MASARYKOVA UNIVERZITA PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA ÚSTAV MATEMATIKY A STATISTIKY. Diplomová práce BRNO 2014 MARTIN CHVÍLA

MASARYKOVA UNIVERZITA PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA ÚSTAV MATEMATIKY A STATISTIKY

Diplomová práce

BRNO 2014

MARTIN CHVÍLA

MASARYKOVA UNIVERZITA PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA ÚSTAV MATEMATIKY A STATISTIKY

Tvorba dluhopisového portfolia Diplomová práce

Martin Chvíla

Vedoucí práce: Ing. Luděk Benada

Brno 2014

Bibliografický záznam Autor:

Bc. Martin Chvíla Přírodovědecká fakulta, Masarykova univerzita Ústav matematiky a statistiky

Název práce:

Tvorba dluhopisového portfolia

Studijní program:

Matematika

Studijní obor:

Finanční matematika

Vedoucí práce:

Ing. Luděk Benada

Akademický rok:

2013/2014

Počet stran:

xi + 76

Klíčová slova:

dluhopisy; optimalizace portfolia; Markowitzův model; durace dluhopisu; úrokové riziko; výnosová křivka; Vašíčkův model

Bibliographic Entry Author:

Bc. Martin Chvíla Faculty of Science, Masaryk University Department of Mathematics and Statistics

Title of Thesis:

Formation of a bond portfolio

Degree Programme:

Mathematics

Field of Study:

Finance Mathematics

Supervisor:

Ing. Luděk Benada

Academic Year:

2013/2014

Number of Pages:

xi + 76

Keywords:

bonds; portfolio optimization; Markowitz Model; bond duration; interest rate risk; yield curve; Vasicek model

Abstrakt Diplomová práce se zaměřuje na problematiku tvorby portfolia dluhopisů. Nejdříve popisuje strukturu dluhopisů a jejich vlastnosti jako výnos do splatnosti, durace a konvexita. Dále je uveden Markowitzův model zabývající se tvorbou portfolia z cenných papírů a jeho transformace na model portfolia dluhopisů. Rozebrány jsou také dluhopisové strategie běžně používané v praxi. V poslední části práce jsou některé popsané modely použity pro tvorbu portfolia z reálně obchodovatelných dluhopisů.

Abstract This thesis is focused on problematics of bond portfolio formation. The first part is concentrated on the structure and characteristics of bonds such as yield to maturity, duration and convexity. Next part deals with Markowitz portfolio theory and its tranformation for usage in bond portfolio formation. Simple bond portfolio strategies used in practice are also discussed. Some of the described models are used in the last part for creation of portfolio from real bonds.

Poděkování Na tomto místě bych chtěl poděkovat Ing. Luďkovi Benadovi za ochotu, cenné připomínky a čas, který mi věnoval v průběhu psaní diplomové práce.

Prohlášení Prohlašuji, že jsem svoji diplomovou práci vypracoval samostatně s využitím informačních zdrojů, které jsou v práci citovány.

Brno 12. května 2014

.......................... Martin Chvíla

Obsah Úvod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

x

Kapitola 1. Charakteristika dluhopisů . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

1.1 Náležitosti dluhopisu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

1.2 Dělení dluhopisů . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

1.2.1 Podle úrokových sazeb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

1.2.2 Podle emitenta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.2.3 Podle doby splatnosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.2.4 Podle formy dluhopisu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.2.5 Podle měny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.3 Rizika investice do dluhopisů . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

Kapitola 2. Vlastnosti dluhopisů . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

2.1 Vnitřní hodnota dluhopisu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

2.2 Výnos z dluhopisu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

2.2.1 Nominální výnos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

2.2.2 Běžný výnos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

2.2.3 Výnos do splatnosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

2.3 Durace dluhopisu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

2.3.1 Macaulayova durace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

2.3.2 Modifikovaná durace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14

2.4 Konvexita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15

2.5 Výnosová křivka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17

2.5.1 Tvar výnosové křivky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

18

2.5.2 Ocenění dluhopisu při znalosti výnosové křivky . . . . . . . . . . .

19

Kapitola 3. Moderní teorie portfolia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

22

3.1 Výnosnost a riziko cenného papíru . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

22

– vii –

3.2 Kovariance a korelace cenných papírů . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

24

3.3 Výnosnost a riziko portfolia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

24

3.4 Optimalizační úloha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

26

Kapitola 4. Markowitzův model při tvorbě dluhopisového portfolia . . . . . .

28

4.1 Optimalizační úloha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

28

4.2 Úprava optimalizační úlohy pro dluhopisy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

29

4.3 Odhad vstupních parametrů optimalizační úlohy . . . . . . . . . . . . . . .

34

4.3.1 Vašíčkův model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

35

4.3.2 Použití Vašíčkova modelu pro odhad vstupních parametrů . . .

36

Kapitola 5. Dluhopisové strategie používané v praxi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 5.1 Indexace portfolia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

38

5.1.1 Minimalizace Tracking erroru . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

39

5.2 Imunizační strategie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

41

5.2.1 Úrokové riziko bezkupónového dluhopisu . . . . . . . . . . . . . . . .

41

5.2.2 Úrokové riziko kupónového dluhopisu . . . . . . . . . . . . . . . . . .

42

5.2.3 Durace portfolia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

43

5.2.4 Konvexita portfolia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

44

5.2.5 Statická a dynamická imunizace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

44

5.3 Modely dluhopisových portfolií s pevnou durací . . . . . . . . . . . . . . .

45

5.3.1 Bullet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

45

5.3.2 Barbell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

46

5.3.3 Ladder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

46

5.3.4 Konvexita portfolií s pevnou durací . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

47

Kapitola 6. Aplikace na reálná data . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

48

6.1 Výběr dluhopisů do portfolia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

48

6.2 Popis dat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

49

6.3 Výnosová křivka v průběhu investice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

50

6.4 Tvorba portfolia pomocí Markowitzova modelu . . . . . . . . . . . . . . . .

51

6.4.1 Odhad vstupních dat do optimalizace . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

53

6.4.2 Použití optimalizační úlohy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

54

6.4.3 Optimalizace portfolia při zákazu prodeje na krátko . . . . . . . .

57

6.5 Tvorba portfolia pomocí modelů s pevnou durací . . . . . . . . . . . . . . .

60

Závěr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 Seznam použité literatury . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 Příloha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

68

Úvod Problémem výběru portfolia se zabývá velké množství literatury a moderní teorie portfolia je jedním z nejvýznamnějších pokroků v oblasti financí ve druhé polovině 20. století. Tato teorie nicméně nachází využití hlavně při tvorbě portfolia z akcií. Přestože je v praxi problém výběru portfolia dluhopisů stejně důležitý, není předmětem mnoha výzkumů. Na dluhopisy je možné aplikovat i klasické nástroje moderní teorie portfolia podobně jako na akcie, ale kvůli odlišnostem těchto aktiv tento přístup není příliš vhodný a je nutno model upravit. Hlavním cílem této práce je rozebrat různé strategie tvorby portfolia čistě z dluhopisů a aplikovat tyto strategie na reálně obchodované dluhopisy. Pro splnění tohoto cíle musíme nejdřív zadefinovat pojem dluhopis a rozebrat jeho vlastnosti. Uvedeme si náležitosti dluhopisu podle české normy a několik klasifikací dluhopisů podle různých kritérií. Při investování podstupuje investor několika investičním rizikům, které si charakterizujeme. Vysvětlíme, jaké z těchto rizik se budeme snažit při tvorbě portfolia eliminovat. Dále se zaměříme na vlastnosti dluhopisů, jako je jejich vnitřní hodnota, různé typy výnosů a parametry durace a konvexita. Také je nutné rozebrat pojem výnosové křivky a na příkladech si ukážeme, jaké typy výnosových křivek mohou reálně nastat. V další kapitole si uvedeme moderní teorii portfolia podle Markowitze, která se využívá hlavně pro tvorbu portfolia z akcií. Při aplikaci na portfolio dluhopisů je u tohoto modelu problém s odhadem vstupních parametrů, protože nemůžeme jednoduše použít odhad založený na historických cenách, které jsou závislé na čase do splatnosti. Tento model bude nutné upravit a pro jeho použití zavést pojem modelu úrokové míry. Konkrétně použijeme Vašíčkův model, který dokáže po kalibraci na současné výnosové křivce odhadnout pohyb úrokové míry a s ním související budoucí ceny dluhopisů. Přestože je možné pro tvorbu portfolia použít tyto sofistikované modely, v praxi se většinou využívají jednodušší modely. Uvedeme si pasivní strategii indexace a jednu z metod praktického použití této strategie. Dále si rozebereme modely –x–

Úvod

xi

založené na cílení durace portfolia, které skládají portfolio z dluhopisů s určitými splatnostmi, aby jeho durace dosahovala požadované hodnoty. V poslední části se budeme snažit použít uvedené modely na reálně obchodované dluhopisy. Určíme si trh, na kterém budeme obchodovat a vybereme několik dluhopisů pro použití do portfolií tvořených pomocí vysvětlených modelů. Využijeme nejen současných, ale i historických dat a vytvoříme několik portfolií, které díky znalosti historických cen můžeme dále analyzovat.

Kapitola 1 Charakteristika dluhopisů V první kapitole vymezíme pojem dluhopis, popíšeme jeho základní charakteristiky a uvedeme dělení dluhopisů do skupin podle různých kritérií. Dluhopis (obligace, bond) je dluhový cenný papír vyjadřující závazek emitenta (dlužníka) vůči věřiteli. Je s ním spojeno právo držitele dluhopisu požadovat dlužnou částku v nominální hodnotě a výnosy z ní k určitému datu, stejně jako povinnost emitenta tyto závazky plnit. Emitent vydává dluhopis s cílem získat dlouhodobé nebo krátkodobé finanční prostředky. Z klasického dluhopisu má věřitel dva druhy příjmů – ke konci splatnosti obdrží nominální hodnotu dluhopisu a v průběhu doby držení získává pravidelné kupónové platby. Případně může prodat dluhopis před splatností za tržní cenu, protože s dluhopisy je možné obchodovat i na sekundárních trzích. Investice do dluhopisů jsou všeobecně jedny z nejméně rizikových.

1.1

Náležitosti dluhopisu

V České republice musí dluhopis v listinné podobě podle zákona č. 190/2004 Sb. o dluhopisech obsahovat následující náležitosti:1 • údaje nutné k jednoznačné identifikaci emitenta, • označení, že jde o dluhopis, popřípadě označení zvláštního druhu dluhopisu, • identifikační označení podle mezinárodního systému číslování pro identifikaci cenných papírů, je-li přidělováno, nebo jiný údaj identifikující dluhopis, 1

[28]

–1–

Kapitola 1. Charakteristika dluhopisů

2

• jmenovitou hodnotu jako dlužnou částku; to neplatí v případě sběrného dluhopisu, pokud jmenovitá hodnota plyne ze zápisu v příslušné evidenci, • údaj o tom, kde se lze seznámit s emisními podmínkami, • výnos dluhopisu nebo způsob stanovení jeho výše, • datum emise, • způsob a místo splacení dlužné částky (splacení dluhopisu) a vyplacení výnosu dluhopisu, • data splatnosti dluhopisu a výnosu dluhopisu, není-li výnos určen pouze rozdílem mezi jmenovitou hodnotou dluhopisu a jeho nižším emisním kurzem, • číselné označení dluhopisu, • údaje nutné k jednoznačné identifikaci jeho prvního vlastníka a • podpis emitenta.

1.2

Dělení dluhopisů

Pojem dluhopis popisuje velké množství rozdílných dluhových cenných papírů a existuje mnoho kritérií, podle kterých můžeme tyto cenné papíry klasifikovat.

1.2.1

Podle úrokových sazeb

Nejdříve dluhopisy rozdělíme podle způsobu vyplácení jejich výnosů:2 • Dluhopisy s pevnou úrokovou sazbou (plain vanilla bond) – klasický typ dluhopisu, do doby splatnosti se vlastníkovi pravidelně vyplácí kupónové platby a na konci doby splatnosti obdrží nominální hodnotu. Kupónová sazba je neměnná, takže je dopředu známá výše všech kupónových plateb. Celkovou výnosnost dluhopisu ale může ovlivnit změna tržních úrokových sazeb v případě reinvestice financí získaných z kupónů. • Dluhopisy s pohyblivou úrokovou sazbou – úroková sazba není pevně stanovená, ale odvozuje se od aktuální hodnoty stanovené tržní úrokové sazby (např. repo sazby nebo mezibankovní sazby – PRIBOR, LIBOR,...). 2

[24] str.8


3

• Hybridní dluhopisy – výnosy se skládají ze dvou typů úrokových sazeb – pohyblivé a pevné, které můžou být doplněny i o podíly na zisku emitenta. • Dluhopisy s nulovým kupónem (zero coupon bond) – mají nulovou úrokovou sazbu a nevyplácí žádné kupóny. Emitují se pod svou nominální hodnotou za cenu rovnu diskontované nominální hodnotě. • Věčné dluhopisy (perpetuita, konzola) – emitent vyplácí zúročenou nominální hodnotu ve formě kupónových plateb po neomezeně dlouhou dobu, samotná nominální hodnota se nevyplácí. • Naturální dluhopisy – kupónové platby nejsou vypláceny ve formě peněz, ale ve formě určené komodity. • Svlečené dluhopisy (stripped bonds) – jsou speciálním případem dluhopisu s nulovým kupónem. Vznikají z jiného typu dluhopisu rozdělením příjmů na několik cenných papírů, které se obchodují zvlášť. Například kupónový dluhopis se splatností n let může být rozdělen na dluhopis s nulovým kupónem a nominální hodnotou původního dluhopisu a n bezkupónových dluhopisů s nominální hodnotou ve výši hodnoty kupónových plateb původního dluhopisu.

1.2.2

Podle emitenta

Dluhopisy rozdělíme podle emitenta – tedy podle toho, kdo a za jaké situace konkrétní dluhopis vydal.3 Druh emitenta má vliv na riziko dluhopisu, závisející na jeho důvěryhodnosti. • Státní dluhopisy – emitentem je stát, konkrétně v případě České republiky je to Ministerstvo financí ČR nebo ČNB. Stát je vydává za účelem pokrytí nákladného financování nebo deficitu státního rozpočtu. Tyto dluhopisy mají obvykle malou míru rizika. Státní dluhopisy s dobou splatnosti do 1 roku se označují jako státní pokladniční poukázky. Dluhopisy vydávané ČNB s dobou splatnosti do 6 měsíců se označují jako poukázky České národní banky. • Komunální (municipální) dluhopisy – emituje územní samosprávný celek za souhlasu Ministerstva financí. Ministerstvo udělí souhlas, pokud ekonomická situace územního samosprávného celku umožňuje splnit závazky 3

[24] str.9


4

vyplývající z komunálních dluhopisů a územní samosprávný celek plánuje získané prostředky využít na investice do dlouhodobého hmotného majetku, odstranění škod způsobených pohromami nebo financování projektu spolufinancovaného Evropskou unií. • Podnikové (korporátní) dluhopisy – emitují firmy s cílem získat finanční prostředky za různými účely – investice do rozšíření firmy, modernizace, ale i odvrácení bankrotu. Obvykle jsou z uvedených typů dluhopisů nejvíce rizikové. Do této kategorie se dají zařadit i bankovní dluhopisy emitovány finančními institucemi, které mají specifické právní i finanční možnosti.

1.2.3

Podle doby splatnosti

Doba splatnosti je další důležitý faktor, který má vliv na riziko dluhopisu. Obecně platí, že čím je tato doba kratší, tím je riziko a tedy i výnosnost dluhopisu menší. Podle doby splatnosti dělíme dluhopisy na :4 • Krátkodobé dluhopisy – doba splatnosti do 1 roku (pokladniční poukázky, krátkodobé firemní obligace, depozitní certifikáty). • Střednědobé dluhopisy – doba splatnosti od 1 roku do 10 let. • Dlouhodobé dluhopisy – doba splatnosti větší než 10 let. Patří sem také věčné dluhopisy. Krátkodobé dluhopisy považujeme za nástroje peněžního trhu, zatímco střednědobé a dlouhodobé za nástroje kapitálového trhu.

1.2.4

Podle formy dluhopisu

• Dluhopisy na jméno – práva z dluhopisů plynoucí můžou vykonávat pouze osoby, které jsou zapsány jako majitelé v seznamu vedeném emitentem. Vlastníci je můžou převádět na jinou osobu rubopisem, pokud emitent neomezil převoditelnost. • Dluhopisy na doručitele – práva spojená s dluhopisy můžou vykonávat osoby, které je vlastní. Vlastník je může převést pouhým předáním. 4

[5]str.10


1.2.5

5

Podle měny

Podle měny dělíme dluhopisy na:5 • Domácí dluhopisy – dluhopisy vydané v dané zemi za domácí měnu domácím emitentem. • Zahraniční dluhopisy – dluhopisy vydané v dané zemi za domácí měnu zahraničním emitentem. • Eurodluhopisy (eurobonds) – dluhopisy emitované domácími subjekty na domácím trhu v cizí měně • Dvouměnové dluhopisy – nominální hodnota a kupónové platby jsou spláceny v různých měnách

1.3

Rizika investice do dluhopisů

Riziko je míra nejistoty, že finanční instrument nedosáhne očekávané úrovně výnosnosti. Investice do každého finančního nástroje sebou nese různé druhy investičních rizik. Konkrétně u dluhopisů jsou nejvíce obvyklá rizika:6 • Úrokové - riziko změny tržních úrokových sazeb. Změna úrokových sazeb v průběhu investičního horizontu ovlivní jak relativní výnos dluhopisu, tak plánované výnosy z reinvestice kupónů. Toto riziko se dá ještě dále rozdělit na kapitálové riziko, které způsobuje kapitálovou ztrátu při předčasném prodeji dluhopisu, pokud úrokové sazby vzrostly, a reinvestiční riziko, které naopak při poklesu úrokových sazeb sníží výnosy z reinvestice kapitálu. • Kreditní (úvěrové) - nebezpečí částečného nebo úplného nesplnění závazků ze strany dlužníka (nesplacení kupónů nebo jistiny). Jako indikátor výše tohoto rizika může sloužit úvěrový rating, který vydávají nezávislé ratingové agentury (Moody’s, Standard & Poor’s, Fitch) státům nebo i konkrétním společnostem (státní dluhopisy mají toto riziko obvykle nižší, než korporátní). Konkrétně u Standard & Poor’s je nejvyšším ratingem AAA, následují AA,A a jako poslední investiční rating BBB. Další stupně už jsou tzv. spekulativní. Rating neboli přeneseně kreditní riziko má velký vliv na výši výnosu dluhopisu. 5 6

[15] str.10 [5] str. 5


6

• Likviditní - vzniká, když se daný cenný papír na trhu obchoduje v malém množství. Kvůli tomu se může stát, že se od sebe vzdálí poptávková a nabídková cena a dluhopis se přestane reálně obchodovat. Tato situace nastává často při výrazném zhoršení ratingu a následném zvýšení výnosů dluhopisu. • Měnové - vyskytuje se u investic do zahraničních dluhopisů. Je to riziko změny kurzu měny, ve které investujeme, vůči domácí měně. Toto riziko je možné eliminovat použitím vhodného měnového derivátu. Obvyklé strategie řízení dluhopisového portfolia se zaměřují hlavně na minimalizaci úrokového rizika, čímž se budeme zabývat i v této práci.

Kapitola 2 Vlastnosti dluhopisů V této kapitole si ukážeme, jak se dluhopisy oceňují a definujeme vlastnosti dluhopisů jako je durace a konvexita, které budeme potřebovat při použití některých strategií tvorby dluhopisového portfolia. V poslední části kapitoly zavedeme pojem výnosové křivky.

2.1

Vnitřní hodnota dluhopisu

Základním pojmem u oceňování cenných papírů je vnitřní hodnota. Je to taková hodnota cenného papíru, za kterou by se měl prodávat při ohledu na všechny možné vlivy. Porovnáním vnitřní hodnoty cenného papíru (V0 ) s tržní cenou (P0 ) může pomoci investorovi s rozhodnutím o koupi cenného papíru. Mohou nastat tyto možnosti:7 1. P0 > V0 . . . cenný papír je nadhodnocen 2. P0 < V0 . . . cenný papír je podhodnocen 3. P0 = V0 . . . cenný papír je správně ohodnocen Vnitřní neboli současnou hodnotu aktiva obecně spočítáme jako součet současných hodnot peněžních toků: V0 =

n X

P Vi ,

(2.1)

i=1 7

[22] str.172

–7–

Kapitola 2. Vlastnosti dluhopisů

kde V0

8

...

vnitřní hodnota dluhopisu,

n

...

počet peněžních toků,

P Vi

...

současná hodnota i-tého peněžního toku

Na diskontování peněžních toků můžeme použít spojité nebo složené úročení. V případě spojitého úročení se dá výpočet současné hodnoty rozepsat: V0 =

n X

CFi · e−r·ti ,

(2.2)

i=1

kde CFi

...

velikost i-tého peněžního toku

r

...

tržní úroková sazba,

ti

...

čas vyplacení i-tého peněžního tok v letech.

Při použití periodického úročení: V0 =

n X i=1

kde k

...

CFi . (1 + kr )k·ti

(2.3)

frekvence úročení.

Konkrétně u kupónového dluhopisu se většinou vyplácí kupóny jednou ročně a za předpokladu použití ročního úročení platí k = 1 a ti = i. Peněžní toky v časech i ∈ 1, 2, . . . , n − 1 jsou kupónové platby, takže CFi = Ci pro i 6= n. V čase n je vyplacena nominální hodnota společně s poslední kupónovou platbou a proto CFn = Cn + Fn . Vzorec pro výpočet vnitřní hodnoty klasického fixně úročeného dluhopisu má tedy tvar: C2 C3 Cn + F C1 + + + ··· + 2 3 (1 + r) (1 + r) (1 + r) (1 + r)n n X Ci F V0 = + (1 + r)i 1 + rn i=1 V0 =

kde

(2.4)


9

Ci

...

kupónová platba v roce i,

n

...

počet let do doby splatnosti,

F

...

nominální hodnota dluhopisu.

Pokud jsou kupónové platby konstantní, tedy platí C1 = C2 = · · · = Cn = C, dá se vzorec (2.4) upravit na tvar: n 1 1− 1+r V0 = C · . (2.5) r Jak můžeme vidět ze vzorců, vnitřní hodnota dluhopisu klesá s rostoucí úrokovou sazbou. Závislost vnitřní hodnoty na úrokové sazbě konkrétně pro dluhopis s nominální hodnotou 100, kupónovou sazbou 10% a dobou splatnosti 10 let můžeme vidět na obrázku 2.1. Vidíme také, že u dluhopisů tohoto typu se vnitřní hodnota rovná nominální hodnotě právě když r = 10%, tedy kupónová sazba rovna úrokové míře.

180

Obrázek 2.1: Závislost vnitřní hodnoty dluhopisu na úrokové míře ●

160

●

●

140

● ●

120

● ●

100

● ● ● ●

80

● ● ● ● ● ●

60

V0

●

0.01

0.03

0.05

0.07

0.09

0.11

0.13

r

Zdroj: vlastní konstrukce

0.15

0.17

●

0.19

●


2.2

10

Výnos z dluhopisu

Rozlišujeme 3 druhy výnosů z dluhopisu:8 • nominální výnos, • běžný výnos, • výnos do splatnosti.

2.2.1

Nominální výnos

Nominální výnos je definován jako podíl roční výše kupónových plateb a nominální hodnoty dluhopisu: C c= , (2.6) F kde c . . . nominální výnos, C

...

roční výše kupónových plateb,

F

...

nominální hodnota dluhopisu.

2.2.2

Běžný výnos

Jako běžný výnos se označuje podíl roční výše kupónových plateb a současné tržní ceny dluhopisu: yb = kde yb . . . P0

...

C , P0

(2.7)

běžný výnos, aktuální tržní cena dluhopisu.

Běžný výnos slouží pouze jako orientační určení výnosu z dluhopisů. Nebere v úvahu pohyby ceny dluhopisu v důsledku změn tržních úrokových sazeb ani zbývající dobu splatnosti dluhopisu, proto tato definice výnosu není příliš použitelná. 8

[22] str.173


2.2.3

11

Výnos do splatnosti

Přesnějším stanovením výnosu je tzv. výnos do doby splatnosti (yield to maturity, YTM). Ukazuje průměrný výnos, který investor získává koupením dluhopisu a jeho držením do doby splatnosti. Dluhopisy se obvykle na trhu obchodují za cenu, při které je výnos do splatnosti roven relevantní tržní úrokové míře. To je způsobeno neexistencí arbitráže na efektivním trhu - pokud by bylo možno dosáhnout vyšších výnosů bez přidaného rizika pouhým držením jednoho instrumentu oproti jinému, jeho cena by vzrostla až na hodnotu, při které budou mít výnos stejný. Proto může být výnos do splatnosti považován také za jakousi přenesenou hodnotu tržní úrokové míry.9 Výnos do splatnosti klesá s rostoucí tržní cenou dluhopisu. Pokud se tržní cena rovná nominální hodnotě, pak je YTM roven kupónové sazbě. Pokud je YTM větší, než kupónová sazba, je dluhopis prodáván s diskontem a pokud je naopak menší, je prodáván s prémií.10 Výpočet YTM je založen na určení úrokové sazby, která vytvoří rovnost mezi současnou tržní cenou dluhopisu a diskontovanými budoucími příjmy:11 P =

n X i=1

F Ci + , i (1 + Y T M ) (1 + Y T M )n

kde P

...

tržní cena dluhopisu,

Ci

...

výše kupónové platby v roce i,

n

...

počet let do doby splatnosti,

F

...

nominální hodnota dluhopisu,

Y TM

...

výnos do doby splatnosti.

(2.8)

YTM z daného vzorce nelze vyjádřit, dá se spočítat pouze numericky nebo je možné použít aproximaci. Jedna z nejvíce používaných metod určení přibližného výnosu do splatnosti je metoda Hawawiniho a Vory, která se dá použít v případě 9

[8] str.6 [13] str.121 11 [22] str.171 10


12

konstantních úrokových plateb C:12 F −P n AY T M = , 0, 6 · P + 0, 4 · F C+

kde AY T M

...

(2.9)

přibližný výnos do doby splatnosti.

Při dalších zmínkách výnosu budeme za výnos považovat právě výnos do splatnosti a budeme ho označovat jednoduše jako y.

2.3

Durace dluhopisu

Durace je průměrná doba v letech, za kterou investor dostane příjmy plynoucí z dluhopisu za předpokladu reinvestice jednotlivých kupónů a následném prodeji dluhopisu na sekundárním trhu. V takovém případě se označuje jako Macaulayova durace. Jiný význam má tzv. modifikovaná durace, která vyjadřuje citlivost ceny dluhopisu na změnu úrokové sazby a je měřena v procentech. V teoretické situaci, kdy je na příjmy z aktiva použito spojité úročení jsou si tyto dvě různě definované durace rovny, ale v praxi při použití periodického úročení (roční, pololetní, měsíční,...) se budou jejich hodnoty lišit.

2.3.1

Macaulayova durace

Základním a nejznámějším typem durace je Macaulayova durace, nazvaná po ekonomovi kanadského původu Frederikovi Macaulayovi. Počítá se jako vážený průměr splatnosti peněžních toků a říká se jí také střední doba životnosti dluhopisu.13 Obecný vzorec pro výpočet Macaulayovy durace: n X

D=

ti · P Vi

i=1 n X i=1

12 13

[19] str 178. [7] str.111

= P Vi

n X P Vi

ti

i=1

P

,

(2.10)


13

V posledním uvedeném tvaru vidíme splatnosti peněžních toků vynásobené poměrem současné hodnoty jednotlivých peněžních toků vůči současné ceně dluhopisu. Součet těchto poměrů přes všechny peněžní toky je 1 a tedy je můžeme brát jako váhy, kterými násobíme splatnosti, což je definice Macaulayovy durace.14 Při použití periodického úročení se dá tento vzorec napsat jako: n X D=

i=1

ti ·

n X

CFi k·t 1 + ky i =

P

ti ·

i=1 n X i=1

CFi k·t 1 + ky i (2.11)

CFi (1 + ky )k·ti

kde y

...

výnos do splatnosti.

Konkrétně pro kupónové dluhopisy za předpokladu ročního úročení má vzorec tvar: n X D=

n X

Ci n·F i· + i (1 + y) (1 + y)n

i=1

=

P

Ci n·F + i (1 + y) (1 + y)n

i·

i=1 n X

(2.12) F Ci + (1 + y)i 1 + y n

i=1 Pro standartní dluhopisy má Macaulayova durace hodnotu vždy mezi 0 a dobou splatnosti, přičemž rovna době splatnosti je pouze u dluhopisů s nulovým kupónem. Macaulayovu duraci můžeme spočítat také za předpokladu spojitého úročení. V tomto případě má rovnice tvar: n X

D=

n X ti · CFi · e−y·ti

−y·ti

ti · CFi · e

i=1

P

=

i=1 n X

(2.13) CFi ·

e−y·ti

i=1 14

V následujících vzorcích budeme označovat cenu dluhopisu jako P a protože předpokládáme, že tržní cena se rovná vnitřní hodnotě, bude toto označení odpovídat dřívějšímu V0 . Stejně tak výnos do splatnosti y bude odpovídat tržní úrokové míře r v původních vzorcích.


2.3.2

14

Modifikovaná durace

Modifikovaná durace je definována jako derivace logaritmu vnitřní hodnoty aktiva vzhledem k výnosu do splatnosti. Udává se v procentech, ale může být také měřena v absolutních hodnotách (například v dolarech) a v takovém případě se označuje jako Dolarová durace. Koncept modifikované durace může být uplatněn i na instrumenty, které nemají fixní toky peněz, a má tak větší využití než Macaulayova durace.15 D∗ = −

∂P (y) ∂ ln(P (y)) 1 · =− P (y) ∂y ∂y

(2.14)

Pokud zderivujeme funkci ceny (nebo současné hodnoty) dluhopisu s použitím spojitého úročení (2.2) podle y, dostaneme: n

X ∂P (y) ti · CFi · e−y·ti = −D · P (y) =− ∂y

(2.15)

i=1

Tedy za předpokladu spojitého úročení platí D = D∗ . Na finančních trzích ale většinou používáme periodické úročení namísto spojitého, které by bylo administrativně náročné, a v tomto případě se zmíněné durace nerovnají. Odvodíme tedy výpočet modifikované durace v případě periodického úročení pomocí derivace ceny dluhopisu tvaru (2.3) podle y: ∂P (y) 1 =− ∂y 1+

y k

·

n X

ti ·

i=1

CFi k·t . 1 + ky i

(2.16)

Po dosazení Macaulayovy durace ve tvaru (2.11) a úpravě výrazu dostaneme D 1 ∂P (y) · y = − 1+ k P (y) ∂y

(2.17)

Pravá strana je rovna definici modifikované durace, takže jsme odvodili vztah mezi Macaulayovou a modifikovanou durací: D∗ =

D . 1 + ky

(2.18)

Přestože spolu Macaulayova a modifikovaná durace úzce souvisí, jsou odlišné koncepčně. Jak už bylo zmíněno, Macaulayova durace je vážený čas doby spla15

[2]


15

cení, kdežto modifikovaná durace vyjadřuje cenovou citlivost na výnosu. Udává procentuální změnu ceny při změně výnosu do splatnosti o 1 procento, což se dá odvodit Taylorovým rozvojem prvního řádu funkce ceny P(y):

∂P (y) ∆y + o(∆y) ∂y ∂P (y) ∆P (y) ≈ ∆y ∂y ∆P (y) 1 ∂P (y) ≈ ∆y = −D∗ ∆y P (y) P (y) ∂y

P (y + ∆y) − P (y) =

2.4

Konvexita

Modifikovaná durace, respektive Taylorův rozvoj prvního řádu funkce ceny dluhopisu na výnosu, není příliš přesná pro odhad změny ceny dluhopisu při větší změně výnosu y. V takovém případě je vhodnější použít Taylorův rozvoj druhého řádu. To můžeme vidět na obrázku 2.2, který znázorňuje opravdovou cenu dluhopisu vypočítanou pomocí vnitřní hodnoty a odhady ceny dluhopisu Taylorovým rozvojem prvního i druhého řádu při změně z počátečního výnosu 10%. Vidíme, že odhad pomocí Taylorova rozvoje prvního řádu tvoří lineární funkci, ale funkce reálné ceny v závislosti na výnosu je konvexní. Odhad pomocí Taylorova rozvoje druhého řádu je také konvexní a proto se části, kterou se liší od Taylorova rozvoje prvního řádu říká konvexita a někdy také „zakřivení dluhopisu“.16 Samotný vzorec pro výpočet konvexity odvodíme pomocí Taylorova rozvoje druhého řádu funkce ceny dluhopisu: 1 ∂ 2 P (y) ∂P (y) ∆y + (∆y)2 + o((∆y)2 ) ∂y 2 ∂y 2 ∂P (y) 1 ∂ 2 P (y) ∆P (y) ≈ ∆y + (∆y)2 ∂y 2 ∂y 2 ∆P (y) 1 ∂P (y) 1 1 ∂ 2 P (y) ≈ ∆y + (∆y)2 P (y) P (y) ∂y 2 P (y) ∂y 2

P (y + ∆y) − P (y) =

(2.19)

První člen pravé strany (2.19) odpovídá už odvozené modifikované duraci a ve druhém členu se nám objevila tzv. relativní konvexita, které budeme říkat 16

[5]str. 29


16

180

Obrázek 2.2: Odhady pohybu ceny dluhopisu Taylorovým rozvojem

120 60

80

100

P

140

160

Opravdová cena Odhad Taylorovým rozvojem prvního řádu Odhad Taylorovým rozvojem druhého řádu

0.01

0.03

0.05

0.07

0.09

0.11

0.13

0.15

0.17

0.19

y

Zdroj: vlastní konstrukce zjednodušeně konvexita.17 Vzorec můžeme přepsat do tvaru:18 1 ∆P (y) ≈ −D∗ (P (y))∆y + C(P (y))(∆y)2 P (y) 2 kde D∗ (P (y)) . . . C ∗ (P (y))

...

(2.20)

modifikovaná durace dluhopisu při výnosu y, relativní konvexita dluhopisu při výnosu y,

Konvexita dluhopisu je tedy druhá derivace ceny dluhopisu podle výnosu: C ∗ (P (y)) =

1 ∂ 2 P (y) P (y) ∂y 2

(2.21)

V případě obecného periodického úročení s periodou k má konvexita tvar: 17

používá se i tzv. Dolarová konvexita, která je definovaná jako

18

[18] str.216

∂ 2 P (y) ∂y 2


17

n X CFi 1 · ti ti + k·t +2 k 1 + ky i i=1 ∗ C = P

n X CFi 1 · ti ti + k·t +2 k 1 + ky i i=1 = n X CFi i=1

(2.22)

(1 + ky )k·ti

Podobně jako vedle modifikované durace D∗ existuje i Macaulayova durace D, můžeme zavést pojem Macaulayovy konvexity C, která se dá odvodit z relativní konvexity vztahem:19 y 2 C = C∗ 1 + k

(2.23)

Analogicky jako u durace jsou tyto dvě definice konvexity rovny při použití spojitého úročení.

2.5

Výnosová křivka

Ve vzorcích uvedených v sekci 2.1 figurovala jediná výnosová míra. V reálné situaci ale ani pro dluhy se stejným rizikem nelze určit jednotnou úrokovou míru, protože jejich úroková míra závisí na splatnosti dluhů. Výnosovou křivku, někdy označovanou jako časovou strukturu úrokových měr můžeme obecně definovat jako funkci výnosu (nebo úrokové míry) na splatnosti dluhopisu. Marellini20 uvádí několik možných definicí funkce výnosové křivky. Rozlišuje křivky: • výnosu do splatnosti • výnosu bezkupónového dluhopisu21 • výnosu par dluhopisu22 • forwardových úrokových měr Obecně nelze sestrojit jednu výnosovou křivku pro celý trh, ale pouze pro dluhopisy, které mají stejné vlastnosti (hlavně druh emitenta a kreditní rating) a 19

[5] str. 38 [18] str. 63 21 v práci budeme používat tuto definici 22 dluhopis s takovou kupónovou mírou, že se prodává za svou nominální hodnotu 20


18

liší se pouze dobou splatnosti. Často se výnosové křivky konstruují ze státních dluhopisů, které se vyznačují téměř nulovým kreditním rizikem. Tato výnosová křivka představuje časovou strukturu bezrizikových výnosových měr. K ní se pak vztahují výnosové křivky jiných dluhopisů, které se navýší o hodnotu nazývanou kreditní rozpětí.23

2.5.1

Tvar výnosové křivky

Teoreticky by mohla výnosová křivka nabývat jakéhokoliv tvaru, ale reálné výnosové křivky lze obvykle zařadit do jedné z kategorií24 , které si nyní rozebereme. Rostoucí výnosová křivka Nejčastějším tvarem je rostoucí výnosová křivka, někdy označovaná jako normální výnosová křivka. Takovou křivku lze pozorovat za situace, kdy trh neočekává žádné významné změny úrokových měr. Dluhopisy s krátkou dobou splatnosti podle ní mají nižší výnos a dluhopisy s delší dobou splatnosti vyšší, což značí přirozené chování investorů, kteří požadují za dlouhodobější investici (se kterou se pojí vyšší rizikovost) vyšší výnos. Tento typ výnosové křivky můžeme vidět na grafu 2.3 znázorňujícím výnosy japonských státních dluhopisů k datu 27.4.2001. Klesající výnosová křivka Klesající výnosová křivka znázorňuje negativní závislost úrokové míry na době splatnosti. Tento tvar výnosové křivky nastává v situacích, kdy se očekává pokles úrokových sazeb, protože jsou momentálně na neobvykle vysoké úrovni. Jako příklad uvedeme výnosovou křivku státních dluhopisů Velké Británie z 19.10.2000 na grafu 2.4. Plochá výnosová křivka Plochá výnosová křivka je přechodový stav mezi rostoucí a klesající výnosovou křivkou. Nastává v situaci očekávání snížení úrokových sazeb, ale ne tak drastického, aby se křivka stala klesající. Teoreticky je při úplně ploché křivce výše úrokové sazby nezávislá na době splatnosti, ale reálně takový typ křivky nemůže nastat. Křivce, která je téměř plochá proto říkáme kvazi-plochá výnosová křivka. Příklad můžeme vidět na grafu 2.5 státních dluhopisů USA z 3.11.1999. 23 24

[6] str.4 [18] str.65


19

Obrázek 2.3: Rostoucí výnosová křivka

Zdroj: [18] str.65 Zhoupnutá výnosová křivka Posledním typem je tzv. zhoupnutá neboli vyboulená výnosová křivka. Tímto termínem označujeme křivku, která je zčásti klesající a z části rostoucí. Stejně jako klesající výnosová křivka je tento typ docela výjimečný a nastává při očekávání neobvyklého vývoje trhu, například poklesu úrokových měr společně s růstem inflace.25 Taková křivka může buď klesat v krátkodobých splatnostech a růst v dlouhodobých splatnostech nebo naopak růst v krátkodobých splatnostech a klesat v dlouhodobých, což můžeme vidět na grafu 2.6 státních dluhopisů USA z 29.2.2000.

2.5.2

Ocenění dluhopisu při znalosti výnosové křivky

Po zavedení pojmu výnosové křivky můžeme zobecnit vzorec (2.4) pro výpočet vnitřní hodnoty dluhopisu s kupóny. Původní vzorec je zjednodušený s předpokladem konstantní úrokové míry r pro všechna období, což by platilo v případě ploché výnosové křivky, pro jiný typ výnosové křivky je vhodné vzorec upravit. Jsou- li yi body na výnosové křivce pro časy i ∈ {1, 2, . . . , n}, pak dluhopis oceníme 25

[20] str.20


20

Obrázek 2.4: Klesající výnosová křivka

Zdroj: [18] str.65 podle této výnosové křivky vzorcem:26 V0 =

n X i=1

26

Budínský [5] str. 22

Ci F + (1 + yi )i (1 + yn )n

(2.24)


21

Obrázek 2.5: Kvazi-plochá výnosová křivka

Zdroj: [18] str.64

Obrázek 2.6: Zhoupnutá klesající výnosová křivka

Zdroj: [18] str.66

Kapitola 3 Moderní teorie portfolia V následující kapitole si stručně představíme hlavní myšlenky moderní teorie portfolia.27 Portfolio můžeme definovat jako soubor finančních aktiv v majetku jednoho investora. Obecně je cílem investorů maximalizovat výnos svých investic a zároveň minimalizovat riziko, čehož je možné dosáhnout skladbou portfolia z rozmanitých cenných papírů. Cíle minimalizace rizika a maximalizace výnosu jdou ale proti sobě a proto optimalizovat portfolio znamená podstoupit určitý kompromis. Za vznik moderní teorie portfolia je obecně považován moment vydání článku Harryho Markowitze Portfolio Selection“ v roce 1952.28 Markowitzův model je ” model statický, což znamená, že na počátku investice má investor určenou částku peněz, ze které nakoupí portfolio cenných papírů. Tyto aktiva plánuje držet po dobu celého investičního horizontu, na konci kterého je prodá. V průběhu této doby se do složení portfolia nezasahuje. Investor do svého portfolia zahrnuje cenné papíry na základě jejich výnosnosti a rizika. Jeho cílem je dosáhnout co nejvyšší výnosnosti a také co nejmenšího rizika celého portfolia. Výnosnost i riziko jednotlivých cenných papírů jsou ale neznámé parametry, musí se tedy vhodně odhadnout.

3.1

Výnosnost a riziko cenného papíru

V modelu považujeme výnosnost investice do každého cenného papíru za náhodnou veličinu. Konkrétně označme Xi výnosnost i-tého cenného papíru v portfoliu. Zajímá nás střední hodnota této náhodné veličiny, která vyjadřuje průměrnou vý27 28

Kapitola zpracována podle [23] a [4] [17]

– 22 –

Kapitola 3. Moderní teorie portfolia

23

nosnost a také směrodatná odchylka, kterou budeme považovat za riziko cenného papíru. Rozlišujeme mezi výnosností ex-post (historická) a ex-ante (očekávaná). Historická výnosnost je odvozena ze skutečně dosažných výnosností v minulosti, oproti tomu ex-ante výnosnost je odhadovaná podle očekávané situace na trhu. Střední hodnotu výnosnosti i-tého cenného papíru spočítáme: E(Xi ) = ri =

m X

xik · p(xik )

(3.1)

k=1

a riziko, neboli směrodatnou odchylku výnosnosti cenného papíru určíme podle vzorce: v u m p uX σi = D(Xi ) = t (xik − ri )2 · p(xik ) (3.2) k=1

kde E(Xi )

...

střední hodnota výnosnosti i-tého cenného papíru,

m

...

počet výnosností, které uvažujeme,

xik

...

k-tá uvažovaná výnosnost i-tého cenného papíru,

p(xik )

...

pravděpodobnost dosažení k-té výnosnosti,

ri

...

odhadovaná hodnota výnosnosti i-tého cenného papíru,

σi

...

riziko i-tého cenného papíru,

D(Xi ) . . .

rozptyl výnosnosti i-tého cenného papíru.

Prakticky se při použití ex-ante výnosů dosazují za p(xik ) odhadované pravděpodobnosti dosažení příslušné výnosnosti xik . Dále se budeme zabývat jen metodou odhadu výnosu ex-post, ve které je pravděpodobnost každé výnosnosti vyjádřena jako obrácená hodnota počtu sledovaných období, takže p(xik ) = m1 . Za výnosnosti xik dosazujeme jednotlivé historicky dosažené výnosnosti (například denní). Odhadovaná výnosnost má tedy tvar m

ri =

1 X xik m k=1

(3.3)

A odhadované riziko: v u m u1 X t σi = (xik − ri )2 m k=1

(3.4)


kde m xik

3.2

24

...

počet období,

...

výnosnost i-tého cenného papíru v k-tém období.

Kovariance a korelace cenných papírů

Další důležitou charakteristikou cenných papírů v portfoliu jsou jejich vzájemné kovariance. Kovariance obecně měří vzájemný vztah mezi dvěma náhodnými veličinami. V našem modelu tato veličina měří podobnost v pohybech výnosů dvou aktiv. Nabývá hodnot od −∞ do ∞ a proto je vhodné zavést i pojem korelace, který označuje kovarianci normovanou směrodatnými odchylkami jednotlivých náhodných veličin. Korelace nabývá hodnot od −1 do 1 a značí míru lineární závislosti dvou náhodných veličin. Při modelování výnosnosti metodou ex-post má kovariance tvar: m

1 X σij = C(Xi , Xj ) = (xik − ri ) · (xjk − rj ) m k=1 kde C(Xi , Xj ) σij

...

kovariance mezi náhodnými veličinami Xi a Xj ,

...

kovariance cenných papírů i a j.

(3.5)

Korelace se z kovariance odvodí následovně: ρij =

σij σi · σj

kde σi

...

riziko i-tého cenného papíru,

ρij

...

korelace cenných papírů i a j.

3.3

(3.6)

Výnosnost a riziko portfolia

Prozatím jsme odvodili základní vlastnosti jednotlivých cenných papírů, nás ale hlavně zajímá, jak se bude chovat celé portfolio cenných papírů. Proto musíme zadefinovat pojmy výnosnost a riziko portfolia. Výnosnost portfolia se určuje jako vážený průměr výnosností jednotlivých cenných papírů, kde se jako váha používá podíl příslušného cenného papíru v portfoliu.


25

Označíme cenné papíry, které uvažujeme do portfolia, jako náhodný vektor ~ 0 = (X1 , X2 , . . . , Xn ) X

(3.7)

a podíly obsažení příslušných cenných papírů v portfoliu jako vektor w ~ 0 = (w1 , w2 , . . . , wn )

(3.8)

Výnosnost portfolia tedy můžeme označit jako náhodnou veličinu: P =

n X

~ 0w Xi wi = X ~

(3.9)

i=1

kde Xi

...

náhodná veličina výnosnosti i-tého cenného papíru,

wi

...

podíl obsažení i-tého cenného papíru v portfoliu,

P

...

náhodná veličina výnosnosti portfolia.

Očekávaná výnosnost portfolia se dá odvodit následovně:

rP = E(P ) = E

n X

! wi X i

i=1

rP =

n X

=

n X

wi E(Xi )

i=1

(3.10)

wi ri

i=1

Riziko portfolia definujeme jako směrodatnou odchylku náhodné veličiny výnosnosti portfolia:

v ! v u uX n n X X u p u n 2 t w i Xi = t wi D(Xi ) + 2 wi wj σij σP = D(P ) = D i=1

i=1

(3.11)

j>i

A protože platí rovnost σii = D(Xi ), můžeme vzorec napsat ve tvaru: v uX n u n X t σP = wi wj σij i=1 j=i

(3.12)


3.4

26

Optimalizační úloha

Pro vytvoření algoritmu na výpočet vhodného složení cenných papírů v portfoliu musíme zavést optimalizační úlohu. V rámci Markowitzova modelu si můžeme cíl optimalizace vyložit několika způsoby, v prvním kroku můžeme buď maximalizovat výnosnost, nebo minimalizovat riziko. Dále je možné nastavit požadované riziko, respektive výnosnost, při kterém budeme maximalizovat respektive minimalizovat druhou zmíněnou veličinu. V poslední řadě můžeme zakázat prodej cenných papírů na krátko, tím že jejich podíl v portfoliu určíme jako nezáporný. Budeme se zabývat úlohou ve tvaru minimalizace rizika, při stanovené požadované výnosnosti a povoleném prodeji na krátko. Pro snadnější výpočet použijeme místo rizika definovaného jako směrodatná odchylka jeho druhou mocninu (rozptyl), což díky nezápornosti rizika nezmění výsledek úlohy. V této úloze máme vybráno n cenných papírů s výnosy Xi a hledáme jejich podíly v portfoliu, tedy vektor w: ~

min σP2

(3.13)

w ~

n X

wi = 1

i=1

R = rP kde R ...

požadovaná výnosnost portfolia,

rP

...

očekávaná výnosnost portfolia ve tvaru (3.10),

σP

...

riziko portfolia ve tvaru (3.12)

wi

...

podíl i-tého cenného papíru v portfoliu

Řešíme tedy úlohu vázaných extrémů pomocí Langrangeovy funkce: L(w, ~ ~λ) = σP2 (w) ~ + λ1 ·

n X

! wi − 1

~ −R + λ2 rp (w)

(3.14)

i=1

Parciálními derivacemi podle jednotlivých proměnných získáme analytické vyjádření výsledku této úlohy jako výsledek soustavy rovnic. Pro obecné n má rozšířená matice soustavy tvar:




2σ12

27

2σ12 . . . 2σ1n 1 r1

   2σ21 2σ22   . ..  .. .    2σ  n1 2σn2    1 1  r1 r2

0

. . . 2σ2n .. .. . .

1 r2 .. .. . .

0 .. .

...

2σn2

1 rn

0

...

1

0

0

1

...

rn

0

0

R

              

Řešení této soustavy můžeme napsat jako vektor ~x = (w1 , w2 , . . . , wn , λ1 , λ2 ) ~x = A−1 · b

(3.15)

kde A je matice zadané soustavy a b vektor pravých stran. Prvních n členů výsledného vektoru ~x vyjadřuje podíly všech vstupních cenných papírů v portfoliu s požadovanými vlastnostmi, čímž máme problém optimalizace portfolia složeného z těchto cenných papírů vyřešen.

Kapitola 4 Markowitzův model při tvorbě dluhopisového portfolia V této kapitole si popíšeme využití Markowitzova modelu při tvorbě dluhopisového portfolia.29 Popíšeme si proč a jak musí být tento model upraven oproti modelu použitému pro akciové portfolio. Po odvození upraveného modelu si ukážeme, jak odhadnout všechny potřebné vstupní parametry pomocí vhodného modelu úrokových sazeb. Nástroje moderní teorie portfolia jsou často používány při tvorbě portfolia akcií, ale pro optimalizaci portfolia dluhopisů příliš vhodné nejsou. Je to způsobeno hlavně strukturální odlišností dluhopisů od akcií. Hlavním rozdílem je fixní doba splatnosti dluhopisu, která může být vyšší, ale i nižší, než náš investiční horizont, oproti akciím, které žádnou dobu splatnosti nemají, a předpokládáme, že je můžeme držet po libovolně dlouhé období. Dalším rozdílem je odlišná struktura rizika spojeného s těmito cennými papíry. U fixně úročených dluhopisů je na rozdíl od akcií velmi důležité riziko úrokové, protože ceny dluhopisů přímo závisí na výši úrokových měr. Při optimalizace portfolia dluhopisů se budeme zaměřovat na minimalizaci právě tohoto rizika.

4.1

Optimalizační úloha

Použijeme optimalizační úlohu z Markowitzova modelu odvozenou v (3.13), kterou vhodně upravíme pro naše konkrétní použití. Jedná se o statický model, což znamená, že se investor v určitém čase rozhodne vytvořit portfolio a drží ho po 29

Zpracováno podle [21]

– 28 –

Kapitola 4. Markowitzův model při tvorbě dluhopisového portfolia

29

celou dobu svého investičního horizontu. Mezi počátkem investice a koncem investičního horizontu neprobíhá žádné rebalancování portfolia. Označme T délku investičního horizontu, M0 majetek určený k investici v čase 0 (tzv. počáteční majetek) a MT investovaný majetek na konci investičního horizontu. Naším cílem je dosáhnout požadované velikosti majetku M při minimalizaci rozptylu veličiny MT .

min D(MT ) n X

(4.1)

Ni P0(i) = M0

i=1

E(MT ) = M kde Ni

...

množství i-tého aktiva v portfoliu,

P0(i)

...

počáteční cena i-tého aktiva v portfoliu,

E(MT )

...

očekávané množství majetku na konci,

D(MT ) . . .

4.2

rozptyl množství majetku na konci.

Úprava optimalizační úlohy pro dluhopisy

Takto zadaný optimalizační problém jde v principu použít na všechna obchodovatelná aktiva, ale použití na dluhopisy je o něco složitější, než aplikace na akcie. Jedním z největších rozdílů mezi dluhopisy a akciemi je konečná splatnost dluhopisů. Tento rozdíl nám přináší problém v implementaci zadané úlohy pro optimalizaci portfolia, protože dluhopisy se splatností menší, než je investiční horizont, nebudou na konci investice existovat. Proto je nutné se zabývat optimální volbou reinvestice, ať už splacených dluhopisů, tak kupónových plateb z dluhopisů před koncem investičního období. Dalo by se využít rebalancování portfolia v každém čase, kdy dostaneme příjem, ale to už vyžaduje použití dynamického modelu. V rámci našeho statického modelu potřebujeme zavést předpoklad, který nám zamezí možnosti investičního rozhodování v průběhu investičního horizontu a tedy nutného rebalancování. V modelu budeme pro zjednodušení používat pouze dluhopisy s nulovým kupónem a nominální hodnotou 1. Tento předpoklad ale není příliš omezující,


30

protože každý kupónový dluhopis se dá nahradit portfoliem dluhopisů s nulovými kupóny.30 Budeme postupovat podle Wilhelma31 a všechny příjmy v čase t < T reinvestujeme za příslušnou spotovou úrokovou míru R(t, T ) až do konce investičního horizontu T (a předpokládáme, že v tomto čase existuje požadovaný dluhopis s nulovým kupónem, do kterého můžeme investovat). Spotová úroková míra32 R(t, T ) značí roční úrokovou míru půjčky v čase t, která je splacena v čase T , kde t ≤ T . Spotové úrokové míry úzce souvisí s cenami dluhopisů s nulovým kupónem. V čase t pro cenu dluhopisu s nominální hodnotou 1 a splatností v čase T (označíme P (t, T )) platí následující vztah: P (t, T ) = exp(−(T − t)R(t, T ))

(4.2)

Z rovnice (4.2) můžeme naopak vyjádřit úrokovou míru: R(t, T ) = −

1 ln(P (t, T )) T −t

(4.3)

Dále ještě označíme r(t) krátkodobou úrokovou míru, kterou definujeme jako úrokovou míru půjčky s okamžitou splatností: r(t) = lim R(t, T ) T →t

(4.4)

Předpokládejme, že existují dluhopisy s nulovými kupóny všech splatností od 1 roku do n let (kde n je dluhopis s největší splatností uvažovaný do portfolia). V čase t = 0 má investor majetek M0 , který použije k nákupu dluhopisů s cenami P (0, t) v množství Nt , kde t je splatnost daného dluhopisu. M0 =

n X

Nt P (0, t)

(4.5)

t=1

Dluhopis se splatností v čase T považujeme za bezrizikový (vzhledem ke změnám úrokových sazeb) a celou sadu dluhopisů tedy můžeme rozdělit na n − 1 rizikových a 1 bezrizikový. Ceny rizikových dluhopisů zapíšeme jako vektor 0 Pˆ0 = (P (0, 1), . . . , P (0, T − 1), P (0, T + 1), . . . , P (0, n)) 30

(4.6)

Například pětiletý kupónový dluhopis s nominální hodnotou 10 a kupóny 1 nahradíme čtyřmi dluhopisy se splatností v časech 1, 2, 3, 4 a 11 dluhopisy se splatností v čase 5, kde všechny mají nominální hodnotu 1 31 [27] 32 [21] str. 17


31

a jejich množství jako vektor ˆ 0 = (N1 , . . . , NT −1 , NT +1 , . . . , Nn ) N

(4.7)

Vzorec (4.5) přepíšeme do tvaru ˆ 0 Pˆ0 + NT P (0, T ) M0 = N

(4.8)

Dále odvodíme majetek investora na konci investičního horizontu MT . Investice NT P (0, T ) do bezrizikového dluhopisu se splatností T roste až do NT v čase T. Hodnota všech dluhopisů se splatnosti větší, než je investiční horizont, je v čase T rovna sumě cen jednotlivých dluhopisů, které jsou závislé na budoucí spotové míře R(T, t). Ocenění dluhopisů se splatností menší, než investiční horizont T , je trochu složitější. Jejich nominální hodnota je reinvestována v časech t < T za budoucí spotovou úrokovou míru R(t, T ) až do konce investičního horizontu. Majetek na konci má tedy hodnotu

MT =

T −1 X

Nt exp((T − t)R(t, T )) + NT +

t=1

n X

Nt exp(−(t − T )R(T, t))

(4.9)

t=T +1

Nahradíme úrokové míry cenami dluhopisů podle (4.3) MT =

T −1 X t=1

n X 1 Nt P (T, t) + NT + Nt P (t, T ) t=T +1

(4.10)

Vektorově můžeme předchozí vzorec zapsat ˆ 0 PˆT + NT MT = N

(4.11)

kde PˆT =

1 1 ,..., , P (T, T + 1), . . . , P (T, n) P (1, T ) P (T − 1, T )

(4.12)

Všimněme si, že první polovinu vektoru PˆT tvoří obrácené hodnoty cen dluhopisů v časech t ∈ {1, 2, . . . , T − 1} se splatností v čase T . Tyto výrazy vyjadřují v úročitele v časech t ∈ {1, 2, . . . , T − 1} do času T . Jsou to výnosy dluhopisů se splatnostmi menší, než je investiční horizont T , které reinvestujeme do konce investičního horizontu za sazbu aktuální v době vypršení. Naopak druhou polovinu vektoru tvoří ceny dluhopisů v čase T se splatností v časech t ∈ {T +1, T +2, . . . , n}.


32

Tyto hodnoty vyjadřují odúročitele (diskontní faktory) v čase T pro konkrétní splatnosti. Zajímá nás střední hodnota a rozptyl majetku na konci investičního horizontu. Nejdříve použijeme na rovnici (4.10) operátor očekávání:33 E(MT ) =

T −1 X

Nt E

t=1

1 P (t, T )

+ NT +

n X

Nt E (P (T, t))

(4.13)

t=T +1

Vektorově můžeme střední hodnotu zapsat: ˆ 0 E PˆT + NT E(MT ) = N

(4.14)

Rozptyl konečného majetku D(MT ) bude mít tvar:

D(MT ) =

T −1 X T −1 X t=1 s=1 n X

+

NT Ns cov n X

1 1 , P (t, T ) P (s, T )

(4.15)

Nt Ns cov (P (T, t), P (T, s))

t=T +1 s=T +1

+2

T −1 X n X

Nt Ns cov

t=1 s=T +1

1 , P (T, s) P (t, T )

kde cov je operátor kovariance. Označme C kovarianční matici složenou z kovariancí mezi budoucími cenami dluhopisů z vektoru PˆT a předchozí vzorec můžeme napsat ve vektorovém tvaru: ˆ 0C N ˆ D(MT ) = N

(4.16)

Například kovarianční matice pro investiční horizont T = 3 a dluhopisy s maximální dobou splatnosti n = 5 má tvar:          

D

1 P (1, 3) ...

c

1 1 , P (1, 3) P (2,3) 1 D P (2, 3)

1 1 c , P (3, 4) c , P (3, 5) P (1, 3) P (1, 3) 1 1 c , P (3, 4) c , P (3, 5) P (2, 3) P (2, 3)

...

...

D(P (3, 4))

...

...

...

kde c je operátor kovariance. 33

[27] str.217



       c(P (3, 4), P (3, 5))   D(P (3, 5))


33

Optimalizační problém výběru portfolia (4.1) přepíšeme pomocí odvozených vzorců počátečního majetku (4.8), očekávaného konečného majetku (4.14) a rozptylu konečného majetku (4.16) do tvaru:34

1 ˆ0 ˆ min N CN ˆ 2 N

(4.17)

ˆ 0 Pˆ0 + NT P (0, T ) = M0 N ˆ 0 E PˆT + NT = M N

(4.18) (4.19)

Dostáváme úlohu podobnou původní optimalizační úloze (3.13) řešitelnou stejně jako původní úlohu. Derivací Langrangeovy funkce

ˆ 0C N ˆ + λ1 · N ˆ 0 Pˆ0 + NT P (0, T ) − M0 ˆ , λ1 , λ2 ) = 1 N L(N 2 ˆ 0 E PˆT + NT − M + λ2 N

(4.20)

získáme výsledné množství dluhopisů v portfoliu jako řešení soustavy zadané rozšířenou maticí soustavy:



C1,1

C1,2

   C2,1 C2,2   .. ..  . .    C Cn−1,2  n−1,1   ˆ  P0(1) Pˆ0(2)  E(PˆT (1) ) E(PˆT (2) ) kde Ci,j

C1,n−1

Pˆ0(1)

... .. .

C2,n−1 .. .

Pˆ0(2) .. .

...

Cn−1,n−1

Pˆ0(n−1)

...

Pˆ0(n−1)

0

...

. . . E(PˆT (n−1) )

0

E(PˆT (1) )

0



   0   ..  .    ˆ 0 E(PT (n−1) )    0 M0 − NT P (0, T )   0 M − NT E(PˆT (2) ) .. .

...

člen kovarianční matice C na i-tém řádku,v j- tém sloupci,

Pˆ0(i)

...

i-tý člen vektoru Pˆ0 ,

E(PˆT (i) )

...

střední hodnota i-tého členu vektoru PˆT .

Při označení matice zadané soustavy jako A a vektoru pravých stran b můžeme 34

Podle [21] str.46 minimalizujeme obvykle polovinu rozptylu


34

napsat řešení ve tvaru ~x = A−1 · b

(4.21)

ˆ 0 , λ1 , λ2 ). kde ~x = (N Řešením této soustavy přímo dostáváme množství rizikových (vzhledem k pohybu úrokové sazby) dluhopisů v optimálním portfoliu. Výsledkem této optimalizační úlohy mohou být i záporné hodnoty velikosti nakoupených dluhopisů. To v praxi znamená použití prodeje na krátko (short sell). Na některých finančních trzích je short sell dokonce zakázán nebo můžeme z jiných důvodů požadovat vytvoření portfolia pouze z nakupovaných dluhopisů. Pro takový případ můžeme do optimalizační úlohy (4.17) přidat podmínku zákazu short sellu, tedy další omezující podmínku ve tvaru: Ni ≥ 0

∀i ∈ {1, 2 . . . , n}

(4.22)

Tato úloha ale nemá analytické řešení a pro její praktické vyřešení je vhodné použít optimalizačního softwaru. Optimalizační úlohu i její řešení máme zadané, ale pro praktické použití nám ještě zbývá odvodit všechny potřebné parametry. V čase tvorby portfolia známe pouze současné ceny dluhopisů P (0, t) pro t ∈ {1, 2, . . . , n}, náš současný majetek určený k investici M0 a požadovaný majetek na konci investice M . Zatím neznáme celou kovarianční matici C a střední hodnoty budoucích cen dluhopisů E(PˆT ). V následující sekci si ukážeme, jak tyto chybějící veličiny odhadnout.

4.3

Odhad vstupních parametrů optimalizační úlohy

Oproti tvorbě portfolia z akcií, kde se dají vstupní parametry do optimalizační úlohy odhadnout analýzou časových řad jednotlivých akcií, je získání těchto parametrů při tvorbě dluhopisového portfolia o něco složitější. Jako první se zaměříme na odhad střední hodnoty cen dluhopisů na konci investičního horizontu E(PˆT ):35

E(PˆT ) = E 35

1 1 ,..., , P (T, T + 1), . . . , P (T, n) P (1, T ) P (T − 1, T )

(4.23)

jako cenu dluhopisu se splatností menší než T považujeme cenu reinvestice jeho nominální hodnoty v čase splacení do doby T


35

Použití analýzy časových řad se nedoporučuje, protože dluhopisy mají konečnou splatnost a jejich cena závisí na času do splatnosti. Dluhopis se splatností 10 let je v 5. roce od vydání v podstatě ekvivalentní s dluhopisem se splatností 5 let. Časová řada cen tohoto dluhopisu se nedá použít, protože pozorování cen nejsou vhodné hodnoty pro ocenění dluhopisu s původní splatností. Tento problém se dá řešit buď analýzou tzv. umělých časových řad dluhopisu s danou splatností vytvořených z historických dat celých výnosových křivek nebo použitím modelu úrokových měr.36 Dále potřebujeme odhadnout kovarianční matici C, která je složena z několika typů kovariancí pozorovatelných ve vzorci (4.15). První typ cov(P (T, t), P (T, s)), který znázorňuje kovariance mezi cenami dvou dluhopisů v čase T se splatnostmi t a s, se dá odhadnout stejným způsobem jakostředníhodnoty cen. Problém 1 1 1 a cov , , P (T, s) . Obě nastává až kovariancí typu cov P (t, T ) P (s, T ) P (t, T ) značí kovariance mezi cenami dvou dluhopisů v různých časech a s různou dobou splatnosti. Pro odhad těchto parametrů je už nutné použít dynamické modely úrokových měr. V této práci budeme konkrétně používat jednofaktorový Vašíčkův model.

4.3.1

Vašíčkův model

Oldřich Vašíček, český matematik žijící v USA, v roce 1977 zveřejnil první dynamický model úrokových sazeb, dnes známý jako Vašíčkův model. Je založen na předpokladu, že se krátkodobá úroková míra pohybuje podle Ornstein-Uhlenbeck procesu,37 takže její chování může být popsáno stochastickou diferenciální rovnicí: dr(t) = κ(θ − r(t))dt + σdW (t)

(4.24)

kde W (t) je Wienerův proces38 a κ, θ a σ jsou konstanty. Ornstein-Uhlenbeckův proces má vlastnost tzv. návratu k průměru. Parametr θ značí hodnotu tohoto průměru, κ znázorňuje rychlost, s jakou je úroková míra přitahována k průměru a σ je volatilita úrokové míry. Z tvaru diferenciální rovnice si můžeme všimnout, že tento proces neobsahuje žádný mechanismus, který by zabraňoval výskytu záporné hodnotě úrokové míry, což může dělat při modelování reálné situace problémy. 36

[21] str.48 [25] str.185 38 viz [16] str.12 37


36

Vašíček nejenom popisuje pohyb krátkodobé úrokové míry, ale také odvodil vzorec pro výpočet odhadu současné nebo budoucí spotové úrokové míry pro libovolné splatnosti:39 R(t, T ) = −

A(t, T ) B(t, T ) + r(t) T −t T −t

(4.25)

kde σ2 σ R(∞) = θ + λ − 2 κ 2κ 1 B(t, T ) = (1 − exp(−κ(T − t))) κ A(t, T ) = R(∞) (B(t, T ) − (T − t)) −

(4.26) (4.27) σ2 B(t, T )2 4κ

(4.28)

kde λ je konstanta značící tržní cenu rizika. Dosazením (4.25) do (4.2) získáme analytické řešení výpočtu hodnoty bezkupónového dluhopisu s nominální hodnotou 1 v čase t se splatností T : P (t, T ) = exp(A(t, T ) − B(t, T )r(t))

(4.29)

Pro použití v dalších vzorcích musíme ještě uvést výpočet střední hodnoty, rozptylu a kovariancí krátkodobé úrokové sazby r(t):40

Et (r(T )) = r(t) exp(−κ(T − t)) + θ(1 − exp(−κ(T − t))) 1 − exp(−2κ(T − t)) 2 vart (r(T )) = σ 2κ 1 − exp(−2κ(min(T, s)) − t) 2 covt (r(T ), t(s)) = σ 2κ

4.3.2

(4.30) (4.31) (4.32)

Použití Vašíčkova modelu pro odhad vstupních parametrů

Po použití Vašíčkova modelu pohybu úrokových měr už můžeme analyticky vyjádřit hodnoty všech potřebných vstupů do optimalizační úlohy.41 39

odvození [21] str. 25 [21] str. 26 41 odvození v [21] str.51 40


37

Střední hodnota ceny dluhopisu v čase T se splatností v t:

1 2 E (P (T, t)) = exp A(T, t) − B(T, t)E(r(T )) + B(T, t) var(r(T )) 2

(4.33)

Střední hodnota úročitelů v čase t se splatností v T : E

1 P (t, T )

1 2 = exp −A(t, T ) + B(t, T )E(r(t)) + B(t, T ) var(r(t)) 2

(4.34)

Kovariance mezi cenami dluhopisů v čase T se splatnostmi v t a s: cov(P (T, t), P (T, s)) =

(4.35)

= E(P (T, t))E(P (T, s)) (exp(B(T, t)B(T, s)var(r(T ))) − 1) Kovariance mezi úročitelem v čase t a v čase s se splatností v T : 1 1 , = (4.36) cov P (t, T ) P (s, T ) 1 1 E (exp(B(t, T )B(s, T )cov(r(t), r(s))) − 1) =E P (t, T ) P (s, T )

Kovariance mezi úročitelem v čase t se splatností T a cenou dluhopisu v čase T se splatností s:

1 , P (T, s) = (4.37) cov P (t, T ) 1 =E E(P (T, s))(exp(−B(t, T )B(T, s)cov(r(t), r(T ))) − 1) P (t, T )

Tím máme vyjádřeny vzorce pro výpočet všech vstupních parametrů do optimalizační úlohy (4.17) a můžeme ji tedy aplikovat na reálných datech.

Kapitola 5 Dluhopisové strategie používané v praxi Přestože se při tvorbě dluhopisového portfolia dají využít principy Moderní teorie portfolia, sofistikované modely úrokových měr, pokročilé optimalizační techniky a výpočetní nástroje, které jsme si ukázali v předchozí kapitole, nejpoužívanější strategie v praxi zůstávají docela přímočaré a rychle implementovatelné. Nejdříve si popíšeme pasivní investiční strategie, poté přejdeme na strategie založené na cílení durace portfolia.

5.1

Indexace portfolia

Základním přístupem k tvorbě portfolia je tzv. indexace. Tato metoda patří mezi pasivní investiční strategie. To znamená, že se nesnaží překonat trh, ale spíše sází na platnost teorie efektivních trhů, která předpokládá, že všechny cenné papíry jsou správně ohodnocené a zohledňují riziko, očekávané zisky a další dostupné informace. Cílem této strategie je vytvořit portfolio se stejným pohybem ceny jako určitý tržní index. Nejjednodušším způsobem k dosažení tohoto cíle je přímé replikování indexu držením stejného podílu aktiv, jaký obsahuje daný index. Ale s touto metodou jsou spojeny velké transakční a administrativní náklady, protože indexy jsou odvozeny z velkého množství dluhopisů. Například nejpoužívanější dluhopisový index v USA, Barclays Capital Aggregate Bond Index, obsahuje přes 8000 dluhopisů a jeho složení se pravidelně obměňuje v době splatnosti jednotlivých dluhopisů. Proto se více používají jiné metody pro vytvoření portfolia, které se svými výnosy podobá cílovému indexu, ale neobsahuje tak velké množství dluhopisů. – 38 –

Kapitola 5. Dluhopisové strategie používané v praxi

39

Existují tři základní přístupy k indexaci portfolia jiné než přímá replikace: stratifikovaný výběr, minimalizace tracking erroru a faktorová replikace.42 Zaměříme se na metodu minimalizace tracking erroru.

5.1.1

Minimalizace Tracking erroru

Tracking error (někdy se překládá jako aktivní odchylka43 ) vyjadřuje míru odchylky výnosů portfolia od výnosů určeného indexu, který bereme jako benchmark. Cílem této metody je tuto odchylku minimalizovat. Typicky chceme dosáhnout korelace portfolia a cílového indexu větší než 0.95. Pro přesnější stanovení portfolia můžeme povolit prodej dluhopisů na krátko. Technika se dá rozdělit do dvou kroků: odhad kovarianční matice výnosnosti dluhopisů a použití této kovarianční matice pro optimalizaci tracking erroru. Optimalizační procedura Cílem je co nejpřesněji napodobit návratnost dluhopisového indexu portfoliem složeným z n jednotlivých dluhopisů. Tracking error (označíme TE), je definován jako směrodatná odchylka rozdílu výnosností portfolia a cílového indexu:44 TE = kde RB

...

výnosnost indexu,

RP

...

výnosnost portfolia,

p

D(RP − RB )

(5.1)

V samotné optimalizační úloze budeme minimalizovat rozptyl odchylky výnosů portfolia a výnosů indexu, což je druhá mocnina Tracking erroru:

D(RP − RB ) =

N X i=1

kde 42

[18] str.213 [14] str.27 44 [18] str.217 43

wi wj σij − 2

N X i=1

wi σiB + σB2

(5.2)


wi

...

podíl i-tého dluhopisu v portfoliu

σij

...

kovariance mezi výnosností i-tého a j-tého dluhopisu

σiB

...

kovariance mezi výnosností i-tého dluhopisu a indexu

σB

...

volatilita výnosnosti indexu

40

Optimalizační problém má tedy tvar: min D(RP − RB ) wi

N X

wi = 1

(5.3) (5.4)

i=1

Přesnost výsledné replikace se měří právě hodnotou, kterou jsme minimalizovali, tedy Tracking errorem. Odhad kovarianční matice výnosností dluhopisů Jak můžeme vidět v rovnici (5.2), jedním ze vstupů do optimalizační procedury jsou kovariance mezi výnosy jednotlivých dluhopisů, které můžeme vyjádřit pomocí kovarianční matice. Způsoby odhadování kovarianční matice můžeme rozdělit do tří kategorií: odhad výběrové kovarianční matice, odhady založené na faktorových modelech nebo shrinkage odhady.45 Zaměříme se na první zmíněný typ odhadu. Nejobvyklejším odhadem kovarianční matice návratností je výběrová kovarianční matice historických výnosů: m

1 X ˆ ˆ R ˆ t − R) ˆ 0 S = (Rt − R)( m − 1 t=1

(5.5)

kde S

...

výběrová kovarianční matice,

m

...

počet období,

Rˆt

...

vektor výnosností jednotlivých dluhopisů v období t,

ˆ R

...

vektor průměrů výnosností jednotlivých dluhopisů.

Tím jsou odvozeny všechny vstupní hodnoty do optimalizačního problému (5.3) a je možné ho použít. Při tvorbě portfolia tímto způsobem máme problém 45

[18] str.217


41

s dluhopisy v portfoliu, které dosáhnou své splatnosti během investičního horizontu. Martellini46 tento problém nepopisuje, proto předpokládám, že buď vybírá do tohoto portfolia pouze dluhopisy se splatností vyšší, než je investiční horizont nebo toto portfolio rebalancuje v časech splatností dluhopisů s kratší dobou splatnosti, než je investiční horizont.

5.2

Imunizační strategie

Při investování do dluhopisů podstupujeme úrokové riziko, které je dáno kombinací reinvestičního a kapitálového rizika. Reinvestiční riziko souvisí s peněžními toky předcházejícími investičnímu horizontu a kapitálové riziko naopak s peněžními toky po uplynutí investičního horizontu. Obě rizika jdou proti sobě a imunizací se dosáhne jejich vzájemnému vyrovnání.47

5.2.1

Úrokové riziko bezkupónového dluhopisu

Ukážeme si vznik reinvestičního a kapitálového rizika při investici do dluhopisu s nulovým kupónem. Předpokládejme, že dluhopis má splatnost n let, výnos y a investujeme na dobu T let (investiční horizont). Pokud je n < T , dluhopis bude splacen před naším investičním horizontem a splacenou částku je nutné investovat na zbylých T − n let za novou úrokovou míru y ∗ . Investor tedy podstupuje reinvestiční riziko, protože výnos na zbylé období y ∗ se nemusí rovnat původnímu výnosu y. Pokud bude y ∗ < y, bude mít investor reinvestiční ztrátu. Naopak v situaci, kdy n > T , nedochází do konce investičního horizontu ke splacení dluhopisu a investor v čase k prodá dluhopis za tržní cenu. V čase T se ale úroková míra mohla posunout na hodnotu y ∗ , takže investor podstupuje kapitálové riziko a pokud bude y ∗ > y, bude mít investor ztrátu z kapitálového rizika.48 Pro n = T je reinvestiční i kapitálové riziko nulové, protože investor obdrží nominální hodnotu dluhopisu a jeho výnos bude y, jak očekával na začátku investice. 46

[18] str.216 [5]str.58 48 [5]str.60 47


5.2.2

42

Úrokové riziko kupónového dluhopisu

Nyní si ukážeme imunizaci na příkladu jednoho kupónového dluhopisu. Investujeme do kupónového dluhopisu se splatností n, s výnosovou křivkou y(t) na dobu T < n let. Předpokládejme, že výnosová křivka se po prvním roce změní na y(t) + ∆y. Během našeho investičního horizontu tedy budeme kupónové platby reinvestovat za vyšší úrokovou míru y(t) + ∆y a tím získáme reinvestiční zisk. Ale na konci investičního horizontu dluhopis prodáváme za nižší cenu, než jsme očekávali, čímž utrpíme ztrátu z kapitálového rizika. Výše ztrát a zisků plynoucích z těchto rizik závisí právě na délce investičního horizontu. Pro dluhopis platí, že pokud se jeho Macaulayova durace rovná našemu investičnímu horizontu, pak se vlivy reinvestičního a kapitálového rizika navzájem vyruší při libovolné změně výnosu. Pro ∆y > 0 vyrovná zisk z reinvestic kapitálovou ztrátu a pro ∆y < 0 vyrovná kapitálový zisk ztrátu z reinvestic. Základním předpokladem a také velkou nedokonalostí této techniky je povolení pouze paralelního posunu výnosové křivky. Imunizace předpokládá, že se počáteční sklon výnosové křivky do konce doby splatnosti nemění a celá křivka se pouze paralelně posune směrem nahoru nebo dolů, jak můžeme vidět na obrázku 5.1.

3% 2% 1%

počáteční výnosová křivka posun výnosové křivky o 1% dolů posun výnosové křivky o 1% nahoru

0%

výnos

4%

5%

6%

Obrázek 5.1: Paralelní posuny výnosové křivky

0

5

10 t


15


5.2.3

43

Durace portfolia

Pro využití při tvorbě imunizovaného portfolia musíme odvodit výpočet durace celého portfolia dluhopisů. Označme Pi částku investovanou do i-tého dluhopisu s modifikovanou durací Di∗ , P celkovou investovanou částku (cenu portfolia) a D∗ modifikovanou duraci portfolia.49 Cena portfolia je součtem částek investovaných do jednotlivých dluhopisů P = P 1 + P2 + · · · + Pn ,

(5.6)

P 0 = P10 + P20 + · · · + Pn0 ,

(5.7)

rovnici zderivujeme

upravíme do tvaru −P 0

P1 P P2 Pn = −P10 − P20 − . . . − Pn0 , P P1 P2 Pn

(5.8)

s použitím definice modifikované durace (2.14) upravíme D∗ P = D1∗ P1 + D2∗ P2 + · · · + Dn∗ Pn ,

(5.9)

a tedy vzorec pro modifikovanou duraci portfolia má tvar: n X

D∗ =

Di∗ Pi

i=1 n X

(5.10)

Pi

i=1

Modifikovaná durace portfolia je váženým průměrem modifikovaných durací jednotlivých dluhopisů, kde váhy jsou podíly investice do jednotlivých dluhopisů na celkové investované částce. Vzorec používá modifikovanou duraci a při použití Macaulayovy durace by přesně neplatil (pouze pokud by měly dluhopisy stejný výnos). Přesto se ale používá i pro Macaulayovu duraci, protože vzniklá chyba není tak znatelná.50 49 50

[5] str. 66 [5] str. 67


5.2.4

44

Konvexita portfolia

Obdobně jako modifikovanou duraci portfolia můžeme odvodit (relativní) konvexitu portfolia. Zderivujeme dvakrát rovnici P = P 1 + P2 + · · · + Pn ,

(5.11)

a dále upravujeme analogicky jako při odvozování modifikované durace portfolia a získáme vzorec pro konvexitu portfolia: n X

C∗ =

Ci∗ Pi

i=1 n X

(5.12) Pi

i=1

Konvexita dluhopisového portfolia je tedy váženým průměrem konvexit jednotlivých dluhopisů s váhami rovnými podílu investice do daných dluhopisů na celkové investici. Analogicky jako u durace tento vzorec platí pouze pro relativní konvexitu, ale dá se použít i pro Macaulayovu konvexitu, protože chyba ve výpočtu je zanedbatelná.51 Pokud je na trhu k dispozici více dluhopisů s různými duracemi, existuje mnoho způsobů, jak tyto dluhopisy nakombinovat pro dosažení rovnosti durace a investičního horizontu. Různě složená portfolia budou mít rozdílné výnosy, které závisí na jejich konvexitě. Za předpokladu paralelního posunu výnosové křivky má portfolio tím vyšší výnos, čím vyšší je jeho konvexita.52 Při jiných než paralelních pohybech výnosové křivky ale toto tvrzení neplatí a vyššího výnosu můžou dosahovat i portfolia s nižší konvexitou.53

5.2.5

Statická a dynamická imunizace

Statická imunizace portfolia předpokládá, že se výnosová křivka do konce investičního horizontu změní pouze jednou, a to právě ještě před splatností prvního peněžního toku z portfolia. Definujeme ji jako sestavení portfolia dluhopisů, jehož durace D se rovná investičnímu horizontu T , přičemž splacené pěněžní toky před koncem investičního horizontu T reinvestujeme do doby T a dluhopisy, které mají dobu splatnosti větší než investiční horizont, prodáme v čase T . 51

[5] str. 70 [5] str. 69 53 [5] str. 75 52


45

Pokud se ale chceme proti úrokovému riziku zajistit i pro případ vícenásobné změny výnosové křivky, musíme použít dynamickou imunizaci portfolia. Ta spočívá v použití statické imunizace vícenásobně v pravidelných intervalech. Na začátku investice provedeme statickou imunizaci, tedy sestavíme portfolio, jehož durace D se rovná investičnímu horizontu T a poté v pravidelných intervalech znovu přepočítáme váhy jednotlivých dluhopisů, aby durace nového portfolia byla rovna zkrácenému investičnímu horizontu.

5.3

Modely dluhopisových portfolií s pevnou durací

Jak už bylo popsáno v předchozí sekci, při tvorbě dluhopisového portfolia s fixní durací rovnou investičnímu horizontu T , má velikost konvexity jiný vliv na výnosy při různých posunech výnosové křivky. Proto se v praxi používá několik typů dluhopisových portfolií s pevnou durací, které se odlišují svou konvexitou. Navíc se nemusíme omezovat pouze na imunizaci portfolia, ale můžeme zakomponovat i strategie očekávání pohybu úrokových sazeb. Tyto strategie také volí pevnou duraci, ale nesnaží se ji cílit na dobu investičního horizontu. Pokud se očekává pokles úrokových sazeb, je vhodné investovat do dluhopisu nebo portfolia s delší durací. Pokud naopak očekáváme růst úrokových sazeb, je vhodné cílit duraci portfolia na nižší hodnoty.54 Požadovanou duraci (rovnu buď investičnímu horizontu při imunizaci nebo jinou při očekávání poklesu/růstu úrokové míry) označme jako k. Pro zjednodušení budeme používat pouze dluhopisy s nulovým kupónem, ze kterých plyne jenom jeden peněžní tok a jejich durace je tedy rovna splatnosti. Pro výpočty durace a konvexity používáme Macaulayovy definice.

5.3.1

Bullet

Nejjednodušší typ portfolia s pevnou durací je tzv. bullet (náboj). Takové portfolio je tvořeno pouze jedním dluhopisem s dobou splatnosti n rovnou k. Ze všech typů portfolií má tento typ nejmenší konvexitu. Pokud zvolíme k rovno investičnímu horizontu T , tak toto portfolio není vystaveno reinvestičnímu, ani kapitálovému riziku a proto se používá jako benchmark. 54

[21] str. 70


46

Konvexita tohoto modelu se dá jednoduše vyjádřit:55 C = n(n + 1)

(5.13)

V širším slova smyslu můžeme jako bullet portfolio považovat kupónový dluhopis s durací k nebo také portfolio složené z více dluhopisů s duracemi blízkou k.

5.3.2

Barbell

Model barbell představuje opačný přístup k složení portfolia, než bullet. Namísto cílení durace jednotlivých dluhopisů přesně na investiční horizont do portfolia vybírá dluhopisy s duracemi vzdálenými od požadované durace, které ale svou kombinací dosahují požadované durace portfolia. Podle Budinského56 je barbell portfolio obsahující 2 dluhopisy s duracemi D1 a D2 , takové, že jejich váhy v portfoliu w1 a w2 (takové, že w1 + w2 = 1) splňují rovnici: w1 D1 + w2 D2 = k (5.14) Můžeme definovat také symetrický barbell, což je portfolio vycházející z předchozího vzorce při rovnosti vah w1 = w2 = 21 . Takové portfolio označíme jako B(i). Durace dluhopisů obsažených v B(i) budou D1 = i a D2 = 2k − i. Konvexita portfolia B(i) se dá vypočítat vzorcem: C = (k − i)2 + k(k + 1)

(5.15)

Obecnější, než symetrický barbell můžeme označit jako B(i, k+j). Tento barbell je sestaven z dluhopisu s duracemi D1 = i a D2 = k + j. Pro jeho konvexitu platí: C = j(k − i) + k(k + i)

5.3.3

(5.16)

Ladder

Model dluhopisového portfolia Ladder se obecně snaží rozprostřít splatnosti peněžních toků plynoucích z portfolia pravidelně do co největšího období. 55 56

[5] str.79 [5] str.80


47

Podle Budinského57 definujeme Ladder jako portfolio bezkupónových dluhopisů se stejnými vahami a duracemi symetricky rozloženými kolem durace k. Konkrétně označíme L(i) portfolio sestavené z dluhopisů s nulovým kupónem 1 . s duracemi i, i + 1, . . . , k, . . . , 2k − i a stejnými váhami 2k − 2i + 1 Konvexita tohoto portfolia má vzorec: 1 C = (k − i)(k − i + 1) + k(k + 1) 3

5.3.4

(5.17)

Konvexita portfolií s pevnou durací

Na obrázku 5.2 si můžeme názorně ukázat velikosti konvexit různých druhů portfolia. Křivka znázorněná plnou čarou ukazuje vztah mezi Macaulayovou konvexitou a durací.58 Protože je tento vztah konvexní, úsečka spojující kterékoliv 2 body na křivce leží nad touto křivkou. Taková úsečka znázorňuje portfolia vzniklá z různých kombinací dvou bezkupónových dluhopisů s durací odpovídající bodům, které spojuje. Speciálně z toho plyne, že konvexita bullet portfolia je mezi portfoliemi dané durace vždy nejmenší a největší konvexitu má barbell portfolio složené z dluhopisů s co nejrozdílnější splatností.59

600 400 0

200

Macaulayova konvexita

800

Obrázek 5.2: Vztah mezi durací a konvexitou bezkupónového dluhopisu

0

5

10

15

20

25

30

Macaulayova durace

Zdroj: vlastní konstrukce podle [18] str. 239 57

[5] str.95 Graf na obrázku odpovídá situaci ploché výnosové křivky, ale podobný vztah mezi konvexitou a durací platí i při jiném tvaru 59 [18] str.239 58

Kapitola 6 Aplikace na reálná data V této kapitole aplikujeme některé z uvedených modelů dluhopisových portfolií na reálně obchodované dluhopisy. Pro větší možnosti analýzy vytvořených portfolií a přesné porovnání jejich výkonnosti s benchmarkem nebudeme tvořit portfolio z aktuálně obchodovaných dluhopisů, ale z dluhopisů obchodovaných v minulosti, ke kterým máme dostupné časové řady historických cen.

6.1

Výběr dluhopisů do portfolia

V první řadě musíme vybrat vhodné dluhopisy k sestavení portfolia. Protože se snažíme eliminovat úrokové riziko, do modelu musí vstupovat dluhopisy se stejným zdrojem rizika. Zvolíme proto dluhopisy pouze od jednoho emitenta a konkrétně se zaměříme na státní dluhopisy. Pro potřeby našeho modelu musíme mít dluhopisy s nulovým kupónem a se všemi splatnostmi od jednoho roku do n let. V praxi většina států emituje hlavně kupónové dluhopisy mnoha splatností, ale jen málo bezkupónových dluhopisů, které by nám do modelu nestačily. Proto budeme používat stripped dluhopisy (dále označujeme jako stripy), které mají stejnou strukturu peněžních toků jako bezkupónové dluhopisy. Konkrétně použijeme tzv. „coupon strips“, které jsou vytvořeny rozdělením jednotlivých kupónových plateb z dluhopisů s pevnou úrokovou sazbou, takže můžeme mít k dispozici bezkupónové dluhopisy všech splatností od stejného emitenta a se stejnou nominální hodnotou. Jedním z kritérií výběru dluhopisů byla dostupnost kvalitních dat. Ne ke všem státním dluhopisům existují obchodovatelné stripy a i když existují, tak ne pro všechny splatnosti, které potřebujeme. Vhodným kandidátem se staly kanadské státní dluhopisy, které mají obchodovatelné kupónové stripy všech potřebných – 48 –

Kapitola 6. Aplikace na reálná data

49

splatností a všechny historické ceny jsou dostupné v systému Bloomberg, ze kterého data sbíráme.

6.2

Popis dat

Dluhopisy, ze kterých budeme tvořit portfolio jsou označeny Canadian Government Bond Coupon Strip. Jsou to tedy stripped dluhopisy odvozeny z kupónových plateb kanadských státních dluhopisů. Jako investiční horizont volíme 5 let a k tomu musíme zvolit vhodné datum počátku investice. Protože chceme znát hodnotu portfolia po celou dobu investice, musíme mít dostupná historická data cen dluhopisů. Ideálním dnem počátku investice je 1.12., ke kterému maturují obchodované kanadské stripped dluhopisy a pro dostupnost historických dat na celých 5 let zvolíme konkrétně 1.12.2008. Potřebujeme časové řady historických cen od 1.12.2008 do 1.12.2013 pro dluhopisy se splatnostmi 1 až 25 let k datu 1.12.2008, tedy se splatnostmi v letech 2009 až 2033. Navíc pro odhad krátkodobé úrokové míry potřebujeme znát cenu dluhopisu s co nejmenší dostupnou splatností, což je v tomto případě dluhopis se splatnosti 1.3.2009 (3 měsíce). Všechna tato data máme k dispozici na systému Bloomberg. Z deseti dluhopisů se splatnostmi 1 až 10 let budeme přímo tvořit portfolio, ostatní použijeme pouze pro odvození výnosové křivky. Konkrétní dluhopisy, ze kterých jsou tyto stripy odvozeny, jsou pro přehled uvedeny v tabulce 6.1 (do výpočtů ale tyto hodnoty nezasahují).60 Použité stripy se stejně jako původní dluhopisy obchodují v Kanadských dolarech (CAD) a jejich nominální hodnota je stanovena na 100 CAD. Tabulka 6.1: Přehled vybraných kanadských dluhopisů Odvozený dluhopis (strip)

Původní dluhopis

splatnost

datum vydání kupónová sazba rating S&P

2008-2014

16.4.1990

11.25%

AAA

2015-2021

17.4.1991

9.75%

AAA

2022-2025

14.7.1994

9%

AAA

2025+

Generic coupon strip Zdroj: vlastní konstrukce

60

Generic coupon strip je termín používaný při označení různých stripů jedním identifikačním číslem. Není tedy přesně dané ze kterého dluhopisu je odvozen.


6.3

50

Výnosová křivka v průběhu investice

Pro lepší analýzu vlastností dluhopisových portfolií, které budeme vytvářet, je vhodné uvést pohyb úrokové míry v době investičního horizontu. Z historických dat cen dluhopisů se splatností 1 − 25 let získáme úrokové míry souvisejicích splatností v letech 2008 až 2013. Ceny dluhopisů můžeme označit jako P (i, t), kde i značí počet let od počátku investice a t je doba splatnosti konkrétního dluhopisu. Podle vzorce (4.3) vypočítáme R(i, t) pro t ∈ {i + 1, i + 2, . . . , i + 20}, čímž dostaneme hodnoty výnosu dluhopisů jednotlivých splatností potřebné pro vytvoření výnosové křivky pro rok 2008 + i. Na grafu 6.1 máme vyneseny výnosové křivky k datu 1.12. v jednotlivých letech. Ve všech letech měla křivka tvar rostoucí výnosové křivky. Můžeme vidět, že na počátku investice v roce 2008 byly středně a dlouhodobé úrokové míry na vysoké úrovni a v roce 2009 ještě mírně stouply. V dalších letech až do roku 2012 ale postupně klesaly až v řádu procent. V roce 2013 znovu stouply zhruba o 1%, ale ne až na původní hodnotu z roku 2008. Také vidíme, že výnosy dluhopisů se splatností větší než 5 let klesly více, než dluhopisů se splatností menší, takže došlo k tzv. zploštění výnosové křivky.

2%

3%

2008 2009 2010 2011 2012 2013

1%

R(0,t)

4%

5%

Obrázek 6.1: Výnosové křivky k 1.12.

5

10

15 t


20


6.4

51

Tvorba portfolia pomocí Markowitzova modelu

Pro odvození vstupních hodnot do optimalizační procedury (4.17) musíme znát hodnoty parametrů Vašíčkova modelu pro pohyb úrokové míry. Tyto parametry lze odhadnout ze současné výnosové křivky. Výnosovou křivku ke dni počátku investice již máme vytvořenou a nyní se ji budeme snažit replikovat pomocí Vašíčkova modelu. Jako krátkodobou úrokovou míru r(0) zvolíme úrokovou míru odvozenou z dluhopisu s nejkratší možnou splatností, který máme dostupný, tedy 3 měsíce. Další parametry κ, θ, λ, σ odhadujeme tak, aby křivka úrokových měr podle vzorce z Vašíčkova modelu (4.25) proložila body empirické výnosové křivky. K tomu používáme metodu minimalizace součtu čtverců odchylek mezi naměřenými a spočítanými úrokovými mírami podle vzorce (4.25) z Vašíčkova modelu.61 Výnosová křivka kanadských dluhopisů společně s odhadem této výnosové křivky pomocí Vašíčkova modelu je zobrazena na obrázku 6.2. Odhadnuté hodnoty parametrů jsou uvedeny v tabulce 6.2.

4.0%

Obrázek 6.2: Kalibrace Vašíčkova modelu na reálnou výnosovou křivku ●

● ● ● ● ● ●

3.5%

● ● ●

●

3.0%

● ●

2.5%

R(0,t)

● ●

●

Reálné výnosnosti Vašíčkův model

1.5%

2.0%

● ● ●● 0

●

5

10

15

20

t

Zdroj: vlastní konstrukce Na obrázku 6.3 můžeme vidět 10 simulací pohybu úrokových měr podle Vašíčkova modelu s odhadnutými parametry, střední hodnotu a intervaly spolehlivosti 61

viz zdrojový kód v příloze 4


52

Tabulka 6.2: Parametry Vašíčkova modelu r(0) 0.0149 θ

0.0108

κ

0.0983

σ

0.00254

λ 2.085 Zdroj: vlastní konstrukce modelované úrokové míry s danými parametry.62 Červená čárkovaná čára značí parametr θ a vyjadřuje dlouhodobou hladinu úrokové míry, ke které úroková míra směřuje s intenzitou κ. Vidíme, že při použití našich parametrů model předpovídá mírný pokles úrokových sazeb s docela malou volatilitou.

●

1.0%

r(t)

1.5%

2.0%

Obrázek 6.3: Simulace pohybu krátkodobé úrokové míry

0.5%

theta očekávaná hodnota a intervaly spolehlivosti 10 různých simulací

0

1

2

3

4

t

Zdroj: vlastní konstrukce s použitím kódu od [26]

62

viz příloha 5

5


6.4.1

53

Odhad vstupních dat do optimalizace

Pro řešení optimalizační úlohy (4.17) potřebujeme zvolit investiční horizont T , počáteční hodnotu majetku pro investici M0 , požadovanou výši majetku na konci investice M a velikost investice do bezrizikového dluhopisu (se splatností T ). Dále musíme vypočítat kovarianční matici C, vektor E(PˆT ) očekávaných cen dluhopisů v čase T . Jediná hodnota, kterou nám poskytují přímo data je vektor počátečních cen dluhopisů Pˆ0 . Jako investiční horizont jsme už dříve vybrali dobu 5 let. Volba počáteční hodnoty majetku M0 ovlivní pouze absolutní výši počtu dluhopisů v portfoliu, ale jejich poměry zůstanou stejné, proto výběr této hodnoty nemá velký vliv a zvolíme pro jednoduchost M0 = 1. Požadovanou hodnotu majetku na konci investice M , která vyjadřuje při volbě jednotkové počáteční investice celkovou výnosnost za 5 let, zatím ponecháme jako volitelný parametr. Tabulka 6.3: Ceny dluhopisů se splatností t v čase 0, odhady jejich cen v čase T a jejich celkové výnosnosti E(PT (t) )

E(PT (t) ) P0(t)

t

P0(t)

1

0.98459 1.0972225

1.114395

2

0.9673

1.0648100

1.100806

3

0.94284 1.0377727

1.100688

4

0.91474 1.0161315

1.110842

5

0.88465 1.0000000

1.130391

6

0.85071 0.9843681

1.157114

7

0.81596 0.9645583

1.182115

8

0.7826

0.9412409

1.202710

9

0.74889 0.9150493

1.221874

10

0.715

1.239959

0.8865708

Zdroj: vlastní konstrukce Použité dluhopisové stripy mají nominální hodnotu 100 CAD, ale jedním z předpokladů modelu je použití dluhopisů s nominální hodnotou 1. Proto ceny určené ke vstupu do modelu vydělíme nominální hodnotou. Upravené ceny dluhopisů v čase 0 a odhady cen dluhopisů v čase T podle vzorců (4.33) a (4.34) jsou uvedeny v tabulce 6.3. Pro dluhopisy se splatností menší než 5 let označujeme jako cenu dluhopisu přímo hodnotu po reinvestici v čase jejich splatnosti (do dluhopisu


54

se splatností v 5. roce). Třetí sloupec tabulky obsahuje podíly odhadů cen v čase T a počátečních cen dluhopisů a vyjadřuje celkovou očekávanou výnosnost investice do dluhopisu s danou splatností. Kovarianční matice C byla vypočtena dosazením do vzorců (4.35),(4.36) a (4.37):

             C=           

6.4.2

7.7

5.9

4.0

2.1

−2.0 −3.7 −5.2 −6.4

−7.4

5.9

8.2

5.6

2.9

−2.8 −5.2 −7.2 −8.9 −10.3

4.0

5.6

5.2

2.7

−2.6 −4.8 −6.7 −8.3

−9.6

2.1

2.9

2.7

1.7

−1.6 −3.0 −4.2 −5.2

−6.0

−2.0

−2.8

−2.6 −1.6

1.8

3.4

4.7

5.8

6.7

−3.7

−5.2

−4.8 −3.0

3.4

6.3

8.8

10.8

12.5

−5.2

−7.2

−6.7 −4.2

4.7

8.8

12.2

15.2

17.5

−6.4

−8.9

−8.3 −5.2

5.8

10.8

15.2

18.8

21.7

−7.4 −10.3 −9.6 −6.1

6.7

12.5

17.5

21.7

25.2

              · 10−5           

Použití optimalizační úlohy

Máme odvozeny a vypočítány všechny parametry potřebné do optimalizační úlohy a můžeme ji přímo použít. Pro optimalizaci používáme software R, konkrétně funkci solnp z balíčku Rsolnp, která hledá minimum zadané funkce s možností omezení úlohy omezující podmínkou ve tvaru hladké funkce. V základním balíčku R sice také existují optimalizační funkce, ale pro naše potřeby nejsou využitelné, protože funkce optim povoluje použití omezujících podmínek pouze na parametry a ve funkci constrOptim se dají použít pouze omezující podmínky ve tvaru nerovností. Jednou z omezujících podmínek v optimalizační úloze je rovnost očekávané hodnoty portfolia a požadované výše majetku na konci investice M . Protože jsme zvolili majetek na počátku M0 = 1, bude hodnota M značit výši celkového výnosu investice. Parametr M se v optimalizaci rovná lineární kombinaci očekávaných výnosností, které máme uvedeny v tabulce 6.3. Protože máme zatím povolen prodej na krátko a tedy i záporné množství velikosti investice do dluhopisu, můžeme lineární kombinací těchto parametrů dosáhnout téměř libovolných hodnot M . Prakticky ale při investici na 5 let, kdy se snažíme minimalizovat riziko, nemá smysl cílit na menší výnos, než jakého dosahuje dluhopis se splatností 5 let, který je


55

bezrizikový (vzhledem k pohybu úrokových sazeb). Proto volbu M zdola omezíme hodnotou 1.13. Zároveň nemá cenu cílit na přehnaně vysoký výnos, když dluhopis s nejvyšším očekávaným výnosem dosahuje celkového výnosu 1.24, ale zkusíme získat o něco větší. Vytvoříme tedy celkem 4 portfolia s hodnotami M od 1.13 do 1.25. V tabulce 6.4 jsou uvedena množství držených dluhopisů63 (Ni ) pro jednotlivé požadované výnosnosti (M ) společně s reálně dosaženou výnosností takto složeného portfolia (Mr ), odvozenou z cen dluhopisů ke dni 1.12.2013. Reálné výnosnosti přibližně odpovídají požadovaným výnosnostem, spíše však dosahují vyšších hodnot. Problémem ale může být, že poměry držení dluhopisů pro požadované výnosnosti 1.17 až 1.25 jsou přibližně stejné, což nevypadá jako ideální řešení a také vznikají velké krátké i dlouhé pozice (vzhledem ke zvolenému jednotkovému počátečnímu majetku). Také můžeme vidět, že výsledná portfolia neobsahují téměř žádné dluhopisy s menší splatností, než je investiční horizont. Tabulka 6.4: Složení a výnosnosti portfolií s povoleným short sellem M

Mr

N1

N2

N3

N4

N5

N6

N7

N8

N9

N10

1.13

1.127

0

0

0

0

1.05

0.32

-0.25

-0.12 0.019

0.10

1.17

1.184

0

0

0

0.03 -6.88

2.74

9.79

3.64

-2.12

-6.33

1.21

1.241

0

0

0

0

-14.8

5.16

19.8

7.4

-4.26

-12.8

1.25

1.298

0

0

0

0.08 -22.7

7.56

29.9

11.2

-6.40

-19.2

Zdroj: vlastní konstrukce Pro srovnání výnosnosti portfolií zavedeme benchmark, který zvolíme jako investici pouze do bezrizikového dluhopisu (vzhledem k pohybu úrokové míry), tedy do dluhopisu se splatností rovnou investičnímu horizontu 5 let. Na obrázku 6.4 vidíme grafy portfolií s požadovanou výnosností 1.13,1.17,1.21 a 1.25 ve srovnání s benchmarkem. První zmíněné portfolio se svou výnosností v čase velmi blíží benchmarku, protože je z velké části složeno ze stejného dluhopisu. U ostatních portfolií vidíme, že cena v průběhu je velmi volatilní, což je způsobeno právě držením obrovských krátkých i dlouhých pozic. Zkusíme tedy zavést zákaz prodeje na krátko, který by měl zajistit lepší chování modelu a větší praktickou použitelnost.

63

hodnoty menší než 0.01 byly zanedbány


56

Obrázek 6.4: Vývoj ceny portfolií s povoleným prodejem na krátko M=1.17

1.2 1.1 1.0 0.9

cena portfolia

1.08 1.04

portfolio benchmark

1.00

cena portfolia

1.12

1.3

M=1.13

500

1000

1500

0

500

1000

čas (dny)

čas (dny)

M=1.21

M=1.25

1500

1.3 0.9

1.1

cena portfolia

1.3 1.1 0.9

cena portfolia

1.5

0

0

500

1000

1500

0

čas (dny)

500

1000 čas (dny)


1500


6.4.3

57

Optimalizace portfolia při zákazu prodeje na krátko

Oproti situaci s povoleným prodejem na krátko už nemůžeme v portfoliu držet krátké pozice a tedy všechny velikosti investic Ni budou kladné. Lineární kombinací očekávaných výnosností s kladnými koeficienty za podmínky Ni Pi = M0 tedy nemůžeme dosáhnout vyšší výnosnosti, než je maximální očekávaná celková výnosnost jednotlivých dluhopisů uvedených v tabulce 6.3. Stejně tak nemůžeme dosáhnout nižší výnosnosti, než minimální očekávané výnosnosti z dluhopisů. Optimalizační metoda se zakázaným short sellem tedy má řešení pouze v intervalu M ∈ (1.100688, 1.239959). Vytvoříme celkem 7 portfolií s hodnotami M od 1.11 do 1.23. Složení těchto portfolií a jejich reálné celkové výnosnosti jsou uvedeny v tabulce 6.5. Tabulka 6.5: Složení a výnosnosti portfolií se zakázaným short sellem M

Mr

N1

N2

N3

1.11

1.101

0

0

1.13

1.127

0

1.15

1.155

1.17

N4

N5

N6

N7

N8

N9

N10

0.09 1.00

0

0

0

0

0

0

0

0

0.02

1.11

0

0

0

0

0

0.08

0

0

0.28

0.04

0.31 0.45

0

0

0

1.181

0.16

0

0.02 0

0

0

1.01

0

0

0

1.19

1.209

0

0

0

0

0

0

0.76

0.49

0

0

1.21

1.238

0

0

0

0

0

0

0

1.03

0

0.27

1.23

1.264

0

0

0

0

0

0

0

0.35

0

1.02

Zdroj: vlastní konstrukce Oproti výsledkům s povoleným prodejem na krátko už výsledná portfolia obsahují i dluhopisy menších splatností, než délka investičního horizontu. Většina z nich si vystačí pouze se dvěma dluhopisy, ale portfolio s výnosností 1.15 je složeno ze čtyř dluhopisů a portfolio s výnosností 1.17 ze tří. Vidíme, že optimalizační metoda pro vysoké požadované výnosnosti vybírá dluhopisy s dlouhou dobou splatnosti, protože jinak by nemohlo portfolio dosáhnout požadované výnosnosti. Ale zároveň se snaží zahrnout co nejvíce dluhopisů s dobou splatnosti blízkou investičnímu horizontu, které nesou menší úrokové riziko, což dává při minimalizaci rizika smysl. Například dluhopis se splatností 10 let, který má největší kapitálové riziko, vybrala metoda pouze do dvou portfolií s nejvyšší výnosností. Reálná celková výnosnost portfolií ve většině případů opět převyšuje požadovanou výnosnost, což mohlo být způsobeno poklesem úrokových sazeb v průběhu investice. Konkrétně portfolia s požadovanou výnosností 1.17 a větší


58

jsou soustředěna na dluhopisy se splatností větší než 5 let, a jak můžeme vidět na grafu pohybů výnosové křivky 6.1, úrokové míry těchto splatností v době investice docela silně poklesly, což mělo za následek růst ceny jednotlivých dluhopisů a tím pádem i celého portfolia. Naopak portfolia s požadovanou výnosností 1.11 a 1.13 těchto výnosností nedosáhly, protože na počátku drží dluhopisy se splatností menší, než investiční horizont a kvůli poklesu úrokových měr se na portfoliu negativně projevilo reinvestiční riziko. Portfolium s požadovanou výnosností 1.15 obsahuje dluhopisy největšího spektra splatností, ale většina má splatnost vyšší, než investiční horizont a proto portfolium překonalo svou očekávanou výnosnost. Na obrázku 6.5 vidíme ceny všech vytvořených portfolií se zakázaným prodejem na krátko po dobu celé investice. Ceny v průběhu investice jsou mnohem méně volatilní než u portfolií s povoleným prodejem na krátko, protože tato portfolia jsou složena z mnohem menšího množství nakoupených cenných papírů a nedrží tak rozsáhlé krátké a dlouhé pozice jako předchozí portfolia.


59

Obrázek 6.5: Vývoj ceny portfolií se zakázaným prodejem na krátko M=1.13

1.08

cena portfolia

1.00

1.04

1.08 1.04

portfolio benchmark

1.00

cena portfolia

1.12

1.12

M=1.11

500

1000

1500

0

500

1000

čas (dny)

čas (dny)

M=1.15

M=1.17

1500

1.10

cena portfolia

1.00 1000

1500

0

čas (dny)

M=1.19

M=1.21

cena portfolia

1.15 1.10 1.05

500

1000

1500

0

čas (dny)

1.20

cena portfolia

1.10 1.00

500

1000

500

1000 čas (dny)

M=1.23

0

1000

čas (dny)

1.00 0

500

1500

1.00 1.05 1.10 1.15 1.20

500

1.20

0

cena portfolia

1.05

1.10 1.05 1.00

cena portfolia

1.15

1.15

0

1500

čas (dny)


1500


6.5

60

Tvorba portfolia pomocí modelů s pevnou durací

Nyní se zaměříme na modely dluhopisových portfolií s pevnou durací. Na rozdíl od Markowitzova modelu, kde jsme se snažili minimalizovat riziko zároveň s cílením na určitou výnosnost, se u strategií s pevnou durací snažíme udržet výnosnost bezrizikového dluhopisu (s dobou splatnosti rovnou investičnímu horizontu) tím, že cílíme na určitou duraci. Proto výsledky těchto dvou naprosto odlišných přístupů nemůžeme přímo srovnávat. Investiční horizont stanovíme znovu na 5 let a budeme se snažit vytvořit imunizované portfolio, tedy cílíme duraci na dobu investičního horizontu. Vyzkoušíme použití strategií barbell a ladder, a srovnáme je se strategií bullet, kterou považujeme jako benchmark. V tabulce 6.6 jsou uvedena složení všech možných symetrických barbell a ladder portfolií (podle definice Budinskeho) a Macaulayova konvexita C těchto portfolií. B(i) značí symetrické barbell portfolio a L(i) ladder portfolio, kde i je dluhopis s nejnižší splatností zahrnutý v portfoliu. Namísto množství dluhopisů v portfoliu Ni , které používáme jako míru obsažení dluhopisů v portfoliu v předchozím modelu, zde uvádíme jejich váhy wi , kvůli konzistenci s původní wi . specifikací tohoto modelu. Ni se z těchto hodnot dá vyjádřit jednoduše jako P0(i) Tabulka 6.6: Složení portfolií s pevnou durací portfolio C

w1

w2

w3

w4

w5

w6

w7

w8

w9

w10

bullet

30

0

0

0

0

1

0

0

0

0

0

B(4)

31

0

0

0

1/2 0

1/2 0

0

0

0

B(3)

34

0

0

1/2 0

0

0

1/2 0

0

0

B(2)

39

0

1/2

0

0

0

0

0

1/2 0

0

B(1)

46

1/2 0

0

0

0

0

0

0

1/2

0

L(4)

30.7

0

0

0

1/3 1/3 1/3 0

0

0

0

L(3)

32

0

0

1/5 1/5 1/5 1/5 1/5 0

0

0

L(2)

34

0

1/7

1/7 1/7 1/7 1/7 1/7 1/7 0

0

L(1)

36.7

1/9 1/9

1/9 1/9 1/9 1/9 1/9 1/9 1/9

0

Zdroj: vlastní konstrukce Stejně jako předchozí model použijeme tyto strategie na kanadské dluhopisy ze dne 1.12.2008 a naneseme vývoj cen v době investice do grafu. Grafy pohybu cen barbell portfolií můžeme vidět na obrázku 6.6 a cen ladder portfolií na obrázku 6.7.


61

Obrázek 6.6: Vývoj ceny barbell portfolií

500

1000

1.00 1.04 1.08 1.12

1500

0

500

1000

čas (dny)

čas (dny)

B(2)

B(1)

1500

1.00

1.10

cena portfolia

1.10 1.05 1.00

cena portfolia

1.15

0

cena portfolia

1.04

1.08

1.12

B(3)

portfolio benchmark

1.00

cena portfolia

B(4)

0

500

1000

1500

0

čas (dny)

500

1000

1500

čas (dny)

Zdroj: vlastní konstrukce Vidíme, že nejvyšší výnosnost měla portfolia B(1),B(2) a L(3), což můžeme vysvětlit díky známým pohybům výnosové křivky v době investice. Tato portfolia mají ze zkoumaných barbell a ladder portfolií nejvyšší konvexitu a s tím související strukturu splatností dluhopisů, které jsou nejméně soustředěny na jedné splatnosti. Kvůli tomu také nesou větší kapitálové i reinvestiční riziko, než portfolia s nižší konvexitou. V případě zploštění výnosové křivky, které v letech 2008 až 2012 nastalo, je výnos způsobený kapitálovým rizikem větší, než ztráta z rizika reinvestičního, takže v celkové výnosnosti by měla portfolia s vyšší konvexitou dosahovat lepších výsledků, což výsledky potvrdily. Imunizace, tedy udržení výnosnosti na úrovni bezrizikového dluhopisu, se dosáhnout nepodařilo, protože nebyl splněn předpoklad paralelních pohybů výnosové křivky.


62

Obrázek 6.7: Vývoj ceny ladder portfolií

1000

1500

0

500

1000

čas (dny)

čas (dny)

L(2)

L(1)

1500

1.10 1.05 1.00

1.06

cena portfolia

1.12

1.15

500

1.00

cena portfolia

0

cena portfolia

1.08 1.04 1.00

cena portfolia

portfolio benchmark

1.00 1.04 1.08 1.12

L(3)

1.12

L(4)

0

500

1000

1500

0

čas (dny)

500

1000 čas (dny)


1500

Závěr Cílem práce bylo popsat a zanalyzovat různé strategie tvorby dluhopisových portfolií. Uvedli jsme tři velmi rozdílné přístupy ke tvorbě portfolia dluhopisů. Jako zástupce pasivní investiční strategie metodu indexace, která spočívá ve snaze o replikaci výnosů některého z dluhopisových indexů. Další uvedenou metodou je cílení durace portfolia pro jeho imunizaci při zavedení předpokladu určitých pohybů výnosových křivek. A jako nejsložitější techniku popisujeme metodu minimalizace rizika pomocí upraveného Markowitzova modelu za použití Vašíčkova modelu úrokových měr. Poslední dvě uvedené metody jsme se snažili použít na reálných dluhopisech. Podařilo se nám úspěšně aplikovat tyto teoretické modely na reálný soubor dat kanadských dluhopisů z roku 2008 a ukázat reálné výnosnosti takto vytvořených portfolií v době celého investičního horizontu. Za pomoci počátečního tvaru a změn tvaru výnosové křivky v čase jsme vysvětlili některé vlastnosti těchto portfolií. Zjistili jsme, že minimalizace rizika v Markowitzově modelu při povoleném prodeji na krátko není příliš vhodná metoda, protože výsledná portfolia obsahují velké množství cenných papírů držených v krátké a dlouhé pozici. Držení takového množství cenných papírů může být velmi rizikové a hodnota ceny portfolia v čase byla velmi volatilní. Oproti tomu stejná metoda s podmínkou zákazu prodeje na krátko vykazovala docela solidní a dobře interpretovatelné výsledky. Vyzkoušeli jsme také použití modelů s pevnou durací. Ty se vyznačují jednoduchou implementací spočívající v rovnoměrném rozdělení investice do dluhopisů několika vybraných splatností. Mezi těmito modely dosáhlo nejvyšších výnosností portfolio barbell složené s dluhopisů se splatnostmi nejvíce rozptýlenými od investičního horizontu. Cílem použití této metody bylo vytvoření imunizovaných portfolií, což se úplně nepodařilo, protože nebyl splněn předpoklad paralelního posunu výnosové křivky, který je nutný pro správnou funkčnost imunizace. Téměř všechna výsledná portfolia dokázala udržet výnosnost na hladině oče– 63 –

Závěr

64

kávané výnosnosti a spíše tuto hladinu přesahovala. Rozdíly mezi očekávanou a reálnou výnosností jsme dokázali vysvětlit pomocí pohybů výnosové křivky, která v době investice poklesla. Díky tomu rostla cena dluhopisů a vytvořená portfolia, která měla velký podíl v dluhopisech s delší splatností, dokázala z této změny profitovat. Použitelnost modelů jsme ale ověřili pouze na jednom typu dluhopisů v jednom čase. Proto nemůžeme jednoznačně tvrdit, jak se tyto modely budou chovat v praxi. Potvrzení spolehlivého chování modelů by vyžadovalo rozsáhlé testování pro různé trhy, typy dluhopisů a pohyby úrokových sazeb, které je mimo rozsah této diplomové práce. Jako možnost dalšího výzkumu bych také doporučil nahrazení Vašíčkova modelu více sofistikovaným modelem úrokových měr. Použít by se dal například CIR model, který zamezuje vzniku záporné úrokové míry nebo Hull-Whitův model, což je rozšíření Vašíčkova modelu vzniklé nahrazením konstant θ a σ parametry závislými na čase.

Seznam použité literatury [1] AMBROZAITE, Rita. Danish Mortgage Bond Portfolio Optimization Using the Mean-Variance Approach. Copenhagen, 2010. 120 s. Diplomová práce. Copenhagen Business School. [2] BERK, Jonathan a Peter DEMARZO. Corporate Finance. 2nd ed. Boston: Prentice Hall, 2011. ISBN 978-02-7379-216-1. [3] BLAKE, David. Analýza finančních trhů. 1. vyd. Praha: Grada, 1995. 623 s. ISBN 8071692018. [4] BRADA, Jaroslav. Teorie portfolia. Praha: VŠE, 1996. ISBN 80-7079-259-0. [5] BUDINSKÝ, Petr. Modelování dluhopisových portfolií. 1. vyd. Praha: Vysoká škola finanční a správní, 2013, 110 s. Eupress. ISBN 978-807-4080-791. [6] BUREŠ, Jan. Úvod do problematiky výnosových křivek. Dostupné z: http://ksp.vse.cz/KHP/WCMS KHP.nsf/files/5HP501 vynosove krivky pdf zs07/$file/5HP501 vynosove krivky pdf zs07.pdf [7] CIPRA, Tomáš. Praktický průvodce finanční a pojistnou matematikou. 1.vyd. Praha: Nakladatelství HZ, 1995, 320 s. ISBN 80-901-9180-0. [8] CHANDRASEKHAR, Rohan. Fixed-income Portfolio Optimization. Austin, 2009. 68 s. Diplomová práce. The University of Texas at Austin. [9] ELTON, Edwin J., Martin J. GRUBER, Stephen J. BROWN a William N. GOETZMANN. Modern Portfolio Theory and Investment Analysis. 6th ed. Hoboken, NJ: J.Wiley & Sons, 2003. ISBN 04-714-2856-6. [10] FABOZZI, Frank J., Lionel MARTELLINI a Philippe PRIAULET. Advanced Bond Portfolio Management: Best Practices in Modeling and Strategies. Hoboken, NJ: J.Wiley & Sons, 2006, 558 s. ISBN 978-047-1678-908. – 65 –

Seznam použité literatury

66

[11] FABOZZI, Frank J. Bond Portfolio Management. 2. ed. Hoboken, NJ: John Wiley & Sons, 2001. ISBN 18-832-4936-8. [12] FABOZZI, Frank. J. Bond Markets, Analysis and Strategies. 4th ed. Upper Saddle River, NJ: Prentice Hall, 1999. ISBN 978-0130402660. [13] FABOZZI, Frank J, Frank J FABOZZI. Fixed Income Analysis. 2nd ed. Hoboken, N.J.: Wiley, 2007. CFA Institute Investment Series. ISBN 04-700-6919-8. [14] GLADIŠ, Daniel. Naučte se investovat. 2. rozš. vyd. Praha: Grada, 2005, 174 s. ISBN 80-247-1205-9. [15] KOREŇOVÁ, Lucia. Řízení portfolia dluhopisů. Brno, 2010. Diplomová práce. Masarykova univerzita. [16] KŘIVÁNKOVÁ, Lenka. Wienerův proces. Brno, 2009. Diplomová práce. Masarykova univerzita. [17] MARKOWITZ, Harry. Portfolio Selection. The Journal of Finance. Wiley, 1952, roč. 7, č. 1, s. 77-91. [18] MARTELLINI, Lionel, Philippe PRIAULET a Stéphane PRIAULET. Fixedincome Securities: Valuation, Risk Management, and Portfolio Strategies. Hoboken, N.J.: Wiley, 2003, 631 s. ISBN 04-708-5277-1. [19] POLÁCH, Jiří, Josef DRÁBEK a POLÁCH JR. Reálné a finanční investice. Praha: C. H. Beck, 2012, 263 s. Beckova edice ekonomie. ISBN 978-80-7400-436-0. [20] PEČINKOVÁ, Lucie. Výnosové křivky a jejich využití ve finanční praxi. Brno, 2012. Bakalářská práce. Masarykova Univerzita. [21] PUHLE, Michael. Bond Portfolio Optimization. Passau, 2007. 137 s. Disertační práce. University of Passau. [22] REVENDA, Zbyněk. Peněžní ekonomie a bankovnictví. Praha: Management Press, 2012, 423 s. ISBN 978-80-7261-240-6. [23] SHARPE, William a Alexander GORDON. Investice. Praha: Victoria Publishing, 1994. ISBN 80-85605-47-3. [24] Durace a její využití při imunizaci dluhopisového portfolia SVOBODOVÁ, Marie. Durace a její využití při imunizaci dluhopisového portfolia. Olomouc, 2010. Bakalářská práce. Univerzita Palackého.

Seznam použité literatury

67

[25] VASICEK, Oldrich. An Equilibrium Characterization of The Term Structure. Journal of Financial Economics. 1977, roč. 5, č. 2, s. 177-188. DOI: 10.1016/0304-405X(77)90016-2. Dostupné z: http://linkinghub.elsevier.com/retrieve/pii/0304405X77900162 [26] Fun with the Vasicek Interest Rate Model. In: R-bloggers [online]. 2010 [cit. 2014-05-01]. Dostupné z: http://www.r-bloggers.com/fun-with-the-vasicekinterest-rate-model/ [27] WILHELM, Jochen. Fristigkeitsstruktur und Zinsänderungsrisiko : Vorüberlegungen zu einer Markowitz-Theorie des Bond-Portfolio-Management. Zeitschrift für betrieb-swirtschaftliche Forschung. 1992, č. 44, s. 209-246. [28] Zákon č. 190/2004 Sb., o dluhopisech

Přílohy Příloha 1 Zdrojový kód výpočtu ceny a spotové úrokové míry ve Vašíčkově modelu:

#R(nekonečno) Rn<-function(k,theta,sigma,lambda) { theta + lambda*sigma/k - (1/2)*(sigma/k)ˆ2 } #B(t,T) B<-function(t,T,k) { B=1/k*(1-exp(-k*(T-t))) return(B) } #A(t,T) A<-function(t,T,k,theta,sigma,lambda) { Rn=Rn(k,theta,sigma,lambda) B=B(t,T,k) A=Rn*(B-(T-t))-sigmaˆ2/(4*k)*Bˆ2 return(A) } #R(t,T) R<-function(t,T,k,theta,sigma,rt,lambda) { B=B(t,T,k) A=A(t,T,k,theta,sigma,lambda) yield=-(A-B*rt)/(T-t) if(T[1]==t) { yield[1]=rt } return( yield ) – 68 –

Přílohy

69

} # P(t,T) P<-function(t,T,k,theta,sigma,rt,lambda) { P = exp(A(t,T,k,theta,sigma,lambda)-B(t,T,k)*rt) return(P) }

Příloha 2 Zdrojový kód výpočtu vstupních parametrů optimalizace podle upraveného Markowitzova modelu: #vstupní parametry do optimalizace: #E_t(r(T)) Er<-function(t,T,k,theta) { out=r(t)*exp(-k*(T-t))+theta*(1-exp(-k*(T-t))) return(out) } #var_t(r(T)) varr<-function(t,T,k,sigma) { out=sigmaˆ2*((1-exp(-2*k*(T-t)))/(2*k)) return(out) } #cov_t(r(T),r(s)) covrr<-function(t,T,s,k,sigma) { out=sigmaˆ2*((1-exp(-2*k*(min(T,s)-t)))/(2*k)) return(out) } #E(P(t,T)) E1 <- function(t,T,k,theta,sigma,lambda) { out=exp(A(t,T,k,theta,sigma,lambda)-B(t,T,k)*Er(0,t,k,theta) +1/2*B(t,T,k)ˆ2*varr(0,t,k,sigma)) return(out) }

Přílohy

70

#E(1/P(t,T)) E2 <- function(t,T,k,theta,sigma,lambda) { out=exp(-A(t,T,k,theta,sigma,lambda)+B(t,T,k)*Er(0,t,k,theta) +1/2*B(t,T,k)ˆ2*varr(0,t,k,sigma)) return(out) } #cov(P(t,T),P(t,s)) cov1<-function(t,T,s,k,theta,sigma,lambda) { out= E1(T,t,k,theta,sigma,lambda)*E1(T,s,k,theta,sigma,lambda) *(exp(B(T,t,k)*B(T,s,k)*varr(0,T,k,sigma))-1) return(out) } #cov(1/P(t,T),1/P(s,T)) cov2<-function(t,T,s,k,theta,sigma,lambda) { out=E2(t,T,k,theta,sigma,lambda)*E2(s,T,k,theta,sigma,lambda) *(exp(B(t,T,k)*B(s,T,k)*covrr(0,t,s,k,sigma))-1) return(out) } #cov(1/P(t,T),P(T,s)) cov3<-function(t,T,s,k,theta,sigma,lambda) { out=E2(t,T,k,theta,sigma,lambda)*E1(T,s,k,theta,sigma,lambda) *(exp(-B(t,T,k)*B(T,s,k)*covrr(0,t,T,k,sigma))-1) return(out) } #tvorba kovarianční matice n=10 T=5 u = 1:(n-1)ˆ2 C=matrix(u, n-1,n-1) K=C #první kvadrant for (i in 1:(n-T)) { for (j in 1:(n-T)) { C[i,j] = cov2(i,T,j,k,theta,sigma,lambda) }

Přílohy } #druhý kvadrand for (i in 1:(n-T)) { for (j in T:(n-1)) { C[i,j] = cov3(i,T,j+1,k,theta,sigma,lambda) } } #třetí kvadrant for (i in T:(n-1)) { for (j in 1:(n-T)) { C[i,j] = cov2(j,T,i+1,k,theta,sigma,lambda) } } #čtvrtý kvadrant for (i in T:(n-1)) { for (j in T:(n-1)) { C[i,j] = cov1(j+1,T,i+1,k,theta,sigma,lambda) } } #tvorba korelační matice for (i in 1:(n-1)) { for (j in 1:(n-1)) { K[i,j] = C[i,j]/sqrt(C[i,i]*C[j,j]) } }

Příloha 3 Zdrojový kód výpočtů durací a konvexit: #Macaulayova durace Dur<-function(n,F,C,y){ A=0 for (i in 1:n) { A=A+i*C/(1+y)î } B=n*F/(1+y)ˆn A1=0

71

Přílohy for (i in 1:n) { A1=A1+C/(1+y)î } B1=F/(1+y)ˆn return((A+B)/(A1+B1)) } #Macaulayova konvexita Con<-function(n,F,C,y){ A=0 for (i in 1:n) { A=A+i*(i+1)*C/(1+y)î } B=n*(n+1)*F/(1+y)ˆn A1=0 for (i in 1:n) { A1=A1+C/(1+y)î } B1=F/(1+y)ˆn return((A+B)/(A1+B1)) }

#Modifikovaná durace MDur<-function(n,F,C,y){ return(Dur(n,F,C,y)/(1+y)) } #Modifikovaná konvexita MCon<-function(n,F,C,y){ return(Con(n,F,C,y)/(1+y)ˆ2) }

Příloha 4 Zdrojový kód odhadu parametrů Vašíčkova modelu: #t...vektor splatností

72

Přílohy

73

#y...vektor úrokových měr daných splatností r0=y[1] #test s logaritmem Rexp<-function(t,T,k,theta,sigma,rt,lambda) { theta=exp(theta) sigma=exp(sigma) k=exp(k) R(t,T,k,theta,sigma,rt,lambda) } #parametry: k,theta,sigma,lambda start=c(log(0.5),log(0.0001),log(0.001),0) minf<-function(x){ #x=exp(x) err=(y-Rexp(0,t,x[1],x[2],x[3],r0,x[4])) SSE=sum(err*err) return(SSE) }

par=optim(par=start,fn=minf) k=exp(par$par[1]) theta=exp(par$par[2]) sigma=exp(par$par[3]) lambda=par$par[4]

Příloha 5 Zdrojový kód simulace pohybu úrokové míry pomocí Vašíčkova modelu64 : ## simulate short rate paths n <- 10 T <- 5

# MC simulation trials # total time

m <- 255

# subintervals

dt <- T/m

# difference in time each subinterval

64

převzato ze zdroje [26]

Přílohy

r <- matrix(0,m+1,n)

74

# matrix to hold short rate paths

r[1,] <- r0 for(j in 1:n){ for(i in 2:(m+1)){ dr <- k*(theta-r[i-1,j])*dt + beta*sqrt(dt)*rnorm(1,0,1) r[i,j] <- r[i-1,j] + dr } } ## plot paths t <- seq(0, T, dt) rT.expected <- theta + (r0-theta)*exp(-k*t) rT.stdev <- sqrt( betaˆ2/(2*k)*(1-exp(-2*k*t))) matplot(t, r[,1:10], type=”l”, lty=1, ylab=”r(t)”,yaxt=”n”) abline(h=theta, col=”red”, lty=2) lines(t, rT.expected, lty=2) lines(t, rT.expected + 2*rT.stdev, lty=2) lines(t, rT.expected - 2*rT.stdev, lty=2) legend(0,0.008,c(”theta”,”očekávaná hodnota a intervaly spolehlivosti”,”10 různých simulací”) , lty=c(2,2,1),col=c(”red”,”black”,”black”)) points(0,r0) yticks=axTicks(2) axis(side=2,at=yticks,labels=paste(format(100*yticks,digits=3) ,”%”,sep=””))

Příloha 6 Zdrojový kód minimalizace rizika v upraveném Markowitzově modelu #počáteční majetek M0=1 #vektor cen na počátku P0=c(0.98459,0.9673,0.94284,0.91474,0.88465,0.85071,0.81596,

Přílohy 0.7826,0.74889,0.715) #vektor ocekavanych cen EP=c() for (i in 1:4) { EP<-c(EP,E2(i,5,k,theta,sigma,lambda)) } EP<-c(EP,1) for (i in 6:10) { EP<-c(EP,E1(5,i,k,theta,sigma,lambda)) } #minimalizace s povoleným short sellem min_short<-function(P0,EP,C,M0,M){ start=rep(0.1,10) minf<-function(x){ return((1/2)*x[c(1,2,3,4,6,7,8,9,10)]%*%C%*% x[c(1,2,3,4,6,7,8,9,10)]) } eqf<-function(x){ f1=x%*%P0 f2=x%*%EP return(c(f1,f2)) } N=solnp(pars=start,fun=minf,eqfun=eqf,eqB=c(M0,M)) w=N$pars return(w) } #minimalizace se zakázaným short sellem min_long<-function(P0,EP,C,M0,M){ start=rep(0.1,10) minf<-function(x){ return((1/2)*x[c(1,2,3,4,6,7,8,9,10)]%*%C%*% x[c(1,2,3,4,6,7,8,9,10)]) } eqf<-function(x){ f1=x%*%P0 f2=x%*%EP return(c(f1,f2))

75

Přílohy

76

} N=solnp(pars=start,fun=minf,eqfun=eqf,eqB=c(M0,M),LB=rep(0,10)) w=N$pars return(w) }

MASARYKOVA UNIVERZITA PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA ÚSTAV MATEMATIKY A STATISTIKY. Diplomová práce BRNO 2014 MARTIN CHVÍLA

Recommend Documents