ZÁKLADY STATISTIKY A FINANČNÍ MATEMATIKY

ZÁKLADY STATISTIKY A FINANČNÍ MATEMATIKY

Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro niţší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - vyuţití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu

Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky

Prostějov 2010

2

Základy statistiky a finanční matematiky

Úvod Vytvořený výukový materiál pokrývá předmět matematika, která je vyučována v osnovách a tematických plánech na gymnáziích nižšího a vyššího stupně. Mohou ho však využít všechny střední a základní školy, kde je vyučován předmět matematika, a které mají dostatečné technické vybavení a zázemí.

Cílová skupina: Podle chápání a schopností studentů je stanovena úroveň náročnosti vzdělávacího plánu a výukových materiálů. Zvláště výhodné jsou tyto materiály pro studenty s individuálním studijním plánem, kteří se nemohou pravidelně zúčastňovat výuky. Tito studenti mohou s pomocí našich výukových materiálů částečně kompenzovat svou neúčast ve vyučovaném předmětu matematika, formou e-learningového studia.


3

Obsah Procenta ...................................................................................................................................... 6 Co je procento ........................................................................................................................ 6 Důleţité pojmy: ...................................................................................................................... 7 Výpočet procentové části ( č ) ................................................................................................ 8 Výpočet procentové části Varianta A ................................................................................. 9 Výpočet procentové části Varianta B ............................................................................... 11 Výpočet procentové části Varianta C ............................................................................... 13 Výpočet základu - celku ( z ): ............................................................................................... 15 Výpočet základu – celku Varianta A ................................................................................ 16 Výpočet základu – celku Varianta B ................................................................................ 18 Výpočet základu – celku Varianta C ................................................................................ 20 Výpočet počtu procent ( p ): ................................................................................................. 22 Výpočet počtu procent Varianta A ................................................................................... 23 Výpočet počtu procent Varianta B ................................................................................... 25 Výpočet počtu procent Varianta C ................................................................................... 27 Souhrnné příklady k procvičení ........................................................................................... 29 Promile ..................................................................................................................................... 31 Co je promile ........................................................................................................................ 31 Příklady pouţití promile: ...................................................................................................... 32 Promile Varianta A........................................................................................................... 33 Promile Varianta B ........................................................................................................... 35 Promile Varianta C ........................................................................................................... 37 Úroky ........................................................................................................................................ 39 Úroky Varianta A ............................................................................................................. 40 Úroky Varianta B ............................................................................................................. 42 Úroky Varianta C ............................................................................................................. 44

4


Základy statistiky ..................................................................................................................... 47 Základní pojmy .................................................................................................................... 48 Četnost, relativní četnost ...................................................................................................... 49 Grafické znázornění řešení statistické úlohy – statistické diagramy.................................... 50 Četnost, relativní četnost, statistické diagramy Varianta A ............................................. 53 Četnost, relativní četnost, statistické diagramy Varianta B ............................................. 57 Četnost, relativní četnost, statistické diagramy Varianta C ............................................. 65 Aritmetický průměr, modus a medián .................................................................................. 70 Aritmetický průměr, modus a medián Varianta A ........................................................... 73 Aritmetický průměr, modus a medián Varianta B ........................................................... 75 Aritmetický průměr, modus a medián Varianta C ........................................................... 77 Souhrnné příklady k procvičení ........................................................................................... 80 Přílohy: ................................................................................................................................. 95 Příloha č. 1: Počet obyvatel v městech ČR k 31. 12. 2004 .............................................. 96 Příloha č. 2: Věkové sloţení obyvatelstva ....................................................................... 97 Příloha č. 3: Země – základní údaje ................................................................................. 98 Příloha č. 4: Klimatické hodnoty v roce 2008 .................................................................. 99 Příloha č. 5: Ţáci čtyřletých gymnázií ........................................................................... 100 Příloha č. 6: Přírůstky a úbytky obyvatelstva od roku 1970 do roku 2008 .................... 101 Příloha č. 7: Porodnost a úmrtnost v ČR od r. 1970 do r. 2008 ..................................... 102 Příloha č. 8: Sňatkovost a rozvodovost v ČR od r. 1970 do r. 2008 .............................. 103 Příloha č. 9: Mezikrajové srovnání za 1. - 3. čtvrtletí 2006 ........................................... 104 Příloha č. 10: Mezinárodní srovnání v roce 2004 .......................................................... 104 Příloha č. 11: Školní ročenka 2005.pdf .......................................................................... 104 Základy pravděpodobnosti ..................................................................................................... 105 Základní pojmy .................................................................................................................. 105 Základy finanční matematiky ................................................................................................. 108


5

Základní pojmy .................................................................................................................. 108 Jednoduché úrokování ........................................................................................................ 110 Sloţené úrokování .............................................................................................................. 112 Kombinované úrokování .................................................................................................... 114 Úrokování se zdaněním ...................................................................................................... 115 Úrokování se zdaněním Varianta A ............................................................................... 115 Úrokování se zdaněním Varianta B ............................................................................... 119 Různá úrokovací období..................................................................................................... 119 Spoření, pravidelné vklady ................................................................................................. 120 Úrokování se zdaněním Varianta C ............................................................................... 123 Dluhy a úvěry ..................................................................................................................... 123 Valuty, devizy, převody měn ............................................................................................. 126 Valuty, devizy, převody měn Varianta A ....................................................................... 128 Valuty, devizy, převody měn Varianta B ....................................................................... 131 Literatura: ........................................................................................................................... 134


6

Procenta Co je procento Procento znamená setinu daného celku:

1% celku

1 celku 0,01celku 100

Např.: 10 100

1 10

0,1

20%

30 100

3 10

0,3

50%

10%

30%

100%

100 1 100

20 100

1 5

0,2

25%

50 100

1 2

0,5

75%

1%

1 100

25 100

1 4

0,25

75 100

3 4

0,75

0,01


Důleţité pojmy: základ (celek) -

z

stonásobek části, která odpovídá 1 %, tj. 100 % procentová část (část celku) -

č

část základu, která odpovídá určitému počtu procent počet procent -

p

určuje, kolikrát se jedna setina celku „vejde“ do jeho části

7

8


Výpočet procentové části ( č ) 100% ............................ z p % .............................. č

č

z p 100

Nebo pomocí jednoho procenta: 100% ............................ z z 1% ................................ 100 č ( p%) ........................ p

z 100

p z 100

Příklad:

Zboţí v prodejně stojí 2 000 Kč, o kolik korun bude levnější po slevě o 25%?

Řešení:

z … 2 000 Kč, č …hledáme, p … 25

Zboţí bude levnější o 500 Kč.

č

25

2 000 100

500


9

Výpočet procentové části Varianta A Příklady: 1) Určete zpaměti: a) 1 % z čísla 2 500 1% odpovídá jedné setině celku

zadané číslo stačí vydělit stem

b) 20 % z 600 l 20 % celku je

20 100

2) Vypočtěte 22 % z 56 22 56 12,32 100

Výsledky řešení: 1) a) 25 b) 120 l 2) 12,32

Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C

2 10

2 z 600 10

2 600 120 10

2 500 100

25

10


Příklady k procvičení: 1) Určete zpaměti: a) 1 % z čísel: i) 120

[1,2]

ii) 2 000 050 [20 000,5] iii) 12,5

[0,125]

iv) 0,0025

[0,000 025]

v) 3

3 4

vi) 150 374

[0,0375] [1 503,74]

b) 10 % 600 m2 [60 m2] c) 30 % z 600 kg [180 kg] d) 50 % z 80 km [40 km] e) 75 % z 80 ha [60 ha] f) 25 % z 80 g

[20 g]

2) Určete jedno procento hodnot: a) 150 kg

[1,5 kg]

b) 890 Kč

[8,9 Kč]

c) 2 564 m

[25,64 m]

d) 12 000 s

[120 s]

e) 0,6 g

[0,006 g]

f) 0,02 km

[0,000 2 km = 0,2 m]

3) Vypočtěte: a) 0,4 % z 64

[0,256]

b) 0,7 % ze 158 [1,106] c) 1,7 % z 0,12 [0,002 04] d) 56 % z 280

[156,8]

e) 95 % z 1,54

[1,463]

f) 120 % z 60

[72]

g) 250 % z 18

[45]

h) 1 200 % z 6

[72]

4) Vypočítejte, kolik sekund odpovídá jednomu procentu jedné hodiny. [36 s]


Výpočet procentové části Varianta B Příklady: 1) Vypočtěte 70 % ze 70 3 100 5

7 3 10 5

3 , výsledek vyjádřete ve tvaru zlomku. 5

21 50

2) Zvětšete číslo 56 o 22 %. Zvětšit dané číslo o 22% znamená určit 100% + 22% = 122% daného čísla: 122 56 100

6 832 100

68,32

3) Zmenšete číslo 56 o 22 %. Zmenšit dané číslo o 22% znamená určit 100% – 22% = 78% daného čísla: 78 56 100

4 368 100

Výsledky řešení: 1)

21 50

2) 68,32 3) 43,68


43,68

11

12


Příklady k procvičení: 1) Určete jedno procento hodnot: a)

12 7

12 700

b)

20 7

1 35

c)

45 2

9 40

d)

7 5

7 500

2) Vypočtěte, výsledek vyjádřete ve tvaru zlomku: a) 50 % z b) 20 % ze c) 25 % z d) 75 % ze

1 5 4 5 5 7 4 5

1 10 4 25

5 28 3 5

3) Zvětšete číslo: a) 280 o 56 %

[436,8]

b) 1,54 o 95 %

[3,003]

c) 60 o 120 %

[132]

d) 64 o 0,4 %

[64,256]

e) 158 o 0,7 %

[159,106]

f) 0,12 o 1,7 % [0,12204] g) 18 o 250 %

[63]

h) 6 o 1 200 %

[78]

4) Zmenšete číslo: a) 280 o 56 %

[263,2]

b) 1,54 o 95 %

[0,077]

c) 158 o 0,7 %

[156,894]

d) 0,12 o 1,7 % [0,117 96]


13

Výpočet procentové části Varianta C Příklad: Na vkladní kníţku s roční úrokovou mírou 3,5% jsme uloţili 150 000 Kč. Kolik na ní bude po připsání úroku na konci roku? Kolik na ní bude ještě po odečtení 15% daně ze zisku? Řešení: Úrok, který bude přičten na konci roku odpovídá 3,5% vkladu 3,5 150 000 3,5 1500 5 250 100 15 5 250 787,5 100

5 250 787,5

150000 5 250 155250

4 462,5

150000 4 462,5 154462,5 Úrok je tedy 5 250 Kč, po přičtení ke vkladu získáme částku 155 250 Kč. Pokud odečteme daň ze zisku (tj. daň ze získaného úroku), zbude úrok 4 462,50 Kč a s původním vkladem je konečná částka 154 462,20 Kč.

Výsledek řešení: Po připsání úroku na konci roku bude na vkladní knížce 155 250 Kč a po odečtení úroku 154 462,20 Kč.


14


Příklady k procvičení: 1) Ve firmě je zaměstnáno 1 500 zaměstnanců. V současné době je jich 5% na dovolené. Kolik zaměstnanců je na dovolené a kolik jich nemá dovolenou? [75 zaměstnanců má a 1 425 nemá dovolenou] 2) Soutěţe se zúčastnilo 60% studentů školy. Kolik se soutěţe zúčastnilo a kolik ne, jestliţe na škole je celkem 750 studentů? [450 se zúčastnilo a 300 ne] 3) Televizor stál 15 730 Kč a byl zlevněn o 15%. Jaká je jeho nová cena? [13 370,50 Kč] 4) Klíčivost semen v balíčku je 88%. Kolik rostlinek vzešlo, je-li v balíčku 150 semínek? [132]


Výpočet základu - celku ( z ): Trojčlenkou p % .............................. č

100% ............................ z

z

č 100 p

Nebo pomocí jednoho procenta:

p % ............................. č

č 1% ................................ p č 100% ............................ p 100 Příklad:

Zboţí v prodejně zlevnili o 500 Kč, coţ odpovídá 25% původní ceny. Jaká byla původní cena zboţí?

Řešení:

z … hledáme, č …500 Kč, p … 25

Původní cena zboţí byla 2 000 Kč.

z

500 100 2 000 25

15


16

Výpočet základu – celku Varianta A Příklad: 1) Určete zpaměti základ, z něhoţ: a) 20% je 500 b) 20% je 2,5 2) Vypočítejte základ, z něhoţ 27% je 4 860. Řešení: 1) Základ určíme pomocí jednoho procenta: a)

20% .............. 500 1% .................. 25

zadanou část vydělíme počtem procent

100% ......... 2 500

výsledek vynásobíme stem

b) protoţe víme, ţe zadanou část budeme dělit počtem procent a násobit stem, můţeme uvedený postup provést také v opačném pořadí: nejdříve zadanou část vynásobíme stem (získáme místo desetinného čísla číslo, které se zpaměti dělí snáz):

2,5 100 : 20 250 : 20 25 : 2 12,5 2) Pouţijeme postup uvedený v předchozím příkladě: 4 860 100 180 100 18 000 27

Příklad:

Výsledky řešení:

Varianta A

1)

Varianta B

a) 2 500

Varianta C

b) 12,5 2) 18 000


Příklady k procvičení: 1) Určete zpaměti základ, z něhoţ: a) 1 % je 7

[700]

b) 2% je 7

[350]

c) 5% je 45

[900]

d) 7% je 420

[6 000]

e) 10% je 150

[1 500]

f) 20% je 12

[60]

g) 30% je 60

[200]

h) 50% je 3,5

[7]

i) 75% je 300

[400]

j) 40% je 20

[50]

k) 90% je 9

[10]

l) 120% je 24

[20]

m) 150% je 30

[20]

n) 35% je 70

[200]

2) Vypočítejte základ, z něhoţ: a) 2,5% je 37,5

[1 500]

b) 34% je 57,8

[170]

c) 70% je 0,35

[0,5]

d) 23% je 2,875

[12,5]

e) 210% je 147

[70]

f) 0,4% je 0,192

[48]

g) 12,5% je 44,725

[357,8]

h) 29,3% je 4,395

[15]

i) 89,1% je 31 025,511 [34 821] j) 48% je 262,08

[546]

k) 117% je 299,683 8

[256,14]

l) 156% je 74,053 2

[47,47]

m) 14,9% je 3,829 3

[25,7]

n) 0,25% je 0,15

[0,6]

o) 0,09% je 0,4 5

[500]

p) 98,6% je 34,017

[34,5]

17

18


Výpočet základu – celku Varianta B Příklad: Vypočítejte základ, z něhoţ 30% je 1 den, 19 hodin a 12 minut. Řešení: Nejdříve si 1 den, 19 hodin a 12 minut převedeme - například na hodiny: 12 minut =

12 60

0,2 hodin

19 hodin 1 den = 24 hodin Dohromady:

43,2 hodin

Základ určíme pomocí jednoho procenta: 30% .................................. 43,2 hodin 1% .................................... 1,44 hodin

zadanou část vydělíme počtem procent

100% ................................. 144 hodin

výsledek vynásobíme stem

144 hodin =

144 24

6 dnů

Příklad:

Výsledek řešení:

Varianta A

Základ je 144 hodin = 6 dnů.

Varianta B Varianta C


19

Příklady k procvičení: 1) Vypočítejte základ, z něhoţ: a) 0,52% je 2,6 m

[500 m]

b) 39% je 8 424 minut [21 600 minut = 360 hodin = 15 dnů] c) 115% je 1 725l

[1 500 l]

d) 64% je 5,12 ha

[8 ha]

e) 13% je 78 km

[600 km]

f) 5,9% je 2,36 cm2

[40 cm2]

g) 58% je 8 hodin a 42 minut h) 235% je20,21 g

[15 hodin]

[8,6 g]

2) Na výrobní lince se za směnu vyrobilo 522 výrobků, coţ bylo 116% průměrné výroby. Jaká byla průměrná výroba této linky na směnu? [Na lince se za směnu vyrobilo průměrně 450 výrobků.] 3) Na parkovišti bylo 544 vozů a kapacita parkoviště tak byla vyuţita na 68%. Jaká byla kapacita parkoviště?

[Kapacita parkoviště byla 800 vozů.]

20


Výpočet základu – celku Varianta C Příklad: 1) Hokejový brankář během zápasu chytil 39 střel a měl úspěšnost cca 95,27%. Kolik střel bylo vysláno na jeho branku během zápasu? 2) Na rovném úseku trati zvýšil vůz rychlost o 15% na 95 km/h. Jaká byla jeho původní rychlost? Řešení: 1) Trojčlenkou: 95,27% ......................... 39 100% ............................ z

z

39 100 95,27

40,93628

2) Zvýšením rychlosti o 15% je výsledná rychlost vozu 115% rychlosti původní 115% ............................ 95 km/h 100% ............................ z z

Příklad:

95 100 115

82,60869


Varianta A

1) Na brankáře bylo vysláno 41 střel.

Varianta B

2) Původní rychlost vozu byla přibliţně 82,6 km/h.

Varianta C


21

Příklady k procvičení: 1) Soutěţe se zúčastnilo 102 ţáků, coţ odpovídalo 68% z celkového počtu v ročníku. Kolik ţáků bylo v ročníku celkem?

[150 ţáků]

2) Ve třídě onemocnělo 5,88% ţáků a chybí dva. Kolik jich je ve třídě celkem?

[34 ţáků]

3) Ve škole je 378 dívek, coţ odpovídá 56% z celkového počtu všech studujících. Kolik jich studuje na této škole?

[675 ţáků]

4) Klíčivost semen je 67%. Kolik jich bylo zaseto, jestliţe vzešlo 402 rostlinek? [600 semen] 5) Hmotnost výrobku bez obalu je 13,2 kg. Hmotnost obalu je 2% z celkové váhy. Kolik váţí celý výrobek?

[15,5 kg]

6) Ztráty hmotnosti při tepelném zpracování suroviny činí 13%. Kolik kilogramů suroviny potřebujeme pro výrobu 33,8 kg výrobku?

[260 kg]

22


Výpočet počtu procent ( p ): Trojčlenkou: 100% ............................ z

p % ............................. č p

100 č z

Nebo pomocí jednoho procenta: 100% ............................ z z 1% ................................ 100

p % ............................. č :

Příklad:

z č 100 100 z

Zboţí v prodejně stálo 2 000 Kč. O kolik procent bylo zlevněno, je-li jeho současná cena 1 500 Kč?

Řešení:

z … 2 000 Kč, č …2 000 – 1 500 = 500, p … hledáme

p 100

500 2 000

25

Zboţí bylo zlevněno o 25 % původní ceny.


Výpočet počtu procent Varianta A Příklady: 1) Určete zpaměti, kolik procent je 500 z 10 000. 2) Vypočítejte, kolik procent je 2,679 z 8,93. Řešení: 1) Počet procent vyjadřuje, kolikrát se jedna setina celku „vejde“ do jeho části – v tomto případě je to: ? 100

? č 10 000 500, tedy také – kolik setin je podíl ? 100 z

500 10 000

500 10 000

5 100

2) Pomocí trojčlenky: 100% ................................ 8,93

p % ................................. 2,679

p


2,679 100 30 8,93

Výsledky řešení: 3) 5% 4) 30%

5%.

23

24


Příklady k procvičení: 1) Určete zpaměti, kolik procent je: a) 10 ze 100

[10%]

b) 6 z 60

[10%]

c) 10 ze 40

[25%]

d) 20 z 1000

[2%]

e) 150 z 200

[75%]

f) 200z 2 000

[10%]

g) 200 ze 4 000 [5%] h) 50 z 2 000

[2,5%]

i) 50 ze 400

[12,5%]

j) 3 ze 75

[4%]

k) 9 z 10

[90%]

l) 90 ze 100

[90%]

m) 2 z 5

[40%]

n) 45 z 90

[50%]

2) Vypočtěte, kolik procent je: a) 0,2 z 0,5

[40%]

b) 1,5 z 15

[10%]

c) 15 z 1,5

[1 000%]

d) 15,84 z 396

[4%]

e) 0,56 ze 7

[8%]

f) 75,33 z 81

[93%]

g) 330,72 z 1 248

[26,5%]

h) 9,705 z 64,7 [15%] i) 205 z 326

[63%]

j) 146,3 ze 154 [95%] k) 1,35 z 15

[9%]

l) 0,497 z 0,7

[71%]

m) 183,05 z 523 [35%] n) 30,24 z 11 200 o) 5,46 ze 78

[0,27%]

[7%]

p) 553,66 ze 2 356

[23,5%]


Výpočet počtu procent Varianta B Příklady: 1) Vypočtěte, kolik procent je 2 520 dm3 ze 12 m3. 2) Vypočtěte, kolik procent je

2 z 5. 5

Řešení: 1) Pomocí trojčlenky: 100% .................. 12 m3=12 000 dm3

p % ................................ 2 520 dm3 p

2 520 100 21 12 000

2) Pomocí vzorce p

Příklad:

č 100 z


Varianta A

1) 21%

Varianta B

2) 8%

Varianta C

p

2 5 100 5

2 100 25

2

100 25

2 4

8

25

26


Příklady k procvičení: 1) Vypočtěte, kolik procent je: a) 255 cm ze 3 m

[75%]

b) 900 m z 5 km

[18%]

c) 1 815 g z 1,5 kg

[121%]

d) 24 minut ze 2 hodin [20%] e) 5 hl z 250 l

[200%]

f) 21,6 mm2 ze 72 cm2 [0,3%] g) 7,35 cm z 10 m

[73,5%]

2) Vypočtěte, kolik procent je: a)

1 1 z 16 4

[25%]

b)

2 ze 4 5

[10%]

c)

3 15 z 2 4

[40%]

d)

1 5 z 2 3

[30%]

e)

3 3 ze 4 2

[50%]

1 2

[60%]

f) 0,3 z


27

Výpočet počtu procent Varianta C Příklady: Honza má v peněţence 4 koruny, 10 dvoukorun, 6 pětikorun, 3 desetikoruny, 5 dvacetikorun a 2 padesátikoruny. Kolik procent z celkového počtu mincí tvoří desetikoruny? Řešení: Základem bude celkový počet mincí:

4 10 6 3 5 2 30 desetikoruny má 3

určíme tedy, kolik procent je 3 ze 30

například pomocí trojčlenky: 100% ................................ 30 mincí

p % ...................................3 mince p


3 100 10 30

Výsledek řešení: Honza má v peněţence 10% desetikorun z celkového počtu mincí.

28


Příklady k procvičení: 1) Honza má v peněţence 4 koruny, 10 dvoukorun, 6 pětikorun, 3 desetikoruny, 5 dvacetikorun a 2 padesátikoruny. Kolik procent z celkového počtu mincí tvoří a) koruny?

[13,33%]

b) dvoukoruny?

[33,33%]

c) pětikoruny?

[20%]

d) dvacetikoruny?

[16,67%]

e) padesátikoruny?

[6,67%]

2) Kolem rybníka roste 28 topolů a 22 vrb. Kolik procent z těchto stromů tvoří a) topoly?

[56%]

b) vrby?

[44%]

3) Do prvních tříd ZŠ nastoupilo 134 dívek a 112 chlapců. Kolik procent z prvňáčků této ZŠ je a) dívek?

[přibliţně 54,47%]

b) chlapců?

[přibliţně 45,53%]

4) O kolik procent je číslo 697,89 větší neţ číslo 541?

[o 29%]

5) O kolik procent je číslo 35,383 menší neţ číslo 41?

[o 13,7%]


29

Souhrnné příklady k procvičení 1) Turisté jiţ urazili 25 km, coţ odpovídá 20% celé trasy. Jak dlouhou trasu mají naplánovanou? Kolik jim ještě zbývá urazit?

[125 km, 100 km]

2) Pravidelnou prohlídku u lékaře jiţ absolvovalo 760 zaměstnanců, coţ odpovídá 95% z celkového počtu zaměstnanců firmy. Kolik jich má ještě jít na prohlídku? [40 zaměstnanců] 3) Z patnáctihodinového programu jiţ uběhlo 27%. Kolik ještě zbývá do konce? [10,95 hodin = 10 hodin a 57 minut] 4) Honza za posledních pět let vyrostl o 8,85% a teď měří 160 cm. Jaká byla jeho výška pře pěti lety?

[přibliţně 146,99 cm]

5) Spotřeba paliva je 6,8 litrů na 100 km. Mimo městský provoz je spotřeba o 15% niţší. Jaká bude spotřeba paliva na 50 km ujetých mimo město?

[2,89 l]

6) Cena zboţí byla navýšena o 48% na 9 472 Kč. Jaká byla původní cena zboţí? [6 400 Kč] 7) Cena jednoho automobilu se základní výbavou je 150 000 Kč, s kompletní výbavou je o 15% draţší a bez klimatizace je oproti plné výbavě levnější o 1,5%. O kolik je cena vozu se základní výbavou levnější, neţ s výbavou bez klimatizace? [o 19 912,5 Kč – ceny jsou: 150 000 Kč, 172 500 Kč, 169 912,50 Kč] 8) Ráno bylo 15 °C a večer uţ 24 °C. O kolik procent stoupla za den teplota?

[o 60%]

9) Dva sourozenci si rozdělili odměnu 2 500 Kč tak, ţe starší dostal 60% a mladší zbytek. Kolik dostal kaţdý z nich?

[1 500 Kč a 1 000 Kč ]

10) Sponzorský dar na výhry v soutěţi bude rozdělen mezi první tři umístěné. Kolik kdo dostane, mají-li si rozdělit částku 500 000 Kč takto: vítěz dostane 50%, druhý 30% a třetí zbylých 20%?

[250 000 Kč, 150 000 Kč a 100 000 Kč]

11) Zmenšíme-li neznámé číslo o 39%, dostaneme 305. Určete neznámé číslo.

[500]

12) Zvětšíme-li neznámé číslo o 39%, dostaneme 834. Určete neznámé číslo.

[600]

13) Rozloha zahrady s chatou je 800 m2, samotná chata má obdélníkový půdorys o rozměrech 14×12 metrů. Kolik procent pozemku zabírá nezastavěná plocha?

[79%]

2

14) Na zahradě s výměrou 500 m jsou dva obdélníkové záhony, oba mají délku 2 metry, jeden je široký1,5 m a druhý 3,5 m. Zbývající plochu zahrady zabírá trávník, z něhoţ ještě 5% jsou cestičky. Kolik procent zahrady zabírá samotný trávník? [93,1% - záhony: 10 m2, trávník: 465,5 m2, cestičky: 24,5 m2] 15) O kolik procent se zlevnila PC sestava na cenu 42 000 Kč, byla-li původní cena 48 000 Kč?

[o 12,5%]

30


16) V odborech ve firmě je pouze 153 z celkových 756 zaměstnanců. Kolik procent zaměstnanců firmy v odborech není? 17) V restauraci je obsazeno 22 z 50 stolů. Kolik procent stolů je volných?

[79,76%] [56%]

18) Zboţí bylo dvakrát zdraţeno, nejprve o 25% a potom ještě o 10%, teď stojí 6 325 Kč. Jaká byla původní cena zboţí?

[4 600 Kč ]

19) Zboţí bylo dvakrát zlevněno, nejprve o 25% a potom ještě o 10%, teď stojí 3 105 Kč. Jaká byla původní cena zboţí?

[4 600 Kč]

20) Zboţí stojí 5 000 Kč. Kolik by stálo, pokud by bylo dvakrát zdraţeno, nejprve o 25% a potom ještě o 10%?

[6 875 Kč]

21) Zboţí stojí 5 000 Kč. Kolik by stálo, pokud by bylo dvakrát zlevněno, nejprve o 25% a potom ještě o 10%?

[3 375 Kč]


Promile Co je promile Promile znamená tisícinu daného celku: 1 ‰ celku

1 celku 1 000

0,001 celku

Např.: 1‰ 

1 1000

0,001

100 1000

1 10

100 ‰ 

0,1

10 ‰

10 1000

1000‰ 

1 100

0,01

1000 1 1000

Promile znamená také desetinu procenta, jedno procento je deset promile: 1 ‰ celku

1% celku 10

1 % celku = 10 ‰ celku

31


32

Příklady pouţití promile: –

1,5 ‰ alkoholu v krvi – kaţdý litr krve daného člověka obsahuje

1,5 litru = 1,5 ml 1 000

alkoholu –

3‰ narozených dětí … – 3 z kaţdých 1000 novorozenců …

–

Stoupání trati 12 ‰ – trať stoupne na kaţdém kilometru o 12 m

Promile se nepouţívají tak často jako procenta, pravidla pro jejich pouţívání jsou obdobná jako u procent (s tím, ţe celek odpovídá 1 000 ‰). Příklad: Kolik promile je 5 ze 200? Řešení: Trojčlenkou: 1 000 ‰ ....................... 200 x ‰ .............................. 5 x

1000 5 200

Odpověď: 5 ze 200 je 25 ‰.

25


Promile Varianta A Příklad: 1) 2) 3) 4) 5) 6)

Převeďte 99 ‰ na procenta. Převeďte 99 % na promile. Vyjádřete 24,8 ‰ ve tvaru zlomku. Vyjádřete 16,4 ‰ ve tvaru desetinného čísla. Určete, kolik je 20 ‰ z 80. Určete základ, z něhoţ 30 ‰ je 150.

Řešení: 1) 1 ‰ celku

1% celku 10

99 10

2) 1 % celku = 10 ‰ celku 3)

24,8 1000

31 1 250

4)

16,4 1000

0,016 4

5)

20 80 1,6 1 000

6)

150 1000 5 000 30

9,9

99 10 990

Příklad:


Varianta A

1) 9,9 %

Varianta B

2) 990 ‰

Varianta C

3)

31 1 250

4) 0,0164 5) 1,6 6) 5 000

33

34


Příklady k procvičení: 1) Převeďte na procenta: a) 4,8 ‰ [0,48 %] b) 0,48 ‰ [0,048 %] c) 48 ‰ [4,8 %] d) 9 ‰ [0,9 %] e) 90 ‰ [9 %] f) 190 ‰ [19 %] 2) Převeďte na promile: a) 4,8 % [48 ‰] b) 0,48 % [4,8 ‰] c) 0,048 % [0,48 ‰] d) 48 % [480 ‰] e) 0,9 % [9 ‰] f) 9 % [90 ‰] 3) Vyjádřete zadanou část základu ve tvaru zlomku: a) 0,36 ‰

0,36 1000

9 25 000

b) 1,7 ‰

1,7 1000

17 10 000

c) 75 ‰

75 1000

3 40

d) 350 ‰

350 1000

7 20

4) Vyjádřete zadanou část základu ve tvaru desetinného čísla: a) 0,42 ‰ [0,000 42] b) 1,3 ‰ [0,001 3] c) 25 ‰ [0,025] d) 150 ‰ [0,15] 5) Určete, kolik je: a) 3 ‰ ze 120 [0,36] b) 20 ‰ z 800 [16] 6) Určete základ, z něhoţ: a) 1,5 ‰ je 30 [20 000] b) 25 ‰ je 5 [200] 7) Kolik promile je: a) 20 z 80? [250 ‰] b) 2 z 800? [2,5 ‰]


35

Promile Varianta B Příklad: 1) Penále za opoţděnou splátku pojistného je 1,5 ‰ nenaplacené částky za kaţdý den zpoţdění. Kolik korun bude muset zaplatit pan Novák, který se zpozdil se splátkou ve výši 3 890,- Kč o 28 dní? 2) Roční pojistné domácnosti je 4,8 ‰ hodnoty zařízení. Kolik korun budou platit Novákovi, byla-li hodnota jejich zařízení domácnosti odhadnuta na 364 000,-Kč? 3) Lék obsahuje 2,5 ‰ účinné látky. Kolik gramů této účinné látky je obsaţeno v půl kilogramu léku? Řešení: 1) Penále je 1,5 ‰ z 3 890,- Kč, to je 5,835 Kč za kaţdý z 28 dní 5,835 × 28 = 163,38

dohromady s původní splátkou je částka k zaplacení

3 890 + 163,38 = 4 053,38 2) 4,8 ‰ z 364 000,-Kč je

celkové penále je:

po zaokrouhlení na celé koruny pak 4 053,- Kč.

4,8 364 000 1747,2 Kč 1000

a 1 747,- Kč po zaokrouhlení na celé koruny. 3) 2,5 ‰ z půl kilogramu je

2,5 500 g = 1,25 g. 1 000

Příklad:


Varianta A

1) Pan Novák bude muset zaplatit 4 053,- Kč.

Varianta B

2) Novákovi budou za pojištění domácnosti platit 1 747,-Kč ročně.

Varianta C

3) Půl kilogramu léku obsahuje 1,25 g účinné látky.

36


Příklady k procvičení: 1) Penále za opoţděnou splátku pojistného je 1,5 ‰ nenaplacené částky za kaţdý den zpoţdění. Kolik korun bude muset zaplatit pan Nový, který se zpozdil se splátkou ve výši 4 290,-Kč o 27 dní? [Pan Nový bude muset zaplatit 4 464,-Kč.] 2) Penále za opoţděnou splátku pojistného je 1,5 ‰ nenaplacené částky za kaţdý den zpoţdění. Kolik korun bude muset zaplatit pan Starý, který se zpozdil se splátkou ve výši 3 980,-Kč o 26 dní? [Pan Starý bude muset zaplatit 4 135,-Kč.] 3) Roční pojistné domácnosti je 3,8 ‰ hodnoty zařízení. Kolik korun budou platit Horákovi, byla-li hodnota jejich zařízení domácnosti odhadnuta na 296 000,-Kč? [Horákovi budou za pojištění domácnosti platit 1 125,- Kč ročně.] 4) Roční pojistné domácnosti je 3,6 ‰ hodnoty zařízení. Kolik korun budou platit Dolákovi, byla-li hodnota jejich zařízení domácnosti odhadnuta na 482 000,-Kč? [Dolákovi budou za pojištění domácnosti platit 1 735,- Kč ročně.] 5) Lék obsahuje 3 ‰ účinné látky. Kolik gramů této účinné látky je obsaţeno v jednom a půl kilogramu léku? [Jeden a půl kilogramu léku obsahuje 4,5 g účinné látky.] 6) Lék obsahuje 2 ‰ účinné látky. Kolik gramů této účinné látky je obsaţeno ve čtvrt kilogramu léku? [Čtvrt kilogramu léku obsahuje 0,5 g účinné látky.] 7) Novorozenecká úmrtnost znamená, kolik dětí se narodilo mrtvých, nebo zemřeli během prvních sedmi dnů po porodu. V krajské nemocnici byla v roce 2000 novorozenecká úmrtnost 4,1 ‰. Kolik dětí zemřelo z celkových 4 878 novorozenců? [V roce 2000 zemřelo v krajské nemocnici 20 novorozenců.] 8) V krajské nemocnici byla v roce 2008 novorozenecká úmrtnost 2 ‰. Kolik dětí zemřelo z celkových 3 500 novorozenců? [V roce 2008 zemřelo v krajské nemocnici 7 novorozenců.]


37

Promile Varianta C Příklad: 1) Mezi místy A a B, jejichţ vodorovná vzdálenost AP je 20 km, má trať stoupání 12‰. Určete výškový rozdíl na trase mezi místy A, B.

2) Čep opracovaný na soustruhu má mít průměr 2 cm a délku 65 cm. Norma připouští odchylku těchto rozměrů maximálně o ±2 ‰ poţadované délky. Jaké největší/nejmenší rozměry smí mít hotový čep? Řešení: 1) Stoupání na trati o s12 ‰ znamená, ţe na vodorovné vzdálenosti 20 km stoupne trať o

12 1 000

z této vzdálenosti

1 ‰ ............. 20 000:1 000=20 12 ‰ ............. 12·20=240

BP

240 m

2) Nejprve je nutné určit maximální přípustné odchylky zadaných rozměrů, tedy 2 ‰ šířky i délky; Hledané rozměry pak určíme přičtením a odečtením odchylek od poţadovaných rozměrů: 2 ‰ ze 2 cm ............. 0,004 cm 2 ‰ ze 65 cm ............. 0,13 cm 2 cm ± 0,004 cm ............. 2,004 cm a 1,996 cm 65 cm ± 0,13 cm ............. 65,13 cm a 64,87 cm Příklad:


Varianta A

1) Mezi místy A a B je na trati výškový rozdíl 240 m.

Varianta B

2) Hotový čep můţe mít průměr maximálně 2,004 cm

Varianta C

a minimálně 1,996 cm a délku maximálně 65,13 cm minimálně 64,87 cm.

38


Příklady k procvičení: 4) Nákladní vůz má maximální stoupavost 38 ‰. To znamená, ţe na kaţdém úseku trasy můţe být maximální výškový rozdíl 38 ‰ délky úseku. Jaký výškový rozdíl můţe zdolat na trase dlouhé 5 km? [Nákladní vůz můţe zdolat maximální výškový rozdíl 190 m.] 5) Nákladní vůz má maximální stoupavost 42 ‰. To znamená, ţe na kaţdém úseku trasy můţe být maximální výškový rozdíl 42 ‰ délky úseku. Jaký výškový rozdíl můţe zdolat na trase dlouhé 5 km? [Nákladní vůz můţe zdolat maximální výškový rozdíl 210 m.] 6) Mezi zastávkami A a B, jejichţ vodorovná vzdálenost je 9 km, má ţelezniční trať stoupání 17 ‰, mezi zastávkami B a C, jejichţ vodorovná vzdálenost je 14 km, má ţelezniční trať stoupání 8 ‰. Určete výškový rozdíl zastávek A a C.

[Výškový rozdíl zastávek A a C je 265 m.] 7) Mezi zastávkami A a B, jejichţ vodorovná vzdálenost je 24 km, má ţelezniční trať stoupání 14 ‰, mezi zastávkami B a C, jejichţ vodorovná vzdálenost je 16 km, má ţelezniční trať stoupání 9 ‰. Určete výškový rozdíl zastávek A a C. [Výškový rozdíl zastávek A a C je 480 m.] 8) Výškový rozdíl dvou zastávek na ţelezniční trati je 27,54 m, jejich vodorovná vzdálenost je 5,4 km. Určete stoupání trati.

[Stoupání trati je 5,1 ‰.]

9) Výškový rozdíl dvou zastávek na ţelezniční trati je 46,32 m, jejich vodorovná vzdálenost je 15,44 km. Určete stoupání trati.

[Stoupání trati je 3 ‰.]

10) Čep opracovaný na soustruhu má mít průměr 4 cm a délku 125 cm. Norma připouští odchylku těchto rozměrů maximálně o ±2 ‰ poţadované délky. a) Jakou největší délku smí mít hotový čep?

[125,25 cm]

b) Jakou nejmenší délku smí mít hotový čep?

[124,75 cm]

c) Jaký největší průměr smí mít hotový čep?

[4,008 cm]

d) Jaký nejmenší průměr smí mít hotový čep?

[3,992 cm]


39

Úroky Kdyţ si chceme něco půjčit, musíme za to zaplatit, záleţí na hodnotě zapůjčené věci a samozřejmě na době zapůjčení. Peníze jsou zvláštní druh zboţí. Kdyţ si chceme půjčit peníze, platíme úroky. Ukládáme-li nějaké peníze do banky, jako bychom je půjčovali my bance. Co to tedy je úrok? Úrok je část vypůjčené částky, vyjádřená v procentech. základ ............................... jistina (půjčený obnos, vklad) .................. j procentová část ................. úrok .......................................................... ú počet procent .................... úroková míra ............................................ p

Výpočet úroku za jeden rok:

ú

j p 100

Počítáme-li úrok jen za část roku, počítá se pro jednoduchost, ţe: každý měsíc má 30 dní a rok má 360 dní, den výběru se nepočítá, den vkladu ano. Označíme-li d jako počet dní, pak je: Výpočet úroku za část roku:

ú

j d p 100 360

40


Úroky Varianta A Příklad: Jaký úrok připíše banka za rok ke vkladu 150 000 Kč, je-li vklad úročen 3% úrokovou mírou? Řešení: j = 150 000,- Kč p = 3% ú = ? Kč

ú

j p 100

150 000 3 1500 3 100

4 500


Výsledek řešení: Banka připíše ke vkladu za rok 4 500,Kč.


41

Příklady k procvičení: 1) Určete úrok a konečnou částku po jednom roce, je-li: a) vklad

80 000,- Kč

a úroková míra 1,5 %

[1 200,- Kč, 81 200,- Kč]

b) vklad

60 000,- Kč


[900,- Kč, 60 900,- Kč]

c) vklad 120 000,- Kč


[1 800,- Kč, 121 800,- Kč]

d) vklad 140 000,- Kč


[2 100,- Kč, 142 100,- Kč]

e) vklad

80 000,- Kč


[1 840,- Kč, 81 840,- Kč]

f) vklad

60 000,- Kč


[1 380,- Kč, 61 380,- Kč]

g) vklad 120 000,- Kč


[2 760,- Kč, 122 760,- Kč]

h) vklad 140 000,- Kč


[3 220,- Kč, 143 220,- Kč]

i) vklad

80 000,- Kč


[2 560,- Kč, 82 560,- Kč]

j) vklad

60 000,- Kč


[1 920,- Kč, 61 920,- Kč]

k) vklad 120 000,- Kč


[3 840,- Kč, 123 840,- Kč]

l) vklad 140 000,- Kč


[4 480,- Kč, 144 480,- Kč]

m) vklad

80 000,- Kč


[2 800,- Kč, 82 800,- Kč]

n) vklad

60 000,- Kč


[2 100,- Kč, 62 100,- Kč]

o) vklad 120 000,- Kč


[4 200,- Kč, 124 200,- Kč]

p) vklad 140 000,- Kč


[4 900,- Kč, 144 900,- Kč]

2) Podnikatel si v bance půjčil na nové stroje. Dluh se mu podařilo splatit najednou právě po jednom roce. Určete, jak velká byla jeho splátka, je-li: a) půjčka

500 000,- Kč a úroková míra 6,2 %

[531 000,- Kč]

b) půjčka 1 500 000,- Kč a úroková míra 7,2 %

[1 608 000,- Kč]

c) půjčka 2 500 000,- Kč a úroková míra 7,8 %

[2 695 000,- Kč]

d) půjčka 3 500 000,- Kč a úroková míra 8,2 %

[3 787 000,- Kč]

e) půjčka

750 000,- Kč a úroková míra 6,7 %

[800 250,- Kč]

f) půjčka 1 750 000,- Kč a úroková míra 7,7 %

[1 884 750,- Kč]

g) půjčka 2 750000,- Kč a úroková míra 8,3 %

[2 978 250,- Kč]

h) půjčka 3 750 000,- Kč a úroková míra 8,7 %

[4 076 250,- Kč]


42 Úroky

Varianta B Příklad: 1) Byl uloţen vklad 3 600,- Kč, úrok za 1 rok byl 90,- Kč. Jaká byla úroková míra? 2) Jakou částku si půjčil pan Marnivý, víte-li, ţe úroková míra z úvěru byla 5,2 % a úrok po prvním roce činil 286 000,- Kč? Řešení: 1) j = 3 600,- Kč ú = 90,- Kč p=? ú

j p 100

p

90 100 3 600

p

ú 100 j

j

ú 100 p

2,5

2) j = ?,- Kč ú = 286 000,- Kč p = 5,2% ú

j p 100

j

286000 100 5,2

5 500000

Příklad: Varianta A

Výsledek řešení:

Varianta B

1) Úroková míra byla 2,5 %.

Varianta C

2) Pan Marnivý si půjčil 5 500 000,- Kč.


Příklady k procvičení: Doplňte chybějící údaje do tabulky: VKLAD/

ÚROKOVÁ

ÚROK ZA 1

ČÁSTKA/DLUH

ÚVĚR

MÍRA

ROK

PO 1 ROCE

1 000 000,- Kč

100 000,- Kč

2 000 000,- Kč

2 100 000,- Kč 7%

7 000,- Kč 208 000,- Kč

4% 500 000,- Kč

2,5% 51 000,- Kč

120 000,- Kč

5 400,- Kč

250 000,- Kč

265 750,- Kč 2,7 %

21 600,- Kč 320 100,- Kč

6,7 % 450 000,- Kč

1 551 000,- Kč

5,2 % 26 640,- Kč

746 640,- Kč

Řešení: VKLAD/

ÚROKOVÁ

ÚROK ZA 1

ČÁSTKA/DLUH

ÚVĚR

MÍRA

ROK

PO 1 ROCE

1 000 000,- Kč

10 %

100 000,- Kč

1 100 000,- Kč

2 000 000,- Kč

5%

100 000,- Kč

2 100 000,- Kč

100 000,- Kč

7%

7 000,- Kč

107 000,- Kč

200 000,- Kč

4%

8 000,- Kč

208 000,- Kč

500 000,- Kč

2,5%

12 500,- Kč

512 500,- Kč

1 500 000,- Kč

3,4 %

51 000,- Kč

1 551 000,- Kč

120 000,- Kč

4,5 %

5 400,- Kč

125 400,- Kč

250 000,- Kč

6,3 %

15 750,- Kč

265 750,- Kč

800 000,- Kč

2,7 %

21 600,- Kč

821 600,- Kč

300 000,- Kč

6,7 %

20 100,- Kč

320 100,- Kč

450 000,- Kč

5,2 %

23 400,- Kč

473 400,- Kč

720 000,- Kč

3,7 %

26 640,- Kč

746 640,- Kč

43


44 Úroky

Varianta C Příklady: 1) Byl uloţen vklad 3 600,- Kč, úrok za čtvrt roku byl 90,- Kč. Jaká byla úroková míra? 2) Pan Marný si uloţil do banky 150 000,- Kč a po další tři roky ţádné další peníze neukládal. Za čtyři roky si všechny peníze vyzvedl. Jaká byla celková částka po čtyřech letech a kolik korun činily úroky, byl-li vklad úročen 5% úrokovou mírou? 3) Paní Nová si 15. 5 2000 uloţila do banky 15 000,- Kč na 5% roční úrok. Jakou částku si vybrala 27. 8 2000? Řešení: 1) j = 3 600,- Kč ú = 90,- Kč d = 3.30 = 90 dní p=? ú 90 p

j d p 100 360 3 600 90 p 100 360 90

360 100 10 90 3 600

2) p = 5% jistina pro 1. rok: 150 000 j p 100

150 000 5 100

úrok za 1. rok:

ú

stav po 1. roce:

150 000 + 7 500 = 157 500

7 500

Druhý rok se vypočítávají úroky z částky po prvním roce, ne z vklad - jako by šlo o nový vklad, ale tentokrát 157 500,- Kč. jistina pro 2. rok: 157 500 úrok za 2. rok:

ú

j p 100

157 500 5 100

stav po 2. roce a jistina pro 3. rok: úrok za 3. rok:

ú

j p 100

7 875

157 500 + 7 875 = 163 375

163375 5 8 268,75 100


stav po 3. roce a jistina pro 4. rok: j p 100

45

163 375 + 8 268,75 = 171 643,75

171643,75 5 8 582,187 5 100

úrok za 4. rok:

ú

stav po 4. roce:

171 643,75+ 8 582,187 5 = 180 225,937 5

celkové úroky

180 225,937 5 – 150 000 = 30 225,937 5

Jen pro kontrolu – kdybychom vynásobili úrok za první rok 4 krát, dostali bychom částku 30 000,- Kč, což je o226,- Kč méně. 3) j = 15 000,- Kč den vkladu:

1

zbytek měsíce:

30 – 15

celé dva měsíce:

2*30

část měsíce bez dne výběru:

27 – 1

d = 1 + (30 – 15) + 2*30 + (27 – 1) = 102 dní p=5% ú = ? Kč ú

j d p 100 360

15 000 102 5 100 100

765

j ú 15000 765 15765

Příklad:


Varianta A

1) Úroková míra byla 10 %.

Varianta B

2) Celková částka po 4 letech činila 180 226,- Kč

Varianta C

a úroky činily 30 226,- Kč. 3) Paní Nová si 27. 8 2000 vybrala 15 765,- Kč.


46

Příklady k procvičení: Doplňte chybějící údaje do tabulky: VKLAD

ÚROKOVÁ

DATUM

DATUM

POČET

KONEČNÁ

MÍRA

VKLADU

VÝBĚRU

DNŮ

ČÁSTKA

1 000 000,- Kč

10 %

1. 1. 2000

31. 12. 2000

2 000 000,- Kč

5%

1. 1. 2000

31. 12. 2001

100 000,- Kč

7%

1. 1. 2000

31. 12. 2003

200 000,- Kč

4%

1. 1. 2000

31. 5. 2000

500 000,- Kč

2,5%

1. 1. 2000

31. 5. 2001

1 500 000,- Kč

3,4 %

1. 1. 2000

17. 7. 2000

120 000,- Kč

4,5 %

1. 4. 2000

31. 12. 2000

250 000,- Kč

6,3 %

1. 4. 2001

31. 12. 2001

800 000,- Kč

2,7 %

1. 4. 2002

31. 12. 2003

300 000,- Kč

6,7 %

1. 4. 2000

31. 5. 2000

450 000,- Kč

5,2 %

1. 4. 2000

31. 5. 2001

720 000,- Kč

3,7 %

1. 4. 2000

17. 7. 2000

Řešení: 1 R = 1 celý rok VKLAD

ÚROKOVÁ

DATUM

DATUM

POČET

KONEČNÁ

MÍRA

VKLADU

VÝBĚRU

DNŮ

ČÁSTKA

1 000 000,- Kč

10 %

1. 1. 2000

31. 12. 2000

1R

1 100 000,- Kč

2 000 000,- Kč

5%

1. 1. 2000

31. 12. 2001

2R

2 205 000,- Kč

100 000,- Kč

7%

1. 1. 2000

31. 12. 2003

3R

122 504,- Kč

200 000,- Kč

4%

1. 1. 2000

31. 5. 2000

150

203 333,- Kč

500 000,- Kč

2,5%

1. 1. 2000

31. 5. 2001

1 R+150

517 839,- Kč

1 500 000,- Kč

3,4 %

1. 1. 2000

17. 7. 2000

196

1 527 767,- Kč

120 000,- Kč

4,5 %

1. 4. 2000

31. 12. 2000

270

124 050,- Kč

250 000,- Kč

6,3 %

1. 4. 2001

31. 12. 2001

270

261 813,- Kč

800 000,- Kč

2,7 %

1. 4. 2002

31. 12. 2003

1 R+270

838 237,- Kč

300 000,- Kč

6,7 %

1. 4. 2000

31. 5. 2000

60

303 350,- Kč

450 000,- Kč

5,2 %

1. 4. 2000

31. 5. 2001

1 R+60

477 503,- Kč

720 000,- Kč

3,7 %

1. 4. 2000

17. 7. 2000

106

727 844,- Kč


47

Základy statistiky Statistika se zabývá zjišťováním a studiem údajů získaných na velkém souhrnu objektů. Výsledků takového statistického šetření se vyuţívá v mnoha oborech lidské činnosti a mohou mít zásadní vliv na rozhodování například ve zdravotnictví, při různých vědeckých výzkumech, průzkumech, či sledování určitých trendů ve společnosti. Statistika je potřebná věda, je velmi silným nástrojem pro ty, kteří s jejími výsledky umí pracovat. Český statistický úřad (ČSÚ) vydává kaţdý rok statistickou ročenku, ve které jsou zachyceny a shrnuty údaje o národním hospodářství, obyvatelstvu, ţivotním prostředí, školství, zdravotnictví a o dalších oblastech týkajících se České republiky. Velké množství vybraných dat můžete najít na www-stránkách: –

Český statistický úřad:

www.czso.cz

–

Ministerstvo práce a sociálních věcí ČR:

www.mpsv.cz

–

Úřad vlády:

www.vlada.cz

–

Ministerstvo vnitra ČR:

www.mvcr.cz

–

Ministerstvo spravedlnosti:

www.msp.cz

–

Ústav zdravotnických informací a statistiky ČR:

www.uzis.cz

–

Státní zdravotnický ústav:

www.szu.cz

–

Národní program boje proti AIDS v ČR:

www.aids-hiv.cz

–

Demografický informační portál:

www.demografie.info

–

Ústav pro informace ve vzdělávání:

www.uiv.cz

–

Soudnictví ČR:

http://portal.justice.cz

–

Volební statistika:

www.volby.cz

48


Základní pojmy statistický soubor ............. souhrn objektů, které jsou statisticky zkoumány (osoby, zvířata, věci, události, výsledky měření,…) statistická jednotka .......... kaţdý prvek statistického souboru, jejich počet tvoří rozsah statistického souboru znak statistické jednotky.. jev, který u jednotek statistického souboru zkoumáme, některé se dají vyjádřit číselně (kvantitativní), některé ne (kvalitativní) hodnota znaku ................. konkrétní zjištěná hodnota jevu (znaku) četnost hodnoty ................ počet jednotek souboru, jejichţ znak má danou hodnotu; součet četností všech hodnot znaku je roven rozsahu souboru relativní četnost ............... vyjádření četnosti určité hodnoty v poměru k rozsahu souboru, často vyjádřená v procentech; součet relativních četností všech hodnot je roven 1, součet všech relativních četností vyjádřených v procentech je roven 100 % tabulka rozdělení četností je tabulka, ve které je u kaţdé hodnoty znaku uvedena její četnost Pro ilustraci si všechny uvedené pojmy ukáţeme na konkrétním příkladu: Ve třídě je 32 žáků, 12 ţákům je 15 let, 17 ţákům je 16 let a 3 ţákům je 17 let. statistický soubor ............. daná třída statistická jednotka ........... kaţdý ţák této třídy rozsah souboru ................. 32 znak statistické jednotky .. věk hodnota znaku .................. 15, 16 nebo 17 let četnost hodnoty - 15 ......... 12 relativní četnost - 15.........

12 32

0,375

vyjádřená v procentech .... 0,375 100 37,5% tabulka rozdělení četností: Věk Počet ţáků

15 let

16 let

17 let

12

17

3


49

Četnost, relativní četnost Určit četnost hodnoty znaku znamená zjistit počet výskytů hodnoty znaku v daném souboru. Nejčastěji se určuje pomocí tabulky (tabulka rozdělení četností). Relativní četnost určíme tak, ţe vydělíme četnost rozsahem souboru. Příklad: Ve třídě jsou po rozdání písemné práce z matematiky zapsány známky na tabuli v libovolném pořadí: 1 2 2 3 4 5 5 4 1 2 3 4 3 2 1 5 2 3 5 3 2 5 3 4 5 3 5 2 2 2 4 4. Sestavte tabulku rozloţení četností jednotlivých známek v této třídě, vypočtěte relativní četnosti a vyjádřete je v procentech.

Řešení:

statistický soubor ............. daná třída statistická jednotka ........... kaţdý ţák třídy rozsah souboru ................. počet ţáků: 32 znak statistické jednotky .. známka z matematiky hodnota znaku ................. 1, 2, 3, 4, 5

3/32 = 0,09375

známka 1 2 3 4 5 Celkem

počet žáků 3 9 7 6 7 32

relativní relativní četnost četnost v% 0,09375 0,28125 0,21875 0,18750 0,21875

9,38% 28,13% 21,88% 18,75% 21,88%

1,00000

100,00%

50


Grafické znázornění řešení statistické úlohy – statistické diagramy Spojnicový diagram Pro ilustraci pouţijeme tabulku rozloţení četností z předchozího příkladu: známka

počet žáků

1 2 3 4 5

3 9 7 6 7

Data z této tabulky znázorníme pomocí souřadnicové soustavy, na jejíţ vodorovnou osu naneseme známky a na svislou osu jejich četnosti. Spojením bodů, jejichţ x-ové souřadnice jsou známky a y-ové souřadnice jsou příslušné četnosti, dostaneme diagram, který se nazývá spojnicový diagram nebo také polygon četností. 10 9 8 Počet žáků

7 6 5 4 3 2 1 0 1

2

3

4

5

Známky

Spojnicový diagram vznikne spojením bodů, jejichţ x-ové souřadnice jsou hodnoty kvantitativního znaku a y-ové souřadnice jsou jejich četnosti.


Sloupkový diagram Je dáno rozloţení výšky ţáků ve třídě:

Výška (cm)

počet žáků

100 - 110 111 - 120 121 - 130 131 - 140 141 - 150 151 - 160 161 - 170

1 3 5 9 7 4 3

Data z této tabulky znázorníme sloupkovým diagramem neboli histogramem. Základny jednotlivých sloupců jsou úsečky stejné délky, jejich středy odpovídají středům intervalů (105; 115,5; 125,5; 135,5; 145,5; 155,5 a 165,5), výšky sloupků odpovídají četnostem. 10

9

9 8

7

počet žáků

7 6

5

5

4

4

3

3

3 2

1

1 0 100 - 110 111 - 120 121 - 130 131 - 140 141 - 150 151 - 160 161 - 170 Výška

Sloupkový diagram se pouţívá, jsou-li hodnoty znaku sdruţeny do intervalů; délky těchto intervalů tvoří základny sloupků, výšky sloupků jsou příslušné četnosti.

51

52


Kruhový diagram Ve třídě byla u ţáků zjištěna barva očí. Na základě tohoto šetření byla sestavena následující tabulka rozloţení četností: barva

počet žáků

modrá zelená hnědá černá

3 11 15 1

Data z této tabulky zobrazíme pomocí kruhového diagramu. Nejdříve musíme zjistit příslušné velikosti úhlů jednotlivých výsečí: 360o rozdělíme v poměru 3:11:15:1 na: 36o, 132o, 180o a 12o. 3%

10%

modrá zelená 50%

37%

hnědá černá

Kruhový diagram se pouţívá ke znázornění rozdělení četností kvalitativního znaku (tj. znaku, který nelze vyjádřit číselnou hodnotou. Různým hodnotám znaku odpovídají kruhové výseče, jejichţ středové úhly (i obsahy) jsou přímo úměrné četnostem.


53

Četnost, relativní četnost, statistické diagramy Varianta A Příklad: V příloze č. 2 je přehled věkového sloţení obyvatelstva v letech 2001 aţ 2004. Určete základní pojmy a vypočtěte relativní četnosti pro rok 2001 1) celkově. 2) pro muţe. 3) pro ţeny. Řešení: Věk je v tabulce rozdělen do tří intervalů a u kaţdého intervalu jsou zadány příslušná četnosti, potřebné součty jsou také uvedeny, stačí tedy vydělit všechny četnosti celkovou hodnotou. Kdyţ výslednou relativní četnost vynásobíme 100, dostaneme relativní četnost vyjádřenou v %. Výsledky řešení: 1) statistický soubor ................ obyvatelé ČR statistická jednotka ............. jednotliví občané ČR znak statistické jednotky..... věk osoby hodnota znaku ..................... konkrétní věk Sloţení obyvatelstva podle věkových skupin k 31. 12.

2001

(tis. osob) Celkem

relativní četnost

relativní četnost v%

10 206

do 14 let

1 622

0,1589

15,89%

15 - 64 let

7 169

0,7024

70,24%

65 a více let

1 415

0,1386

13,86%

54


2) statistický soubor ................ muţi ČR statistická jednotka ............. jednotliví muţi ČR znak statistické jednotky..... věk muţe hodnota znaku ..................... konkrétní věk Sloţení obyvatelstva podle věkových skupin k 31. 12.

2001

(tis. osob) Muži

relativní četnost


4 968

do 14 let

832

0,1675

16,75%

15 - 64 let

3 590

0,7226

72,26%

65 a více let

546

0,1099

10,99%

3) statistický soubor ................ ţeny ČR statistická jednotka ............. jednotlivé ţeny ČR znak statistické jednotky..... věk ţen hodnota znaku ..................... konkrétní věk Sloţení obyvatelstva podle věkových skupin k 31. 12.

2001

(tis. osob) Ženy

relativní četnost


5 240

do 14 let

790

0,1508

15,08%

15 - 64 let

3 579

0,6833

68,33%

65 a více let

869

0,1659

16,59%



55

Příklady k procvičení: V příloze č. 2 je přehled věkového sloţení obyvatelstva v letech 2001 aţ 2004. Určete základní pojmy a vypočtěte relativní četnosti pro roky 2002 aţ 2004 – celkově, pro muţe i pro ţeny. Základní pojmy – viz rok 2001 v předešlém příkladě. Příslušné četnosti jsou uvedeny v následujících tabulkách: Sloţení obyvatelstva podle věkových skupin k 31. 12.

2002

(tis. osob) Celkem

relativní četnost


10 204

do 14 let

1 590

0,1558

15,58%

15 - 64 let

7 196

0,7052

70,52%

65 a více let

1 418

0,1390

13,90%

Muži

4 967

do 14 let

816

0,1643

16,43%

15 - 64 let

3 603

0,7254

72,54%

65 a více let

548

0,1103

11,03%

Ženy

5 237

do 14 let

774

0,1478

14,78%

15 - 64 let

3 593

0,6861

68,61%

65 a více let

870

0,1661

16,61%

56


Sloţení obyvatelstva podle věkových skupin k 31. 12.

2003

(tis. osob) Celkem

relativní četnost


10 211

do 14 let

1 554

0,1522

15,22%

15 - 64 let

7 234

0,7085

70,85%

65 a více let

1 423

0,1394

13,94%

Muži

4 975

do 14 let

798

0,1604

16,04%

15 - 64 let

3 625

0,7286

72,86%

65 a více let

552

0,1110

11,10%

Ženy

5 236

do 14 let

756

0,1444

14,44%

15 - 64 let

3 609

0,6893

68,93%

65 a více let

871

0,1663

16,63%

Sloţení obyvatelstva podle věkových skupin k 31. 12.

2004

(tis. osob) Celkem

relativní četnost


10 221

do 14 let

1 527

0,1494

14,94%

15 - 64 let

7 259

0,7102

71,02%

65 a více let

1 435

0,1404

14,04%

Muži

4 981

do 14 let

784

0,1574

15,74%

15 - 64 let

3 639

0,7306

73,06%

65 a více let

558

0,1120

11,20%

Ženy

5 240

do 14 let

743

0,1418

14,18%

15 - 64 let

3 620

0,6908

69,08%

65 a více let

877

0,1674

16,74%


57

Četnost, relativní četnost, statistické diagramy Varianta B Příklad: V příloze č. 2 je přehled věkového sloţení obyvatelstva v letech 2001 aţ 2004. 1) U přehledu pro rok 2001 sestavte sloupkové diagramy: a) celkový. b) pro muţe. c) pro ţeny. 2) Sestavte spojnicový diagram znázorňující celkový vývoj věkového sloţení obyvatelstva během těchto čtyř roků u kaţdé věkové skupiny. Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C Řešení: 1) Sloupkový diagram sestavíme tak, ţe na vodorovné ose naneseme tři shodné intervaly pro tři věkové skupiny a na svislé ose zvolíme jednotku – vhodně podle velikosti zobrazovaných hodnot. Potom v kaţdém intervalu sestavíme sloupek o výšce odpovídající hodnotě (četnosti) dané věkové skupiny: a)

Věkové složení obyvatelstva v roce 2001 celkově 8 000 6 000 4 000 2 000 0 do 14 let

15 - 64 let 65 a více let

58


b)

Věkové složení obyvatelstva v roce 2001 - muži 4 000 3 500 3 000 2 500 2 000 1 500 1 000 500 0 do 14 let

15 - 64 let

65 a více let

c)

Věkové složení obyvatelstva v roce 2001 - ženy 4 000 3 500 3 000 2 500 2 000 1 500 1 000 500 0 do 14 let

15 - 64 let

65 a více let

2) Spojnicové diagramy sestavíme tak, ţe na vodorovnou osu souřadné soustavy naneseme jednotlivé roky a na svislou osu jejich četnosti. Nakonec získané body spojíme. 10 225 10 220 10 215 10 210 10 205 10 200 10 195 2001

2002 Celkem

2003

2004


1 640 1 620 1 600 1 580 1 560 1 540 1 520 1 500 1 480 1 460 2001

2002

2003

2004

do 14 let 7 280 7 260 7 240 7 220 7 200 7 180 7 160 7 140 7 120 2001

2002

2003

2004

15 - 64 let 1 440 1 435 1 430 1 425 1 420 1 415 1 410 1 405 2001

2002

2003

65 a více let

2004

59

60


Příklady k procvičení: V příloze č. 2 je přehled věkového sloţení obyvatelstva v letech 2001 aţ 2004. 1) U přehledů pro roky 2002, 2003 a 2004 sestavte sloupkové diagramy: a) celkový. b) pro muţe. c) pro ţeny. 2) Sestavte spojnicový diagram znázorňující vývoj věkového sloţení obyvatelstva během těchto čtyř roků a) muţů b) ţen c) všech dohromady (do jednoho grafu)


Výsledky: 1) a) 2001 - celkově

2002 - celkově

8 000 7 000 6 000 5 000 4 000 3 000 2 000 1 000 0

8 000 7 000 6 000 5 000 4 000 3 000 2 000 1 000 0 do 14 let

15 - 64 let

65 a více let

do 14 let

2003 - celkově

15 - 64 let

65 a více let

2004 - celkově

8 000 7 000 6 000 5 000 4 000 3 000 2 000 1 000 0

8 000 7 000 6 000 5 000 4 000 3 000 2 000 1 000 0 do 14 let

15 - 64 let

65 a více let

do 14 let

15 - 64 let

65 a více let

61

62


b) 2001 - muži

2002 - muži

4 000 3 500 3 000 2 500 2 000 1 500 1 000 500 0

4 000 3 500 3 000 2 500 2 000 1 500 1 000 500 0 do 14 let

15 - 64 let

65 a více let

do 14 let

2003 - muži

15 - 64 let

65 a více let

2004 - muži

4 000 3 500 3 000 2 500 2 000 1 500 1 000 500 0

4 000 3 500 3 000 2 500 2 000 1 500 1 000 500 0 do 14 let

15 - 64 let

65 a více let

do 14 let

15 - 64 let

65 a více let


c) 2001 - ženy

2002 - ženy

4 000 3 500 3 000 2 500 2 000 1 500 1 000 500 0

4 000 3 500 3 000 2 500 2 000 1 500 1 000 500 0 do 14 let

15 - 64 let

65 a více let

do 14 let

2003 - ženy

15 - 64 let

65 a více let

2004 - ženy

4 000 3 500 3 000 2 500 2 000 1 500 1 000 500 0

4 000 3 500 3 000 2 500 2 000 1 500 1 000 500 0 do 14 let

15 - 64 let

65 a více let

2) a)

Muži 4 985 4 980 4 975 4 970 4 965 4 960 2001

2002

2003

2004

do 14 let

15 - 64 let

65 a více let

63

64


b)

Ženy 5 241 5 240 5 239 5 238 5 237 5 236 5 235 5 234 2001

2002

2003

2004

2002

2003

2004

c) Dohromady 5 250 5 200 5 150 5 100 5 050 5 000 4 950 2001

Muži

Ženy


65

Četnost, relativní četnost, statistické diagramy Varianta C Příklad: V příloze č. 2 je přehled věkového sloţení obyvatelstva v letech 2001 aţ 2004. U přehledu pro rok 2001 sestavte kruhový diagram znázorňující poměr muţů a ţen u kaţdé věkové skupiny. Řešení: Kruhový diagram sestavíme tak, ţe podle poměru hodnot pro muţe a ţeny určíme velikosti středových úhlů obou výsečí; úhly jsou přímo úměrné četnostem - pro ţeny a muţe vyjdou: 5 238  0,513 10 206

0,513 360  185

a

4 968  0,487 10 206

0,487 360  175

Poměr mužů a žen v roce 2001 - celkem

Muži 49%

Ženy 51%

790  0,487 1622

0,487 360  175

a

832  0,513 1622

0,513 360  185

Poměr mužů a žen v roce 2001 - do 14 let

Ženy 49%

3 579  0,499 7169

0,499 360  180

Muži 51%

a

3 590  0,500 7169

0,500 360  180

66


Poměr mužů a žen v roce 2001 - 15-64 let

Ženy 50%

869  0,614 1 415

0,614 360  221

Muži 50%

a

546  0,386 1 415

Poměr mužů a žen v roce 2001 - 65 a více let

Muži 39% Ženy 61%


0,386 360  139


67

Příklady k procvičení: V příloze č. 2 je přehled věkového sloţení obyvatelstva v letech 2001 aţ 2004. 1) Sestavte kruhové diagramy znázorňující poměr muţů a ţen u kaţdé věkové skupiny u přehledů pro roky 2002, 2003 a 2004. 2) Sestavte kruhové diagramy znázorňující poměry věkových skupin v letech 2001 aţ 2004 a) celkově b) pro ţeny c) pro muţe Výsledky: 1) Po vypočtení středových úhlů dojdeme přibliţně ke stejným výsledkům jako v předchozích letech, takţe grafy budou prakticky totoţné, jako v roce 2001; z toho se dá usoudit, ţe počty v jednotlivých skupinách se sice měnily, ale u muţů i ţen přibliţně stejně. 2) a)

2001 - Celkem

do 14 let

15 - 64 let

65 a více let

2003 - Celkem

do 14 let

15 - 64 let

65 a více let

2002 - Celkem

do 14 let

15 - 64 let

65 a více let

2004 - Celkem

do 14 let

15 - 64 let

65 a více let

68


b)

2001 - Muži

do 14 let

15 - 64 let

2002 - Muži

65 a více let

do 14 let

2003 - Muži

do 14 let

15 - 64 let

15 - 64 let

65 a více let

2004 - Muži

65 a více let

do 14 let

15 - 64 let

65 a více let


c)

2001 - Ženy

do 14 let

15 - 64 let

2002 - Ženy

65 a více let

do 14 let

2003 - Ženy

do 14 let

15 - 64 let

15 - 64 let

65 a více let

2004 - Ženy

65 a více let

do 14 let

15 - 64 let

65 a více let

69

70


Aritmetický průměr, modus a medián Chceme-li si jednoduše vytvořit představu o celém souboru nebo porovnat více jednotlivých souborů, potřebujeme jiné hodnoty, neţ samotné četnosti. Tuto funkci plní tzv. střední hodnoty, které jedinou hodnotou charakterizují celý soubor. Takovými charakteristikami jsou například aritmetický průměr, modus a medián. Aritmetický průměr je součet všech hodnot znaku vydělený počtem všech statistických jednotek souboru. Modus znaku je ta jeho hodnota, která má největší četnost. Pokud se v souboru vyskytují dvě nebo více hodnot znaku s největší četností, tvoří modus všechny tyto hodnoty. Praktické vyuţití nalezení nejčetnější hodnoty – je to hodnota, která ovlivňuje strukturu spotřeby, tedy i objednávek prodejců a zprostředkovaně také výrobu (např. velikosti oděvů, obuvi,...). Medián určujeme, jsou-li hodnoty znaku čísla – uspořádáme je podle velikosti a hledáme „prostřední“ hodnotu znaku. Pořadí „prostředního členu“ v uspořádaném souboru určíme pomocí vzorce:

n 1 , kde n je počet členů (rozsah) souboru. 2

U lichého počtu jednotek souboru je medián sledovaného znaku ta hodnota, která leţí „uprostřed“. U sudého počtu jednotek je medián aritmetickým průměrem dvou hodnot, které leţí „nejblíţe středu“. Tyto tři charakteristiky se souhrnně nazývají charakteristiky polohy. Zatímco u průměru potřebujeme k jeho určení všechny hodnoty, jsou modus a medián charakteristiky, které všechny vstupní hodnoty nepotřebují, je tedy zřejmé, ţe soubory, které mají stejný modus nebo medián, můţou být jinak zcela odlišné. Proto se velmi často doplňují dalšími charakteristikami, které podávají informace také o zbytku souboru; jsou to tzv. charakteristiky variability.


71

Příklad: Ve třídě 8. A jsou známky z matematiky: 3 5 4 3 2 4 5 3 2 5 2 2 3 1 3 2 2 5 3 4 4 5 4 1 2 5 2 3 1 2 5 4

Sestavíme tabulku rozloţení četností: známka 1 2 3 4 5

počet žáků 3 9 7 6 7

Výpočet aritmetického průměru můţeme provést dvěma způsoby: 1. sečteme hodnoty všech známek (tak jak jsou zadány) a vydělíme je počtem všech známek (ţáků): 3 5 4 3 2  1 2 5 4 32

101 3,156 25 32

2. protoţe v tabulce máme spočítáno, kolikrát se která známka opakuje, můţeme celkový součet vypočítat tak, ţe kaţdou známku vynásobíme její četností a výsledné součiny sečteme; celkový součet opět vydělíme počtem ţáků: 1 3 2 9 3 7 4 6 5 7 32

101 3,156 25 32

Modus zjistíme tak, ţe v tabulce rozdělení četností určíme, která hodnota znaku má nejvyšší četnost. známka 1 2 3 4 5

počet žáků 3 9 7 6 7

V našem příkladě je největší četnost 9 a ta odpovídá hodnotě 2, modus je tedy 2.

72


Abychom mohli určit medián, musíme nejdříve uspořádat známky od 1 do 5: 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 3 4 4 4 4 4 4 5 5 5 5 5 5 5

Počet ţáků je sudý, takţe medián je aritmetickým průměrem dvou „prostředních“ hodnot,

32.

31.

30.

29.

28.

27.

26.

25.

24.

23.

22.

21.

33 16,5 : 2

20.

19.

18.

32 1 2

17.

15.

14.

13.

12.

11.

10.

9.

8.

7.

6.

5.

4.

3.

2.

1.

16.

n 1 2

dosadíme-li do vzorce pro určení pořadí

1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 3 4 4 4 4 4 4 5 5 5 5 5 5 5 3

kolem středu jsou na 16. a 17. místě dvě trojky, jejich aritmetický průměr je 3, medián je tedy také 3.

30.

29.

28.

27.

26.

25.

24.

23.

22.

21.

20.

19.

18.

17.

16.

15.

14.

13.

12.

11.

10.

9.

8.

7.

6.

5.

4.

3.

2.

1.

Ještě zbývá ukázat na příkladech, jak jinak můţe ještě medián vyjít u sudého počtu jednotek:

1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 3 3 3 4 4 4 4 5 5 2,5

31.

30.

29.

28.

27.

26.

25.

24.

23.

22.

21.

20.

19.

18.

17.

16.

15.

14.

13.

12.

11.

10.

9.

8.

7.

6.

5.

4.

3.

2.

1.

a u lichého počtu jednotek:

1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 3 3 3 4 4 4 4 5 5 5 3


73

Aritmetický průměr, modus a medián Varianta A Příklad: V příloze č. 2 je přehled věkového sloţení obyvatelstva v letech 2001 aţ 2004. Vypočtěte aritmetický průměr (AP) kaţdé věkové skupiny u celkových přehledů za roky 2001 aţ 2004. Řešení: Pro AP musíme nejdříve sečíst hodnoty v jednotlivých řádcích za všechny 4 roky, výsledky pak vydělíme čtyřmi: Sloţení obyvatelstva podle věkových skupin k 31. 12. (tis. osob)

Celkem do 14 let 15 - 64 let 65 a více let


2001

2002

2003

2004

Celkem

10 206 1 622 7 169 1 415

10 204 1 590 7 196 1 418

10 211 1 554 7 234 1 423

10 221 1 527 7 259 1 435

40 842 6 293 28 858 5 691

AP 16 337 1 573 7 215 1 423

74


Příklady k procvičení: V příloze č. 2 je přehled věkového sloţení obyvatelstva v letech 2001 aţ 2004. Vypočtěte aritmetický průměr (AP) kaţdé věkové skupiny u přehledů za roky 2001 aţ 2004 a) pro ţeny b) pro muţe Výsledky: a) Sloţení obyvatelstva podle věkových skupin k 31. 12. (tis. osob)

Muţi do 14 let 15 - 64 let 65 a více let

2001 4 968 832 3 590 546

2002 4 967 816 3 603 548

2003 4 975 798 3 625 552

2004 4 981 784 3 639 558

Celkem 19 891 3 230 14 457 2 204

AP 4 973 808 3 614 551

b) Sloţení obyvatelstva podle věkových skupin k 31. 12. (tis. osob)

Ţeny do 14 let 15 - 64 let 65 a více let

2001 5 238 790 3 579 869

2002 5 237 774 3 593 870

2003 5 236 756 3 609 871

2004 5 240 743 3 620 877

Celkem 20 951 3 063 14 401 3 487

AP 5 238 766 3 600 872


Aritmetický průměr, modus a medián Varianta B Příklad: Porovnejte třídy oktáva A a oktáva B pomocí aritmetického průměru známek: oktáva A: 2 3 5 4 3 1 2 4 5 1 3 4 2 5 5 5 1 3 5 1 5 1 1 3 3 1 4 3 3 1 2 4 oktáva B: 2 3 1 2 3 3 2 2 2 1 3 3 2 3 1 2 1 4 4 1 5 1 1 4 2 1 4 4 3 2 3 1 Řešení: Nejdříve sestavíme tabulky rozloţení četností v obou třídách: oktáva A počet známka žáků 1 8 2 4 3 8 4 5 5 7

oktáva B počet známka žáků 1 9 2 9 3 8 4 5 5 1

Z takto připravených dat snadno určíme střední hodnoty:

oktáva A AP modus medián

2,968 75 3 a 1 3

oktáva B AP 2,375 modus 2 a 1 medián 2

Závěr: Ve třídě oktáva A jsou podle všech ukazatelů horší známky. Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C

75

Příklady k procvičení: 1) V příloze č. 1 vypočtěte aritmetický průměr počtu obyvatel měst ČR (k 31. 12. 2004) a určete, kolik měst má větší a kolik menší počet obyvatel, neţ je průměr. 2) V příloze č. 3 vypočtěte průměrnou rozlohu, průměrný počet obyvatel a průměrný věk muţů a ţen pro zadané státy. Výsledky: 1) Obyvatel měst celkem: Počet měst celkem Aritmetický průměr: Počet měst s nadprůměrným počtem obyvatel Počet měst s podprůměrným počtem obyvatel

4 854 283 82 59 199 17 65

2) Země Počet zemí Celkem Aritmetický průměr

rozloha (mil. km2)

obyvatel (mil.)

věk muži

věk ženy

5618,66

39,00 581,23

2 740 3 019

144,07

14,90

70,256 77,41


Aritmetický průměr, modus a medián Varianta C Příklad: Je dán přehled informací: Firma ABCD - přehled zaměstnanců za leden 2003 Č. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17

Příjmení a Jméno Adamec Ladislav Bláha Jan Caha Jiří Černý Miloš Daněk Pavel Honzík Jan Hrabal Petr Jaroš Jiří Kacetl Jaromír Lesák Pavel Maurer Jan Novotný Havel Nový Gustav Opatrný Leoš Pravý Karel Starý František Zach Václav

Věk

Odprac. hodin

Odměny

46 37 35 48 24 39 21 36 41 38 58 54 49 50 39 19 24

120,0 168,0 200,0 150,0 165,5 180,0 210,0 156,0 187,5 147,0 54,5 195,0 200,0 195,5 205,0 210,0 175,5

1 000 2 000 2 000 1 500 1 500 1 700 3 000 2 500 2 000 2 500 0 2 000 2 000 2 000 3 500 4 000 2 000

Určete aritmetický průměr, modus a medián věku, odpracovaných hodin a odměn všech zaměstnanců této firmy.

77

78


Řešení: Pro jednodušší práci s daty si je nejdříve seřadíme podle velikosti – to je vhodné nejen pro medián, ale v tomto případě i pro modus (hodnoty se málo opakují): Věk

Odprac. hodin

Odměny

19 21 24 24 35 36 37 38 39 39 41 46 48 49 50 54 58

54,5 120,0 147,0 150,0 156,0 165,5 168,0 175,5 180,0 187,5 195,0 195,5 200,0 200,0 205,0 210,0 210,0

0 1 000 1 500 1 500 1 700 2 000 2 000 2 000 2 000 2 000 2 000 2 000 2 500 2 500 3 000 3 500 4 000

Určíme příslušné součty – AP vypočteme jako podíl těchto součtů/17 (počet zaměstnanců), v uspořádaných sloupcích najdeme nejčetnější hodnoty – modus a protoţe počet zaměstnanců je 17 – medián bude na (17 + 1) : 2 = 9. místě: Firma ABCD - leden 2003

Celkem Aritmetický průměr Modus Medián


Věk

Odprac. hodin

Odměny

658 39 24, 39 39,0

2920 172 200, 210 180,0

35200 2071 2000 2 000


Příklady k procvičení: 1) V příloze č. 3 vypočtěte modus a medián věku muţů a ţen pro zadané státy. 2) V příloze č. 4 jsou uvedeny klimatické hodnoty jednotlivých stanic ČR v roce 2008. Určete průměrné hodnoty pro celou ČR. Výsledky: 1) Země Modus Medián

věk muži

věk ženy

75

81

72

78

2) Klimatické hodnoty v roce 2008

Prům. teplota vzduchu (oC)

Úhrn srážek (mm)

Trvání slunečního svitu (h)

Aritmetický průměr

8,96

604,07

1 668,93

79

80


Souhrnné příklady k procvičení 1) V příloze č. 1 je přehled počtu obyvatel ve městech ČR. Určete základní pojmy a vypočtěte relativní četnosti. 2) V příloze č. 3 jsou uvedeny základní informace o státech Evropy. Sestavte pruhové diagramy (sloupce vodorovně) pro srovnání rozlohy a počtu obyvatel jednotlivých států. 3) V příloze č. 4 jsou uvedeny klimatické hodnoty jednotlivých stanic ČR v roce 2008. Sestavte pruhové diagramy (sloupce vodorovně) jednotlivých klimatických hodnot naměřených na všech stanicích ČR. 4) V příloze č. 5 jsou uvedeny počty ţáků čtyřletých gymnázií. Sestavte a) spojnicový graf – porovnání celkového počtu ţáků 4letých gymnázií v jednotlivých ročnících a školních rocích b) sloupkové diagramy – porovnání počtu ţáků (z toho dívek) celkově a pro kaţdý ročník v jednotlivých ročnících a školních rocích 5) V příloze č. 6 je přehled obyvatelstva od r. 1970 do r. 2008. Sestavte: a) graf, který zobrazuje vývoj počtu obyvatel v průběhu uvedeného období; b) graf, který zobrazuje vývoj přirozeného přírůstku/úbytku v průběhu uvedeného období; c) graf, který zobrazuje vývoj přírůstku/úbytku stěhováním v průběhu uvedeného období. 6) V příloze e č. 7 je přehled porodnosti a úmrtnosti od r. 1970 do r. 2008. Sestavte: a) graf, který zobrazuje vývoj počtu ţivě narozených v průběhu uvedeného období; b) graf, který zobrazuje vývoj počtu mrtvě narozených v průběhu uvedeného období; c) graf, který zobrazuje vývoj počtu zemřelých v průběhu uvedeného období; d) graf, který zobrazuje vývoj počtu zemřelých do 1 roku v průběhu uvedeného období; e) graf, který zobrazuje vývoj počtu zemřelých do 28 dnů v průběhu uvedeného období; 7) V příloze e č. 8 je přehled sňatkovosti a rozvodovosti od r. 1970 do r. 2008. Sestavte graf, který zobrazuje vývoj počtu sňatků a rozvodů v průběhu uvedeného období.


Výsledky: 1) statistický soubor obyvatelé měst ČR statistická jednotka ............. kaţdý občan ţijící v nějakém městě ČR znak statistické jednotky..... obyvatel města… hodnota znaku ..................... konkrétní město

město

Praha

počet obyvatel četnost

relativní četnost

relativní četnost v %

město

počet obyvatel

relativní četnost

relativní četnost v %

1 170 571

0,2411

24,11%

Litvínov

27 027

0,0056

0,56%

Brno

367 729

0,0758

7,58%

Nový Jičín

26 331

0,0054

0,54%

Ostrava

311 402

0,0641

6,41%

Hodonín

26 290

0,0054

0,54%

Plzeň

162 627

0,0335

3,35%

Uherské Hradiště

26 280

0,0054

0,54%

Olomouc

100 752

0,0208

2,08%

Český Těšín

26 059

0,0054

0,54%

Liberec

97 400

0,0201

2,01%

Břeclav

25 716

0,0053

0,53%

Hradec Králové

94 694

0,0195

1,95%

Krnov

25 442

0,0052

0,52%

České Budějovice

94 622

0,0195

1,95%

Sokolov

24 724

0,0051

0,51%

Ústí nad Labem

93 859

0,0193

1,93%

Litoměřice

24 389

0,0050

0,50%

Pardubice

88 181

0,0182

1,82%

Havlíčkův Brod

24 296

0,0050

0,50%

Havířov

84 784

0,0175

1,75%

Ţďár nad Sázavou

23 976

0,0049

0,49%

Zlín

78 599

0,0162

1,62%

Chrudim

23 498

0,0048

0,48%

Kladno

69 355

0,0143

1,43%

Kopřivnice

23 389

0,0048

0,48%

Most

67 815

0,0140

1,40%

Strakonice

23 347

0,0048

0,48%

Karviná

63 467

0,0131

1,31%

Bohumín

23 078

0,0048

0,48%

Frýdek-Místek

59 897

0,0123

1,23%

Klatovy

22 893

0,0047

0,47%

Opava

59 843

0,0123

1,23%

Jindřichův Hradec

22 666

0,0047

0,47%

Děčín

51 820

0,0107

1,07%

Vyškov

22 259

0,0046

0,46%

Karlovy Vary

51 537

0,0106

1,06%

Jirkov

21 203

0,0044

0,44%

Teplice

51 193

0,0105

1,05%

Náchod

21 197

0,0044

0,44%

Chomutov

50 176

0,0103

1,03%

Kutná Hora

21 109

0,0043

0,43%

Jihlava

49 865

0,0103

1,03%

Blansko

20 290

0,0042

0,42%

Prostějov

47 165

0,0097

0,97%

Hranice

19 568

0,0040

0,40%

Přerov

46 938

0,0097

0,97%

Ţatec

19 535

0,0040

0,40%

Jablonec nad Nisou

44 571

0,0092

0,92%

Mělník

19 053

0,0039

0,39%

Mladá Boleslav

42 972

0,0089

0,89%

Louny

19 012

0,0039

0,39%

Česká Lípa

38 776

0,0080

0,80%

Otrokovice

18 708

0,0039

0,39%

Třebíč

38 715

0,0080

0,80%

Kadaň

17 731

0,0037

0,37%

Třinec

38 218

0,0079

0,79%

Beroun

17 646

0,0036

0,36%

Tábor

36 013

0,0074

0,74%

Bruntál

17 631

0,0036

0,36%

Znojmo

35 177

0,0072

0,72%

Uherský Brod

17 424

0,0036

0,36%

Příbram

35 147

0,0072

0,72%

Kralupy nad Vltavou

17 323

0,0036

0,36%

Orlová

34 026

0,0070

0,70%

17 322

0,0036

0,36%

Cheb

33 462

0,0069

0,69%

Svitavy Roţnov pod Radhoštěm

17 276

0,0036

0,36%

81

82


Trutnov

31 239

0,0064

0,64%

Ostrov

17 193

0,0035

0,35%

Písek

29 801

0,0061

0,61%

Česká Třebová

16 655

0,0034

0,34%

Kolín

29 489

0,0061

0,61%

Pelhřimov

16 417

0,0034

0,34%

Kroměříţ

29 041

0,0060

0,60%

Neratovice

16 372

0,0034

0,34%

Šumperk

28 475

0,0059

0,59%

Rakovník

16 329

0,0034

0,34%

Vsetín

28 350

0,0058

0,58%

Jičín

16 248

0,0033

0,33%

Valašské Meziříčí

27 410

0,0056

0,56%

Benešov

16 208

0,0033

0,33%

obyvatel měst celkem:

4 854 283


83

2) Státy Evropy:

Země podle rozlohy (mil. km2) San Marino Lichtenštejnsko Malta Lucembursko Slovinsko Makedonie Albánie Belgie Norsko Moldavsko Švýcarsko Nizozemsko Dánsko Estonsko Slovensko Bosna a hercegovina Chorvatsko Lotyšsko Litva Irsko ČR Rakousko Portugalsko Maďarsko Jugoslávie Island Bulharsko Řecko Bělorusko Rumunsko Spojené království Itálie Polsko Finsko Německo Švédsko Španělsko Francie Ukrajina 0.00

100.00

200.00

300.00

400.00

500.00

600.00

700.00

84


Země podle počtu obyvatel (mil.) San Marino Island Lichtenštejnsko Malta Lucembursko Estonsko Slovinsko Makedonie Lotyšsko Albánie Irsko Bosna a hercegovina Litva Moldavsko Norsko Chorvatsko Finsko Dánsko Slovensko Švýcarsko Rakousko Bulharsko Švédsko Portugalsko Maďarsko Belgie Bělorusko ČR Řecko Jugoslávie Nizozemsko Rumunsko Polsko Španělsko Ukrajina Itálie Francie Spojené království Německo 0.00

20.00

40.00

60.00

80.00

100.00


3) Meteorologické stanice ČR:

Prům. teplota vzduchu (oC) Lysá Hora Churáňov Milešovka Svratouch Přibyslav Cheb Liberec Velké Meziříčí Tábor Praha, Ruzyně Klatovy České Budějovice Mošnov Doksany Semčice Hradec Králové Holešov Kuchařovice Olomouc Brno, Tuřany Praha, Karlov 0.0

2.0

4.0

6.0

8.0

10.0

12.0

85

86


Úhrn srážek (mm) Praha, Karlov Brno, Tuřany Tábor Kuchařovice Hradec Králové Klatovy Velké Meziříčí Olomouc Praha, Ruzyně Holešov Semčice Milešovka Doksany Přibyslav České Budějovice Mošnov Svratouch Cheb Liberec Churáňov Lysá Hora 0.0

200.0 400.0 600.0 800.0 1 000.0 1 200.0 1 400.0

Trvání slunečního svitu (h) Lysá Hora Klatovy Svratouch Doksany Liberec Cheb Velké Meziříčí Tábor Praha, Karlov Přibyslav České Budějovice Mošnov Olomouc Semčice Brno, Tuřany Praha, Ruzyně Milešovka Holešov Kuchařovice Churáňov Hradec Králové 1 300.0 1 400.0 1 500.0 1 600.0 1 700.0 1 800.0 1 900.0


4) a)

Žáci čtyřletých gymnázií 1. ročník

2. ročník

15 500 15 000 14 500 14 000 13 500 13 000 12 500 12 000 11 500

b)

Celkem Celkem 70 000 60 000 50 000 40 000 30 000 20 000 10 000 0

Z toho dívky

3. ročník

4. ročník

87

88


1. ročník 1. ročník

Z toho dívky

16 000 14 000 12 000 10 000 8 000 6 000 4 000 2 000 0

2. ročník 2. ročník 16 000 14 000 12 000 10 000 8 000 6 000 4 000 2 000 0

Z toho dívky


3. ročník 3. ročník

Z toho dívky

16 000 14 000 12 000 10 000 8 000 6 000 4 000 2 000 0

4. ročník 4. ročník 16 000 14 000 12 000 10 000 8 000 6 000 4 000 2 000 0

5)

Z toho dívky

89

90


a)

Střední stav obyvatelstva od r. 1970 do r. 2008 10 500 000 10 400 000 10 300 000 10 200 000 10 100 000 10 000 000 9 900 000 2008

2006

2004

2002

2000

1998

1996

1994

1992

1990

1988

1986

1984

1982

1980

1978

1976

1974

1972

1970

9 800 000

b)

Přírůstek/úbytek - přirozený

2008

2006

2004

2002

2000

1998

1996

1994

1992

1990

1988

1986

1984

1982

1980

1978

1976

1974

1972

1970

80 000 70 000 60 000 50 000 40 000 30 000 20 000 10 000 0 -10 000 -20 000 -30 000


91

c)

Přírůstek/úbytek - stěhováním

6) a)

Narození živě 195 000 175 000 155 000 135 000 115 000 95 000

2008

2006

2004

2002

2000

1994

1992

1990

1988

1986

1984

1982

1980

1978

1976

1974

1972

1970

75 000

2008

2006

2004

2002

2000

1998

1996

1992 1998

1994

1990 1996

1988

1986

1984

1982

1980

1978

1976

1974

1972

1970

90 000 80 000 70 000 60 000 50 000 40 000 30 000 20 000 10 000 0 -10 000

92


b)

Narození mrtvě

1998

2000

2002

2004

2006

2008

1998

2000

2002

2004

2006

2008

1996

1994

1992

1990

1988

1986

1984

1982

1980

1978

1976

1974

1972

1970

1 300 1 200 1 100 1 000 900 800 700 600 500 400 300 200 100 0

c)

Zemřelí 140 000 135 000 130 000 125 000 120 000 115 000 110 000 105 000 1996

1994

1992

1990

1988

1986

1984

1982

1980

1978

1976

1974

1972

1970

100 000


d)

Zemřelí - do 1 roku

1998

2000

2002

2004

2006

2008

1998

2000

2002

2004

2006

2008

1996

1994

1992

1990

1988

1986

1984

1982

1980

1978

1976

1974

1972

1970

4 000 3 500 3 000 2 500 2 000 1 500 1 000 500 0

e)

Zemřelí do 28 dnů

1996

1994

1992

1990

1988

1986

1984

1982

1980

1978

1976

1974

1972

1970

2 850 2 600 2 350 2 100 1 850 1 600 1 350 1 100 850 600 350 100

93

94


7) Sňatky 100 000 90 000 80 000 70 000 60 000 50 000 40 000 30 000 20 000 10 000 0

Rozvody


Přílohy: Příloha č. 1: Počet obyvatel ve městech ČR k 31. 12. 2004 Příloha č. 2: Věkové sloţení obyvatelstva Příloha č. 3: Země – základní údaje Příloha č. 4: Klimatické hodnoty v roce 2008 Příloha č. 5: Ţáci čtyřletých gymnázií Příloha č. 6: Přírůstky a úbytky obyvatelstva od roku 1970 do roku 2008 Příloha č. 7: Porodnost a úmrtnost v ČR od r. 1970 do r. 2008 Příloha č. 8: Sňatkovost a rozvodovost v ČR od r. 1970 do r. 2008 Ukázky tabulek a publikace ČSÚ: Příloha č. 9: Mezikrajové srovnání za 1. - 3. čtvrtletí 2006 Příloha č. 10: Mezinárodní srovnání v roce 2004 Příloha č. 11 - Školní ročenka 2005 V přílohách č. 9, 10 a 11 můţete vidět, jakým způsobem lze předkládat veřejnosti, případně interpretovat zjištěné údaje ČSÚ.

95

96


Příloha č. 1: Počet obyvatel v městech ČR k 31. 12. 2004 MĚSTA ČESKÉ REPUBLIKY k 31. 12. 2004 město

počet oby v atel

Praha

1 170 571

město

počet oby v atel

Litv ínov

27 027

Brno

367 729

Nov ý Jičín

26 331

Ostrav a

311 402

Hodonín

26 290

Plzeň

162 627

Uherské Hradiště

26 280

Olomouc

100 752

Český Těšín

26 059

Liberec

97 400

Břeclav

25 716

Hradec Králov é

94 694

Krnov

25 442

České Budějov ice

94 622

Sokolov

24 724

Ústí nad Labem

93 859

Litoměřice

24 389

Pardubice

88 181

Hav líčkův Brod

24 296

Hav ířov

84 784

Ţďár nad Sázav ou

23 976

Zlín

78 599

Chrudim

23 498

Kladno

69 355

Kopřiv nice

23 389

Most

67 815

Strakonice

23 347

Karv iná

63 467

Bohumín

23 078

Frýdek-Místek

59 897

Klatov y

22 893

Opav a

59 843

Jindřichův Hradec

22 666

Děčín

51 820

Vy škov

22 259

Karlov y Vary

51 537

Jirkov

21 203

Teplice

51 193

Náchod

21 197

Chomutov

50 176

Kutná Hora

21 109

Jihlav a

49 865

Blansko

20 290

Prostějov

47 165

Hranice

19 568

Přerov

46 938

Ţatec

19 535

Jablonec nad Nisou

44 571

Mělník

19 053

Mladá Boleslav

42 972

Louny

19 012

Česká Lípa

38 776

Otrokov ice

18 708

Třebíč

38 715

Kadaň

17 731

Třinec

38 218

Beroun

17 646

Tábor

36 013

Bruntál

17 631

Znojmo

35 177

Uherský Brod

17 424

Příbram

35 147

Kralupy nad Vltav ou

17 323

Orlov á

34 026

Sv itav y

17 322

Cheb

33 462

Roţnov pod Radhoštěm

17 276

Trutnov

31 239

Ostrov

17 193

Písek

29 801

Česká Třebov á

16 655

Kolín

29 489

Pelhřimov

16 417

Kroměříţ

29 041

Neratov ice

16 372

Šumperk

28 475

Rakov ník

16 329

Vsetín

28 350

Jičín

16 248

Valašské Meziříčí

27 410

Benešov

16 208


Příloha č. 2: Věkové sloţení obyvatelstva VĚKOVÉ SLOŢENÍ OBYVATELSTVA Sloţení oby v atelstv a podle v ěkov ých skupin k 31. 12. (tis. osob) Celkem

2001

2002

2003

2004

10 206

10 204

10 211

10 221

do 14 let

1 622

1 590

1 554

1 527

15 - 64 let

7 169

7 196

7 234

7 259

65 a v íce let

1 415

1 418

1 423

1 435

4 968

4 967

4 975

4 981

832

816

798

784

3 590

3 603

3 625

3 639

Muţi do 14 let 15 - 64 let 65 a v íce let Ţeny do 14 let 15 - 64 let 65 a v íce let

546

548

552

558

5 238

5 237

5 236

5 240

790

774

756

743

3 579

3 593

3 609

3 620

869

870

871

877

97

98


Příloha č. 3: Země – základní údaje

Země

Hl. město

rozloha (mil. 2

km )

obyvatel (mil.)

věk muži

věk ženy

28,70

3,40

75

81

Brusel

30,50

10,20

76

81

Athény

131,90

10,50

63

73

Sarajevo

51,10

3,60

74

80

Jugoslávie

Bělehrad

102,20

10,60

66

73

ČR

Praha

78,90

10,30

70

77

Dánsko

Kodaň

43,10

5,30

73

80 80

Albánie

Tirana

Belgie Řecko Bosna a hercegovina

Estonsko

Taliin

45,20

1,50

73

Německo

Berlín

375,00

82,00

75

79

Rumunsko

Bukurešť

237,50

22,50

70

75 79

Chorvatsko

Záhřeb

56,60

4,80

74

Irsko

Dublin

70,30

3,60

67

75

Finsko

Helsinky

338,10

5,10

70

74

Ukrajina

Kyjev

603,70

50,70

71

78

Spojené království

Londýn

244,10

59,00

66

75

Lichtenštejnsko

Vaduz

0,20

0,30

62

74

Litva

Vilnius

65,30

3,70

63

74

Lotyšsko

Riga

64,60

2,50

75

82

2,60

0,40

77

81

Lucembursko

Lucemburk

Maďarsko

Budapešť

93,00

10,20

68

76

Makedonie

Skopje

25,70

2,10

61

73 80

Malta

Valletta

0,30

0,40

73

Moldavsko

Kišiněv

33,70

4,30

74

82

Španělsko

Madrid

506,00

39,30

75

79 81

Nizozemsko

Amsterdam

41,50

15,60

74

Norsko

Oslo

32,90

4,40

74

81

Bělorusko

Minsk

207,50

10,30

70

76

Portugalsko

Lisabon

92,10

9,90

64

71

Rakousko

Vídeň

83,90

8,10

65

74

Francie

Paříž

544,00

58,60

73

79

Island

Reykjavík

102,80

0,30

58

72

San Marino

San Marino

0,06

0,03

73

78 80

Slovensko

Bratislava

49,00

5,40

75

Slovinsko

Lublaň

20,30

2,00

64

75

Itálie

Řím

301,30

57,40

75

81 77

Bulharsko

Sofie

111,00

8,30

69

Švédsko

Stockholm

450,00

8,90

72

79

Švýcarsko

Bern

41,30

7,10

73

79

Polsko

Varšava

312,70

38,60

70

75


Příloha č. 4: Klimatické hodnoty v roce 2008 Meteorologická stanice

Prům. teplota vzduchu ( oC)

Úhrn srážek (mm)

Trvání slunečního svitu (h)

Brno, Tuřany České Budějovice Doksany Holešov Hradec Králové Cheb Churáňov Klatovy Kuchařovice Liberec Lysá Hora Milešovka Mošnov Olomouc Praha, Karlov Praha, Ruzyně Přibyslav Semčice Svratouch Tábor Velké Meziříčí

10,7 9,8 9,9 10,3 10,3 8,5 5,5 9,4 10,4 8,7 3,9 6,7 9,9 10,5 11,1 9,4 8,3 10,0 7,2 8,9 8,8

426,0 569,3 560,8 534,5 465,7 731,4 1 011,3 478,8 445,4 841,2 1 268,5 560,8 686,3 484,8 408,1 492,1 563,2 540,1 690,4 442,2 484,5

1 725,5 1 681,7 1 598,6 1 746,7 1 781,8 1 615,3 1 760,2 1 541,9 1 753,0 1 607,3 1 495,4 1 741,2 1 692,0 1 717,2 1 653,5 1 732,6 1 670,5 1 719,8 1 558,0 1 634,2 1 621,1

99

100


Příloha č. 5: Ţáci čtyřletých gymnázií 2000/2001 2001/2002 2002/2003 2003/2004 2004/2005 2005/2006 1. ročník 2. ročník 3. ročník 4. ročník Celkem

13 056 13 410 12 133 12 203 50 802

14 007 12 646 13 162 11 851 51 666

13 787 13 669 12 434 12 898 52 788

14 877 13 809 13 711 12 385 54 782

14 841 14 472 13 559 13 355 56 227

15 221 14 588 14 412 13 463 57 684

Z toho dívky: 2000/2001 2001/2002 2002/2003 2003/2004 2004/2005 2005/2006 1. ročník 2. ročník 3. ročník 4. ročník Celkem

8 577 8 940 7 682 7 464 32 663

9 085 8 301 8 774 7 525 33 685

9 005 8 881 8 151 8 627 34 664

9 581 8 970 8 907 8 133 35 591

9 489 9 381 8 799 8 708 36 377

9 730 9 338 9 314 8 783 37 165


Příloha č. 6: Přírůstky a úbytky obyvatelstva od roku 1970 do roku 2008 Přírůstek/úbytek

Rok

Střední stav obyvatelstva

přirozený

stěhováním

1970 1971 1972 1973 1974 1975 1976 1977 1978 1979 1980 1981 1982 1983 1984 1985 1986 1987 1988 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008

9 805 157 9 830 602 9 868 379 9 919 519 9 994 761 10 062 366 10 128 220 10 189 312 10 245 686 10 296 489 10 326 792 10 303 208 10 314 321 10 322 823 10 330 481 10 336 742 10 340 737 10 348 834 10 356 359 10 362 257 10 362 740 10 308 682 10 317 807 10 330 607 10 336 162 10 330 759 10 315 353 10 303 642 10 294 943 10 282 784 10 272 503 10 224 192 10 200 774 10 201 651 10 206 923 10 234 092 10 266 646 10 322 689 10 429 692

24 538 31 805 44 456 57 313 67 406 67 462 62 146 55 549 51 765 44 163 18 264 14 031 10 973 2 957 4 753 4 240 771 3 677 6 973 609 1 398 5 064 1 368 2 840 -10 794 -21 816 -22 336 -22 087 -18 992 -20 297 -18 091 -17 040 -15 457 -17 603 -9 513 -5 727 1 390 9 996 14 622

-4 350 2 490 2 884 4 615 3 052 2 401 2 630 1 307 2 064 2 494 1 858 1 717 1 748 2 383 2 621 2 195 3 013 2 721 2 544 1 459 624 2 876 11 781 5 476 9 942 9 999 10 129 12 075 9 488 8 774 6 539 -8 551 12 290 25 789 18 635 36 229 34 720 83 945 71 790

101

102


Příloha č. 7: Porodnost a úmrtnost v ČR od r. 1970 do r. 2008

Obyvatelstvo - II Narození Rok


živě

mrtvě

celkem

1970 1971 1972 1973 1974 1975 1976 1977 1978 1979 1980 1981 1982 1983 1984 1985 1986 1987 1988 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007

9 805 157 9 830 602 9 868 379 9 919 519 9 994 761 10 062 366 10 128 220 10 189 312 10 245 686 10 296 489 10 326 792 10 303 208 10 314 321 10 322 823 10 330 481 10 336 742 10 340 737 10 348 834 10 356 359 10 362 257 10 362 740 10 308 682 10 317 807 10 330 607 10 336 162 10 330 759 10 315 353 10 303 642 10 294 943 10 282 784 10 272 503 10 224 192 10 200 774 10 201 651 10 206 923 10 234 092 10 266 646 10 322 689

147 865 154 180 163 661 181 750 194 215 191 776 187 378 181 763 178 901 172 112 153 801 144 438 141 738 137 431 136 941 135 881 133 356 130 921 132 667 128 356 130 564 129 354 121 705 121 025 106 579 96 097 90 446 90 657 90 535 89 471 90 910 90 715 92 786 93 685 97 664 102 211 105 831 114 632

1 028 1 053 1 083 1 203 1 212 1 093 1 144 1 102 1 117 972 864 748 780 701 646 607 586 548 571 525 530 496 437 445 336 300 317 273 294 303 259 263 261 272 265 287 299 315

123 327 122 375 119 205 124 437 126 809 124 314 125 232 126 214 127 136 127 949 135 537 130 407 130 765 134 474 132 188 131 641 132 585 127 244 125 694 127 747 129 166 124 290 120 337 118 185 117 373 117 913 112 782 112 744 109 527 109 768 109 001 107 755 108 243 111 288 107 177 107 938 104 441 104 636

Zemřelí z toho do 1 roku z toho do celkem 28 dnů 2 987 3 114 3 194 3 536 3 744 3 713 3 580 3 407 3 053 2 726 2 592 2 226 2 130 1 997 1 932 1 694 1 639 1 577 1 463 1 280 1 410 1 343 1 204 1 028 847 740 547 531 472 413 373 360 385 365 366 347 352 360

2 235 2 411 2 462 2 749 2 933 2 835 2 739 2 472 2 260 1 945 1 735 1 601 1 466 1 368 1 365 1 167 1 121 1 094 1 003 886 1 003 902 749 692 505 475 347 326 289 261 231 212 251 221 224 206 246 235


Příloha č. 8: Sňatkovost a rozvodovost v ČR od r. 1970 do r. 2008 Rok


1970 1971 1972 1973 1974 1975 1976 1977 1978 1979 1980 1981 1982 1983 1984 1985 1986 1987 1988 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008

9 805 157 9 830 602 9 868 379 9 919 519 9 994 761 10 062 366 10 128 220 10 189 312 10 245 686 10 296 489 10 326 792 10 303 208 10 314 321 10 322 823 10 330 481 10 336 742 10 340 737 10 348 834 10 356 359 10 362 257 10 362 740 10 308 682 10 317 807 10 330 607 10 336 162 10 330 759 10 315 353 10 303 642 10 294 943 10 282 784 10 272 503 10 224 192 10 200 774 10 201 651 10 206 923 10 234 092 10 266 646 10 322 689 10 429 692

Sňatky Rozvody 90 624 91 864 95 337 99 518 98 048 97 373 94 929 93 011 90 338 84 496 78 343 77 453 76 978 80 417 81 714 80 653 81 638 83 773 81 458 81 262 90 953 71 973 74 060 66 033 58 440 54 956 53 896 57 804 55 027 53 523 55 321 52 374 52 732 48 943 51 447 51 829 52 860 57 157 52 457

21 516 23 616 22 392 25 271 24 970 26 154 25 544 25 442 27 071 26 191 27 218 27 608 27 921 29 319 30 514 30 489 29 560 31 036 30 652 31 376 32 055 29 366 28 572 30 227 30 939 31 135 33 113 32 465 32 363 23 657 29 704 31 586 31 758 32 824 33 060 31 288 31 415 31 129 31 300

103

104


Příloha č. 9: Mezikrajové srovnání za 1. - 3. čtvrtletí 2006

Mezikrajové srovnání

Tabulka s vybranými ukazateli.

Příloha č. 10: Mezinárodní srovnání v roce 2004

Mezinárodní srovnání

Tabulka s vybranými ukazateli, grafy cen hovorů.

Příloha č. 11: Školní ročenka 2005.pdf Ukázka prezentace dat ČSÚ, zajímavé informace, tabulky a grafy.


105

Základy pravděpodobnosti Základní pojmy Náhodné pokusy jsou procesy, jejichţ výsledek nelze předem jednoznačně určit; při opakování dávají ze stejných podmínek rozdílné výsledky; závisí jednak na daných podmínkách, při kterých je prováděn, jednak na náhodě - například hod kostkou nebo hod mincí, tah Sportky, rozdání karet, otočení rulety,... Množina všech možných výsledků pokusů (značíme

)

předpokládá se, ţe u kaţdého náhodného pokusu je moţno předem určit všechny moţné výsledky, a to tak, ţe se navzájem vylučují a ţe jeden z nich nastane vţdy - u hodu kostkou jsou to čísla 1 – 6, u hodu mincí „panna“ nebo „orel“ budeme uvaţovat pouze konečnou množinu všech moţných výsledků a navíc budeme předpokládat, ţe žádné dva nenastanou současně; - u hodu kostkou a vlastně i mincí se tím rozumí, ţe je ideálně vyvážená, ţe není moţné, aby padla“hrana“ a ţe vţdy padne jedna ze strana kostky nebo mince. Náhodný jev - podmnoţina mnoţiny všech moţných výsledků (značíme A, B,  ) - padne liché číslo, padne sudé číslo, ... Jistý jev ( I ) - jev, který při daném pokusu určitě nastane (celá mnoţina

)

- padne číslo menší neţ 7. Jev nemožný (Ø) - jev, který nemůţe nastat (prázdná mnoţina – neobsahuje ţádný prvek) - padne číslo větší neţ 6 Jev opačný – jev A´ je opačný k jevu A , je-li mnoţina příznivých výsledků jednomu jevu rovna doplňku mnoţiny výsledků příznivých jevu druhému Pozn.: doplňkem A´ mnoţiny A v dané základní mnoţině jsou všechny prvky základní mnoţiny

, které nepatří do mnoţiny A .

Pravděpodobnost náhodného jevu – počet prvků mnoţiny

je počet všech moţných

výsledků náhodného pokusu, reálné číslo P(A) je pravděpodobnost náhodného jevu A a určujeme ji pomocí vzorce:

P(A)

počet všech příznivých výsledků počet všech moţných výsledků


106

Příklad: Náhodný pokus ........ hod kostkou,

1, 2, 3, 4, 5, 6

jev A ........................ padne číslo 4 jev B ........................ padne sudé číslo jev C ........................ padne číslo větší neţ4 jev D ........................ nepadne číslo 4 jev E ........................ padne liché číslo jev F ........................ padne číslo menší neţ 4 jev G ........................ padne číslo větší nebo rovno 4 jev H ........................ padne jedno z čísel 1, 2, 3, 4, 5, 6 jev J ......................... nepadne ţádné z čísel 1, 2, 3, 4, 5, 6 Najděte jev jistý, jev nemoţný, opačné jevy a určete pravděpodobnosti všech jevů. Řešení: jev jistý ................... u hodu kostkou určitě padne jedno z čísel 1 aţ 6, proto je jev H jistý jev nemoţný ........... ze stejného důvodu je jev J nemoţný opačné jevy ............. opačné jsou jevy H a J , jevy A a D , jevy B a E a jevy F a G je zřejmé, ţe k jevu F nemůţe být opačný jev C , protoţe číslo 4 nepatří ani do jedné z mnoţin příznivých výsledků Počet všech moţných výsledků je 6, dále: A ............................ 4

- jediný příznivý výsledek ............ P A

1 6

B ............................ 2, 4, 6

- tři příznivé výsledky .................. P B

3 6

1 2

C ............................ 5, 6

- dva příznivé výsledky ................ P C

2 6

1 3

D ............................ 1, 2, 3, 5, 6

- pět příznivých výsledků ............. P D

5 6

E ............................ 1, 3, 5

- tři příznivé výsledky .................. P E

3 6

1 2

F ............................ 1, 2, 3

- tři příznivé výsledky .................. P F

3 6

1 2


G ............................ 4, 5, 6

- tři příznivé výsledky .................. P G

3 6

1 2

H ........................... 1, 2, 3, 4, 5, 6

- šest příznivých výsledků ............ P H

6 6

1

J ............................ -

- 0 příznivých výsledků ................ P J

0 6

0

107

Na předchozím příkladě můţeme vidět, ţe: pravděpodobnost jevu nemoţného je 0:

P( Ø )

0

P

1

pravděpodobnost jevu jistého je 1:

součet pravděpodobností jevů opačných je 1: PA

P A´

1

pravděpodobnost je reálné číslo z intervalu 0 aţ 1: P A

0, 1

Pravděpodobnost lze vyjádřit také v procentech, tj. P A 100 .

Při malém počtu pokusů mohou být výsledky různé, ale uţ při zvyšování počtu pokusů se začne projevovat souvislost mezi relativní četností a pravděpodobností – tyto hodnoty se sobě začnou přibliţovat a při dostatečně rozsáhlém souboru jsou si dokonce rovny. Můţete si provést pokus, kdy budete házet mincí a zapisovat počet všech hodů a počet hodů, kdy padl například „orel“. Po sečtení se můţete přesvědčit, zda se relativní četnost skutečně rovná nebo blíţí jedné polovině.

108


Základy finanční matematiky Základní pojmy věřitel ........................... osoba (instituce), která peníze poskytuje (půjčuje) dlužník ......................... osoba (instituce), která si peníze půjčuje úrok ( ú ) ...................... částka, kterou obdrţí (navíc) věřitel po uplynutí úrokovací doby úroková míra, úroková sazba ( p ) výše úroku vyjádřená v procentech kapitál, jistina ( j ) ...... částka, která byla vloţena do peněţního ústavu nebo půjčena jiné osobě úrokovací doba ( t )...... časový úsek, po který je jistina uloţena v peněţním ústavu nebo půjčena jiné osobě úrokovací období ........ časový úsek, za který vzroste jistina j o předem stanovený úrok; úrokovací období můţe být: roční značí se p. a. (latinsky per annum) pololetní značí se p. s. (latinsky per semestre) čtvrtletní značí se p. q. (latinsky per quartale) měsíční značí se p. m. (latinsky per mensem) Investice (výdaj určité dnešní hodnoty za účelem získání nějaké budoucí hodnoty): dluhopis (obligace) ..... cenný papír, který vyjadřuje závazek dluţníka vůči majiteli dluhopisu (věřiteli); dluhopisy vydávají: stát, obce a města, banky, podniky depozitní certifikát (vkladový certifikát, depozitní list, vkladový list) cenný papír, který vydává banka klientovi jako potvrzení o přijetí vkladu (banka je v tomto případě dluţníkem, klient věřitelem); doba splatnosti depozitních certifikátů je doba, za kterou je klientovi splacena vloţená částka i s úrokem (bývá obvykle několik týdnů aţ jeden rok) směnka ........................ cenný papír - závazek zaplatit oprávněnému majiteli směnky určitou peněţní částku; rozlišujeme směnky vlastní (vystavuje sám dluţník) a směnky cizí (vystavované věřitelem a přikazující dluţníkovi zaplatit udanou částku ve prospěch třetí osoby) termínovaný účet ........ účet, ze kterého po sjednanou dobu nebude vkladatel peníze z banky vybírat běžný účet .................... účet, ze kterého můţe majitel peníze vybírat kdykoli


109

úrokování: jednoduché .................. úroky se stále počítají z vloţené částky; uţívá se v praxi, je-li úrokovací doba menší nebo rovna úrokovacímu období složené ......................... na konci prvního úrokovacího období se úrok počítá z vloţené částky; na konci dalších úrokovacích období se úrok vypočítává z částky, která se skládá z původního vkladu a jiţ dříve připsaných úroků; uţívá se v praxi, je-li úrokovací doba tvořena několika celými úrokovacími obdobími kombinované ............... kombinace jednoduchého a sloţeného úrokování; (smíšené) uţívá se v praxi, je-li úrokovací doba t tvořena několika celými a ještě částí úrokovacího období na začátku nebo na konci úrokovací doby Peněţní ústav odvádí státu za vkladatele daň z úroků (ze zisku). V současné době je v ČR podle zákona o daních stanovena 15% daň z úroků na vkladních kníţkách a z termínovaných vkladů. Úroky z vkladových certifikátů jsou zdaňovány 25 %.

110


Jednoduché úrokování Jednoduché úrokování je výpočet úroků s tím, že úroky se stále počítají z vložené částky; užívá se v praxi, je-li úrokovací doba menší nebo rovna úrokovacímu období. p Výpočet úroku za jedno úrokovací období (rok): ú j 100 Tzv. EVROPSKÝ STANDARD (německá metoda) je jedna z metod, které se pouţívají pro výpočet úroku jen za část roku: den výběru se započítává, den vkladu ne 1 rok ................... 360 dní 1 roku 12 1 1 den ............................................... roku 360

1 měsíc ............... 30 dní ..................

Označíme-li d jako počet dní, pak je Výpočet úroku za část roku:

ú

j

p d 100 360

Příklad: Pan Červinka si uloţil 12. 3 2000 do banky 150 000,- Kč na 3,5% úrok. Kolik korun měl na účtu koncem roku 2000? Řešení: j = 150 000,- Kč p = 3,5 % d = 1 + (30 -12) +9*30 = 289 dnů ú=? p d 3,5 289 ú j 150 000  4 215 100 360 100 360 150000 4 214,6 154215 Pan Červinka měl koncem roku 2000 na účtu 154 215,- Kč.


111

Chceme-li určit částku po připsání úroku přímo, stačí upravit součet původní částky a úroku: j ú

j

j

p 100

j ú

j

j

p d 100 360

j 1

p 100

nebo j 1

p d 100 360

Podle tohoto vzorce by výpočet z předchozího příkladu vypadal takto: j ú

j 1

p d 100 360

150 000 1

3,5 289 100 360

154 214,58  154 215

112


Sloţené úrokování Složené úrokování je výpočet úroků s tím, že na konci prvního úrokovacího období se úrok počítá z vložené částky a na konci dalších úrokovacích období se úrok vypočítává z částky, která se skládá z původního vkladu a již dříve připsaných úroků. užívá se v praxi, je-li úrokovací doba tvořena několika celými úrokovacími obdobími Příklad: Pan Červinka si uloţil 1. 1 2000 do banky 150 000,- Kč na 3,5% úrok. Kolik korun měl na účtu koncem roku 2001? Řešení: Výpočet úroku za první rok: j = 150 000,- Kč p = 3,5 % ú=? p 3,5 ú j 150 000  5 250 100 100 150000 5 250 155250 Výpočet úroku za druhý rok: j = 155 250,- Kč p = 3,5 % ú=? p 3,5 ú j 155 250  5 433,75 100 100 155250 5 433,75 160683,75 Pan Červinka měl koncem roku 2001 na účtu 160 684 Kč.


113

Chceme-li určit částku po připsání úroku přímo, stačí upravit součet původní částky a úroku: p po 1. roce: j ú j j 100 p p p po 2. roce: jistina na začátku 2. roku je j j , úrok je j j , konečná 100 100 100 částka tedy bude j

j j j 1

p 100 j

p 100

j

j

p 100

1

p 100

p 100

1

p 100

p j 1 100

p 100

2

Částka po n úrokovacích obdobích je:

j 1

p 100

n

Podle tohoto vzorce by výpočet z předchozího příkladu vypadal takto: p j 1 100

2

3,5 150 000 1 100

2

160 683,75  160 684

114


Kombinované úrokování Kombinované úrokování je kombinace jednoduchého a složeného úrokování; užívá se v praxi, je-li úrokovací doba t tvořena několika celými a ještě částí úrokovacího období na začátku nebo na konci úrokovací doby. Příklad: Pan Červinka si uloţil 12. 3 2000 do banky 150 000,- Kč na 3,5% úrok. Kolik korun měl na účtu koncem roku 2001? Řešení: Výpočet částky po prvním roku: j = 150 000,- Kč p = 3,5 % d = 1 + (30 -12) +9*30 = 289 dnů p d 3,5 289 j 1 150 000 1  154 214,58 100 360 100 360 Výpočet částky po druhém roku: j = 154 214,58 Kč p = 3,5 % d = 360 dnů (1 rok) p 3,5 j 1 154 214,58 1  159 612,09 100 100 Pan Červinka měl koncem roku 2001 na účtu 159 612,- Kč.


115

Úrokování se zdaněním Peněţní ústav odvádí státu za vkladatele daň z úroků (ze zisku). V současné době je v ČR podle zákona o daních stanovena 15% daň z úroků na vkladních kníţkách a z termínovaných vkladů. Úroky z vkladových certifikátů jsou zdaňovány 25 %. Úrokování se zdaněním Varianta A Při výpočtu úroků po odečtení daně postupujeme následovně: 85 75 Je-li daň 15 %, zbude 85 %, tj. úroku, je-li 25 %, zbude 75 %, tj. úroku. 100 100 Vzorce pro výpočty jsou pak následující: Jednoduché úrokování: j ú

j ú

p 0,75 100

nebo

p d 0,75 100 360

nebo

j 1

j 1

j ú

j ú

j 1

j 1

p 0,85 100

p d 0,85 100 360

Příklad: Pan Červinka si uloţil 12. 3 2000 do banky 150 000,- Kč na 3,5% úrok. Kolik korun měl na účtu koncem roku 2000 po odečtení 15% daně? Řešení: j ú

j 1

p d 0,85 100 360

150 000 1

3,5 289 0,85 100 360

Pan Červinka měl na účtu koncem roku 2001 částku 153 582 Kč.

153582,4  153582

116


Složené úrokování: j 1

p 0,75 100

n

nebo

j 1

p 0,85 100

n

Příklad: Pan Červinka si uloţil 1. 1 2000 do banky 150 000,- Kč na 3,5% úrok. Kolik korun měl na účtu koncem roku 2001 po odečtení 15% daně? Řešení: 2

2

p 3,5 j 1 0,85 150 000 1 0,85 159 057,76  159 058 100 100 Pan Červinka měl na účtu koncem roku 2001 částku 159 058 Kč.



117

Příklady k procvičení: 1) Pan Černý si chce uloţit do banky na účet s roční úrokovou mírou 2,8 % takovou částku, aby na konci roku mohl vybrat 15 000,- Kč. Jakou částku bude muset počátkem roku uloţit na účet? Daň z úroku je 15 %. [14 651.30 Kč] 2) Pan Bílý si chce uloţit do banky na účet s roční úrokovou mírou 2,9 % takovou částku, aby na konci roku mohl vybrat 25 000,- Kč. Jakou částku bude muset počátkem roku uloţit na účet? Daň z úroku je 15 %. [24 398.60 Kč] 3) Doplňte chybějící údaje do tabulky, je-li daň z úroků 15 %, konečnou částku uvádějte s přesností na desetihaléře: VKLAD

ÚROKOVÁ

DATUM

DATUM

POČET

KONEČNÁ

MÍRA

VKLADU

VÝBĚRU

DNŮ

ČÁSTKA

1 000 000,- Kč

10 %

1. 1. 2000

31. 12. 2000

2 000 000,- Kč

5%

1. 1. 2000

31. 12. 2001

100 000,- Kč

7%

1. 1. 2000

31. 12. 2003

200 000,- Kč

4%

1. 1. 2000

31. 5. 2000

500 000,- Kč

2,5%

1. 1. 2000

31. 5. 2001

1 500 000,- Kč

3,4 %

1. 1. 2000

17. 7. 2000

120 000,- Kč

4,5 %

1. 4. 2000

31. 12. 2000

250 000,- Kč

6,3 %

1. 4. 2001

31. 12. 2001

800 000,- Kč

2,7 %

1. 4. 2002

31. 12. 2003

300 000,- Kč

6,7 %

1. 4. 2000

31. 5. 2000

450 000,- Kč

5,2 %

1. 4. 2000

31. 5. 2001

720 000,- Kč

3,7 %

1. 4. 2000

17. 7. 2000


118 Řešení:

VKLAD

ÚROKOVÁ

DATUM

DATUM

POČET

KONEČNÁ

MÍRA

VKLADU

VÝBĚRU

DNŮ

ČÁSTKA

1 000 000,- Kč

10 %

1. 1. 2000

31. 12. 2000

1R

1 085 000,- Kč

2 000 000,- Kč

5%

1. 1. 2000

31. 12. 2001

2R

2 173 612,50 Kč

100 000,- Kč

7%

1. 1. 2000

31. 12. 2003

3R

118 933,10 Kč

200 000,- Kč

4%

1. 1. 2000

31. 5. 2000

150

202 833,30 Kč

500 000,- Kč

2,5%

1. 1. 2000

31. 5. 2001

1 R+150

515 146,20 Kč

1 500 000,- Kč

3,4 %

1. 1. 2000

17. 7. 2000

196

1 523 601,70 Kč

120 000,- Kč

4,5 %

1. 4. 2000

31. 12. 2000

270

123 442,50 Kč

250 000,- Kč

6,3 %

1. 4. 2001

31. 12. 2001

270

260 040,70 Kč

800 000,- Kč

2,7 %

1. 4. 2002

31. 12. 2003

1 R+270

300 000,- Kč

6,7 %

1. 4. 2000

31. 5. 2000

60

302 847,50 Kč

450 000,- Kč

5,2 %

1. 4. 2000

31. 5. 2001

1 R+60

473 351,50 Kč

720 000,- Kč

3,7 %

1. 4. 2000

17. 7. 2000

106

726 667,40 Kč

832 446,- Kč


119

Úrokování se zdaněním Varianta B Různá úrokovací období Příklad: Mějme 100 000,- Kč. Chceme vybrat banku, do které bychom tuto částku uloţili na 1 rok. Máme na výběr ze tří bank, které mají stejnou roční úrokovou míru 5,1 %. Liší se jen v délce úrokovacího období. V A-bance je roční, v B-bance půlroční a v C-bance měsíční úrokovací období. Ve všech bankách jde o sloţené úrokování. Daň z úroků je 15 %. V A-bance bude vklad úročen pouze na konci kalendářního roku (31. 12.), úrok bude 5,1 %. V B-bance bude vklad úročen dvakrát ročně (30. 6. a 31. 12.), úrok bude poloviční. V C-bance bude vklad úročen 12krát ročně, úrok bude jedna dvanáctina. Řešení: Určíme, jakou částku bychom měli v kaţdé bance na konci roku a porovnáme, která je pro nás nejvýhodnější: A-banka: j ú

j 1

p 0,85 100

100 000 1

5,1 0,85 100

104335

B-banka: 2

1 p j 1 0,85 2 100

1 5,1 100 000 1 0,85 2 100

2

 104382

C-banka: 1 p j 1 0,85 12 100

12

1 5,1 100 000 1 0,85 12 100

12

 104 422,20

Nejvýhodnější by pro nás bylo, kdybychom peníze uloţili v C-bance.

Pozn.: Vzorec pro výpočet částky J n na konci n -tého úrokovacího období při sloţeném úročení, kde k je počet úrokovacích období za jeden rok a n je celkový počet úrokovacích období, pak bude: Jn

j 1

1 p 0,85 k 100

n

120


Spoření, pravidelné vklady Příklad: Budeme ukládat na spořící účet s roční úrokovou mírou 5,3 % vţdy koncem roku 10 000,- Kč. Ţádnou částku nebudeme vybírat. Kolik budeme mít na tomto účtu po třech letech? Daň z úroku je 15 %. Řešení: Při výpočtu si stačí uvědomit, ţe kaţdý rok ukládáme stejnou částku a ta se stále úročí na konci kaţdého roku, takţe první vklad se úročí třikrát, druhý vklad jen dvakrát, třetí jen jednou a poslední vůbec (poslední vklad je ve stejný den, kdy se počítají úroky). Takţe kdyţ zjistíme všechny konečné částky z kaţdého vkladu a sečteme je, máme konečnou částku.

1. vklad:

p j 1 0,85 100

2. vklad:

p j 1 0,85 100

3. vklad:

j 1

3

2

p 0,85 100

5,3 10 000 1 0,85 100

5,3 10 000 1 0,85 100

10 000 1

3

 11413,30 2

 10 921,30

5,3 0,85  10 450,50 100 10 000

4. vklad:

11413,30 10 921,30 10 450,50 10 000 42 785,10

Celkem:

Po třech letech budeme mít na účtu 42 785,10,- Kč.

Pozn.: Ve finanční matematice se pro pravidelné střádání, kdy se částka ukládá na začátku (v předchozím příkladě na konci, chybí tedy poslední vklad) a úročení probíhá na konci kaţdého úrokovacího období, pouţívá vzorec pro celkovou částku po n obdobích:

Jn


j

r

rn 1 , r 1

kde

r

1

p . 100


121

Příklady k procvičení: 1) Vyplňte následující tabulku, je-li daň z úroku 15 %:

VKLAD

ROČNÍ POČET ÚROKOVÁ LET MÍRA

1 000 000 Kč

10

1

2 000 000 Kč

5

1

100 000 Kč

7

2

200 000 Kč

4

2

500 000 Kč

2.5

1

1 500 000 Kč

3.4

1

120 000 Kč

4.5

2

250 000 Kč

6.3

2

800 000 Kč

2.7

1

300 000 Kč

6.7

1

450 000 Kč

5.2

3

720 000 Kč

3.7

3

ÚROKOVACÍ OBDOBÍ roční

pololetní

čtvrtletní

měsíční

2) Vyplňte následující tabulku, je-li daň z úroku 15 %, vklad je realizován vţdy poslední den v roce, ţádné částky nejsou vybírány: ROČNÍ PRAVIDELNÝ POČET ÚROKOVÁ VKLAD LET MÍRA 1 000 000 Kč

10

2

2 000 000 Kč

5

2

100 000 Kč

7

3

200 000 Kč

4

3

500 000 Kč

2.5

4

1 500 000 Kč

3.4

4

120 000 Kč

4.5

3

250 000 Kč

6.3

3

800 000 Kč

2.7

4

300 000 Kč

6.7

4

450 000 Kč

5.2

3

720 000 Kč

3.7

3

KONEČNÁ ČÁSTKA

122


Řešení: 1)

VKLAD

ROČNÍ POČET ÚROKOVÁ LET MÍRA

1 000 000 Kč

10

1

2 000 000 Kč

5

1

100 000 Kč

7

2

200 000 Kč

4

2

500 000 Kč

2.5

1

1 500 000 Kč

3.4

1

120 000 Kč

4.5

2

250 000 Kč

6.3

2

800 000 Kč

2.7

1

300 000 Kč

6.7

1

450 000 Kč

5.2

3

720 000 Kč

3.7

3

ÚROKOVACÍ OBDOBÍ roční

pololetní

čtvrtletní

měsíční

1 085 000.0 Kč 1 086 806.3 Kč 1 087 748.0 Kč 1 088 390.9 Kč 2 085 000.0 Kč 2 085 903.1 Kč 2 086 364.3 Kč 2 086 675.4 Kč 112 254.0 Kč

112 441.6 Kč

112 538.3 Kč

112 603.9 Kč

213 831.2 Kč

213 950.7 Kč

214 011.6 Kč

214 052.5 Kč

510 625.0 Kč

510 681.4 Kč

510 710.0 Kč

510 729.1 Kč

1 543 350.0 Kč 1 543 663.2 Kč 1 543 822.1 Kč 1 543 928.8 Kč 129 355.6 Kč

129 446.7 Kč

129 493.2 Kč

129 524.5 Kč

277 491.9 Kč

277 869.7 Kč

278 063.7 Kč

278 195.1 Kč

818 360.0 Kč

818 465.3 Kč

818 518.6 Kč

818 554.4 Kč

317 085.0 Kč

317 328.2 Kč

317 453.3 Kč

317 538.1 Kč

512 346.3 Kč

513 065.5 Kč

513 433.4 Kč

513 681.8 Kč

790 090.9 Kč

790 659.2 Kč

790 948.0 Kč

791 142.3 Kč

2) ROČNÍ PRAVIDELNÝ POČET ÚROKOVÁ VKLAD LET MÍRA 1 000 000 Kč

10

2

2 000 000 Kč

5

2

100 000 Kč

7

3

200 000 Kč

4

3

500 000 Kč

2.5

4

1 500 000 Kč

3.4

4

120 000 Kč

4.5

3

250 000 Kč

6.3

3

800 000 Kč

2.7

4

300 000 Kč

6.7

4

450 000 Kč

5.2

3

720 000 Kč

3.7

3

KONEČNÁ ČÁSTKA 3 262 225.0 Kč 6 258 612.5 Kč 437 137.2 Kč 841 732.7 Kč 2 608 531.9 Kč 7 946 210.2 Kč 508 249.0 Kč 1 083 231.0 Kč 4 187 862.2 Kč 1 680 860.1 Kč 1 922 895.4 Kč 3 018 735.0 Kč


123

Úrokování se zdaněním Varianta C Dluhy a úvěry Umořování dluhu (úvěru, půjčky) stejnými splátkami (anuitami) probíhá zjednodušeně tak, ţe si banka po uplynutí úrokovacího období přičte úrok a z celkové částky se odečte splátka. Další úrok se jiţ počítá z takto sníţené částky. Má-li být půjčka K , úrokovaná p procenty, splacena pravidelnými splátkami s na n let, pak jsou splátky dány vztahem: s

K

r 1 , rn 1

rn

kde

r

1

p . 100

Chceme-li si určit výši měsíční splátky, stačí tuto (roční) vydělit 12. S daní nepočítáme, platí ji banka (ta má zisk z našich úroků). Příklad: Pan Černý si chce půjčit 80 000,- Kč na 2 roky, ale neví, ve které bance. Banka A by mu poskytla tuto částku s roční úrokovou sazbou 14,9 %, s poplatkem 850 Kč za zpracování úvěru a za 50 Kč měsíčně za správu úvěru. Banka B by mu poskytla tutéţ částku s roční úrokovou sazbou 13,2 %, bez poplatku za zpracování úvěru a za 300 Kč měsíčně za správu úvěru. Banka C by mu poskytla stejnou částku s roční úrokovou sazbou 16,5 %, bez poplatku za zpracování úvěru ani za vedení úvěrového účtu. Určete, kolik korun by zaplatil na splátkách a dalších poplatcích celkem v kaţdé bance. Určete, ve které bance je pro něj úvěr nejvýhodnější. Vypočítejte, o kolik korun zaplatí více, neţ si půjčí. Řešení: V kaţdé bance si nejdřív určíme výši splátek (protoţe je úvěr na 2 roky, budou 2 splátky), přičteme poplatky za správu úvěru (za 2 roky bude 24 měsíčních) a poplatek za zpracování úvěru. Nejvýhodnější úvěr bude ten, u kterého bude celková částka nejniţší: Banka A: r

s

1

p 100

1

80 000 1,1492

Celkem tedy

14,9 100

1,149

1,149 1  49146,62 1,1492 1

49146,62 2 24 50 850 100343,24

124


Banka B: r

s

1

p 100

1

80 000 1,1322

Celkem tedy

13,2 100

1,132

1,132 1  48 083,45 1,1322 1

48083,45 2 24 300 0 103366,90

Banka C: r

s

1

p 100

1

80 000 1,1652

Celkem tedy

16,5 100

1,165

1,165 1  50151,50 1,1652 1

50151,50 2 24 0 0 100303,-

Je zřejmé, ţe nejvýhodnější úvěr je v bance C, kde zaplatí jen o 303,- Kč víc, neţ si půjčí.



125

Příklady k procvičení: Vyplňte následující tabulku: Roční úrok. Počet roků Výše úvěru sazba (v %) (splatnost) 1 000 000 Kč 2 000 000 Kč 100 000 Kč 200 000 Kč 500 000 Kč 1 500 000 Kč 120 000 Kč 250 000 Kč 800 000 Kč 300 000 Kč 450 000 Kč 720 000 Kč

10.3 15.4 17.2 14.7 12.5 13.4 14.5 16.3 12.7 16.7 15.2 13.7

2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7

Měsíční poplatky

Poplatek za zpracování

50 Kč 50 Kč 50 Kč 50 Kč 50 Kč 50 Kč 50 Kč 50 Kč 50 Kč 50 Kč 50 Kč 50 Kč

1 600 Kč 2 500 Kč 500 Kč 700 Kč 1 000 Kč 4 500 Kč 450 Kč 0 Kč 400 Kč 200 Kč 450 Kč 1 400 Kč

Měsíční poplatky

Poplatek za zpracování

50 Kč 50 Kč 50 Kč 50 Kč 50 Kč 50 Kč 50 Kč 50 Kč 50 Kč 50 Kč 50 Kč 50 Kč

1 600 Kč 2 500 Kč 500 Kč 700 Kč 1 000 Kč 4 500 Kč 450 Kč 0 Kč 400 Kč 200 Kč 450 Kč 1 400 Kč

Měsíční splátky

Celková zaplacená částka

Měsíční splátky

Celková zaplacená částka

Řešení: Roční úrok. Počet roků Výše úvěru sazba (v %) (splatnost) 1 000 000 Kč 2 000 000 Kč 100 000 Kč 200 000 Kč 500 000 Kč 1 500 000 Kč 120 000 Kč 250 000 Kč 800 000 Kč 300 000 Kč 450 000 Kč 720 000 Kč

10.3 15.4 17.2 14.7 12.5 13.4 14.5 16.3 12.7 16.7 15.2 13.7

2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7

48 209.3 Kč 103 042.1 Kč 3 783.7 Kč 7 263.3 Kč 13 862.8 Kč 42 374.0 Kč 2 947.9 Kč 6 407.3 Kč 16 537.8 Kč 6 911.0 Kč 9 067.7 Kč 13 863.5 Kč

1 159 822.3 Kč 2 476 710.2 Kč 138 512.3 Kč 263 979.7 Kč 668 815.8 Kč 2 040 854.3 Kč 180 325.0 Kč 387 436.8 Kč 1 194 720.9 Kč 501 391.7 Kč 766 333.1 Kč 1 170 136.0 Kč

126


Valuty, devizy, převody měn Měnový kurz je poměr, v jakém se směňují dvě navzájem cizí měny, neboli cena jedné měny vyjádřená v jiné měně Rozlišujeme dva měnové kurzy: – –

devizový kurz - cena deviz, tj. bezhotovostních cizích peněz (převáděných mezi účty, bankovní šeky, poštovní převody, směnky,...) valutový kurz - cena valut, tj. hotovostních cizích peněz (bankovek a mincí)

Pozn.: Valuty jsou vedeny v tzv. valutové pokladně, kterou je třeba vést odděleně od pokladny v českých korunách. Není tedy moţné v rámci jedné pokladny (resp. pokladní knihy) účtovat zároveň o pohybu českých korun a o pohybu valut, např. EUR či USD.

Banky uvádějí pro kaţdou měnu dva kurzy – kurz nákup a kurz prodej: – – –

kurz nákup je kurz, za který je banka danou měnu ochotna koupit (banka nakupuje, klient prodává) kurz prodej je kurz, za který je banka ochotna danou měnu prodat (banka prodává, klient nakupuje) kurz střed je aritmetický průměr mezi kurzem nákup a kurzem prodej

Pozn.: Kurzovní lístky zobrazují aktuální valutové a devizové kurzy komerčních bank. Prodejní i nákupní kurz je uvaţován vţdy z hlediska banky (pokud si chcete koupit zahraniční hotovost na dovolenou, zajímá vás kurz "Valuty-prodej").


127

Kurzovní lístek ČSOB: 19.8.2010 Devizy Měna

Země

Množství

Změna

Nákup

Prodej

AUD

Austrálie

1

-0,20 %

17,012

17,670

DKK

Dánsko

1

-0,10 %

3,262

3,388

EUR

EMS

1

0,00 %

24,288

25,228

HRK

Chorvatsko

1

-0,30 %

3,339

3,469

JPY

Japonsko

100

-0,20 %

22,109

CAD

Kanada

1

0,80 %

HUF

Maďarsko

100

NOK

Norsko

PLN

Valuty Střed

Nákup

Prodej

Střed

17,341 0,00

0,00

0,00

3,325 3,25

3,39

3,32

24,758 24,24

25,28

24,76

3,404 0,00

0,00

0,00

23,011

22,560 0,00

0,00

0,00

18,443

19,157

18,800 0,00

0,00

0,00

0,20 %

8,750

9,108

8,929 0,00

0,00

0,00

1

-0,10 %

3,068

3,186

3,127 3,06

3,20

3,13

Polsko

1

-0,30 %

6,139

6,389

6,264 0,00

0,00

0,00

RON

Rumunsko

1

0,00 %

5,742

5,976

5,859 0,00

0,00

0,00

RUB

Rusko

100

0,10 %

62,227

64,637

63,432 0,00

0,00

0,00

SEK

Švédsko

1

-0,30 %

2,570

2,670

2,620 2,56

2,68

2,62

Švýcarsko

1

0,20 %

18,171

18,875

18,523 18,13

18,91

TRY

Turecko

1

0,00 %

12,622

13,110

12,866 0,00

0,00

USD

USA

1

0,20 %

18,951

19,725

19,338 18,91

19,77

19,34

GBP

Velká Británie

1

0,40 %

29,515

30,719

30,117 29,46

30,78

30,12

CHF

Tento kurzovní lístek bude pouţíván pro výpočty ve všech následujících příkladech.

18,52 0,00

128


Valuty, devizy, převody měn Varianta A Příklady: 1) Potřebuji si v bance na dovolenou vyměnit hotovost za 1 000,- Kč. Jakou sumu obdrţím, chci-li vycestovat a) do Francie? b) do Ruska? 2) Obchoduji se zahraničím a potřebuji doplnit 100 000,- Kč na účet v cizí měně. Jakou částku získám, jedná-li se o účet v a) EUR? b) RUB? Řešení: Chci-li zakoupit cizí měnu, musím na kurzovním lístku hledat „Kurz prodej. V příkladě 1 jde o hotovost – valuty, v příkladě 2 devizy. Devizy

Valuty

Měna

Země

Množství

Prodej

Prodej

EUR

EMS Rusko

1

25,228

25,28

100

64,637

0,00

RUB

1) a) Za 25,28 Kč koupím 1 EUR, takţe za 1 000 Kč koupím

1000  39,55 EUR 25,28

b) Ruskou měnu v hotovosti tato banka nenabízí. 2) a) Za 25,228 Kč vyměním 1 EUR, takţe za 100 000 Kč

100000  3 963,85 EUR 25,228

b) Za 64,637 Kč vyměním 100 RUB, takţe za 100 000 Kč

Příklad:


Varianta A

1)

100 000 100  154 710 RUB. 64,637

a) 39,55 EUR b) Ruskou měnu v hotovosti vybraná banka nenabízí.

Varianta B 2)

a) 3963,85 EUR b) 154710 RUB.


Příklady k procvičení: 3) Nakupte valuty v uvedené měně: Částka v CZK 5 000 Kč 10 000 Kč 15 000 Kč 2 000 Kč 7 000 Kč 12 000 Kč

Měna DKK NOK SEK CHF USD GBP

4) Nakupte devizy v uvedené měně: Částka v CZK 5 000 Kč 10 000 Kč 5 000 Kč 10 000 Kč 15 000 Kč 2 000 Kč 7 000 12 000

Měna DKK NOK SEK CHF USD GBP JPY HUF

129


130 Řešení: 1)

Částka v CZK 5 000 Kč 10 000 Kč 15 000 Kč 2 000 Kč 7 000 Kč 12 000 Kč

Měna DKK NOK SEK CHF USD GBP

Zakoupená částka 1 474.93 3 125.00 5 597.01 105.76 354.07 389.86

2) Částka v CZK 5 000 Kč 10 000 Kč 5 000 Kč 10 000 Kč 15 000 Kč 2 000 Kč 7 000 12 000

Měna DKK NOK SEK CHF USD GBP JPY HUF

Zakoupená částka 1 288.66 3 138.73 1 872.66 529.80 760.46 65.11 30 420.23 131 752.31


131

Valuty, devizy, převody měn Varianta B 1) Po návratu z dovolené potřebuji v bance vyměnit hotovost v cizí měně za Kč. Jakou sumu obdrţím, mám-li 154 EUR? 2) Obchoduji se zahraničím a potřebuji převést zisk z prodeje zboţí na výplaty v CZK. Jakou částku získám směnou a) 194 000 EUR? b) 1 194 000 RUB? Řešení: Chci-li prodat cizí měnu, musím na kurzovním lístku hledat „Kurz nákup. V příkladě 1 jde o hotovost – valuty, v příkladě 2 devizy. Měna EUR RUB

Země

EMS Rusko

Devizy

Valuty

Množství

Nákup

Nákup

1

24,288

24,24

100

62,227

0,00

1) Za 1 EUR banky nabízí 24,24 Kč, takţe za 154 EUR dostanu od banky

154 24,24  3733Kč 2) a) Za 1 EUR je 24,288 Kč, takţe za 194 000 EUR bude 194000 24,288  4 711 872 Kč b) Za 100 RUB je 62,227 Kč, takţe za 1 194 000 RUB bude

1194 000 62,227  742990,38 Kč. 100

Příklad: Varianta A Varianta B

Výsledky řešení: 1) 3733Kč 2) a) 4 711 872 Kč b) 742990,38 Kč

132


Příklady k procvičení: 1) Vypočtěte, kolik CZK utrţíte v hotovosti: Částka

Měna

5 000 10 000 15 000 2 000 7 000 12 000

DKK NOK SEK CHF USD GBP

2) Vypočtěte, kolik CZK utrţíte převodem na účtu: Částka

Měna

5 000 10 000 15 000 2 000 7 000 12 000 7 000 12 000

DKK NOK SEK CHF USD GBP JPY HUF


Řešení: 1) Částka

Měna

Utržená částka (v CZK)

5 000 10 000 15 000 2 000 7 000 12 000

DKK NOK SEK CHF USD GBP

16 250.0 Kč 30 600.0 Kč 38 400.0 Kč 36 260.0 Kč 132 370.0 Kč 353 520.0 Kč

Částka

Měna

Utržená částka (v CZK)

5 000 10 000 15 000 2 000 7 000 12 000 7 000 12 000

DKK NOK SEK CHF USD GBP JPY HUF

16 310.0 Kč 30 680.0 Kč 38 550.0 Kč 36 342.0 Kč 132 657.0 Kč 354 180.0 Kč 1 547.6 Kč 1 050.0 Kč

2)

133

134


Literatura: [1]

Odvárko O., Kadleček J.: Matematika pro 8. ročník základní školy, Prometheus, Praha, 2008

[2]

Fuchs J., Hrubý D. a kol.: Standardy a testové úlohy z matematiky pro ZŠ a nižší ročníky víceletých gymnázií, Prometheus, Praha, 2000

[3]

Dytrych M., Dobiasová I., Livňanská L.: Sbírka úloh z matematiky pro nižší ročníky víceletých gymnázií a pro 2. stupeň základních škol – Početní úlohy, Fortuna, Praha, 2001

[4]

Krupka P.: Sbírka úloh z matematiky pro 2. stupeň ZŠ a nižší ročníky víceletých gymnázií, 1. díl, Prometheus, Praha 2002

[5]

Lukšová H., Tomicová J.: MATEMATIKA – Přehled učiva základní školy s řešenými příklady, Fortuna, Praha, 1999

[6]

Odvárko O., Kadleček J.: Pracovní sešit z matematiky – Soubor úloh pro 7. ročník ZŠ, Prometheus, Praha, 2007

[7]

Běloun F. a kol.: Sbírka úloh z matematiky pro ZŠ, Prometheus, Praha, 2004

[8]

Trejbal J., Kučinová E., Vintera F., Veselý M.: Sbírka úloh z MATEMATIKY I – pro 6. a 7. ročník ZŠ, SPN, Praha 2004

[9]

Herman J., Chrápavá V., Jančovičová E., Šimša J.: Matematika pro nižší třídy víceletých gymnázií – Racionální čísla, Procenta, Prometheus, Praha, 2002

[10] Odvárko O., Kadleček J.: MATEMATIKA pro 9. ročník ZŠ, Prometheus, Praha, 2001 [11] Odvárko O., Kadleček J.: Pracovní sešit z matematiky – Soubor úloh pro 9. ročník ZŠ, Prometheus, Praha, 2001 [12] http://books.google.cz Finanční matematika pro kaţdého, Jiří Hájek [13] http://www.csob.cz/cz/Csob/Kurzovni-listky/Stranky/kurzovni-listek.aspx

ZÁKLADY STATISTIKY A FINANČNÍ MATEMATIKY

Recommend Documents