · 2−8 = 2−6 , leva´ strana rovnosti se tedy nerovna´ prave´ straneˇ rovnosti, proto cˇ´ıslo 4 nenı´ rˇesˇenı´m zadane´ exponencia´lnı´ rovnice. √ 7−3

L(7) = 43·

= 212

P(7) = 4 · 2−14 = 2−12 , ani cˇ´ıslo 7 tedy nenı´ rˇesˇenı´m zadane´ exponencia´lnı´ rovnice, ta tudı´zˇ nema´ zˇa´dne´ rˇesˇenı´. |x−2|−5 B) V oboru R rˇesˇte nerovnici |x2 − 13| + 3 > 15|x−2|−5 . ˇ esˇenı´: R Definicˇnı´ obor: R |x−2|−5 Pravou a levou stranu nerovnice tvorˇ´ı mocniny |x2 − 13| + 3 a 15|x−2|−5 o ru˚znyćh za´kladech, avsˇak stejne´m exponentu. Pro takove´ mocniny platı´: ax > > bx ⇔ (a > b ∧ x > 0) ∨ (a < b ∧ x < 0). Rˇesˇenı´ te´to nerovnice tedy rozdeˇlme do dvou prˇ´ıpadu˚ podle toho, zda je exponent kladny´ nebo za´porny´: (a) |x − 2| − 5 > 0 ⇔ x ∈ (−∞; −3) ∪ (7; ∞): |x2 − 13| + 3 > 15 √ √ Nulovy´mi body te´to nerovnice s absolutnı´ hodnotou jsou cˇ´ısla − 13 a 13, ktera´ rozdeˇlı´ mnozˇinu (−∞; −3) ∪ (7; ∞) do 3 intervalu˚, na nichzˇ budeme postupneˇ nerovnici rˇesˇit: √ i. x ∈ −∞; − 13 , kdy x2 − 13 > 0: x2 − 13 + 3 > 15 x2 − 25 > 0, tedy mnozˇinou rˇesˇenı´ nerovnice je Ki = (−∞; −5).


63

√ ii. x ∈ − 13; −3 , kdy x2 − 13 ≤ 0: −x2 + 13 + 3 > 15 0 > x2 − 1. Nerovnici ´ vsˇechna x ∈ (−1; 1), zˇa´dne´ z nich ovsˇem nelezˇ´ı v inter √ vyhovujı valu − 13; −3 , proto je mnozˇina rˇesˇenı´ druhe´ cˇa´sti mnozˇinou pra´zdnou, tedy Kii = 0. / iii. x ∈ (7; ∞), kdy x2 − 13 > 0: x2 − 13 + 3 > 15 x2 − 25 > 0. Rˇesˇenı´mi nerovnice jsou vsˇechna x ∈ (−∞; −5) ∪ (5; ∞). Uva´zˇ´ıme-li interval, na ktere´m tuto kvadratickou nerovnici rˇesˇ´ıme, pak je mnozˇinou rˇesˇenı´ Kiii = (7, ∞). Rˇesˇenı´mi nerovnice pro prˇ´ıpad, kdy je exponent kladny´, jsou vsˇechna x ze sjednocenı´ dı´lcˇ´ıch mnozˇin rˇesˇenı´: Ka = (−∞; −5) ∪ (7; ∞). (b) |x − 2| − 5 < 0 ⇔ x ∈ (−3; 7): |x2 − 13| + 3 < 15. √ √ Nulovy´mi body nerovnice jsou opeˇt cˇ´ısla − 13 a 13, ktera´ rozdeˇlı´ interval (−3; 7) na intervaly dva, na nichzˇ budeme postupneˇ nerovnici rˇesˇit: √ i. x ∈ −3; 13 , kdy x2 − 13 < 0: −x2 + 13 + 3 < 15 0 < x2 − 1. Rˇesˇenı´mi nerovnice jsou vsˇechna √ x ∈ (−∞; −1) ∪ (1; ∞), my ji ovsˇem rˇesˇ´ıme pouze pro x ∈ −3; 13 , proto je mnozˇinou rˇesˇenı´ te´to cˇa´sti √ Kii = (−3; −1) ∪ 1; 13 . ii. x ∈

√ 13; 7 , kdy x2 − 13 ≥ 0: x2 − 13 + 3 < 15 x2 − 25 < 0.

Nerovnici ´ıme-li ovs

√ vyhovujı´ vsˇechna x ∈ (−5; 5). Uva´zˇ √ ˇem interval 13; 7 , je mnozˇinou rˇesˇenı´ te´to cˇa´sti Kiii = 13; 5 . Rˇesˇenı´mi prˇ´ıpadu, kdy je exponent za´porny´, jsou tedy vsˇechna x ze sjednocenı´ dı´lcˇ´ıch mnozˇin rˇesˇenı´: Kb = (−3; −1) ∪ (1; 5).


64

Mnozˇinou rˇesˇenı´ zadane´ exponencia´lnı´ nerovnice jsou vsˇechna x ∈ K = (−∞; −5) ∪ ∪ (−3; −1) ∪ (1; 5) ∪ (7; ∞). C) V oboru R rˇesˇte nerovnici |4x − 9| ≤ |2x − 3| + 6. ˇ esˇenı´: R Definicˇnı´ obor: R Ze vsˇeho nejdrˇ´ıve zaved’me substituci y = 2x , kdy nezna´ma´ y je vzˇdy kladna´, proto budeme rˇesˇit nerovnici pouze v oboru R+ : |y2 − 9| ≤ |y − 3| + 6. Podle toho, zda je vy´raz v absolutnı´ hodnoteˇ kladny´, nebo za´porny´ rozdeˇlme rˇesˇenı´ pouze do 2 cˇa´stı´, nebot’rˇesˇ´ıme nerovnici pouze pro kladna´ y: (a) y ∈ (0; 3), kdy y2 − 9 < 0 ∧ y − 3 < 0: −y2 + 9 ≤ −y + 3 + 6 0 ≤ y2 − y 0 ≤ y (y − 1) . Te´to nerovnici vyhovujı´ v oboru (0; 3) vsˇechna y ∈ h1; 3). (b) y ∈ h3; ∞), kdy y2 − 9 ≥ 0 ∧ y − 3 ≥ 0 y2 − 9 ≤ y − 3 + 6 y2 − y − 12 ≤ 0 (y + 3) (y − 4) ≤ 0. Rˇesˇenı´mi te´to nerovnice jsou v oboru h3; ∞) vsˇechna y ∈ h3, 4i. Dane´ nerovnici tedy vyhovujı´ vsˇechna y ∈ h1, 4i. Vrat’me se nynı´ k pu˚vodnı´ nezna´me´ x: 20 = 1 ≤ 2x ≤ 4 = 22 ⇔ 0 ≤ x ≤ 2. Rˇesˇenı´mi zadane´ exponencia´lnı´ nerovnice jsou tedy vsˇechna x ∈ h0, 2i. Takto vypada´ rˇesˇenı´ trˇ´ı exponencia´lnıćh rovnic cˇi nerovnic uvedenyćh v podkladech [14] k prˇedmeˇtu Didaktika matematiky. Nynı´ si ukazˇme rˇesˇenı´ logaritmickyćh rovnic a nerovnic uvedenyćh v tomte´zˇ dokumentu. A) V oboru R rˇesˇte nerovnici log2 x ≤

2 . log2 x − 1


65

ˇ esˇenı´: R Definicˇnı´ obor: x > 0 ∧ log2 x 6= 1 ⇔ x > 0 ∧ x 6= 2 ⇔ x ∈ (0; 2) ∪ (2; ∞). Zaved’me substituci log2 x = y: 2 y≤ y−1 y2 − y − 2 0≤− y−1 (y − 2) (y + 1) 0≥ . y−1 Te´to nerovnici vyhovujı´ vsˇechna y ∈ (−∞; −1i ∪ (1; 2i. Vrat’me se vsˇak k pu˚vodnı´ nezna´me´ x: 1 − ∞ < y ≤ −1 ⇔ −∞ < log2 x ≤ −1 ⇔ 0 < x ≤ 2 1 < y ≤ 2 ⇔ 1 < log2 x ≤ 2 ⇔ 2 < x ≤ 4. Mnozˇinou rˇesˇenı´ dane´ logaritmicke´ nerovnice je tedy K = 0; 12 ∪ (2; 4i. B) V oboru R rˇesˇte nerovnici log 6−x (x + 18) ≤ 1 − log 5

5 6−x

(4x + 23).

ˇ esˇenı´: R 6−x 5 5 Definicˇnı´ obor: x + 18 > 0 ∧ 4x + 23 > 0 ∧ 6−x 5 > 0 ∧ 5 6= 1 ∧ 6−x > 0 ∧ 6−x 6= 23 6= 1 ⇔ x > −18 ∧ x > − 23 4 ∧ x < 6 ∧ x 6= 1 ⇔ x ∈ − 4 ; 1 ∪ (1; 6). Tentokra´t vyuzˇijme prˇi rˇesˇenı´ nerovnice vlastnosti logaritmu˚: loga b = − log 1 b, a pomocı´ nı´zˇ prˇevedeme uvedene´ logaritmy na logaritmy o stejne´m za´kladu: 6−x log 6−x (x + 18) ≤ log 6−x + log 6−x (4x + 23) 5 5 5 5 6−x log 6−x (x + 18) ≤ log 6−x · (4x + 23) . 5 5 5 Rozdeˇlme nynı´ rˇesˇenı´ nerovnice do dvou cˇa´stı´ podle toho, zda (0; 1), nebo v intervalu (1; ∞):

6−x 5

lezˇ´ı v intervalu

a) 0 < 6−x 5 < 1 ⇔ 6 > x ∧ 1 < x ⇔ x ∈ (1; 6). Za´klad logaritmu je tedy z intervalu (0; 1), takzˇe po odlogaritmovańı´ obra´tı´me znak nerovnice: (6 − x) (4x + 23) 5 24x + 138 − 4x2 − 23 − 5x − 90 0≥ 5 2 −4x − 4x + 48 0≥ 5 −4 (x − 3) (x + 4) 0≥ . 5

x + 18 ≥


66

Uvedene´ nerovnici vyhovujı´ vsˇechna x ∈ (−∞; −4i ∪ h3; ∞). Po uva´zˇenı´ intervalu, na ktere´m v te´to chvı´li pracujeme, pak zı´ska´va´me prvnı´ dı´lcˇ´ı mnozˇinu rˇesˇenı´ K1 = h3; 6). b)

23 > 1 ⇔ 1−x > 0, tedy x ∈ − ; 1 . 5 4 Za´klad logaritmu je tentokra´t veˇtsˇ´ı nezˇ 1, po odlogaritmovańı´ znak nerovnice tedy zu˚stane zachovań: 6−x 5

(6 − x) (4x + 23) 5 −4 (x − 3) (x + 4) . 0≤ 5

x + 18 ≤

Rˇesˇenı´mi nerovnice jsou vsˇechna x ∈ h−4; 3), po uva´zˇenı´ oboru − 23 4 ; 1 tedy zı´ska´va´me mnozˇinu rˇesˇenı´ druhe´ cˇa´sti rˇesˇenı´: K2 = h−4; 1). Mnozˇinou rˇesˇenı´ uvedene´ logaritmicke´ nerovnice je K = h−4; 1) ∪ h3; 6). C) V oboru R rˇesˇte nerovnici log4−√25−x2 |8 − 2x| > 0. ˇ esˇenı´: R √ √ Definicˇnı´ obor: 8 − 2x 6= 0 ∧ 4 − 25 − x2 > 0 ∧ 4 − 25 − x2 6= 1 ∧ 25 − x2 ≥ ≥ 0 ⇔ x 6= 4 ∧ x ∈ h−5; −3) ∪ (3; 5i ∧ x 6= ±4 ∧ x ∈ h−5; 5i ⇔ ⇔ x ∈ h−5; −4) ∪ (−4; −3) ∪ (3; 4) ∪ (4; 5i. Zadanou nerovnici upravme do tvaru log4−√25−x2 |8 − 2x| > log4−√25−x2 1 a pote´ √ rˇesˇenı´ rozdeˇlme do dvou cˇa´stı´ podle toho, zda je za´klad logaritmu 4 − 25 − x2 z intervalu (0; 1), nebo (1; ∞): √ a) 0 < 4 − 25 − x2 < 1 ⇔ x ∈ h−5; −3) ∪ (3; 5i ∧ x ∈ (−4; 4) ⇔ ⇔ x ∈ (−4; −3) ∪ (3; 4). Za´klad logaritmu je z intervalu (0; 1), rˇesˇme proto nerovnici |8 − 2x| < 1, kde 8 − 2x > 0 pro kazˇde´ uvazˇovane´ x: 8 − 2x < 1 7 x> . 2 Mnozˇinou rˇesˇenı´ te´to cˇa´sti je Ka = 72 ; 4 . √ b) 4 − 25 − x2 > 1, tedy x ∈ h−5; −4) ∪ (4; 5i. Za´klad logaritmu je z intervalu (1; ∞), rˇesˇme tedy nerovnici |8 − 2x| > 1, kde 8 − 2x < 0 pro x ∈ (4; 5i a 8 − 2x > 0 pro x ∈ h−5; −4):


67

(a) x ∈ (4; 5i: −8 + 2x > 1 9 x> . 2 Te´to nerovnici vyhovujı´ vsˇechna x ∈ 92 ; 5 . (b) x ∈ h−5; −4): 8 − 2x > 1 7 x< . 2 Te´to nerovnici vyhovujı´ vsˇechna x ∈ h−5; −4). Mnozˇinou rˇesˇenı´ druhe´ cˇa´sti je Kb = h−5; −4) ∪

9 2;5

Mnozˇinou rˇesˇenı´ zadane´ nerovnice je pak K = h−5; −4) ∪ D) V oboru R rˇesˇte nerovnici

. 7 2;4

∪

9 2;5

.

√ √ xlog2 x > 2.

ˇ esˇenı´: R √ √ Definicˇnı´ obor: x > 0 ∧ xlog2 x ≥ 0 ⇔ x > 0. Danou ˇ nı´m prˇeved’me do tvaru √ nerovnici ekvivalentnı´m umocne x log x 2 > 4 a tuto pak rˇesˇme zlogaritmovańı´m o za´kladu 2: √ log2 x · log2 x > log2 4 1 2 log x > 2 2 2 log22 x − 4 > 0. Zaved’me nynı´ substituci y = log2 x: y2 − 4 > 0 (y − 2) (y + 2) > 0. Nerovnici vyhovujı´ vsˇechna y ∈ (−∞; −2) ∪ (2; ∞). Vrat’me se ovsˇem jesˇteˇ zpeˇt k pu˚vodnı´ nezna´me´ x: 1 4 2 < y < ∞ ⇔ 2 < log2 x < ∞ ⇔ 4 < x < ∞.

−∞ < y < −2 ⇔ −∞ < log2 x < −2 ⇔ 0 < x <

ˇ esˇenı´mi nerovnice jsou vsˇechna vsˇechna x ∈ 0; 1 ∪ (4; ∞) = K. R 4


68

√ 1−log0,5 x E) V oboru R rˇesˇte nerovnici ( x) ≥ 8. ˇ esˇenı´: R Definicˇnı´ obor: x ≥ 0 ∧ x > 0 ⇔ x > 0. Ze vsˇeho nejdrˇ´ıve uvedenou nerovnici zlogaritmujme o za´kladu 0,5 a nezapomenˇme prˇitom, zˇe je zapotrˇebı´ zmeˇnit znak nerovnice, protozˇe je za´klad logaritmu z intervalu (0; 1): 1 1 − log0,5 x log0,5 x ≤ log0,5 8 2 1 1 log0,5 x − log20,5 x ≤ −3 2 2 log20,5 x − log0,5 x − 6 ≥ 0. Zjednodusˇme rˇesˇenı´ nerovnice zavedenı´m substituce y = log0,5 x: y2 − y − 6 ≥ 0 (y − 3) (y + 2) ≥ 0. Uvedene´ nerovnici vyhovujı´ vsˇechna y ∈ (−∞; −2i ∪ h3; ∞). Prˇi prˇechodu od nove´ nezna´me´ y k te´ pu˚vodnı´ x musı´me opeˇt uva´zˇit za´klad logaritmu a zmeˇnit znaky nerovnostı´: −∞ < y ≤ −2 ⇔ −∞ < log0,5 x ≤ −2 ⇔ 4 ≤ x 1 3 ≤ y < ∞ ⇔ 3 ≤ log0,5 x < ∞ ⇔ 0 < x ≤ . 8 ˇ esˇenı´mi nerovnice jsou tedy vsˇechna x ∈ 0; 1 ∪ h4; ∞). R 8 q F) V oboru R rˇesˇte nerovnici logx2 1 + 32 x < 1. ˇ esˇenı´: Rˇesˇit podmıńku logx2 1 + 3 x ≥ 0 k urcˇenı´ definicˇnı´ho oboru je pomeˇrneˇ R 2 slozˇite´, proto zadanou nerovnici napı´sˇeme v ekvivalentnı´ podobeˇ bez odmocniny: 3 0 ≤ logx2 1 + x < 1 2 a urcˇ´ıme definicˇnı´ obor a pak vyrˇesˇ´ıme takovou soustavu nerovnic. Definicˇnı´ obor: 1 + 23 x > 0 ∧ x2 > 0 ∧ x2 6= 1 ⇔ x > − 23 ∧ x 6= 0 ∧ x 6= ±1 ⇔ ⇔ x ∈ − 23 ; 0 ∪ (0; 1) ∪ (1; ∞) . Samotne´ rˇesˇenı´ rozdeˇlme opeˇt do dvou cˇa´stı´ podle toho, v jake´m intervalu se nacha´zı´ za´klad x2 zadane´ho logaritmu: a) x2 ∈ (0; 1), tedy x ∈ − 23 ; 0 ∪ (0; 1): Po odlogaritmovańı´, prˇi neˇmzˇ je v tomto prˇ´ıpadeˇ zapotrˇebı´ obra´tit znak nerovnice, tedy rˇesˇ´ıme soustavu nerovnic: 3 x2 < 1 + x ≤ 1. 2


69

1) 3 x2 < 1 + x 2 3 x2 − x − 1 < 0 2 1 x+ (x − 2) < 0. 2 Mnozˇinou rˇesˇenı´ te´to nerovnice v oboru − 32 ; 0 ∪(0; 1) je Ka1 = − 21 ; 0 ∪ ∪ (0; 1). 2) 3 1+ x ≤ 1 2 x ≤ 0. Te´to nerovnici vyhovujı´ v oboru − 23 ; 0 ∪ (0; 1) vsˇechna x ∈ Ka2 = − 23 ; 0 . Mnozˇinou rˇesˇenı´ te´to cˇa´sti je pak Ka = − 21 ; 0 . b) x2 ∈ (1; ∞), tedy x ∈ (1; ∞): Po odlogaritmovańı´ rˇesˇ´ıme v tomto prˇ´ıpadeˇ na´sledujıćı´ soustavu nerovnic: 3 1 ≤ 1 + x < x2 . 2 1) 3 1 ≤ 1+ x 2 0 ≤ x. Te´to nerovnici vyhovujı´ na intervalu (1; ∞) vsˇechna x ∈ Kb1 = (1; ∞). 2) 3 1 + x < x2 2 3 0 < x2 − x − 1 2 1 0 < x+ (x − 2) . 2 Mnozˇinou rˇesˇenı´ te´to nerovnice je na intervalu (1; ∞) Kb2 = (2; ∞). Vy´slednou mnozˇinou rˇesˇenı´ nerovnice je pak K = − 21 ; 0 ∪ (2; ∞).


70

G) Urcˇete definicˇnı´ obor nerovnice logx+ 1 2

5|x| + 11x + 2 ≥ 2 a pak ji vyrˇesˇte. 8

ˇ esˇenı´: R

5|x| + 11x + 2 > 0 ⇔ x > − 12 ∧ x 6= 21 ∧ 5|x| + 8 + 11x + 2 > 0 ⇔ x > − 12 ∧ x 6= 12 ∧ x ∈ − 31 ; ∞ ⇔ ⇔ x ∈ − 13 ; 12 ∪ 12 ; ∞ . ˇ esˇenı´ zadane´ nerovnice je vhodne´ rozdeˇlit do dvou prˇ´ıpadu˚ podle toho, zda za´klad R logaritmu x + 21 lezˇ´ı v intervalu (0; 1), nebo (1; ∞): a) x + 12 ∈ (0; 1) ⇔ x ∈ − 21 ; 12 : Uva´zˇ´ıme-li definicˇnı´ obor, pak budeme na in tervalu − 13 ; 21 rˇesˇit na´sledujıćı´ nerovnici. Neopomenˇme prˇi odlogaritmovańı´ zmeˇnit znak nerovnice: 5|x| + 11x + 2 1 2 ≥ logx+ 1 x + logx+ 1 2 2 8 2 1 5|x| + 11x + 2 ≤ x2 + x + 8 4 5|x| + 11x + 2 − 8x2 − 8x − 2 ≤0 8 5|x| + 3x − 8x2 ≤ 0. 8 Po odlogaritmovańı´ dosta´va´me kvadratickou nerovnici, kterou budeme rˇesˇit nejdrˇ´ıve pro neza´porna´, a pote´ i za´porna´ x:

1) x ∈ 0; 12 :

Definicˇnı´ obor: x + 12 > 0 ∧ x + 12 6= 1 ∧

5x + 3x − 8x2 ≤0 8 x − x2 ≤ 0 x (1 − x) ≤ 0. Mnozˇinou rˇesˇenı´ je K1 = {0}. 2) x ∈ − 13 ; 0 : −5x + 3x − 8x2 ≤0 8 2x + 8x2 ≥0 8 x + 4x2 ≥ 0 x (1 + 4x) ≥ 0. Nerovnici vyhovujı´ vsˇechna x ∈ K2 = − 31 ; 14 . V prˇ´ıpadeˇ, zˇe je za´klad logaritmu z intervalu (0; 1), vyhovujı´ nerovnici vsˇechna 1 1 x ∈ Ka = − 3 ; − 4 ∪ {0}.


71

b) x + 21 ∈ (1; ∞) ⇔ x ∈ 12 ; ∞ : V tomto prˇ´ıpadeˇ se jedna´ prˇ´ımo o cˇa´st definicˇnı´ho oboru a opeˇt logaritmicka´ nerovnice prˇecha´zı´ v rˇesˇenı´ kvadraticke´ nerovnice s absolutnı´ hodnotou, tentokra´t vsˇak se zmeˇneˇny´m znakem nerovnice: 1 5|x| + 11x + 2 ≥ x2 + x + 8 4 2 5|x| + 3x − 8x ≥ 0, 8 v obecne´m prˇ´ıpadeˇ bychom opeˇt rozdeˇlili rˇesˇenı´ do dvou cˇa´stı´, my vsˇak rˇesˇ´ıme nerovnici na intervalu 12 ; ∞ , kde platı´ |x| = x: 5x + 3x − 8x2 ≥0 8 8x − 8x2 ≥0 8 x (1 − x) ≥ 0. Nerovnici vyhovujı´ vsˇechna x ∈

1 2;1

= Kb .

Mnozˇinu vsˇech x vyhovujıćıćh zadane´ logaritmicke ´ nerovnici zı´ska ´ me nynı´ sjednocenı´m obou dı´lcˇ´ıch mnozˇin rˇesˇenı´: K = − 13 ; − 14 ∪ {0} ∪ 12 ; 1 . H) Definicˇnı´ obor rovnice logx 27 − pak danou rovnici vyrˇesˇte.

5 logx 3 √ logx 3x2

= 1 vyja´drˇete jako sjednocenı´ intervalu˚ a

ˇ esˇenı´: R √ 2 > 0 ∧ log 3x2 6= 0 ⇔ x > 0 ∧ x 6= 1 ∧ 3x2 6= Definicˇnı´ obor: x > 0 ∧ x = 6 1 ∧ 3x x 6= 1 ⇔ x ∈ 0; √13 ∪ √13 ; 1 ∪ (1; ∞). Ze vsˇeho nejdrˇ´ıve prˇeved’me cˇ´ıslo 27 na mocninu cˇ´ısla 3 a vy´raz ve jmenovateli zlomku rozlozˇme na soucˇet logaritmu˚ dle veˇty o logaritmu soucˇinu: 3 logx 3 −

5 logx 3 1 1 2 2 logx 3 + 2 logx x

Da´le zaved’me pro zjednodusˇenı´ substituci y = logx 3:

= 1.


72

3y −

5y 1 2y + 1

=1

10y =0 y+2 3y2 + 6y − y − 2 − 10y =0 y+2 3y2 − 5y − 2 =0 y+2 1 3 (y − 2) y + = 0. 3 3y − 1 −

ˇ esˇenı´mi rovnice jsou tedy cˇ´ısla y1 = 2 ∧ y2 = − 1 . Doposud jsme vyuzˇ´ıvali substiR 3 tuce, vrat’me se proto nynı´ k pu˚vodnı´ nezna´me´ x: √ y1 = 2 ⇔ logx 3 = 2 ⇔ x > 0 ∧ x 6= 1 ∧ x2 = 3 ⇔ x1 = 3 1 1 1 1 y2 = − ⇔ logx 3 = − ⇔ x > 0 ∧ x 6= 1 ∧ x− 3 = 3 ⇔ x2 = . 3 3 27 √ ˇ esˇenı´mi rovnice jsou tedy cˇ´ısla 3 a 1 . R 27

I) Pro ktere´ hodnoty rea´lne´ho parametru p ma´ rovnice x + log 1 (9x − p) = 0 pra´veˇ dveˇ rˇesˇenı´ v oboru rea´lnyćh cˇ´ısel? 3

ˇ esˇenı´: R Rovnici log 1 (9x − p) = −x 3

prˇeved’me ze vsˇeho nejdrˇ´ıve na rovnici s nı´ ekvivalentnı´: −x 1 x 9 −p= 3 x x 9 −p=3 . Zaved’me substituci y = 3x : y2 − y − p = 0. Ma´-li mı´t pu˚vodnı´ rovnice dva ru˚zne´ korˇeny x1 a x2 , pak take´ tato kvadraticka´ rovnice musı´ mı´t dva ru˚zne´ kladne´ korˇeny y1 = 3x1 a y2 = 3x2 , nebot’funkce y = 3x naby´va´ vzˇdy pouze kladnyćh hodnot. Kvadraticka´ rovnice ma´ dva rea´lne´ ru˚zne´ korˇeny pra´veˇ tehdy, kdyzˇ je jejı´ diskriminant kladny´, tedy v nasˇem prˇ´ıpadeˇ musı´ platit: 1 + 4p > 0 1 p>− . 4


73

Nynı´ vyuzˇijme Vietovyćh vzorcu˚, podle nichzˇ platı´ pro korˇeny dane´ kvadraticke´ rovnice na´sledujıćı´ vztahy: y1 + y2 = 1 y1 · y2 = −p. Majı´-li ovsˇem korˇeny y1 a y2 by´t oba kladne´, pak z druhe´ rovnice vyply´va´, zˇe musı´ by´t p < 0. Dohromady tedy dosta´va´me nutnou podmıńku p ∈ − 14 ; 0 . Naopak, platı´-li p ∈ − 14 ; 0 , ma´ dana´ kvadraticka´ rovnice 2 korˇeny y1 a y2 a z rovnice y1 · y2 = −p > 0 vyply´va´, zˇe majı´ tyto korˇeny stejna´ znameńka. Vezmeme-li nynı´ v u´vahu rovnici y1 + y2 = 1, pak je zrˇejme´, zˇe musı´ by´t oba korˇeny kladne´. Takovy´m korˇenu˚m y1 , y2 pak odpovı´dajı´ dva korˇeny x1 = log3 y1 , x2 = log3 y2 rovnice pu˚vodnı´. Pu˚vodnı´ logaritmicka´ rovnice ma´ tedy pra´veˇdveˇ rˇesˇenı´ v oboru rea´lnyćh cˇ´ısel pouze pro hodnoty parametru p z intervalu − 14 ; 0 . J) Stanovte definic !ˇ nı´ obor a pak vyrˇesˇte nerovnici 5x log p − 1 ≥ −2, kde cˇ´ıslo p je kladny´ rea´lny´ parametr. x 2p ˇ esˇenı´: R Definicˇnı´ obor:

> 0 ∧ xp 6= 1 ⇔ 5x−2p 2p > 0 ∧ x > 0 ∧ x 6= p ⇔ 5x − 2p − 2p > 0 ∧ x > 0 ∧ x 6= p ⇔ x ∈ 5 ; p ∪ (p; ∞), nebot’ 2p 5 < p dı´ky prˇedpokladu, zˇe cˇ´ıslo p je kladne´. ˇ esˇenı´ dane´ nerovnice rozdeˇlı´me do dvou cˇa´stı´ podle toho, zda je za´klad logaritmu R z intervalu (0; 1), nebo (1; ∞): a)

5x 2p

−1 > 0∧

p x

p x

∈ (0; 1), tedy x ∈ (p; ∞) Za´klad logaritmu je z intervalu (0; 1), proto je zapotrˇebı´ prˇi odlogaritmovańı´ nerovnice zmeˇnit jejı´ znak: p −2 5x −1 ≤ 2p x 2 5x x −1 ≤ . 2p p Zaved’me substituci y = xp : 5 0 ≤ y2 − y + 1 2 1 (y − 2) . 0 ≤ y− 2 Te´to kvadraticke´ nerovnici vyhovujı´ vsˇechna y ∈ −∞; 12 ∪ h2; ∞), vrat’me se


74

ovsˇem k pu˚vodnı´ nezna´me´ x: p x 1 ≤ ⇔ −∞ < x ≤ p 2 2 x 2 ≤ ⇔ 2p ≤ x < ∞. p

−∞ <

Uvazˇujeme pouze x z intervalu (p; ∞), protozˇe 2p < p, nerovnici vyhovujı´ pra´veˇ vsˇechna x ∈ Ka = h2p; ∞). b) xp ∈ (1; ∞), tedy x ∈ 2p ; p 5 V tomto prˇ´ıpadeˇ zu˚sta´va´ znak pu˚vodnı´ nerovnice zachovań i po odlogaritmovańı´: p −2 5x −1 ≥ 2p x 2 5x x −1 ≥ . 2p p Zavedeme-li opeˇt substituci y = xp , pak rˇesˇ´ıme kvadratickou nerovnici 5 0 ≥ y2 − y + 1 2 1 0 ≥ y− (y − 2) , 2

jı´zˇ vyhovujı´ vsˇechna y ∈ 12 ; 2 . Prˇejdeˇme od nezna´me´ y k pu˚vodnı´ nezna´me´ x s ohledem na to, zˇe p > 0: p 1 x ≤ ≤ 2 ⇔ ≤ x ≤ 2p, 2 p 2 p prˇic ˇ 2p ˇ je mnozˇinou rˇesˇenı´ nerovnice Kb = 5 < 2 , tedy v tomto prˇ´ıpade

ˇ emz p = 2; p .

Mnozˇinou rˇesˇenı´ dane´ logaritmicke´ nerovnice je tedy K = 2p ; p ∪ h2p; ∞).

Na za´veˇr te´to kapitoly uvedeme jesˇteˇ neˇkolik (pro na´s) netypickyćh exponencia´lnıćh a logaritmickyćh rovnic, ktere´ byly jako nerˇesˇene´ uvedeny v diplomove´ praći Hany Bartosˇove´ [1]. Jedna´ se o prˇ´ıklady z prˇ´ıjı´macıćh zkousˇek ru˚znyćh soveˇtskyćh vysokyćh sˇkol v letech 1978 – 1986. Z cele´ho souboru 25 nerˇesˇenyćh rovnic zde uvedeme rˇesˇenı´ pouze sˇesti z nich spolu s na´zvem sˇkoly, v jejı´zˇ prˇijı´macı´ zkousˇce se v uvedene´m roce vyskytly: 2

2

1. 32x − 2 · 3x +x+6 + 32(x+6) = 0 (1978, Kujbysˇevska´ sta´tnı´ universita) ˇ esˇenı´: Vyuzˇijme na´sledujıćı´ vlastnosti mocnin ac·d = (ac )d a prˇepisˇme rovnici R takto: 2 2 2 2 3x − 2 · 3x · 3x+6 + 3x+6 = 0.


75 2

Provedeme-li nynı´ substituce a = 3x a b = 3x+6 , objevı´me v rovnici vztah pro druhou mocinu rozdı´lu: a2 − 2ab + b2 = 0 (a − b)2 = 0. To platı´, pra´veˇ kdyzˇ a = b. Pro pu˚vodnı´ nezna´mou x tak dosta´va´me ekvivalentnı´ rovnici: 2

3x = 3x+6 x2 = x + 6 (x − 3) (x + 2) = 0. ˇ esˇenı´mi te´to kvadraticke´ rovnice, a tedy i pu˚vodnı´ rovnice, jsou cˇ´ısla x1 = 3 a R x2 = −2. √ 2 2. 9log25 x + log√2 2 2 = 12 · 9log25 x+1 − 9log25 x (1985, Rizˇsky´ polytechnicky´ institut) ˇ esˇenı´: Celou rovnici, ktera´ je definovańa pro vsˇechna x > 0, vyna´sobme ze vsˇeho R nejdrˇ´ıve 2 a za´rovenˇ vyuzˇijme te´to vlastnosti logaritmu: a · logb c = logb ca . 2·log25 x

2·9

+ log√2

√ 2 2 2 = 9 · 9log25 x − 9log25 x

2 · 92·log25 x + log√2 8 − 8 · 9log25 x = 0 Zaved’me substituci y = 9log25 x : 2y2 + 6 − 8y = 0 y2 − 4y + 3 = 0 (y − 3) (y − 1) = 0. ˇ esˇenı´mi te´to kvadraticke´ rovnice jsou cˇ´ısla y1 = 3 a y2 = 1. Tı´m ovsˇem nejsme R hotovi, musı´me se jesˇteˇ vra´tit k pu˚vodnı´ nezna´me´ x: 1 ⇔x=5 2 9log25 x = 1 = 90 ⇔ log25 x = 0 ⇔ x = 1. 1

9log25 x = 3 = 9 2 ⇔ log25 x =

ˇ esˇenı´mi dane´ rovnice jsou tedy cˇ´ısla 5 a 1. R


76

2 2 2 2x · 5x − 0,13 · 103−x √ =0 3. x+2 (1983, bez udańı´ sˇkoly) ˇ esˇenı´: Ze vsˇeho nejdrˇ´ıve je zde zapotrˇebı´ uveˇdomit si, pro ktera´ x ma´ tato rovnice R smysl: x + 2 > 0 ⇔ x > −2. Ma´-li by´t zlomek roven 0, pak musı´ by´t v tomto prˇ´ıpadeˇ nulovy´ jeho cˇitatel: 2 2 2 2x · 5x − 0,13 · 103−x = 0 2

10x − 10−3 · 106−2x = 0 2

10x − 103−2x = 0 2

10x = 103−2x x2 = 3 − 2x x2 + 2x − 3 = 0 (x + 3) (x − 1) = 0. Rˇesˇenı´mi te´to kvadraticke´ rovnice jsou cˇ´ısla −3 a 1, ovsˇem nesmı´me opomenout, zˇe rovnice ma´ smysl pouze pro x > −2, proto je rˇesˇenı´m dane´ rovnice pouze cˇ´ıslo 1. 2 4. xlog x − 100 · x3 = 0 (1986, Moskevsky´ institut oceli a slitin) ˇ esˇenı´: Rovnici, ktera´ je definovańa pro kazˇde´ x > 0, budeme rˇesˇit zlogaritmovańı´m R a na´slednou substitucı´ y = log x: x2 log x = 100x3 2 log x log x = log 100 + 3 log x 2 log2 x = 2 + 3 log x. Zaved’me substituci y = log x: 2y2 − 3y − 2 = 0 1 = 0. 2 (y − 2) y + 2 ˇ esˇenı´mi substituovane´ rovnice jsou cˇ´ısla y1 = 2 a y2 = − 1 . Vrat’me se zpeˇt k pu˚vodnı´ R 2 nezna´me´ x: y = 2 ⇔ log x = 2 ⇔ x = 102 = 100 1 1 1 1 y = − ⇔ log x = − ⇔ x = 10− 2 = √ . 2 2 10 Rovnost je splneˇna pro cˇ´ısla x1 = 100 a x2 =

√1 . 10


5.

77

2 √ 3x −7,2x+3,9 − 9 3 · log (7 − x) = 0 (1978, Moskevsky´ energeticky´ institut) ˇ esˇenı´: Dana´ rovnice ma´ smysl pouze pro x < 7, jejı´m definicˇnı´m oborem je tedy R mnozˇina (−∞, 7). √ Prˇepisˇme v rovnici cˇ´ıslo 9 3 jako mocninu 3: 2 5 3x −7,2x+3,9 − 3 2 · log (7 − x) = 0. Jedna´ se o soucˇin dvou vy´razu˚, ktery´ je roven 0, proto mu˚zˇeme nynı´ rˇesˇenı´ rozdeˇlit do dvou cˇa´stı´ podle toho, zda je roven 0 prvnı´ nebo druhy´ cˇinitel: a) 3x

2 −7,2x+3,9

3x

5

− 32 = 0

2 −7,2x+3,9

5

= 32 5 x2 − 7,2x + 3,9 = 2 2 x − 7,2x + 1,4 = 0 (x − 7) (x − 0,2) = 0. Korˇeny te´to kvadraticke´ rovnice jsou x1 = 7, x2 = 15 . Prvnı´ korˇen nelezˇ´ı v definicˇnı´m oboru, proto je rˇesˇenı´m pu˚vodnı´ rovnice v te´to cˇa´sti pouze cˇ´ıslo 1 5. b) log (7 − x) = 0 7−x = 1 x=6 Logaritmicke´ rovnici vyhovuje cˇ´ıslo 6. Korˇeny pu˚vodnı´ rovnice jsou tedy cˇ´ısla

1 5

a 6.

6. log5 (x − 2) + log√5 x3 − 2 + log0,5 (x − 2) = 4 (1985, Moskevsky´ institut oceli a slitin) ˇ esˇenı´: Prˇeved’me v rovnici, ktera´ je definovańa pro kazˇde´ x > 2, vsˇechny logaritmy R

Za´veˇr

78

na logaritmy o za´kladu 5: log5 x3 − 2 log5 (x − 2) √ =4 log5 (x − 2) + + log5 0,5 log5 5 log5 x3 − 2 log5 (x − 2) log5 (x − 2) + + =4 1 −1 2 2 log5 (x − 2) + log5 x3 − 2 − log5 (x − 2) = 4 2 log5 x3 − 2 = 4 2 x 3 − 2 = 54 x3 − 2 = 25 x = 3. ˇ esˇenı´m logaritmicke´ rovnice je cˇ´ıslo 3. R Soubor prˇ´ıkladu˚ uvedenyćh v te´to kapitole je mozˇne´ vyuzˇ´ıt nejen jako inspiraci prˇi prˇ´ıpraveˇ vyucˇovacı´ hodiny ucˇitelem, ale take´ mu˚zˇe poslouzˇit zˇa´ku˚m prˇi prˇ´ıpraveˇ na hodinu. Uvedene´ prˇ´ıklady je samozrˇejmeˇ mozˇne´ rˇesˇit jiny´mi zpu˚soby, nezˇ jake´ jsou zde uvedeny.

Za´veˇr Cı´lem te´to diplomove´ praće bylo podat uceleny´ obraz vy´kladu mocnin a logaritmu˚ ve sˇkolske´ matematice a za´rovenˇ sestavit sbı´rku rˇesˇenyćh u´loh z te´to oblasti matematiky. Samotne´mu sepsańı´ praće prˇecha´zelo nejen studium soucˇasnyćh ucˇebnic matematiky, cˇlańku˚ zaby´vajıćıćh se historiı´ mocnin i logaritmu˚, hledańı´ aplikacı´ logaritmu˚ v ru˚znyćh veˇdnıćh oborech, avsˇak prˇedevsˇ´ım vyrˇesˇenı´ mnoha exponencia´lnıćh a logaritmickyćh rovnic a nerovnic. S nadeˇjı´, zˇe se mi tohoto cı´le podarˇilo dosa´hnout, veˇrˇ´ım, zˇe praće bude na´pomocna jak studentu˚m gymna´ziı´ nebo pedagogickyćh cˇi prˇ´ırodoveˇdeckyćh fakult vysokyćh sˇkol, tak rovneˇzˇ jejich ucˇitelu˚m jako zdroj inspirace prˇi prˇ´ıpravaćh vyúky. Samozrˇejmeˇ ocˇeka´va´m, zˇe mu˚j text bude take´ vhodnou literaturou i pro vsˇechny dalsˇ´ı za´jemce o problematiku mocnin a logaritmu˚.

79

Seznam pouzˇite´ literatury [1]

´ , Hana. Exponencia´lnı´ rovnice a nerovnice. Diplomova´ praće. BARTOSˇOVA Universita J.E.Purkyneˇ, Brno, 1987.

[2]

´ , Marika. Odmaturuj! z chemie. Vyd. 1. Brno: Didaktis, 2002, 208 BENESˇOVA s. ISBN 80-862-8556-1.

[3]

BUSˇEK, Ivan a Emil CALDA. Matematika pro gymna´zia: Za´kladnı´ poznatky. 3., upr. vyd. Praha: Prometheus, 2001, 178 s. Ucˇebnice pro strˇednı´ sˇkoly (Prometheus). ISBN 978-807-1961-468.

[4]

CAJORI, Florian. History of the Exponential and Logarithmic Concepts. The American Mathematical Monthly. 1913, rocˇ. 20, cˇ. 1, s. 5-14. Dostupne´ z: http://www.jstor.org/stable/2973509

[5]

DICKMAN, Mike. Some Indices of Diversity. Ecology. 1968, rocˇ. 49, cˇ. 6, 1191 - 1193. Dostupne´ z: http://www.jstor.org/stable/1934512

[6]

HALLIDAY, David, Robert RESNICK a Jearl WALKER. Fyzika: vysokosˇkolska´ ucˇebnice obecne´ fyziky. 1. cˇeske´ vyd., 2. dotisk. Prometheus, 2006. ISBN 80-214-1868-0.

[7]

HERMAN, Jirˇ´ı. Matematika: Vy´razy 1 1. vyd. Praha: Prometheus, 1995, 168 s. Ucˇebnice pro za´kladnı´ sˇkoly (Prometheus). ISBN 80-719-6013-6.

[8]

HERMAN, Jirˇ´ı, Radan KUCˇERA a Jaromı´r SˇIMSˇA. Semina´rˇ ze strˇedosˇkolske´ matematiky. 2., prˇeprac. vyd. Brno: Masarykova univerzita, 2004, 51 s. ISBN 978-802-1035-287.

[9]

´ KOVA ´ HOSKOVCOVA ´ , Simona a Jan GRUBER. Testy - Psychologie: HORA Prˇijı´macı´ zkousˇky na VSˇ. Praha: Fragment, 2011. ISBN 9788025315811.

[10]

MCLASSUS, Roger. Logaritmicke´ pravı´tko. Wikipedia [online]. 2005 [cit. 2014-03-12]. Dostupne´ z: http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Sliderule 2005.jpg

[11]

´ RKO, Oldrˇich. Matematika pro gymna´zia: Funkce. 2. vyd., v Prometheu ODVA 1. Praha: Prometheus, 1993, 160 s. Ucˇebnice pro strˇednı´ sˇkoly (Prometheus). ISBN 80-858-4909-7.

80

Seznam pouzˇite´ literatury

81

[12]

PIERCE, R. C. A Brief History of Logarithms. The Two-Year College Mathematics Journal. 1977, rocˇ. 8, cˇ. 1, s. 22-26. Dostupne´ z: http://www.jstor.org/stable/3026878

[13]

SPRENT, P. The Mathematics of Size and Shape. Biometrics. 1972, rocˇ. 28, cˇ. 1, s. 23-37. Dostupne´ z: http://www.jstor.org/stable/2528959

[14]

SˇIMSˇA, Jaromı´r. Tematicke´ ota´zky z didaktiky matematiky. Didaktika matematiky [online]. 2013 [cit. 2013-12-08]. Dostupne´ z: http://www.math.muni.cz/ simsa/

[15]

Slide Rule History. The Oughtred Society [online]. 2013 [cit. 2014-03-12]. Dostupne´ z: http://www.oughtred.org/history.shtml

MASARYKOVA UNIVERZITA ÚSTAV MATEMATIKY A STATISTIKY

Recommend Documents