MASARYKOVA UNIVERZITA PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA ÚSTAV MATEMATIKY A STATISTIKY. Bakalářská práce BRNO 2016 TOMÁŠ MAREŠKA

MASARYKOVA UNIVERZITA PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA ÚSTAV MATEMATIKY A STATISTIKY

Bakalářská práce

BRNO 2016

TOMÁŠ MAREŠKA

MASARYKOVA UNIVERZITA PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA ÚSTAV MATEMATIKY A STATISTIKY

Implikovaná volatilita Bakalářská práce

Tomáš Mareška

Vedoucí práce: doc. RNDr. Martin Kolář, Ph.D.

Brno 2016

Bibliografický záznam Autor:

Tomáš Mareška Přírodovědecká fakulta, Masarykova univerzita Ústav matematiky a statistiky

Název práce:

Implikovaná volatilita

Studijní program:

Matematika

Studijní obor:

Finanční a pojistná matematika

Vedoucí práce:

doc. RNDr. Martin Kolář, Ph.D.

Akademický rok:

2015/2016

Počet stran:

viii + 33

Klíčová slova:

Arbitráž; Black-Scholesův model; opce; implikovaná volatilita; risk-neutrální rozdělení pravděpodobnosti

Bibliographic Entry Author:

Tomáš Mareška Faculty of Science, Masaryk University Department of Mathematics and Statistics

Title of Thesis:

Implied volatility

Degree Programme:

Mathematics

Field of Study:

Financial and Insurance Mathematics

Supervisor:

doc. RNDr. Martin Kolář, Ph.D.

Academic Year:

2015/2016

Number of Pages:

viii + 33

Keywords:

arbitrage; Black-Scholes model; option; implied volatility; riskneutral probability distribution

Abstrakt V této bakalářské práci se věnujeme implikové volatilitě. V úvodu se seznámíme s pojmem arbitráže v souvislosti s jednokrokovým modelem, dále si ukážeme Black-Scholesův model a odvození Black-Scholesovy rovnice. Hlavním tématem této práce je implikovaná volatilita jednotlivých opcí a odvození risk-neutrálního rozdělení pravděpodobnosti. Součástí práce je také výpočet pravděpodobností implikovaného rozdělení a numerická aproximace implikované volatility z reálných dat.

Abstract In this thesis we study implied volatility. At the beginning we introduce the concept of arbitrage in connection with the one-step model, then we show the Black-Scholes model and the derivation of Black-Scholes equation. The main theme of this work is the implied volatility of the options and the derivation of risk-neutral probability distribution. The work also calculate the implied distribution probabilities and numerical approximation of implied volatility from real data.

Poděkování Na tomto místě bych chtěl poděkovat doc. Martinu Kolářovi za jeho čas, cenné rady a připomínky, které přispěly ke vzniku této práce.

Prohlášení Prohlašuji, že jsem svoji bakalářskou práci vypracoval samostatně s využitím informačních zdrojů, které jsou v práci citovány.

Brno 26. května 2016

.......................... Tomáš Mareška

Obsah Úvod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . viii Kapitola 1. Jednokrokový model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1 Portfolio a arbitráž . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Jednokrokový binomický model a arbitrážní argument . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Risk-neutrální ocenění . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1 1 2 4

Kapitola 2. Black-Scholesův vzorec . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 2.1 Black-Scholesův vzorec . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 2.2 Wienerův proces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 2.3 Itôovo lemma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 2.4 Odvození Black-Scholesovy rovnice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 2.5 Risk-neutrální ocenění . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 Kapitola 3. Implikovaná volatilita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1 Volatility smile pro call a put opce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Opce na směnné kurzy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3 Opce na akcie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4 Alternativní způsoby charakterizující volatility smile . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5 Odvození implikovaného risk-neutrálního rozdělení z cen opcí . . . . . . . . .

14 14 16 18 20 20

Kapitola 4. Praktická část . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1 Výpočet pravděpodobností implikovaného rozdělení . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 Aproximace implikované volatility . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

22 22 24

Přílohy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

27

Seznam použité literatury . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

33

– vii –

Úvod V této bakalářské práci se budeme zabývat jedním z oceňovacích modelů opcí, totiž Black-Scholesovým modelem. Cílem této práce je seznámit čtenáře s pojmem implikované volatility, ukázat souvislost s risk-neutrálním rozdělením pravděpodobnosti a následně tyto poznatky implementovat při výpočtech na reálných datech. Bakalářská práce je rozdělena do čtyř kapitol. V první kapitole se seznámíme s pojmem arbitráže a vysvětlíme si princip arbitrážního argumentu, ze kterého celá práce vychází. Tento argument ilustrujeme pomocí jednokrokového binomického modelu. Dále si v této kapitole ukážeme princip oceňování derivátů zvaný risk-neutrální ocenění. V druhé kapitole si řekneme, co je to opce a její základní charakteristiky. Dále si ukážeme Black-Scholesův vzorec a pomocí Wienerova procesu, Itôova lemmatu a několika následných transformací si tento vzorec odvodíme. V závěru této kapitoly si ukážeme nezávislost Black-Scholesovy diferenciální rovnice na preferencích rizika při obchodování s opcemi. V třetí kapitole se dostáváme k samotnému pojmu implikované volatility, se kterým neodmyslitelně souvisí graf známý jako volatility smile. Ukážeme si, jakých hodnot volatility smile nabývá pro evropské call i put opce a jaký má tvar pro 2 základní typy opcí, kterými jsou opce na směnné kurzy a opce na akcie. Dále se podíváme na souvislost grafu volatility smile s implikovaným rozdělením pravděpodobnosti, zmíněným v poslední části této kapitoly. Poslední kapitola je zaměřena na praktickou část, ve které si ukážeme výpočet pravděpodobností implikovaného rozdělení pro ceny akcií a numerickou aproximaci implikované volatility z Black-Scholesova vzorce. Při výpočtech budeme vycházet z reálných dat pro opce společnosti Apple. Všechny výpočty jsou provedeny pomocí naprogramovaných . V přílohách k této bakalářské práci jsou uvedeny skripty, které funkcí v programu obsahují tyto funkce a tabulky obsahující data, se kterými se v praktické části počítá. U teoretických kapitol jsou uvedeny zdroje, které mohou být použity k hlubšímu zkoumání této problematiky. Všechny obrázky a grafy uvedené v této práci jsou generovány pomocí programu a softwaru GeoGebra.

– viii –

Kapitola 1 Jednokrokový model V této kapitole si ukážeme definici arbitráže a vysvětlíme podstatu předpokladu neexistence arbitráže, která je použita pro oceňování opcí. Dále si ukážeme jednokrokový binomický model a důležitý princip známý jako risk-neutrální ocenění. Tato kapitola vychází z informačních zdrojů [1], [3] a [6].

1.1

Portfolio a arbitráž

Uvažujme trh s L aktivy A1 , . . . , AL volně obchodovatelnými, kde A1 je bezrizikové aktivum. j Cena podílu aktiva A j v čase t = 0 je S0 . Dále máme tržní scénáře Ω = {ω1 , . . . , ωN } Předpokládejme, že A1 je bezrizikové, tj. S11 (ω j ) = er pro všechna j = 1, . . . , N, kde r je úroková míra. j S1 (ωi ) bude označovat hodnotu aktiva A j v čase t = 1 za scénáře ωi . Jsou to tedy náhodné veličiny neboli funkce na prostoru tržních scénářů Ω. j Celkem dostáváme matici N × L s prvky S1 (ωi ). Definice 1. Portfolio je vektor θ = (θ1 , θ2 , . . . , θL ) ∈ RL , kde θ j je počet podílů aktiva A j v portfoliu. Pro θ j < 0 je majitel v krátké pozici v aktivu A j (o velikosti |θ j |). V čase t = 0 je hodnota θ rovna L

V0 (θ ) =

∑ θ j S0j .

j=1

Pro t = 1 závisí hodnota θ na ωi L

V1 (θ , ωi ) =

∑ θ j S1j (ωi).

j=1

–1–

Kapitola 1. Jednokrokový model

2

Definice 2. Arbitráž je portfolio, které „získává peníze z ničeho“, což znamená buď V0 (θ ) ≤ 0

a

V1 (θ , ω j ) > 0

V0 (θ ) < 0

a

V1 (θ , ω j ) ≥ 0

pro ∀ω j ∈ Ω, nebo pro ∀ω j ∈ Ω.

1.2

Jednokrokový binomický model a arbitrážní argument

Jednokrokový binomický model je speciálním případem populární techniky oceňování opcí zvané binomický strom. Binomický model předpokládá, že pro cenu akcie mohou nastat dvě situace - cena bude stoupat nebo klesat na pevně dané hodnoty. Arbitrážní argument můžeme zobecnit pro opci (případně jiný derivát) s cenou V na akcii s aktuální hodnotou S0 . Předpokládejme, že opce je splatná v čase T = 1 a že v průběhu životnosti opce se cena akcie bude pohybovat buď směrem nahoru z ceny S0 na novou hodnotu S0 u, kde u > 1, nebo směrem dolů z ceny S0 na novou hodnotu S0 d, kde d < 1. Procentuální nárůst ceny akcie pro případ pohybu směrem nahoru je u − 1, procentuální pokles ceny akcie pro případ pohybu směrem dolů je 1 − d. Pokud se cena akcie změní na S0 u, předpokládaná výplata opce je Vu , pokud se cena akcie pohne na S0 d, předpokládaná výplata opce je Vd . Tato situace je ukázána na obrázku 1.1. S0 u Vu S0 V0 S0 d Vd

Obrázek 1.1: Ceny akcií a opcí v zobecněném jednokrokovém modelu Představme si portfolio skládající se z dlouhé pozice (nákupu) ∆ akcií a krátké pozice (prodeje) jedné opce. Chceme vypočítat hodnotu ∆, pro kterou je portfolio bezrizikové. Pokud se cena akcie pohne směrem nahoru, hodnota portfolia bude na konci životnosti opce ve tvaru S0 u∆ −Vu . Pokud se cena akcie pohne směrem dolů, hodnota portfolia bude S0 d∆ −Vd . Tyto dva vztahy se rovnají v případě, že je ∆ ve tvaru ∆=

Vu −Vd S0 u − S0 d

(1.1)


3

V takovém případě je portfolio bezrizikové a při neexistenci arbitrážních příležitostí vydělává bezrizikovou úrokovou míru. Vztah 1.1 ukazuje, že ∆ je poměr rozdílu ceny opce ku ceně akcie v jednotlivých scénářích. Označíme-li bezrizikovou úrokovou míru jako r, současná hodnota portfolia bude ve tvaru (S0 u∆ −Vu )e−rT . Náklady na pořízení portfolia jsou S0 ∆ −V0 . Z toho vyplývá, že S0 ∆ −V0 = (S0 u∆ −Vu )e−rT , což můžeme zapsat ve tvaru V0 = S0 ∆(1 − ue−rT ) +Vu e−rT . Dosazením vztahu 1.1 za ∆ dostaneme V0 = S0 (

Vu −Vd )(1 − ue−rT ) +Vu e−rT . S0 u − S0 d

Tento vztah můžeme dále upravit na V0 =

Vu (1 − de−rT ) +Vd (ue−rT − 1) , u−d

což se použitím substituce p=

erT − d u−d

(1.2)

rovná V0 = e−rT [pVu + (1 − p)Vd ] . Parametr p se nazývá risk-neutrální pravděpodobnost scénáře pohybu nahoru a 1 − p je risk-neutrální pravděpodobnost scénáře pohybu směrem dolů. Cena opce V0 v čase t = 0 se rovná diskontovanému očekávání budoucí ceny, kterou značíme E(V1 ). Z předchozího vztahu můžeme budoucí cenu E(V1 ) vyjádřit jako E(V1 ) = pVu + (1 − p)Vd . Celkem tedy máme V0 = e−rT E(V1 ).

(1.3)

Stejný postup můžeme aplikovat pro budoucí cenu akcie E(S1 ) v čase t = 1 danou vztahem E(S1 ) = pS0 u + (1 − p)S0 d. To můžeme přepsat jako E(S1 ) = pS0 (u − d) + S0 d. Následnou substitucí vztahu 1.2 za p dostaneme E(S1 ) = S0 erT ,


4

tudíž S0 = e−rT E(S1 ). Vztah 1.3 nám dovoluje ocenit opci, když jsou pohyby ceny akcie dané jednokrokovým binomickým modelem. Jediným potřebným předpokladem pro platnost vztahu 1.3 je neexistence arbitrážních příležitostí na trhu.

1.3

Risk-neutrální ocenění

Risk-neutrální ocenění je významným principem v oceňování derivátů. Hlavním předpokladem tohoto principu je, že investorům nezáleží na velikosti rizika, které podstupují při obchodování s deriváty. Světu, ve kterém platí tento předpoklad, se říká risk-neutrální svět. V reálném světě však není tento předpoklad úplně správný, protože investoři vždy očekávají vyšší výnos jako kompenzaci za podstoupení vyššího rizika. Tento princip nám říká, že preference rizika nehrají roli ve způsobu oceňování opcí. Je to důsledkem faktu, že vzorce, vyjadřující vztah mezi cenami podkladových akcií a cenami opcí, dávají stejné výsledky bez ohledu na velikost rizika. V risk-neutrálním světě platí 2 vlastnosti, které usnadňují tvorbu cen derivátů: 1. Očekávaný výnos akcie (nebo jakékoliv jiné investice) je bezriziková úroková míra. 2. Diskontní sazba pro očekávanou výnosnost opce je bezriziková úroková míra.

Kapitola 2 Black-Scholesův vzorec V této kapitole si ukážeme Black-Scholesův vzorec a následně si pomocí definice Wienerova procesu a Itôova lemmatu tento vzorec odvodíme. V této kapitole vycházíme z [1], [2], [3], [4] a [5].

2.1

Black-Scholesův vzorec

Evropská opce je kontrakt (obvykle obchodovaný na burze), uzavíraný mezi dvěma stranami, kdy kupující strana obdrží právo (ovšem ne povinnost) koupit (nebo prodat) ke sjednanému času T dané podkladové aktivum za stanovenou cenu K (cena, za kterou má vlastník opce právo koupit nebo prodat podkladové aktivum - nazývá se realizační cena). Prodávající opce má na rozdíl od kupujícího povinnost podkladové aktivum v případě uplatnění opce dodat/koupit. Existuje více typů opcí, ale v této práci budeme uvažovat pouze evropské opce. Pro danou opci mohou nastat 3 případy: 1. Opce je na penězích - realizační cena se rovná aktuální ceně podkladového aktiva. 2. Opce je v penězích - realizační cena je nižší než aktuální cena podkladového aktiva. 3. Opce je mimo peníze - realizační cena je vyšší než aktuální cena podkladového aktiva. Black-Scholesův vzorec pro evropské opce slouží k výpočtu současné ceny opce. Pro call (kupní) opci se tato cena značí jako C, pro put (prodejní) opci se tato cena značí jako P. Hodnota opce podle Black-Scholesova modelu závisí jak pro evropskou call opci, tak pro evropskou put opci, na pěti různých proměnných: K . . . realizační cena S0 . . . současná cena aktiva σ . . . volatilita (míra rizika) T . . . doba splatnosti opce –5–

Kapitola 2. Black-Scholesův vzorec

6

r . . . bezriziková úroková míra Black-Scholesův vzorec je pro evropskou call opci ve tvaru √ C = S0 Φ(d1 ) − Ke−rT Φ(d1 − σ T ) a pro evropskou put opci ve tvaru √ P = Ke−rT Φ(−d1 + σ T ) − S0 Φ(−d1 ), kde Φ je distribuční funkce N(0, 1) a 2

ln S0 + T (r + σ2 ) d1 = K √ . σ T

2.2

Wienerův proces

Wienerův proces je stochastický proces ve spojitém čase se spojitými hodnotami, proto si nejdříve, než si ukážeme definici Wienerova procesu, musíme ukázat definici stochastického procesu. Definice 3. Mějme měřitelný prostor (Ω, A), množinu reálných čísel R a indexovou množinu τ 6= 0, / která hraje roli času. Dále mějme zobrazení X : Ω × τ → R takové, že pro ∀t ∈ τ je X(·,t) náhodná veličina, kterou značíme Xt . Pak takové zobrazení nazýváme stochastický proces definovaný na množině τ. Značíme {Xt ,t ∈ τ}. Stochastické procesy dělíme na 4 typy: • diskrétní proces s diskrétním časem • diskrétní proces se spojitým časem • spojitý proces s diskrétním časem • spojitý proces se spojitým časem n

Definice 4. Nechť S0 = 0 a Sn = ∑ Xi , kde Xi jsou nezávislé náhodné veličiny. Předpoklái=1

dejme, že pravděpodobnostní funkce Xi je P(Xi = 1) = p

P(Xi = −1) = 1 − p = q

pro všechna i = 1, . . . , n. Je-li p = q = 12 , pak se stochastický proces {Sn }∞ n=0 nazývá symetrická jednoduchá náhodná procházka. Definice 5. Stochastický proces Wt , kde t ∈ [0, ∞), se nazývá standardní Wienerův proces, jestliže platí • W0 = 0 • spojitost - s pravděpodobností 1 je trajektorie Wienerova procesu spojitá


7

• nezávislost - přírůstky Wienerova procesu jsou nezávislé, což znamená, že pro 0 ≤ t1 < s1 ≤ t2 < s2 ≤ . . . ≤ tn < sn jsou přírůstky Ws1 − Wt1 ,Ws2 − Wt2 , . . . ,Wsn − Wtn navzájem nezávislé • normalita přírůstků - přírůstky Ws −Wt pro s > t mají rozdělení N(0, s − t). Speciálně z vlastností (1) a (4) máme Wt ∼ N(0,t) ∼

√ tN(0, 1)

Wienerův proces můžeme chápat jako limitu náhodné procházky, kde ∆x → 0 (velikost prostorového kroku zmenšujeme do 0) a ∆t → 0 (délku časového kroku zmenšujeme do 0). Zvolme velikost prostorového kroku ∆x a délku časového kroku ∆t. Pro t = n∆t definujeme proces St = Sn∆t = (X1 + X2 + . . . + Xn )∆x. Z nezávislosti přírůstků X j plyne, že E(St ) = 0 a Var(St ) = (∆x)2 n = (∆x)2

t . ∆t

Chceme zjistit chování procesu pro ∆x → 0 a ∆t → 0. Uvažujme mocninnou závislost ∆t = (∆x) p , kde p > 0. V případě volby p ∈ (0, 2) dostaneme v limitě hodnotu rozptylu blížící se ∞ a v případě volby p > 2 dostaneme v limitě nulový rozptyl. Proto konečný nenulový rozptyl získáme pouze pro volbu p = 2, tedy ∆t = (∆x)2 . Dále nám z centrální limitní věty plyne, že St má v limitě pro ∆t → 0, kde ∆t = (∆x)2 normální rozdělení N(0,t). V limitě pro ∆t → 0 tedy dostaneme standardní Wienerův proces.

2.3

Itôovo lemma

Itôovo lemma slouží k výpočtu přírůstků funkce stochastického procesu. Předpokládejme, že hodnota stochastického procesu X splňuje rovnici dX = a(X,t)dt + b(X,t)dW, kde W je standardní Wienerův proces, a, b jsou funkce X a t a nechť G(x,t) je dvakrát spojitě diferencovatelná funkce proměnných x,t. Itôovo lemma říká, že pro přírůstek procesu G(X,t) platí vztah ∂G ∂ G 1 ∂ 2G 2 ∂G + b +a dt + bdW. dG = 2 ∂t 2 ∂x ∂x ∂t


2.4

8

Odvození Black-Scholesovy rovnice

Black-Scholesova rovnice je rovnice pro cenu evropských opcí v Black-Scholesově modelu. Předpokládejme, že pohyb ceny akcie je popsán geometrickým Wienerovým procesem, který je ve tvaru dS = µdt + σ dW, S kde µ > 0 a σ > 0. Použitím Itôova lemmatu na funkci G(S,t) = ln S máme ∂G = 0, ∂t

∂G 1 = , ∂S S

∂ 2 G −1 = 2. ∂ S2 S

Tedy z Itôova lemmatu plyne σ2 dG = µ − dt + σ dW 2

a

σ2 d(ln S) = µ − dt + σ dW. 2

Z tohoto vztahu plyne, že (ln ST − ln S0 ) má normální rozdělení se střední hodnotou σ2 µ − 2 T a rozptylem σ 2 T a tedy ln ST má také normální rozdělení σ2 2 T;σ T . ln ST ∼ N ln S0 + µ − 2 Definice 6. Lognormální rozdělení pravděpodobnosti s parametry µ a σ , značené LN(µ, σ ), je spojité rozdělení pravděpodobnosti jednorozměrné reálné náhodné veličiny X takové, že náhodná veličina ln(X) má normální rozdělení se střední hodnotou µ a směrodatnou odchylkou σ . Hustota lognormálního rozdělení je ve tvaru f (x; µ, σ ) =

(ln x−µ)2 1 √ e− 2σ xσ 2π

pro x > 0. Můžeme tedy říci, že ST má lognormální rozdělení pravděpodobnosti. Dále máme rovnici pro cenu akcie sledující geometrický Wienerův proces dS = µSdt + σ SdW.

(2.1)

Předpokládejme, že V je cena evropské call opce s realizační cenou K a dobou splatnosti T . Zisk z takové opce v čase T je ( ST − K, pro ST > K 0, pro ST < K,


9

V závisí na S a t a je tedy funkcí dvou proměnných, V (S,t). Hodnota V (S,t) je cena opce v čase t, jestliže se cena akcie rovná S. Podle Itôova lemmatu platí pro změnu ceny opce dV =

∂V ∂V 1 ∂ 2V dt + dS + (dS)2 . ∂t ∂S 2 ∂ S2

Za dS dosadíme z 2.1, tedy dV =

∂V ∂V 1 ∂ 2V dt + (µSdt + σ SdW ) + (µSdt + σ SdW )2 . ∂t ∂S 2 ∂ S2

Vzhledem k tomu, že (dt)2 a dtdW jsou členy vyššího řádu a (dW )2 = dt, dostaneme vztah ∂V ∂V 1 ∂ 2V 2 2 ∂V dV = + µS + σ S dt + σ SdW. (2.2) ∂t ∂S 2 ∂ S2 ∂S Vhodnou kombinací 2.1 a 2.2 můžeme sestavit portfolio z akcií a opcí, jehož výnos je deterministický, tzn. můžeme odstranit stochastický člen dW . Označme Π hodnotu portfolia složeného z jedné opce a − ∂V ∂ S akcie, tedy Π=−

∂V S + 1V. ∂S

Pro přírůstek hodnoty portfolia za čas dt máme: dΠ = −

∂V dS + 1dV. ∂S

Dosazením z 2.1 a 2.2 dostaneme ∂V ∂V ∂V 1 ∂ 2V 2 2 dΠ = − µS + + µS + σ S dt, ∂S ∂t ∂S 2 ∂ S2

(2.3)

kde se stochastický člen vyruší. Přírůstek hodnoty portfolia dΠ se musí rovnat zisku z bezrizikového aktiva s úrokovou mírou r (platí z předpokladu neexistence arbitráže), tj. dΠ = rΠdt. Celkem dostáváme

a

∂V ∂V 1 ∂ 2V 2 2 + σ S dt = r − S +V dt ∂t 2 ∂ S2 ∂S ∂V 1 ∂ 2V 2 2 ∂V + σ S + Sr = rV. ∂t 2 ∂ S2 ∂S V (S, T ) = V (S), S > 0,t ∈ [0, T ] .

Rovnice 2.4 je Black-Scholesova parciální diferenciální rovnice.

(2.4)


10

Koncová podmínka V (S) = V (S, T ) v době splatnosti je v případě evropské call opce zadaná následovně: ( S − K, pro S ≥ K V (S) = max(ST − K, 0) = 0, pro 0 < S < K. V případě, že se jedná o put opci, je koncová podmínka vyjádřena jako: ( K − S, pro 0 < S ≤ K V (S) = max(K − ST , 0) = 0, pro K < S. Základní myšlenka řešení rovnice 2.4 spočívá v posloupnosti transformací této parciální rovnice na základní tvar parabolické rovnice (rovnice vedení tepla) ∂u ∂ 2u = a2 2 ∂t ∂x . Záměna času. V tomto kroku musíme transformovat čas t ∈ [0, T ] tak, aby plynul opačným směrem, což znamená od doby splatnosti T do počátečního času t = 0. Zavedeme proto novou proměnnou τ = T − t a položíme W (S, τ) = V (S, T − τ),

V (S,t) = W (S, T − t).

S využitím vztahu dt = −dτ rovnici 2.4 transformujeme do tvaru ∂W 1 ∂ 2W 2 2 ∂W − Sr + rW = 0, σ S − ∂τ 2 ∂ S2 ∂S

(2.5)

kde W (S, 0) = V (S),

S > 0, τ ∈ [0, T ].

Logaritmická transformace ceny akcie. V tomto kroku potřebujeme zavést substituci S = ex , x = ln S a novou funkci Z(x, τ) = W (ex , τ),

W (S, τ) = Z(ln S, τ).

Poznamenejme, že S ∈ (0, ∞) právě tehdy, když x ∈ (−∞, ∞). Vícenásobným použitím pravidla o derivování složené funkce dostaneme: ∂W ∂Z =S , ∂τ ∂S

2 2 ∂ 2Z ∂W ∂Z 2∂ W 2∂ W = S + S = S + . ∂ x2 ∂ S2 ∂S ∂ S2 ∂x

Rovnici 2.5 potom můžeme přepsat do tvaru 2 ∂ Z 1 2 ∂ 2Z σ ∂Z − σ + − r + rZ = 0, ∂ τ 2 ∂ x2 2 ∂x Z(x, 0) = V (ex ),

−∞ < x < ∞, τ ∈ [0, T ].


11 2

2∂ V Transformace na základní parabolickou rovnici PDR ∂V ∂t = a ∂ S2 . V tomto kroku se můžeme prostřednictvím exponenciální transformace zbavit členů nižšího řádu (podle stupně derivace) Z a ∂∂ Zx :

u(x, τ) = eαx+β τ Z(x, τ),

Z(x, τ) = e−αx−β τ u(x, τ),

kde α, β jsou nějaké konstanty, jejichž hodnotu si určíme později v této podkapitole. Dále platí: ∂Z −αx−β τ ∂ u =e − αu , ∂x ∂x 2 ∂ 2Z ∂u −αx−β τ ∂ u 2 =e − 2α +α u , ∂ x2 ∂ x2 ∂x ∂Z −αx−β τ ∂ u =e −βu . ∂τ ∂τ Nově transformovaná funkce u je řešením parciální diferenciální rovnice ∂u ∂ u σ 2 ∂ 2u − + Bu = 0, + A ∂τ 2 ∂ x2 ∂x u(x, 0) = eαxV (ex ), kde pro koeficienty A, B platí A = ασ 2 +

σ2 − r, 2

B = (1 + α)r − β −

α 2 σ 2 + ασ 2 . 2

Tyto rovnice chceme vyřešit tak, aby A, B byly současně nulové. Dosazením A = B = 0 dostaneme pro konstanty α, β jediné řešení, které je tvaru α=

r 1 − 2 σ 2

β=

r σ2 r2 + + 2. 2 8 2σ

(2.6)

Toto řešení α, β nám zaručí, že výsledná rovnice pro funkci u je nakonec ve tvaru ∂ u σ 2 ∂ 2u = , ∂τ 2 ∂ x2 u(x, 0) = eαxV (ex ),

(2.7)

−∞ < x < ∞, τ ∈ [0, T ].

Výpočet řešení. Rovnice 2.7 má na základě známých výsledků o řešení parabolických diferenciálních rovnic řešení u(x, τ), které se dá napsat jako konvoluce počáteční podmínky s Greenovou funkcí ve tvaru integrálu 1 u(x, τ) = √ 2σ 2 πτ

Z ∞ (x−s)2 − 2 2σ τ

e

u(s, 0)ds.

−∞

Posloupností zpětných transformací u → Z → W → V nakonec dostáváme vztah V (S, T − τ) = e−β τ e−α ln S u(ln S, τ)


12

a tedy e−β τ S−α V (S, T − τ) = √ 2 2σ πτ

Z ∞ (ln S−s)2 − e 2σ 2 τ eαsV (ex )ds.

(2.8)

−∞

Pro evropskou call opci platí V (S) = max(S − K, 0) a tedy vztah 2.8 můžeme dále upravit do tvaru Z ∞ (ln S−s)2 e−β τ −α 1 − S √ e 2σ 2 τ eαs (es − K)ds. V (S, T − τ) = √ π ln K 2σ 2 τ Po zavedení substituce y = s − ln S dostaneme e−β τ 1 √ V (S, T − τ) = √ 2σ 2 τ π

Z ∞ − ln KS

−

e

y2 2σ 2 τ

(1+α)y αy Se − Ke dy.

(2.9)

Praktická realizace výpočtu podle vzorce 2.9 však vyžaduje další úpravu tak, abychom cenu V vyjádřili pomocí známých a tabelovaných funkcí. Takovými funkcemi jsou kumulativní distribuční funkce Φ(x) a zbytková funkce erf(x) normálního rozdělení, které jsou definované pomocí Eulerova integrálu jako 1 Φ(x) = √ 2π

Z x

1 − erf(x) 1 = 2 π

2

− ξ2

e

dξ ,

−∞

Z ∞

2

e−ξ dξ

x

a splňují vztahy erf(−x) = −erf(x) a Z x ξ2 x 1 1 √ √ 1 + erf = e− 2 dξ = Φ(x). 2 2π −∞ 2 Dále potřebujeme vypočítat hodnotu integrálu e−β r 1 √ I1 = √ 2σ 2 τ π Zavedením transformace ξ =

√ y 2σ 2 τ

Z ∞ − ln KS

−

e

y2 +(1+α)y 2σ 2 τ

dy.

√ − 1+α 2σ 2 τ a využitím vztahu 2.6 dostaneme 2

" e−τ I1 = 1 + erf 2

2

1 (r + σ2 τ + ln KS √ √ σ τ 2

!# .

Podobně vypočítáme hodnotu integrálu 2 ∞ e−β r 1 − y 2 +αy 2σ τ √ I2 = √ e dy. 2σ 2 τ π − ln KS √ Zavedením transformace ξ = √ y 2 − α2 2σ 2 τ a využitím vztahu 2.6 dostaneme

Z

2σ τ

" e−rτ I2 = 1 + erf 2

2

1 (r − σ2 τ + ln KS √ √ σ τ 2

!# .


13

Využitím výše uvedených vztahů pro integrály I1 a I2 můžeme vzorec 2.9 pro cenu opce V (S, 0) napsat ve tvaru " !# 2 1 (r + σ2 τ + ln KS Se−τ √ 1 + erf √ V (S, T − τ) = − 2 σ τ 2 " !# 2 1 (r − σ2 τ + ln KS Ke−rτ √ 1 + erf √ . − 2 σ τ 2 Využitím vztahů mezi funkcemi Φ(x) a erf(x) nakonec dostaneme √ V (S,t) = SΦ(d1 ) − Ke−r(T −t) Φ(d1 − σ T − t), kde

(2.10)

2

ln S + (r + σ2 )(T − t) √ d1 = K . σ T −t Rovnice 2.10 představuje Black-Scholesův vzorec pro evropskou call opci v čase t s realizační cenou K, cenou akcie S, volatilitou σ , dobou splatnosti T a bezrizikovou úrokovou mírou r.

2.5

Risk-neutrální ocenění

Už jsme si ukázali risk-neutrální ocenění v souvislosti s jednokrokovým modelem v kapitole 1. Během odvození Black-Scholesovy diferenciální rovnice počítáme s očekávaným výnosem akcie µ, který je závislý na preferencích rizika. Čím menší míru rizika jsou ochotni investoři podstoupit, tím větší bude µ pro konkrétní akcii. Proto by měla být Black-Scholesova diferenciální rovnice závislá na preferencích rizika. Následným odvozením rovnice se však ukázalo, že µ se při úpravě vztahu 2.3 odečte a ve výsledném tvaru diferenciální rovnice nefiguruje. Podívejme se tedy na proměnné, které Black-Scholesova diferenciální rovnice zahrnuje. Těmito proměnnými jsou aktuální cena akcií S, volatilita σ , doba splatnosti T a bezriziková úroková míra r. Všechny tyto proměnné jsou nezávislé na preferencích rizika a protože preference rizika nezasahují do rovnice, nemohou ani ovlivnit její řešení. To vede k následujícímu principu ocenění: 1. Předpokládejme, že očekávaný výnos z podkladového aktiva je bezriziková úroková míra r (µ = r). 2. Spočítáme očekávaný výnos derivátu. 3. Diskontujeme očekávaný výnos bezrizikovou úrokovou mírou.

Kapitola 3 Implikovaná volatilita Tato kapitola popisuje graf známý jako volatility smile, což je graf implikované volatility opce s určitou životností, jako funkce její realizační ceny. Dále popisuje jeho využití obchodníky na akciových a devizových trzích a vysvětluje vztah mezi volatility smile a risk-neutrálním rozdělením pravděpodobnosti předpokládaným pro budoucí ceny aktiva. Mezi parametry Black-Scholesova modelu je σ jediný parametr, který nelze pozorovat. Existují 2 základní způsoby počítání s volatilitou: 1. odhad z historických dat (odhad volatility na základě minulých cen akcií) 2. používání implikované volatility (dopočítání volatility z Black-Scholesova modelu) Volatilita σ , dosazená do Black-Scholesova vzorce za účelem dopočítání zadané ceny opce, se nazývá implikovaná volatilita. Jinými slovy implikovaná volatilita je odhadnutá volatilita σ , se kterou se námi vypočítaná hodnota opce z Black-Scholesova vzorce bude rovnat hodnotě opce ze zadání. Volatilita σ měří naší nejistotu ohledně zisku z akcie. Při využití Black-Scholesova modelu se dovolí, aby volatilita závisela na realizační ceně opce a době splatnosti opce. V této kapitole vycházíme ze zdrojů [1] a [5].

3.1

Volatility smile pro call a put opce

V této podkapitole si ukážeme, že implikovaná volatilita pro evropské call a put opce, za předpokladu stejné realizační ceny, data splatnosti a podkladového aktiva, je stejná. To znamená, že volatility smile pro call opce s určitou splatností a put opce se stejnou splatností je stejný. Vztah mezi cenami evropských call a put opcí se stejnou realizační cenou a datem splatnosti je popsán put-call paritou. Put-call parita je základní vztah mezi hodnotami call a put opce, který platí bez ohledu na předpoklady našeho modelu. V opačném případě existuje snadno realizovatelná arbitráž. Pro odvození put-call parity uvažujeme portfolio obsahující jednu call opci na dlouho (máme právo uplatnit opci nebo neuplatnit) a jednu put opci se stejnými parametry na krátko (opce, kterou jsme vypsali). Pro hodnotu takového portfolia máme C − P = max(ST − K, 0) − max(K − ST , 0) = ST − K – 14 –

Kapitola 3. Implikovaná volatilita

15

nebo-li C + K = ST + P. Odtud vidíme, že C − P − ST je bezrizikové portfolio, pro něž platí C − P − ST = K. Z neexistence arbitráže plyne, že jeho hodnota v čase 0 musí být Ke−rT , tedy C + Ke−rT = P + S0 ,

(3.1)

kde C a P jsou ceny evropské call a put opce, K je realizační cena a T doba splatnosti. Proměnná S0 je současná cena podkladového aktiva a r je bezriziková úroková míra za dobu T . Klíčovou vlastností put-call parity je, že je založena na nearbitrážním argumentu, který nepožaduje jakýkoliv předpoklad rozdělení pravděpodobnosti ceny aktiva. σ a Cσ hodnoty evropPředpokládejme, že pro konkrétní hodnotu volatility σ jsou PBS BS ských put a call opcí spočítaných pomocí Black-Scholesova modelu a Ptrh a Ctrh jsou tržní hodnoty těchto opcí. Protože put-call parita platí pro Black-Scholesův model, musí platit σ σ + Ke−rT . + S0 = CBS PBS

Při neexistenci arbitrážních příležitostí platí put-call parita také pro tržní ceny, tudíž Ptrh + S0 = Ctrh + Ke−rT . Odečtením druhé rovnice od první dostaneme σ σ −Ctrh . − Ptrh = CBS PBS

(3.2)

Tento vztah ukazuje, že rozdíl cen za použití Black-Scholesova modelu k ocenění evropské put opce by měl být stejný jako rozdíl cen za použití B-S modelu k ocenění evropské call opce se stejnou realizační cenou a dobou splatnosti. Toto tvrzení dokážeme jednoduchou úvahou. Zvolme σ , pro které se levá strana rovnice 3.2 bude rovnat nule. Jelikož je levá strana rovna nule, musí mít i pravá strana rovnice hodnotu nula, což nastane právě pro námi zvolené σ v levé straně rovnice. Tím jsme prokázali, že implikovaná volatilita evropské call a put opce je stejná. Tento fakt si můžeme trochu názorněji ukázat na jednoduchém příkladu. Předpokláσ =P dejme implikovanou volatilitu evropské put opce například 20 %. Tedy PBS trh pro σ =C . σ = 20%. Následně ze vztahu 3.2 víme, že za použití této volatility je také CBS trh Tudíž implikovaná volatilita call opce je také 20 % a tím pádem se nám obě implikované volatility rovnají. Názornější příklad pro výpočet implikované volatility z reálných dat si ukážeme v následující kapitole.


3.2

16

Opce na směnné kurzy

Volatility smile pro opce na směnné kurzy má obecný tvar ukázaný na obrázku 3.1. Implikovaná volatilita je relativně malá pro opce na penězích (realizační cena se rovná aktuální ceně podkladového aktiva). Stane se postupně vyšší, když se opce dostane do peněz (realizační cena je nižší než aktuální cena podkladového aktiva) nebo naopak mimo peníze (realizační cena je vyšší než aktuální cena podkladového aktiva). V podkapitole 3.5 si ukážeme, jak odvodit risk-neutrální rozdělení pravděpodobnosti, které nazýváme implikované rozdělení. Jedná se o rozdělení pravděpodobnosti pro budoucí cenu aktiva z volatility smile daného opcemi splatnými v daný čas. Volatility smile pro opce na směnné kurzy, znázorněný na obrázku 3.1, odpovídá implikovanému rozdělení znázorněnému plnou čarou na obrázku 3.2. Lognormální rozdělení se stejnou střední hodnotou a rozptylem, jako má implikované rozdělení, je znázorněno přerušovanou čarou na obrázku 3.2. Můžeme vidět, že implikované rozdělení má těžší chvosty než lognormální rozdělení pravděpodobnosti. Abychom viděli, že obrázek 3.1 a obrázek 3.2 jsou vzájemně konzistentní, vezměme pro názornost call opci hluboko mimo peníze s vysokou realizační cenou K2 a put opci hluboko mimo peníze s nízkou realizační cenou K1 : 1. Call opce s realizační cenou K2 . Taková opce bude mít nenulovou výplatu pouze tehdy, když se směnný kurz ukáže být nad hodnotou K2 . Obrázek 3.2 ukazuje, že tato pravděpodobnost je vyšší pro implikované rozdělení pravděpodobnosti, než pro lognormální rozdělení. Proto očekáváme, že nám implikované rozdělení dá vzhledem k lognormálnímu rozdělení relativně vysokou cenu opce. Relativně vysoká cena vede k relativně velké implikované volatilitě, což můžeme pozorovat na obrázku 3.1. 2. Put opce s realizační cenou K1 . Taková opce bude mít nenulovou výplatu pouze tehdy, když se směnný kurz ukáže být nad hodnotou K1 . Na obrázku 3.2 si můžeme všimnout, že tato pravděpodobnost je také vyšší pro implikované rozdělení pravděpodobnosti, než pro lognormální rozdělení. Proto stejně jako u call opce dostaneme relativně vysokou cenu a relativně velkou implikovanou volatilitu pro tuto opci, což je znovu přesně to, co vidíme na obrázku 3.1.

17

Implikovana volatilita


Realizacni cena

Obrázek 3.1: Volatility smile pro opce na směnné kurzy

Implikované

Lognormální

0

K1

K2

Obrázek 3.2: Implikované a lognormální rozdělení pro opce na směnné kurzy

Zdůvodnění volatility smile pro opce na směnné kurzy Volatility smile neexistuje pro opce na směnné kurzy v případě, že by směnné kurzy byly lognormálně rozdělené (implikovaná volatilita by nezávisela na K, tudíž grafem by byla vodorovná přímka). Aby tomu tak bylo, musely by být splněny následující dvě podmínky: 1. Volatilita aktiva je konstantní 2. Cena aktiva se mění spojitě


18

V praxi však není pro směnné kurzy ani jedna z těchto podmínek splněna. Je to způsobeno tím, že volatilita není konstantní a směnné kurzy se mění skokově. Důsledkem toho dostáváme s větší pravděpodobností extrémní výsledky. Vliv skokově měnících se směnných kurzů a nekonstantní volatility závisí na době splatnosti opce. Čím více se doba splatnosti zvětšuje, tím výraznější je procentuální vliv nekonstantní volatility na ceny, ale zároveň méně výrazný procentuální vliv na implikovanou volatilitu. S rostoucí dobou splatnosti se také snižuje procentuální vliv skokových směnných kurzů na implikovanou volatilitu. Výsledkem všech těchto závislostí je fakt, že volatility smile se stává méně výrazným pro zvětšující se dobu splatnosti opcí na směnné kurzy.

3.3

Opce na akcie

Volatility smile pro opce na akcie má obecný tvar ukázaný na obrázku 3.3. Tato křivka se také někdy označuje jako volatility skew. Můžeme si všimnout, že pro rostoucí realizační cenu volatilita klesá. To znamená, že volatilita použitá k ocenění opcí s nízkou realizační cenou (například put a call opce hluboko mimo peníze) je výrazně vyšší než volatilita použitá k ocenění opci s vysokou realizační cenou (například put a call opce hluboko v penězích). Volatility smile pro opce na akcie, znázorněný na obrázku 3.3, odpovídá implikovanému rozdělení pravděpodobnosti znázorněného plnou čarou na obrázku 3.4. Lognormální rozdělení se stejnou střední hodnotou a rozptylem, jako má implikované rozdělení, je znázorněno na tomto obrázku přerušovanou čarou. Můžeme vidět, že implikované rozdělení má vlevo těžší chvost než lognormální rozdělení, ale vpravo má naopak těžší chvost lognormální rozdělení. Abychom viděli, že obrázek 3.3 a obrázek 3.4 jsou vzájemně konzistentní, budeme postupovat stejně, jako jsme postupovali u obrázků 3.1 a 3.2. Vezměme call opci hluboko mimo peníze s vysokou realizační cenou K2 a put opci hluboko mimo peníze s nízkou realizační cenou K1 : 1. Call opce s realizační cenou K2 . Na obrázku 3.4 vidíme, že call opce hluboko mimo peníze s realizační cenou K2 má pro implikované rozdělení nižší cenu, než pro lognormální rozdělení. Důvodem toho je, že opce se vyplatí jen v případě, kdy je cena akcie prokazatelně vyšší, než hodnota K2 . Taková pravděpodobnost je nižší pro implikované rozdělení, než pro lognormální rozdělení. Proto očekáváme, že nám implikované rozdělení dá relativně nízkou cenu opce. Relativně nízká cena vede k relativně nízké implikované volatilitě, což můžeme pozorovat na obrázku 3.3. 2. Put opce s realizační cenou K1 . Tato opce se vyplatí jen v případě, kdy je cena akcie prokazatelně nižší, než hodnota K1 . Obrázek 3.4 ukazuje, že taková pravděpodobnost je vyšší pro implikované rozdělení, než pro lognormální rozdělení. Proto očekáváme, že nám implikované rozdělení dá relativně vysokou cenu a relativně vysokou implikovanou volatilitu opce, což znovu pozorujeme na obrázku 3.3. Tyto dva grafy jsou proto vzájemně konzistentní pro obě realizační ceny K1 i K2 .

19

Implikovana volatilita


Realizacni cena

Obrázek 3.3: Volatility smile pro opce na akcie

Implikované

Lognormální

0

K1

K2

Obrázek 3.4: Implikované a lognormální rozdělení pro opce na akcie

Zdůvodnění volatility smile pro opce na akcie Jedním možným zdůvodněním pro volatility smile při obchodování s opcemi na akcie jsou obavy z tzv. pákového efektu (pákovým efektem se rozumí použití cizího kapitálu za účelem navýšení svého zisku, přičemž pákový efekt zvyšuje jak zisky, tak i ztráty). Když akcie společnosti ztrácejí hodnotu, pákový efekt se zvyšuje. To znamená, že akcie se stávají více rizikové a jejich volatilita se zvyšuje. Když akcie společnosti získávají na hodnotě, pákový efekt se naopak snižuje. Akcie jsou potom méně rizikové a volatilita se snižuje.


20

Tento argument naznačuje, že můžeme očekávat volatilitu akcií jako klesající funkci ceny akcií a tato volatilita je konzistentní s obrázky 3.3 a 3.4.

3.4

Alternativní způsoby charakterizující volatility smile

V předchozích podkapitolách jsme si zavedli volatility smile jako vztah mezi implikovanou volatilitou a realizační cenou. Tento vztah závisí na současné ceně aktiva. Například nejnižší bod volatility smile na obrázku 3.1 je obvykle blízko aktuálnímu směnnému kurzu. Pokud se směnný kurz zvětšuje, volatility smile má tendenci se pohnout doprava, naopak, pokud se směnný kurz zmenšuje, volatility smile má tendenci se pohnout doleva. Podobně je tomu na obrázku 3.3, když se cena akcie zvětšuje, volatility skew má tendenci se pohnout doprava, a když se cena akcie snižuje, volatility skew má tendenci se pohnout doleva. Z tohoto důvodu je volatility smile často počítán jako vztah mezi implikovanou volatilitou a SK0 raději, než jako vztah mezi implikovanou volatilitou a K. Volatility smile je potom mnohem stabilnější. Volatility smile můžeme také počítat jako vztah mezi implikovanou volatilitou a VK0 , kde V0 je forwardová cena se stejnou dobou splatnosti jako uvažované opce (viz. [1]). Obchodníci také často definují opce na penězích jako opce, kde K = V0 , nikoliv jako opce, kde K = S0 . Důvodem toho je, že V0 , nikoliv S0 , je očekávaná cena akcie v den splatnosti opce v risk-neutrálním světě.

3.5

Odvození implikovaného risk-neutrálního rozdělení z cen opcí

Cena evropské call opce s realizační cenou K a dobou splatnosti T je dána vztahem −rT

Z ∞

C=e

ST =K

(ST − K)g(ST )dST ,

kde r je úroková míra (považujeme za konstantní), ST je cena aktiva v čase T a g je risk-neutrální funkce hustoty pravděpodobnosti ST . Diferencováním podle K dostaneme ∂C = −e−rT ∂K

Z ∞ ST =K

g(ST )dST .

Opětovným diferencováním podle K dostáváme ∂ 2C = e−rT g(K). ∂ K2 Tento vztah ukazuje, že funkce hustoty pravděpodobnosti g je g(K) = erT

∂ 2C . ∂ K2

(3.3)

Tento výsledek umožňuje odhadovat risk-neutrální rozdělení pravděpodobnosti. Předpokládejme, že C1 , C2 a C3 jsou ceny T -letých evropských call opcí s realizační cenou K − δ ,


21

K, a K + δ . Odhad g(K) lze získat pomocí Taylorova rozvoje. Za předpokladu malého δ platí vztahy 1 f (K + δ ) ≈ f (K) + f 0 (K)δ + f 00 (K)δ 2 , 2 1 f (K − δ ) ≈ f (K) − f 0 (K)δ + f 00 (K)δ 2 . 2 Sečtením těchto rovnic dostaneme f 00 (K) ≈

f (K + δ ) + f (K − δ ) − 2 f (K) . δ2

Dosazením funkcí f (K − δ ), f (K), f (K + δ ) za hodnoty C1 ,C2 ,C3 dostaneme výsledný tvar odhadu g(K) C1 +C3 − 2C2 . g(K) = erT δ2 Pro jiný způsob pochopení tohoto vzorce sestavme opční strategii zvanou butterfly spread s realizačními cenami K − δ , K, a K + δ a dobou splatnosti T . To znamená, že koupíme call opci s realizační cenou K − δ , koupíme call opci s realizační cenou K + δ a prodáme dvě call opce s realizačními cenami K. Hodnota naší pozice je C1 +C3 − 2C2 . Hodnota pozice může být také spočítána integrováním výplaty přes risk-neutrální rozdělení pravděpodobnosti g(ST ) a diskontováním bezrizikovou úrokovou mírou. Výplata je ukázána v obrázku 3.5. Poněvadž δ je malé, můžeme předpokládat, že g(ST ) = g(K) v celém rozsahu K − δ < ST < K + δ , kde výplata je nenulová. Oblast pod „stříškou“ v 3.5 je rovna 0, 5 × 2δ × δ = δ 2 . Hodnota výplaty (když je δ malé) je proto e−rT g(K)δ 2 . Z toho plyne, že e−rT g(K)δ 2 = C1 +C3 − 2C2 , což vede na g(K) = erT

C1 +C3 − 2C2 . δ2

(3.4)

Výplata 2δ δ

ST

K −δ K K +δ Obrázek 3.5: Výplata z opční strategie butterfly spread.

Kapitola 4 Praktická část Cílem praktické části této bakalářské práce bylo z reálných dat vypočítat pravděpodobnosti implikovaného rozdělení pro ceny akcií. Dále bylo cílem aproximovat implikovanou volatilitu pomocí Black-Scholesova vzorce. Při aproximaci jsem vycházel ze stejných dat, jako při výpočtu pravděpodobnosti. Data jsem stáhl na terminálech Bloombergu na Ekonomicko-správní fakultě Masarykovy univerzity. Jedná se o data obsahující hodnoty cen call a put opcí firmy Apple splatné ke dni 15. 4. 2016. Tato data si můžeme prohlédnout v přílohách, kde data pro call opce jsou obsažena v tabulce 4.1 a pro put opce v tabulce 4.2.

4.1

Výpočet pravděpodobností implikovaného rozdělení

Nejprve spočítejme pravděpodobnosti pro ceny akcií call opcí. V datech získaných z Bloombergu je zadaná hodnota pro bezrizikovou úrokovou míru r = 0.0041, doba splatnosti T = 13/250 a realizační ceny jednotlivých opcí K = 97$, . . . , 115$. Použitím vztahu 3.4 s δ = 1 spočítáme hodnotu c1 + c3 − 2c2 = 0.02500566, 12 kde g1 je pravděpodobnost implikovaného rozdělení pro call opci s realizační cenou K = 98$, c1 = 8.4250001907 je hodnota akcie pro opci s K = 97$, c2 = 6.5499999523 je hodnota akcie pro opci s K = 98$ a c3 = 7.4749999046 je hodnota akcie pro opci s K = 99$. Stejným postupem dostaneme hodnoty: 13

g1 = e0.0041 250

g2 = 0.02500519, g5 = 0.07501580, g8 = 0.08501804, g11 = 0.08501812, g14 = 0.04500959,

g3 = 0.02500543, g6 = 0.05501167, g9 = 0.10502247, g12 = 0.07001493, g15 = 0.02500533, g17 = 0.01500320.

g4 = 0.05001085, g7 = 0.10002141, g10 = 0.09502023, g13 = 0.04500960, g16 = 0.01500320,

19

Součet všech pravděpodobností se rovná ∑ gi = 0.9402007. Velikosti jednotlivých i=1

pravděpodobností jsou lépe vidět v následujícím obrázku, na kterém můžeme vidět implikované rozdělení pravděpodobnosti. – 22 –

23

0.08 0.06 0.04 0.02 0.00

Pravdepodobnost

0.10

Kapitola 4. Praktická část

98

100 102 104 106 108 110 112 114

Cena akcie v case T Obrázek 4.1: Implikované rozdělení pravděpodobnosti pro call opce Nyní spočítejme pravděpodobnosti pro ceny akcií put opcí. Pro výpočet použijeme stejné hodnoty r, T, K, jako při výpočtu pravděpodobností pro ceny akcií call opcí. Z tabulky 4.2 známe hodnoty cen akcií pro put opce. Použitím vztahu 3.4 s δ = 1 spočítáme hodnotu 17

g1 = e0.0041 365

0.1850000024 + 0.2999999970 − 2 × 0.2299999967 = 0.02500534. 12

Stejným postupem dostaneme hodnoty: g2 = 0.02000427, g5 = 0.06001280, g8 = 0.08501816, g11 = 0.03500743, g14 = 0.02500519,

g3 = 0.04000851, g6 = 0.08001704, g9 = 0.10502241, g12 = 0.10002123, g15 = 0.05001061, g17 = 0.02500543.

g4 = 0.04500963, g7 = 0.09001916, g10 = 0.12002559, g13 = 0.05001085, g16 = 0.00000000,

19

Součet všech pravděpodobností se rovná ∑ gi = 0.9552036. Velikosti jednotlivých i=1

pravděpodobností jsou znovu lépe vidět v následujícím obrázku.

24

0.10 0.08 0.06 0.04 0.02 0.00

Pravdepodobnost

0.12


98

100 102 104 106 108 110 112 114

Cena akcie v case T Obrázek 4.2: Implikované rozdělení pravděpodobnosti pro put opce

4.2

Aproximace implikované volatility

Nejprve aproximujme implikovanou volatilitu pro call opce. Stejně jako v předchozí podkapitole máme pro výpočet zadanou hodnotu bezrizikové úrokové míry r = 0.0041, dobu splatnosti T = 13/250 a realizační ceny K = 97$, . . . , 115$. Z tabulky 4.1 známe hodnoty cen akcií pro call opce, které se rovnají průměru cen. Aproximaci implikované volatility jsem provedl pomocí metody půlení intervalu, kdy jsem za σ zvolil počáteční aproximaci v intervalu [0, 1]. Ve chvíli, kdy rozdíl průměrné ceny z tabulky 4.1 a hodnoty C spočítané Black-Scholesovým vzorcem při dosazení aproximace σ , byl < 0.00001, jsem půlení intervalu ukončil a aproximaci σ jsem vzal jako výslednou hodnotu implikované volatility pro opci s danou realizační cenou K. Použitím tohoto postupu na všechny opce s realizačními cenami K = 97$, . . . , 115$ jsem vypočítal následující implikované volatility: σ97 = 0.2055542, σ100 = 0.2008453, σ103 = 0.1881592, σ106 = 0.1773158, σ109 = 0.1738649, σ112 = 0.1789388,

σ98 = 0.2047729, σ101 = 0.1954574, σ104 = 0.1834329, σ107 = 0.1752859, σ110 = 0.1749124, σ113 = 0.1840098, σ115 = 0.2015625,

σ99 = 0.2037659, σ102 = 0.1907933, σ105 = 0.1806605, σ108 = 0.1740622, σ111 = 0.1755076, σ114 = 0.1903682,

přičemž σ97 = 0.2055542 je implikovaná volatilita pro opci s realizační cenou K = 97. Můžeme si všimnout, že nejnižší hodnota implikované volatility je u opce s realizační cenou K = 109. Když se z této opce posuneme jak na opce s nižší realizační cenou, tak na opce s vyšší realizační cenou, implikovaná volatilita nám roste. To bohužel neodpovídá


25


tomu, co jsme viděli na obrázku 3.3, kde se pro rostoucí realizační ceny volatilita stále snižovala. Pro lepší názornost našich dat se podívejme na obrázek 4.3.

Realizacní cena

Obrázek 4.3: Volatility smile call opcí vycházející z dat z Bloombergu Nyní aproximujme implikovanou volatilitu pro put opce. Pro aproximaci implikované volatility put opcí použijeme stejné hodnoty r, T, S0 , K, jako pro aproximaci implikované volatility z call opcí. Jedinou změnou je, že chceme dosáhnout rozdílu < 0.00001 odečtením hodnoty P spočítané Black-Scholesovým vzorcem od průměrné ceny z tabulky 4.2. Hodnoty implikované volatility jednotlivých put opcí nám vyšly takto: σ97 = 0.2486023, σ100 = 0.2185852, σ103 = 0.1980293, σ106 = 0.1870569, σ109 = 0.1873332, σ112 = 0.2055054,

σ98 = 0.2369812, σ101 = 0.2110382, σ104 = 0.1935641, σ107 = 0.1856085, σ110 = 0.1920504, σ113 = 0.2205505, σ115 = 0.2534119.

σ99 = 0.2279785, σ102 = 0.2040802, σ105 = 0.1903500, σ108 = 0.1886359, σ111 = 0.1988947, σ114 = 0.2338135,

V kapitole 3 jsme si ukázali, že implikované volatility call a put opcí by měly být stejné, pokud je splněný předpoklad stejných realizačních cen a stejné doby splatnosti. V těchto datech však hodnoty vyšly rozdílné. Tato chyba může být způsobena tím, že jsme pro aproximaci implikované volatility použili numerickou metodu, která nedává přesné výsledky, tudíž získání přesných hodnot je v reálných datech prakticky nemožné. Dále si můžeme všimnout, že při posunu z opce s realizační cenou K = 108 na opci s nižší nebo vyšší realizační cenou, se implikovaná volatilita v obou případech sníží. Tato chyba může být také způsobena numerickým odhadem, případně pokud se tato opce málo obchoduje, mohou být údaje o její ceně zkreslené a tím pádem nám vyjde jiná volatilita, než bychom očekávali. Na výsledný tvar grafu volatility smile pro put opce se můžeme podívat v následujícím obrázku.

26



Realizacní cena

Obrázek 4.4: Volatility smile put opcí vycházející z dat z Bloombergu

Přílohy

Tabulka 4.1: Tabulka obsahující výsledné hodnoty implikované volatility pro jednotlivé call opce společně s daty, pomocí kterých jsem implikovanou volatilitu odhadoval Realizační cena 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115

Prodejní cena 8.3000001907 7.3499999046 6.5000000000 5.5999999046 4.6999998093 3.9000000954 3.1500000954 2.4600000381 1.8799999952 1.3799999952 0.9800000191 0.6700000167 0.4499999881 0.2899999917 0.1899999976 0.1199999973 0.0799999982 0.0599999987 0.0500000007

Nákupní cena 8.5500001907 7.5999999046 6.5999999046 5.6999998093 4.8499999046 4.0000000000 3.2500000000 2.5499999523 1.9400000572 1.4199999571 1.0099999905 0.6999999881 0.4699999988 0.3199999928 0.2000000030 0.1400000006 0.1000000015 0.0700000003 0.0599999987

Průměr cen 8.4250001907 7.4749999046 6.5499999523 5.6499998569 4.7749998569 3.9500000477 3.2000000477 2.5049999952 1.9100000262 1.3999999762 0.9950000048 0.6850000024 0.4599999934 0.3049999923 0.1950000003 0.1299999990 0.0899999999 0.0649999995 0.0549999997

– 27 –

Příloha

28

Tabulka 4.2: Tabulka obsahující výsledné hodnoty implikované volatility pro jednotlivé put opce společně s daty, pomocí kterých jsem implikovanou volatilitu odhadoval Realizační cena 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115

Prodejní cena 0.1800000072 0.2199999988 0.2899999917 0.3799999952 0.5099999905 0.6800000072 0.9100000262 1.2200000286 1.6299999952 2.1099998951 2.7000000477 3.4000000954 4.1500000954 4.9499998093 5.8499999046 6.7500000000 7.7500000000 8.6999998093 9.7500000000

Nákupní cena 0.1899999976 0.2399999946 0.3100000024 0.4000000060 0.5299999714 0.7099999785 0.9499999881 1.2699999809 1.6699999571 2.1700000763 2.7699999809 3.5000000000 4.2500000000 5.1500000954 6.0500001907 7.0000000000 7.9499998093 8.9499998093 9.8999996185

Průměr cen 0.1850000024 0.2299999967 0.2999999970 0.3900000006 0.5199999809 0.6949999928 0.9300000072 1.2450000048 1.6499999762 2.1399999857 2.7350000143 3.4500000477 4.2000000477 5.0499999523 5.9500000477 6.8750000000 7.8499999046 8.8249998093 9.8249998093

Příloha 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27

29

x11 ( width =5 , height =4) par ( mar = c (4 ,4 ,1 ,1) ) IPD <- function ( RC ,C ,t , r ) { # funkce pro vypocet implikovaneho rozdeleni pravdepodobnosti g <- rep ( -1 , length ( C ) -2) for ( i in 1:( length ( C ) -2) ) { d <-( RC [ i +2] - RC [ i ]) / 2 g [ i ] <- exp ( r * t ) * ( C [ i ]+ C [ i +2] -2 * C [ i +1]) / d ^2} return ( g ) } call <- read . csv ( " ~ / TeX / data / call . csv " , sep = " ; " ) r <- 0.0041 # zadano z datoveho souboru t <- 13 / 250 # zadano z datoveho souboru v <- call $ C1 w <- call $ C2 u <-( v + w ) / 2 # aritmeticky prumer z ask a bid cen rc <- call $ RC x <- IPD ( rc ,u ,t , r ) x sum ( x ) z <- rc [ c ( -1 , - length ( rc ) ) ] barplot (x , space =0 , col = " white " ) axis ( side =1 , at =0.5:16.5 , labels = z ) mtext ( " Cena akcie v case T " , side =1 , cex =1.4 , line =2.5) mtext ( " Pravdepodobnost " , side =2 , cex =1.4 , line =2.5)

Poznámka. R skript obsahující funkci pro výpočet implikovaného rozdělení pravděpodobnosti call opcí.

Příloha 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28

30

x11 ( width =5 , height =4) par ( mar = c (4 ,4 ,1 ,1) ) IPD <- function ( RC ,P ,t , r ) { # funkce pro vypocet implikovaneho rozdeleni pravdepodobnosti g <- rep ( -1 , length ( P ) -2) for ( i in 1:( length ( P ) -2) ) { d <-( RC [ i +2] - RC [ i ]) / 2 g [ i ] <- exp ( r * t ) * ( P [ i ]+ P [ i +2] -2 * P [ i +1]) * d ^2} return ( g ) } put <- read . csv ( " ~ / TeX / data / put . csv " , sep = " ; " )

r <- 0.0041 # zadano z datoveho souboru t <- 13 / 250 # zadano z datoveho souboru v <- put $ P1 w <- put $ P2 u <-( v + w ) / 2 # aritmeticky prumer z ask a bid cen rc <- put $ RC x <- IPD ( rc ,u ,t , r ) x sum ( x ) z <- rc [ c ( -1 , - length ( rc ) ) ] barplot (x , space =0 , col = " white " ) axis ( side =1 , at =0.5:16.5 , labels = z ) mtext ( " Cena akcie v case T " , side =1 , cex =1.4 , line =2.5) mtext ( " Pravdepodobnost " , side =2 , cex =1.4 , line =2.5)

Poznámka. R skript obsahující funkci pro výpočet implikovaného rozdělení pravděpodobnosti put opcí.

Příloha 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46

31

call . opce <- function (S ,K ,t ,r , sigma ) { # Black - Scholesuv vzorec pro call opci d1 <-( log ( S / K ) +( r + sigma ^2 / 2) * t ) / ( sigma * sqrt ( t ) ) C <-S * pnorm ( d1 ) -K * exp ( - r * t ) * pnorm ( d1 - sigma * sqrt ( t ) ) return ( C ) } IV <- function (S ,K ,t ,r , C ) { # funkce pro numericky odhad implikovane volatility pomoci metody puleni intervalu sigma <- 0.20 sigma . h <- 1 sigma . d <- 0.001 count <- 0 err <- call . opce (S ,K ,t ,r , sigma ) - C while ( abs ( err ) > 0.00001 & & count <1000) { if ( err <0) { sigma . d <- sigma sigma <- ( sigma . h + sigma ) / 2 } else { sigma . h <- sigma sigma <- ( sigma . d + sigma ) / 2 } err <- call . opce (S ,K ,t ,r , sigma ) - C count <- count + 1 } if ( count ==1000) { return ( NA ) } else { return ( sigma ) } } call <- read . csv ( " ~ / TeX / data / call . csv " , sep = " ; " ) K <- call $ RC r <- 0.0041 # zadano z datoveho souboru t <- 13 / 250 # zadano z datoveho souboru S <- 105.33 # zadano z datoveho souboru z <- rep (0 ,19) v <- call $ C1 w <- call $ C2 C <-( v + w ) / 2 # aritmeticky prumer z ask a bid cen for ( i in 1:19) { z [ i ] <- IV (S , K [ i ] ,t ,r , C [ i ]) } z # hodnoty volatility pro jednotlive call opce tabulkaC <- data . frame (K ,v ,w ,C , z )

Poznámka. R skript obsahující funkce pro odhad implikované volatility call opcí pomocí metody půlení intervalů z Black-Scholesova vzorce.

Příloha 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45

32

put . opce <- function (S ,K ,t ,r , sigma ) { # Black - Scholesuv vzorec pro put opci d1 <-( log ( S / K ) +( r + sigma ^2 / 2) * t ) / ( sigma * sqrt ( t ) ) P <-K * exp ( - r * t ) * pnorm ( sigma * sqrt ( t ) - d1 ) -S * pnorm ( - d1 ) return ( P ) } IV <- function (S ,K ,t ,r , P ) { # funkce pro numericky odhad implikovane volatility pomoci metody puleni intervalu sigma <- 0.20 sigma . h <- 1 sigma . d <- 0.001 count <- 0 err <- put . opce (S ,K ,t ,r , sigma ) - P while ( abs ( err ) > 0.00001 & & count <1000) { if ( err <0) { sigma . d <- sigma sigma <- ( sigma . h + sigma ) / 2 } else { sigma . h <- sigma sigma <- ( sigma . d + sigma ) / 2 } err <- put . opce (S ,K ,t ,r , sigma ) - P count <- count + 1 } if ( count ==1000) { return ( NA ) } else { return ( sigma ) } } put <- read . csv ( " ~ / TeX / data / put . csv " , sep = " ; " ) K <- put $ RC r <- 0.0041 # zadano z datoveho souboru t <- 13 / 250 # zadano z datoveho souboru S <- 105.33 # zadano z datoveho souboru z <- rep (0 ,19) v <- put $ P1 w <- put $ P2 P <-( v + w ) / 2 # aritmeticky prumer z ask a bid cen for ( i in 1:19) { z [ i ] <- IV (S , K [ i ] ,t ,r , P [ i ]) } z # hodnoty volatility pro jednotlive put opce tabulkaP <- data . frame (K ,v ,w ,P , z )

Poznámka. R skript obsahující funkce pro odhad implikované volatility put opcí pomocí metody půlení intervalů z Black-Scholesova vzorce.

Seznam použité literatury [1] HULL, John. Options, futures, and other derivatives. 8th ed. Boston: Prentice Hall, c2012. ISBN 0132164949. [2] ŠEVČOVIČ, Daniel, Beáta STEHLÍKOVÁ a Karol MIKULA. Analytické a numerické metódy oceňovania finančných derivátov. V Bratislave: Nakladateľstvo STU, 2009. ISBN 978-80-227-3014-3. [3] KOLÁŘ, Martin. Stochastické procesy ve finanční matematice [online]. [cit. 201605-22]. Dostupné z: https://is.muni.cz/auth/el/1431/podzim2015/MF001/ um/ucebnitextMF001.pdf [4] KOLÁŘ, Martin. Stochastická analýza [online]. [cit. 2016-05-22]. Dostupné z: https://is.muni.cz/auth/el/1431/jaro2016/MF002/um/ ucebnitextMF002.pdf [5] KOLÁŘ, Martin a Lenka KŘIVÁNKOVÁ. Oceňování finančních derivátů [online]. [cit. 2016-05-22]. Dostupné z: https://is.muni.cz/auth/el/1431/ podzim2015/MF003/ucebnitextMF003.pdf [6] DERMAN, Emanuel. Lecture 1: Introduction to the Smile; The Principles of Valuation [online]. 2007 [cit. 2016-05-22]. Dostupné z: http://www.emanuelderman. com/media/smile-lecture1.pdf

– 33 –

MASARYKOVA UNIVERZITA PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA ÚSTAV MATEMATIKY A STATISTIKY. Bakalářská práce BRNO 2016 TOMÁŠ MAREŠKA

Recommend Documents